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Ing. Graciela M. Musso Prof. Adjunta Física II
1
TEMA 5:
CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO YY FFUUEERRZZAASS MMAAGGNNÉÉTTIICCAASS Los fenómenos magnéticos se conocen desde hace muchísimo tiempo, casi tanto como el
conocimiento de la electricidad estática. Desde el año 800 AC los griegos ya tenían
conocimiento sobre el magnetismo y la fuerza que ejercieran las sustancias imantadas como la
magnetita sobre objetos hechos de hierro y los chinos ya utilizaban brújulas desde el año 1000
DC.
Cuenta la leyenda que el nombre de magnetita proviene del
legendario pastor Magnes que, yendo un día por los campos de
Grecia con su rebaño, se quedó pegado a la tierra, siéndole
imposible caminar al no poder despegar sus pies de ella... los
clavos de hierro de sus sandalias se habían adherido a las rocas que
pisaba. Aquel suceso dio origen a varias palabras: primero al
fenómeno de atracción (magne-tismo), segundo el nombre de la
piedra de tal poder (magne-tita) y, por último, el nombre de la
región griega en la que sucedió el hecho (Magnes-ia) y en la cual
era muy abundante esta misteriosa piedra... piedra que luego,
mucho más tarde, para un filósofo jónico, padre de la Filosofía, sería la prueba de que la materia estaba
viva, de que todo tenía "dáimones". El filósofo se llamaba Tales (vivió hace unos 2700 años) y, en
recuerdo de esto, las piedras supuestamente dotadas de poderes mágicos (dáimones) o de atraer a sí
misteriosos "efluvios", fueron (y son) llamadas Talismanes... ("imanes de Tales")...
55..11 IINNTTRROODDUUCCCCIIÓÓNN
En el año 1269 un francés llamado Pierre de Maricourt descubrió que las direcciones a las
que apuntaba una aguja al acercársele un imán natural esférico formaban líneas que rodeaban
a la esfera y pasaban a través de ella por dos puntos diametralmente opuestos llamados polos
de un imán. Experiencias posteriores demostraron que todo imán, independientemente de su
forma tiene dos polos, uno norte (N) y otro sur (S) que ejercen fuerzas sobre metales con hierro
y sobre otros polos magnéticos, de manera similar a como las cargas eléctricas ejercen fuerzas
entre sí. Es decir polos iguales se repelen y polos opuestos se atraen.
En el año 1600 William Gilbert (1540 – 1603) amplió el experimento de Maricourt
aplicándolo a diferentes materiales. En base a que la aguja de una brújula se orienta en
direcciones preferenciales, sugirió que la Tierra es un imán permanente gigantesco. De allí
viene el nombre de “polos” por la forma en que un imán de barra, como el de una brújula se
comporta en presencia del campo magnético terrestre. En 1750, en otros experimentos se
utilizó una balanza de torsión para demostrar que los `polos magnéticos ejercen entre sí
fuerzas de atracción o repulsión y que estas fuerzas varían en función de la inversa del
cuadrado de la distancia entre los polos que interactúan. A pesar de la similitud con la fuerza
entre dos cargas eléctricas, estas últimas siempre pueden aislarse (electrón y protón) mientras
que nunca ha sido posible aislar un solo polo magnético, los polos magnéticos siempre se
encuentran en pares. Hasta ahora han sido infructuosos todos los intentos de separar los polos
magnéticos. Independientemente de cuantas veces se divida un imán, cada trozo tendrá
siempre un polo norte y un polo sur.
En 1819 el científico danés Hans Christian Oersted (1777 - 1851) reveló la correspondencia
entre la electricidad y el magnetismo, utilizando la “pila voltaica” recién descubierta para
establecer una corriente constante. Descubrió que un hilo conductor sobre el que circulaba una
corriente ejercía una perturbación magnética a su alrededor, que llegaba a poder mover una
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aguja magnética situada en ese entorno. Este descubrimiento dio lugar al rápido desarrollo de
la comprensión del magnetismo y su relación con la electricidad.
Más tarde, durante 1820, Michael Faraday y Joseph Henry (1797 – 1878) demostraron
separadamente una importante relación entre la electricidad y el magnetismo, se podía crear
corriente eléctrica en un circuito variando un campo magnético en las proximidades del mismo.
Años después Maxwell demostró que la inversa también era válida, es decir que un campo
eléctrico variable crea un campo magnético.
Como el conocimiento inicial de las fuerzas magnéticas se debió a imanes permanentes,
esto oscureció la relación entre la electricidad y magnetismo. Solo después de un largo período
se comprendió que todos los campos magnéticos, incluso los asociados a imanes
permanentes, se deben al flujo de corrientes eléctricas. Las sustancias magnetizadas
permanentemente poseen campos magnéticos generados por corrientes que circulan dentro de
los átomos de la sustancia y que se suman en la superficie del imán para producir una corriente
superficial equivalente, esta corriente es la fuente del campo magnético.
En lo que sigue describiremos primero el comportamiento de cargas y corrientes en
presencia de campos magnéticos producidos exteriormente, sin considerar cómo se crea el
campo, esto nos permitirá definir el concepto de intensidad de un campo magnético en forma
razonable. Por último comprenderemos los campos magnéticos producidos por cargas móviles
o corrientes.
55..22 CCAAMMPPOOSS YY FFUUEERRZZAASS MMAAGGNNÉÉTTIICCAASS
Cuando estudiamos electrostática, describimos las interacciones entre objetos cargados
en función de “campos eléctricos”, repasemos las formulaciones realizadas oportunamente.
Representamos las interacciones en dos etapas:
1. Una distribución de cargas eléctricas en reposo genera un campo eléctrico E
en
el espacio circundante.
2. El campo eléctrico ejerce una fuerza EqF
sobre cualquier otra carga q que se
encuentre en el campo.
Vamos a describir ahora las interacciones magnéticas en forma similar.
1. Una carga en movimiento o corriente genera un campo magnético en el espacio
circundante (además de su campo eléctrico).
2. El campo magnético ejerce una fuerza F
sobre cualquier otra carga en
movimiento o corriente presente en el campo.
Al igual que el campo eléctrico, el campo magnético es un campo vectorial asociado a cada
punto del espacio. Utilizaremos el símbolo B
para representar el campo magnético. La
dirección del campo magnético en cualquier lugar es la dirección a la cual apunta una brújula
colocada en dicha posición. Al igual que para el caso del campo eléctrico podemos representar
el campo magnético utilizando líneas de campo.
Ahora bien, ¿cuáles son las características de una fuerza magnética que se ejerce sobre
una carga en movimiento? Los experimentos realizados en diferentes partículas con carga que
se mueven en un campo magnético (supondremos que no existen ni campos eléctricos ni
gravitatorios) dan los siguientes resultados:
La magnitud de la fuerza magnética ejercida sobre la partícula es proporcional a
la carga q y a la velocidad v
de dicha partícula.
Cuando una partícula con carga se mueve en dirección paralela al vector campo
magnético, la fuerza que actúa sobre ella es igual a cero.
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Cuando el vector de velocidad de la partícula forma un ángulo 0 el campo
magnético, la fuerza magnética actúa en dirección perpendicular tanto a v
como a B
;
mF
es perpendicular al plano formado por v
y B
.
La fuerza magnética ejercida sobre una carga positiva tiene
dirección opuesta a la fuerza magnética ejercida sobre una carga negativa
que se mueva en la misma dirección.
La magnitud de la fuerza magnética que se ejerce sobre una
partícula en movimiento es proporcional al sen donde es el ángulo
formado por el vector velocidad de la partícula y la dirección de B
.
Resumiendo estas observaciones la fuerza magnética se describe
como )( BvqFm
que por definición de producto vectorial es
perpendicular tanto a v
como a B
(figura 1).
Esta ecuación nos permitirá conocer el campo magnético en algún punto del espacio con
solo medir la magnitud y dirección de una fuerza que éste ejerce sobre una carga en
movimiento.
La dirección del producto cruz Bv
se determina con la regla de la mano derecha. Para
ello dirijamos los dedos en la dirección de la velocidad, manteniendo la palma de la mano de
cara a B
y cerrando los dedos hacia B
, el pulgar extendido, que forma con los demás dedos
un ángulo recto, apunta en la dirección de Bv
. La fuerza magnética queda en la dirección del
pulgar si la carga q es positiva y en dirección contraria si q es negativa.
La magnitud de la fuerza magnética sobre una partícula con carga es
senBvqFm
Donde θ es el menor ángulo entre los vectores velocidad y campo magnético, por esta
expresión podemos ver que la fuerza magnética puede ser igual a cero cuando v es paralela o
antiparalela a B (θ = 0° ó 180°) y máxima cuando v es perpendicular a B (θ = 90°).
Por otro lado también podemos expresar la magnitud de la fuerza en forma algo diferente
aunque equivalente, y en ciertos puede resultarnos más conveniente; podemos interpretar a
como la componente del campo perpendicular a la velocidad, esto es B .
Con esta notación la magnitud de la fuerza resulta:
BvqFm
Antes de terminar este tema veremos que existen importantes diferencias entre las fuerzas
eléctrica y magnética:
El vector fuerza eléctrica actúa a lo largo de la dirección del campo
eléctrico, en cambio el vector fuerza magnética actúa perpendicularmente al
campo magnético.
La fuerza eléctrica actúa sobre una partícula con carga sin importar si
esta se encuentra en movimiento o no, mientras que la fuerza magnética sólo
actúa si la partícula con carga está en movimiento.
La fuerza eléctrica efectúa trabajo al desplazar una partícula cargada, en
tanto que la fuerza magnética asociada a un campo magnético estable no efectúa
senB
Figura 1
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trabajo cuando la partícula se desplaza, debido a que esta fuerza es perpendicular
al desplazamiento.
Teniendo en cuenta este último enunciado podemos concluir que la energía cinética de una
partícula cargada que se mueve en un campo magnético, no se modifica. El campo magnético
puede modificar la dirección del vector velocidad pero no puede cambiar su magnitud ni la
energía cinética de la partícula.
Si coexistiera un campo eléctrico con un campo magnético, sobre una partícula cargada se
produciría una fuerza eléctrica eF
, además de la fuerza magnética mF
. La fuerza total sobre la
carga será entonces la suma vectorial de las fuerzas eléctrica y magnética, o sea:
)( BvqEqFFF me
Esta es la fuerza que experimenta una partícula cargada en el caso más general, es decir
cuando actúan sobre ella campos eléctricos y magnéticos. Esta expresión se conoce como
fuerza de Lorentz en honor al físico holandés H. L. A. Lorentz (1853 – 1928).
Recuerden que es importante comprender que ninguna
fuerza magnética actúa sobre una carga en reposo.
De la ecuación de la fuerza podemos ver que la unidad de
medida del campo magnético, en el SI, es un Newton por cada
Coulomb por metro, por cada segundo, llamada Tesla (T).
smC
NT
11
Teniendo en cuenta que el Ampere es C/s:
Am
NT
11
55..33 MOVIMIENTO DE PARTÍCULAS CARGADAS
EN UN CAMPO MAGNÉTICO
Cuando una partícula con carga se mueve en el interior de un campo magnético, actúa
sobre ella una fuerza dada por la ecuación BvqFm
y el movimiento se rige por las leyes
de Newton.
Veamos el siguiente ejemplo sencillo. Una partícula
con carga q se encuentra en el punto O, y se desplaza
con velocidad v
en un campo magnético uniforme B
dirigido hacia adentro de la página. Los vectores v
y B
son perpendiculares, por lo que la fuerza magnética
BvqFm
tiene magnitud BvqF y su dirección es,
como muestra la figura 2, perpendicular a v, por lo que no
puede alterar la magnitud de la velocidad, pero sí su
dirección. En este caso la fuerza magnética no posee una
componente paralela al movimiento de la partícula por lo
que nunca puede realizar trabajo sobre la misma. Esto es
válido aun cuando el campo no sea uniforme. El movimiento de una partícula cargada bajo la
influencia de un campo magnético es con rapidez constante.
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X X X X X X X X X X
+
+
+
Figura 2
O
P
S
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En base a este principio, observemos que en la situación que muestra la figura 2, las
magnitudes tanto de fuerza F
como de velocidad v
son constantes, sin embargo en puntos
como el O, P o S las direcciones de F
y v
han cambiado. Por consiguiente la partícula se
traslada bajo la influencia de una fuerza de magnitud constante, que siempre forma un ángulo
recto con la dirección de la velocidad. Recordando lo estudiado en relación al movimiento
circular uniforme, vemos que la trayectoria de la partícula es un círculo. De acuerdo a la
segunda ley de Newton, teniendo en cuenta que la única fuerza que actúa es la fuerza
magnética y que la aceleración centrípeta es R
vm
2
, resulta:
R
vmamBvqF c
2
Donde m es la masa de la partícula. A partir de esta ecuación, podemos obtener el radio de
la trayectoria circular como:
Bq
p
Bq
vmR
Donde vmp es la magnitud de la cantidad de movimiento de la partícula. Si la carga q es
negativa, la partícula se traslada en sentido opuesto en torno a la órbita de la figura 2.
Podemos calcular la rapidez angular de la partícula recordando que Rv y combinando
esto con la ecuación anterior, resulta:
m
Bq
vm
Bqv
R
v
El número de revoluciones por unidad de tiempo es
2
f . Esta frecuencia f es
independiente del radio R de la trayectoria y se conoce como frecuencia de ciclotrón.
En el caso más general cuando la carga penetra en un campo magnético con una
velocidad oblicua (que forma un ángulo con la dirección del campo), podemos considerar por
separado las componentes horizontal (en la misma dirección del campo) y vertical
(perpendicular) de la velocidad. El movimiento resultante será la composición del movimiento
de avance según el eje X y el circular según el eje Y, es decir un movimiento helicoidal.
Movimiento resultante: hélice en el plano XZ
+
v
vx
vy
Componente vertical de la velocidad. El campo ejerce sobre la carga una fuerza perpendicular al plano del papel y que entra hacia él
Componente horizontal de la velocidad en la misma dirección que el campo. La carga no experimenta fuerza alguna en esta dirección. Movimiento rectilíneo y uniforme según el eje X.
B
X
Y
Z
Figura 3
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5.4 APLICACIONES DEL MOVIMIENTO DE PARTÍCULAS CARGADAS Estudiaremos ahora varias aplicaciones de los principios que estudiamos en este tema.
5. 4. 1. Selector de velocidad
En un haz de partículas con carga producidas por un cátodo caliente no todas las
partículas se trasladan con la misma rapidez. Para algunas
aplicaciones se requiere que la rapidez de todas las partículas sea la
misma. Podemos seleccionar las partículas con una rapidez específica
mediante una configuración de campos eléctricos y magnéticos
perpendiculares entre sí (campos cruzados) llamada selector de
velocidad.
Observemos la figura 4, donde una partícula con carga q, masa m
y velocidad v entra en una región del espacio donde los campos
eléctrico y magnético son perpendiculares a la velocidad de la
partícula y uno respecto del otro. El campo eléctrico E
se dirige hacia
la izquierda y el campo magnético B
es entrante al plano del papel. Si
la carga es positiva, la fuerza eléctrica también se dirige hacia la
izquierda y su magnitud vale qEFe ; la fuerza magnética se dirige a
la derecha BvqFm . y su magnitud es
Conociendo los valores de los campos eléctrico E
y magnético B
para un valor particular de la velocidad las fuerzas magnética y
eléctrica serán de igual magnitud y por consiguiente la fuerza neta es cero y la partícula se
mueve en línea recta con velocidad constante. En este caso podemos plantear el equilibrio de
fuerzas sobre la partícula, es decir
0 BvqEq
BEvBvqEq
Podemos decir que solo las partículas que cumplan con la relación de que la velocidad sea
igual a B
E pasan sin ser desviadas por los campos.
Esto también es válido para partículas con carga negativa.
5. 4. 2. Espectrógrafos de masa
El espectrógrafo de masas es un dispositivo
experimental que permite separar iones de átomos
y/o moléculas en función de su masa. Se compone
de una cámara donde se producen los iones, un
pequeño acelerador lineal donde un campo eléctrico
les aplica una diferencia de potencial, y la zona de
detección donde un campo magnético los separa,
antes de que incidan sobre una placa de detección
(normalmente una placa fotográfica). En 1919,
Francis Aston (1877 – 1945), construyó la primera
familia de instrumentos denominados
espectrómetros de masa y lo utilizó para identificar,
separándolos en base a la diferencia de sus masas,
un gran número de isótopos (hasta entonces desconocidos) de elementos no radiactivos. Así
descubrió hasta 212 de los 287 isótopos naturales y aportó la regla que lleva su nombre, que
q
B E
v
Figura 4
Figura 5
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afirma que los elementos atómicos de número impar no pueden tener más de dos isótopos
estables. En 1922 recibió el premio Nobel de Química.
La figura 5 muestra un esquema simplificado del espectrógrafo de masas. Para investigar
los isótopos naturales se introduce un elemento, previamente vaporizado, en la cámara de
ionización, donde se inyectan electrones que ionizan sus átomos. Los iones obtenidos
(positivos) son acelerados por el campo eléctrico E y, después de pasar por el orificio de la
placa negativa del acelerador, entran en la zona de detección, donde se les aplica un campo
magnético B, perpendicular a su velocidad. La fuerza magnética curva su trayectoria,
dependiendo el radio de curvatura de la relación entre la masa y la carga de los iones. Así, por
ejemplo, si el elemento analizado tiene tres isótopos naturales, el ión de cada uno (con masa
diferente) se detectará en un lugar diferente de la placa, tal como se representa en la figura 5.
Teniendo en cuenta el principio de conservación de energía, las ecuaciones relevantes en
este proceso son la expresión que relaciona el potencial eléctrico que se les aplica con la
energía cinética que adquieren los iones en el acelerador:
2
2
1vmVq
y la expresión que calcula el radio de curvatura de la trayectoria circular que siguen los
iones en la zona de detección:
qB
mvR .
Combinando ambas, se obtiene la siguiente expresión para la relación entre la masa y la
carga del ión:
22
2
BR
V
q
m
5. 4. 3. Ciclotrón
Un ciclotrón es un tipo de acelerador de
partículas. El método directo de acelerar iones
utilizando una diferencia de potencial
presentaba grandes dificultades experimentales
asociadas a los campos eléctricos intensos. El
ciclotrón evita estas dificultades por medio de
la aceleración múltiple de los iones hasta
alcanzar elevadas velocidades sin el empleo de
altos voltajes.
La mayoría de los actuales aceleradores de
partículas de alta energía descienden del
primer ciclotrón de protones de 1 MeV
construido por Ernest O. Lawrence y M. S.
Livingstone en Berkeley (California, EE. UU.)
El ciclotrón consta de dos placas
semicirculares huecas, que se montan con sus
bordes diametrales adyacentes dentro de un
campo magnético uniforme que es normal al
plano de las placas y se hace el vacío. A dichas placas se les aplican oscilaciones de alta
frecuencia que producen un campo eléctrico oscilante en la región diametral entre ambas.
Como consecuencia, durante un semiciclo el campo eléctrico acelera los iones, formados en la
región diametral, hacia el interior de uno de los electrodos, llamados Ds, donde se les obliga a
Figura 6
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recorrer una trayectoria circular mediante un campo magnético y finalmente aparecerán de
nuevo en la región intermedia.
El campo magnético se ajusta de modo que el tiempo que se necesita para recorrer la
trayectoria semicircular dentro del electrodo sea igual al semiperiodo de las oscilaciones. En
consecuencia, cuando los iones vuelven a la región intermedia, el campo eléctrico habrá
invertido su dirección y los iones recibirán entonces un segundo aumento de la velocidad al
pasar al interior de la otra “D”.
Como los radios de las trayectorias son proporcionales a las velocidades de los iones, el
tiempo que se necesita para el recorrido de una trayectoria semicircular es independiente de
sus velocidades. Por consiguiente, si los iones emplean exactamente medio ciclo en una
primera semicircunferencia, se comportarán de modo análogo en todas las sucesivas y, por
tanto, se moverán en espiral y en resonancia con el campo oscilante hasta que alcancen la
periferia del aparato.
Su energía cinética final será tantas veces mayor que la que corresponde al voltaje
aplicado a los electrodos, multiplicado por el número de veces que el ion ha pasado por la
región intermedia entre las “Ds”, de la siguiente manera:
Primera vuelta: 2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
vmvmVq
vmVq
Segunda vuelta:
2
4
2
3
2
3
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
vmvmVq
vmvmVq
N-ésima vuelta: 22
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
nn
nn
vmvmVq
vmvmVq
Sumando miembro a miembro a ambos lados de las igualdades y simplificando
convenientemente los términos, resulta:
2
2
12 fvmVqn
La velocidad de la partícula crece de este modo adquiriendo un valor máximo igual a:
m
Vqnv f 2
Donde la frecuencia de oscilación de la partícula debe coincidir con la frecuencia del
generador: m
BqC .
Recordemos que también podemos obtener la velocidad de salida o final, teniendo en
cuenta el radio máximo del ciclotrón a partir de la ecuación de la segunda ley de Newton:
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m
RBqv máx
f
55..55 FFLLUUJJOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO YY LLEEYY DDEE GGAAUUSSSS PPAARRAA EELL MMAAGGNNEETTIISSMMOO
Cuando estudiamos electrostática definimos el flujo eléctrico a través de una superficie,
como la integral de la componente de E
normal a la superficie en un área dada. Análogamente
definiremos el flujo magnético ΦB a través de una superficie S dada como la integral de la
componente normal de B
a la superficie, sobre el área especificada.
Supongamos la superficie S de la figura 3, en el punto P hay un pequeño elemento de área,
da. Por lo general el campo magnético B
no será constante ni en magnitud ni en dirección
sobre toda la superficie, sino que el vector B
nos da el valor local del campo magnético en el
punto P. La componente del campo normal a la superficie en este punto es simplemente la
componente del campo en la dirección del vector normal al área:
cosBBn
Al elemento de flujo a través del área da, lo definiremos como el producto de la
componente del campo magnético normal a la superficie por el área da, es decir
adBdaBdaBd nB
cos
Para evaluar el flujo total ΦB que pasa por toda la superficie S debemos integrar sobre
todos los elementos de área que constituyen S, o sea:
S
B adB
En general evaluar esta superficie puede resultarnos una tarea larga y difícil. Pero si el
campo magnético B
es de magnitud y dirección constantes en todos los puntos y si además el
área a través de la cual evaluaremos el flujo es plana, de manera que el vector normal también
sea constante en todos los puntos, la tarea es mucho más fácil. En este caso el campo B
puede sacarse fuera de la integral
S
nB daB
O bien
coscos ABdaBS
B
Donde A es el área total de la superficie S. Si por otro lado la dirección de B
es normal a la
superficie, el ángulo entre B
y el vector normal es cero, y la ecuación anterior queda
ABB
La unidad de flujo magnético corresponde a la unidad de campo multiplicada por la unidad
de área, esto es:
WbmA
Nm
mA
NmTB 22
En honor al físico alemán Wilhelm Weber
(1804 – 1891). Es frecuente usar como unidad
de campo magnético el 2m
Wb
En la ley de Gauss el flujo eléctrico a través
de una superficie cerrada es proporcional a la
carga encerrada por la superficie. Pero si la
superficie cerrada contiene un dipolo, por
da da
Figura 7
P
S
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ejemplo, el flujo eléctrico totales cero porque la carga neta es cero. Por analogía, si existiera
algo así como una carga magnética individual, el flujo magnético a través de una superficie
cerrada sería proporcional a la carga magnética encerrada.
Pero como hemos mencionado anteriormente jamás pudo
separarse un monopolo magnético a pesar de que se ha
intentado exhaustivamente, por lo tanto concluimos que el
flujo magnético total, a través de una superficie cerrada es
igual a cero. En forma simbólica:
0S adB
Podemos verificar lo dicho en forma gráfica si dibujamos
una superficie cerrada alrededor de cualquier configuración
de campo magnético, como por ejemplo el de un imán de
barra, veremos que todas las líneas de campo que entran
en la superficie también salen de ella, por lo que el flujo neto a través de la superficie es cero.
De esto podemos decir que las líneas de campo magnético son espiras cerradas.
55..66 FFUUEERRZZAA MMAAGGNNÉÉTTIICCAA SSOOBBRREE UUNN CCOONNDDUUCCTTOORR QUE
TRANSPORTA CORRIENTE
¿Qué es lo que hace funcionar un motor eléctrico? Las fuerzas que lo hacen girar son
fuerzas que un campo magnético ejerce sobre un conductor que transporta corriente.
""-Las fuerzas magnéticas sobre las cargas en movimiento del interior del conductor se
transmiten al material del conductor, y el conductor en conjunto experimenta una fuerza
distribuida a todo lo largo del mismo. Podemos calcular la fuerza que actúa sobre un conductor
que transporta corriente a partir de la fuerza sobre una sola carga BvqFm
.
Supongamos, en primer lugar, un segmento recto de un conductor de longitud l y área A
como muestra la figura 9, la corriente es de abajo hacia arriba. El alambre se encuentra en un
campo magnético uniforme B
, perpendicular al plano del diagrama y dirigido hacia el papel.
Supongamos en primer término que las cargas en movimiento son positivas. Más adelante
veremos que ocurre cuando son negativas.
Las cargas se mueven con velocidad de deriva perpendicular al campo magnético B
y
ascendente. La fuerza promedio sobre cada carga es BvqF dm
, dirigida hacia la izquierda
como se muestra en la figura; como el campo magnético B
es perpendicular a la vd, la magnitud
de la fuerza es BvqF dm
Podemos deducir una expresión de la fuerza total sobre todas las cargas en movimiento
en un tramo del conductor de longitud l y área de sección transversal A empleando el mismo
lenguaje que utilizamos al estudiar conducción de
corriente. El número de cargas por unidad de volumen
es n; un segmento del conductor de longitud l tiene un
volumen Al y contiene un número de cargas igual a nAl.
La fuerza total F sobre todas las cargas en movimiento
de este segmento tiene magnitud
BlAvqnBvqlAnF ddm
)(
BlIF
Si el campo B
no es perpendicular al alambre, sino
Figura 8
X X X X X
X X X X X
X X X X
X X X X X X X X X X
Figura 9
vd
J
F l
A
I
Ing. Graciela M. Musso Prof. Adjunta Física II
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que forma un ángulo θ con él, la situación se maneja en forma análoga al caso del movimiento
de una sola carga. Únicamente la componente de B
perpendicular al alambre (y a las velo-
cidades de deriva de las cargas) ejerce una fuerza; esta componente es senBB . De
este modo la fuerza magnética sobre el segmento recto de alambre es
BlIF
Si el conductor no es recto, podemos dividirlo en elementos infinitesimales ld
. En este
caso la fuerza sobre cada elemento es
BldIFd
Para obtener la fuerza total sobre todo el elemento de corriente de forma arbitraria,
debemos integrar la expresión anterior a lo largo de todo el alambre. Esta integral es una
integral de línea.
Sólo nos falta considerar que sucede si las cargas en movimiento son negativas, como los
electrones en el metal, por ejemplo. En este caso una corriente ascendente, como en la figura
9, correspondería a una velocidad de deriva hacia abajo. Sin embargo como la carga es
negativa, la dirección de la fuerza será la misma que antes. De esta manera todas las
ecuaciones analizadas precedentemente son válidas para cargas tanto positivas como
negativas.
Ejemplo 5.1:
Un conductor recto horizontal de cobre, como muestra la figura, transporta una corriente
de 50,0 A, de oeste a este en una región donde existe un campo magnético de 1,20 T dirigido
hacia el noreste, formando un ángulo de 45° con la dirección del conductor.
a) Encuentre la magnitud y dirección de la fuerza magnética sobre un trozo de alambre de
1 m de longitud.
b) Conservando el conductor en posición horizontal, ¿cómo debe orientarse el conductor
para que la fuerza sea
máxima? ¿cuál es la magnitud
de la fuerza en este caso?
Respuesta:
a) El ángulo entre las
direcciones de la corriente y el
campo magnético es de 45°. A
partir de las ecuaciones vistas
precedentemente, obtenemos:
NsenTmAsenBlIF 4,4245)20,1()00,1()0,50(
La dirección de la fuerza es perpendicular al plano formado entre la corriente y el campo,
los cuales se encuentran en el plano horizontal, con lo que concluimos, aplicando la regla de la
mano derecha, que la fuerza debe ser vertical.
Si queremos expresar la fuerza en forma vectorial:
kNjseniTimABlIF ˆ)4,42(ˆ)45(ˆ)45(cos)20,1(ˆ)00,1()0,50(
b) La magnitud de la fuerza es máxima cuando 90 de modo que l
y B
son
perpendiculares. Para que la fuerza continúe siendo hacia arriba, hacemos girar el conductor
Norte
Oeste
Sur
Este
Figura 10
Ing. Graciela M. Musso Prof. Adjunta Física II
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45° en sentido de las manecillas del reloj con respecto a su orientación inicial, de modo que la
corriente fluya hacia el sureste. En este caso la magnitud de la fuerza magnética es:
NTmABlIF 0,60)20,1()00,1()0,50(
Ejemplo 5.2:
En la figura 11, el campo magnético B
es uniforme y perpendicular al plano de la página y
apunta hacia afuera. El conductor tiene un
segmento recto de longitud L perpendicular al
plano de la figura a la derecha, con la corriente
opuesta a B
; seguido de un semicírculo de
radio R; y finalmente otro segmento recto de
longitud L paralelo al eje x, como muestra la
figura. El conductor transporta una corriente I.
proporcione la fuerza magnética total sobre los
tres segmentos de alambre.
Respuesta:
Resolvamos primero las partes fáciles (los segmentos rectos). Sobre el segmento de la
derecha perpendicular al plano de la figura no hay ninguna fuerza porque es antiparalelo a B
(
0180 seny ); por lo tanto 0BL
. En el caso del segmento recto de la izquierda, L
apunta hacia la izquierda (en la dirección de la corriente), perpendicular a B
. La magnitud de
la fuerza es F = I L B, y su dirección es hacia arriba (la dirección +y en la figura).
La parte divertida es el semicírculo. La figura muestra un segmento ld
de longitud
dRdl ubicada en una posición, cuyo radio vector forma el ángulo con el eje horizontal.
La dirección de Bld
es radialmente hacia afuera con respecto al centro; no te olvides de
verificar esta dirección. Puesto que ld
y B
son perpendiculares, la magnitud dF de la fuerza
sobre el segmento dl es simplemente dF = I dl B; por tanto, tenemos que
BdRIdF )(
Cuyas componentes sobre el elemento dl son:
cosBdIRdFx senBdIRdFy
Para proporcionar las componentes de la “fuerza total” debemos integrar estas
expresiones, haciendo que varíe de 0 a π para incluir todo el semicírculo. Obtenemos lo
siguiente:
0cos0
dBRIFx
BRIdsenBRIFy 20
Por último, hallemos la fuerza total sumando las fuerzas sobre los segmentos rectos y el
semicircular:
0xF
jRLBIFyˆ)2(
Podríamos haber predicho por simetría que la componente x de la fuerza sobre el Nota:
semicírculo seria cero. Ya que sobre la mitad derecha del semicírculo la componente x de la
fuerza es positiva (hacia la derecha), y en la mitad izquierda es negativa (hacia la izquierda);
Figura11
Ing. Graciela M. Musso Prof. Adjunta Física II
13
por lo tanto las contribuciones positiva y negativa se cancelan de a pares.
Observemos que la fuerza neta sobre los tres segmentos juntos es la misma fuerza que se
ejercería si se sustituyese el semicírculo por un segmento recto a lo largo del eje de las X.
FFUUEERRZZAA YY MMOOMMEENNTTOO DDEE TTOORRSSIIÓÓNN EENN UUNNAA EESSPPIIRRAA DDEE 5.7
CCOORRRRIIEENNTTEE
Generalmente, los conductores que transportan corriente forman espiras cerradas; por lo
que utilizaremos los resultados de la sección anterior para encontrar la fuerza y el momento de
torsión magnéticos totales sobre un conductor con forma de espira. Muchos dispositivos
prácticos hacen en uso de la fuerza o momento de torsión magnético sobre una espira
conductora.
Por consiguiente, los resultados de esta sección
tienen una importancia práctica considerable.
Como ejemplo, examinemos una espira rectangular
de corriente en un campo magnético uniforme.
Hallaremos que la fuerza total sobre la espira es cero,
pero que puede tener un momento de torsión neto que
actúe sobre la espira, con algunas propiedades
interesantes.
La figura 12 muestra una espira rectangular de
alambre con lados de longitudes a y b. La línea
perpendicular al plano de la espira (esto es, la normal
plano) forma un Angulo Φ con la dirección del campo
magnético B
, y la espira transporta una corriente I. Se
omiten los alambres que introducen y sacan la corriente
de la espira, así como de la fuente de fem, para simplificar el diagrama.
La fuerza F
sobre el lado derecho de la espira (longitud a) está a la derecha en la
dirección + x como muestra la figura. En este lado, B
es perpendicular a la dirección de la
corriente, y la fuerza sobre este lado tiene magnitud
F = I a B
Una fuerza F
de la misma magnitud pero en dirección opuesta actúa sobre el lado
opuesto de la espira, como se muestra en la figura.
Los lados de longitud b forman un ángulo (90° - Φ) con la dirección de B
. Las fuerzas
sobre estos lados son los vectores 'F
y 'F
; su magnitud está dada por
cos)90(' BbIsenBbIF
Las líneas de acción de ambas fuerzas se encuentran a lo largo del eje de y.
La fuerza total sobre la espira es cero porque las fuerzas sobre lados opuestos se cancelan
por pares. La fuerza neta sobre una espira de corriente en un campo magnético uniforme es
cero. No obstante, el momento de torsión neto en general no es igual a cero. Las dos fuerzas
'F
y 'F
de la figura yacen a lo largo de la misma línea y, por tanto, dan origen a un momento
torsión neto igual cero con respecto a cualquier punto. En cambio las dos fuerzas F
y F
yacen lo largo de líneas diferentes, y cada una da origen a un momento de torsión en torno al
eje y. De acuerdo con la regla de la mano derecha para hallar la dirección de los momentos de
torsión, los momentos de torsión vectoriales debidos a F
y F
tienen ambos la dirección +y;
Figura 12
Ing. Graciela M. Musso Prof. Adjunta Física II
14
por tanto, el momento de torsión vectorial neto T también tiene la dirección +y. EI brazo de
palanca de cada una de estas fuerzas es senb2
,por lo tanto, la magnitud del momento de
torsión debido a cada fuerza es senbF2
y por consiguiente la magnitud del momento de
torsión neto es:
)()(2
2 senbBaIsenbF
El momento de torsión es máximo, figura 12-a, cuando Φ = 90°, B
está en el plano de la
espira y la normal a este plano es perpendicular a B
.
El momento de torsión cero cuando Φ es cero o
180° y la normal a la espira es paralela o antiparalela al
campo (Fig. 12-b). El valor Φ = 0 es una posición de
equilibrio estable porque el momento de torsión es cero
en ese punto, y cuando se hace
girar la espira un poco respecto a
esta posición, el momento de
torsión resultante tiende a hacerlo girar hacia Φ=0.. La posición Φ = 180° es una posición de equilibrio inestable; si se desplaza un poco respecto a
esta posición, la espira tiende a trasladarse aún más de Φ = 180°. Como
el producto de ab es el área A de la espira, podemos escribir la ecuación
anterior como
corriente) de espira unaen torsión de momento del (magnitud
senBAIsenBbaI
El producto BA se denomina momento dipolar magnético (magnitud del momento
torsión sobre una espira de corriente) o momento magnético de la espira, y se representa
mediante el símbolo μ (la letra griega "mu"):
BA
Es análogo al momento dipolar eléctrico analizado oportunamente. En términos de μ, la
magnitud del momento de torsión sobre una espira de corriente es
senB
Donde Φ es el ángulo entre la normal a la espira y B
. EI momento de torsión tiende a
hacer girar la espira en la dirección de Φ decreciente, es decir, hacia su posición de equilibrio
estable donde la espira yace en el plano xy, perpendicular a la dirección del campo B
. Una
espira de corriente, o cualquier otro cuerpo que experimenta un momento de torsión
magnético dado por la ecuación anterior, recibe también el nombre de dipolo magnético.
Además podemos definir un momento magnético vectorial
, de magnitud IA; como se
muestra en la figura 13. La dirección de
se define como perpendicular plano de la espira,
con un sentido determinado por la regla de la mano derecha muestra
en la figura 13. Doble los dedos de su mano derecha en torno al
perímetro de la espira en la dirección de la corriente. A continuación
extienda el pulgar de modo que sea perpendicular al plano de la espira;
su dirección es la dirección de
. (y del área vectorial A de la espira).
El momento de torsión es máximo cuando
y B
son perpendiculares, y
es cero cuando son paralelos o antiparalelos. En la posición de
Figura 12-a
Figura 12-b
Figura 13
Ing. Graciela M. Musso Prof. Adjunta Física II
15
equilibrio estable,
y B
son paralelos.
Por último, podemos expresar el momento de torsión en forma vectorial como
B
Aunque hemos deducido las ecuaciones anteriores con respecto a una espira rectangular
de corriente, todas estas relaciones son aplicables a una plana de cualquier forma.
Podemos generalizar asimismo toda esta formulación con respecto a una bobina
consistente en N espiras en un plano próximas entre sí; el efecto es simplemente el de
multiplicar cada fuerza, el momento magnético, el momento de torsión y la energía potencial
por un factor de N.
55.. 88 EEFFEECCTTOO HHAALLLL Cuando colocamos un conductor de corriente, con forma de cinta, en un campo magnético,
se genera una diferencia de potencial en una dirección perpendicular tanto a la corriente como
al campo magnético. Este fenómeno fue observado por primera vez por Edwin Hall (1855 –
1938) en 1879.
El modelo utilizado para observar este efecto consta de un conductor plano que transporta
una corriente en una dirección determinada.
Supongamos el conductor de la figura 14 que
transporta una corriente en la dirección x, en el
interior de un campo magnético uniforme B
en la
dirección del eje y.
Si los portadores de carga son los electrones
que se mueven en la dirección negativa del eje de
las x con una velocidad de arrastre dv
,
experimentan una fuerza magnética hacia arriba
BvqF dm
y son desviados en la misma
dirección. Por consiguiente existe una acumulación
de cargas negativas en el borde superior del
conductor plano y un exceso de carga positiva en
el borde inferior. Esta acumulación de carga en los
bordes establece un campo eléctrico transversal en
el conductor que se incrementa hasta que la fuerza magnética que actúa sobre los portadores
se equilibra con la fuerza eléctrica que se genera sobre los mismos por el campo eléctrico
creado (conocido como campo Hall), figura 15. Cuando alcanza el equilibrio, los electrones ya
no son desviados hacia arriba y podemos medir, con un multímetro sensible, la diferencia de
potencial generada entre los bordes, conocida como potencial Hall, HH .
Vamos a deducir una expresión que defina el voltaje Hall, partiendo del equilibrio de
fuerzas magnética y eléctrica:
em FF
Hd qEBvq
BvE dH
Si llamamos d al ancho del conductor, el
potencial Hall es igual a
d
t
Fm
-
I
y
z
x
Figura 14
Figura 15
X X X X X X X X
- - - - - - - X X X X X X X X
+ + + + + + + X X X X X X X X
Fm
-
Fe
I I
Ing. Graciela M. Musso Prof. Adjunta Física II
16
1dBvdEV dHHall
Por lo tanto el potencial Hall da una idea de la velocidad de arrastre de los portadores de
carga si se conocen los valores de d y B.
Si conocemos el valor de la corriente (o la podemos medir) podemos obtener la densidad de portadores
de carga n, recordando que AvqnI d , con lo que podemos expresar la velocidad de arrastre como
Aqn
Ivd
donde A es la sección transversal del conductor (A = t d). Reemplazando este valor de la velocidad de
deriva en la ecuación (1)
tqn
BI
Aqn
dBIVHall
Llamaremos coeficiente Hall a la relación qn
RH
1 Esto nos muestra que un conductor correctamente
calibrado puede ser utilizado para medir la magnitud de un campo magnético.
Si los portadores de carga fuesen positivos (Figura
16) y por lo tanto se desplazan en la dirección positiva de
las x, también experimentarían una fuerza
BvqF dm
hacia arriba. Esto produciría una
acumulación de cargas positivas en el borde superior
dejando un exceso de cargas negativas en el borde
inferior, lo que generaría un campo eléctrico Hall en
sentido opuesto al correspondiente a la desviación de
electrones. Por consiguiente podemos conocer el signo de
los portadores de carga partiendo de la polaridad que
tiene el potencial Hall.
Ejemplo 5.3:
Una tira de cobre rectangular de 1,5 cm de ancho y 0,10 cm de espesor transporta una
corriente de 5,0 A. Encontrar el potencial Hall para un campo magnético de 1,2 T aplicado en
una dirección perpendicular a la tira.
Respuesta:
Vamos a suponer que un electrón por átomo está disponible para la conducción y
tomaremos la densidad de portadores de carga como 8,46 x 1028 electrones/m3.
V
mCm
TA
tqn
BIVHall
6
19
3
28
1044,0
)0010,0()106,1(1
1046,8
)2,1(0,5
VVHall 44,0
Ejemplo 5.4:
Una placa de cobre de 2.0 mm de espesor y 1.50 cm de ancho se encuentra en un campo
magnético uniforme cuya magnitud es de 0,40 T, como muestra la figura 15. Cuando fluye una
corriente de 75 A en la dirección +x, una medición cuidadosa del potencial en la parte inferior
Figura 16
I
Fe
Fm
+ I
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
+ + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - -
Ing. Graciela M. Musso Prof. Adjunta Física II
17
de la placa indica que es 0.81 μV más grande que en la parte superior. Con base en esta
medición, halle la concentración de electrones móviles en el cobre.
Respuesta:
)100,2()106,1(
751081,0
319
6
mCn
AV
tqn
BI
Aqn
dBIVHall
3
28
3196
1106,11
)100,2()106,1()1081,0(
75
mmCV
An
3
28 1106,11
mn
55.. 99 FFUUEENNTTEESS DDEE CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO
Hasta ahora hemos centrado nuestra atención en la descripción de fuerzas de origen
magnético, sobre cargas en movimiento o conductores de corriente, ubicados en el interior de
un campo magnético externo, pero no tuvimos en cuenta como se producen dichos campos
magnéticos. Ahora volveremos sobre los
experimentos de Oersted y describiremos el
campo magnético producido por una corriente
constante que circula por un conductor
uniforme.
Poco después que Oersted descubriera,
en 1819, que la aguja de una brújula se
desviaba en presencia de un conductor que
transporta una corriente, Jean Baptiste Biot
(1774 – 1862) y Félix Savart (1791 - 1841)
realizaron experimentos cuantitativos en
relación con la fuerza ejercida por una
corriente eléctrica sobre un imán cercano. De
sus resultados experimentales Biot y Savart llegaron a una expresión matemática que da el
valor del campo magnético en algún punto del espacio en función de la corriente que produce
dicho campo.
Esta expresión se basa en las siguientes observaciones experimentales para el campo
magnético Bd
en un punto P, asociado con un elemento de longitud ld
de un alambre por el
que pasa una corriente estable I.
El vector Bd
es perpendicular tanto a ld
(que apunta en la dirección de la
corriente) como al vector unitario r̂ , dirigido desde ld
hacia P.
La magnitud de Bd
es inversamente proporcional a r2, donde r es la distancia de
ld
a P.
La magnitud de Bd
es proporcional a la corriente y a la magnitud dl del elemento
de longitud ld
La magnitud de Bd
es proporcional al sen θ, donde θ es el ángulo formado entre
los vectores ld
y r̂ .
r
r I
P’
Figura 17
Ing. Graciela M. Musso Prof. Adjunta Física II
18
Estas observaciones se resumen en la expresión matemática que conocemos como
Ley de Biot y Savart:
2
0 ˆ
4 r
rldIBd
Donde 0 es una constante llamada permeabilidad magnética del espacio vacío y
su valor es: A
Tm7
0 104 .
Observemos que el campo Bd
es creado en un punto por la corriente de un pequeño
elemento ld
del conductor. Para determinar el campo total B
, que se crea en cualquier punto
por una corriente de tamaño finito, debemos sumar todas debemos integrar la ecuación
anterior:
2
0 ˆ
4 r
rldIB
sobre la distribución completa de corriente.
La expresión de Biot y Savart también es válida para partículas que fluyen a través del
espacio como por ejemplo el haz de electrones en el tubo de un televisor.
55.. 99.. 11 CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO AALLRREEDDEEDDOORR DDEE UUNN CCOONNDDUUCCTTOORR RREECCTTOO
Consideremos un alambre delgado que transporta una corriente constante I y que está
colocado a lo largo del eje x. Tomemos un elemento dl ubicado a una distancia r de un punto P
donde queremos evaluar el campo. La dirección del campo magnético en el punto P debida a la
corriente en este
elemento es hacia
afuera de la página
porque el producto
vectorial rld ˆ
posee
esa dirección en el
punto P. Como todos
los elementos de
corriente ldI
están en
el plano de la página,
todos producen un
campo magnético
dirigido hacia afuera de la página. Si consideramos al punto P sobre el eje y, el vector unitario
que apunta hacia afuera de la página es k̂ .
kdxksendxkrldrld ˆ)cos(ˆ)2
(ˆˆˆ
Sustituyendo este valor en la ecuación de Biot y Savart
kr
dxIkdBBd ˆcos
4ˆ)(
2
0
Para poder integrar con el propósito de encontrar el campo resultante, es necesario
expresar todos los parámetros en función de una sola variable, en este caso en términos de θ.
P
y
I x
a
r θ
x Figura 18
Ing. Graciela M. Musso Prof. Adjunta Física II
19
Como a
xtg
(ya que dl se encuentra en el lado negativo de las x) tgax , por
lo tanto
2
2
cossec
dadadx
.
cos
ar
Sustituyendo este valor en la expresión de Biot y Savart
d
I
a
daIdB cos
4cos
coscos)(
4
0
22
20
Integrando sobre todos los elementos de longitud en el alambre, donde los ángulos
subtendidos varían de θ1 a θ2.
2100
4cos
4
2
1
sensen
Id
IB
Podemos usar este resultado para encontrar el campo magnético de cualquier alambre
recto si se conoce la geometría del conductor y por ende los ángulos 1 y 2 . Si consideramos
el caso especial de un alambre recto infinitamente largo, veremos qué 2
1
y
22
para elementos de longitud que varían entre x y x , en este caso
a
Isen
a
Id
a
IB
24
cos4
02
2
02
2
0 2
a
IB
2
0
5. 9. 2 CAMPO MAGNÉTICO DEBIDO A UN CONDUCTOR CURVO
Calcularemos el campo magnético generado por un segmento
de alambre portador de corriente, como el que muestra la figura
19, en el punto O. El alambre consiste en dos tramos rectos y un
arco circular de radio a, que subtiende un ángulo θ.
El campo magnético debido a la corriente en los segmentos
rectos AA’ y CC’ es cero ya que ld
es paralelo a r̂ a lo largo de
esas trayectorias y 0ˆ rld
.
Para calcular el campo magnético debido al segmento curvo
aplicaremos Biot y Savart.
Cada elemento de longitud ld
, a lo largo de la trayectoria AC
está a la misma distancia a desde el punto O y la corriente en cada
uno aporta un elemento de campo Bd
entrante en la página en O.
Además en cada punto de la curva, ld
es perpendicular a r̂ por
lo tanto dlrld ˆ
I
I
a O θ
A
A’
C
C’ Figura 19
Ing. Graciela M. Musso Prof. Adjunta Física II
20
Aplicando la ecuación de Biot y Savart 2
0
4 a
dlIdB
. Integrando esta ecuación a lo largo
de la trayectoria curva AC, y observando que I y a son constantes, obtenemos:
la
Idl
a
IB
2
0
2
0
44
como l = a θ
2
0
2
0
4)(
4 a
Ia
a
IB
A medida que el ángulo aumenta, el segmento curvo se convierte en un círculo cuando
2 . Debido a esto podemos encontrar el campo magnético en el centro de una espira
circular, al hacer 2 .
a
I
a
IB
22
4
0
2
0
5. 9. 3 CAMPO MAGNÉTICO EN EL EJE DE UNA ESPIRA CIRCULAR
Consideremos una espira
circular de radio a que es
circulada por una corriente I.
calcularemos el campo
magnético sobre un pinto P
situado sobre el eje de la misma
a una distancia y desde el centro
de la espira.
Tomemos un elemento ld
en la parte superior del anillo,
que aporta en el punto P un
campo magnético Bd
que de
acuerdo con ley de Biot y Savart
es:
)(4
ˆ
4 22
0
2
0
ya
dlI
r
rldIBd
ya que
90ˆ sendlrld
Teniendo en cuenta la simetría, las componentes perpendiculares del campo debidas a
elementos diametralmente opuestos se cancelan de a pares para todos los elementos del
anillo, de modo que podemos ignorar la componente perpendicular del campo y considerar sólo
las componentes paralelas al eje para después sumarlas.
cos
)(4 22
0
ya
dlIdBy
Integrando a lo largo de toda la espira
cos
)(4 22
0
ya
dlIBdB yy
z
y
r
P
θ
a
x
y
θ
dBy
dBz dB
Figura 20
Ing. Graciela M. Musso Prof. Adjunta Física II
21
De la geometría 2
122 )(
cosya
a
dlya
aI
ya
a
ya
dlIBy
23
22
0
21
2222
0
)(4)()(4
23
22
20
23
22
0
)(2)2(
)(4 ya
aIa
ya
aIBy
En el centro de la espira, y = 0 por lo que
a
IB
2
0
5. 9. 4 CAMPO MAGNÉTICO GENERADO POR DOS ESPIRAS CIRCULARES
Consideremos dos espiras circulares idénticas que llevan corrientes iguales I, como indica
la figura 16. Sus planos están inclinados entre sí formando un ángulo de 2θ, como se indica en
la figura. Demostraremos que en cualquier parte del plano AB que biseca al ángulo, el campo
magnético resultante
debe ser normal al
plano.
Como las espiras
son idénticas y
conducen corrientes
iguales, los campos
magnéticos 1B
y 2B
son simétricos. El plano
AB es equidistante de
los centros de las dos
espiras. Consideremos ahora una línea representativa
del campo magnético 1B
producido por la espira de la izquierda, como
por ejemplo la línea QP
y su correspondiente
PQ’ en el campo
magnético 2B
por la
espira del lado derecho. Por la disposición simétrica del plano AB
con respecto a los planos de las espiras, es evidente que las longitudes de arco QP y PQ’ son
iguales, lo mismo que sus ángulos de intersección con el plano AB, Φ1 y Φ2. Por otro lado
como las corrientes son iguales, las magnitudes de los campos 1B
y 2B
también son iguales.
Si observamos la figura, veremos que las componentes transversales 11 cosB
y 22 cosB
son
de igual magnitud pero de signo contrario, por lo que se cancelan, quedando sólo las
Q
A
B
B2
B1
Espira 1 Espira 2
Φ2
Φ1
θ θ
Figura 21
P
Q’
Ing. Graciela M. Musso Prof. Adjunta Física II
22
componentes perpendiculares 11 senB
y 22 senB
. Por lo tanto la magnitud del campo
magnético resultante será
senBsenBsenBB 12211 2
En síntesis los campos magnéticos producidos por distintas corrientes pueden
superponerse o sumarse para obtener un campo magnético total, de la misma forman que
pueden superponerse los campos debidos a una serie de cargas puntuales para obtener un
campo eléctrico total. Por lo tanto, si existen varios conductores que llevan corrientes I1, I2, I3,
…, las cuales dan lugar a los campos magnéticos ,,, 321 BBB
…, de acuerdo a la ley de Biot y
Savart, el campo magnético total puede expresarse como la suma vectorial de los campos
individuales ,,, 321 BBB
…, lo que nos permite escribir
n
i in BBBBBB1321
,
donde cada uno de los campos individuales está relacionado con su propia corriente generatriz
Ii por medio de
2
0ˆ
4 i
iii
r
rldIB
.
55..1100 FFUUEERRZZAA MMAAGGNNÉÉTTIICCAA SSOOBBRREE DDOOSS CCOONNDDUUCCTTOORREESS PPAARRAALLEELLOOSS
Ya hemos descripto la fuerza magnética que actúa sobre un conductor que transporta una
corriente en presencia de un
campo magnético externo.
Como la corriente de un
conductor genera su propio
campo magnético, podemos
comprender que dos
conductores que llevan
corrientes ejercen fuerzas
magnéticas entre sí.
Imaginemos dos alambres rectos y paralelos separados una distancia a que conducen
corrientes I1 e I2 respectivamente, en la misma dirección.
Podemos determinar la fuerza ejercida sobre un alambre debida al campo magnético
generado por el otro. Supongamos que el alambre 2 es la fuente de campo y que en la
ubicación del alambre 1 crea el campo B2, perpendicular al mencionado conductor. La fuerza
magnética en un tramo de longitud l del alambre 1 es 211 BlIF
Como l es perpendicular, en este caso, a B2, la magnitud de F1 es 211 BlIF
Por otro lado la magnitud de B2 esa
I
2
20 . Por lo tanto
a
lII
a
IlIF
22
2102011
.
Observemos que la dirección de la fuerza F1 es hacia el alambre 2. Si calculamos el
campo generado por el conductor 1 sobre el alambre 2, podemos encontrar la fuerza que actúa
sobre dicho alambre 122 BlIF ; a
lII
a
IlIF
a
IB
222
2101022
101
que es igual en
magnitud pero con sentido opuesto a F1. Esto es lo que esperábamos si tenemos en cuenta la
tercera ley de Newton. Por consiguiente los dos conductores se atraen.
Cuando dos corrientes transportadas tienen direcciones opuestas, las fuerzas se invierten
y los alambres se repelen.
Ing. Graciela M. Musso Prof. Adjunta Física II
23
Podemos resumir esto diciendo que cuando dos conductores paralelos llevan corriente en
la misma dirección se atraen y conductores paralelos que llevan corrientes con direcciones
opuestas se repelen.
Utilizaremos la fuerza entre dos conductores paralelos para definir el ampere de la
siguiente manera:
Cuando la magnitud de la fuerza por unidad de longitud entre dos alambres largos y
paralelos que transportan corrientes idénticas es igual a 2 x 10-7
N/m y además los
conductores están separados 1 m, definimos la corriente en cada alambre como 1 A.
Es decir el valor 2x10-7
N/m lo obtenemos a partir de la ecuación anterior, haciendo I1 = I2
= 1 A y a = 1m.
De la misma forma definiremos al coulomb (unidad de carga SI) como la cantidad de
carga que atraviesa una sección transversal de un conductor que lleva una corriente de
1 A, durante 1 seg.
55.. 1111 LLEEYY DDEE AAMMPPEERREE
El descubrimiento de Oersted en 1819 del desvío de las agujas de las brújulas en las
proximidades de un conductor que transporta corriente, demostró que el conductor produce un
campo magnético a su alrededor.
Ya hemos descripto la forma de determinar los campos magnéticos por superposición de
camps generados por elementos individuales de corriente. Podríamos suponer que la ley de
Gauss sea una alternativa útil para calcular para calcular estos campos como lo fuera en
electrostática, pero no es así. En el caso de campos magnéticos la integral de superficie del
flujo magnético a través de una superficie cerrada es igual a cero, ya que no hay cargas
magnéticas aisladas.
Debemos buscar otro método que ayude a calcular los campos magnéticos como lo hace
la ley de Gauss en electrostática. La Ley de Ampere es la alternativa buscada que relaciona la
integral de línea alrededor de cualquier trayectoria cerrada, con la corriente total que fluye a
través del área subtendida por la trayectoria de integración.
La ley de Ampere tiene semejanza con la ley de Gauss ya que sigue más o menos los
mismos lineamientos, sin embargo la ley de Ampere implica una integración de elementos de
línea alrededor de una curva cerrada, mientras que la ley de Gauss comprende la integración
de elementos de área sobre una superficie cerrada.
Consideremos el caso de un conductor largo y recto normal a la página y dirigido hacia
afuera de la misma por donde fluye una corriente I.
Por simplicidad elegiremos el
eje z de coordenadas de manera que
la corriente coincida con él.
Tomemos una curva arbitraria
C que se encuentra en el plano xy y
que rodea al conductor.
Vamos a evaluar la integral
sobre todos los elementos que
constituyen la curva C. por definición
del producto escalar sabemos que
Donde es el ángulo
comprendido entre los dos vectores.
Pero de la figura vemos que