centro de educaciórt continua
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centro de educaciórt continua división
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de ingeníería, unam
A LOS ASISTENTES A LOS CURSOS DEL CENTRO DE EDUCACION. CONTINUA
~a& autoridades de la Facultad de Ingenie~ia, por conducto dal ~eie del Centro de Educación Continua., otorgan una constancia de asistencia a -guianes cumplan con los requisitos establecidos para cada curse. Las personas que deseen que aparezca su tftulo profesional precediendo a -su nombre en la constanciai deberán entregar copia del mismo o de su -cédula a más· tardar el· SEGID-100 DIA de clases, en las oficinas del Centr1) con la señorita encargada de inscripciones.
El control de asistencia se llevará a cabo a t.ravés de lra persona encar gada de entregar las notas del curso. Las inasistencias serán computa= das por las autoridades del·Centro, con el fin de entregarle constancia solamente a los al~~os que tengan un mfnimo del 80% de asistencia.
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Se recomienda a los asistentes participar activamente con sus 'ideas y experiencias, pues los cursos que 'J·frece el Centro están planeados para que los profesores expongan una tesis, pero sobre todo, para que coordi nen las opiniones de todos los interesados constituyendo verdaderos se= minarios.
Es muy importante que todos los asistentes llenen y entregen su hoj~ -de inscripc~6n al inicio del curso. Las personas comisionadas por alguna insti tuci6n del;:>erán pasar a inscribi:.:-se: en las oficinas del Centro tm la misma forma que los demás asistentes, entregando E:!l .:Jficio :cespe~ t~_vo.
Con objeto de mejorar los servicios que el Cr:!ntro de Educaci6n ContülUa ofrece, al final del curso se hará una evaluaci6n a tráves de. un cues-tionario disefiado para"emit~r juicios anónimos por parte de los asisten tes.
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UNIVERSIDAD NACIONAL Ai.JTONOMA DE MEXICO FACULTAD DE INGENIERIA
DIVISION DE ESTUDIOS SUPERIORES CEf'ITRO DE EDUCACION CONTINUA
DIRECTORIO GENERAL
REGISTRO DE ASISTENTES Y PROFESORES.
',JGl'-1BRE DEL CURSO: --------~--~-=~---
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RE G • FE D. CAU S • !_ ! l 1 [ ! ! 1 ! ., 1 CE D • PROF • [l[ll 1 1 j 42 51 52 58
TEL. PARTICULAR r 1 1 1 l l ! 1 TEL. OFICINA [ 1 1 1 1 1 ll EXTENSION OIIJ 59 65 66 72 73 76
MARQUE CON UNA CRUZ
ASISTENTE D PROFESOR [] D [] n 80
[~lJJ 1 1 1 1 ! 1 1 1 1 1 ! ! III 1 1 1 1 1 1 1 l 1 ITI 1 1 1 l 8 OO/v11CI LIO PARTICULAR (CALLE. NUMERO Y No. 1 NTERIOR ) . · - 41
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DJ ESTADO 74 75
OJ rrr @J TITULO PROFESIONAL 76 77 ESPECIAL! DAD
G_~l ___ Il 1 1 1 1 1 1 1.1 n 1 1 1 l 1 1-11 ! 1 TT 1 l 1 r 1 D 8 DOMlCI UO DE OFICINA (CALLE, NUMERO Y No. 1 NTERIOR) 41
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INGENIERIA DE SISTEMAS Y APLICACIONES '~
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(Del 4 al 26 ele noviembre de 1977) ir~
~ l1 0~'!la c~:·acléa Tema Profesor
Nov. 4 17 a 21 h EL ENFOQUE DE SISTEMAS M. EN C. LUIS P. M. GRIJALVA
Nov. S 9 a 13 h JERARQUIZACION M. EN C. MARCIAL PORTILLA ROBERTSON
14 a 18 h PROCESAMIENTO DE INFORMACION M. EN C. MARCIAL PORTILLA ROBERTSON
Nov. 11 17 a 21 h MODELADO M. EN C. MAURICIO MIER
Nov. 12 9 a 13 h SIMOLACION M. EN C. MAURICIO MIER
14 a 18 h EVALUACION DE PROYECTOS DR. VICTOR GEREZ GREISER
Nov. 18 17 a 21 h OPTIMIZACION M. EN C. VERONICA CZITROM
Nov. 19 9 a 13 h OPTIMIZACION
14 a 18 h APLICACIONES DR. VICTOR GEREZ GREISER
Nov. 25 17 a 21 h APLICACIONES DR. VICTOR GEREZ GREISER
Nov. 26 9 a 13 h TEORIA DE DECISIONES DR. ]ESUS ACOSTA FLORES
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DE\ ECTORIO DE PROFESOEES DEL CURSO
INGENIERIA DE SISTEMAS Y APLICACIONES
DR. JESUS ACOSTAFLORES Asesor del C. Director de la Dirección General de Ingeniería de Sistemas S.A.H.O.P. Av. Universidad s¡n México 12, D.F. Tel.: 590.30.85
DR. VICTOR GEREZ GREISER Profesor Titular Ingeniería Mecánica y Eléctrica Facultad de Ingeniería . UNAM Tel.: 550.52.15 E. 3746
M. EN C. VERONICA CZITROM Profesora de Matemáticas DESFI, UNAM Tel. : 54 8 • 09. 50
M. EN C. LUIS PABLO MANUEL GRIJALVA LOPEZ Jefe de la Sección de Ingeniería de Control Sección de Ingeniería Mecánica y Eléctrica F:--rcultad de Ingeniería, UNAM Tel.: ·550. 52.15 E. 3751
M. EN C. MAURICIO MIER MUTH Investigador División de Sistemas de Potencia Shakespeare 6-3° México S, D.F. Tel.: 525.64.52
M. EN C. MARCIAL PORTILLA ROBERTSON Jefe de la Sección de Computación Edificio de Ingeniería Mecánica y Eléctrica .Facultad de Ingeniería UNAM Tel.: 550.52.15 E. 3750
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CURSO: INGENIERIA DE SISTEMAS Y APLICACIONES ; ¡
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FECHA: DEL 4 al 26 DE NOVIEMBRE DE 1977. 1 1
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El Enfoque de Sistemas (Grijalva) -----------------------~ Je~arr:.uización (Portilla)
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; Procesamiento de Información (Portilla) .. . _________ __:_ __ ___.: ____ t-------l-----1--- ----- -----
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~ Simulación (Mier) 1 ' '-----------------------------------~------+-------~----
¡ Evaluación de Proyectos (Gerez) ll, 1..-------------------- --!--------+-----1-----1 -------
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! : Modelado (Mier)
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' ¡_(:'1_Etimización (Czitrom)
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___ Aplicaciones (Gerez) --· --~J·-----1
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EVALUACION DEL CURSO
¡--1 ! CONCEPTC
r-1 ' l . , APLICACION INMEDIATA DE LOS CONCEPTOS EXPUESTOS
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! ~CLARIDAD '
CON QUE SE EXPUSIERON LOS 'rEMAS !
! GRADO 1
DE AC'l'UALIZJ.\CION LOGRi\DO CON EL CURSO
1
1 CUMPLIMIENTO DE LOS OBJETIVOS DEL CURSO
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1 1 CONTINUIDAD EN LOS. TE.I\lAS DEL CURSO ' '-i
1
l 6. 1 CALIDAD DE LAS NOT.'I\S DEL CURSO
1 ! 1
DE MOTIVACION LOGRADO CON EL CURSO ' 7 • l GRADO 1
1...
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ESCALA DE EVALUACION DE 1 A 10 .
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EVALUl-'>.CION
. 1
.
1. ¿Qué le pareció el ambiente del Centro de Educación Continuai
Muy agradable O Agradable o·- Desagradable c=J
2. Medio de comunicación por el que .se enteró del curso:
Periódico Exc.5lsior O
Ca 1· te 1 mensual o
Periódico Novedades O
Radio Universidad D
Folleto del Curso · D Comunicación O carta,telGfo no,verbal,etc.
3. ~:eJio de transporte utilizado para venir al Palacio de Minería:
Autort\ÓVil O part1cular
Metro 0 Otro medio 0
4. ¿qu~ cambios haría usted en el programa para tratar de pcrfecci~ nar el curso?
S. ¿Recomendaría el curso a otras personas? ~o O
6. ¿Qué curso le gustaría que ofreciera el Centro de Educación Conti nua?
7. ¿Qué servicios ~esearfa que. tuviese el CEC para los asistentes a .cursos?
8. Otras sugestiones:
centro de educación continua división
f a_c u 1 t a d
de
_de
estudios superiores
ingenierfa, un a m
INGENIERIA DE SISTEMAS APLICADO A IA PIANEACION Y ADMINISTRACION
PROBLEMA DEL INVENTARIO
DR. VICTOR GEREZ GREISER
NOVIEMBRE DE 1977.
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INGENIERIA DE SISTEMAS APLICADO A LA PLANEACION Y ADMINISTRACION
PR~CION LINEAL Y OPTD1IZACION
M. EN C. VERONICA CZITROM
NOVIEMBRE DE 1977.
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facultad
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estudios superiores
ingenierra, unam
INGENiltRIA DE SISTEMAS APLICADO A LA PLANEACION Y ADMINISTRACION
OPTIMIZACION DEL NIVEL D~ EMPLEO
DR. VICTOR GEREZ GREIS,ER
NOVIEMBRE DE 1977.
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M. EN C. JORGE RIVERA B~NITEZ
PALACIO DE MINERIA Tacuba 5, Primer piso. México 1, D. F.
TELEFONDS: 513-27-95 512·31-23_ 521-73 ·35
1 NTRODUCCION
l. VARIABLES ALEATORIAS
2. FUNCIONES DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD
2.1 Funciones de densidad de probabilidad discretas: uniforme, binomial, Poisson
2 .2 Funciones de densidad de prababil idad contrnuos: uniforme, exponen~ cial, normal.
3. VALOR ESPERADO.
4. GENERACION DE VARIABLES ALEATORIAS.
5. METODO DE MONTECARLO.
1 -~ 1
1 NTRODUCCI ON.
FE NOME NOS ALEATORIOS
Los diferentes fenómenos que se presentan en el mundo real, yo sean fTsicos, biológicos,
económicos, socick,gicos, etc., se pueden clasificar dentro de dos grandes grupos: los '
fenómenos determinTsticos y los fenómenos aleatorios * • A este último grupo de fenóm~
nos pertenecen la mayorTo de los fenómenos mencionados.
Un fenómeno determintstico es aquel que se caracterizo por la propiedad de que al reo-
lizarlo bajo condiciones similares se obtienen los mismos resultados. Algunos ejemplos
de fenómenos determinTsticos son:
1. Observar el color de una bolo extroTda de uno que contiene solamente bolas blancas.
Al ocurrir este fenómeno siempre observaremos uno bola blanca.
2. Determinar el resultado de la suma de dos números pares. Por teorTo de los números
sabemos que si sumamos dos números pares, la sumo de ellos es par, por lo tanto el
resultado observado siempre ser6 por cada,vez que realicemos el experimento de su-
mar dos números pares.
A diferencia de los fenómenos determinTsticos, los fenómenos aleatorios se caracterizan
por el hecho de que al realizarlos, bajo condiciones similares, nunca se observa que to-
dos los resultados sean iguales sino solo se advierte una frecuencia de ocurrencia de cado
uno de ellos. A esta frecuencia de ocurrencia se le llama regularidad estodTstica. Se -
acostumbra cuantificar a la regularidad estadrstico -de cado uno de los resultados por un nQ_
mero entre cero y uno, en forma tal que representa la frecuencia de ocurrencia del resul t~
do considerado. Entre los numerosos fenómenos que son fenómenos aleatorios se encuentren o
los siguientes:
*También son llamados fenómei"'.OS al azor, orobobiiTsticos 6 casuales.
1 • Observar lo coro de lo moneda, al tirarlo desde una altura determinada.
En este fenómeno coda vez que tiremos la moneda podemos tener dos posibles re
sultados: águila ó sol.
2. Observar el número obtenido al tirar un dado.
Los resu?ítados posibles son: 1,2,3,4,5,6.
3. Registrar el número de accidentes de tránsito en la intersección de dos avenidas,
entre las 7 y 8 de la mañana. Losposibles resultados se~Tan ~O, 1,2,3, e••
4. Registrar la demanda semanal de un articulo o
5o Observa diariamente el precio de un comestible.
6o Analizar el contenido de niquel en cierto tipo de acero.
7 o El número de cuentas bacterianas en un producto al imcnticio.
8. El número de defectos encontrados en la fabricación de un medidor de presión o
9. Determinar el número de personas que llegan a un cierto servicio como un super
mercado, 6 un aeropuerto, etc.
10. Observar el tiempo de vida de una m6quina, un problema de interés asociado a
este fenómeno aleatorio es determinar el tiempo óptimo para reemplazar la máq~~
na.
PROBABILIDAD.
El estudio de los fenómenos deterministicos se realiza en los propios campos de los que
surgen, asi, si la temperatura de ebullición de una substancia se considera determinis
tico entonces el estudio de la temperatura y de sus implicaciones que tenga será dentf,,
de la fTsica 6 fTsicoquTmica.
El objetivo de la probabilidad es el estudio de los fenómenos aleatorios con el fin de
predecir su comportamiento en un tiempo futuro y asT poder elegir la acción más apr~
piada para hacer frente a las implicaciones que tenga el fenómeno aleatorio bajo es-
tudio, asT por ejemplo, si el fenómeno aleatorio estudiado es el número de per..onos
que arriban a un cierto servicio, nos intereso conocer su comportamiento futuro 6 in-
cluso presente paro después decidir qué número de servidores son necesarios paro ate!::_
der esa demando de servicios. Si el fenómeno aleatorio de interés es observar el por-
centoje de níquel de un envTo de materia previa nos intereso conocer el número de -
muestras que debemos tomar y después tener un criterio poro decidir si este producto
cumple con lo calidad especificado en el contrato de compro-venta.
Entonces con lo ayuda de probabilidad conoceremos el comportamiento del fenómeno
aleatorio pero no los implicaciones del sistcrNI del que forma porte. Por lo tonto en
un sistema complejo en el que est6n involuc.rodos uno 6 varios fenómenos generalmente
aleatorios, el objetivo del analista de sistemas no es solo conocer el fenómeno aleoto-
rios, el objetivo del analista de sistemas no es solo conocer el fi:nómeno aleatorio sino
los impl icociones que tiene al tomar una decisión poro resolver el sistema. Por ejemplo,
considere que el sistema de interés es un sistema de inventarios en el que debemos deci-
di r cuando surtir nuestro al mocén y cuanto ordenar poro que el nivel de i r.ventarios en
el olmoc~n seo tal que minimice los costos de inventarios. En este sistema interviene un
fenómeno determinTstico 6 aleatorio {generalmente aleatorio) que es lo demande, el cual
formo porte del sistema y es un factor importante en lo solución del sistema. Por lo tanto,
el analista de sistema le intereso lo probabilidad solo como uno herramienta poro conocer
los propiedades probobilTsticos de su demando, ¡:.ero su papel pri ncipol ser6 encontrar un
modelo motem6tico que represente su sistfmo dfr inventarios y la solución del
1 J mismo. -
Por P.sta razon uno de los objetivos de estos notas es dot ei conocimiento probabil ls-. '
, 'J '
tico necesario que requiere un analista de sistema en la modelación y en particular -
cuando el modelo elegido es un modelo de simuloción. También se presentaró el mé-
todo de Montecarlo como un método de simulación. de variables aleatorias independie.'2.
tes con una función de probabilidad preespecificada.
Lcr teoria de probabilidad nos presenta medios para representar y conocer un fenómeno
aleatorio. Sin embargo uno vez estudiado las características dt~ fenómeno, y posible~
mente habiendo elegido alguna función de probabilidad que proporciono lo frecuencia
de ocurrencia de cado uno de los posibles resultados, ser6 necesario estimar los paró--
metros de lo función de probabilidad elegida. Este problema de estimación corresponde
al campo de la EstodTsti co.
ESTADISTICA ..
En general la estadistica se divide en dos ramas : la estadfstica descriptivo y la inferen~
cia estadístico. La estadística descriptiva comprende técnicas de agrupación, represen-
tación y calculo de ciertos medidas de interés de un conjunto de datos obtenidos al obser
var un fenómeno aleatorio. Algunas medidas b6sicasson la medio, variancia, Etc.
La inferencia estodTstico proporciona técnicas que en base o un conjunfo de -
datos experimentales proporcionan las características desconocidas de un fenómeno aleoto-
rio. Algunos problemas concernientes, a la inferencia estadTstico son : estimaci6n de pnro
metros de lo función de distribución c¡ue sigue un fen6meno r.rleotorio, pruebas de hip¡.Jíe:::::,
regresión, an6lisis de variancio, control de calidad, Etc.
1
l. VARIABLES ALEATORIAS
DEFINICION 1.1 El espacio muestra de un fenómeno aleatorio, es el
conjunto de todos los posibles resultados que se pueden obtener
al realizar el fenómeno. El espacio muestra se indicará por n . Otra notación que se acostumbra usar para el espacio muestra es S.
Los resultados, o sea los elementos de n , se indicarán por w.
EJEMPLOS.
l. Si el fenómeno aleatorio consiste en tirar una moneda desde u~
na altura determinada, entonces los posibles resultados son a~
guila (que será abreviada por a) y sol (abreviados) r ie.,
{} = ~ W : W =a, S ~ = { a 1 S }
2. Si observamos el número obtenido al tirar un dado entonces su
espacio muestra es
n ={w: "'=1,2,3,4,5,6}
3. Si el fenómeno aleatorio consiste en observar el número de a
ccidentes de transito en la intersección de dos avenidas du
rante las 7 y 8 de la mañana entonces
n = { w : w =O, 1, 2, 3, .•. }
4. El espacio muestra correspondiente a la demanda semanal de un
artículo podría ser
n ={w: w =O, 1, 2, 3, ••• }
o en caso de que la región tuviera 1000 habitantes, el espacio
muestra sería
n = {w: w=O,l,2,3, ••• ,1000}
S~ Para el precio de un artículo determinado, el espacio muestra
seria
n = { w:
n = { w:
w es un nl:mero real positivo o c~ro}
w ~o}
6. Si observamos el tiempo de vida de una máquina, éste podria
ser cualquier numero real positivo, ie.,
n = { w : ú) ~o } El posible resultado w=O, significa que la máquina estaba defec
tuosa cuando fue adquirida.
'7.
2
Consi.dere el dia<Jrama que muestra dos reactores de etileno y clo-
ro-etileno conectados en serie.
)'
Rl 1
): j R2 r-Suponga que cada reactor puede operar o no operar en un tiempo
determinado, y que el fenómeno ale~torio de interés es observar
las condiciones en que se encuentra el sistema formado por los
reactores en serie.
Defina z1 como una variable que nos representa el estado del
reactor 1, y z 2 otra variable que representa el estado del reac
tor 2. Si definimos Zi ~or
entonces el
y el espacio
o si el reactor i no opera z . = (i=1,2) l.
1 si el reactor i opera
estado del sistema esta dado por el par w=(Z1
,z2),
muestra será
n ={cz 1,z 2>: co,o), co,1), (l,O), c1,1} n ={ <o,o) v co,l), (l,O), (1,1)} fl ={ Wl v w2, W3o ,}}
2 3 4 w =(0,1), w =(1,0) y w =(1,1) son puntos de un
espacio bidimensional.
DEFINICION 1.2 Sea Q el espacio mue~tra de un experimento. Un even
to del experimento, es cualquier subconjunto de n. Los eventqs se
indicarán por letras latinas mayusculas.
NOTA. Se dice que el evento A ocurre si cualquier elemento de A o
curre, ie., si A={1,2,3} es un subconjunto de un espacio rnuest~ra
y al observar un experimento se obtiene w =2, entonces el evento 11. i
ocurre, o sea que para que el evento A ocurra no se necesita que
cada uno de los elementos d~ A o~curra. 1
EJEMPLOS.
l. Para el ejemplo 1 mencionado anteriormente, con n = {avs} , los
subconjuntos
3
A= {a J , B= { S } , D= H
son eventos. El subconjunto A={a} , representa el evento de obtener
un aguila. El subconjunto B={s} , representa el evento de obtener un
sol. El subconjunto C=~, el vacio, representa el evento de que mone
da desaparece o que caiga de canto, o que ruede indefinidamente. El
subconjunto propio D=Q , llamado el evento seguro, representa la se
guridad de que el experimento (o fenómeno aleatorio) se llevo a ca
bo.
2 .• Algunos eventos del ejemplo de \
muestra n = { 1, 2, ••. , 6}, son
A={l,3,5}, B={2,4,6},
la tirada de un dado,con espacio
C={3,4,5,6} : r l
El subconjunto A representa el evento de obtener un número par,
B el evento de obtener un número par, e obtener un número mayor
que dos, etc.
~. Para el sistema de reactores mostrado en el ejemplo 7, defina
los eventos A y B como sigue
A es el evento de que el sistema de reactores opere
B es el evento de que al menos uno de los reactores
opere
Exprese A y B como subconjuntos de U , dando sus elementos. En
cuentre Ac y Be.
SOLUeiON.
A= { (1,1)},
Ac= 1 (0,1), (1,0),
B = {(1,0), (0,1), (1,1)}
(0,0)} representa que el sistema no
funciona, ya que están en serie
representa que ninguno de los
reactores funciona
DEFINierON 1.3 Se dice que dos eventos son mutuamente exclusivos
si no ocurren simultaneamente, ie., si su intersección es el vacio.
EJEMPLO. Sea n={l,2,3,4,5,6} el espacio muestra de la tirada de un
dado. Sea A el evento correspondiente a aquellas tiradas que mues
tren un número menor o igual a 4, se.1 B que muestren un número ma
yor de 3, y sea e el evento equivalente a obtener el número S.Enton
ces,
A= { 1 , 2 1 3 , 4 } , e = { s} Los eventos A y B no son 1nutuamente exclusivos ya que pueden ocu-
4
l '
- .. ~; "
rrir simultóneomente, porque el elemento 4 es común a ambos conjuntos, AílB = { -4} =f ~
Para los eventos A y e, se tiene que Ane = j3, por la tanto son mutuamente exclu-
sivos. By e no son mutuamente exclusivos porque BnC = { 5\ ~ ¡f.
DEFI NICI ON" 1 .4 Se dice que dos eventos elementales wi y w. son igualmente pro-1
bables si se espero que cado uno de ellos ocurra con igual frecuencia cuando se repite
el experimento un gran número de veces l es decir, si existe el mismo número de opor-
tunidades para que ocurro codo uno de ellos.
EJEMPLO. Si n ={a,s} es el espacio muestro el juego de volados, entonces w1 =o y
w2 = s son igualmente probables ya que una moneda solo tiene dos cantos morcados: uno
para óguilo y otro para sol. Por lo tanto, el número de oportunidades para obtener sol -
(6 sea el número de veces que estó acuñado el sol en la moneda) es igual al número de --
oportunidades para obtener óguila.
DEFINICION 1.5 (DEFINieiON CLASJCA DE PROBABILIDAD). Sea n el espacio
muestra de un fenómeno aleatorio que puede ocurrir en n caminos mutuamente exclusivos
e igualmente probables. Si el evento A puede ocurrir en nA de esos n cominos emtonces
la probabilidad del evento A, indicada por P(A), se define por
P(A)= nA
n
EJEMPLOe Seo 11 = { 1,2,3,4,5,6} el espacio muestro en lo tirada de un dado. Si-1 {11
A = { 1 ,3, 5} es el evento de obtener un número par entonces nA = 3 )' n = 6, po lo lo:2.
to P(A) _ 3 1
-6 2
5
Si B = \ 1,4~ entonces
P(B) _ ? _: -6-3-
NOTA. La definición clósica de probabilidad est6 restringida a determinado tipo de
fenómenos aleatorios que reuno las condiciones dadas en la definición. Las desventa
jas que tiene son:
i. Solo se aplica a espacios muestra finitos
ii. Define probabilidad en términos del concepto de eventos elementales igual
mente probables, ie hay una redundancia al definir probabilidad en térmi-
nos de la misma palabra.
iii. Est6 restringida o problemas con eventos elementales igual mente probables.
DEFINICION 1.6 (DEFINICION FRECUENCIAL DE PROBABILIDAD)'. La probabi~
lidad del evento A, se define como el lfmite de la frecuencia relativa del evento A -
cuando el número de veces que se repite el fenómeno tiende a infinito, ie. si fA (N)
es la frecuencia de ocurrencia del evento A cuando el esperimento se repite N veces,
ósea la frecuencia relativa de A es fA (N)/ N, entonces
P(A) = lim - f A(N) N-.oo ~
NOTAS.
1 e La definición frecuencial es también llamada una definición aposteriori, porque
su determinación se hace después de real izado el experimento.
2. Las desventajas de esta definición son:
i) Es difTcil saber cual es el ITmite de esta frecuencia relativa, ya que esta fre-
cuencia es empTrica y no analrtica.
ii) Es necesaria la experimentación para conocer la frecuencia relothta o
6
1 EJ.~~~PLO. Considere el juego de volados en el que deseamos c.Ono'cer la probabi-
lidad de obtener un 6guila. Defina
z = ¡ O si no ocurre óguilo en el N-ésimo volado
N 1 si ocurre óguila en el N -ésimo volado
. ''·
y defina A como el evento de obtener un óguila, A= {a} • Suponga que al tirar 30
veces un volado se obtuvo los resultados siguientes:
Repetición N
ZN fA (N) fA (N)/ N
1 1 1 1/1 2 1 2 2/2 3 o 2 2/3 4 1 3 3/4 5 o 3 3/5 6 o 3 3/6 7 1 4 4/7 8 o 4 4/8 9 o 4 4/9
10 1 5 5/10-11 1 6 6/11 12 o 6 6/12 13 o 6 6/13 14 o 6 6/14 15 1 7 7/15 16 1 8 8/16 17 1 9 9/17 18 1 10 10/18 19 o 10 10/19 20 o 10 10/20 21' o 10 10/21 22 1 11 11/22 23 1 12 12/23 24 1 13 13/24 25 o 13 13/25 26 o 13 ' 13/26 27 1 14 14/27 28 o 15. 15/28. 29 1 16 16/29 30 1 17 17/30
7
Si se traza la frecuencia fA {N)/ N contra N se puede•~ntuir 11 que el ITmite de
fA (N)/ N es 1/2, sin embargo es necesario repetir muchas veces el experimento -
para poder tener una idea a que número tiende esta frecuencia.
DEFINI.CION 1.7 (DEFINICION AXIOMATICA DE PROBABILIDAD). Sea fl un
conjunto arbitrario que representa el espacio muestra de un fenómeno aleatorio. Una
función probabilidad es una función que va de una colección de subconjuntos de íl al
intervalo [ 0,.1] , en forma tal que satisface los siguientes axiomas.
i) P(A) ?O poro codo A de lo colección de subconjuntos de
ii) P{ n ) = 1
iii) P(Al u~ u. e • ) = P(Al) + P(~) + • OG
Si Al, ~, ••• es una colección de subconjuntos de O , mutuamente exd~-
sivos, ie A¡ n A¡ = SfÍ. paro toda i f j.
NOTAS
1. Lo representación de la función de probabilidad, usando lo representación de fun-
ción en teorio de conjuntos, es
(i) / ,~_/
B·-= colecci6n de
Sl.ll:x:onjuntos de O ·
p (A)
o-:-¡
2. El número P(A), asociado al elemento A de tB, es llamado lo probabilidad del
evento A. Este número P(A) debe satisfacer los axiomas de la definición u
\ )
8
TE()REMA 1 .8 Sea n un espacio muestra y P una función de probabilidad asocio':"" - '
da a una colección p de subconjuntos de U • Se afirma:
i) P{A) = 1 - P(AC)
ii) p~ =o iii) Si A ~ B entonces P{A) S P(B)
iv) O :S P{A) ~1 para cada A 6. ~
!v) P {A U B) = P(A) + P(B) - P(Af1 B)
vi) P{A ti. B) = P(A) + P(B) - 2P(AC\ B)
donde A t:. Bes la diferencia simétrica de A y B, la cual se defiRe por
A f::. B = (A-B) U (B-A).
DEMOSTRACION. Ner Mood, Parzen, 6 Hogg dados en las referencias).
la siguiente definición de función solo tiene como objeto recordar conceptos fundament~.
les que serón necesarios para definir variable aleatoria.
DEFI NICI ON 1 • 9 Sean A y B dos conjuntos preespecificados. Si a cada elemento x de
A le est6 asociado uno y solo un elemento y de B, a través de una regla f, entonces se -
dice que fes una función de A a B. Al conjunto A se le llama el dominio de la función
f, y al conjunto B se le llama el contradominio de f. Si a un elemento x de A le corres~
ponde el elemento. Y de B, se dice que y es la imagen de x bajo la reglo f, y se escri-
be y = f{x). El conjunto de todas las im6genes de los elementos de A, se llama el rango de
f y se indica por rng (f), ie.
rng(f) = { y: y = f(x) para alguna x (.A }
NOTAS:
1. Si una función f tiene como dominio al conjunto A y contradominio el conjunto B,
entonces se escribe f: A-B.
2. la representación de una función f, f: A-B, en teorTa de con¡untos es
9
f
EJEMPLO. Si f, f: A- B, es lo función mostrado en lo figuro de abajo, d~ el domi-
nio, el controdominio y el rango de f.
SOLUCION.
dominio de f = {.o, b, e, d }
controdominio de f = { 1, 2, 3, 4, 5}
ronfo de f = rng (f) = { 1 , 2, 4 \
DEFI NICI ON 1 .1 O Se dice que uno función f, f: A-.B, es inyectivo si poro cado por
de elementos xl y x2 del dominio les corresponden distintos ele~entos y1 y Y2 respecti-
vamente, del contradominio, ie f es inyectivo si para todo
x1 f ~ ~ Y1 = f(xl) f Y2 = f(x2)e
EJEMPLO. La función mostrada abajo es inyectiva
f
observe en este ejemplo que:
dom {f) = { ll, b, e, d } = A
contrdom (f) = -: 1,2,3,4,5} = B
r n g (f) = { 1, 2, 4, 5 }
10
EJEMPLO. Lo función siguiente
f
no es inyectivo porque existe un por, o y b, de elementos de A que tienen lo mismo
imagen, ie.,
f(o) = 1 = f(b}
DEFI NICI ON 1 .11. Se dice que uno función f, f: A-B, es suproyectivo si el rango
de f es igual o su controdominio.
EJEMPLOS. Considere los funciones f, f: A- B, y g, g: C- D, mostrados o con
tinuación.
f
g
Se observo que controdom (f) = { 1 , 2, 3 t = B es igual ol r n g (f) = {1, 2, 3 f e Por lo ton
to f es suproyectivo e Poro lo función g, se tiene que
controdom (g) = p, 2, 3, 4}
ll
( es distinto que
r n g (g) = l1, 2, 3 t
Por lo tonto g no es suproyectiva
DEFINICION 1.12 Se dice que uno función f, f: A- B, es biyectivo si es inyec-
tivo y suprayectivo.
NOTA. Si una función es biyectivo también se acostumbro decir que es uno o uno
EJEMPLOS.
1. La función f, f: A_... B,
es biyectivo yo que es inyectiva y suproyectiva.
2. lo función f, f: A- B, con
A = R; B = R, R es el conjunto de números reales
f(x) = .¡2 f(x)
X
no es inyectivo yo que para todo x1 y~ = -.xl tiene que f(x1) = xf) y f(x2) =
~ = (-x1)2 = x~ son iguales. Por lo tonto, no es biyectivoe
3. lo función f, f: A-B, con
A= R, B = R
f(x) = 2x + 4
es inyectivo y suproyectiva. Por lo tonto, es biyectivo.
. '. ,.
' ' '
12
DEFI NICION i1 .13. Seo f, f: A .... B, una función biyectivo dada. La función in-. '
verso de f, indicado por f~l, es uno función cuyo dominio es By su contradominio
A en formo tal que si X es la imagen de y bajo la reglo r·l (ie., X= r·1 (y) ) entona
ces se satisface y = f(x).
NOTAS:
1. Si f: A_::.B; es uno función dado y f-1 es su inverso entonces se escribe f-1: B-+A
2. Para que lo inverso de f se defino es necesario que f seo ~iyectiva.
EJEMPLOS
1 • Sea f la función mostrada abajo.
A f
B
la inverso de f 1 f-1 1
es
A
2 o Sea y = f(x) = x + 3, f: R-+R. Determine su inversa
:X
13
i ' 1 Si y =X+ 3 entonces X= y - 3. Por lo. tanto, la función inversa· r ·, est6 dad~ por
'
X = f-l (y) =y - 3
f-l(y)
y
(lo En la función inversa x = f-1 (y)= y + 3,. los elementos del- cominio. est6n indicados por
y, y los elementos de controdominio por x. Sin embargo, ,debido a la costumbre que
se tiene de indicar a l·os elementos del dominio por x y a los del contradominio por y, -
podemos rebautizar estos elementos en la-función inversa x = f-l (y)= y-+ 3 escribiendo
y = f-l (x) = x + 3. Con esta convención, las gr6ficas de f y f-l, en un mismo sistema
de coordenadas aparece abajo
X
NOTA; Observe que f-1 es 1 a imagen de f con respedo a la lfnea y= x.
14
.1.)~FI NiboN 1.14. Sea Q ·un espacio muestra arbitrario, y sea P ·una fühción de
'Jrobabi 1 idad asociada a una clase de subconjuntos de Q • Una variable aleatorio, -
indicada por X , es una función cuyo dominio es í2 y su controdominio los reales.
NOTAS
1. la variable aleatoria ( v.a.) X , X: O - R, representada en diagrama de-
funciones es
X
x= X (w)
2 o Observe que existe una contradicción entre el nombre de variable aleatoria y su d~
finición, yo que en el nombre se habla de una variable y en su definición se dice -
que es una función. Sin embargo esta ambiguedad se sigue manteniendo por motivos
históricos o
3. Otro observación importante es con respecto a los srmbolos usados paro una variable ,;
aleatoria. La variable aleatoria se indico por letras mayúsculas, por ejemplo X. E~
te srmbolo X debe entenderse como lo reglo que asocia elementos de n con-
elementos de R, de acuerdo con el carócter de función que tiene X. Por lo tonto,
la notación
x = X (w)
Significa que x es el volar que toma lo función X cuando se evolua en el punlo 1.-J.
o que x es la imagen de w bajo lo reglo X. Esta observación se refuerzo con 1 a no
taci6n
X ( o )
15
la cual significa que X es uno función, y que X ( • ) corresponde al valor
que toma la función cuando se evalua en un punto cualquiera del dominio. El
punto que aparece entre paréntesis representa cualquier elemento del dominio,
y es llamado el argumento de la función X.
EJEMPLO • Para el fenómeno de la tirada de una moneda con espacio muestra
Q = { a, S i 1 se podr6 definir la siguiente función.
Otra posible función serTa:
X
l==X (a)
O==X (s)
y
~- ... 10=Y(a)
5 =Y (s:)
DEFINICION 1.15. Se dice que una variable aleatoria X es discreta si los valores
x que puede tomar la función X san discretos, y se dice que es contTnua si los va-
lores que toma san contrnuos.
NOTA: Una definición m6s apropiada de variable aleatoria discreta y contfnua in-
- volucra el concepto de conjuntos finitos, infinitos, denumerables y contables. Es-
' tos conceptos se dan a continuación.
1 • Se dice que un conjunto A es finito si existe un número entero M, M< a1 , tal
que se puede encontrar una función uno a uno entre el conjunto A y el conjunto
{1, 2, •• o, M} , y se dice que A es infinito si A no es finito.
" ~ . . - ,
16
Ejemplos. '
, '-'¡)- ·El conjunto {o, b, e, d l es finito yo que existe un número entero M, M::4~~; <1
,
tal que existe uno función f entre A y { 1,2,3,4f , por ejemplo lo mostrodq en
lo figura
ii) El conjunto A= {2, 4. 6,8, •• : ~ no es finito 'yo que no es posible encontrar un
número M., ·M , tal que existo una función uno a uno entre A y { 1 ,2, ••or M} e
Por lo tanto A es infinito.
iii) El conjunto A= { x: O$ x $1} no es finito o
2 o Se dice que un conjunto A es denumcrable si existe una función uno a uno entre
A y el conjunto N de números naturales, N~{n: n= 1,2,3, ••• ~ •
EJEMPLOS
i) El conjunto A= { x: x= 2,4,6, • eo } es den~merable ya que existe una función f,
t (x) = ~' entre ~·,.Y, N; o seo para:cada x.de A existe un n de 2 \ . 1' ' • ~
- 1 ;, ,.... • ~
función f : · n = x · - '
N, a través de la
' \ ' 2 '1
~ • • J l ,., '
ii) El conj~~to,'A = { x: _o$x $1 ··:11: ' '
t' ,' L
30 Se dice ~e un conjunto A es contable si es finito o es infinito denumerable. Se
die~ que A ~s no cont~ble si es infinito no denumerable. Entonces un conjunto A
puede clasificarse de acuerdo a la siguiente. caracterizaci6n esquemótica:
Finito
Conjunt·o contables Denumerable-
Infinito No denumerable No contable
DEFI NICION l .16. Se di ce que lo variable aleotodo es discreto si rng (X) es
un conjunto contable, y es contTnua si rng (X) es un conjunto no contable.
2. FUNCIONES DE DE NSIOAD DE PROBABILIDAD V FUNCIONES DE DISTRIBUCI ON DE PROBABI LIDAD.
DEFINICION 2 .1. Se dice que fX _(x) es una función de densidad de probabi
lidad discreta de la v .o. X, si
i) f X (x) ~ o poro todo x
co ii)~ f (x) = 1
-,c:-ro X iii) Si A es un evento, entonces
F(A) = l:f (x) xE: A
DEFI NICION 2.2. Se dice que f (x) es una función de densidad de probabilidad
contTnua
i) f (x) ~ o para todo x. X . :
ii)jf~ (x) dx ~ 1 - ' )
-00
. iii). Si A es un evento, entonces
- -~:. ~ (A)'-~'. J f (x) dx . .· ' . •,• e- ~.' :· , •. ··.,. . - X ~A.' ..... ·. "
- • ' ' 1 \ ', ( ~ ' • ..
''
/·, . ' ' ! •,.
' ... ~ ·' ¡ ¡ .- '
DEFINICION 2 .3. La función de distribución de probabilidád. (acumulada) de una ~ ' .. . .. ' ... - ~ :... .. - ~ - ,• !
V .a. X, indicada por F x<x),. se define "por' : ~;: -~>:· .... \~_· .. ~" -~ '·" Fx(x) = P \ X s x 1
NOTAS: 1. Otra notación para FX (x) e~ F(x).
2. Si X es una v.a. discreta entonces X
Fx(x) = L: f (!5) s=-co X
3. Si X es una v .a. contTnua entonces
Fx(x) = Jx f X (S) ds
a=·«>
lf3
3. ESPE!U\1~ZA MATEMATICA O VALOR ESPERADO
D1..li'TtHCION 3.1 Sen X un!:' varif:\ble ;.Jleatoria con funci~n de dennid8d de Drobabilidad fx(x). Se8 u(X) una funci6n de la variable nleator18 X. El valor esperado de u(X), indicado por E[u(X~ , se
define p~r Nl
E [u(X)l = :¿: u(x)fx(x) x=-oo 00
ai X es una variable aleatoria discreta y ai i: u(x)fx(x) X=-00
exiote. Si X ea una variable n leatoria continua entc>nces el valor esperDdo de u(X) se define por
00
E u(X) = J u(x)fx(x)dx
x=-ov siemure y cuando esta integral exiata. NOTi\: Otr~ nombre p~ra valor eepcrndJ es esperanza. matemática o
TEOREr.:A 3. 2 Sea X una variable oleatoriao Se afirme que
1) Si u(X) y v(X) son funcione!"; de h~ vari8ble aleatoriB Xp y si
u(X)= cv(X) donde e es una constante, entonces E [cv(X)] = cE lu(X)]
ii) Si v1(X) y v2(X) son funoiOnP.~ de la. variables aleatoria X, ~ c1 y c2 e~n constantes entonces
E[c1v1 (X) + o2v2 (x)] = c1E[v1 (x)] + c 2E[v2 (X)]
DEr.~os~RACION. Use solo la definict ~a de valor esperado.
INTERPRETACION DE VALOR ESPtlUOO.
A c~ntinuaci6n ee preeenta un ejemplo en el que ee ilustra la interpretación de valor esperado.
19
.EJ~r.;PLO. C:>nsidere un juego do st=~l6n en el que se ~~nen .;8 f:li nl, tirnr unA monede se obtiene un agujla y se pierden ~5 ni. nc oh
tiene sol. Si uno ners.:>na parttcipa. 20 veces en el juego so e!!per~ qno ~b
tcn~n 10 a~ilas y por lo tanto gan~ 10x8:8o pesos, también ee espera que obten~a 10 soles y por lo tanto una ~érdida de
10x5=50 pesoo. P:>r lo t8nto G8n~1ncia total en 20 tiradas = 10x8 + 10 (-5 ):80-50=30
G~n~nci~ eAperada por tirada = 30/20 = 1.5
Si consideremos que la persone p9rt1cipa 50 veces entonces
Gan8ncia esperada'totel en 50 tiradas:25(8)+25(-5)=75 G~n9ncia esperad8 por tireda = 75/50=3/2=le5
Similarmente, si ee participG en N tiradasp ent:>ncee
Ganancia esperada total en N tir3das= (N/2)(8)+(N/2)(~5) Ganancia esperada por tirada = (N/2 )( 8 )+(N/2 )(-5) - 3/2
N
Eete procedimiento intuitivo, ae puede obtener usando el concepto de val;>r eepcrado, si definimos una funci6n u(X) por
( 8 si x=O (=aguila)
u(x) = l -5 ai x=l (=sol)
S~biendo que la función de denaid~d de pr~bebilidad para la tirada de un~ mon~d8 ea
ll/2 ei x=O
fx(x) = 1/2 si x=l
O en otro c~eo De acuerdo a __ le. def1n1c,i6n de valor esperado eP. tiene:
E [u(X)] tO
= ~ u(x)fx(x) = u(O)fx(O) + u(l)fx(l) X=-oo = 8'(1/2) + (-5)(1/2) = 1.5
.. ----
REFERENCIAS
1. Freiberger, W., and-Grenander, U., A SHORT COURSE IN COMPUTATIONAL PROBABILITY ANO STATISTICS, SpringerVerlag, ·1971.
2. Gridgement, N. T., GEOMETRIC PROBABILITY ANO THE NUM BER TT, Scripta Mathematica, 25, p. 183-195, 1960. -
3. Gross, O., and Harris, C. M., FUNOAMENTALS OF QUEVEING THEORY, Wiley, 1974.
4. Harris, R. o., Maggard, M. J., ~nd Lcsoo, W. G., COM PUTERS MOOEL IN OPERATIONS RESEARCH, Harper. and Row:-1974.
5. Hillier, F. S., and Lieberman, G. J., INTROOUCTIONTO OPERATIONS RESEARCH, 2nd. ed., Holden Oay, 1974.
6. Hogg, R. V. , and Craig, A. T., INTROOUCTION TO ~1ATHE MATICAL STATISTICS, MacMillan, 1970. -
7. Kendall, M. G., and Moran, P. A. P., GEOMETRICAL PRO BABILITY, Griffin, 1963, p. 70-71. -
-B. Meier, R. C., Newell, W. T., and Pazer, H. L., SIMULATION IN BUSINESS ANO ECONOMICS, Prentice Hall, 1969.
9. Mood, A. M., Graybill, F. A., and Boes, O. C., INTRO OUCTION TO THE THEORY OF STATISTICS, 3th. ed., Me-Graw Hill, 1974.
lO. Neuts, M., PROBABILITY, Allyn and Bacon, 1973 •
. 11. Parzen, E., MOOERN PROBABILITY THEORY ANO ITS APPLICATIONS, Wiley-Toppan, 1960.
12. Wagner, H. M., PRINCIPLES OF OPERATIONS RESE~~CH, 2nd. ed., Prentice Hall, 1975 •
TADLE 3A ~0'11' FRTQut:l'ITLY ENCOUNTERED DISCilETB P~tODAntun' LAWS WiTH TuriR MOMi!NTS ANO GI:N[ilATINO Fvt:e~;,,~.s
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"' o ., > "" éí t;J :~
~ .... ' . f (X)
{3 -a
·"'""'"' X a {3
1.- Funcion de densidad de probabilidad uniforme de parametros ()j <y (J
f(x)
.. -X
2.- Funcion de densidad de probabilidad gamma de parametros · e • Y r.l 6
..
f(x)
X
3.• Funcion de densidad de probabilidad j-i cuadrada de parametro r
f(x)
CTs:Q .5
1" X
• 4.- Funcion de densidad de probübilidad normal de parametros p., •
f ( t ) J. 1 1 1
1
---r=4
5-Funcion de densidad de probabilidod de student con parGmetro r
f (F) t
6.-Funcion de densidad de probabilidad F con pQrametros r1 y r2
..
626 Simulation
Toble 16.1 Tablc of Random l>tgits'
0%56 966.57 64842 49222 49~()(, 10; ,, 411·1~5 :n~os 1)0410 o.¡¡ xo 24712 .5.5799 (>11857 73479 3l~RI 1 ~ <,' )().1()(, Cl~H-12 720-l4 !}() 11 ~ ;
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.3!1144 87037 46626 71152'1 27'1111 )•li'H 1)HI,fo~ 1 1·1~~ 4VI'IS 7~7H
41!048 .56349 01986 29814 (,'JKtlll 91W'J (l~ 11·1 1~'J .. 'h (¡<J7lll 591·13 41936 S8566 31276 19952 OIJ52 11!!04 99596 0'JJ02 200K7 I'JO(,J 73391 94006 03822 81845 761.511 41lU 405% 14125 27020 17546 5751!0 08954 73554 28698 29022 11 \(,1! 356úK 59906 .!9557 27217 92646 41113 91411 56215 6?302 8MI9 61224 41936 \.56939 271!16 07118 12707 35622 8148.5 73354 49Htl0 60R05 05H8 28898 (,()933 57842 57831 24130 75408 837H4 641117 91620 40!110 06539 703!>7 6.5078 44981 81009 33697 9R1~4 4(.'121! 34198 96032 98426 7741!8 04294 96120 67629 55265 26248 40m2 2.5566 12520 89785 93932 48381 06807 43775 09701! 73199 .53406 02'}10 83292 .59249 ~ 18597 004.59 6204.5 19249 6709.5 22752 241t)6 16?65 91836 00582 46721 38824 81681 33323 64086 .55970 041!49 24819 20749 .51711 86173 91465 22232 02907 01050 07121 5J53ú 71070 26916 47620 01619 50874 00807 77751 739.52 03073 6'1063 16894 8.5570 81746 07.568 26644 75871 15618 .50310 72610 ·M205 82640 8620.5 734.53 90232
' Reproduced with perm1ssion from The Rand Corporation, A M11lion Rcmdom Digits with 100,000 Normal D~viates. Copynght, Thc Free Prc~~. Glcncoc, 111., 19SS, top of p. 182.
bers or not. 1 Basically the rcquircmcnts are lhat cach successive number in the sequence mus! have an equal probabtlaty of taking on any one of thc possible values, and it must' he statistJcally indepcndcnt of the other numbcrs in the sequence. In other words, the numbcrs nccd lo be random obsc::rvations from a (discretized) uniform distribution.
lf a digital computcr is to be uscd for cxccuting thc simulation, the random numbers it needs could be fed into the computcr from onc of lhc availahlc tables. (In fact, thc Rand tablc alrcady is availablc on punchcd cards.) However, it is more common to havc thc compulcr i<sclf gcncratc thc random numbers. There are a numbcr of mcthods for domg this, of which thc most popular are the congruential nlflhods (addJtive, multJplicatJvc, and mixcd). The mixcd congruential mcthod has bccome probably thc most widcly uscd in rccent ycars, so we shall focus on this approach. ·
The mixcd congrucntial mcthod generales a scquence of random numbers by always calculating the noxt random number from thc last one obtaincd, given an initial random numbcr x 0 (callcd thc sceJ), which may be obtaincd from sorne publishcd source such as thc Rand tablc. In particular, il calculates the (n + l)st random number x.+l from the nth random 'number x. by using the recurrence relation
x.+a a (ax. + c)(modulo m),
1 The intcrcsted rcadcr is rcferred to Sclectcd Rcfcrcnces 4 and 6 for a dcscription or th~ icsll aDd for more dctaila about the gcncration or random numbcra.
... . -.
DIRECTORIO DE ASISTENTES AL CURSO DE INGENIERIA DE SIST.EM AS APLICADO A LA PLANEACION Y 1\DMINISTRACION 1977.
- '
ALFREDO F. ACOSTA VUELTIFLOR Av. Centrall70 México 21, D.F. Tel.: 544.32.42.
JOSE MARIO AGUIRRE ORTIZ Multibanco Cornermex, S.A. Uruguay 19-3° México 1, D.F. Tel.: 512.13.53
JUAN MANUEL ANTUNA SANOOV AL PE MEX Marina Nal. 329 México 17, D.F. Tel.: 545. 80.91
LIC. ANGELINA APARICIO RODRIGUEZ SAHOP Dirección General de Planeación Territorial
M. SUSANA AZCONA SANCHEZ PE MEX Av. Marina Na l. 329 México 17, D.F. Tel.! 250. 36. 22
•
JOSE LUIS BERMUDEZ Y MARES Sría. de Comunicaciones y Transportes Dir. Gral. de Planeación Av. Uní. y Xola México 12, D.F. Tel.: 530.10. 28
F. ]A VIER CABALLERO A VILA INFONAVIT Bca. del Mto. 280 México , D.F. Tel.: 524.95.25
EUGENIO G. CACE RES CONTRERAS Centro Regional de Const. Escolares para América Latina y la Región del Cari~ Auditorio Nal. Apartado Postal 41-518 México 10, D.F. Tel.: 520.96. ~o
Edif. Gral. Anaya Depto. 201-A San Juan de Letrán Nte. 470 México 3, D.F. Tel.: 583.30.55
José Ma. Rico 634-204 México 12, D.F. Tel.: 524.16.59
.,
J. Peón Gontreras 17 Cir. Dramaturgos Cda. Satélite, Edo. de Méx. Tel.: 572.25.67
Nigromante 30 México 13, D.F. Tel. : 539 .19. 49
Canal Mira montes 17 44 México 20, D. F • Tel.: 549.71.45
Parroquia 201 Depto. 704 . México 12, D.F. Tel.: 534.45.97
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\ 6 1 TEL : 535. 57. 3 \ \ 1
• 1
VICTOR MANUEL CAMARGO HEREDIA ' Es¿,. Sup. de Ing. Textil ,
l. P. N. Méx~co 14, D.F.
CARLOS CAMPOS ROMERO C. F .. E. Río Ródano 14 México S, D.F. Tel.: 553.71.33
RUBEN ISAAC CARIÑO GARA Y lnst. Nal. de Invest. Agrícolas Arcos de Belem 79 México, D. F. Tel.: 585.60.44 E .176
FRANCISCO CEDILLO SALINAS S. A.R.H. P. de la Reforma 69 México, D.F.
EMILIO CRUZ CRUZ S.A.H.O.P. Tepozteco 36-2° México 12, D.F. Tel.: 590.24. 80
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]OSE AQUILINO DE LA FUENTE A. Industria.s Electrónicas ESE, S.A. CPrpio 253 México 4, D.F.
Tel.: 541.69.72 1 ,
FRANCISCO DIAZ ALBORES · l. P. N. . Unidad Profesional Zacatenco Mexico 14, D.F. · Tel. : 7 54 .19. 32 .
ARMANDO DIAZ ESPE]EL Facultad de Ingeniería UNAM Tel.: 550.52.15 E. 3751
Av. Fdo. A milpa 105 México 14, D.F. Tel. : 7 81. 03 . 80
Hamburgo 269 -11 México 6, D.F. Tel.: 511.68.31
Playa Revolcadero 325-5 México 13, D.F. Tel. : 579. 43 ,_3.3
Sacaverry 1060-203 México 14, u. F. Tel.: 535.98.22
~ Tajín 325-41 México 12, D. F.
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Adolfo Prieto 221 México 12, D.F. Tel.: 564 .lO. 88
Bosques de Oyaneles 90 Bosques de las Lomas México 10, D. F.
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And~dor 8 # 1-2 Acueducto Guadalupe México, D.F. Tel.: 392.46.74 ·
Calz. Tacuba ya 117 México 11, D.F. Tel.: 515.70.55
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MARIO DIAZ OTERO S. A. R.H. Reforma 109 -10° México 1, D.F.
ALFONSO F. ENRIQUEZ CANALES Teléfonos de México Sullivan 199 México, D.F. Tel.: 592.06. 61
lNG. JOSE JAIME ENRIQUEZ FELIX Universidad Tecnológica de México, A.C. Av. Marina Nal~ 162 México 17. D.F. Tel.: .527.03 .16. E.28
Gi\BRIEL FERNANDEZ JUAREZ Dirección General de Obras Marítimas Insurgentes Sur 465 México, D.F. Tel.: 564.S7.28
JAVIER FRANCO LOPEZ ICATEC, S. A. González de Casio. 24-4 o
México 12, D.F. Tel.: 53S. 85.60
]OSE GUERRERO G. Cía Minera Autlán, S.A. Mariano Esco.bedo SJ0-4° México S, D.F. Tel.: 250.19.77
ANTONIO HERNANDEZ. Pacífico S17- D 204 IVléxico 21, ·D.F. Tel.: 57 S. 82.24
HUGO HERNANDEZ REYES Motares Perkins, S. A. . Antiguo Camino a San Lorenzo s¡n Toluca, Edo. de México Tel. : 4 . 44. SS
MARTIN HIDALGO WONG S. A.R.H. Reforma 69-10° México l, D.F. Tel.: 566.17.91
Holbein 138 Depto. 11 México 18, D. F. Tel.: 563.18.88
Norte 56 # 3616-4 México 12, DF. Tel.: 517.01.42
Amsterdam 28S -103 México 11, D.F. Tel.: 584.37.53
Altata 57 Int. 3 México 11, D. F. Tel.: 515. 25.70
Mar. de Irlanda 52 México 17, D.F. Tel. : 527. 81. 30
Pujili 21-9 México 14, D.F. Tel.: 754.17.53
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l \ dARLOS ENRIQUE IEIARRA CABALLERO Romero S. Hnos, S. A. 7 Nte. 356 \ Tehuacán,Pue. Te l. : 2 . 15 . 80 1
' í JOSE L. JARDINES MORENO S.A.R.H. ~ Reforma 69 : México, D.F. Tel. : 592.39.82 y 546.34.36
ANDRES LIZANDO AMADOR MAR TINEZ Cía. Minera Autlán Mariano Escobedo 510-4 o
México, D. F . Tel.: 250.19.77 E.l85
CARLOS JULIAN LOPEZ LOPEZ S.A.R.H. Reforma 35 Piso 11 México 1, D.F. Tel.: 591.03. 83
ALEJANDRO LOPEZ PEREZ Sistema de Transporte Colectivo Delicias 67 México, D. F. Tel.: 585.67.55
GOILLERMO MACIAS GARCIA VELAZQUEZ C. Nal. Coordinadora de Puertos cuernavaca 5 México, D.F. Tel.: 553.87.11
JUAN' CARLOS MEDINA BRAVO Romero S. Hermanos, S.S. 7 Norte No. 356 Tehuacán, Pue. Tel. : 2 .15 . 80
1' JOSE LUIS MIMIAGA RODRIGUEZ S. A. R.H. P. De la Reforma 69 México, D.F. Tel.: 535.98.22
BERNARDO OBA YA CAPISTRAN ICATEC, S.A. González de Cosio 24-4 o
México 12, D.F. Tel.: 535. 86.60 E. 31
7 Nte. S/N Apdo. Postal 236 ·. ,, Tehuacán, Pue. Tel.: 2.23.89
Plateros 110 Plaza 7 3 -102 México 19, D.F. Tel. : 651. 25. 06
=4=
Troncoso y Francisco del Paso México 9, D.F. Tel. : 552. 21. 45
Fundidora de Monterrey 354 México 14, D.F. Tel.: 577.41. 65
Hortensias 9 México, D.F.
S Sur No. 304 Tehuacán, Pue. · Tel.: 2. 23.42
Marquez Sterling 17-12 México l, D:F. Tel.: 510. 39. 22
Tecualiapan 54-204 México 21, D.F. Tel.: 554.56.04
--GUSTAVO 11. OLGUIN GARCIA Comisión de Operación y Fomento de Actividades Académicas l. P. N. Tres Guerras 27 México 1, DF. Tel.: 585.07.06
RICARDO OSORNO SALDAÑA ICATEC, S.A. González de Cosio 24-4 o
. México 12, D.F. Tel.: 535.86.60 E.31
SERGIO PEREZ SANCHEZ Cía. de Luz y Fza. del Centro, S. A. n1elchor Ocampo 171 México 17, D. F. Tel.: 546.11.55
FRANCISCO PINEDA GONZALEZ Ferrocarriles Nal. de Méx. Edlf. Pte. 2° Estación B. Vista México 3, D.F. Tel.: 547.52.40 E.6377
LUIS JO A QUIN POOT A Y ALA Dir. Gral. de Planeación Territorial insurgentes Sur 1443 México, D.F. Tel.: 563. 80.76
ING. LUIS RAGGI CARDENAS Desarrollo de Infraestructura, S.A. de C. V. Culiacán 108-3° México 11, D.F. Tel.: 564. 85.00
CARLOS IGNACIO RIVAS PALACIOS Dir. Gral. de Mejoramiento Profesional del Magisterio f' S. E. P. Arcos de Belén Esq. Balderas México, D.F. Tel.: 585.79.77
GERAROO RODRIGUEZ ALONSO PEMEX Marina Nal. 329
FRANCISCO ROMERO LUNA S. A. R. H .. Av. San Bernabe 549 México 20, ~).F. Tel.: 595.24a55
1
Madrid 35-3 México 6, D.F. Tel.: 566. 85.47
Sanchez Asc::ma 1616-103 México, D.F .
Río Poo 54 México 5, D. F. Tel. : 525 .14. 24
Agustín Leyva 15 Circ. Escultores Satélite, Edo. de Méx.
Dr. Vértiz 757-27 México 12, D.F.
Av. Universidad 1815-102 Méxic9 20, D.F. Tel.: 548.01.40
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Copa de Oro 42
Av. Cuauhtémoc S83~10 México 12, D.F. Tel : 543.63.60
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GUSTAVO L. ROSADO ROMERO '
Motores Perkins, S. A. Rio Churubusco 461 Camino Antiguo a Sn. Lorenzo México 13, D.F.
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Toluca, Edo. de Méx. Tel.: 670.16.79
GABRIEL EDUARDO RUIZ LEZAMA Cía. Constructora LCA, S.A. Leon Cavallo 249-5 B. California 255 B Desp. 703 México 14, D.F. México, D. F. Tel.: 537. 29.97 Tel.: 574.70.62
ANTONIO ALEJANDRO SANCHEZ MORENO Motores Perkins S. A. Huizache 19 Antiguo Camino a San Lorenzo Col. Iztacalco Toluca, Edo. de Mex. Tel. 4. 44. 55
JESUS ALBERTO SALAZAR LIZARRAGA l. P. N. Av. Inst. Téc. lndus. 204 Peluqueros y Orfebreria México 17, D.F. México 2, D. F. TEL.: 547.71.91 Tel. 526.73.73
]OSE MARIA SALCEDO LOREDO S.A.R. H. Nte. 67 # 4789-18 Reforma 69 -10 México, DF. México l, D.F. Tel.: 566.17.91
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, Tel.: 519.18.81
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Cumbres de Maltrata 385 México 12, D.F. Tel.: 590.22.91
Cumbres de Maltrata 385 México 12, D.F. Tel.: 590.22.91
José Ma. Correa 199 México 8, D.F. Tel. : 519.79. 65
California 19 B 203 México 21, D. F.' Tel.: 549 .l6. 98
Médanos 37 México, D.F. Tel.: 593. OS·. 51
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