CENS Nº 3-508 EMMA CARTELONE DE ZUCCARDI

Cartilla de diagnóstico

MATEMÁTICA

Alumno: …………………………………….

Curso: 3º año

Año: 2020

Aula Anexo: Santa Blanca

Profesora: Daniela Santoni

UN POCO DE HISTORIA.

La historia de los números.

El hombre desde principios de la evolución siempre utilizó recursos para facilitar su relación con el medio que lo rodea. Desde la era primitiva el hombre siempre buscó respuestas a sus inquietudes.

Al comienzo el hombre sólo era capaz de distinguir entre una cosa o muchas, durante el proceso de hominización, a medida que aumenta su capacidad de abstracción, aprende a contar. Es así como surgen los números naturales (representados por N) debido a la necesidad que tenían los hombres de contar su ganado, los miembros de su familia, los bienes que intercambiaban con otras personas, contabilizar objetos, controlar el paso del tiempo, etc.

Inicialmente no utilizában la notación indo – arábiga (la que actualmente utilizamos) sino representaban las cantidades, con marcas en los árboles, con un montón de piedras, ramas, nudos en sogas, etc. Los recursos que utilizaban dependían de la cultura donde estaban ubicados.

Pero los números naturales no fueron suficientes cuando se requirió fijar una referencia. Es el caso de

la temperatura ambiente o los tratos comerciales. Por ejemplo las deudas no se puede representar con

un número natural, además el frío y el calor deben medirse en relación con algo. Hay que inventar una

referencia: el número cero.

Es decir, con el desarrollo del comercio, surgió un problema adicional. Imaginemos que alguien tiene

una deuda de 5 monedas, y ninguna moneda en su bolsillo. ¿Cuántas monedas debe ganar para

cubrir su deuda y poder decir que tiene 0 monedas?, pues evidentemente 5. Es decir, la cantidad de

monedas inicial estaba 5 unidades por debajo de 0. En términos modernos diríamos que el deudor

tiene -5 monedas, pero -5 no es un número natural. Hace falta, pues ampliar el conjunto de los

números naturales para incluir números negativos. Éste nuevo conjunto se conoce como el de los

números enteros, representado por Z. Nótese que el conjunto de los enteros contiene al de los

naturales, cosa que era de esperar, ya que su propósito es ampliarlo.

Los números enteros pueden aplicarse

en distintos contextos, como la

representación de deudas,

profundidades bajo el nivel del mar,

temperaturas bajo cero, entre otros.

Inicialmente el primer campo de

aplicación fue la contabilidad donde los

números negativos significaban deudas y

los positivos haberes poseídos.

Luego surgió la necesidad de medir longitudes, áreas, tiempo, pesos y todo otro tipo de medidas. Al enfrentarse a esto en la vida cotidiana, pronto descubrieron que no eran suficientes los números existentes.

Uno de los problemas que tienen los números que hemos visto hasta ahora es que no existe la posibilidad de hacer fracciones. Esto también crea problemas de tipo comercial, como por ejemplo: ¿de qué manera reparto 7 quesos entre 2 personas? Es necesario pues, ampliar una vez más nuestro conjunto de números para que tenga en cuenta números fraccionarios. Éste conjunto se conoce como el de los números racionales, a los cuales se los denota con la letra Q, que viene de la palabra anglosajona “Quociente” traducción de cociente, y que sirve para recogerlos como subgrupo dentro de los números reales.

Por lo tanto, podemos decir que llama número racional a todo aquel que puede ser expresado como cociente (división) entre dos números enteros, es decir, como fracción.

A estas alturas, uno pensaría que ya hemos terminado… pero aún quedan sorpresas. Hay números que, curiosamente, no se pueden expresar como una fracción de números enteros, y por tanto no son números racionales. El primer número de éste tipo del que se tiene constancia es √2, , la hipotenusa de un cuadrilátero de lado 1, estudiado ya por la escuela pitagórica. Otros ejemplos importantes son Π, e y el número áureo. El conjunto que contiene a éstos y a todos los anteriores se conoce como el de los números reales, representado por R.

Increíblemente, aún no hemos concluido de ampliar. Hacia 1545, Gerolamo Cardano propuso la existencia de un número de su invención, llamado i, que cumplía la

extraordinaria cualidad de ser la raíz cuadrada de -1. Lo bautizó como unidad imaginaria. Luego, la unión de los números reales con los imaginarios da origen a los números complejos denotados por C.

Actividades:

1) Luego de leer el texto: “Historia de los números” responde las siguientes preguntas: a. ¿Cuáles fueron los primeros números que surgieron? ¿Para qué sirven dichos números?

¿Cómo los representamos? b. ¿Cuáles son los números enteros? ¿Cómo los representamos? c. Nombrar ejemplos de la vida cotidiana en donde utilizamos el conjunto de los números enteros. d. ¿A qué se llama número racional? ¿Cómo los representamos? e. Nombrar ejemplos de la vida cotidiana en donde utilizamos el conjunto de los números

racionales. f. ¿Cuándo un número es irracional? ¿Cómo los representamos?

2) Con ayuda de tu profesora realiza un diagrama de Venn del conjunto de los números reales. 3) Indicar verdadero ( V ) o falso ( F ).

a) 6 є Q f)

є Z

b) -4 є N g) √ є Q

c) -3,24 > -3,22 h)

є N

d) - 0, ̅ є N i) √ є C

e) √ є I j)

є Q

ECUACIONES.

Desde la época de los faraones, uno de los objetivos de la matemática que ha permanecido invariable es la solución de problemas en los que no se conoce alguna cantidad.

Para resolverlos, muchas veces se trabaja con igualdades a partir de un enunciado dado en lenguaje coloquial, exige el conocimiento de un lenguaje simbólico adecuado que, si bien es propio de la matemática, es aplicado por muchas otras ciencias y disciplinas.

Estas igualdades reciben el nombre de ecuaciones. En ellas los datos que se desean averiguar, incógnitas, se suelen representar con letras.

La resolución de ecuaciones ha sido un tema que apasionó a los matemáticos desde los principios de la historia. Pero hoy utilizan ecuaciones, en lo cotidiano, los chicos que necesitan calcular cuantas rifas deben vender para cubrir algún gasto originado por su viaje de egresados; los comerciantes, que deben conocer a cuanto deben vender su mercadería para obtener una cierta ganancia; en el campo de las ciencias, los antropólogos, para determinar la antigüedad de un resto fósil encontrado; los físicos, cuando calculan el tiempo necesario para que una sustancia radiactiva reduzca su actividad a determinados niveles; los astrónomos, para predecir la llegada de algún cometa…

¿Qué es el lenguaje coloquial y el lenguaje simbólico?

El lenguaje coloquial es aquel que nos permite expresar ideas utilizando nuestro idioma, de manera

oral o escrita.

El lenguaje simbólico nos permite “traducir” a símbolos al lenguaje coloquial. Por ello, para resolver

problemas, es necesario conocer cómo expresar de esta forma lo descrito en un enunciado escrito. De

este modo se obtienen letras, símbolos matemáticos y números; expuestos de tal forma que nos

permiten hallar los resultados deseados.

El lenguaje de los símbolos matemáticos.

LENGUAJE COLOQUIAL

SUMA RESTA MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN POTENCIACIÓN RADICACIÓN SIGNOS DE AGRUPACIÓN

IGUAL

La suma entre Aumentado/a Se le suma Se le agrega

La diferencia entre Disminuido/a Se le resta Se le quita

El producto entre Se lo/a multiplica

El doble

El triple

El cuádruplo

El cociente entre Se lo/a divide

La mitad

La tercera parte

La cuarta parte

Se lo/a eleva

El cuadrado

El cubo

La 4º potencia

La raíz

cuadrada

La raíz cúbica

La raíz cuarta

Al resultado

Se obtiene

Es igual a

Da por resultado

+ - · : ( )n n

(); [];{}

=

LENGUAJE SIMBÓLICO

Actividades:

4) Completa el siguiente cuadro:

5) Unir con flechas según corresponda.

x-5

A un número le quitamos cinco x²+y²

El doble de un número 2x+3

El cuadrado de un número 4x

El quíntuplo de un número 2x

La suma de un número y su cuadrado x²

El doble del siguiente de un número x+ x²

La suma entre el doble de un número y tres 2.(x+1)

5x

Veamos un ejemplo: ¿Cuál es el número que aumentado en tres cuartos da por resultado 5 unidades?

¿Cuál es el número? x

Que aumentado +

En tres cuartos

Da por resultado =

5 unidades 5

Rta: el número es

Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico Un número El duplo o el doble de un número El triple de un número La mitad de un número La tercera parte de un número La suma entre un número y seis Un número disminuido en catorce El opuesto de un número El cuadrado de un número El cubo de un número La raíz cuadrada de un número

La raíz cúbica de un número El anterior de un número o el antecesor El siguiente de un número, el consecutivo o sucesor.

Actividades:

6) Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones:

a) 6x + 30 – 5x = 25

b) x – 4 – 3x = -10 + 6

c) 3x + 2x = 8x – 15

d) -3x + 9 = - 3 + 2x – 8

e) 6.( x + 5) – 5x = 25

f) 2.(x – 4) = 4x + 2

g) 3.(3 – x) + 9 = 2.(x – 4) + 6

h)

i)

j) 2. (x + 3) =

7) Plantea y resuelve los siguientes problemas:

a) ¿Cuál es el número que aumentado en 5 es igual al doble de 6?

b) El doble de un número disminuido en 6 es igual al número aumentado en 7. ¿Cuál es el

número?

c) Calcula tres números consecutivos cuya suma sea 51.

d) En la rifa que se hizo en la escuela, un quinto de los números fueron comprados por los

alumnos y los 200 restantes por los familiares. ¿Cuántos números compraron los alumnos?

e) Un ciclista recorre un trayecto en 3 etapas: en la primera etapa recorre la tercera parte del total,

en la segunda la cuarta parte y en la tercera 60 km ¿Cuál es la longitud del trayecto?

f) Una señora gasta la cuarta parte del dinero que lleva, en la peluquería, y luego dos quintos del

resto en la perfumería. Si le quedan aún $135 ¿Cuánto dinero tenía antes de salir?

REPRESENTACIÓN DE PUNTOS EN EL PLANO.

Para identificar un punto P del plano se utilizan sus coordenadas

cartesianas que se anotan en forma de par ordenado así:

Actividades:

8) Escribe las coordenadas de los vértices que se indican en la estrella.

9) Ubicar los siguientes puntos en un sistema de ejes cartesianos:

A (-4;2) B (3; -1) C (-2;-6) D (4; 6)

P (1;5) Q (1;-5) R (-1;-5) S (-1;5)

10) Completa el siguiente cuadro:

Los datos se pueden presentar de una manera simple y ordenada por medio de las tablas de

valores y de gráficos. En algunas ocasiones, es posible encontrar también una fórmula que

demuestre la relación algebraica entre los datos.

INTERPRETACIÓN DE GRÁFICOS.

Responder las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es la temperatura a las 12h? ¿Y a las 5h?

b) ¿A qué hora el termómetro marco 0° C?

c) ¿Cuál fue la temperatura mínima registrada? ¿A qué hora?

d) ¿A qué hora se registró la temperatura máxima? ¿Cuál fue su valor?

e) ¿En qué momento del día se registraron temperaturas por debajo de los 0°C?

f) ¿Qué sucedió entre las 14h y 15h?

g) Escribe las coordenadas correspondientes a:

Temperatura mínima:

Temperatura máxima:

Dos puntos con la misma temperatura:

Actividades:

11) Analicemos las siguientes situaciones:

El servidor de internet “Más rápido que un rayo” está tratando de mejorar sus ganancias. Para

esto reveló la cantidad de usuarios conectados a lo largo del día, de forma de ofrecerles un

aumento del ancho de banda utilizada en cierta franja horaria. Analiza el siguiente gráfico y

responde.

Usuarios

Tiempo (h)

a) ¿En qué franja horaria se encuentra conectada la menor cantidad de usuarios?

b) A las 20 h, ¿cuántos usuarios están conectados?

c) ¿En qué intervalos de tiempo los usuarios conectados aumentan? ¿En cuáles disminuyen?

Juan reparte diarios con una camioneta. El siguiente grafico muestra la distancia en cuadras a la

que se encontraba del kiosco cuando salió a hacer algunas entregas, en función del tiempo.

a) ¿A qué distancia del kiosco se

encontraba en el momento que salió?

b) ¿A qué distancia del kiosco se encontraba a los 5 minutos de haber salido?

c) ¿Cuántas paradas hizo en su recorrido?

d) ¿Qué distancia recorrió en total?

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

NOCIÓN DE FUNCIÓN.

Las funciones se utilizan para representar gran cantidad de fenómenos naturales y sociales.

Establecen la relación entre dos variables o magnitudes.

Sus gráficos ofrecen mucha información de forma condensada y pueden encontrarse en diarios y

revistas acompañando todo tipo de noticias. También emplean funciones las grandes empresas para

mostrar datos de interés para quienes utilizan sus productos.

Por ejemplo, si el monto a pagar de celular depende de la cantidad de mensajes de texto enviados,

entonces:

Cantidad de mensajes variable independiente: se representa en el eje x o eje de

abscisas.

Precio a pagar variable dependiente: se representa en el eje y o eje de ordenadas.

Distintas formas de representar una función.

Una función es una relación entre dos variables, de manera que una depende de

la otra.

IMPORTANTE:

Una función es una relación que asocia a cada valor de la variable

independiente (x) un y un solo valor de la variable dependiente (y)

Por lo tanto, para que sea función la relación entre dos variables debe

contener:

Existencia: Para todo valor de x exista un valor de y.

Unicidad: Para cada valor de x, exista un y solo un valor de y.

Tabla de valores. Diagrama

cartesiano.

Ecuación o

fórmula.

FUNCIÓN AFÍN

La función Afín, es una función, cuya expresión analítica es:

y = a.x + b con a y b números reales.

Los números reales “a” y “b” se denominan coeficientes. Los términos de la fórmula de la función

reciben los siguientes nombres:

“ax” se denomina término lineal

“b” se denomina término independiente

La representación gráfica de una función afín es una recta. La inclinación de dicha recta está dada

por la pendiente a y la ordenada en el origen es b (intersección con el eje y, (0,b)).

Sí “a” es positiva le recta es creciente.

Sí “a” es negativa la recta es decreciente.

= ax + b

Pendiente ordenada al origen

Actividad:

12) Indicar cuáles de las siguientes funciones son funciones afines. ¿Cómo te das cuenta?

a.

b.

c.

d.

e. √ f. √

g. h. i.

Gráfico de una recta, dada su pendiente y ordenada al origen

¿Existirá una manera más rápida de graficar una función afín sin tener que utilizar una tabla de

valores?

La respuesta es sí. Para ello se necesita conocer la pendiente y el punto que tiene como ordenada a

la ordenada al origen de una función afín.

Analicemos un ejemplo juntos:

a) Ejemplo : Graficar la

función

La ordenada al origen es b= 1, por lo tanto la recta

interceptará al eje “y” en el punto de coordenadas

(0; 1). Se marca dicho punto.

La pendiente es

, significa que por cada 3

unidades de medida que aumenta “x”, la variable “y”

aumenta 2 unidades de medida, entonces, desde el

punto (0; 1) avanzamos 3 unidades de medida en el

sentido positivo de las “x” y 2 unidades de media en el sentido positivo de las “y”. Allí

marcamos otro punto. En este caso el punto de coordenadas (3; 3)

Como una recta queda definida por medio de dos puntos entonces trazamos la recta que pasa

por los dos puntos que marcamos y queda representada la recta.

Ahora te proponemos que grafiques la siguiente función:

Graficar la función

La ordenada al origen de la función es ………… Por lo tanto, el punto en el cual la recta intersecta al eje “y”

es ……………..

La pendiente es…….….., significa que por cada……….unidades de medida que…………………..….. “x”, la

variable “y” disminuye………………………..unidades de medida.

Actividades:

13) Completa el siguiente cuadro y luego grafica cada una de las funciones afines:

Fórmula de una función

afín

Pendiente Ordenada al

origen

Clasificación (creciente, decreciente o

constante)

2

14) Analiza la siguiente situación:

“En una dietética venden cereal azucarado suelto a $21 el kilo.”

a) ¿Qué expresión matemática lo representa?

b) ¿De qué tipo de función se trata?

c) Grafica la función en un par de ejes coordenados con las escalas que creas conveniente para cada

eje coordenado.