cap4 sp 99-123-2011 i

Cuaderno de Actividades: Física I

4) Dinámica de un sistema de partículas

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 99


4) Dinámica de un sistema de partículas

4,1) Cantidad de movimiento pr

de un sistema de partículas

1 2sp np p p p p≡ ≡ + + +r r r r rK

ii

p≡ ∑ r

1

i n

i ii

p m v≡

≡≡ ∑r r

[ ] mu p kg

s≡r

4,2) Impulso de una fuerza, FIrr

Definición: Es una CFV que considera el efecto integral de la fuerza en el tiempo.

1 2

f

i

tFt t t

I Fdt→ ≡ ∫rr r

Caso particular: F cte≡uurr

1 2 2 1,Ft tI F t t t t→ ≡ ∆ ∆ ≡ −rr r

u I Ns ≡ r

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

n partículas

im

ivr

Fr

m

100


4,3) ( ),RFR R I p≡rr r

El impulso de la fuerza resultante se relaciona con los cambios de la cantidad de movimiento lineal de tal forma que tendríamos otra forma alternativa de expresar la segunda ley de Newton, en este caso, para fuerzas que dependen del tiempo.

RFR

dpI F dt dt p

dt ≡ ≡ ≡ ∆ ∫ ∫

r rr r

FI p≡ ∆rr r

Este resultado que puede entenderse para una partícula puede extenderse para un SP, veamos, la fuerza resultante sobre cada partícula podría considerarse constituida por una fracción interna y externa, la parte interna de estas fuerzas, es decir, entre las partículas del SP, se cancelarían en estricto cumplimiento de la Tercera Ley de Newton, quedando solo la fuerza resultante externa actuando sobre el SP, por lo tanto,

,R EXTFI p≡∆rr r

Según la última ecuación para que el SPp p cte≡ ≡uurr r

el ,R EXTFI o≡rr r ,

SPp p cte≡ ≡uurr r

,R EXTFI o← ≡rr r

Esto quiere decir que para un SP donde no exista ,R EXT

Fr

o el efecto integral de

ella se cancele, el SPpr

deberá de conservarse.


RF F≡r

FIrr

1 partícula pr

SP

RFIrr

pr

,R R EXTF F≡r r

101


4,4) Centro de masa de un SP, CM

Sea un sistema de partículas de “n” partículas,

1 1

1

i i n ncm

i n

m r m r m rr

m m m

+ + + +≡+ + +

r r rK Kr

K

1cm i i

i

r m rM

≡ ∑r r

1dv r

Mρ≡ ∫

r

1cm i i

i

v m vM

≡ ∑r r

1dvv

Mρ≡ ∫

r

1cm i i

i

a m aM

≡ ∑r r

1dv a

Mρ≡ ∫

r

¿Como se vincula el CM con el SP?

En el contexto cinemático,

sp i ii

p p m v CM≡ ≡ ⇔∑r r r

{ }1cmv p

M≡ →r s

cmp M v≡r r

Y en el dinámico,

, ( )R R ext CM cm

d dF F p mv M a

dt dt≡ ≡ ≡ ≡ →

r r r r r,R ext cmF M a≡

r r



De estos resultados se puede inferir rápidamente que le SP puede

reemplazarse por una partícula con la masa del SP, M, moviéndose según cmrr

,

Observaciones:

i) Ahora, si i → ∞: SP continuo ≡ cuerpo (CR): Σ→∫ En las sumas discretas las im son reemplazadas por dvρ , donde

ρ : densidad volumétrica de masadv: elemento de volumen

ii) En muchos casos es recomendable hacer la descripción del fenómeno desde el sistema CM, debido a que las ecuaciones pueden simplificarse

sustancialmente ,por ejemplo, la CMvr

siempre es cero, esto es, ' 0CMv ≡rr

.

¿? Como describo el CM en base a simetrías del SP (cuerpo)

¿? El CM da información acerca de como esta distribuida la masa del SP

¿? Se puede calcular el CM de manera sencilla

¿? Como interviene el CM en el movimiento de los cuerpos

¿? Como utilizamos el CM en nuestra vida cotidiana

¿? Intervendrá en CM en otros campos de la Física

¿? Se usara CM tecnológicamente


RFr

p mv≡r r

im

,R CMFr

CMvr

≡ M CM

103


4,5) Energía para un sistema de partículas

i) Energía Cinética, Ek

2, ,

1

2k k sp k i i ii i

E E E m v≡ ≡ ≡∑ ∑

Relación entre Ek,0 y Ek,cm

2

, ,

1

2k o cm k cmE Mv E≡ +

ii) Energía Potencial, Ep

, ,p sp p p ii

E E E≡ ≡∑

Si la ,p iE fuese ,pg iE , entonces, ,pg pg i CMi

E E Mgz≡ ≡∑

iii) Energía Mecánica, EM

, ,M sp M M ii

E E E≡ ≡∑

4,6) Momento Angular, L



Lr

→ descripción rotacional de los movimientos

→Fr

rotaciones… ,R extFFτ τ≡rr r

i) L para una partícula

rxrmpxrL rrrrr≡≡0

LAB ≡ FIJO

ii) L para un SP

sp i i i i i ii i i

L L L r xp m r xr≡ ≡ ≡ ≡∑ ∑ ∑r r r r r r r

Relación entre o cmL y Lr r

o CM CM CML Mr xr L≡ +r rr r

4,7) Torque para un sistema de partículas,τ


m v

r

r

r

0

≡ CM

0

105


i) n =1

0 rxFτ =rr r

ii) n partículas

Relación entre y Lτrr

Lprr

→ : rotacional, están vinculados por pdt

dFR

rr=

FF τ→rr r : rotacional, están vinculados por ¿?

R = R ( ,L τr r

)

R

dL

dtτ = →

rr ,R ext

o

dL

dtτ =

rr

Esta ecuación simple que vincula a y Lτrr

es valida cuando,

i) O: fijo en el espacio ii) O: el CM, 0 = 0’ =CMiii) O:v0 // vcm ; ‘0’ se mueve // al cm


m • r

r

0 Fr

m1 ° mi

0 irr

iFr

106

01 1

n n

i i ii i

r xFτ τ= =

= =∑ ∑rr r r


Ahora, de ii) { } { },R ext

d dF p mv m a

dt dt= = =

r r r r cmaM

r= , esto es, ,R ext cmF Ma=

r r,

esta ecuación también debe de cumplirse para mostrar la simetría completa entre lo trasnacional y lo rotacional.Para ciertas direcciones especiales se cumple,

L Iw=r r ejes principales de inercia

I: momento de inercia

,R ext Iτ α= rr

Los momentos de inercia son, por lo tanto, equivalentes a las masas, dan información acerca de la oposición que muestra un SP (cuerpo) a las rotaciones en ciertas direcciones, también están fuertemente ligados a la simetría del SP (cuerpo) así como a la distribución de las masas, por supuesto.

El I para un SP en cierta dirección dada por el eje ξ, se determina de la siguiente forma,

ξ

ri mi 2

i ii

I m rξ ≡ ∑



S4P22) La figura muestra un sistema de dos partículas en el instante inicial ( t

= 0 s), donde ( )1ˆˆ ˆ4 3 2r i j k= + +r

m, ( )2 1 2ˆ ˆ5 12 , 2 1r i j m m m kg= + = =r

y las

velocidades en función del tiempo son 1ˆv tk=r m/s y ( )2

ˆˆ ˆ5 6v ti j k= − +r

m/s. Halle para t = 1 s, a) El centro de masa

b) La fuerza sobre el sistemac) El momentum angular respecto de Od) El momentum angular del centro de masae) El momento de inercia respecto del eje z.f) La energía cinética respecto del centro de masag) La energía cinética respecto de Oh) Interprete la diferencia entre c y d, también entre f y g.

SOLUCION:

r1 (0) ≡√r2 (0) ≡√m1 ≡ 1m2 ≡ 0,5

v1 ≡ tkr

( )2ˆˆ ˆ5 6v ti j k≡ − +r

a) ? 1CMr t s≡ ≡r

( ) ( ){ }1 1 2 2

1( )CMr t m r t m r t

M≡ +r r r

b) 1 2?,F F f f≡ ≡ +r rr r

c) 0LLrr

≡

1/2221121 ≡+≡+≡ tvxrmvxrmLLL i

rrrrrrr


2vr

m2

2rr

m1

1rr

1vr

108


d) 0'CML L L′≡ ≡r r r

1/21

2211 ≡++

≡≡ tmm

vmvmrv CMCM

rrrr

e) I = ¿?

f) Ek del sistema de partículas / o’ ≡ CM

Ek ≡ Ek,CM

2 2, 1 1 2 2

1 1' '

2 2k cmE m v m v≡ +

cm ≡ móvil:

1 1, 1' cm cmv v v v≡ ≡ −r r r r

1 0 / 0 1'v v v′≡ +r r r

2 2' cmv v v≡ −r r r

2,

1

2k cm k CME E Mv≡ −

2 21 1 2 2

1 1

2 2kE m v m v≡ +

=√√ , t ≡ 1

g) Ek

h) c) – d): I - Icm≡ M cmcm rxr rr

f) – g): Ek – Ekicm ≡ 2

1m 2

cmv



4,8) Aplicación importante de sistema de partículas: Choques o colisiones.

El fenómeno es muy importante puesto que nos permite acceder a conocimiento valioso acerca de,

→ Estructura de la materia:

Experimento de E Rutherford

Modelo planetario

Aceleradores de partículas: AL de Stanford, anillo del CERN (Teoría M)

→ Caracterización de materiales:

e = √θ i = √ θ r = √µ : se puede conocer!

→ Eventos de extinción masiva, EEM

Extinción de saurios. Desaparición de la especie humana: colisión con asteroide masivo para

2027.

Este fenómeno es producido por fuerzas impulsivas IFr

, las cuales se

caracterizan por:

- Ser muy intensas 103-4

- ∆t: tiempo de actuación de los IFr

r del orden ∼ 10-3 a 10-4


α

P P: INF n 1012 eV

µ

110


En la aproximación de los IFr

se considera la conservación del p

para todo

choque.

p

≡ cte

p

≡ 'p

Los choques pueden clasificarse espacialmente de la siguiente manera,

i) Choques frontales o unidimensionales:

Cuando las velocidades antes y después de la colisión se encuentran en una L.Esta línea L es la línea de colisión o impacto, Lc.

ii) Choques oblicuos o bidimensionales:

Las vr

de las partículas en un plano, este plano es determinado por la L de colisión y cualquier otra L ⊥ a ella.


Y -FI FI

X

Línea de colisión o impacto: x

v1 v2 x

x: Línea de colisión o impacto

11vr

y 'pr

12vr

x

1vr

pr

2vr

111


iii) Choques Espaciales o Tridimensionales

svr

en el R3.

Los choques también pueden describirse en función de las Ek

involucradas,

i) Choques elásticos

Ek = cte → Eki ≡ Ekf

ii) Choques inelásticos

Ek ≠ cte → Eki = Ekf + Q; Q: forma de energía no cinética, por ejemplo energía potencial de deformación.

Es frecuente introducir el coeficiente de restitución del choque, e, cantidad definida por Newton que valora las velocidades relativas antes y después de la colisión,

12 1 12 1 22 ,' vv vev v≡ −= −

Donde: e: coeficiente de restitución

v12: velocidad de 1 respecto de 2 antes de la colisión, v12 = v1-v2

12' :v velocidad de 1 respecto de 2 después de la colisión, v’12 = v’1-v’2

2 1

1 2

' 'v ve

v v

−=−

Esta ecuación valida para el choque frontal puede ser aplicada en el caso bidimensional respecto de la L de colisión o impacto,



2 12 1

1 2 1 2

' '' ' x x

x xx

v vv ve

v v v v

−−= =− −

En los choques por lo general se miden las svr

o en ciertos casos las masas,

→vs =?

1 2' , ' ?v v =

1) ' 'p p p p= → =r r

1 1 2 2 1 1 2 2' 'm v m v m v m v+ = +→ r r r r

2) Es eEk = Ek’ o e = 1 o

Ek = Ek’+Q 0 ≤ e < 1

2 2 1 21 2 1 1 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2kE mv mv m v m v= + = + 2 12 1

1 2 1 2

' '' ' x x

x xx

v vv ve

v v v v

−−= =− −

S4P12) Dos discos circulares A y B se están moviendo sobre una superficie horizontal lisa cuando chocan según un impacto central oblicuo, como se indica


1'vr

y 'pr

2'vr

1' xvr

2' xvr

x

1vr

pr

2vr

xv1

r xv2

r

Y

AVr

BVr

A B X 113


en la figura. El disco A pesa 10 kg y el disco B 6 kg . Antes del choque

la velocidad de A fue sm j5 + i5 = V A /rrr

y la velocidad de B fue sm j5 + i12- = V B /

rrr.

Si el coeficiente de restitución para estos dos discos es 0,7, determine las velocidades de los discos después del choque y el porcentaje total de energía cinética perdida.

SOLUCION:

mA = 10mB = 6vA = (5 i + 5 j ) m/s

vB = -12 i +5 je= 0,7

a) x : Lc , se analizaran los cambios del p solo en x ,

1°) ' '/ xp p p p≡ → =r r r r

' 'A A B B A A B Bm v m v m v m v+ = +r r r r

{ } { } { } { }ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ10 5 5 6 12 5 10 ' 6 'Ax Ay Bx Byi j i j v i v j v i v j+ + − + = + + +

50 72 2: 10 ' 6 ' 2Ax Bxv vx − = + ≡ −

2°) ' '2 1

1 2

10,7 :

2x x

x x

Av ve

Bv v

=−= ==−

' '

0,7 Bx Ax

Ax Bx

v v

v v

−=−

{ } { }' '

5 12Bx Axv v−=− −

' ' 17 0,7 11,9Bx Axv v− ≡ × ≡→

'

'

?

?

Bx

Ax

v

v

≡

≡

' ' ˆ ˆ5A Axv v i j→ = +r ∧ ' ' ˆ ˆ5B Bxv v i j= +


Y

AVr

BVr

A B X

114


b) '

k k

k

E E

E

− x 100%

{ } { }2 2 2 21 1

2 2k A Ax Ay B Bx ByE m v v m v v= + + + { } { }2 2 2 21 1' ' ' ' '

2 2k A Ax Ay B Bx ByE m v v m v v= + + +

S4P2) El sistema que se muestra esta formado por dos cuerpos A y B, unidos por una cuerda y un resorte comprimido tal como se muestra en la figura. Todo el sistema se mueve con velocidad constante V0 = 6 m/s sobre una superficie horizontal sin fricción y la energía potencial del sistema es 27,12 J. Si se rompe la cuerda, determine la velocidad que tiene cada cuerpo inmediatamente después de que esto sucede. Considere mA = 0,90 kg y mB = 1,36 kg.

SOLUCION:

Piso horizontal liso


Y ' V 'A

A

60° ' X’

B

V 'B

A

60° V0

B

115


V0 = 6

Epe = 27,12 'Av =?

mA = 0,9mB = 1,36 '

Bv =?

:p cte p p′≡ ≡uurr r r

' ' 'A A B B A A B Bp m v m v m v m v p≡ + ≡ + ≡r r r r r r

EM = cte ← wFNC ≡ 0 ← FNC = Nr

EM = E’M

2 2 2 '21 1 1 1'

2 2 2 2M A A B B pe A A B BE m v m v E m v m v≡ + + = +

Desde el CM:

' ', :A Bv v→ Epe →Ek

→ ' :p pr r

desde el CM

'' 0 ' ' 0 ' 0CMp p Mv p m≡ ← ≡ → = ≡r r rr r r r

''BBAA vmvm ≡ (l)

cteEM ≡→'2 '21 1

0 '2 2M pe A A B B ME E m v m v E≡ + ≡ + ≡ (ll)

' '?, ?A Bv v≡ ≡

Calculando velocidades desde O

'ACMA vvvrrr

+≡



'B CM Bv v v+ +r r r

?, ?A Bv v≡ ≡r r

S4P4) Un niño de m kg de masa se encuentra inicialmente parado sobre un tablón de M kg de masa y L m de longitud, como muestra la figura. Si el niño empieza a


A B

X O L

117


moverse con una ivv ˆ0−≡r

m/s (respecto de O) y la superficie X es lisa,

determine:a) La velocidad del tablón (respecto de O.b) La posición del niño (desde O) cuando llegue al extremo A del tablón.c) La posición del tablón (punto medio del tablón) cuando el niño este en

A.d) ¿Qué ocurre con el CM del sistema niño-tablón?

SOLUCION:

a)

0 ≡ MV + m(-v0) → 0

mV v

M ≡

b)

-(v0 + V)

( ) ( )/ 00 0

0 0

n t

L L MLv v V t

mv V v M mv vM

≡ − + → ≡ ≡ ≡+ ++

t: tiempo para que el niño se desplace desde B hasta A, o sea, tiempo para que el niño se encuentre en la posición xA. Calculamos dicha posición usando al tablón,

A

mx V t

M→ ≡ × ≡ 0v

M×0

L

v ( )M m→

+ ( )A

mLx

M m≡

+

c) De b) ( ) ( ) { }' 32 2o

mL L Lx M m

M m M m≡ + ≡ +

+ +


V -v0

M m

o X

m o’

O xA X

118


d) 0cmv ≡

S4P7) Un sistema consiste de cuatro partículas de igual masa “m” que están unidas por medio de barras rígidas de igual longitud “l” y de masa despreciable. El sistema está inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal lisa. Se aplica un impulso

rI ,

como se indica en la figura, rI = I i , para t

= 0. Determine:

a) La velocidad del CM,rrcm

.

b) La velocidad angular del sistema,rw .

SOLUCION:

ˆI Ii≡

a) ?cmv ≡rr

,R EXTFI I P≡ ≡ ∆rr r r

{ }( ) (0) 4 0cmP P t P P m v∆ ≡ − → ≡ −rr r r r r

{ }4 cmP m v I∆ ≡ ≡ →r rr

4cm

Iv

m≡

rr


Y

m

l X

rI

y

m0 x

l cm

Ir

119


b) ?w ≡rr

CM: ,R ext

dL wI I

dt tτ α ∆≡ ≡ ≡

∆

r rrr

0t∆ → , ) )ˆ( (R ext F k It It l l wτ ∆ ≡ ≡∆ ≡ ∆r rr r

(Problema escalar)

( ) ( )F tF Il lt l∆ ≡ ≡∆ 24ml≡ { } { }0w − → 4

≡ Iw

ml

S4P11) Una bala de masa m y velocidad v pasa a través de la esfera de un péndulo de masa M saliendo con una velocidad v/2. La esfera pendular cuelga del extremo de la cuerda de longitud l. ¿Cuál es el menor valor de v para el cual la esfera complete una circunferencia?

SOLUCION:

Por conservación del rL debido a que el , 0τ ≡

rrR ext ,

≡uurr

L cte

'2

≡ ≡ ≡ + vL mlv L MlV ml

Asumiendo que la esfera adquiere una velocidad V inmediatamente después.

: ,2

: ≡ ≡ +

uurr vojo IDEp cte mv M MV m

Por conservación de la Energía. Igualando KA pgBE E≡ ,

B


0

l

v 2

v

120


l V A M

21(2 )

2KA pgBE mv E mg l≡ ≡ ≡ → 4v lg≡

Con lo cual para que la esfera pueda completar la vuelta se requerirá, 2>V gl

, y conjugando esta condición con la ecuación que se desprende de ≡uurr

L cte ,

2 2

≡ → ≡m mvv MV V

M

22

→ > →mvgl

M4> M

v glm

S4P10) Una granada de masa M está cayendo con una velocidad v0, y se halla a una altura h, cuando explota en dos fragmentos iguales que inicialmente se mueven horizontalmente en el sistema-CM. La

explosión tiene un valor Q igual a 20Mv . Determine los puntos donde

los fragmentos chocarán con el suelo con relación al punto directamente debajo de la granada en el momento de la explosión.

SOLUCION:

CM:

1 2 1 2' 0 : 0 ' ' ' ' '2 2

≡ ≡ − → ≡ ≡

rr M Mp v v v v v

≡Q M 20

1

2≡ M

v 2 1( ')

2 2

+

Mv 2( ')

2

≡

Mv 2( ')

2→v 0' 2≡v v

Ahora, el tiempo de movimiento de los fragmentos, t,


y h M v0

x0 x

M/2 M/2 -v’ v’ CM

R x0 P

121


en el eje y el CM realiza MRUV

( )( )( )

( ) ( ) 20

20

20

0 0 (0) 5

0 0 5

0 5 0

≡ − ≡ + −≡ ≡ − −≡ → + − ≡

y yv v y t y v t t

y t h v t t

y h t v t h

20 0

1,2

20

10

− ± +≡

v v ht

20 020

10

v h vt

+ −≡

Con lo que,

20 0

0 0 0 0

202 2

10R R

v h vx x v t x x v

+ − ≡ − → ≡ −

y

20 0

0 0 0 0

202 2

10R R

v h vx x v t x x v

+ − ≡ + → ≡ +

¿? Como seria si se analizara desde O

1 0

2 0

ˆ ˆ: '

ˆ ˆ'

≡ −

≡ − −

r

rO v v i v j

v v i v j

Por conservación de la energía,

{ } { }2 2 2 2 2 20 0 0 0

1 1 1' '

2 2 2 2 2 2 2 + + ≡ + + + + +

M M M MMv Mv Mgh v v gh v v gh

3

2M 2

0 ≡ Mv

2{ }2 2 2 2

0 0 0' 2 ' ' 2+ → ≡ → ≡v v v v v v

…


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