Capıtulo 5: Calculo integral

1. Leccion 18. La integral indefinida

1.1. Concepto de integral indefinida

En el capıtulo 3 hemos visto la diferencial de una funcion: dada y = f(x), sudiferencial es una funcion dy de dos variables, x, dx, con dy = d(f(x)) = f ′(x)dx.

Consideraremos ahora el proceso inverso: dada una funcion de dos varia-bles, x, dx, que tiene la forma g(x)dx, queremos calcular una funcion f con lapropiedad de que d(f(x)) = g(x)dx. Dicha funcion f , si existe, se llama unaintegral indefinida de g(x)dx.

La funcion g(x) estara definida en un dominio D; buscamos por tanto unafuncion f(x) para la que se verifique la igualdad anterior en el dominio D. Perousualmente no haremos referencia a este dominio, puesto que se podra deducircual es a partir de la construccion de las funciones f, g.

Para indicar que f es una integral indefinida de g(x)dx escribiremos

f(x) =∫

g(x)dx

Por ejemplo, se tiene

senx =∫

cosx dx, ln |x| =∫

1x

dx =∫

dx

x

1.2. Primitivas

Desde luego, f(x) es una integral indefinida de g(x)dx si y solo si f ′(x)dx =g(x)dx; y, por tanto, si y solo si f ′(x) = g(x). De esta manera, el problema dehallar una integral indefinida de g(x)dx es el mismo que el de hallar una funcionf cuya derivada sea g, f ′(x) = g(x).

Si f(x) es una funcion cuya derivada es g(x), decimos que f(x) es una pri-mitiva de g(x). Por tanto, f(x) es una primitiva de g(x) si y solo si f(x) es unaintegral indefinida de g(x)dx.

Recordemos el teorema del valor medio:

Teorema. Sea f una funcion que es continua en un intervalo cerrado [a, b]y derivable en todos los puntos de (a, b). Existe un punto ξ ∈ (a, b), de maneraque

f ′(ξ) =f(b)− f(a)

b− a

Una consecuencia sencilla del teorema es la siguiente:

1

Corolario. Si f es una funcion continua y derivable en un intervalo (a, b),y se tiene f ′(x) = 0 para todo punto de (a, b), entonces f(x) es constante endicho intervalo.

La razon de la propiedad anterior es muy simple: dados dos puntos cua-lesquiera x1 < x2 en el intervalo (a, b), la funcion f(x) cumple las hipotesis delteorema del valor medio para el intervalo [x1, x2]. Existe, pues ξ ∈ (x1, x2) conla propiedad f ′(ξ)(x2−x1) = f(x2)−f(x1). Pero f ′(ξ) = 0, por hipotesis. Luegof(x1) = f(x2), y la funcion toma el mismo valor en todos los puntos de (a, b).

Corolario. Si f(x), g(x) son dos funciones continuas y derivables en unintervalo (a, b), y se tiene f ′(x) = g′(x) para todo punto x ∈ (a, b), entoncesexiste una constante k, de modo que g(x) = f(x) + k.

De nuevo la razon es simple: la hipotesis implica que la funcion h(x) =f(x) − g(x) tiene derivada nula en el intervalo. Luego h(x) es una constante ken ese intervalo. Por tanto, f(x)− g(x) = k, y el resultado se sigue.

Una funcion g no tiene nunca una primitiva unica: si f(x) es una primitiva deg(x), entonces f(x)+k tambien es primitiva de g(x), para cualquier k constante.Por el corolario anterior, se tiene entonces que toda primitiva de g(x) es de laforma f(x) + k.

Ası, al calcular primitivas (o integrales indefinidas), expresamos siempre elresultado como una funcion mas una constante:∫

cosx dx = senx + C

y cualquiera que sea el valor de la constante C, la relacion anterior es valida; yse obtienen ası todas las primitivas de la funcion dada.

Abordaremos en este capıtulo el problema de: dada una funcion continua,calcular sus primitivas. Aunque las funciones continuas siempre tienen funcionesprimitivas, no siempre podemos expresar estas mediante las funciones elemen-tales que hemos visto. Nos limitaremos, por tanto, a estudiar casos en que estosı es posible.

Los casos mas sencillos son aquellos en que tratamos de calcular∫

g(x)dxy reconocemos inmediatamente que g(x) es derivada de una cierta funcion ele-mental f(x). En ese caso, tendremos f ′(x) = g(x) y

∫g(x)dx = f(x) + C.

De este modo, una tabla de derivadas nos proporciona directamente una listade lo que llamamos integrales inmediatas. Recogemos tal tabla a continuacion(indicamos para cada funcion de la lista una primitiva solamente; aunque, comosabemos, si le sumamos una constante dara otra primitiva de la misma funcion).

2

f(x)∫

f(x)dxex ex

ax ax

ln(a)1x ln(|x|)

xa (a 6= −1) xa+1

a+1

senx −cosxcosx senx

1 + tan2(x) tanxsenhx coshxcoshx senhx

Todas estas relaciones, y las que siguen, valen en los dominios de definicionde las respectivas funciones.

f(x)∫

f(x)dx1− tanh2x tanhx

1√1−x2 arcsenx−1√1−x2 arccosx1

1+x2 arctanx1√

x2+1argsenhx

1√x2−1

argcoshx1

1−x2 argtanhx

De una manera tambien practicamente inmediata, podemos obtener masprimitivas si tenemos en cuenta las derivadas de funciones compuestas de unafuncion u con alguna de las funciones elementales anteriores.

Por ejemplo, sabemos que si u = u(x) es una funcion de x, entonces la funcioncompuesta y = sen(u) tiene como derivada cos(u)u′. Luego

∫cos(u)u′dx =

sen(u). Procediendo de este modo, damos nuevas listas de primitivas inmediatas:

f(x)∫

f(x)dxu′eu eu

u′au au

ln(a)u′

u ln(|u|)uau′(a 6= −1) ua+1

a+1

sen(u)u′ −cos(u)cos(u)u′ sen(u)

u′

cos2u tan(u)

3

f(x)∫

f(x)dxsenh(u)u′ cosh(u)cosh(u)u′ senh(u)

u′

cosh2u tanh(u)u′√1−u2 arcsen(u)

− u′√1−u2 arccos(u)u′

1+u2 arctan(u)u′√

u2+1argsenh(u)

u′√u2−1

argcosh(u)u′

1−u2 argtanh(u)

Veremos, para terminar, algunos ejemplos de calculo de integrales basadosen estas integrales inmediatas.

Necesitaremos las dos propiedades que vemos a continuacion.∫(f(x) + g(x))dx =

∫f(x)dx +

∫g(x)dx.

Si k es una constante,∫

kf(x)dx = k∫

f(x)dx.

Ejercicio 1. Calcular las integrales∫cos(3x)dx,

∫1√

3t + 1dt

Para la primera, notemos que si tuviesemos, en lugar de la propuesta,∫

3cos(3x)dx,serıa una integral inmediata: porque 3cos(3x) es la derivada de sen(3x). Conesta idea, hacemos lo siguiente:∫

cos(3x)dx =∫

13· 3cos(3x)dx =

13

∫3cos(3x)dx =

13(sen(3x) + C) =

sen(3x)3

+ C

Consideramos ahora la segunda integral. Como antes, sabemos que la deriva-da de

√3t + 1 serıa 3

2√

3t+1, que es la funcion que se pide integrar, salvo por el

coeficiente. Ası, se tendrıa∫3

2√

3t + 1dt =

√3t + 1 + C

Teniendo esto en mente, podemos escribir

∫1√

3t + 1dt =

∫23· 32√

3t + 1dt =

23

∫3

2√

3t + 1dt =

23√

3t + 1 + C

Ejercicio 2. Calcular las integrales indefinidas∫(3senx +

ex

2)dx,

∫cosx dx√1 + senx

4

Por la propiedad de la suma,∫(3senx +

ex

2)dx =

∫3senx dx +

∫exdx

2= 3

∫senx dx +

12

∫exdx

Ası, el calculo ha quedado reducido al de dos integrales inmediatas:∫(3senx +

ex

2)dx = −3cosx +

12ex + C

Para la segunda integral, observemos cual serıa la derivada de√

1 + senx.Es de la forma

√u, con u = 1 + sen(x), ası que su derivada serıa

12√

u· u′ =

12· u′√

u=

12· cosx√

1 + senx

Esto coincide con la integral que queremos calcular, salvo por el factor cons-tante 1/2. Entonces∫

cosx dx√1 + senx

= 2∫

12· cosx dx√

1 + senx= 2

√1 + senx + C

2. Leccion 19. Integracion por cambio de varia-ble

El metodo de cambio de variable o de sustitucion es util para calcular unaintegral, a base de transformarla primero en una integral mas sencilla.

Queremos calcular una integral indefinida∫

f(x)dx, pero el calculo no esinmediato. Supongamos, sin embargo, que vemos que f(x) es de la forma f(x) =g(t(x))t′(x), para una cierta funcion t(x). Entonces sera f(x)dx = g(t(x))t′(x)dx =g(t)dt.

Imaginemos ademas, que la funcion g es mas facil de integrar. En tal caso,podremos encontrar ∫

g(t)dt = h(t)

lo que significa que h′(t) = g(t) y, por tanto, h′(t(x)) = g(t(x)). Si consideramosentonces la funcion compuesta h(t(x)), su derivada sera

h′(t(x))t′(x) = g(t(x))t′(x) = f(x)

y habremos encontrado la primitiva que buscabamos: se tiene entonces∫

f(x)dx =h(t(x)).

El metodo comprende, pues, los siguientes pasos, para calcular∫

f(x)dx.

Se elige una funcion t = t(x), de manera que se pueda obtener la funciong que cumpla la ecuacion f(x)dx = g(t)dt.

Se calcula entonces∫

g(t)dt, tomando aquı t como variable independiente.El resultado sera una funcion de t, h(t).

Se sustituye la variable t en h(t) por t(x), para obtener h(t(x)), y ası∫

f(x)dx =h(t(x)) + C.

5

Veremos a continuacion algunos ejemplos.

Ejercicio 1. Calcular la integral indefinida∫2x2dx√9− x3

Introducimos la nueva variable t = 9 − x3. Se tiene entonces dt = −3x2dx,y x2dx = −dt

3 .

Ahora, debemos obtener una igualdad f(x)dx = g(t)dt. Este es el paso enque llevamos a cabo la sustitucion, de forma que el integrando, que es funcionde la variable x, se hace igual a un nuevo integrando con la variable t.

2x2dx√9− x3

=2(−dt

3 )√

t= −2

3· dt√

t

Se tiene pues, que calcular∫−2

3· dt√

t= −2

3

∫dt√

t

La nueva integral que hemos obtenido es inmediata, pues es la de t−1/2. Sera

−23

∫dt√

t= −2

3t1/2

1/2= −4

3

√t

El resultado, finalmente sera∫2x2dx√9− x3

= −43

√9− x3 + C

Ejercicio 2. Calcular la integral∫5dx

x2 − 2x + 5

Veremos mas adelante metodos generales para estudiar estas integrales, lasintegrales de funciones racionales. De momento, observamos solamente que esconveniente factorizar el denominador, si es posible. Para ello, tratamos de cal-cular las raıces

x =2±

√4− 202

= 1±√−162

= 1± 2i

El polinomio es irreducible, y no se puede factorizar como producto de poli-nomios reales. Pero su factorizacion compleja nos sera de utilidad.

x2 − 2x + 5 = (x− (1 + 2i))(x− (1− 2i)) = (x− 1− 2i)(x− 1 + 2i)

Podemos ver esta expresion como el producto de una suma por una diferen-cia. Ası, se tiene

x2 − 2x + 5 = ((x− 1)− 2i)((x− 1) + 2i) = (x− 1)2 − (2i)2 = (x− 1)2 + 4

6

De modo mas general, si el polinomio ax2 + bx+c es irreducible, y sus raıcescomplejas son p + qi, p− qi, entonces

ax2 + bx + c = a((x− p)2 + q2)

En estos casos, la sustitucion recomendada es t = x−pq . Entonces x = qt + p.

Resulta ası,

ax2 + bx + c = a((qt)2 + q2) = aq2(t2 + 1)

Volvamos a nuestro ejemplo.Hacemos la sustitucion t = x−1

2 . Entonces 2t = x − 1, y ası (x − 1)2 + 4 =4t2 + 4 = 4(t2 + 1). Ademas, dt = 1

2dx, o sea dx = 2dt.Hacemos ahora la sustitucion en el integrando:

5dx

x2 − 2x + 5=

5dx

(x− 1)2 + 4=

10dt

4(t2 + 1)=

52· dt

1 + t2

Calculamos la nueva integral

52

∫dt

1 + t2=

52arctan(t)

y finalmente sustituımos en el resultado∫5dx

x2 − 2x + 5=

52arctan(

x− 12

)

Ejercicio 3. Calcular ∫ln(x)

xdx

Hacemos la sustitucion u = ln(x). Entonces du = dxx . De este modo, ln(x)

x dx =u du. Entonces ∫

u du =u2

2+ C

y ası, ∫ln(x)

xdx =

ln2x

2+ C

Ejercicio 4. Calcular ∫esen(x)cos(x)dx

Hacemos el cambio u = sen(x), de forma que du = cos(x)dx. Se tiene

esen(x)cos(x)dx = eudu,

∫eudu = eu + C

En consecuencia, ∫esen(x)cos(x)dx = esen(x) + C

Ejercicio 5. Calcular ∫ √a2 − x2dx

7

Podemos suponer a > 0. Vamos a emplear un cambio, enunciado en formainversa a la habitual. Para introducir la funcion auxiliar u = u(x), la definimosen forma implıcita, mediante la ecuacion x = asen(u). En realidad, podrıamospartir de u = arcsen(x/a), pero nos resulta mas simple escribir usando la fun-cion inversa. De este modo, a2−x2 = a2(1−(x/a)2) = a2(1−sen2u). Asimismo,la relacion entre las diferenciales se obtiene de esa ecuacion: dx = acos(u)du.En este caso, la sustitucion se puede hacer directamente:√

a2 − x2dx =√

a2(1− sen2u)(acos(u)du) = a2√

cos2ucos(u)du = a2cos2udu

donde tenemos en cuenta que cos(u) ≥ 0, ya que la eleccion del cambio implicaque u ha de tomar valores en el intervalo [−π

2 , π2 ], en el cual el coseno es positivo.

La integral que debemos calcular es, pues,∫

a2cos2u du = a2∫

cos2u du.Vamos a calcular aparte esta integral.

Para calcular∫

cos2u du, usaremos la siguiente formula trigonometrica:

cos(2u) = cos2u− sen2u = cos2u− (1− cos2u) = 2cos2u− 1

lo que implica que cos2u = 12 (1 + cos(2u)).

Calculando ahora la integral,∫cos2u du =

12

∫(1 + cos(2u))du =

12(∫

du +∫

cos(2u)du)

Ahora bien:∫

du = u + C. Por su parte,∫cos(2u)du =

12

∫2cos(2u)du =

12sen(2u) + C

Ası, se tiene∫cos2u du =

u

2+

sen(2u)4

+ C =12(u + sen(u)cos(u)) + C

Finalmente, expresamos la solucion como funcion de x:∫ √a2 − x2dx =

a2

2(arcsen(

x

a) +

x

a

√1− x2

a2) + C

=a2

2arcsen(

x

a) +

12x√

a2 − x2 + C

Ejercicio 6. Calcular ∫dx√

x2 + a2

De nuevo podemos suponer a > 0. Tomamos x = asenh(u) y dx = acosh(u)du.Entonces

x2 + a2 = a2senh2u + a2 = a2(1 + senh2u) = a2cosh2u

y puesto que cosh(u) > 0, resulta√x2 + a2 = acosh(u)

8

Obtenemos entonces la integral:∫dx√

x2 + a2=

∫acosh(u)du

acosh(u)=

∫du = u + C

Deshaciendo ahora el cambio de variable,∫dx√

x2 + a2= argsenh(

x

a) + C

Nota: esta integral tambien puede verse como una integral casi inmediata,escribiendo el denominador como a

√1 + (x/a)2.

Un grupo de integrales de funciones racionales es tambien facil de integrarmediante un cambio de variable. Se trata de las funciones de la forma Adx

(x−a)k .Debemos diferenciar el caso en que k = 1.

Con k = 1. ∫−2dx

x + 3

Hacemos el cambio x + 3 = t, dx = dt, y pasamos a la integral∫−2dt

t= −2

∫dt

t= −2ln(|t|) + C

Deshaciendo la sustitucion,∫−2dx

x + 3= −2ln(|x + 3|) + C

Con k > 1. ∫−2dx

(x + 3)4

Hacemos el mismo cambio: t = x + 3, dt = dx. La integral se transformaen ∫

−2dt

t4= −2

∫t−4dt = −2(

t−4+1

−4 + 1) + C =

23t−3 + C

Finalmente, expresamos el resultado de la primera integral:∫−2dx

(x + 3)4=

23(x + 3)3

=2

3t3+ C

9

3. Leccion 20. Integracion por partes

3.1. El metodo de integracion por partes

Supongamos que una funcion y = h(x) es un producto de dos funciones:

y = h(x) = uv

Sabemos que la diferencial de la funcion sera

dy = (du)v + u(dv) = v du + udv

Como la integral indefinida de la diferencial de una funcion es la funciondada, se tiene:

uv =∫

vdu +∫

udv

La ecuacion anterior nos da la formula basica de un procedimiento de inte-gracion que se conoce como integracion por partes:∫

udv = uv −∫

vdu

El procedimiento aplica esa formula de la manera siguiente.

Dada la integral que se quiere calcular, debemos identificar el integrandocomo un producto de la forma f(x)(g(x)dx); llamamos entonces u = f(x),dv = g(x)dx.

(Esto no implica un cambio de variable; llamamos u, dv a los factores alos efectos de la exposicion; pero las integrales se efectuan siempre sobrefunciones cuya variable independiente es la original x).

Como segundo paso, debemos calcular v =∫

dv =∫

g(x)dx. De estemodo, uno debe escoger los factores f(x), g(x)dx del integrando de formaque

∫g(x)dx sea facil de calcular.

La integral propuesta inicialmente es∫

udv. Por la formula de la inte-gracion por partes y conocidos ya u, v, deberemos calcular

∫vdu para

aplicarla y hallar la integral pedida, puesto que∫udv = uv −

∫vdu

El metodo tiene sentido, y dara resultado si esta segunda integral,∫

vdues mas facil de calcular que la propuesta; o, al menos, si la podemos ex-presar en funcion de la integral propuesta y deducimos de la formula de laintegracion por partes una ecuacion que nos permita resolver el problema.

Por tanto, el ultimo paso del proceso es calcular∫

vdu.

10

3.2. Ejemplos

Veremos algunos ejemplos.

Ejercicio 1. Calcular∫

xexdx.

Escribimos el integrando como un producto u · dv:

u = x, dv = exdx

Calculamos v a partir de dv:

v =∫

dv =∫

exdx = ex(+C)

Aplicamos la formula de la integracion por partes:

I =∫

xexdx =∫

udv = uv −∫

vdu = xex −∫

exdx

Finalmente, calculamos la integral del segundo miembro en la ecuacionanterior: ∫

exdx = ex(+C)

y sustituımosI = xex − ex + C = (x− 1)ex + C

Ejercicio 2. Calcular I =∫

x3exdx.

Llamamos u = x3, dv = exdx. Ası, I =∫

udv y du = 3x2dx.

Calculamos v =∫

dv = ex.

Llegamos a la ecuacion

I = x3ex −∫

ex(3x2)dx = x3ex − 3∫

x2exdx

Debemos ahora calcular la integral que nos queda: I1 =∫

x2exdx.

A su vez, podemos emplear el mismo procedimiento para calcular la integralI1.

I1 =∫

udv con u = x2, y dv = exdx. Ası, du = 2xdx.

v = ex, y la ecuacion dara

I1 = x2ex −∫

ex(2xdx) = x2ex − 2∫

xexdx = x2ex − 2I2

donde hemos llamado I2 a la integral I2 =∫

xexdx.

11

Volviendo a la expresion de I, tenemos

I = x3ex − 3I1 = x3ex − 3(x2ex − 2I2) = x3ex − 3x2ex + 6I2

Pero la integral I2 la hemos calculado en el ejercicio 1:

I2 = xex − ex + C

En definitiva, se tiene:

I = ex(x3 − 3x2 + 6x− 6) + C

Ejercicio 3. Calcular I =∫

lnxdx.

La eleccion obvia es: u = lnx, dv = dx; de modo que v = x.Ademas, du = dx

x . De este modo, se tiene:

I = xlnx−∫

xdx

x= xlnx−

∫dx = xlnx− x + C

Ejercicio 4. Calcular I =∫

arcsenxdx.

Tomamos u = arcsenx, dv = dx. Se tiene: v = x, y du = 1√1−x2 dx.

Se tiene entonces:

I = xarcsenx−∫

xdx√1− x2

= xarcsenx− I1

Esta integral I1 =∫

x dx√1−x2 es una integral casi inmediata. Podemos aplicar,

para mayor sencillez, el cambio t = 1− x2, de modo que dt = −2xdx. Entonces

I1 =∫ − 1

2dt√

t= −

∫dt

2√

t= −

√t + C

Deshaciendo el cambio,

I1 = −√

1− x2 + C

yI = xarcsenx +

√1− x2 + C

Ejercicio 5. Calcular I =∫

xsen(3x)dx.

Ponemos u = 13x, dv = 3sen(3x)dx. Entonces du = 1

3dx y v = −cos(3x).

I = −13xcos(3x) +

13

∫cos(3x)dx = −1

3xcos(3x) +

13I1

La integral I1 es inmediata:

I1 =∫

cos(3x)dx =13

∫3cos(3x)dx =

13sen(3x)

En definitiva:I = −1

3xcos(3x) +

19sen(3x) + C

12

Ejercicio 6. Calcular I =∫

e2xsenxdx.

Ponemos u = 12senx, dv = 2e2xdx. Ası, du = 1

2cosxdx, v = e2x.Aplicamos ahora la integracion por partes:

I =12e2xsenx− 1

2I1

donde I1 =∫

e2xcosxdx. Trataremos esta integral del mismo modo, para cal-cularla por partes, a su vez. Para ello, tomamos u = 1

2cosx, dv = 2e2xdx.Obtenemos entonces du = − 1

2senxdx, v = e2x. Entonces

I1 =12e2xcosx +

12

∫e2xsenxdx

Esta nueva integral es la propuesta al principio, I. Luego hemos obtenido laigualdad

I1 =12e2xcosx +

12I

Volviendo a la ecuacion precedente

I =12e2xsenx− 1

2(12e2xcosx +

12I)

Esto nos daraI =

12e2xsenx− 1

4e2xcosx− 1

4I

y, por tanto,

54I =

12e2xsenx− 1

4e2xcosx, I =

25e2xsenx− 1

5e2xcosx + C

3.3. Formulas de reduccion

Puede emplearse el metodo de integracion por partes para relacionar losvalores de integrales que dependen de un entero positivo n.

Por ejemplo, denotemos por In la integral In =∫

xne−xdx. Mediante la inte-gracion por partes, podemos expresar In en funcion de In−1. Esto nos permite,paso a paso, calcular In a partir del valor de I0 =

∫e−xdx = −e−x + C. La

formula que relaciona In con In−1 se llama una formula de reduccion.Tratemos de calcular la integral In por partes. Podemos tomar u = −xn, dv =

−e−xdx. Entonces v = e−x y du = −nxn−1dx. Aplicando la integracion porpartes, tenemos

In = −xne−x + n

∫xn−1e−xdx = −xne−x + nIn−1

Si aplicamos esta relacion repetidas veces, y tenemos en cuenta el valor deI0 =

∫e−xdx = −e−x, obtendremos, por ejemplo:

I3 = −x3e−x−3x2e−x−6xe−x−6e−x+C, I4 = −e−x(x4−4x3−12x2−24x−24)+C

De forma general,

13

In = −n∑

k=0

n!(n− k)!

xn−ke−x + C

Ejercicio 7. Hallar una formula de reduccion para la familia de integralesIn =

∫cosnxdx.

Probamos la integracion por partes con u = cosn−1x, dv = cosxdx. Entoncesv = senx y du = −(n− 1)cosn−2xsenxdx.

Tenemos entonces

In = cosn−1xsenx + (n− 1)∫

cosn−2xsen2xdx

y, teniendo en cuenta que sen2x = 1− cos2x, la segunda integral dara∫cosn−2xsen2xdx =

∫cosn−2xdx−

∫cosnxdx = In−2 − In

En definitiva, tenemos

In = cosn−1xsenx+(n−1)In−2−(n−1)In, In =1n

(cosn−1xsenx+(n−1)In−2)

Cuando n es par, podemos llegar a obtener In aplicando reiteradamente estaformula hasta I0 =

∫dx = x + C. Cuando n es impar, la aplicacion repetida de

la formula nos lleva a I1 =∫

cosxdx = senx + C.

Ejercicio 8. Hallar una formula de reduccion para la integral In =∫

dx(1+x2)n .

Consideramos primero I1 =∫

dxx2+1 . Esta es una integral inmediata, que

da arctan(x).

Sea ahora n > 1. Para hallar una formula de reduccion, ponemos

In =∫

(x2 + 1)− x2

(x2 + 1)ndx =

∫dx

(x2 + 1)n−1−

∫x2dx

(x2 + 1)n= In−1 − Jn

si llamamos en general Jk =∫

x2dx(x2+1)k .

Calcularemos ahora Jn por partes. Llamamos u = x2 , dv = 2x dx

(x2+1)n . En-tonces du = 1

2dx, mientras que v =∫

2x dx(x2+1)n puede hacerse con un cambio

de variable.

Concretamente, llamando t = 1 + x2, dt = 2xdx, llegamos a

v =∫

2xdx

(x2 + 1)n=

∫dt

tn= − t−n+1

n− 1= − 1

(n− 1)tn−1

Se tiene por tanto

v = − 1(n− 1)(1 + x2)n−1

14

Volvemos al calculo de Jn. Sera

Jn = − x

2(n− 1)(1 + x2)n−1+

∫dx

2(n− 1)(1 + x2)n−1=

= − x

2(n− 1)(1 + x2)n−1+

12(n− 1)

In−1

Recordemos ahora que se tenıa

In = In−1 − Jn =x

2(n− 1)(1 + x2)n−1− 1

2(n− 1)In−1 + In−1

ası que obtenemos la formula de recurrencia

In =x

2(n− 1)(1 + x2)n−1+

2n− 32n− 2

In−1

Completado con el valor de I1, esto permite calcular las integrales del tipode In.

4. Leccion 21. Integracion de funciones racionales

4.1. Fracciones simples sin factores complejos en el deno-minador

Vamos a describir un metodo general para calcular las primitivas de lasfunciones racionales. Recordemos del capıtulo 2 que cualquier funcion racional sepuede expresar como un polinomio mas una suma de fracciones simples. Puestoque las integrales de los polinomios se reducen a inmediatas, nos centraremosen calcular integrales de fracciones simples.

Las integrales de fracciones de la forma A(x−a)k han sido consideradas en la

leccion 19, y son facilmente integrables mediante cambio de variable.

Ejercicio 1. Calcular∫

5x+1x3−3x+2dx.

Para poder poner la funcion racional como suma de fracciones simples, em-pezamos por factorizar el denominador. Como 1 es una raız, podemos dividirpor x− 1 y se obtiene

x3 − 3x + 2 = (x− 1)(x2 + x− 2) = (x− 1)2(x + 2)

Por lo que conocemos sobre fracciones simples, ha de ser

5x + 1x3 − 3x + 2

=A

x− 1+

B

(x− 1)2+

C

x + 2

Hallamos los coeficientes indeterminados, haciendo la suma de la derecha:

5x + 1x3 − 3x + 2

=A(x− 1)(x + 2)(x− 1)2(x + 2)

+B(x + 2)

(x− 1)2(x + 2)+

C(x− 1)2

(x− 1)2(x + 2)

15

igualando los numeradores

5x + 1 = A(x− 1)(x + 2) + B(x + 2) + C(x− 1)2

y dando a x los valores 1,−2.

6 = 3B, −9 = 9C ⇒ B = 2, C = −1

Finalmente, con estos valores de B,C y tomando x = 0, podemos obtener elvalor de A:

1 = −2A + 2B + C = −2A + 3, 2A = 2, A = 1

En definitiva, tendremos:∫5x + 1

x3 − 3x + 2dx =

∫dx

x− 1+ 2

∫dx

(x− 1)2−

∫dx

x + 2

La primera y la tercera integral daran∫dx

x− 1= ln(|x− 1|) + C,

∫dx

x + 2= ln(|x + 2|) + C

En cuanto a la segunda integral, puede obtenerse mediante el cambio devariable t = x− 1, dt = dx. Entonces hacemos la sustitucion∫

dt

t2=

t−1

−1= −1

t+ C

y, deshaciendo el cambio, ∫dx

(x− 1)2= − 1

x− 1+ C

Como resultado final,∫5x + 1

x3 − 3x + 2= ln(|x−1|)− 2

x− 1− ln(|x+2|)+C = ln(|x− 1

x + 2|)− 2

x− 1+C

4.2. Denominador con factores complejos: casos particu-lares

Debemos considerar ahora la integral de fracciones simples en que el denomi-nador es una potencia de un polinomio irreducible de grado 2: x2 + bx+ c. Paraestudiar estos casos, analizamos primero dos casos particulares, a los cuales losdemas pueden reducirse.

Caso 1. Integrales de la forma∫2x + b

(x2 + bx + c)kdx

Hacemos el cambio t = x2 + bx + c, dt = (2x + b)dx.

16

Con este cambio, la integral se transforma ası:∫dt

tk

Si k = 1, entonces la integral es∫

dtt = ln(|t|)+C. Deshaciendo el cambio,∫

2x + b

x2 + bx + cdx = ln(|x2 + bx + c|) + C

Si k > 1, tendremos la integral∫dt

tk=

∫t−kdt =

t−k+1

−k + 1=

−1(k − 1)tk−1

y deshaciendo el cambio,∫2x + b

x2 + bx + cdx =

−1(k − 1)(x2 + bx + c)k−1

+ C

Caso 2. Integrales de la forma I =∫

dx(x2+bx+c)k .

Usaremos el hecho de que el polinomio x2 + bx + c no tiene raıces reales.Concretamente, sus raıces han de ser dos complejos conjugados: p+qi, p−qi. Como se ha visto en el ejercicio 2 de la leccion 19, se tendra

x2 + bx + c = (x− p)2 + q2

Teniendo esto en cuenta, el cambio t = x−pq puede simplificar la integral:

tomamos t = x−pq , dt = 1

q dx; entonces x2 + bx + c = (x − p)2 + q2 =

q2( (x−p)2

q2 + 1) = q2(t2 + 1) y la integral se transforma de esta manera:

I =∫

dx

(x2 + bx + c)k, It =

q

q2k

∫dt

(t2 + 1)k

La integral It dara pues, 1q2k−1 Jk, donde Jk =

∫dt

(t2+1)k es una integralestudiada en la leccion anterior.

Aplicando la formula de reduccion correspondiente, podemos calcular Jk ya continuacion It. Deshaciendo entonces el cambio de variable, tendremosla integral I pedida.

Ejercicio 2. Calcular I =∫

5dx(x2−4x+8)2 .

Notemos que el polinomio del denominador no tiene raıces reales, porque16− 32 < 0. Ası, la integral es igual a 5I0, con I0 =

∫dx

(x2−4x+8)2 , y es del tipoque acabamos de considerar.

Observemos en primer lugar que x2 − 4x + 8 es irreducible. Si se trata decalcular las raıces, llegamos a

x =4±

√−16

2=

4± 4i

2= 2± 2i

17

de forma que p = 2 y q = 2. Por tanto, x2−4x+8 = (x−2)2 +4 = (x−2)2 +22.

Hacemos el cambio t = x−22 , dt = 1

2dx. Pasamos entonces a la integral

It = 5 · 2∫

dt

42(t2 + 1)2=

58J2

con J2 =∫

dt(t2+1)2 .

Para calcular J2, escribimos 1 = (t2 + 1)− t2, y llegamos a

J2 =∫

dt

t2 + 1−

∫t2dt

(t2 + 1)2

El primer sumando da arctan(t). Para integrar el segundo, aplicamos elmetodo de integracion por partes, con u = t

2 , dv = 2tdt(t2+1)2 . Entonces du = 1

2dt.Para hallar v, debemos calcular la integral

v =∫

2tdt

(t2 + 1)2

Usando el cambio de variable z = t2 + 1, que ya conocemos, esta segundaintegral se transforma en

v =∫

dz

z2=

z−1

−1= −1

z

Deshaciendo el cambio,

v = − 1t2 + 1

Volviendo ahora al segundo sumando de J2, que estabamos integrando porpartes, tendremos que es igual a∫

t2dt

(t2 + 1)2= − t

2(t2 + 1)+

∫dt

2(t2 + 1)= − t

2(t2 + 1)+

12arctan(t)

Esto nos da ya la integral J2:

J2 = arctan(t) +t

2(t2 + 1)− 1

2arctan(t) =

t

2(t2 + 1)+

12arctan(t)

Recordemos ahora que It = 58J2, de forma que

It =516

(t

t2 + 1+ arctan(t))

Finalmente, debemos deshacer el primer cambio de variable, t = x−22 , y

llegamos a

I =516

(2(x− 2)

(x− 2)2 + 4+ arctan(

x− 22

)) + C

18

4.3. Denominador con factores complejos: caso general

Una vez que hemos analizado los casos especiales, consideremos el caso ge-neral de la integral de una fraccion simple de la forma

I =∫

rx + s

(ax2 + bx + c)kdx

siendo ax2 + bx + c un polinomio irreducible.

Notemos primero que podemos escribir el numerador rx + s en la formarx + s = d(2ax + b) + f . En efecto:

rx + s =r

2a(2ax +

2as

r) =

r

2a(2ax + b +

2as− rb

r) =

r

2a(2ax + b) +

2as− rb

2a

Por tanto, la relacion indicada se cumple con d = r2a y f = 2as−rb

2a .

La integral, por tanto, sera

I = d

∫2ax + b

(ax2 + bx + c)kdx + f

∫dx

(ax2 + bx + c)k

de forma que la integral I se puede poner como una suma I = dI1 + fI2, con

I1 =∫

2ax + b

(ax2 + bx + c)kdx, I2 =

∫dx

(ax2 + bx + c)k

I1 es una integral del tipo visto en el caso 1; I2 es una integral del tipovisto en el caso 2. Ası, podemos calcularlas siguiendo los pasos de la discusionanterior.

Ejercicio 3. Calcular∫

x2dxx2+2x+5 .

Siguiendo el metodo general, debemos primero descomponer la fraccion enuna suma de fracciones simples mas un polinomio. Haciendo la division, tenemosque

x2

x2 + 2x + 5= 1− 2x + 5

x2 + 2x + 5

luego la integral pedida I es suma de dos integrales: I = I0 +J , con I0 =∫

dx =x + C.

La segunda integral J es ya la de una fraccion simple: J =∫ (2x+5)dx

x2+2x+5 , porqueel polinomio del denominador es irreducible.

x2+2x+5 = (x−p)2+q2 = x2−2px+p2+q2, 2 = −2p, 5 = p2+q2, Rightarrowp = −1, q2 = 4

ası que x2 + 2x + 5 = (x + 1)2 + 22.

La integral J se puede descomponer a su vez como una suma de dos inte-grales:

J =∫

(2x + 2)dx

x2 + 2x + 5+

∫3dx

x2 + 2x + 5= I1 + I2

19

La integral I1 es inmediata, puesto que se transforma en∫

dtt con el cambio

t = x2 + 2x + 5. Ası,I1 = ln(|x2 + 2x + 5|) + C

Queda por calcular I2 = 3∫

dx(x+1)2+22 . Para ello, hacemos el cambio t = x+1

2 .Entonces (x + 1)2 = 4t2 y (x + 1)2 + 22 = 4(t2 + 1). Ademas, 2dt = dx.Sustituyendo,

It = 3∫

2dt

4(t2 + 1)=

32

∫dt

t2 + 1=

32arctan(t)

y si deshacemos el cambio,

I2 =32arctan(

x + 12

)

El valor de I se puede obtener ahora juntando estos resultados parciales:

I = x + ln(|x2 + 2x + 5|) +32arctan(

x + 12

)

5. Ejercicios

1. Calcular las integrales∫e5xdx,

∫sen(5x)dx,

∫dx

5− 2x

2. Calcular las integrales ∫x dx√2x2 + 3

,

∫x2

√x3 + 1

3. Calcular la integral ∫ √x3 − 3

√x

6 4√

xdx

4. Calcular las integrales∫(x +

√x)dx,

∫(

3√x− x

√x

4)dx,

∫(x2 +

13√

x)2dx

5. Calcular la integral ∫dx

cos2x√

tan(x)− 1

6. Calcular la integral ∫cos(2x)dx

(2 + 3sen(2x))3

20

7. Calcular la integral ∫cos(x)dx

sen2x

8. Calcular la integral ∫arcsen(x)dx√

1− x2

9. Calcular la integral ∫dx√

9− x2

10. Calcular la integral ∫arccos(x)− x√

1− x2dx

11. Calcular la integral ∫xarctan(x)dx

12. Calcular la integral ∫xcos2xdx

13. Calcular la integral ∫xarcsen(x)dx√

1− x2

14. Calcular la integral ∫tan4xdx

15. Calcular la integral ∫ex2+4x+3(x + 2)dx

16. Calcular la integral ∫exdx

1 + e2x

17. Calcular la integral ∫dx

3x2 − 2x + 4

21

18. Calcular la integral ∫(3x− 2)dx

5x2 − 3x + 2

19. Calcular las integrales ∫dx√

a2 − x2,

∫dx

x2 + a2

cualquiera que sea el valor a 6= 0 del parametro.

20. Calcular la integral ∫dx√

2− 3x− 4x2

21. Calcular la integral ∫4dx

x4 + 1

(La factorizacion de x4 + 1 es: x4 + 1 = (x2 +√

2x + 1)(x2 −√

2x + 1)).

22. Calcular la integral ∫dx

(x2 − 2)(x2 − x + 1)2

23. Calcular la integral ∫dx

x3 + 1

24. Calcular la integral ∫cos4x · sen3xdx

25. Calcular la integral ∫x− 8

x3 − 4x2 + 4x

26. Calcular la integral ∫6x4 − 5x3 + 4x2

2x2 − x + 1

27. Calcular la integral ∫2x2 − 3x− 3

(x− 1)(x2 − 2x + 5)

22