centro de estudios de energía -all libro de texto 2- distorsión armónica armónicas en sistemas...

Centro de Estudios de Energía -all

Libro de texto2- Distorsión armónica

Armónicas en Sistemas Eléctricos Industriales, Armando Llamas, Salvador Acevedo, Jorge de los Reyes, Jesús Baez,

Innovación Editorial Lagares, Monterrey, 2004.


Contenido

Distorsión Armónica

• El teorema de Fourier y las armónicas

• Fator de cresta, valor rms, distorsión armónica y factor k

• Transformada rápida de Fourier


Introducción

CON EL auge que la electrónica y otras cargas no lineales tienen en las

aplicaciones residenciales, comerciales e industriales, se ha incurrido en una

“contaminación armónica” generalizada. La mayoría de los equipos electrónicos

tienen un comportamiento no lineal lo cual causa distorsión en las corrientes, y

por consecuencia en los voltajes, tanto de los equipos electrónicos como de la red

eléctrica en que se encuentran.

Otros ejemplos de cargas no lineales son los hornos eléctricos de inducción, así

como los motores eléctricos y los transformadores, especialmente bajo

condiciones de saturación.


Teorema de Fourier

De acuerdo al Teorema de Fourier, una función que se repite cada T segundos ( esto es, una función con período T ) puede expresarse como una suma infinita de senos y cosenos, tal como se muestra a continuación:

f(t) = a0 + a1 cos ( 1 1 t ) + b1 sin ( 1 1 t ) + a2 cos ( 2 1 t ) + b2 sin ( 2 1 t ) + a3 cos ( 3 1 t ) + b3 sin ( 3 1 t ) + a4 cos ( 4 1 t ) + b4 sin ( 4 1 t ) + ...

+ ..... + an cos ( n 1 t ) + bn sin ( n 1 t )

=

donde es la frecuencia angular en rad/s, T es el periodo en segundos y a0,

a1, b1, a2, b2, a3, b3, a4, b4, ..., an, bn son constantes.


Fourier

f(t) = a0 + a1 cos ( 1 1 t ) + b1 sin ( 1 1 t ) + a2 cos ( 2 1 t ) + b2 sin ( 2 1

t ) + a3 cos ( 3 1 t ) + b3 sin ( 3 1 t ) + a4 cos ( 4 1 t ) + b4 sin ( 4 1 t ) +

...

+ ..... + an cos ( n 1 t ) + bn sin ( n 1 t )

=

a0 es una componente de valor constante, que es el valor promedio o componente de corriente directa

a2 cos ( 2 1 t ) + b2 sin ( 2 1 t ) = c2 cos(2 1 t + 2)

corresponde a la segunda armónica y tiene una frecuencia igual al doble de la frecuencia de la función

periódica f(t)

a1 cos ( 1 1 t ) + b1 sin ( 1 1 t ) = c1 cos(1 t + 1) se conoce como la componente fundamental y tiene la misma frecuencia y el mismo periodo T que la función que deseamos descomponer en senos y cosenos


Ejemplo 1Una fuente de voltaje sin distorsión de 127 V, 60 Hz alimenta a un grupo de computadoras (cargas no lineales) que demandan una corriente distorsionada de 3 A. El contenido de armónicas de la corriente se resume en la siguiente tabla (ángulos de función seno):

% fundamental % de total Angulo Fundamental 100.0 67.88 0 Tercera 80.1 54.37 180 Quinta 60.6 41.13 0 Séptima 37.0 25.12 180 Novena 15.7 10.67 0

Graficar las formas de onda de voltaje y corriente.

Solución:

i fundamental,

i tercera armónica,

i quinta armónica,

i séptima armónica,

i novena armónica,


Formas de onda

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 90 180 270

grados eléctricos

corr

ien

te (

A)

Fundamental Tercera

Quinta

Séptima

Novena

-9

-6

-3

0

3

6

9

0 90 180 270

grados eléctricos

corr

ien

te (

A)

Resultante


Voltaje y corriente

8.449 A

169.71 V


Ejemplo 2

• La Tabla muestra el resultado del análisis de Fourier para la corriente de computadoras capturada con una tarjeta de adquisición de datos. Grafique la forma de onda resultante.

Orden armónico, valor rms y ángulo como función coseno

h Ih A rms

ángulo (°) función coseno

1 2.0272 -86.093 3 1.6974 95.385 5 1.2061 -82.903 7 0.6564 96.488 9 0.2122 -91.176

11 0.0929 -40.962 13 0.1704 113.796 15 0.1390 -73.327


Gráfica EJEMPLO 2

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3 4 5 6 7

wt, radianes

i, A


Valor promedio

• El Valor promedio de una forma de onda periódica es el área bajo la curva de la onda en un período T, entre el tiempo del período.

•El valor promedio de una senoidal es cero,

•El valor promedio de una senoidal rectificada de onda completa es , donde

Vp es el valor pico de la senoidal.

valor pico


Valor efectivo

•El Valor efectivo, valor eficaz o valor rms de una función periódica es la raíz

cuadrada del valor promedio de la función al cuadrado


Factor de cresta

• Factor de cresta (f.c.), la relación del valor pico (cresta) al valor rms de una forma de onda periódica

valor pico


Ejemplo 3

• Empleando los datos de la corriente del Ejemplo 1, determinar el valor promedio, el valor rms y el factor de cresta.

• Solución:

• El valor promedio de la corriente del ejemplo es cero pues es simétrica alrededor del eje de tiempo

• .

• En la tabla siguiente aparecen los valores pico, los valores rms y los valores rms al cuadrado de las componentes (la fundamental y las armónicas).

% fundamental % de total Angulo Fundamental 100.0 67.88 0 Tercera 80.1 54.37 180 Quinta 60.6 41.13 0 Séptima 37.0 25.12 180 Novena 15.7 10.67 0

h 1 3 5 7 9I pico, h 2.88 2.31 1.75 1.07 0.45I rms, h 2.036 1.633 1.237 0.757 0.318(I rms,h)

24.1472 2.66805 1.53125 0.57245 0.10125


Valor rms verdadero y en base a promedio

• Valor rms verdadero. Algunos instrumentos indican el valor rms sin importar la forma de la onda, por lo general aparece la leyenda “true rms” en dichos instrumentos.

• Valor rms en base al promedio de la senoidal rectificada. Algunos instrumentos rectifican una señal proporcional a la cantidad a medir y miden directamente el valor promedio de dicha señal. La escala no indica el valor promedio sino el valor rms que corresponde a una senoidal.

– para una senoidal:

– valor promedio de una senoidal con rectificación de onda completa está dado por:

– valor rms en función del valor promedio está dado por:


Ejemplo 4• Encuentre la lectura que daría un amperímetro “true rms” y uno que mida el valor promedio de la

función rectificada de la corriente del Ejemplo 1.

Solución:

•Un amperímetro de valor efectivo verdadero indicaría 3 A rms.

•Un amperímetro que de valor rms en base al promedio de la senoidal rectificada indicaría:

I true rms = 3 A

Rectificación de onda completaValor promedio = 1.501 A.

8.449 A

A A

27 A 15 A

20 A


Distorsión armónica total

• “Total Harmonic Distortion (THD)”.

• Factor armónico o factor de distorsión


Ejemplo 5

• Encontrar la distorsión armónica de la corriente del Ejemplo 1.

h 1 3 5 7 9I pico, h 2.88 2.31 1.75 1.07 0.45I rms, h 2.036 1.633 1.237 0.757 0.318(I rms,h)

24.1472 2.66805 1.53125 0.57245 0.10125

(I rms,h) / I1 1 0.802 0.608 0.372 0.156(I rms,h) / I12 1 0.643 0.369 0.138 0.024

THD 2 036

2 207

2 0361084 108 4%

2 6681 15313 5725 10125. . . .

.

.

.. .

THD 0 643 369 138 024 1084 108 4%. . . . . .


Factor K

Indica la capacidad de un transformador para alimenta cargas no senoidales sin sobrecalentarse

Ih es el valor efectivo de la corriente armónica h, en pu del valor efectivo de la corriente total

Si se tienen los datos de las corrientes armónicas en pu de fundamental, el factor K se puede calcular mediante la siguiente expresión


Ejemplo 6

• Calcular el factor K de la corriente del Ejemplo 1.

h 1 3 5 7 9Ih en A rms 2.036 1.633 1.237 0.757 0.318Ih / I1 en pu 1.000 0.802 0.608 0.372 0.156 Ih / I1

2 1.000 0.643 0.369 0.138 0.024h2 1 9 25 49 81 Ih / I1

2 h2 1 5.787 9.225 6.762 1.944

Empleando los datos de la corriente con distorsión de este artículo, tenemos la siguiente tabla

Sumando los valores del último renglón y multiplicando por la relación al cuadrado de corriente fundamental a corriente total, obtenemos


Transformada rápida de Fourier

)(

...

)(

)(

)(

3

2

1

nti

ti

ti

ti

N

o

I

I

I

I

...2

1

F F T

2 / n

N

o

I

I

I

I

...2

1

I M . A B S

I M . A N G U L O

N

o

I

I

I

I

...2

1

N

...

0

2

1

V a l o r e s i n s t a n t á n e o s c a p t u r a d o s

T r a n s o r m a d a R á p i d ad e F o u r i e r

C o e f i c i e n t e s c o m p l e j o sC a l c u l a d o s p o r F F T

M a g n i t u d d e l o s c o e f i c i e n t e s

Á n g u l o d e f a s e d e l o sc o e f i c i e n t e s

)cos(

)cos()cos()( 2221110

NNN tI

tItIIti

I 0 = 0 . 5 * I 0 ´

C o e f i c i e n t eI ’ 0 s i n v a l o r

a b s o l u t o

)(

...

)(

)(

)(

3

2

1

nti

ti

ti

ti

N

o

I

I

I

I

...2

1

F F T

2 / n

N

o

I

I

I

I

...2

1

I M . A B S

I M . A N G U L O

N

o

I

I

I

I

...2

1

N

...

0

2

1

V a l o r e s i n s t a n t á n e o s c a p t u r a d o s

T r a n s o r m a d a R á p i d ad e F o u r i e r

C o e f i c i e n t e s c o m p l e j o sC a l c u l a d o s p o r F F T

M a g n i t u d d e l o s c o e f i c i e n t e s

Á n g u l o d e f a s e d e l o sc o e f i c i e n t e s

)cos(

)cos()cos()( 2221110

NNN tI

tItIIti

I 0 = 0 . 5 * I 0 ´

C o e f i c i e n t eI ’ 0 s i n v a l o r

a b s o l u t o


Ejemplo 7it(A)

-101.52-69.76-25.43

7.7814.85

4.77-1.583.779.474.11

-4.693.04

35.2876.98

105.77114.69115.11119.64128.24132.39127.75118.11

64 datos

•it

•-150

•-100

•-50

•0

•50

•100

•150

•0 •0.5 •1 •1.5 •2

•ciclos

• i, A

centro de estudios de energía -all libro de texto 2- distorsión armónica armónicas en sistemas...

Documents