Captulo 5: Mecnica del slido rgido.

A.- Contenidos del captulo.

1.- Concepto de un slido rgido. 2.- Cinemtica del Slido rgido. 2.1.- Traslacin. 2.2.- Rotacin alrededor de un eje fijo. 2.3.- Movimiento plano general. Caractersticas. 2.3.1.- Relaciones entre las velocidades y las aceleraciones de dos puntos del Slido Que posee un movimiento plano general. 3.- Slido rgido y sistemas de partculas. 3.1.- Centro de masas del slido rgido (CDM). Posicin, velocidad y aceleracin. 3.2.- Dinmica del slido rgido. Ecuaciones caractersticas de la Dinmica relativas a los vectores Momento lineal y Momento angular o cintico. 4.- Las ecuaciones de Dinmica del movimiento de rotacin de un slido rgido alrededor de un eje fijo respecto de un sistema de referencia inercial. 4.1.- Momento de un vector respecto de un eje. 4.2.- Ecuacin del movimiento de rotacin de un slido rgido alrededor de un eje fijo. El Momento angular o cintico L

rdel slido rgido. Su relacin con la velocidad

angular cuando el slido gira respecto de un eje principal de inercia. 4.3.- Momento de inercia de un slido rgido. 4.3.1.- Clculo del CDM y del Momento de Inercia de un slido rgido. 4.3.1.1.- Tipos de distribuciones de la masa 4.3.1.2.- Las densidades de masa: lineal (), superficial () y volumtrica () 4.3.1.3.- Estrategias para el clculo. 4.3.2.- Teorema de Steiner. 4.3.3.- Radio de giro. 5.- - Teorema de conservacin del Momento angular o cintico. 6.- Energa cintica de un slido rgido. 5.1.- Energa cintica de un slido que rota en torno a un eje fijo. 5.2.- Energa cintica de un cuerpo que se desplaza y gira en torno a un eje que pasa por su c.d.m. ( Tercer teorema de Knig). 7.- Trabajo en el movimiento de rotacin. 8.- Teorema del trabajo y la energa cintica en el movimiento de rotacin. 9.- Teorema de conservacin de la mecnica.

B.- Objetivos del captulo:

1.- Definir la traslacin, la rotacin y el movimiento plano general de un slido rgido. 2.- Deducir las ecuaciones caractersticas de la Dinmica de rotacin de un slido rgido correspondientes a los siguientes conceptos: - Momento angular o cintico. - Teorema del Momento angular o cintico. - Teorema del momento angular o cintico. 3.- Indicar los diferentes tipos de distribuciones de masa. 4.- Definir los conceptos de densidad lineal de masa, superficial y volumtrica indicando su utilidad. 4.- Citar ordenadamente el conjunto de estrategias necesarias para obtener el c.d.m. de un sistema de partculas. 5.- Calcular los centros de masas de distribuciones de partculas lineales, superficiales y volumtricas, sencillas. 6.- Indicar la utilidad del centro de masas de un sistema para caracterizar a dicho sistema. 7.- Definir momento de inercia indicando su significado. 8.- Calcular los momentos de inercia de slidos rgidos con formas geomtricas sencillas

10.-Deducir y enunciar el Teorema de Steiner. 11.-Definir el concepto de radio de giro. 12.-Calcular el radio de giro de cuerpos geomtricos sencillos 13.- Obtener la expresin de la energa cintica para un cuerpo que rota respecto de un eje fijo. 14.- Obtener la expresin de la energa cintica para un cuerpo que posee un movimiento de traslacin y que adems rota respecto de un eje que pasa por su centro de masas (CDM) ( Tercer teorema de Knig). 15.- Deducir la expresin del trabajo que se utiliza en los movimientos de rotacin. 16.- Deducir las ecuaciones caractersticas de la Dinmica de rotacin de un slido rgido correspondientes a los siguientes conceptos: - Teorema del Momento angular o cintico. - Teorema de conservacin del momento angular o cintico. 17.- Aplicar los conceptos, principio y teoremas desarrollados en este captulo a la resolucin de ejercicios.

C.- Trabajos asociados al captulo.

1.- Elaborar un vocabulario bsico de trminos y conceptos de la Dinmica 2.- Realizar un resumen del captulo. 3.- Determinar el c.d.m. de una semicircunferencia homognea ( o constante) de radio R 4.- Determinar el c.d.m. de una semicircunferencia de radio R, con una densidad lineal = a. kg/m, en donde es el ngulo representado en la figura 1. 5.- Determinar el c.d.m. de un semicrculo de radio R cuya densidad superficial de masa vale = a.r kg./m2, siendo r la distancia de un punto cualquiera P de la placa al centro o de la figura 2. 6.- Determinar el c. d. m. de un cono homogneo ( o constante ) de radio R y altura H Ver figura 3. R P R r L

Figura 1 Figura 2 Figura 3 7.- Obtener los siguientes momentos de inercia de: a) un tubo cilndrico homogneo, de radio R, masa M y espesor despreciable, respecto del eje de simetra del cilindro paralelo a su generatriz. b) un cilindro macizo homogneo, de radio R, altura H y densidad volumtrica respecto del eje de simetra del cilindro paralelo a su generatriz. 8.- Calcular los radios de giro de los cilindros que se indican en el ejercicio. 9.- Las masas m1 y m2 = 6m1, de la figura adjunta estn unidas mediante un hilo inextensible y masa despreciable, que pasa por una polea M R cilndrica de masa M= 2m1 y radio R que gira sin rozamiento alrededor O de su eje de simetra que pasa por el punto O. Calcular: m2 a) la aceleracin lineal del sistema y la angular de la polea. m1 b) las tensiones de cada uno de los tramos de cuerda existentes.

Momento de inercia de un cilindro I = 21 MR2

10.- Resolver el problema anterior utilizando el teorema de conservacin de la energa.

11.- Una polea cilndrica de masa M y radio R lleva arrollado un hilo cuyo extremo est sujeto a un punto fijo del techo, tal y como se indica en la figura adjunta. Si dejamos caer libremente la polea desde un punto A, calcular:

a) El momento de inercia del cilindro respecto de un eje que pase por A siendo paralelo a la generatriz del cilindro.

b) su velocidad cuando haya descendido una altura h. Compare dicha velocidad con la velocidad que tendra dicha polea si la dejsemos caer libremente. 12.- Un cilindro macizo, de 30 cm de radio, puede girar alrededor de su eje longitudinal O, apoyado sobre cojinetes en un plano horizontal, desprovistos de rozamiento. Sobre su superficie tiene enrrollada una cuerda, que soporta en su extremo libre un bloque de masa m = 8 Kg. Partiendo del reposo el bloque desciende con movimiento uniformemente acelerado una altura de 75 metros en 5 segundos. El valor del momento de inercia de un cilindro es I = M.R2/2. Hallar: a) La tensin de la cuerda. R O b) El momento de inercia y el radio de giro del cilindro. m c) Utilizando la expresin del principio de conservacin de la energa, calcular los valores de la velocidad del bloque y la velocidad angular del cilindro cuando el bloque desciende 75 metros

13.- En un puerto se est utilizando un torno de engranaje (ver figura) para subir a un carguero un objeto de 1.500 kg de masa. Cuando el objeto se encuentra en el punto de mayor altura en reposo Polea se rompen los engranajes del torno y el objeto cae

libremente. Durante la cada no hay deslizamiento entre el cable ( de masa despreciable) y la polea y entre el cable y el tambor del torno. Torno El momento de inercia de la polea es de 40 Kg.m2 y el del torno es de 3.200 kg.m2 ; el radio del tam- bor del torno es de 0,8 metros y el de la polea es de 0,2 m. Se pide:

a) Indicar la relacin existente entre la aceleracin lineal de cada del cable y las aceleraciones an-

gulares de la polea y del torno. b) La aceleracin de cada del objeto. c) Los valores de las tensiones del cable en la polea

14.- Un bloque de masa m1= 5 kg se encuentra sobre la superficie de un plano, inclinado 30 respecto de la horizontal, siendo el coeficiente cintico de rozamiento del bloque con el plano. El bloque est sujeto al extremo de una cuerda que inicialmente est enrollada sobre la llanta de un volante cuyo eje de giro es el punto O. En esas condiciones dejamos que el bloque se deslice libremente por el plano. La masa del volante es de m2 = 20 kg, el radio exterior del volante mide 0,2 m. y el radio de giro del volante vale 0,1 m. Calcular:

a) la tensin de la cuerda b) energa del volante y del bloque cuando este haya descendido una altura de 10 metros c) aceleracin de descenso del bloque

Tmese g = 10 m/s2 y el coeficiente de rozamiento = 32

1

m1 m2

30