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CAPÍTULO 3 - EL VAPOR COMO MEDIO DE CALENTAMIENTO DE CRUDO

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CAPÍTULO 3 EL VAPOR COMO MEDIO

DE CALENTAMIENTO DE CRUDO En este capítulo se presentan aspectos relacionados con el uso del vapor de agua como medio de calentamiento en operaciones de extracción térmica de crudo. Se comienza describiendo la naturaleza del vapor de agua y sus propiedades termodinámicas, haciendo énfasis en el comportamiento de fases, el concepto de calidad de vapor, el cálculo de las densidades de líquido y vapor en estado de saturación y el concepto de entalpía como una medida del contenido calórico del vapor. Se introduce el uso de tablas de vapor y ecuaciones de estado como herramientas para estimar propiedades termodinámicas del vapor, así como también el uso de formulaciones matemáticas para el cálculo de otras propiedades como la conductividad térmica y la viscosidad. Seguidamente, se describen los sistemas de generación y distribución de vapor de uso común en campos petroleros y luego, se presentan las teorías y procedimientos básicos para determinar cambios de estado y pérdidas de calor, tanto en líneas de vapor en superficie como en pozos para inyección de vapor. Por último, se explica la importancia que tiene la calidad del vapor para los procesos de extracción térmica. Este capítulo pretende servir como punto de referencia para Ingenieros y Técnicos que necesiten entender el comportamiento del vapor de agua, predecir sus propiedades termodinámicas y realizar cálculos para diseñar y evaluar el proceso de transporte de vapor desde las plantas generadoras, pasando por las líneas de superficie y pozos para inyección de vapor, hasta llegar a la formación objetivo. Se incluyen recomendaciones acerca de las ecuaciones, algoritmos de cálculo y métodos de análisis numérico que se pueden implementar para modelar los fenómenos estudiados. 3.2 PROPIEDADES TERMODINÁMICAS DEL VAPOR Una propiedad termodinámica se puede definir como una variable que permite cuantificar el estado de un sistema. Las propiedades termodinámicas se pueden clasificar en intensivas y extensivas. Una propiedad extensiva es dependiente de la masa del sistema, mientras que una propiedad intensiva no lo es. Temperatura y presión son ejemplos de propiedades intensivas, el volumen y el peso de un sistema son propiedades extensivas. Cuando se dividen dos propiedades extensivas se tiene como resultado una propiedad intensiva, un ejemplo es la densidad que resulta de dividir la masa de un sistema por su volumen. Por convención, las propiedades termodinámicas intensivas se representan con letras minúsculas y las extensivas con letras mayúsculas [1].


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En esta sección se estudian algunas propiedades termodinámicas del vapor de agua. El agua es uno de los mejores ejemplos de una sustancia pura, a diario se tiene la oportunidad de estar en contacto con ella en sus fases líquida, sólida y gaseosa. El vapor de agua o simplemente vapor, como se le denominará de aquí en adelante, no es otra cosa que agua en estado gaseoso, que se obtiene cuando el agua en fase líquida cambia a fase gaseosa mediante el proceso de vaporización. El comportamiento de una sustancia pura y sus cambios de fase pueden definirse a través de sus propiedades termodinámicas, estás suelen representarse en diagramas termodinámicos, que son gráficos donde se muestra la relación entre las propiedades: presión (P), temperatura (T), volumen específico (v), entalpía (h) y entropía (s). No es necesario que un diagrama termodinámico muestre la relación entre todas estas variables, lo usual es construir gráficos de dos coordenadas, donde cada una representa una propiedad termodinámica [2]. Los diagramas termodinámicos más comunes son: presión-temperatura o diagrama de fase (P-T), presión-volumen (P-v), presión-entalpía (P-h), temperatura-entropía (T-s) y entalpía-entropía o diagrama de Mollier (h-s). El diagrama P-T resulta especialmente útil para visualizar el comportamiento de fases de una sustancia pura, ya que muestra las condiciones en las que pueden existir en equilibrio una, dos o tres fases. En la figura 3.1 se presenta el diagrama P-T del agua.

Figura 3.1 Diagrama P-T del Agua. En este diagrama las curvas representan las combinaciones de presión y temperatura donde existen dos fases, mientras que las áreas separadas por las curvas constituyen los rangos de presión y temperatura donde existe una fase única. La línea AT

Temperatura

Pres

ión

T

C

B

A

Región Gaseosa

Región Líquida

Región Sólida


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representa el equilibrio sólido-vapor (curva de sublimación), la línea BT representa el equilibrio sólido-líquido (curva de fusión) y la línea CT representa el equilibrio líquido-vapor (curva de vaporización). El punto T donde se interceptan las tres curvas de equilibrio, representa el punto triple del agua donde pueden coexistir las tres fases. El punto C donde termina la curva de vaporización se denomina punto crítico y representa el estado máximo de presión y temperatura donde las fases líquida y gaseosa son distinguibles entre sí [2,3]. Casi todas las sustancias puras tienen diagramas de fase similares. El agua es una excepción importante porque presenta una curva de equilibrio sólido-líquido con pendiente negativa. Este detalle especial, se explica en base a la estructura molecular del agua, que forma puentes de hidrógeno cuando está en fase líquida, haciendo que en esta fase la atracción intermolecular sea mayor que en la fase sólida. Así, el agua se expande al solidificarse y el hielo se derrite cuando es sometido a presión, haciendo posible que el hielo pueda flotar en el agua y produciendo algunos inconvenientes, como el rompimiento de recipientes en el congelador [1]. En este diagrama, una fase se considera líquida si puede vaporizarse al reducir la presión a temperatura constante y se considera gaseosa si se condensa al reducir la temperatura a presión constante. Todo el gas debajo de la línea de equilibrio líquido-vapor que pueda condensarse por compresión a temperatura constante o por enfriamiento a presión constante recibe el nombre de vapor seco o sobrecalentado. El vapor que se encuentra en equilibrio con la fase líquida sobre la línea de vaporización, recibe el nombre de vapor húmedo. La presión y la temperatura correspondientes a un punto sobre la línea de equilibrio líquido-vapor, se denominan presión de saturación y temperatura de saturación. Un diagrama especialmente útil para seguir trayectorias de cambio de estado en un proceso es el diagrama de presión versus volumen específico (P-v). El volumen específico de una sustancia es una propiedad termodinámica intensiva, que se define como el inverso de su densidad y tiene unidades de volumen entre masa [m3/Kg]. En la figura 3.2 se muestra el diagrama P-v de agua. En este diagrama el equilibrio líquido-vapor está representado por una región que se denomina domo de saturación, cuyo punto superior es el punto crítico. Sobre un diagrama P-v se construyen líneas isotermas. Las isotermas que pasan sobre el punto crítico representan temperaturas mayores a la temperatura crítica de la sustancia y como se ve en la figura 3.2, describen un trazo suave que no cruza el domo de saturación. Por su parte, las isotermas menores a la temperatura crítica cruzan el domo de saturación de forma horizontal o lo que es igual, a presión de saturación constante. A lo largo de la sección horizontal de una isoterma ocurre el cambio de fase desde 100% líquido hasta 100% vapor, es decir, que sobre ella


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pueden existir todas las mezclas posibles de vapor y líquido en equilibrio para la temperatura y presión de saturación en cuestión.

Figura 3.2 Diagrama P-v del agua. Las líneas izquierda y a derecha del domo de saturación son las líneas de líquido saturado y vapor saturado, respectivamente, que representan los volúmenes específicos de líquido saturado y vapor saturado (vf y vg) en función de la presión. Cuando la presión aumenta el volumen específico de líquido saturado se incrementa levemente, mientras que el volumen específico de vapor saturado disminuye. Esto sucede hasta que se encuentran en el punto crítico. La región inmediatamente a la izquierda de la línea de líquido saturado es la región de líquido comprimido, mientras que la región inmediatamente a la derecha de la línea de vapor saturado es la región de vapor seco o sobrecalentado [3]. En el diagrama P-v cada punto definido por un dato de presión y uno de volumen específico corresponde a un estado termodinámico. Al fijar estas dos propiedades sólo se encuentra una isoterma que pase sobre tal punto, por lo que la temperatura queda definida automáticamente. Ahora bien, si los datos suministrados son presión y temperatura existen dos posibilidades, se puede estar fuera o dentro del domo de saturación. Fuera del domo existe un sólo estado para cada par de valores de presión y temperatura, pero dentro existen un conjunto infinito de puntos o estados para una presión fija sobre la sección horizontal de una isoterma. En el domo de saturación donde ocurre un proceso de cambio de fase la presión y la temperatura

0

4000

8000

12000

16000

20000

24000

28000

0.001 0.01 0.1 1Volumen Específico [m3/Kg]

Pres

ión

[KPa

]

Tc


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son variables dependientes, así que al especificar la presión de saturación, la temperatura de saturación queda fija automáticamente o viceversa. Para poder definir un estado dentro del domo de saturación es necesario definir el concepto de Calidad [1]. 3.2.1 Calidad Como se mencionó anteriormente, dentro del domo de saturación coexisten las fases líquida y gaseosa en equilibrio. Para definir la proporción en la que existen se utiliza el concepto de calidad de vapor, que se define como sigue:

Líquido de Masa Vapor de Masa Vaporde Masa

X+

= ec. (3.1)

Según esta definición, un valor de calidad igual a cero indica que el estado termodinámico está sobre la línea de líquido saturado, mientras que un valor de calidad igual a uno indica que está sobre la línea de vapor saturado. En operaciones industriales, es común que la calidad se exprese en forma de porcentaje. Al final del capítulo se comentará la importancia de la calidad del vapor en los procesos de extracción térmica de crudo. El concepto de calidad permite calcular el valor de otras propiedades termodinámicas dentro del domo de saturación, a partir de las propiedades de líquido y vapor saturados. Por ejemplo, el volumen específico de una sustancia dentro del domo de saturación puede calcularse por alguna de las siguientes expresiones [1]:

)X1(vXvv fg −⋅+⋅= ec. (3.2)

( ) fgffgf vXvvvXvv ⋅+=−⋅+= ec. (3.3)

Donde vfg representa la diferencia entre los volúmenes específicos de vapor saturado y líquido saturado, que indica el cambio de volumen específico durante el cambio de fase de 100% líquido a 100% vapor. Otras propiedades también son objeto del mismo tratamiento, como se verá más adelante con el caso de la entalpía. 3.2.1 Entalpía Antes de establecer una definición práctica de la entalpía, resulta conveniente entender de donde surge el concepto y para tal fin, primero se debe definir otra propiedad termodinámica, la energía interna (u). La energía interna de una sustancia se refiere a la energía que poseen las moléculas que la constituyen, que se debe a su movimiento constante y se manifiesta a nivel microscópico, como energía cinética de traslación y a excepción de las moléculas monoatómicas, también como


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energía cinética de rotación y vibración interna. La energía interna excluye la energía potencial y cinética de la sustancia como resultado de su posición o movimiento macroscópico [2]. La energía interna se mide en unidades de Newton por metros [N·m] o Joules [J]. La adición de calor a una sustancia aumenta el grado de agitación de sus moléculas, incrementando su energía interna. El mismo efecto puede ser provocado mediante la adición de trabajo sobre la sustancia, por ejemplo, el tipo de trabajo que va acompañado de un cambio de volumen del sistema. La entalpía (h) se define como una expresión matemática que relaciona la energía interna de cualquier sistema con el término P·V (presión por volumen), de la siguiente forma [2]:

VPUH ⋅+= ec. (3.4) El término P·V aparece con frecuencia en el análisis termodinámico de sistemas abiertos y representa la cantidad de trabajo aplicado sobre o por el fluido en los límites de entrada y salida del sistema, además posee las mismas unidades que la energía interna, así que la entalpía también se mide en Newton por metros [N·m] o Joules [J]. La ecuación (3.4) está escrita en forma extensiva pero puede pasar fácilmente a forma intensiva, dividiendo todos los términos por la masa del sistema. De esta manera la entalpía tomaría unidades de energía sobre masa, es decir, Joules por Kilogramos [J/Kg]. Una vez presentada esta definición de entalpía, resulta conveniente interpretarla como una medida del contenido de calor de un fluido. Aunque los valores absolutos de la energía interna y por lo tanto los de la entalpía son desconocidos, para el análisis termodinámico de un sistema lo importante es calcular cambios en sus propiedades, para tal fin se definen estados de referencia a partir de los cuales se pueden cuantificar dichos cambios. Existen una serie de formulaciones de aceptación internacional establecidas por la “International Association for the Properties of Water and Steam” (IAPWS), donde se establece como estado de referencia para calcular las propiedades del agua, que la energía interna y la entropía del líquido saturado en el punto triple del agua (276,16 [K]) son iguales a cero [4, 5], con lo que la entalpía de líquido saturado en el punto triple, calculada a partir de las condiciones de equilibrio de fase, es igual a 0,611872 [J / Kg]. En la figura 3.3 se puede visualizar que el diagrama P-h del agua también aparece el domo de saturación, indicando las condiciones de presión y temperatura donde existe equilibrio líquido-vapor. El incremento de calor durante un proceso de evaporación a presión constante, donde se cruza el domo a través de la sección horizontal de una isoterma, desde la línea de líquido saturado (hf) hasta la línea de vapor saturado (hg), se define como el calor latente de vaporización (hfg). En otras palabras, el calor


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latente de vaporización es la diferencia entre la entalpía de vapor saturado y la entalpía de líquido saturado, conocida en algunas textos como calor sensible.

Figura 3.3 Diagrama P-h del agua. Para calcular la entalpía total de un estado dentro del domo de saturación se procede de igual forma que en las ecuaciones (3.3) y (3.4), donde se promedian las propiedades de líquido y vapor saturados mediante la calidad del vapor:

)X1(hXhh fg −⋅+⋅= ec. (3.5)

( ) fgffgf hXhhhXhh ⋅+=−⋅+= ec. (3.6)

3.3 CÁLCULO DE LAS PROPIEDADES DEL VAPOR Hasta este punto, se ha explicado el comportamiento de fases del agua y se definieron algunas de sus propiedades termodinámicas, que serán utilizadas más adelante para estimar las pérdidas de calor en tuberías que transportan vapor. Esta sección se encarga de presentar las distintas herramientas que se pueden utilizar para estimar las propiedades termodinámicas del vapor de agua. Se explica el uso de las tablas de vapor, se hace mención de correlaciones experimentales para calcular las propiedades del vapor y finalmente se presenta una explicación detalla del uso de

1000

3000

5000

7000

9000

11000

13000

15000

17000

19000

21000

23000

500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500 2750 3000Entalpía [KJ/Kg]

Pres

ión

[KPa

]

X=20% X=40% X=60% X=80%


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ecuaciones de estado, comparando los resultados que algunas de ellas producen para el caso del equilibrio líquido-vapor del agua. 3.3.1 Tablas de Vapor y Correlaciones Experimentales Los diagramas termodinámicos se presentaron como una herramienta útil para visualizar el comportamiento de fases y la trayectoria que sigue una sustancia pura al cambiar de estado. Sin embargo, aportan poca precisión para realizar cálculos de propiedades termodinámicas. Por esta razón, las propiedades termodinámicas suelen presentarse en tablas numéricas donde para un valor de temperatura o de presión en una columna base, se pueden leer el resto de las propiedades termodinámicas en su forma intensiva (volumen, entalpía, entropía y energía interna). El intervalo de presión o temperatura que se utiliza para construir una tabla de vapor, determina la precisión de los valores que se obtienen por interpolación entre dos filas de la misma. Se pueden construir tablas termodinámicas para una sustancia pura en las regiones de líquido comprimido, vapor sobrecalentado y saturación, en el caso del agua las dos últimas reciben el nombre genérico de Tablas de Vapor. El Apéndice A contiene las tablas de vapor en unidades del sistema internacional. En las tablas de agua saturada se pueden leer, para datos de temperatura desde el punto triple hasta el punto crítico, la presión de saturación, el volumen específico y la entalpía de ambas fases, además del calor latente de vaporización. En las tablas de vapor sobrecalentado se pueden leer volúmenes específicos y entalpías a temperaturas mayores que la temperatura de saturación para una presión dada. Estas tablas fueron construidas utilizando la formulación para uso científico de la IAPWS [5]. Muchos cálculos de propiedades termodinámicas que se realizan en la industria aparecen dentro de procesos iterativos que requieren el uso de computadoras. Por esta razón ha surgido la necesidad de formular ecuaciones que puedan implementarse dentro de rutinas computacionales. En el caso del agua existen desde correlaciones muy sencillas construidas a partir del ajuste de datos experimentales, hasta ecuaciones más complejas y elegantes, como ecuaciones de estado formuladas especialmente para esta sustancia. Un ejemplo de ecuaciones construidas a partir de ajustes experimentales, son las correlaciones de Farouq-Ali, quien propuso las siguientes expresiones para calcular volúmenes específicos y entalpías en estado de saturación [6]:

( )45,0SAT

225,0SATf P70394257,8P74075,36,6000023,001602,0v ⋅+⋅+−⋅+=

ec. (3.7)

9588.0SATg P9.363v −⋅= ec. (3.8)


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2574.0SATf P91h ⋅= ec. (3.9)

08774.0

SATfg P1318h −⋅= ec. (3.10)

01267.0

SATg P1119h ⋅= ec. (3.11)

Donde,

vg: volumen específico de vapor saturado [pie3/lbm] vf: volumen específico de líquido saturado [pie3/lbm] hf: calor sensible o entalpía de líquido saturado [BTU/lbm] hfg: calor latente de vaporización [BTU/lbm] hg: entalpía de vapor saturado [BTU/lbm] PSAT: presión de saturación [psia]

Las correlaciones de Farouq-Ali son válidas dentro del rango de 15 a 1000 [psia], donde arrojan errores menores a 0,3% para las entalpías, menores a 1,2% para los volúmenes específicos y menores al 1,9% parta el calor latente de vaporización. Otras correlaciones más exactas han sido propuestas por Ejiogu y Fiori (1978), Tortike y Farouq-Ali (1989) y Sze-Foo Chien (1982) [6]. Este tipo de correlaciones resultan útiles para realizar cálculos rápidos y precisos dentro del rango donde fueron creadas y se pueden implementar de forma sencilla en rutinas computacionales. Sin embargo, resulta claro que su utilidad es limitada, porque sólo representan ajustes de datos experimentales de una región o línea en un diagrama termodinámico. Para una descripción precisa del comportamiento P-v-T (presión-volumen-temperatura) de una sustancia dentro de un intervalo amplio de presión y temperatura, que incluya las regiones de líquido comprimido, vapor sobrecalentado y de equilibrio líquido-vapor, se debe recurrir sin duda alguna a una ecuación de estado. 3.3.2 Ecuaciones de Estado Una ecuación de estado se define como una función matemática de la forma F(P,v,T) = 0, que permite establecer relaciones entre las propiedades termodinámicas de una sustancia de manera analítica. La ecuación de estado más sencilla es la ecuación de gases ideales, que permite modelar el comportamiento de gases a bajas presiones según la siguiente expresión:

TRnVP ⋅⋅=⋅ ec. (3.12) Esta ecuación, que reúne las leyes de Boyle-Marriott, de Gay-Lussac y de Charles, supone que las moléculas no tienen volumen y que no interactúan entre sí, por lo que


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sólo funciona en sistemas donde los diámetros moleculares son despreciables comparados con la distancia entre las moléculas, como es el caso de los gases a bajas presiones [1]. El estudio de las ecuaciones de estado es un campo de investigación muy activo, en la literatura existe una gran cantidad de ecuaciones de estado, tanto para sustancias puras como para mezclas multicomponentes. Olivera-Fuentes y Müller (1999) presentan una clasificación de las ecuaciones de estado que consiste en cuatro grandes grupos [7]: Ecuaciones de estado del tipo virial. Estas ecuaciones se basan en la

expansión virial del factor de compresibilidad (Z) como una serie de potencias de la densidad molar. Existen ecuaciones viriales truncadas y cerradas. Las primeras incluyen la cantidad de coeficientes de los que se disponga, generalmente hasta el segundo y en algunas hasta el tercero, mientras que las segundas compensan los términos faltantes de la serie con uno o dos términos semi-empíricos, por lo general exponenciales en la densidad. Ecuaciones de estado cúbicas. Estas ecuaciones tienen su origen histórico en

la ecuación Van der Waals. Se basan en la tesis de que a temperaturas subcríticas existe una continuidad entre los estados líquidos y gaseosos de una sustancia, por lo que ambos pueden ser representados por un mismo modelo termodinámico. Ecuaciones de estado de perturbación. Estas ecuaciones poseen una base

teórica más sólida que las ecuaciones de estado cúbicas. Su fundamento es agregar términos de perturbación a la ecuación de estado de un fluido de referencia, que por lo general es un gas ideal, con la finalidad de representar interacciones moleculares más complejas como atracción, asociación, polaridad, etc… Ecuaciones de estado de tipo fundamental. Estas ecuaciones son modelos

complejos para la función fundamental de la energía libre de Helmholtz. Representan los estándares de referencia y sólo están disponibles para pocas sustancias puras que, como el caso del agua, han sido objeto de arduos estudios experimentales. Contienen un número grande de parámetros ajustados, no sólo a partir de datos P-v-T sino también, a partir de otras propiedades medidas experimentalmente como entalpías, entropías, calores de vaporización, etc...

Las ecuaciones más precisas para predecir el comportamiento P-v-T del agua son aquellas que han sido especialmente creadas para tal fin, es decir, las de tipo fundamental. Tal es el caso de la ecuación de Keenan y Keyes [8], la formulación NBC/NRC [9] y la formulación para uso científico y general de la IAPWS [5]. Esta última es objeto de revisiones a medida que surgen nuevos datos experimentales del comportamiento termodinámico del agua, en su revisión de año 1997 se reportan incertidumbres dentro del rango de +/- 0,05% para la presión de saturación y de +/- 0,5% para las densidades de líquido y vapor saturados. Cabe mencionar que la IAPWS también cuenta con una formulación de uso industrial [10], cuya finalidad es


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proporcionar una herramienta de cálculo más rápida de utilizar que la formulación de uso científico y que permanezca invariable por largos períodos de tiempo, permitiendo su utilización en proyectos a largo plazo. Aunque las ecuaciones de estado cúbicas no suelen ser recomendadas para compuestos polares como el agua, son ideales para ilustrar el comportamiento de fases de una sustancia pura y ejemplificar el cálculo de propiedades termodinámicas mediante las ecuaciones de estado. A continuación se desarrolla una breve explicación sobre las ecuaciones de estado cúbicas y se comparan los resultados de algunas de ellas, con respecto a los que arroja la formulación de uso científico de la IAPWS. 3.3.2.1 Ecuaciones de estado cúbicas Una mejora de la ecuación de gases ideales, que considera el volumen de las moléculas de una sustancia, además de la atracción intermolecular y las fuerzas repulsivas entre ellas, es la ecuación desarrollada en 1873 por van der Waals:

( ) 2v

abvTR

P −−⋅= ec. (3.13)

En esta expresión el término b, conocido como co-volumen, es el término repulsivo e indica el volumen mínimo o aparente de las moléculas, por lo que siempre será menor que el volumen molar v . El término a/ v 2 es el término de atracción y R , al igual que en la ecuación de gases ideales, es la constante universal de los gases (8,3144 [KJ/Kgmol·K]). La ecuación de van der Waals se puede desarrollar hasta obtener un polinomio cúbico con respecto al volumen molar o si se introducen los cambios de variables adecuados, con respecto al factor de compresibilidad (Z), como se indica a continuación:

0Pba

vPa

vP

TRbv

23=⋅−⋅

+⋅

⋅+− ec. (3.14)

( )2TRPaA

⋅⋅= ec. (3.15)

TRPb

B⋅⋅= ec. (3.16)

( ) 0BAZAZB1Z 23 =⋅−⋅+⋅+− ec. (3.17)


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Las ecuaciones de este estilo reciben el nombre de ecuaciones de estado cúbicas. Para temperaturas sobre el punto crítico, así como también en las regiones correspondientes a líquido comprimido y vapor sobrecalentado, las ecuaciones cúbicas sólo tienen una raíz con significado físico. Para temperaturas por debajo del punto crítico y dentro del domo de saturación, una ecuación de estado cúbica tiene tres raíces reales (ver figura 3.4), la raíz mayor corresponde a vapor saturado y la menor a líquido saturado, mientras que la intermedia carece de significado físico. La presencia de las tres raíces dentro del domo de saturación, va acompañada de un comportamiento que difiere del trazo horizontal que debería describir una isoterma en esta región.

Figura 3.4 Comportamiento de una ecuación de estado cúbica. Las isotermas obtenidas mediante una ecuación cúbica muestran un valor máximo y un valor mínimo de presión dentro del domo, dichos valores no carecen del todo de significado físico, ya que representan los límites de presión dentro de los que una sustancia podría expandirse o comprimirse, si es sometida a un proceso con perturbaciones lo suficientemente pequeñas para evitar que se inicie el cambio de fase (sistema metaestable) [1, 11]. La presencia de los valores máximo y mínimo de las isotermas dentro del domo, comienza a atenuarse cuando la temperatura se acerca a la del punto crítico. La isoterma que pasa sobre el punto crítico presenta un punto de inflexión justo sobre este punto, por lo que las derivadas primera y segunda con respecto al volumen evaluadas a la temperatura crítica son iguales a cero:

0vP

vP

TcT2

2

TcT

=

∂∂=

∂∂

==

ec. (3.18)

v

PT=Tc

T>Tc

T<Tc

v1 v2 v3

P1 N

M


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Esta observación resulta útil porque permite determinar el valor de los parámetros a y b de una ecuación de estado cúbica, conocidas las propiedades críticas de una sustancia. En el caso de aplicar este criterio a la ecuación de van der Waals, los valores de a y b están dados por las siguientes expresiones:

⋅⋅=Pc

TcR6427

a22

ec. (3.19)

⋅⋅=Pc

TcR81

b ec. (3.20)

El desarrollo moderno de las ecuaciones de estado cúbicas comenzó en 1949 con la ecuación de Redlich-Kwong, que consiste básicamente en una modificación de la ecuación de van der Waals donde el término de atracción es dependiente de la temperatura. Es posible que las ecuaciones cúbicas de mayor aceptación sean la de Soave-Redlich-Kwong (1971) y la de Peng-Robinson (1976). En ambas ecuaciones, el parámetro a en el término de atracción se define como:

α⋅= aca ec. (3.21) Donde ac es una variable que sólo depende de las propiedades críticas de las sustancia al igual que el parámetro b, mientras que el parámetro α es el encargado de introducir la dependencia de la temperatura. En el siguiente cuadro se muestra la forma de ambas ecuaciones [11]:

SRK PR

( ) ( )bvvac

bvTR

P+⋅α⋅−

−⋅= ( ) ( ) ( )bvbbvv

acbvTR

P−⋅++⋅

α⋅−−⋅=

PcTR42747.0ac

22⋅⋅=

PcTR457235.0ac

22⋅⋅=

PcTcR

08664.0b⋅⋅=

PcTcR

077796.0b⋅⋅=

( )[ ]25.0Tr1m1 −⋅+=α ( )[ ]25.0Tr1m1 −⋅+=α

2176.0574.1480.0m ω⋅−ω⋅+= 226992.05422.137464.0m ω⋅−ω⋅+=

Tabla 3.1 Ecuaciones de Soave-Redlich-Kwong y Peng-Robinson.


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En las dos ecuaciones el parámetro α se calcula de la misma forma, pero utilizan expresiones distintas para el parámetro m. En SRK la expresión para calcular m se obtuvo correlacionando el factor acéntrico (ω) con cálculos de las fugacidades de líquido y vapor saturado a una temperatura reducida igual a 0,7, mientras que en PR se obtuvo ajustando datos de equilibrio líquido-vapor desde el punto normal de ebullición hasta el punto crítico, también en función del factor acéntrico. Muchas de las modificaciones de las ecuaciones de SRK y PR que han sido publicadas, consisten en proponer nuevas correlaciones para el parámetro m [11]. Ambas ecuaciones se pueden escribir en función del factor de compresibilidad (Z) utilizando las definiciones de los parámetros A y B de las ecuaciones (3.15) y (3.16):

Para SRK: ( ) 0BAZBBAZZ 223 =⋅−⋅−−+− ec. (3.22)

Para PR: ( ) ( ) ( ) 0BBBAZB3B2AZB1Z 32223 =−−⋅−⋅⋅−⋅−+⋅−− ec. (3.23) En el caso de utilizar las ecuaciones (3.22) y (3.23) en vez de las expresiones en función del volumen, los criterios de interpretación de las raíces se mantienen, por lo que de las tres raíces que se encuentran en la región de saturación, la menor corresponde al factor de compresibilidad de líquido saturado y la mayor al factor de compresibilidad de vapor saturado. Una vez determinadas estas raíces, los volúmenes específicos se calculan de la siguiente manera:

PMPTR

Zv ff ⋅⋅⋅= ec. (3.24)

PMPTR

Zv gg ⋅⋅⋅= ec. (3.25)

Para hallar las raíces de una ecuación cúbica se pueden utilizar métodos analíticos o métodos de análisis numérico. En la Apéndice B se describe un método analítico para resolver un polinomio cúbico. En caso de utilizar métodos de análisis numérico, se recomiendan los métodos con un solo punto inicial, como el de Newton-Raphson o el método del Punto Fijo. En general, este tipo de métodos converge más rápido que los métodos con dos puntos iniciales (Bisección, Regula-Falsi, etc…), siempre y cuando exista una solución de la función y que el punto inicial sea una buena aproximación de la solución [12, 13]. El apéndice B contiene una breve descripción de algunos métodos con un punto inicial con ejemplos de cálculo. Como punto inicial para hallar la raíz correspondiente a vapor saturado, se puede utilizar el volumen calculado con la ecuación de gases ideales, mientras que para la raíz correspondiente a líquido saturado se puede utilizar como valor inicial el volumen estimado con la Ecuación de Rackett, la cual tiene la siguiente forma [2]:


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( ) 72Tr1CCf Zvv −⋅= ec. (3.26)

En esta ecuación vC y ZC son el volumen específico y el factor de compresibilidad en el punto crítico, Tr se refiere a la temperatura reducida, que se calcula dividiendo la temperatura del estado en cuestión por el valor de la temperatura crítica, TC. Las propiedades críticas del agua son: PC=22064 [KPa], vC=3,105590·10-3 [m3/Kg], TC=647,096 [K] y ZC=0.2294.

La presión de saturación puede ser determinada a partir de una ecuación de estado. Un proceso reversible e isotérmico para llevar una sustancia pura desde líquido saturado hasta vapor saturado, seguiría la trayectoria horizontal de una isoterma dentro del domo de saturación. En esta región temperatura y presión son variables dependientes, por lo que el proceso también sería isobárico y el trabajo requerido para llevarlo a cabo podría calcularse como el área del rectángulo debajo de la isoterma dentro del domo de saturación. Si se utilizara una ecuación de estado en vez de un valor de presión de saturación fijo, el resultado tendría que ser el mismo y tendría que cumplirse lo siguiente:

SATT

vg

vffgSAT dv)T,v(P)vv(P

⋅=−⋅ ∫ ec. (3.27)

Esta expresión, conocida como el Criterio de Maxwell, implica que las áreas que una ecuación de estado predice dentro del domo de saturación (por ejemplo las áreas M y N de la ecuación cúbica en la figura 3.4) deben ser iguales. Dado un valor de temperatura, el Criterio de Maxwell puede utilizarse para calcular la presión de saturación, el volumen específico de líquido saturado y el volumen específico de vapor saturado a esa temperatura, todo esto mediante el siguiente procedimiento iterativo: 1) Se supone una presión de saturación inicial. 2) Con la presión de saturación supuesta y la temperatura dada se calculan los

volúmenes específicos de líquido saturado y vapor saturado, a partir de la ecuación de estado.

3) Se sustituyen los volúmenes específicos calculados en la expresión del Criterio de Maxwell y se despeja la Presión saturación de la ecuación (3.27).

)vfvg(

dv)T,v(P

Psat Tsat

vg

vf

−

⋅

=

∫ ec. (3.28)


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4) Se verifica si la presión de saturación calculada es igual a la supuesta, en caso contrario la presión saturada calculada pasa a ser la supuesta y se repite el procedimiento de cálculo.

Este criterio también se puede utilizar para calcular la temperatura de saturación, para una presión dada. Cuando se conocen la presión de saturación y los volúmenes específicos de líquido saturado y vapor saturado para una temperatura determinada, se puede determinar el estado en que se encuentra una sustancia, ya que para esa misma temperatura se cumple que: Si P > Psat el estado está en líquido comprimido. Si P < Psat el estado está en vapor sobrecalentado. Si P = Psat el estado está en saturación

En la figura 3.5 se compara el domo de saturación del agua obtenido con la formulación de uso científico de la IAPWS, con los volúmenes específicos de líquido y vapor saturados obtenidos con las ecuaciones de Soave-Redlich-Kwong y Peng-Robinson dentro de un rango de temperaturas entre 0 y 366 [°C]. Ambas ecuaciones cúbicas sobreestiman los volúmenes específicos con respecto a los resultados de la formulación IAPWS. Para el volumen de líquido saturado, la ecuación de Soave-Redlich-Kwong reporta un error promedio es de 39,4%, mientras que la ecuación de Peng-Robinson el error es de 10,2%. En el caso del volumen específico de vapor saturado los errores promedio disminuyen, llegando a ser de 23,6% en la ecuación de Soave-Redlich-Kwong y de 5,8% en la ecuación de Peng-Robinson.

1000

5000

9000

13000

17000

21000

25000

0.001 0.01 0.1v [m3/Kg]

P [K

Pa]

SRKPRIAPWS

Figura 3.5 Volúmenes específicos de saturación con EDE cúbicas.


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En la figura 3.6 se muestran los resultados de aplicar el criterio de Maxwell para calcular la presión de saturación del agua, con las ecuaciones de Soave-Redlich-Kwong, Peng-Robinson y la formulación de uso científico de la IAPWS. Comparando los resultados de la formulación IAPWS con los de las ecuaciones cúbicas, se observa que las últimas hacen buenas predicciones de la presión de saturación del agua. En el caso de la ecuación de Soave-Redlich-Kwong el error promedio es de 5,23% mientras que para la ecuación de Peng-Robindon es de 2,9%. Una revisión más minuciosa de los resultados revela que los errores mayores se obtienen para temperaturas por debajo de los 100 [°C].

02000400060008000

10000120001400016000180002000022000

0 50 100 150 200 250 300 350 400TSAT [°C]

P SA

T [K

Pa]

SRKPRIAPWS

Figura 3.6 Presión de saturación vs. temperatura a partir de EDE cúbicas. Si se desea obtener mayor exactitud en el cálculo de las propiedades termodinámicas del agua, que la que se obtiene con las ecuaciones cúbicas pero sin llegar a la complejidad de programación que involucra el uso de una ecuación del tipo fundamental, se puede recurrir a una ecuación de estado de perturbación. Un ejemplo de este tipo de ecuaciones es la ecuación SAFT (Statistical Asociating Fluid Theory), de la cual existen diversos estudios y modificaciones propuestas en la literatura. Esta ecuación tiene como ventaja sobre las ecuaciones cúbicas que permiten el cálculo de densidades, presiones de vapor y otras propiedades termodinámicas para una importante variedad de sustancias puras: hidrocarburos, aromáticos, alcoholes, éteres, cetonas, ácidos carboxílicos, aminas, haluros de alquilo y polímeros. Para mayores de detalles sobre esta ecuación y sus modificaciones, así como también sobre sus resultados para el agua se pueden consultar las referencias [14] y [15].


- 18 -

3.4 SISTEMAS DE GENERACIÓN Y DISTRIBUCIÓN DE VAPOR El objetivo de esta sección es presentar las características básicas de los sistemas de generación vapor que se utilizan comúnmente en los proyectos de extracción térmica, así como también, aspectos básicos relacionados con las plantas de tratamiento del agua de alimentación para los generadores y los sistemas de distribución de vapor el campo. 3.4.1 Generadores de Vapor Los generadores de vapor utilizados en los procesos de recuperación térmica reciben el nombre de generadores de un solo paso o generadores de vapor húmedo. A diferencia de una caldera común utilizada para generar vapor para accionar turbinas, los generadores de un solo paso no poseen dispositivos especiales para eliminar fracciones líquidas. De hecho la calidad máxima del vapor que generan se mantiene alrededor del 80%, como medida preventiva para evitar la precipitación de partículas sólidas en los tubos dentro del generador, que provocarían el aumento de las pérdidas de presión en el generador y la disminución de su eficiencia térmica. En la figura 3.7 se muestra el esquema de un generador de vapor de un solo paso. En general, este tipo de generadores consta de las siguientes secciones [18, 19, 20]: Bomba de Suministro de Agua, que es la encargada de mantener el flujo y la

presión de agua necesarios para generar el vapor requerido en el campo. Esta bomba suele trabajar con una tasa constante, por lo que cuenta con un desvío en la tubería de descarga que se utiliza en caso que disminuya el requerimiento de vapor en el campo.

Precalentador de Agua de Alimentación o Economizador, que consiste en un intercambiador de calor externo al cuerpo principal del generador, donde se calienta el agua antes de entrar a la sección de convección, utilizando como fluido caliente la corriente de agua que sale de una sección intermedia de la sección de convección o al final de misma. En esta sección se asegura que el agua entre a la sección de convección con una temperatura mayor a la temperatura ambiente, permitiendo que aumente la eficiencia térmica del equipo.

Sección de Convección, que está diseñada para aprovechar el calor de los gases de combustión provenientes de la sección de irradiación, los cuales pasan a través de una arreglo de tubos por donde circula el agua, por lo general en contracorriente con el flujo de gases. El arreglo de tubos en esta sección puede estar formado por tubos lisos, por tubos con aletas o por una combinación de ambos. Algunos diseños contienen tubos con aletas sólo hacia el extremo de salida de los gases de combustión, en primer lugar para evitar los problemas de corrosión y acumulación de cenizas sobre las aletas al comienzo de la sección de convección donde las condiciones son más severas, y en segundo lugar para aumentar la transferencia de calor hacia el agua al final de la sección de


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convección, donde el flujo de gases ya ha disminuido su temperatura. Es posible que en esta sección ocurra entre el 35% y 40% de la transferencia de calor del generador.

Figura 3.7 Esquema de un generado de vapor de un solo paso. Sección de Irradiación, que consiste comúnmente en una sección cilíndrica

atravesada por un arreglo de tubos horizontales o de tubos en espiral, diseñados especialmente para disminuir las perdidas transversales de calor y dotados de soportes que sostienen los tubos, al mismo tiempo que les permiten la libre expansión ante cambios de temperatura. Las pérdidas de calor de esta sección también se reducen con la presencia de paredes aislantes. En esta sección puede ocurrir entre el 60% y 65% de la transferencia de calor del generador.

Soplador de Aire y Quemador, los cuales conforman el dispositivo que permite la quema del combustible. El quemador puede ser diseñado para trabajar con combustibles gaseosos, como propano, butano o gas natural. También puede

Bomba de Suministro

de Agua

Precalentador de Agua de Alimentación

Separador

Sección Convectiva

Sección de Irradiación

Precalentador de Combustible

Soplador de Aire y

Quemador

Descarga de Vapor

Agua de Alimentación

Combustible

Aire


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diseñarse para trabajar con combustibles líquidos, en este caso se utiliza vapor para atomizar el combustible. El vapor puede provenir del mismo generador pero debe utilizarse antes un separador líquido-gas para asegurar que su calidad esté entre el 90 y 95%.

Precalentador de Combustible, que es un intercambiador de calor donde se aumenta la temperatura del combustible por encima del punto de rocío, para prevenir la condensación del agua contenida en el mismo y disminuir los riesgos de corrosión en el quemador. Este precalentador utiliza como fluido caliente la purga de agua proveniente de un separador instalado en la línea de descarga del generador, el cual mediante separación de las fases permite aumentar la calidad del vapor que se dirige hacia el campo.

Sistema de Control, que incluye todos los sensores, controladores y demás mecanismos necesarios para regular la calidad del vapor. Un generador de vapor puede estar dotado con lazos de control para ajustar automáticamente el flujo de agua que entra al generador, la tasa de combustible y el suministro de aire para la lograr la calidad requerida, así como también puede tener distintos sistemas de alarma y seguridad que cortan el suministro de combustible y detienen el funcionamiento del generador, en caso de que ocurra alguna falla en el generador, como excesiva temperatura en los tubos, deficiencias en el suministro de aire, combustible o agua de alimentación, etc…

La calidad del vapor que produce un generador se puede determinar mediante un procedimiento práctico, que consiste en calcular el aumento de la concentración de iones cloruro en la fase líquida de salida, con respecto a la concentración original del agua de alimentación. Cualquier otro ión que no reaccione o se deteriore dentro del generador puede ser utilizado en este procedimiento [18]. La concentración de iones cloruros se obtiene mediante la titulación química de muestras del agua de alimentación y de muestras de la fase líquida que se toman a la salida del generador, utilizando la siguiente expresión [19]:

[ppm]generador del salida la a líquida fase la de ]Cl[

[ppm] ónalimentaci de agua del ]Cl[1X

−

−−= ec. (3.29)

Para tomar las muestras de fase líquida a la salida del generador se puede emplear un dispositivo como el que se presenta en la figura 3.8, que consiste en un divisor de flujo tipo “T” instalado en la línea de descarga del generador, que permite recolectar por efectos de gravedad una porción de la fase líquida, que luego se hace pasar por un serpentín de enfriamiento para bajar su temperatura hasta un valor seguro que permita tomar las muestras manualmente. La tasa de recolección de las muestras puede influir en los cálculos de calidad, por ejemplo, si la tasa es muy elevada parte del vapor puede pasar hasta el serpentín de enfriamiento y condensarse, aumentando la cantidad real de fase líquida y provocando que la calidad sea subestimada. Por otro lado, si la tasa es muy pequeña la muestra podría incluir


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residuos de una muestra anterior, alterando también los resultados. Esto indica que debe haber un rango óptimo para la tasa de recolección de las muestras [19].

Figura 3.8 Dispositivo para toma de muestras [19]. Hong [19] describe una prueba que permite identificar un rango óptimo para la tasa de recolección de las muestras de fase líquida. Esta prueba consiste en calcular la calidad del vapor a partir de muestras recolectadas con distintas tasas, comenzando desde una muy pequeña de aproximadamente 50 [ml/min] y haciendo incrementos escalonados, de aproximadamente 100 [ml/min]. En una gráfica de calidad versus tasa de muestreo la presencia de cambios fuertes de pendiente, indicarían los límites superior e inferior del rango óptimo en la tasa de muestreo, tal como se muestra en la figura 3.9.

Figura 3.9 Efecto de la tasa de muestreo en la medición de calidad [19].

Tasa óptima de muestreo

Resultados alterados por condensación de la fase gaseosa

Resultados alterados por residuos de muestras anteriores

Cal

idad

Tasa de recolección de las muestras

Serpentín de Enfriamiento

Generador de Vapor

Vapor para el Campo

Toma de Muestras


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Figura 3.10 Foto de un generador de vapor [20].

Figura 3.11 Generador y planta de tratamiento de agua portátiles [20].

3.4.1 Redes de Distribución de Vapor Para el desarrollo de proyectos de inyección alterna de vapor que involucren una gran cantidad de pozos diseminados sobre una extensión amplia de terreno, como es el caso de los proyectos térmicos de la Costa Bolívar en Venezuela, pueden construirse plantas centrales dotadas con varios generadores y sus propias facilidades de tratamiento de agua. La ubicación de estas plantas debe hacerse de forma estratégica para asegurar que todos los sectores del campo reciban vapor con la calidad requerida.


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Aún siendo este el caso, es probable que deban utilizarse plantas satélites para suministrar vapor adicional por períodos cortos de tiempo en algún sector o también, para suministrar vapor con la calidad requerida en las áreas periféricas del campo. Una planta satélite puede contar con uno o más generadores portátiles, además que puede tener sus propias instalaciones portátiles de tratamiento de agua o recibir agua tratada desde alguna planta central. El nombre de satélites se debe a que este tipo de plantas pueden moverse a medida que evoluciona el proyecto y cambian las necesidades de vapor en el campo. Para transportar el vapor desde la plantas hasta los pozos se utilizan redes de tuberías aisladas sobre la superficie del suelo, que deben ser especialmente diseñadas para minimizar las pérdidas de presión y calor. En las redes de distribución existen líneas de tuberías permanentes, que tienen protector para el aislante y se extienden por el campo suspendidas sobre soportes especiales, que junto a los arcos de expansión previenen rupturas por efectos de dilatación térmica. También existen líneas portátiles que se tienden directamente sobre el suelo, cuya función es transportar el vapor desde las líneas permanentes hasta el cabezal de los pozos mientras dura el proceso de inyección de vapor. El vapor húmedo que fluye a través de las redes de distribución de vapor consiste en flujo bifásico líquido-gas. Los puntos de bifurcación en una red de distribución de vapor están constituidos por divisores de flujo tipo “T”, que dividen el flujo en dos ramales. Para garantizar que el vapor llegue a todos los pozos con el mismo contenido calórico, es necesario que cada ramal reciba la misma cantidad de vapor y de líquido. Un divisor de flujo tipo “T” puede instalarse con dos configuraciones (ver figura 3.12), una conocida como “straight-through”, donde el flujo entra por uno de los brazos de la “T” y otra conocida como “dead-end”, donde el flujo entra por la base de la “T” [19].

Figura 3.12 Configuraciones de un divisor de flujo tipo “T” [19]. Cuando una mezcla de flujo bifásico líquido-gas llega a un divisor de flujo tipo “T”, las fases pueden distribuirse desigualmente. Hong (1979) recomendó utilizar la

“straight-through” “dead-end”


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configuración “dead-end” para disminuir este efecto. Además recomendó que cuando se utiliza esta configuración, las tuberías conectadas al divisor tipo “T” deben ser rectas, horizontales y tener el mismo diámetro que la “T”, al menos dentro de una distancia igual a 15 veces su diámetro. En esta misma línea de investigación, Chien y Rubel (1972) encontraron que si la relación entre los caudales que se dividen en un divisor tipo “T” es mayor a tres o cuatro, especialmente cuanto se trata de vapor de baja calidad y velocidad, las calidades de las dos corrientes divididas puede diferir hasta en un 20% [19]. 3.5 CAMBIO DE ESTADO TERMODINÁMICO EN EL FLUJO DE VAPOR Las pérdidas de calor están relacionadas directamente con el ahorro de la energía contenida en el vapor, por lo que son un factor determinante en la eficiencia de los procesos de extracción térmica. En una tubería que transporta vapor las pérdidas de calor ocurren al mismo tiempo que ocurren pérdidas de presión, por lo que ambos fenómenos deben considerarse en conjunto para estudiar los cambios de estado termodinámico en el flujo de vapor y poder determinar como varía la calidad tanto en tuberías de superficie como en los pozos inyectados. Las pérdidas de calor y de presión dependen de diversos factores, tales como: la geometría de las tuberías, la presencia de revestimiento aislante, el régimen de flujo, la cantidad de fase líquida en el flujo de vapor y las condiciones del medio externo. A continuación se presentan algunas nociones básicas sobre transferencia de calor y flujo bifásico en tuberías, que son necesarias para poder estimar las pérdidas tanto en tuberías de superficie como en pozos inyectores. 3.5.1 Nociones Básicas de Transferencia de Calor Siempre que exista un diferencial de temperatura entre dos puntos, ocurrirá un proceso de transferencia de calor, desde el punto de mayor temperatura hacia el punto de menor temperatura. Cuando dicha transferencia ocurre a través de un medio estacionario sólido o líquido se trata de un proceso de conducción. Si la transferencia de calor ocurre entre una superficie y un fluido en movimiento el proceso se denomina convección. Una tercera forma de transferencia de calor que no requiere la presencia de un medio es la radiación térmica, que consiste en la energía emitida por una superficie de temperatura finita a través de ondas electromagnéticas [21]. Existen ecuaciones básicas que permiten cuantificar la transferencia de calor en cada uno de estos procesos. En problemas de conducción se aplica la Ley de Fourier, la cual establece que la transferencia de calor es proporcional al gradiente de temperatura en dirección al flujo de calor:


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dxdTAKq ⋅⋅−= ec. (3.30)

En esta ecuación q es la cantidad de calor transferido en unidades de Joules por segundo [J/s] o Watts [W], dT/dx es el gradiente de temperatura en dirección de la transferencia de calor en unidades de [K/m], A es el área normal a la dirección del flujo de calor en unidades de [m2] y K es una propiedad física propia de cada sustancia conocida como constante conductividad térmica, expresada en unidades de [W/K·m]. Para cuantificar las pérdidas de calor a través de una superficie cilíndrica, la Ley de Fourier toma la siguiente forma:

( )drdTLr2Kq ⋅⋅⋅π⋅⋅−= ec. (3.31)

El término (2·π·r·L) representa el área normal a la dirección del flujo de calor, siendo r y L el radio y la longitud del cilindro, respectivamente. El gradiente de temperatura de un cuerpo se puede determinar mediante la ecuación de difusión de calor, que se obtiene a partir de un balance de energía en un volumen de control infinitesimal, considerando que existe transferencia de calor a través de todas las caras del volumen de control y que dentro del mismo puede existir generación y acumulación de calor (para mayores detalles se puede consultar la referencia [21]). La ecuación de difusión de calor puede ser escrita en coordenadas cartesianas, cilíndricas o esféricas. Obviamente, para analizar las pérdidas de calor en tuberías es conveniente utilizar coordenadas cilíndricas (r, θ, z), en cuyo caso la ecuación de difusión es:

tT

CpqzT

Kz

TK

r

1rT

rKrr

12 ∂

∂⋅⋅ρ=+

∂∂⋅⋅

∂∂+

θ∂∂⋅⋅

θ∂∂⋅+

∂∂⋅

∂∂⋅

• ec. (3.32)

Los tres primeros términos del lado izquierdo representan la conducción de calor en dirección de cada una de las coordenadas cilíndricas, mientras que el cuarto término representa la generación de calor en el volumen de control. En el lado derecho de la ecuación está el término transitorio. K, Cp y ρ son: la constante de conductividad térmica [W/m·K], el calor específico [J/Kq·K] y la densidad [Kg/m3], respectivamente, todas propiedades del medio que constituye el volumen de control. En problemas de inyección de vapor, aunque la tasa de pérdidas de calor en estado transitorio puede ser varias veces mayor que la tasa en estado estacionario, es común despreciar las primeras porque el período de estado transitorio suele ser pequeño comparado con el período estacionario. Esto no sólo se cumple en problemas de inyección continua de vapor, sino que también se puede aplicar en problemas de inyección alterna [18]. En este tipo de problemas también se puede asumir que las pérdidas de calor sólo ocurren en dirección radial y que no hay


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generación de calor en el seno de la tubería. Aplicando estas simplificaciones, la ecuación (3.32) queda de la siguiente forma:

0rT

rKrr

1 =

∂∂⋅

∂∂⋅ ec. (3.33)

Integrando dos veces en función del radio la ecuación (3.33) y estableciendo como condiciones de borde que: T(r1)=T1 y T(r2)=T2, se obtiene el perfil de temperatura en dirección radial:

22

21

21 Trr

ln

rrln

TT)r(T +

⋅

−= ec. (3.33)

Esta expresión se puede sustituir en la Ley de Fourier (ec. 3.31) para coordenadas cilíndricas, con lo que se obtiene una ecuación para calcular el flujo de calor en dirección radial entre dos puntos de un objeto cilíndrico, como sería el caso de las pérdidas de calor por conducción a través de las paredes de una tubería:

( )

−⋅⋅⋅π⋅=

12

21

rrln

TTKL2q ec. (3.35)

Como se mencionó anteriormente, cuando un fluido en movimiento está en contacto con una superficie de temperatura distinta a la suya, ocurre un proceso de transferencia de calor por convección. Si la convección ocurre dentro de un conducto cerrado, como por ejemplo una tubería, el proceso se denomina convección interna, si por el contrario ocurre como producto del movimiento de un fluido sobre una superficie, como sería el caso de una corriente de aire que pasa sobre una tubería tendida sobre la superficie, se trata de un proceso de convección externa. También se puede distinguir entre procesos de convección forzada y convección natural. En el primero el movimiento del fluido es provocado por un medio externo al mismo, como una bomba o una corriente de aire, mientras que en el segundo el movimiento del fluido es producto de fuerzas de flotación, que inducen corrientes naturales debido a las diferencia de densidades en las zonas cercanas a una superficie caliente. La mecánica de fluidos estudia una región que se forma cuando un fluido en movimiento interactúa con una superficie. En esta región, conocida como la capa límite hidrodinámica, el perfil de velocidad del fluido varía desde un valor de cero justo sobre la superficie, hasta el valor de velocidad máxima del fluido. Análogamente, en transferencia de calor se puede identificar una capa límite térmica, donde la temperatura del fluido en movimiento varía desde el valor de temperatura sobre la superficie, hasta la temperatura en el seno del fluido.


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Para determinar el perfil de temperatura en la capa límite térmica, se requiere de un desarrollo detallado de la ecuación de conservación de la energía. Este proceso escapa del alcance de esta sección (para mayores detalles se puede consultar la referencia [21]). Afortunadamente, existen métodos sencillos para cuantificar la transferencia de calor en un proceso de convección a partir de la siguiente expresión, conocida como la Ley de Enfriamiento de Newton:

( )∞−⋅⋅= TTAhq S ec. (3.36)

Donde q es la cantidad de calor transferido en [J/s] o [W], A es el área de la superficie involucrada en el proceso convección en [m2], TS y T∞ son las temperaturas de la superficie y del fluido, respectivamente, ambas en [K] y h que tiene unidades de Watts sobre metro cuadrados por grados Kelvin [W/m2·K], se define como el coeficiente de transferencia de calor por convección o coeficiente de película. Este coeficiente, que depende de las propiedades del fluido, del régimen de flujo, del tipo de proceso de convección y de la geometría de la superficie involucrada, puede calcularse como sigue:

DKNu

h F⋅= ec. (3.37)

Donde KF es la constante de conductividad térmica del fluido, D representa una longitud característica de la superficie (el diámetro en el caso de tuberías) y Nu es el número de Nusselt, que es un parámetro adimensional que debe ser interpretado como el gradiente de temperatura adimensional en la superficie (una explicación más detallada puede encontrarse en la referencia [21]). El número de Nusselt para un problema de convección interna en una tubería circular donde el régimen de flujo sea laminar, se puede obtener de forma analítica a partir de la ecuación de conservación de la energía en la capa límite térmica, en cuyo caso resulta ser:

Para flujo de calor constante: 36.4K

DhNuF

=⋅= ec. (3.38)

Para temperatura constante en la tubería: 66.3K

DhNuF

=⋅= ec. (3.39)

En la tabla 3.2 se muestran correlaciones para calcular el número de Nusselt en problemas con geometría cilíndrica, para los casos de convección interna con flujo turbulento y de convección externa tanto forzada como natural. Es importante destacar que en la literatura existen muchas otras correlaciones que también pueden ser utilizadas, lo importante en todo caso es que la correlación seleccionada se aplique dentro del rango y las condiciones para las cuales fue creada.


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Convección Interna Flujo Turbulento

Correlación de Gnielinski: ( ) ( )

( )

−⋅⋅+

⋅−⋅=

1Pr8f7.121

Pr1000Re8f

Nu3

22

1

Sirve tanto en problemas de flujo de calor constante, como en problemas donde la temperatura de la superficie interna de la tubería es constante. Válida dentro los rangos: 0.5 < Pr < 2000 y 2300 < Re < 5·106, donde reporta errores menores al 10%. Las propiedades deben ser evaluadas a la temperatura promedio del fluido (TPROM). El factor de fricción para tubería lisa se puede determinar como:

( )[ ] 264.1Reln79.0f −−⋅= Convección Forzada Externa

Correlación de Churchill y Bernstein:

( )

54

85

41

32

31

21

282000Re

1

Pr4.01

PrRe62.03.0Nu

+⋅

+

⋅⋅+=

Recomendada para todos los casos donde: Re·Pr > 0.2. Con todas las propiedades evaluadas a la temperatura de película: TM=(TS+T∞)/2

Convección Natural Externa

Correlación de Churchill y Chu:

( )

2

278

169

61

Pr559.01

Ra387.060.0Nu

+

⋅+=

Válida para problemas de flujo de calor constante, dentro del siguiente rango 1·10-5 < Ra < 1·1012. Las propiedades del fluido deben ser evaluadas a la temperatura de película: TM=(TS+T∞)/2. El número de Rayleigh (Ra) es:

( )α⋅ν

⋅−⋅β⋅= ∞

3S DTTg

Ra

Tabla 3.2 Correlaciones para calcular el Número de Nusselt [21].

Al igual que una resistencia eléctrica es asociada con la conducción de electricidad, se puede definir una resistencia térmica y asociarla con la transferencia de calor. De esta manera una resistencia térmica se define como la relación entre el potencial que genera el proceso de transferencia de calor, representado por el diferencial de temperatura (∆T) y el correspondiente flujo de calor (q):


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qT

R TERMICA∆= ec. (3.40)

Una resistencia térmica tiene unidades de grados K sobre Watts [K/W]. En el caso de presentarse varias resistencias en serie, la resistencia se obtendría de la suma algebraica de tales resistencias, mientras que la suma de resistencias en paralelo sería igual al inverso de la suma de los inversos de tales resistencias. Las ecuaciones (3.41) y (3.42) representan las resistencias térmicas para los procesos de conducción y convección en cuerpos cilíndricos:

KL2r

rlnR 1

2

COND ⋅⋅π⋅

= ec. (3.41)

( ) CONVCONV hLr2

1R⋅⋅⋅π⋅

= ec. (3.42)

En los procesos de conducción y convección se requiere la presencia de un medio para que ocurra la transferencia de calor, este no es el caso de la radiación térmica. La máxima cantidad de energía que puede transmitirse por radiación térmica es la que ocurre en los llamados cuerpos negros o radiadores ideales, en los cuales se cumple la Ley de Stefan-Boltzmann:

4

STAq ⋅⋅σ= ec. (3.43) Donde σ es la constante de Stefan-Boltzmann igual a 5,67·10-8 [W/m2·K4], TS es la temperatura absoluta de la superficie en [K] y A es el área de la superficie en [m2]. Cuando se trata de un cuerpo no ideal se incluye una propiedad radioactiva llamada emisividad (ε), que teniendo un valor entre cero y uno, permite cuantificar que tan eficiente es la radiación térmica en una superficie, con respecto a la de un cuerpo negro:

4STAq ⋅⋅σ⋅ε= ec. (3.44)

Así como la radiación es emitida desde la superficie de un cuerpo causando pérdidas de calor, parte de ella puede ser absorbida por la superficie de otro haciendo que este último aumente su contenido calórico. Otra propiedad radioactiva llamada absorbencia (α), también con valores entre cero y uno, cuantifica la eficiencia con que un cuerpo absorbe radiación (α= qABSORBIDO/qEMITIDO). Un cuerpo donde la absorbencia sea igual a la emisividad se denomina cuerpo gris. La energía que no es absorbida por un cuerpo es reflejada por la superficie del mismo, la reflectividad


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(ρ) es la propiedad radioactiva que cuantifica la fracción de la radiación incidente sobre una superficie que es reflejada por la misma. Las expresiones para calcular la tasa de transferencia de calor por radiación entre dos superficies, son el resultado de un proceso complejo cuya demostración escapa del alcance de esta sección (para mayores detalles se puede consultar la referencia [22]). Cuando se trata de un problema que involucra a dos superficies difusas y grises, donde una envuelve completamente a la otra y el medio entre ambas no afecta el proceso de radiación térmica, se puede asumir que la tasa de transferencia de calor en una de las superficies (q1) es igual a la que existe en la otra (-q2) y que a su vez, ambas son iguales a la tasa de calor que se transfiere por radiación entre las dos superficies (q12). En este caso la tasa de transferencia de calor viene dada por la siguiente ecuación:

( )22

2

12111

1

42

41

1221

A1

FA1

A1

TTqqq

⋅εε−

+⋅

+⋅εε−

−⋅σ==−= ec. (3.45)

Donde la variable F12 es el factor de vista o factor de forma, que se define como la fracción de la energía cedida por una de las superficies que es absorbida por la otra. Para el tipo de problema que se está estudiando, este el factor de forma es igual a uno. Existen dos casos especiales donde la ecuación (3.45) puede ser aplicada, uno es la trasferencia de calor por radiación entre un objeto pequeño y una cavidad muy grande que lo contiene (ver figura 3.13a). El otro es la transferencia de calor por radiación entre dos cilindros concéntricos de largo infinito (ver figura 3.13b).

Figura 3.13 Casos especiales de radiación térmica entre dos superficies. Desarrollando la ecuación (3.45) se puede obtener una expresión para el flujo de calor por radiación para el caso de un objeto pequeño dentro de una cavidad grande

r1

r2

A1, T1, ε1

A2, T2, ε2

2

1

2

1rr

AA =

(b) Cilindros concéntricos de largo infinito

A1, T1, ε1

A2, T2, ε2

0AA

2

1 ≈

(a) Objeto pequeño dentro de una cavidad grande


- 31 -

a temperatura constante, también se puede plantear una expresión para la resistencia térmica. Ambas expresiones se muestran a continuación:

( )42

411112 TTAq −⋅ε⋅⋅σ= ec. (3.46)

( )

( )42

4111

21RAD

TTA

TTR

−⋅ε⋅⋅σ

−= ec. (3.47)

Estas ecuaciones pueden utilizarse para calcular el flujo de calor por radiación, desde la superficie externa de una tubería caliente tendida sobre soportes en el suelo, hasta el medio ambiente que representaría la cavidad grande de temperatura constante. Para tuberías que transportan vapor en superficie, la influencia de la radiación térmica suele ser pequeña comparada con los efectos de convección forzada en el exterior de la tubería, sobre todo si la tubería cuenta con un revestimiento aislante sin protector, ya que los materiales aislantes suelen tener emisividades muy bajas. Cuando la tubería consta un protector de aislante como hojas de aluminio, este término se hace un poco más grande, ya que la emisividad del aluminio es mayor. Por su parte, el caso de dos cilindros concéntricos de largo infinito se puede aplicar para calcular la transferencia de calor por radiación en el espacio anular que se forma entre la sarta de inyección de vapor y el revestidor de un pozo. En este caso las expresiones para el flujo de calor y la resistencia térmica resultan ser:

( )

⋅

εε−

+ε

−⋅⋅σ=

2

1

2

2

1

42

411

12

rr11

TTAq ec. (3.48)

( )

( ) 1

2

1

2

2

1

42

411

21RAD

rr11TTA

TTR

−

⋅

εε−+

ε⋅−⋅⋅σ

−= ec. (3.49)

En las secciones siguientes se explica como se usan las ecuaciones descritas en esta sección, para calcular las pérdidas de calor en pozos inyectores de vapor y en tuberías de superficie. 3.5.2 Pérdidas de Calor en Tuberías de Superficie Las pérdidas de calor en tuberías de superficie se calculan suponiendo transferencia de calor unidireccional en dirección radial, estado estacionario y flujo de calor constante a través de las paredes de la tubería. En una tubería de superficie se presentan varios procesos de transferencia de calor en serie, donde parte de la


- 32 -

energía contenida en el vapor se pierde hacia el medio ambiente. En primer lugar, ocurre un proceso de convección interna directamente entre el flujo de vapor y la pared interna de la tubería. Luego, se presenta un proceso de conducción de calor a través de la pared de la tubería y en caso de estar presentes, también a través del revestimiento aislante y del protector del aislante. Si se trata de una tubería con mucho tiempo de uso, es recomendable considerar la conducción de calor a través de la película de costras y suciedad que se forma en la pared interna de la tubería, así como también la que se forma entre la pared externa de la tubería y el revestimiento aislante. Por último, sobre la superficie externa del arreglo se pueden considerar dos procesos que ocurren en forma paralela, uno de convección y el otro de radiación térmica. Generalmente, el primero se trata de un proceso de convección forzada producto de las corrientes de aire en el medio ambiente, mientras que el segundo es producto de la emisividad de la superficie externa de la tubería.

Figura 3.14 Esquema de resistencia térmicas en una tubería de superficie. Para explicar el procedimiento de cálculo de las pérdidas de calor en tuberías de superficie, se va a utilizar el esquema de resistencias térmicas planteado en la figura 3.14, donde se han considerado la resistencia asociada con la convección interna (RCONV-INT), las resistencias a la conducción de calor a través de la tubería (RCOND-TUB), del revestimiento aislante (RCOND-AIS) y del protector del aislante (RCOND-PRO), la

r = 0

rET

rIT

rEA rEP

r

Tubería

Aislante

Protector

Flujo de Vapor Húmedo (Tprom)

Medio Ambiente (T∞)

T PR

OM

T IT

T ET

T EA

T EP

T∞

RCONV-INT RCOND-TUB RCOND-AIS RCOND-PRO

RCONV-EXT

RRAD


- 33 -

resistencia asociada con la convección externa y finalmente, la resistencia asociada con la radiación térmica (RRAD). Debido a que el flujo de calor es constante, el total de las pérdidas se calor se puede calcular aplicando la ecuación (3.40) entre dos puntos cualesquiera del arreglo, tomando el diferencial de temperatura y la resistencia térmica entre tales puntos. Si se toman como puntos de referencia el centro de la tubería y el medio ambiente, se obtendría la ecuación (3.50), si los puntos de referencia son la superficie externa del protector del aislante y el medio ambiente, se obtendría la ecuación (3.51), mientras que si fuesen la superficie externa de la tubería y el medio ambiente se obtendría la ecuación (3.52).

( )TOTAL

PROMTOTAL R

TTq ∞−

= ec. (3.50)

( )

PROCONDAISCONDTUBCONDINTCONV

EPPROMTOTAL RRRR

TTq

−−−− +++−

= ec. (3.51)

( )

1

RADEXTCONV

EPTOTAL

R1

R1

TTq

−

−

∞

+

−= ec. (3.52)

Como se mencionó anteriormente, sería posible incluir otras resistencias adicionales a las de la figura 3.16, como las originadas por depósitos de costras y suciedad en las paredes de la tubería, de igual forma es posible despreciar el efecto que sobre la tasa de pérdidas de calor tiene alguna de las resistencias consideradas en esta figura. En todo caso lo importante es que bajo la suposición de flujo de calor constante cualquiera de las tres ecuaciones anteriores debería reportar el mismo resultado para las pérdidas de calor en la tubería. En las ecuaciones (3.50), (3.51) y (3.52), TPROM es la temperatura promedio del vapor en el tramo de tubería de longitud L donde se calculan las pérdidas, T∞ es la temperatura del medio ambiente y TEP es la temperatura de la superficie externa del protector del aislante, todas en unidades de grados Kelvin [K]. La variable RTOTAL es la suma de todas las resistencias térmicas entre el seno de la tubería y el medio ambiente en unidades de [K/W], que se calcula con la siguiente expresión:

1

RADEXTCONV

PROCONDAISCONDTUBCONDINTCONVTOTAL

R1

R1

RRRRR−

−

−−−−

++

++++=

ec. (3.53)


- 34 -

Sustituyendo las ecuaciones (3.41), (3.42) y (3.47) en la ecuación (3.53) se obtiene:

( )( )

11

44EPPROEP

EP1

EXTEP

PRO

EAEP

AIS

ETEA

TUB

ITET

INTITTOTAL

TTLr2

TThLr2

1

KL2r

rln

KL2r

rln

KL2r

rln

hLr21R

−−

∞

∞−

−⋅σ⋅ε⋅⋅⋅π⋅

−+

⋅⋅⋅π⋅

+

+⋅⋅π⋅

+⋅⋅π⋅

+⋅⋅π⋅

+⋅⋅⋅π⋅

=

ec. (3.54) Donde,

rIT: radio interno de la tubería [m] rET: radio externo de la tubería [m] rEA: radio externo del aislante [m] rEP: radio externo del protector [m] L: longitud de la tubería [m] KTUB: constante de conductividad térmica del tubo [W/m·K] KAIS: constante de conductividad térmica del aislante [W/m·K] KPRO: constante de conductividad térmica del protector [W/m·K] hINT: coeficiente de transferencia de calor por convección interna [W/m2·K] hEXT: coeficiente de transferencia de calor por convección externa [W/m2·K] TEP: temperatura en la superficie del protector [K] T∞: temperatura del medio ambiente [K] εPRO: emisividad del protector

Los coeficientes de transferencia de calor por convección interna y externa (hINT y hEXT) se calculan con la ecuación (3.37), sustituyendo el número de Nusselt correspondiente en cada caso. Las correlaciones para el número de Nusselt externo de la tabla 3.2, las propiedades del aire deben evaluarse a la temperatura de película, que se obtiene como el promedio entre la temperatura ambiente y la temperatura de la superficie externa del protector. Esta temperatura es desconocida por lo el cálculo de la tasa de pérdidas de calor se realiza mediante un procedimiento iterativo, como se describe a continuación: 1) Calcular las resistencias térmicas involucradas en la transferencia de calor desde

el seno del flujo de vapor hasta la superficie externa de la tubería (RCONV-INT, RCOND-TUB, RCOND-AIS, RCOND-PRO en la figura 3.16).

2) Suponer un valor para la temperatura en la superficie externa de la tubería (temperatura de la superficie externa del protector del aislante TEP, en la figura 3.16).

3) Calcular las resistencias térmicas involucradas en los procesos de transferencia de calor en la superficie externa de la tubería (RCONV-EXT y RRAD en la figura 3.16).


- 35 -

4) Calcular la resistencia térmica total del proceso (con la ecuación (3.54) en caso de considerar las resistencias térmicas de la figura 3.16).

5) Calcular la temperatura en la superficie externa del protector, igualando las ecuaciones (3.50) y (3.51) o las ecuaciones (3.50) y (3.52), con lo que se obtendrían las siguientes expresiones, respectivamente:

( )∞−−−− −⋅

+++−= TT

RRRRR

TT PROMTOTAL

PROCONDAISCONDTUBCONDINTCONVPROMEP

ec. (3.55)

( )∞

−

−∞ −⋅

+

+= TTR

R1

R1

TT PROMTOTAL

1

RADEXTCONVEP ec. (3.56)

6) Si la temperatura supuesta es igual a la calculada se continúa al paso siguiente,

sino se toma la temperatura calculada como la supuesta y se vuelve al Paso 2. 7) Con la resistencia térmica total de la última iteración, se calcula la tasa de

pérdidas de calor, mediante la ecuación (3.50). Ejecicio 4.1 Ejemplo del cálculo de pérdidas de calor en tuberías de superficie. Se construirá un nuevo tramo de tubería desde una línea principal del sistema de distribución de vapor, hasta un sector del campo donde se están perforando nuevos pozos que serán sometidos a inyección alterna de vapor. Se estima que por este tramo circularán 1000 [TON/d] de vapor a 320 [°C]. Se desea comparar la tasa pérdidas de calor que existiría en caso de utilizar tubería desnuda, con la que existiría en el caso de utilizar tuberías con un revestimiento aislante de silicato de calcio de 3 [plg] de espesor, protegido con una lámina de aluminio de 0.1 [plg] de espesor. El tramo de 300 [m] de longitud, estará suspendido sobre soportes en la superficie del suelo y estará formado por tuberías de 4 [plg] de diámetro tipo N-80. Se puede asumir que la temperatura promedio de ambiente es de 25 [°C], mientras que la velocidad promedio del viento en dirección normal a la tubería es de 20 [Km/h]. Consideraciones preliminares: Las pérdidas de calor se calculan suponiendo transferencia de calor unidireccional

en dirección radial, estado estacionario y flujo de calor constante a través de las paredes de la tubería, además, se asumen propiedades promedio a lo largo de todo el tramo de tubería. Es conveniente expresar todos los datos en un sistema de unidades consistente,

en este caso se eligió el sistema SI. Los diámetros interno y externo de la tubería


- 36 -

de 4 [plg], al igual que las propiedades físicas de los materiales involucrados se pueden encontrar en el Apéndice C. La conductividad térmica de los materiales depende de su temperatura. Se puede

suponer que el acero de la tubería tiene la misma temperatura del vapor, que la temperatura promedio del revestimiento de silicato de calcio es igual al promedio entre las temperaturas del ambiente y del vapor, mientras que para el aluminio del protector se puede asumir que la temperatura es un poco más alta que la temperatura ambiente. En el caso de la tubería con revestimiento aislante y protector del aislante el

esquema de resistencias térmicas es el mismo de la figura 4.18. Para la tubería desnuda se tendría el siguiente esquema:

Datos: rIT = 1,774 [plg] = 0,045059 [m]

rET = 2 [plg] = 0,050800 [m] rEA = 5 [plg] = 0,127000 [m] rEP = 5.1 [plg] = 0,129540 [m] L = 300 [m] KTUB = 46 [W/m·K] (K del acero) KAIS = 0,069 [W/m·K] (K del silicato de calcio) KPRO = 240 [W/m·K] (K del aluminio) εTUB = 0,8 (emisividad del acero) εPRO = 0,11 (emisividad del aluminio pulido) Wtotal = 1000 [TON/d] = 11,574074 [Kg/s] TPROM = 320 [°C] = 593,15 [K] PPROM = 11.297,30 [KPa] (calculada con la ecuación de Antoine) T∞ = 25 [°C] = 298,15 [K] VVIE = 20 [Km/h] = 5,555556 [m/s]

Caso de Tubería con Revestimiento Aislante.

Paso 1. Se calculan RCONV-INT, RCOND-TUB, RCON-AIS y RCOND-PRO. Aunque no se muestra el cálculo de coeficiente de transferencia de calor por convección, hINT, este se obtuvo a partir de la ecuación (3.37), utilizando la correlación de Gnielinski para calcular el número de Nusselt (ver tabla 3.2). Para calcular el número de Reynolds se utilizaron

T PR

OM

T∞

T IT

T ET

RCONV-INT RCOND-TUB

RCONV-EXT

RRAD


- 37 -

propiedades promedio del vapor, que se calcularon a partir de la calidad del vapor y las propiedades de líquido y vapor saturados. Las densidades de cada fase se calcularon con la ecuación de estado de la IAPWS, mientras que la conductividad térmica, la viscosidad y el número de Prandtl provienen de las tablas de datos del Apéndice A.

[K/W] 10602875,5

10101342,2300045060,02

1hLr2

1R

7

4INTITINTCONV

−

−

⋅=

⋅⋅⋅⋅π⋅=

⋅⋅⋅π⋅=

[K/W] 10382819,1463002

045060,0050800,0ln

KL2r

rlnR 6

TUB

ITET

TUBCOND−

− ⋅=⋅⋅π⋅

=⋅⋅π⋅

=

[K/W] 10045034,7069,03002

050800,0127000.0ln

KL2r

rlnR 3

AIS

EITEA

AISCOND−

− ⋅=⋅⋅π⋅

=⋅⋅π⋅

=

[K/W] 10377342,42403002

127000,0129540,0ln

KL2r

rlnR 8

PRO

EAEP

PROCOND−

− ⋅=⋅⋅π⋅

=⋅⋅π⋅

=

Paso 2. Se supone un valor para la temperatura de la superficie externa del protector (TEP

SUPUESTA), este valor debe ser menor a la temperatura del flujo de vapor:

( ) [K] 15,5831015,59310TT PROMSUPUESTA

EP =−=−= Paso 3. Se calculan RCONV-EXT y RRAD. El coeficiente de transferencia de calor por convección en la superficie externa de la tubería, hEXT, también se obtuvo con la ecuación (3.37), pero utilizando la correlación de Churchill y Bernstein para el número de Nusselt (ver tabla 3.2). En esta correlación las propiedades del aire se evalúan a la temperatura de película (TPEL), que se puede obtener como el promedio de las temperaturas de la superficie externa del protector y del medio ambiente:

( ) ( )2

15,29815,5932

TTT PROMPEL

+=+

= ∞

[K/W] 10270880,2

034362,18300129540,021

hLr21

R

4EXTEP

EXTCONV

−

−

⋅=

⋅⋅⋅π⋅=

⋅⋅⋅π⋅=


- 38 -

( )( )

( )( )

[K/W] 10736926,1

15,29815,5831067,511,0300129540,02

15,29815,583

TTLr2

TTR

3

448

44EPPROEP

EPRAD

−

−

∞

∞

⋅=

−⋅⋅⋅⋅⋅⋅π⋅

−=

−⋅σ⋅ε⋅⋅⋅π⋅

−=

Paso 4. Se calcula RTOTAL:

1

RADEXTCONV


R1

R1

RRRRR−

−

−−−−

++

++++=

[K/W] 10247852,7

10736900,1

1

10270880,2

1

10377342,410045034,710382819,110602875,5R

3

1

34

8367TOTAL

−

−

−−

−−−−

⋅=

⋅+

⋅+

+⋅+⋅+⋅+⋅=

Paso 5. Se calcula la temperatura externa del protector con al ecuación (3.54):

( )∞

−

−∞ −⋅

+

+= TTR

R1

R1

TT PROMTOTAL

1

RADEXTCONVEP

( )

[K] 32,306

15,29815,59310247852,7

10736900,1

1

10270880,2

1

15,298T3

1

34

EP

=

−⋅

⋅

⋅+

⋅+=

−

−

−−

Paso 6: La temperatura externa del protector calculada en el paso 5: 306,32 [K], difiere del valor supuesto en el paso 2 que fue 583,15 [K], por lo que se debe repetir el procedimiento hasta que la temperatura supuesta sea igual a la calculada dentro de


- 39 -

una tolerancia determinada. Que tan pequeña es dicha tolerancia dependerá del esfuerzo de cálculo que se esté dispuesto a realizar, evidentemente la programación de este procedimiento en un computador permite agilizar los cálculos. A continuación se presenta una tabla con los resultados para cuatro iteraciones:

Iteración Variable 1 2 3 4

hINT [W/m2·K] 21013,417339 RCONV-INT [K/W] 5,602926·10-7 RCOND-TUB [K/W] 1,382921·10-6 RCOND-AIS [K/W] 7,045034·10-3 RCOND-PRO [K/W] 4,377342·10-8

TEP [K] 583,15 306,32 306,17 306,17hEXT [W/m2·K] 18,034362 20,100187 20,101829 20,101834RCONV-EXT [K/W] 2,270880·10-4 2,037487·10-4 2,037321·10-4 2,037320·10-4

RCOND-RAD [K/W] 1,736900·10-3 5,944788·10-3 5,949309·10-3 5,949321·10-3

REXT [K/W] 2,008307·10-4 1,969969·10-4 1,969863·10-4 1,969863·10-4

RTOTAL [K/W] 7,247852·10-3 7,244018·10-3 7,244007·10-3 7,244007·10-3

Q [W] 40702,26 40723,80 40723,86 40723,86 La tasa de pérdidas de calor en la tubería aislada resulta ser de aproximadamente 4,1·104 [W]. Los resultados revelan que en la tercera iteración ya se ha alcanzado una tolerancia aceptable en todas las variables que se muestran en la tabla. La resistencia REXT se refiere a la suma de las resistencias en paralelo que actúan sobre la superficie externa de la tubería, es decir, la resistencia por convección forzada y la resistencia por radiación térmica. Comparando el resultado de cada una de las resistencias involucradas con el valor de la resistencia total, es evidente que la de mayor influencia en la tasa de pérdidas de calor es la resistencia debida a la presencia de revestimiento aislante, que para este problema representa el 97% de la resistencia total a la transferencia de calor en el arreglo. Caso de Tubería Desnuda. Pasos 1 y 2. Las resistencias RCONV-INT y RCOND-TUB tienen el mismo valor que en caso de tubería aislada. Se puede suponer el mismo valor inicial para la temperatura de la superficie externa de la tubería. Paso 3. Las resistencias RCONV-EXT y RRAD son diferentes a las del caso de la tubería aislada, en principio porque ahora el diámetro externo. Además la emisividad del acero es mayor que la del protector de aluminio. El coeficiente de transferencia de calor por convección en la superficie externa de la tubería, hEXT, se obtuvo de la misma forma que el caso anterior.


- 40 -

[K/W] 10962941,3

352241,26300050800,021

hLr21

R

4EXTET

EXTCONV

−

−

⋅=

⋅⋅⋅π⋅=

⋅⋅⋅π⋅=

( )

( )( )

( )[K/W] 10014911,6

15,29815,5831067,581,0300050800,02

15,29815,583

TTLr2

TTR

4

448

44ETTUBET

ETRAD

−

−

∞

∞

⋅=

−⋅⋅⋅⋅⋅⋅π⋅

−=

−⋅σ⋅ε⋅⋅⋅π⋅

−=

Paso 4. Se calcula RTOTAL:

1

RADEXTCONVTUBCONDINTCONVTOTAL R

1R

1RRR

−

−−−

+++=

[K/W] 10408396,2

10014911,6

1

10962941,3

110382819,110602875,5R

4

1

4467

TOTAL

−

−

−−−−

⋅=

⋅+

⋅+⋅+⋅=

Paso 5. Se calcula la temperatura externa del protector con al ecuación (3.54):

( )∞

−

−∞ −⋅

+

+= TTR

R1

R1

TT PROMTOTAL

1

RADEXTCONVET

( )

[K] 77,590

15,29815,59310408396,2

10014911,6

1

10962941,3

1

15,298T4

1

44

ET

=

−⋅⋅

⋅+

⋅+=

−

−

−−

Paso 6: La temperatura de la superficie externa de la tubería resultante del paso anterior es de 590,77 [K], por lo que se deben realizar varias iteraciones hasta alcanzar la


- 41 -

tolerancia requerida. En la siguiente tabla se muestra los resultados para cuatro iteraciones:

Iteración Variable 1 2 3 4

hINT [W/m2·K] 21013,41734 RCONV-INT [K/W] 5,602926·10-7 RCOND-TUB [K/W] 1,382921·10-6

TET [K] 583,15 590,77 590.75 590.75hEXT [W/m2·K] 26,352241 26,312738 26.312870 26,312870RCONV-EXT [K/W] 3,962941·10-4 3,968891·10-4 3,968871·10-4 3,968871·10-4

RRAD [K/W] 6,014819·10-4 5,841451·10-4 5,842025·10-4 5,842023·10-4

REXT [K/W] 2,388950·10-4 2,363229·10-4 2,363315·10-4 2,363315·10-4

RTOTAL [K/W] 2,408383·10-4 2,382661·10-4 2,382748·10-4 2,382747·10-4

Q [W] 1.224.904,93 1.238.128,31 1.238.083,18 1.238.083,33 Al igual que en el caso de tubería aislada, todas las variables en la tabla alcanzan una tolerancia aceptable en la tercera iteración. Para la tubería desnuda las resistencias térmicas de mayor importancia son las debidas a la convección forzada y la radiación térmica, que se presentan sobre la superficie externa de la tubería, ambas tienen el mismo orden de magnitud y representan en conjunto el 99% de la resistencia total en el proceso de transferencia de calor. En este caso la tasa de pérdidas de calor es de aproximadamente 1,2·106 [W], lo que significa que las pérdidas de calor con tubería desnuda serían unas 30 veces mayores a las pérdidas en la tubería con aislante. Este resultado revela la importancia del recubrimiento aislante para la economía de los proyectos de inyección de vapor. Comentarios Finales: Es importante destacar que los resultados de las pérdidas de calor de este

problema podrían cambiar dentro de cierto rango, dependiendo de las correlaciones utilizadas para calcular el número de Nusselt y de las herramientas empleadas para estimar las propiedades de los fluidos involucrados. Los resultados revelan que para tuberías con revestimiento aislante la mayor

contribución sobre la resistencia total a la transferencia de calor, es precisamente la resistencia que ofrece el aislante, mientras que al tratarse de una tubería desnuda, toman mayor importancia la combinación de las resistencias de convección externa y radiación térmica sobre la superficie de la tubería. Dependiendo de la importancia o utilidad que se le dará a los cálculos de pérdidas

de calor, será conveniente verificar estas tendencias con datos experimentales antes de realizar alguna simplificación en el procedimiento de cálculo.

En este punto resulta conveniente realizar algunas consideraciones sobre el espesor del revestimiento aislante. Si bien es cierto, que la resistencia térmica del aislante se incrementa cuando aumenta su espesor, hay que tomar en cuenta que mientras más


- 42 -

grande sea el espesor del aislante, mayor es el área superficial expuesta al ambiente, con lo que se incrementa la tasa de transferencia de calor por convección. La combinación de estos dos efectos podría provocar la existencia de un punto crítico en el espesor del revestimiento aislante [18]. Para demostrar este fenómeno y verificar si este punto crítico produce un máximo o un mínimo en la tasa de transferencia de calor, se puede utilizar un ejemplo sencillo como el esquema de resistencias térmicas que se muestra en la figura 3.15, donde sólo se consideran la conducción de calor a través del revestimiento aislante y la convección sobre la superficie externa.

Figura 3.15 Esquema simplificado de resistencias térmicas. La resistencia total a la transferencia de calor para este esquema estaría dada por la siguiente expresión:

EXTEAAIS

ETEA

TOTAL hLr21

KL2r

rlnR

⋅⋅⋅π⋅+

⋅⋅π⋅

= ec. (3.57)

Si existe un espesor crítico del revestimiento aislante o lo que es igual, un radio crítico del aislante, la derivada de la resistencia total con respecto al radio del aislante (rEA) evaluada en dicho punto debe ser igual a cero [21]:

0hLr2

1KLr2

1dr

dR

EXT2

EAAISEAEA

TOTAL =⋅⋅⋅π⋅

−⋅⋅⋅⋅π⋅

= ec. (3.58)

Despejando el radio del aislante resulta que su valor crítico para el esquema de resistencias de la figura 3.15 viene dado por siguiente relación:

( )EXT

AISCRÍTICOEA h

Kr = ec. (3.59)

Adicionalmente, si se evalúa la segunda derivada de la resistencia total con respecto al radio del aislante en el radio crítico de la ecuación (3.59), se obtiene que la misma

Flujo de Aire

rET

rEA

T PR

OM

T EA

T ∞

RCONV-AIS RCONV-EXT

Revestimiento aislante (KAIS)


- 43 -

es mayor que cero, con lo que queda demostrado que cuando el radio externo del aislante es igual a su valor crítico, la resistencia térmica presenta un valor mínimo que maximiza la tasa de transferencia de calor [21]:

EXT3

AIS2

EA2

EA

TOTAL2

hLrEA

1

KLr2

1

dr

Rd

⋅⋅⋅π+

⋅⋅⋅π⋅−= ec. (3.60)

( )

0

h

KL2

1

hLhK

1

KLhK

2

1

dr

Rd

2EXT

3AIS

EXT

3

EXT

AISAIS

2

EXT

AISCRÍTICOEAr

2EA

TOTAL2

>

⋅⋅π⋅

=

⋅⋅

⋅π

+

⋅⋅

⋅π⋅

−=

ec.(3.61)

Esto significa que al tener un espesor del aislante tal, que su radio externo esté por debajo del radio crítico, la presencia del material aislante provocará que la tasa de transferencia de calor se incremente en vez de disminuir. El siguiente ejercicio permite visualizar este fenómeno. Ejercicio 3.2 Cálculo del espesor crítico del aislante. Se transporta vapor a 320 [°C] por una tubería de superficie de 4 [plg] de diámetro y 100 [m] de longitud. Se conoce que el coeficiente de transferencia de calor por convección sobre la superficie externa es aproximadamente 10 [W/m2·K] y que la temperatura promedio del ambiente es de 25 [°C]. Se desea calcular el espesor crítico para dos tipos de aislante con los siguientes valores de conductividad térmica: aislante A = 0,069 [W/m·K] y aislante B = 1 [W/m·K]. Para facilitar los cálculos se va a suponer el mismo esquema de resistencias térmicas de la figura 3.17, en cuyo caso el radio crítico del aislante viene dado por la ecuación (3.59). De esta manera se tiene que para el aislante A el radio crítico es:

( ) [plg] 2717,0]m[ 0069,0 K][W/m 10

K][W/m 069,0hK

r2EXT

ACRÍTICOEA ==

⋅

⋅==

Este valor es menor que las 2 [plg] del radio externo de la tubería, por lo que cualquier cantidad de revestimiento aislante que se coloque en la tubería, ayudaría a reducir las pérdidas de calor hacia el medio ambiente, tal como se muestra en la


- 44 -

figura A, donde también se observa que la mayor influencia sobre la resistencia total se debe a la presencia del aislante.

Resistencias vs. radio del aislante

[m]

[K/W

]

RAIS rEA( )RCOV rEA( )RTOTAL rEA( )

rEA

Pérdidas de calor vs. radio del aislante

[m]

[W] Q rEA( )

rEA

Figura A

Para el aislante B el radio crítico es:

( ) [plg] 9370,3]m[ 1,0 K][W/m 10

K][W/m 1hK

r2EXT

ACRÍTICOEA ==

⋅

⋅==

Un radio crítico de 3,9370 [plg] equivale a un espesor del aislante igual a 1,9370 [plg]. Si el espesor del aislante B está por debajo de este valor, su presencia provocaría un aumento en la tasa de pérdidas de calor. Si el espesor del aislante es igual al valor crítico las pérdidas de calor alcanzarían un valor máximo, tal como se observa en la figura B. En este caso tanto la resistencia del aislante como la resistencia debida a la convección externa influyen sobre el valor de la resistencia total.

Resistencias vs. radio del aislante

[m]

[K/W

]

RAIS rEA( )RCOV rEA( )RTOTAL rEA( )

rEA

Pérdidas de calor vs. radio del aislante

[m]

[W] Q rEA( )

rEA

Figura B


- 45 -

3.5.3 Pérdidas de Calor en Pozos Inyectores En la sección anterior se indicó que las pérdidas de calor en una tubería de superficie, podían calcularse bajo la suposición de estado estacionario, debido a que la tasa de transferencia de calor hacia el medio ambiente y la temperatura del mismo eran constantes. Para calcular las pérdidas de calor en pozos inyectores no se puede considerar estado estacionario, ya que la formación cambia su temperatura durante el proceso de inyección. Como lo señala Prats [18], refiriéndose a los trabajos de Ramey [22] y Willhite [23], la tasa de pérdidas de calor en un pozo inyector es una función que decrece monótonamente en función del tiempo, indicando la rapidez con la cual la formación conduce el calor proveniente del pozo. Como se explicará con mayores detalles en el próximo capítulo, el vapor puede ser inyectado a la formación mediante varios esquemas, por ejemplo, se puede utilizar una sarta de inyección o se puede inyectar el vapor directamente a través del espacio anular entre la tubería de producción y el revestidor. El esquema de inyección dependerá de las características de la completación y de la configuración de las arenas objetivo. Como es lógico pensar, las pérdidas de calor en un pozo inyector dependerán del esquema de inyección. En esta sección se hará énfasis en la inyección de vapor a través de una sarta de inyección aislada concéntrica al revestidor, mientras que sobre otros esquemas sólo se darán algunas recomendaciones para el cálculo de las pérdidas de calor. Para reducir las pérdidas de calor durante la inyección de vapor, las tuberías que conforman la sarta de inyección tienen un revestimiento aislante y una capa metálica de protección, que sirve para sostener el aislante y evitar que el mismo entre en contacto directo con los fluidos de la formación. Otra característica especial de este esquema es la utilización de una empacadura térmica que sella el espacio anular sobre la punta de la sarta de inyección, con lo que se impide el ascenso del vapor por este espacio y se logra reducir las pérdidas de calor, ya que el aire que queda contenido en el espacio anular entre la empacadura y el cabezal del pozo, tiene menor conductividad térmica que el vapor. La transferencia de calor desde el flujo de vapor hasta la superficie externa de la sarta de inyección, puede ser modelada a través de las mismas resistencias térmicas que se utilizaron en el problema de tuberías de vapor en superficie, es decir, una resistencia relacionada con el proceso de convección interna entre el flujo de vapor y las paredes internas de la tubería (RCONV-INT) y otras tres, relacionadas con la conducción de calor a través de las paredes de la tubería (RCOND-TUB), del revestimiento aislante (RCOND-AIS) y del protector del aislante (RCOND-PRO). Como se observa en la figura 3.16, en el espacio anular que se forma entre la sarta de inyección y el revestidor, se presentan dos procesos de transferencia de calor en forma paralela [18]. Uno de ellos, es el proceso de radiación térmica entre la


- 46 -

superficie externa de la sarta de inyección y la superficie interna del revestidor (RRAD), el cual depende fuertemente de la temperatura y la emisividad de ambas superficies. El otro es un proceso de convección natural producto de las corrientes de aire generadas por las fuerzas de flotación (RCONV-ANU), que provocan el ascenso del aire caliente menos denso cercano a la superficie de la sarta de inyección y el descenso del aire frío más denso cercano a la pared interna del revestidor. A partir de la superficie interna del revestidor existe conducción de calor por las paredes del revestidor (RCOND-REV) y las paredes de cemento del pozo (RCOND-CEM).

Figura 3.16 Esquema de resistencia térmicas en un pozo cuando se utiliza una sarta de inyección aislada.

Finalmente, se presenta la transferencia de calor en la formación que como se mencionó anteriormente depende del tiempo (RFOR). Otras resistencias que podrían incluirse en los cálculos, son las originadas por la presencia de películas de suciedad y costras sobre las paredes de las tuberías. También podría considerarse la existencia de una zona de arenas alteradas en las adyacencias del pozo, producto de la

Tube

ría

Ais

lant

e

Prot

ecto

r

Fluj

o de

Vap

or

Húm

edo

(Tpr

om)

r = 0

rr IT

r ET

r EA

r EP

r IR

r ER

r EC

Espa

cio

Anu

lar

Rev

estid

or

Cem

ento

Form

ació

n

RC

ON

V-IN

T

RC

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D-T

UB

RC

ON

D-A

IS

RC

ON

D-P

RO

RC

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V-A

NU

RR

AD

T PR

OM

T IT

T ET

T EA

T EP

T IR

T ER

T EC

T F

RC

ON

D-R

EV

RC

ON

D-C

EM

RC

ON

D-F

OR


- 47 -

desecación originada por las altas temperaturas, que introduciría una resistencia térmica distinta a la de la formación, que puede ser tratada como una resistencia de conducción [18]. Prats, basándose en el trabajo de varios autores, señala que la resistencia de la formación puede ser definida por la siguiente expresión [18]:

FOR

DFOR KL2

)t(FR

⋅⋅π⋅= ec. (3.62)

Donde KFOR es la conductividad térmica de la formación en unidades de [W/m·K], L es la profundidad del pozo o tramo del mismo donde se calculan las pérdidas de calor en unidades de [m] y F(tD) es una función adimensional que introduce la dependencia del tiempo en la resistencia de la formación. La variable tD es el tiempo que dura el proceso de inyección de vapor, expresado en forma adimensional mediante la siguiente expresión:

2W

FORD

r

tt

⋅α= ec. (3.63)

Donde αFOR es la difusividad térmica de la formación en unidades de [m2/d], t es el tiempo de la inyección en [d] y rW es el radio del pozo en [m]. La función F(tD) se obtiene resolviendo la ecuación de conducción de calor en dirección radial, suponiendo que la conductividad térmica de la tierra es isotrópica en el plano normal al pozo. La temperatura en la pared externa del pozo no es constante, por lo que la condición de borde para calcular la función F(tD) es la resistencia térmica desde el flujo de vapor hasta la pared externa del pozo (RPOZO), que consiste en la suma de resistencias que se indica en la ecuación (3.64). Esta suma de resistencias térmicas en el pozo se relaciona con la resistencia de la formación y la resistencia total mediante la ecuación (3.65).

CEMCONDREVCOND

1

RADANUCONV


RRR

1R

1

RRRRR

−−

−

−

−−−−

++

++

++++=

ec. (3.64)

FOR

DTOTALPOZO KL2

)t(FRR

⋅⋅π⋅−= ec. (3.65)

Para valores de tD mayores o iguales a 100, Ramey [22] propuso la siguiente ecuación para calcular la función F(tD):


- 48 -

403,0)tln(21)t(F DD +⋅= ec. (3.66)

Para valores de tD menores a 100 Willhite [23] publicó una tabla de la función F(TD) para varios valores de TD y del término (2·π·L·RPOZO·KFOR), que se muestra a continuación:

2·π·L·RPOZO·KFOR tD 0 0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5

0.1 0.445 0.438 0.433 0.417 0.396 0.373 0.3450.2 0.588 0.578 0.572 0.568 0.538 0.511 0.4730.5 0.811 0.806 0.802 0.790 0.772 0.745 0.6981.0 1.020 1.010 1.010 1.000 0.984 0.958 0.9102.0 1.250 1.250 1.240 1.240 1.220 1.200 1.1505.0 1.590 1.590 1.590 1.580 1.570 1.560 1.520

10.0 1.880 1.870 1.870 1.860 1.860 1.840 1.81020.0 2.170 2.170 2.170 2.160 2.160 2.150 2.12050.0 2.580 2.580 2.570 2.570 2.570 2.560 2.540

100.0 2.900 2.890 2.890 2.890 2.890 2.880 2.860

2·π·L·RPOZO·KFOR tD 1 2 5 10 20 50 100

0.1 0.330 0.323 0.318 0.316 0.314 0.313 0.3130.2 0.452 0.439 0.430 0.427 0.424 0.423 0.4230.5 0.666 0.644 0.629 0.623 0.619 0.617 0.6161.0 0.872 0.842 0.820 0.811 0.806 0.803 0.8022.0 1.110 1.080 1.050 1.040 1.030 1.020 1.0205.0 1.480 1.440 1.400 1.380 1.370 1.370 1.360

10.0 1.770 1.730 1.690 1.670 1.660 1.660 1.65020.0 2.090 2.050 2.000 1.990 1.970 1.970 1.96050.0 2.510 2.480 2.440 2.420 2.400 2.390 2.390

100.0 2.840 2.810 2.770 2.750 2.740 2.730 2.730

Tabla 3.3 Función de tiempo para calcular la resistencia térmica de la formación.

La resistencia térmica debida la radiación entre las superficies externa de la sarta e interna del revestidor, se puede expresar a partir de la ecuación (3.49), que se presento en la sección 3.5.1 como la expresión para calcular la resistencia a la radiación térmica entre dos cilindros concéntricos de largo infinito:


- 49 -

( )

( ) 1

IR

EP

REV

REV

PRO

4IR

4EPEP

IREPRAD

rr11TTLr2

TTR

−

⋅

εε−+

ε⋅−⋅σ⋅⋅⋅π⋅

−= ec. (3.67)

En esta expresión TEP, εPRO y rEP son la temperatura, la emisividad y el radio de la superficie externa del protector, mientras que TIR, εREV y rIR, representan estas mismas variables pero para la superficie interna del revestidor. Por su parte, la resistencia relacionada con el proceso de convección natural se puede obtener mediante la ecuación (3.41), como se indica a continuación:

EFECTIVAAIRE

EPIR

ANUCONV KL2r

rlnR

−− ⋅⋅π⋅

= ec. (3.68)

Para la constante efectiva de conductividad térmica del aire, Willhite [24] recomienda el uso de la siguiente expresión:

407,0AIRE

333,0AIREAIREEFECTIVAAIRE PrGrK049,0K ⋅⋅⋅=− ec. (3.69)

Donde la constante de conductividad térmica (KAIRE), el número de Grashof (GrAIRE) y el número de Prandtl (PrAIRE), deben ser evaluados a la temperatura y presión promedios del aire en el espacio anular. El número de Grashof es un número adimensional que representa la relación entre las fuerzas de flotación y las fuerzas viscosas que actúan sobre el fluido, en este caso el aire. Para el caso del espacio anular entre la sarta de inyección y el revestidor, el número de Grashof se define de la siguiente manera:

( ) ( )⋅

ν−⋅−⋅β⋅

=AIRE

3IREPIREPAIRE

AIRErrTTg

Gr ec. (3.70)

Donde g es la gravedad igual a 9,81 [m/s2], βAIRE es el coeficiente de expansión térmica del aire, que se puede calcular como el inverso de la temperatura del aire en el espacio anular, con unidades de [K-1] y νAIRE es la viscosidad cinemática del aire que tiene unidades de [m2/s], que también debe ser evaluada a las condiciones promedio del aire en el espacio anular. La temperatura promedio del aire en el espacio anular se puede calcular como:

2TT

T IREPANULAR

+= ec. (3.71)


- 50 -

Las temperaturas externa del protector e interna del revestidor son desconocidas, por lo que el procedimiento para calcular las pérdidas de calor en pozos inyectores consiste en un proceso iterativo. En líneas generales, cuando se utiliza el esquema de sarta aislada concéntrica con un esquema de resistencias térmicas como el de la figura 3.18, las pérdidas de calor se pueden calcular siguiendo los siguientes pasos: 1) Calcular la resistencia de convección interna y las resistencias de conducción a

través de las paredes de la tubería, del revestimiento aislante, del protector del aislante, de las paredes del revestidor y de las paredes de cemento del pozo (RCONV-INT, RCOND-TUB, RCOND-AIS, RCOND-PRO, RCOND-REV y RCOND-CEM).

2) Suponer que la resistencia térmica total es igual al doble de la resistencia del revestimiento aislante (RTOTAL

SUPUESTA = 2·RCOND-AIS). 3) Calcular la resistencia de la formación (RFOR). Si tD es mayor o igual a 100, el

valor de la función adimensional F(tD) se obtiene mediante la ecuación (3.65), pero si el menor que 100 se utiliza la tabla 3.3 en cuyo caso, para la primera iteración, se puede suponer que la suma de las resistencias térmicas en el pozo (RPOZO) es igual a la resistencia total supuesta en el paso anterior.

4) Calcular la temperatura externa del protector del aislante (TEP) y la temperatura interna del revestidor (TIR), mediante las siguientes expresiones:

( )FORPROM

SUPUESTATOTAL

PROCONDAISCONDTUBCONDINTCONVPROMEP

TT

R

RRRRTT

−⋅

⋅

+++−= −−−−

ec. (3.72)

( ) FORFORPROMSUPUESTATOTAL

FORCEMCONDREVCONDIR TTT

R

RRRT +−⋅

++= −− ec. (3.73)

5) Una vez conocidas las temperaturas externa del protector e interna del

revestidor, calcular las resistencias en el espacio anular, es decir, la resistencia de de convección natural y la resistencia a la radiación térmica (RCONV-ANU y RRAD), con las ecuaciones (3.67) y (3.68) respectivamente.

6) Calcular la resistencia térmica total mediante la siguientes expresión:

FORCEMCONDREVCOND

1

RADANUCONV


RRRR

1R

1

RRRRR

+++

++

++++=

−−

−

−

−−−−

ec. (3.74)

7) Si la resistencia térmica total calculada es igual a la supuesta en el paso 2 se

continua con el paso siguiente sino, se repite el procedimiento desde el paso 2 tomando la resistencia total calculada como la resistencia supuesta, esto hasta


- 51 -

que el valor de la resistencia total esté dentro de una tolerancia determinada. A partir de la segunda iteración se tienen datos para calcular la suma de las resistencias térmicas en el pozo (RPOZO), por lo que no es necesario suponer que estas son iguales a la resistencia total.

8) Cuando converge el valor de la resistencia total se calcula la tasa de pérdidas de calor, como:

( )

TOTAL

FORPROMTOTAL R

TTq

−= ec. (3.75)

Ejercicio 4.3 Pérdidas de calor en un pozo inyector de vapor. Se desea conocer la tasa de pérdidas de calor en un pozo después de 21 días de iniciada la inyección de vapor en él. Se trata de un pozo donde se inyectan 300 [TON/d] de vapor a 300 [°C], utilizando una sarta aislada asentada con una empacadura térmica en el revestidor del pozo, que tiene 9-5/8 [plg] de diámetro y es del tipo N-80 con 53,50 [lbm/pie]. La sarta de inyección está formada por 1000 [pies] de tuberías de 3-1/2 [plg] de diámetro tipo N-80 de 9,20 [lbm/pie] y cuenta con un revestimiento aislante de silicato de calcio de 1 [plg] de espesor y un protector del aislante de aluminio de 0,1 [plg] de espesor. El revestidor está cementado en un hoyo de 12 [plg] de diámetro. La temperatura promedio de la formación hasta los 1000 [pies] de profundidad es de 40 [°C]. 3.5.1 Pérdidas de Presión en Tuberías de Vapor Húmedo El vapor húmedo que fluye a través de las redes de distribución de vapor y de los pozos inyectores consiste en flujo bifásico líquido-gas. En zonas cercanas a las plantas generadoras de vapor es posible despreciar el efecto de la fase líquida, porque el vapor sale de las mismas con valores altos de calidad. Sin embargo, a medida que la calidad del vapor disminuye, la influencia de la fase líquida sobre las pérdidas de presión aumenta. Por esta razón, es conveniente revisar los distintos patrones de flujo bifásico que pueden ocurrir y presentar una herramienta para estimar las pérdidas de presión en estos casos. El término patrón de flujo se refiere a la configuración geométrica que adoptan las fases líquida y gaseosa en una tubería. Tal configuración depende de la magnitud del flujo de ambas fases, de sus propiedades físicas como viscosidad, densidad y tensión superficial y de variables geométricas de la tubería, como su diámetro y el ángulo de inclinación. El patrón de flujo determina la magnitud de las pérdidas de presión en para flujo bifásico en tuberías. En la figura 4.12 se presentan los distintos patrones de flujo que pueden existir en una tubería horizontal o cercana a horizontal y los que se pueden existir en una tubería vertical o con un ángulo de inclinación grande [24].


- 52 -

En la literatura existen muchas correlaciones empíricas para el cálculo del gradiente de presión con flujo bifásico en tuberías. Una de las más conocidas es la correlación de Beggs and Brill (1973), la cual tiene como ventaja que puede ser utilizada indistintamente en tuberías horizontales, verticales e inclinadas, tanto para flujo ascendente como para flujo descendente, todo esto mediante una rutina sencilla de cálculos. Esta correlación fue desarrollada a partir de los resultados de 584 pruebas experimentales utilizando agua como fase líquida y aire como fase gaseosa. Para el caso de flujo en tuberías inclinadas y verticales, los autores reportan errores promedio en el gradiente de presión calculado, de 1.43% para flujo ascendente y de 1.11% para flujo descendente, mientras que para flujo horizontal reportan un error de 2.57% [25]. Para aplicar el método de Beggs and Brill el primer paso es calcular las velocidades superficiales de ambas fases y la velocidad de mezcla. Las velocidades superficiales representan la velocidad que tendría cada una de las fases si estuviese fluyendo sola en la tubería. Por su parte la velocidad de mezcla se define como el flujo volumétrico total de ambas fases entre el área de la tubería:

TUBERIA

LIQSL A

Qu =

TUBERIA

GASSG A

Qu = ec. (3.76)

SGSLTUBERIA

GASLIQM uu

A

QQu +=

+= ec. (3.77)

Luego se calculan los siguientes parámetros que sirven para determinar el régimen de flujo según las condiciones que se muestran en la tabla 3.4:

Dgu

N2

MFR ⋅

= ec.(3.78)

M

SLL u

u=λ ec. (3.79)

302.0

L1 316L λ⋅= ec. (3.80)

4684.2L2 0009252.0L −λ⋅= ec. (3.81)

4516.1

L3 10.0L −λ⋅= ec. (3.82)

738.6L4 5.0L −λ⋅= ec. (3.83)


- 53 -

El régimen de flujo es: Si se cumple que:

Segregado LN y 01.0

oLN y 01.0

2FRL

1FRL

<≥λ

<<λ

Transición LNL y 01.0 3FR2L ≤<≥λ

Intermitente LNL y 4.0

o

LNL y 4.001.0

4FR3L

1FR3L

≤<≥λ

≤<<λ≤

Distribuido LN y 01.0

oLN y 01.0

2FRL

1FRL

<≥λ

<<λ

Tabla 3.4 Condiciones para determinar el régimen de flujo.

El método de Beggs and Brill considera los siguientes tipos de régimen: flujo segregado, que incluye los flujo tipo estratificado, ondulado y anular; flujo de transición, equivalente al flujo tipo churn explicado anteriormente; flujo intermitente, que se refiere al flujo tipo tapón; y flujo distribuido que se refiere a los flujos tipo burbuja y niebla. Es importante destacar que el hold-up de líquido (HL) que predice este método representa el hold-up que existiese en la tubería si fuese completamente vertical, por lo que en el caso de flujo en tuberías inclinadas y verticales no debe ser interpretado como una medida real del hold-up de líquido real. Si el régimen de flujo resulta ser segregado, intermitente o distribuido, el hold-up de líquido (HL) se calcula con las siguientes expresiones:

ψ⋅= LOL HH ec. (3.84)

cFR

bL

LON

aH

λ⋅= ec. (3.85)

( ) ( )[ ]θ⋅⋅−θ⋅⋅+=ψ 8.1sen333.08.1senC1 3 ec. (3.86)

( ) ( )g

FRf

vle

LL NNdln1C ⋅⋅λ⋅⋅λ−= ec. (3.87) Donde HLO es el hold-up que existiría en una tubería horizontal con las mismas condiciones de flujo y ψ es un factor de corrección que considera los efectos del ángulo de inclinación. Las constantes a, b, c, d, e, f y g cuyos valores se muestran en la tabla 3.5, dependen del régimen de flujo y C debe ser siempre un número mayor que cero.


- 54 -

Régimen de Flujo a b c d e f g

Segregado 0.98 0.4846 0.0868 - - - - Intermitente 0.845 0.5351 0.0173 - - - - Distribuido 1.065 0.5824 0.0609 - - - - Segregado ascendente - - - 0.011 -3.768 3.539 -1.614

Intermitente ascendente - - - 2.96 0.305 -0.4473 0.0978

Distribuido ascendente - - - Sin correcciones, C=0 y ψ=1

Regímenes descendentes - - - 4.70 -0.3692 0.1244 -0.5056

Tabla 3.5 Constantes para calcular el hold-up.

Ahora, si el régimen de flujo resulta ser transición, el hold-up de líquido (HL) se calcula combinando las expresiones para flujo segregado e intermitente, como se indica a continuación:

TEINTERMITENL

SEGREGADOL

TRANSICIÓNL HBHAH ⋅+⋅= ec. (3.88)

23

FR3LL

NLA

−−

= ec. (3.89)

A1B −= ec. (3.90)

Una vez calculado el hold-up de líquido se calculan el gradiente de presión total, que se obtiene sumando el gradiente debido a las pérdidas por fricción, el gradiente debido a cambios de energía potencial o efectos de elevación y el gradiente debido a cambios en la energía cinética o efectos de aceleración:

ECEPFTOTAL dzdP

dzdP

dzdP

dzdP

+

+

=

ec. (3.91)

El gradiente de presión debido a pérdidas por fricción se calcula mediante la siguiente expresión:

Dguf2

dzdP

c

2MmTP

F ⋅⋅ρ⋅⋅

=

ec. (3.92)


- 55 -

Donde fTP se refiere al factor de fricción para flujo que se calcula a partir del factor de fricción de Moody en tubería lisa, según las siguientes ecuaciones:

( )Sexpff NTP ⋅= ec. (3.93)

( )( ) ( )[ ] ( )[ ]

( ) 1.2)x(1 Si 2.1x2.2lnSxln01853.0xln8725.0xln182.30523.0

xlnS

42

<<−⋅=⋅+⋅−⋅+−

= ec. (3.94)

2L

L

Hx

λ= ec. (3.95)

El factor de fricción de Moody se puede calcular a través de la ecuación (3.96), que utiliza un número de Reynolds calculado con propiedades promedio de ambas fases:

( )2

m

mN 8215.3Relog5223.4

Relog2

41

f−

−⋅

⋅⋅= ec. (3.96)

m

mmm

DuRe

µ⋅⋅ρ= ec. (3.97)

El gradiente de presión debido a cambios en la energía potencial se calcula con la siguiente, donde ρPROM se refiere a una densidad promedio calculada con el hold-up de líquido (Hl) predicho por el método:

( )θ⋅ρ⋅=

Sen

gcg

dzdP

PROMEP

ec. (3.98)

( )LGASLLIQPROM H1H −⋅ρ+⋅ρ=ρ ec. (3.99)

El efecto del gradiente de presión debido a cambios de energía cinética, se incluye mediante el siguiente cálculo, basado en el parámetro EK de la ecuación (3.101):

K

EPF

TOTAL E1dzdP

dzdP

dzdP

−

+

=

ec. (3.100)

Pg

uuE

c

msgmK ⋅

ρ⋅⋅= ec. (3.101)


- 56 -

3.6 REFERENCIAS [1] Müller, E. (1994). Termodinámica Básica (3ra Edición). Valle de Sartenejas, Venezuela:

Equinoccio Ediciones de la Universidad Simón Bolívar. [2] Smith, J. M. y Van Ness, H. C. (1994). Introducción a la Termodinámica en Ingeniería

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capÍtulo 3 el vapor como medio de calentamiento de...

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