EXAMEN 1

Por: Mauricio Herrera Duran Gabriel Fernando Calle

Laura soto palacio Liliana Arboleda Piedrahita

Yurany Copete Ruiz

Materia: Transmisión2: Antenas Profesor: Leonardo Betancur

Universidad Pontificia Bolivariana Medellín

2013

Introducción

A lo largo del documento presentado a continuación se ejecuta el análisis y modelamiento

matemático de una antena directiva, de tal modo que se presenta ordenadamente el proceso

de desarrollo. En la primera sección se realizará un estudio geométrico del diseño de la antena

utilizado, en la segunda sección se presentará un análisis del comportamiento de un dipolo

para de este modo hallar un factor de antena que permita modelar matemáticamente como

actúa el reflector (cañón).En la siguiente sección se realizará la simulación del patrón de

radiación en el plano azimutal por medio del software Matlab.

Analizando matemáticamente el diseño planteado se pretende llevar a cabo la elaboración

física de la antena adquiriendo las capacidades necesarias para comprender un modelo teórico

y adaptarlo a la realidad. Se pretende aprender a tomar decisiones según el modelo físico que

logren simplificar las ecuaciones del modelo teórico haciendo aproximaciones válidas según las

características del entorno y fenómenos físicos que intervienen en el diseño planteado.

Modelo teórico de la antena

Se parte inicialmente de condiciones fijas tales como investigar acerca de qué tipo de antenas

son directivas, dentro de ellas encontramos varios modelos directivos de antenas como el

arreglo lineal de dipolos, microstrip, tipo cañón, yagi, entre otros. Además de esto se hizo

necesario estudiar la viabilidad tanto del modelamiento matemático como de los costos y

facilidad de implementación, bajo estos criterios se tomó la decisión de trabajar con una

antena tipo cañón. Esta antena tiene dentro un arreglo de dipolos que permite tener la

libertad de tomar la decisión acerca de cómo ubicarlos dentro del reflector. Se plantea

entonces un diseño en el que el lóbulo que está en la zona donde se desea cobertura sea

reflejado para que haya una interferencia constructiva de manera que el lóbulo principal que

se produce contenga una mayor energía logrando así mayor directividad. Se decide que la

longitud de los dipolos sea de ⁄ debido a que un dipolo de esta longitud genera un patrón de

radiación con el menor número de lóbulos (2), lo que permite que la energía este concentrada

únicamente en estos dos lóbulos, además de esto el diámetro del cilindro varía la directividad,

teniendo así a menor diámetro mayor directividad.

Una vez escogido el tipo de antena a utilizar se debe tomar una decisión acerca de que arreglo

de dipolos se debe elaborar. Inicialmente se pensó en colocar dos dipolos colineales, pero para

esto se requería un cilindro con unas medidas de longitud grandes.

Por esta razón una nueva propuesta surgió colocando el dipolo de la siguiente manera:

Logrando así disminuir la longitud que debe tener el cilindro. En un instante t en el que la

corriente sea máxima se tiene una onda máxima para ambos dipolos, superponiendo estas dos

ondas se tiene que mientras en el dipolo 1 se vería un máximo en el dipolo 2 se vería un valle.

Por esta razón la distancia entre ellos debe ser de ⁄ . En el mismo tiempo t al ubicar

estratégicamente el dipolo logramos un desfase y así una interferencia constructiva. Si la

separación entre los dipolos no fuera de ⁄ sino de se obtendría una gráfica como la

mostrada a continuación. En realidad las ondas no están en contrafase ya que estas se

obtendrán a partir de un splitter, la contrafase viene dada por la forma de ubicación de los

dipolos. Al separarlos se logra que se tenga una sola onda y en lugar de anularse se amplifica la

señal.

Planteamiento de las ecuaciones

Primero se deben encontrar los campos eléctrico y magnético para un dipolo infinitesimal, este

tipo de dipolo tiene la característica de que su longitud es mucho menor que la longitud de

onda de la corriente variable en el tiempo, por lo que el dipolo vera la corriente constante cuya

densidad será igual a la y la densidad de corriente magnética por ser perpendicular a y

al considerar que el diámetro del dipolo infinitesimal es despreciabletendrá un valor de cero.

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 100 200 300 400

dipolo 1

dipolo 2

Fig.1 Dipolo infinitesimal

Para nuestro caso y se encuentran descritas de la siguiente manera:

Inicialmente se debe encontrar el vector de potencial magnético

∫ ( )

∫

( )

Como √ = constante ( )

∫

( )

( )

Fig. 2 Orientación del campo eléctrico

Como la propagación del campo eléctrico obedece a una forma esférica, por facilidad se expresa el vector de potencial magnético en coordenadas esféricas. La matriz de transición para pasar de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas es la siguiente:

[

] [

] [

] ( )

Como y son iguales a cero ya que depende únicamente de la coordenada quedaría:

[

] [

] [

] ( )

Al resolver ; ;

( );

( ) ( );

Se tiene que:

( )

Dónde:

( )

Siendo por tanto .

Ahora

( )

=

[ ( )

]

⌈

( )

⌉

[ ( )

] ( )

Como ; no depende de ϕ:

no depende de ϕ

nos queda:

⌈ ( )

⌉ ( )

[

( )( )

( )]

[

]

[

] ( )

Ahora que ya se ha hallado se puede hacer uso de la siguiente ecuación para hallar a

-

( )

Como ya se había dicho antes la ecuación queda:

( )

Además usando las simplificaciones en campo lejano: y conociendo que

Es posible asumir que:

( )

( )

( )

Donde es la impedancia del medio de propagación.

Teniendo en cuenta lo anterior y recordando que

( )

=0 ( )

= [

] ( )para campo lejano.

Reemplazando uso de ( ) en ( )

( )

La antena dipolo usada para la construcción es de tamaño finito ya que su longitud es

comparable con por tanto el campo electromagnético producido por la antena de tamaño

finito verá el campo producido por el dipolo infinitesimal como un diferencial de campo, esto

dado principalmente a que la antena de tamaño finito se puede ver como un arreglo lineal de

dipolos de tamaño infinitesimal. Luego tenemos:

0( )

[ ( )

] ( )

( )

( )

Como para este caso la longitud de onda es comparable con la longitud del dipolo, la antena

no verá una corriente constante sino más bien una corriente dependiente de la posición.

{

{

( (

))

( (

))

}

⁄

⁄ ( )( )

Sumando las contribuciones de los dipolos infinitesimales la expresión para el campo eléctrico

es:

∫

⁄

⁄

( )

Teniendo en cuenta que para campo lejano se deben tener en cuenta las siguientes

aproximaciones.

Para las fases( )

Para las amplitudes ( )

Por lo que:

[ ( )

(

) ] ( )

( ) ( )

∫ ( )

⁄

⁄

( )

Sacando de la integral los términos que no dependen de

[∫ ( )

⁄

⁄

] ( )

Teniendo en cuenta la distribución de la corriente anteriormente mostrada, el campo

queda:

[∫ [ (

)]

⁄

∫ [ (

)]

⁄

] ( )

Dónde: {

} ( )

De este modo la integral queda:

[∫ ( )

∫ ( )

⁄

⁄

] ( )

Se debe resolver entonces la siguiente integral definida:

∫ ( ) ( )

Cuyasolución es:

∫ ( )

( ) ( ) ( )

Evaluando los límites para cada integral:

∫ ( )

⁄

( ( ) ( )

⁄ ( (

) (

)) ( )

∫ ( )

⁄

⁄

( (

) (

)

( ( ) ( ))) ( )

Para la solución entre ⁄ y el debe ser tomado con el signo positivo y entre y

⁄ el

debe ser tomado con el signo negativo.

Se tiene entonces que:

( ( ) ( )

⁄ (

)

⁄ (

)

⁄ (

)

⁄ (

)

( ) ( )) ( )

Eliminando los términos y haciendo y donde

y ( )

(

⁄ (

)

⁄ (

)

⁄ (

)

⁄ (

) ( ))

Sacando factor común:

( (

)(

⁄

⁄

)

(

)(

⁄

⁄

) ( )) ( )

Tomando en cuenta que

y

( )

( (

)( (

)) (

) (

)

( )) ( )

Sustituyendo:

( )( (

) (

)

(

) (

) (

) ) ( )

Sacando factor común y como ( ) y ( )

( (

) (

)) ( )

( (

) (

)

) ( )

Como en el campo lejano de ( )se cumple que:

Con esto se obtiene que:

[ (

) (

)

] ( )

Factor de arreglo

Factores:

(52)

(53)

(

)

(

)

(54)

Donde es la longitud de onda de resonancia y se tiene según la gráfica que:

(55)

Por tanto:

(

)

( )

( ) ( )

(

)

(

) (

) ( )

Como la antena 2 no está desfasada respecto a ella misma, ya que todos los desfases fueron calculados respecto a esta, el factor de antena quedara finalmente de la siguiente manera:

(

) (

) (

)( ) Encontramos así el valor de para la antena diseñada y esta será:

( (

) (

)

) ( )

Y

[ (

) (

)

] ( )

Calculo de la densidad de potencia

(

) (60)

Al hacer el producto ,se implica directamente que el factor de arreglo total será:

( ) Como es la suma de números complejos, será la suma de cada número complejo conjugado. Esto se puede probar fácilmente suponiendo dos números complejos:

Se debe probar que:

( ) + = ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Puesto que la ecuación 61.a es idénticamente igual a la ecuación 62.b, queda demostrado que

( ) + ( )

Haciendo las siguientes sustituciones en la ecuación 54.a

Se tiene que:

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) Agrupando términos semejantes y haciendo uso de la siguiente propiedad:

( )

Se obtiene entonces que:

( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) ( )

Reemplazando valores, se asume

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

En campo lejano se tiene que , por tanto

(( ) ( ))

(

) (66)

( (

) (

)

) (67)

En el script de matlab llamado “densidad de potencia.m”, se hace el cálculo de la densidad de potencia promedio radiada en el punto correspondiente al paso de región de fresnell a la de

campo lejano:

La densidad de potencia tuvo un valor de:

Calculo de la intensidad de radiación

(68)

( (

) (

)

) (69)

La intensidad de radiación se hallara usando el script de matlab llamado “patronbueno.m”, del cual se obtiene el siguiente patrón de radiación:

Fig.2 Patrón de radiación

El patrón mostrado en Fig.2, proporciona una intensidad de radiación de:

HPBW Del vector normalizado E, entregado por el script “patronbueno.m”, se puede deducir experimentalmente que cuando E=0.5 (caída a la mitad de la máxima intensidad de radiación), el ángulo correspondiente es de , por lo que:

Como se puede observar en Fig.2, el patrón de radiación tiene un lóbulo muy ancho, por lo que el HPBW es relativamente grande. Calculo de potencia de radiación

∯ (70)

∫ ∫

( )

∫ ∫

( (

) (

)

)

(72)

∫

( (

) (

)

) (73)

La solución mostrada en [1] para la anterior ecuación es:

( ) (

)

( )[ (

) ( )]

( )

(

) (

) ( ) (74)

Dónde:

( ) ( ) ( )

( ) ∫

∫

(75)

( ) ∫

(76)

Para reemplazar los valores se tiene que

para efectos de cálculos se aproxima

a 3.1

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) (

) ( ) )

Resistencia de radiación

La resistencia de radiación puede expresarse según las leyes de ohm de la siguiente forma:

{ ( ) (

)

( )[ (

) ( )]

( ) [

(

) (

) ( )]} (77)

La resistencia de entrada puede hallarse asumiendo que en la antena se presentan muy pocas pérdidas por lo cual se tiene la relación:

(78)

Y despejando se tiene:

(79)

En 26 se mostró la forma de la corriente de entrada

(

) (80)

Reemplazando se obtiene:

(

) { ( ) (

)

( )[ (

) ( )]

( ) [ (

) (

) ( )]} (81)

Reemplazando valores tenemos:

(

)=1

Directividad

Debido a que para hallar la directividad se debe resolver una integral extensa y difícil, se opta

por hallar la directividad máxima ofrecida por a antena. Esta es denotada como y para

hallarla se tiene la siguiente expresión:

( )

Para hallar la intensidad de radiación máxima, se debe garantizar en la ecuación 69, lo

siguiente:

( ) (

) (

)

( )

Para hallar el ángulo en el cual se hace máxima ( ) se debe hallar ( ) e igualarla a cero.

( )

(

)

) ( (

) (

))

( )

La ecuación 84, se puede resolver mediante el método numérico de aproximación de raíces

para ecuaciones no lineales de Newton. Al desarrollar el algoritmo y simularlo, se obtiene el

ángulo para el cual la intensidad es máxima.

Al hacer el llamado de la función “newton.m”, “newton(‘def’,60,500,0.001), se obtuvo que el

valor del ángulo para el cual ( )es máxima es

Reemplazando (para que ( ) exista, además en ese valor del angulo la intensidad es

aproximadamente la maxima) en la ecuación 69 y en la ecuación 57, en el script

“patronbueno.m”, se tiene que:

Con el valor de la potencia radiada y la intensidad de radiación máxima se tiene que:

Ganancia

Considerando una eficiencia en el sistema alimentador y en la antena aproximadamente ideal,

se tiene que la ganancia del sistema de antena, es idénticamente igual a la directividad hallada,

por lo que la ganancia G es:

Observaciones y conclusiones

El HPBW en los cálculos arroja un valor en el cual se muestra que la antena no es tan directiva como se esperaba, esto es debido al diámetro del reflector, ya que a mayor diámetro se obtiene una menor directividad.

Se logró hacer un diseño físico a través de un modelo teórico.

Se evidencio como el análisis de una antena compleja se puede simplificar al modelarla como un arreglo de dipolos.

Se mostró como se puede cambiar el patrón de radiación de una antena utilizando métodos de óptica geométrica.

La directividad de esta antena se logró a partir del método de imágenes y resonancias de una cavidad.

En el diseño de la antena se tuvo que tener en cuenta que los cables alimentadores debían ser de la misma longitud para que las señales lograrán llegar en fase.

El tamaño de los dipolos se escogió de ⁄ intencionalmente con el fin de generar el mínimo

número de lóbulos principales y por ende generar una ganancia mas optima.

La distancia entre el primer dipolo y la superficie reflectora del cilindro es de ⁄ , esto con el

fin de lograr que la reflexión lograda en la pared reflectora interfiera constructivamente con la señal incidente.