UNIVERSIDAD DEL VALLE

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Matemática Fundamental 111007

Lógica primera parte

Objetivos:

1. Diferenciar entre diferentes tipos de oraciones las que corresponden a

proposiciones lógicas

2. Clasificar las proposiciones compuestas a partir del conectivo lógico empleado

3. Asignar el valor de verdad a una proposición compuesta a partir de los valores

de verdad de las proposiciones atómicas.

4. Demostrar cuando dos proposiciones son lógicamente equivalentes.

Proposiciones lógicas

En el lenguaje natural las oraciones o frases son de diferente tipo:

Imperativas como “!no llore!”

Interrogativas como ¿cuándo es el parcial?

Exclamativas como “!que cosa mas difícil!”

Declarativas como “hoy es jueves” “La lógica es fundamental en el aprendizaje

de las matemáticas, este último tipo de oraciones tienen la característica que

pueden ser afirmadas o negadas esto hace que se constituyan en el elemento

lingüístico empleado para la transmisión del conocimiento.

Una proposición lógica es una frase declarativa que en un contexto dado puede decirse

que es verdadera o falsa, pero no ambas.

Ejemplos de proposiciones

Mel Gibson es el director de la película apocalypto.

Teofrasto sucesor de Aristóteles fue la primera persona que examino la lógica de

proposiciones de manera rigurosa.

Claudio Romero es el ministro de transporte o es un magistrado.

Los anteriores enunciados son proposiciones, puesto que cada uno de ellos es verdadero

o falso.

Ejemplos de enunciados que no son proposiciones

Lea toda la guía

Ingrid es hermosa

Las matemáticas son fáciles

La primera oración no es una proposición porque no es una frase declarativa, las otras

dos aunque son frases declarativas no son posiciones porque su valor de verdad depende

de puntos de vista particulares.

Un primer análisis de las proposiciones nos conduce a la identificación de ciertas

proposiciones atómicas en el sentido que son simples, no se descomponen en otras

proposiciones, y otras que son proposiciones compuestas, ya que se componen de

proposiciones atómicas.

La representación simbólica es uno de los grandes avances en el desarrollo científico, es

así que usaremos, en principio, símbolos (letras p, q, r y s ) para representar las

proposiciones atómicas

Ejemplo de representación simbólica

Las abejas asesinas se molestan con los colores fuertes y los olores

extravagantes.

1. p: Las abejas asesinas se molestan con los colores fuertes.

2. q: Las abejas asesinas se molestan con los olores extravagantes

La proposición se simboliza entonces p y q

Las proposiciones compuestas

Una proposición compuesta toma su nombre gracias al conectivo, los conectivos

lógicos que son más usuales son: y, o, entonces, si y sólo si.

1. Conjunción La proposición compuesta “ carolina es soltera y tiene un

hijo” es una conjunción porque se formo uniendo dos proposiciones simples

con el conectivo “ y ”, sin embargo la presencia del conectivo y no implica

que la proposición sea una conjunción , veamos:

América y Bucaramanga disputarán el duelo de coleros.

De otro lado los profesores Anacona y Ortiz en su libro “Elementos de la

lógica moderna” nos señalan que algunas conjunciones pueden escribirse sin

el uso del conectivo y “ carolina es soltera pero tiene un hijo” este

enunciado y el ejemplo inicial de conjunción representan la misma

conjunción.

2. Disyunción Cuando las proposiciones se unen usando el vocablo “o” se

forma una disyunción.

Samper sabia sobre los dineros de narcos o Botero miente.

3. Negación La negación de una proposición se obtiene prefijando la palabra

“no” en el enunciado original, aunque se puede utilizar alternativamente

frases como “es falso que” “no es cierto que”

Es falso que Botero este diciendo la verdad.

4. Implicación cuando se combinan dos proposiciones por medio de las

palabras “si” al inicio y “entonces” entre las dos proposiciones, se forma una

implicación.

Si estudio la guía entenderé la clase. La proposición “estudio la

guía” se llama antecedente, la proposición “ entenderé la guía”

se llama consecuente.

5. Bicondicional Se forma un bicondicional al unir dos proposiciones con la

frase “sí y sólo si” ó “ es equivalente a”

Un número es divisible entre 3 sí y sólo si la suma de sus cifras es

un múltiplo de 3.

En la siguiente tabla se muestra los diferentes conectivos lógicos, notación y lectura

Nombre Símbolo Notación Lectura

Conjunción p q p y q

Disyunción p q p o q

Implicación p q p implica q ;

si p entonces q

bicondicional p q p sí y sólo si q

p es equivalente a q

negación p No p, es falso que p

Tablas de verdad

La siguiente tabla muestra los valores de verdad de las proposiciones compuestas para

cada uno de los diferentes conectivos que hemos abordado.

p q p q p q p q p q p

V V V V V V F

V F F V F F F

F V F V V F V

F F F F V V V

Ejemplo para desarrollar en clase.

Construya la tabla de verdad para

nalproposiciofórmula

pqqp )()(

Cuando una fórmula proposicional es verdadera para cualquier valor de verdad que se le

asigne a las proposiciones atómicas, se llama tautología además cuando una

proposición es de la forma es una tautología diremos que las proposiciones

y son equivalentes.

Ejemplo )()( pqaeequivalentesqp

Lógica segunda parte

Profesor: Leonel Monroy

Objetivos:

1. Construir proposiciones con cuantificadores y obtener su negación

2. Demostrar la validez de un razonamiento lógico con el uso de las reglas de

inferencia

3. Hacer uso parcial de las tablas de verdad para mostrar que un razonamiento no

es válido

Predicados

La presencia de una variable en una frase declarativa, como por ejemplo “x es un

número primo” hace que la frase no sea una proposición. Este tipo de enunciados se

conocen como predicados.

Ejemplo de predicado:

P(x) = x es un número primo, si tomamos como universo el conjunto de los

números naturales, podemos establecer proposiciones a partir del predicado,

veamos:

P(4) = 4 es un número primo, es una proposición falsa, mientras que P(7) es una

proposición verdadera.

Cuantificadores

Si a los predicados les agregamos cuantificadores como “existe algún” “para todo x”,

se obtiene una proposición.

Ejemplo Existe algún número natural que es primo, es una proposición verdadera.

Existen dos clases de cuantificadores el universal ))()(( xPx que en el caso de nuestro

predicado y universo del ejemplo anterior se lee “todo número natural es primo” , y el

cuantificador existencial ))()(( xPx volviendo al ejemplo anterior se lee “ Existe algún

número natural primo”

Negación de un cuantificador

Negar que una propiedad la satisfacen todos los elementos del dominio, implica que hay

algún elemento del universo que no cumple la propiedad. Con lenguaje simbólico

tenemos: ))()(()))((( xPxxPx

Negar que una propiedad la satisface algún elemento del universo, es equivalente a decir

que todos los elementos del universo no cumplen la propiedad. Con lenguaje simbólico

tenemos: )))((()))((( xPxxPx

Ejemplo

= todos los filósofos son genios

= existen filósofos que no son genios.

Razonamiento Lógico

Un razonamiento lógico esta formado por un grupo de proposiciones (fórmulas

proposicionales), entre las cuales una de ellas llamada conclusión, se obtiene de las

otras llamadas premisas, que pretenden respaldar su verdad, dicho de otra manera, en un

razonamiento lógico existe una conclusión inevitablemente verdadera, al considerar

como verdaderas las premisas.

Verdad y Validez

La verdad o falsedad se dice de las proposiciones y nunca de los razonamientos. Por

otro lado la validez o no validez hace referencia a los razonamientos y nunca a las

proposiciones.

Un razonamiento esta dado por una cadena de proposiciones nPPP ,....,, 21 (premisas) y

una proposición C (conclusión). Es usual simbolizar un razonamiento así:

C

P

P

P

n

2

1

Cada una de las premisas e incluso la

conclusión, pueden ser proposiciones

compuestas o Fórmulas proposicionales,

es decir, no debe creerse que las premisas

son proposiciones atómicas

Decimos que C es una consecuencia lógica de las premisas si la fórmula proposicional

CPPP n )( 21 Es una tautología.

Las tablas de verdad son apropiadas para probar la validez de una buena cantidad de

razonamientos, pero cuando el número de proposiciones atómicas es mayor que 3, se

hace dispendioso por el alto número de casos a considerar. En estos casos se debe tratar

de deducir la conclusión a partir de las premisas, mediante el uso de una serie de reglas

básicas de la lógica proposicional.

Reglas básicas de inferencia

1. modus ponens

q

p

qp

Este es un razonamiento válido

porque qpqp ))(( es

una tautología

2. Simplificación

p

qp

3. Ley de adjunción o conjunción

qp

q

p

4. Ley de adición

qp

p

5. Modus tollendo tollens

p

q

qp

6. Silogismo disyuntivo

q

p

qp

7. Silogismo hipotético

rp

rq

qp

8. Dilema constructivo

sq

rp

srqp

)()(

9. disyunción de casos

rqp

rq

rp

)(

Las reglas de inferencia nos sirven para deducir la conclusión a partir de las premisas,

como en el caso inicial podríamos probar que cada razonamiento es válido.

Ejemplo (para desarrollar en clase)

Demostrar la validez de los siguientes razonamientos:

Pedro estudiará matemáticas o ingeniería.

Pedro no estudiará matemáticas.

Si Pedro estudia ingeniería añorará de por vida las matemáticas

Pedro añorará de por vida las matemáticas

Si Juan tiene 17 años, entonces Juan tiene la misma edad de María.

Si Carlos no tiene la misma edad de Juan, entonces Carlos tiene edad diferente a

la de María.

Juan tiene 17 años y Carlos tiene la misma edad de María.

Por tanto, Carlos tiene la misma edad de Juan y Juan tiene la misma edad de

María.

Pruebas de invalidez de un razonamiento.

Como lo hemos mencionado, probar la validez de un razonamiento consiste en

encontrar la conclusión con el uso de una serie de reglas de inferencia. Pero si el

razonamiento no es válido, no podemos hacer tal hallazgo, sin embargo, el hecho que no

podamos inferir la conclusión, no es razón suficiente para afirmar que el razonamiento

no es válido.

Es suficiente mostrar en la tabla de verdad una línea donde la fórmula proposicional

CPPP n )( 21 sea falsa, es decir, se debe buscar un caso donde a pesar que las

premisas sean verdaderas, la conclusión sea falsa y concluir entonces que se trata de un

razonamiento no válido