CENTROIDE

En la Física, el centroide, el centro de gravedad y el centro de masas pueden, bajo

ciertas circunstancias, coincidir entre sí, aunque designan conceptos diferentes. El

centroide es un concepto puramente geométrico que depende de la forma del

sistema; el centro de masas depende de la distribución de materia, mientras que el

centro de gravedad depende también del campo gravitatorio.

Consideremos un cuerpo material:

Para que el centroide del cuerpo coincida con el centro de masa, el cuerpo

debe tener densidad uniforme o una distribución de materia que presente

ciertas propiedades, tales como la simetría.

Para que un centro de masa del cuerpo coincida con el centro de gravedad,

el cuerpo debe estar bajo la influencia de un campo gravitatorio uniforme.

Una figura cóncava puede tener su centroide en un punto situado fuera de la

misma figura. El centroide de una lámina con forma de cuarto de Luna estará en

algún punto fuera de la lámina.

El centroide de un triángulo (también llamado baricentro) se encuentra en el punto

donde se intersecan sus transversales de gravedad (líneas que unen un vértice

con el punto medio del lado opuesto). Este punto es también el centroide de la

superficie del triángulo.

Centro de simetría:

El centro de simetría de una figura geométrica es el centroide. El centroide de un

objeto o figura también puede definirse como un punto fijo del grupo de isometría

de dicha figura. Para un objeto, figura limitada o región finita el grupo de isometría

no incluye traslaciones y en ese caso si el grupo de isometría no es trivial, sus

simetrías pueden determinar el centroide. Sin embargo si para un objeto tiene

alguna simetría traslacional el centroide no está definido, porque una traslación no

tiene ningún punto fijo.

Volúmen.

Si un objeto se subdivide en elementos de volumen dv, la localización del

centroide para el volumen del objeto se puede determinar calculando los

momentos de los elementos en torno a los ejes de coordenadas. Las fórmulas que

resultan son:

X = " x dv Y = " y dv Z = " z dv

" dv " dv " dv

Área.

De manera semejante, el centroide para

el área para el área superficial de un

boleto, como una plancha o un casco

puede encontrase subdividiendo el área

en elementos diferentes dA y calculando

los momentos de estos elementos de

aérea en torno a los ejes de

coordenadas a saber.

X = " x dA Y = " y dA Z = " z dA

"dvA " dA " dA

Línea.

Si la geometría del objeto tal como una barra delgada un alambre, toma la forma

de una línea, la manera de encontrar su centroide es el siguiente:

X = " x dL Y = " y dL Z = " z dL

"dL " dL " dL

NOTA: En todos los casos anteriores la localización del centroide no está

necesariamente dentro del objeto. También los centroides de algunas formas

pueden especificarse parcialmente o completamente usando condiciones de

simetría. En los casos en los que la forma tiene un eje de simetría el centroide de

la forma estará lo largo del eje.

Teorema de los ejes paralelos:

Si se conoce el momento de inercia de un área alrededor de un eje que pasa por

su centroide, conviene determinar el momento d inercia del área en torno al eje

correspondiente paralelo usando el teorema de los ejes paralelos. Para deducir

este teorema, consideramos la determinación del momento de inercia de la región

sombreada que se muestra en la figura, alrededor del eje x. En este caso, un

elemento diferencial dA del área se localiza a una distancia arbitraria y a partir del

eje centroidal x' mientras que la distancia fija entre los ejes paralelos x y x' se

define como dy. Como el momento de inercia de dA alrededor del eje x es dlx=(y'

+ dy)2 entonces para la totalidad del área:

Ix ="A (y' + dy)2 dA

Iy ="A y'2 dA + 2dy "A y' dA + dy2 "A dA

La primera integral representada el momento de inercia del área en torno al eje

centroidal, Ix. La segunda integral es cero, ya que el eje x' pasa a través del

centroide del area C; es decir, " y' dA = y " dA = 0, puesto que y = 0. Si

comprendemos que la tercera integral representa la totalidad del área A, el

resultado final es, por lo tanto,

Una expresión semejante puede escribirse para Iy, es decir:

Y finalmente, para l momento polar de inercia en torno a un eje perpendicular al

plano x - y que pasa atreves del polo O (eje z) tenemos:

La forma de cada una de estas ecuaciones establece que el momento de inercia

de una área alrededor de un eje es igual al momento de inercia del área en torno a

un eje paralelo que pasa a través del centroide más el producto del área y el

cuadrado de la distancia perpendicular entre los ejes.

Radio de giro de una area

El radio de giro de una área plana se usa a menudo para el diseño de columnas

en mecánica estructural. Siempre que se conozcan el área y los momentos de

inercia, los radios de giro se determinaran a partir de las formulas.

Note que la forma de estas ecuaciones se recuerda fácilmente ya que es

semejante a las que se utilizan para el momento de inercia de una área diferencial

alrededor de un eje.

Momentos de inercia para una área por integración:

Cuando las fronteras de una área plana pueden expresarse mediante funciones

matemáticas, las ecuaciones (1 a) pueden integrarse para determinar los

momentos de inercia para el área. Si el elemento de área escogido para la

integración tiene un tamaño diferencial en dos direcciones, debe efectuarse una

doble integración para evaluar el momento de inercia

Centroide de areas compuestas

En gran cantidad de casos una superficie cualquiera puede

ser subdividida en una serie de figuras comunes (rectángulo, triangulo,

circunferencia etc.). Esta forma de análisis es útil y permite determinar

el centroide de cualquier superficie según:

A=Ai; x= xiAiAi; y yiAiAi

Los centroides y el área común se obtienen de la aplicación de

fórmulas para áreas comunes como los indicados en la tabla.

PRESION DE LIQUIDOS SOBRE SUPERFICIE

CURVAS

• La estática trata con los fluidos sin movimiento, o más concretamente, con los

fluidos que no sufren ninguna deformación, o lo que es lo mismo, en los cuales no

existe ningún gradiente de velocidades. En la estática trataremos con fluidos en

ausencia de movimiento relativo.

• La consecuencia directa de la anterior es que la única forma de evitar que

aparezcan gradientes de velocidad es que no existan esfuerzos cortantes sobre el

fluido. Lo que nos indica que para que un fluido este en reposo o bien no existen

esfuerzos sobre él, o si existen estos son esfuerzos normales y a compresión ( los

fluidos no soportan esfuerzos a tracción ) El caso más simple es la fuerza que

ejerce un fluido sobre una superficie horizontal, como puede ser el fondo de un

depósito de almacenamiento de agua. La única fuerza que ejerce el fluido sobre el

fondo, Sobre la superficie, debido a la acción de la presión hidrostática, aparecerá

una fuerza normal a la misma. La presión hidrostática depende de la profundidad,

tendremos:

ph = ph (h)→dF = ph (h).dA =γ .h.dA =γ .y.sinθ .dA

Ahora, como la superficie es curva, el ángulo va variando en cada Punto, no

podemos sacarlo fuera de la integral, y por tanto, no podemos llegar a la expresión

simplificada de los casos anteriores Utilizando lo que acabamos de deducir en el

caso anterior, lo que haremos es calcular la fuerza resultante como la composición

de las dos fuerzas, vertical y horizontal, y el centro de presiones.

Utilizando lo que acabamos de deducir en el caso anterior, lo que haremos es

calcular la fuerza resultante como la composición de las dos fuerzas, vertical y

horizontal, el centro de presiones, utilizando las coordenadas de cada una de las

componentes.

Principio de Arquímedes:

*

La fuerza sobre un cuerpo sumergido, lo podemos calcular como la suma de las

fuerzas sobre su superficie superior (F2) e inferior (F1).

* Sobre la superficie inferior (A-D-B) la fuerza será el peso del fluido sobre su

superficie y tendrá el sentido hacia arriba.

* Sobre la superficie superior (A-C-B) la fuerza será el peso del fluido sobre su

superficie, y tendrá el sentido hacia abajo.

* La resultante será la suma de las dos, que nos da una fuerza equivalente al

peso del fluido que ocupa el volumen del cuerpo sumergido, y la resultante tendrá

un sentido vertical y hacia arriba.

Fuerza vertical. La fuerza vertical sobre cada una de las superficies planas

horizontales es igual al peso del líquido sobre ella. Si hacemos

que el ancho de las superficies planas

Sea muy pequeño, podemos llegar a tener la superficie curva

y la fuerza vertical termina siendo igual al peso del líquido

entre la superficie sólida y la superficie libre del líquido:

Fuerza horizontal. La fuerza horizontal sobre cada una de las superficies planas

verticales ya fue determinada. Independientemente si la

superficie es curva o plana, la fuerza horizontal es igual a la

fuerza de presión que actúa sobre la proyección de la

superficie curva sobre un plano vertical, perpendicular a la

dirección de la fuerza. Está fuerza puede calcularse mediante

el prisma de presiones o usando F = pCGA