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Guía de Trabajos PrácticosGuía de Trabajos PrácticosDeDe

2º AÑO2º AÑO

UNIDAD III: ECUACIONES E INECUACIONESUNIDAD III: ECUACIONES E INECUACIONES

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ECUACIONES DE 1º GRADO EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES

1) Resolver las siguientes ecuaciones, cuando sea posible:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Para leer y recordar

Vamos a repasar el significado preciso de algunas palabras que utilizamos habitualmente, y nos vamos a detener y justificar algunos de los procedimientos a los que recurrimos siempre que plantemos y resolvemos ecuaciones. Una ecuación es una igualdad algebraica que se cumple sólo para algunos valores de las letras. Las letras

que aparecen en la ecuación se llaman incógnitas. Resolver una ecuación es encontrar sus soluciones, si las hay. Las soluciones son los valores que deben

tomar las incógnitas para que se cumpla la igualdad. Dos ecuaciones que tienen la misma solución son equivalentes.

Para resolver una ecuación, es muy útil aplicar la siguiente propiedad: si sumamos o restamos el mismo número en ambos miembros de una ecuación, obtenemos otra ecuación equivalente. Lo mismo ocurre si multiplicamos o dividimos por un mismo número, siempre que este sea distinto de cero.

Ejemplo:Primer Segundomiembro miembro

Obtenemos una ecuación equivalente sumando 2 en ambos miembros. Cancelamos en el primer miembro. El 2 que estaba restando “pasó sumando” al “otro lado”.

Procedemos de igual forma con el término x (estaba restando en el segundo miembro y “pasa sumando” al primero).

Dividimos ambos miembros por 1,5 ( el 1,5 que estaba multiplicando “pasa dividiendo”).

Verificación:

Operamos y obtenemos la solución.

Comprobamos la solución que obtuvimos, reemplazando la incógnita por su valor en la ecuación original.

2) Resolver las siguientes ecuaciones:

a)

b)

c)

d)

2

e) f)

LAS ECUACIONES COMO HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS

Para observarEjemplo 1:Martín le lleva 4 años a su hermano Luis. ¿Qué edad tiene cada uno actualmente si, hace 5 años, la edad de Martín era el doble de la de su hermano?

Solución:Llamando a la edad actual de Luis, construimos el siguiente cuadro:

Respuesta: Luis tiene 9 años y Martín tiene 13.

Ejemplo 2:Los alumnos de un curso realizaron varios eventos en el año para recaudar fondos.Con las tres cuartas partes de lo que juntaron, les pagaron el viaje de egresados a dos compañeros; con las dos terceras partes del resto, se compraron buzos y los $ 1.000 restantes los reservan para gastar en el viaje. ¿Cuánto dinero recaudaron?

Solución: Llamando al total que recaudaron, expresamos las demás cantidades del siguiente modo:

Tres cuartas partes de lo que

juntaron

Dos terceras partes del resto

Los $ 1.000 restantes

Total que recaudaron

1.000

Respuesta: Recaudaron $12.000.

3) Resolver los siguientes problemas:a) Melisa es 25 años mayor que su hijo Sebastián, y las edades de ambos suman 73 años. ¿Qué edad tiene cada

uno?b) ¿Qué edad tiene David si el doble de la edad que tendrá dentro de 10 años supera a su edad actual en 35 años?c) En una biblioteca, compraron el doble de libros que de revistas. Los libros costaron $ 80 cada uno y las

revistas, $ 25. Si en total gastaron $ 2.775, ¿qué cantidad de libros y qué cantidad de revistas compraron?

4) Resolver las siguientes ecuaciones:

a)

b)

3

Luis Martín

En la actualidad

Hace 5 años

c) d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

5) Jaime fue al supermercado y gastó la tercera parte del dinero que llevó. A la vuelta compró revistas en el kiosco de diarios, que le costaron la quinta parte de lo que le quedaba. Cuando llegó a su casa contó en la billetera $40.a) Indicar cuál de las siguientes ecuaciones sirve para averiguar la cantidad de dinero que llevaba Jaime al salir

de su casa.

A.

B.

C.

D.

b) Calcular cuánto dinero gastó en el supermercado

6) Plantear y resolver la ecuación correspondiente a dichas situaciones problemáticas:

1) Se decide vaciar un tanque lleno de agua en tres etapas. En la primera, se vacía el 75% del tanque; en la segunda, la mitad de lo que queda. Si quedan 125 litros para quitar en la tercera etapa, ¿cuántos litros de agua contiene el tanque?

2) En una votación, la mitad de las personas eligió el “Sí”, la cuarta parte del resto eligió el “No” y 15 personas se abstuvieron. ¿Cuántas personas votaron por el “Sí” y cuántas por el “No”?

3) Si a la mitad del siguiente de un número entero se le resta la tercera parte de su anterior se obtiene 1. ¿Cuál es el número?

4) El doble del siguiente de un número entero es once unidades mayor que la mitad del número. ¿Cuál es ese número?

5) La suma de tres números enteros consecutivos es -33. ¿Cuáles son los números?6) En un rectángulo, la altura es igual al triple de la base. Si su superficie es igual a 27 , ¿cuál es su

perímetro?7) La base de un rectángulo es 3 cm mayor que su altura. Si su perímetro es 30 cm, calcular la base y la altura.8) Un libro de geografía cuesta el doble que lo que cuesta el de matemática y éste los dos tercios del de historia.

Si se pagan $45 por los tres, ¿cuánto cuesta cada libro?9) José tiene una empresa de alfombrados, y le encargaron alfombrar un salón de 630 . A la mañana del

primer día, alfombró del salón y a la tarde, del resto. Lo que falta lo dejará para el segundo día.

I. ¿Cuántos metros cuadrados le falta alfombrar?II. Si trabaja al mismo ritmo que el día anterior, ¿le alcanzará la mañana del segundo día para terminar con

el trabajo?10) En el , es la mitad de y es un tercio de la suma entre y . ¿Cuánto mide cada ángulo? Clasificar

según sus lados y ángulos.

ECUACIONES DE 2º GRADO O CUADRÁTICAS

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Hay ecuaciones como la siguiente: que no se resuelven de la misma forma que las anteriores.

EXPRESIÓN GENERAL: : término cuadrático

: término linealc: término independiente

En nuestro ejemplo:

Para hallar él o los valores de , recurrimos a la siguiente fórmula:

A resolver:

Ahora tengo dos posibilidades:

Respuestas:

7) Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

DISCRIMINANTE

8) A partir de las siguientes ecuaciones cuadráticas:a)b)c)d)

A. Sin resolverlas, indicar que tipo de solución tiene cada una de las ecuaciones.B. Resolver aquellas ecuaciones que tienen solución/es real/es.

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INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA

9) Completar la tabla:

Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico

censor debe ser menor que 175 kg. p < 275Para ganar el premio, la cantidad de discos vendidos (d) no debe ser inferior a 100.000.

d ……100.000

Para abrir la cuenta hay que depositar un capital (c) de al menos $ 200.

c ………. 200

El número de inscriptos (i) no puede exceder al de vacante (v).

i ….……. v

Para subir al juego, la altura (h) debe ser superior a 0,80 m.

h …… 0,80

Cuando traducimos un enunciado al lenguaje algebraico mediante los signos de desigualdad >, recurrimos a inecuaciones.

Para resolver inecuaciones aplicamos técnicas algebraicas similares a las que aplicamos en la resolución de ecuaciones, teniendo en cuenta que cuando se multiplica o se divide ambos miembros por un número negativo cambia el sentido de la desigualdad.

Ejemplo:

Transponemos términos.Operamos.Multiplicamos ambos miembros por y cambiamos el sentido de la desigualdad.Operamos y obtenemos la solución.

Si la inecuación tiene solución, esta puede ser un número o un conjunto de números.En el ejemplo resuelto, la solución es el conjunto de todos los números mayores que 4.

10) Resolver las siguientes inecuaciones:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

INTERVALOS EN LA RECTA REAL

Llamamos intervalo a una “porción” de la recta real. Cuando trabajamos en , el conjunto solución de una inecuación se puede expresar como un intervalo.Ejemplos:

Intervalo cerrado

6

Intervalo semiabierto

Intervalo abierto

Intervalo infinito

11) Completar el cuadro:

Intervalo Inecuaciones Representación gráfica

[ -1 ; 0 ]

INECUACIONES COMBINADAS

Para resolver dos inecuaciones combinadas podemos proceder así:Ejemplo: ~ Identificamos las dos inecuaciones y las resolvemos por separado.

y ~ El conjunto solución estará compuesto por los valores que pertenezcan a y los dos conjuntos de soluciones que obtuvimos.

~ El conjunto solución depende del conjunto numérico en el que trabajemos. En este caso: en Z S= en S= o S= ( 2 ; 4 )

12) Resolver las siguientes inecuaciones en y en :

a)

b)

c)

d)

13) ¿Cuál es el número entero positivo que cumple la condición ?

14) Encontrar el menor número entero que satisface la condición: .

15) Elegir la respuesta correcta, justificando cada caso:

7

a) Si es un número real, ¿para qué conjunto de valores es ? I : ( - ; 1 ) II : ( 1 ; + ) III : ( - ; - 1 ) IV : ( - 1 ; + )

b) La solución de es:

I : II : III : IV :

c) El conjunto de valores para los cuáles es:

I : II : III : IV :

d) El menor número natural que satisface la inecuación es:I : 1 II : 2 III : 3 IV : 4

16) Colocar V (verdadero) o F (falso) al lado de cada afirmación, justificando cada caso. En las que sean falsas

corrijan el signo para que resulten verdaderas.

a)

b)

c)

d)

17) Colocar uno de los símbolos <, = ó > en cada caso, de modo que las desigualdades resulten verdaderas para

cualquier número real. Justificar:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

TRABAJO PRÁCTICO

18) Resolver las siguientes ecuaciones:

a)

b)

c)

d)

e)

8

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

ll)

m)

n)

ñ)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v)

w)

x)

y)

9

z)

19) Resolver las siguientes inecuaciones. Expresar la solución como intervalo.

a)

b)

c)

d)

e)

20) Resolver las siguientes inecuaciones, expresar la solución como intervalo y representar gráficamente.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

21) Resolver las siguientes inecuaciones, expresar la solución como intervalo y representar gráficamente:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

10