capÍtulo 8: movimientos en el plano y el espacio · 2017. 12. 17. · en el ejemplo del mapa,...

Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas. 3º B de ESO. Capítulo 8: Movimientos Autoras: Adela Salvador y María Molero

www.apuntesmareaverde.org.es Revisores: Sergio Hernández y Javier Rodrigo

LibrosMareaVerde.tk Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF; María Molero; Adela Salvador; Milagros Latasa

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CAPÍTULO 8: MOVIMIENTOS EN EL PLANO Y EL ESPACIO 1. TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS Muchas decoraciones se hacen repitiendo un motivo. En los mosaicos de la Alhambra, en las rejas, en las puntillas y las grecas, en los rosetones de las iglesias… en todas partes puedes ver diseños hechos mediante otro más sencillo. Al observar un edificio puedes ver que en ocasiones está compuesto por algún trozo que se ha ido desplazando, o girando, o hallando el simétrico. Imagina que estás manipulando un mapa en un móvil con los dos dedos: Puedes desplazarte, girar el mapa, ampliarlo, reducirlo... pero el mapa siempre es básicamente el mismo. Estas manipulaciones son "transformaciones geométricas", porque mantienen las propiedades geométricas más básicas de los objetos: longitudes, ángulos, áreas, volúmenes, o la proporción entre las longitudes, la forma… 1.1. Isometrías En el mosaico del margen todos los cuadrados son iguales y también son iguales todos los triángulos. A las transformaciones geométricas que nos llevan de un cuadrado a otro (o de un triángulo a otro) que mantienen la forma y el tamaño las llamamos isometrías o movimientos. La palabra isometría proviene del griego: Iso = Igual. Metría = Medida. Significa por tanto: Igual medida. En el ejemplo del mapa, siempre que no hagas zoom, estarás usando una isometría. Las isometrías, (movimientos o congruencias) son transformaciones geométricas que conservan ángulos y distancias (aunque no tienen por qué conservar la orientación de los ángulos). Isometrías en el plano son las traslaciones, los giros y las simetrías. Actividades propuestas 1. En tu cuaderno dibuja un triángulo. Cálcalo y copia la figura calcada de nuevo en tu cuaderno. Mide todos los lados de las

figuras homólogas. ¿Miden lo mismo? Mide todos sus ángulos. ¿Miden lo mismo? 2. Dibuja en tu cuaderno una letra B y haz un diseño con ella, trasladándola, girándola o dibujando letras B simétricas. 1.2. Isometrías directas e inversas Actividades resueltas

En la figura del margen observa que una flecha se transforma en la otra mediante la simetría de eje r. El ángulo ABC, ¿es igual al ángulo A’B’C’? Tienen la misma amplitud, que en ambos es de 90º, pero su orientación es distinta. Mientras que ABC gira en el sentido de las agujas del reloj, es decir, tiene sentido negativo, mide 90º, A’B’C’ gira en el sentido contrario a las agujas del reloj, por lo que su sentido es positivo y mide +90º.

Entre las isometrías hay dos tipos de transformaciones, las que conservan los ángulos (su amplitud y su sentido) que se llaman isometrías directas, y las que conservan la amplitud de los ángulos pero cambian su sentido, que se llaman isometrías inversas.

Las traslaciones y los giros en el plano son isometrías directas. Las simetrías son isometrías inversas. Tus manos son simétricas. Son iguales. Pero, ¿las puedes superponer? ¿Y tus pies? La simetría es una isometría

inversa. Imagina el mapa hecho sobre plástico transparente: Si volteas el mapa sobre la mesa, las longitudes y ángulos se

mantienen (es una isometría) pero ahora no podrías colocar la ciudad de Valencia de este nuevo mapa, sobre la ciudad de Valencia del mapa original, por más que lo movieras nunca te podrían coincidir. Es una isometría inversa.

Observación: Unos autores denominan movimientos a las isometrías, y otros estiman que si moviendo las manos nunca vamos a poder superponerlas, las isometrías inversas no deben llamarse movimientos.

Semejanza. Homotecia

Isometrías

A’

B’

A

B

C C’

r




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1.3. Semejanzas Si haces zoom con los dos dedos en el mapa, las longitudes cambian, así que no es una isometría, pero el mapa sigue siendo el mismo: los ángulos y sus sentidos sí que se conservan, y las proporciones entre las medidas también (la calle que era el doble de larga que otra lo sigue siéndolo). Estos cambios de escala se denominan "semejanzas". Las figuras del margen son semejantes. Es la misma imagen sólo que ampliada. Se mantiene la misma proporción en todas las direcciones. Se mantiene la forma, pero no el mismo tamaño. A estas transformaciones las llamamos semejanzas, o si tienen una determinada posición: homotecias. En una semejanza las figuras homólogas tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales.

Cuando haces zoom en una foto con el móvil estás haciendo una homotecia. Al poner los dos dedos sobre la pantalla defines dos puntos: el origen O sería el punto justo entre tus dos dedos y no se moverá al hacer zoom, y el punto P estaría en tu primer dedo. Al mover ese dedo estas definiendo el tercer y último punto P’ y el móvil amplia la foto para que el punto O quede fijo y P se estire hasta P’.

Las homotecias tienen un centro de homotecia, O, y un punto P se transforma por una homotecia en el punto P’ que está en la recta OP, si se verifica que: OP’ = r·OP donde r es un número llamado razón de homotecia. Actividades propuestas 3. En tu cuaderno dibuja una letra b minúscula, y a continuación otra letra b minúscula el doble de grande. ¿Cómo son sus

longitudes y sus ángulos? ¿Es una semejanza? 4. Dibuja ahora una letra d minúscula. ¿Es semejante a la letra b anterior? 1.4. Composición de transformaciones geométricas Ejemplo:

Observa cómo se ha construido este bello mosaico de la Alhambra. Se ha analizado buscando la celda unidad, (un cuadrado formado por cuatro cuadrados) y el motivo mínimo (la mitad de uno de esos cuadrados). En el motivo mínimo, un triángulo rectángulo isósceles, se ha dibujado una sencilla poligonal. Se le han aplicado distintas isometrías: Una simetría de eje la hipotenusa. Al motivo formado por el inicial y su simétrico se le han aplicado cuatro giros de 90º. Se ha vuelto a girar el conjunto. Se ha dado color. Se ha trasladado horizontal y verticalmente. Cuando aplicamos varias transformaciones, estamos componiendo transformaciones geométricas. Actividades propuestas 5. En tu cuaderno marca una trama formada por cuadrados de dos cuadraditos de lado. En un cuadradito haz un garabato,

una poligonal, una línea curva… Dibuja la simétrica tomando como eje de simetría un lado del cuadrado. Dibuja la figura simétrica del conjunto obtenido tomando como ejes siempre los lados de la trama inicial. Colorea la figura obtenida. Trasládala horizontal y verticalmente.

2. TRASLACIONES 2.1. Vectores Si Susana está en su casa y quiere ir a casa de Nadia, que vive 2 calles al Este y 3 calles al Norte, el trayecto que debe hacer es el que en la figura está dibujado en gris. Llamamos “O” a la posición de la casa de Susana, y “A” a la posición de la casa de Nadia. Si Susana tuviera un helicóptero podría ir directamente en línea recta y seguiría la dirección OA. Lo representamos con una flecha y se denomina vector fijo. Un vector fijo OA es un segmento orientado con origen en el punto O y extremo en el punto A. Tiene una dirección, la de la recta, un sentido, desde O hasta A, y una longitud, a la que llamamos módulo. Un vector fijo OA, de origen en O y extremo en el punto A, se caracteriza por: Su módulo, que es la longitud del segmento OA y que se escribe OA. Su dirección, que es la recta que contiene al segmento. Su sentido que va desde el origen O hasta el extremo A. Las coordenadas o componentes de un vector vienen determinadas por su origen y su extremo. Ejemplo:

Si conocemos las coordenadas del punto origen y del punto final podemos calcular las coordenadas del vector. Observa el dibujo del margen y comprueba que si A (2, 3) y B (6, 5) las coordenadas del vector fijo AB son AB = (6 – 2, 5 – 3) = (4, 2).

En general, si A (a, b) y B (c, d) entonces AB = (c – a, d – b) El módulo de un vector se calcula utilizando el Teorema de Pitágoras. Así, el vector de

coordenadas u = (x, y) tiene de módulo: u = 22 yx




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Actividades propuestas 6. Dibuja en tu cuaderno los puntos de coordenadas A (5, 2), B (1, 6) y C (2, 3). Halla las coordenadas de los vectores

fijos AB, AC, BC, CA y CB. Comprueba en tu dibujo que esas son sus coordenadas. 7. El vector fijo AB tiene de coordenadas (4, 2), calcula las coordenadas de su origen A sabiendo que las coordenadas de

su extremo B son (1, 1). Represéntalo gráficamente. 8. Las coordenadas de A son (2, 3) y las del vector fijo AB son (4, 2). Calcula las coordenadas del punto B. Represéntalo

gráficamente. Todos los segmentos orientados o vectores fijos que tienen el mismo módulo, dirección y sentido, tienen las mismas coordenadas, entonces se dice que son el mismo vector libre, y podemos usarlo en diferentes puntos origen. Dos vectores fijos son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido, y por lo tanto tienen las mismas coordenadas. Todos los vectores que son equipolentes se dicen que son un vector libre, y cada uno de sus vectores fijos, un representante del vector. Al vector libre lo identificamos por sus coordenadas. Actividades propuestas 9. Nombra a los vectores fijos de la figura e indica cuáles son representantes de un mismo

vector libre. 10. Dibuja en tu cuaderno cuatro vectores equipolentes al vector fijo con origen en A (3, 4) y

extremo B (5, 0), con orígenes en los puntos C (0, 3), D (5, 2), E(4, 0) y F (2, 5). 11. Dibuja en tu cuaderno los puntos A (2, 2), B (3, 0), C (2, 4), D (6, 2), E (2, 0), F (6, 2) y G (2, 4). Con los vectores

fijos de origen y extremo en dichos puntos, indica cuáles de ellos son equipolentes. 12. Con los puntos del ejercicio anterior, calcula las coordenadas de los vectores fijos DE y FG. ¿Cómo son? ¿Son dos

representantes de un mismo vector libre? Actividades resueltas

El vector fijo OA = u que indica el trayecto de Susana tiene de coordenadas (2, 3). Si luego Susana quiere desplazarse a casa de otra amiga que está a 3 calles al Este y 5 calles al Sur hará un desplazamiento de vector: v = (3, 5). En conjunto Susana ha hecho un desplazamiento que es la suma de los dos desplazamientos anteriores. Finalmente está en el punto:

(2, 3) + (3, 5) = (5, 2). Se encuentra 5 calles al Este y dos calles al Sur de su casa.

Se suman dos vectores, sumando sus componentes: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) Se multiplica un vector por un número, multiplicando sus componentes: r·(a, b) = (r·a, r·b) Actividades propuestas 13. Dibuja en tu cuaderno un sistema de referencia cartesiano y señala en él los puntos de coordenadas: A (4, 5), B (–5, 6) y

C (2, –5). a) Llama u al vector fijo AB e indica sus componentes. b) Llama v al vector fijo BC e indica sus componentes. c) Calcula las componentes del vector w = u + v. d) Representa en tu cuaderno a los vectores libres u y v con origen en el origen de coordenadas y representa también al vector suma w. Observa que está sobre la diagonal del paralelogramo construido sobre u y v.

14. Dibuja en tu cuaderno el punto A (1, 2), dibuja ahora el vector u = (2, 3) con origen en A, y el vector v = (4, 1) también con origen en A. Calcula las coordenadas del vector suma u + v, y dibújalo con origen en A. ¿El resultado coincide con lo que has obtenido gráficamente? Observa que el vector suma es la diagonal de un paralelogramo construido sobre u y v.

15. Efectúa las siguientes operaciones con vectores:

a) )8,4·(2

1

6

5,

3

1·3

b) (5, –9) – [(6, 3) + (–4, –6)]

c) 5·[(–1, 0) – (–2, 3)] + (–3)·[(4, –2) –6·(4, –5)] d) 9’3·(2, 6) + (3’7, 5’2) 16. Efectúa las siguientes operaciones con los vectores u = (–5, 6), v = (4, –7) y w = (3, 4):

a) 2u – (v + w) b) 3w – 2u + v c) 2(u + v) – 3w




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2.2. Traslaciones en el plano Un coche se mueve por la ciudad desde el domicilio del dueño hasta su trabajo, y se ha trasladado 4 calles hacia el norte y 3 calles hacia el este. Es posible conocer una traslación si sabemos el punto de origen A y el de destino B. Estos dos puntos, A y B, determinan el vector de traslación AB. AB es un vector fijo, representante del vector libre u de iguales coordenadas. Para definir una traslación basta conocer su vector de traslación. Si la traslación de vector libre u = AB transforma un punto del plano P en otro P’, entonces AB y PP’ tienen igual módulo, dirección y sentido. Son el mismo vector libre. Tienen las mismas coordenadas. Si con la traslación de vector AB trasladamos el punto P hasta el punto P’ entonces ABP'P es un paralelogramo, y AB = PP’ Para trasladar una figura se trasladan los puntos que la determinan. Como en una traslación todos los puntos se mueven sobre rectas paralelas y una misma distancia, se puede usar la escuadra y el cartabón para trazar las rectas paralelas y trasladar sobre ella algunos puntos de la figura, para lo que se debe medir siempre la misma distancia sobre la recta. Propiedades de las traslaciones Los paralelogramos tienen, como sabes, sus lados iguales dos a dos y paralelos dos a dos. La recta AB es paralela a la recta PP’, y la recta AP es paralela a la recta BP’. Los segmentos AB y PP’ son iguales, lo mismo que AP y BP’. Por este motivo, entre una figura y su trasladada se conservan todas las distancias y todos los ángulos. La traslación es una isometría, un movimiento directo. Identidad: La traslación de vector de traslación nulo, 0 = (0, 0) deja todos los puntos invariantes, es decir, no traslada nada, y se denomina también traslación identidad o simplemente: identidad. Puntos invariantes: Un punto invariante es el que se transforma en sí mismo. Una recta invariante es la que se transforma en ella misma, aunque sus puntos no sean invariantes. Una recta invariante de puntos invariantes es un caso particular de recta invariante en la que cada uno de sus puntos es un punto invariante. ¿Qué puntos deja invariantes una traslación? Observa que salvo la traslación identidad, (que deja todo el plano invariante), una traslación no deja a ningún punto invariante. Actividades propuestas 17. Dibuja en tu cuaderno una figura y utiliza escuadra y cartabón para trasladarla 5 centímetros hacia la derecha. 18. Dibuja en tu cuaderno una figura. (Si no se te ocurre ninguna otra, dibuja la letra G). Coloca encima un papel vegetal y

cálcala. Desplaza en línea recta el papel vegetal y vuelve a calcar la figura. Las dos figuras que has obtenido, ¿tienen todas sus medidas, tanto longitudes como ángulos, iguales? Traza las rectas que unen pares de puntos correspondientes, ¿cómo son esas rectas? ¿Qué trayectoria han seguido los puntos en el desplazamiento? 19. Con ayuda de papel cuadriculado transforma mediante una traslación una recta, una circunferencia, un segmento, un triángulo, dos rectas paralelas y dos rectas perpendiculares. ¿En qué se transforman? Analiza los resultados. 20. Observa este friso de un templo de Camboya. Es una figura que se repite por traslación. ¿Qué dirección tiene el vector de traslación? ¿De dónde a dónde iría?

2.3. Coordenadas Para trabajar con traslaciones puedes utilizar las coordenadas: Actividades resueltas

A los puntos P (7, 1), Q (2, 4) y O (0, 0) se les aplica una traslación de 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia arriba de modo que su vector de traslación es:

AB = (3, 4) Entonces las coordenadas de los puntos trasladados se obtienen sumando a la abscisa del punto que queremos trasladar la abscisa del vector de traslación, y a la ordenada del punto, la ordenada del vector de traslación: Para trasladar P (7, 1) según el vector AB = (3, 4) se calcula 7 + 3 = 4, 1 + 4 = 5, por lo que su punto trasladado es: P' (4, 5). Al trasladar Q (2, 4) se obtiene Q' (–2 + 3, 4 + 4) = (1, 8). Al trasladar O (0, 0) según el vector AB = (3, 4) se obtiene O' (3, 4).

Un friso en Camboya




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Actividades propuestas 21. Utiliza papel cuadriculado y dibuja en tu cuaderno una letra F de 2 cuadraditos de alta y 1 cuadradito de ancha y aplícale

la traslación de vector (2, 5). 22. Dibuja en tu cuaderno unos ejes cartesianos y el triángulo de vértices A (3, 1), B (3, 3) y C (1, 3). Aplícale la traslación de

vector (4, 2): 4 unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba. ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos trasladados A', B' y C'?

2.4. Composición de traslaciones Si trasladas una figura mediante una traslación de vector u, y luego vuelves a trasladarla mediante otra de vector v, puedes comprobar que puedes ir de la primera figura a la última mediante una única traslación. El vector de traslación de esta última traslación puedes obtenerlo sumando los vectores de traslación de las dos primeras: u + v. Actividades resueltas

Trasladamos mediante el vector de traslación AB = (3, 4), y luego mediante el vector de traslación v = (1, 2). La composición de ambas traslaciones es otra traslación de vector de traslación w:

w = AB + v = (3 + 1, 4 2) = (4, 2) Actividades propuestas 23. Las puntillas se diseñan a partir de un motivo que se ha ido trasladando a todo lo

largo. Dibuja en tu cuaderno un motivo, una flor, una V, un zig-zag… y trasládalo componiendo varias traslaciones de un mismo vector de traslación. Has dibujado un friso.

Traslación inversa: Actividades resueltas

Si hemos trasladado una figura 4 unidades hacia la derecha y 3 hacia arriba, ¿cómo debemos trasladarla para que ocupe la posición inicial? Hay que trasladarla con el vector: (4, 3).

Decimos que estas traslaciones son la una inversa de la otra. En general, la traslación inversa de la de vector de traslación v = (a, b) es la traslación de vector:

w = v = (a, b) Actividades propuestas 24. Traslada una figura (por ejemplo una letra L) mediante la traslación de vector (4, 5) y repite el proceso con la figura

trasladada empleando el vector (3, 6). ¿Qué movimiento utilizas para ir de la primera figura a la última? ¿Es una traslación? ¿Cuál es su vector?

25. El mosaico del margen está confeccionado utilizando un motivo mínimo que se desplaza por todo el mosaico. Si utilizas como motivo mínimo la estrella de seis puntas, sin tener en cuenta los cambios de color, determina los vectores de traslación de dos traslaciones, una horizontal y otra vertical, que mediante composiciones te permitan tener el resto del mosaico. Observa que al sumar la traslación horizontal con la vertical obtienes traslaciones oblicuas. Dibuja en tu cuaderno una figura y trasládala de forma similar para tener un mosaico.

2.5. Traslaciones en el espacio Las traslaciones en el espacio tienen las mismas propiedades que las traslaciones en el plano. Imagina un avión que se mueve. El avión se traslada. Una traslación en el espacio, igual que una traslación en el plano, es el movimiento que consiste en deslizar un objeto según una dirección. La traslación está determinada por la distancia que se traslada, la dirección de la recta sobre la que se traslada, y por su sentido. Por tanto: Para determinar una traslación en el espacio basta conocer su vector de traslación. La única diferencia es que ahora el vector de traslación tiene tres componentes: AB = (a, b, c). Ejemplo:

Para trasladar el punto P (2, 4, 1) mediante la traslación de vector AB = (3, 5, 2), simplemente sumamos las coordenadas:

P’ = (2 – 3, 4 + 5, –1 + 2) = (–1, 9, 1). La traslación en el espacio no deja ningún punto invariante. Actividades propuestas 26. En edificación se utilizan mucho las traslaciones. Piensa en las ventanas de un edificio y elige una.

¿Puedes obtener otra distinta mediante traslación? Haz un dibujo que represente esta situación.




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27. En la fachada de esta torre mudéjar de Teruel podemos ver distintas traslaciones. En la parte superior hay dos conjuntos de cuatro ventanitas. Uno es trasladado del otro. Y cada ventanita forma a las otras cuatro mediante una traslación. Al seguir bajando, los dos arcos se trasladan formando otros dos arcos. Observa, en este caso todas las traslaciones tienen un vector de traslación horizontal. Continúa describiendo las traslaciones que ves en el diseño de esta torre.

3. GIROS O ROTACIONES 3.1. Giros en el plano Son las 4 en punto. Si retrasamos el reloj 15 minutos, la manecilla de los minutos ha girado un ángulo de 90º en sentido positivo. Para determinar un giro o rotación es necesario conocer un punto, O, el centro de giro; un ángulo y el sentido de giro de ese ángulo. Existe el acuerdo de considerar positivo (+) al sentido contrario de las agujas de un reloj y sentido negativo () el de las agujas del reloj. Si A' es el punto girado de A, con centro O y ángulo , entonces: OA = OA’ y el

segmento OA forma un ángulo con OA’. Para girar una figura se giran los puntos que la forman. Ejemplo:

Si han pasado 15 minutos la manecilla de los minutos ha girado 90º (90º en sentido negativo), cuando pase media hora habrá girado 180º, y si sólo pasan 10 minutos habrá girado 60º.

Actividades resueltas Para dibujar rotaciones en el cuaderno puedes utilizar un transportador de ángulos y un compás.

Para girar la letra L según un giro de centro C y ángulo 60º, tomamos varios puntos de la figura, en este caso los puntos A, B y C. Con el compás haciendo centro en C trazamos arcos, y sobre ellos, utilizando el transportador, medimos 60º. Obtenemos los puntos B’ y A’.

La nueva letra L mantiene las distancias: BC = B’C y AB = A’B’. También mantiene los ángulos: el ángulo ABC es recto, y el nuevo ángulo A’B’C también es un ángulo recto y con la misma orientación que el anterior. En general: Los giros mantienen las distancias, por lo que son isometrías o movimientos. Mantienen los ángulos y el sentido de los ángulos, por lo que son movimientos directos. Para saber si dos figuras son dos figuras giradas trazamos las mediatrices de los puntos correspondientes y todas ellas deben cortarse en un mismo punto, el centro de giro. Con el trasportador de ángulos podemos entonces medir el ángulo de giro. Actividades resueltas

Trazamos el segmento BB’ y su mediatriz. Trazamos el segmento AA’ y su mediatriz. Ambas mediatrices se cortan en el punto C, que es el centro de giro. El ángulo que forman las mediatrices es de 60º.

Actividades propuestas 28. Dibuja en tu cuaderno un punto O y otro punto distinto A. Gira al punto A con centro en O

un ángulo de 30º en sentido positivo y denomina A’ el punto girado. 29. Dibuja en tu cuaderno un punto O y dos segmentos, uno OA que pase por O, y otro BC que no pase por O. Dibuja los

segmentos girados OA’ y B’C’ del giro de centro O y ángulo 60º. 30. Dibuja en tu cuaderno el triángulo de vértices A (4, 2), B (3, 2) y C (5, 0). Dibuja el triángulo que se obtiene al girarlo con

centro en el origen de coordenadas un ángulo de 90º en sentido positivo. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices A', B' y C' del triángulo girado?

31. Con ayuda de papel cuadriculado, transforma mediante un giro, una recta, una circunferencia, un segmento, un triángulo, dos rectas paralelas y dos rectas perpendiculares. ¿En qué se transforman? Analiza los resultados.

3.2. Composición de giros. Elementos invariantes. Ejemplo:

Si giramos la letra L con centro C, 60º en sentido positivo y luego, también con centro C, 30º en sentido positivo, la figura obtenida está girada respecto a la primera 90º con el mismo centro de giro. En general:

La composición de dos giros del mismo centro es otro giro del mismo centro y de ángulo, la suma de los ángulos de giro.

Si una vez girada nuestra letra L 30º en sentido positivo, la giramos, con el mismo centro de giro, 30º en sentido negativo, ¿qué ocurre? En efecto, hemos vuelto a la posición inicial. Se dicen que son giros inversos y que al componerlos tenemos la identidad, ya que no nos movemos.




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Un giro de centro O y ángulo es el giro inverso al giro del mismo centro O y ángulo . Observa que la composición de giros de distinto centro no es conmutativa, pues depende del orden en que hagamos los giros. Actividades resueltas

Pensemos ahora en qué elementos deja invariantes un giro de centro O y ángulo de giro que no sea 0º ni 180º. ¿Deja alguna recta invariante? ¿Hay alguna recta del plano que no se mueva? No, todas giran. No hay rectas invariantes. ¿Y puntos? ¿Algún punto del plano no se mueve al girar? Si, el centro de giro queda invariante. El centro de giro se transforma en sí mismo.

En un giro de centro O y ángulo distinto de 0º y de 180º, el único elemento invariante es un punto, el centro de giro. Centro de giro: Centro de giro es un punto de una figura plana tal que al girar un cierto ángulo, la figura coincide consigo misma. Observa que el rosetón del centro de este mosaico tiene un centro de giro de 60º. Si lo giramos 60º, vuelve a coincidir. También si lo giramos 120º o 180º o 240º o 300º. 3.3. Simetría central en el plano. Centro de simetría La simetría central de centro O en el plano es un giro de ese centro O y ángulo 180º. En el plano, la simetría central es, por tanto, un movimiento que ya conocemos. Observa que la simetría central es, por tanto, un movimiento directo. Si P' es el simétrico de P en la simetría central de centro de simetría O, entonces, O es el punto medio del segmento PP'. Actividades resueltas

Dos puntos P y P’ son simétricos respecto del origen de coordenadas si tanto sus abscisas como sus ordenadas son opuestas. Así, el simétrico respecto del origen del punto (2, 4) es el punto (2, 4).

Veamos cómo se construye el simétrico, respecto a una simetría central de centro (2, 3), de un polígono: animación. El simétrico del punto A (8, 1) es el punto A’ (4, 5). Has visto que se ha trazado la recta OA. Con centro en O y radio OA se traza una arco de circunferencia que corta a la recta OA en A’. Lo mismo para obtener el simétrico de los otros vértices del polígono. Si los otros vértices son B (12, 7), C (9, 10), D (5, 8) y E (7, 6), ¿cuáles son sus simétricos respecto a la simetría central de centro (2, 3)?

¿Qué elementos deja invariantes una simetría central? Deja invariante el centro de simetría y todas las rectas que pasan por el centro de giro.

Centro de simetría: Un punto O es un centro de simetría de una figura si todo punto de ella tiene como transformado por la simetría central de centro O, otro punto de la figura. La simetría central transforma la figura en ella misma. Ejemplo:

El mosaico de la Alhambra del margen tiene simetría central. El círculo, el cuadrado, el rectángulo tienen centro de simetría, sin embargo, un triángulo

nunca tiene centro de simetría. Los polígonos regulares con un número par de lados tienen centro de simetría. El pentágono regular, no lo tiene.

Actividades resueltas Aplicamos a la letra L un giro de 90º y luego otro giro

también de 90º. La composición de un giro de 90º, con otro del mismo centro y 90º, es un giro de 180º. El punto P primero se transforma en P’ y luego en P’’. Si unimos cada punto de la figura con su transformado por la composición de los dos giros, la recta OP se transforma en la OP’’, que es la misma recta. Los puntos Q, O y Q’’ también están alineados. Las rectas que pasan por el centro de simetría son invariantes. Actividades propuestas 32. Dibuja en tu cuaderno dos puntos cualesquiera P y P’. Encuentra su centro de simetría. 33. ¿Qué ocurre al aplicar un giro de 60º a una figura? ¿Hay rectas invariantes? ¿Y en un giro

de 180º? Las rectas que pasan por el centro de giro, ¿en qué rectas se transforman? ¿Y con un giro de 0º? ¿Y con un giro de 360º?

34. Dibuja un triángulo ABC y su simétrico A’B’C’ respecto un punto O. ¿Cómo son sus lados? ¿Son iguales? ¿Y sus ángulos? ¿Se mantiene el sentido de los ángulos? Comprueba cómo es el ángulo ABC y el ángulo A’B’C’. ¿Es un movimiento directo?

35. Vamos a analizar las letras mayúsculas. Indica cuáles de las siguientes letras no tienen simetría central y cuáles si la tienen, indicando entonces su centro de simetría: B, H, N, O, P, S, T, X, Z. Recuerda, buscas un punto tal que la simetría central de centro ese punto deje invariante a la letra.




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3.4. Giros en el espacio Al abrir o cerrar una puerta, ésta gira, las patillas de las gafas giran, las ruedas de un coche giran... Observa que para determinar un giro en el espacio necesitas, además del ángulo (y su sentido), conocer el eje de giro. Recuerda, en el plano teníamos un centro de giro, un punto, ahora un eje de giro, una recta. Piensa en otros ejemplos cotidianos de giros en el espacio. Cuando giras una puerta, ¿cambia el sentido de sus ángulos? Naturalmente que no. Los giros en el espacio son movimientos directos.

¿Qué puntos se transforman en sí mismos? El giro en el espacio deja invariantes a los puntos del eje de giro.

Eje de giro: Eje de giro de una figura, en el espacio, es una recta imaginaria tal, que al girar la figura un cierto ángulo, coincide consigo misma. 3.5. Simetría central en el espacio. Centro de simetría Una figura tiene simetría central si al unir cada uno de sus puntos con el centro se obtiene otro punto de la figura. Si P' es el simétrico de P en la simetría central de centro O, entonces, O es el punto medio del segmento PP'. La simetría central en el espacio no es un giro. Además solo deja un punto invariante, el centro (no una recta) Centro de simetría: Un punto O es un centro de simetría de una figura si todo punto de ella tiene como transformado por la simetría central de centro O, otro punto de la figura. Ejemplos:

La esfera, el cubo tienen centro de simetría, el tetraedro, no. El cilindro tiene centro de simetría. El cono no tiene centro de simetría. Un prisma regular tiene centro de simetría. Una pirámide, no.

Actividades propuestas 36. Escribe cinco ejemplos de objetos del espacio que giren. 37. Mediante un giro en el espacio, ¿en qué se transforma un plano? ¿Y una esfera? ¿Y un cono? ¿Y dos planos paralelos?

¿Y dos planos ortogonales? Analiza los resultados. 4. SIMETRÍAS 4.1. Simetrías axiales. Eje de simetría La mariposa de la figura es simétrica respecto del eje de simetría r. Para determinar una simetría (simetría axial) es necesario conocer el eje de simetría. Si P' es el simétrico de P respecto de la simetría axial de eje r, entonces r es la mediatriz del segmento PP'. La simetría axial conserva todas las longitudes y la magnitud de los ángulos, pero cambia el sentido de estos. Por eso no es posible hacer coincidir una figura con su simétrica (a no ser que las propias figuras sean simétricas). La simetría es por tanto un movimiento inverso. Actividades resueltas

Para hallar el simétrico del punto P respecto del eje de simetría r, utiliza un compás y haciendo centro en P con radio suficientemente grande traza un arco de circunferencia que corte a r en dos puntos, A y B. Sin variar de radio y con centro en A y en B traza otros dos arcos que se cortan en P’, simétrico de P respecto a r. Observa que PAP’B es un rombo pues sus cuatro lados son iguales, por lo que sabemos que sus diagonales son perpendiculares y se cortan en el punto medio.

También, utilizando regla y escuadra: animación: Observa que tenemos el eje de simetría y queremos encontrar el simétrico del punto P (4, 1). Dibujamos el punto P (4, 1) en un sistema de coordenadas y tomamos la escuadra. Apoyamos la escuadra sobre el eje de simetría y hasta que toque al punto. Trazamos una recta auxiliar, perpendicular al eje y que pase por el punto P. Medimos la distancia del punto al eje y llevamos esa longitud sobre la recta auxiliar, y ya tenemos el punto simétrico.

También puedes obtener figuras simétricas doblando un papel. El doblez es el eje de simetría. Si dibujas una figura, doblas el papel y la calcas obtienes la figura simétrica.

Otra forma es doblar un papel y recortar una figura: se obtiene una figura simétrica respecto al doblez. Si dibujamos en papel cuadriculado el triángulo de vértices A (3, 2), B (5, 4) y C (4, 7) y hallamos el simétrico

respecto al eje de ordenadas, las coordenadas de los vértices del triángulo simétrico son: A'(3,2), B' (5, 4) y C' (4, 7). En general, el simétrico de P (x, y) respecto al eje de ordenadas es P’ (x, y).

r




101

Si dibujas el triángulo simétrico de ABC respecto al eje de abscisas, observa que las coordenadas de sus vértices son: A’ (3, 2), B’ (5, 4) y C’ (4, 7). En general, el punto simétrico de P (x, y) respecto al eje de abscisas es P’ (x, y). Dos puntos simétricos respecto del eje de ordenadas tienen la misma ordenada y sus abscisas son opuestas. Dos puntos simétricos respecto del eje de abscisas tienen la misma abscisa y sus ordenadas son opuestas. Puntos invariantes: En una simetría, los puntos del eje de simetría se transforman en sí mismos. La simetría axial deja invariantes los puntos del eje de simetría. El eje de simetría es una recta invariante de puntos invariantes.

¿Qué otros elementos deja invariantes? ¿Hay más puntos? ¿Hay otras rectas? Observa que las rectas perpendiculares al eje de simetría se transforman en sí mismas.

Actividades propuestas 38. Dibuja en tu cuaderno un eje r de simetría oblicuo, y un punto P. Dibuja el punto P’ simétrico respecto de r. Comprueba

que la recta r es la mediatriz del segmento PP’. (Recuerda: La mediatriz de un segmento es la perpendicular por el punto medio).

39. Dibuja en tu cuaderno dos puntos cualesquiera P y P’. Dibuja el eje de simetría r respecto al que son simétricos. 40. Dibuja en papel cuadriculado una letra L y un eje de simetría vertical. Dibuja la letra L simétrica respecto a ese eje. Calca

una de ellas, y mueve el papel de calco para intentar hacerlas coincidir. Es imposible, porque la simetría es un movimiento inverso.

41. Dibuja en tu cuaderno una figura. Dibuja un eje de simetría oblicuo y dibuja la figura simétrica. 42. Halla las coordenadas de los vértices del triángulo simétrico respecto del eje de ordenadas del triángulo A (3, 4), B (5,

6), C (4, 5). Lo mismo respecto del eje de abscisas. Eje de simetría de una figura:

Si la recta r es un eje de simetría de una figura entonces todo punto de esa figura tiene como transformado por la simetría de eje r a otro punto de dicha figura. Ejemplos:

Un triángulo isósceles tiene un eje de simetría y un triángulo equilátero, tres.

Un rectángulo o un rombo tienen dos ejes de simetría, y un cuadrado cuatro.

Un círculo tiene una infinidad de ejes de simetría (todos sus diámetros).

Actividades propuestas 43. Indica cuáles de las siguientes letras mayúsculas son simétricas, y si lo son, indica si sus ejes de simetría son

horizontales o verticales: A, B, D, F, K, M, N, R, T, U, V, W, Z. 44. Con ayuda de papel cuadriculado, transforma mediante una simetría, una recta, una circunferencia, un segmento, un

triángulo, dos rectas paralelas y dos rectas perpendiculares. ¿En qué se transforman? Analiza la respuesta. 45. Dibuja un rectángulo ABCD. Dibuja el eje de simetría que transforma AB en CD, y el eje de simetría que transforma AD en

BC. 46. Dibuja un hexágono regular y dibuja sus ejes de simetría. ¿Cuántos tiene? Tiene 6. Descríbelos. 47. Dibuja un pentágono regular y sus ejes de simetría. ¿Cuántos tiene? Descríbelos. 4.2. Composición de simetrías Vamos a estudiar ahora la composición de simetrías. Ya sabes que una simetría es un movimiento inverso. Si cambias el sentido de un ángulo y luego lo vuelves a cambiar, te queda el sentido original. Por tanto la composición de dos simetrías no va a ser un movimiento inverso sino uno directo. Veámoslo primero en un caso particular. Actividades resueltas

Trazamos dos ejes de simetría, r y s, paralelos. Dibujamos una letra L, y dibujamos la letra L1 simétrica de L con respecto de la recta r, y después la letra L2 simétrica de L1 respecto de la recta s. ¿Mediante qué transformación pasamos directamente de L a L2? ¿Puede ser una simetría? (Observa que sí se pueden superponer L y L2, luego es un movimiento directo). ¿Es un giro? ¿Es una traslación? Si, es una traslación, ¿de qué vector?

La composición de dos simetrías de ejes paralelos es una traslación. Es la traslación de vector de dirección la recta ortogonal a los ejes de simetría, de módulo el doble de la distancia entre ambos ejes, y de sentido el que va del primer eje al segundo.




102

La composición de simetrías no es conmutativa. Comprueba que si a L primero le aplicamos la simetría de eje s y luego la simetría de eje r obtenemos una traslación, pero el vector de traslación es el opuesto al del caso anterior.

Trazamos ahora dos ejes de simetría secantes, r y s, y una letra L. Dibujamos la letra L3 simétrica de L con respecto a la recta r, y dibujamos la letra L4 simétrica de L3 respecto a la recta s. ¿Mediante qué transformación pasamos directamente

de L a L4? ¿Puede ser una simetría? (Observa que se pueden superponer L y L4, luego es un movimiento directo). ¿Es una traslación? ¿Es un giro? Si, es un giro, ¿de qué centro y de qué ángulo? La composición de dos simetrías de ejes secantes es un giro. Es el giro de centro el punto de intersección de los ejes de simetría, de ángulo doble al que forman ambos ejes y de sentido del ángulo, el que va del primer eje al segundo. La composición de simetrías no es conmutativa. Comprueba que si a L primero le aplicamos la simetría de eje s y luego la simetría de eje r obtenemos un giro, pero el ángulo de giro es el

opuesto al del caso anterior. Actividades propuestas 48. Reproduce en tu cuaderno la figura P del margen.

a) Dibuja el pájaro P’ simétrico respecto al eje de ordenadas. b) Dibuja el pájaro P’’ simétrico respecto al eje de abscisas. c) ¿Existe alguna simetría axial que trasforme P’ en P’’? ¿Existe alguna simetría central que transforme P’ en P’’? d) Si el pico del pájaro P tuviera unas coordenadas (2, 5), ¿qué coordenadas tendría el pico del pájaro P’? ¿Y el del pájaro P’’?

49. Dibuja en tu cuaderno dos ejes de simetría paralelos y una letra F. Dibuja la composición de ambas simetrías a dicha letra, comprobando que la composición de ellas es una traslación y determina el vector de traslación.

50. Dibuja en tu cuaderno dos ejes de simetría secantes y una letra F. Dibuja la composición de ambas simetrías a dicha letra, comprobando que la composición de ellas es un giro y determina el centro y el ángulo de giro.

51. Si aplicamos una simetría a una figura, ¿qué transformación debemos aplicarle para obtener la figura inicial? 52. La composición de dos simetrías planas de ejes secantes es un giro. ¿Cómo deben ser los ejes para que sea un giro de

180 º (o una simetría central)? 4.3. Simetría especular en el espacio. Plano de simetría Muchos muebles son simétricos: muchas mesas, muchas sillas… Muchos animales son casi simétricos. Los coches, los aviones, los trenes son simétricos. Si nos miramos en un espejo vemos una imagen reflejada que es simétrica a la nuestra. Muchos edificios son casi simétricos o tienen elementos de simetría. Para determinar una simetría en el espacio es necesario conocer un plano, el plano de simetría.

Una simetría en el espacio deja invariantes los puntos pertenecientes al plano de simetría. Deja invariante las rectas ortogonales al plano de simetría, y deja invariante al plano de simetría. Plano de simetría: El plano de simetría de una figura es un plano imaginario tal, que todo punto de la figura se transforma por la simetría respecto de ese plano en otro punto de dicha figura. La torre con la puerta del margen tiene un plano de simetría. Un plano de simetría es como un espejo que refleja exactamente un fragmento de la figura en el otro fragmento.

Actividades resueltas Construye poliedros regulares, con cartulina, con pajitas, con …, para comprobar lo que sigue: Analizamos el plano de simetría del cubo de la ilustración del margen. Vemos que pasa por

los puntos medios de las aristas. ¿Cuántos planos de simetría hay similares a este? Como el cubo tiene 12 aristas y cada plano pasa por 4 hay 3 de este tipo. Otro plano de simetría pasa por una diagonal de una cara, una arista, otra diagonal y otra arista. ¿Cuántos hay de ese otro tipo? Como el cubo tiene 12 aristas y tomamos 2, hay 6 de ese tipo.

Busca un eje de giro del cubo. Observa que tiene un eje de giro de 90º que va de centro de cara a centro de cara. ¿Cuántos ejes de giro tiene de ese tipo? Comprueba que hay 3 (6 caras : 2 = 3). Observa que también hay un eje de giro de 120º que va de vértice a vértice opuesto. ¿Cuántos hay de ese otro tipo? Como el cubo tiene 8 vértices hay 4 de este tipo. Observa que también hay un eje de giro de 180º que va de centro de arista a centro de arista opuesta. ¿Cuántos hay de ese otro tipo? Como el cubo tiene 12 aristas, hay 6 de ese tipo. ¿Hay simetría central? Observa que sí.




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Vamos a analizar ahora las isometrías de un octaedro. Observa que tiene centro de simetría, igual que el cubo. Planos de simetría: Hay planos, como el de la figura, que pasan por cuatro aristas. Como tiene 12 aristas hay 3 de este tipo. También hay planos que pasan por el eje de simetría de las caras. ¿Cuántos hay? ¿Tenemos el mismo número de planos de simetría que en el cubo? Sí. El cubo y el octaedro son duales. Si en el cubo fijamos los centros de las caras y los unimos, tenemos un octaedro. Y si en el octaedro unimos los centros de las caras, tenemos un cubo. Observa que el número de caras de un cubo, 6, coincide con el número de vértices de un octaedro, y que el número de caras de un octaedro, 8, coincide con el número de vértices del cubo. Y ambos tienen el mismo número de aristas, 12.

Buscamos ahora ejes de giro en un octaedro. ¿Tiene ejes de giro de 90º? Si, van de vértice a vértice opuesto. Hay 6 vértices, luego hay 3 ejes de giro de este tipo. ¿Hay ejes de giro de 120º, como en el cubo? Naturalmente, van de centro de cara a centro de cara, y como tiene 8 caras, hay 4 de este tipo. ¿Y los ejes de giro de 180º? Van, como en el cubo, de centro de arista a centro de arista, y hay 6.

El estudio del tetraedro es más sencillo. Comprueba que NO tiene centro de simetría. Los planos de simetría pasan por una arista, el eje de simetría de una cara y el eje de simetría de otra. Hay 6 aristas, luego hay 6 de este tipo. Tiene ejes de giro de 120º. Pasan por un vértice y el centro de la cara opuesta. Como tiene 4 caras hay 4 de este tipo.

El estudio del dodecaedro y del icosaedro es más complicado. Observa que también son duales. Si unimos los centros de las caras de un dodecaedro se obtiene un icosaedro, y si unimos los centros de las caras de un icosaedro, se obtiene un dodecaedro. El dodecaedro tiene 12 caras y el icosaedro 12 vértices. El icosaedro tiene 20 caras y el dodecaedro 20 vértices. Ambos tienen 30 aristas. Vamos a describir el plano de simetría del dodecaedro de la figura del margen: Vemos que pasa por los dos ejes de simetría de dos caras, por una arista. ¿Y luego? ¿Ya no lo vemos? Observa que vuelve a pasar por dos ejes de simetría de caras y por otra arista. Como el dodecaedro tiene 20 aristas, hay 10 planos de simetría de este tipo.

Actividades propuestas 53. Escribe cinco objetos que estén a tu alrededor que sean simétricos e indica su plano de simetría. Mira en el aula y busca

simetrías. ¿Son simétricas las sillas, la lámpara, la ventana, las mesas...? ¿Cuál es su plano de simetría? 54. Define los planos de simetría y los ejes de rotación de las siguientes figuras:

a) Un prisma recto de base cuadrada. ¿Y si es oblicuo? b) Una pirámide recta de base cuadrada. c) Si el prisma y la pirámide son rectos, pero sus bases son rectángulos, ¿qué simetrías se mantienen?

55. Determina los planos de simetría y los ejes de rotación de estas figuras: a) Un prisma recto cuya base es un triángulo equilátero. b) Una pirámide recta de base un triangulo equilátero. ¿Y si es oblicua? c) Si el prisma y la pirámide son rectos pero de base un triángulo isósceles, ¿qué simetrías se mantienen?

56. Mediante una simetría especular, ¿en qué se transforma un plano? ¿Y una esfera? ¿Y un cono? ¿Y dos planos paralelos? ¿Y dos planos ortogonales? Analiza los resultados.

4.4. Isometrías en el plano Las isometrías son trasformaciones geométricas que conservan las distancias y los ángulos. En el plano hemos estudiado las traslaciones, los giros y las simetrías (axiales) que son isometrías. Ya sabemos que la simetría central en el plano coincide con un caso particular de giro, el giro de 180º. Los giros y las traslaciones son isometrías directas, pues no cambian el sentido de los ángulos. Las simetrías son isometrías inversas pues sí los cambian. Hemos visto que la composición de dos traslaciones es siempre otra traslación, que la composición de dos giros del mismo centro es otro giro de igual centro, que la composición de dos simetrías es un giro o una traslación. Podríamos seguir estudiando qué ocurre si componemos giros de distinto centro, giros con traslaciones, traslaciones con simetrías y simetrías con giros. Veríamos que casi siempre obteníamos una simetría, una traslación o un giro. Salvo cuando componemos una traslación con una simetría. Obtenemos una isometría nueva que llamaremos simetría con deslizamiento. Pasamos de la letra b del margen a la letra p por una simetría de eje horizontal (en negro) y una traslación (de vector de traslación en verde). Puntos invariantes: La traslación no deja ningún punto invariante. Los giros dejan uno, el centro de giro, y la simetría axial deja una recta, el eje de simetría. La simetría con deslizamiento tampoco deja ningún punto invariante. Si en un plano una isometría deja tres puntos invariantes no alineados, entonces deja invariante todo el plano, luego es la identidad.

bp




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En el plano

Puntos invariantes Rectas de puntos invariantes

Rectas invariantes

Traslación Ninguno Ninguna Las de dirección igual a la del vector de traslación

Giros (de ángulo de giro distinto a 180º y 0º)

Centro de giro Ninguna Ninguna

Simetría (axial) Los del eje de simetría El eje de simetría El eje de simetría y las rectas ortogonales al eje de simetría.

Identidad Todo el plano Todas Todas Simetría con deslizamiento Ninguno Ninguna Las de dirección igual al vector de

traslación y del eje de simetría. 4.5. Uso de Geogebra para analizar las isometrías en el plano Vamos a utilizar el programa Geogebra para estudiar los movimientos en el plano. Estudiaremos las traslaciones y la simetría axial. Actividades resueltas Traslación

Utiliza Geogebra para estudiar vectores y traslaciones. En un archivo de Geogebra Visualiza los ejes, la cuadrícula y la ventana algebraica. Con la herramienta Nuevo Punto define el origen de coordenadas como A y el punto de coordenadas (6, 2) como B. y con

la herramienta Vector entre dos puntos determina el vector u de origen A y extremo B que tendrá coordenadas (6, 2).

Define con Nuevo Punto C (4, 1), D (1, 2) y E (3, 3) y con Polígono dibuja el triángulo que tiene por vértices estos puntos. Observa que los puntos que has dibujado aparecen en la ventana

algebraica como objetos libres y el triángulo como objeto dependiente. Utiliza la herramienta Trasladar objeto acorde a vector para trasladar el

triángulo CDE según el vector u, se obtiene el triángulo C’D’E’. 57. ¿Qué tipo de cuadriláteros son los polígonos ACC’B, ADD’B y AEE’B? 58. Comprueba en la ventana algebraica que:

a) Las coordenadas de los puntos C’, D’ y E’ se obtienen respectivamente al sumar a las coordenadas de los puntos C, D, y E las coordenadas del vector u.

b) La longitud de cada lado del triángulo es la misma que la de su trasladado y las áreas de los triángulo CDE y C’D’E’ coinciden

Dibuja con Recta que pasa por 2 puntos, la recta a que pasa por los puntos por C y D y comprueba, con la ecuación de la recta, que C’ y D’ están en la misma recta.

Traslada ahora la recta a según el vector u, aparece, denominada b, la misma recta. ¿Qué propiedad tiene la recta a para que permanezca invariante mediante la traslación? Una conjetura es que la

recta a es paralela al vector u. Para comprobar la conjetura define un Nuevo Punto F (-1, 1) y con Recta

paralela dibuja una recta f que pase por F y paralela al vector u. Traslada la recta f según el vector u y verás que aparece la recta g que

coincide con ella. Dibuja otras rectas paralelas al vector u y comprueba que la traslación las deja invariantes.

Mueve con el puntero el punto B, para que el vector u tenga distinta dirección y observa como la recta a ya no tiene la misma dirección que el vector u y su trasladada, la recta b, es distinta y paralela a ella, sin embargo la recta f tiene la misma dirección que el vector u y su trasladada g coincide con ella.

59. Investiga si algún punto del plano permanece invariante mediante traslaciones según diferentes vectores.




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Simetría axial Utiliza Geogebra para estudiar las propiedades de la simetría axial.

Abre una nueva ventana de Geogebra y visualiza los ejes, la cuadrícula y la ventana algebraica. Con la herramienta Nuevo Punto define A (-2, 0) y B (0, 1) y con Recta que pasa por 2 puntos, dibuja la recta a que pasa

por A y B, que será el eje de simetría. Determina el punto C (1, 4) y con la herramienta Refleja objeto en recta, su

simétrico con respecto a la recta a, que es el punto D (3, 0). Con la herramienta Distancia comprueba que la distancia del punto C a la recta a

coincide con la del punto D a dicha recta. Dibuja con Segmento entre dos puntos el que une los puntos C y D. Con la herramienta Angulo calcula la medida del ángulo que forman el segmento CD

y la recta a para verificar que son perpendiculares. Las siguientes propiedades, que acabas de comprobar, caracterizan la simetría axial: 1ª: Las distancias de un punto y de su simétrico al eje de simetría coinciden. 2ª: El segmento que une un punto y su simétrico es perpendicular al eje de simetría. Con la herramienta Refleja objeto en recta halla el simétrico de los puntos A y B

con respecto al eje a y comprueba que A y su simétrico de E coinciden lo mismo que B y F. Prueba con otros puntos de la recta a para verificar que todos los puntos del eje resultan invariantes mediante una simetría axial con respecto a este eje. Verifica, también, que el eje, la recta a, y su simétrica la recta b coinciden.

Utiliza Recta perpendicular para trazar la recta c, perpendicular al eje a que pasa por el punto B.

Calcula la recta simétrica de la recta c con respecto al eje a, se obtiene la recta d que coincide con c.

Mejora el aspecto de la construcción dibujando el segmento CD y las rectas c y d con trazo discontinuo. Haz clic con el botón derecho del ratón sobre el elemento o su ecuación y en Propiedades, Estilo, elige un trazo discontinuo.

60. ¿Cuáles son los puntos invariantes de una simetría axial? ¿Y las rectas invariantes? Actividades propuestas 61. Utiliza la herramienta Rota objeto en torno a un punto, el ángulo indicado para estudiar los giros en el plano. Define

un punto O como centro de giro, por ejemplo, el centro de coordenadas. Define tres puntos para determinar con Angulo uno de 45º. a) Dibuja rectas y polígonos y observa como se transforman mediante este giro. b) Investiga si al realizar un giro existen puntos y/o rectas que permanecen invariantes.

62. Utiliza la herramienta Refleja objeto por punto para estudiar la simetría central. Define un punto O como centro de simetria, por ejemplo, el centro de coordenadas. a) Dibuja rectas y polígonos y observa como se transforman por una simetría central. b) Comprueba que una simetría central equivale a un giro de 180º. c) Investiga si en una simetría central hay puntos y/o rectas que permanecen invariantes.

4.6. Isometrías en el espacio En el espacio hemos estudiado las traslaciones, los giros, las simetrías centrales y las simetrías (especulares). La simetría central es un movimiento nuevo diferente de los giros. En el espacio, traslaciones y giros son isometrías directas, y simetrías especulares y simetrías centrales son isometrías inversas. No hemos estudiado su composición, pero no nos costaría nada ver que la composición de dos traslaciones es otra traslación, de vector, la suma de los vectores de traslación. La composición de dos giros del mismo eje es otro giro del mismo eje y de ángulo, la suma de los ángulos. La composición de dos simetrías de planos paralelos es una traslación, y la composición de dos simetrías de planos secantes es un giro de eje, la recta de intersección de los planos. La composición de dos simetrías centrales del mismo centro es la identidad. El comportamiento de estas composiciones es similar a lo que ocurre en el plano. Más complicado es estudiar en el espacio la composición de giros de distinto eje, giros con simetrías, simetrías con traslaciones y traslaciones con giros en el espacio. Igual que en el plano aparecieron nuevas isometrías, la simetría con deslizamiento, ahora también nos aparecen nuevas isometrías: simetría rotativa, simetría con deslizamiento… Puntos invariantes: La traslación no deja ningún punto invariante. La simetría central deja un punto invariante, el centro. Los giros dejan una recta, el eje de giro. La simetría especular deja un plano de puntos invariantes, el plano de simetría. Y si una isometría en el espacio deja cuatro puntos invariantes no coplanarios, es la identidad.




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5. MOSAICOS, FRISOS Y ROSETONES Al pasear por una ciudad o por el campo puedes ver montones de transformaciones geométricas: verás simetrías, giros y traslaciones por doquier, formando mosaicos, frisos o rosetones; o bien en las formas de las flores 5.1. Mosaicos 63. Mira este azulejo de un mosaico de Estambul. La celda unidad es cada uno de los azulejos con la que se construye todo el mosaico mediante traslaciones. Indica los vectores de traslación. Pero puedes reducir el motivo mínimo. ¿Utilizando giros? ¿Utilizando simetrías? Mira la ampliación: Comprueba que puedes utilizar como motivo mínimo la octava parte del azulejo.

64. Análisis de mosaicos de la Alhambra: Observa el mosaico del margen. Imagina que es infinito, que completa todo el plano. Puedes tomar como motivo mínimo un par de hojitas. Para pasar de un par de hojitas al otro par adyacente, ¿qué trasformación has utilizado? ¿Es una simetría? ¿Es un giro? ¿Hay centros de giro de 60º? ¿Y de 180º? ¿Y de 30º? 65. Utiliza una trama de triángulos, o dibuja una en tu cuaderno, para diseñar un mosaico parecido a este. Marca en la trama los centros de giros de 60º, de 180º y de 30º. Dibuja un

motivo mínimo sencillito, por ejemplo una poligonal o una hoja, y muévelo usando esas transformaciones. 66. Generación de un mosaico mediante giros y traslaciones: animación. Observa cómo primero dibuja una trama de cuadrados, dibuja un motivo mínimo formado por dos segmentos, luego le aplica isometrías a ese motivo: giros de 90º, con los que dibuja la estrella, que por simetría completa la celda unidad a la que por último la traslada por todo el mosaico.

67. También puedes ver en la siguiente animación cómo se realiza un estudio del mosaico del margen, buscando la celda unidad, el motivo mínimo y estudiando sus giros (de 90º y 180º) y sus ejes de simetría. 68. Utiliza una trama de cuadrados, o dibuja una en tu cuaderno, para diseñar un mosaico parecido a este. Marca en la trama los centros de giros de 90º y de 180º. Marca los ejes de simetría. Dibuja un motivo mínimo sencillito, por ejemplo una poligonal, y muévelo usando esas transformaciones. Completa primero la celda unidad, y luego trasládala.

5.2. Frisos Las puntillas, las grecas de los bordados, las telas estampadas, las rejas... utilizan muy a menudo las traslaciones en sus diseños. Son los frisos. Observa el friso del margen. Como todos los frisos se obtiene trasladando un motivo. Pero pueden tener otras isometrías además de la traslación. La combinación de traslación, simetrías y giros permiten obtener siete tipos de frisos diferentes. 69. Hemos formado frisos utilizando las letras del alfabeto. Todos ellos se forman por traslación. Pero en ocasiones hay otras isometrías. A) ¿En cuáles hay una simetría de eje horizontal. B) ¿En cuáles hay giros de 180º. C) ¿En cuáles hay simetrías de eje vertical? D) ¿Hay simetrías con deslizamiento? E) Señala todas las familias de simetrías respecto a un eje, de giros y de traslaciones por las cuales un punto del friso se transforma en otro punto del mismo (supuesto que se prolongue hasta el infinito).

L1. LLLLL, L2. NNNNN, L3. VVVVV, L4. CCCCC, L5. HHHHH, L6. pbpbpb, L7. pqdbpqdbp

70. Sal a la calle o en tu casa y busca frisos. Fotografía rejas, mira puntillas y grecas… y haz un estudio de los diferentes frisos que encuentres. Dibuja en tu cuaderno su diseño e intenta clasificarlos según el esquema de las letras del problema anterior, según las transformaciones que utilicen. Para ello hazte las siguientes preguntas: 1) ¿Tiene giros? Si la respuesta es NO, entonces: 2) ¿Tiene simetría horizontal? Si la respuesta es SI, es un L4, que como el friso formado por la letra C o la letra D, no tiene giros y si, simetría de eje horizontal. Si la respuesta es NO, entonces: 3) ¿Tiene simetría vertical? Si la respuesta es SI, es un L3, como el friso formado por la letra V o la letra A, que no tiene ni giros, ni simetría horizontal y si

simetría vertical. Si la respuesta es NO, entonces: 4) ¿Tiene simetría con deslizamiento? Si lo tiene es un L6, y si no es un L1. Pero si tiene giros puede tener también simetría horizontal y es un L5, o tener simetría con deslizamiento y ser un L7, o sólo tener el giro y ser un L2, como el friso formado por la letra N o la letra S. 71. En los frisos siguientes señala todas las familias de simetrías respecto a un eje, de giros y de traslaciones por las cuales

un punto del friso se transforma en otro punto del mismo (supuesto que se prolongue hasta el infinito).




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5.3. Rosetones Los rosetones de las catedrales son espectaculares, pero también se pueden ver en situaciones más cotidianas, como los tapacubos de los coches. Se denominan grupos de Leonardo a los grupos de isometrías de estos rosetones. Pueden tener simetrías o únicamente giros. Este rosetón de una catedral tiene ejes de simetría y divide la circunferencia en 12 trozos iguales. Decimos que es un D12. Si no hay simetrías, sólo giros decimos que es un C5, o un C6… según divida a la circunferencia en 5 o en 6… partes iguales. Por ejemplo, ¿te has fijado en los tapacubos de los coches? En ocasiones tienen diseños interesantes. Hemos recogido fotografías de algunos tapacubos para que los

estudies. 72. Análisis de tapacubos: Observa los siguientes tapacubos. Indica, para cada uno de ellos, las siguientes cuestiones:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 a) Tiene simetría central. b) Tiene ejes de simetría axial. ¿Cuántos? c) Tiene centro de giro, ¿cuál es el menor ángulo de giro que lo deja invariante? d) Sal a la calle y fotografía o dibuja los tapacubos que veas y te parezcan interesantes. Haz un estudio de ellos.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Traslación 1. Dibuja en tu cuaderno un paralelogramo sobre un sistema de referencia y una cuadrícula. Tienes cuatro segmentos

orientados. Determina las coordenadas de los vectores sobre dichos segmentos. ¿Cuáles tienen las mismas coordenadas?

2. Tenemos los puntos A (0, 5), B (3, 6), C (4, -2) y D (7, 3). Calcula las coordenadas de los vectores AB; AC; AD; BC; BD; CD; DC; BA.

3. Determina el vector de traslación que traslada el punto A (3, 7) al punto A’ (1, 5). 4. Por la traslación de vector u = (2, 8) se traslada el punto A (9, 4) al punto A’. ¿Cuáles son las coordenadas de A’? 5. Por la traslación de vector u = (3, 1) se traslada el punto A al punto A’ (3, 3). ¿Cuáles son las coordenadas de A? 6. Trasladamos la circunferencia de centro C (5, 2) y radio 3 unidades con la traslación de vector u = (5, 2). Determina el

centro y el radio de la circunferencia trasladada. 7. Dibuja en tu cuaderno unos ejes coordenados y en ellos un cuadrado de lado 2 unidades al que llamas C, le aplicas una

traslación según el vector u = (4, 1) y llamas C' a su trasladado. Ahora aplicas a C’ una traslación según el vector v = (2, 4). La isometría que transforma C en C'', ¿es una traslación? Escribe las coordenadas de su vector. Mediante esa traslación, ¿en qué punto se transforma el origen de coordenadas?

8. El vértice inferior izquierdo de un cuadrado es A (3, 1) y el vértice superior izquierdo es B (1, 3). Le aplicas una traslación de vector u = (2, 4), ¿cuáles son las coordenadas de los cuatro vértices del cuadrado transformado?

9. Dibuja la imagen que resulta de aplicar al trapecio de la figura la traslación de vector OA = (1, 2). Determina las coordenadas de los puntos transformados de A (1, 2), B (1, 1), C (4, 2) y D (5, 4) por dicha traslación.

10. Aplica la traslación de vector u = (3, 4) al triángulo ABC de vértices A (3, 1), B (4, 4), C (6, 5), y calcula las coordenadas del triángulo transformado.

11. Dibuja en tu cuaderno un círculo de centro el origen y radio 2 unidades. a) Trasládalo con la traslación de vector u = (3, 0). b) Trasládalo después mediante la traslación de vector v = (0, 4). c) Indica las coordenadas del centro del segundo círculo trasladado. d) Indica las coordenadas del trasladado del punto (0, 2) al aplicarle cada una de las dos traslaciones.




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12. Trasladamos el triángulo ABC de vértices A (6, 1), B (3, 4) y C (0, 8), mediante la traslación de vector u = (7, 1), y luego mediante la traslación de vector v = (2, 8). Determina las coordenadas del triángulo transformado analítica y gráficamente.

13. La composición de dos traslaciones tiene por vector (5, 9). Si una de ellas es la traslación de vector u = (7, 3), ¿qué componentes tiene el otro vector de traslación?

14. a) Dibuja en tu cuaderno un triángulo ABC y trasládalo 5 cm a la derecha. Denomina A’B’C’ al triángulo obtenido. b) Traslada A’B’C’ ahora 4 cm hacia arriba y denomina A’’B’’C’’ al nuevo triángulo. c) Dibuja el vector que permite pasar directamente del triángulo ABC al A’’B’’C’’ y mide su longitud. ¿Cuáles son sus coordenadas?

15. Determina el vector de traslación de la traslación inversa a la de vector u = (2, 5). 16. a) Dibuja en tu cuaderno una figura, y repite el dibujo trasladando la figura 4 veces con la misma traslación. Al hacerlo,

dibujarás un friso. b) Un friso confeccionado con letras L es: L L L L L. Dibuja un friso confeccionado con letras J. Otro confeccionado con letras M. Además de traslación, ¿tiene simetrías? c) Busca un friso. Mira las rejas de tu calle, un bordado o una puntilla, las grecas de unos azulejos… y dibuja su diseño en tu cuaderno.

17. Mediante una traslación en el espacio, ¿en qué se transforma un plano? ¿Y una esfera? ¿Y un cono? ¿Y dos planos paralelos? ¿Y dos planos ortogonales? Analiza los resultados.

Giros 18. Dibuja en tu cuaderno el punto A (5, 4). Indica las coordenadas del punto A’ que se obtiene al girar 180º y con centro el

origen el punto A. Indica las coordenadas del punto A’’ obtenido al girar A’ 90º con el mismo centro de giro. 19. Dibuja una figura en tu cuaderno, cálcala, recórtala y pégala inclinada al lado de la inicial. Las dos figuras, ¿tienen todas

las longitudes iguales?, ¿y sus ángulos? Determina, con compás y transportador, el centro y el ángulo de giro. 20. Dibuja en tu cuaderno una letra F y la letra F girada 30º con centro de giro su punto más inferior. 21. Dibuja en tu cuaderno un triángulo rectángulo isósceles y con centro en el vértice de uno de los ángulos agudos aplícale

un giro de 45º en sentido positivo. Luego aplícale otro giro de 45º, y así sucesivamente hasta llegar al triángulo inicial. ¿Qué giros has estado haciendo?

22. Dibuja en tu cuaderno un círculo de centro O, dos diámetros perpendiculares AB y CD y una cuerda CB. Sobre el mismo dibujo traza las figuras obtenidas haciendo girar la figura formada por los dos diámetros y la cuerda, con giros de centro O y ángulos 45º, 90º, 135º, 180º, 225º, 270º y 315º. Habrás hecho la composición de giros de 45º varias veces.

23. ¿La letra H tiene centro de simetría? Indica tres objetos cotidianos que tengan simetría central. 24. Sobre unos ejes cartesianos representa los puntos A (2, 6), B (2, 5), C (5, 3) y sus simétricos respecto al origen A', B' y

C'. ¿Qué coordenadas tienen A’, B’ y C’? 25. Dibuja en tu cuaderno el triángulo de vértices A (3, 7), B (5, 5) y C (7, 2). Dibuja el triángulo que se obtiene al girarlo con

centro en el punto D (8, 8) un ángulo de 180º. Es una simetría central. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices A', B' y C' del nuevo triángulo?

26. Dibuja en un sistema de referencia un punto P y su simétrico P’ respecto del origen. Si las coordenadas de P son (x, y), ¿cuáles son las de P’?

27. Dado el triángulo A(3, 4), B (5, 6), C (4, 5), halla las coordenadas de los vértices del triángulo simétrico respecto del origen.

28. Dibuja un triángulo equilátero ABC y con centro en el vértice A aplícale un giro de ángulo 60º. El triángulo dado y el transformado, ¿qué figura forman? Vuelve a aplicar al triángulo trasformado el mismo giro de centro A, ¿qué giros has estado haciendo? ¿Cuántos giros debes aplicar al triángulo inicial para que vuelva a ocupar la posición inicial?

29. Dibuja en tu cuaderno los cuatro puntos de la figura. Determina, con regla, compás y transportador, el centro y el ángulo de giro sabiendo que los puntos A y B se han transformado

mediante un giro en A' y B'. 30. Dibuja la imagen que resulta de aplicar al triángulo de la figura el giro de centro O que transforma el punto A en el punto B. 31. Utiliza un transportador de ángulos, regla y compás, para girar una recta 60º respecto a un punto O exterior a ella (es suficiente girar dos puntos de dicha recta). Mide los ángulos que forman las dos rectas, la inicial y la girada. ¿Observas alguna

regularidad? Investiga un método para girar una recta transformando un solo punto. ¿Qué punto debes elegir y por qué? 32. Juego para dos jugadores: Forma sobre la mesa un polígono regular utilizando monedas (o fichas o bolitas de papel)

como vértices. Alternativamente cada jugador retira o una moneda o dos monedas adyacentes. Gana quien retire la última moneda. (Ayuda: Es un juego de estrategia ganadora que puedes descubrir utilizando la simetría central).




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33. En el diseño de este mosaico se han utilizado giros en el plano. No lo vemos completo, pero podemos imaginar que fuera infinito. Indica los centros de giro que veas. En el centro de la figura hay un centro de giro clarísimo, ¿de qué ángulo? ¿Hay giros de 45º? ¿Cuáles son sus centros de giro? ¿Hay centros de simetría? Indícalos.

34. Para cada uno de los siguientes polígonos indica el centro de giro y el mínimo ángulo de giro que dejan invariantes a cada uno de ellos: a) Pentágono regular b) Hexágono regular c) Decágono regular d) Triángulo equilátero e) Rectángulo f) Cuadrado g) Rombo h) Paralelepípedo i) Octógono regular

35. En la simetría central de centro (2, 3) hemos visto que el simétrico del punto A (8, 1) es el punto A’ (4, 5). Calcula los simétricos de los puntos B (12, 7), C (9, 10), D (5, 8) y E (7, 6).

36. Indica si el mosaico de la Alhambra del margen tiene centro de giro, y determina cuál es el menor ángulo de giro que hace que el mosaico se superponga (sin tener en cuenta los cambios

de color). ¿Hay centros de simetría? 37. Con ayuda de papel cuadriculado transforma mediante una simetría central, una recta, una circunferencia, un segmento, un triángulo, dos rectas paralelas y dos rectas perpendiculares. ¿En qué se transforman? Analiza los resultados. 38. ¿Qué número mínimo de cuadrados es necesario pintar de verde para que el cuadrado grande tenga un centro de simetría? 39. Hemos girado el punto A (3, 5) y hemos obtenido el punto A’ (7, 2). Determina el centro de giro

y el ángulo utilizando regla, compás y transportador de ángulos. 40. ¿Cuáles de los polígonos estrellados de la figura del margen tienen centro de simetría? Indica el centro de giro y el mínimo ángulo de giro que deja invariantes a cada uno de ellos. 41. Determina tres objetos cotidianos que tengan algún eje de giro. 42. En la simetría central de centro (2, 3) hemos

visto que el simétrico del punto A (8, 1) es el punto A’ (4, 5). Calcula los simétricos de los puntos B (12, 7), C (9, 10), D (5, 8) y E (7, 6).

43. Observa esta torre mudéjar de Teruel. Está diseñada utilizando giros en el espacio. ¿Cuál es su eje de giro? ¿Y el ángulo de giro?

44. Piensa en los cinco poliedros regulares. Unos tienen simetría central en el espacio, otros no. ¿Cuáles la tienen? 45. Piensa ahora en los siguientes cuerpos geométricos: Una pirámide cuadrangular

regular, un prisma triangular regular, un prisma romboidal oblicuo, un cilindro y un cono. ¿Cuáles pueden formarse mediante giros en el espacio? ¿Cuál es su eje de giro? ¿Cuáles tienen simetría central y cuáles no?

Simetrías 46. Dibuja en tu cuaderno un sistema de referencia y una letra B. Dibuja la letra simétrica de B respecto del eje de abscisas y

respecto del eje de ordenadas. 47. Clasifica las letras mayúsculas del alfabeto, a) en las que son simétricas respecto de un eje de simetría horizontal y un eje

de simetría vertical. b) en las que sólo son simétricas respecto de un eje de simetría vertical, c) en las que sólo lo son respecto del eje de simetría horizontal, y d) en las que no tienen ningún eje de simetría. e) Comprueba que las letras que tienen dos ejes de simetría tienen centro de simetría. La razón ya la sabes: La composición de dos simetrías de ejes secantes es un giro.




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48. ¿Cuáles de las siguientes sucesiones de letras tienen un único eje de simetría? ¿Cuáles tienen dos ejes? ¿Cuáles ninguno? ¿Cuáles tienen centro de simetría?

a) ONO b) NON c) DODO d) OIO e) HEMO f) HOOH 49. Indica los ejes de simetría de las siguientes figuras:

a) Cuadrado. b) Triángulo equilátero. c) Trapecio isósceles. d) Hexágono. e) Circunferencia. f) Rectángulo. g) Rombo. h) Pentágono.

50. Considera que los vértices del cuadrilátero de la figura tienen de coordenadas: (1, 3), (2, 3), (3, 2) y (2, 4). Aplícale dos simetrías axiales de ejes paralelos, la primera respecto al eje r y la segunda respecto al eje s. a) Indica las coordenadas de los vértices de las figuras transformadas por dicha composición

de simetrías. Si llamamos C al cuadrilátero inicial, C' a su simétrico respecto al eje r y C'' al simétrico de C' respecto al eje s: b) ¿Qué isometría nos permite trasformar directamente C en C''. c) ¿Qué elementos la definen? d) ¿Qué ocurre si aplicamos las dos simetrías en distinto orden, primero respecto al eje s y después respecto al eje r?

¿Cuáles son ahora las coordenadas de los vértices de la figura C’’’ transformada? 51. Considera que los vértices del cuadrilátero de la figura tienen de coordenadas: (1, 3), (2, 3), (3, 2) y (2, 4). Aplícale dos

simetrías axiales de ejes secantes, la primera respecto al eje r y la segunda respecto al eje s. a) Indica las coordenadas de los vértices de las figuras transformadas por la composición de simetrías. b) Si llamamos C al polígono inicial, C' al simétrico respecto al eje r y C'' al simétrico de C' respecto al eje s: ¿Qué isometría nos permite trasformar directamente C en C''. ¿Qué elementos la definen? c) ¿Qué ocurre si aplicamos las dos simetrías en distinto orden, primero respecto al eje s y

después respecto al eje r? ¿Qué isometría tenemos ahora? ¿Qué elementos la definen? d) Indica las coordenadas de los vértices de la figura transformada si primero aplicamos la simetría de eje s y luego la

de eje r. 52. Dibuja en un papel el contorno de una figura irregular, en al menos cinco posiciones. (Si no se te ocurre ninguna figura,

dibuja una letra G). a) ¿Son iguales estas figuras? Explica tu razonamiento. b) ¿Cómo puedes pasar de una figura a otra? c) Colorea con el mismo color todas las figuras que puedes alcanzar desde la posición inicial, desplazando la figura sin levantarla. Utiliza otro color para las restantes. ¿Se puede pasar siempre de una figura a otra del mismo color, deslizando la figura sin darle la vuelta? ¿Cambian las dimensiones de la figura?

53. El triángulo equilátero T de la figura se ha transformado en el triángulo T' mediante una simetría axial de eje r. a) Copia el dibujo en tu cuaderno y nombra en el dibujo a A', B' y C', que son los transformados de A, B y C respectivamente. b) Encuentra un giro que trasforme T en T’, indicando el centro y el ángulo de giro, ¿cuáles son ahora los trasformados de los vértices A, B y C?

54. Libro de espejos: Utiliza un libro de espejos para obtener simetrías. Puedes construir uno con dos rectángulos de metacrilato unidos con cinta de embalar. Mira por el libro de espejos un segmento, una circunferencia, diferentes figuras…

Problemas 55. Indica los puntos invariantes y las rectas invariantes en cada uno de los siguientes movimientos.

a) Una traslación según el vector (1, 3). b) Una simetría axial respecto al eje de ordenadas. c) Una simetría central respecto al centro de coordenadas. 56. En la figura adjunta el hexágono 1, denominado H1, ha cambiado de posición mediante movimientos. A) Indica el tipo de movimiento: traslación, giro o simetría que trasforma H1 en cada uno de los otros hexágonos. B) Determina, en cada caso, los elementos básicos que definen cada transformación indicando las coordenadas de cada uno de los vértices de H1 qué coordenadas tiene

en cada uno de los transformados, y si es posible, generaliza. 57. Sabemos que las traslaciones no dejan ningún punto invariante, pero, a) ¿deja alguna recta invariante? b) La simetría central deja un punto invariante, el centro, pero, ¿qué rectas deja invariantes una simetría central en el plano? ¿Y una simetría central en el espacio? c) Una simetría axial deja invariantes todos los puntos de su eje, que es una recta invariante de puntos invariantes, pero ¿qué otras rectas invariantes deja una simetría axial? ¿Y qué otros puntos? d) Una simetría especular, en el espacio, deja un plano invariante de puntos invariantes, el plano de simetría, ¿qué otros planos deja invariantes? ¿Qué otras rectas? ¿Qué otros puntos?




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58. Copia en tu cuaderno y completa las siguientes tablas: Tabla I: En el plano Puntos invariantes Rectas invariantes Rectas invariantes de puntos invariantes

Traslación Simetría central Giro Simetría axial Simetría con deslizamiento Tabla II: En el espacio Puntos invariantes Rectas invariantes Planos invariantes Traslación Simetría central Giro Simetría especular Simetría con deslizamiento 59. Dibuja el triángulo T de vértices A (2, 1), B (4, 2) y C (1, 3)

a) Aplica a T una traslación según el vector u = (3, 2), llama T' a su transformado e indica las coordenadas de sus vértices. b) Dibuja el triángulo T'' que resulta de aplicar a T un giro de 270º respecto al origen de coordenadas e indica las coordenadas de sus vértices.

60. Dibuja el cuadrado K de vértices A (2, 1), B (4, 2) C (1, 3) y D (3, 4). a) Aplica a K una traslación según el vector u = (3, 1), llama K' a su transformado e indica las coordenadas de sus vértices. b) Dibuja el cuadrado C'' que resulta de aplicar a C una simetría central respecto al punto (3, 0) e indica las coordenadas de sus vértices.

Problemas de ampliación 61. Transforma la letra L mediante dos isometrías consecutivas. ¿Puedes obtener el resultado final mediante una única

isometría? Analiza posibles situaciones. 62. Pliega una tira de papel como un acordeón. Haz algunos cortes y despliégala. Habrás confeccionado un friso. Señala en

él todas las isometrías. Ensaya otros diseños de frisos. La composición de isometrías no es conmutativa. Observa la figura adjunta: a) Determina la isometría que transforma el triángulo ABC en A1B1C1 y la que transforma éste en A2B2C2; b) Indica la isometría que transforma el triángulo ABC en A’B’C’ y la que transforma éste en A’’B’’C’’; c) ¿Qué conclusión obtienes?

63. Indica las isometrías que hay que aplicar a la figura coloreada en azul para obtener la figura completa. Determina los elementos que definen cada isometría. Colorea de distinto color cada uno de los cuatro polígonos y construye un friso. 64. 1) La letra A tiene un eje de simetría vertical. 2) La letra H tiene dos ejes de simetría, uno vertical y el otro horizontal, además de un centro de simetría. 3) La letra Z tiene centro de simetría,

pero ningún eje de simetría. 4) La letra E tiene un eje de simetría horizontal. 5) La letra F no tiene centro de simetría ni ningún eje de simetría. Clasifica las letras del abecedario en estos grupos, en el primer grupo estarán las que tienen un eje de simetría vertical, como la letra A, en el segundo las que tiene dos ejes de simetría, uno vertical y el otro horizontal, como la letra H, en el tercero las que sólo tienen centro de simetría como la letra Z, y en el cuarto las que como la letra E tienen un eje de simetría horizontal. Por último, en un quinto grupo las que no tienen ningún tipo de simetría como la letra F.

65. Análisis de un mosaico: Dibuja en tu cuaderno una trama de triángulos, en ella un esquema del mosaico del margen y señala en tu dibujo todos los ejes de simetría, los centros de giro y los vectores de traslaciones por los cuales el transformado de un punto del mosaico (supuesto que se prolonga hasta el infinito) es también un punto del mosaico.

a) ¿Hay giros de 60º? Si los hay marca los centros de estos giros con un asterisco *. b) ¿Hay giros de 180º? Si los hay marca los centros de estos giros con un círculo o.

c) Señala los ejes de simetría que encuentres con una línea de puntos. d) Dibuja al margen los vectores de traslación, horizontales y verticales, que haya. e) Diseña tu propio mosaico que mantenga los mismos movimientos haciendo algo sencillo (un arco, una poligonal) que

se vaya moviendo.




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66. Analiza este otro mosaico. Indica las transformaciones que tenemos que aplicar al elemento mínimo del mosaico adjunto para dejarlo invariante. Indica también los elementos que las caracterizan.

67. En la animación siguiente observa la forma de obtener un mosaico. Ha tomado una celda unidad de 4 cuadraditos, ha seleccionado un motivo mínimo… Indica que simetrías ha utilizado, qué giros y qué traslaciones.

68. Determina los ejes y centros de simetría de las siguientes gráficas de funciones. Señala cuáles son pares y cuáles impares. (Dibuja previamente su gráfica).

a) y = x2 b) y = x3 c) y = x4 d) y = x 69. Un tetraedro regular tiene 6 planos de simetría, dibujalos en tu cuaderno e indica la forma de determinarlos. 70. Un octaedro tiene 9 planos de simetría, dibújalos, 6 pasan por los puntos medios de aristas opuestas, ¿sabes caracterizar

los otros 3? Intenta encontrar planos de simetría en un dodecaedro, y en un icosaedro. 71. Un ser humano es más o menos simétrico. Los mamíferos, pájaros y peces también lo son.

Tienen un plano de simetría. A) Y las estrellas de mar como la de la figura, ¿tienen un plano de simetría? B) ¿Tienen más? ¿Cuántos? C) ¿Tiene un eje de giro? ¿De qué ángulos? D) ¿Tiene simetría central? E) Dibuja en tu cuaderno una estrella de cinco puntas e indica sus ejes de simetría y su centro de giro. (Es un grupo de Leonardo D5)

72. Un prisma recto de base un rectángulo, ¿tiene simetría central? ¿Tiene planos de simetría? ¿Cuántos? Descríbelos. ¿Tiene ejes de giro? Descríbelos. ¿De qué ángulos?

73. Una pirámide regular de base un triángulo equilátero, ¿tiene simetría central? ¿Tiene planos de simetría? ¿Cuántos? Descríbelos. ¿Tiene ejes de giro? Descríbelos. ¿De qué ángulos?

74. Describe las isometrías que dejan invariantes a los siguientes cuerpos geométricos, analizando sus elementos: a) Esfera b) Cilindro recto c) Prisma regular de base cuadrada d) Cono e) Cilindro oblicuo f) Pirámide recta de base un triángulo equilátero

75. Recorta un triángulo isósceles obtusángulo. Colócalo en el libro de espejos de forma que dos lados queden apoyados en la superficie de los espejos, y el otro sobre la mesa. Mueve las páginas del libro de forma que veas distintas pirámides, en las que su base son polígonos regulares. Esto nos permite estudiar el giro de las pirámides, de qué ángulo es. (Puedes construirte un libro de espejos con dos espejos pequeños o dos hojas de metacrilato, pegados con cinta de embalar adhesiva).

76. Piensa en los poliedros regulares. Copia la siguiente tabla en tu cuaderno y complétala: POLIEDRO ¿Tiene centro de

simetría? SI/NO ¿Tiene ejes de

giro? SI/NO ¿Cuántos ejes de giro

tiene? ¿De qué ángulos?

¿Tiene planos de simetría? SI/NO

¿Cuántos planos de simetría tiene?

Tetraedro Cubo

Octaedro Dodecaedro Icosaedro

77. Contesta a las siguientes preguntas justificando las respuestas. a) ¿Es posible que una figura tenga dos ejes de simetría paralelos? b) La intersección de dos ejes de simetría, ¿es siempre un centro de simetría? c) ¿Por qué un espejo cambia la derecha por la izquierda y no cambia lo de arriba por lo de abajo? d) ¿Es cierto que dos círculos simétricos respecto a un plano son siempre cortes de una esfera?

78. A partir de un triángulo cualquiera ABC construimos el triángulo A’B’C’, en el que A' es el simétrico de A con respecto al centro C, B' es el simétrico de B con respecto al centro A y C' es el simétrico de C con respecto al centro B. Utiliza la trama de triángulos para calcular el área del triángulo A’B’C’ sabiendo que el valor del área del triángulo ABC es 1 u2.

79. Caleidoscopios diédricos: ¿Has mirado alguna vez por un caleidoscopio? Están formados por un tubo de cartón, dos espejos formando ángulo y trocitos de plástico o cristalitos que combinan sus imágenes dando lugar a preciosas composiciones llenas de simetrías. Fabrica uno, y estudia los giros y simetrías que observes.




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80. Simetrías plegando papel: a) Dobla una hoja de papel y recorta una figura. Al desdoblar habrás obtenido la figura simétrica. b) Dobla una hoja de papel mediante dos dobleces perpendiculares. (Tendrás que hacer coincidir el doblez consigo mismo). Manteniendo el papel doblado recorta una figura. Al desdoblar, la figura obtenida tendrá una doble simetría. c) Con otra hoja de papel, vuelve a doblar mediante dos dobleces perpendiculares. Dobla de nuevo por la mitad el ángulo recto obtenido. Recorta los diseños que más te gusten. Estás construyendo modelos de copo de nieve. ¿Cuántos ejes de simetría has obtenido? d) Intenta ahora doblar la hoja de papel para obtener ejes de simetría que formen ángulos de 60º y de 30º. Utiliza tu imaginación para obtener nuevos diseños de copos de nieve.

81. La simetría en la escritura de Leonardo Da Vinci: ¿Sabías que, si miras lo escrito por Leonardo en un espejo puedes leerlo con facilidad? Es un buen ejemplo de simetría especular. Lee el siguiente texto del Leonardo.

82. Utiliza la propiedad de la composición de dos simetrías de ejes secantes para demostrar que un ángulo inscrito en una circunferencia es la mitad del central que abarca el mismo arco. Ayuda: Traza la circunferencia, un ángulo inscrito y su central. Traza dos rectas perpendiculares por el centro de la circunferencia a los lados del ángulo inscrito.

83. Estudia las isometrías que dejan invariante a un triángulo equilátero. Nombra sus vértices y sus ejes de simetría. a) Aplica al triángulo un giro de 120º y luego una simetría. ¿Puedes obtener el mismo resultado con una única transformación? b) Repite lo mismo con un giro de 240º y otra simetría. c) Comprueba que siempre la composición de un giro por una simetría es otra simetría. d) Haz ahora un giro de 120º y otro de 240º, ¿qué obtienes? e) ¿Y con dos giros de 240º? f) Comprueba que la composición de dos giros del mismo centro es siempre un giro (o la identidad).

84. Al pasear por la ciudad, mirar el aula, en todo lo que nos rodea podemos ver como la Geometría permite explicarlo. Mira este mosaico. Busca un motivo mínimo, es decir, un trozo de mosaico que te permite, mediante movimientos, recomponerlo. En el diseño de este mosaico, ¿se han utilizado simetrías? a) ¿Hay simetrías de eje vertical?, b) ¿Hay simetrías de eje horizontal?, c) ¿Hay otros ejes de simetría? ¿Cuáles?, d) ¿Hay giros de 90º?, e) ¿Hay giros de 45º?, f) ¿Hay traslaciones?

85. Diseña en tu cuaderno un motivo mínimo (si no se te ocurre ninguno, usa la letra L), y utiliza las mismas simetrías, giros y traslaciones que se usan en este mosaico para hacer tu propio diseño de mosaico.

Observa tu diseño, y responde a las siguientes preguntas: ¿Si compones dos simetrías de ejes paralelos, qué movimiento obtienes? ¿Es otra simetría? ¿Es un giro? ¿Es una

traslación? Indica en tu diseño de mosaico en qué ocasión has compuesto dos simetrías de ejes paralelos y describe completamente el movimiento que has obtenido.

¿Si compones dos simetrías de ejes secantes, qué movimiento obtienes? ¿Es otra simetría? ¿Es un giro? ¿Es una traslación? Indica en tu diseño en qué ocasión has compuesto dos simetrías de ejes secantes y describe completamente el movimiento que has obtenido.

86. Mira este otro mosaico. Es el famoso mosaico Nazarí de los huesos. No vamos a tener en cuenta el color. Para diseñar el hueso, dibuja en tu cuaderno un cuadrado. Mira la figura. Corta en los lados verticales un trapecio y colócalo sobre los lados horizontales. Ya tienes el hueso. ¿Es simétrico? Tiene un eje de simetría vertical y otro horizontal, por lo que podríamos tomar como motivo mínimo la cuarta parte del hueso.

Para pasar de un hueso de color a un hueso blanco, ¿qué trasformación se ha usado? Dibuja en tu cuaderno, en color rojo, ejes de simetría verticales y en color azul, ejes de

simetría horizontales.

Señala, con un asterisco, (*), centros de giro de 90º, y con un círculo, (o), centros de simetría.

Utilizando el hueso dibuja en tu cuaderno el mosaico completo. 87. Dibuja en tu cuaderno una letra F mayúscula, y traza también dos rectas m y n que formen un ángulo de 30º y se corten

en un punto O. Dibuja su transformado por: a) Un giro de centro el punto O y ángulo 60º. b) La simetría de eje n c) La simetría de eje m d) La composición de la simetría de eje n con la de eje m e) Compara el resultado obtenido en el apartado a) con el del apartado d). ¿Qué observas?




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RESUMEN Semejanza Transformación geométrica que conserva los ángulos y las

distancias son proporcionales. Un fotocopia reducida

Traslación Viene determinada por su vector de traslación. Son isometrías directas. La composición de dos traslaciones es una traslación.

El trasladado del punto P (1, 2) por la traslación de vector v = (4, 5) es P’ (5, 7).

Giro o rotación en el plano Giro en el espacio

Viene determinado por el centro de giro y el ángulo de giro. Viene determinado por el eje de giro y el ángulo

El girado del punto P (1, 2) por el giro de centro el origen y ángulo 90º es P’ ( 2, 1)

Simetría axial Simetría especular

Se conoce por su eje de simetría Se conoce por su plano de simetría

El simétrico del punto P (1, 2) por la simetría de eje el eje de ordenadas es P’ (1, 2)

Isometrías Son trasformaciones geométricas que conservan las distancias y los ángulos.

Traslaciones, giros y simetrías

Composición de isometrías

La composición de dos isometrías directas es una isometría directa. La composición de dos isometrías inversas es una isometría directa. La composición de una isometría directa con una inversa es una isometría inversa.

Composición de isometrías en el plano

La composición de dos giros del mismo centro es un giro del mismo centro. La composición de dos simetrías es un giro o una traslación.

Elementos invariantes en el plano

La traslación no deja ningún punto invariante. El giro deja invariante un punto, el centro de giro. La simetría deja invariante una recta, el eje de simetría La identidad deja invariante todo el plano.

Elementos invariantes en el espacio

La traslación no deja ningún punto invariante. La simetría central deja invariante un único punto, el centro de simetría. El giro deja invariante una recta, el eje de giro. La simetría deja invariante el plano de simetría La identidad deja invariante todo el espacio.

Un buen resumen de este capítulo lo tienes en este Power Point AUTOEVALUACIÓN

1. Con la traslación de vector u = (3, 8) trasladamos el punto P (5, 4) hasta el punto P’ y las coordenadas de P´ son: a) (8, 4) b) (2, 4) c) (2, 12) d) (6, 3)

2. Al trasladar A (1, 8) hasta A’ (4, 6) se utiliza el vector u: a) u = ( 3, 2) b) u = (3, 2) c) u = (5, 2) d) u = (5, 14)

3. La transformación que lleva el punto A (2, 0) en el punto A’ (0, 2) no puede ser: a) Un giro de centro el origen y ángulo 90º b) Una traslación de vector u = (2, 2) c) Un giro de centro el origen y ángulo 270º d) Una simetría de eje y = x.

4. La transformación identidad también se llama: a) Simetría central b) Simetría axial c) Giro de 180º d) Traslación de vector nulo (0, 0)

5. ¿Cómo debe ser un triángulo para tener más de dos ejes de simetría? a) rectángulo b) isósceles c) equilátero d) rectángulo isósceles

6. La simetría central en el plano es un giro de: a) 360º b) 180º c) 90º d) 0º

7. En el plano, la composición de dos simetrías de ejes secantes siempre es: a) una traslación b) un giro c) otra simetría d) la simetría central

8. Las coordenadas del punto simétrico al punto A (3, 7) respecto del eje de ordenadas son: a) A’ (3, 7) b) A’ (3, 7) c) A’ (3, 7) d) A’ (7, 3)

9. Indica cuál de las siguientes letras no tiene simetría central: a) O b) H c) S d) D

10. Siempre se obtiene un giro haciendo sucesivamente: a) Dos giros de distinto centro b) Dos simetrías de ejes secantes c) Un giro y una simetría d) Dos simetrías de ejes paralelos.

capÍtulo 8: movimientos en el plano y el espacio · 2017. 12. 17. · en el ejemplo del mapa,...

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