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Cuaderno de Trabajo: Física II

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo134

77)) CCaammppoo MMaaggnnééttiiccoo.. LLeeyy ddee AAmmppeerree

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7.1) Interacción de campos magnéticos

i) Conocimiento histórico de la IM

IE ∼ 25s → 1ra en desarrollarse IM ∼ 42s → después

IE → qIM → I

IM:Magnetita {FeO, Fe2O3}

FerrososCiertos mineralesElementos de transición

Tierra:

PN

PS

EG

PS

PN

EMPNG

PSG

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De acuerdo a esta analogía con los polos geográficos, PG, se renombran losextremos de las barras de magnetita como PN magnético (PMN → PN) y PSmagnético ( PSM → PS)

ii) Experimentos importantes

j) HC Oersted, 1820

No se tiene certeza del montaje experimental usado por Oersted, es más,el experimento hipotético es extremadamente sensible.

jj) Polaridad de la “I”

→→→→ circulación

iii) ¿Cómo debe ser la fuerza que representa aesta interacción magnética?

mI F→r

Circulaciones igualesCirculaciones contrarias

r Ir

I

B

I1 I2

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eF E→r r

Los cambios en el espacio producidos por la distribución de s I serán descritos

por un campo magnético, Br

, asociado a una fuerza magnética, m F r

, mediantela siguiente ecuación:

m F q v B= ×r rr

__

[ ]

[ ]

mu F N

u q C

=

=

__

__

[ ]

[ ]

mu v

s

u B T

=

=

41 10

1

T G

G Gauss

=

=

En adelante toda distribución de I estaría enlazada a un campo Br

( ) E B⇔r r

q q

q ρ =

__ __

e F E

q=v

q

Fm B

v

q

I

I

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iv) Generalización de la fuerza para unadistribución de Is

: . I I J da→ ≡ ∫ r r r

( )

( )

( )

m

m

m

dF dq v B

dF dV B

d

Nq v

J F B dV

= ×

= ×

= ×

r rr

r r

r r

r

r

Lineales

Superficiales

Volumétricas

( )m m

I I

F dF J B dV → = = ×∫ ∫ r r r r

Obteniendo la ecuación de fuerza para corrientes filiformes,

{ } { }

__ __ __

__ __

* J

m

I

m

I

F J B dV dV Adl

F B Jû Adl

= × ← =

= ×

∫

∫ r

{ } _ _

{ } J J J û Adl JA dl û Idl → =r

I

__

BN

vJ

dFm

dqdV

dl

A

I

C

D

dV

I: distribución de Is

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__ __ __ D

mC

F Id l B→ = ×∫

Si C=D:

m

C

F Idl B= ×∫ rr r

__

_ __ __ _ __ _

0{ }m

c C

m

Si I cte C B cte

F I d l B I F d l B

→ = ∀ ∧ =

≡ × = × → =∫ ∫

uur

rr

IC CC C

“elemento del circuito”,describe espacialmente al C.

es la corriente en C.

: I dl r

I

I

__

B

__

m

→

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v) Torque sobre una I

m I A=rr

m Bτ = ×rr r

← m F Idl B= ×∫

rr r

A m=r r

I

I

m

p

<>

I

µµµµ

__ __

p m= : Simetrías

IE IM

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77..22)) LLeeyy ddee BBiioott yy SSaavvaarrtt

__

3

'( ')( ) '

k dv r r E r r r

ρ

ρ

ρ −=

−∫

r rr

r r

Esta ley permite conocer el campo partiendo de una ecuación empírica para lafuerza magnética entre circuitos de Is,

,21 2 1m m F F sobre C debido a C =

2 1

0 2 1 2 1 2 121

3

2 1

{ ( )}

4

m

C C

I I dl dl r r F

r r

µ

π

× × −=

−∫ ∫

Br

dl

I m

Fm,21

r1

r2

dl2

C2

B

I2

dl1

I1

C1

__

m

__

m F

-

I

m Br

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Comparando…

m

C

F Id l B= ×

∫

2

12

1

0 1 1 2 1

3

2 1

21 2 2

21 2 2

( )

4

m

C

C C

m

F B

I d l r r

r

I dl

F r

I dl µ

π

× −

= ×

→ = × −

∫

∫

∫

0

3

( ')( )

4 'C

d l r r B r

r r

µ

π

× −=

−∫

r r

µ0 : permeabilidad magnética del vacío

7

04 10

Tm µ π −≡ ×

I

r’

dl

C

P

Br

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EEjjeerrcciicciioo:: CCaallccuullee eell BB ddeebbiiddoo aa llaa llíínneeaa ddee II,, ?C

P B =

2 2 2 1/ 2

2 2 1/ 2

ˆ ˆ

ˆ' '

ˆˆ ˆ´ '

ˆ'

´ { ' }

´ { ' }

r xi yj

r z k

r r xi yj z k

dl dz k

r r x y z

r r r z

= +

=

− = + −

=

− = + +

→ − = +

r

0

32 2 2

0

3

2 2 2

ˆ ˆˆ ˆ{ ' } ( ' )( )

4 { ' }

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) '(0)

ˆ ˆ{ } '

{ }

)4

'

(

C

C

I dz k xi yj z k B r

r z

k xi yj zk x j y i z

I yi xj B r

dz

r z

µ

π

µ

π

∞

−∞

× + −→ =

+

× + − = + − −

− +

→ = +

∫

∫

r

Recordando…

Introduciendo el vector eθ y la integral,

3 22 2 2

2

',( )

dz

I r z r z

∞

−∞= =+

≡∫ %

y

x

zr eθ

r eθ

P

I

r

r

dl

P

θ

y

x

z

ˆ ˆˆ { }

ˆ ˆ ˆ{ cos }

y xu i j

r r

sen i j eθ θ θ

≡ − +

≡ − + ≡

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Resulta,

0 0

2

2ˆ ˆ( )

4 4

C I I B r re I re

r θ θ

µ µ

π π = ≡ ×

r%

0 ˆ( )2

C I B r e

r θ

µ

π =

77,,33)) LLí í nneeaass ddee iinndduucccciióónn,, LLII

Sinteticemos las simetrías,

0

3

0

( ')( )

4 '

.

.

.

:

C

IM

I

Idl r r B r

r r

C

LI Lineas deinduccion

µ

π

µ

× −=

−

∀

∫ r r

3

0

'( ')( )

'

.

.

.

:

IE

q

k dv r r E r

r r

LF Lineas de fuerza

ρ

ρ

ρ

ε

ρ

−=

−

∀

∫

ii)) DDeeffiinniicciióónn ddee LLII

Son líneas que describen la distribución del campo magnético debido a una

distribución de corrientes I.

iiii)) CCaarraacctteerrí í ssttiiccaass ddee llaass LLII

j) Son cerradas y con circulación.

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jj) No se cruzan.

jjj) El Br

tangente a las LI y orientado según su circulación.

jv) La distribución de las LI relacionadas con la uniformidad e intensidad de B .

k) La uniformidad de las LI de acuerdo a la uniformidad del Br

.

1 B cte=uurr

kk) La densidad de LI vinculada a la B .

1

PN

PS

P

P B

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El conocimiento de las LI para las distribuciones de I permitirá obtenerinformación valiosa del B

r, lo que permitirá para distribuciones de I especiales,

simplificar la obtención de los Br

.

Ejemplos de LI:

**LLII:: II ffiilliiffoorrmmee

**LLII:: II ppllaannaarreess

2

11 2 B B<

I

IA

I

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77,,44)) LLeeyy cciirrccuuiittaall ddee AAmmppeerree Esta ley establece la proporcionalidad entre la integral de línea del y lacorriente encerrada por dicha línea. Esta línea es un circuito matemático, C,

. ,enc cond

C

B dl I I I I α = =∫

0.C

B dl I µ =∫

Ejercicio: Igual al ejercicio ultimo…

0.C B dl I µ =∫

{ }

0

0

0

0

1

2

2

)

)

o

C

B dl I

B dl I

I B

r

µ

π

µ

µ

=

=

=

∫

∫

Como las I están asociadas a los , . A

J I J da= ∫ , estas I deben de generalizarse

para todas las superficies, de la siguiente forma,

I=IC + ID IC: I de conducción, I ID: I de desplazamiento

dl B

IA

C

C

Bdl

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Caso interesante:

Donde las ID están definidas por,

0 E

D

d I

dt

φ ε =

r

Con lo cual,

0.C

B dl I µ =∫ ← I=IC + ID

Es la Ecuación circuital de Ampere- Maxwell

77,,55)) EEnneerrggí í aa mmaaggnnééttiiccaa eenn eell RR33

3

2

.

:

1: , 2

eléctrica p el

R

IE

E E E E dv ρ ε → → = ∫ r

E

ID I=IC

CB

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EN LA FERIA ESCOLAR DE FÍSICA

Pedro y José ajustan los últimos detalles de su exposición científica. Pedro ha fijado correctamente su banda de hule a cuatro soportes aislantes R, S, T y U, asegurándose

que la banda se ajuste adecuadamente con el rodillo metálico C(Cu). Con esto subanda ha quedado conectada a tierra. Pedro será el encargado de hacer la explicacióndel trabajo.José ha terminado de ajustar las escobillas metálicas E contra la banda de hule, y hacomprobado que al hacer girar la manivela el rozamiento produce la electrización deaquella. Él será el encargado de mover la manivela.Todo parece indicar que ellos han acusado esmero en su trabajo y que el generadorde cargas electrostáticas de su invención ha quedado listo para su presentación.Pedro y José tienen planeado hacerle una broma a Luis, que perteneciendo al grupode trabajo es el que menos ha contribuido en su elaboración, sin embargo se le haprometido que lo consideraran ante el jurado, siempre que se anime a hacer unapequeña demostración del nivel de electrización de la banda. La broma consistirá enhacerle tocar la banda cargada con un delgado cable de cobre pero sin que él se decuenta.El trabajo de Luis consistirá en dejar libre a una pequeña esfera de espuma plásticadesde un punto P cerca de la banda que deberá estar previamente electrizadanegativamente por frotación. Entonces se apreciará que la esferilla sube verticalmentealejándose de la banda por efecto de repulsión, demostrándose así que la banda seelectrizada por fricción con las escobillas.Iniciado el evento, el jurado le pide algrupo hacer la explicación de su trabajo.Pedro empieza demostrando que labanda se encuentra inicialmente

descargada. A continuación Joséempieza a mover impetuosamente lamanivela y Luis sin que se lo indiquensus compañeros suelta la esferillacargada, observándose que ésta nosube verticalmente sino más bien salesiguiendo una trayectoria que no habíasido prevista.

¿Qué causas justificarían tan inesperado resultado?

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

1. Comprender la inducción del campo magnético a partir del movimiento de cargas eléctricas

2. Caracterizar la fuerza magnética a partir de las cantidades físicas: carga eléctrica,velocidad y campo magnético

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PREGUNTAS ADICIONALES

1. Sabiendo que toda superficie uniformemente cargada provoca un campo eléctricouniforme. En el experimento dado ¿qué efecto produce sobre este campo eldesplazamiento de la banda?

2. Colocando la esferilla electrizada negativamente y en reposo muy cerca de labanda electrizada y en reposo, ésta logra ascender verticalmente. Explica lasrazones que justifican este comportamiento.

3. En base a la situación de la pregunta anterior, supongan ahora que la banda seencuentra en movimiento, se sabe que al liberar la esferilla no sigue la trayectoriavertical. Elabore una hipótesis de existencia de la causa que genera el cambio deuna trayectoria vertical por otra distinta.

4. En una situación hipotética supongan que en lugar de una banda electrizada enmovimiento, existan un conjunto de cables conduciendo corriente en la dirección

del movimiento de aquella. Al repetir la experiencia anterior ¿la trayectoria de laesferilla sería como cuando la banda electrizada se desplazaba?

5. Si en lugar de la carga eléctrica se instala una brújula en un plano paralelo a labanda en movimiento, se observará que la aguja de ésta se perturba. ¿De quénaturaleza es la fuerza que afecta a la brújula? ¿Es esta fuerza de la mismanaturaleza que la que afecta a la esferilla cargada cuando ésta se mueve?

6. En base a la situación de la pregunta anterior, la fuerza sobre la aguja de la brújulaestá asociada a un campo magnético. ¿Son suficientes los datos para determinarqué dirección tiene dicho campo magnético?. Si es así ¿cuál es esa dirección enlas proximidades de la banda electrizada y en movimiento?

7. Existe alguna relación entre las direcciones del campo magnético, de la direcciónde la velocidad de la esferilla y de la fuerza magnética aplicada sobre ella.Expliquen.

8. Elaboren un DCL de la esferilla electrizada para el caso dado en el experimentooriginal. ¿Qué forma tiene la trayectoria que describe la esferilla mientras estácayendo en dicho experimento ?

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FUENTES DE INFORMACIÓN

A. FUENTES BIBLIOGRÁFICAS

1. Física Fundamental.Jay Orear. Editorial Limusa- Wiley, S.A. México 1970.

2. Física , tomo II . 3ra Edición.

Raymond A. Serway. Mc GRAW-HILL. S.A. México 1993.

3. Física para la ciencia y la tecnología, volumen II . 4ta. Edición.

Paul A. Tipler. Editorial REVERTÉ, S.A. Barcelona 2000.

4. Física Conceptual. 3ra Edición

Paul G. Hewitt. Addison Wesley Longman. México 1999.

5. Física Clásica y Moderna

W. Edward Gettys, Frederick J. Keller, Malcolm J. Skove

Mc. Graw Hill. Madrid 1993

6. Física 3

G. Ya Miákishev, B. B. Bújovtsev

Editorial MIR Moscú 1986.

B. RECURSOS DE LAS NTIC(NUEVAS TECNOLOGIAS DE LA INFORMATICA Y…)

1. Temas de electromagnetismo

: http//www.enebro.pntic.mc.es /fisica.html

2. Física Virtual

:http//www.pergamino virtual.com/categorías/ciencia_y_tecnología_fisica1.shtml

3. APPLETS de Fenómenos electromagnéticos.

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SUPUESTOS

A. CONOCIMIENTOS PREVIOS

1. Diagrama de Cuerpo Libre.

2. 2da Ley de Newton.

3. Fuerza Electrostática.

4. Campo Eléctrico.

B. NECESIDADES DE APRENDIZAJE

1. Aprender que los campos electromagnéticos se generan a partir delmovimiento de cargas eléctricas.

2. Conocer y comprender la relatividad de los campos electromagnéticos.

3. Caracterizar un campo magnético generado por una corriente eléctrica en losalrededores de ella.

4. Comprender y aplicar las reglas que relacionan a la Velocidad, CampoMagnético y Fuerza Magnética.

C. HIPÓTESIS / CONJETURAS

1. Existe una fuerza que desvía el movimiento de la carga cuando esta se deja enlibertad.

2. La fuerza desconocida sólo aparece cuando las cargas de la banda seencuentran en movimiento cuando ella se desplaza.

D. POSIBLES SOLUCIONESS1. Si la fuerza de gravedad sobre la esferilla es mayor que la fuerza eléctrica, ésta

baja describiendo una trayectoria curva.

2. Si la fuerza de gravedad sobre la esferilla es de igual valor que la fuerza derepulsión eléctrica, al liberarse quedará en reposo.

3. Si la fuerza de gravedad es menor que la fuerza de repulsión eléctrica, laesferilla ascenderá en una trayectoria curva.

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