739739

CAPTULO 21 RESUMEN

Carga elctrica, conductores y aislantes: La cantidad fundamental en electrosttica es la carga elctrica.Hay dos clases de carga: positiva y negativa. Las cargas del mismo signo se repelen mutuamente; las cargas de signo opuesto se atraen. La carga se conserva; la carga total en un sistema aislado es constante.

Toda la materia ordinaria est hecha de protones, neutrones y electrones. Los protones positivos y los neutrones elctricamente neutros del ncleo de un tomo se mantienen unidos por la fuerza nuclear;los electrones negativos circundan el ncleo a distancias mucho mayores que el tamao de ste. Las interacciones elctricas son las principales responsables de la estructura de tomos, molculas y slidos.

Los conductores son materiales que permiten que la carga elctrica se mueva con facilidad a travs de ellos. Los aislantes permiten el movimiento de las cargas con mucha menos facilidad. La mayora delos metales son buenos conductores; en tanto que la mayora de los no metales son aislantes.

x

Q

dExP

y

dsdQ

dEyx

r ! x 2 " a 2

dEr

aa

O

a

+q

ES

+

+r

+

q1

q2

F1 sobre 2S

F2 sobre 1S

q1

q2

r

F1 sobre 2S

F2 sobre 1S

++ +

+ +++

++

++ + + +

Cargas iguales se repelen.

Cargas diferentes se atraen.

++ + + ++ + + + +

+

ES

ESE

S

Ley de Coulomb: La ley de Coulomb es la ley fundamentalde la interaccin de cargas elctricas puntuales. Para lascargas q1 y q2 separadas por una distancia r, la magnitud de la fuerza sobre cualquiera de ellas es proporcional alproducto q1q2 e inversamente proporcional a r

2. La fuerzasobre cada carga ocurre a lo largo de la lnea que las une,de repulsin si q1 y q2 tienen el mismo signo, y de atraccinsi tienen el signo opuesto. Las fuerzas forman un par de accin-reaccin y obedecen la tercera ley de Newton. En unidades del SI, la unidad de la carga elctrica es el coulomb, que se simboliza como C. (Vanse los ejemplos21.1 y 21.2.)

El principio de superposicin de fuerzas establece quecuando dos o ms cargas ejercen cada una fuerza sobre otra carga, la fuerza total sobre esa carga es la suma vectorial de las fuerzas que ejercen las cargas individuales.(Vanse los ejemplos 21.3 y 21.4.)

(21.2)

14pP0

5 8.988 3 109 N # m2/C2

F 51

4pP0 0 q1 q2 0

r2

Campo elctrico: El campo elctrico una cantidad vectorial, es la fuerza por unidad de carga que se ejerce sobre una carga de prueba en cualquier punto, siempre que la carga de prueba sea tan pequea que no perturbe las cargas que generan el campo. El campo elctrico producidopor una carga puntual est dirigido radialmente hacia fuerade la carga o hacia ella. (Vanse los ejemplos 21.5 a 21.8.)

ES

,(21.3)

(21.7)ES

51

4pP0 q

r2r

ES

5FS

0

q0

Superposicin de campos elctricos: El principio de superposicin de campos elctricos establece que el campo elctrico de cualquier combinacin de cargas es la suma vectorial de los campos producidos por las cargas individuales. Para calcular el campo elctrico generado por una distribucincontinua de carga, la distribucin se divide en elementos pequeos, se calcula el campo producido por cada elemento, y luego se hace la suma vectorial o la suma de cada componente, por lo general con tcnicas de integracin. Las distribuciones de carga estn descritas por la densidad lineal de carga, l,densidad superficial de carga, s, y densidad volumtrica de carga, r. (Vanse los ejemplos 21.9 a 21.13.)

ES

Lneas de campo elctrico: Las lneas de campo proporcionan una representacin grfica de los camposelctricos. En cualquier punto sobre una lnea de campo, la tangente a la lnea est en direccin de enese punto. El nmero de lneas por unidad de rea (perpendicular a su direccin) es proporcional a lamagnitud de en ese punto.E

S

ES

740 C APTU LO 21 Carga elctrica y campo elctrico

Trminos clavecarga elctrica, 710electrosttica, 710electrn, 711protn, 711neutrn, 711ncleo, 711nmero atmico, 712ion positivo, 712ion negativo, 712ionizacin, 712principio de conservacin de la carga, 712

conductor, 713aislante, 713induccin, 714carga inducida, 714carga puntual, 716ley de Coulomb, 716coulomb, 717principio de superposicin de fuerzas, 719campo elctrico, 722carga de prueba, 722punto de origen, 723

punto del campo, 723campo vectorial, 724principio de superposicin de campos

elctricos, 727densidad lineal de carga, 727densidad superficial de carga, 727densidad volumtrica de carga, 727lnea de campo elctrico, 733dipolo elctrico, 735momento dipolar elctrico, 735

Respuesta a la pregunta de inicio de captulo ?Las molculas de agua tienen un momento dipolar elctrico permanen-te: un extremo de la molcula tiene carga positiva; y el otro extremotiene carga negativa. Estos extremos atraen iones negativos y positi-vos, respectivamente, y los mantienen separados en solucin. El aguaes menos eficaz como solvente de materiales cuyas molculas no se io-nizan (llamadas sustancias no inicas), como los aceites.

Respuestas a las preguntas de Evale su comprensin21.1 Respuestas: a) la varilla de plstico pesa ms, b) la varilla devidrio pesa menos, c) la piel pesa un poco menos, d) la seda pesa unpoco menos. La varilla de plstico obtiene una carga negativa al to-mar electrones de la piel, por lo que la varilla pesa un poco ms y lapiel pierde peso despus del frotamiento. En contraste, la varilla de vi-drio obtiene una carga positiva porque cede electrones a la seda, asque despus de frotarse, la varilla de vidrio pesa un poco menos, y laseda un poco ms. El cambio en el peso es muy pequeo: el nmero de electrones transferidos es una fraccin pequea del mol, y un mol de electrones tiene una masa de tan slo (6.02 3 1023 electrones)(9.11 3 10231 kg>electrn) 5 5.48 3 1027 kg 5 0.548 miligramos!21.2 Respuestas: a) i), b) ii) Antes de que las dos esferas se toquen,la esfera con carga negativa ejerce una fuerza de repulsin sobre loselectrones de la otra esfera, lo cual origina zonas de caga inducida ne-gativa y positiva (vase la figura 21.7b). La zona positiva est ms cer-ca de la esfera cargada negativamente que la zona negativa, por lo quehay una fuerza neta de atraccin que jala a las esferas una hacia la otra,como en el caso del peine y el aislante de la figura 21.8b. Una vez quese tocan las dos esferas metlicas, algo del exceso de electrones de laesfera con carga negativa fluir hacia la otra esfera (porque los metalesson conductores). Entonces, las dos esferas tendrn una carga negativaneta y se repelern mutuamente.

21.3 Respuesta: iv) La fuerza ejercida por q1 sobre Q es como en elejemplo 21.4. La magnitud de la fuerza ejercida por q2 sobre Q es inclu-so igual a F1 sobre Q, pero la direccin de la fuerza ahora es hacia q2 conun ngulo a por debajo del eje x. Entonces, las componentes x de las dosfuerzas se anulan, mientras que las componentes y (negativas) se suman,y la fuerza elctrica total ocurre en la direccin negativa del eje y.21.4 Respuestas: a) ii), b) i) El campo elctrico producido poruna carga puntual positiva apunta directamente alejndose de la carga(vase la figura 21.18a) y tiene una magnitud que depende de la distan-cia r entre la carga y el punto del campo. De ah que una segunda cargapuntual negativa, q , 0, recibir una fuerza que apunta direc-tamente hacia la carga positiva y tiene una magnitud que depende de ladistancia r entre las dos cargas. Si la carga negativa se mueve directa-mente hacia la carga positiva, la direccin de la fuerza permaneceigual (a lo largo de la lnea del movimiento de la carga negativa); perola magnitud de la fuerza se incrementa a medida que disminuye la dis-tancia r. Si la carga negativa se mueve en crculo alrededor de la cargapositiva, la magnitud de la fuerza permanece igual (porque la distan-cia r es constante); pero la direccin de la fuerza cambia (cuando lacarga negativa est en el lado derecho de la carga positiva, la fuerza va hacia la izquierda; cuando la carga negativa est en el lado izquier-do de la carga positiva, la fuerza va hacia la derecha).21.5 Respuesta: iv) Piense en un par de segmentos de longitud dy,uno en la coordenada y . 0 y el otro en la coordenada 2y , 0. El seg-mento superior tiene carga positiva y produce un campo elctrico en P, que apunta alejndose del segmento, por lo que tiene unacomponente x positiva y una componente y negativa, como el vector

en la figura 21.25. El segmento inferior tiene la misma cantidad decarga negativa. Produce una que tiene la misma magnitud peroapunta hacia el segmento inferior, as que tiene una componente x ne-gativa y una componente y tambin negativa. Por simetra, las doscomponentes x son iguales pero opuestas, de manera que se cancelan.De esta manera, el campo elctrico total nicamente tiene una compo-nente y negativa.

dES

dES

dES

dES

FS

5 qES

ES

+

1qd sen f

F25 2qE

d

2q

f

SS

F15 qESS

ES

pS

Dipolos elctricos: Un dipolo elctrico consiste en un par de cargas elctricas de igual magnitud q pero signo contrario, separadas por una distancia d. Por definicin, el momento dipolar elctrico tiene magnitud p 5qd. La direccin de va de la carga negativa a la carga positiva.Un dipolo elctrico es un campo elctrico que experi-menta un par de torsin igual al producto vectorial de y La magnitud del par de torsin depende del ngulo fentre y La energa potencial, U, para un dipolo elctri-co en un campo elctrico tambin depende de la orientacinrelativa de y (Vanse los ejemplos 21.14 y 21.15.)E

S.pS

ES

.pSES

.pStS

ES

pSpS

(21.15)

(21.16)

(21.18)U 5 2pS # EStS

5 pS 3 ES

t 5 pE sen f

Preguntas para anlisis 741

21.6 Respuesta: s Cuando las lneas de campo son rectas, debeapuntar en la misma direccin por la regin. De ah que la fuerza

sobre una partcula de carga q siempre est en la misma direc-cin. Una partcula que parta del reposo acelera en lnea recta en la di-reccin de por lo que su trayectoria es una lnea recta que estar a lolargo de una lnea de campo.21.7 Respuesta: ii) Las ecuaciones (21.17) y (21.18) indican que la energa potencial para un dipolo en un campo elctrico es

donde f es el ngulo entre las direccionesde y Si y apuntan en direcciones opuestas, de manera que f 5180, entonces cos f 5 21 y U 5 1pE. ste es el valor mximo queU puede tener. De nuestro anlisis de los diagramas de energa en laseccin 7.5, se desprende que se trata de una situacin de equilibrioinestable.

ES

pSES

.pS2pE cos f,U 5 2pS # ES 5

FS

,

FS

5 qES

ES Otra forma de verlo es con la ecuacin (21.15), que dice que la

magnitud del par de torsin sobre un dipolo elctrico es sta es igual a cero si f 5 108, por lo que no hay par de torsin, y siel dipolo se deja sin perturbacin, no girar. No obstante, si se perturbaligeramente el dipolo de modo que f sea un poco menor de 180, ha-br un par de torsin diferente de cero que trata de hacer girar al dipo-lo hacia f 5 0, as que y apuntan en la misma direccin. De ahque cuando el dipolo se perturba en su orientacin de equilibrio en f 5 180, se mueve lejos de esa orientacin, lo cual es lo distintivo del equilibrio inestable.

Se puede demostrar que la situacin en que y apuntan en lamisma direccin (f 5 0) es un caso de equilibrio estable: la energapotencial es mnima, y si el dipolo se desplaza un poco hay un par detorsin que trata de regresarlo a la orientacin original (un par de tor-sin restaurador).

ES

pS

ES

pS

t 5 pE sen f.

PROBLEMAS Para las tareas asignadas por el profesor, visite www.masteringphysics.com

Preguntas para anlisisP21.1. Si usted desprende dos tiras de cinta adhesiva transparente delmismo carrete y de inmediato las deja colgando una cerca de la otra, serepelern mutuamente. Si luego pega el lado con adhesivo de una conel lado brillante de la otra y las separa, se atraern entre s. D una ex-plicacin convincente donde intervenga la transferencia de electronesentre las tiras de cinta en esta secuencia de eventos.P21.2. Dos esferas de metal cuelgan de cordones de nailon, y cuandose les acerca una a la otra tienden a atraerse. Con base en esta sola in-formacin, analice todas las maneras posibles en que las esferas pudie-ran estar cargadas. Sera posible que despus de que las esferas setoquen quedaran pegadas? Explique su respuesta.P21.3. La fuerza elctrica entre dos partculas cargadas se hace msdbil a medida que aumenta la distancia. Suponga que la fuerza elc-trica fuera independiente de la distancia. En este caso, un peine car-gado hara que un aislante neutro se polarizara, como en la figura21.8? Por qu? El aislante neutro sera atrado por el peine? Otravez, por qu?P21.4. Su ropa tiende a pegarse entre s cuando regresa de la tintorera.Por qu? Esperara ms o menos atraccin si la ropa estuviera hechadel mismo material (por ejemplo, algodn), que si estuviera hecha condistintas telas? De nuevo, por qu? (Tal vez usted querr experimen-tar con su prximo envo a la tintorera.)P21.5. Una esfera de metal sin carga cuelga de un cordn de nailon.Cuando se le acerca una varilla de vidrio con carga positiva, la esferaes atrada hacia la varilla. Pero si la esfera toca la varilla, de pronto sealeja de la varilla. Explique por qu la esfera primero es atrada y luegorepelida.P21.6. Los electrones libres en un metal son atrados por gravedad ha-cia la Tierra. Entonces, por qu no se asientan en el fondo del conduc-tor, como los sedimentos en el fondo de un ro?P21.7. Algunos de los electrones en un buen conductor (como el cobre)se mueven a rapideces de 106 m>s o ms rpido. Por qu no escapanvolando del conductor?P21.8. Es comn que los buenos conductores elctricos, como los me-tales, tambin sean buenos conductores del calor; asimismo los aislan-tes elctricos, como la madera, por lo general son malos conductoresdel calor. Explique por qu debe haber una relacin entre la conduc-cin elctrica y la conduccin del calor en estos materiales.P21.9. Defienda el siguiente enunciado: Si en todo el Universo slohubiera una partcula cargada elctricamente, el concepto de cargaelctrica carecera de significado.

P21.10. Dos objetos metlicos idnticos estn montados en soportesaislantes. Describa como podra colocar cargas de signo opuesto, perode exactamente igual magnitud en los dos objetos.P21.11. Se puede utilizar la envoltura de plstico para alimentos al cu-brir un contendedor, estirndola en la parte superior y luego presionan-do las partes que cuelgan contra los lados. Por qu es pegajosa?(Sugerencia: la respuesta incluye la fuerza elctrica.) La envolturapara alimentos se adhiere a s misma con igual tenacidad? Por qu?Funcionara con contenedores metlicos? Otra vez, por qu?P21.12. Si usted camina sobre una alfombra de nailon y luego toca unobjeto metlico grande, como una perilla, puede recibir una chispa yuna descarga. Por qu esto tiende a ocurrir ms bien en los das secosque en los hmedos? (Sugerencia: vase la figura 21.31.) Por qu esmenos probable que reciba la descarga si toca un objeto metlico pe-queo, como un clip sujetapapeles?P21.13. Usted tiene un objeto con carga negativa. Cmo lo usa paracolocar una carga negativa en una esfera metlica aislada? Y para co-locar una carga positiva neta en la esfera?P21.14. Cuando dos cargas puntuales de igual masa y carga se liberanen una mesa sin friccin, cada una tiene una aceleracin inicial a0. Si en vez de eso una se mantiene fija y se libera la otra, cul ser su aceleracin inicial: a0, 2a0 o a0>2? Explique su respuesta.P21.15. En una mesa libre de friccin, se liberan una carga puntual demasa m y carga Q, y otra carga puntual de masa m pero carga 2Q. Si lacarga Q tiene una aceleracin inicial a0, cul ser la aceleracin de2Q: a0, 2a0, 4a0, a0>2 o a0>4? Explique su respuesta.P21.16. Se coloca un protn en un campo elctrico uniforme y luego selibera. Despus se sita un electrn en el mismo punto y tambin se li-bera. Experimentan las dos partculas la misma fuerza? La mismaaceleracin? Se mueven en la misma direccin cuando se liberan?P21.17. En el ejemplo 21.1 (seccin 21.3) se vio que la fuerza elctricaentre dos partculas a es del orden de 1035 veces ms fuerte que la fuer-za gravitatoria. Entonces, por qu percibimos fcilmente la gravedadde la Tierra pero no su fuerza elctrica?P21.18. Qu similitudes hay entre las fuerzas elctricas y las fuerzasgravitatorias? Cules son sus diferencias ms significativas?P21.19. A una distancia R de una carga puntual, su campo elctrico esE0. A qu distancia (en trminos de R) de la carga puntual, el campoelctrico sera ?P21.20. Los ncleos atmicos estn hechos de protones y neutrones.Esto demuestra que debe haber otra clase de interaccin, adems de lasfuerzas gravitatorias y elctricas. Explique su respuesta.

13 E0

P21.21. Los campos elctricos suficientemente fuertes hacen que lostomos se ionicen positivamente, es decir, que pierdan uno o ms elec-trones. Explique por qu ocurre esto. Qu es lo que determina la in-tensidad que debe tener el campo para que esto suceda?P21.22. En la figura 21.35 se muestran loscampos elctricos en el punto P debidos a lascargas positivas q1 y q2. El hecho de que secrucen entre s contraviene el enunciado de laseccin 21.6 acerca de que las lneas de campoelctrico nunca se cruzan? Explique su res-puesta.P21.23. La temperatura y la velocidad del airetienen diferentes valores en lugares distintos dela atmsfera terrestre. La velocidad del aire esun campo vectorial? Por qu? La temperatu-ra del aire es un campo vectorial? De nuevo,por qu?

EjerciciosSeccin 21.3 Ley de Coulomb21.1. En una esfera pequea de plomo con masa de 8.00 g se colocanelectrones excedentes, de modo que su carga neta sea de 23.20 31029 C. a) Encuentre el nmero de electrones excedentes en la esfera.b) Cuntos electrones excedentes hay por tomo de plomo? El nme-ro atmico del plomo es 82, y su masa atmica es de 207 g>mol.21.2. Los relmpagos ocurren cuando hay un flujo de carga elctrica(sobre todo electrones) entre el suelo y los cumulonimbos (nubes detormenta). La tasa mxima de flujo de carga en un relmpago es de al-rededor de 20,000 C>s; esto dura 100 ms o menos. Cunta carga fluyeentre el suelo y la nube en este tiempo? Cuntos electrones fluyen endicho periodo?21.3. Estime cuntos electrones hay en su cuerpo. Haga todas las supo-siciones que crea necesarias; pero diga con claridad cules son. (Suge-rencia: la mayora de los tomos de su cuerpo tienen nmeros igualesde electrones, protones y neutrones.) Cul es la carga combinada detodos estos electrones?21.4. Partculas en un anillo de oro. Usted tiene un anillo de oropuro (24 kilates) con masa de 17.7 g. El oro tiene una masa atmica de197 g>mol y un nmero atmico de 79. a) Cuntos protones hay en elanillo, y cul es su carga total positiva? b) Si el anillo no tiene carganeta, cuntos electrones hay en l?21.5. El peso medio de un ser humano es de alrededor de 650 N. Si dos personas comunes tienen, cada una, una carga excedente de 1.0coulomb, una positiva y la otra negativa, qu tan lejos tendran queestar para que la atraccin elctrica entre ellas fuera igual a su peso de 650 N?21.6. Dos esperas pequeas separadas por una distancia de 20.0 cm tie-nen cargas iguales. Cuntos electrones excedentes debe haber en cadaesfera, si la magnitud de la fuerza de repulsin entre ellas es de 4.57 310221 N?21.7. Se dan cargas elctricas positivas a dos esferas pequeas de pls-tico. Cuando estn separadas una distancia de 15.0 cm, la fuerza de re-pulsin entre ellas tiene una magnitud de 0.220 N. Cul es la carga encada esfera, si a) las dos cargas son iguales, y b) si una esfera tienecuatro veces la carga de la otra?21.8. Dos esferas pequeas de aluminio tienen, cada una, una masa de0.0250 kg, y estn separadas 80.0 cm. a) Cuntos electrones contienecada esfera? (La masa atmica del aluminio es de 26.982 g>mol, y sunmero atmico es de 13.) b) Cuntos electrones tendran que retirar-se de una esfera y agregarse a la otra, para ocasionar una fuerza deatraccin entre ellas con magnitud de 1.00 3 104 N (aproximadamente1 tonelada)? Suponga que las esferas son cargas puntuales. c) Qufraccin de todos los electrones en cada esfera representa esto?

742 C APTU LO 21 Carga elctrica y campo elctrico

21.9. Dos esferas muy pequeas de 8.55 g, separadas una distancia de15.0 cm entre sus centros, se cargan con nmeros iguales de electronesen cada una de ellas. Si se ignoran todas las dems fuerzas, cuntoselectrones habra que agregar a cada esfera para que las dos acelerarana 25.0g al ser liberadas? En qu direccin aceleraran?21.10. a) Si se supone que slo la gravedad acta sobre un electrn,qu tan lejos tendra que estar el electrn de un protn, de modo quesu aceleracin fuera la misma que la de un objeto en cada libre en lasuperficie terrestre? b) Suponga que la Tierra estuviera hecha tan slode protones, pero tuviera el mismo tamao y masa que en realidad tie-ne. Cul sera la aceleracin de un electrn que se liberara en su su-perficie? Es necesario considerar la atraccin de la gravedad ademsde la fuerza elctrica? Por qu?21.11. En un experimento en el espacio, se mantiene fijo un protn y selibera otro desde el reposo a una distancia de 2.50 mm. a) Cul es laaceleracin inicial del protn despus de liberarlo? b) Elabore diagra-mas cualitativos (sin nmeros!) de aceleracin-tiempo y velocidad-tiempo, para el movimiento del protn liberado.21.12. Una carga negativa de 20.550 mC ejerce una fuerza hacia arribade 0.200 N, sobre una carga desconocida que est a 0.300 m directa-mente abajo ella. a) Cul es la carga desconocida (magnitud y signo)?b) Cules son la magnitud y la direccin de la fuerza que la carga des-conocida ejerce sobre la carga de 20.550 mC?21.13. Tres cargas puntuales estn en lnea. La carga q3 5 15.00 nCest en el origen. La carga q2 5 23.00 nC se encuentra en x 5 14.00cm. La carga q1 est en x 5 12.00 cm. Cul es q1 (magnitud y signo),si la fuerza neta sobre q3 es igual a cero?21.14. En el ejemplo 21.4, suponga que la carga puntual sobre el eje yen y 5 20.30 m tiene una carga negativa de 22.0 mC, y la otra cargapermanece igual. Encuentre la magnitud y la direccin de la fuerza neta sobre Q. En qu difiere su respuesta de la respuesta del ejem-plo 21.3? Explique las diferencias.21.15. En el ejemplo 21.3, calcule la fuerza neta sobre la carga q1.21.16. En el ejemplo 21.4, cul es la fuerza neta (magnitud y direc-cin) sobre la carga q1 que ejercen las otras dos cargas?21.17. Tres cargas puntuales estn alineadas a lo largo del eje x. La car-ga q1 5 13.00 mC est en el origen, y la carga q2 5 25.00 mC se en-cuentra en x 5 0.200 m. La carga q3 5 28.00 mC. Dnde est situadaq3 si la fuerza neta sobre q1 es de 7.00 N en la direccin negativa deleje x?21.18. Repita el ejercicio 21.17 para q3 5 18.00 mC.21.19. Dos cargas puntuales se localizan sobre el eje y como sigue: lacarga q1 5 21.50 nC est en y 5 20.600 m y la carga q2 5 13.20 nCse halla en el origen (y 5 0). Cul es la fuerza total (magnitud y direc-cin) ejercida por estas dos cargas sobre una tercera q3 5 15.00 nCque se ubica en y 5 20.400 m?21.20. Dos cargas puntuales estn situadas sobre el eje x del modo si-guiente: la carga q1 5 14.00 nC est en x 5 0.200 m, y la carga q2 515.00 nC est en x 5 20.300 m. Cules son la magnitud y la direc-cin de la fuerza total ejercida por estas dos cargas, sobre una cargapuntual negativa q3 5 26.00 nC que se halla en el origen?21.21. Una carga puntual positiva q est situada sobre la parte positivadel eje y en y 5 a, y una carga puntual negativa 2q est en la parte ne-gativa del eje y en y 5 2a. Se coloca una carga puntual negativa 2Qen cierto punto sobre la parte positiva del eje x. a) En un diagrama decuerpo libre, indique las fuerzas que actan sobre la carga 2Q. b) En-cuentre las componentes x y y de la fuerza neta que ejercen las dos car-gas q y 2q sobre 2Q. (Su respuesta slo debera incluir k, q, Q, a y lacoordenada x de la tercera carga.) c) Cul es la fuerza neta sobre la carga 2Q cuando est en el origen (x 5 0)? d) Haga la grfica de lacomponente y de la fuerza neta sobre la carga 2Q, en funcin de xpara los valores de x entre 24a y 14a.21.22. Dos cargas puntuales positivas q se colocan sobre el eje y en y 5a y en y 5 2a. Se coloca una carga puntual negativa 2Q en cierto pun-to de la parte positiva del eje x. a) En un diagrama de cuerpo libre, indi-

P

q2q1

E2S

E1S

Figura 21.35Pregunta P21.22.

a) el punto A y b) en el punto B. c) Cules seran la magnitud y la di-reccin de la fuerza elctrica que producira esta combinacin de car-gas sobre un protn situado en el punto A?21.32. Campo elctrico de la Tierra. La tierra tiene una carga elc-trica neta que origina un campo en los puntos cerca de su superficie, yque es igual a 150 N>C, dirigido hacia el centro del planeta. a) Qumagnitud y signo de la carga tendra que adquirir un ser humano de 60kg, para vencer su peso con la fuerza ejercida por el campo elctricoterrestre? b) Cul sera la fuerza de repulsin entre dos personas, cadauna con la carga calculada en el inciso a), separadas por una distanciade 100 m? Es factible el uso del campo elctrico de nuestro planetacomo un medio para volar? Por qu?21.33. Se lanza un electrn con rapidezinicial v0 5 1.60 3 106 m>s hacia el in-terior de un campo uniforme entre lasplacas paralelas de la figura 21.38. Su-ponga que el campo entre las placas esuniforme y est dirigido verticalmentehacia abajo, y que el campo fuera delas placas es igual a cero. El electrningresa al campo en un punto equidis-tante de las dos placas. a) Si el electrn apenas libra la placa superioral salir del campo, encuentre la magnitud del campo elctrico. b) Su-ponga que en la figura 21.38 el electrn es sustituido por un protncon la misma rapidez inicial v0. Golpeara el protn alguna de lasplacas? Si el protn no golpea ninguna de las placas, cules seranla magnitud y la direccin de su desplazamiento vertical, a medi-da que sale de la regin entre las placas? c) Compare las trayecto-rias que recorren el electrn y el protn, y explique las diferencias. d) Analice si es razonable ignorar los efectos de la gravedad en cada partcula.21.34. La carga puntual q1 5 25.00 nC se encuentra en el origen y lacarga puntual q2 5 13.00 nC est sobre el eje x en x 5 3.00 cm. Elpunto P se halla sobre el eje y en y 5 4.00 cm. a) Calcule los camposelctricos y en el punto P debido a las cargas q1 y q2. Exprese losresultados en trminos de vectores unitarios (vase el ejemplo 21.6). b) Utilice los resultados del inciso a) para obtener el campo resultanteen P, expresado con notacin de vectores unitarios.21.35. En el ejercicio 21.33, cul es la rapidez del electrn cuando sa-le del campo elctrico?21.36. a) Calcule la magnitud y la direccin (relativa al eje 1x) delcampo elctrico del ejemplo 21.6. b) Una carga puntual de 22.5 nCest en el punto P de la figura 21.19. Encuentre la magnitud y la direc-cin de i) la fuerza que la carga de 28.0 nC situada en el origen ejercesobre esta carga, y ii) la fuerza que esta carga ejerce sobre la carga de 28.0 nC que est en el origen.21.37. a) Para el electrn de los ejemplos 21.7 y 21.8, compare su pe-so con la magnitud de la fuerza elctrica sobre el electrn. En estosejemplos, es adecuado ignorar la fuerza gravitatoria sobre el elec-trn? Explique su respuesta. b) Se coloca una partcula con carga 1een reposo entre las placas cargadas de la figura 21.20. Cul debe serla masa de este objeto para que permanezca en reposo? D su respues-ta en kilogramos y en mltiplos de la masa del electrn. c) La res-puesta del inciso b) depende de dnde se site el objeto entre lasplacas? Por qu?21.38. En la regin entre dos placas planas paralelas con carga opuesta,existe un campo elctrico. Se libera un protn desde el reposo en la su-perficie de la placa con carga positiva, y golpea la superficie de la pla-ca opuesta, que est a una distancia de 1.60 cm de la primera, en unintervalo de tiempo de 1.50 3 1026 s. a) Encuentre la magnitud delcampo elctrico. b) Calcule la rapidez del protn cuando golpea la pla-ca con carga negativa.21.39. Una carga puntual se encuentra en el origen. Si esta carga pun-tual se toma como punto de origen, cul es el vector unitario en di-reccin de a) el punto del campo situado en x 5 0, y 5 21.35 m; b) el

r

ES

2ES

1

1.00 cm

2.00 cm

v0

ES

Figura 21.38Ejercicio 21.33.

Ejercicios 743

que las fuerzas que actan sobre la carga 2Q. b) Encuentre las compo-nentes x y y de la fuerza neta que ejercen las dos cargas positivas sobre2Q. (Su respuesta slo debera incluir k, q, Q, a y la coordenada x de latercera carga.) c) Cul es la fuerza neta sobre la carga 2Q cuando esten el origen (x 5 0)? d) Grafique la componente x de la fuerza neta so-bre la carga 2Q en funcin de x para valores de x entre 24a y 14a.21.23. Se colocan cuatro cargas elctricas idnticas en las esquinas deun cuadrado cuyos lados miden L. a) En un diagrama de cuerpo libre,muestre todas las fuerzas que acten sobre una de las cargas. b) En-cuentre la magnitud y la direccin de la fuerza total ejercida sobre unacarga por las otras tres cargas.21.24. Se colocan dos cargas, una de 2.50 mC y la otra de 23.50 mC,sobre el eje x, una en el origen y la otra en x 5 0.600 m, como se ilus-tra en la figura 21.36. Encuentre la posicin sobre el eje x donde lafuerza neta sobre una pequea carga 1q debera de ser igual a cero.

0.600 mx (m)

23.50 mC12.50 mC

0

Figura 21.36 Ejercicio 21.24.

Seccin 21.4 El campo elctrico y las fuerzas elctricas21.25. Se coloca un protn en un campo elctrico uniforme de 2.75 3103 N>C. Calcule: a) la magnitud de la fuerza elctrica ejercida sobreel protn; b) la aceleracin del protn; c) la rapidez del protn despusde estar 1.00 ms en el campo, si se supone que parte del reposo.21.26. Una partcula tiene carga de 23.00 nC. a) Encuentre la magni-tud y la direccin del campo elctrico debido a esta partcula, en unpunto que est 0.250 m directamente arriba de ella. b) A qu distan-cia de esta partcula el campo elctrico debe tener una magnitud de12.0 N>C?21.27. Un protn se mueve en forma horizontal hacia la derecha a 4.503 106 m>s. a) Encuentre la magnitud y la direccin del campo elctri-co ms dbil que lleve al protn uniformemente al reposo en una dis-tancia de 3.20 cm. b) Cunto tiempo le llevara al protn detenerseuna vez que entrara al campo elctrico? c) Cul es el campo mnimo(magnitud y direccin) que sera necesario para detener un electrn enlas condiciones del inciso a)?21.28. Un electrn parte del reposo en un campo elctrico uniforme,acelera verticalmente hacia arriba y recorre 4.50 m en los primeros3.00 ms despus de que se libera. a) Cules son la magnitud y la di-reccin del campo elctrico? b) Se justifica que se desprecien losefectos de la gravedad? Explique su respuesta cuantitativamente.21.29. a) Cul debe ser la carga (signo y magnitud) de una partculade 1.45 g para que permanezca estacionaria, cuando se coloca en un campo elctrico dirigido hacia abajo con magnitud de 650 N>C? b) Cul es la magnitud de un campo elctrico donde la fuerza elc-trica sobre un protn tiene la misma magnitud que su peso?21.30. a) Cul es el campo elctrico de un ncleo de hierro a una dis-tancia de 6.00 3 10210 m de su ncleo? El nmero atmico del hierroes 26. Suponga que el ncleo puede tratarse como carga puntual. b) Cul es el campo elctrico de un protn a una distancia de 5.29 310211 m del protn? (ste es el radio de la rbita del electrn en el mo-delo de Bohr para el estado fundamental del tomo de hidrgeno.)21.31. Dos cargas puntuales estn separadas por 25.0 cm (figura21.37). Encuentre el campo elctrico neto que producen tales cargas en

26.25 nC 212.5 nC

10.0 cm

AB

10.0 cm25.0 cm

Figura 21.37 Ejercicio 21.31.

21.41. a) Un electrn se mueve hacia el este en un campo elctrico uni-forme de 1.50 N>C, dirigido hacia el oeste. En el punto A, la velocidaddel electrn es de 4.5 3 105 hacia el este. Cul es la rapidez del elec-trn cuando alcanza el punto B, 0.375 m al este del punto A? b) Unprotn se mueve en el campo elctrico uniforme del inciso a). En elpunto A, la velocidad del protn es de 1.90 3 104 m>s al este. Cul esla rapidez del protn en el punto B?21.42. Campo elctrico en el ncleo. Los protones en el ncleo es-tn separados alrededor de 10215 m (1 fm). a) Cul es la magnitud delcampo elctrico producido por un protn que est a una distancia de1.50 fm? b) Cmo se compara la magnitud de este campo con la delcampo del ejemplo 21.7?

Seccin 21.5 Clculos de campos elctricos21.43. Dos cargas puntuales positivas q estn colocadas sobre el eje x,una en x 5 a y la otra en x 5 2a. a) Calcule la magnitud y la direccindel campo elctrico en x 5 0. b) Obtenga la expresin para el campoelctrico en puntos sobre el eje x. Use los resultados para graficar lacomponente x del campo elctrico en funcin de x, para valores de xentre 24a y 14a.21.44. Dos partculas con cargas q1 5 0.500 nC y q2 5 8.00 nC estnseparadas por una distancia de 1.20 m. En qu punto de la lnea queconecta las dos cargas, el campo elctrico total producido por ambascargas es igual a cero?21.45. Una carga puntual de 12.00 nC est en el origen, y una segundacarga puntual de 25.00 nC est en el eje x en x 5 0.800 m. a) Encuen-tre el campo elctrico (magnitud y direccin) en cada uno de los puntos siguientes sobre el eje x: i) x 5 0.200 m; ii) x 5 1.20 m; iii) x 5 20.200 m. b) Calcule la fuerza elctrica neta que las dos car-gas ejerceran sobre un electrn colocado en cada punto del inciso a).21.46. Repita el ejercicio 21.44, pero ahoracon q1 5 24.00 nC.21.47. Tres cargas puntuales negativas estnsobre una lnea, como se ilustra en la figura21.40. Encuentre la magnitud y la direccindel campo elctrico que produce esta combi-nacin de cargas en el punto P, que est a 6.00cm de la carga de 22.00 mC medida en formaperpendicular a la lnea que conecta las trescargas.21.48. Una carga puntual positiva q se colocaen x 5 a, y una carga puntual negativa 2q sesita en x 5 2a. a) Calcule la magnitud y ladireccin del campo elctrico en x 5 0. b) Ob-

744 C APTU LO 21 Carga elctrica y campo elctrico

punto del campo en x 5 12.0 cm, y 5 12.0 cm; c) el punto del campoen x 5 21.10 m y 5 2.60 m. Exprese sus resultados en trminos de los vectores unitarios y 21.40. Una carga puntual de 18.75 mC est adherida bajo una mesahorizontal sin friccin. Est unida a una carga puntual de 26.50 mCcon un alambre aislante de 2.50 cm. Un campo elctrico uniforme demagnitud 1.85 3108 N>C est dirigido en forma paralela al alambre,como se ilustra en la figura 21.39. a) Calcule la tensin en el alam-bre. b) Cul sera la tensin si las dos cargas fueran negativas?

e.d

tenga una expresin para el campo elctrico en los puntos sobre el eje x. Use su resultado para graficar la componente x del campo elc-trico en funcin de x, para valores de x entre 24a y 14a.21.49. En un sistema de coordenadas rectangulares, se coloca una car-ga puntual positiva q 5 6.00 3 1029 en el punto x 5 10.150 m, y 5 0y otra carga puntual idntica se sita en x 5 20.150 m, y 5 0. Encuen-tre las componentes x y y, la magnitud y la direccin del campo elc-trico en los siguientes puntos: a) el origen; b) x 5 0.300 m, y 5 0; c) x 5 0.150 m, y 5 20.400 m; d) x 5 0, y 5 0.200 m.21.50. Una carga puntual q1 5 24.00 nC se encuentra en el punto x 5 0.600 m, y 5 0.800 m; mientras que una segunda carga q2 516.00 nC est en el punto x 5 0.600 m, y 5 0. Calcule la magnitud y la direccin del campo elctrico neto en el origen debido a estas dos cargas puntuales.21.51. Repita el ejercicio 21.49 para el caso en que la carga puntual enx 5 10.150 m, y 5 0 es positiva y la otra es negativa, cada una conmagnitud de 6.00 3 1029 C.21.52. Un alambre delgado y muy largo tiene una carga de 1.50 310210 C>m por unidad de longitud. A qu distancia del alambre lamagnitud del campo elctrico es igual a 2.50 N>C?21.53. Una carga elctrica positiva est distribuida a lo largo del eje ycon una carga por unidad de longitud de l. a) Considere el caso enque la carga est distribuida slo entre los puntos y 5 a y y 5 2a.Para puntos sobre la parte positiva del eje x, haga la grfica de lacomponente x del campo elctrico en funcin de x para valores de xentre x 5 a>2 y x 5 4a. b) En vez de lo anterior, considere el caso enque la carga est distribuida a lo largo de todo el eje y con la mismacarga por unidad de longitud l. Usando la misma grfica del inciso a),grafique la componente x del campo elctrico en funcin de x, paravalores de x entre x 5 a>2 y x 5 4a. Indique cul grfica se refiere acada situacin.21.54. Un alambre de plstico, aislante y recto, mide 8.50 cm de longi-tud y tiene una densidad de carga de 1175 nC>m, distribuidos unifor-memente a lo largo de su longitud. Se encuentra sobre una mesahorizontal. a) Encuentre la magnitud y la direccin del campo elctricoque produce este alambre en un punto que est 6.00 cm directamentearriba de su punto medio. b) Si el alambre ahora se dobla para formarun crculo que se tiende sobre la mesa, calcule la magnitud y la direc-cin del campo elctrico que produce en un punto que se encuentra6.00 cm directamente arriba de su centro.21.55. Un conductor en forma de anillo con radio a 5 2.50 cm tieneuna carga positiva total Q 5 10.125 nC, distribuida uniformemen-te en toda su circunferencia, como se aprecia en la figura 21.24. El centro del anillo est en el origen de las coordenadas O. a) Cules el campo elctrico (magnitud y direccin) en el punto P, que esten el eje x en x 5 40.0 cm? b) En el punto P del inciso anterior se coloca una carga puntual q 5 22.50 mC. Cules son la magnitud y la direccin de la fuerza ejercida por la carga q sobre el anillo?21.56. Una carga de 26.50 nC est distribuida de manera uniformesobre la superficie de una cara de un disco aislante con radio de 1.25cm. a) Obtenga la magnitud y la direccin del campo elctrico queproduce este disco en el punto P sobre el eje del disco a una distan-cia de 2.00 cm de su centro. b) Suponga que toda la carga se coloca-ra lejos del centro y se distribuyera de manera uniforme sobre elborde exterior del disco. Determine la magnitud y la direccin delcampo elctrico en el punto P. c) Si toda la carga se lleva al centrodel disco, encuentre la magnitud y la direccin del campo elctricoen el punto P. d) Por qu en el inciso a) el campo es ms fuerte que en el inciso b)? Por qu en el inciso c) el campo es el ms fuer-te de los tres?21.57. Dos lminas planas, horizontales e infinitas, con carga estn se-paradas una distancia d. La lmina inferior tiene carga negativa condensidad superficial de carga uniforme 2s , 0. La lmina superiortiene carga positiva con densidad superficial de carga uniforme s . 0.

25.00 mC

25.00 mC

22.00 mC

8.00 cm

8.00 cm

6.00 cm

P

Figura 21.40Ejercicio 21.47.

E

2.50 cm

26.50 mC 8.75 mC

S

Figura 21.39 Ejercicio 21.40.

Ejercicios 745

Cul es el campo elctrico (magnitud y direccin, si el campo es dife-rente de cero) a) arriba de la lmina superior, b) debajo de la lmina in-ferior, c) entre las dos lminas?

Seccin 21.6 Lneas de campo elctrico21.58. Una lmina infinita A tiene una densidad de carga uniforme ypositiva, s; en tanto que la lmina B, que est a la derecha de A y para-lela a sta, tiene una densidad de carga uniforme y negativa de 22s. a) Dibuje las lneas de campo elctrico para este par de lminas. Inclu-ya la regin entre las lminas y tambin las regiones a la izquierda de A y a la derecha de B. b) Repita el inciso a) para el caso en que la lmina B tiene una densidad de carga de 12s.21.59. Suponga que la carga que se muestra en la figura 21.29a est fija en su posicin. Despus se coloca una partcula pequea con car-ga positiva en cierto punto de la figura y se libera. La trayectoria de la partcula sigue una lnea de campo elctrico? Por qu? Supongaahora que la partcula se sita en algn punto de la figura 21.29b y selibera (las cargas positiva y negativa que aparecen en la figura estn fijas en su posicin). Esta trayectoria seguir una lnea de campo elc-trico? De nuevo, por qu? Explique cualesquiera diferencias entre sus respuestas para las dos situaciones diferentes.21.60. Dibuje las lneas de campo elctrico para un disco de radio Rcon densidad superficial de carga positiva y uniforme s. Para hacer sudiagrama, utilice lo que sabe sobre el campo elctrico cuando est muycerca del disco y muy lejos de ste.21.61. a) Dibuje las lneas de campo elctrico para una lnea de cargainfinita. Le ser de utilidad mostrar en un diagrama las lneas en unplano que contenga la lnea de carga, y en otro las lneas de campo en un plano perpendicular a la lnea de carga. b) Explique cmo mues-tra el diagrama que i) la magnitud E del campo elctrico slo depen-de de la distancia r a partir de la lnea de carga, y ii) que E disminuyesegn 1>r.21.62. La figura 21.41 muestra algunas de las lneas de campo elctrico debidas a trescargas puntuales situadas a lo largo del ejevertical. Las tres cargas tienen la misma mag-nitud. a) Cules son los signos de las trescargas? Explique su razonamiento. b) Encul(es) punto(s) la magnitud del campo elc-trico es la ms pequea? Explique su razona-miento. Diga cmo los campos producidospor cada carga puntual individual se combi-nan para dar un campo neto pequeo en es-te(os) punto(s).

Seccin 21.7 Dipolos elctricos21.63. Las cargas puntuales q1 5 24.5 nC y q2 5 14.5 nC estn sepa-radas 3.1 mm, y forman un dipolo elctrico. a) Calcule el momento di-polar elctrico (magnitud y direccin). b) Las cargas estn en uncampo elctrico uniforme, cuya direccin forma un ngulo de 36.9con la lnea que une las cargas. Cul es la magnitud de este campo siel par de torsin que ejerce sobre el dipolo tiene una magnitud de

21.64. La molcula del amoniaco (NH3) tiene un momento dipolar deSe colocan molculas del amoniaco en fase gaseo-

sa en un campo elctrico uniforme con magnitud de 1.6 3 106 N>C.a) Cul es el cambio en la energa potencial elctrica cuando el mo-mento dipolar de una molcula cambia su orientacin con respecto a de paralela a perpendicular? b) A qu temperatura absoluta T la ener-ga cintica traslacional media, , de una molcula es igual al cam-32 kT

ES

ES

5.0 3 10230 C # m.

7.2 3 1029 N # m?

bio en energa potencial calculado en el inciso a)? (Nota: arriba de es-ta temperatura, la agitacin trmica impide que los dipolos se alineencon el campo elctrico.)21.65. En el ejemplo 21.15, el resultado aproximado seobtuvo del campo elctrico de un dipolo en puntos sobre el eje del di-polo. a) Vuelva a obtener este resultado obteniendo el denominadorcomn de las fracciones en la expresin para Ey, como se describi enel ejemplo 21.15. b) Explique por qu el resultado aproximado tam-bin da la expresin aproximada correcta de Ey para y , 0.21.66. El momento dipolar de la molcula de agua (H2O) es

Considere una molcula de agua localizada en elorigen, cuyo momento dipolar apunta en la direccin positiva del eje x. Un ion de cloro (Cl2) de carga 21.60 3 10219 C est ubicado enx 5 3.00 3 1029 m. Encuentre la magnitud y la direccin de la fuerzaelctrica que la molcula de agua ejerce sobre el ion de cloro. Estafuerza es de atraccin o de repulsin? Suponga que x es mucho mayorque la separacin d entre las cargas en el dipolo, por lo que se puedeusar la expresin aproximada para el campo elctrico a lo largo del eje del dipolo que se obtuvo en el ejemplo 21.15.21.67. Tensin superficial. La superficie de un lquido polar, comoel agua, se puede considerar como una serie de dipolos encadenadosen el arreglo estable donde los vectores del momento dipolar son paralelos a la superficie y todos apuntan en la misma direccin. Ahora suponga que algo presiona la superficie hacia adentro y desor-dena los dipolos, como se ilustra en la figura 21.42. a) Demuestreque los dos dipolos inclinados ejercen una fuerza neta hacia arribasobre el dipolo entre ellos, por lo que se oponen a la fuerza externadirigida hacia abajo. b) Demuestre que los dipolos se atraen entre s, por lo que oponen resistencia a separarse. La fuerza entre los dipolos se opone a la penetracin de la superficie del lquido y es un modelo sencillo de la tensin superficial (vase la seccin 14.3 y la figura 14.15).

pS6.17 3 10230 C # m.

E > p/2pP0 y3

Figura 21.41Ejercicio 21.62.

! " ! " ! " ! "

! "!

"!"

F

Figura 21.42 Ejercicio 21.67.

21.68. Considere el dipolo elctrico del ejemplo 21.15. a) Obtenga unaexpresin para la magnitud del campo elctrico producido por el dipo-lo en un punto localizado en el eje x de la figura 21.34. Cul es la di-reccin de este campo elctrico? b) Cmo el campo elctrico, enpuntos que estn sobre el eje x, depende de x cuando x es muy grande?21.69. Par de torsin sobre un dipolo. Un dipolo elctrico conmomento dipolar est en un campo elctrico uniforme a) En-cuentre las orientaciones del dipolo para el que el par de torsin sobre el dipolo es igual a cero. b) Cul de las orientaciones en el inciso a) es estable, y cul es inestable? (Sugerencia: considere unpequeo desplazamiento fuera de la posicin de equilibrio y analicelo que ocurre.) c) Demuestre que para la orientacin estable del in-ciso b), el propio campo elctrico del dipolo tiende a oponerse alcampo externo.21.70. Un dipolo que consiste en cargas 6e separadas 220 nm se colo-ca entre dos lminas muy largas (infinitas, en esencia) que tienen den-sidades de carga iguales pero opuestas de 125 mC>m2. a) Cul es laenerga potencial mxima que este dipolo puede tener debido a las l-minas, y cmo debera orientarse en relacin con las lminas para queadquiera ese valor? b) Cul es el par de torsin mximo que las lmi-nas pueden ejercer sobre el dipolo, y cmo deberan orientarse con res-pecto a las lminas para que adquieran este valor? c) Cul es la fuerzaneta que ejercen las dos lminas sobre el dipolo?

ES

.pS

746 C APTU LO 21 Carga elctrica y campo elctrico

21.71. Tres cargas estn en las es-quinas de un tringulo issceles,como se ilustra en la figura 21.43.Las cargas de 65.00 mC formanun dipolo. a) Calcule la fuerza(magnitud y direccin) que la car-ga de 210.00 mC ejerce sobre eldipolo. b) Para un eje perpendicu-lar a la lnea que une las cargas de 65.00 mC, en el punto medio dedicha lnea, obtenga el par de tor-sin (magnitud y direccin) que lacarga de 210.00 mC ejerce sobreel dipolo.

Problemas21.72. Se coloca una carga q 5 15.00 nC en el origen de un sistemade coordenadas xy, y una carga q2 5 22.00 nC se sita sobre la partepositiva del eje x, en x 5 4.00 cm. a) Si ahora se coloca una terceracarga q3 5 16.00 nC en el punto x 5 4.00 cm, y 5 3.00 cm, determi-ne las componentes x y y de la fuerza total ejercida sobre esta carga por las otras dos. b) Calcule la magnitud y la direccin de esta fuerza.21.73. Se mantienen fijas dos cargas puntuales positivas sobre el eje xen x 5 a y x 5 2a. Se coloca una tercera carga puntual, q, con masa m,sobre el eje x, fuera del origen en una coordenada x tal que Despus se libera la carga q, que tiene libertad de movimiento a lo largo del eje x. a) Obtenga la frecuencia de oscilacin de la carga q.(Sugerencia: repase la definicin de movimiento armnico simple en la seccin 13.2. Utilice la expansin binomial

vlida para el caso en que ) b) Su-ponga ahora que la carga q se colocara sobre el eje y en una coordena-da y tal que y luego se liberara. Si esta carga tuviera libertadpara moverse a cualquier parte del plano xy, qu pasara con ella? Ex-plique su respuesta.21.74. Dos esferas idnticas con masa mcuelgan de cordones sintticos con longi-tud L, como se indica en la figura 21.44.Cada esfera tiene la misma carga, por loque q1 5 q2 5 q. El radio de cada esferaes muy pequeo en comparacin con ladistancia entre las esferas, por lo que pue-den considerase cargas puntuales. De-muestre que si el ngulo u es pequeo, laseparacin de equilibrio d entre las esfe-ras es (Sugeren-cia: si u es pequea, entonces u_ sen u.)21.75. Dos esferas pequeas con masa m5 15.0 cuelgan de cordones de seda conlongitud L 5 1.20 m desde un punto co-mn (figura 21.44). Cuando se da a las esferas cantidades iguales decarga negativa, de modo que q1 5 q2 5 q, cada cordn cuelga con u 525.0 con respecto a la vertical. a) Elabore un diagrama que muestrelas fuerzas sobre cada esfera. Trate las esferas como cargas puntuales.b) Encuentre la magnitud de q. c) Ahora se acortan ambas cuerdas auna longitud L 5 0.600 m; en tanto que las cargas q1 y q2 permaneceniguales. Qu nuevo ngulo formar cada cordn con la vertical? (Su-gerencia: esta parte del problema se puede resolver numricamentecon valores para u y ajustndolos hasta que se obtenga una respuestaconsistente.)21.76. Dos esferas idnticas estn atadas a cordones sintticos delongitud L 5 0.500 m y cuelgan de un punto comn (figura 21.44).Cada esfera tiene masa m 5 8.00 g. El radio de cada esfera es muy

d 5 1 q2L/2pP0 mg 2 1/3.

0 y 0 V a, 0 z 0 , 1.nz 1 n 1n 2 1 2 z2/2 1 c, 11 1 z 2 n 5 1 10 x 0 V a.

pequeo en comparacin con la distancia entre ambas, por lo quepueden considerarse cargas puntuales. Se da carga positiva q1 a unaesfera, y a la otra carga positiva diferente q2; esto hace que las esfe-ras se separen, de manera que cuando estn en equilibrio cada cordnforma un ngulo u 5 20.0 con la vertical. a) Dibuje un diagrama decuerpo libre para cada esfera cuando estn en equilibrio, e indiquetodas las fuerzas que actan sobre cada esfera. b) Determine la mag-nitud de la fuerza electrosttica que acta sobre cada esfera, y deter-mine la tensin en cada cordn. c) Con base en la informacinproporcionada, qu puede decirse sobre las magnitudes de q1 y q2?Explique sus respuestas. d) Ahora se conecta un alambre pequeo en-tre las esferas, lo cual permite que se transfiera carga de una a otra,hasta que ambas esferas tengan la misma carga; entonces se quita elconductor. Ahora, cada cuerda forma un ngulo de 30.0 con la verti-cal. Determine las cargas originales. (Sugerencia: se conserva la car-ga total sobre el par de esferas.)21.77. El cloruro de sodio (NaCl, sal de mesa comn) est formado poriones de sodio positivos (Na1) y iones de cloruro negativos (Cl2). a) Si una carga puntual, con las mismas carga y masa que todos los iones de Na1 en 0.100 moles de NaCl, est a 2.00 cm de una cargapuntual con las mismas carga y masa que todos los iones de Cl2, cules la magnitud de la fuerza de atraccin entre esas dos cargas puntua-les? b) Si la carga puntual positiva del inciso a) se mantiene en su lugary la carga puntual negativa se libera del resto, cul ser su aceleracininicial? (Vase el Apndice D, para las masas atmicas.) c) Parece razonable que los iones en el NaCl pudieran separarse de esta manera?Por qu? (En realidad, cuando el cloruro de sodio se disuelve en agua,se separa en iones de Na1 y Cl2. Sin embargo, en esta situacin hayfuerzas elctricas adicionales ejercidas por las molculas de agua so-bre los iones.)21.78. Dos cargas puntuales q1 y q2 secolocan a una distancia de 4.50 m entres. Otra carga puntual Q 5 21.75 mCcon masa de 5.00 g se sita inicialmentea 3.00 cm de cada una de estas cargas (fi-gura 21.45) y se libera del resto. Ustedobserva que la aceleracin inicial de Q esde 324 m>s2 hacia arriba, paralela a la l-nea que une las dos cargas puntuales. En-cuentre q1 y q2.21.79. Se colocan tres cargas puntualesidnticas q en cada una de tres esquinasde un cuadrado de lado L. Obtenga lamagnitud y la direccin de la fuerza netasobre una carga puntual de 23q que sesita a) en el centro del cuadrado, y b) en la esquina vaca del cuadra-do. En cada caso, dibuje un diagrama de cuerpo libre que muestre lasfuerzas ejercidas sobre la carga de 23q por cada una de las otras trescargas.21.80. Se colocan tres cargas puntuales sobre el eje y: una carga q en y5 a, una carga 22q en el origen, y una carga q en y 5 2a. Este arre-glo se denomina cuadrupolo elctrico. a) Calcule la magnitud y la di-reccin del campo elctrico en los puntos sobre la parte positiva del eje x. b) Use la expansin binomial para encontrar una expresin apro-ximada para el campo elctrico, vlida para Compare estecomportamiento con el del campo elctrico de una carga puntual y conel del campo elctrico de un dipolo.21.81. Intensidad de la fuerza elctrica. Imagine dos bolsas de 1.0 gde protones, una en el Polo Norte de la Tierra y la otra en el Polo Sur.a) Cuntos protones hay en cada bolsa? b) Calcule la atraccin gra-vitatoria y la repulsin elctrica que ejerce cada bolsa sobre la otra. c) Las fuerzas del inciso b) son lo suficientemente grandes para quelas percibiera usted, si cargara una de las bolsas?

x W a.

masa mcarga q1

L L

masa mcarga q2

u u

Figura 21.44 Problemas21.74, 21.75 y 21.76.

a

q2

q1

S

3.00 cm

3.00 c

m4.50 cmQ

Figura 21.45 Problema21.78.

15.00 mC

3.00 cm

25.00 mC

210.00 mC

2.00 cm

2.00 cm

Figura 21.43 Ejercicio 21.71.

Problemas 747

21.82. Fuerza elctrica dentro del ncleo. Las dimensiones norma-les de los ncleos atmicos son del orden de 10215 m (1 fm). a) Si dosprotones en un ncleo estn separados por 2.0 fm, encuentre la magni-tud de la fuerza elctrica que cada uno ejerce sobre el otro. Exprese larespuesta en newtons y en libras. Esta fuerza sera lo suficientementegrande como para que la sintiera un ser humano? b) Como los protonesse repelen entre s con mucha intensidad, por qu no salen disparadosdel ncleo?21.83. Si los tomos no fueran neutros . . . Puesto que las cargas enel electrn y el protn tienen el mismo valor absoluto, los tomos sonelctricamente neutros. Suponga que esto no fuera muy cierto, y que elvalor absoluto de la carga del electrn fuera 0.00100% menor que lacarga del protn. a) Estime cul sera la carga neta de este libro en ta-les circunstancias. Haga cualesquiera suposiciones que crea usted queestn justificadas, pero diga con claridad cules son. (Sugerencia: lamayora de tomos en este libro tienen nmeros iguales de electrones,protones y neutrones.) b) Cul sera la magnitud de la fuerza elctricaentre dos libros colocados a 5.0 m uno del otro? Esta fuerza sera deatraccin o de repulsin? Estime cul sera la aceleracin de cada li-bro, si estuvieran separados por una distancia de 5.0 m y no hubierafuerzas elctricas sobre ellos. c) Analice cmo el hecho de que la mate-ria ordinaria sea estable demuestra que los valores absolutos de las car-gas del electrn y protn deben ser idnticas con un grado muy alto deexactitud.21.84. Dos esferas diminutas demasa m tienen cargas iguales pe-ro opuestas de magnitud q. Seatan al mismo gancho del techocon cuerdas ligeras de longitud L. Cuando se activa un campoelctrico horizontal y uniforme E,las esferas cuelgan con un n-gulo u entre las cuerdas (figura21.46). a) Cul esfera (derechao izquierda) es positiva, y cul esnegativa? b) Encuentre el ngu-lo u entre las cuerdas en trminos de E, q, m y g. c) A medida que elcampo elctrico incrementa su intensidad en forma gradual, cul es el resultado del inciso b) para el ngulo u ms grande posible?21.85. Dos esferas de cobre pequeas tienen un radio de 1.00 mm ca-da una. a) Cuntos tomos contiene cada esfera? b) Suponga que cadatomo de cobre contiene 29 protones y 29 electrones. Sabemos que loselectrones y los protones tienen cargas de exactamente la misma mag-nitud, pero estudiemos el efecto de diferencias pequeas (vase tam-bin el problema 21.83). Si la carga de un protn es 1e y la magnitudde la carga de un electrn fuera 0.100% ms pequea, cul sera lacarga neta de cada esfera y qu fuerza ejercera una esfera sobre la otra, si estuvieran separadas 1.00 m?21.86. Operacin de una impresora de inyeccin de tinta. En unaimpresora de inyeccin de tinta, las letras se forman rociando tinta enel papel mediante una boquilla en movimiento rpido. Las gotas de tin-ta, que tienen una masa de 1.4 3 1028 g cada una, salen de la boquillay viajan hacia el papel a 20 m>s, pasando a travs de una unidad decarga que da a cada gota una carga q positiva al quitarle algunos de suselectrones. Las gotas pasan despus entre placas deflectoras paralelasde 2.0 cm de largo, donde hay un campo elctrico vertical y uniformecon magnitud de 8.0 3 104 N>C. Si una gota se debe desviar 0.30 mmen el momento que alcance el extremo de las placas deflectoras, qumagnitud de carga se tiene que dar a la gota?21.87. Un protn se proyecta en un campo elctrico uniforme queapunta verticalmente hacia arriba y tiene magnitud E. La velocidad ini-cial del protn tiene una magnitud v0 y est dirigida con un ngulo apor debajo de la horizontal. a) Encuentre la distancia mxima hmx queel protn desciende verticalmente por debajo de su elevacin inicial.Ignore las fuerzas gravitatorias. b) Despus de qu distancia horizon-

tal d el protn regresa a su elevacin original? c) Haga un diagrama dela trayectoria del protn. d) Encuentre los valores numricos de hmx yd si E 5 500 N>C, v0 5 4.00 3 105 m>s y a 5 30.0.21.88. Una carga puntual negativa q1 5 24.00 nC est en el eje x en x5 0.60 m. Una segunda carga puntual q2 est sobre el eje x en x 521.20 m. Cules deben ser el signo y la magnitud de q2 para que elcampo elctrico neto en el origen sea de a) 50.0 N>C en la direccin1x, y de b) 50.0 N>C en la direccin 2x?21.89. Una carga positiva Q es-t distribuida de manera unifor-me a lo largo del eje x, de x 5 0a x 5 a. Una carga puntual po-sitiva q se localiza en la partepositiva del eje x, en x 5 a 1 r,una distancia r a la derecha del final de Q (figura 21.47). a) Calcule las componentes x yy del campo elctrico producido por la distribucin de carga Q enpuntos sobre el eje x positivo, donde x . a. b) Calcule la fuerza(magnitud y direccin) que la distribucin de carga Q ejerce sobre q.c) Demuestre que si la magnitud de la fuerza en el inciso b)es aproximadamente Explique cmo se obtiene este resultado.21.90. Una carga positiva Q estdistribuida de manera uniforme alo largo del eje y positivo entre y 5 0 y y 5 a. Una carga puntualnegativa 2q se encuentra sobrela parte positiva del eje x, a unadistancia x del origen (figura21.48). a) Calcule las componen-tes x y y del campo elctrico pro-ducido por la distribucin decarga Q en puntos sobre la partepositiva del eje x. b) Calcule las componentes x y y de la fuerza quela distribucin de carga Q ejerce sobre q. c) Demuestre que si

y Explique por qu se obtie-ne este resultado.21.91. Una lnea cargada como la que aparece en la figura 21.25 se ex-tiende desde y 5 2.50 cm hasta y 5 22.50 cm. La carga total distribui-da uniformemente en la lnea es 29.00 nC. a) Calcule el campoelctrico (magnitud y direccin) sobre el eje x en x 5 10.0 cm. b) Lamagnitud del campo elctrico que usted calcul en el inciso anterior esmayor o menor, que el campo elctrico a 10.0 cm de una carga puntualque tiene la misma carga total en esa lnea finita de carga? En trminosde la aproximacin usada para obtener para una cargapuntual de la ecuacin (21.9), explique por qu sucede esto. c) A qudistancia x el resultado para la lnea finita de carga difiere en 1.0% delde la carga puntual?21.92. Un universo paralelo. Imagine un universo paralelo donde la fuerza elctrica tiene las mismas propiedades que en el nuestro perono hay gravedad. En este Universo paralelo el Sol tiene una carga Q, laTierra tiene una carga 2Q, y la atraccin elctrica entre ellos mantienea nuestro planeta en rbita. La Tierra en el Universo paralelo tiene lamisma masa, el mismo radio orbital, y el mismo periodo orbital que ennuestro Universo. Calcule el valor de Q. (Consulte el apndice F, se-gn lo necesite.)21.93. Un disco con carga uniforme como el de la figura 21.26 tiene unradio de 2.50 cm y una carga total de 4.0 3 10212 C. a) Obtenga elcampo elctrico (magnitud y direccin) sobre el eje x en x 5 20.0 cm.b) Demuestre que para la ecuacin (21.11) se convierte en

donde Q es la carga total en el disco. c) La magnituddel campo elctrico que usted obtuvo en el inciso a) es mayor o menor,que la magnitud del campo elctrico que est a 20.0 cm de una cargapuntual que tiene la misma carga total que este disco? En trminos de

E 5 Q/4pP0 x2,x W R,

E 5 Q/4pP0 x2

Fy > 1Qqa/8pP0 x3.Fx > 2Qq/4pP0 x2x W a,

Qq/4pP0 r2.r W a,

LLu

ES

Figura 21.46 Problema 21.84.

+ x

y

Oa

Q

r

q

Figura 21.47 Problema 21.89.

x2q

y

O

a

Q

Figura 21.48 Problema 21.90.

748 C APTU LO 21 Carga elctrica y campo elctrico

la aproximacin usada en el inciso b) para obtener parauna carga puntual de la ecuacin (21.11), explique por qu ocurre esto.d) Cul es el porcentaje de diferencia entre los campos elctricos pro-ducidos por el disco finito y por una carga puntual con la misma cargaen x 5 20.0 cm y en x 5 10.0 cm?21.94. a) Sea f (x) una funcin par de x, de modo que f (x) 5 f (2x).Demuestre que (Sugerencia: escriba la inte-gral desde 2a hasta a como la suma de la integral desde 2a hasta 0, y la integral desde 2a hasta 0. En la primera integral, haga el cambiode variable ) b) Sea g(x) una funcin impar de x de modo queg (x ) 5 2g(2x). Use el mtodo dado en la sugerencia para el inci-so a), con la finalidad de demostrar que c) Utilice el resultado del inciso b) para demostrar por qu Ey en el ejemplo21.11 (seccin 21.5) es igual a cero.21.95. Una carga positiva 1Q est distribuida uniformemente a lo lar-go del eje 1x, de x 5 0 a x 5 a. Una carga negativa 2Q est distribui-da de modo tambin uniforme a lo largo del eje 2x, de x 5 0 a x 52a. a) Una carga puntual positiva q est sobre el eje y positivo, a unadistancia y del origen. Encuentre la fuerza (magnitud y direccin) quelas distribuciones de carga positiva y negativa ejercen juntas sobre q.Demuestre que esta fuerza es proporcional a y23 para b) Su-ponga que la carga puntual positiva q est sobre el eje x positivo, a unadistancia x . a del origen. Encuentre la fuerza (magnitud y direccin)que la distribucin de carga ejerce sobre q. Demuestre que esta fuerzaes proporcional a x23 para 21.96. Una carga positiva Q estdistribuida de manera uniformealrededor de un semicrculo de ra-dio a (figura 21.49). Encuentre el campo elctrico (magnitud y direccin) en el centro de curva-tura P.21.97. La carga negativa 2Q estdistribuida uniformemente alrede-dor de un cuarto de crculo de ra-dio a que se encuentra en el primer cuadrante, con el centro decurvatura en el origen. Calcule las componentes x y y del campo elc-trico neto en el origen.21.98. Una esfera pequea con masa m tiene una carga positiva q y es-t atada a un extremo de una cuerda sinttica de longitud L. El otro ex-tremo de la cuerda est atado a una lmina aislante, vertical y larga,que tiene una densidad superficial de carga positiva s. Demuestre quecuando la esfera est en equilibrio, la cuerda forma un ngulo igual aarctan con la lmina vertical.21.99. Dos alambres no conduc-tores de 1.20 m forman un ngu-lo recto. Un segmento tiene12.50 mC de carga, distribuidade modo uniforme a lo largo desu longitud; mientras que el otrosegmento tiene 22.50 mC decarga, distribuida de modo uni-forme a lo largo de su longitud,como se ilustra en la figura21.50. a) Encuentre la magnitudy la direccin del campo elctri-co que producen estos alambresen el punto P, que est a 60.0 cm de cada alambre. b) Si un electrn selibera en P, cules son la magnitud y la direccin de la fuerza netaque ejercen estos alambres sobre l?21.100. Dos lminas paralelas muy grandes estn separadas 5.00 cm.La lmina A tiene una densidad superficial de carga uniforme de29.50 mC>m2; y la lmina B, que est a la derecha de A, tiene una car-ga uniforme de 211.6 mC>m2. Suponga que las lminas son lo sufi-

1qs/2mgP0 2

x W a.

y W a.

a2a g 1 x 2dx 5 0.x r 5 2x.a2a f 1 x 2dx 5 2a0 f 1 x 2 dx.

E 5 Q/4pP0 x2 cientemente grandes como para considerarse infinitas. Encuentre lamagnitud y la direccin del campo elctrico neto que las lminas pro-ducen en un punto a) 4.00 cm a la derecha de la lmina A; b) 4.00 cm ala izquierda de la lmina A; c) 4.00 a la derecha de la lmina B.21.101. Repita el problema 21.100 para el caso en que la lmina B seapositiva.21.102. Dos lminas horizontales muy largas estn separadas 4.25 cmy tienen densidades superficiales de carga uniforme, iguales pero designo contrario, de magnitud s. Usted desea usar las lminas paramantener estacionaria en la regin entre ellas una gotita de aceite conmasa de 324 mg, que tiene cinco electrones excedentes. Suponga quela gotita est en el vaco. a) Cul debera ser la direccin del campoelctrico entre las placas, y b) cul debera ser el valor de s?21.103. Una lmina infinita con carga positiva por unidad de rea s es-t en el plano xy. Una segunda lmina infinita con carga negativa porunidad de rea 2s est en el plano yz. Encuentre el campo elctriconeto en todos los puntos que no estn en ninguno de esos planos. Ex-prese su respuesta en trminos de los vectores unitarios y 21.104. Un disco delgado con unagujero circular en el centro, lla-mado corona circular, tiene un ra-dio interior R1 y un radio exteriorR2 (figura 21.51). El disco tieneuna densidad superficial de cargauniforme y positiva s en su super-ficie. a) Determine la carga elctri-ca total en la corona circular. b) Lacorona circular se encuentra en elplano yz, con su centro en el ori-gen. Para un punto arbitrario en eleje x (el eje de la corona circular),encuentre la magnitud y la direc-cin del campo elctrico Considere puntos arriba y abajo de la co-rona circular en la figura 21.51. c) Demuestre que en puntos sobre eleje x que estn suficientemente cerca del origen, la magnitud del cam-po elctrico es aproximadamente proporcional a la distancia entre elcentro de la corona circular y el punto. Qu tan cerca es suficiente-mente cerca? d) Una partcula puntual con masa m y carga negativa2q tiene libertad de movimiento a lo largo del eje x (pero no puedeapartarse del eje). Originalmente, la partcula est en reposo en x 50.01R1 y luego se libera. Encuentre la frecuencia de oscilacin de lapartcula. (Sugerencia: repase la seccin 13.2. La corona circular per-manece estacionaria.)

Problemas de desafo21.105. Tres cargas se colocan co-mo se ilustra en la figura 21.52. Lamagnitud de q1 es 2.00 mC, perono se conocen su signo ni el valorde la carga q2. La carga q3 es de14.00 mC, y la fuerza neta sobre q3 est por completo en la direccin negativa del eje x. a) Considere los diferentes sig-nos posibles de q1 y que hay cua-tro posibles diagramas de fuerza que representan las fuerzas yque q1 y q2 ejercen sobre q3. Dibuje esas cuatro configuraciones defuerza posibles. b) Con el empleo de los diagramas del inciso a) y la di-reccin de deduzca los signos de las cargas q1 y q2. c) Calcule lamagnitud de q2. d) Determine F, la magnitud de la fuerza neta sobre q3.21.106. Dos cargas se colocan como se muestra en la figura 21.53. Lamagnitud de q1 es 3.00 mC, pero se desconocen su signo y el valor dela carga q2. La direccin del campo elctrico neto en el punto P estE

S

FS

,

FS

2FS

1

FS

ES

.

k.ed,

P

Q

a

x

y

Figura 21.49 Problema 21.96.

+ ++ + + ++ ++

1.20 m

1.20 m P

Figura 21.50 Problema 21.99.

O

R1

R2

y

z

x

s

Figura 21.51Problema 21.104.

4.00 cm

5.00 cm

3.00 cm

q3

q2q1

FS

Figura 21.52 Problema dedesafo 21.105.

Problemas de desafo 749

por completo en la direccin ne-gativa del eje y. a) Considerandolos posibles signos diferentes deq1 y q2, hay cuatro posibles dia-gramas que podran representarlos campos elctricos y producidos por q1 y q2. Dibujelas cuatro posibles configuracio-nes de campo elctrico. b) Con eluso de los diagramas del inciso a) y la direccin de deduzca los sig-nos de q1 y q2. c) Determine la magnitud de 21.107. Dos varillas delgadas de longitud L estn a lo largo del eje x,una entre x 5 a>2 y x 5 a>2 1 L, y la otra entre x 5 2a>2 y x 5 2a>2ES. E

S,

ES

2ES

1

2 L. Cada varilla tiene carga positiva Q distribuida uniformemente entoda su longitud. a) Calcule el campo elctrico producido por la segun-da varilla en puntos a lo largo del eje x positivo. b) Demuestre que lamagnitud de la fuerza que ejerce una varilla sobre la otra es

c) Demuestre que si la magnitud de esta fuerza se reduce a(Sugerencia: use la expansin

vlida para Considere todas las expansio-nes al menos hasta el orden L2>a2.) Interprete este resultado.0 z 0 V 1.z2/2 1 z3/3 2 c, ln 1 1 1 z 2 5 z 2F 5 Q2/4pP0 a2. a W L,

F 5Q2

4pP0 L2 ln S 1a 1 L 2 2

a 1 a 1 2L 2 T13.0 cm

5.0 cm 12.0 cm

q2q1

P

ES

Figura 21.53 Problema dedesafo 21.106.