capitulo x, apendices y bibliografia

7/30/2019 Capitulo X, Apendices y Bibliografia

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CAPITULO X

CALCULOS COMPENASTORIOS PARA UNNMERO GRANDE DEINCOGNITAS

PLANTEO Y SOLUCIN DE SISTEMAS GRANDES DE ECUACIONES

NORMALES

1. observaciones generalesLos mtodos paramtrico y correlativo, siendo nada ms que diferentesprocedimientos matemticos de compensacin. Proporcionan valoresidnticos de las magnitudes a compensar. Sin embargo, en diversos casosde los clculos geodsicos. Dichos mtodos se diferencian por lacomplejidad y el volumen de las labores de cmputo. Veamos las ventajascomparativas de estos mtodos.Al existir un nmero considerable de magnitudes necesarias y excedentes,la mayor parte del volumen total de los clculos compensatorioscorresponde a la solucin de las ecuaciones normales.

En este caso, es necesario tener en consideracin que la cantidad detrabajo empleado para solucionen las ecuaciones normales aumenta noproporcionalmente a


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algunas ecuaciones, a resultas de lo cual las ecuaciones normales puedendividirse en sistemas parcialmente independientes, lo que aligeraconsiderablemente su solucin.Antes que nada, mostremos que en este ltimo caso la efectividad en lasolucin de las ecuaciones normales depende del orden en la disposicin delas incgnitas en las ecuaciones parametricas o correlativas de correccin. En

los ltimos lugares de estas ecuaciones conviene ubicar aquellas incgnitasque figuran mas a menudo en las ecuaciones, y al contrario, colocar en losprimeros lugares las incgnitas que se encuentran menos frecuentemente.Supongamos que un sistema de ecuaciones parametricas de correcciones

o tres incgnitas se descompone en los siguientes dos sistemasparcialmente independientes:

1) iiii vlca =++ 31

);,....,1( 1ni =

2) iiii vlcb =++ 32

);,....,1( 1 nni +=

Planteemos el sistema de ecuaciones normales y efectuemos susconsecuentes transformaciones. Para la mayor sencillez, supongamos que lasmediciones son de igual precisin

=+++

=++

=++

0][][][][

0][][][

0][][][

321

32

31

alccbcac

blbcbb

alacaa

(X.1)

Obtenemos el sistema )1(N

=++

=++

0]1[][][

0][][][

12

32

clccbc

blbcbb

(X.2)

Sin dificultad nos convencemos de que ][]1[ bbbb = , ya que 0][ =ab . Por la

misma razn ][]1[ bcbc = y ][]1[ blbl = . Luego obtenemos la ltima ecuacin

del sistema equivalente

0]2[]2[ 3 =+ clcc (X.3)

Escribamos el sistema equivalente de ecuaciones, cuyos coeficientes secalculan al resolver las ecuaciones normales


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4/45

=+

=++

=+++

0]2[]2[

0]1[]1[]1[

0][][][][

1

12

123

alaa

blabbb

clacbccc

(X.9)

El volumen de trabajo para despejar las incgnitas en este caso se determina

por las igualdades

=

=

=

=

=

]1[

]1][1[

][

]][[][]2[

]1[

]1][1[

][

]][[][]2[

][

]][[][]1[

][

]][[]1[

][

]][[][]1[

bb

blab

cc

clacalal

bb

abab

cc

acacaaaa

cc

clbcblbl

cc

acbcab

cc

bcbcbbbb

(X.10)

Comparando las igualdades (X.5) y (X.10) vemos, que al poner la incgnitacomn a ambos sistemas parcialmente independientes en el ltimo lugar de lasecuaciones (sin contar los trminos independientes) reduce notablemente elvolumen total de los clculos compensatorios en comparacin con el caso enque esta incgnita se coloca al principio.En la compensacin por el mtodo correlativo, en calidad de ecuaciones

parametricas de correcciones en la tabla de los coeficientes aparecen lassiguientes igualdades:

0... =+++ iiribiai vpkrkbka

);,....,1( 1ni = (X.11)

En el caso de que se convenga que sus pesos son iguales a

i

ip

q1

= .

Por eso en compensacin por el mtodo correlativo en la tabla de coeficientes,hay que asignar las columnas derechas a las ecuaciones condicionales con

mayor nmero de correcciones iv . Si se observa esta condicin, hay que tener

en cuenta, adems, que para calcular en la tabla de coeficientes +1 y -1, y masa la derecha, las ecuaciones restantes.Recordemos que con un nmero grande de ecuaciones iniciales, estas debenreducirse a una forma de igual precisin.


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3. Mtodo multigrupal de Panis-Pranievich

La observacin del orden de computos arriba indicado no solo aminora suvolumen, sino que tambin proporciona la posibilidad de emplear,simultneamente, varios calculistas. El conocido geodesta sovitico I. YuPanis-Pranievich propuso el siguiente orden de resolucin de las ecuaciones

iniciales que se descomponen en sistemas parcialmente independientes:1. Las ecuaciones parametricas o correlativas de correcciones se reparten ensistemas parcialmente independientes, a cada uno de los cueles se asigna uncalculista.

2. Cada calculista elabora su sistema de ecuaciones (es decir, calcula loscorrespondientes coeficientes y trminos independientes) y a partir de estehalla el respectivo sistema parcialmente independiente de ecuacionesnormales.

3.En cada sistema de ecuaciones normales se despejan todas las incgnitasque no figuran en los otros sistemas, a resultas de lo cual cada calculista

obtiene un sistema enlazante particular de ecuaciones normales, en el cualfiguran solamente las incgnitas enlazantes ( correcciones a las incgnitasnecesarias y/o correlativas k), es decir que son comunes para varios sistemas.

Notemos que, a diferencia del orden habitual de resolucin de las ecuacionesnormales, en los sistemas enlazantes particulares se calculan los coeficientesde todas las ecuaciones del sistema, es decir, no solo de la ecuacin delsistema equivalente.En la resolucin por el mtodo de los cracovianos los coeficientes de lossistemas enlazantes particulares no se dividen entre la raiz de los coeficientescuadraticos.

4. Sumando los coeficientes correspondientes de los sistemas enlazantesparticulares, que se distribuyen igualmente respecto a la diagonal cuadrtica,se obtiene un sistema enlazante general a partir de cuya solucin se obtienenlas incgnitas enlazantes.

5. Con ayuda dice las filas eliminatorias del mtodo Panis-Pranievich, en lo quese refiere a la organizacin de los trabajos, consiste en que en la solucin delsistema enlazante participa solo parte de los calculistas.

Mostremos en un ejemplo sencillo la rigurosidad completa del mtodo de

Panis-Pranievich, para lo cual efectuemos dos veces la solucin del sistemageneral: una vez segn el orden habitual, y otra, por el mtodo de Panis-Pranievich. Para ello, tomemos las siguientes ecuaciones parametricas decorrecciones que se descomponen en dos sistemas parcialmenteindependientes:

1) iiiii vleda =+++ 541 );,....,1( 1ni =


6/45

2) iiiiii vledcb =++++ 5432 );.,........,1( 1 nni +=

El sistema general de ecuaciones normales en forma abreviada tomara laforma

+

++

+++

++++

+++

][][

][][][

][][][][

][][][][][

][][][][

5

542

2524232

252423222

151411

elee

dldedd

clcecdcc

blbebdbcbb

alaeadaa

(X.12)

Los ndices en las sumas de Gauss indican que estas sumas de productos hansido obtenidas a partir de los sistemas particulares correspondientes. Puesto

que las incgnitas 4 y 5 figuran en ambos sistemas, entonces esta claro que

+=

+=

+=

+=

+=

21

21

21

21

21

][][][

][][][

][][][

][][][

][][][

elelel

eeeeee

dldldl

dedede

dddddd

(X.13)

Escribamos el sistema equivalente incompleto que resulta despus de despejartres incgnitas

=++

=++

=+++

=++++

=+++

0]3[]3[]3[

0]3[]3[]3[

0][]2[]2[]2[

0][][][][][

0][][][][

54

54

5432

252423222

1514111

eleede

dldedd

clcecdcc

blbebdbcbb

alaeadaa

(X.14)

Este sistema se diferencia del sistema equivalente completo solamente en laltima ecuacin.Desarrollemos los coeficientes transformados del sistema equivalente as

escrito


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=

=

=

=

=

=

=

=

=

]2[

]2[]2[

][

][][

][

][][][]3[

]2[

]2[]2[

][

][][

][

][][][]3[

]2[

]2[]2[

][

][][

][

][][][]3[

]2[

]2[]2[

][

][][

][

][][][]3[

]2[

]2[]2[

][

][][

][

][][][]3[

][

][][][]2[

][

][][

][]2[

][

][][][]2[

][

][][][]2[

2

2

22

1

11

2

2

22

1

11

2

2

22

1

11

2

2

22

1

11

22

2

22

1

11

2

222

2

22

2

2

222

2

222

cc

clce

bb

blbe

aa

alaeelel

cc

cece

bb

bebe

aa

aeaeeeee

cc

clcd

bb

blbd

aa

aladdddl

cc

cecd

bb

bebd

aa

aeadddde

cc

cdcd

bb

bdbd

aa

adaddddd

bb

blbcclcl

bb

bebc

cece

bb

bdbccdcd

bb

bcbccccc

(X.15)

Obtengamos ahora los coeficientes y trminos independientes del sistemaenlazante, es decir ][],[],[],[],[ 3el3ee3dl3de3dd por el mtodo de Pranis

Pranievich.

Escribamos los coeficientes del primer sistema parcialmente independiente deecuaciones normales obtenidas a partir del correspondiente sistema deecuaciones de correcciones

+

++

+++

151

15141

1514111

][][

][][][

][][][

elee

dldedd

alaeddaa

(X.16)

Despejando en el sistema (X.16) la incgnita 1 , obtenemos el siguiente

sistema enlazante particular:

+

++

151

15141

]1[]1[

]1[]1[]1[

elee

dldedd

(X.17)

Donde los coeficientes tienen la estructura


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=

=

=

=

=

1

1111

1

1111

1

11

11

1

1111

1

1111

][

][][][]1[

][

][][][]1[

][

][][

][]1[

][

][][][]1[

][

][][][]1[

aa

alaeelel

aa

aeaeeeee

aa

alad

dldl

aa

aeaddede

aa

adaddddd

(X.18)

Escribamos los coeficientes del segundo sistema parcialmente independientede ecuaciones normales

+

++

+++++++

252

25242

2524232

252423222

][][

][][][

][][][][

][][][][][

elee

dldedd

clcecdcc

blbebdbcbb

(X.19)

Una vez despejadas en el sistema (X.19) loas incgnitas 2 y 3 , obtenemos el

segundo sistema enlazante particular de ecuaciones normales

+

++

252

25242

]2[]2[

]2[]2[]2[

elee

dldedd

(X.20)

Donde los coeficientes presentan la estructura

=

=

=

=

=

2

22

2

2222

2

22

2

2222

2

222222

2

22

2

2222

2

22

2

2222

]1[

]1[]1[

][

][][][]2[

]1[

]1[]1[

][

][][][]2[

]1[

]1[]1[

][

][][][]2[

]1[

]1[]1[

][

][][][]2[

]1[

]1[]1[

][

][][][]2[

cc

clce

bb

blbeelel

cc

cece

bb

bebeeeee

cc

clcd

bb

blbddldl

cc

cecd

bb

bebddede

cc

cdcd

bb

bdbddddd

(X.21)

Sumando los coeficientes correspondientes de los sistemas enlazantesparticulares, obtenemos los coeficientes del sistema enlazante general.


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Teniendo en cuenta las expresiones (X.18) y (X.21), puede escribirse, porejemplo:

.]1[

]1[]1[

][

][][

][

][][][][]2[]1[

2

22

2

22

1

112121

+=+

ce

cecd

bb

bebd

aa

aeaddededede

Considerando, adems de las igualdades (X.18) y (X.21), las siguientesigualdades

]2[]1[

],2[]1[

],2[]1[

];[][][

2

2

2

21

=

=

=

=+

cccc

cece

cdcd

dedede

( la primera incgnita del segundo sistema es la segunda en el sistema

general), obtenemos que

],3[]2[

]2][2[

]1[

]1][1[]][[][]2[]1[ 21 =

=+ de

cc

cecd

bb

bebd

aa

aeaddedede

Es decir, nos convencemos de la validez de la igualdad

],3[]2[]1[ 21 =+ dedede

que era lo que queramos demostrar.

Dejemos al lector la posibilidad de cerciorarse de la validez de las igualdadesrestantes:

];3[]2[]1[

];3[]2[]1[

];3[]2[]1[

];3[]2[]1[

21

21

21

21

=+

=+

=+

=+

elelel

eeeeee

dldldl

dddddd

Ejemplo de solucin de ecuaciones normales por el mtodo multigrupal deUranios-Pranievich.Se requiere resolver los siguientes dos sistemas parcialmente independientes

de ecuaciones normales:1)

++=++

++

++

1453

252

13

224

5411

541

541

541

2)


10/45

+++=+++

++

+++

++

6633

4522

323

223

334

54322

5432

5432

5432

5432

Aqu 4 y 5 son las incgnitas enlazantes. Las incgnitas restantes de cada

sistema se despejan.La solucin del primer sistema se muestra en la tabla 62, la del segundo, en latabla 63. Para la resolucin se utilizo el esquema abreviado del algoritmo deGauss.

El coeficiente ;00,250,000,500,4]1[ 1 ==ee

>> ;00,250,000,200,1]1[ 1 ==el

>> ;00,550,000,250,4]1[1

++=+=eS

Tabla62

Fila 1 4 5 l s Control

1N

1E

4N

5N

4,00+1,00-0,253,00

+2,000,501,005,00

2,00-0,50-1,00-2,00

+5,00-1,25+4,00+2,00

-1,25

)(34N

)(3

5N 2,75

-1.504.00

-1.50-1.00

+2.75+4.50

+2.75+4.50

Incgnitas-1.24 +1.07

-0.94

* Los coeficientes de la fila )(34N se obtienen del modo habitual despus de

despejar 1 .

Tabla63

Fila 2 3 4 5 l s Control

2N

2E

3N 4.00

-1.00+0.253.00

-1.00+0.25-1.00

+1.00-0.25-2.00

+3.00-0.75+3.00

+6.00-1.50+1.00

-1.50

)(2

3N 2.75 -1.25 -1.75 +2.75 +2.50 +2.50


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3E

4N

5N

+0.453.00

+0.64+2.00+5.00

-1.00-3.00+4.00

-0.910+10.00

-0.91

)(3

4N )(3

5N 2.19+1.463.63

-1.01+5.01

+2.64+10.10

+2.63+10.10

Incgnitas -0.53 -1.12 +1.07 -0.94

La fila)3(

5N ha sido obtenida por el mtodo habitual, Los coeficientes de la fila

se han hallado de la siguiente manera:

10,1050,264,000,625,000,10]2[;01,575,264,000,325,000,4]2[

;63,375,164,000,125,000,5]2[

2

2

2

+=++=

=++=

==

eSel

ee

Ahora determinemos los coeficientes del sistema enlazante, sumando loscoeficientes correspondientes de los sistemas enlazantes particulares, es decir,

de las filas)3(

4N y)3(

5N de las tablas 62 y 63.

+==+ ;39,5;051,296,294,4 154 +==+++ ;60,14;001,463,796,2 254

La solucin del sistema asociativo se ha efectuado en la tabla 64.

Tabla 64

Fila 4 5 l s Control

)(3

4N

4E )(3

5N 4,94

+2,96- 0,607,63

- 2,51+0,51+4,01

+5,39+1,09+14,60

- 1,09

)(4

5N 5,85 +5,52 +11,37 +11,37

Incgnitas+1,07 - 0,94


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Sustituyendo he incgnitas, obtenidas 07,14 += y 94,05 = en las filas

eliminatorias de las tablas 62 y 63, hallemos las dems incgnitas

24,11 = , 53,02 = , 12,13 = Para el control de la solucin sustituyamos las

incgnitas halladas en la suma de todas las ecuaciones normales, la cual, a su

vez se obtiene como la suma de las ecuaciones 1 y 2 (es decir de las

sumas del primero y segundo sistemas):=++++ 510833 54321

.03,000,594,01007,1812,153,0324,13 =+++

El error residual es despreciable.De esa manera, prcticamente nos hemos convencido de la rigurosidadcompleta de Pranis- Pranievich.

Si las ecuaciones normales, enlazantes se descomponen, a su vez, ensistemas parcialmente independientes, entonces para su, solucin tambin sepuede utilizar el mtodo de Pranis- Pranievich.

El mtodo multigrupal de Pranis- Pranievich se emplea ms frecuentemente encombinacin con el mtodo correlativo con incgnitas adicionales (vase el 71, punto 3).

4. Esquema de clculo ara resolver sistemas grandes de ecuacionesnormales. Control adicional de las soluciones

Para resolver sistemas grandes de ecuaciones normales (ms de 1020ecuaciones) el esquema usual abreviado de clculo resulta incmodo, ya quelos factores cuya suma de productos se calcula al obtener los coeficientestransformados, pueden resultar alejados uno de otros en un nmero grande decolumnas. Esta circunstancia complica loa clculos y provoca la posibilidad de

cometer graves errores en stos.

Dicha deficiencia se elimina utilizando dos esquemas de clculo. En el

esquema 1 se escriben los coeficientes N y eN de las ecuaciones de los

sistemas original y equivalente respectivamente. En el esquema 2 se escribenloa coeficientes E de las ecuaciones eliminatorias.Doblando la hoja por el margen izquierdo de la columna en turno del esquema2, se yuxtapone dicha columna el margen derecho de la columnacorrespondiente del esquema 1; de resultas todos los pares de factores quehan de multiplicar aparecen yuxtapuestos.La forma del esquema 1 y del esquema 2 se muestra en 1a tabla 65.Los mrgenes .superiores de los esquemas deben marcarse con tinta gruesa,para no equivocarse al yuxtaponer el esquema 2 y el esquema 1.Loa coeficientes de las ecuaciones de sistema original (en el esquema 1designados en negrilla) conviene escribirlos con tinta de color diferente a la delos coeficientes de las ecuaciones equivalentes y eliminatorias. Estos ltimoscoeficientes deben ser escritos con tinta de un mismo color.En el esquema 1 se llenan todas las filas, en el esquema 2, slo las lneaspares.


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Por la experiencia de la elaboracin matemtica de un nmero grande demediciones geodsicas se ha establecido que en los valores de los coeficientesdel sistema original de ecuaciones normales y en los coeficientes de lasecuaciones del sistema equivalente basta con retener tos cifras significativas(por lo general. dos cifras decimales); en los coeficientes de las ecuacioneseliminatorias es necesario conservar dos, o tres cifras decimales ms.

Recordemos, adems, que en los clculos de las incgnitas, stas deben sersustituidas, a medida que se vayan obteniendo, en cada ecuacin equivalenteen turno.El clculo de las incgnitas 1= zu puede servir tambin para un buen controlde lo correcto del clculo de la , para lo cual se emplea la

columna ....1 jjkjjj LNNNsj ++++= En la compensacin por el mtodo

parametrito se comprueban, obligatoriamente las siguientes igualdades

0][...][][][ 311 ===== vpavpavpavpa k

Esquema 1

ColumnasY filas 1

z 2z 3z 4z 5z L

1N 11N 12N 13N 14N 15N 1L )0(

1N 11N 12N 13N 14N 15N 1L

2N 22N 23N 24N 25N 2L )1(

2N )1(

22N )1(

23N )1(

24N )1(

25N )1(

2L

3N 33N 34N 35N 3L )2(

3N )2(

33N )2(

34N )2(

35N )2(

3L

4N 44N 45N 4L )3(

4N )3(

44N )3(

45N )3(

4L

M M M

Esquema 2

1z 2z 3z 4z 5z L ColumnasY filas

12E 13E 14E 15E LE1 1E

23

E 24

E 25

E L

E2

2

E

34E 35E LE3 3E

45E LE4 4E


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En el mtodo correlativo se ha de efectuar la sustitucin de los valorescompensados de las magnitudes medidas en todas las ecuacionescondicionales.

Si para la solucin de las ecuaciones se emplea el mtodo de los cracovianos,entonces en el lugar de las filas )0(1N ,

)1(

2N ,)1( m

mN delesquema 1 y de las filas E

del esquema 2 se colocan las filas cracovianas, las cuales, de ese modo,tienen que escribirse dos veces. Sin embargo, si se emplea un ordenador, estemtodo resulta indudablemente ms efectivo que el del algoritmo de Gauss.

75. Mtodo de Aproximaciones

Si en la compensacin, tanto el numero de magnitudes necesarias como el deexcedentes es grande (mayor que 50-100), entonces el mtodo mas efectivo esel de aproximaciones. Este mtodo resulta cmodo para los clculos tanto encalculadoras como en los ordenadores. La esencia de este mtodo radica en losiguiente.

El problema de la compensacin por cualquiera de los dos mtodosfundamentales en un sentido puramente matemtico es un problema deobtencin del mnimo absoluto de una funcin de muchas variables.

En la compensacin por el mtodo parametrico esta funcin presenta la forma

).,....()...(1

2

221 ki

n

i

ikikiiii Flaaap =++++=

(X.22)

En la compensacin por le mtodo correlativo, la funcin adquiere la forma

).,....()...(1

2

2211 ri

n

i

iiririii kkvpkakakaq =+++=

(X.23)

Las correcciones iv en la expresin (X.23) deben considerarse como

magnitudes que no dependen de los correlativos *).El sistema de igualdades

),...,1(0 rj

F

j ==

(X.24)

Dar un sistema de ecuaciones normales con incgnitas ).,...,1( kjj = El

sistema de igualdades


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),...,1(0 rjkj

==

(X.25)

*) Si en la tabla de coeficientes, en lugar de il aparecen las magnitudes iivp

entonces en lugar de ][ lpaj , obtendremos .][][ jjj Wvavqpa ==

Aportar un sistema de ecuaciones normales de los correlativos, si seconsidera que

).,...,1(][ rjWva jj ==

As, pues, se ha establecido que el problema de compensacin por cualquierade los mtodos fundamentales es un problema de obtencin del mnimoabsoluto de una funcin cuadrtica de muchas variables. Designemos esta

funcin por )......,( 1 mzzf

El sistema de ecuaciones,

),......,1(0 mjz

f

f

==

(X.26)

Resuelve el problema.

Estudiemos el siguiente mtodo de solucin del problema de obtencin del

mnimo absoluto de la funcin )......,( 1 mzzf Se sabe que la funcin (que es

cuadrtica) tiene un nico punto de extremo, el mnimo.

Para hallar el punto del mnimo, repartamos las incgnitas en grupos, porejemplo, de la siguiente manera: I grupo, 21,zz ; II grupo, 543 ,, zzz ; III grupo

76 ,zz

Luego, consecutivamente, en cada i-esima aproximacin hallemos los mnimosde las funciones

==

==

==

min),(),,,,,(

min),,(),,,,,,(

min),(),,,,,,(

76

)(

76

)(

5

)(

4

)(

3

)(

1

543

)()(

7

)(

6543

)(

2

)(

1

21

)()(

7

)(

6

)(

5

)(

4

)(

321

zzFzzzzzzf

zzzFzzzzzzzf

zzFzzzzzzzf

i

III

iiii

i

II

iiii

i

I

iiiii

(X.27)

Donde )(iz son los ltimos valores de las incgnitas obtenidos en el curso delas aproximaciones.

Las funciones )(iF variaran a medida que varen los valores de )(iz . Para lasolucin de dichos problemas indicados hay que resolver los siguientessistemas de ecuaciones lineales


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aproximacin si incluimos en las transformaciones no slo los coeficientes delgrupo en cuestin, sino tambin los dems coeficientes de esas mismasecuaciones. En tal caso en el proceso de les aproximaciones pueden utilizarselos coeficientes de las eliminatorias, los valores en curso delas incgnitas. Podemos convencernos fcilmente de la justeza de lo dicho, unavez analizado detalladamente el proceso de transformacin de los trminos

independientes obtenibles por las formulas (X.32) y (X.34) y (X.36) *).

As, pues en la compensacin por el mtodo de aproximaciones se recomiendael siguiente orden de operaciones.

1. Se plantean las ecuaciones completas para cada grupo de incgnitas y sedespejan en aqullas las incgnitas del grupo dado, a resultas de lo cual seobtienen las ecuaciones eliminatorias completas de dicho grupo. Por ejemplo,las ecuaciones completas del I grupo sern

=+++++++

=+++++++

0

0

2

)(

727

)(

626

)(

525

)(

424

)(

323222112

1

)(

717

)(

616

)(

515

)(

414

)(

313212111

LzNzNzNzNzNzNzN

LzNzNzNzNzNzNzN

iiiii

iiiii

(X.37)

Despejando las incgnitas 1z y 2z en el sistema (X.37), hallamos las siguientes

ecuaciones eliminatorias,

.

2

)(

727

)(

626

)(

515

)(

525

)(

424

)(

323

)1(

2

1

)(

717

)(

616

)(

515

)(

414

)(

313

)1(

212

)1(

1

++++++=

++++++=+

++

L

iiiiiii

L

iiiiiii

EzEzEzEzEzEzEz

EzEzEzEzEzEzEz(X.38)

2. En el curso de las aproximaciones se utilizan las ecuaciones del tipo (X.38),las cuales deben plantearse para todos las grupos (naturalmente, en ordeninverso). En las ecuaciones de cualquier grupo, los trminos que contienen lasincgnitas de dicho grupo se colocan a la izquierda; los trminos con incgnitasde otros grupos, a la derecha.

Al repartir las incgnitas obtienen en grupos, debe haber el menor numeroposible de incgnitas comunes. Notemos que en los grupos de ecuacionesreincluyen aquellas ecuaciones en las cuales las incgnitas de ese mismogrupo van con coeficientes cuadraticos. Desde luego, en los grupos deecuaciones ha de observarse la simetra de los coeficientes respecto a ladiagonal cuadrtica.

Al efectuarse las aproximaciones, en los grupos se calculan solo aquellasincgnitas que se requieren para otros grupos. Por su parte, las incgnitas quefiguran solo en un grupo se obtienen, al cabo de las aproximaciones mediantelas filas eliminatorias correspondientes.El mtodo grupal de aproximaciones descrito puede considerarse como ciertageneralizacin de los mtodos de eliminacin y de iteracin. Si todas lasincgnitas las reunimos en un solo grupo, el mtodo grupal de aproximacionesse convierte en el mtodo de iteracin simple.


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Ilustremos el mtodo de aproximaciones con el ejemplo ya resuelto por elmtodo de Pranis-Pranievich.

Ejemplo.

Sistema general de ecuaciones normales

00,12,0210322

00,4,0436

00,1,0223

00,6,034

00,5,0224

554321

454321

35432

25432

1541

+==++++

+==++

+==++

+==++

+==++

s

s

s

s

s

Repartamos las incgnitas en grupos de la siguiente manera: I grupo, 541 ,, ;

II grupo , 32 .

Las ecuaciones completas correspondientes sern:

=++++=++

=+

02103220436

0224

54321

54321

541

I grupo;

=+

=++

0223-

034

5432

5432

II grupo.

Las ecuaciones eliminatorias se han obtenido en las tablas 66 y 67.

Tabla 66

Ecuaciones 1 4 5 2 3 L S

1N

1E

2N )1(

3N

2E

4,00

+1,00- 0,2506,005,75

-2,00+0,500+3,00+3,50-0,60910,00

00-1,00-1,00+0,174+1,00+1,61

00-1,00-1,00+0,174-2,00

+2,00-0,500-4,00-4,50-0,783+2,00

+5,00-1,250+4,00+2,75-0,478+12,00


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],[][),.....,(),.....( 3331133 +=+=++= vaWvaxxvxvxW nnni

Nos convencemos de la validez de la siguiente igualdad

].[3333

== vaWWW

De esta manera, el mtodo de Gauss se deriva de la teora general del mtodogrupal de aproximacionesAl repartir las incgnitas en grupos hay que tener en cuenta que aumentandolos grupos la convergencia de las aproximaciones se acelerara. Esto lo indicanlas expresiones (X.27). Evidentemente, cuanto mas incgnitas figuran en losgrupos, madores sern los > hacia el punto delmnimo.

76. Algunas cuestiones acerca de la estimacin de precisin.

1. Formula de la razn media de los pesos.Su aplicacin

En muchos casos, la estimacin de la precisin de magnitudes medidas y desus funciones puede facilitarse considerablemente si se empleara la formuladel valor medio de las relaciones entre los pesos en el 60. Esta formula delvalor medio de las relaciones entre los pesos de los resultados de medicin ylos pesos de los valores compensados de las magnitudes medidasgeneralmente permite obtener una estimacin de precisin aproximada, pero,prcticamente bastante satisfactoria, sin necesidad de recurrir a formulasrigurosas pero mucho mas complicadas.

Demos una demostracin mas de la formula (V.67)

,)(n

k

P

pmed =

Dondep , es el peso de los resultados de las mediciones;

P, es el peso de los valores compensados de las magnitudes medidas;n , el numero de todas las magnitudes necesarias.k, el numero de las magnitudes necesarias.

Traigamos a cuenta nuevamente las designaciones del mtodo parametrico decompensacin:x , son los valores compensados de las magnitudes medidas;t, las incgnitas necesarias.Se tiene

);,....,1(),......,( 1 nittfx kii ==


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los errores de cierre contienen errores de los datos iniciales, en ocasionesbastante considerables.Se entiende por influencias sistemticas la influencia de los erroressistemticos de medicin y de los errores de los datos iniciales sobre loserrores de cierre en las ecuaciones condicionales.Las influencias sistemticas pueden disminuir la efectividad de la utilizacin del

mtodo de los mnimos cuadrados.En algunos casos, al influencia de los errores sistemticos de las mediciones yde los errores de los datos iniciales pueden debilitarse si se considera en laelaboracin. Como ejemplo se puede mencionar el clculo de los desniveles alo largo de las lneas de una red geodsica a partir de observaciones de losngulos verticales en direccin directa e inversa. En el valor medio de losdesniveles directo de la refraccin vertical y del error sistemtico de la medicinde los ngulos de inclinacin.

En la compensacin de resultados de mediciones de varias magnitudesenlazadas entre si por condiciones, los parmetros de las influenciassistemticas pueden considerarse en forma de incgnitas adicionales en las

ecuaciones parametricas o condicionales de correcciones. Para esto,evidentemente, es necesario conocer lo ms exactamente posible lasregularidades de las influencias sistemticas.En algunos casos, el carcter de las influencias sistemticas puedeestablecerse por los mtodos de interpolacin de funciones mediante valoresmedidos, si se conocen los argumentos en funcin de los cuales puedenconsiderarse los errores sistemticos. De esa, manera por ejemplo, se resuelveel problema de compensacin de cota en fotogrametra, o al analizar loserrores sistemticos de los dimetros de los crculos horizontales de losteodolitos. En el primer caso se utiliza la interpolacin parablica, en lesegundo, la interpolacin peridica.Para ilustrar lo dicho, hagamos uso de los ejemplos resueltos en el capitulo V57 (ejemplo 4), y 59 (ejemplo 4), de la compensacin de un triangulo delcual se conoce un lado inicial y se han medido sus elementos restantes.

Supongamos que tenemos fundamentos para considerar que las medicionesde las longitudes de los lados del triangulo estn agravadas por un errorrelativo constante. Entonces, como incgnita complementaria que ha de serdeterminada a partir de la compensacin, figurar cierto coeficiente pequeo

Dk /1= , donde D es el denominador del error relativo.

En las ecuaciones paramtricas de correcciones para los lados el coeficientebuscado debe introducirse de la siguiente manera.

El valor compensado del lado medido se expresa en la siguiente forma

ksvss +=

Donde s es el valor medido del lado.De aqu

,),( 21 sskttfv +=

Y, finalmente,


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,21 lbaskv +++=

Donde a, b y l tienen loe valores asignados en el ejemplo resuelto. Ahora se

tienen ya no dos incgnitas, como antes sino tres k21 y, .

Claro que para s y k en el primer trmino de las ecuaciones de las correccioneshay que escoger dimensiones (unidades) apropiadas. As en el ejemploconsiderado, las distancias son iguales a 79600 y 101900 cm., de modo que siel coeficiente k puede suponerse igual, aproximadamente, a 1/100000,entonces conviene expresar en kilmetros y k sern cercanos a la unidad.

En las ecuaciones condicionales de correcciones, el coeficiente k debeconsiderase como una incgnita adicional (no medida). Esto se hace de lasiguiente manera.Escribamos la siguiente ecuacin condicional:

,0x

x

x4

3

1 =

=

sen

senc

Donde c es el lado inicial y x , los valores compensados de las magnitudesmedidas.Luego puede escribirse

0)(c 44433

11 =++

+kxvx

)vsen(x

)vsen(x(X.42)

Donde ix son los valores medidos de las magnitudes.

Suponiendo que el valor aproximado de la incgnita, kes igual a cero es decir.

k = O, obtendremos para el errorde cierre la frmula usual

4

3

1

c x

xsen

xsenW =

Reduciendo la igualdad (X.42) a una forma lineal, obtenemos una ecuacincondicional de correcciones con una incgnita adicional, o sea

,0)( 443311 =++ Wkxvvavakm

.4

ii xctgp

x

a =

En la ecuacin condicional para el otro lado tambin figurar la misma incgnitaadicional k.

Claro, que es imposible dar recomendaciones para la consideracin de lasinfluencias sistemticas en todos los caso. Para la solucin de esta complicada


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Supongamos que se han medido n magnitudes y se han obtenido los

resultados de las mediciones nxx .........,1 con sus pesos correspondientes

npp .........,1 . Sean calculadas t magnitudes

=

=

)x...(

........................)x...(

1

111

ntt

n

xfy

xfy(X.46)

cuyos valores compensados deben satisfacer las siguientes ecuacionescondicionales

=

=

0)...(

.....................

0)...(

1

11

tm

t

yy

yy

(X.47)**)

Donde ntm


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La compensacin rigurosa se debe efectuar de acuerdo a la condicin ][ 2pv .Es por eso que la ecuacin (X.55), el vectorD se expresa mediante el vector Vcon ayuda de la igualdad (X.54)

0=+=+ WVAWAD (X.56)

Designemos

CA = (X.57)

Entonces la igualdad matricial (X.56) adopta la forma

,0=+WCV (X.58)

Donde

........................................

11111111

=

=

tnti

in

mtmi

t

mnmi

n

AA

AA

cc

cc

C

L

K

L

K

L

K

El sistema de ecuaciones condicionales (X.59) representa el sistema inicialpara la compensacin rigurosa. Segn se sabe, para calcular las correccionesa las magnitudes medidas es necesario plantear y resolver un sistema de

ecuaciones normales de los correlativos

0=+WkCqCT (X.59)

Aqu q es la matriz diagonal de los pesos inversos de las magnitudes medidas.

,

1...00

...........

0...1

0

0...01

2

1

=

np

p

p

q

donde k es el vector de los correlativos, TC ,la matriz transpuesta de C.


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deben calcularse por medio de la formula habitual de la teora de los errores, osea,

,

...1

.....................................................

...1

2

2

2

21

2

1

2

12

2

121

2

111

+++==

+++==

ntnttt

nn

qqqQP

qqqQP

(X.66)

Y en la compensacin estas funciones pueden considerares como resultadosde medicin.En efecto, en este caso todos los coeficientes no cuadrticos en la expresincomo resultados de medicin.En efecto, en este caso todos los coeficientes no cuadraticos en la expresin(X.60) son iguales a cero la matriz Q se torna una matriz, es decir,

.

][...00

0...][0

0...0][

2

1

2

1

2

1

=

q

q

q

Q

A base del corolario 1 es fcil demostrar la validez de la compensacinseparada de mediciones reiteradas de magnitudes particulares y de las mediasponderadas, lo cual se ha hecho por otro medio en el 56. De este mismocorolario se deriva la justeza de la compensacin separada de las estaciones yde la red por cuanto las magnitudes lineales y angulares compensadas en lasdiferentes estaciones no poseen argumentos comunes.

Corolario 2. Si las funciones a compensar son recprocamente ortogonales,entonces en el caso de mediciones de igual precisin los pesos de lasfunciones pueden, en general, no ser tomados en cuenta, ya que en tal caso setiene

,EqQ TT ===

Donde E es la matriz unitaria y, por consiguiente,

.TT AACC = (X.67)

En algunos casos puede racional plantear un sistema especial de funcionesrecprocamente ortogonales.

Corolario 3. Sean dos grupos de valores medidos de magnitudes y decorrecciones a stos iv y iv . Supongamos adems que las funciones incluidas

en el sistema (X.46) dependen solamente de los argumentos del primer grupo:entonces, los funciones de los resultados de medicin pueden compensarse


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0=+=+=+ WkAqAWkAQAWkAAQ TTTTTyT

z (X.74)

Esta ltima igualdad coincide idnticamente con la igualdad (X. 71), que era loque queramos demostrar.


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Apndices

Apndice 1

Valores de la funcin 22

2

1)(

t

et

=

t )(t d t )(t d t )(t d t )(t d

0,000,100,200,300,40

0,500,600,700,800,901,00

0,399397391381368

352333312290266242

26101316

1921222424

1,001,101,201,301,40

1,501,601,701,801,902,00

0,242218194171150

130111094079066054

2424232120

1917151312

2,002,102,202,302,40

2,502,602,702,802,903,00

0,054044036028022

018014010008006004

108864

44222

3,003,103,203,303,40

3,503,603,70

0,004003002002001

0010010,0010

1101

001


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Apndice 2

Probabilidades )(t

,2

1

)(

2

2

1

dtet

t

t

t

+

= donde ,0

== pn

k

ht

,, 02 =

pq

nh Limites prefijados de variaciones del argumento

Xx =

t )(t d t )(t d t )(t d t )(t d

0,00

0,100,200,300,400,500,600,700,800,901,00

0,000

0,0800,1590,2360,3110,3830,4510,5160,5760,6320,683

80

797775726865605651

1,00

1,101,201,301,401,501,601,701,801,902,00

0,683

0,7290,7700,8060,8380,8660,8900,9110,9280,9430,955

46

413632282421171512

2,00

2,102,202,302,402,502,602,702,802,903,00

0,955

0,9640,9720,9790,9840,9880,9910,9930,9950,9960,997

9

875432211

3,00

3,103,203,303,403,50

0,997

0,9980,9990,9990,9991,000

11001


39/45

3

Apndice 3

,2

1)(

2

2

1

0 dtetFt t

+

=

donde

== p

n

kht

00 ,

pq

nh =2 , ,, 000 xXx

Valor mximo prefijado de la magnitud aleatoria

0t )( 0tF )( 0tF + d 0t )( 0tF )( 0tF + d 0t )( 0tF )( 0tF + d 0t

0,000,100,200,30

0,400,500,600700,800,901,00

0,5000,4600,4210,382

0,3450,3080,2740,2420,2120,1840,159

0,5000,5400,5790,618

0,6550,6920,7260,7580,7880,8160,841

40393937

373432302825

1,001,101,201,30

1,401,501,601,701,801,902,00

0,1590,1360,1150,097

0,0810,0670,0550,0450,0360,0290,023

0,8410,8640,8850,903

0,9190,9330,9450,9550,9640,9710,977

23211816

141210976

2,002,102,202,30

2,402,502,602,702,802,903,00

0,0230,0180,0140,011

0,0080,0060,0050,0040,0030,0020,001

0,9770,9820,9860,989

0,9920,9940,9950,9960,9970,9980,999

5433

211111

3,003,103,203,30

apndice 4

Valores am

m cm

aP =

!(distribucin de Poisson)

m =0.1 =0.2 =0.3 =0.4 =0.5 =0.6 =0.7 =0.8 =0.9

0

123456

0.9048

0.09050.00450.0002

0.8187

0.16380.01640.00190.0001

0.7408

0.22220.03330.00330.0002

0.6703

0.26810.05360.00720.00070.0001

0.6065

0.30330.07580.01260.00160.0002

0.5488

0.32930.9880.01980.00300.0004

0.4966

0.34760.12170.02840.00500.00070.0001

0.4493

0.35950.14380.3830.00770.00120.0002

0.4066

0.36590.16470.4940.01110.00200.0003


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41/45

5

Apndice 5

Valores t , que satisfacen la igualdad ==

t

r tdttS0

)()(2 segn y r

(Distribucin de Student)R es nmeros de grados de libertad: es probabilidad de confianza

r

0.5 0.6 0.7 0.8 0.90 0.95 0.98 0.990 0.999

56789

101112131415161718192021222324252627283040

0.727718711706703

700697695694692691690689688688687686686685685684684684683683681

0.920906896889883

879876873870868866865863862861860859858858857856856855855854851

1.156134119108100

093088083079076074071069067066064063061060059058058057056055050

1.476440415397383

372363356350345341337333330328325323321319318316316314313310303

2.021.943895860833

812796782771761753746740734729725721717714711708706703701697684

2.5745363126

232018161413121110090908070706060605050402

3.3614002.9082

767268656260585755545352515049484847474642

4.033.71503625

171106012.9895929088868483828180797877767570

6.865.9640044.78

594632221407023.9692888582797774727169676555


42/45

6

Apndice 6

Valores de 2 en dependencia de r y p

12345678910111213

141516171819202122232425

2627282930

0,0000,0200,1150,2970,5540,8721,2391,6462,092,563,053,574,11

4,665,235,816,417,027,638,268,909,5410,2010,8011,52

12,2012,8813,5614,2614,95

0,0010,0400,1850,4290,7521,1341,5642,032,533,063,614,184,76

5,375,986,617,267,918,579,249,9210,6011,2911,9912,70

13,4114,1214,8515,5716,31

0,0040,1030,3520,7111,1451,6352,172,733,323,944,585,235,89

6,577,267,968,679,3910,1110,8511,5912,3413,0913,8514,61

15,3816,1516,9317,7118,49

0,0160,2110,5841,0641,6102,202,833,494,174,865,586,307,04

7,798,559,3110,0810,8511,6512,4413,2414,0414,8515,6616,47

17,2918,1118,9419,7720,6

0,0640,4461,0051,6492,343,073,824,595,386,186,997,818,63

9,4710,3111,1512,0012,8613,7214,5815,4416,3117,1918,0618,94

19,8220,721,622,523,4

0,1480,7131,4242,203,003,834,675,536,397,278,159,039,93

10,8211,7212,6213,5314,4415,3516,2717,1818,1019,0219,9420,9

21,822,723,624,625,5

0,4551,3862,373,364,355,356,357,348,349,3410,3411,3412,34

13,3414,3415,3,416,3417,3418,3419,3420,321,322,323,324,3

25,326,327,328,329,3

1,0742,413,664,886,067,238,389,5210,6611,7812,9014,0115,12

16,2217,3218,4219,5120,621,722,823,924,926,027,128,2

29,230,331,432,533,5

1,6423,224,645,997,298,569,8011,0312,2413,4414,6315,8116,98

18,1519,3120,521,622,823,925,026,227,328,429,630,7

31,832,934,035,136,2

2,714,606,257,789,2410,6412,0213,3614,6815,9917,2818,5519,81

21,122,323,524,826,027,228,429,630,832,033,234,4

35,636,737,939,140,3

3,845,997,829,4911,0712,5914,0715,5116,9218,3119,6821,022,4

23,725,026,327,628,930,131,432,733,935,236,437,7

38,940,141,342,643,8

5,417,829,8411,613,315,016,618,119,621,222,624,125,5

26,928,329,631,032,233,735,036,337,739,040,341,7

42,944,145,446,748,0


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capitulo x, apendices y bibliografia

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