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8/17/2019 cap7-momentos estáticoshh

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VII. MOMENTOS ESTÁTICOS

El momento estático es la suma de los productos de cada elemento deun cuerpo por su distancia a un eje. Hay momentos estáticos del peso, dela masa, del volumen de los cuerpos, y de áreas y de líneas. Se llamanmomentos por su semejanza con los momentos de las fuerzas, que seobtienen mediante el producto de una fuerza por la distancia de su línea deacción a un cierto eje y tienden a lograr que el cuerpo gire. Pero losmomento estáticos no producen ninguna tendencia al giro, por eso sonestáticos. Se llaman también momentos de primer orden.

Aunque se trata de un concepto meramente matemático, sin ningunareferencia física, nos servirán para obtener lugares reales, como el centrode gravedad y el centro de masa de un cuerpo, así como los centroides devolumen, de área y de línea.

Peso de un cuerpo

La fuerza con que la Tierra atrae a un cuerpo se llama peso. Aunque lahemos venido considerando como una fuerza concentrada, realmente no loes, el peso de un costal de manzanas, por ejemplo, es la suma de los pesosde cada manzana.

Pensemos en un menhir o en una gran piedra cualquiera ( 1). Su peso esla suma de los pesos de cada una de sus partículas. Todos esos pesosconstituyen un sistema de fuerzas paralelas. Para determinar su resultanteemplearemos las dos ecuaciones siguientes:

= (1) Este tema podría estudiarse sin dificultad en un curso de Cálculo.


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Momentos estáticos

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= de donde

̅ = que, para este caso particular, seconvierten en

= ̅ = Esta última integral es el momento estático del peso con respecto al eje

de las yes, que se suele simbolizar así:

= Y el momento estático del peso respecto al eje de las equis es

=

Puesto que los cuerpos tienen tres dimensiones, es más frecuentetrabajar con los momentos estáticos del peso de un cuerpo, no respecto aejes, sino respecto a planos; o sea

= ∫ ; = ∫ ; = ∫ Como las coordenadas x, y y z pueden ser positivas, negativas o nulas,

los momentos estáticos también pueden resultar positivos, negativos onulos. Los momentos estáticos de un cuerpo, respecto a un plano desimetría son nulos, puesto que el momento de un lado del plano es igual aldel otro, pero de sentido contrario. Dicho de otra manera, el centro degravedad de un cuerpo se encuentra en el plano de simetría, si el cuerpo lotiene. Y se hallará también en el eje o en el punto de simetría, si existe.

A


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Momentos está ticos

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Centro de gravedad

Con los cocientes de los anteriores momentos estáticos entre el pesodel cuerpo se obtienen tres coordenadas de un punto contenido siempre es decir, independientemente de la colocación del cuerpo en la líneade acción del peso.

= ̅; = ; = ̅ Ese punto se llama centro de gravedad:

̅, , ̅. El centro de grave-

dad, es pues, la posición del peso de un cuerpo.

Centro de masa

Así como hablamos de momentos estáticos del peso, podemos pensar en los momentos estáticos de la masa de un cuerpo:

= ∫ ; = ∫ ; = ∫ Y el punto cuyas coordenadas sean

, , será el centro de la masa del cuerpo. Fácilmente se puede observar que,como el peso es igual al producto de la masa por la aceleración de lagravedad, es decir, P = mg , también dP = g dm. Y si el valor de la gravedades el mismo para todas las partículas del cuerpo, el centro de masa y elcentro de gravedad coinciden.

Si un cuerpo es homogéneo, es decir, que en cualquiera de sus partesla razón de la masa al volumen es igual, la posición de los centros de

gravedad y de masa dependen sólo del volumen. El punto cuyascoordenadas son los cocientes de los momentos estáticos del volumen entre


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Momentos estáticos

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el volumen, ( x dV/V, y dV/V, z dV/V) es el centroide del volumen ycoincide con los dos centros mencionados.

Centroides de algunos volúmenes

Puesto que los momentos estáticos con respecto a planos, en par-ticular los de volumen, son la suma de los productos de cada parte por sudistancia al plano, el de un cuerpo compuesto se obtiene sumando losmomentos estáticos de cada parte. Si dividimos el resultado de esa sumaentre el volumen de todo el cuerpo, obtenemos la distancia del plano al cen-troide. Ilustraremos esto con el siguiente ejemplo.

Como en este caso, por la homogeneidad del cuerpo y por sus limitadasdimensiones tanto el centro de masa como el centro de gravedad y el

centroide del volumen son el mismo punto, nos limitaremos a obtener esteúltimo.

Observamos, en primer lugar, que hay un plano paralelo al yz que esde simetría, pues corta en dos partes iguales al cuerpo, cuya ecuación es x=15. Por tanto, la abscisa x del centro de gravedad es 15 cm.

Podemos descomponer el cuerpo en dos prismas rectangulares, uno de12 x 30 x 2 cm, y otro de 2 x 18 por 30 cm. Como cada uno de ellos admitetres planos de simetría, sabemos que sus respectivos centroides de volumenestán en (15, 6, 1) y (15, 1,11) [cm]. Podríamos calcular los momentosestáticos respecto a los planos, sumarlos, y, al dividirlos entre el peso total,

hallar la posición del centroide. Pero para facilitar el trabajo haremos la si-guiente tabla.

Ejemplo. El cuerpo que se muestra enla figura es homogéneo. Determine lascoordenadas de su centro de gravedad. 20 cm

2 cm

2 cm

x

z


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Parte V i yi zi yiVi z iVi 1 72 6 1 432 722 108 1 11 108 1188∑ 180 540 1260

Como = / y ̅ = /, entonces = 540/180 = 3,̅=1260/180=7. Por tanto, las coordenadas buscadas son

G(15, 3, 7)[cm]

Centroide del conoColocaremos un cono cuya base tiene un radio R y cuya altura es h con

el vértice en el origen de un sistema de referencia y con su eje de figuracoincidiendo con el eje de las cotas, como se muestra en la figura.

Descompondremos el cono en volúmenes de cuyos centroides conoz-camos la posición, de modo que podamos calcular sus momentos estáticoscon respeto al plano xy y, sumándolos, obtener el del cono. En realidad setrata de elegir un elemento diferencial del volumen que nos permita realizaresa suma.

h

x

z

R

x

z

dz

z

r

Un elemento diferencial idóneo es

un cilindro cuya base sea paralela al plano horizontal y cuyo espesor sea in-finitamente pequeño. El volumen deeste elemento es dV = r2 dz .

Y el volumen del cono seráV= r 2dz= r 2dz. Es fácil estableceruna relación entre r y z para poderintegrar: por semejanza de triángulos,r/z = R/h, o sea, r=(R/h)z. El volumenes, por tanto, V=( R 2/h2) z2dz. Loslímites de la integral son 0 y h, por lo

cual resulta V = R 2/3.


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Momentos estáticos

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Su momento estático se calcula fácilmente, pues es d = z dV. Conlas mismas sustituciones que empleamos para obtener el volumen, llega -mos a = ( R 2/h2) z3 dz. Y, puesto que lo límites son nuevamente 0 y h,

= R 2h2/4. Dividiendo este momento estático entre el volumen, encon-tramos la cota del centroide:

̅=3ℎ4 o sea, el centroide del volumen del cono se encuentra a un cuarto de su altu-ra, desde la base.

Centroide de un hemisferio

Para hallar la posición del centroide de un hemisfer io de radio R, se puede seguir un procedimiento muy similar al que utilizamos para la deter-minación de la ubicación del centroide del cono.

= 23

= 4

R

x

z

z

dz

x

Rr

z

rz

R

El elemento diferencial que elegi-remos es nuevamente un cilindro deradio r, paralelo al plano xy, a una dis-tancia z de dicho plano: dV = r 2 dz.Para poder integrar con respecto a lavariable z, podemos recurrir al teore-ma de Pitágoras para establecer la rela-ción R 2 = r 2 + z2; de donde r 2 = R 2 – z2.El lector podrá por su cuenta realizarlas integrales correspondientes parallegar a encontrar que


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y al dividir el momento estático entre el volumen, llegar a la posición buscada:

̅= 38 Centroides de algunas áreas

Limitaremos la determinación de las posiciones de los centroides desuperficies a las más usuales, que son el triángulo y el sector circular.

Centroide del triángulo

bujar dos medianas, es decir dos líneas que pasen por el centro de dos ladoscualesquiera y por sus vértices opuestos: en la intersección se halla el cen-troide. No obstante, este dato resulta poco práctico en la resolución de pro-

blemas usuales de ingeniería.En el capítulo correspondiente a resultantes de fuerzas paralelas,

dedicamos un apartado a las fuerzas distribuidas, y hallamos que la líneade acción de la resultante de un sistema de cargas representado medianteun triángulo pasa por un punto situado a la tercera parte de la altura a partirde la base. De modo que no necesitamos ninguna otra demostración parasaber que el centroide de un triángulo tiene esa posición: basta conocer dosde las alturas para determinar completamente las coordenadas de dicho

punto.

h

h/3

G

Para hallar el lugar que ocupa el cen-troide del triángulo, o baricentro, comolo llamaban los antiguos, podemos re-currir a vario procedimientos, el másconocido es trazar las medianas deltriángulo y determinar su punto de con-currencia. En realidad bastaría con di-


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Momentos estáticos

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dA

x

dsdθ θ R

x

G

Centroide de un sector circular

Asimilaremos tal sector a un triángulo cuya altura sea R y cuya baseds. Por tanto

= 12 Como tenemos que integrar con respecto a , tengamos en cuenta que,

como todo ángulo se mide dividiendo el arco entre el radio, d =ds/R, o seaque ds = R d . Podemos escribir

= 12 e integrando desde – hasta o, mejor, desde 0 hasta 2 (pues el área arribadel eje de las equis es igual a la de abajo

= (12) = 2(12) = = Calcularemos ahora el momento estático:

= = (23 cos )12

Estudiaremos un sector circular deradio R comprendido en un ángulo 2 elegiremos un eje de las equis sobre sueje de simetría, de modo que su centroi-de se encuentre en él, es decir = 0.Como elemento diferencial tomaremosun sector circular de radio R, inclinadoun ángulo y comprendido en un ángulo

d , como se muestra en la figura.


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R

R x

G x

43 G

x

43 43

=13 cos − Como el momento del área sobre el eje de las equis es igual al del área

bajo el eje

= 23 cos = 23sen| ̅ = 23 sen

̅ = 23sen = 2sen3

̅ = 2 sen3 Dos sectores circulares de especial interés

son el semicírculo y el cuadrante de círculo. Pa-ra el primero, es igual a /2 y su seno es 1;

por tanto

̅ = 213 2⁄

̅ = 43 Si al semicírculo se le quita el cuadrante in-

ferior, la distancia del centroide del que quedaal eje de las yes no cambia.

Por tanto, las coordenadas del centroide deun cuadrante son:

̅= = 43


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Momentos estáticos

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Descompondremos el área en tres superficies: un rectángulo de 18x6cm, un triángulo de 18 cm de altura por 6 de base, y un cuadrante de círculode 6 cm de radio

̅ = = . = 5.12; = = . = 6.42 5.12 ,6.42[]

Lo que hemos dicho acerca de los momentos estáticos con respecto alos ejes cartesianos, se puede extrapolar sin ninguna dificultad a los planoscartesianos. De forma que

Parte A i xi yi xiAi yiAi

108 3 9 324 972

54 8 6 432 324

-28.3 2.55 15.45 -72 -437

133.7 684 859

Ejemplo. Determine las coordenadas de lcentroide del área compuesta que se muestraen la figura.

12 cm

18 cm

6 cm x


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Para determinar esas coordenadas, utilizaremos los momentos está-ticos del área, descompuesto en partes, respecto a los planos cartesianos

Parte A i xi yi zi xiAi yiAi ziAi

72 4 0 4 288 0 288

144 6 6 0 864 864 0

144 0 6 6 0 864 864

-113.1 0 6.91 6.91 0 -781 -781

246.9 1152 947 371

= = 12 43 = 6.91

̅ = =

11522469

Ejemplo. Diga cuáles son las tres coor-denadas del área compuesta que se repre-senta en la figura.

12´´

12´´

x


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Momentos estáticos

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x

50 cm

= = 947246.9 ̅= = 371246.9

4.67´´,3.84´´,1.503´´ Con lo que hemos estudiado en este capítulo, podemos también

determinar los centros de gravedad y de masa de cuerpos no homogéneos,como el que se presenta en el siguiente ejemplo.

Ejemplo. La figura representa lasección transversal de una barra de 50cm de largo, fabricada con aluminio(1) y acero (2) cuyos pesos específico sson 520 y 780 g/cm 2, respectivamente.Determine la posición del centro degravedad de la barra.

(1

(2

30 mm

30

60

20 mm

Como el plano paralelo al xy que pasa a 25 cm del origen es plano de si-metría, ̅= 250 . Además, el plano xy también es de simetría; o sea que̅=0.Para hallar las otras dos coordena-

das, emplearemos los momentos estáti-cos de área, dándoles cierto peso.

Descompondremos en tres partes: unárea semielíptica de aluminio, una rec-tangular negativa de aluminio, más otrarectangular de acero.


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60

30 30

x xdy

y

x

dA

30 + 60 = 1

Aunque podríamos recurrir a las tablas de los textos para conocer la posi-ción del centroide de un área semielíptica, la buscaremos mediante integra -ción.

= 2 De la ecuación de la elipse

30 = 1 60

= 900 4 = 12√ 3600 √ 3600

= √ 3600 = 2√ 3600 + 1800 60 Y el momento estático será

= = √ 3600 = 133600

2827 = 720002827 = 25.47


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Momentos estáticos

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Entonces

Parte A i i iAi yi yi iAi

2827 0.520 1470 25.47 37440

-1200 0.520 -642 15 -9630

1200 780 936 15 14040

∑ 1764 41850

= ∑ = 418501764 = 23.7 Por lo tanto, las coordenadas del centro de gravedad son

0,23.7,250[]

Teorema de Pappus-Guldinus

Una aplicación interesante y práctica de los momentos estáticos se presenta con el teorema de Papo, un griego del siglo tercero de nuestra era,que formalizó Guldin en el s. XVI. Como este último latinizó ambosnombres, el teorema sigue conociéndose como de Pappus-Guldinus (2).

(2) En realidad son dos los teoremas que llevan este nombre. El primero ,que no se estudiará aquí, desmuestra que el área de una superficie de revo-lución es igual al producto de la longitud de la línea generatriz por la dis-tancia que recorre su centroide.


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Así como el volumen de un cilindro de un prima, o de cualquier cuerpode sección transversal constante, puede obtenerse multiplicando el área dela base por la longitud del cuerpo, el teorema de Pappus-Guldinus demuestra que el volumen de un cuerpo engendrado al hacer girar unasuperficie alrededor de un eje se puede calcular mediante el producto delárea generatriz multiplicada por la longitud que recorre su centroide.

= = 2 en donde la última integral es el momento estático del área generatriz conrespecto al eje de las equis. Por tanto = 2

Pero 2 es la longitud que recorre el centroide del área al girar unarevolución. Por tanto,

= QED

GdA

y

Tomemos una superficie cualquierade tamaño A, cuyo centroide es el puntoG, como se muestra en la figura.Escogeremos un área diferencial separa-da una distancia y del eje de las equis. Algirar dicha superficie alrededor del ejeequis, el área diferencial dA generará unvolumen igual a dicha área multiplicada

por la longitud que recorre: dV = l dA, pero tal longitud en 2 y. El volumen delcuerpo engendrado lo podemos obtenerintegrando:


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Momentos estáticos

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El teorema se puede enunciar como sigue: el volumen de un sólido derevolución es igual al producto del área generatriz por la distancia querecorre su centroide.

= 2; = ℎ; = ; = 2ℎ = 13 ℎ

Descompondremos el área generatriz en un rectángulo y un semicírc ulo.Elegiremos un eje de las equis que nos permita simplificar las operaciones

.

Ejemplo. Encuentre la fórmula delvolumen del cono, empleando el teore-ma de Pappus- Guldinus. Sean h su altu-ra y R el ancho de su base.

R

hG

R/3 x

Ejemplo. La figura representa la sec-ción transversa l de un anillo de 4 in dediámetro interior. Calcule su volumen.

1´´1´´

2´´

2´´

1´´


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= 0.33333.571 = 0.09335 El radio de la trayectoria del centroide es igual al radio exterior menor1.09335. = 24 1.093353.571 = 65.2 in

Investigaremos la posición del centroide de la sección transversa l.Calcularemos solo la abscisa, pues nos interesa su distancia al centro C.

Parte A i yi yiAi

2 -0.5 -1

π/2 4/3 π 2/3

∑ 3.571 0.3333

Ejemplo. Se desea calcular el volu-men de concreto que se necesita para laconstrucción de la cortina de la presacuyas planta y sección transversal semuestran en las figuras. ¿Cuál es esevolumen? 200

60 A

70

80

80

Corte

C


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Parte A i xi xiAi

6400 40 256000

-3848 29.7 -114333

∑ 2552 141667

̅ = 1416672552 = 55.52

El radio de la trayectoria del centroide es

= 200 80 +55.52 = y la longitud que recorre es la sexta parte de la circunferencia

= 162 = 175.523 = 183.81 = = 183.81 255 = 469 000

70

80 m

xO


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Serie de ejercicios de EstáticaMOMENTOS ESTÁTICOS

1. Determine, por integración,las coordenadas del centroide deltímpano mostrado.

Sol. (3a /4, 3 b/10)

Encuentre la posición de los centroides de las superficies que semuestran en las siguientes figuras.

2. Sol . (17, 3.88) cm 3. Sol . (6.83, 4.95) in

4. Sol . (1.295, 1.295) cm 5. Sol . (2.66, 2.71) ft

x

b

= k x 2

a

x

9 cm

10 cm 10 cm14 cm x4´´

4´´ 6´´

8´´

4´´

10´´

x3´

3´ 3´

3´ 2´

3´

4´

x

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

1 c m

1 c m

1 c m

1 c m


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6. Sol . ( – 4.93, 2.30) cm 7. Sol . (0, 3.37) cm

8. Sol . (12, – 0.734) in 9. Sol . (1.081, 2.62) ft

10. Sol . (5.54, 0, 4.46) in 11. Sol . (0.495, 0, 0.495) in

x

6 cm

12 cm

4 cm

x

6 cm

8 cm

10 cm

x

8 ´´

12 ´´

8 ´´

45° 45° x

6´

3´

2´

x

1 0 m m

10 mm 10 mm

1 0 m m

1 0 m m

1 0 m m

20 mm

5 mm 5 mm

x

1´´

z

1´´

1´´ 1´´


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12. La figura representa una placa delgada de espesor uniforme de0.5 in. El peso específico del mater ia l(1) es de 6 lb/in 3 y el del material (2),8 lb/in 3. Determine el peso de la

placa y las coordenadas de su centrode gravedad.

Sol . P = 66 lb, (3.18, 1.5) in

13. La figura representa lasección transversal de una barra. Lamasa específica del material (1) es de520 g/cm 3 y la del material (2), de780 g/cm 3. Diga cuáles son las coor-denadas x y y del centro de masa.

Sol . (13.06, 0) cm

14. Calcule el volumen delsólido de revolución que se genera algirar la superficie mostrada alrededo rdel eje de las yes.

Sol . 100.5 in 3

15. En la figura se muestra elárea generatriz de un sólido de revo-lución. Determine el volumen del só-lido, si el área rota en torno al eje delas equis.

Sol . 36 600 cm 3

2´´ 4´´

3´´ (1) (2)

x

30°

20 cm

(1) (2)

x30°

x2´´

2´´

2´´

2´´

x10 cm

30 cm

60° 60°


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16. La figura muestra lasección diametral de un toro. Calculesu volumen.

Sol . 59.2 cm 3

17. Un cilindro de 4 in de

radio y 12 de altura se tornea hastaconseguir la pieza mostrada. Deter-mine su volumen.

Sol . 377 in 3

18. Las figuras representan la planta y la sección transversal de lacortina de una presa. Determine elvolumen de concreto que se requiere

para su construcción.Sol . 306 000 ft 3

x30 mm

10 mm

30 mm

10 mm

4´´ 2´´

8 ´´

2 ´´

4´´

2´´

150´

45°

50´

80´

10´

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