capítulo 1 - introducción

Huracn Rita en el Golfo de Mxico (22 de septiembre de 2005). Rita toc tierra en la frontera entreTexas y Louisiana, causando terribles daos por inundaciones y viento. Aunque ms dramticoque las aplicaciones tpicas de este texto, Rita es un flujo fluido, fuertemente influenciado por larotacin de la Tierra y la temperatura de los ocanos. [Por cortesa de la NASA.]

2

1.1. Notas preliminares

Captulo 1Introduccin

La Mecnica de Fluidos se ocupa del estudio de los fluidos en movimiento (fluidodin-mica) o en reposo (fluidoesttica). Tanto los lquidos como los gases son consideradosfluidos, y el nmero de aplicaciones de la Mecnica de Fluidos es enorme: respiracin,flujo sanguneo, natacin, ventiladores, turbinas, aviones, barcos, ros, molinos de vien-to, tuberas, misiles, icebergs, motores, filtros, chorros y aspersores, por mencionar algu-nas. Bien pensado, casi todas las cosas que existen en este planeta o son un fluido o semueven inmersas o cerca de un fluido.

Como ciencia, est basada en un compromiso adecuado entre teora y experimenta-cin. Por ser la Mecnica de Fluidos una rama de la mecnica, dispone de un conjunto deleyes de conservacin bien documentadas, y es posible, por tanto, un tratamiento tericoriguroso. Sin embargo, la teora es a veces frustrante, porque se refiere principalmente aciertas situaciones idealizadas que pueden no ser vlidas en los casos prcticos. Los dosobstculos mayores para el tratamiento terico son la geometra y la viscosidad. La teorageneral del movimiento de los fluidos (Captulo 4) es demasiado difcil para permitirabordar configuraciones geomtricas arbitrarias, de modo que la mayor parte de los librosde texto se concentran en placas planas, conductos circulares y otras geometras sencillas.Tambin es posible aplicar mtodos numricos a geometras arbitrarias, y actualmenteexisten libros especializados que explican las aproximaciones y los mtodos de la Mec-nica de Fluidos Computacional (CFD, Computational Fluid Dynamics) [1-4].1 Este libropresentar muchos resultados tericos, teniendo siempre presente sus limitaciones.

El segundo obstculo para la teora es la accin de la viscosidad, que puede ser despre-ciada solamente en algunos flujos idealizados (Captulo 8). En primer lugar, la viscosidadaumenta la dificultad de las ecuaciones bsicas, aunque la aproximacin de capa lmite,hallada por Ludwig Prandtl en 1904 (Captulo 7), ha simplificado enormemente el anlisisde los flujos viscosos. En segundo lugar, la viscosidad afecta a la estabilidad de todoslos flujos, lo que, salvo a velocidades muy pequeas, da lugar a un fenmeno desordena-do y aleatorio llamado turbulencia. La teora de los flujos turbulentos es rudimentaria ydescansa principalmente sobre la experimentacin (Captulo 6), aunque es muy til paraestimaciones ingenieriles. Este libro de texto slo presenta las correlaciones experimenta-les estndar para turbulencia promediada temporalmente. El lector puede consultar librosavanzados sobre modelado de la turbulencia [5, 6], Yms recientemente, sobre simulacinnumrica directa (DNS) [7, 8].

1 Las referencias citadas aparecen al final de cada captulo. 3

4 Captulo 1. Introduccin

1.2. Historia y perspectivade la Mecnica de Fluidos

Figura 1.1. Leonhard Euler(1707-1783) fue el ms grandematemtico del siglo XVIII.Utiliz los clculos de Newtonpara desarrollar y resolver lasecuaciones del movimiento de losflujos no viscosos. Public ms de800 libros y artculos. [Cortesade School of Mathematics andStatistics, University of St Andrew,Escocia.]

As pues, existe una teora para estudiar el flujo de los fluidos, pero en todos los ca-sos debe tener soporte experimental. A menudo, los datos experimentales son la fuenteprincipal de informacin sobre determinados flujos, como es el caso de la resistencia y lasustentacin de cuerpos (Captulo 7). Afortunadamente, la Mecnica de Fluidos es visua-lizable, existe buena instrumentacin [9-11] y el uso del anlisis dimensional y modelosa escala (Captulo 5) est muy extendido. De este modo, la experimentacin proporcionaun complemento natural y sencillo a la teora. Se debe tener en cuenta que teora y expe-rimentacin van de la mano en todos los estudios de Mecnica de Fluidos.

Como la mayor parte de las ciencias, la Mecnica de Fluidos tiene una historia de an-tecedentes lejanos aislados, luego una poca de descubrimientos fundamentales en lossiglos XVIII y XIX, Y finalmente, una poca de "prctica actual", como denominamos anuestros conocimientos ya bien establecidos. Las civilizaciones antiguas tenan conoci-mientos rudimentarios, pero suficientes para resolver algunos problemas.

La navegacin a vela y el regado datan de tiempos prehistricos. Los griegos pro-dujeron informacin cuantitativa. Arqumedes y Hern de Alejandra postularon la leydel paralelo gramo para la suma de vectores en el siglo III antes de Cristo. Arqumedes(285-212 a.C.) formul las leyes de flotabilidad y las supo aplicar a cuerpos sumergidos,utilizando cierta forma de clculo diferencial en su anlisis. Los romanos construyeronmultitud de acueductos en el siglo IV antes de Cristo, pero no dejaron escritos sobre losprincipios cuantitativos de sus diseos.

Hasta el Renacimiento hubo mejoras sustanciales en el diseo de naves, canales, con-ducciones de agua, etc., pero tampoco nos queda evidencia de los anlisis realizados.Leonardo da Vinci (1452-1519) obtuvo la ecuacin de la continuidad para flujos unidi-mensionales. Fue un excelente experimentalista y en sus notas nos dej descripcionesmuy reales sobre chorros, olas, resaltos hidrulicos, formacin de torbellinos y diseosde cuerpos de baja y alta resistencia (cuerpos fuselados y paracadas). Un francs, EdmeMariotte (1620-1684), construy el primer tnel aerodinmico y realiz diversas pruebasen l.

Pero el definitivo impulso se debe a Isaac Newton (1642-1727), que propuso las leyesgenerales del movimiento y la ley de resistencia viscosa lineal para los fluidos que hoydenominamos newtonianos. Los matemticos del siglo XVIII (Daniel Bemoulli, LeonhardEuler, Jean D' Alembert, Joseph-Louis Lagrange y Pierre-Simon Laplace) obtuvieron so-luciones a muchos problemas de flujos no viscosos. Euler (Fig. 1.1) desarroll las ecuacionesdiferenciales del movimiento de flujos incompresible s no viscosos, y posteriormente de-dujo su forma integrada, que hoy conocemos como ecuacin de Bemoulli. Utilizandoestas ecuaciones, D' Alembert propuso su famosa paradoja: un cuerpo inmerso en un flujono viscoso tiene resistencia nula. Estos brillantes resultados son deslumbrantes, pero enla prctica tienen pocas aplicaciones, porque la viscosidad siempre juega un papel crucial.Los ingenieros de la poca rechazaron estas teoras por irreales y desarrollaron la cienciadenominada hidrulica, que es esencialmente emprica. Experimentalistas como Chzy,Pitot, Borda, Weber, Francis, Hagen, Poiseuille, Darcy, Manning, Bazin y Wiesbach tra-bajaron en gran variedad de flujos, como canales abiertos, resistencia de barcos, flujos entuberas, olas y turbinas. La mayor parte de los datos eran utilizados sin tener en cuentalos fundamentos fsicos de los flujos.

Al final del siglo XIX comenz la unificacin entre hidrulicos e hidrodinmicos.William Froude (1810-1879) y su hijo Robert (1846-1924) desarrollaron leyes para elestudio con modelos a escala; Lord Rayleigh (1842-1919) propuso la tcnica del anlisisdimensional, y Osbome Reynolds (1842-1912) public en 1883 su clsico experimento,

Figura 1.2. Ludwig Prandtl(1875-1953) es conocido como el"padre de la Mecnica de Fluidosmoderna" [15], desarroll la teorade la capa lmite y muchos otrosanlisis innovadores. l y susestudiantes fueron pioneros en lastcnicas de visualizacin del flujo.[Auftzahme van Fr. Struckmeyer,Gottingen, cortesa AlP EmilioSegre Visual Archives, LandeCollection. ]

1.3. Tcnicas de resolucinde problemas

1.3. Tcnicas de resolucin de problemas 5

mostrando la importancia de los efectos viscosos a travs de un parmetro adimensional,el nmero de Reynolds, como se denomina hoy a dicho parmetro. Mientras tanto, lateora de los flujos viscosos que haba sido desarrollada por Navier (1785-1836) y Stokes(1819-1903), aadiendo los trminos viscosos a las ecuaciones del movimiento, perma-neca en el olvido debido a su dificultad matemtica. Fue entonces, en 1904, cuandoun ingeniero alemn, Ludwig Prandtl (1875-1953) (Fig. 1.2), public el artculo quizms importante de la historia de la Mecnica de Fluidos. Segn Prandtl, en los flujosde fluidos poco viscosos, como el aire y el agua, el campo fluido puede dividirse en dosregiones: una capa viscosa delgada, o capa lmite, en las proximidades de superficies s-lidas y entrefases, donde los efectos viscosos son importantes, y una regin exterior quese puede analizar con las ecuaciones de Euler y Bernoulli. La teora de la capa lmite hademostrado ser la herramienta ms importante en el anlisis de los flujos. Las aportacio-nes esenciales a la Mecnica de Fluidos durante el siglo xx son diversos trabajos tericosy experimentales de Prandtl y de sus dos principales colegas competidores, Theodorevon Krmn (1881-1963) y Sir Geoffrey 1. Taylor (1886-1975). La mayor parte de lascontribuciones citadas en este breve resumen histrico sern expuestas detalladamente alo largo del libro. Para una perspectiva histrica ms detallada, se pueden consultar lasReferencias 12 a 14.

Como la Tierra est cubierta en un 75% por agua y en un 100% por aire, lasposibilidades de la Mecnica de Fluidos son enormes y abarcan de alguna forma la tota-lidad de la actividad humana. Ciencias como la meteorologa, la oceanografa o la hidro-loga versan sobre los flujos naturales, sin olvidar las implicaciones fluidomecnicas dela circulacin sangunea o la respiracin. El transporte en general est relacionado con elmovimiento de los fluidos, bien sea a travs de la aerodinmica de los aviones y coheteso de la hidrodinmica de barcos y submarinos. La casi totalidad de la energa elctricaprocede de turbinas hidrulicas o de vapor. Todos los problemas de combustin incluyenmovimiento de fluidos, como tambin lo hacen las tcnicas modernas de regado, con-trol de inundaciones, abastecimiento de agua, tratamiento de aguas residuales, movimien-to de proyectiles y transporte de petrleo o gas por conductos. La finalidad de este libroes presentar los conceptos fundamentales y las aplicaciones prcticas de la Mecnica deFluidos, para que el futuro ingeniero pueda adentrarse en cualquiera de los campos es-pecficos sealados anteriormente y estar en condiciones de comprender los posiblesdesarrollos tecnolgicos posteriores.

El anlisis del flujo fluido se presenta en este texto junto a ms de 1600 problemas pro-puestos. Resolver un gran nmero de ellos es clave para aprender la materia. El alumnodebe manejar ecuaciones, datos, tablas, hiptesis, sistemas de unidades y esquemas parala resolucin de los ejercicios. El grado de dificultad de estos problemas vara y seempuja al lector a realizar la totalidad de las tareas, con o sin respuesta en el apndice.El autor recomienda seguir los siguientes pasos a la hora de resolver un problema:

1. Lea el problema y haga un resumen de los resultados deseados.2. Obtenga, usando tablas o grficos, todas las propiedades necesarias de los fluidos:

densidad, viscosidad, etc.3. Entienda bien lo que preguntan. A menudo los estudiantes responden a preguntas

incorrectas; por ejemplo, dan el flujo msico en lugar del flujo volumtrico, lapresin en lugar del gradiente de presin, la resistencia en lugar de la sustentacin.Se supone que los ingenieros saben interpretar lo que leen.

4. Haga un esquema detallado del sistema o del volumen de control, indicando todocon claridad.

6 Captulo l. Introduccin

1.4. Concepto de fluido

5. Piense cuidadosamente ya continuacin enumere las hiptesis de trabajo. Uno debeser capaz de decidir correctamente si el flujo se puede considerar estacionario ono estacionario, compresible o incompresible, unidimensional o multidimensional,viscoso o no viscoso, y si basta un anlisis de volumen de control o es necesariorecurrir a las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

6. A partir de la informacin recopilada en los pasos 1 a 5, escriba las ecuaciones,correlaciones de datos y relaciones de estado que gobiernan los fluidos que inter-vienen en el problema en cuestin. Si la solucin puede obtenerse algebraicamente,calcule lo que le pidan. Si las ecuaciones son ms complicadas (no lineales, odemasiado numerosas, por ejemplo), utilice el Resolvedor de Ecuaciones de Inge-niera (EES).

7. Escriba la solucin con claridad, indicando las unidades apropiadas (use SI o sis-tema britnico) y usando un nmero de cifras significativas (normalmente dos otres) adecuado a la incertidumbre de los datos.

Los ejemplos de este libro seguirn siempre estos pasos.

Desde el punto de vista de la Mecnica de Fluidos, la materia slo puede presentarseen dos estados: slido y fluido. La diferencia entre ambos es perfectamente obvia parael lego y es un ejercicio interesante preguntar a alguien que explique esta diferencia enpalabras. La distincin tcnica radica en la reaccin de ambos a un esfuerzo tangencialo cortante. Un slido puede resistir un esfuerzo cortante con una deformacin esttica;un fluido, no. Cualquier esfuerzo cortante aplicado a un fluido, no importa cun pequeosea, provocar el movimiento del fluido. ste se mueve y se deforma continuamentemientras se siga aplicando el esfuerzo cortante. Como corolario, podemos decir queun fluido en reposo debe estar en un estado de esfuerzo cortante nulo; estado que sedenomina a menudo condicin hidrosttica de esfuerzos en anlisis estructural. En estacondicin, el crculo de Mohr se reduce a un punto, y no hay esfuerzo cortante enningn plano que corte al elemento en cuestin.

Dada la definicin de fluido, cualquier lego sabe que existen dos clases de fluidos,lquidos y gases. De nuevo, la distincin es tcnica y concierne al efecto de las fuerzascohesivas. Un lquido, al estar compuesto por agrupaciones de molculas muy cerca-nas con enormes fuerzas cohesivas, tiende a conservar su volumen y formar una su-perficie libre en un campo gravitatorio si no est limitado por arriba. Los flujos consuperficie libre estn dominados por efectos gravitatorios y se estudian en los Cap-tulos 5 y 10. Como las molculas de gas estn muy separadas entre s, con fuerzascohesivas despreciables, un gas es libre de expansionarse hasta que encuentre paredesque lo confinan. Un gas no tiene volumen definido, y por s mismo, sin confinamiento,forma una atmsfera que es esencialmente hidrosttica. El comportamiento hidrostticode lquidos y gases se muestra en el Captulo 2. Los gases no forman superficies libresy en los flujos gaseosos raramente influyen otros efectos gravitatorios distintos de losde flotabilidad.

La Figura 1.3 muestra un bloque slido apoyado sobre un plano rgido y deformado porsu propio peso. El slido adquiere una deflexin esttica, marcada exageradamente conuna lnea a trazos, resistiendo esfuerzos cortantes sin fluir. El diagrama de equilibrio delelemento A del lateral del bloque muestra un esfuerzo cortante a lo largo del plano cortadoa un ngulo 8. Como las paredes del bloque no estn sometidas a esfuerzos, el elemen-to A tiene esfuerzo nulo a la derecha y a la izquierda y esfuerzo de compresin (J" = -parriba y abajo. El crculo de Mohr no se reduce a un punto, y no hay esfuerzo cortantenulo en el bloque.

Figura 1.3. Un slido en reposopuede soportar esfuerzo cortante.(a) Deflexin esttica del slido;(b) equilibrio y crculo de Mohrdel elemento A del slido. Unfluido en reposo no puede resistiresfuerzo cortante. (e) Se necesitanparedes de contencin;(d) equilibrio y crculo de Mohrpara el elemento A del fluido.

1.4. Concepto de fluido 7

Deflexinesttica

Superficielibre

A

_...-'"\---- \

\

III

_.J.

III\\.x ,

Slido Gas

(a)

'\ al

o-~,~-o

t -a=p

(e)

'\ p-8 I

p_~-.=o~-p

t-a=p

Condicinhidrosttica

-p

(b) (d)

Contrariamente, el lquido y el gas en reposo de la Figura 1.3 necesitan paredes paraeliminar el esfuerzo cortante. Las paredes ejercen una compresin -p y el crculo de Mohrse reduce a un punto con esfuerzo cortante nulo en todas partes, o sea, est en la condicinhidrosttica. El lquido mantiene su volumen y forma una superficie libre sin llenar com-pletamente el recipiente. Si se quitan las paredes, se crea esfuerzo cortante y el lquido sederrama. Si el recipiente se inclina, tambin aparece esfuerzo cortante, se forman ondasy la superficie adopta una posicin horizontal, desbordndose llegado el caso. Mientrastanto, el gas se expande fuera del recipiente, llenando todo el espacio disponible. El ele-mento A, en el gas tambin est en la condicin hidrosttica y ejerce una compresin -psobre la pared.

En la discusin anterior se puede distinguir claramente entre slidos, lquidos y gases.La mayor parte de los problemas ingenieriles de la Mecnica de Fluidos se refieren a estoscasos claros, por ejemplo, los lquidos comunes como agua, aceite, mercurio, gasolina yalcohol y a los gases comunes como aire, helio, hidrgeno y vapor de agua en el rangode temperaturas y presiones normales. Sin embargo, existen muchos casos lmite sobrelos que se debe advertir. Algunas sustancias, aparentemente "slidas" como asfalto ygrafito, resisten esfuerzos cortantes durante breves periodos, pero realmente se deformany presentan comportamiento de fluido en periodos de tiempo largos. Otras sustancias,particularmente coloide s y mezclas espesas, resisten pequeas cortaduras, pero "se rom-


1.5. El fluido como mediocontinno

Figura 1.4. Definicinde la densidad en un fluido comomedio continuo: (a) volumenelemental en una regin fluidade densidad variable; (b) densidadcalculada en funcin del tamaodel volumen elemental.

pen" a elevados esfuerzos cortantes y fluyen como fluidos. Hay libros de texto especiali-zados dedicados al estudio general de la deformacin y el flujo, campo denominado reolo-gia [16].

Por otra parte, los lquidos y gases pueden coexistir en mezclas bifsicas, tales comovapor-agua o agua con burbujas de aire. Algunos libros de texto presentan el anlisis deestos flujos multifsicos [17]. Finalmente, hay situaciones en que la diferencia entre l-quido y gas se difumina. Esto ocurre a temperaturas y presiones por encima del llamadopunto crtico de la sustancia, donde slo existe una fase semejante al gas. A medida quela presin aumenta muy por encima del punto crtico, la sustancia gaseosa se hace tandensa que parece lquido, y las aproximaciones termodinmicas usuales, como la ley delos gases perfectos, dejan de ser fiables. La temperatura y presin crticas del agua sonTe = 647 K YPe = 219 atm,' de manera que los problemas tpicos con agua o vapor estnpor debajo de dicho punto. El aire, por ser una mezcla de gases, no tiene punto crticopropio, pero su principal componente, el nitrgeno, tiene Te = 126 K y P = 34 atm. Porello, en los problemas tpicos, con altas temperaturas y bajas presiones comparadas consu punto crtico, el aire se comporta claramente como un gas. Este libro tratar solamentesobre lquidos y gases identificable s como tales, y los casos lmites citados anteriormen-te quedan fuera de nuestro objetivo.

Hemos utilizado ya trminos tcnicos tales como presin y densidad del fluido sinuna discusin rigurosa de su definicin. Sabemos que los fluidos son agregaciones demolculas, muy separadas en los gases y ms prximas en los lquidos. La distanciaentre las molculas es mucho mayor que el dimetro de las mismas. Las molculas noestn fijas en una red, sino que se mueven libremente. Por ello, la densidad, o masa porunidad de volumen, no tiene un significado preciso, pues el nmero de molculas enel interior de un volumen cualquiera cambia continuamente. Este efecto llega a carecerde importancia si la unidad de volumen es mucho mayor que el cubo del espaciadomolecular, ya que el nmero de molculas contenidas permanecer prcticamente cons-tante a pesar del considerable intercambio a travs de sus contornos. Por otro lado, si launidad de volumen escogida es demasiado grande, puede haber una variacin notableen la distribucin global de partculas. Esta situacin est ilustrada en la Figura 1.4,donde la "densidad" calculada a partir de la masa molecular bm de un volumen dado8"V se grafica en funcin del tamao de la unidad de volumen. Hay un volumen lmite 8"V *por debajo del cual las variaciones moleculares pueden ser importantes y por encima

IncertidumbreP /: microscpica

/ IncertidumbreIIII

p = 1000 kglm3

-----' P = 1100

1200

L---L----------ovO su- = 10-9 mm3

(a) (b)

2 Una atmsfera equivale a 2116 1bf/ft2 = 101,300 Pa.

1.6. Dimensiones y unidades

1.6. Dimensiones y unidades 9

del cual las variaciones macroscpicas tambin lo pueden ser. La densidad p de unfluido se define de modo ptimo como:

8mp = lim ,,"'rw....w u v (1.1)

El volumen lmite o'V* es aproximadamente 10-9 mm' para todos los lquidos y gasesa presin atmosfrica. Por ejemplo, 10-9 mm" de aire en condiciones normales contie-nen aproximadamente 3 X 107 molculas, lo cual es suficiente para definir una densidadprcticamente constante de acuerdo con la Ecuacin (1.1). La mayor parte de los proble-mas en la ingeniera estn relacionados con dimensiones fsicas mucho mayores que estevolumen lmite, de modo que la densidad es esencialmente una funcin de punto y laspropiedades del fluido pueden considerarse como variables continuas en el espacio, comose esquematiza en la Figura 1.4a. En estas condiciones, se dice que el fluido es un mediocontinuo, lo cual significa que la variacin de sus propiedades es tan suave que se puedeutilizar el clculo diferencial para analizarla. En todos los estudios incluidos en este libroconsideraremos vlida esta premisa. Tambin en este sentido hay casos lmite para gasesa tan bajas presiones que su espaciado molecular y su camino libre medio" son compa-rables, o incluso mayores, que el tamao del sistema. Esto obliga a abandonar la aproxi-macin de medio continuo en favor de la teora molecular del flujo de gases rarificados[18]. En principio, todos los problemas de Mecnica de Fluidos pueden ser abordadosdesde el punto de vista molecular, pero no lo haremos aqu. Se debe resaltar que el usode la hiptesis de medio continuo no excluye la posibilidad de saltos discontinuos en laspropiedades fluidas de superficies libres o a travs de ondas de choque en fluidos compre-sibles (Captulo 9). Nuestros clculos al analizar el flujo fluido deben ser suficientementeflexibles para poder trabajar con condiciones de contorno discontinuas.

Dimensin es la medida por la cual una variable fsica se expresa cuantitativamente.Unidad es una forma particular de asignar un nmero a la dimensin cuantitativa. As,la longitud es una dimensin asociada a variables como distancia, desplazamiento, an-chura, deflexin y altura, mientras que centmetros y pulgadas son unidades numricaspara expresar la longitud. La dimensin es un concepto muy poderoso sobre el que seha desarrollado la esplndida herramienta fsico-matemtica del anlisis dimensional(Captulo 5), mientras que las unidades son los nmeros que se buscan como respuestafinal.

En 1872, en un encuentro internacional celebrado en Francia se propuso un tratadoconocido como la Convencin Mtrica, que fue firmado en 1875 por 17 pases, entre ellosEstados Unidos. Supuso una apreciable mejora sobre los sistemas ingleses al utilizar base10 al igual que nuestro sistema numrico, que todos manejamos desde la niez. Los pro-blemas persistieron, ya que incluso los pases con sistema mtrico utilizaban a veces loskilopondios en lugar de dinas o nwtones, kilogramos en lugar de gramos, o caloras enlugar de julios. Para uniformizar el sistema mtrico, en 1960, en la Conferencia Generalde Pesas y Medidas, con asistencia de 40 pases, se propuso el Sistema Internacional deUnidades (SI). Actualmente pasamos un arduo periodo de transicin hacia el SI, que pro-bablemente durar an muchos aos. Las asociaciones profesionales dirigen el cambio.Desde ell de julio de 1974 se obliga a utilizar el SI en todos los trabajos publicados por laSociedad Americana de Ingenieros Mecnicos (ASME, American Society of MechanicalEngineers), que prepar un libro explicativo al respecto [19]. El presente libro utilizar elSI y el sistema britnico (BG).

3La distancia media entre colisiones recorrida por las molculas (vase Problema PI.5).


Tabla 1.1. Dimensiones primariasen los sistemas Internacionale Ingls.

Dimensiones primarias

El Sistema Internacional (SI)

El Sistema Britnico (BG)

Dimensin primaria Unidad SI Unidad britnica Factor de conversin

Kilogramo (kg) Slug 1 slug = 14.5939 kgMetro (m) Pie (ft) 1 (ft) = 0.3048 m

Segundo (s) Segundo (s) 1 s = 1 sKelvin (K) Rankine (OR) 1 K= 1.8R

Masa {M}Longitud {L}Tiempo {T}Temperatura {El}

En Mecnica de Fluidos slo hay cuatro dimensiones primarias, de las cuales derivanlas dems. Son masa, longitud, tiempo y temperatura." Estas dimensiones y sus unida-des en los sistemas SI y BG aparecen en la Tabla 1.1. Ntese que la unidad Kelvin noutiliza el smbolo de grado. Las llaves que engloban un smbolo como {M} significan"dimensiones de" masa. Todas las dems variables en Mecnica de Fluidos puedenexpresarse en funcin de {M}, {L}, {T} Y {e}. Por ejemplo, la aceleracin tiene dimen-siones de {LT-2}. La ms importante de estas dimensiones secundarias es la fuerza,directamente relacionada con masa, longitud y tiempo a travs de la segunda ley de New-ton. La fuerza es igual a la variacin temporal de la cantidad de movimiento, o si lamasa es constante,

F = ma (1.2)De aqu podemos ver que, dimensionalmente, {F} = {MLT-2}.

La constante de proporcionalidad en la ley de Newton, Ecuacin 1.2, se elimina de-finiendo la unidad de fuerza exactamente en funcin de las unidades primarias. En elsistema internacional, las unidades bsicas son nwtones {F}, kilogramos {M}, metros{L} Y segundos {T}. Se define:

1 newton = 1 N = 1 kg . 1 rnJs2

El newton es una fuerza relativamente pequea, aproximadamente equivalente al pesode una manzana pequea. La unidad bsica de temperatura {e} en el SI es el gradoKelvin, K. El uso de las unidades del sistema internacional (N, kg, m, s, K) no requierede factores de conversin en nuestras ecuaciones.

En el sistema britnico BG (British Gravitacionali tampoco es necesaria la constante deproporcionalidad en la Ecuacin 1.2, ya que la unidad de fuerza se define exactamenteen trminos de las otras unidades bsicas. En el sistema britnico, stas son: libra fuerza{F}, slug {M}, pie {L} Y segundos {T}. As, se define:

1 libra fuerza = 1 lbf = 1 slug . 1 ftls2

Una libra fuerza equivale a 4.4482 N, aproximadamente el peso de cuatro manzanas.Se usa la abreviatura lb! para la libra fuerza y lbm para la libra masa. El slug es iguala 32.174 lbm. La unidad bsica de temperatura en el sistema ingls es el grado Ranki-

4 Si los efectos electromagnticos son importantes, se debe incluir una quinta dimensin primaria, laintensidad de corriente elctrica, {I}, cuya unidad en el SI es el amperio (A).

l.6. Dimensiones y unidades 11

ne R, cuya relacin con el grado Kelvin es 1 K = 1.8 0R. El uso de estas unidades (lbf,slug, ft, s, R) no requiere de factores de conversin en nuestras ecuaciones.

Otros sistemas de unidades Hay otros sistemas de unidades todava en uso. Uno de ellos, el CGS (dina, gramo,cm, s, K), no necesita constante de proporcionalidad. En cualquier caso, las unidadesde dicho sistema son demasiado pequeas (1 dina = 10-5 N) para la mayora de lasaplicaciones y no ser usado en este texto.

En los Estados Unidos an es frecuente el uso del Sistema Tcnico Ingls (lbf, lbm,ft, s, R), en el que la unidad bsica de masa es la libra masa. La ley de Newton (Ecua-cin 1.2) se escribe entonces:

ft -Ibmdonde gc = 32.174 --2

lbf s(1.3)

La constante de proporcionalidad tiene dimensiones y un valor numrico distinto de launidad. Este libro slo usa SI y BG y no se resuelven problemas ni ejemplos en el Siste-ma Tcnico Ingls. S hay algunos problemas en los que aparecen unidades como acres,galones, onzas o millas, que todava hoy se utilizan en Estados Unidos. La tarea del alum-no consistir en convertir estas unidades y resolver el problema en el SI o en el sistemabritnico.

El principio de homogeneidaddimensional

Todas las ecuaciones tericas de la ingeniera y las ciencias deben ser dimensionalmentehomogneas; esto es, todos los trminos aditivos de la ecuacin deben tener las mismasdimensiones. Tomemos, por ejemplo, la ecuacin de Bemoulli, que ser estudiada yusada a lo largo de este texto:

1p + -pV2 + pgZ = cte

2

Cada trmino de esta ecuacin debe tener dimensiones de presin {ML -IT -2}. Se exami-nar en detalle la homogeneidad dimensional de esta ecuacin en el Ejemplo 1.3.

En la Tabla 1.2 figuran algunas de las variables secundarias ms importantes en Me-cnica de Fluidos, cuyas dimensiones se obtienen de las combinaciones de las cuatrodimensiones primarias. Una lista ms completa de factores de conversin puede encon-trarse en el Apndice C.

Tabla 1.2. Dimensiones Dimensinsecundaria UnidadSI UnidadBG Factor de conversinsecundarias en Mecnica rea [L2} m' ft' l m'= 10.764ft'de Fluidos. Volumen{D} m3 ft3 Im3= 35.315ft3

Velocidad{L:r-I} rnls ftls l ftls = 0.3048m/s- Aceleracin{L:r-'} mis' ftls' I ft/s?= 0.3048mis'

Presino esfuerzo{ML -I:r-'} Pa=N/m' lbf/ft' 1 lbf/ft? =47.88PaVelocidadangular{:r-I} S-I S-I 1S-I=1S-IEnerga,trabajo,calor{ML':r-'} J=N'm ft lbf 1ft lbf= 1.3558JPotencia{ML':r-3} W=J/s ft . lbf/s 1ft : lbfls= 1.3558WDensidad(ML-3) kg/m' slug/ft' slug/ft3=515.4kg/m'Viscosidad(ML -1T:' ) kg/(m s) slug/(fts) slug/(fts)=47.88 kg/(m : s)Calorespecfico{U :r-'8-I} m'/(s" K) fl'l(s' . R) 1m'/(s' . K)= 5.980ft'/(s' . R)


Apartado (a)

Apartado (b)

Apartado (e)

EJEMPLO 1.1

Un cuerpo pesa 1000 lbf en el campo gravitatorio terrestre con gTierra = 32.174 ft/s". (a) Cules su masa en kilogramos? (b) Cul es su peso en newtones en el campo gravitatorio lunarsi gLuna= 1.62 m/S2?(e) Cul ser su aceleracin si se le aplica una fuerza de 400 lbf en laLuna y en la Tierra?

Solucin

Se busca (a) masa; (b) peso en la luna; (e) aceleracin del cuerpo. Es un caso simple del usode factores de conversin entre diferentes sistemas de unidades.

La ley de Newton (Ecuacin 1.2) dice que F == peso si a == gTierra:

1000lbfF = W = 1000lbf = mg = (m)(32. 174 ft/s2), o m = 32. 174 ft/s2 = 31.08 slugs

Realizando la conversin a kilogramos:

m = 31.08 slugs = (31.08 slugs)(14.5939 kg/slug) = 454 kg Resp. (a)

La masa del cuerpo es 454 kg independientemente de su localizacin. Aplicando la Ecua-cin 1.2, esta vez con un nuevo valor de la aceleracin de la gravedad:

F = WLuna = mgLuna = (454 kg)(1. 62m/s2) = 735 N Resp. (b)

Este apartado no est relacionado con el peso, la gravedad o la ubicacin. Es simplemente laaplicacin directa de la segunda ley de Newton con una fuerza y una masa dadas:

F = 400 lbf = ma = (31.08 slugs) aDespejando la aceleracin:

400 lbf ft ( m) ma = 3108 1 = 12.872 0.3048- = 3.922. s ugs s ft s Resp. (e)

Comentario: El valor obtenido de la aceleracin es el mismo en la Tierra, en la Luna o encualquier otra parte.

Muchos datos en artculos y trabajos aparecen con unidades arcaicas o inconvenientes,tiles slo para alguna industria, especialidad o pas. El ingeniero debe convertir estosdatos al SI o al sistema britnico antes de usarlos. Esto requiere la aplicacin sistemticade factores de conversin, como en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 1.2

La industria relacionada con la medida de la viscosidad [27, 36] contina usando el sistemade unidades CGS, porque los valores de la viscosidad expresados en centmetros y gramosresultan ms manejables para muchos fluidos. La unidad de viscosidad (t) en dicho sistemaes el poise, 1 poise = 1 g/(cm-s), nombre tomado de J. L. M. Poiseuille, fsico francs quellev a cabo experimentos pioneros en 1840 sobre flujo de agua en conductos. La unidadde la viscosidad cinemtica en el CGS (v) es el stokes, nombre tomado de G. G. Stokes, unfsico ingls que en 1845 colabor en el desarrollo de las ecuaciones diferenciales bsicas quegobiernan la cantidad de movimiento de los fluidos; siendo 1 stokes = 1 cm2/s. La viscosidad

Apartado (a)

Apartado (b)


del agua a 20C es alrededor de fl '" 0.01 poises y tambin v " 0.01 stokes. Exprese estosvalores en (a) el SI y en (b) el sistema ingls.

Solucin

Procedimiento: Sistemticamente cambiamos gramos a kilogramos o slugs y centmetros ametros o pies.

Valores de las propiedades: Dados fl = 0.01 g/(em-s) y v = 0.01 stokes Pasos: (a) Para convertir a unidades del SI:

0.01 -g- = 0.01 g(l kg/lOOOg)cm' s cm(O.Olmlcm)s

0.001~m's

0.01 cm2= 0.01 em

2(0.01 mlcm)2 = 0.000001 m

2

s s sResp. (a)

Para la conversin a unidades del sistema ingls:

p, = 0.01 _g_ = 0.01 g(l kg/lOOOg)(l slug/14.5939 kg) =cm' s (0.01 mlcm)(l fUO.3048 m)s

u = 0.01 cm2 = 0.01 cm2(0.01 mlcm?(l fUO.3048 m)2s s

0.0000209 fSlugt s

ft20.0000108-

sResp. (b)

Comentario: El resultado (b) se podra haber obtenido directamente del (a) utilizando elfactor de conversin para la viscosidad dado en el Apndice e C,uBG=fls/47.88).

Insistimos en el consejo: Si aparecen datos con unidades no usuales, se deben convertiral SI o al sistema britnico, porque (1) es ms profesional y (2) las ecuaciones tericasde la Mecnica de Fluidos son dimensionalmente consistentes y no requieren factores deconversin cuando se usan los sistemas citados, como muestra el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 1.3

Una de las ecuaciones tericas ms tiles es la que relaciona la presin, la velocidad y laaltura en el flujo estacionario de un fluido incompresible no viscoso con transferencia decalor y trabajo despreciables.' con la gravedad como nica fuerza msica, llamada ecuacinde Bernoulli, por Daniel Bemoulli, que public un libro de hidrodinmica en 1738:

(1)

donde:Po = presin de remansop = presin estticaV = velocidadp = densidadZ = cota geomtricag = aceleracin de la gravedad

5Este conjunto de hiptesis se estudiar con detalle en el Captulo 3.


Apartado (a)

Apartado (b)

Apartado (e)

Unidades consistentes

(a) Demuestre que la Ecuacin (1) satisface el principio de homogeneidad dimensional, segnel cual todos los trminos aditivos en una ecuacin fsica deben tener las mismas dimensio-nes. (b) Demuestre que en el SI las unidades son consistentes sin necesidad de factores deconversin adicionales. (c) Repita el apartado (b) para el sistema ingls.

Solucin

Podemos expresar la Ecuacin (1) dimensionalmente, usando llaves para representar lasdimensiones de cada trmino:

= {ML-IT-2} para todos los trminosPoniendo las unidades del SI para cada cantidad, tomadas de la Tabla 1.2:

{N/m2} = {N/m2} + {kg/m3}{m2g2}+ {kg/m3}{rnls2}{m}

= {N/m2} + {kg/(m . S2)}

Resp. (a)

Reorganizando el lado derecho, teniendo en cuenta que segn la Ecuacin 1.3, 1 kg := 1 N .S2/m,se tiene:

Resp. (b)

De esta forma todos los trminos de la ecuacin de Bernoulli tienen unidades de pascales, onewtons por metro cuadrado, al utilizar el SI. No se necesitan factores de conversin, lo cuales cierto para todas las ecuaciones de la Mecnica de Fluidos.

Introduciendo las unidades del sistema ingls, tenemos:

[lbf/ft"] := {lbflfe} + {slugs/fe}{ft%2} + {slugs/fe}{ftls2}{ft}

= {lbf/ft"} + {slugs/(ft . S2)}

Pero, se tiene de la Ecuacin (1.3), 1 slug := 1 1bf . S2/ft,de modo que:

{lbf . S2/ft} = [lbf/ft-}{ft S2}

Todos los trminos tienen las unidades de libra-fuerza por pie cuadrado. En el sistema brit-ruco tampoco se necesitan factores de conversin.

{slugs/(ft . S2)} Resp. (c)

An persiste en los pases anglosajones la tendencia a usar libras-fuerza por pulgadacuadrada como unidad de presin, porque los nmeros son ms manejables. Por ejemplo,la presin atmosfrica estndar es 14.7lbf/in2 = 2116lbf/ft2 = 101.300 Pa. El pascal es unaunidad muy pequea, pues un newton es menos de 0.25 lbf, Yun metro cuadrado es un reamuy grande.

Las ecuaciones de Mecnica de Fluidos no slo deben ser dimensionalmente homogneas,sino que adems se deben usar unidades consistentes; esto es, todos los trminos aditivosde una ecuacin deben tener las mismas unidades. Esto no supone ningn problema cuandose usa el SI o el sistema britnico, como en el Ejemplo 1.3, pero puede resultar fatal paraquienes traten de mezclar unidades inglesas coloquiales. Por ejemplo, en el Captulo 9usaremos a menudo la hiptesis de flujo compresible, adiabtico y estacionario:

h + ~V2= cte

Ecuaciones homogneas frentea ecuaciones dimensionalmenteinconsistentes

Tabla 1.3. Prefijos apropiadospara unidades en ingeniera.

Factormultiplicativo Prefijo Smbolo

1012 tera T109 giga G106 mega M103 kilo k102 hecto h10 deca da10-1 deci d10-2 centi e10-3 mili m10-6 micro p.,10--9 nano n10-12 pico p10-15 fernto f10-18 atto a

Prefijos adecuados para potenciasde 10


donde h es la entalpa del fluido y !VZ es su energa cintica por unidad de masa. Algunastablas termodinmicas podran listar h en unidades trmicas inglesas por unidad de masa(Btu/lb), mientras que V se suele expresar en ftls. Es totalmente errneo sumar Btu/lb a ft2/S2.En este caso, la unidad adecuada para la entalpa es ft . lbf/slug, que es idntica a ft2/S2. Elfactor de conversin es 1 Btu/lb '" 25,040 ft . lbf/slug.

Todas las ecuaciones de la mecnica (y del resto de las ciencias) deben ser dimensional-mente homogneas, esto es, cada trmino aditivo en la ecuacin debe tener las mismasdimensiones. Sin embargo, se debe advertir al lector que muchas frmulas empri-cas usadas en ingeniera, principalmente las obtenidas de correlaciones de datos, no sondimensionalmente consistentes. Sus unidades no pueden reconocerse de forma sencilla,y algunos trminos pueden contener variables ocultas. Un ejemplo es la frmula queutilizan los fabricantes de vlvulas de tuberas para calcular el caudal Q (m3/s) a travsde una vlvula parcialmente abierta:

(AP)1I2

Q=Cv -Pr

donde Ap es la prdida de carga a travs de la vlvula y Pr es la densidad relativa dellquido (el cociente entre su densidad y la del agua). La cantidad Cyes el coeficientede flujo de la vlvula, que el fabricante ofrece tabulado en los catlogos. Como Pr esadimensional {1}, la frmula resulta dimensionalmente inconsistente, pues por un ladotiene dimensiones de caudal {V/T} y por otro de raz cuadrada de prdida de carga{M I/2/L I/2T}. De esto se deduce que Cy debe tener dimensiones, de hecho bastante raras:{V/2/MI12}. La resolucin de esta discrepancia no est clara, aunque en la literatura sepuede observar que los valores de Cy aumentan aproximadamente con cuadrado deltamao de la vlvula. La presentacin de los datos experimentales en forma homogneaes el objetivo del anlisis dimensional (Captulo 5). En ese captulo se estudiar que laforma homognea de la expresin para el flujo en la vlvula es:

donde p es la densidad del lquido y Aabierta es el rea de la vlvula completamente abierta.C

des el coeficiente de descarga, es adimensional y cambia muy poco con el tamao de la

vlvula. Hasta la discusin del Captulo 5, el lector debe creerse que la ltima expresinconstituye una forma mucho mejor de presentar los resultados.

Mientras tanto, debemos concluir que las ecuaciones dimensionalmente inconsisten-tes, a pesar de su abundancia en la ingeniera, pueden conducir a error y son imprecisasy hasta peligrosas, pues con frecuencia son usadas incorrectamente fuera de su rango deaplicabilidad.

En ocasiones, en ingeniera los resultados son demasiado pequeos o demasiado gran-des para las unidades habituales, con muchos ceros por un lado o el otro. Por ejem-plo, escribir p = 114,000,000 Pa es largo y tedioso. Usando el prefijo "M" paradecir 106, se convierte en un conciso p = 114 MPa (megapascales). Del mismo modo,t = 0.000000003 s es mucho ms oscuro que su equivalente t = 3 ns (nanosegundos).Tales prefijos son comunes y convenientes, tanto en el SI como en el sistema britnico.En la Tabla 1.3 se da la lista completa.


Apartado (a)

Apartado (b)

EJEMPLO 1.4

En 1890, Robert Manning, un ingeniero irlands, propuso la siguiente frmula emprica parala velocidad media V en el movimiento uniforme por gravedad en canales abiertos (en elsistema ingls):

V = 1.49R2I3S1/2n

(1)

donde:R = radio hidrulico del canal (Captulos 6 y 10)S = pendiente del canal (tangente del ngulo del fondo con respecto a la horizontal)n = factor de rugosidad de Manning (Captulo 10)

y n es constante para cada condicin de acabado superficial de las paredes y del fondo delcanal. (a) Es dimensionalmente consistente la frmula de Manning? (b) La Ecuacin (1) seconsidera vlida en unidades del sistema ingls tomando n como adimensional. Reescriba laecuacin en el SI.

Solucin

Consideraciones: La pendiente, por ser la tangente de un ngulo, es adimensional y aparececomo {1}, es decir, no contiene M, L o T.

Escribimos las dimensiones de cada trmino de la frmula de Manning usando llaves {}:

Esta frmula es incompatible dimensionalmente, a menos que {1.49fn }={V/3ff}. Si n esadimensional (tal y como aparece siempre en los libros), el valor numrico 1.49 debe tenerunidades de {V/3fT}. Resp. (a)

Comentario (a): Las frmulas cuyos valores numricos tienen unidades pueden ser desas-trosas para un ingeniero que trabaje en un sistema de unidades diferente o con otro fluido.De hecho, la frmula de Manning, aunque muy popular, es inconsistente tanto dimensionalcomo fsicamente, y slo es vlida para agua en un cierto rango de rugosidades. Los efectosde la viscosidad y la densidad del agua estn ocultos en el valor numrico 1.49.

Del apartado anterior sabemos que el nmero 1.49 debe tener dimensiones. Si la frmulaes vlida en el sistema britnico, debe ser 1.49 ftll3fs. Utilizando el factor de conversin alSI para la longitud, tenemos:

(1.49 ft1!3fs)(0.3048 mlft)1/3 = 1.00 ml/3g

Por tanto, la frmula de Manning en el SI se escribe:

Unidades SI: V = 1.0 R2J3S1l2n

Resp. (b)

con R en m y V en mis.

Comentario (b): Realmente, estamos despistando al lector: Manning, usuario del sistemamtrico, propuso la frmula de esta manera; posteriormente fue pasada al sistema britnico.Estas frmulas dimensionalmente inconsistentes son peligrosas y deberan ser reanalizadaso aplicadas slo en casos muy concretos.

1.7. Propiedades del campode velocidad

Descripciones eulerianay lagrangiana

El campo de velocidades

1.7. Propiedades del campo de velocidad 17

En flujo dado, la determinacin experimental o terica de las propiedades del fluido enfuncin de la posicin y del tiempo se considera la solucin del problema. En casi todoslos casos, el nfasis se hace sobre la distribucin espacio-temporal de las propiedadesfluidas. Raramente se siguen las trayectorias de partculas fluidas concretas." Este tra-tamiento de las propiedades como funciones continuas distingue la Mecnica de Fluidosde la Mecnica del Slido, donde habitualmente el inters se centra ms en las trayecto-rias de sistemas o partculas individuales.

Hay dos puntos de vista posibles para analizar los problemas en Mecnica. El primero,apropiado para la Mecnica de Fluidos, trata del campo de flujo y se denomina mtodoeuleriano. En este mtodo, se calcula el campo de presiones p(x, y, z, t) del flujo, y nolos cambios de presin p(t) que experimenta una partcula al moverse.

El segundo mtodo, que sigue a las partculas individuales en su movimiento, se deno-mina descripcin lagrangiana. Este mtodo, muy apropiado en Mecnica del Slido R-gido, no ser considerado en este libro. Sin embargo, los anlisis numricos de algunosflujos con lmites muy marcados, como el movimiento de gotitas aisladas, se llevan acabo convenientemente en coordenadas lagrangianas [1].

Las mediciones en Mecnica de Fluidos tambin estn bien adaptadas al sistema eule-riano. Por ejemplo, cuando se introduce una sonda de presin en un flujo experimental, lamedicin se produce en un punto fijo (x, y, z). Esto contribuye por tanto a la descripcindel campo de presiones euleriano p(x, y, z, t). Para simular una medida lagrangiana, lasonda debera moverse aguas abajo con la velocidad del fluido; este tipo de mediciones sepractican a veces en oceanografa, dejando a la deriva los aparatos de medicin, que sonarrastrados por las corrientes dominantes.

Un ejemplo ilustrativo de las dos diferentes descripciones puede ser el anlisis deltrfico en una autopista. Seleccionemos un cierto tramo para el estudio y determinacindel trfico. Obviamente, con el transcurso del tiempo, varios coches entrarn y saldrn deltramo, y la identidad de los mismos estar cambiando continuamente. El ingeniero de tr-fico ignora la identidad de los coches y se concentra en su velocidad media, medida comofuncin de la posicin dentro del tramo y del tiempo, y tambin fija su atencin en el flujoo nmero de coches por hora que pasan por el tramo en estudio. Este ingeniero realiza unadescripcin euleriana del trfico. Otros investigadores, como la polica o los socilogos,pueden estar interesados en la velocidad y trayectoria de determinados coches. Siguiendoun coche en concreto, realizan una descripcin lagrangiana del trfico.

La ms importante de todas las propiedades del flujo es el campo de velocidades V(x, y,z, t). De hecho, determinar la velocidad es a menudo equivalente a resolver el problema,ya que otras propiedades se obtienen directamente de aqulla. El Captulo 2 est dedi-cado al clculo de la presin una vez conocido el campo de velocidades. Los libros quetratan sobre transferencia de calor (por ejemplo, la Referencia 20) estn especialmentededicados a encontrar el campo de temperaturas a partir del de velocidades.

En general, la velocidad es un vector, funcin de la posicin y del tiempo, que tienetres componentes escalares, u, v y w:

(lA)V(x, y, z, t) = iu(x, y, z, t) + jv(x, y, z, t) + kw(x, y, z, t)

6Un caso en que las trayectorias son importantes es el anlisis de calidad del agua en lo que respecta alas partculas contaminantes.


1.8. Propiedadestermodinmicas de un fluido

El uso de u, v y w en lugar de V , V Y V, ms lgicas, se debe a una duradera tradicinx y z

fluidodinmica. Gran parte de este texto, en particular los Captulos 4, 7, 8 Y 9, estdedicado a encontrar la distribucin del vector velocidad V en varios flujos de intersprctico.

Aunque el campo de velocidades V es la propiedad ms importante del flujo, steinteracta con las propiedades termodinmicas del fluido. A lo largo de la discusinprecedente hemos introducido las tres ms importantes:

1. Presin p

2. Densidad p3. Temperatura T

Son los compaeros permanentes de la velocidad en el anlisis del flujo. Cuando entraen juego el trabajo, el calor y los balances energticos, aparecen otras cuatro propiedadestermodinmicas (Captulos 3 y 4):

4. Energa interna u5. Entalpa h = a + p/p6. Entropa s7. Calores especficos cp y cv

Por otro lado, los efectos de friccin y conduccin de calor estn gobernados por losllamados coeficientes de transporte:

8. Coeficiente de viscosidad u9. Conductividad trmica k

Estas nueve magnitudes son autnticas propiedades termodinmicas, que se determinanpor la condicin termodinmica o estado del fluido. Por ejemplo, en una sustancia conuna sola fase como oxgeno o agua, es suficiente conocer dos de las propiedades bsicas,como presin y temperatura, para determinar las dems:

p = p(p, T) h = h(p, T) J.L = J.L(p, T) (1.5)

y as para todas las magnitudes de la lista. Ntese que el volumen especfico, tan impor-tante en termodinmica, es omitido aqu en favor de su inverso, la densidad p.

Recuerde que las propiedades termodinmicas describen el estado del sistema, esto es,una porcin de materia de identidad conocida que interacta con su entorno. En la mayorparte de los casos de este texto, este sistema ser un pequeo elemento de fluido y todaslas propiedades sern funciones continuas del campo fluido: p = p (x, y, z, t), etc.

Recuerde tambin que la termodinmica estudia normalmente sistemas estticos,mientras que los fluidos se encuentran habitualmente en movimiento cambiando todaslas propiedades constantemente. Las propiedades termodinmicas estticas, conservansu significado en un flujo que est tcnicamente fuera del equilibrio? La respuesta ess, desde un punto de vista estadstico. En gases a las presiones normales (y ms anen lquidos) tiene lugar un nmero enorme de colisiones o interacciones moleculares endistancias tan pequeas como 1 flm, de modo que un fluido sujeto a cambios repentinosse ajusta casi inmediatamente al nuevo equilibrio. Suponemos, por tanto, que todas laspropiedades termodinmicas indicadas anteriormente existen como funciones del puntoen un flujo fluido y siguen las leyes y relaciones de estado ordinarias del equilibrio termo-

1.8. Propiedades termodinmicas de un fluido 19

dinmico. Hay, por supuesto, efectos importantes de no equilibrio en reacciones qumicasy nucleares en flujos fluidos, pero no sern tratados en este libro.

Presin La presin es el esfuerzo (de compresin) en un punto en un fluido en reposo (Figu-ra 1.3). Despus de la velocidad, la presin p es la variable ms significativa en laMecnica de Fluidos. Las diferencias o gradientes de presin son generalmente las res-ponsables del flujo, especialmente en conductos. En flujos a baja velocidad, la magnitudreal de la presin suele no ser importante, a menos que baje tanto como para provocarla formacin de burbujas de vapor en los lquidos. Por conveniencia, a este tipo deproblemas se le suele asignar un nivel de presin de 1 atm = 2116 lbf/fe= 101,300 Pa.Por el contrario, los flujos de gases a alta velocidad (compresibles) s que dependendel valor absoluto de la presin (Captulo 9).

Temperatura La temperatura T est relacionada con el nivel de energa interna del fluido. Puedevariar considerablemente en el flujo compresible de un gas (Captulo 9). A pesar delextenso uso que hacen los ingenieros de las escalas Celsius y Fahrenheit, muchas delas aplicaciones de este libro requieren la utilizacin de temperaturas absolutas (Kelvino Rankine):

R = F + 459.69K = C + 273.16

Si las diferencias de temperatura son fuertes, la transferencia de calor puede ser impor-tante [20], si bien nuestro inters en este texto se centra en la dinmica.

Densidad La densidad de un fluido, denotada por p (rho griega minscula), es su masa porunidad de volumen. La densidad vara mucho en los gases, aumentando casi de formaproporcional a la presin. La densidad de los lquidos en casi constante; la densidaddel agua (alrededor de 1000 kg/m') tan slo se incrementa en un 1% cuando la presinse multiplica por un factor de 220. Por lo tanto, la mayora de los lquidos se puedenconsiderar casi "incompresibles".

En general, los lquidos son tres rdenes de magnitud ms densos que los gases a pre-sin atmosfrica. El lquido ms pesado es el mercurio, y el gas ms ligero el hidrgeno.Comparemos sus densidades a 20C y 1 atm:

Mercurio: p = 13,580 kg/m' Hidrgeno: p = 0.0838 kg/nr'

Ambas difieren en un factor de 162,000! As pues, los parmetros fsicos pueden variarconsiderablemente entre los distintos lquidos y gases. Estas diferencias suelen solven-tarse mediante el uso del anlisis dimensional (Captulo 5). En las Tablas A.3 y A.4 (delApndice A) y en la Referencia 21 se dan las densidades de otros fluidos.

Peso especfico El peso especfico de un fluido, denotado por 'Y (garnrna griega minscula), es su pesopor unidad de volumen. Dado que una masa m tiene un peso W = mg, la densidad yel peso especfico estn relacionados por la gravedad:

'Y = pg (1.6)


Densidad relativa

Energas cinticay potencial

Las unidades del peso especfico son peso por unidad de volumen, en Ibf/ft' o NIm'. El valor estndar de la aceleracin de la gravedad terrestre es g = 32.174 ft/s2 =9.807 mls2 As, por ejemplo, el peso especfico del aire y el agua a 20C y 1 atm sonaproximadamente:

'Yaire= (1.205 kgl m3)(9.807 mi S2) = 11.8 NI m3 = 0.0752lbfl ft3

'Yagua= (998 kg/m3)(9.807 mi S2) = 9790 N/m3 = 6204 lbf/ ft3

El peso especfico es muy til en las aplicaciones de la presin hidrosttica, que veremosen el Captulo 2. En las Tablas A.3 y AA se dan los pesos especficos de otros fluidos.

La densidad relativa, denotada por Pr, es la relacin entre la densidad del fluido y lade un fluido estndar de referencia, tpicamente el agua a 4 C (para los lquidos) yel aire (para los gases):

P _ Pgas _ Pgas"gas - Paire - 1.205 kg/nr'

PrUquido= ::::dO = 1O;;t~~:U3

(1.7)

Por ejemplo, la densidad relativa del mercurio (Hg) es PrHg = 13,580/1000", 13.6. Losingenieros prefieren recordar estos valores que los valores numricos exactos de ladensidad de los distintos fluidos.

En termodinmica, la nica energa asociada a una sustancia es la almacenada en elsistema por la actividad molecular y las fuerzas asociadas a los enlaces qumicos.A sta se le denomina energa interna a. En los flujos fluidos, a esta energa se ledeben aadir dos trminos ms, procedentes de la mecnica newtoniana: la energapotencial y la energa cintica.

La energa potencial* es el trabajo necesario para mover al sistema de masa m desdeel origen hasta una posicin r = ix + jy + kz venciendo al campo gravitatorio g. Suvalor es -mg . r, o -g . r por unidad de masa. La energa cintica es el trabajo quese requiere para cambiar la velocidad desde cero hasta V. Su valor es ~mV2 o ~V2 porunidad de masa. Por todo ello, la energa total por unidad de masa e se escribe con-vencionalmente en Mecnica de Fluidos como suma de tres trminos:

e = a + ~V2 + (-g . r) (1.8)

En este libro se tomar siempre z positiva hacia arriba; de modo que g = - gk Yg . r = - gz. Entonces la Ecuacin (1.8) se escribe:

e = a + 1V2 + gz (1.9)

La energa interna molecular a es funcin de T y de p para una sustancia pura con unasola fase, mientras que las energas potencial y cintica son propiedades cinemticas.

* En ausencia de campos elctricos y magnticos y de movimiento no inercial del sistema de referencia(N. del T.).

Ecuaciones de estado para gases


Las propiedades termodinmicas se pueden relacionar entre s, tanto terica como experi-mentalmente, por medio de relaciones o ecuaciones de estado propias de cada sustancia.Como se mencion anteriormente, nos referiremos en este libro slo a sustancias purascon una fase, por ejemplo, agua en su fase lquida. El segundo fluido ms comn, el aire, esuna mezcla de gases, pero como las proporciones de la mezcla permanecen casi constan-tes entre los 160 y 2200 K, en este rango se puede considerar como una sustancia pura.

Todos los gases a altas temperaturas y bajas presiones (relativas a su punto crtico)siguen muy bien la ley de los gases perfectos:

I p == pRT R = cp - e, = cte gas I (1.10)donde los calores especficos cp y cvse definen en las Ecuaciones (1.14) y (1.15).

Como la Ecuacin (1.10) es dimensionalmente consistente, R tiene las mismas dimen-siones que un calor especfico, {VT -28 -1}, o velocidad al cuadrado dividida por grado(Kelvin o Rankine). Cada gas tiene su propia constante R, igual a una constante universalA dividida por el peso molecular:

ARgas = M

gas(1.11)

donde A = 49,700 ft-lbf/(slugmol R) = 8314 kJ/(kmol K). La mayora de las aplicacio-nes con gases de este libro son para aire, cuyo peso molecular es M = 28.97/mol:

49,700 ft -Ibf/Islugmol : R) ft lbf 6 ft2 m2 (1.12)R = = 1716 = 171 - = 287--

aire 28.97/mol slug . R s2R S2. K

La presin atmosfrica estndar es 21161bflfe = 2116 slug/(ft S2)y la temperatura estn-dar es 60 "F = 520 0R. Por tanto, la densidad estndar del aire es:

2116 slug/(ft . S2) 3 3Paire= [1716 ft2/(S2. 0R)](5200R) = 0.00237 slug/ft = 1.22 kg/m (1.13)

Este es un valor nominal adecuado para los problemas. Para otros gases, consltese laTablaA.4.

En termodinmica se demuestra que la Ecuacin (1.10) requiere que la energa internamolecular a de un gas perfecto vare slo con la temperatura: a = a(T). Por tanto, el calorespecfico ev tambin variar slo con la temperatura:

o (1.14)

Del mismo modo, la entalpa h y el calor especfico c de un gas perfecto tambin depen-p

den exclusivamente de la temperatura:

h = a + E.. == a + RT == h(T)P

Cp = G~)p = ~~= cp(T)dh = clT)dT

(1.15)

La relacin de calores especficos de un gas perfecto es un parmetro adimensional muyimportante en el anlisis de los flujos compresibles (Captulo 9):

Ck = 2. = k(T) 2: 1Cv

(1.16)


Figura 1.5. Relacin de caloresespecficos de ocho gases comunesen funcin de la temperatura.[Los datos procedende la Referencia 22.]

1.7 c _

CpK=-

Cv

1.6

Ar

Presin atmosfrica1.5 -

1.4

I1000

I I2000 3000Temperatura, R

I4000 5000

Como primera aproximacin, para los flujos de aire es usual tomar cp' Cv y k como cons-

tantes:kaire= 1.4

RCv = k _ 1 = 4293 feJ(s2 . R) = 718 m2J(s2. K)

kRC = -- = 6010 ft2J(s2 .oR) = 1005 m2J(s2 . K)p k - 1

(1.17)

En realidad, cp y Cv aumentan gradualmente con la temperatura en todos los gases, y kdecrece gradualmente. En la Figura 1.5 se muestran los valores experimentales de la rela-cin de calores especficos de ocho gases tpicos.

En muchos de los problemas ingenieriles interviene el vapor de agua; pero sus condi-ciones de trabajo suelen estar cerca del punto crtico y la aproximacin de gas perfectono es fiable. Al no existir frmulas simples suficientemente precisas, las propiedades delvapor de agua se pueden encontrar en EES (vase Seccin 1.12) y en un CD-ROM [23],e incluso en Internet, en un pequeo programa de MathPad Corp. [24]. En ocasiones, elerror cometido al usar la ley de los gases perfectos no es demasiado importante, comomuestra el ejemplo siguiente.

Apartado (a)

Apartado (b)


EJEMPLO 1.5

Estime p y e del vapor de agua a 100 lbf/in"Y400F, en unidades inglesas, (a) mediante lap

aproximacin de gas perfecto y (b) usando las tablas ASME [23] o el programa EES.

Solucin

Procedimiento (a) -ley de los gases ideales: Aunque el vapor de agua no es un gas ideal,podemos estimar estas propiedades con cierta exactitud usando las Ecuaciones (1.10) y(1.17). En primer lugar convertimos la presin de 100 Ibf/in?a 14,400 lbflfe, y usamostemperaturas absolutas, (400F + 460) = 860 0R.A continuacin necesitamos la constantedel gas para el vapor, en unidades inglesas. De la Tabla A.4, el peso molecular del 1\0 es18.02, de donde:

ABG 49,700 ft 'lbf/(slugmol R) ft -IbfRvapor = --- = = 2758 --0-

MH,o 18.02/mol slug R

El valor de la densidad se puede estimar entonces de la ley de los gases perfectos, Ecua-cin (1.10):

= 12- = 14,4001bf/ft2 = .00607slugP RT [2758 ft -Ibf/Islug . R)](860 R) O ft3 Resp. (a)

A 860 R, de la Figura 1.5, kvapor = c/cv'" 1.30. Entonces, de la Ecuacin (1.17):

kR (1.3)(2758 ft lbf/(slug R O ft -Ibfc = -- = = 12 00--P k - 1 (1.3 - 1) 'slug R Resp. (a)

Procedimiento (b) -tablas o software: Se pueden consultar las tablas de vapor o programarunas lneas en EES. En cualquier caso, no conviene aplicar las unidades americanas (psi,Btu, lbm) a las frmulas de la Mecnica de Fluidos. Aun as, cuando use EES, asegresede que el men Variable Info especifica unidades inglesas: psia y 0F.Los comandos EESpara evaluar la densidad y el calor especfico del vapor son, para estas condiciones:

Rho = DENSITY(steam, P = 100,T = 400)

Cp = SPECHEAT(steam, P = 100,T = 400)

Ntese que el software est configurado para usar psia y F, sin conversin. EES devuelvelos siguientes valores:

Rho = 0.2027 lbm!ft' ; Cp = 0.5289 Btu! (lbm-F)

Como se ha comentado, las unidades Btu y lbm son muy engorrosas cuando se aplican aproblemas fiuidodinmicos. Por lo tanto, conviene convertir a ft-lbf y slugs, para lo que sepueden usar nuestros propios recursos, o la funcin "Convert" de EES, especificando comoargumentos las unidades viejas y nuevas entre comillas simples:

Rho2 = Rho*CONVERT(, lbm!ftA3' r 'slug/ftA3' )

Cp2 = Cp*CONVERT('Btu/lbm-F', 'ftA2!SA2-R,)

Ntese que (1) los antiguos valores de Rho y Cp se multiplican por la funcin CONVERT,y (2) se supone que las unidades a la derecha del signo de divisin "!" en el argumento deCONVERT estn en el denominador. EES proporciona estos resultados:

Rho2 = 0.00630 slug!ft' Cp2 = 13,200 ft'/ (s'-R) Resp. (b)

Comentarios: Las tablas de vapor proporcionan valores muy parecidos a stos. La estima-cin de gas perfecto para p se queda corta en un 4% y en un 9% para c

p' La razn principal


Ecuaciones de estado paralquidos

de estas discrepancias es que las condiciones dadas estn muy cerca del punto crtico yde la lnea de saturacin del vapor. A temperaturas mayores y presiones menores,por ejemplo 800 P Y 50 lbf/in", la ley de gases perfectos da p y e con un error

pmenor del 1%.

Una vez ms, debemos advertir que el uso de las unidades americanas (psia, lbm, Btu)es incmodo, pues requiere continuamente factores de conversin en la mayora de lasecuaciones de la Mecnica de Fluidos. El programa EES maneja las unidades SI de formaeficiente, sin necesidad de factores de conversin.

El autor no conoce una "ley de lquidos perfectos" comparable a la de los gases. Loslquidos son casi incompresibles y tienen un calor especfico prcticamente constante.Por ello, la ecuacin de estado idealizada para un lquido es

P"" cte dh c dTp (1.18)c "" c "" ctep vLa mayor parte de los problemas de este libro pueden ser abordados con estas simplesrelaciones. Para el agua se toma normalmente una densidad de 998 kg/m" y un calorespecfico e = 4210 m2/(s2 . K). Si se precisa mayor exactitud, se pueden usar tablas

pcomo en el ejemplo anterior.

La densidad de un lquido decrece ligeramente con la temperatura y aumenta modera-damente con la presin. Despreciando el efecto de la temperatura, una relacin presin-densidad emprica para lquidos es

P (p)n- = (B + 1) - - Bv: Pa (1.19)donde B Y n son parmetros adimensiona1es que varan ligeramente con la temperaturay P; y Pa son los valores atmosfricos estndar. En el caso del agua, B "" 3000 yn ""7.El agua de mar es una mezcla variable de agua y sal y requiere por ello trespropiedades termodinmicas para definir su estado. Normalmente, se toman la pre-sin, la temperatura y la salinidad S, definida como relacin entre el peso de la saldisuelta y el peso total de la mezcla. La salinidad media del agua de mar es de 0.035, es-crita usualmente como 35 partes por 1000, o 35%0. La densidad media del agua de mares 2 slugs/ft" 1030 kg/m'. Estrictamente hablando, el agua de mar tiene tres calores es-pecficos, todos ellos aproximadamente iguales y con el mismo valor del agua pura,25,200 ft2/(S2 . R) = 4210 m2/(s2 . K).

EJEMPLO 1.6

La presin en la parte ms profunda del ocano es aproximadamente 1100 atrn. Calcule ladensidad del agua de mar en slug/ft' a dicha presin.

Solucin

La Ecuacin (1.19) es vlida tambin para agua de mar. Si la relacin de presiones espiPa = 1100, tendremos:

1100 = (3001{:'Y - 3000

o ~ = (4100)1/7 = 1.046Pa 3001

1.9. Viscosidad y otraspropiedades secundarias

Viscosidad

Figura 1.6. El esfuerzo cortanteproduce una deformacin continuaen el fluido: (a) elementodeformndose a una velocidadM/8t; (b) esfuerzo cortante enun fluido newtoniano en la zonacercana a la pared.

1.9. Viscosidad y otras propiedades secundarias 25

Suponiendo una densidad en la superficie del mar Pa= 2.00 slugs/ft', se tiene:

p= 1.046(2.00)= 2.09 slug/ft" Resp.Incluso a estas inmensas presiones, la densidad aumenta menos del 5%, lo cual justifica quese considere el agua esencialmente incompresible.

Las magnitudes tales como presin, temperatura y densidad estudiadas en la seccinanterior son variables termodinmicas primarias caractersticas de todo sistema. Exis-ten adems otras magnitudes secundarias que tambin caracterizan el comportamientode los fluidos. La ms importante de stas es la viscosidad, que relaciona el esfuerzoo tensin local en un fluido en movimiento con la velocidad de deformacin de laspartculas fluidas.

La viscosidad es una medida cuantitativa de la resistencia de un fluido al movimiento.Ms concretamente, la viscosidad determina la velocidad de deformacin del fluidoque se produce cuando se le aplica un esfuerzo cortante dado. Podemos movemosfcilmente a travs del aire, que tiene una viscosidad muy baja. El movimiento es msdifcil en el agua, con una viscosidad 50 veces mayor, y an ms difcil en aceite SAE30, que es 300 veces ms viscoso que el agua. Trate de deslizar su mano por glicerina,cinco veces ms viscosa que el aceite SAE 30, o por melaza, an cinco veces msviscosa que la glicerina. Como puede verse, los fluidos pueden tener un amplio rangode viscosidades.

Consideremos una partcula fluida sometida a un esfuerzo cortante de valor 1" en unplano, como indica la Figura 1.6a. El ngulo Be de la deformacin aumentar continua-mente con el tiempo mientras siga actuando el esfuerzo cortante 1", movindose la super-ficie superior con una velocidad 8u mayor que la de la inferior. Algunos fluidos comunescomo el agua, el aceite y el aire presentan una relacin lineal entre el esfuerzo cortanteaplicado y la velocidad de deformacin resultante:

Be1" cc-

8t(1.20)

y

3u 3t

~I'_. =I=====;::==i __ u = 3uII

36/

II

36/

3y

3x

(a) (b)


De la geometra de la Figura 1.6a, vemos que:

" 8u8ttg ue =--oyEn el lmite de variaciones infinitesimales, queda una relacin entre la velocidad dedeformacin y el gradiente de la velocidad:

(1.21)

de dudt dy

(1.22)

La Ecuacin (1.20) indica que el esfuerzo aplicado es proporcional al gradiente de lavelocidad para los fluidos comunes. La constante de proporcionalidad es el coeficientede viscosidad,u:

de du'T= fL- = fL-

dt dy (1.23)

La Ecuacin (1.23) es dimensionalmente consistente; por tanto, ,u tiene dimensiones deesfuerzo-tiempo: {FT/V} o {M/(LT)}. La unidad en el sistema britnico es slug por piey segundo, y en el SI es kilogramos por metro y segundo. Los fluidos que obedecen ala Ecuacin (1.23) se denominan fluidos newtonianos, en honor de sir Isaac Newton,que postul por primera vez esta ley en 1687.

En Mecnica de Fluidos realmente no se busca la evolucin de (J(t), sino que se con-centra la atencin en la distribucin de velocidad u(y), como se indica en la Figura 1.6b.Utilizaremos la Ecuacin (1.23), en el Captulo 4, para obtener una ecuacin diferencialque nos permita hallar la distribucin de velocidad u(y) -y ms generalmente, V(x, y, z,t)- en un fluido viscoso. La Figura 1.6b ilustra una capa de cortadura, denominada capalmite, cerca de una pared. El esfuerzo cortante es proporcional a la pendiente del perfilde velocidad y es mximo en la pared. Adems, en la pared, la velocidad u es cero conrespecto a la pared: esta es la llamada condicin de no deslizamiento y es una caracters-tica de todos los fluidos viscosos.

La viscosidad de un fluido newtoniano es una autntica propiedad termodinmica yvara con la temperatura y la presin. En un estado dado (p, T) hay un amplio rango de va-lores para los fluidos ms comunes. La Tabla 1.4 presenta una lista de la viscosidad deocho fluidos a presin y temperatura estndar. Hay una variacin de seis rdenes de mag-nitud del hidrgeno a la glicerina, de lo que se deduce que habr grandes diferencias enel comportamiento de fluidos sometidos a los mismos esfuerzos.

Tabla 1.4. Viscosidad y viscosidadcinemtica de ocho fluidos a L, Ratio p, u Ratio1 atm y 20 DC. Fluido kg/m : s)" p/L(H,) kg/m" m2/st vlv(Hg)

Hidrgeno 9.0 x 10-6 1.0 0.084 1.05 x 10-4 910Aire 1.8 X lO-s 2.1 1.2 1.50 x lO-s 130Gasolina 2.9 X 10-4 33 680 4.22 x 10-7 3.7Agua 1.0 X 10-3 114 998 1.01 x 10-6 8.7Alcohol etlico 1.2 X 10-3 135 789 1.52 X 10-6 13Mercurio 1.5 X 10-3 170 13,550 1.16 X 10-7 1.0Aceite SAE 30 0.29 33,000 891 3.25 X 10-4 2,850Glicerina 1.5 170,000 1,260 1.18 X 10-3 10,300

'1 kg/tm s) = 0.0209 slug/(ft . s); 1m'/s = 10.76 ft'/s.

Figura 1.7. Viscosidad del fluidoadimensionalizada por su valoren el punto crtico. Este diagramageneralizado es caractersticode todos los fluidos, aunque suprecisin es slo de un 20%.[Los datos proceden de laReferencia 25.]

El nmero de Reynolds

10987

6

5

4

3

u; = ffc 2


10.90.80.7

0.6

0.5

-1 L\\\\

\\\-.-iquidoW \.

i~ ~\~' \.

l\ \'\.,,\\\ -, Gas densoRegin ~\\ ...~"- sbifsica ~ ...-,r-.....

\\\ ~ ~ ~ ~\\~ -::a~ VPuntocrticoI ,2 41'7I /.:I !\ 1 V./0.5 'f'

I \\ ./

Pr = plPe = 0J. ",., t;::V/Lmite de baja den idad

O VVI'/

0.4

0.3

0.20.4 0.6 0.8 3 45678910

En general, la viscosidad de un fluido aumenta slo dbilmente con la presin. Por ejem-plo, variando la presin p desde 1 a 50 atm, la viscosidad p del aire slo aumenta en un10%. En la mayora de las aplicaciones de la ingeniera se desprecia la dependencia de laviscosidad con la presin. Sin embargo, el efecto de la temperatura es mucho ms fuerte,con la viscosidad f1 de los gases aumentando con la temperatura T y disminuyendo paralos lquidos. La Figura A.I (en el Apndice A) muestra la variacin de la viscosidad conla temperatura para varios fluidos comunes.

En la Figura 1.7, tomada de la Referencia 25, se ha representado la dependenciaf1(P, npara un fluido tpico, con los datos normalizados con respecto a sus valores en elpunto crtico (le' Pe' TJ Este comportamiento, llamado el principio de los estados co-rrespondientes, es caracterstico de todos los fluidos, si bien los valores numricos realespresentan una incertidumbre del 20% para cualquier fluido. Por ejemplo, los valores depcn para el aire a 1 atm, tomados de la Tabla A.2, son alrededor de un 8% ms pequeosque los que proporciona el "lmite de baja densidad" de la Figura 1.7.

En la Figura 1.7 se observa que cerca del punto crtico se producen cambios muy fuer-tes con la temperatura. En general, las medidas en el punto crtico son extremadamentedifciles e imprecisas.

El parmetro adimensional primario que determina el comportamiento viscoso de losfluidos newtonianos es el nmero de Reynolds:


Flujo entre placas paralelas

Figura 1.8. Flujo viscosoinducido por movimiento relativoentre dos placas paralelas.

pVL VLRe=--=-

/L v

donde V y L representan la velocidad y longitud caractersticas del flujo. El cociente Idptiene significado propio y se denomina viscosidad cinemtica:

/Lv = - (1.25)p

(1.24)

Las unidades de masa se cancelan, y as v tiene dimensiones {U/T}, de donde le vieneel nombre.

En general, lo primero que se debe hacer al estudiar un flujo es estimar el valor delnmero de Reynolds. Valores muy pequeos de Re indican movimiento lento y viscoso,donde los efectos de la inercia son despreciables. Valores moderados de Re correspondenal flujo laminar, caracterizado por variaciones suaves. Valores altos de Re suelen estarasociados al flujo turbulento, caracterizado por fuertes fluctuaciones aleatorias de altafrecuencia superpuestas a un flujo medio que tambin experimenta variaciones suavescon el tiempo. Los valores numricos del nmero de Reynolds correspondientes a cadacaso dependen de la geometra del flujo y se discutirn en los Captulos 5 a 7.

La Tabla 1.4 tambin da los valores de v para los mismos ocho fluidos. Los rdenesde magnitud varan considerablemente, y el mercurio, el ms pesado, tiene la menor vis-cosidad cinemtica. Todos los gases tienen una v elevada en comparacin con lquidostales como la gasolina, el agua y el alcohol. Los aceites y la glicerina siguen tenien-do los mayores valores de v, pero el ratio es menor. Para valores dados de Vy L en un flujo,los diversos fluidos presentan una variacin de cuatro rdenes de magnitud en el nmerode Reynolds.

Un problema clsico es el flujo inducido entre una placa fija inferior y otra superiorque se mueve con velocidad V, como se muestra en la Figura 1.8. La holgura entrelas placas es h y el fluido es newtoniano y cumple la condicin de no deslizamientoen ambas placas. Si las placas son largas, este flujo cortante estacionario conduce a unperfil de velocidades u(y), como se indica, con v = w = O. La aceleracin del fluidoes cero en todas partes.

Como la aceleracin es nula, suponiendo que la presin no vara en la direccin delflujo, se puede demostrar que el equilibrio de fuerzas de un pequeo elemento fluidoconduce al resultado de que el esfuerzo cortante es constante en todo el fluido. Entoncesla Ecuacin (1.23) se reduce a:

du 7- = - = ctedy JL

y Placamvil

u=Vf1======~~~~=r-- u = V

. F1iJidb .. viscoso.'h

r'-'------------ ........~xPlaca fija

u=O

Variacin de la viscosidadcon la temperatura


que podemos integrar para obtener:u=a+by

La distribucin de velocidad es lineal, como se ilustra en la Figura 1.8, y las constantesa y b pueden ser evaluadas atendiendo a la condicin de no deslizamiento en las pare-des superior e inferior:

u = {O = a + b(O)V = a + b(h)

en y = Oen y = h

Entonces, a = O Y b = V/h, con lo que el perfil de velocidad es:u = Vl

h

como se indica en la Figura 1.8. El flujo turbulento (Captulo 6) presenta un perfildistinto.

Aunque la viscosidad tiene un efecto determinante en el flujo, la magnitud de los es-fuerzos viscosos es muy pequea incluso en los aceites, como se muestra en el siguienteejemplo.

(1.26)

EJEMPLO 1.7

Supongamos que el fluido sometido a cortadura en la Figura 1.8 es aceite SAE 30 a 20 "C.Calcule el esfuerzo cortante en el aceite si V = 3 mis y h = 2 cm.

Solucin

Diagrama del sistema: Vase la Figura 1.8. Consideraciones: Perfil de velocidades lineal, fluido newtoniano en rgimen laminar, con-dicin de no deslizamiento en ambas placas.

Procedimiento: El anlisis de la Figura 1.8 conduce a la Ecuacin (1.26) si el flujo eslaminar.

Valores de las propiedades: De la Tabla 1.4, la viscosidad del aceite SAE 30 es f.L = 0.29kg/(m-s).

Resolucin: En la Ecuacin (1.26), la nica incgnita es el esfuerzo de cortadura delfluido:

V ( kg ) (3 mis) kg mls2 N7" = f.L- = 0.29 -- = 43.5 2 = 43.5""""""2 "" 44 Pa Resp.

h ms (0.02 m) m m

Comentarios: Observe las rel~ciones entre unidades, 1 kg-m/s' == 1 N Y 1 N/m2 == 1 Pa.A pesar de que el aceite es muy viscoso, este esfuerzo cortante es modesto, alrededor de2400 veces ms pequeo que la presin atmosfrica. Los esfuerzos viscosos en los gasesy en los lquidos como el agua son an ms pequeos.

La temperatura tiene un efecto considerable sobre la viscosidad. La presin tiene unainfluencia menor. La viscosidad de los gases y algunos lquidos aumenta lentamente conla presin. El agua presenta un comportamiento anmalo, pues muestra una ligera dis-minucin por debajo de los 30 "C. Como hasta las 100 atm las variaciones de viscosidadson mnimas, despreciaremos el efecto de la presin en este libro. La viscosidad de losgases aumenta con la temperatura. Para describir esta variacin, comnmente se utilizandos aproximaciones:

.L-=

ley de Sutherland

ley potencial

(1.27).Lo


Conductividad trmica

Fluidos no newtonianos

donde 110 es la viscosidad a una temperatura absoluta de referencia To (habitualmente273 K). Las constantes n y S se ajustan a los datos, y ambas frmulas son adecuadas en unamplio margen de temperaturas. Para el aire, n '"0.7 Y S"" 110 K = 199 R. Otros valorespueden encontrarse en la Referencia 26.

La viscosidad de los lquidos decrece con la temperatura de forma casi exponencial,11 '" ae="; pero se obtiene una expresin ms aproximada escribiendo In 11 como funcincuadrtica de lIT, donde T es la temperatura absoluta:

/L (To) (To)2ln/LO =a+b T +c T (1.28)Para el agua, con To = 273.16 K, /Lo = 0.001792 kg/(m . s), los valores adecuadosson a = -1.94, b = -4.80 Y c = 6.74, con una fiabilidad del 1%. La viscosidad delagua aparece tabulada en la Tabla A.1. Yaws et al. [27] proporcionan frmulas para laviscosidad de 355 lquidos orgnicos obtenidas del ajuste de datos experimentales. Enlas Referencias 28 y 29 se pueden encontrar datos adicionales.

De la misma forma que la viscosidad relaciona el esfuerzo cortante con la velocidad dedeformacin, hay una propiedad denominada conductividad trmica A que relaciona elvector flujo de calor por unidad de rea q con el vector gradiente de temperatura 'liTEsta proporcionalidad, observada experimentalmente para fluidos y slidos, es conocidacomo ley de Fourier de la conduccin del calor:

q = - VT (1.29a)que tambin puede escribirse escalarmente como:

aTq = -A-y ay (1.29b)

El signo menos satisface la convencin usual de considerar positivo el flujo en el senti-do de las temperaturas decrecientes. La ley de Fourier es dimensionalmente consistente,y A tiene unidades en el SI de julios por segundo, metro y Kelvin. La conductividadtrmica A es una propiedad termodinmica y vara con la temperatura y la presin enforma anloga a la viscosidad. El cociente A/Ao puede expresarse en funcin de TIToen forma parecida a las Ecuaciones (1.27) y (1.28) para gases y lquidos, respectiva-mente. En la Referencia 11 pueden encontrarse datos adicionales sobre la viscosidady la conductividad trmica.

Los fluidos que no siguen la ley lineal de la Ecuacin (1.23) se denominan no newto-nianos y se estudian en los libros de reologia [16]. La Figura 1.9a compara cuatroejemplos de fluidos con uno newtoniano.

Dilatante es aquel fluido en que la resistencia a la deformacin aumenta al aumentarel esfuerzo cortante, como ocurre con las suspensiones de almidn o arena en agua. Elejemplo tpico son las arenas movedizas, que se espesan a medida que uno se mueve enellas.

Pseudoplstico es el fluido en el que disminuye su resistencia al aumentar el esfuerzo. Sieste efecto es muy importante, como en el caso marcado en la Figura 1.9a con lnea dis-continua, el fluido se denomina plstico. Algunos ejemplos son suspensiones coloidales,pulpa de papel en agua, el plasma de la sangre, resinas y melazas.

Figura 1.9. Comportamientoreolgico de diversos materialesviscosos: (a) esfuerzo en funcinde la velocidad de deformacin;(b) efecto del tiempo sobre elesfuerzo aplicado.

Tensin superficial


Esfuerzo tcortanter

Plstico idealde Bingham

~"'"r //"Lmitede I~I!

O Tasa de deformacin sJj}-dt

DilatanteEsfuerzo tcortantet

Reopctico

Tasa de Tixotrpicodeformacinconstante

O Tiempo-

(a) (b)

Plstico de Bingham. El caso lmite de sustancia plstica es aquel que requiere unesfuerzo finito (lmite de fluencia) antes de comenzar a fluir. La idealizacin del fluidoplstico de Bingham se muestra en la Figura 1.9a; pero el comportamiento en la fluenciapuede ser tambin no lineal. Algunos ejemplos son las suspensiones de arcilla, los Iodospara sondeos, la pasta de dientes, la mayonesa, el chocolate y la mostaza. Un ejemploclsico es el ketchup, que no fluye al exterior hasta que apretando el bote se sobrepasa uncierto esfuerzo.

Una complicacin adicional al comportamiento no newtoniano es el efecto transitorioque se muestra en la Figura 1.9b. Algunos fluidos precisan un aumento gradual en elesfuerzo cortante para mantener constante la velocidad de deformacin; a stos se lesdenomina reopcticos. El caso opuesto es el de un fluido que requiere esfuerzos decre-cientes; es el denominado tixotrpico. En este libro no se considerarn los efectos nonewtonianos; para profundizar sobre stos, vase la Referencia 16.

Un lquido, al no ser capaz de expansionarse libremente, formar una entrefase con unsegundo lquido o un gas. La fisicoqumica de estas superficies interfaciales es muycompleja, y existen libros enteros dedicados a esta especialidad [30]. Las molculasinmersas en la masa lquida se repelen mutuamente debido a su proximidad, perolas molculas de la superficie libre estn menos apretadas y se atraen unas a otras. Alfaltarles la mitad de sus vecinas, estas molculas estn en desequilibrio, y por ello lasuperficie est sometida a tensin. Estos efectos de superficie son los que englobamosen Mecnica de Fluidos dentro del concepto de tensin superficial.

Si en una entrefase se hace un corte de longitud dL, aparecen fuerzas iguales y opues-tas en ambos lados del corte, de valor dL, perpendiculares al corte y coplanarias con laentrefase, donde a la magnitud Y se le denomina coeficiente de tensin superficial. Lasdimensiones de Y son {F/L}, con unidades de newtons por metro en el SI y libras-fuerzapor pie en el sistema ingls. Un concepto alternativo procede de que para abrir el cortehasta un rea dA se necesita un trabajo r dA. Por ello, el coeficiente puede ser considera-do tambin como una energa por unidad de rea asociada a la entrefase, con las unidadesya citadas de N . m/m? o ft . lbf/ft",


Figura 1.10. Tensin superficialde una entrefase aire-agua.Datos de la Tabla A.S.

2RL!'!.p

(a)

0.080

0.070 -

~~

0.060 -

0.050 I I I I I I I I IO 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

T,oC

Las dos entrefases ms comunes son agua-aire y mercurio-aire. Para una superficielimpia a 20 "C = 68F, las tensiones superficiales medidas son:

y = {0.00501bf/ft = 0.073 N/m0.033 lbf/ft = 0.48 N/m

aire-aguaaire-mercurio

(1.30)

Estos valores pueden cambiar considerablemente si la superficie est contaminada.Generalmente, Y decrece con la temperatura y es cero en el punto crtico. Los valoresde Y para el agua se dan en la Figura 1.10 y en la Tabla A.5.

Si la entrefase es una superficie curva, el equilibrio mecnico muestra que debe haberuna diferencia de presiones entre ambos lados, estando la presin alta en el lado cncavo.La Figura 1.11 ilustra este aspecto. En la Figura l.lla se observa que el aumento de pre-sin en el interior de un cilindro est equilibrado con las fuerzas en las dos generatrices:

2RL Ap = 2YL

YAp =-

R

!'!.pdA

2nRY

(b) (e)

Figura 1.11. Aumento de presin a travs de una entrefase curvada por efecto de la tensin superficial: (a) en el interior de un cilindrolquido; (b) en el interior de una gota esfrica; (e) en una entrefase de curvatura arbitraria.

Figura 1.12. Efecto del ngulode contacto en una entrefaselquido-gas-slido. Si e < 90,el lquido moja al slido; cuandoe > 90, el lquido no moja.


Gas

Lquido

~ ..... NO. moja{tJL.,

Slido

No estamos teniendo en cuenta el peso del lquido en estos clculos. En la Figura 1.l1bse puede ver que el aumento de presin en el interior de una gota esfrica equilibra unafuerza distribuida anularmente, debido a la tensin superficial, de magnitud:

o

7TR2 !::.P = 27TRY

!::.P = 2YR

(1.32)

Podemos usar este resultado para predecir el aumento de presin existente en el interiorde una pompa de jabn, que tiene dos entrefases con el aire, una interior y otra exterior,prcticamente con el mismo radio R:

!::.Pburbuja = 2 !::.Pgota 4YR

(1.33)

La Figura l.lle muestra el caso general de una entrefase de forma arbitraria, cuyos radiosprincipales de curvatura son R y R2. El equilibrio de fuerzas en la direccin normal a lasuperficie indica que el aumento de presin en el lado cncavo es:

(1.34)

Las Ecuaciones (1.31) a (1.33) se pueden obtener de esta relacin general; por ejemplo,la Ecuacin (1.31) haciendo R== R YR2== cc ,

Un segundo efecto importante es el ngulo de contacto e, que aparece cuando la en-trefase intersecta a una pared slida, como en la Figura 1.12. En el equilibrio de fuerzascontarn tanto Y como e. Si el ngulo de contacto es menor de 90, se dice que el lquidomoja al slido; si e > 90, el lquido no moja al slido. Por ejemplo, el agua moja al jabn,pero no moja la cera. El agua moja muy bien el vidrio limpio, con e ""O.Al igual que Y,el ngulo de contacto e es muy sensible a las condiciones fisicoqumicas de la superficie.En una entrefase mercurio-aire-vidrio, e == 130.

El Ejemplo 1.8 ilustra cmo la tensin superficial da lugar al ascenso capilar en untubo.

EJEMPLO 1.8

Halle una expresin para el ascenso capilar h en un tubo circular, de un lquido con tensinsuperficial Y y ngulo de contacto O, como muestra la Figura E1.8.


E1.8

Presin de vapor

1h

12R

Solucin

La componente vertical de la fuerza de tensin superficial en la entrefase debe equilibrar alpeso de la columna de agua de altura h:

2TTRY cos 8 = 11TR2h

Despejando h:h = 2Y cos ()

yR Resp.

Vemos que el ascenso capilar es inversamente proporcional al radio del tubo R y es positivosi ()< 90 (moja) y negativo (depresin capilar) si ()> 90.

Supongamos que R = 1 mm. El ascenso capilar para una entrefase agua-aire-vidrio, () '" O,Y = 0.073 N/m y p = 1000 kg/m' es:

_ 2(0.073 N/m)(cos 0) _ . 2 _ _h - (1000 kg/m3)(9.81 rnls2)(0.001 m) - 0.015 (N s )/kg - 0.015 m - 1.5 cm

Para una entrefase mercurio-aire-vidrio, con () = 130, Y = 0.48 N/m y p = 13,600 kg/rrr',ser:

2(0.48)(cos 130)h = 13,600(9.81)(0.001) = -0.0046 m = -0.46 cm

Cuando se usa un tubo de pequeo dimetro para medir presiones (Captulo 2), sedeben tener en cuenta estos efectos capilares.

La presin de vapor es la presin a la que un lquido hierve y est en equilibrio con supropio vapor. Por ejemplo, la presin de vapor del agua a 20C es 2337 Pa, mientras quela del mercurio es 0.168 Pa. Si la presin del lquido es mayor que la presin de vapor,el nico intercambio entre lquido y vapor es la evaporacin en la entrefase. Si la presindel lquido se acerca a la presin de vapor, comenzarn a aparecer burbujas de vaporen el lquido. Cuando el agua se calienta hasta 100C, su presin de vapor sube hasta101,300 Pa y por eso a la presin atmosfrica normal hervir. Cuando la presin dellqui-do cae por debajo de la presin de vapor debido al flujo, aparece la cavitacin. Si acele-ramos al agua desde el reposo hasta unos 15 mis, la presin desciende alrededor de 1 atm(15 lbf/in''). Esto puede producir cavitacin [31].

El parmetro adimensional que describe este fenmeno es el llamado nmero de ea-vitacin:

C Pa - Pva = ~pV2 (1.35)

donde:Po = presin ambienteP v = presin de vaporV = velocidad caracterstica del fluidop = densidad de fluido

Dependiendo de la geometra, un flujo dado tiene un valor crtico de Ca por debajo delcual comenzar la cavitacin. Los valores de la tensin superficial y de la presin devapor del agua se muestran en la Tabla A.5. La presin de vapor del agua se representaen la Figura 1.l3.

Figura 1.13. Presin de vapordel agua. Datos de la Tabla A.5.


100

80 -

60-'"~;;

"" 40-

20-

OO

T,OC

La Figura 1.14a muestra las burbujas de cavitacin que aparecen en la regin de bajaspresiones asociada a los torbellinos de punta de pala en una hlice de barco. Cuando es-tas burbujas penetran en regiones de presiones ms altas, colapsan de forma implosiva.El colapso de las burbujas de cavitacin puede daar o erosionar las superficies metlicashasta llegar a destruirlas, como se observa en la Figura 1.14b.

EJEMPLO 1.9

Un torpedo, que se mueve en agua dulce a 10 "C, tiene un punto de presin mnima dadopor la frmula

Pmin = Po - 0.35 pV2 (1)

donde Po = 115 kPa, p es la densidad del agua y Ves la velocidad del torpedo. Estime lavelocidad para la que se formarn burbujas de cavitacin en el torpedo. La constante 0.35es adimensional.

Solucin

Consideraciones: Las burbujas de cavitacin se forman cuando la presin mnima es iguala la presin de vapor Pv'

Procedimiento: Resuelva la Ecuacin (1), relacionada con la ecuacin de Bemoulli delEjemplo 1.3, para obtener la velocidad cuando Pnn= P; Utilice unidades SI (m, N, kg, s),

V

capítulo 1 - introducción

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