CAPITULO 3

MATERIALES Y METODOS

3.1 Desarrollo experimental

Material biosorbente. Se utilizó Saccharomyces cerevisiae Safmex S. A. de C. V.

como biosorbente, inmovilizado en una matriz polimérica de alginato de sodio al 2 %.

Material inmovilizante. Se utilizó alginato de sodio SIGMA de Macrocystis pyrifera

(Kelp) viscosidad de solución al 2 % 250 cps.

Solución de CaCl2. Se preparó 1 litro de solución de CaCl2 0.1 M, disolviendo 11.09 g

de CaCl2 marca Productos Químicos Monterrey 12 mallas, y aforado a 1 litro, utilizando

agua desionizada.

Solución madre de cobre. La solución de cobre se preparó con nitrato cúprico (Cu

(NO3)2.3H2O) de marca Productos Químicos Monterrey S. A., formando primero una

solución madre de 1000 partes por millón (ppm) preparada con 3.8 g de nitrato cúprico

en cristales aforados a un litro. A partir de esta solución se obtuvo una solución de 250

mg/L de Cu, la cual se ajustó a un pH de 5.5.

Inmovilización del material biosorbente. La inmovilización del material adsorbente se

llevó acabo de la siguiente manera: en un vaso de precipitado de 100 mL, se adicionaron

por separado la levadura previamente pesada y 60 mL de agua desionizada. Se

mezclaron perfectamente el agua desionizada y la levadura en una placa de agitación

magnética. Posteriormente, bajo las mismas condiciones de agitación, se adicionaron

1.2 g de alginato de sodio, con el propósito de alcanzar una matriz polimérica al 2 %,

hasta lograr la homogenización del sistema. Una vez lograda la homogenización, se

procedió, con una bomba peristáltica Easy-load Masterflex modelo 7518-60, a

transportar a través de una manguera con una aguja hipodérmica en su extremo, la

mezcla de alginato y levadura, a la solución de CaCl2 0.1 M, contenida en un vaso de

precipitado de 300 mL, como se ilustra en la Figura 3 a una velocidad de bombeo de 1.5

mL/min, para iniciar con el proceso de gelificación y de inmovilización de

Saccharomyces cerevisiae, la cual se produce al entrar en contacto una gota de la mezcla

de Saccharomyces cerevisiae y alginato con la solución de CaCl2, generándose esferas

de gel. Las esferas se dejan en agitación continua por un periodo de 24 horas, para

posteriormente ser retiradas de la solución y ser utilizadas y/o almacenadas. Este

procedimiento se repitió con tres diferentes concentraciones de levadura.

Concentración de biosorbente. Se inmovilizó biosorbente en concentraciones de 1g,

0.7g, 0.5g por 60 mL de alginato de sodio de la manera descrita anteriormente, para

determinar la distribución con mayor uniformidad de biomasa en la matriz polimérica de

alginato de calcio, se obtuvieron cortes transversales de las esferas de adsorbente

inmovilizado, los cortes obtenidos fueron preparados para ser observados en un

microscopio óptico Leica ATC 2000, los cortes fueron colocados individualmente en

portaobjetos, se les adiciono cristal violeta y se dejo en contacto con los cortes por 40

segundos, después se removió el exceso de cristal violeta, por medio de absorción con

pañuelos sin tocar la muestra, una vez removido el exceso de cristal violeta, se procede a

enjuagar la muestras con agua desionizada, se remueve el exceso de agua desionizada en

la muestra por medio de adsorción con pañuelos nuevamente, dejando así la muestra a

observar intacta y teñida para poder observar la distribución de Saccharomyces

cerevisiae.

Calculo de la densidad aparente del material biosorbente. La densidad aparente del

material biosorbente fue obtenida de la siguiente forma: midiendo con un Vernier el

diámetro de las esferas obtenidas en la inmovilización de Saccharomyces cerevisiae.

Una vez obtenido los diámetros se calculó un volumen promedio de las esferas, y la

biomasa total utilizada en las inmovilizaciones, tanto, alginato como Saccharomyces

cerevisiae, fue dividida entre el numero de partículas generadas, la cantidad de biomasa

correspondiente a cada partícula fue dividida entre el volumen de cada una de ellas,

obteniéndose de esta forma un valor aproximado de la densidad aparente de cada

partícula.

Determinación de la cinética de adsorción. Las pruebas de biosorción se efectuaron a

una temperatura de 25 oC, pH de 5.5, y fueron realizadas como pruebas de sacrificio, el

valor de pH fue ajustado al valor deseado, adicionando solución de HCl 0.1 M y NaOH

0.1 M, según fuera necesario. El pH fue medido con un pH-meter Chemcadet modelo

5985-50, y electrodo Accument. Se efectuaron 9 pruebas con diferentes tiempos de

residencia en el sistema, los cuales fueron de: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 60, 90 y 120 min.,

respectivamente. Las pruebas de biosorción se realizaron de la siguiente forma: en un

vaso de precipitado de 400 mL, se colocan 300 mL de una solución de cobre con una

concentración de 248.5 ppm, una vez ajustado el pH a 5.5, se procede a poner en

contacto el material biosorbente con la solución de Cu, el sistema se mantuvo en

agitación continua y el pH fue controlado con ayuda del potenciómetro descrito

anteriormente. Una vez terminadas cada una de las pruebas para cada uno de los tiempos

programados, se procedió a remover el biosorbente del reactor, y el exceso de solución

de cobre en la superficie del biosorbente fue retirado con ayuda de pañuelos por medio

de absorción, inmediatamente después se tomó con ayuda de una pipeta, una alícuota de

10 mL de sobrenadante el cual se almaceno en un recipiente de plástico, para su

posterior análisis en un espectrofotómetro de absorción atómica Perkin Elmer 3110.

Figura 3 Proceso de inmovilización del material adsorbente, en gel de alginato de calcio.

Obtención de isotermas. El procedimiento para la generación de la isoterma, consistió

en determinar 15 puntos experimentales a diferentes concentraciones iníciales de Cu, las

cuales fueron: 46, 48, 95, 138, 143, 191, 230, 286, 322, 334, 368, 414, 429, 460 y 477

ppm a una temperatura de 25 oC y pH 5.5. Todas las pruebas tuvieron un tiempo de

residencia con el biosorbente de 90 min., la metodología para la realización de los

experimentos fue de la siguiente manera; en un vaso de precipitado de 400 mL, se

colocaron 300 mL de solución de Cu y 1 g de levadura inmovilizada, el sistema se

mantuvo en agitación continua durante la prueba. Todas las soluciones fueron valoradas

al inicio del experimento. La temperatura y el pH fueron controlados durante el

experimento. Una vez concluido el tiempo programado se procedió a tomar una alícuota

de 10 mL del sobrenadante, para ser almacenada en un recipiente de plástico para su

posterior análisis, después se procedió a retirar el material biosorbente y se removió el

exceso de solución de Cu en la superficie, las alícuotas de sobrenadante como el

biosorbente agotado fueron analizado por Espectrofotometría de Absorción Atómica,

para determinar contenido de cobre.

Determinación de porosidad aparente. La determinación de la porosidad aparente del

material biosorbente, fue realizada con el uso de un sistema cromatografico, un

graficado de carta y una columna de cristal de 2.5 cm de diámetro interno y 10 cm de

altura representada en la Figura 4. En la columna de cristal se coloco un empaque de

material biosorbente de 4.91 cm de altura, y se colocó un adaptado de flujo sobre la

superficie del empaque evitando la formación de burbujas de aire, y se dejó reposar la

columna por un periodo de 12 horas, como se muestra en la Figura 4. Se colocó una

manguera de 1 mL en una válvula de inyección manual, se conectó el adaptador de flujo

ya colocado en la columna, a la válvula de inyección manual, después se conectó la

entrada a la válvula de inyección manual y la salida de la columna empacada al sistema

cromatografico. Una vez armado el sistema se abrió la válvula de salida del sistema, y se

abrió la válvula de inyección manual, para purgarlo con solución de CaCl2 previamente

desgasificado a una velocidad de flujo de 1 mL/min, con la cual se logró alcanzar la

condición de no adsorción en el material biosorbente. Una vez purgado el sistema, se

procedió a colocar en posición de llenado la válvula de inyección manual, seleccionamos

una velocidad de flujo en la bomba peristáltica de 1 mL/min para todas las pruebas, se

seleccionó un rango de lectura de 0.02 AUFS (Absorbance Units Full Scale),

seleccionamos una velocidad de carta de el graficador de 30 cm/h, posteriormente fueron

calibrados el monitor de UV y el graficador respectivamente.

Figura 4 Sistemas de medición de porosidad de partículas adsorbentes en la columna.

Una vez preparado el sistema, se procedió a la determinación del volumen vació del

material biosorbente y la determinación del volumen vació del empaque, ambos

volúmenes fueron obtenidos con el uso de dos marcadores seleccionados previamente,

para el volumen vació del biosorbente se empleo adenina (Sigma-Aldrich) a una

concentración de 1 mg/mL de CaCl2, se colocó una jeringa en la válvula de inyección

manual, en la posición de llenado evitando introducir burbujas de aire; se procedió a

iniciar el bombeo de la solución de CaCl2, una vez estabilizado en el graficador el cero,

se giro la válvula a la posición de inyección e inmediatamente se activo el avance del

graficador. La corrida finalizo al obtenerse el pico de salida en la carta.

Para la determinación de el volumen vació del empaque (volumen excluido) se utilizó

una solución de blue dextran (Sigma-Aldrich) a una concentración de 1mg/mL de CaCl2,

y se procedió de manera similar a la utilizada en la determinación de los espacios vacíos

del material biosorbente (volumen incluido). Los volúmenes fueron obtenidos mediante

la distancia recorrida en la carta desde el inicio de la corrida hasta el máximo alcanzando

en el pico de la grafica, al dividir esta distancia en la velocidad de carta se obtuvo el

tiempo de recorrido en la columna, este tiempo es multiplicado por la velocidad de

bombeo proporcionándonos así el volumen deseado.

Posteriormente se procedió a la determinación del volumen muerto ocasionado por la

presencia de mangueras y conectores, la determinación de este volumen se obtuvo de la

siguiente forma; se utilizó la columna sin material biosorbente, el adaptador de flujo fue

colocado hasta la parte inferior de la columna, se colocó blue dextran con la válvula en

posición de llenado y se procedió de la forma descrita anteriormente.

El volumen de espacios muertos fue restado al volumen incluido y al volumen excluido,

la diferencia de estos dos volúmenes corresponde al volumen de poros en el material

adsorbente, y el cociente obtenido de la división del volumen de poros y el volumen del

material biosorbente nos proporciona la porosidad aparente del sistema.

3.2 Tratamiento de datos experimentales

Ajuste de isoterma de adsorción. El ajuste de los datos experimentales obtenidos bajo

las condiciones descritas en este capitulo, fueron realizadas con la ayuda del software

Sigma Plot, se introdujeron los puntos experimentales en le software, con los cuales se

generó la ecuación que mejor se ajustaba a los valores obtenidos experimentalmente.

Modelo matemático. El presente modelo matemático se realizó con el objetivo de

lograr una descripción razonablemente la cinética de absorción de Cu en Saccharomyces

cerevisiae inmovilizada en alginato de sodio.

Formulación del modelo y solución numérica. La figura 5 muestra una representación

esquemática de la formulación del modelo. Una partícula esférica de radio R, se pone en

contacto con un volumen determinado y constante V de una solución acuosa

conteniendo una concentración en el seno del fluido Cfluido de Cu. La solución acuosa es

agitada a una velocidad constante y temperatura fija de 25 oC. La especie iónica de Cu

en la solución acuosa al ponerse en contacto con las partículas esféricas, interactúa con

los sitios activos de los poros para adsorberse según la siguiente reacción:

Cu(L) + SA(S) Cu(S) (3.1)

En donde Cu(L) representa la especie iónica de cobre, presente en la solución acuosa en

el interior de los poros de las partículas adsorbentes, Cu(S) representa el cobre adsorbido

en la pared celular de Saccharomyces cerevisiae, expuesta a la solución interna de los

poros y SA(S) representa los sitios activos en la pared celular, expuesta a la solución

interna dentro de las partículas. Se asume que la reacción (3.1) es muy rápida en

comparada con la rapidez de transferencia de masa de Cu del seno de la solución a los

sitios activos de las partículas, como resultado de la transferencia de masa externa y de

la difusión en los poros. Se supone que la reacción (3.1) alcanza instantáneamente el

equilibrio químico local entre la solución de los poros y la pared celular de los

microorganismos. Basados en los experimentos de equilibrio realizados para la

absorción de Cu se observo que los

Figura 5 Representación esquemática de partícula biosorbente, a ser modelado.

datos pueden ser representados satisfactoriamente por un modelo de isoterma tipo

Langmuir:

( )m

d

Q CQK C

=+

(3.2)

Donde:

Qm Corresponde a la capacidad máxima de adsorción, mgCu/g Adsorbente

Kd Es la constante de disociación de la isoterma de Langmuir, mgCu/L

Q Es la concentración de equilibrio en la fase solida de la partícula, mgCu/g

Adsorbente

C Es la concentración de equilibrio en la fase liquida del interior de la

partícula, mgCu/L.

Las partículas de material biosorbente poseen forma esférica, por lo tanto se asume que

la transferencia de masa ocurre en una mayor magnitud en dirección radial, en

comparación con la trasferencia de masa en dirección axial (ҹ) y angular (ө), por lo se

considera transferencia de masa únicamente en dirección radial (r), el proceso de

adsorción ocurre en estado no estacionario, de las consideraciones anteriores el balance

de masa para Cu dentro de los poros de la partícula es representada por la siguiente

ecuación:

2

2

2e

C C C QDt r r r t

ε ε ρ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= + −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (3.3)

Donde C corresponde a la concentración de Cu en la solución del interior de las

partículas, r es la distancia desde el centro de la partícula a la superficie de esta, t es el

tiempo de contacto, De es la difusividad efectiva de iones de Cu dentro de la partícula. El

termino del lado izquierdo de la igualdad en la ecuación (3.3) representa el cambio de la

concentración de Cu en el interior de los poros en función del paso del tiempo, el

segundo termino del lado derecho de la igualdad, representa la rapidez de perdida de

masa de Cu en la solución contenida los poros, producto de la adsorción de Cu en los

sitos activos expuestos a la solución en los poros. Al asumir que la absorción ocurre

bajo condiciones de equilibrio local, el segundo termino del lado derecho de la igualdad

en la ecuación (3.3) es obtenido al derivar la ecuación (3.2):

( )2m d

d

Q KQ Ct tK C

⎛ ⎞∂ ∂= ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂+⎝ ⎠

(3.4)

Sustituyendo la ecuación (3.4) en la ecuación (3.3) y reordenando obtenemos:

2

2

2( )C C CCt r r r

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= Ω +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (3.5)

Donde:

( )2

( )

1 m d

d

DeCQ K

K Cρ

ε

Ω =⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

(3.6)

La ecuación (3.5) fue resuelta con las siguientes condiciones iníciales (CI) y de frontera

(CF):

CI 0, 0 , 0t r R C= ≤ ≤ = (3.7)

CF1 0, r 0, 0Ctr

∂> = =∂

(3.8)

CF2 sup0, r , Cut R C C> = = (3.9)

La primera condición establece que antes de iniciar el contacto de la partícula

adsorbente con la solución, no existe especie iónica de Cu en le interior de las esferas.

La condición frontera 1 especifica la condición de simetría con respecto al centro de la

partícula, puesto que toda la superficie de la partícula así como sus poros internos en

dirección radial fueron expuestos a la fase acuosa. Finalmente la condición frontera 2

establece que la concentración de Cu en la superficie de las esferas es variable con el

incremento del tiempo de acuerdo a una función conocida, C=Cfluido(t).

La función Cfluido(t) de la condición frontera 2 es obtenida empleando un balance de

masa para Cu en el seno del fluido:

( ) ( )sup.fluido

m fluido Cu

d VCk SN C C

dt= − − (3.10)

En donde V corresponde a un volumen en el reactor en L, el cual es considerado

constante. Cfluido es la concentración de Cu en el seno del fluido en mgCu/L. km es el

coeficiente de transferencia de masa. S es el área superficial externa de la partícula

esférica en cm2. N corresponde al número de partículas presentes en el sistema de

estudio. La ecuación (3.10), nos indica la rapidez de perdida de masa de Cu en el seno

de la solución, debido a la transferencia de Cu contenido en la solución, hacia la

superficie y entradas de poros localizadas en las partículas esféricas. La ecuación (3.10)

puede reescribirse como:

sup1 fluido

Cu fluido

dCC C

dtλ= − (3.11)

Donde:

( )mk SNV

λ−

= (3.12)

La ecuación (3.11) nos permite obtener el valor de la concentración de Cu en la

superficie y entrada de los poros de la partícula, si el parámetro λ, en unidades de 1/s, y

la rapidez de cambio en la concentración de Cu en el seno del fluido son conocidos. En

la ecuación (3.12) representa el factor de transferencia de masa el cual puede ser

entendido como la facilidad de transferencia de masa de Cu en el seno del fluido hacia la

superficie de las partículas, proporcionado por el sistema estudiado.

Durante la realización de las pruebas experimentales, se mantuvo una agitación

constante y elevada en el reactor, por lo que se espera que el factor de transferencia de

masa sea elevado, con la anterior suposición, el segundo termino del lado derecho de la

igualdad en la ecuación (3.11), tendería a ser cero por lo tanto la concentración de Cu en

la superficie de las partículas, seria igual a la del seno del fluido durante toda la prueba

experimental. En la presente formulación, se varió el valor del parámetro λ, para validar

la hipótesis.

La concentración de Cu en el seno del fluido Cfluido fue obtenida experimentalmente por

la recolección de alícuotas del seno de la solución a distintos intervalos de tiempo,

durante las pruebas experimentales realizadas y realizando su análisis químico

correspondiente. Los datos experimentales obtenidos fueron ajustados a la siguiente

ecuación empírica:

( )to

fluidoC z we−

= + (3.13)

En donde z,w,o son parámetros empíricos, t es tiempo, se encontró que la ecuación

(3.13), reproduce con precisión los valores de Cfluido como du rapidez de cambio en el

tiempo d Cfluido/dt. La rapidez de cambio de Cu en el seno del fluido es obtenida

derivando la ecuación (3.13) obteniendo la siguiente expresión:

( )to

fluidodC wedt o

−

= − (3.14)

Substituyendo la ecuación (3.14), (3.13) en la ecuación (3.11) obtenemos:

( ) ( )sup

11to

CuC z weoλ−

= + − (3.15)

La ecuación (3.15) nos permite utilizar la condición frontera 2 para la solución del

modelo matemático propuesto en el presente trabajo. La solución de la ecuación (3.5)

sujeta a las condiciones iníciales y frontera (3.7) a (3.9) requiere los valores de dos

parámetros: el factor de transferencia de masa del sistema λ y la difusividad efectiva de

Cu en el interior de la partícula adsorbente De. En el presente estudio estos parámetros

fueron determinados numéricamente variando su magnitud hasta que la predicción del

modelo alcanzo el mejor ajuste con los datos experimentales. El procedimiento se

describe a continuación.

Aplicando un balance global de masa para Cu en el reactor a un tiempo t obtenemos la

siguiente expresión matemática:

( ) ( )2 20

0 0

4 1 4R R

fluidoN r Cdr N r Qdr V C Cε π ρ ε π+ − = −∫ ∫ (3.16)

La ecuación (3.16) establece que la masa pérdida de Cu en el seno de la solución al

tiempo t debe de estar distribuido dentro de la fase acuosa en el interior de la partícula,

más lo adsorbido por la biomasa a lo largo del radio R de la partícula esférica.

Para un determinado valor de λ y De, el lado izquierdo de la igualdad en la ecuación

(3.16) fue calculado a partir de la solución numérica de la ecuación (3.5) con las

condiciones iníciales y frontera establecidas anteriormente (3.7) a (3.9). De la ecuación

(3.16) la concentración de Cu en el seno del fluido (Cfluido) es calculada de nuevo. Este

valor es designado como calfluidoC . Se efectúa una estimación global de la correlación

entre la predicción del modelo calfluidoC y los datos experimentales exp

fluidoC fue calculada por

la ecuación (3.13) la cual se define como:

( ) ( )

( ) ( )

2exp

2 12

exp exp

1

1

Ncal

fluido fluidolN

fluido fluidol

C t C tr

C t C t

=

=

⎡ ⎤−⎣ ⎦= −

⎡ ⎤−⎣ ⎦

∑

∑ (3.17)

En donde )(exp tCAb corresponde a la media de los valores experimentales de

concentración de Cu en el seno del fluido, N es el número total de datos experimentales

recolectados. El coeficiente de correlación r2 es definido en la ecuación (3.17), este

coeficiente tiende a tomar valores cercanos a la unidad al existir una menor diferencia

entre los valores calculados y los valores experimentales. Los parámetros de λ y De

fueron variados de iteración a iteración durante el calculo, hasta obtener un coeficiente

de correlación cercano a la unidad, y a su vez una representación lógica por parte del

modelo matemático desarrollado hacia los datos obtenidos experimentalmente.

Discretización de ecuaciones. La ecuaciones formuladas fueron resueltas aplicando un

método numérico de diferencias finitas (método explicito). En la figura 6 se puede

visualizar la forma en la cual el método fue aplicado, para determinar las

concentraciones de Cu en el interior de la partícula esférica, tanto en los poros como el

cobre adsorbido en la biomasa, durante el transcurso del tiempo de las pruebas

experimentales realizadas.

El radio de la partícula, fue seccionado en n cantidad de nodos o puntos, desde el centro

de la partícula hasta la superficie de esta, con la ayuda de las condiciones iníciales y

frontera se puede determinar la cantidad de cobre en el interior de la partícula, partiendo

del valor conocido de concentración de Cu en la superficie de la esfera, con ayuda de la

ecuación (3.5) discretizada. Una vez calculado el valor de concentración en los nodos en

el interior de la partícula para un tiempo t1, se aplica el método nuevamente para calcular

el nuevo valor de los nodos en el radio de la partícula para un tiempo t2, con la ayuda de

los valores de la sección de nodos anterior y el nuevo valor de concentración de Cu en la

superficie de la partícula, el método es aplicado una n cantidad de veces a distintos

tiempos, hasta alcanzar el tiempo deseado de la simulación.

Figura 6. Diagrama de nodos en el interior de la partícula esférica, para determinar la

concentración de Cu en solución en los poros.

Considerando un periodo de tiempo de t1 a tj y una distancia de 0 a R en la partícula, se

coloca una red en el plano r-t, entonces tenemos a ir i r= Δ (i desde 0 a n) y jt j t= Δ (j

desde 0 a m), donde /r R nΔ = y /t T mΔ = , los cuales representan el tamaño de la

malla colocada en los ejes r y t respectivamente.

La ecuación (3.5) es discretizada aplicando un método de diferencias finitas (método

explicito) obtenemos:

( )( )

11 1 1

2

2 2( )

j j j j j j ji i i i i i iC C C C C C CC

t i r rr

++ − +

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + −⎢ ⎥= Ω +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ ΔΔ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦ (3.18)

Factorizando y reacomodando la ecuación (3.18) obtenemos la siguiente expresión

matemática:

( )11 1 1

22j j j l L l li i i i i i iC C B C C C C C

i+

+ − +⎛ ⎞= + − + + −⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.18)

La ecuación (3.18), nos permite calcular la concentración de Cu en cada uno de los

nodos colocados a lo largo del radio de la esfera para los distintos valores del tiempo.

Para iniciar el cálculo es necesario discretizar las condiciones iníciales y frontera

propuestas durante la formulación del modelo (3.7) a (3.9), obteniendo las siguientes

valores frontera e iníciales:

CI 0

0ji j

C== ( 0,1, 2,..., 1)i n= − (3.19)

CF1 0

j ji ii

C C== (3.20)

CF2 sup0

jn Cuj

C C== (3.21)

Con las ecuaciones (3.18) a (3.19) se obtiene el perfil de concentraciones en el interior

de la esfera, con los perfiles obtenidos y utilizando la ecuación (3.16), se obtiene la

cantidad total de Cu removido de la solución para cada iteración realizada a cada tiempo

de la simulación. La ecuación (3.16) puede ser reescrita de la siguiente forma para

obtener la ecuación (3.22):

( ) ( ) ( ) ( )3 31 3 3 1 3 3 10

1 1

4 41 1 13 3

n nj j j

fluidoi i

N C r i i N Q r i i V C Cπ πε ρ ε+ + +

= =

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤Δ − − + − Δ − − = −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭∑ ∑

En donde: 1 1

1 1

2

j jj i iC CC

+ ++ −+= y 1( )jQ C +=

En la cual una concentración promedio de cobre en la coraza entre ir i r= Δ y

( )1 1ir i r− = − Δ (i de 1 a n), es usada para el conteo de Cu en la solución que se

encuentra en el poro de la partícula, representado en el primer termino de la ecuación

(3.22) y el Cu adsorbido en la superficie de la levadura es representado por el segundo

termino de la ecuación (3.22) donde se ha asumido un rápido equilibrio de adsorción.