CENTRO DE ENSEÑANZA TÉCNICA INDUSTRIALCENTRO DE ENSEÑANZA TÉCNICA INDUSTRIAL

TEMA:

ECUACIONES DIFERENCIALES

ALUMNO:

Alejandro Montes Ramírez Reg.9310440

PROFESOR:

Mtro. César Octavio Martínez Padilla

MATERIA:

Ecuaciones Diferenciales

a Miércoles 18 de Febrero de 2010

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales

La ecuación diferencial es aquella ecuación que contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.

El orden: Ecuación Diferencial El orden: Ecuación Diferencial

El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es la derivada más alta contenida en ella.

Ejemplo:

El grado: Ecuación Diferencial El grado: Ecuación Diferencial

El grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que esta elevada la derivada más alta, siempre y cuando una ecuación diferencial esté dada forma polinomial.

Clasificación: Ecuaciones DiferencialesClasificación: Ecuaciones Diferenciales La ecuación diferencial contiene derivadas

Ordinarias de una o más variables dependientes con

respecto a una sola variable independiente.

Tipo

La ecuación diferencial contiene derivadas

Parciales parciales de una o más variables dependientes.

Primer orden F( x, y, y´)= 0

Segundo orden F ( x, y , y´, y´´)=0

Orden Tercer orden F( x, y, y´, y´´, y´´´)=0

… …

Orden n F(x, y´, y´´,…, y(n))=0

a) La variable dependiente y y todas

sus derivadas son de 1er. grado.

Lineales b) Cada coeficiente de y y sus derivadas

depende de solamente de la variable independiente x (puede ser constante).

Grado

No lineales Las que no cumplen las propiedades

anteriores.

La solución: Ecuación Diferencial La solución: Ecuación Diferencial

La solución en una ecuación diferencial es una función que no tiene derivadas y que satisface a dicha función, esto quiere decir que al sustituir las funciones y sus derivadas en la ecuación diferencial resulta un identidad.

La solución: Ecuación DiferencialLa solución: Ecuación Diferencial

Otra manera de comprender sobre ¿ qué es la solución en una ecuación diferencial ? es la siguiente:

Cuando una función , definida en algún intervalo I, se sustituye en una ecuación diferencial y transforma esa ecuación en una identidad, se dice que es una solución en el intervalo.

Solución General: Ecuación DiferencialSolución General: Ecuación Diferencial

La solución general en una ecuación diferencial es la función que contiene una o más constantes arbitrarias (obtenidas de las sucesivas integraciones).

Ejemplo: solución general Ejemplo: solución general

La función x + y2 = c es la solución de la ecuación diferencial:

Por que derivándola implícitamente tenemos: 1 + 2y ,o expresado en otra forma: 2yy´= -1

Sustituyendo (y) y (y´) obtenemos una identidad 2 donde

Solución Particular: Ecuación DiferencialSolución Particular: Ecuación Diferencial

La solución particular de una ecuación diferencial es la función cuyas constantes arbitrarias toman un valor específico.

Ejemplo: solución parcialEjemplo: solución parcial

La función es la solución particular de la ecuación diferencial , por que derivando la solución y sustituyéndola en la ecuación dada, obtenemos:

Por lo tanto 0=0

Interpretación GeométricaInterpretación Geométrica

La interpretación de una ecuación diferencial es la descripción matemática de la misma para ello se mostrara según su orden, tipo y grado:

Tipo Orden Grado Lineal

Ordinaria 1 1 sí

Parcial 1 1 sí

X2y´´+xy´+y = 0 Ordinaria 2 1 sí

yy´´+x3y = x Ordinaria 2 1 No

(Porque el coeficiente

de y´´ no depende de

x exclusivamente).

y´+ y = x/y Ordinaria 1 1 No

sen y´+ y=0 Ordinaria 1 ? No

Trayectorias Ortogonales Trayectorias Ortogonales

Las trayectorias ortogonales son las curvas que se intersectan formando un ángulo recto.

Para obtener las trayectorias ortogonales de una ecuación diferencial, se toma: m1= , como

m2= -

m2= de la trayectoria ortogonal a la

primera ecuación.

Existencia e unicidad Existencia e unicidad

Al resolver un problema de valor inicial surgen dos asuntos fundamentales:

¿Existe una solución al problema ?, si la hay ¿es única?

Para un problema de valor inicial , en una ecuación, se pregunta lo siguiente:

¿La ecuación diferencial tiene

Existencia soluciones ?

¿Alguna curvas solución pasa por el punto (x0, y0 )?

¿Cuándo podemos estar seguros que hay

Unicidad precisamente una curva solución que pasa por el

punto (x0, y0 )?

Ejemplo: Problema de valor inicial con varias Ejemplo: Problema de valor inicial con varias solucionessoluciones

Ambas funciones y = 0 y y = x4/16 satisfacen la ecuación diferencial dx/dy = xy3/2, y la condición inicial y = 0, de modo que el problema del valor inicial

dx/dy = xy1/2 , y(0)= 0

tiene dos soluciones cuando menos. Como vemos en la figura, la graficas ambas funciones pasan por el mismo punto, (0, 0)

Campo direccionalCampo direccional

La terna (x, y, y´) determina la dirección de una recta que pasa por el punto (x, y). El conjunto de los segmentos de estas rectas es la representación geométrica del campo direccional.

Se puede resolver una ecuación diferencial trazando el campo direccional, en donde, para cada curva de la familia de solución, la tangente en cada uno de sus puntos tiene la misma dirección que el campo en ese punto.

Referencias Referencias

• http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/funciones.htm#VARIABLES DEPENDIENTES.

 

BibliografíasBibliografías

Ecuaciones Diferenciales, con aplicaciones al modelado

Dennis G. Zill

6ª edición;1997

Ed. Thomson

Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones

Dennis G. Zill

3ª edición; 1986

Ed. Grupo Editorial Iberoamérica

Ecuaciones Diferenciales

Isabel Carmona Jover

4ª edición; 1992

Ed. PEARSON , Addison Wesley Logman

URL: http://books.google.com.mx/books?id=fKAZmeIP0bAC&pg=PA23&dq=Que+es+el+grado+en+una+ecuacion+diferenciales&c

GlosarioGlosario

Variables dependientes.- Son aquellas variables que como su nombre lo indica, dependen del valor que toma las otras variables Por ejemplo: f(x)= x, y o f(x) es la variable dependiente ya que esta sujeta a los valores que se le subministre a x.

Variable Independiente.- Es aquella variable que no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo anterior la x es la variable independiente ya que la y es la que depende de los valores de x.