Capıtulo 7

Validacion y ejercicios deaplicacion

Utilizando la aplicacion implementada a partir de los conceptos desarrollados enlos capıtulos 5 y 6 se presentan los resultados de la validacion de la optimizaciontopologica. Se presentan tambien tres casos de aplicacion a la ingenierıa estructural.El capıtulo se divide en tres partes: validacion, aplicacion y un caso con elementosfinitos triangulares.

Por tratarse de la identificacion del flujo de esfuerzos, se modelaron todos loscasos, tanto de validacion como de aplicacion con las siguientes propiedades de ma-terial y de elementos hipoteticas, asi como parametros de optimizacion:

- Modulo de elasticidad E = 1.00 kN/m2.- Relacion de Poisson µ = 0.30.- Valor de la carga unitaria P = 1.00 kN .- Valor de la carga distribuida w = 1.00kN/m.- Tamano del elemento finito l = 1.00 m.- Espesor del elemto finito t = 1.00 m.- Coeficiente de penalizacion de la densidad p = 3.- Coeficiente de amortiguamiento ξ = 0.5.- Radio para el filtrado de la sensibilidad rmin = 1.5l = 1.5 m.- Dominio de busqueda del lagrangiano λ1 entre 0.01 y 50.000.

Las demas variables, como la fraccion de volumen buscada , el tamano o den-sidad de la malla, las condiciones de carga y apoyo se indican para cada uno de loscasos estudiados.

Adicionalmente, al pie de la grafica de optimizacion en cada iteracion se en-cuentra la escala que indica la disdtribucion de la densidad ρ de cada uno de loselementos, esta varıa entre 0.01 para el tono blanco, pasando por cuatro tonos degrises, hasta 1.00 para el tono negro. Figura (7.1)

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En los resultados aparece como indicador de la energıa interna de deformacionU el concepto definido en la Ecuacion (5.3)

El criterio para detener el proceso iterativo de optimizacion consiste en compararla intensidad de la energıa del sistema U en dos iteraciones consecutivas, cuando ladiferencia es menor que el 1% de la energıa inicial el proceso termina.

Figura 7.1: Representacion grafica del valor de la densidad en los elementos finitos,resultado de la optimizacion topologica. Tono blanco equivale a la ”ausencia dematerial” o densiada mınima y el tono negro equivale a un elemento ”completamentesolido” o de densidad maxima.

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7.1. Verificacion y validacion

Como verificacion y validacion, se presentan en este capıtulo, cuatro categorıasde ejercicios, de las cuales se conoce el comportamiento del flujo de esfuerzos o sepuede intuir. Estos casos provienen de la teorıa de la elasticidad y en general dela mecanica estructural y su solucion es conocida. Los criterios para la seleccion deestos casos fueron los siguientes:

- Modelar el comportamiento de estructuras unidimensionales en el plano, como esel caso de las cerchas de mınimo peso de Michell [40].- Modelar el cambio de posicion de las solicitaciones, como es el caso de las vigascortas en voladizo y vigas aperaltadas.- Modelar es cambio en el comportamiento, cuando el elemento estructural, presentacambios en las condiciones de apoyo.- Definicion de la optimizacion para mallas mas finas.

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7.1.1. Cercha de mınimo peso de Michell

El primer caso de validacion corresponde al “intento” por pretender modelarcon un elemento bidimensional el comportamiento, en el plano, de elementos tipocercha. Se tomo como referencia la cercha de mınimo peso presentada por Michell

en la Figura 1.3. El esquema del modelo estructura, ası como su discretizacion sepresenta en la Figura 7.2 (d).

Figura 7.2: Modelo para simular una estructura de mınimo peso segun Michell. a.)Esquema del modelo. b.) Discretizacion mediante una malla de 1600 elementos.

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Para este caso se establecio un dominio cuadrado de dimensiones L x L. El mo-delo se encuentra simplemente apoyado a la altura media de los costados lateralesy solicitado por una carga puntual en el centroide del dominio, como se indica en laFigura (7.2) (a).

El dominio se discretizo mediante una malla estructurada de 1600 elementos rec-tangulares, como se indica en la Figura (7.2) (b).

Los pararmetros utilizados para la optimizacion topologica, ademas de los in-dicados en la introduccion del capıtulo, corresponden a una fraccion de volumenbuscada del 7%.

El proceso de optimizacion logro una convergencia hacia la 28.a iteracion. Laenergıa interna de deformacion para las iteraciones mas relevantes se indican en laFigura (7.4). Se aprecia que a partir de la 6.a iteracion Figura (7.4) (f) la forma dela optimizacion queda practicamente definida.

Respecto a la energıa interna de deformacion U, presenta un comportamientooscilatorio hacia el final del proceso. Comportamiento que tiende a estabilizarse en

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las iteraciones 27, 28 y 29 hacia un valor de 328 J Figura (7.4) (l).

El resultado de la optimizacion topologica para simular las cerchas de mınimopeso estudiadas por Michell, reproduce en esencia el comportamiento esperado,como se desprende al comparar la Figura (7.4) (l) y la Figura (1.3) (d).

En general, se puede afirmar, que el proceso de optimizacion converge rapida-mente hacia la energıa mınima de deformacion, como se puede deducir de la siguientegrafica. Aunque no se aprecia en la grafica, el comportamiento hacia el final de laoptimizacion, es un comportamiento oscilatorio al rededor de la energıa mınima. Poresta razon el proceso de optimizacion puede tardar mucho tiempo debido a pequenoscambios en la distribucion del material.

Figura 7.3: Convergencia del proceso de optimizacion. Relacion de energıas de de-formacion Ui/Uo vs. iteracion.

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Para este caso, en particular, se observa que la energıa interna de deformacion sereduce de un 100% cuando se aplica en forma uniforme la fraccion de volumen a un4% cuando termina el proceso de optimizacion topologica. La explicacion es eviden-te, una concentracion del material en sitios ”estrategicos” tiene como consecuenciaun mejor comportamiento mecanico de la estructura, reduciendo su flexibilidad ypor lo tanto su energıa interna de deformacion.

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(a) i= 1, U= 8.224 J (b) i= 2, U= 3.518 J (c) i= 3, U= 2.959 J

(d) i= 4, U= 2.342 J (e) i= 5, U= 1.933 J (f) i= 6, U= 1.431 J

(g) i= 7, U= 1.090 J (h) i= 8, U= 794 J (i) i= 9, U= 673 J

(j) i= 27, U= 308 J (k) i= 28, U=333 J (l) i= 29, U= 328 J

Figura 7.4: Estructura de mınimo peso de Michell, obtenida a partir de la optimi-zacion topologica de una viga de gran peralte, solicitada por carga puntual en elcentro de la viga y apoyada a la altura media de los dos lados. Malla 40x40, = 7%.

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7.1.2. Viga aperaltada en voladizo

El conocimiento acerca del comportamiento del flujo de esfuerzos en voladizos,se utilizara como segundo modelo para validar los resultados de la optimizaciontopologica. Se consideraron tres situaciones de carga:- a.) Carga vertical aplicada en la fibra superior del costado lateral derecho,- b.) Carga vertical aplicada a la altura media del costado lateral derecho y- c.) Carga vertical aplicada en la fibra inferior del costado lateral derecho, como seindica en la Figura (7.5)

Figura 7.5: Esquema del modelo para una viga aperaltada en voladizo solicitada poruna carga puntual: a.) en la fibra superior, b.) en la fibra media y c.) en la fibrainferior del costado lateral derecho.

Se establecio un dominio cuadrado de dimension L x L. el modelo consiste enun viga aperaltada de seccion cuadrada apoyada en forma continua en su costadoizquierdo como se indica en la figura 7.5.

El dominio se discretizo mediante una malla estructurada de 400 elementos rec-tangulares, como se indica en la Figura (7.5) (d).

Como solicitacion, actua sobre el modelo una carga puntual P ubicada en la fibrasuperior, media e inferior del costado derecho, tal como se indica en la Figura (7.5)(a), (b) y (c) respectivamente.

Ademas de los parametros para la optimzacion topologica indicados en la in-troduccion del capıtulo, se asumio en primera instancia, una fraccion de volumenrequerido del de 50%; los resultados de esta variable se indican en las Figuras7.6, 7.7 y 7.8. Para lograr una mejor definicion de la geometrıa optimizada, se re-dujo la fraccion de volumen requerido al 30%. Los resultados de esta fraccion devolumen se muestran en las Figuras 7.9, 7.10 y 7.11. Comparando los dos grupos

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de resultados indicados en las Figuras mencionadas, se concluye que efectivamente,una una reduccion en la fraccion de volumen puede conducir una mejor resoluciony definicion de las zonas que han sido retiradas como las que estan solicitadas.

Para todos los casos de esta seccion la convergencia de la optimizacion ocurre alrededor de la 18.a iteracion, de allı en adelante se observa un comportamiento oscila-torio que tiende a estabilizarse alrederor de la energıa mınima, hacia la 25.a iteracion.

El comportamiento, resultado de la optimizacion, es acorde con la teorıa de es-fuerzos de este tipo de elementos, ası como la analogıa de la cercha. Cuando la cargaactua en la fibra superior Figura (7.6) y Figura (7.9) se identifica claramente unadiagonal principal y una de menor longitud, ambas solicitadas a compresion; paragarantizar el equilibrio en la parte superior aparece un elemento horizontal solicita-do a tension. Comparando esta solicitacion con la opuesta, es decir cuando la cargaactua en la fibra inferior, Figura (7.8) y Figura (7.11) el resultado topologico esexactamente el mismo. Desde el punto de vista mecanico, los elementos estas solici-tados en forma inversa.

Para los elementos solcitados con una carga en la fibra media del costado dere-cho, se observa en las Figuras 7.10 y 7.7 un comportamiento simetrico con respectoal eje horizontal. En la parte superior los elementos se encuentran a tension y enla inferior a compresion. En este caso, el comportamiento de la optimizacion en laFigura (7.10) (h), (i) y (j) presenta un elemento de rigidizacion tipo ”cruceta” enun tono gris claro, el cual probablemente, por falta de material desaparece a partirde la iteracion (k).

La energıa interna de deformacion definida como U en la Ecuacion (5.3) presentatambien un comportamiento comparable en los grupos de los modelos indicados enlas Figuras 7.9 y 7.6, ası como en las Figuras 7.11 y 7.8 respectivamente.

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(a) i=1, U = 107J (b) i=2, U = 60J (c) i=3, U = 40J

(d) i=4, U = 30J (e) i=5, U = 25J (f) i=6, U = 23J

(g) i=7, U = 22J (h) i=8, U = 21J (i) i=9, U = 21J

(j) i=26, U = 20J (k) i=27, U = 20J (l) i=28, U = 20J

Figura 7.6: Optimizacion topologica de una viga aperaltada en voladizo, solicitadapor una carga puntual en la fibra superior del costado lateral derecho. Malla 20x20.= 50%

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(a) i=1, U = 67J (b) i=2, U = 45J (c) i=3, U = 32J

(d) i=4, U = 25J (e) i=5, U = 21J (f) i=6, U = 19J

(g) i=7, U = 17J (h) i=8, U = 17J (i) i=9, U = 16J

(j) i=25, U = 15J (k) i=26, U = 15J (l) i=27, U = 15J

Figura 7.7: Optimizacion topologica de una viga aperaltada en voladizo, solicitadapor una carga puntual en la fibra media del costado lateral derecho. Malla 20x20.= 50%

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(a) i=1, U = 107J (b) i=2, U = 60J (c) i=3, U = 40J

(d) i=4, U = 30J (e) i=5, U = 25J (f) i=6, U = 23J

(g) i=7, U = 22J (h) i=8, U = 21J (i) i=9, U = 21J

(j) i=26, U = 20J (k) i=27, U = 20J (l) i=28, U = 20J

Figura 7.8: Optimizacion topologica de una viga aperaltada en voladizo, solicitadapor una carga puntual en la fibra inferior del costado lateral derecho. Malla 20x20.= 50%

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(a) i=1, U = 495J (b) i=2, U = 238J (c) i=3, U = 155J

(d) i=4, U = 106J (e) i=5, U = 75J (f) i=6, U = 55J

(g) i=7, U = 44J (h) i=8, U = 39J (i) i=9, U = 36J

(j) i=26, U = 33J (k) i=27, U = 33J (l) i=28, U = 33J

Figura 7.9: Optimizacion topologica de una viga aperaltada en voladizo, solicitadapor una carga puntual en la fibra superior del costado lateral derecho. Malla 20x20.= 30%

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(a) i=1, U = 312J (b) i=2, U = 191J (c) i=3, U = 133J

(d) i=4, U = 98J (e) i=5, U = 75J (f) i=6, U = 57J

(g) i=7, U = 44J (h) i=8, U = 38J (i) i=9, U = 35J

(j) i=14, U = 30J (k) i=15, U = 29J (l) i=20, U = 26J

Figura 7.10: Optimizacion topologica de una viga aperaltada en voladizo, solicitadapor una carga puntual en la fibra media del costado lateral derecho. Malla 20x20.= 30%

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(a) i=1, U = 495J (b) i=2, U = 238J (c) i=3, U = 155J

(d) i=4, U = 106J (e) i=5, U = 75J (f) i=6, U = 55J

(g) i=7, U = 44J (h) i=8, U = 39J (i) i=9, U = 36J

(j) i=26, U = 33J (k) i=27, U = 33J (l) i=28, U = 33J

Figura 7.11: Optimizacion topologica de una viga aperaltada en voladizo, solicitadapor una carga puntual en la fibra inferior del costado lateral derecho. Malla 20x20.= 30%

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