cap 11 completo
TRANSCRIPT
El ahorro, la acumulación de capital y la producción
CAPÍTULO 11
Las relación entre la producción y el capital
En el modelo simplificado ,en el largo plazo la producción esta determinada por dos relaciones:
• La cantidad de capital determina la cantidad de producción• La cantidad de producción la cantidad de ahorro y a su vez la cantidad
de capital que se acumula en el tiempo.
STOCK DE CAPITAL
PRODUCCION
AHORRO / INVERSIONVARIACION DEL STOCK DE CAPITAL
Los efectos del capital en la producción
• Suponiendo rendimientos constantes a escala Y= F(K, N) puede expresarse como:
• Suponemos además que el capital muestra rendimientos decrecientes por lo que el efecto de un aumento de K en Y/N disminuye a medida que K/N aumenta:
• Para simplificar la notación la relación la expresaremos así:
• k
La producción y la inversiónSabemos que en una economía cerrada: • Y = C + I + G …..(1)• S = Y - T- C , de donde Y = S + C + T …. (2)• Sustituyendo (2) en (1).• S+C+ T = C+ I + GEliminando C en ambos lados: S + T = I + G Despejando I : I = S + (T-G)Si el ahorro público es igual a cero, es decir si T=G entonces: I = S La inversión es igual al ahorro privadoSi suponemos que el ahorro privado es proporcional al ingreso.S = sY donde s es la tasa de ahorro con valor entre 0 y 1Como I = S; sustituyendo sY en S tenemos: It = sYt
• Cuanto mayor es la producción (Y) mayor es el ahorro (S = sY) y, por tanto
mayor la inversión (I = sY)
La inversión y la acumulación de capital
• Desde el punto de vista de la producción el capital determina la producción.
• Desde el punto de vista del ahorro, la producción determina la acumulación de capital
• La inversión por trabajador sƒ(Kt /N), significa que el nivel de capital existente este año determina la producción por trabajador de este año.
Variación del stock de capital por
trabajador entre el tiempo t y t +1
Inversión por trabajador durante el tiempo t
Depreciación del capital durante el tiempo t
= -
• Dada la tasa de ahorro (s); Y/N determina la cantidad de ahorro (S) por trabajador, pues S = s(Y/N)
• La depreciación por trabajador de este año δ(Kt /N) esta determinada por la el stock de capital
• Si la inversión por trabajador es mayor que la depreciación por trabajador, es decir, si:
sƒ(Kt /N) > δ(Kt /N) (K⇒ t+1 /N - Kt /N) > 0
Ello significa que el capital por trabajador aumenta:Pero, si: sƒ(Kt /N) < δ(Kt /N) (K⇒ t+1 /N - Kt /N) < 0
En este caso el capital por trabajador disminuye
La dinámica del cápita y la producciónƒ(Kt /N) = producción por trabajador (Yt /N =ƒ(Kt /N): • La producción por trabajador aumenta con el capital
por trabajador a una tasa decreciente. sƒ(Kt /N)= Inversión por trabajador:
• (Recuérdese que s(Yt /N) = sƒ(Kt /N). Tiene la misma forma que la función de producción, con la salvedad que es menor en una proporción ‘s’.
δ(Kt /N)= Depreciación por trabajador:• Es una línea recta. Ya que la depreciación aumenta en
proporción al capital por trabajador. La línea recta tiene pendiente δ
• Cuando el capital y la producción son bajos, la inversión es superior a la depreciación, por lo que el capital aumenta.
• Cuando el capital y la producción son altos, la inversión es menor a la depreciación, por lo que el capital disminuye
Capital por trabajador, K/N
Prod
ucci
ón p
or tr
abaj
ador
, Y/N
La dinámica del cápita y la producción
• La variación del capital por trabajador (Kt+1 /N - Kt /N) es igual a la diferencia entre la inversión por trabajador sƒ(Kt /N) y la depreciación por trabajador δ(Kt /N).
En K0 /N : sƒ(Kt /N) > δ(Kt /N)• En este caso la acumulación de capital por trabajador
aumenta.• Y como la producción depende positivamente de la
cantidad de capital, entonces Yt /N, también aumenta.• La inversión por trabajador sigue aumentando hasta que
iguala la depreciación por trabajador. Punto E del gráfico.• En E la economía alcanza el nivel K*/N y Y*/N que son los
niveles de equilibrio de largo plazo.
El Capital y la Producción en el Estado Estacionario
• El estado en el que la producción y el capital por trabajador ya no varían se denomina estado estacionario de la economía.
• Es decir, si (Kt+1 /N) - (Kt / N) = 0 (Ya no varia):
• 0 = sƒ(Kt /N) - δ(Kt /N) sƒ(K⇒ t /N) = δ(Kt /N)• La inversión por trabajador es suficiente para cubrir la
depreciación del stock de capital por trabajador.• De esta manera en el estado estacionario la producción
por trabajador (Y*/N) se determina por la cantidad por trabajador (K*/N). L función resultante es:
La tasa de ahorro y la producciónLa tasa de ahorro no influye en la tasa de crecimiento de la producción por
trabajador a largo plazo. ¿Por qué?• Sabemos que para mantener una tasa constante de crecimiento de Y/N en
el largo plazo K/N debe aumentar.• Pero además, sabemos que para mantener el crecimiento constante K/N
debe crecer cada vez más debido a los rendimientos decrecientes del capital.
• Para aumentar el capital a un ritmo cada vez más alto la sociedad tendría que ahorrar una proporción cada vez mayor de la producción para destinarla a la inversión de capital.
• Así llegaría un momento en que la tasa de ahorro (s) tendría que ser mayor que uno, lo que es claramente imposible.
• Sin embargo, la tasa de ahorro si determina Y/N a largo plazo. Países con una tasa de ahorro más alta consiguen una Y/N más alta.
• Suponemos dos países con la misma función de producción, el mismo nivel de empleo y la misma tasa de depreciación.
• Los países solo difieren en su tasa de ahorro.
País 0: s = s0
País 1: s = s1
• El país 1. Alcanza su estado de equilibrio estacionario en A, donde s0 ƒ(Kt /N) =δ(Kt /N) y Y0 /N se determina por K0/N
• El país 2 alcanza el equilibrio en B, donde s1ƒ(Kt
/N) =δ(Kt /N) y Y1/N se determina por K1/N.
Capital por trabajador, K/N
Prod
ucci
ón p
or tr
abaj
ador
, Y/N
Efectos de un aumento de la tasa de ahorro en la producción por trabajador
• Un aumento de la tasa de ahorro da lugar a un periodo de crecimiento mayor hasta que la producción alcanza su nuevo nivel mas alto en el estado estacionario
Prod
ucci
ón p
or tr
abaj
ador
, Y/N
Tiempot
Correspondiente a una tasa de ahorro s0
Correspondiente a una tasa de ahorro s1>s0
Efectos de un aumento de la tasa de ahorro en Y/N con progreso tecnológico
• Un aumento de la tasa de ahorro da lugar a un periodo de crecimiento mayor hasta que la producción alcanza una nueva senda mas altaPr
oduc
ción
por
trab
ajad
or, Y
/N(e
scal
a lo
garít
mic
a)
Tiempot
Correspondiente a una tasa de ahorro s0
Correspondiente a una tasa de ahorro s1>s0
La tasa de ahorro y el consumo
¿Cual es el ahorro al que deben aspirar los gobiernos?
• Parar ello debemos fijar nos en el consumo• Una variación en s, no influye en K en ese año,
no influye en Y• Va acompañada de una disminución en el
consumo
• En una economía s=0, donde K=0Para Y=0⟹ C=0 es decir si s=0 ⟹ C=0 en el largo plazo.• En una economia s=1, la gente ahorra todo su ingresoK, Y son elevados, pero C=0• Ocurre que la economia tiene un exceso de K y hay que
dedicar toda la producción para sustituir 𝜹• El nivel de capital debe corresponder al valor de s que
maximice el consumo ( nivel de capital de la regla de oro)
Efectos de la tasa de ahorro en C/N en el estado estacionario
• Un aumento en la tasa de ahorro provoca un aumento y después una disminución en el C/N en estado estacionario
Cons
umo
por t
raba
jado
r, C/
N
Tasa de ahorro, ssg
Consumo máximo por trabajador en el estado estacionario
Una ilustración de los ordenes de magnitud
• ¿Cuanto afecta una Δs a Y en el largo plazo?• ¿Cómo afecta tal variación al crecimiento?Suponiendo que f(Y)
La función muestra: • Rendimientos constantes a escala• Rendimientos decrecientes de los factores
Dividiendo entre N
La f(Y) que relaciona Y/N y K/N esta dada por:
Sustituyendo en
Que describe la evolución de K/N.
Los efectos de la tasa de ahorro en la producción en el estado estacionario
• ¿Cuanto afecta una Δs a Y/N en el estado estacionario?
En el estado estacionario ΔK/N=0
Elevando al cuadrado la ecuación:
Dividiendo ambos lados por K/N y reordenando:
• A partir de y obtenemos :
Lo que implica queΔs, 𝛻𝜹⟹Δ(K/N)⟹Δ (Y/N)Ejemplo:𝜹= 10%s= 10%K/N=1Y/N=1Suponiendo que Δs=10%, es decir s=20%Se deduce que en estado estacionario K/N =4 y
Y/N= 2Por lo tanto si se duplica s, a largo plazo, se duplica Y
Efectos dinámicos de un aumento de la tasa de ahorro
• ¿Cuanto tarda un la producción en alcanzar el nuevo nivel estacionario?
• Suponiendo que s=10%, aumenta en el año 0 a 20% y se mantiene indefinidamente
• En el año 0 no ocurre nada con el stock de capital
• Por lo tanto, K/N permanece igual al valor del estado estacionario de s=10%
En el año 1, la ecuación indica:Con 𝜹=10% y s=20%, que implica:
por lo que:
Panel A: Se representa Y/N en relación al tiempo
• Y/N aumenta con el paso del tiempo del valor inicial 1, en el año 0, a 2 en el estado estacionario de largo plazo
Panel B: representa la tasa de crecimiento de Y/N en relación al tiempo
• El crecimiento de Y/N es el máximo al principio y disminuye con el tiempo
• Cuando llega al estado estacionario Y/N=0
0 10 20 30 40 50Años
1.75
1.50
1.25
1.00
Prod
ucci
ón p
or tr
abaj
ador
, Y/N
2.00
A. Efecto en el nivel de Producción por trabajador
0 10 20 30 40 50Años
3
2
1
1.00
Prod
ucci
ón p
or tr
abaj
ador
, Y/N
4
B. Efecto en crecimiento de la Producción5
La tasa de crecimiento y la regla de oro
• En estado estacionario:
• Sustituyendo (Y/N), (K/N):
• El consumo alcanza su valor máximo en estado estacionario cuando s=50%
• K corresponde a la regla de oro cuando s=50% Por de bajo de ese nivel, Δs⟹ΔC/NPor de encima de ese nivel, Δs⟹𝛻C/N• Pocas economías tienen un nivel de ahorro mayor de 35%• En Estados Unidos es de 18% desde1950• Δs⟹ΔY/N Δs⟹ΔC/N en el largo plazo
• El capital humano (H) ha aumentado tanto como el cápita físico (K) en los últimos dos siglos
Al principio de la Revolución Industrial:• 30% de la población de la OCDE sabia leer.
Actualmente es mas del 95%• La escolaridad no era obligatoria. Hoy hay una
escolaridad mínima de 16 año en la OCDE
Extensión de f(Y)
• Incorporan H a f(Y):
• Y/N depende tanto del capital por trabajador (K/N), como del capital humano por trabajador (H/N)
• Ambos factores tienen un efecto positivo en Y/N• ¿Como cambia el análisis la introducción de
H/N?
El capital humano, el capital físico y la producción
• Sabemos que:Δs⟹ΔK/N⟹ΔY/N• Esta conclusión se puede extender a H/NΔh⟹ΔK/N⟹ΔY/N• Donde h= “ahorro” social de capital humano por
medio de la educación y la formación en el trabajo.
• Eleva el H/N en el estado estacionario, lo que aumenta Y/N
• En el largo plazo Y/N depende de cuanto se ahorre y de cuanto se invierta en educación
• En España, el gasto educativo es de 5.5% del PIB• En México en educación para el año 2011 es de
6.47% del PIB.• Sin embargo el verdadero costo de oportunidad
del gato educativo se relaciona con la educación superior y con la investigación.
• Por otra parte la depreciación de K es mayor que la de H
Crecimiento endógeno
• El crecimiento depende de la acumulación del K y H
• El nivel de la tasa de progreso tecnológico limita la tasa de crecimiento
• El progreso tecnológico implica que se amplié el limite de crecimiento de la economía una vez alcanzado el estado estacionario
La función Cobb-Douglas y el estado estacionario
• Charles Cobb y Paul Douglas formularon esta función (1928), que describe la producción atreves de dos factores: cápita (K) y trabajo (N)
• Se le conoce como la función de producción tipo Cobb-Douglas
• Pa encontrar el ahorro por trabajador la función se divide entre N
• Utilizado las propiedades de las potencias
• Sustituyendo en f(Y)
• La producción por trabajador Y/N es igual a el capital por trabajador elevado a la potencia α
• El ahorro por trabajador es igual a la tasa de ahorro multiplicada por la producción por trabajador
• La depreciación por trabajador es igual a la tasa de depreciación multiplicada por el capital por trabajador
• El nivel de capital en estado estacionario K*es determinado por la igualdad de la depreciación y el ahorro
• Para encontrar K*/N, dividimos la ecuacion entre (K*/)α
• Asi mismo se divide entre 𝜹 y ordenando• Finalmente se eleva a la potencia 1/(1-α)• De esta manera se obtiene el nivel de capital por trabajador en el estado estacionario
• De acuerdo con la función de producción que corresponde al estado estacionario es:
• Si α=0.5 significa que
• La producción es igual al cociente entre la tasa de ahorro y la tasa de depreciación
• Una duplicación de la tasa de ahorro implica una duplicación de la producción por trabajador en el estado estacionario.