capitulo 3 sistemas de ecuaciones

8/16/2019 Capitulo 3 Sistemas de Ecuaciones

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CAPITULO 3 – SISTEMAS DE ECUACIONES

3.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Un gran número de problemas prácticos de ingeniería se reduce al problema deresolver un sistema de ecuaciones lineales. Por ejemplo, puede citarse la soluciónde sistemas de ecuaciones no lineales, la aproximación polinomial, la solución de

ecuaciones diferenciales parciales, entre otros.Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas tiene la forma general11212111 ... q pa pa pa nn =+++

22222121 ... q pa pa pa nn =+++ 3.1... ... ... .

mnmnmm q pa pa pa =+++ ...2211

on la notación matricial se puede escribir la ecuación anterior como

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

x

n p

p

p

...

2

1

!

mq

q

q

...

2

1

" concretamente como A p = #., donde A es la matri$ coeficiente del sistema, pel vector incógnita % # el vector de t&rminos independientes.

'ados ( % #, se entiende por resolver el sistema )*c. 3.1+ encontrar los vectoresp #ue lo satisfagan. ( continuación estudiaremos las t&cnicas #ue permitenencontrar p mediante los m&todos directos % los m&todos iterativos.

3.2 MÉTODOS DIRECTOS DE SOLUCIÓN

on aplicables a sistemas de ecuaciones lineales de tama-o pe#ue-o omediano. a particularidad es #ue obtienen las soluciones exactas mediante

operaciones alg&bricas % trabajando con todo el sistema a la ve$. os sistemasgrandes presentan la inconveniencia de re#uerir muc/a memoria del computador, lacual a veces puede ser insuficiente. 0an sido planteados diversos m&todos desolución % la literatura sobre solución de sistemas lineales está enri#uecida coninteresantes aportes.

( continuación se describirán algunos de los m&todos mas aplicables a lasimulación matemática de reservorios con una relativamente pe#ue-a cantidad deblo#ues.

*l prototipo de todos estos m&todos se conoce como la eliminación de auss% se presenta a continuación.

3.2.1 ELIMINACIÓN DE GAUSS

onsid&rese un sistema general de tres ecuaciones lineales con tresincógnitasa11p1 2 a1p 2 a13p3 ! #1

a1p1 2 ap 2 a3p3 ! # 3.a31p1 2 a3p 2 a33p3 ! #3

4ue es representado de la siguiente manera5

6ng. 0ermas 0errera allejas Página 5 1 de 33



Programación (plicada apítulo 37istemas de *cuaciones

último, con p3 % p sustituidas en la primera ecuación de 3.? se obtiene p1. *sta partedel proceso se llama &!&tit!$i%n r'r'&i(a.

(ntes de ilustrar la eliminación de auss con un ejemplo particular, nótese #ueno es necesario conservar p1, p % p3 en la triangulari$ación % #ue &sta puede llevarsea cabo usando solamente la matri$ coeficiente ( % el vector #. Para ma%or simplicidad se empleará la matri$ aumentada 8.

8 !

3333231

2232221

1131211

qaaa

qaaa

qaaa

! B( C #D

on esto se incorporan la notación matricial % todas sus ventajas a la soluciónde sistemas de ecuaciones lineales.

E)'*+" 3.1Eesuelva por eliminación de auss el sistema5

?p1 : Fp 2 p3 ! G<<p1 : ?p 2 Hp3 ! 3<< p1 : p 2 3p3 ! ?<<

SOLUCIÓNa matri$ aumentada del sistema es

−

−

−

400311

300642

500294

Trian!"ari#a$i%n.- (l sumar la primera ecuación multiplicada por ):;?+ a lasegunda, % la primera ecuación multiplicada por ):1;?+ a la tercera, resulta5

−

2755.225.10

5055.00

500294

Ibs&rvese #ue en este paso la primera fila se conserva sin cambio.umando la segunda fila multiplicada por ):1.G;<.G+ a la tercera se obtiene la matri$

−

−

1501000

5055.00

500294

4ue en t&rminos de sistemas de ecuaciones #uedaría como?p1 : Fp 2 p3 ! G<< <.Gp 2 Gp3 ! G< 3.G :1<p3 ! 1G<

Un proceso de sustitución regresiva produce el resultado buscado. a tercera

ecuación de 3.G da el valor de p3 ! :1G. 'e la segunda ecuación se obtiene entonces<.GP ! G< : Gp3 ! 1G. " por tanto P ! G<Jinalmente al sustituir p % p3 en la primera ecuación de la forma 3.G resulta

?p1 ! G<< 2 Fp 7 p3 ! KL<. 'e modo #ue p1 ! HFGon la sustitución de estos valores en el sistema original se verifica la

exactitud de los resultados.

3.2.2 ELIMINACIÓN DE GAUSS CON PIOTEO

6ng. 0ermas 0errera allejas Página5 3 de 3




*n la eliminación de p1 de la segunda % tercera ecuaciones de la forma 3. setomó como base la primera, por lo cual se denomina ecuación pivote o, en t&rminosde la notación matricial, /i"a +i(t'. Para eliminar P de la tercera ecuación de laforma 3.3, la fila pivote utili$ada fue la segunda. *l coeficiente de la incógnita #ue seva a eliminar en la fila pivote se llama pivote. *n la eliminación #ue dio comoresultado el sistema de ecuaciones 3.?, los pivotes fueron a 11 % a=. *sta elección

natural de los pivotes a11, a=, a33@, etc., es mu% conveniente tanto para trabajar conuna calculadora como con una computadora, desafortunadamente falla cuandoalguno de esos elementos es cero, puesto #ue los multiplicadores #uedaríanindeterminados )por ejemplo si a11 fuera cero, el multiplicador )a1;a11+ no estádefinido+. Una manera de evitar esta posibilidad es seleccionar como pivote elcoeficiente de máximo valor absoluto en la columna relevante de la matri$ reducida.omo antes, se tomarán las columnas en orden natural de modo #ue se va%aneliminando las incógnitas tambi&n en orden natural p1, p, p3, etc. *sta t&cnica,llamada pivoteo, se ilustra con la solución del siguiente sistema.

E)'*+" 3.2 Eesuelva el sistema

1<p1 2 p : Gp3 ! 1<<:<p1 2 3p 2 <p3 ! << 3.H Gp1 2 3p 2 Gp3 ! H<<SOLUCIÓN

a matri$ aumentada es

−

−

600535

20020320

1005110

*l primer pivote debe ser ):<+, %a #ue es el elemento de máximo valor absoluto en laprimera columna. Mamos a la forma triangular en la eliminación. Para esto es

necesario, por ejemplo en la ecuación 3.H, intercambiar la segunda fila )donde seencuentra el elemento de máximo valor absoluto+ con la primera, con lo #ue seobtiene

−

−

600535

1005110

20020320

e elimina entonces P1 de la segunda % tercera filas de la ecuación 3.H. Paraello, se suma a la segunda fila la primera multiplicada por ):1<;):<++, % a la tercerafila la primera multiplicada por ):G;):<++. on esto se reduce en la primeraeliminación a

−

6501075.30

20055.20

20020320

*l siguiente pivote debe seleccionarse entre la segunda % tercera filas )segundacolumna+ % en este caso es )3.KG+. se intercambian la segunda % la tercera filas de lamatri$ anterior para obtener

6ng. 0ermas 0errera allejas Página5 ? de 3




−

20055.20

6501075.30

20020320

umando a la tercera fila la segunda multiplicada por ):.G;3.KG+, al eliminar p

resulta

−−

−

3.233666.100

6501075.30

20020320

4ue tiene %a la forma triangular % está lista para la sustitución regresiva #ueproporciona los siguientes valores5

140666.1

3.2333 =

−

−= p . 'e la tercera ecuación

20075.3

)140(106502 −=

−= p . 'e la segunda ecuación. " finalmente5

10020

)140(20)200(32001

=−

−−−= p . 'e la primera ecuación

Para terminar el tema, comparemos las t&cnicas de eliminación de auss con

pivoteo % sin &ste. Por brevedad, la primera se denominará P % la segunda .1. a bús#ueda del coeficiente de ma%or valor absoluto #ue se usará como pivote %el intercambio de filas significa ma%or programación en P.. *ncontrar en P un pivote igual a cero significaría #ue se trata de una matri$coeficiente ( singular % #ue el sistema ( p ! # no tiene solución única. *ncontrar en un pivote igual a cero detendría el proceso de triangulari$ación.

( pesar de la programación adicional % el ma%or tiempo de má#uina #ue seemplea en el m&todo de auss con pivoteo, sus otras ventajas borran totalmenteestas desventajas en la práctica.

3.2.3 ELIMINACIÓN DE GAUSS - 0ORDAN

*s posible extender los m&todos vistos de modo #ue las ecuaciones seredu$can a una forma en #ue la matri$ coeficiente del sistema sea diagonal % %a nose re#uiera la sustitución regresiva. os pivotes se eligen como en el m&todo deauss con pivoteo, % una ve$ intercambiadas las filas se eliminan los elementosarriba % debajo del pivote. *l sistema del ejemplo 3.3 ilustra este m&todo.

E)'*+" 3.3Por eliminación de Nordan, resuelva el sistema

?p1 : Fp 2 p3 ! G<<p1 : ?p 2 Hp3 ! 3<<

p1 : p 2 3p3 ! ?<<SOLUCION

a matri$ aumentada del sistema es

−

−

−

400311

300642

500294

6ng. 0ermas 0errera allejas Página5 G de 3




omo en la primera columna el elemento de máximo valor absoluto seencuentra en la primera fila, ningún intercambio es necesario % el primer paso deeliminación produce

−

2755.225.10

5055.00

500294

*l elemento de máximo valor absoluto en la parte relevante de la segunda columna

)filas % 3+ es 1.G9 por tanto, la fila 3 debe intercambiarse con la .

−

5055.00

2755.225.10

500294

umando la segunda fila multiplicada por ):):F+;1.G+, a la primera fila % la segundamultiplicada por ):<.G;1.G+ a la tercera, se obtiene el nuevo arreglo

− 60400

2755.225.10

24802004

'onde se /an eliminado los elementos de arriba % abajo del pivote )nótese #ue en

este paso el primer pivote no se modifica por#ue sólo /a% ceros debajo de &l+. Por último, sumando la tercera fila multiplicada por ):<;?+ a la primera fila % la terceramultiplicada por ):.G;?+ a la segunda

− 60400

5.312025.10

2780004

4ue escrita de nuevo como sistema de ecuaciones da ?p1 ! KL<1.Gp ! 31.G ?p3 ! :H<

'e donde el resultado final se obtiene fácilmente

6954/27801 == p

25025.1/5.3122 == p

154/603

−=−= p

3.2. MÉTODOS DE ACTORIACIÓN DE DOOLITLE 4 CROUT.

onsiste en descomponer la matri$ A en dos matrices5 una matri$ triangular inferior L % una matri$ triangular superior U para aplicarse al sistema A + = 5 sinintercambio de filas. *l resultado anterior permite resolver el sistema A + = 5, %a #uesustitu%endo A por LU se tieneUp = #

e /ace U p = g, donde g es un vector desconocido [ ]T n

g g g g ...321 , #ue

se puede obtener fácilmente resolviendo el sistemaLg = q

on sustitución progresiva o /acia adelante, %a #ue L es triangular inferior.Una ve$ calculado g, se resuelve

Up = g

6ng. 0ermas 0errera allejas Página5 H de 3




on sustitución regresiva, %a #ue U es triangular superior % de esa manera seobtiene el vector solución p.

Para encontrar las matrices triangulares se anali$a la factori$ación de ( en lasmatrices generales % U, dadas a continuación

3,32,31,3

2,21,2

1,1

0

00

l l l

l l

l

3,3

3,22,2

3,12,11,1

00

0

u

uu

uuu

!

3,32,31,3

3,22,21,2

3,12,11,1

aaa

aaa

aaa

3.K

e multiplicana+Primera fila de por las tres columnas de U

1,11,11,1 aul =

2,12,11,1 aul =

3,13,11,1 aul =

b+egunda fila de por las tres columnas de U 1,21,11,2 aul =

2,22,22,22,11,2 aul ul =+

3,23,22,23,11,2 aul ul =+

c+Oercera fila de por las tres columnas de U 1,31,11,3 aul =

2,32,22,32,11,3 aul ul =+

3,33,33,33,22,33,11,3 aul ul ul =++

e llega a un sistema de nueve ecuaciones con 1 incógnitas,,,,,,

3,32,31,32,21,21,1 l l l l l l 3,33,22,23,12,11,1 ,,,,, uuuuuu , por lo #ue será necesario

establecer tres condiciones arbitrarias sobre las incógnitas para resolver dic/osistema. a forma de seleccionar las condiciones /a dado lugar a diferentesm&todos9 por ejemplo, si se toman de modo #ue 1

3,32,21,1 === l l l , se obtiene el

*6td d' D"it"'9 si en cambio se selecciona 13,32,21,1

=== uuu , el algoritmoresultante es llamado *6td d' Cr!t.

e continuará el desarrollo de la factori$ación. Oómese 13,32,21,1 === l l l

on estos valores se resuelven las ecuaciones directamente en el orden en #ueestán dadas'e )a+ u1,1 ! a1,1 u1, ! a1, u1,3 ! a1,3 3.L'e )b+ % sustitu%endo los resultados )*c. 3.L+

1,1

1,2

1,1

1,2

1,2a

a

u

al ==

2,1

1,1

1,2

2,22,11,22,22,2 aa

aaul au −=−= 3.F

3,1

1,1

1,2

3,23,11,23,23,2 aa

a

aul au −=−=

'e )c+ % sustitu%endo los resultados de las ecuaciones 3.L % 3.F

1,1

1,3

1,1

1,3

1,3a

a

u

al ==

6ng. 0ermas 0errera allejas Página5 K de 3




2,1

1,1

1,2

2,2

2,1

1,1

1,3

2,3

2,2

2,11,32,3

2,3

aa

aa

aa

aa

u

ul al

−

−

=−

= 3.1<

−

−

−

−−=−−= 3,1

1,1

1,2

3,2

2,1

1,1

1,2

2,2

2,1

1,1

1,3

2,3

3,11,1

1,3

3,33,22,33,11,33,33,3 aa

a

aa

a

aa

aa

aa

aa

a

aul ul au

as ecuaciones 3.L, 3.F % 3.1<, convenientemente generali$adas constitu%en unm&todo directo para la obtención de % U , con la ventaja sobre la triangulari$aciónde #ue no se tiene #ue escribir repetidamente las ecuaciones o arreglos modificadosde (p ! #. ( continuación se resuelve un ejemplo.

E)'*+" 3.

Eesuelva por el m&todo de 'oolitle el sistema?p1 :Fp 2 p3 ! G

p1 :?p 2 Hp3 ! 3 p1 :p 2 3p3 ! ?

SOLUCIÓNon 13,32,21,1

=== l l l , se procede al cálculo de la primera fila de Uu1,1 ! ? u1, ! :F u1,3 !

álculo de la primera columna de l1,1 ! 1 )dato+ l,1 ! ;? ! <.G l3,1 ! ! <.G

álculo de la segunda fila de Uu,1 ! < )recu&rdese #ue U es triangular superior+u, ! :? 7);?+):F+ ! <.G

u,3 ! H 7);?+)+ ! Gálculo de la segunda columna de

l1, ! < )%a #ue es triangular inferior+l, ! 1 )dato+l3, ! ):1:)1;?+):F++;):?:);?+):F++ ! .G

álculo de la tercera fila de U, o más bien sus elementos faltantes, %a #ue por ser triangular superior u31 ! u3 ! <u3,3 ! 3 :)1;?+)+ :B):l:)1;?+):F++;):?:);?+):F++D)H:);?+)++ ! : 1<

on esto se finali$a la factori$ación.

as matrices % U #uedan como sigue

!

15.225.0

015.0

001

U !

−

−

1000

55.00

294

u%o producto, como %a se comprobó, da A.e resuelve el sistema g ! #, donde # es el vector de t&rminos independientes

del sistema original

6ng. 0ermas 0errera allejas Página5 L de 3




15.225.0

015.0

001

3

2

1

g

g

g

!

4

3

5

g1 ! Gg ! 3 7<.G)G+ ! <.Gg3 ! ? 7<.G)G+ 7.G )<.G+ ! 1.G

", finalmente, al resolver el sistema Up ! g se tiene la solución del sistemaoriginal

−

−

1000

55.00

294

3

2

1

p

p

p

!

5.1

5.0

5

p3 ! :<.1Gp ! )<.G 7G):<.1G++;<.G ! .Gp1 !)G 2 F).G+ :):<.1G++;? ! H.FG

p !

− 15.0

5.2

95.6

as ecuaciones 3.L, 3.F % 3.1< se generali$an para factori$ar la matri$ coefi:ciente del sistema (p ! #, #ue puede resolverse por eliminación de auss sinintercambio de filas9 se tiene entonces

∑−

=

−=1

1

,,,,

i

k

jk k i ji ji ul au j ! i21, Q ,n

)(1 1

1

,,,

,

, ∑−

=

−= j

k

k i jk ji

ji

ji l uau

l i ! j21, Q ,n 3.11

1, =iil i ! i21, Q ,n

on la convención en las sumatorias #ue ∑= =

0

1 0k

Puede observarse al seguir las ecuaciones 3.L, 3.F, 3.1< o bien las ecuaciones3.11, #ue una ve$ empleada ai,j el cálculo de ui,j o li,j según sea el caso, estacomponente de ( no vuelve a emplearse como tal, por lo #ue las componentes de %U generadas pueden guardarse en ( % a/orrar memoria de esa manera.

3.3 MÉTODOS ITERATIOS

(l resolver un sistema de ecuaciones lineales por eliminación, la memoria demá#uina re#uerida es proporcional al cuadrado del orden de A, % el trabajo com:putacional es proporcional al cubo del orden de la matri$ coeficiente A. 'ebido aesto, la solución de sistemas lineales grandes )n ≥ G<+, con matrices coeficientedensas, se vuelve costoso % difícil en una computadora con los m&todos deeliminación, %a #ue se re#uiere amplia memoria. (demás, como el número deoperaciones #ue se debe ejecutar es mu% grande, se pueden producir errores deredondeo tambi&n mu% grandes. in embargo, se /an resuelto sistemas de orden1<<<, % aun ma%or, con los m&todos #ue se estudiarán en esta sección.

6ng. 0ermas 0errera allejas Página5 F de 3




*stos sistemas de un número mu% grande de ecuaciones se presentan en la so:lución num&rica de ecuaciones diferenciales parciales, en la solución de los modelosresultantes en la simulación de columnas de destilación, etc. *n favor de estos sis:temas, puede decirse #ue tienen matrices con pocos elementos distintos de cero %#ue &stas poseen ciertas propiedades )sim&tricas, bandeadas, diagonal dominantes,etc.+, #ue permiten garanti$ar &xito en la aplicación de los m&todos de esta sección.a solución se obtiene mediante aproximaciones sucesivas9 la ventaja #ue tienen

sobre los m&todos directos es #ue pueden manejar sistemas grandes de ecuaciones,por#ue no es necesario #ue todas las ecuaciones est&n en la memoria delcomputador. a desventaja relativa radica en el /ec/o de #ue los m&todos puedencrear inestabilidad % perder la convergencia de las soluciones.onsid&rese el siguiente sistema5

(p ! # (sumiendo #ue se obtiene una solución aproximada p<, esta aproximación

tendrá un error R< respecto a la solución exacta, tal #ue5p ! p< 2 R< Por lo tanto5

(p ! (p< 2 (R< I sea5 (R< ! # : (p<

*ste vector se llama vector residual, % naturalmente es < para solución exacta.

3.3.1 MÉTODOS DE 0ACO7I 4 GAUSS-SEIDEL

e puede aplicar esta t&cnica para elaborar m&todos de solución de Ap = q , dela manera siguiente.

e parte de Ap = q para obtener la ecuación Ap - q = 8, 3.1

*cuación vectorial correspondiente a f(p) = <. e busca a/ora una matri$ B %un vector $, de manera #ue la ecuación vectorial

p = Bp 2 $, 3.13ea sólo un arreglo de la ecuación 3.19 es decir, de manera #ue la solución de

una sea tambi&n la solución de la otra. a ecuación 3.13 correspondería a p = g)p+. ( continuación se propone un vector inicial p )<+ como primera aproximación al vector solución p. uego, se calcula con la ecuación 3.1? la sucesión vectorial p)1+, p)+, ...,dela siguiente manerap)S21+ ! 8p)S+ 2c, S ! <, 1, , ... 'onde

[ ]T k

n

k k k p p p p ...21

)( = p)S+ 3.1?

Para #ue la sucesión p(0), p(1), ..., p(n), ..., converja al vector solución p esnecesario #ue eventualmente p j

m, 1 ≤ j ≤ n )los componentes del vector p )m++, seaproximen tanto a p j, 1 ≤ j ≤ n )los componentes correspondientes a p+ #ue todas las

diferencias j

m

j p p − , 1 ≤ j ≤ n sean menores #ue un valor pe#ue-o previamentefijado, % #ue se conserven menores para todos los vectores siguientes de la iteración9es decir

j

m

jm

p p =∞→

lim 1 ≤ j ≤ n 3.1G

a forma como se llega a la ecuación ?.13 define el algoritmo % suconvergencia. 'ado el sistema Ap = q , la manera más sencilla es despejar p1 de laprimera ecuación, p de la segunda, etc. Para ello, es necesario #ue todos loselementos de la diagonal principal de A, por ra$ones obvias, sean distintos de cero.

6ng. 0ermas 0errera allejas Página5 1< de 3




Para ver esto en detalle consid&rese el sistema general de tres ecuaciones)naturalmente puede extenderse a cual#uier número de ecuaciones+.ea entoncesa11p1 2 a1p 2 a13p3 ! #1

a1p1 2 ap 2 a3p3 ! #

a31p1 2 a3p 2 a33p3 ! #3

on , a11, a % a33 distintos de cero.

e despeja p1 de la primera ecuación, p de la segunda % p3 de la tercera con lo #uese obtiene

33

3

2

33

32

1

33

31

3

22

23

22

23

1

22

212

11

1

3

11

13

2

11

12

1

a

q p

a

a p

a

a p

a

q p

a

a p

a

a p

a

q p

a

a p

a

a p

+−−=

+−−=

+−−=

3.1H

4ue en notación matricial #ueda

3

2

1

p

p

p

!

−−

−−

−−

0

0

0

33

32

33

31

22

23

22

21

11

13

11

12

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

3

2

1

p

p

p

2

33

3

22

2

11

1

a

q

a

q

a

q

?.1K

" &sta es la ecuación 3.1? desarrollada, con

8 !

−−

−−

−−

0

0

0

33

32

33

31

22

23

22

21

11

13

11

12

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

% c !

33

3

22

2

11

1

a

q

a

q

a

q

Una ve$ #ue se tiene la forma 3.1K, se propone un vector inicial p )<+ #ue puedeser p)<+ ! <, o algún otro #ue sea aproximado al vector solución p. e presenta acontinuación un algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones lineales con elm&todo iterativo, en sus dos versiones, despla$amientos simultáneos %despla$amientos sucesivos

3.3.1.1 ITERACIÓN DE 0ACO7I 9DESPLAAMIENTOS SIMULT:NEOS;

i

=k

k

k

k

p

p

p

p

3

2

1

)( 3.1L





*s el vector aproximación a la solución p despu&s de k iteraciones, entonces setiene para la siguiente aproximación

−−

−−

−−

=

=+

+

+

+

)(1

)(1

)(1

2321313

33

3231212

22

3132121

11

1

3

1

2

1

1

)1(

k k

k k

k k

k

k

k

k

pa paqa

pa paqa

pa paqa

p

p

p

p 3.1F

I bien, para un sistema de n ecuaciones con n incógnitas % usando notaciónmás compacta % de ma%or utilidad en programación, se tiene

+−−= ∑≠

=

+n

i j

j

k

jiji

ii

k

i paqa

p1

1 1, para 1 ≤ i ≤ n 3.<

3.3.1.2 ITERACIÓN DE GAUSS-SEIDEL 9DESPLAAMIENTOS SUCESIOS;

*n este m&todo los valores #ue se van calculando en la )S21+:&sima iteración seemplean para calcular los valores faltantes de esa misma iteraciónes decir, con

)(k p se calcula )1( +k p de acuerdo con

−−

−−

−−

=

=

++

+

+

+

+

+

)(1

)(1

)(1

1

232

1

1313

33

323

1

1212

22

3132121

11

1

3

1

2

1

1

)1(

k k

k k

k k

k

k

k

k

pa paqa

pa paqa

pa paqa

p

p

p

p 3.1

I bien, para un sistema de n ecuaciones

++−−= ∑∑

+=

−

=

++n

i j

k

jij

i

j

k

jiji

ii

k

i pa paq

a p

1

1

1

11 1 , para 1 ≤ i ≤ n 3.

E)'*+" 3.<Eesuelva el siguiente sistema por los m&todos de Nacobi % auss:eidel

154

34

94

54

43

432

321

21

=+−

−=−+−

=−+−

=−

p p

p p p

p p p

p p

3.3

SOLUCIÓN'espejando p1 de la primera ecuación, p de la segunda, etc., se obtiene





4

15

4

4

3

44

4

9

44

4

5

4

34

42

3

31

2

2

1

++=

−+=

++=

+=

p p

p p p

p p p

p p

3.?

'$tr ini$ia".- uando no se tiene una aproximación al vector solución, seemplea generalmente como vector inicial el vector cero, esto es [ ]T p 0000

)0( =

a; M6td d' 0a$i*l cálculo de )1( p en el m&todo de Nacobi se obtiene rempla$ando )0(

p en cadauna de las ecuaciones de 3.?

4

15

4

04

3

4

0

4

04

9

4

0

4

04

5

4

0

4

3

2

1

++=

−+=

++=

+=

p

p

p

p

75.34

15

75.04

3

25.24

9

25.14

5

==

−=−=

==

==

" entoncesT

p

−=

4

15,

4

3,

4

9,

4

5)1(

Para calcular )2( p se sustitu%e )1( p en cada una de las ecuaciones de 3.?. Parasimplificar la notación se /an omitido los superíndices.

5625.3

75.0

375.28125.1

415

475.0

4

43

475.3

425.2

3

49

475.0

425.1

2

4

5

4

25.2

1

=+−=

=−+=

=+−=

=+=

p

p

p p

( continuación se presentan los resultados de subsecuentes iteraciones, en formatabular

T< <,<<<<<< <,<<<<<< <,<<<<<< <,<<<<<<

1 1,G<<<< ,G<<<< :<,KG<<<< 3,KG<<<< 1,G<< ,G<< :<,KG<< 3,KG<< 1,L1G<< ,3KG<<< <,KG<<<< 3,GHG<< <,GHG <,1G< 1,G<<< :<,1LKG3 1,L?3KG< ,LF<HG <,K3?3KG 3,F3KG<< <,<313 <,G1GH :<,<1GH <,3KG<? 1,FKHGH ,LF?G31 <,FGK<31 3,F33GF? <,1LF <,<<3F <,K :<,<<3FG 1,FK3H33 ,FL? <,FGK<31 3,FLFGL <,<<1< <,<LKF <,<<<< <,<GGKH 1,FFGH<G ,FLHHH <,FFF< 3,FLFGL <,<< <,<<< <,<3GF <,<<<<K 1,FFGHHK ,FFK131 <,FFFL1 3,FFL3< <,<<<1 <,<1?G <,<<<1 <,<<F<L 1,FFFL3 ,FFK1H <,FFLL?< 3,FFL?G <,<<3H <,<<<< <,<<GF <,<<<<F 1,FFFF< ,FFFG31 <,FFLLG 3,FFFK1< <,<<<< <,<<? <,<<<< <,<<1G


k

p1

k p2

k p3

k p4

k

1ε k

2ε k

3ε k

4ε




1< 1,FFFLL3 ,FFFG3H <,FFFL1< 3,FFFK13 <,<<<H <,<<<< <,<<1< <,<<<<11 1,FFFLL? ,FFFF3 <,FFFL1 3,FFFFG31 1,FFFFL1 ,FFFF? <,FFFFHF 3,FFFFG313 1,FFFFL1 ,FFFFLK <,FFFFHF 3,FFFFF1? 1,FFFFFK ,FFFFLL <,FFFFFG 3,FFFFF1G 1,FFFFFK ,FFFFFL <,FFFFFG 3,FFFFFF1H 1,FFFFFF ,FFFFFL <,FFFFFF 3,FFFFFF1K 1,FFFFFF 3,<<<<<< <,FFFFFF ?,<<<<<<

1L ,<<<<<< 3,<<<<<< 1,<<<<<< ?,<<<<<<Oabla 3.1 olución del sistema 3.3 por el m&todo de Nacobi.

b) M6td d' Ga!&&-S'id'"Para el cálculo del primer elemento del vector )1( p , se sustitu%e )0(

p en laprimera ecuación de 3.?, para simplificar la notación se /an omitido los su:períndices.

25.14

5

4

5

4

01 ==+= p

Para el cálculo de p de )1( p , se emplea el valor de p1 %a obtenido )1;?+ % losvalores de p, p3 % p? de )0(

p . (sí

5625.24

9

4

0

4

25.12 =++= p

on los valores de p1 % p %a obtenidos % con p3 % p? de p)<+ se evalúa p3 de )1( p .

109375.04

3

4

0

4

5625.23 −=−+= p

Jinalmente, con los valores de p1, p % p3 calculados previamente % con p? de p)<+,se obtiene la última componente de )1( p

722656.34

15

4

109375.04 =+

−= p

*ntonces T p ]722656.3109375.05625.225.1[)1( −=

Para la segunda iteración )cálculo de p

+ se procede de igual manera.890625.1

4

5

4

5625.21 =+= p

6953125.24

9

4

109375.0

4

890625.12 =+

−+= p

854492.04

3

4

722656.3

4

6953125.23 =

−++= p

963623.34

15

4

854492.04 =+= p

on lo #ue T p ]963623.3854492.0695313.2890625.1[)2( =

*n la tabla 3. se presentan los resultados de las iteraciones subsecuentes.

T< <,<<<<<< <,<<<<<< <,<<<<<< <,<<<<<<1 1,G<<<< ,GHG<< :<,1<F3KG 3,KHGH 1,G<< ,GHG :<,1<F? 3,KK 1,LF<HG ,HFG313 <,LG??F 3,FH3H3 <,H?<H <,13L <,FH3F <,?1<3 1,F3LL ,F??GL< <,FKK<G1 3,FF?H3 <,<33 <,?F3 <,1H <,<3<H? 1,FLH1?G ,FF<KFF <,FFHHG 3,FFF<HH <,<H3 <,<?H <,<1F <,<<?LG 1,FFKK<< ,FFL?F1 <,FFF3LF 3,FFFL?K <,<11H <,<<KK <,<<31 <,<<<L

6ng. 0ermas 0errera allejas Página5 1? de 3

k p1

k p2

k p3k p4

k

1ε

k

2ε

k

3ε k

4ε




H 1,FFFH3 ,FFFKG3 <,FFFF<< 3,FFFFKG <,<<1F <,<<13 <,<<<G <,<<<1K 1,FFFF3L ,FFFFH< <,FFFFL? 3,FFFFFH <,<<<3 <,<<< <,<<<1 <,<<<<L 1,FFFFF< ,FFFFF3 <,FFFFFK 3,FFFFFFF 1,FFFFFL ,FFFFFF 1,<<<<<< ?,<<<<<<

1< ,<<<<<< 3,<<<<<< 1,<<<<<< ?,<<<<<<Oabla 3. olución del sistema 3.3 por el m&todo de auss:eidel.

*n la aplicación de estas dos variantes son válidas las preguntas siguientes5

1. a sucesión de vectores

)1(

p ,

)2(

p ,

)3(

p , ... , converge o se aleja del vector solución T

n p p p p ]...[ 21= V. uando se detendrá el proceso iterativoV

as respuestas correspondientes, conocidas como criterio de convergencia, sedan a continuación51. i la sucesión converge a p, cabe esperar #ue los elementos de )(k

p se

va%an acercando a los elementos correspondientes de p, es decir, K p1 , a 1 p , K p2 , a

2 p , etc., o #ue se alejen en caso contrario.. uando5a+ os valores absolutos k k p p 1

1

1 −+ , k k p p 2

1

2 −+ , etc., sean todos menores de un

número pe#ue-o ε cu%o valor será dado por el programador. I bienb) i el número de iteraciones /a excedido un máximo predeterminado W(X6O.Por otro lado, es natural pensar #ue si la sucesión )0(

p , )1( p ,>, converge a p,la distancia de )0(

p a p, de )1( p a p, etc., se va reduciendo. Oambi&n es cierto #ue ladistancia entre cada dos vectores consecutivos )0(

p % )1( p , )1( p % )2( p , etc., se

decrementa conforme el proceso iterativo avan$a9 esto es, la sucesión de númerosreales5

)()1()1()2()0()1( ,...,, k k p p p p p p −−− + 3.Gonvergirá a cero.

i, por el contrario, esta sucesión de números diverge, entonces puede

pensarse #ue el proceso diverge. on esto, un criterio más esc+ 'etener el proceso una ve$ #ue )()1( k k p p −+ Y ε

(l elaborar un programa de cómputo para resolver sistemas de ecuacioneslineales, generalmente se utili$an los criterios )a+, )b+ % )c+ o la combinación de )a+ %)b+, o la de )b+ % )c+.

i se observan las columnas de las tablas 3.1 % 3., se advertirá #ue todas sonsucesiones de números convergentes, por lo #ue ambos m&todos convergen a unvector, presumiblemente la solución del sistema 3.3.

i se tomara el criterio )a+ con ε = 210− % el m&todo de Nacobi, ε se satisfaceen la sexta iteración de la tabla 3.19 en cambio si ε = 310− , se necesitan 1<iteraciones.

i se toma ε = 310− el m&todo de auss:eidel % el criterio )a+, se re#ueriríansólo seis iteraciones, como puede verse en la tabla 3..

(un#ue /a% ejemplos en los #ue Nacobi converge % auss:eidel diverge %viceversa, en general puede esperarse convergencia más rápida por auss:eidel, ouna manifestación más rápida de divergencia. *sto se debe al /ec/o de ir usandolos valores más recientes de 1+k p #ue permitirán acercarse o alejarse másrápidamente de la solución.

6ng. 0ermas 0errera allejas Página5 1G de 3




3.3.2 RE-ARREGLO DE ECUACIONES.

Para motivar el re:arreglo de ecuaciones, se propone resolver el siguientesistema con el m&todo de auss:eidel % con ε = 210− aplicado a )()1( k k p p −+

32

2

15489

10253

4321

42

4321

4321

−=−+++=+

=+++

=+++−

p p p p

p p

p p p p

p p p p

3.H

(l resolver para 1 p de la primera ecuación, para 2 p de la segunda, 3 p de la

cuarta % 4 p de la tercera se obtiene

2

329

15

9

4

9

8

9

10253

24

4213

43

1

2

4321

+−=

−+−−=

+−−−=

−++=

p p

p p p p

p p p

p

p p p p

on el vector cero como vector inicial, se tiene la siguiente sucesión devectores. Zótese #ue el proceso diverge.

T '6J*E*Z6(< <,<<<<< <,<<<<< <,<<<<< <,<<<<<1 :1<,<<<<< ,KKKKL 1?, :<,KKKKL :1<,<<<<< ,KKKKL 1?, :<,KKKKL HK,LLLLF :1L,1KL? :11,3LK <,1KL? KK,LLLLF :<,FG<H :13G,H<?F? <,FG<H3 :H31,<LH? 1K<,K1K? 11<L,HLH :1HL,K1K? :HFL,FKG31 1LL,LF<H13<,<1<FK :1LL,LF<H

Oabla 3.3. (plicación del m&todo de auss:eidel al sistema 3.H.

i el proceso iterativo diverge, como es el caso, un re:arreglo de las

ecuaciones puede originar convergencia9 por ejemplo, en lugar de despejar 1 p de laprimera ecuación, 2 p de la segunda, etc., cabe despejar las diferentes i p dediferentes ecuaciones, teniendo cuidado de #ue los coeficientes de las i p

despejadas sean distintos de cero.*sta sugerencia presenta, para un sistema de n ecuaciones, n! distintas

formas de re:arreglar dic/o sistema. ( fin de simplificar este procedimiento, seutili$ará el siguiente teorema

T'r'*a 3.1 os procesos de Nacobí % auss:eidel convergirán si en la matri$coeficiente cada elemento de la diagonal principal es ma%or )en valor absoluto+ #ue

la suma de los valores absolutos de todos los demás elementos de la misma fila ocolumna )matri$ diagonal dominante+. *s decir, se asegura / convergencia si5

∑≠=

>n

i j j

ijii aa1

ni ≤≤1

% 3.K

∑≠=

>n

i j j

jiii aa1

ni ≤≤1

6ng. 0ermas 0errera allejas Página5 1H de 3

k P 1k

P 2k P 3

k P 4




*ste teorema no será de muc/a utilidad si se toma al pie de la letra, %a #uecontados sistemas de ecuaciones lineales poseen matrices coeficientediagonalmente dominantes9 sin embargo, si se arreglan las ecuaciones para tener elsistema lo más cercano posible a las condiciones del teorema, algún beneficio sepuede obtener. [sta es la pauta para reordenar las ecuaciones % obtener o mejorar la convergencia, en el mejor de los casos. ( continuación se ilustra esto, re:arreglando el sistema ?.H, despejando 1 p de la ecuación ?, 2

p de la ecuación ,

3 p de la ecuación 1 % 4 p de la ecuación 3 para llegar a5

25

10

5

2

5

3

5

9

15

9

4

9

8

9

2

3

222

24

421

3

431

2

432

1

+−=

+−−=

+−−−=

−+−−=

p p

p p p p

p p p p

p p p p

os resultados para las primeras 1L iteraciones con el vector cero como vector inicial se muestran en la tabla 3.?

(ntes de continuar las iteraciones, puede observarse en la tabla 3.? #ue losvalores de )18( p parecen converger al vector

[ ]T p 2101−=

on la sustitución de estos valores en el sistema 3.H, se comprueba #ue 1 p

! :1, 2 p ! <.<, 3 p ! 1 % 4 p ! es el vector solución % por ra$ones obvias se detiene

el proceso.

T '6J*E*Z6(< <,<<<<< <,<<<<< <,<<<<< <,<<<<<

1 :1,G<<<< 1,L3333 <,H<<<< <,1HHHK :1,G<<<< 1,L3333 <,H<<<< <,1HHHK :,H3333 1,3G1LG <,GFGGH <,H?L1G :1,13333 :<,?L1?L :<,<<??? <,?L1?L3 :,1?FH3 1,<LL<K <,HGKFL <,F11F3 <,?L3K< :<,H3KF <,<H? <,H3KF? :1,F1K<G <,LLFG< <,K1L11 1,11<G< <,3GL :<,1FLGH <,<H<1? <,1FLGHG :1,K?LGH <,KF<K <,KHLHG 1,K<F3 <,1HL?F :<,1H<?3 <,<G<G3 <,1H<?3H :1,H133F <,GFKL? <,L1<G 1,?<1H <,13G1H :<,131? <,<?1H< <,131?K :1,G<FH <,?F<H <,L??3F 1,G<FK? <,11<?? :<,1<KGL <,<3?1? <,1<KGLL :1,?1?G <,?<<? <,LK3F 1,GFKFH <,<F<G1 :<,<LL <,<L<< <,<LLF :1,33L? <,3FK< <,LFG3G 1,HK<3< <,<K? :<,<K3? <,<FH <,<K3?1< :1,KK3K <,K<3L <,F1?1L 1,KFH <,<H<LH :<,<GF3 <,<1LL3 <,<GF311 :1,K?K <,1K3 <,FFH 1,KKLK <,<?FF1 :<,<?LHG <,<1G?? <,<?LHG1 :1,1LHG? <,1L1L3 <,F?F 1,L1L1K <,<?<F3 :<,<3FF< <,<1HH <,<3FF<

13 :1,1GFK <,1?F11 <,FGHK 1,LG<LF <,<33GH :<,<3K <,<1<3L <,<3K1? :1,1G?G <,1L <,FH11F 1,LKKK <,<KG3 :<,<HL3 <,<<LG <,<HL31G :1,1<LK <,1<<L <,FHL1K 1,LFFK <,<GK :<,<<< <,<<HFL <,<<<

Oabla 3.?. (plicación del m&todo de auss:eidel al sistema 3.H, re:arreglando las ecuaciones paraobtener una aproximación a un sistema diagonal dominante.

3. SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

e vio cómo encontrar las raíces de una ecuación de la forma f )x+ ! <.

6ng. 0ermas 0errera allejas Página5 1K de 3

k

P 1

k P 2

k P 3k P 4




(demás se vieron t&cnicas iterativas de solución de sistemas de ecuaciones lineales (x ! b. (/ora veremos sistemas de ecuaciones no lineales donde se tiene unsistema de varias ecuaciones con varias incógnitas, cu%a representación es5f 1)x1, x, x3, Q, xn+ ! <f )x1, x, x3, Q, xn+ ! <.. 3.L

f n)x1, x, x3, Q, xn+ ! <donde fi)x1,x,x3 Q, xn+ para 1 \ i \ n es una función )lineal o no+ de las variablesindependientes x1, x, x3, Q, xn.

i la ecuación 3.L consiste sólo en una ecuación de una incógnita )n ! 1+, setiene la ecuación del tipo f )x+ ! <. *n cambio si n ] 1 se tendrá un sistema deecuaciones lineales % f 1, f , Q f n son todas funciones lineales de x1, x, x3, Q, xn.

Por todo esto, es fácil entender #ue los m&todos iterativos de solución de laecuación 3.L son extensiones de los m&todos para ecuaciones no lineales en unaincógnita % emplean las ideas #ue se aplicaron al desarrollar los algoritmos iterativospara resolver A x ! b.

( continuación se dan algunos ejemplos.

a+ 04),(

2

2

2

1211 =−+= x x x x f

0),( 2

12212 =−= x x x x f

b+ 0)(10),( 2

12211 =−= x x x x f

01),(1212 =−= x x x f

c+ 010),,( 2

3

13213211 =+−= x x x x x x x x f

015)(2),,( 23213212 =−++= x sen x x x x x x f 0335),,(

3

331

2

23213 =+−−= x x x x x x x f

3..1 DIICULTAD EN SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

(ntes de desarrollar los m&todos iterativos para resolver sistemas deecuaciones no lineales con varias 6ncógnitas, se destacarán algunas de lasdificultades #ue se presentan al aplicar estos m&todos.*s imposible graficar las superficies multidimensionales definidas por las

ecuaciones de los sistemas para n ] .Zo es fácil encontrar >buenos@ valores iniciales.

Para atenuar estas dificultades se darán algunas sugerencias aplicables antesde un intento formal de solución de la ecuación 3.L.

3..1.1 REDUCCIÓN DE ECUACIONES

Eesulta mu% útil tratar de reducir analíticamente el número de ecuaciones % deincógnitas antes de intentar una solución num&rica. *n particular, trátese de resolver alguna de las ecuaciones para alguna de las incógnitas. 'espu&s, sustitú%ase laecuación resultante para esa incógnita en todas las demás ecuaciones9 con esto elsistema se reduce en una ecuación % una incógnita. ontinúese de esta manera/asta donde sea posible.

Por ejemplo, en el sistema

6ng. 0ermas 0errera allejas Página5 1L de 3




0)(10),( 2

12211 =−= x x x x f

01),(1212 =−= x x x f

se despeja x1 en la segunda ecuaciónx1 ! 1% se sustitu%e en la primera1<)x 7 1+ ! <cu%a solución, x ! 1, conjuntamente con x1 ! 1 proporciona una solución del sistema

dado, sin necesidad de resolver dos ecuaciones con dos incógnitas.

3..1.2 PARTICIÓN DE ECUACIONES

( veces resulta más sencillo dividir las ecuaciones en subsistemas menores %resolverlos por separado. onsid&rese por ejemplo el siguiente sistema de cincoecuaciones con cinco incógnitas

0),,,,( 543211 = x x x x x f

0),,,( 54212 = x x x x f

0),,,( 54313 = x x x x f

0),(

424

= x x f

0),( 415 = x x f

*n ve$ de atacar las cinco ecuaciones al mismo tiempo, se resuelve elsubsistema formado por 542 ,, f f f . as soluciones de este subsistema se utili$andespu&s para resolver el subsistema compuesto por las ecuaciones f 1 % f 3

*n general, una partición de ecuaciones es la división de un sistema deecuaciones en subsistemas llamados blo#ues. ada blo#ue de la partición es elsistema de ecuaciones más pe#ue-o #ue inclu%e todas las variables #ue es precisoresolver.

3..1.3 TANTEO DE ECUACIONES

upóngase #ue se #uiere resolver el siguiente sistema de cuatro ecuacionescon cuatro incógnitas 0),(

321 = x x f

0),,( 4322 = x x x f

0),,,( 43213 = x x x x f

0),,(3214 = x x x f

Zo se pueden dividir en subsistemas, sino #ue es preciso resolverlassimultáneamente. in embargo, es posible abordar el problema por otro camino.upóngase #ue se estima un valor de x3. e podría obtener así x a partir de f 1, x 4 def 2 % x1 de f 3. Jinalmente, se comprobaría con f ? la estimación /ec/a de x3 í f 4 fuesecero o menor en magnitud #ue un valor predeterminado o criterio de exactitud ^, laestimación x3 % los valores de x, x? % x1 obtenidos con ella, serían una aproximación ala solución del istema dado. *n caso contrario, /abría #ue proponer un nuevo valor de x3 % repetir el proceso.

Zótese la íntima relación #ue guarda este m&todo con el m&todo de punto fijo,%a #ue un problema multidimensional se reduce a unidimensional en x 35/)x3+ ! <.

6ng. 0ermas 0errera allejas Página5 1F de 3




3..1. ALORES INICIALES

a+'e consideraciones físicasí el sistema de ecuaciones 3.L tiene un significado físico, con frecuencia es

posible acotar los valores de las incógnitas a partir de consideraciones físicas. Por ejemplo, si alguna de las variables x i, representa la velocidad de flujo de un fluido,

&sta no podrá ser negativa. Por tanto x i _ < *n el caso de #ue xi represente unaconcentración expresada como fracción peso o fracción molar de una corriente dealimentación, se tiene #ue < \ x i ≤ 1.

b+ 'e consideraciones geom&tricas*n caso de tener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

0),( 211 = x x f

0),(212 = x x f

ada una define, en general, una curva en el plano x1 7 x % el problema deresolver el sistema puede verse como el problema de encontrar el punto o los puntosde intersección de estas dos curvas. raficando )puede usarse el soft`are , el

Wat/:(', o un programa #ue grafi#ue+ pueden obtenerse buenos valores iniciales.ea por ejemplo el sistema0),( 211 = x x f

0),( 212 = x x f

(l graficar f 1 % f 2 se obtiene la figura 3.1, en donde se podrán apreciar valoresiniciales mu% cercanos a la solución.

Jigura 3.1 olución gráfica de un sistema de dos ecuaciones

Por último, resulta mu% conveniente conocer bien las características de cada m&todode solución del sistema 3.L para efectuar la elección más adecuada del mismo.3..2 MÉTODO DE PUNTO I0O MULTIARIA7LE

os algoritmos discutidos a#uí son, en principio, aplicables a sistemas decual#uier número de ecuaciones. in embargo, para ser más concisos % evitar flotación complicada, se considerará sólo el caso de dos ecuaciones con dos incóg:

6ng. 0ermas 0errera allejas Página5 < de 3




nitas. *stas generalmente se escribirán comof 1)x, %+ ! <f )x, %+ ! < 3.F

% se tratará de encontrar pares de valores (x, y) #ue satisfagan ambas ecuaciones.omo en el m&todo de punto fijo, se resolverá la primera ecuación para alguna de lasvariables, x por ejemplo, % la segunda para %.

x ! g1)x, %+

% ! g)x, %+ 3.3< (l igual #ue en los m&todos mencionados, se tratará de obtener la estimación(k 2 1+:&sima a partir de la estimación S:&sima con la expresión

),(11 k k k

y x g x =+

),(2

1 k k k y x g y =+ 3.31

e comien$a con valores iniciales x<, %<, se calculan nuevos valores x1, %1 % serepite el proceso, esperando #ue despu&s de cada iteración los valores de x S, %S seaproximen a la raí$ buscada y x, , la cual cumple con

),(1 y x g x =

),(2 y x g y =

Por analogía con los casos discutidos, puede predecirse el comportamiento %las características de este m&todo de punto fijo multivariable.

omo se sabe, en el caso de una variable la manera particular de pasar def)x+ ! < a x ! g)x+, afecta la convergencia del proceso iterativo. *ntonces debeesperarse #ue la forma en #ue se resuelve para x ! g 1)x, %+ % % ! g)x, %+ afecte laconvergencia de las iteraciones 3.31.

Por otro lado, se sabe #ue el reordenamiento de las ecuaciones en el casolineal afecta la convergencia, por lo #ue puede esperarse #ue la convergencia delm&todo en estudio dependa de si se despeja x de f o de f 1.

Jinalmente, la convergencia : en caso de existir : es de primer orden, cabeesperar #ue el m&todo iterativo multivariable tenga esta propiedad.

E)'*+" 3.?*ncuentre una solución del sistema de ecuaciones no lineales

f 1)x, %+ ! x 7 1<x 2 % 2 L ! <f )x, %+ ! x% 2 x 7 1<% 2 L ! <.

SOLUCIÓNon el despeje de x del t&rmino ):1<x+ en la primera ecuación % de % del t&rmino ):1<%+ en la segunda ecuación, resulta

10

822 ++

= y x

x

10

82 ++=

x xy y

o con la notación de la ecuación 3.31

10

8)()( 22

1 ++=+

k k k y x

x

10

8)( 21 ++=+

k k k k x y x

y

on los valores iniciales x< ! <, %< ! <, se inicia el proceso iterativo





Pri*'ra it'ra$i%n

8.010

800 22

1 =++

= x

8.010

80)0(0 2

1 =++

= y

S'!nda it'ra$i%n928.0

10

8)8.0()8.0( 222 =

++= x

9312.010

88.0)8.0(8.0 22 =

++= y

(l continuar el proceso iterativo, se encuentra la siguiente sucesión de vectoresS xS %S

< <.<<<<< <.<<<<<1 <.L<<<< <.L<<<< <.FL<< <.F31<3 <.FKL3 <.FK3K? <.FLF3K <.FLF??G <.FFGKL 0.99579H <.FFL3 <.FFL3K <.FFF33 <.FFF33L <.FFFK3 <.FFFK3F <.FFFLF <.FFFLF

1< <.FFFFH <.FFFFH11 <.FFFFL <.FFFFL1 <.FFFFF <.FFFFF13 1.<<<<< 1.<<<<<

Para observar la convergencia del proceso iterativo, se pudieron usar criterioscomo distancia entre dos vectores consecutivos o bien las distancias componente acomponente de dos vectores consecutivos. Oambi&n existe un criterio deconvergencia e#uivalente #ue dice5 Una condición suficiente aun#ue no necesaria,para asegurar la convergencia es #ue

121 <≤∂

∂+

∂

∂ M

x

g

x

g 9 121 <≤

∂

∂+

∂

∂ M

y

g

y

g 3.3

para todos los puntos )x, %+ de la región del plano #ue contiene todos los valores)xS, %S+ % la raí$ buscada ),( y x .

Por otro lado9 si W es mu% pe#ue-a en una región de inter&s, la iteraciónconverge rápidamente9 si W es cercana a 1 en magnitud, entonces la iteración puedeconverger lentamente. *ste comportamiento es similar al del caso de una funciónunivariable discutido anteriormente.

Por lo general es mu% difícil encontrar el sistema 3.3< a partir de la ecuación3.F, de modo #ue satisfaga la condición 3.3.

'e todas maneras, cual#uiera #ue sea el sistema 3.F a #ue se /a%a llegado %#ue se va%a a resolver con este m&todo, puede aumentarse la velocidad deconvergencia usando despla$amientos sucesivos en lugar de los despla$amientossimultáneos del es#uema 3.31. *s decir, se iteraría mediante

6ng. 0ermas 0errera allejas Página5 de 3




),(11 k k k

y x g x =+

),( 1

2

1 k k k y x g y

++ =

i la iteración por despla$amientos simultáneos diverge, generalmente elm&todo por despla$amientos sucesivos divergiría más rápido9 es decir, se detectamás rápido la divergencia, por lo #ue se recomienda en general el uso dedespla$amientos sucesivos en lugar de despla$amientos simultáneos.

E)'*+" 3.@Eesuelva el sistema del ejemplo 3.H utili$ando el m&todo de punto fijo multivariablecon despla$amientos sucesivosf 1)x, %+ ! x 7 1<x 2 % 2 L ! <f )x, %+ ! x% 2 x 7 1<% 2 L ! <.ugerencia5 e pueden seguir los cálculos con un pi$arrón electrónico o seprograma una calculadora.

SOLUCIÓN (l despejar x del t&rmino ):1<x+ % % del t&rmino ):1<%+ de la primera % segundaecuaciones, respectivamente, resulta

10

8)()(),(

22

1

1 ++==+k k

k k k y x y x g x

10

8)(),(

121

2

1 ++==

+++

k k k k k k x y x

y x g y

(l derivar parcialmente, se obtiene

10

21

k x

x

g =

∂

∂

10

21

k y

y

g =

∂

∂

10

1)( 2

2 +=

∂

∂ k y

x

g

10

2 1

2

k k y x

y

g +

=∂

∂

% evaluadas en x< ! < % en %< ! <

01 =∂∂ x g

1012 =

∂∂ x g para x< % %<

01 =∂

∂

y

g 02 =

∂

∂

y

g para x< % %<

con lo #ue se puede aplicar la condición 3.3

x

g

∂

∂ 1 2 x

g

∂

∂ 2 ! < 2 1;1< ! 1;1< Y 1

y

g

∂

∂ 1 2 y

g

∂

∂ 2 ! < 2 < ! < Y 1

4ue se satisface9 si los valores sucesivos de la iteración5 x1, %19 x, %9 x3, %39 Qla

satisfacen tambi&n, se llega entonces a ),( y x .

Pri*'ra it'ra$i%n

8.010

800 22

1 =++

= x

88.010

88.0)0(8.0 21 =

++= y

álculo de la distancia entre el vector inicial % el vector Bx1, %1DO





18929.1)0.088.0()0.08.0( 22)0()1( =−+−=− x x

S'!nda it'ra$i%n

94144.010

8)88.0()8.0( 22

2 =++

= x

96704.010

894144.0)88.0(94144.0 22 =

++= y

álculo de la distancia entre Bx, %DO % Bx1, %1DO 16608.0)88.096704.0()8.094144.0( 22)1()2( =−+−=− x x

( continuación se muestran los resultados de las iteraciones S xS %S Cx)S21+:xSC

< <.<<<<< <.<<<<<1 <.L<<<< <.LL<<< 1.1LFF <.F?1?? <.FHK<G <.1HH<L3 <.FL1G <.FF<<H <.<?HKK? <.FF??L <.FFHF3 <.<1?115 <.FFLF <.FFF<G <.<<?3H6 <.FFF?K <.FFFK< <,<<13GK <.FFFL3 <.FFFF1 <.<<<?L <.FFFFG <.FFFFK <.<<<13F <.FFFFL <.FFFFF <.<<<<?

1< <.FFFFF 1.<<<<< <.<<<<111 1.<<<<< 1.<<<<< <.<<<<1

Zótese #ue se re#uirieron once iteraciones para llegar al vector solución )1, 1+contra 13 del ejemplo 3.H, donde se usaron despla$amientos simultáneos.

( continuación se presenta un algoritmo para el m&todo de punto fijomultivariable en sus versiones de despla$amientos simultáneos % despla$amientossucesivos.

ALGORITMO 3.1 M6td d' +!nt /i) *!"ti(aria"'

Para encontrar una solución aproximada de un sistema de ecuaciones no linealesg)x+ ! x, proporcionar las funciones )6, x+, 6 ! 1, , Q, Z % los'(OI5 *l número de ecuaciones Z, el vector de valores iniciales x, el

criterio de convergencia *P, el número máximo de iteracionesW(X6O % W ! < para despla$amientos sucesivos o W ! 1 paradespla$amientos simultáneos.

E*UO('I5 Una solución aproximada x o mensaje >ZI 0U8IIZM*E*Z6(=.

P(I 1. 0acer T ! 1P(I . Wientras T \ W(X6O, repetir los pasos 3 a 1?.

P(I 3. i W ! <, /acer a! = . 'e otro modo continuar P(I ?. 0acer 6 ! 1P(I G. Wientras 6 \ Z, repetir los pasos H % K.

P(I H. i W ! <, /acer X)6+ ! )6, x+. 'e otro modo /acer X(UX)6+ ! )6, x+

P(IK. 0acer 6 ! 6 2 1P(I L. 0acer 6 ! 1

6ng. 0ermas 0errera allejas Página5 ? de 3




P(I F. Wientras 6 \ Z, repetir los pasos 1< % 11.P(I 1<. i (8)X(UX)6+ : X)6++ ] *P ir al paso 13. 'e

otro modo continuar.P(I 11. 0acer 6 ! 6 2 1

P(I 1. 6WPE6W6E x " O*EW6Z(E.P(I 13. i W !1 /acer x ! xaux. 'e otro modo continuar P(I 1?. 0acer T ! T 2 1

P(I 1G. 6WPE6W6E mensaje >ZI 0U8I IZM*E*Z6(= % O*EW6Z(E.ugerencia5 'esarrolle este algoritmo con Wat/:(' o un soft`are e#uivalente.

3..3 MÉTODO DE NEBTON-RAPSON MULTIARIA7LE

*l m&todo iterativo para sistemas de ecuaciones converge linealmente. omoen el m&todo de una incógnita, puede crearse un m&todo de convergencia cuadráticaes decir, el m&todo de Ze`ton:Eap/son multivariable. ( continuación se obtendráeste procedimiento para dos variables9 la extensión a tres o más variables es viablegenerali$ando los resultados.

upóngase #ue se está resolviendo el sistemaf 1)x, %+ ! <f )x, %+ ! <donde ambas funciones son continuas % diferenciables, de modo #ue puedanexpandirse en serie de Oa%lor. *sto es

())((2)(!2

1)()(),(),(

22

22

−

∂∂

∂+−−

∂∂

∂+−

∂∂

∂+−

∂

∂+−

∂

∂+= b y

y y

f b ya x

y x

f a x

x x

f b y

y

f a x

x

f ba f y x f

donde f)x,%+ se /a expandido alrededor del punto (a,b) % todas las derivadasparciales están evaluadas en )a ,b+*xpandiendo f 1 alrededor de )xS, %S+

+−∂

∂+−

∂

∂+= ++++

)()(),(),( 1111

1

11

1

k k k k k k k k y y y

f x x

x

f y x f y x f

...)())((2)(!2

1 2112

1112

2112

+

−∂∂

∂+−−∂∂

∂+−∂∂

∂ ++++ k k k k k k k k y y y y

f y y x x

y x

f x x

x x

f

3.33donde todas las derivadas parciales están evaluadas en )x S,%S+. 'e la misma formapuede expandirse f como sigue

+−∂

∂+−

∂

∂+= ++++ )()(),(),( 1212

2

11

2

k k k k k k k k y y y

f x x

x

f y x f y x f

...)())((2)(!2

1 212

2112

2212

2

+

−

∂∂

∂+−−

∂∂

∂+−

∂∂

∂ ++++ k k k k k k k k y y

y y

f y y x x

y x

f x x

x x

f

3.3? (l igual #ue en la ecuación 3.33, todas las derivadas parciales de 3.3? están

evaluadas en )xS, %S+ (/ora supóngase #ue xS21 % %S21 están tan cerca de la raí$ buscada ),( y x #ue

los lados i$#uierdos de las dos últimas ecuaciones son casi cero9 además, asúmase#ue xS % %S están tan próximos de xS21 % %S21 #ue pueden omitirse los t&rminos a partir de los #ue se encuentran agrupados en par&ntesis rectangulares. on esto las ecua:ciones 3.33 % 3.3? se simplifican a

6ng. 0ermas 0errera allejas Página5 G de 3




)()(),(0 11111

k k k k k k y y y

f x x

x

f y x f −

∂

∂+−

∂

∂+≈ ++

)()(),(0 12122

k k k k k k y y y

f x x

x

f y x f −

∂

∂+−

∂

∂+≈ ++

3.3G

Para simplificar aún más, se cambia la notación conxS21 7 xS ! /%S21 7 %S ! j 3.3H

% así #ueda la )S21+:&sima iteración en t&rminos de la k-ésimas, como se ve a con:tinuaciónxS21 ! xS 2 /%S21 ! %S 2 j 3.3Ka sustitución de la ecuación 3.3H en la 3.3G % el rearreglo dan como resultado

),(111 k k y x f j y

f h

x

f −=

∂

∂+

∂

∂

),(222 k k y x f j y

f h

x

f −=

∂

∂+

∂

∂ 3.3L

*l cual es un sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas / % j )recu&rdese #uelas derivadas parciales de la ecuación 3.3L, así como f 1 % f están evaluadas en )xS,%S+%, por tanto, son números reales+.

*ste sistema de ecuaciones lineales resultante tiene solución única, siempre#ue el determinante de la matri$ de coeficientes o matri$ jacobiana N no sea cero9 esdecir si

022

11

≠

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

=

y

f

x

f

y

f

x

f

J

Precisando5 *l m&todo de Ze`ton:Eap/son consiste fundamentalmente enformar % resolver el sistema 3.3L, esto último por alguno de los m&todos vistos. on

la solución % la ecuación 3.3K se obtiene la siguiente aproximación.*ste procedimiento se repite /asta satisfacer algún criterio de convergencia

establecido.*s interesante notar #ue como en el caso unidimensional, este m&todo puede

obtenerse encontrando un plano tangente a cada f de la ecuación 3.F en )xS,%S+ %luego encontrar el cero común de estos planos9 es decir, /allar un plano tangente en)xS, %S+ tanto a la superficie f 1 como a la superficie f , % luego la intersección de cadaplano tangente con el plano x:%, con lo cual se obtienen dos líneas rectas en el plano

x-y %, por último, la intersección de estas dos líneas rectas, #ue da el cero común delos planos tangentes.

uando converge este m&todo, lo /ace con orden dos, % re#uiere #ue el

vector inicial )x<, %<+ est& mu% cerca de la raí$ buscada ),( y x

E)'*+" 3.Use el m&todo de Zc t̀on:Eap/son para encontrar una solución aproximada delsistemaf 1)x, %+ ! x 7 1<x 2 % 2 L ! <f )x, %+ ! x% 2 x 7 1<% 2L ! <con el vector inicial5 Bx<, %<DO ! B<, <DO

6ng. 0ermas 0errera allejas Página5 H de 3




SOLUCIÓNPrimero se forma la matri$ coeficiente del sistema 3.3L, tambi&n conocida comomatri$ de derivadas parciales

1021

2102

222

11

−=

∂

∂+=

∂

∂

=∂

∂−=

∂

∂

xy

y

f y

x

f

y y

f x

x

f

#ue aumentada en el vector de funciones resulta en

810

810

1021

21022

22

2−+−−

−−+−

−+

−

y x xy

y x x

xy y

y x

Pri*'ra it'ra$i%n (l evaluar la matri$ en Bx<, %<DO se obtiene

8

8

101

010

−

−

−

−

#ue al resolverse por eliminación de auss da/ ! <.L, j ! <.LLal sustituir en la ecuación 3.3K se obtienex1 ! x< 2 / ! < 2 <.L ! <.L%1 ! %< 2 j ! < 2 <.LL ! <.LLálculo de la distancia entre x)<+ % x)1+

18929.1)088.0()08.0( 22)0()1( =−+−=− x x

S'!nda it'ra$i%n (l evaluar la matri$ en Bx1, %1DO resulta

61952.0

41440.1

592.87744.1

76.14.8

−

−

−

−

#ue por eliminación gaussiana da como nuevos resultados de / % j/ ! <.3H?FK, j ! <.111K

de dondex ! x1 2 / ! <.L 2 <.3H?FK ! 1.1H?FK% ! %1 2 j ! <.LL 2 <.111K ! <.FF1Kálculo de la distancia entre x)1+ % x)+

38168.0)88.09917.0()8.016497.1( 22)1()2( =−+−=− x x

on la continuación de este proceso iterativo se obtienen los resultados siguientes S xS %S CxS21:xSC

< <.<<<<< <.<<<<<1 <.L<<<< <.LL<<< 1.1LFF 1.1H?FK <.FF1K< <.3L1HL3 1.31GG 1.<L<FF <.1KG<

? <.FLGG <.FLGFF <.<<<<e re#uirieron cuatro iteraciones para llegar al vector solución )1,1+ contra once delejemplo 3.K, donde se usó el m&todo de punto fijo con despla$amientos sucesivos.in embargo, esta convergencia cuadrática implica ma%or número de cálculos, %a#ue :como se puede observar: en cada iteración se re#uierea+ a evaluación de x derivadas parcialesb+ a evaluación de funcionesc+ a solución de un sistema de ecuaciones lineales de orden .

6ng. 0ermas 0errera allejas Página5 K de 3




ugerencia5 os cálculos, incluidas las derivadas parciales % la inversa de la matri$,se pueden ejecutar en Wat/:(' o con otro soft`are

3..3.1 GENERALIACIÓN

Para un sistema de n ecuaciones no lineales con n incógnitas )v&ase *c. 3.L+% retomando la flotación vectorial % matricial, las ecuaciones 3.3L #uedan

nn

n

nnn

n

n

n

n

f h x

f h

x

f h

x

f

f h x

f h

x

f h

x

f

f h x f h

x f h

x f

−=∂

∂++

∂

∂+

∂

∂

−=∂

∂++

∂

∂+

∂

∂

−=∂

∂++∂

∂+∂

∂

...

...

...

...

...

...

2

2

1

1

2

2

2

2

2

1

1

2

11

2

2

11

1

1

3.3F

o N / ! :f donde las funciones f i % las derivadas parciales f i;x j, i ! 1, , Q, n9 j ! 1, , Q, nestán evaluadas en el vector x )S+ %

k

i

k

ii x xh −= +1 1 \ i \ n 3.?<'e donde

i

k

i

k

i h x x +=+1 1 \ i \ n 3.?1

o )()()1( k k k h x x +=+

% la matri$ de derivadas parciales )matri$ jacobiana+, ampliada en el vector defunciones #ueda

−

−−

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

n

n

nnn

n

n

f

f f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

.

.

.

...

...

...

...

...

...

2

1

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

3.?o bien B N C f De presenta a continuación un algoritmo para este m&todo.

ALGORITMO 3.2 M6td d' N'tn-Ra+F&n M!"ti(aria"'

Para encontrar una solución aproximada de un sistema de ecuaciones no linealesf)x+ ! <, proporcionar la matri$ jacobiana ampliada con el vector de funciones )v&ase

6ng. 0ermas 0errera allejas Página5 L de 3




*c. 3.?+ % los'(OI5 *l número de ecuaciones Z, el vector de valores iniciales x, el número

máximo de iteraciones W(X6O % el criterio de convergencia JJG.E*UO('I5 *l vector solución xn o mensaje >ZI IZM*E*@.P(I 1. 0acer T ! 1P(I . Wientras T ! W(X6O, repetir los pasos 3 a F.

P(I 3. *valuar la matri$ jacobiana aumentada )3.?+.

P(I ?. Eesolver el sistema lineal )3.3F+.P(I 5. 0acer xn ! x 2 / )operación vectorial+P(I H. i Cxn 7 xC ] *P ir al paso L. 'e otro modo continuar.P(I K. 6WPE6W6E xn % O*EW6Z(E.P(I L. 0acer x ! xnP(IF. 0acer T ! T 1

P(I 1<. 6WPE6W6E AZI IZM*E*@ " O*EW6Z(E.

E)'*+" 3.on el algoritmo 3., elabore un programa de propósito general para resolver sistemas de ecuaciones no lineales. uego úselo para resolver el istemaf 1)x1, x, x3+ ! 3x1 : cos)xx3+ : <.G ! <f )x1, x, x3+ ! x1

: HGx ! <

f 3)x1, x, x3+ ! e:x1x 2 <x3 2 )1< :3+;3 ! <

SOLUCIÓNa matri$ jacobiana ampliada para el sistema es

−−−−

+−

++−

−−

−

−−−

3

31020

625

5.0)cos(3

20

012502

)()(3

3

2

2

2

1

321

12

21

322323

212121 π

xe

x x

x x x

e xe x

x x

x x sen x x x sen x

x x x x x x

(l ejecutar el programa con el vector inicial B1 1 1DO debe producir los siguientesresultados S x1 x x3 'istancia

< 1.<<<<< 1.<<<<< 1.<<<<<1 <.F<L3K <.G<<HG :<.G<LH1.GLH3 <.?FFK <.G<?H :<.G1F<?<.?KFL3 <.?FFFH <.1H<3 :<.G<?G<.1???? <.?FFFL <.<H?H< :<.G1FF<.H1??H*:<15 <.?FFFL <.<3G?< :<.GK<.F1?*:<1H <.?FFFL <.<33G :<.G3<<.1<G*:<1K <.?FFFL <.<<? :<.G3<F<.31<FG*:<L <.?FFFL <.<<<< :<.G31<

6ng. 0ermas 0errera allejas Página5 F de 3




<.3LKF*:<3F <.?FFFL <.<<<< :<.G31<<.1?L<*:<G

La &"!$i%n d'" &i&t'*a '&X1 ! <.?FFFL1KHX ! <.1FFFFHF*:<1

X3 !.:<.G31<<LGZótese #ue en cada iteración se re#uierea+ a evaluación de n derivadas parcialesb+ a evaluación de n funcionesc+ a solución de un sistema de ecuaciones lineales de orden n,lo #ue representa una inmensa cantidad de cálculo. 'ebido a esto, se /an elaboradom&todos donde los cálculos no son tan numerosos % cu%a convergencia es engeneral, superior a la del m&todo de punto fijo )superlineal+. ( continuación sepresenta el m&todo de Ze`ton:Eap/son modificado.

3.. MÉTODO DE NEBTON-RAPSON MODIICADO

*l m&todo de Ze`ton:Eap/son modificado #ue se describe a continuación consisteen aplicar el m&todo de Ze`ton:Eap/son univariable dos veces )para el caso de unsistema de n ecuaciones no lineales en n incógnitas, se aplicará n veces+, una paracada variable. ada #ue se /ace esto, se consideran las otras variables fijas.onsid&rese de nuevo el sistemaf 1)x, %+ ! <f )x, %+ ! <Oomando los valores iniciales x<, %<. se calcula a partir del m&todo de Ze`ton:Eap/son univariable un nuevo valor x1 así

x f

y x f x x ∂∂−=

1

00

101 ),(

f 1;x evaluada en x<, %<

Zótese #ue se /a obtenido x1 a partir de f 1 % los valores más recientes de x,% %5 x<,%<

(/ora se usa f % los valores más recientes de x,% % )x1, %<+ para calcular %1

y f

y x f y y

∂∂−=

2

01

201 ),(

donde f ;% se evalúa en x1, %<. e tiene a/ora x1 % %1. on estos valores se calculax, despu&s %, % así sucesivamente.

*ste m&todo converge a menudo si x<, %< está mu% cerca de ),( y x , % re#uierela evaluación de sólo n funciones por paso )cuatro para el caso de dos ecuaciones#ue se está manejando+.

Zótese #ue se /an empleado despla$amientos sucesivos, pero losdespla$amientos simultáneos tambi&n son aplicables.

E)'*+" 3.18Eesuelva el sistemaf 1)x, %+ ! x 7 1<x 2 % 2 L ! <

6ng. 0ermas 0errera allejas Página5 3< de 3




f )x, %+ ! x% 2 x 7 1<% 2L ! <con el m&todo Ze`ton:Eap/son modificado, usando los valores iniciales x<!<, %<!<.

SOLUCIÓNPrimero se obtiene

1021 −=∂

∂ x

x

f % 1022 −=

∂

∂ xy

y

f

Pri*'ra it'ra$i%ne evalúan f 1 % f 1;x en B<,<DO

f 1)<,<+ ! L%

100

01 −=∂

∂

y

x x

f

se sustitu%e

8.010

80

1 =−

−= x

Para el cálculo de %1 se necesita evaluar f % f ;% en x1, %<

J)<.L, <+ ! <.L)<+ 2 <.L : 1<)<+ 2 L ! L.L

1010)0)(8.0(20

12 −=−=∂

∂

y

x y

f

se sustitu%e

88.010

8.80

1 =−

−= y

S'!nda it'ra$i%n

f 1)<.L, <.LL+ ! 1.?1?? % 4.81

11 −=∂∂

y

x x

f

96838.04.8

4144.18.0

2 =−

−= x

(/ora se evalúan f % f ;% en )x, %1+5

J)<.FHL3L, <.LL+ ! <.F1LF % 29565.81

22 −=∂

∂

y

x y

f

de donde

99070.029565.8

91829.0

88.0

2

=−−= y

ontinuar las iteraciones % calcular las distancias entre cada dos vectoresconsecutivos. ontinuar /asta #ue xS 1 % %S 1. omparar además la velocidad deconvergencia de este m&todo con la velocidad de convergencia del m&todo deZe`ton:Eap/son % el de punto fijo para este sistema particular.

*n la aplicación de este m&todo se pudo tomar f para evaluar x1 % f 1 a fin deevaluar %1, as





x f

y x f x x

∂∂−=

2

00

201 ),(

y f

y x f y y

∂∂−=

1

01

101 ),(

*sto puede producir convergencia en alguno de los arreglos % divergencia enel otro. *s posible saber de antemano si la primera o la segunda forma convergirán

para el caso de sistemas de dos ecuaciones, pero cuando n _ 3 las posibilidades sonvarias )n+ % es imposible conocer cuál de estos arreglos tiene viabilidad deconvergencia, por lo cual la elección se convierte en un proceso aleatorio. *staaleatoriedad es la ma%or desventaja de este m&todo.

*n general, para un sistema de n ecuaciones en n incógnitas5 x1, x, Q, xn, elalgoritmo toma la forma5

),...,,,...,,(

),...,,,...,,(

1

1

1

2

1

1

1

1

1

2

1

11

k

n

k

i

k

i

k k

i

i

k

n

k

i

k

i

k k

ik

i

k

i

x x x x x x

f

x x x x x f x x

+−

++

+−

+++

∂

∂−=

1 \ i \ n 3.?3

ALGORITMO 3.3 M6td d' N'tn-Ra+F&n *di/i$ad

Para encontrar una solución aproximada de un sistema de ecuaciones no linealesf)x+ ! <, proporcionar las funciones J)6, x+ % las derivadas parciales ')6, x+ % los

'(OI5 *l número de ecuaciones Z, el vector de valores iniciales x, elnúmero máximo de iteraciones W(X6O, el criterio de convergencia*P % W ! < para despla$amientos sucesivos o W ! 1 paradespla$amientos simultáneos.

E*UO('I5 *l vector solución xn o mensaje AZI IZM*E*@.P(I1. 0acer T! 1P(I. Wientras T \ W(X6O, repetir los pasos 3 a 11.

P(I3. i W ! < /acer a! = )operaciones vectoriales+P(I?. 0acer 6 ! 1P(I5. Wientras 1 \ Z, repetir los pasos H % K.

P(IH. i W ! < /acer X)6+ ! X)6+:J)6,x+;')6, x+, de otro mo:do /acer X(UX)l+ ! X)6+ : J)6, x+;')6, x+

P(IK. 0acer 6 ! 6 2 1P(IL. i C a! – H *P ir al paso 1<. 'e otro modo continuar.P(IF. 6WPE6W6E x % O*EW6Z(E.P(I1<. i W ! 1 /acer = a!P(I11. 0acer T ! T 2 1

P(I1. 6WPE6W6E AZI IZM*E*@ " O*EW6Z(E

capitulo 3 sistemas de ecuaciones

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