cartas de heisler y diferencias finitas

CARTAS DE HEISLER Y DIFERENCIAS FINITAS

CARTAS DE HEISLER Y DIFERENCIAS FINITASUniversidad de Córdoba – Sede Berástegui.

Luis carlos Altamiranda SanchezCarlos Albeiro Salazar Vergara

Gustavo Andres Ramirez OviedoRafael David Rangel Terraza

Roberto Jose Yances Acevedo

OBJETIVOS

Conocer el alcance y las limitaciones que ofrecen las cartas de Heisler en la solución de problemas de transferencia de calor por conducción en estado transitorio.

RESUMEN

En ésta práctica se observó el proceso de transferencia de calor por convección natural, utilizando una probeta de arena con una temperatura inicial uniforme que es expuesta a un medio con una temperatura diferente, desarrollándose un gradiente de temperatura a lo largo de la transferencia de calor que evolucionó con el tiempo. Para este experimento se utilizó una probeta de arena, tres termómetros digitales, una mufla, un cronómetro y un pie de rey.Con los datos obtenidos se calculó el número de Fourier, el número adimensional de temperatura y se graficó cada una de estas entre sí y entre la temperatura con el fin de ver su comportamiento en comparación con las cartas de Heisler, el cual dio muy parecidas en tan sólo un tramo de la gráfica de éstas.Palabras Claves: Cartas de Heisler, Diferencias Finitas, Propiedades Térmicas de la Arena, Convección Natural.

ABSTRACT In practice it was observed the process of heat transfer by natural convection, using a sand specimen with a uniform initial temperature is exposed to a medium with a different temperature to develop a temperature gradient along the heat transfer evolved over time. For this experiment we used a sand specimen, three digital thermometers, a furnace, a stopwatch and a caliper.

With the data we calculated the number of Fourier, the dimensionless number is plotted temperature and each of these among themselves and between the temperature in order to see their behavior as compared with the Heisler charts, which gave very similar only a portion of the graph of these.

Keywords: Letters of Heisler, Finite Differences, Thermal Properties of the Sand, Natural Convection.

LABORATORIO DE TRANSFERENCIA DE CALORPágina 1


INTRODUCCIÓN

La convección es una de las tres formas de transferencia de calor y se caracteriza porque se produce por intermedio de un fluido (aire, agua) que transporta el calor entre zonas con diferentes temperaturas. La convección se produce únicamente por medio de materiales fluidos. Éstos, al calentarse, aumentan de volumen y, por lo tanto, disminuyen su densidad y ascienden desplazando el fluido que se encuentra en la parte superior y que está a menor temperatura. Lo que se llama convección en sí, es el transporte de calor por medio de las corrientes ascendente y descendente del fluido.

La transferencia de calor implica el transporte de calor en un volumen y la mezcla de elementos macroscópicos de porciones calientes y frías de un gas o un líquido. Se incluye también el intercambio de energía entre una superficie sólida y un fluido o por medio de una bomba, un ventilador u otro dispositivo mecánico (convección mecánica o asistida).

En la transferencia de calor libre o natural en la cual un fluido es más caliente o más frío y en contacto con una superficie sólida, causa una circulación debido a las diferencias de densidades que resultan del gradiente de temperaturas en el fluido.

La transferencia de calor por convección se expresa con la Ley del Enfriamiento de Newton:

Donde h es el coeficiente de convección (ó coeficiente de película), As es el área del cuerpo en contacto con el fluido, Ts es la temperatura en la superficie del cuerpo y es la temperatura del fluido lejos del cuerpo. (Wikipedia, 2006).

En 1947, M. P. Heisler presentó los diagramas de temperatura transitoria para una pared plana grande, un cilindro largo y una esfera y se llama diagrama de Heisler. H. Grober las complementó en 1961 con los diagramas de transferencia de calor en régimen transitorio. Existen tres diagramas asociados con cada figura geométrica: la primera es para determinar la temperatura To en el centro de la configuración en un instante dado t. la segunda es para determinar la temperatura en otros lugares en el mismo instante, en términos de To. La tercera es para determinar la cantidad total de transferencia de calor hasta el instante t. éstas gráficas son validas para τ > 0.2.

Nótese el caso 1/Bi = k/hL = 0 corresponde a h → ∞, lo cual corresponde al caso de temperatura superficial T∞ especificada. Es decir, el caso en el que las superficies se llevan súbitamente a la temperatura T∞ en t = 0, y mantenerse en T∞ en todo momento puede manejarse al hacer que h tienda al infinito.

La temperatura del cuerpo cambia de la temperatura inicial Ti a la de los alrededores T∞ al final del



proceso transitorio de conducción de calor. Por tanto, la cantidad máxima de calor que un cuerpo puede ganar o perder es sencillamente el cambio en el contenido de energía del cuerpo.

Entonces, el uso de los diagramas de Heisler queda limitado a las condiciones especificadas, el cual el cuerpo está inicialmente a una temperatura uniforme, la temperatura del medio que lo circunda y el coeficiente de transferencia de calor por convección son constantes y uniformes y no hay generación de energía en dicho cuerpo. (Cengel, 1996).

MATERIALES Y MÉTODOS

La práctica se realizó en las instalaciones del laboratorio de operaciones unitarias de la Universidad Pontificia Bolivariana, sede Medellín, con una temperatura promedio de 21ºC. para este experimento se empleó el método de transferencia de calor por convección natural, éste se fundamenta en la perdida de calor por acción de un gradiente de temperatura provocada una temperatura ambiental mucho menor al cual es expuesto produciendo un equilibrio entre el cuerpo y el exterior. (Cengel, 1996).

En el montaje de la práctica (Figura 1), se emplearon los siguientes materiales:

Mufla. Probeta de Arena. Termómetro Digital. Selector de Temperatura con

6 termocuplas.

Cronómetro. Rectángulo de fibra de vidrio. Pie de Rey.

Figura 1: Montaje de la práctica “cartas de Heisler”.

PROCEDIMIENTO

1. Se calentó previamente la probeta de arena hasta una temperatura aproximada de 100 a 120ºC en una mufla durante 2 horas con un setpoint.

2. Cuando las temperaturas en todos los nodos y puntos de la probeta sean iguales, se realizaron las mediciones de las temperaturas.

3. Se instalaron tres termómetros digitales en tres termocuplas a diferentes distancias, medidas por un pie de rey.

4. luego se midió la temperatura a la cual estaba cada punto de la probeta indicados por lo termómetros, en un lapso de tiempo de cada 5 minutos hasta el enfriamiento.

5. Se anotaron los datos y se tabularon.



CALCULOS Y RESULTADOS

Propiedades Térmicas y Físicas de la Arena

Densidad 1400 Kg/m^3

Cp 795 J/Kg*K

K 0,455 W/m* ºC

α 0,000004085 M^2/sh 10 W/m^2*K

Diámetro 0,1375 MToo 21,4 ºCTi 120 ºCr0 0,06875 M

Tabla 1: Propiedades termofísicas de la arena.

D =0.062m

Lc=0.0155m

mRadio 1 0,00064

Radio 2 0,0254Radio 3 0,0516

Tabla 2: Radios de la Probeta.



Tiempo(s) T1(ºC) T2(ºC) T3(ºC)0 118,9 95,6 81

300 117,9 94,4 77600 116,5 92,6 74900 114,6 90,4 71

1200 112,4 88,2 681500 110,1 85,8 661800 107,6 83,5 632100 104,9 81,3 612400 102,3 79 592700 99,6 76,7 573000 96,8 74,5 56

Tabla 3: Mediciones realizadas durante la práctica.

Temperatura Central

(ºC) Lc (m) Fo

98,5 0,034375 0

96,4333333 1,0371173

6

94,3666667 2,0742347

1

92 3,1113520

7

89,5333333 4,1484694

2

87,3 5,1855867

8

84,7 6,2227041

3

82,4 7,2598214

9

80,1 8,2969388

4

77,7666667 9,3340562

75,7666667 10,371173

6

Tabla 4: Cálculos y resultados de la práctica.

0 0)1 0)2 0)3

0,78194726 0,98884381 0,7525355 0,60446247

0,76098715 0,97870183 0,74036511 0,56389452

0,74002705 0,96450304 0,72210953 0,53346856

0,71602434 0,94523327 0,69979716 0,5030426

0,69100744 0,92292089 0,67748479 0,47261663

0,668357 0,89959432 0,65314402 0,45233266

0,64198783 0,87423935 0,62981744 0,42190669

0,61866126 0,84685598 0,60750507 0,40162272

0,59533469 0,82048682 0,5841785 0,38133874

0,57167005 0,79310345 0,56085193 0,36105477

0,55138607 0,76470588 0,53853955 0,35091278

Tabla 5: Cálculo de los Números a dimensionales de Temperatura

Para la realización de los cálculos se tuvieron en cuenta los siguientes modelos matemáticos:



Tcentral=T1+T2+T32

Lc=Diámetro4

Fo=α∗tLc2

θ0=(Tcentral−T∞ )(T i−T∞ )

θ /θ01=(T 1−T∞ )(T i−T∞ )

θ /θ02=(T 2−T∞ )(T i−T∞ )

θ /θ03=(T 3−T∞ )(T i−T∞ )

Los cálculos se realizaron con Excel y evaluados para cada tiempo.

PREGUNTAS

1. ¿Cuál es la solución aproximada de la ecuación diferencial adimensional que rige el fenómeno de transferencia de calor en la probeta? Detalle los términos que la componen. ¿Cuáles son las condiciones de Bi y Fo para utilizar las cartas?

RTA: El problema de conducción de calor unidimensional en régimen transitorio se puede resolver son más exactitud para

cualquiera de las tres configuraciones geométricas, pero la solución comprende series infinitas, las cuales son difíciles de resolver. Sin embargo, los términos en la solución convergen con rapidez al crecer el tiempo y para Fo>0.2, conservar el primer término y despreciar todos los restantes en la serie conlleva a un error no mayor del 2%. Por consiguiente resulta muy apropiado expresar la solución utilizando la expresión a un término como solución de la ecuación diferencial adimensional que rige el fenómeno de transferencia de calor en la probeta, este sería:

θ(r , t )=(T ( r , t)−T∞ )

(T i−T∞)=A1e

− λ12J 0 ( λ1r /r0 )

Donde las constantes A1 y λ1

dependen de Bi, cuyos valores se encuentran ya tabulados. La función J0 es la función de Bessel de primera clase y de orden cero cuyo valor está en tablas y r el radio del cilindro. Estas relaciones suelen simplificarse para dar las relaciones en el centro de la figura de la siguiente manera:

θ0=(T 0−T∞ )(T i−T∞ )

=A1e− λ

12

Entonces las condiciones para que se puedan usar las cartas de Heisler es que Bi>0.1 y Fo>0.2.(Cengel, 1996).

2. ¿Se pueden utilizar las cartas de Heisler para analizar



probetas con resistencia externa despreciable? Explique.

RTA: El número de Biot es la razón de la resistencia interna de un cuerpo a la conducción de calor con respecto a su resistencia externa a la convección de calor, así:

Bi=Re sistenciaConducciónRe sistenciaConvección

Entonces, si trabajamos con una resistencia externa despreciable, lo cual me indica que es una valor muy pequeño, esto nos daría como resultado un número de Biot muchísimo mayor a 0.1, lo que nos dice que se pueden usar las cartas de Heisler ya que al ser Bi>0.41 se cumple la condición para el usos de éstos diagramas, a pesar de ser menos preciso ya que a medida de que Bi sea mayor los datos son más imprecisos que cuando Bi = 0 ó Bi<0.1. (Cengel, 1996).

3. Grafique 0 vs Fo (Para Fo>0.2). Extrapole hasta 0= 0.001. Compare la curva obtenida con la de la carta de Heisler.

RTA:

y = -0,0235x + 0,8082

R2 = 0,9995

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

La extrapolación es el método más habitual de pronóstico. Se basa en suponer que el curso de los acontecimientos continuará en la misma dirección. Despejando x de la ecuación me daría un punto (Fo) alejado que se intercepta con 0 de 0.001 y debe de seguir la misma tendencia con un decrecimiento. Con esto el valor sería:

Y=−0 .0235 X+0 .8082

X=Y−0 .8082−0 .0235

X=0 .001−0 .8082−0 .0235

X=34 .35

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Como se puede ver la curva mostrada en la imagen es parecida a las curvas de las cartas de Heisler



lo cual nos indica que la probeta experimenta el enfriamiento por convección natural ya que la curva empieza a decrecer a medida que pasa el tiempo.

4. Compare la distribución de temperaturas en el cilindro (0) con las de la carta de Heisler. Como es la variación de (0) con respecto al tiempo para Fo>0.2. Explique que se debe.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Serie2

Serie3

Serie4

RTA: Se observó que las curvas presentan la tendencia que demarcan las curvas de las cartas de Heisler, aunque las mostradas en la anterior ilustración sólo es una trama de la curva completa ya que los datos obtenidos no fueron los suficientes para observar el comportamiento como tal del proceso de transferencia de calor por convección natural.

Esta tendencia que presenta esta gráfica es debido a que inicialmente la probeta estaba a una Ti equivalente aproximadamente a 120ºC, ésta es sujeta a convección de manera natural por toda la superficie de la probeta hacia un medio ambiente a la temperatura T∞, la probeta alcanza ésta

temperatura y es por esto que experimenta un decrecimiento a medida que pasa el tiempo.

5. ¿Detalle las causas de error en los resultados y como afectan estas en la práctica?

RTA: existen varias causas por las cuales se presentaron errores al momento de calcular, estas son:

Se declararon como constantes variables que en realidad dependen de la temperatura como h, k, Cp, entre otros.

Los datos obtenidos están en un lapso corto de tiempo lo cual no nos permite ver el comportamiento en la graficas del proceso, con esto, la comparación de estos con los de las cartas de Heisler se dificulta ya que sólo se tiene un tramo de la trayectoria.

Errores de operarios se evidenciaron en la práctica ya que hubo mucha corriente de aire lo cual causa alteración en el proceso, ya que este debe darse de forma natural.

6. Graficar la curva de enfriamiento Ti vs t para cada



punto de medición i. (Todas las curvas en una misma gráfica).

0

20

40

60

80

100

120

140

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Serie2

Serie3

Serie4

7. Graficar la curva de temperaturas T vs r para 0s, 600s, 1200s, 3600s, 5400s y 7200s. (Todas las curvas en una misma grafica).

0

20

40

60

80

100

120

140

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

ANÁLISIS DE RESULTADOS

De acuerdo a los datos obtenidos se puede notar que no está descrito completamente el comportamiento de la temperatura y demás variables en función del tiempo, lo podemos observar en las graficas, las cuales sólo nos muestra una trama de la curva la cual debería experimentar un leve decrecimiento al pasar del tiempo; esto es debido, a que no se tomaron los suficientes datos de tiempo y temperatura al momento de la realización de la práctica, es decir, no se terminó el proceso de transferencia de calor por convección natural. Esto no nos dice que los datos tomados sean incorrectos, sino que sólo podemos observar la primera parte de la curva, esto lo podemos ver al momento de hacer la comparación con las cartas de Heisler para la figura cilíndrica ya que presenta un decrecimiento leve en la parte superior y en la parte final el decrecimiento es muchísimo mayor. Lo que se observa en nuestras gráficas es el leve decrecimiento mas no lo siguiente que es la caída brusca de la temperatura con respecto al tiempo, lo mismo sucede al comparar el número adimensional de temperatura, el número de Fourier y demás con respecto al tiempo.

El proceso se hizo lento debido a que la probeta fue calentada por encima de los 100ºC, con una temperatura de 120ºC, lo que hizo que el comportamiento observado en las graficas sea menor y sólo se vea esa leve disminución en la temperatura y demás variables con respecto al tiempo.



También se incurrieron en errores y es al declarar variables dependientes de la temperatura como lo son h, k, Cp, Densidad, etc., como constantes, esto hace que los cálculos sean menos precisos y la trayectoria demarcada por la gráfica no sea la esperada. Reiterando que los valores obtenidos sólo nos permite ver un intervalo corto de tiempo y temperatura y esto hace que no se observe el comportamiento como tal, esto lo podemos demostrar al momento de hacer la extrapolación ya que al buscar un valor para Fo con un valor de 0 de 0.001, notamos que decae bruscamente la curva indicando que la probeta y el proceso de transferencia de calor que ocurrió en ella es el indicado y antes estudiado.

CONCLUSIONES

Las cartas de Heisler presentan limitaciones y es en su poca exactitud en los valores que brinda.

Estos diagramas nos permiten evaluar procesos largos y con una gran cantidad de datos como los obtenidos durante la práctica de transferencia de calor por convección natural.

Para poder analizar por medio de las cartas de Heisler un proceso de transferencia de calor por convección natural se necesita que el proceso se de completamente ya que de esta manera el comportamiento en las graficas es el adecuado.

BIBLIOGRAFÍAS

Yunus A. Cengel. Termodinámica, 2ª Edición, Editorial Mc Graw Hill, 1996. 581 Páginas.

[Internet]. URL: http://es.wikipedia.org/wiki/Convecci%C3%B3n. Accedido: [26/11/2009]


http://es.wikipedia.org/wiki/Convecci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Convecci%C3%B3n

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