1Captulo I. Introduccin: Caractersticas de los sistemas macroscpicos, conceptos de probabilidad y estadstica de sistemas de partculas.

Leccin 1Introduccin a la descripcin estadstica de los sistemas de partculas. Fluctuaciones en el equilibrio. Macroestados y microestados.

Leccin 2Equilibrio trmico. Introduccin del concepto de temperatura. Magnitudes tpicas en un sistema macroscpico.

Leccin 4Descripcin estadstica de los sistemas de partculas. Especificacin del estado de un sistema. Niveles energticos. Degeneracin.

Leccin 3Conceptos bsicos de probabilidad. Valores medios. Dispersin y desviacin estndar. Distribuciones continuas de probabilidad.

Leccin 5Clculos de probabilidad. Nmero de estados accesibles.

2Leccin 1Introduccin a la descripcin estadstica de los sistemas de partculas. Fluctuaciones en el equilibrio. Macroestados y microestados.

3Explicar las propiedades de un sistema macroscpico (de muchas partculas) a partir de las leyes que gobiernan el comportamiento de sus constituyentes microscpicos.

La Fsica Estadstica proporciona una substanciacin rigurosa y microscpica de la Termodinmica,

TERMODINMICA FSICA ESTADSTICA

TEORA CINTICA PROCESOS DE TRANSPORTE

Cmo abordar la complejidad?

4Ejemplo: El gas ideal en equilibrio

Termodinmica

Independiente de los modelosRelacin entre magnitudes macroscpicas (P, V, T, n) , p.ej. P V = n R T

Fsica Estadstica

Basada en modelos microscpicos.N molculas (~1023) se mueven y chocan entre s y contra las paredes

Cmo obtener la ecuacin de estado?

5Fsica Estadstica:

N molculas (~1023)Cmo describimos el estado del gas?Cmo describimos la situacin de equilibrio?

El gas ideal en equilibrio

Mismo nmero de molculas en cada celdilla

Pero,... es exactamente el mismo nmero?

La Fsica Estadstica permite tratar algo nuevo: fluctuaciones

Cmo? Con el clculo de probabilidades (estadstica)

A B A B A B

6Cul es la probabilidad de tener una determinada configuracin?

A B

Sean N partculas, en 2 cajas

2N formas de colocar N partculas en 2 cajas(nmero total de configuraciones)

Probabilidad de tener una determinada configuracin:

(partculas distinguibles, numeradas)

NN

n

nCnP2

)(ionesconfiguracdetotaln

Aenpartculastienensequevecesn==

NNP 21

=

p.ej. n molculas en A:

Si el gas est en Condiciones normales: en 1cm3, ~1019 molculas

Nmero de configuraciones posibles

7f6......1e15......2

20

.........

3 4 61 2 531 5 62 3 432 5 61 3 43

2 4 61 3 53

3 5 61 2 43

d

1

4 5 61 2 33...

g......0

1 4 62 3 53

6 31 2 4 546 41 2 3 54

c15

6 51 2 3 4412 3 4 5 65......5

51 2 3 4 65b6

61 2 3 4 55a1-1 2 3 4 5 66

MacroestadoNmero de microestados

BAn en A

A B

N total de microestados = 26 = 64Probabilidad de un macroestado

3125.06420

2=== N

dd

nP

0 1 2 3 4 5 60

5

10

15

20

N

d

e

m

i

c

r

o

e

s

t

a

d

o

s

Macroestado con n partculas en A

N=6

8Definiciones:

Estado microscpico o microestado:Especifica con detalle toda la informacin sobre las molculas del gas,y permite describir con detalle el gas

Estado macroscpico o macroestado:Se puede describir perfectamente el estado del gas diciendo cuntas molculas hay en cada parte del recipiente (en cada celdilla)

Puede haber varios microestados diferentes correspondientes a un mismo macroestado.

Si el macroestado del sistema tiende a no variar en el tiempo, decimos que el sistema est en equilibrio.

El estado de equilibrio es el ms aleatorio, el que tiene ms microestados

9Si un sistema aislado est en una situacin poco aleatoria, variar en el tiempo, aproximndose finalmente a su situacin de mayor azar o equilibrio.

Se dice que un proceso es irreversible si, invertido en el tiempo, es tal que casi nunca ocurre en la realidad

Slo se ve un sentido preferente del tiempo si se parte de una situacin de falta de azar en un instante determinado.

A B A B

10

Ms ejemplos:

A B

Sistemas equivalentes:

11

Enumeracin de los estados del sistema:

A B

C

D E

12

Propiedades de la situacin de equilibrio:

El macroestado de un sistema en equilibrio es independiente del tiempo, excepto en lo que se refiere a las fluctuaciones, que siempre estn presentes. En equilibrio, todos los parmetros macroscpicos del sistema permanecen constantes, salvo fluctuaciones.

El macroestado de un sistema en equilibrio es, exceptuando las fluctuaciones, el macroestado ms desordenado o aleatorio del sistema. Esto implica:

- El macroestado de equilibrio de un sistema es independiente de su tiempo pasado,- El macroestado de equilibrio de un sistema puede especificarse completamente con muy pocos parmetros macroscpicos

13

Probabilidad de observacin de fluctuaciones:

V

Lo ms probable es observar fluctuaciones que se alejen poco del valor medio,

fluctuaciones con

Vs

NVV

n ss =

sss nnn =Fluctuacin de ns:

ss nn

14

Leccin 2Equilibrio trmico. Introduccin del concepto de temperatura. Magnitudes tpicas en un sistema macroscpico.

15

Equilibrio trmico. Calor y temperatura

Puede haber interaccin sin que se produzca trabajo.

Interaccin trmica: se puede transferir energa de un sistema a otro a escala atmica. Esta energa se llama calor.

A A

Ei Ei

A A

Ef Ef

Sistema total aislado

constante=+= EEEtotal

Estado final, en equilibrio: la situacin ms aleatoria

Tenemos dos sistemas:

Conservacin de la energa

16

A A

Ef Ef

Q Etotal distribuida por igual entre todas las molculas de A+A.

NE

NE

==

Si en el estado inicial ii , habr flujo de calor hasta que ff =

if

if

EEEQEEEQ

== Q : calor absorbido por A,

Q : calor absorbido por A

ii =Si en el estado inicial , el sistema permanece en equilibrio y no habr flujo de calor.

Cada sistema se caracteriza por un parmetro, T, relacionado con la energa media por partcula del sistema.

Q +Q = 0

17

Presin de un gas ideal

vmdtF = vm

dAP = dF/dA

Magnitudes tpicas en un sistema macroscpico:

Presin media

Momento medio adquirido por la

pared tras el choque

Nmero medio de choques por unidad de tiempo y de unidad de

rea de la pared= x

vm2p ( )

dtdAdtvdAn 1

61

x=

( )dtvdAnd61

=

Densidad de flujo molecular:cnvmnp 3

231 2

=

2

21

vmc =

18

Recorrido libre medio Distancia media entre colisiones

Volumen barrido por una molcula hasta que se encuentra con otra:

Recorrido libre medio = velocidad media x tiempo medio entre colisiones

Recorrido libre medio :

vm

nD 12 =pi

nDn pi11

2 =

2Dpi =Seccin eficaz de dispersin:

Magnitudes tpicas en un sistema macroscpico:

19

Estimaciones numricas:

acmn

cma

cmamolecularradio

scmvm

Ev

gNm

ergiosn

pE

cmmolculasVNkTpn

molculasPMmNNlitroenmolculasNNdeg

PMgmcmlVKTcmdinaspmolmolculasN

Amolec

AA

A

>>=

==

=

==

==

=====

==

=

52162

8

492

2

231

14

319

222

33

26

23

103110124

10:

/101.5106.22

1065.4/28

100.623

/105.2/

1047.2:128

28142,15.1101,300,/10

/100225.6

pi

1 litro de nitrgeno a presin y temperatura ambiente

20

Leccin 3Conceptos bsicos de probabilidad. Valores medios. Dispersin y desviacin estndar. Distribuciones continuas de probabilidad.

21

Conceptos bsicos de probabilidad:

Conjunto estadstico: sistema en el que se pueden realizar observaciones o experimentos. Si quiero estimar lo que pasar al lanzar una moneda, preparo N monedas idnticas y las lanzo a la vez.

: n () de sistemas equivalentes al sistema Ar : n de sistemas que presentan el resultado r

rrP =

Dado un sistema A, cul es la probabilidad de observar el resultado r ?

Objetivo de la teora estadstica: predecir la probabilidad de que se presente cada uno de los resultados posibles del experimento

Un conjunto estadstico de sistemas es independiente del tiempo si el n de sistemas que presentan un suceso cualquiera es el mismo en todo momento.

Definicin de equilibrio:Un sistema macroscpico est en equilibrio si un conjunto estadstico de dicho sistema es independiente del tiempo.

Descripcin estadstica de un sistema: descripcin expresada en probabilidades.

22

Relaciones entre probabilidades:

Si puede haber resultados diferentes, r = 1,2,3,..., : n total de sistemas, : n de sistemas que presentan el resultado

iiP = =

ii

1=i

iP

)( boaPPP ba =+Probabilidades compuestas, sucesos independientes:

)( byaPPP ba = baab =

Ejemplo: Dados

Pi=1/6

Sacar un 2 o un 3 P2 +P3= 1/3Sacar un 2 y un 3 P2 x P3= 1/36

23

Sistema de N momentos magnticos

Cul es la probabilidad de tener nhacia arriba, y el resto hacia abajo?

CqpnP nNn = )(,.:,.: probqprobp

Nmero de configuraciones de N momentos, con n hacia arriba?

nNn qpnNn

NnP

= )!(!!)(

)!(!!)(

nNnN

nCN

=

Distribucin binmica Teorema del binomio:

=

=+N

n

nNnN qpnNn

Nqp0 )!(!

!)(

10 20 30 40 50

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

2 4 6 8 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

200 400 600 800 1000

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

21)( == qpnvsnP

N=10 N=50 N=1000

24

Ejemplos: Aleaciones binarias A1-x Bx (CuZn, latn)

Es muy general:

Siempre que tenga N sucesos independientes con probabilidad p de ocurrir uno de ellos y 1-p de que no se presente

Cul es la probabilidad de que n dados (de N) muestren un 6?

p=1/6 q=5/6 n=3, N=10

155.065

61

!7!3!10)3(

73

=

=P nNn qp

nNnN

nP

= )!(!!)(

25

Valores medios

Sea una variable u, que puede tomar valores u1, u2, ...u con probabilidades P1, P2, ...P

=

=

1iii u

u =

=

1iii uPu

Y para una funcin: =

=

1)()(

iii ufPuf fccfgfgf =+=+ ,

= =

=

1 1)()()()(

ij

jiij vgufPvgufSi hay dos variables u y v,

Si son estadsticamente independientes:

gfvgPufPvgufj

jji

ii =

=

==

11)()()()(

Ejemplo: Nmero medio de espines hacia arriba

P(n)= 1/16, 4/16, 6/16, 4/16, 1/16 4 espines, 16 conf. posibles

26

Dispersin y desviacin estndar.

Desviacin: uuu 0== uuuuuPero...

Dispersin (o varianza):

siempreuuPuPu ii

iii

i 0)()()( 21

2

1

2 = ==

Desviacin estndar:

[ ] 2/12)( uu

27

Clculo de valores medios en un sistema de espines. Momento magntico total.

NM ++++= ...321 =

=

N

iiM

1

NMMN

ii

N

ii ===

== 11

=

==

+=N

jii

j

N

jij

i

N

iiM

1 11

22 )()()()(

2)( Mdispersin en M?

=

=N

iiMMM

1 ii

))(()()(1 11

22ji

N

jii

N

jij

N

iiM +=

=

==

=0

=

=N

iiM

1

22 )()(

22 )()( iNM =

NMM 1

=

NM =

Dispersin en M:

Desviacin estndar:

28

Clculo de valores medios en un sistema de spines. Momento magntico total.

00 ,: +i ,.:,.: probqprobp

0000 )12()()( ==+= pqpqp

20

2 4)( qp=

02 qpNM =

0)( qpNM = 202 4)( qpNM =

0mM =)12( = pNmqpNm 4)( 2 =

qpNm 2=Ejemplos: P(n) de spines con una simulacin.Ver variacin de la dispersin relativa con N

29

Distribucin de molculas en un gas ideal.

V0 V

N molculas en V0, cuntas hay en V? n ?

Probabilidad de hallar una molcula en V:

0VVp = ?? nn

VVnNnVn = 0en',en

pNqpNmNn

mNn

qpNmpqnnm

=+=+=

+=

=

==

)1(21)(

21

),(21

)(1,'

mmm

mNmNnnn

=+=

=++=

21)(

21

)(21)(

21

22 )(41)( mn =

qpNn = 2)(

qpNn = Nqp

n

n 12/1

=

)12()( == pNqpNm

qpNm 4)( 2 =qpNm 2=

Ejemplos: simulacin de un gas.Variacin de la dispersin relativa con N

30

Distribuciones continuas de probabilidad

Si N es muy grande, y 0uNui

31

Leccin 4Descripcin estadstica de los sistemas de partculas.Especificacin del estado de un sistema. Niveles energticos. Degeneracin.

32

Mecnica estadstica:Teora que combina las consideraciones estadsticas con el conocimiento de las leyes de la mecnica aplicables a las partculas que constituyen el sistema macroscpico.

Qu necesitamos?1. Especificar el estado del sistema2. Tener un conjunto estadstico3. Unos postulados4. Usar el clculo de probabilidades

33

1. Especificacin del estado de un sistemaEl estado microscpico de un sistema puede describirse especificando el estado cuntico particular en que se encuentra el sistema

Ej: sistema de spines: { 1 , 2 , 3 , 4 , ....}

Cada estado cuntico, Es, est asociado a un valor de su energa, el nivel energtico

Si varios estados tienen la misma energa, se llaman estados degenerados

El estado de mnima energa, se llama estado fundamentalLos dems estados, se llaman estados excitados del sistema

34

Lo que importa es el nmero de estados accesibles, no el nmero de niveles de energa

Espn aislado,

N Espines,

Partculas en una caja (1D y 3D)

Sistema de 4 spines

......

20+++-2-

2B0

20-+++1EMS4S3S2S1r

35

2. Conjunto estadstico

Conjunto compuesto por un gran nmero de sistemas equivalentes al que queremos estudiar

Necesitamos: Parmetros externos del sistema. Conocerlos sirve para determinar las energas reales de sus estados cunticos

Estados accesibles: Aquellos estados cunticos en los que puede estar el sistema sin violar ninguna condicin impuesta por la informacin que tenemos sobre l.

Sistema de spines: Estados compatibles con una energa dada, p.ej. -2B.

Objetivo: Cul es la probabilidad de que el sistema est en uno de los estados accesibles?

36

Definicin:Un sistema aislado est en equilibrio si la probabilidad de hallarlo en cada uno de sus estados accesibles es independiente del tiempo.

Y viceversa...Si un sistema aislado se halla con la misma probabilidad en cada uno de sus estados accesibles, estar en equilibrioSi no es as, variar en el tiempo hasta llegar al equilibrio.

3. Postulado: SUPOSICIN FUNDAMENTALPostulado de igualdad de probabilidades a priori:

Si un sistema est en equilibrio, tiene la misma probabilidad de estar en cualquiera de sus g estados cunticos accesibles.

P=1/gLa probabilidad de hallarlo en un ciertomacroestado depende del nmero de estados

37

Leccin 5Clculos de probabilidad. Nmero de estados accesibles. Densidad de estados

38

4. Clculo de probabilidades.

A partir del postulado de igualdad de probabilidades a priori:

= n total de estados accesibles

= n de estados en los que el parmetro y vale yi

Probabilidad de obtener yi :

=i

iP

Valor medio de y : ==

==

n

iii

n

iii yyPy

11

1

Sistema de N espines Cul es la probabilidad de queel primer espn est hacia abajo?

P1=3/4

M= (-3/4) +1/4 = -/2

Cul es el valor medio delmomento magnetico del primerespn?

Qu necesitamos? 1. Especificar el estado del sistema2. Tener un conjunto estadstico3. Unos postulados4. Usar el clculo de probabilidades

39

Cmo se trabaja con un nmero grande de partculas?

Nmero de estados accesibles a un sistema macroscpicoSea un sistema macroscpico con energa E.

Consideramos E, un intervalo de energa que contiene muchos estados cunticos del sistema

Definimos: (E) = n de estados con energa entre E y EEEgEEE )()()( = g (E) = Densidad de estados

40

Ejemplo: Partculas en una caja 3D Una partcula en una caja de lado L, V=L3

Energa:

Usaremos lo visto en Cuntica: Caja de paredes impenetrables, =0 en las paredes.La fc. de onda que satisface la ec. de Schrdinger es:

Para obtener (E) hay que contar estos estados

E+EE

Rnx

ny

nz

positivosenterosnnnnLm

E zyxzyx :),(2 ,,222

2

22

++=pi

La energa se obtiene haciendo que en un lado quepa un nmero entero de veces la mitad de la longitud de onda de de Broglie:

41

2/1

22222

)2(

)2(

mELR

mELnnnR zyx

pi

pi

=

=++=

2/33

3 )2(63

481)( mELRE

=

=

pi

pipi

dEEmVE 2/12/332 )2(4)( pi=

dEdEdEEEE =+= )()()(

Densidad de estados: g (E)

(E) = n de estados hasta E+E menos n de estados hasta E(E) = n de estados con energa menor que E

positivosenterosnnnnLm

E zyxzyx :),(2 ,,222

2

22

++=piEnerga:

E+EE

Rnx

ny

nz

Para obtener (E) hay que contar estos estados

42

El sistema se puede describir en funcin de f nmeros cunticos.

Estos f grados de libertad sern del orden del nmero de elementos del sistema

(E) crece muy rpidamente con E para cualquier sistema macroscpico

dEEmVE 2/12/332 )2(4)( pi=Para una partcula en una caja 3D:

fEEE )()( 0

Ln (E) es independiente de E, Ln (E) f