capitulo 5. física moderna
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Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
Fısica Moderna: Capıtulo 5.
Mecanica cuantica.
Juan Jose Reyes Salgado
Juan Jose Reyes Salgado
Mecanica cuantica.
Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
La ecuacion de onda
I ∫ ∞−∞|Ψ|2dV
I Normalizacion ∫ ∞−∞|Ψ|2dV = 1
I La ecuacion de Schrodinger es la ecuacion fundamental de lamecanica cuantica.
I Ecuacion de onda
d2y
dx2=
1
v2
dy
dt
Juan Jose Reyes Salgado
Mecanica cuantica.
Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
La ecuacion de onda
I ∫ ∞−∞|Ψ|2dV
I Normalizacion ∫ ∞−∞|Ψ|2dV = 1
I La ecuacion de Schrodinger es la ecuacion fundamental de lamecanica cuantica.
I Ecuacion de onda
d2y
dx2=
1
v2
dy
dt
Juan Jose Reyes Salgado
Mecanica cuantica.
Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
La ecuacion de onda
I ∫ ∞−∞|Ψ|2dV
I Normalizacion ∫ ∞−∞|Ψ|2dV = 1
I La ecuacion de Schrodinger es la ecuacion fundamental de lamecanica cuantica.
I Ecuacion de onda
d2y
dx2=
1
v2
dy
dt
Juan Jose Reyes Salgado
Mecanica cuantica.
Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
La ecuacion de onda
I ∫ ∞−∞|Ψ|2dV
I Normalizacion ∫ ∞−∞|Ψ|2dV = 1
I La ecuacion de Schrodinger es la ecuacion fundamental de lamecanica cuantica.
I Ecuacion de onda
d2y
dx2=
1
v2
dy
dt
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Mecanica cuantica.
Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
La ecuacion de onda
y = F (t ± x
v)
Juan Jose Reyes Salgado
Mecanica cuantica.
Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
La ecuacion de onda
y = F (t ± x
v)
y = Ae−iω(t−x/v)
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Mecanica cuantica.
Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
La ecuacion de onda
y = F (t ± x
v)
y = Ae−iω(t−x/v)
e iθ = cosθ − isinθ
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Mecanica cuantica.
Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
La ecuacion de onda
y = F (t ± x
v)
y = Ae−iω(t−x/v)
e iθ = cosθ − isinθ
y = Acosω(t − x
v)− iAsinω(t − x
v)
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Mecanica cuantica.
Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
La ecuacion de onda
y = F (t ± x
v)
y = Ae−iω(t−x/v)
e iθ = cosθ − isinθ
y = Acosω(t − x
v)− iAsinω(t − x
v)
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Mecanica cuantica.
Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
La ecuacion de Schrodinger: La forma dependiente del tiempo
I Especificada en la direccion x:
Ψ = Ae−iω(t−x/v)
I Sustituyendo ω = 2πν y v = λν:
Ψ = Ae−2πi(νt−x/λ)
I Esto lo podemos expresar en funcion de la energıa total E y elmomento p de la partıcula.
E = hν = 2π~ν
λ =h
p=
2π~p
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Mecanica cuantica.
Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
La ecuacion de Schrodinger: La forma dependiente del tiempo
I Especificada en la direccion x:
Ψ = Ae−iω(t−x/v)
I Sustituyendo ω = 2πν y v = λν:
Ψ = Ae−2πi(νt−x/λ)
I Esto lo podemos expresar en funcion de la energıa total E y elmomento p de la partıcula.
E = hν = 2π~ν
λ =h
p=
2π~p
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Mecanica cuantica.
Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
La ecuacion de Schrodinger: La forma dependiente del tiempo
I Especificada en la direccion x:
Ψ = Ae−iω(t−x/v)
I Sustituyendo ω = 2πν y v = λν:
Ψ = Ae−2πi(νt−x/λ)
I Esto lo podemos expresar en funcion de la energıa total E y elmomento p de la partıcula.
E = hν = 2π~ν
λ =h
p=
2π~p
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La ecuacion de Schrodinger: La forma dependiente del tiempo
I Tenemos:Ψ = Ae−(i/~)(Et−px)
I Si diferenciamos:
d2Ψ
dx2= −p2
h2Ψ
dΨ
dt= − iE
hΨ
I La energıa total E.
E =p2
2m+ V
EΨ =p2
2mΨ + VΨ
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La ecuacion de Schrodinger: La forma dependiente del tiempo
I Tenemos:Ψ = Ae−(i/~)(Et−px)
I Si diferenciamos:
d2Ψ
dx2= −p2
h2Ψ
dΨ
dt= − iE
hΨ
I La energıa total E.
E =p2
2m+ V
EΨ =p2
2mΨ + VΨ
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La ecuacion de Schrodinger: La forma dependiente del tiempo
I Tenemos:Ψ = Ae−(i/~)(Et−px)
I Si diferenciamos:
d2Ψ
dx2= −p2
h2Ψ
dΨ
dt= − iE
hΨ
I La energıa total E.
E =p2
2m+ V
EΨ =p2
2mΨ + VΨ
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Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
La ecuacion de Schrodinger: La forma dependiente del tiempo
EΨ =p2
2mΨ + VΨ
EΨ = −~i
dΨ
dt
p2Ψ = −~2 d2Ψ
dx2
i~dΨ
dt= − ~2
2m
d2Ψ
dx2+ VΨ
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La ecuacion de Schrodinger: La forma dependiente del tiempo
EΨ =p2
2mΨ + VΨ
EΨ = −~i
dΨ
dt
p2Ψ = −~2 d2Ψ
dx2
i~dΨ
dt= − ~2
2m
d2Ψ
dx2+ VΨ
i~dΨ
dt= − ~2
2m
(d2Ψ
dx2+
d2Ψ
dy2+
d2Ψ
dz2
)+ VΨ
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La ecuacion de Schrodinger: La forma en estado estacionario
I Tenemos la funcion de onda unidimensional:
Ψ = Ae−(i/~)(Et−px)
Ψ = Ae−(iE/~)te(ip/~)x
Ψ = ψe−(iE/~)t
I Sustituyendo en la ecuacion:
EΨ = − ~2
2m
d2Ψ
dx2+ VΨ
Eψe−(iE/~)t = − ~2
2me−(iE/~)t d
2ψ
dx2+ Vψe−(iE/~)t
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La ecuacion de Schrodinger: La forma en estado estacionario
I Tenemos la funcion de onda unidimensional:
Ψ = Ae−(i/~)(Et−px)
Ψ = Ae−(iE/~)te(ip/~)x
Ψ = ψe−(iE/~)t
I Sustituyendo en la ecuacion:
EΨ = − ~2
2m
d2Ψ
dx2+ VΨ
Eψe−(iE/~)t = − ~2
2me−(iE/~)t d
2ψ
dx2+ Vψe−(iE/~)t
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La ecuacion de Schrodinger: La forma en estado estacionario
I Ası tenemos la ecuacion de Schrodinger en estadoestacionario:
d2ψ
dx2+
2m
~2(E − V )ψ = 0
d2ψ
dx2+
d2ψ
dy2+
d2ψ
dz2+
2m
~2(E − V )ψ = 0
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Mecanica cuantica.
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La ecuacion de Schrodinger: La forma en estado estacionario
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Mecanica cuantica.
Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
Partıcula en una caja: Funciones de onda
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Partıcula en una caja: Funciones de onda
d2ψ
dx2+
2m
~2(E − V )ψ = 0
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Partıcula en una caja: Funciones de onda
d2ψ
dx2+
2m
~2(E − V )ψ = 0
ψ = Asin
√2mE
~2x
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Partıcula en una caja: Funciones de onda
d2ψ
dx2+
2m
~2(E − V )ψ = 0
ψ = Asin
√2mE
~2x
En =n2π2~2
2mL2
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Partıcula en una caja: Funciones de onda
d2ψ
dx2+
2m
~2(E − V )ψ = 0
ψ = Asin
√2mE
~2x
En =n2π2~2
2mL2
ψn = Asinnπx
L
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Partıcula en una caja: Funciones de onda
d2ψ
dx2+
2m
~2(E − V )ψ = 0
ψ = Asin
√2mE
~2x
En =n2π2~2
2mL2
ψn = Asinnπx
L∫ ∞−∞|ψn|2dx =
∫ L
0|ψn|2dx = 1
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Partıcula en una caja: Funciones de onda
d2ψ
dx2+
2m
~2(E − V )ψ = 0
ψ = Asin
√2mE
~2x
En =n2π2~2
2mL2
ψn = Asinnπx
L∫ ∞−∞|ψn|2dx =
∫ L
0|ψn|2dx = 1
= A2L
2
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Mecanica cuantica.
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Partıcula en una caja: Funciones de onda
d2ψ
dx2+
2m
~2(E − V )ψ = 0
ψ = Asin
√2mE
~2x
En =n2π2~2
2mL2
ψn = Asinnπx
L∫ ∞−∞|ψn|2dx =
∫ L
0|ψn|2dx = 1
= A2L
2
ψn =
√2
Lsin
nπx
L
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Mecanica cuantica.
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Partıcula en una caja: Funciones de onda
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Mecanica cuantica.
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Partıcula en una caja: Cuantizacion de la energıa
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El oscilador armonico
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El oscilador armonico
En =
(n +
1
2
)hν n = 0, 1, 2, ...
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Mecanica cuantica.
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El oscilador armonico
ψn =
(2mν
~
)(2nn!)−1/2Hn(y)e−y
2/2
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El oscilador armonico
ψn =
(2mν
~
)(2nn!)−1/2Hn(y)e−y
2/2
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Mecanica cuantica.
Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
El oscilador armonico
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Mecanica cuantica.
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El oscilador armonico
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Mecanica cuantica.
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Ecuacion de Schrodinger para el atomo de Hidrogeno
d2ψ
dx2+
d2ψ
dy2+
d2ψ
dz2+
2m
~2(E − V )ψ = 0
V = − e2
4πε0r
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Mecanica cuantica.
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Ecuacion de Schrodinger para el atomo de Hidrogeno
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Ecuacion de Schrodinger para el atomo de Hidrogeno
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Mecanica cuantica.
Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
Separacion de variables
ψ(r , θ, φ) = R(r)Θ(θ)Φ(φ)
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Mecanica cuantica.
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Separacion de variables
ψ(r , θ, φ) = R(r)Θ(θ)Φ(φ)
d2Φ
dφ2+ m2
l Φ = 0
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Mecanica cuantica.
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Separacion de variables
ψ(r , θ, φ) = R(r)Θ(θ)Φ(φ)
d2Φ
dφ2+ m2
l Φ = 0
1
sinθ
d
dθ
(sinθ
dΘ
dθ
)+
[l(l + 1)−
m2l
sin2θ
]Θ = 0
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Mecanica cuantica.
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Separacion de variables
ψ(r , θ, φ) = R(r)Θ(θ)Φ(φ)
d2Φ
dφ2+ m2
l Φ = 0
1
sinθ
d
dθ
(sinθ
dΘ
dθ
)+
[l(l + 1)−
m2l
sin2θ
]Θ = 0
1
r2
d
dr
(r2 dR
dr
)+
[2m
~2
(e2
4πε0r+ E
)− l(l + 1)
r2
]R = 0
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Mecanica cuantica.
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Los numeros cuanticos
Φ(φ) = Ae imlφ
Ae imlφ = Ae iml (φ+2π)
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Los numeros cuanticos
I Numero cuantico orbital.
n = 1, 2, 3, ...
I Numero cuantico principal.
l = 0, 1, 2, 3, ..., (n − 1)
I Numero cuantico magnetico.
ml = 0,±1,±2,±3, ...,±l
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Los numeros cuanticos
I Numero cuantico orbital.
n = 1, 2, 3, ...
I Numero cuantico principal.
l = 0, 1, 2, 3, ..., (n − 1)
I Numero cuantico magnetico.
ml = 0,±1,±2,±3, ...,±l
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Mecanica cuantica.
Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
Los numeros cuanticos
I Numero cuantico orbital.
n = 1, 2, 3, ...
I Numero cuantico principal.
l = 0, 1, 2, 3, ..., (n − 1)
I Numero cuantico magnetico.
ml = 0,±1,±2,±3, ...,±l
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Mecanica cuantica.
Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
El numero cuantico principal
En = − me4
32πε20~2
(1
n2
)
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Mecanica cuantica.
Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
El numero cuantico orbital
E = Tradial + Torbital + V
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Mecanica cuantica.
Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
El numero cuantico orbital
E = Tradial + Torbital + V
Torbital =~2l(l + 1)
2mr2
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Mecanica cuantica.
Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
El numero cuantico orbital
E = Tradial + Torbital + V
Torbital =~2l(l + 1)
2mr2
Torbital =1
2mv2
orbital
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Mecanica cuantica.
Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
El numero cuantico orbital
E = Tradial + Torbital + V
Torbital =~2l(l + 1)
2mr2
Torbital =1
2mv2
orbital
L = mvorbital r
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Mecanica cuantica.
Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
El numero cuantico orbital
E = Tradial + Torbital + V
Torbital =~2l(l + 1)
2mr2
Torbital =1
2mv2
orbital
L = mvorbital r
Torbital =L2
2mr2
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Mecanica cuantica.
Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
El numero cuantico orbital
E = Tradial + Torbital + V
Torbital =~2l(l + 1)
2mr2
Torbital =1
2mv2
orbital
L = mvorbital r
Torbital =L2
2mr2
L2
2mr2=
~2l(l + 1)
2mr2
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Mecanica cuantica.
Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
El numero cuantico orbital
E = Tradial + Torbital + V
Torbital =~2l(l + 1)
2mr2
Torbital =1
2mv2
orbital
L = mvorbital r
Torbital =L2
2mr2
L2
2mr2=
~2l(l + 1)
2mr2
L =√
l(l + 1)~
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El numero cuantico orbital
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Mecanica cuantica.
Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
El numero cuantico magnetico
Lz = ml~
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El numero cuantico magnetico
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El numero cuantico magnetico
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Mecanica cuantica.
Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
Efecto Zeeman
τ = µBsinθ
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Efecto Zeeman
Vm =
∫ θ
90oτdθ
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Efecto Zeeman
Vm =
∫ θ
90oτdθ
Vm = µB
∫ θ
90osinθdθ
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Mecanica cuantica.
Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
Efecto Zeeman
Vm =
∫ θ
90oτdθ
Vm = µB
∫ θ
90osinθdθ
Vm = −µBcosθ
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Mecanica cuantica.
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Efecto Zeeman
Vm =
∫ θ
90oτdθ
Vm = µB
∫ θ
90osinθdθ
Vm = −µBcosθµ = iA
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Mecanica cuantica.
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Efecto Zeeman
Vm =
∫ θ
90oτdθ
Vm = µB
∫ θ
90osinθdθ
Vm = −µBcosθµ = iA
µ = −eνπr2
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Mecanica cuantica.
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Efecto Zeeman
Vm =
∫ θ
90oτdθ
Vm = µB
∫ θ
90osinθdθ
Vm = −µBcosθµ = iA
µ = −eνπr2
L = 2πmνr2
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Mecanica cuantica.
Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
Efecto Zeeman
Vm =
∫ θ
90oτdθ
Vm = µB
∫ θ
90osinθdθ
Vm = −µBcosθµ = iA
µ = −eνπr2
L = 2πmνr2
µ = − e
2mL
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Mecanica cuantica.
Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
Efecto Zeeman
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Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
Efecto Zeeman
Vm =e
2mLBcosθ
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Mecanica cuantica.
Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
Efecto Zeeman
Vm =e
2mLBcosθ
cosθ =ml√
l(l + 1)
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Mecanica cuantica.
Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
Efecto Zeeman
Vm =e
2mLBcosθ
cosθ =ml√
l(l + 1)
L =√
l(l + 1)~
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Mecanica cuantica.
Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
Efecto Zeeman
I Energıa magnetica
Vm = ml
(e~2m
)B
I Magneton de Bohr
µb =e~2m
= 9.27× 10−24J/T
I Efecto Zeeman
ν1 = ν0 − µbB
hν1 = ν0
ν1 = ν0 + µbB
h
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Mecanica cuantica.
Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
Efecto Zeeman
I Energıa magnetica
Vm = ml
(e~2m
)B
I Magneton de Bohr
µb =e~2m
= 9.27× 10−24J/T
I Efecto Zeeman
ν1 = ν0 − µbB
hν1 = ν0
ν1 = ν0 + µbB
h
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Mecanica cuantica.
Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
Efecto Zeeman
I Energıa magnetica
Vm = ml
(e~2m
)B
I Magneton de Bohr
µb =e~2m
= 9.27× 10−24J/T
I Efecto Zeeman
ν1 = ν0 − µbB
hν1 = ν0
ν1 = ν0 + µbB
h
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Mecanica cuantica.
Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
Efecto Zeeman
Juan Jose Reyes Salgado
Mecanica cuantica.
Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
La densidad de probabilidad electronica
ψ(r , θ, φ) = R(r)Θ(θ)Φ(φ)
d2Φ
dφ2+ m2
l Φ = 0
1
sinθ
d
dθ
(sinθ
dΘ
dθ
)+
[l(l + 1)−
m2l
sin2θ
]Θ = 0
1
r2
d
dr
(r2 dR
dr
)+
[2m
~2
(e2
4πε0r+ E
)− l(l + 1)
r2
]R = 0
Juan Jose Reyes Salgado
Mecanica cuantica.
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La densidad de probabilidad electronica
|ψ|2 = |R|2|Θ|2|Φ|2
Juan Jose Reyes Salgado
Mecanica cuantica.
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La densidad de probabilidad electronica
|ψ|2 = |R|2|Θ|2|Φ|2
|ψ|2dV
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Mecanica cuantica.
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La densidad de probabilidad electronica
|ψ|2 = |R|2|Θ|2|Φ|2
|ψ|2dVdV = r2sinθdrdθdφ
Juan Jose Reyes Salgado
Mecanica cuantica.
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La densidad de probabilidad electronica
|ψ|2 = |R|2|Θ|2|Φ|2
|ψ|2dVdV = r2sinθdrdθdφ
P(r)dr = r2|R|2dr∫ π
0|Θ|2sinθ
∫ 2π
0|Φ|2dφ
Juan Jose Reyes Salgado
Mecanica cuantica.
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La densidad de probabilidad electronica
|ψ|2 = |R|2|Θ|2|Φ|2
|ψ|2dVdV = r2sinθdrdθdφ
P(r)dr = r2|R|2dr∫ π
0|Θ|2sinθ
∫ 2π
0|Φ|2dφ
P(r)dr = r2|R|2dr
Juan Jose Reyes Salgado
Mecanica cuantica.
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La densidad de probabilidad electronica
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Mecanica cuantica.
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La densidad de probabilidad electronica
Juan Jose Reyes Salgado
Mecanica cuantica.
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La densidad de probabilidad electronica
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Mecanica cuantica.
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La densidad de probabilidad electronica
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Transiciones radiativas
νn =En
h
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Mecanica cuantica.
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Transiciones radiativas
νn =En
h
Ψn = ψne−(iEn/~)t
Juan Jose Reyes Salgado
Mecanica cuantica.
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Transiciones radiativas
νn =En
h
Ψn = ψne−(iEn/~)t
Ψ∗n = ψne(iEn/~)t
Juan Jose Reyes Salgado
Mecanica cuantica.
Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
Transiciones radiativas
νn =En
h
Ψn = ψne−(iEn/~)t
Ψ∗n = ψne(iEn/~)t
< x >=
∫ ∞−∞
xΨnΨ∗ndx
Juan Jose Reyes Salgado
Mecanica cuantica.
Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones
Transiciones radiativas
νn =En
h
Ψn = ψne−(iEn/~)t
Ψ∗n = ψne(iEn/~)t
< x >=
∫ ∞−∞
xΨnΨ∗ndx
< x >=
∫ ∞−∞
xψnψ∗ndx
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Mecanica cuantica.
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Transiciones radiativas
La funcion de onda de un electron es capaz de existir en dosestados.
Ψ = aΨn + bΨm
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Mecanica cuantica.
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Transiciones radiativas
La funcion de onda de un electron es capaz de existir en dosestados.
Ψ = aΨn + bΨm
< x >=
∫ ∞−∞
x(a∗Ψ∗n + b∗Ψ∗m)(aΨn + bΨm)dx
Juan Jose Reyes Salgado
Mecanica cuantica.
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Transiciones radiativas
La funcion de onda de un electron es capaz de existir en dosestados.
Ψ = aΨn + bΨm
< x >=
∫ ∞−∞
x(a∗Ψ∗n + b∗Ψ∗m)(aΨn + bΨm)dx
< x >= a2
∫ ∞−∞
xψ∗nψndx + b2
∫ ∞−∞
xψ∗mψmdx
+2a∗bcos(2πνt)
∫ ∞−∞
xψ∗nψmdx
Juan Jose Reyes Salgado
Mecanica cuantica.