HIDROMECANICA

INTRODUCCION En la naturaleza podemos encontrar a la materia en tres estados comunes: slido, lquido y

gaseoso. Los lquidos y los gases poseen caractersticas semejantes que los diferencian de

los slidos como por ejemplo, no pueden conservar una forma definida, no pueden soportar

esfuerzos cortantes muy grandes (sobre todo los gases), toman la forma del recipiente que

los contiene, las fuerzas de cohesin entre molculas es pequea, adems ambos tienen la

capacidad de fluir. A estos estados de la materia, lquidos y gases se les denomina fluidos.

La hidromecnica o mecnica de los fluidos es la parte de la Fsica que se encarga del

estudio de los fluidos, sin embargo, es necesario aclarar que aunque los lquidos y los gases

poseen caractersticas comunes que hacen que se denominen bajo un solo trmino, ambos

poseen caractersticas especficas diferentes cuyos efectos algunas veces se estudian

separadamente.

Para un estudio ms simplificado de los fluidos, es necesario suponer un medio continuo,

es decir una distribucin continua de la materia, sin considerar espacios intermoleculares, lo

cual se justifica al tener un nmero muy grande de molculas de fluido en un pequeo

volumen de materia.

SLIDOS

LIQUIDOS

GASES

MATERIA FLUIDO

Finalmente, la hidromecnica se estudia bajo dos campos: La HIDROSTATICA y la

HIDRODINAMICA. Existe otra rama dentro de la hidromecnica denominada

NEUMATICA en la que se aplican las leyes de los dos campos anteriores y se estudian

otras caractersticas de los gases.

HIDROSTATICA: Fluidos en equilibrio,

en reposo o con velocidad constante.

HIDRODINAMICA: Fluidos en

movimiento.

HIDROMECANICA

NEUMATICA: Estudio especfico de los

gases que poseen caractersticas

diferentes a los lquidos

FLUIDO: Es cualquier sustancia que puede fluir. Se deforma continuamente, toma la forma del recipiente que lo contiene debido a que las fuerzas de cohesin entre

molculas es pequea.

PROPIEDADES BASICAS DE LOS FLUIDOS

1. DENSIDAD. Propiedad importante que relaciona la masa y el volumen del fluido. La densidad es la masa por unidad de volumen. Slo un material

homogneo tiene la misma densidad en todas sus partes.

= m/V; donde: : densidad del fluido. m: masa del fluido

V: volumen que ocupa el fluido.

En el caso de los fluidos, la densidad vara con la presin y la temperatura. La

atmsfera terrestre es menos densa a mayor altura. Los ocanos son ms densos

a mayores profundidades. En estos casos se considera la densidad media.

o UNIDADES [] : ML-3 SI: Kg/m3 Ingles: slug/pie3 MKS: Kg/m3 CGS: gr/cm3

MATERIAL DENSIDAD Kg/m3 MATERIAL DENSIDAD

Kg/m3

Aire (1atm. 20C)

Etanol

Benceno

Hielo

Agua

Agua De Mar

Sangre

Glicerina

Hormign

1.20

0,81X103

0,90X103

0,92X103

1,00X103

1,03X103

1,06X103

1,26X103

2,00X103

Hierro, Acero

Latn

Cobre

Plata

Plomo

Mercurio

Oro

Platino

Aluminio

7,80X103

8,60X103

8,90X103

10,5X103

11,3X103

13,6X103

19,3X103

21,4X103

2,7X103

2. PESO ESPECFICO. = w/V donde: : peso especfico del fluido.

w: peso del fluido

V: volumen que ocupa el fluido

o UNIDADES [ ] : FL-3 SI: N/m3 Ingles: lib/pie3 MKS: Kg-f/m3 CGS: Din/cm3

3. COHESION Y ADHESION. Propiedad que caracteriza el movimiento de los fluidos.

3.1. COHESION. Es la atraccin entre molculas de una misma sustancia. Esta interaccin molecular aunque pequea, permite en los lquidos

resistir esfuerzos de tensin pequeos.

3.2. ADHESION. Atraccin entre molculas de diferentes sustancias.

Las fuerzas de

adhesin son mayores

a la s de cohesin

Las fuerzas de adhesin son

mayores a las de cohesin

4. TENSION SUPERFICIAL:

La superficie de separacin (interfase) entre un

lquido y un gas o entre dos lquidos que no se

mezclan se comporta como si estuviera formada

por una membrana elstica. Esta propiedad

llamada tensin superficial se debe a la fuerza

resultante entre las fuerzas de cohesin y

fuerzas de adhesin.

R = Fc Fa; donde: Fc: Fuerzas de cohesin. Fa: Fuerzas de adhesin.

En la superficie de separacin o interfase: Fc > Fa

La Tensin Superficial es un escalar y tiene el mismo valor en todos los puntos de la

superficie. Este valor depende de los medios a ambos lados de la interfase y de la

temperatura. Son ejemplos de Tensin Superficial, una gota de agua esfrica, una aguja

o una navaja que flota en agua, etc.

Los jabones y detergentes disminuyen la Tensin Superficial del agua. Este efecto es

deseable para lavar y limpiar pues la elevada Tensin Superficial del agua le impide

penetrar a travs de los poros y fibras de los materiales.

Las sustancias que disminuyen la Tensin Superficial de un lquido se llaman

SURFACTANTES.

Existen dos mtodos para medir la Tensin Superficial: Esttico y Dinmico. El

primero se realiza con lquidos en reposo y en realidad se mide experimentalmente,

como la fuerza necesaria para retirar por ejemplo una espira de alambre adherida a la

superficie.

La fuerza F es la resultante entre las

fuerzas de atraccin entre molculas del

lquido y molculas de la espira.

La Tensin Superficial es la fuerza F por

unidad de longitud alrededor de la cual se

distribuye, es este caso alrededor de la

longitud de la circunferencia que es la

forma de la espira. Sin embargo, puesto

que existen dos pelculas de molculas

formadas en el interior y exterior de la espira, esta longitud debe duplicarse.

As, la Tensin Superficial Ts, debe medirse como: Ts = F / 2l.

En el caso de la espira que es circular, l = 2R, siendo por tanto, Ts = F/ 4R.

El mtodo dinmico para medir la Tensin Superficial consiste en encerrar una delgada

pelcula de lquido en un aparato en forma de U como el de la figura.

Se necesita una fuerza F para jalar el

alambre movible y as incrementar el rea

de la superficie del lquido.

Esta capa es una delgada pelcula que

tiene una cara anterior y otra posterior, de

all que la longitud sobre la cual acta la

tensin superficial es 2l como se indic

en el mtodo esttico. As:

Ts = F / 2l

UNIDADES: [Ts]: FL-1

SI: N/m Ingles: lib/pie MKS: Kg-f/m CGS: Din/cm

www.sc.ehu.es/.../tension/capilar/capilar.htm

5. CAPILARIDAD.

Propiedad que se debe a la Tensin

Superficial, es decir a las fuerzas de

adhesin y cohesin, la cual consiste en el

ascenso o descenso de los lquidos a

travs de tubos de dimetro pequeo

llamados CAPILARES.

Los lquidos ascienden o descienden una

altura proporcional a la disminucin del

dimetro de los tubos. Mientras ms

pequeo es el dimetro del tubo, el

lquido asciende mayor altura.

Donde:

Ts: Tensin superficial

Ts = F/L = F/ 2R. : Angulo entre la Ts y la pared del tubo de contacto. mg: peso del lquido que asciende.

Por equilibrio: F cos = mg 2RTs cos = Vg 2RTs cos = (R2) hg

h = 2 Ts cos / gR

Si >90, el lquido no moja al recipiente. Si

I. HIDROSTATICA

1.1 PRESION. Un fluido en reposo ejerce presin sobre las paredes del recipiente que lo

contiene o sobre cualquier cuerpo sumergido en l.

La presin se define como la fuerza por unidad de rea, donde la fuerza y el rea son

perpendiculares. Es una cantidad escalar.

Para un rea diferencial dA dentro de un fluido en reposo sobre la cual acta una fuerza

normal dF, la presin denominada hidrosttica se define como:

P = dF/dA; dF = PdA; F = PdA, que es la fuerza total que acta en la superficie.

Si P es constante: F = PA; P = F/A

UNIDADES o S. Internacional: [P] = N/m2 = Pascal. o S. CGS : [P] = Din/cm2 o S. Ingls : [P] = lib/pie2 o S. MKS : [P] = Kg-f/m2

EQUIVALENCIAS o 1 atmsfera = 1,013x105 N/m2 = 14,7 lib/pulg2 o 1 bar = 106 Din/cm2 (utilizado generalmente en meteorologa y

mapas)

PROPIEDADES

1. La presin en todos los puntos de un mismo plano horizontal en el seno

de un fluido e reposo (plano equipotencial), tiene el mismo valor.

2. La superficie libre de un lquido en reposo es siempre horizontal. La

presin es siempre positiva.

3. La fuerza debida a la presin sobre un contorno slido se dirige siempre

hacia dicho contorno, en direccin perpendicular a ste y hacia cualquier

superficie con la que el fluido tiene contacto.

4. La presin en un punto en el seno de un fluido en reposo tiene el mismo

valor en todas las direcciones. Si no fuera as, el fluido estara en

movimiento. (P. Pascal)

1.2 PRINCIPIO DE PASCAL. Blas Pascal, matemtico y filsofo francs, (1623-1662), enunci el principio que

lleva su nombre.

La presin aplicada a un fluido se transmite sin disminucin alguna a todas

partes del fluido y a las paredes del

recipiente que lo contiene.

Un fluido encerrado en un recipiente

provisto de un pistn tiene determinadas

presiones PA, PB, PC en los puntos A, B,

C. Si se aplica una fuerza F en el pistn,

se generar un cambio repentino de

presin P. El principio de Pascal establece que las presiones en A, B, C

tomarn inmediatamente los valores: PA +

P, PB + P, PC + P.

P = F/ A

Una de las aplicaciones ms importantes del principio de Pascal es la prensa hidrulica. Consta

de dos cilindros comunicados por un conducto inferior y cerrados ambos por sendos mbolos.

Cuando se aplica una fuerza pequea sobre el mbolo del cilindro de menor seccin, SA, se

pueden levantar grandes masas colocadas sobre el cilindro de mayor seccin, SB. Por el principio

de Pascal, las presiones en A y B son iguales:

pA = pB. O lo que es lo mismo:

F A S A = F B S B F B = F A S B S A

La fuerza obtenida en B es igual a la fuerza

aplicada en A multiplicada por el cociente de

las superficies de los dos recipientes. Cuanto

mayor sea la relacin entre la superficie de los

mbolos, tanto ms se multiplica el efecto de la

fuerza aplicada en A.

El Principio de Pascal fundamenta tambin el elevador y los frenos hidrulicos.

El elevador hidrulico se basa en

el principio de que el trabajo

necesario para mover un objeto

es el producto de la fuerza por la

distancia que recorre el objeto.

El elevador hidrulico utiliza un

lquido incompresible para

transmitir la fuerza, y permite

que una pequea fuerza aplicada

a lo largo de una gran distancia

tenga el mismo efecto que una gran fuerza aplicada a lo largo de una distancia pequea. Esto hace

que pueda emplearse una pequea bomba de mano para levantar un automvil.

P1 = P2

F1 = F2 F1 = A1

A1 A2 F2 A2

F1 / F2 = A1 / A2: Ganancia mecnica de la prensa hidrulica.

Si el rea de salida de un pistn es 20 veces mayor que el del cilindro de entrada, la fuerza

se multiplica por 20 veces, es decir, una fuerza de 200 libras podr levantar un peso de

4000 libras.

La fuerza aplicada en el pedal de

frenado produce una fuerza

proporcional en cada uno de los

pistones de salida los cuales aplican la

fuerza sobre las zapatas friccionantes

contra el giro de la llanta retardando la

rotacin.

Otras aplicaciones del Principio de Pascal se presentan en las siguientes imgenes.

1.3 VARIACIONES DE LA PRESION.

Si un fluido se halla en equilibrio esttico, todas las partes del mismo estn en equilibrio.

Consideremos un pequeo elemento de volumen del fluido sumergido dentro de la masa de

fluido.

Considerando un volumen de fluido de espesor infinitesimal en equilibrio esttico.

Como el fluido est en equilibrio, Fh = 0; Fv = 0 Adems, dw = gdm = g dV = g Ady

dw = gAdy

Aplicando la ecuacin de equilibrio vertical: Fv = 0

PA (p+dP) A-dw = 0 PA (p+dP) A- gAdy = 0

dP = -g: Variacin de la presin con la altura y dentro del fluido dy

Integrando esta expresin:

P2 P1 = - g dy Si =cte.

P2 P1 = - g (y2 y1)

Y si P2 = Po: Presin atmosfrica y P1: presin en cualquier punto, tendremos:

P = P0 + g (y2 y1) P = P0 + g h

P0: Presin atmosfrica.

Pm: Presin manomtrica = g h P: Presin absoluta

En caso de los lquidos, de acuerdo a las ecuaciones anteriores se afirma que, la presin en

un fluido en reposo, vara directamente con la profundidad, es decir, a mayor profundidad,

mayor presin.

Para el caso de los gases, su densidad es relativamente pequea, y si h tambin lo es, la

presin es prcticamente la misma en todos los puntos a diferentes profundidades. Sin

embargo, cuando h es grande, la variacin de la presin es considerable, es el caso cuando

nos elevamos a grandes alturas en la atmsfera; en estos casos, la densidad vara con la

altitud.

As, como la densidad es proporcional a la presin del gas:

/ 0 = P/P0; donde 0 y P0 son valores conocidos de la densidad y presin del aire a nivel del mar. Entonces:

= P 0 / P0

dP = -g; dy

dP = - P 0 / P0 g; integrando esta expresin dy

dP = - (0 / P0) g dy = ln P/Po = - (0 / P0) g y; P = Poe^- (0 / P0) g y P

(La presin vara en forma exponencial con la altura).

1.4 VISCOSIDAD.

Es unas de las propiedades ms importantes de los fluidos y se define como la resistencia

que pone el fluido a su deformacin al ser sometido a esfuerzos cortantes.

Consideremos un fluido en reposo entre dos placas: una placa fija A y una placa movible

superior B. La capa de fluido adherida a la placa B se mueve con la velocidad de la placa,

mientras que las capas que se encuentran debajo se mueven con velocidades menores una

con respecto a la otra, de tal manera que la placa unida a A, no se mueve.

Las velocidades de las capas son diferentes debido a la friccin interna entre capas.

DIAGRAMA DE VELOCIDADES

En los fluidos newtonianos, que son aquellos que siguen la relacin lineal entre el esfuerzo

cortante y la rapidez de la deformacin angular d/ dt, se cumple que:

= dv/dy, siendo, = F/A, entonces:

F = A dv/dy.

Si v = cte., la expresin anterior se expresa como:

F = A v/y. En ambos casos:

F: Fuerza tangencial de deformacin sobre el fluido.

y: espesor de la capa de fluido que se deforma.

A: rea de la capa de fluido que se deforma, paralela a F.

dv/dy; v/y: gradiente de velocidades.

: coeficiente de viscosidad absoluta o dinmica []: FTL-2.

CGS: [] = (DINA seg.) /cm2 = 1 POISE. S.I.: [] = (N seg.)/ m2 = UNIDAD TECNICA DE

VISCOSIDAD DINAMICA = Pa. seg.

1Pa.seg = 10 poises.

Existe otra clase de viscosidad denominada VISCOSIDAD RELATIVA O CINEMATICA,

la cual se calcula como:

= / En la cual:

: viscosidad dinmica del fluido. : densidad del fluido.

[]: L2T-1

CGS: [] = cm2 / seg = 1 STOKE S.I.: [] = m2/seg = UNIDAD TECNICA DE VISCOSIDAD

CINEMATICA.

FLUIDO TEMPERATURA COEF. VISCOSIDAD

(Pa.seg) 1. Agua 2. Sangre 3. Alcohol etlico. 4. Aceite para mquinas. 5. Glicerina. 6. Aire. 7. Hidrgeno. 8. Vapor de agua.

0 20

100 37 20 30 20 20 0

100

1.8 x 10-3 1.0 x 10-3 0.3 x 10-3 4.0 x 10-3 1.2 x 10-3 200 x 10-3 1500 x 10-3 0.018 x 10-3 0.009 x 10-3 0.013 x 10-3

1.5 PRINCIPIO DE ARQUIMEDES.

Arqumedes (287-212 a.C.), notable

matemtico e inventor griego, que

escribi importantes obras sobre

geometra plana y del espacio, aritmtica

y mecnica.

En mecnica, Arqumedes defini la ley

de la palanca y se le reconoce como el

inventor de la polea compuesta.

Arqumedes es conocido sobre todo por el descubrimiento de la ley fundamental de la

hidrosttica, el llamado Principio de Arqumedes, que establece que todo cuerpo

sumergido en un fluido experimenta una prdida de peso igual al peso del volumen del

fluido que desaloja.

Se dice que este descubrimiento lo hizo mientras se baaba, al comprobar cmo el agua se

desplazaba y se desbordaba; sorprendido por su hallazgo salt fuera de la baera, y corri

por las calles de Siracusa gritando: Eureka!, Eureka!, que significa lo encontr. Aplicando este principio comprob que la corona de oro que haba mandado fabricar su

protector, el rey Hiern, no tena la misma densidad que el oro puro, por lo que supo que el

orfebre le haba engaado, no haba utilizado solamente el oro que el rey le haba

proporcionado.

Sea un cuerpo de seccin A y altura h sumergido dentro de un fluido en reposo de densidad

L.

P1, P2: presin en la superficie superior e

inferior del cilindro.

F1, F2: fuerzas debidas a la presin en la

superficie superior e inferior del

cilindro.

Si:

P1= L g h1 y P2= L g h2 y F1= P1 A y F2= P2 A, entones,

F1= L g h1 A y F2= L g h2 A

Adems, en el diagrama de cuerpo libre la resultante de fuerzas debidas a la presin es:

E = F2 F1, por loque: E = L g h2 A L g h1 A = L g A (h2 h1)

E = L g A h = L g Vs Aqui:

E: Fuerza de empuje debido a la diferencia de fuerzas que ejercen las

presiones.

Vs: Volumen del cuerpo sumergido igual al volumen del lquido

desalojado.

E = L g Vs = LVs, L = peso del lquido desalojado, por tanto,

Fuerza de empuje = peso del fluido desalojado

PESO APARENTE T: En el diagrama anterior, si sumamos la fuerza de empuje E y el peso del slido W, calcularemos el peso aparente T, as: T = W - E

CASOS:

Cuando la densidad del cuerpo es igual a la densidad del lquido, E = Ws, el cuerpo flota entre dos aguas, no se hunde ni emerge completamente.

Cuando la densidad del cuerpo es mayor a la densidad del lquido, E < Ws, el cuerpo se hunde completamente precipitndose al fondo.

Cuando la densidad del cuerpo es menor que la densidad del lquido, E > Ws, el cuerpo flota completamente sin que parte de su volumen se sumerja (caso ideal)

T = W - E

EJEMPLOS DE APLICACIN.

II. HIDRODINAMICA

Como parte de la hidromecnica estudia a los fluidos en movimiento con velocidad

variable.

2.1 CLASES DE FLUJO: Segn la forma de la lnea de corriente, el flujo puede ser:

LAMINAR: Cuando su trayectoria es uniforme, es decir las lneas de corriente no se cruzan.

TURBULENTO: Cuando su trayectoria no es uniforme, es decir las lneas de corriente se cruzan en forma de remolinos o corrientes parsitas.

FLUJO LAMINAR FLUJO TURBULENTO

Experimentalmente puede determinarse si el flujo es laminar o turbulento con una gota

de tinta la cual mostrar el movimiento de las lneas de flujo. Tambin mediante un

cuerpo que flote.

2.2 CARACTERISTICAS: Los flujos pueden presentar las siguientes caractersticas:

COMPRESIBLE o INCOMPRESIBLE: Cuando cambia o no (respectivamente) de volumen, segn el recipiente que contiene al fluido.

ESTACIONARIO o NO ESTACIONARIO: Cuando al medir la velocidad con la que se desplaza el flujo con respecto a un determinado punto sta es o no

constante respectivamente.

ROTACIONAL O IRROTACIONAL: Si se presentan o no momentos angulares en el flujo respectivamente.

2.3 LINEAS DE FLUJO: Se determinan cuando el flujo es estacionario y vienen a ser

las lneas que describen la trayectoria de las partculas de fluido que se desplazan.

El conjunto de lneas de flujo forman lo que se llama Tubo de Flujo. Se asume que el

volumen de fluido que entra por un extremo, sale ntegramente por el otro.

Consideremos una partcula de fluido en movimiento con rgimen estacionario, que

pasa por los puntos P, Q, R. Toda partcula que llega a P debe tener la misma velocidad

VP en cualquier tiempo. Lo mismo podemos decir en lo puntos Q y R.

3.4 ECUACION DE CONTINUIDAD Considrese el movimiento de un fluido de rgimen estable, en un tubo de seccin

transversal variable.

En P, la seccin transversal es S1 y la velocidad del fluido V1. En Q, la seccin

transversal es S2 y la velocidad del fluido V2. En un intervalo de tiempo dt, un elemento de fluido recorre la distancia vdt. La masa de

fluido que atraviesa la seccin S1 en el intervalo de tiempo dt es:

dm1 = 1S1v1dt. Luego:

dm1/dt = 1S1v1.

Similarmente, en el punto Q:

dm2 = 2S2v2dt. Luego:

dm2/dt = 2S2v2; siendo 1 y 2 las densidades en P y Q respectivamente.

Como se supone que no se pierde masa de fluido en cualquier intervalo de tiempo:

dm1/dt = dm2/dt

1S1v1 = 2S2v2 Sv = constante. Ley de conservacin de la masa en la dinmica de fluidos.

Si el fluido es incompresible, 1 = 2 y la ecuacin se transforma en: S1v1 = S2v2 = Sv = constante

El producto Sv representa el flujo de volumen, rapidez de flujo o caudal y suele

representarse por:

Q = Sv = dV/dt = V/t donde:

V: Volumen de fluido

V : velocidad del fluido.

t: tiempo

En el flujo estacionario vemos que la velocidad vara inversamente con la seccin

transversal, siendo mayor en las partes angostas del tubo. As mismo, en las secciones

angostas del tubo, las lneas de flujo estn ms unidas o prximas entre s que en las

partes anchas. Finalmente en este tipo de flujo, la presin es mxima donde la velocidad

es mnima, esto es donde la seccin es mxima. (Ecuacin de Bernoulli).

3.5 ECUACION DE BERNOULLI

Esta ecuacin se deriva de las leyes fundamentales de la Mecnica Newtoniana a partir

del principio de trabajo y energa.

F1 = P1S1; F2 = P2S2; w = mg

WTotal = F1L1 F2L2 w (y2 y1) WTotal = P1S1L1 P2S2L2 mg (y2 y1) WTotal = P1m/ P2 m/ mg (y2 y1).

Pero WTotal = Ec = m v22 - m v12, luego: P1m/ P2 m/ mg (y2 y1) = m v22 - m v12, de donde:

P1 + v12 + gy1 = P2 + v22 + gy2 De donde:

P + v2 + gy = constante Ec. de Bernoulli para flujo laminar, no viscoso e incomprensible.

El trmino P + gy es la presin esttica absoluta. El trmino v2 es la presin dinmica.

La ecuacin de continuidad establece que en un estrechamiento, la velocidad del fluido

aumenta, entonces, para un tubo horizontal, la presin P debe decrecer para que la

ecuacin se mantenga constante.

3.6 EJEMPLOS DE APLICACIN.

1. Calcular la presin en el fondo de un tanque, aplicando el Teorema de Bernoulli (fig.

1)

2. Determinar la velocidad de salida de un fluido por un orificio practicado en el fondo

del tanque (fig. 2)

3. Un tanque de agua descansa sobre el piso y tiene dos agujeros en la pared vertical,

uno arriba del otro (fig. 3). Los agujeros estn a 3.6 cm. Y 10 cm. Sobre el suelo

respectivamente. Qu altura tendr el nivel de agua en el tanque cuando el agua que

sale por los orificios tenga el mismo alcance a partir de la pared vertical?

4. En dos puntos de un tubo horizontal cuya seccin transversal vara y por la cual

circula agua, los radios son de 1 cm. y 0.4 cm. y la diferencia de presin entre los dos

puntos es 4.9 cm de agua. Qu cantidad de agua fluye por el tubo por segundo?