certamen 3 2013-2

UNIVERSIDAD TCNICA FEDERICO SANTA MARA

DEPARTAMENTO DE FSICA

Certamen 3 Fis130 (PAUTA) Fsica General III (FIS130)

Termodinmica

Datos:

Pregunta 1

En muchas construcciones se ocupan paredes de diferentes materiales como mecanismo de aislacin. Si el calor

se propaga a travs de varias paredes que poseen un buen contacto trmico, el flujo de calor estacionario a travs de

todas las secciones es el mismo.

La figura muestra tres paredes en contacto, con sus respectivos coeficientes de conductividad trmica, , y

a) Considerando que todas las paredes tienen la misma rea y espesor , y , respectivamente, demuestre que el flujo de calor est dado por:

(

) (

) (

)

b) La pared de un horno de de espesor, se construye con un material que tiene una conductividad

trmica de La pared estar aislada en el exterior con un material que tiene una conductividad promedio de , de tal manera que las prdidas de calor en el horno sean iguales o inferiores a . La temperatura de la superficie interior es y la de la externa es . Calcule el espesor del aislante necesario.

SOLUCIN:

a) Se tiene que a travs de toda la pared debe existir el mismo flujo, de lo contrario si el flujo en algn punto es

menor que en el anterior se tiene que en esta junta se acumulara calor, provocando as que el flujo posterior y

anterior ya no sean constantes. El caso contrario no puede existir, en que el flujo posterior sea mayor que el

anterior, puesto a que el flujo posterior necesitara ms energa para transferir, energa que no cubre el flujo

anterior. Segn lo dicho anteriormente se tendr:

De la primera y ltima ecuacin se obtiene:

Entonces reemplazando y en la ecuacin del medio se obtiene:



(

)

(

)

(

)

(

) (

) (

)

b) Para calcular el espesor del aislante necesario podemos ocupar la misma ecuacin que se dedujo en la parte a)

puesto a que el calor fluye de la misma manera, en donde podemos considerar que del aislante,

entonces el flujo calrico queda expresado por:

(

) (

) (

)

(

) (

)

Donde: : Espesor que estamos buscando del aislante

: Temperatura interna del horno

: Temperatura al exterior del horno

: Espesor de la pared del horno.

: Conductividad trmica de las paredes del horno.

Entonces reescribiendo la ecuacin para el flujo:

(

) (

)

La condicin del aislante es que se produzca un flujo por unidad de rea en las paredes del horno que sea igual o

inferior a:

Por lo tanto considerando un flujo igual a se tendr que:

(

) (

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)



Entonces reemplazando los valores, el espesor del aislante debe ser mayor o igual a:

(

)

PUNTAJE:

a) Encontrar las 3 ecuaciones del flujo. (Decir que el flujo es contante para toda la pared).

Deducir la expresin del flujo con las temperaturas interior y exterior

b) Expresin de la ecuacin anterior para en trminos del nuevo problema.

Expresin de la desigualdad.

Encontrar el rango permitido del espesor del aislante.



PREGUNTA 2

La operacin de un motor disel se puede idealizar mediante el ciclo que se representa en la figura.

El aire entra al cilindro durante la admisin (que no es

parte del ciclo idealizado). El aire se comprime

adiabticamente, siguiendo la trayectoria AB. En el

punto B, el combustible disel se inyecta en el cilindro e

inmediatamente se quema, pues la temperatura es muy

alta. La combustin es lenta y durante la primera parte

de la carrera de potencia, el gas se expande a presin

constante (trayectoria BC). Despus de quemarse, el

resto de la carrera de potencia es adiabtica,

representada en la trayectoria CD. La trayectoria DA

corresponde a la carrera de escape, la cual ocurre a

volumen constante.

Demuestre para una mquina que experimenta este ciclo usando un gas ideal, la eficiencia ideal es:

(

)

(

)

[(

)

(

)

]

En donde

es la razn de compresin,

es la razn de expansin y la constante adiabtica.

Sugerencia:

1. Primero utilice la eficiencia:

2. Escriba la eficiencia solo en funcin de y presiones y volmenes.

3. Utilice la relacin para trayectorias adiabticas .

SOLUCIN:

Se tiene que la eficiencia corresponde al trabajo neto que se realiza en un ciclo , en este caso en el ciclo de

Disel, dividido por el calor absorbido por la mquina trmica , en este caso por el motor:

Pero como el proceso completo es un ciclo, se tiene que la variacin de la energa interna del aire que entra al

cilindro es nula :

Entonces, segn la primera ley de la termodinmica:

Por lo cual la eficiencia de la mquina trmica se puede

expresar como:

Donde es el calor que sale de la mquina:

Como los procesos y son adiabticos, se

tendr que en stos no habr flujo de calor, por lo cual en los

nicos procesos donde puede haber trasferencia de calor

corresponden a los procesos y . Ahora como en el



proceso existe una expansin Isobrica aumentando as la temperatura del aire que encierra el cilindro, se

tendr que la absorcin de calor se da en este proceso, en cambio en el proceso existe un enfriamiento de la

mquina a volumen constante (proceso Isocrico) por lo cual en ste se tendr la expulsin de calor . Teniendo en

claro eso, se tendr que:

Entonces la eficiencia queda expresada como:

Y como , adems

, entonces:

Ocupando la Ley de los Gases Ideales podemos expresar las temperaturas en funcin de las presiones, el

volumen, el nmero de moles y la constante de los gases:

Entonces:

(

)

(

)

Como el proceso es Isocrico, se tiene que , entonces:

Como los procesos y son adiabticos, se tiene que:

Y expresando y en funcin de :

(

)

(

)

Entonces:

( (

)

(

)

)

((

)

(

)

)

Pero , entonces:

((

)

(

)

)

((

)

(

)

)

(

)

(

)

(

)

[(

)

(

)

]



PUNTAJE:

Determinar el calor de entrada y de salida del ciclo. Identificar en que procesos (puede ser en el grfico). Expresin de la eficiencia en trminos de las presiones y los volmenes. Expresin de la eficiencia solo en trminos de los volmenes.



Pregunta 3

Un cilindro contiene oxgeno a una presin de y . El volumen es de . Suponga que el

se puede tratar como gas ideal, y que se somete a los siguientes procesos:

i) Calentar a presin constante del estado inicial (estado 1) al estado 2, donde .

ii) Enfriar a volumen constante a (estado 3).

iii) Comprimir a temperatura constante a un volumen de (estado4).

iv) Calentar a volumen constante a , regresando el sistema al estado 1.

a) Muestre estos cuatro procesos en un diagrama P-V, dando los valores numricos de P, V y T en cada estado.

(completar tabla)

b) En cada etapa del ciclo calcule el calor absorbido Q, el trabajo realizado W y el cambio de energa interna,

completando la tabla.

c) Calcule el trabajo neto efectuado por el .

d) Determine la eficiencia de este dispositivo como mquina trmica y comprela con la de una mquina de ciclo

de Carnot que opera entre las mismas temperaturas mnima y mxima de y ].

SOLUCIN:

a) El grfico adjunto muestra el ciclo que realiza el oxgeno contenido en el cilindro. El proceso corresponde a un proceso Isobrico, el proceso corresponde a un proceso Isocrico, el proceso corresponde a un proceso Isotrmico y por ltimo el proceso corresponde a un proceso Isocrico. Con los datos entregados i- nicialmente puede completar los siguientes cuadros de la tabla:



Inicialmente se calculan la cantidad de moles de oxgeno que se encuentran dentro del cilindro con los datos del

estado 1, a travs de la ecuacin de la Ley de los Gases Ideales:

[

]

Como el proceso es Isocrico, se tiene que . Luego el volumen se obtiene con la ley de los

Gases Ideales:

[

]

El proceso es Isocrico por lo cual, . Luego el volumen se obtiene con la ley de los Gases

Ideales:

[

]

Por ltimo se obtiene con la ley de los Gases Ideales:

[

]

Por lo tanto el cuadro queda:

b) A continuacin se calcularan los procesos de forma mecnica, indicando la etapa y que tipo de proceso es,

teniendo en cuenta siempre la primera ley de la termodinmica:

: ISOBRICO

[

]



: ISOCRICO

[

]

: ISOTRMICO

(

) [

] (

)

: ISOCRICO

[

]

Entonces la tabla queda:

c) De la tabla se desprende que el trabajo net efectuado por el es:

d) La eficiencia se define como:

Entonces la eficiencia de este ciclo es:

Y la eficiencia de Carnot se define como:

Entonces:

Por lo que se tiene que , entonces, esta mquina trmica puede existir.



PUNTAJE:

a) Grfico con ciclo, indicando direccin del ste y procesos involucrados. (Los procesos involucrados pueden ser mencionados o identificados con las curvas de temperatura). Deben ser indicados los volmenes y las presiones de cada estado. Cada informacin de cada cuadro de la tabla de la pregunta a).

b) Cada informacin de cada cuadro de la tabla de la pregunta b).

c)

d) Clculo de la eficiencia de la mquina Clculo de la eficiencia de Carnot Determinacin de la existencia de la mquina trmica.

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