Modelización deSistemas Mecánicos

Alfonso Cubillos V

Introducción

Segunda Ley deNewtonResorte

Amortiguadores

Método de Lagrange

1.1

Capitulo 1Modelización de SistemasMecánicosusando Ecuaciones Diferenciales

Aplicaciones computacionales de la Mecánica de Materiales

Alfonso Cubillos VPrograma de Ing. Mecánica

Universidad de Ibagué

Modelización deSistemas Mecánicos

Alfonso Cubillos V

Introducción

Segunda Ley deNewtonResorte

Amortiguadores

Método de Lagrange

1.2

¿Qué se puede hacer con las Ecuaciones Diferenciales ?

Prácticamente todos los sistemas físicos se pueden modelarpor medio de Ecuaciones Diferenciales

¿Qué sistemas se puedenmodelar por medio deEcuaciones Diferenciales?

• Mecánicos• Vibraciones• Térmicos• Hidráulicos• Eléctricos• Magnéticos• Poblacionales• Económicos• Espaciales

Esto ha permitido realizaranalogías, solucionesgenerales, modelar sistemascomplejos o mixtos, y muchomás !!!

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Método de Lagrange

1.3

Sistemas Mixtos

Sistema Electro-Mecánico

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Método de Lagrange

1.4

Sistemas Mixtos

Sistema Servo-Mecánico

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Método de Lagrange

1.5

Algunos datos sobre las Ecuaciones Diferenciales

Qué tipo de ecuaciones Diferenciales se pueden encontrar?

• Según Tipo : Ordinarias y Parciales• Según el Orden : Primer, Segundo u Orden Superior• Según Linealidad : Lineales y No Lineales• Según Coeficientes : Constantes y Variables

Qué métodos se pueden usar para solucionarlas?

• Métodos Clásicos Analíticos• Aplicando la Transformada de Laplace y obteniendo la

Función de Transferencia• Métodos Aproximados Simulación Digital• Elementos Finitos

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Método de Lagrange

1.6

Segunda Ley de Newton

Para sistemasTraslacionales∑

F = m a

Descomposición Escalar

∑Fx = m ax∑Fy = m ay∑Fz = m az

Para sistemas Rotacionales∑Mx = Ix αx − (Iy − Iz) wy wz∑My = Iy αy − (Iz − Ix) wz wx∑Mz = Iz αz − (Ix − Iy ) wx wy

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Método de Lagrange

1.7

Resortes

• Se utilizan para almacenar energía• Se caracterizan por su respuesta estática a las cargas

aplicadas• El comportamiento del resorte puede ser lineal o no lineal• La fuerza de un resorte depende del desplazamiento

relativo de sus extremos

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Método de Lagrange

1.8

Tipos de Resortes

Resorte LinealTraslacional

F = k (x2 − x1)

Resorte Lineal Rotacional

T = k (θ2 − θ1)

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Método de Lagrange

1.9

Constante de Elasticidad o Rigidez de elementosEstructurales

Tracción Pura

k =E A

L

Torsión Pura

k =G Ixx

L

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Método de Lagrange

1.10

Constante de Elasticidad o Rigidez de elementosEstructurales

Flexión Pura

Depende del tipo de carga

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Amortiguadores

Método de Lagrange

1.11

Amortiguadores

Amortiguador Lineal Traslacional

F = b (x2 − x1)

Amortiguador LinealRotacional

T = b (θ2 − θ1)

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Método de Lagrange

1.12

Ecuaciones de Lagrange

Para desarrollar el método de Newton, normalmente esnecesario separar los cuerpos y realizar los diagramas decuerpo libre de cada uno de ellos. Sin embargo, se presentancasos donde no es necesario conocer las fuerzas entre losdiferentes elementos. Lagrange (Matemático Frances, 1736 -1813) demostró que una consideración energética permiteresolver el problema.

• Seleccionar un número mínimo de coordenadasindependientes necesarias para describir la posición delsistema

• Cada una de estas coordenadas se denomina qi , y comoQi las cargas en cada coordenada

• Se selecciona un sistema de referencia y se expresa laEnergía Potencial la cual incluye a los resortes y elcambio en la altura de la masa.

U = f1(qi) ⇒Ug = W · g

Ue = 12 K · s2

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1.13

Ecuaciones de Lagrange

• La energía cinética T es función de la masa, inercia,velocidad lineal y angular.

T = f2(q2) ⇒Tt = 1

2 mx2

Ta = 12 Iθ2

• Las pérdidas por fricción de los dispositivos se describencomo energía de disipación y esta depende de lavelocidad del sistema y del coeficiente deAmortiguamiento

R = f3(q2) ⇒ R =12

b x2

• La fuerzas se concideran como Qi asociadas con cadacoordenada.

• Usando el principio de d’Alembert, se puede obtener laecuación de movimiento para cada coordenada utilizando

ddt

(δTδqi

)− δT

δqi+

δRδqi

+δUδqi

= Qi