CAMPOS Y ONDAS

Campos y Ondas

FACULTAD DE INGENIERÍAUNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA ARGENTINA

CAMPOS Y ONDAS

Análisis Vectorial

• 1. Algebra vectorial: suma, resta y multiplicación de vectores.

• 2. Sistemas de coordenadas ortogonales: cartesianas, cilíndricas, esféricas.

• 3. Cálculo vectorial: diferenciación e integración de vectores.

– Operaciones: » Gradiente (escalar-vector)» Divergencia (vector-escalar)» Rotacional (vector-vector)

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Análisis Vectorial

•Escalar: Magnitud•Vector: Magnitud y dirección

•Campo es una función que indica una cantidad particular (magnitud, y/o dirección) en una región

Escalares (U, T, ...)Vectoriales (E, H, v...)

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Análisis Vectorial

•Vector Unitario

A AaA

A•Se puede representar gráficamente con un segmento

•Dos vectores son iguales si tienen igual dirección y magnitud, aunque pueden estar desplazados en el espacio

• Dos vectores que no tienen la misma dirección están contenidos en un plano , su suma es otro vector en el mismo plano

aA: es un vector sin dimensión de magnitud 1. y especifica la dirección de A

:A Es el módulo de A y tiene unidades y dimensión

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Análisis Vectorial

•Representación en coordenadas cartesianas

Componentes de A

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Sistema positivo, directo o derecho

Sistema negativo o inverso

Orientación del espacio: dos sistemas donde si superponemos x e y , z queda opuesto

Un triedro O,x,y,z se dice positivo o cuando colocando un tornillo normalmente al

plano (x,y) , girando de la parte positiva de x, hacia la parte positiva de y el torni-

llo de rosca derecha avanza hacia la parte positiva del eje z

x

y

z

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Análisis Vectorial

( ) D = A B A B

•Adición y sustracción de vectores

C = A +B ( ) ( ) ( )x x x y y y z z zA B A B A B C a a a

( ) ( ) ( )x x x y y y z z zA B A B A B D a a a

-B

Regla paralelogramo

AD

Regla triángulo

A

B

B-AA-B

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Análisis Vectorial

•Vector de posición y distancia

•rp: radiovector, es la distancia del origen O al punto P .

•Vector distancia entre dos puntos rpq. Desplazamiento entre dos puntos

rP

rQ

rQ-rP

rP-rQ

P

Q

( ) ( ) ( )Q P x Q P y Q P zx x y y z z PQ P Qr r r a a a

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Análisis Vectorial

2 2 2 3/2( )yyA K

x y z

•El punto P no es un vector, su posición se indica con un vector rp (xp, yp,zp)

•Un vector A es una magnitud que en cada punto P puede tener un valor distinto o no y que puede depender de la posición

•A (Ax,Ay,Az)

2 2 2 3/2( )xxA K

x y z

2 2 2 3/2( )zzA K

x y z

Un campo uniforme no depende de las variables x,y,z

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Análisis Vectorial

Multiplicación de Vectores

•Por un escalar k.A: cambia solo la magnitud de A

•Producto escalar o punto de dos vectores : resultado es un escalar

. .cos( )ABA B A.B

A

kA

AB

A

B

AB

AB es el ángulo más pequeño entre A y B

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Análisis Vectorial

• El producto escalar de dos vectores resulta:– Menor o igual al producto de sus magnitudes– Puede ser una cantidad +o – dependiendo de θAB(mayor o

menor que 90 )– Es igual a la magnitud de un vector por la proyección del

otro en el primero

– El producto de dos vectores perpendiculares es igual a cero– El producto es conmutativo: A.B=B.A– A.A=|A|2

El producto punto da como resultado un escalar,

En cualquier sistemas de coordenadas |A|=√(A.A)

AB

A

B

. .cos( )ABA B A.B

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Análisis Vectorial

• Propiedades de la suma y producto por un escalar :

• Propiedades dea producto punto o escalar :

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Análisis Vectorial

( , , )

( , , )x y z

x y z

Ax Ay Az Ax Ay Az

Bx By Bz Bx By Bz

A a a a

B a a a

. . . .Ax Bx Ay By Az Bz ΑΒ

. .cos( )ABA B A.B

( , , )( ) ( ) ( )

Ax Bx Ay By Az Bzx Ax Bx y Ay By z Az Bz

A BA B a a a

( . . ).( . . )x y z x y zAx Ay Az Bx By Bz A.B a a a a a a

. . . 0

. . . 1x y x z y z

x x y y z z

a a a a a a

a a a a a a

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Análisis Vectorial

• Producto cruz o vectorial:– AxB=C (otro vector)

. . . ( )ABA B sen nAxB a

• La magnitud es el área del paralelogramo• La dirección an es normal al plano determinado por A y B• El sentido tal de avance de un tornillo de rosca derecha cuando A se

hace girar hasta B (b), o regla mano derecha (a), en un triedro positivo.

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Producto Cruz o vectorial

. . ( )ABA B sen AxB

0

x y z

z x y

y z x

x x y y z z

a xa a

a xa a

a xa a

a xa a xa a xa

y x z

x z y

z y x

a xa a

a xa a

a xa a

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Producto Cruz o vectorial

. . ( )ABA B sen AxB

0

x y z

z x y

y z x

x x y y z z

a xa a

a xa a

a xa a

a xa a xa a xa

y x z

x z y

z y x

a xa a

a xa a

a xa a

( , , )

( , , )x y z

x y z

Ax Ay Az Ax Ay Az

Bx By Bz Bx By Bz

A a a a

B a a a

( ) ( )

( . . . . . . )

( . . ) ( . . ) ( . . )

x y z x y z

z y z x y x

x y z

Ax Ay Az Bx By Bz

Ax By Ax Bz Ay Bx Ay Bz Az Bx Az By

Ay Bz Az By Az Bx Ax Bz Ax By Ay Bx

AxB a a a x a a a

AxB a a a a a a

AxB a a a

Aplicando Distributiva y con las igualdades anteriores se obtiene

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Análisis Vectorial

• Triple Producto escalar, se define

• Permutaciones cíclica.

• Es el volumen de un paralelepípedo de aristas A, B, y C

B

C

A

an

Área:móduloDirección an

A.an.=altura=h

h

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Análisis Vectorial

• Triple producto vectorial= vector

Regla bac, cab

• La división por un vector no está definida

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Análisis Vectorial

• Componentes de un vector o proyecciones

Proyección escalar de A sobre B

Componentes vectoriales de A sobre B, yotra perpendicular A-AB

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Análisis Vectorial

• Las leyes físicas son independientes del sistema de coordenadas. • Teorema : La condición necesaria y suficiente para que tres escalares

(a1,a2,a3) sean componentes de un vector , es que por un cambio de coordenadas ortogonales de origen fijo, ellas se transformen según las mismas fórmulas que las coordenadas del punto.

A

x

y

X’

y’

A

a1

a2

a1’

a2’

Si definimos un nuevo vector kA

K: es un número fijo independiente del sistema de coordenadas

sus componentes ka1,ka2,ka3en otro sistema serán ka1’,ka2’,ka3’

La definición es independiente del sistema de referencia

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Análisis Vectorial

• Si definimos un nuevo vector k+A • sus componentes k+a1,k+a2,k+a3• en otro sistema NO serán k+a1’,k+a2’,k+a3’• Esta definición NO es independiente del sistema de

referencia.• k+A: NO es un VECTOR

X’

A

k+A

x

yy’

a1’

Las operaciones de vectores definidas son independiente del sistema de coordenadas

Suma, producto escalar, producto vectorial (salvo orientación del sistema)

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Análisis Vectorial

• Las operaciones de vectores definidas son independiente del sistema de coordenadas

• Suma• producto escalar• producto vectorial (orientación del sistema)• Vector desplazamiento: independiente del sistema

– dP=dx.ax+dy.ay,+dz.az

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• Sistema de coordenadas ortogonal : son perpendiculares entre si.

• Los mas usados son:– Cartesiano o rectangular– Cilíndrico – Esférico

• Para la resolución de problemas prácticos se requiere que las expresiones derivadas de las leyes se expresen en el sistema apropiado

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Sistemas de Coordenadas

•Un punto en puede localizarse en el espacio como la intersección de 3 superficies•Si las superficies son

u1= constanteu2= constanteu3= constant

•Donde los ui, pueden ser longitudes , o ángulos

•Sitema coordenadas cartesiana

u1=xu2=yu3=z

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Sistemas de Coordenadas

Un punto en coordenadas cartesianas resulta de la intersección de tres planos

Coordenadas Cartesianas

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Coordenadas curvilíneas ortogonales

constante= constantez=constante

Coordenadas Cilíndricas

a= vector unitario en la dirección del radioa= vector unitario en la dirección del ángulo azimutalaz= vector unitario en la dirección de z

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• a= vector unitario en la dirección del radio• a= vector unitario en la dirección del ángulo azimutal• az= vector unitario en la dirección de z

Permutaciones cíclicas

a

aaz

Coordenadas Cilíndricas

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• Relaciones entre las variables cartesianas y cilíndricas

Coordenadas Cilíndricas

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• Relaciones entre los vectores unitarios o versores

Coordenadas Cilíndricas

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Coordenadas Cilíndricas

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Coordenadas esféricas

• Coordenadas esféricas

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Coordenadas esféricas

Dirección de los vectores unitarios

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Coordenadas esféricas

• Relaciones entre las variables cartesianas y esféricas

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Coordenadas esféricas

• Vectores unitarios se relacionan de la siguiente manera

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Coordenadas esféricas

• Transformación de vectores de coordenadas cartesianas a esféricas

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Coordenadas esféricas

• Transformación de vectores de coordenadas esféricas a cartesianas

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• Transformación de vectores de coordenadas esféricas a cilindricas

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Resumen de cambio de coordenadas

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Diferenciales de longitud, área y volumen

Coordenadas cartesianas, eje derecho

longitud

área

volumen

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Diferenciales de longitud, área y volumen

Coordenadas cilíndricas

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Diferenciales de longitud, área y volumen

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Diferenciales de longitud, área y volumen

1 1 1 2 2 2 3 3 3h du h du h du dl a a a

Cartesianas (x,y,z) : h1=h2=h3=1

hi: son coeficientes métricos o de longitud, convierten los diferenciales en longitudes

Cilíndricas (z): h1=1, h2=h3=1

Esféricas (r,): h1=1,h2=r; h3=r.sen

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Integral de línea

• Integral de línea– Dado un vector A– Una curva L– Producto escalar

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Integral de línea

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Integral de Superficie

Flujo

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Integral de Volumen

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Gradiente

• Para analizar como cambia un campo escalar en el espacio es necesario derivadas parciales en tres direcciones.

• La derivada depende de cual es la dirección en que nos movemos,• El gradiente de un campo escalar V es un vector que representa la

magnitud y la dirección de la máxima rapidez de incremento espacial de V

V V+V

V(x,y)

y

x

.V GradV

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• La derivada es mas grande a lo largo de la normal (PQ), porque es la distancia mas corta entre ambas curvas (superficies) de nivel

• El gradiente es perpendicular a la curva de nivel• Las derivadas en otras direcciones puede escribirse como el

gradiente proyectado en esta dirección

• El diferencial de V se puede expresar con el producto escalar de

• Esta expresión se puede usar para obtener el gradiente en distintas coordenadas

( . ).dV V dl

cos .dV V V Vdl PS PQ

l

Gradiente

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Gradiente

• dV es el diferencial total de V como resultado de un cambio de posición de P a S

1 2 31 2 3

. . . V.V V VdV dl dl dll l l

dl

1 2

1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 31 2 3

i

i

1 2 31 2 3 3

. . . V . V . V .

V . .

1V .

1 1 1

i i ii

i i

V V VV dl dl dl dl h dl h dl hl l l

Vdl h dll

Vh l

u u uh dl h dl h dl

a a a Operador gradiente

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Gradiente

zdV V d V d V dz

( )V V VdV d d dz V d d dzz

a a a

•Coordenadas cilindricas

•Coordenadas cartesianas

• Coordenadas esféricas

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Gradiente

• Fórmulas de cálculo, fácilmente comprobables

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Divergencia

• Derivadas espaciales de campos vectoriales– Divergencia– Rotacional

• Los campos vectoriales se pueden representar con líneas de flujo– Curvas que indican en cada punto su dirección– La magnitud se puede indicar con la densidad o la longitud de

las líneas– El flujo de un campo vectorial es análogo al flujo de un líquido

incompresible – Si el volumen es encerrado por una superficie habrá exceso de

flujo si sale por la superficie ‘fuente’ , y si entra es ‘sumidero’

• Divergencia:de A en el punto P como el flujo neto de salida de A por unidad de volumen , conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero

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Divergencia

• Divergencia de un Campo vectorial:

Fuente, diverge, +

Sumidero, converge, -

Divergencia nula,0

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Divergencia

Encontremos la expresión en coordenadas cartesianas

Desarrollo de Ax alrededor de P con series de Taylor

Ax

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Divergencia

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Divergencia

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Divergencia

La expresión en coordenadas cilíndricas

Se aplica la definición pero considerando que las superficies también varían,Entonces lo que se debe diferenciar es Ai.si, en cada componente

( ) ( ).( . ) .( . ). .

A dz d A dz ddz d d

2. 3 1 1. 3 2 2. 1 3

1 2. 3 1 2 3

( . ) ( . ) ( . )1..

h h A h h A h h AAh h h u u u

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Divergencia

La expresión en coordenadas esféricas

2. 3 1 1. 3 2 2. 1 3

1 2. 3 1 2 3

( . ) ( . ) ( . )1..

h h A h h A h h AAh h h u u u

Esféricas h1=1,h2=r; h3=r.sen

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Divergencia

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Divergencia

• Teorema de la divergencia: el flujo hacia fuera de un campo vectorial A a través de una superficie cerrada S, equivale a la integral de volumen (encerrado por la S) de la divergencia de A

ds

ds

ds

Volumen

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Divergencia

• Un volumen arbitrario lo dividimos en NVk,• La celda k tiene el Vk, y Sk• Aplicamos la definición de divergencia• Considerando que los flujos en las celdas vecinas se anulan

pues las superficies apuntan en sentido contrario• Solo queda las integrales en las superficies de los

elementos exteriores, superficie S

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Rotacional

• Otro tipo de fuentes de los campos llamadas de ´vórtice’ que ocasionan la circulación de un campo vectorial alrededor de una trayectoria cerrada

• El rotacional es un vector cuya magnitud es la circulación máxima de A por unidad de área conforme el área tiende a cero. La orientación sigue la regla de la mano derecha

A

Rotor de A

Curva L

s

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Rotacional

• El rotacional es una función vectorial puntual, su componente en cualquier otra dirección es la proyección del rotacional sobre estas.

• Se puede obtener como la circulación por unidad de área normal a esta y tendiendo a cero

• Componente en otra dirección puede determinarse:

0

1( ) .( ) limu u suu LuS

xA a xA A.dl

A

Rotor de A

Curva Ls

suCurva Lu

Componente Rotor de A,Dirección u

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Rotacional

• Expresión del rotacional en coordenadas x,y,z

( , , ) ( ) ( ) ( )o o o o o oAz Az AzAz Az x y z z z y y x xz y x

( , , ) ( ) ( ) ( )o o o o o oAy Ay AyAy Ay x y z z z y y x xz y x

( , , ) ( ) ( ) ( )o o o o o oAx Ax AxAx Ax x y z z z y y x xz y x

A

Rotor de A

Curva L

sy

P

z

yx

P (xo ,yo ,zo)

Desarrollo en series de Taylor

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Rotacional

( , , ) ( ) ( ) ( )o o o o o oAy Ay AyAy Ay x y z z z y y x xz y x

.Ay dz dyz

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Rotacional

• Para los lados bc y da

.Az dz dyy

. .( )

.

Az Aydz dy dz dyAz Ayy zx

dz dy y z

xA

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Rotacional

( )

( )

( )

Az Ayxy zAx Azyz x

Ay Axzx y

xA

xA

xA

1 1 2 2 3 3

1 2 3 1 2 3

1 1 2 2 3 3

1. .

. . .

u u uh h h

h h h u u uh A h A h A

a a a

xA

El rotacional expresado para las variables u1,u2,u3

Cilíndricas (z):h1=1, h2=h3=1

Esféricas (r,):h1=1,h2=r; h3=r.sen

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Rotacional

• Para coordenadas cilíndricas

• Para coordenadas esféricas

Cilíndricas (z): h1=1, h2=h3=1

Esféricas (r,): h1=1,h2=r; h3=r.sen

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Rotacional

• Teorema de Stoke: la circulación de un campo A alrededor de una trayectoria cerrada L es igual a la integral de superficie del rotacional de A sobre la superficie S circunscripta por L, siempre que A y rotA sean continuos en S

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Rotacional

• Características de campos Rotacionales

Poniendo una ruedita en los distintos puntos un campo, ella tendrá que girar en los puntos que el Rotor sea distinto de cero

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Identidades nulas

• Identidad Nula. Divergencia de un rotor

n2

.( ) 0 xA

.( ) ( ).v Sc

dv xA xA ds

Sc=Sc1+Sc2

•La integral de superficie seDivide en dos, conectadas por una frontera comun L1 y L2.•Se aplica Stoke

n1

L2

L1

11 2

1 2

( ). ( ). ( ). 2

( ). 0Sc Sc Sc

Sc L L

xA ds xA ds xA ds

xA ds A.dl A.dl

Gauss

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Identidades nulas

• Si la divergencia de un campo vectorial es nula , el campo es solenoidal y se puede expresar como el rotacional de otro campo vectorial

. 0

.( ) 0

BB xA

xA

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Identidades nulas

• Identidad Nula. Rotor de un gradiente

( ) 0V x

• Aplicamos Stoke en cualquier superficie

( ). . ( ) ( ) 0P

s P

V V dV V P V P x ds dl

•Si el rotacional de un campo es nulo este campo se puede expresar como el gradiente de una función escalar.•Un campo vectorial irrotacional es conservativo, y se puede expresar como el gradiente de un campo escalar

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• Clasificación de Campos Vectoriales según sus fuentes de rotor y divergencia

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Teorema de Helmholtz

• Un campo vectorial está determinado si su divergencia y su rotacional están especificados en todo punto– En el infinito debe anularse– O bien si está limitado a una región, se debe conocer la

componente normal en la superficie límite

• Un campo vectorial puede expresarse como la suma de dos vectores uno irrotacional y otro solenoidal de divergencia nula.

. 0s A SolenoidalIrrotacional

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Teorema de Helmholtz

2 ( . ) A x xALaplaciano del vector A se define como

2 ( ) ( )v s x ρ

Densidad de origen o ´carga´

Vector: densidad de circulación

Ecuación diferencial de A en función de sus fuentes

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Operador

• Divergencia (Gradiente)-->Laplaciano de un Escalar

2.( )V V

• Rotor de Un Rotor= Gradiente(divergencia)-Laplaciano del vector

2( . ) x xA A

x y zx y z

a a a

2

2 2 22

2 2 2

. ( ).( )x y z x y zx y z x y z

x y z

a a a a a a

Operador nabla en rectangulares

Laplaciano en rectangulares