cap 6 conduccion vidrio

UNA TEORÍA DE LA ELABORACIÓN DEL VIDRIO

6.- Conductividad térmica del vidrio a altas temperaturas

___________________________________________________________________________ Ruperto M. Palazón www.areadecalculo.com

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6.- LOS CUERPOS SEMITRANSPARENTES 6.1.- GENERALIDADES Algunos cuerpos pueden presentar una cierta permeabilidad a las radiaciones electromagnéticas, permeabilidad que se puede medir, para cada longitud de onda y cada temperatura, a través del módulo de absorción k(λ,T). La capacidad de absorción (y consecuentemente de emisión) de la energía electromagnética de naturaleza térmica depende directamente de ese valor k(λ,T) a través de la ecuación de Lambert-Beer. Supongamos ahora que una radiación proveniente de un cuerpo negro a temperatura TN incide sobre un cuerpo de esas características. Por ser la radiación de un cuerpo negro, la distribución de energía en cada longitud de onda, desde λ=0 hasta λ = ∞, vendrá dada por la ecuación de Planck. Al llegar a la primera capa del cuerpo en cuestión, las longitudes de onda para las que el cuerpo presenta una mayor capacidad de absorción, serán retenidas, convirtiéndose en energía calorífica que elevará la temperatura de esa capa de materia, en tanto que las otras longitudes de onda pasarán a su través, para incidir en las capas posteriores, donde el fenómeno se repetirá ... y así sucesivamente. Las primeras capas, que han absorbido longitudes de onda para las que son "más opacas" se han calentado, y a su temperatura, emiten preferentemente en las longitudes de onda para las que más absorben; estas emisiones van a parar a las capas colindantes, las cuales las absorben con fuerza (son sus longitudes de onda), se calientan y reemiten a las capas vecinas... etc. A esta transmisión de calor por radiación electromagnética (llamada fotónica), se le añade, evidentemente, la conductividad pura, llamada fonónica. Como puede verse, la transmisión de energía a través de un cuerpo semitransparente es complicada. 6.2.- LA “CONDUCTIVIDAD APARENTE” DEL VIDRIO A partir de 1952, M. Czerny, L. Genzel, W. Geffeken y otros, publicaron estudios de modelización matemática de este complicado fenómeno [10], [11], [12]. De estos estudios se deducen las siguientes conclusiones:

1ª) Cuanto menor es el espesor del cuerpo semitransparente, menores son las posibilidades de emisión y reabsorción de ondas electromagnéticas en el interior del cuerpo, siendo la componente de la radiación menos importante como transmisora de la energía, frente a la componente de conductividad pura o fonónica. A partir de los datos experimentales de Genzel, Mc. Graw, Eligehaysen y Eckhardt hemos reproducido la Figura 6.2.1 – tomada de Trier y

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Straub [13]– para un vidrio "blanco plano" ( ~0,1% Fe 2O3). En ella se observa que entre 0 y 10 mm de espesor la conductividad del vidrio viene prácticamente la dada por la fórmula de la transmisión fonónica:

κf ≈ 0,002543 + 3,56.10-6.T(ºC) cal/cm.seg.ºC.

a partir de 20 mm, las diferencias empiezan a ser significativas a todas las temperaturas; la conductividad aparente –suma de la conductividad fonónica y la debida a la transmisión por radiación o fotónica– crece rápidamente hasta estabilizarse por encima de los 1.000 mm en valores que son del orden de 6 a 30 veces mayores, según la temperatura.

Figura 6.2.1 2ª) A medida que aumenta la temperatura del cuerpo semitransparente, la

transmisión interna de energía por radiación es cada vez más importante, creciendo la conductividad aparente como la cuarta potencia, aproximadamente, de la temperatura absoluta.

3ª) La función que relaciona la conductividad aparente de un medio

semitransparente de espesor suficientemente grande (mayor de 700 mm) y superficie muy extensa ("infinita"), viene dada por la ecuación de Geffcken simplificada por los trabajos de M. Coenen [14]:





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(6.2.1) κ(T) = 4·π

3 n2

⌡⌠

λ1

λ2

∂P(λ,T)

∂T 1

k(λ,T)·dλ,

siendo: κ(Τ) la conductividad aparente n ≅ 1,51 para los vidrios más frecuentes k(λ,T): módulo de absorción, función de longitudes de onda y

temperaturas La función de Planck, que se expresa así:

(6.2.2) P(λ,T) = C1.

λ5.(ea - 1)

; a = C2 λ.T

co = 2,99793·1010 cm/seg (velocidad de la luz en el vacío) h = 6,62662·10–27 erg·seg (constante universal de Planck) k = 1,38062·10–16 erg/ºK (constante de Boltzmann) C1 = 2·π·co

2·h = 0,8943·10–12 cal·cm2/seg

C2 = h.co

k = 1,4389 cm·ºK

La ecuación (6.2.1) puede así expresarse cómo:

(6.2.3) κ(T) = 4·π·C1 3·C24 ·n2·T3·[(1/k)]λ2

λ1⌡⌠

a(λ1)

a(λ2) a4·e4

(ea – 1)2·da

κ(T) = 4·π·0,8943·10-12

3·1,43884 ·1,512·T

3·[(1/k)]λ2

λ1⌡⌠

a(λ1)

a(λ2) a4·e4

(ea – 1)2 da

(6.2.4) κ(T) = 1,9931·10-12·T3·[(1/k)]λ2

λ1⌡⌠

a(λ1)

a(λ2) a4·e4

(ea – 1)2·da, cal/cm·seg·ºK

[(1/k)]λ2

λ1 es un valor que Coenen determina de manera experimental, ya que para el

caso de los vidrios industriales, los valores de k(λ,T) dependen del tipo de ion del metal de transición que esté presente, y de su concentración. En las Figura 6.2.2 y 6.2.2. bis se dan, a título de orientación, algunas curvas de k(λ,25ºC) extraídas de sus trabajos, para óxidos muy utilizados en la industria vidriera. Coenen los determina no sólo a 25 ºC, sino hasta temperaturas de 1.400 ºC.





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ura 6.2.2





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Figura 6.2.2 bis





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Figura 6.2.3

El valor de la integral definida: Φ(a) =⌡⌠

a(λ1)

a(λ2) a4·e4

(ea – 1)2·da se calcula desde el límite

0 a a(λ2), dando lugar a la función que se expresa en la Figura 6.2.3.

lim Φ(a) a→∞ = 25,97575761...

Recordemos que a2 = C2 λ2.T

y por lo tanto el límite superior se refiere a un producto

λ2·T = 0; por ello, para cualquier temperatura, el límite superior de la integración siempre será el valor asintótico indicado. El límite inferior lo da, para cada temperatura, el valor correspondiente de λ1 para el que la conductividad aparente por radiación es nula a esa temperatura, es decir para aquella longitud de onda para la que el vidrio es opaco (en ese caso sólo queda la conductividad fonónica). Según se aprecia en las Figuras 6.2.2, a partir de λ = 4·10-4cm el vidrio se comporta como un cuerpo opaco a cualquier temperatura. Estableceremos esta longitud de onda como el límite inferior de la integración. Por tanto, la temperatura correspondiente a cada valor de la integral Φ(a) será:

FUNCIÓN INTEGRAL

02468

10121416182022242628

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Φ(a)

a





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T = 104·C2

4·a(λ1) =

3,597 a(λ1)

·103

y así, a cada valor de a(λ1) le corresponderá una temperatura y un valor de la integral, la cual multiplicada por 1,9931.10-12.T3·[(1/k)]4.10−4

0 nos dará la función κ(T). Buscamos la curva de mejor ajuste entre la función resultante:

Ψ(T) = 1,9931·10-12·Φ(a) T3

y T (en ºK). La expresión más sencilla, válida entre 700ºC y 1.500ºC, es la siguiente:

Ψ(T) = 2,48·10-14.T4,006

El valor de [(1/k)]4.10−4

0 para cada colorante del vidrio es obtenido a través de los resultados experimentales obtenidos de las medidas de k(λ,T) a diferentes temperaturas, entre 700 ºC y los 1.500 ºC:

[(1/k)]4.10−4

0 = [0,1 + b

(0,15 + ε·ξ)]

de donde se deduce que:

(6.2.4) κ(T) = 2,48·10-14·T4,006[0,1 + b

(0,15 + ε·ξ)]

en la que: κ : conductividad aparente T: temperatura absoluta, ºK ξ: concentración % molar del óxido colorante ε: según la tabla:

ε·10−2/cm·mol Óxido Oxidado Reducido Fe2O3 0,70 9,00 Cr2O3 5,00 8,00 CoO 7,00 7,30 MnO2 1,40 7,00

b(T): constante característica del óxido colorante y función de la temperatura, que

según lo publicado por Coenen para ciertos metales, se puede calcular según la expresión general:

b(T) = ai·T2 + bi·T + ci, T en ºC

ai·107 bi ci Fe2O3 –5,000 0,0014 –0,1500 Cr2O3 0,000 –0,0003 0,8400 CoO –4,375 0,0014 0,2135





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6.3.- EJEMPLO DE REFERENCIA Tomando los datos del ejemplo utilizado desde el Capítulo I, calculamos la

conductividad aparente de aquel vidrio a 1.300 ºC: %Fe2O3 = 0,1 Moles de óxidos/Kg de vidrio = 16,5203 Moles de Fe2O3/Kg de vidrio = 0,03792 % molar b(1.300ºC) = -5.10-7×1.3002 + 0,0014×1.300 – 0,15 = 0,825

κ(1.300ºC) = 2,48.10-14×1.573,154,006×[0,1 + 0,825

(0,15 + 0,7×0,03792)]

κ(1.300ºC) ≈ 0,758 cal/cm.seg.ºK Dentro del intervalo de 1.100ºC a 1.500ºC se puede expresar la conductividad aparente de este vidrio, mediante la relación empírica:

κ(T) ≈ 2,8526·10–14·T 4,1962 cal/cm.seg.ºK


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