campos gravitatorios relativistas proximos a la...

UNIVERSIDAD DE SALAMANCA

FACULTAD DE CIENCIAS

Departamento de Fısica, Ingenierıa y Radiologıa Medica

CAMPOS GRAVITATORIOS

RELATIVISTAS

PROXIMOS A LA SOLUCION DE

SCHWARZSCHILD

Memoria presentada por Jose Luis Hernandez Pastora

para optar al Grado de Doctor en Ciencias Fısicas.

Salamanca, Febrero de 1996

D. JESUS MARTIN MARTIN, Catedratico de Fısica Teorica y D.EDUARDORUIZ CARRERO, Catedratico de Didactica de las Ciencias Experimentales, dela Universidad de Salamanca,

CERTIFICAN:

Que la presente Memoria, “CAMPOS GRAVITATORIOSRELATIVISTAS PROXIMOS A LA SOLUCION DESCHWARZSCHILD”, ha sido realizada bajo su direccion enel Departamento de Fısica, Ingenierıa y Radiologıa Medica dela Universidad de Salamanca por D. JOSE LUIS HERNANDEZPASTORA y constituye su Tesis para optar al grado de Doctoren Ciencias Fısicas.

Dr. Jesus Martın Martın Dr. Eduardo Ruiz Carrero

Salamanca, Febrero de 1996

UNIVERSIDAD DE SALAMANCA

FACULTAD DE CIENCIAS

Departamento de Fısica, Ingenierıa y Radiologıa Medica

CAMPOS GRAVITATORIOS

RELATIVISTAS

PROXIMOS A LA SOLUCION DE

SCHWARZSCHILD

Jose Luis Hernandez Pastora

SALAMANCA

A mis padres

Quiero manifestar, en la presentacion de esta Memoria, mi agradecimientoa los directores de esta Tesis Doctoral. En particular, me gustarıa agradecer aChus Martın su apoyo y confianza depositada en mı desde que me introdujo en lainvestigacion cientıfica, y la cordialidad con que siempre ha tratado de transmi-tirme, en nuestra cotidiana relacion, tanto sus experiencias personales como susconocimientos cientıficos.

De la misma manera, quiero agradecer a Edu la ayuda que he recibido de elen todo momento, ası como su estrecha y activa colaboracion en la direccion deeste trabajo.

Vayan un par de besos para Pilar y Marina, con quienes compartı tan feliceshoras de Laboratorio y amenas tertulias de sobremesa, en companıa de Javier,por todos los cafes de la zona.

Agradezco a Miguel Angel, a quien debo los conocimientos adquiridos pararealizar buena parte del formato de esta Memoria, su ayuda en el manejo de TEX.

Finalmente quiero agradecer a mis padres su derroche de preocupaciones ycarino, y a mi hermana y a mis amigos su comprension e interes por mi trabajo.

Salamanca, febrero de 1996

“No debemos para las cosas naturales admitir mascausas que las verdaderas y suficientes para explicarsus fenomenos.”

Sir Isaac Newton

Philosohpiae Naturalis Principia MathematicaReglas para Filosofar

Libro III. SISTEMA DEL MUNDO(matematicamente tratado)

INDICE

I.- INTRODUCCION 4

II.- GENERALIDADES SOBRE LAS SOLUCIONES DE VACIO

ESTACIONARIAS Y CON SIMETRIA AXIAL 11

II.1.- Campos estacionarios: formalismo de Bel y ecuaciones de Geroch. 11

II.2.- Campos estacionarios con simetrıa axial: ecuacion de Ernst. . . . . . 16

III.- ANALISIS DE LAS SOLUCIONES ESTATICAS 21

III.1.- Metricas de Weyl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

III.2.- Representacion de Erez-Rosen-Quevedo de la solucion de Weyl. . 23

III.3.- Solucion de Gutsunayev-Manko. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

III.4.- Equivalencia entre las representaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

III.5.- Soluciones particulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

IV.- MOMENTOS MULTIPOLARES RELATIVISTAS 35

IV.1.- Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

IV.2.- Momentos Multipolares en gravitacion newtoniana. . . . . . . . . . . . 37

IV.3.- Definiciones de Geroch y Hansen de momentos multipolaresrelativistas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1

Indice 2

IV.4.- Momentos Multipolares de las metricas de Weyl. . . . . . . . . . . . . . 48

IV.4.1.- Estructura multipolar de Thorne para metricasestacionarias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

IV.4.2.- Coordenadas armonicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

IV.4.3.- Estructura de la componente temporal de la metrica. . . . 55

IV.5.- Metodo FHP para el calculo de momentos a partir del desarrollodel potencial de Ernst en el eje de simetrıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

V.- SOLUCIONES ESTATICAS CON UN NUMERO FINITO DEMULTIPOLOS 70

V.1.- Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

V.2.- Estructura de una solucion multipolar pura Monopolo–Quadrupolo. 72

V.3.- La solucion cuadrupolar pura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

V.4.- Sucesion de soluciones exactas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

V.5.- Horizonte de sucesos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

V.6.- Jerarquıa de soluciones estaticas con un numero finito demomentos multipolares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

VI.- PROCEDIMIENTO PARA GENERAR UNA SOLUCIONESTACIONARIA MONOPOLO-DIPOLO DINAMICO 95

VI.1.- Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

VI.2.- Metodo de Sibgatullin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

VI.3.- Relacion entre los coeficientes de los potenciales de Ernst E y ξ

sobre el eje de simetrıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

VI.4.- Sucesion de soluciones exactas que tienden a una solucionmonopolo-dipolo dinamico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

VII.- SOLUCION ESTACIONARIA APROXIMADADE TIPO M–J 118

Indice 3

VII.1.- Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

VII.2.- Momentos dinamicos en electromagnetismo. . . . . . . . . . . . . . . . 119

VII.3.- Estructura multipolar sobre el eje de simetrıa. . . . . . . . . . . . . . 121

VII.4.- Desarrollo del potencial de Ernst en serie de potencias de unparametro adimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

VII.5.- Construccion de la solucion M-J en forma de serie. . . . . . . . . . . 127

CONCLUSIONES 134

APENDICE A. Lemas. 136

APENDICE B. Restos de Thorne para metricas estaticas. 146

APENDICE C. Estructura multipolar de la metrica de Kerren coordenadas armonicas 149

C.1. Coordenadas armonicas de Ding. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

C.2. Estructura multipolar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

BIBLIOGRAFIA 154

I

INTRODUCCION

Desde que en 1918 Schwarzschild publicase su solucion estatica de las ecua-ciones de Einstein de vacıo, uno de los esfuerzos crecientes de la comunidad re-lativista ha sido dedicado a la obtencion de soluciones exactas de las ecuacionesde Einstein de la Relatividad General. Ası , se han realizado hasta la actualidadnumerosos trabajos que obtienen no solo abundantes soluciones de las ecuacionesde Einstein, sino tambien que han desarrollado diversas tecnicas para generar apartir de soluciones conocidas otras nuevas de caracterısticas fısicas en generalarbitrarias. Ha sido concretamente en el estudio de soluciones estacionarias delas ecuaciones de Einstein de vacıo con simetrıa axial donde se ha conseguido unmayor numero de resultados. Ello se ha debido pricipalmente a la formulacion deErnst [Ernst, 1968a,b] de las ecuaciones de Einstein para este caso, y a la aparicionde diversas tecnicas de resolucion de ecuaciones diferenciales no lineales [Belinskiiet al, 1978, 1980], [Sibgatullin, 1984], [Harrison, 1978, 1980], [Hoenselaers et al,1979a,b].

Uno de los problemas que se suscito inmediatamente, y que a nuestro entenderno se ha resuelto de manera satisfactoria, es el de interpretar adecuadamentelas soluciones. Si bien algunas soluciones son ya clasicas, y se han estudiado ydiscutido en profundidad sus caracterısticas fısicas, en general no existe un proce-dimiento definido que permita no solo entender que aportaciones fısicas introduceuna nueva solucion al estudio de la gravitacion de cuerpos extensos, sino quetampoco se sabe construir soluciones a partir de postulados fısicos mas especıficosque los derivados de las simetrıas generales del problema.

Para solventar la primera de estas dificultades, es decir, a la hora de interpre-tar soluciones, se ha recurrido generalmente a comparar los resultados obtenidoscon lo que ocurrıa en el estudio clasico de la gravitacion. Como es bien conocido,la teorıa de la Relatividad de Einstein se reduce en casos lımites a la teorıa de lagravitacion newtoniana. Por ello, se suele buscar el analogo clasico [Ehlers, 1981]o bien utilizar la aproximacion de la teorıa lineal como uno de los procedimientos

4

I.- Introduccion 5

que permite comprender fısicamente las soluciones en Relatividad. A pesar deello, debido sin duda a la no-linealidad de las ecuaciones, y como consecuenciaanadida a la no unicidad en la definicion del lımite clasico de la Relatividad, ha-bitualmente se obtienen interpretaciones de las soluciones que nada tienen que vercon las caracterısticas fısicas que en realidad poseen. Sin duda un caso muy ilus-trativo es la interpretacion de la solucion de Schwarzschild, que por comparacioncon la solucion clasica analoga que en coordenadas de Weyl, corresponde al campogravitatorio de una varilla de longitud finita situada sobre el eje.

Uno de los procedimientos que aporta informacion en el estudio del campode gravitacion clasico creado por una fuente masiva es el desarrollo multipolarde su potencial gravitatorio. Ello conduce a la introduccion de los MomentosMultipolares asociados al objeto que crea el campo. Estas cantidades nos per-miten describir el cuerpo e identificar su campo gravitatorio externo. Disponeren Relatividad General de cantidades semejantes como Momentos Multipolaresde las soluciones de las ecuaciones de Einstein de vacıo, significa poseer una her-ramienta para interpretar tales soluciones e identificar en una cierta medida lascaracterısticas fısicas de los objetos que supuestamente generan el campo de grav-itacion que intentamos describir con dicha solucion de vacıo.

En 1978 Thorne [Thorne, 1978] introdujo una definicion de Momentos Multi-polares asociados a metricas estacionarias de vacıo, realizando para ello un desar-rollo en serie de las componentes de la metrica en cierto sistema de coordenadasque permite escribir la solucion en un entorno del infinito. Sin embargo, y apesar de ser el procedimiento de calculo mas utilizado y que permite determi-nar momentos multipolares de mayor orden, fueron previamente Geroch [Geroch,1970] y posteriormente Hansen [Hansen, 1974], quienes con su definicion de Mo-mentos Multipolares, independiente del sistema de coordenadas, aportaron a lacomunidad relativista el convencimiento de que estas cantidades permitıan en losucesivo describir fısicamente las soluciones en Relatividad General.

La idea fundamental del presente trabajo consiste en la utilizacion de losmomentos multipolares relativistas para construir en funcion de ellos solucionesestacionarias con simetrıa axial de las ecuaciones de Einstein de vacıo. Recordemosque en gravitacion newtoniana, el desarrollo multipolar de las soluciones de laecuacion de Laplace conduce a una descripcion del campo gravitatorio externode una distribucion de masa en terminos de los momentos multipolares. De estamanera, la solucion general es una serie, cuyos terminos son contribuciones dedistintos momentos multipolares que se superponen y van completando la mo-delizacion de la estructura masica de la fuente segun las caracterısticas fısicas deesta.

I.- Introduccion 6

Dos caracterısticas fundamentales concurren en esta descripcion de las solu-ciones clasicas. En primer lugar y dada la linealidad de la ecuacion de Laplace, lassoluciones de esta ecuacion escritas mediante el desarrollo multipolar, permiteninterpretar esta serie como una suma de soluciones exactas. En segundo lugar,la definicion de momentos multipolares clasicos que aporta la descripcion multi-polar, atribuye a cada una de estas cantidades un sentido fısico bien conocido,pues quedan definidas mediante integrales asociadas a la distribucion masica dela fuente.

Estas caracterısticas nos permiten entonces considerar el desarrollo multipo-lar como un desarrollo perturbativo del campo gravitatorio de un objeto, aten-diendo a los siguientes dos criterios. Por una parte, se puede suponer que ladescripcion del campo se realiza respecto a un punto lo suficientemente alejado dela fuente como para despreciar potencias elevadas de la inversa de la coordenadaradial; y por otra parte, el desarrollo puede ser cortado al orden de un momentomultipolar determinado, entendiendo que la distribucion masica de la fuente nospermite considerar los ordenes superiores de caracter infinitesimal. Ası, los mo-mentos multipolares adquieren un papel fundamental en la construccion de lassoluciones, al poder interpretarlas como correcciones al primer termino del desar-rollo multipolar, (solucion monopolar), contribuyendo de esta manera a ajustar elmodelo matematico a la descripcion del campo de gravitacion, de acuerdo con laspropiedades fısicas de la fuente.

Estas consideraciones de la gravitacion newtoniana nos parecen muy su-gerentes y de gran poder descriptivo en la modelizacion fısica de objetos celestesreales. En este sentido, tratando de interpretar fısicamente las soluciones quese aportan en Relatividad, y al mismo tiempo construyendo soluciones cuya es-tructura multipolar relativista sea controlable, es como articulamos la lınea detrabajo de esta Memoria. Evidentemente la Relatividad General, como veremos,presenta algunas dificultades para adoptar una descripcion semejante de la grav-itacion. Desde el momento en que, salvo para el caso de simetrıa esferica, existenproblemas para empalmar satisfactoriamente soluciones de vacıo con solucionesinteriores de las ecuaciones de Einstein, hemos de limitarnos a postular que lassoluciones de vacıo supuestamente describen el campo de gravitatorio en el exteriorde algun objeto masivo. Sin embargo, y a pesar de que los momentos multipo-lares relativistas no se relacionan directamente con la fuente, es posible construiren terminos de dichas cantidades soluciones estacionarias de vacıo, con las que dealguna manera se caracterizan distintos campos de gravitacion.

Uno de nuestros objetivos consiste en la construccion de una solucion devacıo estatica, con simetrıa axial, que posea ademas de su masa unicamente un

I.- Introduccion 7

momento cuadrupolar. Existen varias soluciones que poseen dos parametros querefieren a la masa y al momento cuadrupolar, pero que, sin embargo, cuentan ensu estructura multipolar con todos los momentos multipolares de orden superior.El analogo clasico a la solucion pretendida serıa la resultante de considerar los dosprimeros ordenes del desarrollo multipolar del potencial gravitatorio newtoniano.Entiendase que la pretension principal, en la consecucion de este objetivo, estabasada en mostrar que en Relatividad General y, para el caso estatico al menos,se pueden tratar las soluciones de vacıo como series cuyas sumas parciales consti-tuyen una sucesion de jerarquıas multipolares puras. Es decir, podemos construirsoluciones con un numero finito de momentos multipolares.

Al igual que en gravitacion clasica, la solucion general en Relatividad delas ecuaciones de vacıo, estaticas y con simetrıa axial, queda definida por unasolucion asintoticamente plana de la ecuacion de Laplace. Sin embargo, las jer-arquıas multipolares mencionadas constituyen una sucesion de series en poten-cias de parametros multipolares y no un desarrollo como el del potencial clasico.Ademas, la no-linealidad de la Relatividad se ve reflejada en el hecho de que cadasolucion con un unico momento multipolar existe aisladamente, pero la suma par-cial de dichas soluciones de la ecuacion de Laplace no se corresponden con lasolucion que unicamente posee esos momentos multipolares.

En particular, y como caso concreto de esta jerarquıa de soluciones, aportare-mos la solucion monopolo-cuadrupolo, en serie de potencias de un parametro adi-mensional, que es proporcional al momento cuadrupolar.

Al igual que sucede en gravitacion newtoniana, se entiende que un objeto noesferico posee momentos multipolares, es decir, correcciones a la esfericidad, decualquier orden. En este sentido podemos entender y justificar las soluciones conun numero finito de momentos multipolares como perturbaciones a la solucioncon simetrıa esferica, en funcion de la relevancia fısica que queramos atribuir a losmomentos superiores al monopolar.

Un espacio-tiempo estacionario de vacıo, puede ser descrito mediante unametrica de espacio en la variedad tridimensional cociente definida por las trayec-torias del vector de Killing temporal, y una funcion escalar compleja solucion deuna de las ecuaciones de Einstein. A lo largo del capıtulo II nos dedicaremos adesarrollar esta descripcion de las soluciones estacionarias de vacıo, comprobandoque mediante una transformacion conforme de la metrica del espacio cociente seobtiene la conocida formulacion de Ernst de las ecuaciones de Einstein, en el casode simetrıa axial.

En el capıtulo III nos dedicaremos al caso de las soluciones estaticas, estu-diando las distintas representaciones de la solucion general obtenida por Weyl

I.- Introduccion 8

[Weyl, 1917]. Mostraremos las relaciones explıcitas entre los coeficientes de las se-ries utilizadas en cada una de ellas, concluyendo en la equivalencia entre la repre-sentacion de Weyl y la de Gutsunayev-Manko [Gutsunayev et al, 1985], [Denisova,1994]. El conocimiento de estos coeficientes y de sus relaciones entre las distintasrepresentaciones, nos permitira estudiar algunas soluciones estaticas conocidas eneste contexto, clasificando las soluciones mediante dichos coeficientes.

El estudio de los momentos multipolares relativistas requiere un tratamientoamplio y detallado, por lo que dedicamos el capıtulo IV enteramente a ello. Comohemos comentado anteriormente, tanto Thorne como Geroch-Hansen introdujeronsendas definiciones de momentos multipolares en Relatividad General. Es cono-cido [Gursel, 1983] que tanto estas como la definicion de Beig y Simon [Beig, 1980],[Beig et al, 1981a,b] son, salvo factores, equivalentes entre sı . En un apartado deeste capıtulo comentaremos el formalismo de Thorne para utilizarlo en el desarrollode metricas estaticas (Weyl) y estacionarias (Kerr [Kerr, 1963]) en coordenadasarmonicas. Otro de los apartados lo dedicaremos a introducir la definicion de Ge-roch de momentos para metricas estaticas y la generalizacion hecha por Hansenal caso estacionario, discutiendo las caracterısticas que hacen de estas cantidades,ası definidas, elementos susceptibles de constituir la generalizacion a RelatividadGeneral de los momentos multipolares clasicos.

En los dos ultimos apartados de este capıtulo desarrollamos de forma conc-reta sendos algoritmos para el calculo especıfico de momentos multipolares, tantoen el caso estatico como estacionario. En particular, para el caso estatico obten-emos los momentos multipolares en funcion de los coeficientes de la serie con quese describe la solucion general de Weyl. Para ello utilizaremos el formalismo deThorne, encontrando previamente las coordenadas armonicas con buen compor-tamiento asintotico mas generales. Por lo que respecta a metricas estacionarias(no necesariamente estaticas), explicamos con detalle el algoritmo FHP [Fodor etal, 1989] para obtener los momentos multipolares tanto masicos como dinamicosen terminos de los coeficientes del desarrollo en el eje de simetrıa del potencial deErnst. Como veremos, dicho algoritmo consiste en un brillante desarrollo de ladefinicion de Geroch-Hansen adaptada a la utilizacion del potencial de Ernst.

A lo largo del capıtulo V de esta Memoria desarrollamos la construccion dela solucion estatica monopolo-cuadrupolo y establecemos la estructura de unasucesion de soluciones con una jerarquıa finita de momentos multipolares. Com-pletamos el estudio de la solucion monopolo-cuadrupolo, analizando el horizontede sucesos de la misma.

Por ultimo, y para completar este trabajo, queremos generalizar al caso noestatico las consideraciones hechas sobre el tratamiento multipolar de soluciones

I.- Introduccion 9

en Relatividad General. Nos planteamos obtener una solucion estacionaria, quedenominamos solucion M − J , que posea ademas de su masa (momento monopo-lar), unicamente un momento angular (momento dipolar dinamico). En el casoestacionario no se conoce la solucion general, lo cual dificulta seguir el proced-imiento empleado sobre las metricas de Weyl para el caso estatico. Abordaremosel problema desde dos puntos de vista. En el capıtulo V I nos dedicaremos agenerar la solucion mencionada, aplicando el metodo de Sibgatullin [Sibgatullin,1984] de construccion de soluciones exactas. Dicho metodo genera expresionesanalıticas para el potencial de Ernst E en todo punto del espacio, a partir delconocimiento de dicho potencial en el eje de simetrıa, en particular cuando es uncociente de polinomios [Manko et al, 1993]. En este capıtulo demostramos quees posible escribir el potencial de Ernst sobre el eje de simetrıa como un cocientede polinomios, a partir de un numero finito de los coeficientes que constituyen eldesarrollo del potencial ξ ≡ (1−E)/(1+E) sobre el eje de simetrıa. Habida cuentade que el algoritmo FHP relaciona estos ultimos coeficientes con los momentosmultipolares relativistas, concluımos que es posible construir, con el metodo deSibgatullin, el potencial de Ernst de una solucion en terminos de sus momentosmultipolares. Sin embargo, veremos que el potencial de Ernst sobre el eje de lasolucion monoplo-dipolo dinamico no responde a la estructura de un cociente depolinomios, pues requiere para su construccion de la serie completa de los coefi-cientes del desarrollo del potencial ξ sobre el eje. En consecuencia, presentamosuna sucesion de soluciones cuya condicion de contorno para el potencial de Ernsten el eje es de tipo cociente de polinomios de grado sucesivamente mayor. Discu-tiremos con detalle en que medida esta aproximacion a la solucion M − J medi-ante soluciones exactas no es satisfactoria. Por ello, planteamos una aproximaciondiferente a la solucion monopolo-dipolo dinamico en el ultimo capıtulo.

En el capıtulo V II desarrollamos una solucion aproximada de las ecuacionesde Einstein cuya estructura multipolar se describe mediante correcciones a lasimetrıa esferica en funcion de un parametro adimensional J directamente rela-cionado con el momento angular. De alguna manera, tratamos de generalizar elestudio llevado a cabo en el caso estatico, utilizando en este caso el potencial deErnst ξ como un desarrollo en serie de potencias del parametro J .

Como hemos dicho, los resultados obtenidos con el algoritmo FHP nos per-miten expresar los coeficientes del desarrollo sobre el eje del potencial ξ en terminosde los momentos multipolares. Anulando los momentos superiores al angular, seobtiene el potencial ξ sobre el eje como una serie en potencias del parametroJ . De esta manera, la solucion monopolo-dipolo dinamico se obtiene de formaaproximada, haciendo coincidir la solucion general del potencial ξ a cada orden en

I.- Introduccion 10

el parametro J , con la estructura multipolar obtenida en eje de simetrıa. Final-izamos ası el capıtulo presentando las soluciones a primeros ordenes que aproximana la solucion M−J , y mostramos que el caracter de aproximacion en el parametroJ se ve reflejado correctamente en los momentos multipolares que posee a cadaorden la sucesion de soluciones.

Al final de esta Memoria incluımos tres apendices. En el Apendice A de-mostramos una serie de Lemas necesarios para probar resultados que se exponenen los capıtulos anteriores. Por lo que respecta al Apendice B, en el aparece unestudio de la estructura multipolar de la componente g00 de las metricas estaticas,desarrollando el formalismo de Thorne. Ponemos de manifiesto la estructura gen-eral de los restos de Thorne en funcion de los momentos multipolares. Finalmente,en el Apendice C hacemos un estudio de la estructura de la metrica de Kerr encoordenadas armonicas.

IIGENERALIDADES SOBRELAS SOLUCIONES DE VACIOESTACIONARIAS Y CONSIMETRIA AXIAL

II.1.- CAMPOS ESTACIONARIOS: FORMALISMO DE BEL YECUACIONES DE GEROCH

Sea V4 una variedad Riemmaniana asintoticamente plana de cuatro dimen-siones con una metrica gαβ (α, β = 0, 1, 2, 3), de tipo hiperbolico normal y consignatura (−, +, +,+), que satisface las ecuaciones de Einstein de vacıo. Ademas,supondremos que dicha metrica es estacionaria, es decir, existe un vector de KillingKα, que es el generador infinitesimal de un grupo de isometrıas temporales delespacio-tiempo (V4, gαβ).

Consideremos a partir de esta variedad espacio-tiempo el espacio cocienteV3, con la metrica de espacio habitual construıda a partir del vector de Killingtemporal Kα. Sea un sistema de coordenadas adaptadas x0, xi, (i, j = 1, 2, 3), esdecir, tal que las componentes contravariantes del vector de Killing Kα resultanK0 = 1, Ki = 0, y como consecuencia, xi son coordenadas en V3. Para lascomponentes covariantes del vector de Killing usaremos la siguiente notacion

K0 = g00 ≡ −f = −e2Ψ

Ki = g0i ≡ fϕi

, (II.1)

de manera que la metrica se puede escribir en estos terminos como sigue

ds2 = −f(dx0 − ϕidxi)2 + gijdxidxj , (II.2)

siendo gij la metrica cociente en la variedad V3, es decir,

gij = gij + fϕiϕj . (II.3)

11

II.- Generalidades sobre las soluciones de vacıo.. 12

Como la metrica gij es estacionaria, la deformacion del campo de Killing es nula

Σij = 0 , (II.4)

y se obtiene que la aceleracion Λi y la vorticidad Ωij resultan ser

Λi = −∂iΨ

Ωij = f1/2(∂iϕj − ∂jϕi). (II.5)

La pareja de tensores (Λi, Ωij) los denominaremos campos de gravitacion y,como se vera a continuacion, las ecuaciones de Einstein de vacıo pueden ser escritasde forma analoga a las del electromagnetismo en terminos de dichas cantidades,es decir, [Bel, 1971]

∇iΛi − ΛiΛi − 14ΩijΩij = 0 (II.6a)

∇iΩij − 2ΛiΩij = 0 (II.6b)

Rij = −∇iΛj + ΛiΛj +12ΩiΩj − 1

2gij

~Ω2

, (II.6c)

donde se han utilizado las siguientes notaciones sobre la variedad (V3, gij):

Λi = gijΛj , Ωij = gikgjlΩkl

ηijk =√

gεijk , g = −K2g

Ωi = 12 ηijkΩjk , Ωl = gliΩi

ΩikΩik = 2ΩlΩl ≡ 2~Ω2

,

(II.7)

y donde ∇ representa la derivada covariante referida a la metrica cociente gij .La lectura de las dos primeras ecuaciones (II.6), escritas en forma vectorial,

proporciona la interpretacion antes mencionada de los potenciales de gravitacion.Teniendo en cuenta las notaciones empleadas, obtenemos a partir de (II.6a) lasiguiente ecuaion para el escalar Ψ

42Ψ = −~Λ2

− 12~Ω

2

, (II.8)

donde 42 representa el operador Beltrami de segunda especie respecto a la metricacociente, es decir,

42 ≡ gij∇i∇j . (II.9)

Dicha ecuacion es similar a la que verifica el potencial escalar electromagnetico,salvo que en este caso, y debido a la no linealidad de las ecuaciones, los campos


~Λ y ~Ω son fuente: el segundo miembro de (II.8) representa la energıa del campo.Por lo que respecta a ~Ω, la expresion (II.6b) muestra que se trata de un campode tipo Coriolis, (analogo al campo magnetico), cuyo rotacional representa lo queen electromagnetismo serıa una densidad de corriente y apunta en la direccion delanalogo al vector de Pointing, es decir,

~∇× ~Ω = 2~Λ× ~Ω . (II.10)

La ecuacion de Einstein de vacıo (II.6b) implica necesariamente la existenciade un escalar, que denotaremos W , a partir del cual se derive la cantidad fΩj , esdecir, tal que se verifica

Ωj = f−1∂jW . (II.11)

Ello es debido a que dicha cantidad fΩj es irrotacional, como se deduce de lasiguiente expresion

∇i(fΩj) = f(∇iΩj − 2ΛiΩj) , (II.12)

teniendo en cuenta que la ecuacion de Einstein (II.6b) es equivalente a la siguientecondicion

∇iΩj − ∇jΩi = 2(ΛiΩj − ΛjΩi) . (II.13)

Se puede comprobar que el gradiente de este escalar W coincide exactamente conla proyeccion del twist del vector de Killing Kα sobre la variedad V3. Es decir,en el sistema de coordenadas adaptado al Killing (K0 = 1,Kj = 0), se calcula lasiguiente expresion

tα ≡ −√−gεαβµνKβ∇µKν , (II.14)

y se obtiene, teniendo en cuenta las notaciones (II.7), lo siguiente

t0 =0

ti =12√−gεijkf1/2Ωjk = fΩi

. (II.15)

Como es conocido ([Geroch, 1970b]), una metrica que represente una solucionestacionaria de las ecuaciones de Einstein de vacıo puede caracterizarse medianteuna variedad tridimensional V3, dotada de una metrica no singular gij y dosescalares (f, W ) asociados al vector de Killing que describe la estacionariedad.En efecto, si reescribimos la aceleracion Λi en terminos de f , es decir,

Λi ≡ −∂iΨ = −12f−1∂if , (II.16)


y utilizamos la expresion (II.11) para Ωi, entonces las ecuaciones de Einstein devacıo (II.6) se pueden escribir como sigue

f42f =1241f − 41W (II.17a)

f42W =3241(f,W ) (II.17b)

Rij =12f−2(∇iW ∇jW − gij41W ) +

12f−1∇i∇jf − 1

4f−2∇if∇jf,(II.17c)

donde se ha utilizado el operador Beltrami de primera especie respecto de lametrica cociente gij

41(A,B) ≡ gij∇iA∇jB , (II.18)

y se ha tenido en cuenta que, segun la expresion (II.11), se verifica

42W = ∇j(fΩj) = f−1∇jW∇jf + f∇jΩj

∇jΩj =12f−241(f, W ) .

(II.19)

Tanto Bel [Bel, 1971] como Geroch [Geroch, 1971], de forma independientey por consideraciones diferentes, optaron por escribir las ecuaciones de Einsteinpara metricas estacionarias, haciendo uso de la siguiente metrica conforme gij :

gij = fgij . (II.20)

Un calculo sencillo muestra la relacion existente entre las componentes de laconexion de ambas metricas, ası como de los respectivos tensores de Ricci (ver[Eisenhart, 1966]):

Γkij = Γk

ij −12f−1(δk

j ∂if + δki ∂jf − gij∇kf)

Rij = Rij +34f−2∇if∇jf − 1

2f−1∇i∇jf − gij(

12f−142f − 1

4f−241f) .

(II.21)En lo que respecta a los operadores Beltrami, se obtienen las siguientes relaciones

41(A,B) = f41(A, B)

42A = f42A− 1241(A,B) .

(II.22)

Teniendo en cuenta estas expresiones podemos escribir las ecuaciones de Ein-stein de vacıo referidas a la metrica gij en terminos de los campos de gravitacion


(Λi,Ωij), segun el formalismo de Bel [Bel, 1971], de la siguiente manera

42Ψ = −12fΩkΩk (II.23a)

∇iΩij = 3ΛiΩij (II.23b)

Rij = 2ΛiΛj +12fΩiΩj . (II.23c)

Para obtener estas expresiones se ha tenido en cuenta que la transformacion con-forme de la metrica (II.20) implica las siguientes relaciones

g = f3g , ηijk = f3/2ηijk , (II.24)

con lo cual, utilizando las notaciones (II.7) se tiene que

Ωk ≡ gkiΩi = f1/2gki12ηijlΩjl = f1/2Ωk

Ωij ≡ gikgjlΩkl = f2gikgjlΩkl = f2Ωij, (II.25)

y, por tanto, segun las expresiones para la conexion y el tensor de Ricci (II.21)tenemos

∇iΩij = f2∇iΩij +12f∂ifΩij = f2∇i∇ij − f2ΛiΩij

Rij = Rij + ΛiΛj + ∇iΛj + gij(∇jΛj − Λjλj) .

(II.26)

Utilizando la metrica conforme gij para reescribir las ecuaciones de Einsteinde vacıo (II.17) segun el formalismo de Geroch, en terminos de los escalares (f,W ),se obtienen las siguientes expresiones

f42f − 41f + 41W = 0 (II.27a)

f42W − 241(f,W ) = 0 (II.27b)

Rij =12f−2(∇iW ∇jW + ∇if∇jf) . (II.27c)

Geroch [Geroch, 1971] se dio cuenta de que introduciendo una funcion compleja,definida como sigue

E ≡ f + iW , (II.28)

obtenıa las siguientes expresiones mas simplificadas de las ecuaciones de Einstein:

(E + E∗)42E − 241E = 0 (II.29a)

Rij = (E + E∗)−2(∇iE∇jE∗ + ∇jE∇iE

∗) . (II.29b)


II.2.- CAMPOS ESTACIONARIOS CON SIMETRIA AXIAL:ECUACION DE ERNST

Sea la variedad Riemmaniana V4 dotada de una metrica estacionaria y consimetrıa axial gαβ referida a unas coordenadas asintoticamente cilındricas xα =(t, ρ, z, ϕ). (Con las notaciones habituales de ındices, α, β = 0, . . . , 3; i, j = 1, 2, 3)

Las simetrıas impuestas al espacio-tiempo requieren de la metrica que suscomponentes sean independientes del angulo azimutal ϕ y tambien del tiempo,como corresponde a campos gravitatorios estacionarios. Se puede argumentar,de manera intuitiva, que dicha metrica estara asociada al campo gravitatoriogenerado por un objeto que, en general, tiene la libertad de rotacion entornoal eje de simetrıa. Por tanto, el espacio-tiempo debe mostrarse invariante re-specto a la inversion temporal y a la inversion del angulo azimutal, es decir,que si realizamos simultaneamente una reflexion de las coordenadas temporal yazimutal, t → −t y ϕ → −ϕ, la metrica ha de permanecer invariante. En con-secuencia, y habiendo considerado la notacion sobre el sistema de coordenadasx0 ≡ t, x1 ≡ ρ, x2 ≡ z, x3 ≡ ϕ se tiene la siguiente condicion sobre las compo-nentes de la metrica:

gi0 = gi3 = 0 , i 6= 3 . (II.30)

Ası el elemento de lınea general debe tener la forma siguiente:

ds2 = −g00dt2 + 2g03dtdϕ + g33dϕ2 +[g11dρ2 + 2g12dρdz + g22dz2

]. (II.31)

A pasar de que el argumento utilizado para obtener el elemento de lıneageneral es muy intuitivo fısicamente, la manera mas correcta de obtener dichoresultado es a partir de las isometrıas del problema, utilizando el teorema de Pa-papetrou [Papapetrou, 1966] relativo a espacio-tiempos que poseen dos vectores deKilling. Puesto que la metrica estacionaria gαβ es axialmente simetrica, nuestroespacio-tiempo poseera ademas del vector de Killing temporal Kα otro vector deKilling Tα que da cuenta de la simetrıa axial. Segun dicho teorema, la familiaF de superficies de dimension 2 generadas por las orbitas correspondientes a losvectores de Killing admiten superficies ortogonales. Podemos considerar coorde-nadas adaptadas simultaneamente a los dos vectores de Killing, lo cual es siempreposible pues ambos conmutan [Carter, 1970]. Es decir, si utilizamos coordenadasen las que los componentes de los vectores de Killing se expresan como sigue

Kα = δα(0)

Tα = δα(3)

, (II.32)


entonces, la familia F vendra dada por las superficies

x1 = cte

x2 = cte .(II.33)

Puesto que, segun el teorema de Papapetrou, existen superficies ortogonales a F ,entonces, siempre es posible escribir la metrica en dos partes, es decir,

ds2 = gABdxAdxB + gabdxadxb , (II.34)

con A,B = 1, 2 y a, b = 0, 3, tal y como aparece reflejado en la expresion anteriordel elemento de lınea (II.31).

Teniendo en cuenta que una metrica en dos dimensiones, como la que apareceentre corchetes en (II.31), es siempre conformemente plana, existira una funcionH(ρ, z) tal que

[g11dρ2 + 2g12dρdz + g22dz2

]= H(ρ, z)(dρ2 + dz2) . (II.35)

Introduciremos coordenadas isotropicas t = t, ρ = ρ(ρ, z), z = z(ρ, z), ϕ = ϕ,de manera que permitan escribir el elemento de lınea general (II.31) en la formasiguiente:

ds2 = −f(dt− ω dϕ)2 + f−1[e2γ(dρ2 + dz2) + ρ2dϕ2

], (II.36)

en cuyo caso, el sistema de coordenadas t, ρ, z, ϕ constituye las denominadascoordenadas canonicas de Weyl [Kramer et al, 1979]. Las funciones metricas f , ω

y γ son funciones de las coordenadas (ρ, z).Un calculo sencillo permite comprobar que las ecuaciones de Einstein de vacıo

para esta metrica general, resultan ser, en terminos de estas funciones metricas,las siguientes:

f(fρρ + fzz + ρ−1fρ)− f2ρ − f2

z + ρ−2f4(ω2ρ + ω2

z) = 0 (II.37a)

f(ωρρ + ωzz − ρ−1ωρ) + 2fρωρ + 2fzωz = 0 (II.37b)

γρ =14ρf−2(f2

ρ − f2z )− 1

4ρ−1f2(ω2

ρ − ω2z) (II.37c)

γz =12ρf−2fρfz − 1

2ρ−1f2ωρωz , (II.37d)

donde los subındices hacen referencia a la derivacion respecto de la coordenadacorrespondiente. Senalemos que las condiciones de integrabilidad de las ecuaciones(II.37c) y (II.37d) para la funcion γ son precisamente las dos primeras ecuaciones(II.37a) y (II.37b).


En 1968 Ernst [Ernst, 1968a,b] encontro una simplificacion notable de lasecuaciones de campo (II.37) que permite investigar sus simetrias y encontrarnuevas soluciones. Para obtener estas ecuaciones, Ernst utilizo un principio varia-cional sobre una funcion de Lagrange construıda a partir de las funciones metricasf y ω.

Una forma de deducir la ecuacion de Ernst es reescribir convenientementelas ecuaciones (II.37) que verifican las funciones metricas de una solucion esta-cionaria general (II.36). Para ello procedemos a redefinir la funcion metrica ω

introduciendo una funcion escalar W de la siguiente manera

Wρ = −ρ−1f2ωz

Wz = ρ−1f2ωρ

. (II.38)

Observese que la existencia de esta funcion W queda garantizada por la ecuacion(II.37b), que es justamente la condicion de integrabilidad de (II.38). Las ecua-ciones de Einstein (II.37a), (II.37c) y (II.37d) se escriben entonces, en terminosde este nuevo escalar como sigue

f4f − f2ρ − f2

z + W 2ρ + W 2

z = 0 (II.39a)

γz =12f−2ρ(fρfz + WρWz) (II.39b)

γρ =14ρf−2(f2

ρ − f2z + W 2

ρ −W 2z ) , (II.39c)

donde 4 representa el laplaciano habitual para un espacio euclıdeo de tres di-mensiones. Tengase en cuenta no obstante, que puesto que consideramos simetrıaaxial y trabajamos en coordenadas de Weyl, las funciones metricas no depen-den de la coordenada ϕ, con lo que dicho operador es equivalente a la expresion4 ≡ ∂ρρ + ∂zz + ρ−1∂ρ .

Se define entonces el potencial de Ernst E como la funcion compleja cuyaparte real e imaginaria son las funciones metricas f y W respectivamente, comose hizo en la expresion (II.28), con lo cual, las ecuaciones de Einstein se puedenescribir como sigue

(E + E∗)4E = 2(∇E)2 (II.41a)

γρ = ρ(EρE∗ρ − EzE

∗z )(E + E∗)−2 (II.41b)

γz = ρ(EρE∗z + EzE

∗ρ)(E + E∗)−2 , (II.41.c)

siendo ∇ el operador gradiente para un espacio plano tridimensional. Sin em-bargo, se reduce a un operador en dos dimensiones de la forma ∇ ≡ ∂ρ ~eρ + ∂z ~ez


debido a que el potencial E es independiente de la coordenada ϕ. La expresion(II.41a) es la ecuacion de Ernst, que contiene a la ecuacion de Einstein (II.39a) yel laplaciano del escalar W , es decir, 4W = 2f−1(fρWρ + fzWz), en su parte reale imaginaria respectivamente. Tengase en cuenta que, en virtud de la simetrıaaxial, los operadores que contiene la ecuacion de Ernst son bidimensionales. Eneste sentido es habitual comentar que esta ecuacion esta intrınsecamente definiday es independiente de las coordenadas.

Existe otra representacion util de la ecuacion de Ernst, si consideramos unatransformacion del potencial. Sea el nuevo potencial de Ernst ξ definido a partirde E de la forma

ξ ≡ 1− E

1 + E. (II.42)

Entonces, la ecuacion de Ernst (II.41a) se transforma de la siguiente manera

(ξ∗ξ − 1)4ξ = 2ξ∗(∇ξ)2 . (II.43)

Vamos a ver a continuacion que la consideracion de simetrıa axial sobre unametrica estacionaria permite obtener, a partir de las ecuaciones de Einstein de-scritas por Geroch (II.29), la ecuacion de Ernst 2-dimensional en coordenadas dePapapetrou. Observese que la expresion (II.29a) no es exactamente la ecuacionde Ernst, puesto que aquellos operadores diferenciales estan referidos a la metricaconforme a la cociente gij . Sin embargo, un pequeno calculo permite compro-bar que si la metrica posee simetrıa axial, entonces dichos operadores se reducendirectamente a los que aparecen en la propia ecuacion de Ernst (II.41a). Efecti-vamente, la metrica (II.36) nos conduce mediante la transformacion (II.20) a lasiguiente expresion para la metrica conforme a la cociente:

gij =

e2γ

e2γ

ρ2

. (II.44)

Los sımbolos de Christoffel no nulos de esta metrica son los siguientes

Γ313 = ρ−1 , Γ1

33 = −ρe−2γ

Γ111 = Γ2

12 = −Γ122 = γρ

Γ222 = Γ1

12 = −Γ211 = γz

. (II.45)

Los operadores Beltrami referidos a esta metrica resultan ser

42E ≡ gij(∂i∂jE − Γkji∂kE) = e−2γ(Eρρ + Ezz + ρ−1Eρ) ≡ e−2γ4E

41E ≡ gij∂iE∂jE = e−2γ(∇E)2 .(II.46)


Es decir, que la ecuacion de Einstein (II.29a) resulta ser la ecuacion de Ernst parasoluciones estacionarias de vacıo y con simetrıa axial.

Si calculamos el tensor de Ricci relativo a la metrica (II.44) obtenemos comounicas componentes no nulas

R11 = −γρρ − γzz + ρ−1γρ

R22 = −γρρ − γzz − ρ−1γρ

R12 = ρ−1γz

. (II.47)

Observese a partir de esta ultima expresion, que las derivadas de la funcion metricaγ pueden ser escritas en terminos del tensor de Ricci, de la forma

γz = ρR12

γρ =12ρ(R11 − R22)

, (II.48)

que son las ecuaciones de Einstein relativas a la funcion metrica γ (II.39b) y(II.39c), si consideramos la expresion (II.27c), para el tensor de Ricci.

III

ANALISIS DE LAS SOLUCIONESESTATICAS

III.1.- METRICAS DE WEYL

Siguiendo con el argumento utilizado en el capıtulo anterior para la obtenciondel elemento de lınea general de metricas estacionarias, se puede obtener unasimplificacion si se considera, por ejemplo, la descripcion de objetos sin el gradode libertad de rotacion, es decir, estaticos. En este caso, la metrica deberıa serinvariante con respecto a la inversion temporal, por lo cual se tiene que

g0i = 0 , (III.1)

Se concluye por tanto, a partir del elemento de lınea (II.36), que para una metricaestatica se tiene la condicion

ω = 0 . (III.2)

De forma mas rigurosa, la condicion de estaticidad de una metrica se defineestableciendo que el campo de Killing de la isometrıa temporal sea integrable, locual, escrito en componentes se traduce en la siguiente expresion

K[α∇βKσ] = 0 . (III.3)

Como es sabido, esto es equivalente a decir que, en dicho caso, es posible encontrarsuperficies ortogonales a la evolucion temporal que describe el vector de Killing.

En 1917 Weyl [Weyl, 1917] estudiando las soluciones estaticas de las ecua-ciones de Einstein de vacıo y con simetrıa axial, es decir,

ds2 = −fdt2 + f−1[e2γ(dρ2 + dz2) + ρ2dϕ2

], (III.4)

encontro la solucion general para las funciones metricas, estableciendo ası la fa-milia mas general de soluciones de vacıo de estas caracterısticas. Considerando la

21

III.- Analisis de las soluciones estaticas 22

condicion de estaticidad (III.2) sobre las ecuaciones de Einstein para metricas esta-cionarias (II.37) se obtienen las siguientes ecuaciones para las funciones metricas

f4f − (∇f)2 = 0 (III.5a)

γρ =14ρf−2(f2

ρ − f2z ) (III.5b)

γz =12ρf−2fρfz , (III.5c)

expresiones en las que, recordemos, los subıncices ρ, z hacen referencia a la deriva-cion respecto a dichas coordenadas y los operadores 4 y ∇ representan respectiva-mente el laplaciano y el gradiente habituales en un espacio plano tirdimensional.Teniendo en cuenta la redefinicion introducida (II.1) para la funcion metrica f , sepueden escribir las ecuaciones de Einstein en funcion de Ψ como sigue

4Ψ ≡Ψρρ + ρ−1Ψρ + Ψzz = 0 (III.6a)

γρ = ρ(Ψ2ρ −Ψ2

z) (III.6b)

γz = 2ρΨρΨz , (III.6c)

donde, una vez mas, la condicion de integrabilidad del sistema de ecuacionesdiferenciales (III.6b),(III.6c) es justamente la ecuacion (III.6a) para la funcionmetrica Ψ.

Con objeto de describir el campo gravitatorio externo de fuentes compactas,debemos encontrar soluciones en el exterior de la fuente que vayan decayendo alargas distancias de la misma, de manera que la metrica tenga un comportamientominkowskiano en el infinito. La solucion mas general de la ecuacion de Laplace(III.6a) para la funcion Ψ, con un comportamiento asintoticamente plano, resultaser

Ψ =∞∑

n=0

an

rn+1Pn(cos θ) , (III.7)

donde r = (ρ2 + z2)1/2, cos θ = z/r y Pn(cos θ) son polinomios de Legendre.Los coeficientes an, son constantes reales arbitrarias que tradicionalmente en laliteratura han sido llamadas “momentos de Weyl”, aunque, como veremos, nopueden ser identificados con los momentos relativistas a pesar de la identidadformal entre la expresion (III.7) y el potencial gravitatorio newtoniano.

Las ecuaciones para la funcion γ, como hemos dicho, son integrables siempreque Ψ sea una solucion de la ecuacion de Laplace. En particular, para la solucion(III.7) se obtiene por integracion la siguiente expresion

γ =∞∑

n,k=0

(n + 1)(k + 1)n + k + 2

anak

rn+k+2(Pn+1Pk+1 − PnPk) . (III.8)


III.2.- REPRESENTACION DE EREZ-ROSEN-QUEVEDO DE LA

SOLUCION DE WEYL

Otra forma interesante de escribir la solucion general (III.7) y (III.8), hasido obtenida por Erez–Rosen [Erez et al, 1959] y por Quevedo [Quevedo, 1986]integrando las ecuaciones (III.6) en coordenadas esferoidales prolate x, y, queestan definidas como sigue

x =r+ + r−

2σ, y =

r+ − r−2σ

r± ≡ [ρ2 + (z ± σ)2]1/2

x ≥ 1 , −1 ≤ y ≤ 1 ,

(III.9)

donde σ es una constante arbitraria. La relacion inversa, entre las coordenadasde Weyl y las prolate resulta ser

ρ2 = σ2(x2 − 1)(1− y2)

z = σxy. (III.10)

La coordenada prolate x representa una distancia respecto al origen, es decir, esuna coordenada radial, mientras que la coordenada prolate y representa el cosenodel angulo polar. Para ilustrar estas coordenadas mostramos en la Figura III.1.una grafica en el plano (ρ, z) de las curvas coordenadas correspondientes a x = cte

y y = cte.

Estas coordenadas tienen la peculiaridad de ser las coordenadas esfericas aso-ciadas a las cartesianas armonicas para la metrica de Scwarzschild, es decir, paralas cuales dicha metrica verifica la siguiente condicion

gλµΓαλµ = 0 (III.11)

En cuyo caso, la constante σ representa para esta metrica la masa del objeto quedescribe dicha solucion.


Fig.III.1. Elipses correspondientes a x = cte, ρ2

x2−1 + z2

x2 = σ2 e

hiperbolas correspondientes a y = cte, − ρ2

1−y2 + z2

y2 = σ2, con focossituados en los puntos (0, 1) y (0,−1) del plano(ρ, z), y donde se haconsiderado σ = 1.

En estas coordenadas la metrica de Weyl adquiere la siguiente expresion

ds2 = −e2Ψdt2 +σ2e−2Ψ

[e2γ(x2 − y2)(

dx2

x2 − 1+

dy2

1− y2) + (x2 − 1)(1− y2)dϕ2

],

(III.12)


y las funciones metricas verifican las ecuaciones siguientes (Ecuaciones de Einstein)

(x2 − 1)Ψxx + 2xΨx + (1− y2)Ψyy − 2yΨy = 0 (III.13a)

γx =1− y2

x2 − y2

[x(x2 − 1)Ψ2

x − x(1− y2)Ψ2y − 2y(x2 − 1)ΨxΨy

]

γy =x2 − 1x2 − y2

[y(x2 − 1)Ψ2

x − y(1− y2)Ψ2y − 2x(1− y2)ΨxΨy

] , (III.13b)

donde, una vez mas, la ecuacion (III.13a) representa la condicion de integrabili-dad del sistema de ecuaciones diferenciales (III.13b) en estas coordenadas para lafuncion γ . Es posible resolver la ecuacion (III.13a) y obtener la expresion gen-eral para la funcion Ψ con buen comportamiento asintotico, que adopta la formasimple siguiente [Quevedo, 1986], [Erez et al, 1959]

Ψ =∞∑

n=0

(−1)n+1qnQn(x)Pn(y) , (III.14)

siendo Qn(x) las funciones de Legendre de segundo tipo y donde qn son constantesarbitrarias. La relacion explıcita de estas constantes con los coeficientes an de laserie de Weyl sera objeto de estudio en un siguiente apartado.

Por lo que se refiere a la expresion de la funcion γ, que ha sido obtenidapor Quevedo [Quevedo, 1986], es bastante complicada y no la escribimos aquı deforma explıcita.

III.3.- SOLUCION DE GUTSUNAYEV-MANKO

Una familia de soluciones estaticas de las ecuaciones de Einstein de vacıocon simetrıa axial ha sido obtenida por Gutsunayev y Manko [Gutsunayev et al,1985], [Manko, 1989] generando, mediante un procedimiento sencillo, solucionessucesivas a partir de la solucion de Schwarzschild. Este procedimiento se basa enel hecho de que dada una funcion semilla Ψ0 solucion de la ecuacion (III.13a), lasiguiente funcion es tambien solucion

Ψ = AnL(n)Ψ0 , n ≥ 0 , (III.15)

siendo An constantes reales arbitrarias, y L el siguiente operador diferencial

L ≡ (x2 − y2)−1[y(x2 − 1)∂x + x(1− y2)∂y

], (III.16)


donde el ındice n hace referencia al numero de veces que se aplica el operadorsobre la funcion semilla. Observese que este operador L, escrito en coordenadascilındicas de Weyl, resulta ser la derivada con respecto a la coordenada axial z, esdecir,

L(n) = σn∂nz , (III.17)

y, como es conocido, dicha derivada de una funcion armonica es armonica pueseste operador conmuta con el laplaciano.

Partiendo de la solucion de Schwarzschild como semilla, y aplicando repetidasveces este operador, obtenemos sucesivas soluciones estaticas de las ecuaciones deEinstein de vacıo y con simetrıa axial. Puesto que en este caso, dichas ecuacionesson lineales, la serie definida por la suma de estas soluciones es una nueva solucionque se puede escribir en coordenadas prolate esferoidales x, y como sigue

Ψ =12b0 ln

x− 1x + 1

+∞∑

n=0

bn+1

[P+

n

(x + y)n+1− P−n

(x− y)n+1

], (III.18)

donde bn son constantes reales arbitrarias y P±n son polinomios de Legendre conel siguiente argumento

P±n ≡ Pn

(xy ± 1x± y

). (III.19)

En el siguiente apartado demostraremos que esta expresion (III.18) representa lasolucion general del caso estatico con simetrıa axial, siendo por tanto, equivalentea la solucion de Weyl. Al igual que para las constantes qn de la representacionanterior, estudiaremos tambien la relacion existente entre estas constantes bn ylos momentos de Weyl.

La funcion γ correspondiente resulta ser bastante mas compacta [Denisova etal, 1994] que en el caso de la representacion de Erez–Rosen–Quevedo, pero no porello muy manejable y tampoco la mostraremos explıcitamente.

III.4.- EQUIVALENCIA ENTRE LAS REPRESENTACIONES

A) Relacion entre coeficientes qn y an

Las representaciones de Weyl y Erez-Rosen-Quevedo de la solucion generalde vacıo, estatica y con simetrıa axial, son obviamente equivalentes entre sı puescada una de ellas es la solucion general de la misma ecuacion diferencial aunqueescrita en distintas coordenadas. Lo que pretendemos a continuacion es establecerla relacion explıcita entre los coeficientes qn y an de dichas representaciones.


Consideremos a partir de la definicion de las coordenadas prolate (III.9) surelacion con las coordenadas esfericas asociadas de Weyl r, θ, ϕ, teniendo encuenta que

r± = (r2 ± 2Mr cos θ + M2)1/2 , (III.20)

donde se ha elegido σ = M , de manera que (x, y) son las coordenadas prolatepropias de Schwarzschild. Escribamos ahora la funcion Ψ (III.14) de la repre-sentacion de Erez-Rosen-Quevedo en coordenadas esfericas de Weyl, desarrollandola expresion resultante en serie de potencias de la inversa de la coordenada ra-dial r. De esta manera, podemos comparar con la serie de Weyl (III.7) identifi-cando terminos en dicho desarrollo. Realizando esta comparacion a los primerosordenes, se puede observar que existe una relacion para cada coeficiente an dela representacion de Weyl con una determinada combinacion de coeficientes qn.Dicha relacion es triangular, de manera que un coeficiente an depende unicamentede los n coeficientes de orden igual o inferior qk. A la vista de estos resultados,proponemos la siguiente expresion general para los coeficientes an en terminos delos coeficientes qn:

an = (−M)n+1T∑

j=0

Cn,k

2k + 1qk

n par

n impar

: k = 2j ,

: k = 2j + 1 ,

T = n/2

T = (n− 1)/2 ,

(III.21)

donde los coeficientes Cn,k representan los coeficientes que aparecen al escribir laspotencias de una variable arbitraria en funcion de los polinomios de Legendre dedicha variable, es decir,

ζ2k =k∑

j=0

C2k,2j P2j(ζ)

ζ2k+1 =k∑

j=0

C2k+1,2j+1 P2j+1(ζ)

, (III.22)

y tienen la siguiente expresion

Cn,k ≡ (2k + 1)n!

(n− k)!!(n + k + 1)!!. (III.23)

Observese que la anterior expresion (III.21), que aventuramos para la relacionentre ambos tipos de coeficientes, no mezcla los pares e impres, sino que los rela-ciona entre sı de forma independiente. Ademas, se puede comprobar facilmente


que la inversa de dicha relacion, que expresa los coeficientes qn en terminos de losan, es de la forma siguiente

qn = (2n + 1)T∑

j=0

Ln,k

(−M)k+1ak

n par

n impar

: k = 2j ,

: k = 2j + 1 ,

T = n/2

T = (n− 1)/2 ,

(III.24)

donde Ln,k representan los coeficientes de los polinomios de Legendre, es decir,

P2k(ζ) =k∑

j=0

L2k,2jζ2j

P2k+1(ζ) =k∑

j=0

L2k+1,2j+1ζ2j+1

, (III.25)

y tienen la siguiente expresion

Lk,j ≡ (−1)(k−j)/2 (k + j − 1)!!(k − j)!!j!

(III.26)

Para verificar que esta relacion (III.24) es la inversa de la (III.21) basta hacer usodel Lema-1 demostrado en el Apendice A, teniendo en cuenta la ortogonalidad delos polinomios de Legendre.

A continuacion vamos a demostrar que la expresion (III.21) reproduce cor-rectamente la relacion entre los coeficientes an y qn de las dos representaciones dela solucion general. Para ello vamos a ver que la serie que resulta de sustituir laexpresion (III.21) en la solucion de Weyl (III.7) es exactamente la solucion generalde Erez-Rosen-Quevedo descrita por la serie en coordenadas prolate (III.14).

Habida cuenta de que la relacion entre coeficientes involucra a pares e im-pares de forma independiente, vamos a desarrollar la demostracion unicamentepara el caso par, entendiendo que para los coeficientes impares se seguirıa un pro-cedimiento analogo. Ademas, tengase en cuenta que anadir simetrıa axial a lasolucion, como haremos en lo sucesivo, implica considerar unicamente los coefi-cientes pares de las representaciones, pues los de orden impar son nulos. Por tanto,si nos limitamos a los coeficientes pares, la expresion (III.21) resulta lo siguiente

a2n = −M2n+1n∑

k=0

(2n)!(2n + 2k + 1)!!(2n− 2k)!!

q2k , (III.27)


ahora bien, mediante la tecnica habitual de descomposicion en fracciones simplesse demuestra facilmente la siguiente relacion

(2n)!(2n + 2k + 1)!!(2n− 2k)!!

=k∑

j=0

L2k,2j

2n + 2j + 1, (III.28)

donde L2k,2j son, como ya indicamos, los coeficientes del polinomio de Legendrede orden 2k. Sustituyendo estos resultados en la serie de Weyl (III.7) se obtienelo siguiente

Ψ = −∞∑

n=0

λ2n+1P2n(cos θ)n∑

k=0

q2k

k∑

j=0

L2k,2j

2n + 2j + 1, (III.29)

donde se ha definido λ ≡ M

r. Teniendo en cuenta ahora que, en virtud del Lema–2

del Apendice A, el lımite superior del segundo sumatorio puede hacerse infinito,resulta posible reordenar las sumas de la forma siguiente

Ψ = −∞∑

k=0

q2k

k∑

j=0

L2k,2j

∞∑n=0

λ2n+1

2n + 2j + 1P2n(cos θ)

, (III.30)

con lo cual se puede utilizar el Lema–3 demostrado en el Apendice A para sumarla serie en potencias del parametro λ y obtener ası la siguiente expresion

Ψ = −∞∑

n=0

q2n

n∑

k=0

L2n,2k

k∑

j=0

C2k,2jQ2j(x)P2j(y) , (III.31)

donde los coeficientes C2k,2j se definieron anteriormente, y Q2j(x) son las fun-ciones asociadas de Legendre de segunda especie. Reordenando ahora las sumasen (III.31) y agrupando los polinomios de Legendre y las funciones de segundaespecie del mismo grado, tenemos

Ψ = −∞∑

n=0

Q2n(x)P2n(y)∞∑

k=n

q2k

k∑

j=n

L2k,2jC2j,2n . (III.32)

Nuevamente utilizando del Lema–2, podemos considerar el ultimo sumatorio en(III.32) desde j = 0 sin alterar con ello la suma, habida cuenta de la definicionde los coeficientes C2k,2j . Aplicando ahora el resultado del Lema-1, concluimosfinalmente

Ψ = −∞∑

k=0

q2kQ2k(x)P2k(y) . (III.33)

Con lo cual, queda demostrado que la relacion existente entre las representacionesde Erez-Rosen-Quevedo y la de Weyl es la que introdujimos como hipotesis en laexpresion (III.21).


B) Relacion entre coeficientes bn y an

Una vez establecida la relacion explıcita entre los coeficientes de las represen-taciones de Weyl y Erez-Rosen-Quevedo, vamos a verificar que la solucion deGutsunayev-Manko, como apuntan sus autores, es otra representacion equivalentea las anteriores de la solucion general estatica y con simetrıa axial. El proced-imiento que utilizaremos consiste en postular una relacion entre los coeficientesan de la representacion de Weyl y los bn de la solucion de Gutsunayev-Manko, de-mostrando seguidamente que dicha relacion permite pasar de una representaciona otra. La existencia de la relacion inversa conduce definitivamente a validar dicharelacion, al mismo tiempo que se prueba la equivalencia de ambas representaciones.

De la misma manera que hicimos en el caso anterior, prodecemos a escribirahora la serie (III.18) de la representacion de Gutsunayev-Manko en coordenadasesfericas de Weyl, desarrollando la expresion en potencias de la inversa de la coor-denada radial. A partir de la identificacion de terminos que resulta de compararcon la serie de Weyl, vamos a proponer la siguiente relacion analıtica entre loscoeficientes bn y an de ambas representaciones

a2n = −b0M2n+1

2n + 1− 2M2n+1

n∑

k=1

(2n

2k − 1

)b2k

a2n+1 = −2M2n+2n∑

k=0

(2n + 1

2k

)b2k+1 .

(III.34)

Al igual que en el caso anterior, los coeficientes pares e impares guardan relacionesindependientes entre sı . Observese tambien que el hecho de ser una relacion trian-gular, es decir, donde cada coeficiente an depende unicamente de los coeficientesbn de orden inferior, garantiza la existencia de la relacion inversa.

Vamos a verificar a partir de esta relacion (III.34) que la serie de Weyl conducea la solucion de Gutsunayev-Manko. En efecto, limitandose como anteriormentea considerar unicamente los coeficientes pares, y sustituyendo (III.34) en (III.7),se obtiene

Ψ = ΨGamma − 2∞∑

n=0

λ2n+1P2n(cos θ)n∑

k=1

b2k

2k−1∑

j=1

Skjnj , (III.35)

donde ΨGamma representa la solucion correspondiente a la metrica Gamma ometrica de Zipoy-Vorhees [Bach et al, 1922], [Zipoy, 1966], [Vorhees, 1970], [Es-posito et al, 1975], es decir,

Ψγ ≡ −∞∑

n=0

b0λ2n+1

2n + 1P2n(cos θ) , (III.36)


y Skj son los coeficientes del siguiente desarrollo de un numero combinatorio

(2n

2k − 1

)=

2k−1∑

j=1

Skjnj , (III.37)

siendo por tanto, no nulos unicamente para k ≤ n. Es por esta razon que el lımitesuperior del segundo sumatorio en la expresion (III.35) puede hacerse infinito, esdecir, no hace falta acotar el indice k. De esta manera podemos reordenar dichaexpresion, dando lugar a lo siguiente

Ψ = Ψγ − 2∞∑

k=1

b2k

2k−1∑

j=1

Skj

∞∑n=0

njλ2n+1P2n(cos θ) , (III.38)

con lo cual, teniendo en cuenta el Lema-4 del Apendice A, se obtiene

Ψ = Ψγ − 2∞∑

k=1

b2k

2k−1∑

j=1

Skj

j∑n=1

Ajn

[P+

n

(x + y)n+1+ (−1)n P−n

(x− y)n+1

],

(III.39)donde los coeficientes Ajn estan definidos como sigue

Ajn =n

2j+1

n∑

h=1

(−1)hhj−1

(n− 1h− 1

), A00 =

12

. (III.40)

Haciendo ahora una nueva reordenacion de sumas en (III.39) resulta

Ψ = Ψγ − 2∞∑

k=1

b2k

2k−1∑n=1

[P+

n

(x + y)n+1+ (−1)n P−n

(x− y)n+1

] 2k−1∑

j=n

SkjAjn .

(III.41)Ahora bien, se puede comprobar que la siguiente relacion se verifica para cualquiervalor k ≤ n,

−22k−1∑

j=n

SkjAjn = δn,2k−1 , (III.42)

con lo cual (III.41) conduce finalmente a lo siguiente

Ψ = Ψγ +∞∑

k=1

b2k

[P+

2k−1

(x + y)2k− P−2k−1

(x− y)2k

], (III.43)

que es la expresion (III.18) de la representacion de Gutsunaev–Manko para el casode simetrıa ecuatorial. Por tanto, hemos de concluir que las expresiones (III.34)


permiten relacionar los coeficientes de las representaciones en estudio y demostraral mismo tiempo su equivalencia.

III.5.- SOLUCIONES PARTICULARES

Una utilidad importante de las relaciones de equivalencia, obtenidas a travesde sus coeficientes respectivos, para las distintas representaciones de la soluciongeneral estatica y con simetrıa axial, es que nos permiten escribir soluciones cono-cidas en distintos sistemas coordenados. Vamos a analizar a continuacion algunasmetricas estaticas en las distintas representaciones.

A) Metrica Gamma o de Zipoy-Vorhees

Esta metrica [Zipoy, 1966], [Vorhees, 1970] representa una familia de solu-ciones estaticas de las ecuaciones de Einstein de vacıo dependiente de dos para-metros M y γ, que se reduce a la solucion de Schwarzschild para γ = 1. Estasolucion tiene el interes derivado de la caracterıstica de poseer un horizonte desucesos, que aun siendo singular, es en cierto sentido mas compacto que el corre-spondiente a la superficie de Schwarzschild [Esposito et al, 1975].

La funcion metrica Ψ que define esta familia de soluciones se puede escribiren coordenadas prolate de Schwarzschild como sigue

Ψ =γ

2ln

(x− 1x + 1

). (III.44)

Como se puede observar, esta funcion es la misma que la correspondiente a lasolucion de Schwarzschild salvo que esta multiplicada por un factor γ. Tengaseen cuenta que esta funcion (III.44) proviene de considerar sobre la componentetemporal g00 de la metrica de Schwarzschild un exponente γ.

Los coeficientes de Weyl de esta familia de soluciones se obtienen facilmentedesarrollando la funcion Ψ, que en coordenadas de Weyl se escribe de la formasiguiente,

Ψ = γ12ln

(r+ + r− − 2M

r+ + r− + 2M

), (III.45)

en potencias de la inversa de la coordenada radial. Teniendo en cuenta la expresion(III.20) para r± en coordenadas esfericas de Weyl, el desarrollo mencionado de lafuncion (III.45) conduce a los siguientes valores para los coeficientes de Weyl,

a2n = −γM2n+1

2n + 1, a2n+1 = 0 , (III.46)


Para obtener esta solucion en la representacion de Erez-Rosen-Quevedo, uti-lizaremos la relacion (III.24) entre los coeficientes qn de esta y los an de la soluciongeneral de Weyl. Sustituyendo los coeficientes an (III.46) en aquella relacionobtenemos los coeficientes qn de la metrica Gamma de la forma siguiente

q2n = (4n + 1)γn∑

k=0

L2n,2k

2k + 1. (III.47)

Como los polinomios de Legendre verifican la propiedad demostrada en el Lema–2del Apendice A, se tiene que

n∑

k=0

L2n,2k

2k + 1= δ0n , (III.48)

con lo cual resulta,q0 = γ , q2n = 0 ∀n ≥ 1 , (III.49)

es decir, que la funcion Ψ de la metrica Gamma esta definida por el primersumando de la serie en la representacion de Erez–Rosen–Quevedo

ΨGamma = −q0Q0(x)P0(y) = γ12

ln(

x− 1x + 1

). (III.50)

Como puede observarse, esta expresion corresponde a la solucion de Schwarzschilden esta representacion para el caso γ = 1.

Por lo que respecta a la representacion de Gutsunayev–Manko, y teniendo encuenta la relacion (III.34) entre los coeficientes an de la serie de Weyl y los bn, setiene, obviamente, que la metrica Gamma en esta representacion queda definidapor los coeficientes

b0 = γ , bn = 0 , ∀ n ≥ 1 (III.51)

B) Metrica de Erez-Rosen

La solucion de Erez–Rosen [Erez et al, 1959] esta definida por la siguienteeleccion de parametros en la representacion de Erez–Rosen–Quevedo

q0 = 1 , q2 6= 0 , q2n = 0 ∀n ≥ 2 . (III.52)

Para escribir dicha solucion en coordenadas de Weyl procedemos a calcular loscorrespondientes coeficientes an que la definen en esta representacion. Utilizando


la relacion (III.24) entre los coeficientes an y qn para el caso concreto (III.52) deeleccion de coeficientes qn, tenemos lo siguiente

aER2n = −M2n+1

2n + 1

[1 + q2

2n

2n + 3

], aER

2n+1 = 0 , (III.53)

donde q2 es el parametro libre de la metrica de Erez–Rosen.Si introducimos estos coeficientes en la expresion (III.34), podemos determi-

nar los correspondientes coeficientes bn para esta metrica en la representacion deGutsunayev–Manko, a partir de la siguiente relacion,

b0 = 1

q22n

(2n + 1)(2n + 3)=

n∑

k=1

(2n

2k − 1

)b2k

. (III.54)

La ventaja de utilizar coordenadas prolate y en concreto la representacion deErez–Rosen–Quevedo es que esta metrica presenta una expresion finita, y no enforma de serie como resulta para las otras dos representaciones.

IVMOMENTOS MULTIPOLARESRELATIVISTAS

IV.1.- INTRODUCCION

En Relatividad General se supone que el campo gravitatorio externo de unobjeto celeste acotado viene descrito por una solucion de las ecuaciones de Einsteinde vacıo, que se puede unir en la superficie de la fuente con una solucion interiorque responde a la estructura masica y dinamica de la misma. En general, dadauna solucion de vacıo, no se sabe como conectarla con una solucion interior quepermita justificar las caracterısticas fısicas de la fuente cuyo campo gravitatoriosupuestamente describe. Unicamente para el caso de simetrıa esferica se conoceque la solucion de Schwarzschild exterior describe el campo gravitatorio externode una distribucion esferica de masa [Bel et al, 1967]. Fuera de la simetrıa esfericaexisten trabajos encaminados a enganchar soluciones interiores a una fuente consoluciones de vacıo, sin embargo, las demostraciones y resultados son parciales.

En gravitacion newtoniana el campo creado por una distribucion de masaacotada viene determinado por un potencial solucion de la ecuacion de Poison.Recordemos que dicho potencial se desarrolla en un entorno del infinito en poten-cias de la inversa de la coordenada radial, de manera que, a cada orden, quedacaracterizado por unas cantidades que conocemos como momentos multipolares.Los momentos multipolares estan relacionados con la estructura masica de ladistribucion, pues se construyen a partir de integrales sobre la fuente, de man-era que las soluciones de vacıo en gravitacion newtoniana se pueden caracterizarfısicamente mediante estas cantidades.

En Relatividad General se pretende realizar algo semejante para caracterizarlas soluciones de vacıo globalmente y extraer informacion fısica de estas soluciones,que no sabemos conectar exactamente con sus fuentes. Con este fin, se definenMomentos Multipolares relativistas, de manera que se pueden clasificar medianteestas cantidades las soluciones estacionarias asintoticamente planas en un entornodel infinito. Se demuestra, al menos para el caso estatico, que soluciones de vacıo

35

IV.- Momentos Multipolares Relativistas 36

con los mismos momentos multipolares poseen la misma estructura en un entornodel infinito [Xantopoulous, 1979], [Kundu, 1981b].

Desde que Geroch [Geroch, 1970b] formulo su definicion de momentos multi-polares relativistas para metricas estaticas, y debido a su extraordinaria eleganciay simplicidad, existe un entendimiento en la comunidad relativista de que estascantidades representan autenticamente los momentos multipolares de toda metricaestatica de vacıo. Mas tarde, Hansen [Hansen, 1974] y simultaneamente Beig ySimon [Beig, 1980], [Beig et al, 1981a,b] generalizan la definicion de Geroch alcaso no estatico, siendo finalmente Thorne [Thorne, 1980] quien establece otradefinicion alternativa para el caso general no estacionario [Blanchet, 1984]. Sedemuestra que todas estas definiciones son equivalentes entre sı [Gursel, 1983].

Debemos senalar que los momentos multipolares relativistas no estan direc-tamente relacionados con la fuente, a traves de una expresion integral sobre elobjeto masivo, como ocurre en gravitacion newtoniana, no existiendo por tantouna conexion entre la distribucion masica y estas cantidades con las que se pre-tende describir el campo gravitatorio en el exterior. No obstante, algunos intentosse han hecho para conectar los momentos de Geroch con la fuente, utilizandofuentes–esqueleto de tipo Tulczijew [Tulczyjew, 1959], [Martın et al, 1985] comomodelos de cuerpos puntuales.

Existen procedimientos para interpretar las soluciones de las ecuaciones deEinstein de vacıo que conducen a descripciones de las fuentes manifiestamenteincorrectas. Tal es el caso del estudio de la solucion con simetrıa esferica enRelatividad, [Darmois, 1927] y, puesto que resulta muy ilustrativo, vamos a ex-poner con detalle a continuacion. La igualdad existente entre la funcion metricaΨ (III.7) de la solucion estatica general de Weyl, y el potencial newtoniano, puedeinducir a interpretar las soluciones de la ecuacion de Laplace para la funcionΨ, atribuyendo a los coeficientes an, el caracter de momentos multipolares dela solucion relativista. Este criterio es equivocado, pues ello nos llevarıa a con-siderar como la solucion que describe la simetrıa esferica, la que corresponde atomar el primer termino de la serie (III.7) para la funcion Ψ. Es decir, considerarcomo unicamente no nulo el coeficiente a0 de la serie de Weyl que representarıa,siguiendo esta interpretacion, la masa del objeto

Ψ =a0

r, a0 ≡ M . (IV.1)

Sin embargo, dicha solucion reproduce la conocida metrica de Curzon [Curzon,1924], que no tiene nada que ver con la descripcion de un cuerpo esferico de masaM , cuyo campo gravitatorio corresponde a la solucion de Schwarzschild. Dicha


solucion, de hecho, posee en la representacion de Weyl coeficientes an no nulos decualquier orden.

Recıprocamente, la interpretacion de la solucion de Schwarzschild puede con-ducir a una descripcion fısicamente erronea de la fuente, si comparamos su rep-resentacion de Weyl con soluciones newtonianas analogas. En efecto, tengase encuenta que la ecuacion de Laplace que verifica la funcion metrica Ψ es la misma quesatisface el potencial Newtoniano Φ de vacıo en gravitacion clasica, por lo que, paracada solucion Φ(ρ, z) existe la correspondiente solucion relativista Ψ(ρ, z) ≡ Φ/c2.Consideremos en concreto el potencial Newtoniano debido a una varilla de longitud2L y masa M situada a lo largo del eje z y centrada en el origen de coordenadas,es decir,

Φ(ρ, z) =GM

2Lln

(r+ + r− − 2L

r+ + r− + 2L

)≡ c2Ψ(ρ, z) , (IV.2)

donde r2± ≡ ρ2+(z±M)2. Recordando la expresion de la solucion de Schwarzschild

en coordenadas de Weyl (III.45) (con γ = 1), observamos que corresponde a estamisma solucion clasica (IV.2) para una varilla cuya semilongitud L coincide con lamasa de Schwarzschild. Tengase en cuenta que incluso la metrica Gamma (III.36)se podrıa interpretar de la misma manera, como el campo gravitatorio generadopor una varilla situada a lo largo del eje pero con una densidad distinta en funciondel valor del parametro γ. Es decir, que la interpretacion fısica resultante para lametrica de Schwarzschild y la metrica Gamma difiere unicamente en la densidadde la varilla. Evidentemente esta no es la imagen real que corresponde al objetocuyo campo gravitatorio relativista describe la solucion de Schwarzschild, y porsupuesto, la familia de soluciones de la metrica Gamma no representa la simetrıaesferica sino que tiene caracterısticas fısicas totalmente diferentes a la solucion deSchwarzschild.

IV.2.- MOMENTOS MULTIPOLARES EN GRAVITACION NEWTO-NIANA

Las metricas estaticas son las mas proximas a un lımite newtoniano de lagravitacion, por lo que la construccion de los momentos para dichas metricas sehace mas facil de entender en relacion con los momentos multipolares clasicos. Dehecho, cuando tratemos en el apartado siguiente la definicion de momentos mul-tipolares relativistas de Geroch, sera de gran utilidad la referencia al caso clasico.Por ello, vamos a analizar a continuacion generalidades sobre los momentos mul-tipolares clasicos [Geroch, 1970a].


En gravitacion newtoniana necesitamos introducir tensores completamentesimetricos y de traza nula para tener definidas las cantidades necesarias con las quedescribir los momentos multipolares clasicos. En efecto, consideremos el potencialgravitatorio newtoniano de una distribucion de masa ρ(~y), solucion por tanto dela ecuacion de Poisson, es decir,

Φ(~x) = −G

∫

V

1R

ρ(~y)d3~y , (IV.3)

donde G es la constante de gravitacion, la integral se extiende a todo el volumende la distribucion de masa, ~y es el vector de posicion de un punto generico interiory R es el modulo del vector que une dicho punto con cualquier punto exteriorP definido por su vector de posicion ~x. Podemos hacer un desarrollo de estepotencial en potencias de la distancia al origen del punto ~P , es decir, de r ≡ |~x|,de tal forma que tenemos

Φ(~x) = −GM

r−G

∞∑

l=1

1l!

1rl+1

Qi1...ilni1 . . . nil; ni ≡ xi

r, (IV.4)

donde M representa la masa total de la distribucion, es decir,

M ≡∫

V

ρ(~y)d3~y , (IV.5)

y las cantidades Qi1...il son tensores completamente simetricos y de traza nuladefinidos como sigue

Qi1...il ≡ (2l − 1)!!T∫

V

yi1 . . . yilρ(~y)d3~y , (IV.6)

donde el sımbolo T denota la operacion de sustraccion de la traza.Recordemos que estas expresiones provienen de efectuar un desarrollo en serie

de Taylor en torno al origen del termino 1/R que aparece en el potencial gravita-torio (IV.3). Efectivamente, teniendo en cuenta que

R ≡√

(xi − yi)(xi − yi) , (IV.7)

podemos considerar el siguiente desarrollo

1R≡ f(yi) = f(0) + yi ∂f

∂yi(0) +

12yiyj ∂f

∂yi∂yj(0) +

13!

yiyjyk ∂f

∂yi∂yj∂yk(0) + . . .

(IV.8)


Se puede calcular facilmente que, en el origen, las derivadas de la funcion 1/R

proporcionan los siguientes valores

∂f

∂yi(0) =

ni

r2

∂f

∂yi∂yj(0) =

1r3

(3ninj − δij)

∂f

∂yi∂yj∂yk(0) =

3r4

(5ninjnk − niδjk − njδki − nkδij)

. . .

, (IV.9)

de tal manera que el termino general de orden l se puede escribir, introduciendoeste desarrollo en la expresion (IV.3) y considerando las definiciones (IV.6) y(IV.4), como sigue

∂lf

∂yi . . . ∂yl(0)yi1 . . . yil =

1rl+1

Qi1...ilni1 . . . nil. (IV.10)

Observese, por tanto, a partir de las expresiones (IV.9) la caracterıstica de lostensores Qi1...il mencionada anteriormente, de ser completamente simetricos y sintraza.

Recordemos una representacion particular de los momentos multipolares clasi-cos en armonicos esfericos. Del desarrollo de la funcion 1/R antes expuesto, seobserva que puede ser escrito, utilizando los polinomios de Legendre, de la formasiguiente

1R

=∞∑

l=0

1rl+1

ylPl(cos β) , (IV.11)

siendo y ≡ |~y| y β el angulo formado entre el vector de posicion del punto exteriorrespecto del cual se calcula el potencial y el vector del punto de integracion ~y.Expresemos los polinomios de Legendre en funcion de los armonicos esfericos, esdecir,

Pl(cos β) =4π

2l + 1

m=l∑

m=−l

Y ml (θ, ϕ)Y ∗m

l (θ, ϕ) , (IV.12)

donde (θ, ϕ) y (θ, ϕ) son las coordenadas esfericas angulares de los vectores deposicion ~x del punto exterior y del punto de integracion ~y respectivamente. Conlo cual, el potencial gravitatorio Φ(~x) creado por una distribucion de masa en elexterior se puede escribir como sigue

Φ(~x) = −GM

r− 4πG

∞∑

l=1

12l + 1

1rl+1

m=l∑

m=−l

Dml Y m

l (θ, ϕ) , (IV.13)


siendo Dml las cantidades definidas por la siguiente expresion

Dml =

∫

V

ylY ∗ml (θ, ϕ)ρ(~y)d3~y . (IV.14)

Para cada valor de l, existen pues 2l + 1 cantidades complejas Dml . Sin embargo,

debido a la propiedad de los armonicos esfericos Y −ml = (−1)mY ∗m

l , se tienenunicamente 2l + 1 cantidades reales independientes.

De las expresiones (IV.13) y (IV.4) se deduce por tanto que los tensorescompletamente simetricos y sin traza son equivalentes a las 2l + 1 cantidadesreales independientes † Dm

l , es decir,

1l!

Qi1...ilni1 . . . nil=

4π

2l + 1

m=l∑

m=−l

Dml Y m

l (θ, ϕ) . (IV.15)

Si consideramos soluciones con simetrıa axial, ello supone una reduccion decantidades necesarias para describir los momentos a cada orden del desarrollomultipolar. La no dependencia en el angulo azimutal hace que el unico armonicoesferico que proporciona una integral no nula en las expresiones Dm

l es aquel devalor m = 0. Por tanto, tan solo nos queda una cantidad para definir el momentomultipolar de orden l, es decir,

Dl = 2π

∫ ∫yl+2ρ(y, θ)Pl(cos θ) sin θdθdy , (IV.16)

siendo ρ(y, θ) la densidad del objeto y donde la integral esta extendida al volu-men del mismo, de manera que ~y representa el vector de posicion del punto deintegracion y θ el angulo polar correspondiente, como se muestra en la siguientefigura:

† En efecto, como es conocido, un tensor completamente simetrico de rango r,Ti1...ir en una variedad de dimension 3 posee unicamente (r + 2)(r + 1)/2 compo-nentes independientes. Ademas, la condicion de traza nula, es decir, Ti1...irg

i1i2 =0 impone r(r−1)/2 condiciones. Con lo cual, los tensores completamente simetri-cos de traza nula en dimension 3 poseen 2r + 1 componentes independientes.


Fig. IV.1.- Elementos que intervienen en la integracion del momentomultipolar, para un cuerpo con densidad de masa ρ(y, θ) y estructuraelipsoidal de revolucion de semiejes a y b.

Por tanto, el campo gravitatorio externo creado por un objeto de masa M

y con simetrıa axial viene determinado en cada punto del espacio exterior por elsiguiente potencial

Φ = −G

∞∑n=0

Dn

rn+1Pn(cos θ) , (IV.17)

donde (r, θ) son las coordenadas radial y polar del punto respecto de un origensituado en el eje de simetrıa, Pn los polinomios de Legendre y las constantes Dn

los momentos multipolares de la fuente.Para finalizar, veamos como se comportan los momentos multipolares clasicos

frente a un cambio infinitesimal del origen de coordenadas. Consideremos undesplazamiento yi1 = y

′i1 − ai1 de las coordenadas del vector de integracion enla expresion (IV.6) de los momentos Qi1i2...il , donde a ≡ |~a| es una cantidadinfinitesimal, es decir, despreciaremos terminos de orden O(a2). En consecuencia,tenemos que

yi1 . . . yil = y′i1 . . . y

′il − la(ily′i1 . . . y

′il−1) + O(a2) . (IV.18)

De acuerdo con la definicion de los tensores completamente simetricos y sin trazaQi1i2...il , resulta entonces

Qi1i2...il = Q′i1i2...il − l(2l − 1)T S(ailQ

′i1...il−1) , (IV.19)


donde los sımbolos T y S denotan las operaciones de toma de traza y simetrizacionrespectivamente.

IV.3.- DEFINICIONES DE GEROCH Y HANSEN DE MOMENTOSMULTIPOLARES RELATIVISTAS

En 1970 Geroch [Geroch, 1970b] introdujo una definicion de momentos mul-tipolares relativistas para metricas estaticas, que mas tarde amplio Hansen[Hansen, 1974] al caso estacionario.

La posibilidad de encontrar cantidades susceptibles de ser interpretadas comoMomentos Multipolares no resulta obvio a priori en Relatividad. Tengase encuenta que las ecuaciones de Einstein no son lineales como ocurre para las ecua-ciones que describen el potencial de gravitacion clasico. Ademas, la metrica queconfigura nuestro espacio-tiempo no es un metrica de Minkowski, es decir, el es-pacio no es en general plano.

Sin embargo, las metricas habituales con las que se suele tratar para describirsoluciones de vacıo y objetos compactos, son asintoticamente planas. Por eso, enun entorno del infinito, el campo gravitatorio que representa estas metricas noha de diferenciarse mucho de la gravitacion newtoniana. La cuestion es como derapido ha de decaer la curvatura a largas distancias de la fuente, para que losmultipolos puedan ser identificados en un entorno del infinito. Afortunadamente,la condicion de asintoticidad plana que se impone al espacio-tiempo estacionariode vacıo no es muy retrictiva, de manera que, en general, tenemos momentosmultipolares bien definidos.

La definicion de Geroch, como vamos a ver, se realiza desde el punto de vistadel grupo conforme, construyendo los momentos multipolares como tensores enel infinito. Veamos a continuacion como se desarrolla en la practica la definicionde Geroch de momentos multipolares para una metrica estatica asintoticamenteplana.

Se considera la variedad tridimensional V3 ortogonal al vector de Killing tem-poral, y se define la metrica cociente habitual gij en dicha variedad. Una al-ternativa a introducir coordenadas asintoticamente cartesianas, para describir laplanitud asintotica, es construir otra definicion que sea independiente de las coor-denadas. Ası, se dice que el espacio-tiempo es asintoticamente plano si es posibleanadir a la variedad V3 un punto Λ (“punto del infinito”), de tal forma que lavariedad V3 resultante sea heredera de la estructura conforme de V3, siendo gij

una metrica conforme a la cociente. De esta manera, las propiedades asintoticas


de V3 se tratan ahora localmente como propiedades en el punto Λ de (V3, gij),siendo gij una metrica conforme a la cociente. Ademas, se han de satisfacer lassiguientes condiciones:

i) V3 = V3 ∪ Λ

ii) gij = Ω2 gij

iii) (Ω)Λ = 0, (∇iΩ)Λ = 0, (∇i∇jΩ)Λ = 2(gij)Λ ,

(IV.20)

donde Ω es un campo escalar definido en V3, que representa el factor conformenecesario para que la metrica definida en la nueva variedad gij sea holomorfa. Sepuede demuestrar la unicidad de la nueva variedad ası definida [Geroch, 1970b].

Es en este contexto donde se pueden definir los Momentos Multipolares con-struyendo una coleccion de tensores totalmente simetricos y de traza nula en elpunto del infinito Λ. Recordemos que las ecuaciones de Einstein de vacıo para elcaso estatico pueden ser escritas como sigue

f42f =1241f

Rij =12f−1∇i∇jf − 1

4f−2∇if∇jf

, (IV.21)

donde, recordemos f es el cuadrado del vector de Killing temporal, y los operadoresBeltrami se han definido respecto a la metrica gij de la variedad tridimensionalcociente V3 ortogonal a las trayectorias del vector de Killing temporal. Si definimosuna nueva funcion escalar

φ ≡√

f − 1 , (IV.22)

entonces resulta que las ecuaciones de Einstein se escriben

42φ = 0

Rij = (φ + 1)−1∇i∇jφ, (IV.23)

Sea φ una solucion de las ecuaciones de Einstein anteriormente descritas(IV.23) y consideremos su transformada conforme φ ≡ Ω−1/2φ, siendo Ω el factorconforme de la variedad V3. Entonces, la definicion de Geroch de momentos multi-polares de una solucion estatica se completa introduciendo los siguientes tensorescompletamente simetricos y sin traza, en el infinito, que se construyen a partir dela funcion conforme φ, como sigue

P (0) = (φ)Λ

P(1)i = (∇iφ)Λ

. . .

P(n+1)i1i2...in+1

= T S[∇in+1 P

(n)i1...in

− 12n(2n− 1)Ri1i2 P

(n−1)i3...in+1

]

Λ

,

(IV.24)


donde los sımbolos S y T denotan las operaciones de tomar la parte simetrica ysin traza respectivamente, y la derivada covariante, ası como el tensor de Ricci,estan referidos a la metrica gij conforme a la cociente.

Ante estas expresiones, es necesario hacer una serie de consideraciones, conel objeto de discutir por que los tensores que resultan de esta definicion reflejanlas propiedades deseadas para ser buenos candidatos a momentos multipolares.En primer lugar, y por construccion, son evidentemente un conjunto de tensorescompletamente simetricos y de traza nula.

En segundo lugar, comprobemos que esta definicion, aplicada al calculo demomentos multipolares en un espacio plano genera los momentos clasicos habit-uales Qi1...il . Recordemos que estos tensores se obtenıan del desarrollo multipolardel potencial newtoniano (IV.4). Puesto que dicho potencial es solucion de laecuacion de Laplace, es a su vez solucion de las ecuaciones de Einstein (IV.23)para espacio plano. Consideremos por tanto este potencial como funcion φ, e in-troduzcamos nuevas coordenadas xi en V3, para llevar al origen de coordenadasel punto del infinito Λ, donde definimos los momentos, es decir,

xi = r−2xi . (IV.25)

Calculemos el potencial conforme φ = Ω−1/2φ, tomando como factor conformeΩ = r−2, que como se puede comprobar verifica las condiciones necesarias (IV.20)para tener un espacio-tiempo asintoticamente plano. Obtenemos entonces la sigu-iente expresion

φ(x) = −GQ(0) −G

∞∑

l=1

1l!

Qi1...il xi1 . . . xil. (IV.26)

Es decir, se observa que los tensores Qi1...il quedan definidos mediante las deriva-das del potencial conforme en el punto del infinito, o sea

Q(0) = (φ)Λ

Qi1...il = (∇i1 . . . ∇ilφ)Λ .

(IV.27)

Como se puede comprobar, estas expresiones coinciden exactamente con la defini-cion de los tensores (IV.24) de Geroch, para el caso de curvatura nula. Concluımospor tanto que en el espacio plano la definicion de Geroch reproduce los momentosmultipolares habituales.

En tercer lugar, se hace necesario discutir sobre la libertad en la elecciondel factor conforme Ω, puesto que las condiciones de asintoticidad (IV.20) y el


comportamiento holomorfo de la metrica conforme gij , no fijan unıvocamentedicho factor. En efecto, podrıamos elegir un nuevo factor conforme

Ω = Ω w , (IV.28)

siendo w cualquier funcion holomorfa de valor 1 en el punto del infinito. Dehecho, puesto que cualquier transformacion conforme se puede generar mediantela repeticion de sucesivas transformaciones infinitesimales, bastarıa considerar lafuncion w infinitesimalmente distinta del valor 1. Por tanto, es fundamental,para tener definidos unos buenos momentos multipolares relativistas, que estos secomporten bajo transformaciones conformes infinitesimales como habitualmentelo hacen los momentos en un espacio plano. Si aplicamos una transformacion defactor conforme (IV.28) entonces los momentos multipolares, definidos para unespacio plano por las expresiones de los tensores (IV.27), se transforman de lamanera siguiente

(Qi1...in)Λ = (Qi1...in)Λ − 12n(2n− 1)(T S

[Qi1...in−1∇inw

])Λ , (IV.29)

donde se ha tenido en cuenta que (w)Λ = 1. Observese que el cambio que seproduce en un momento de orden n depende unicamente del momento de ordeninferior. Este comportamiento de los tensores Qi1...in ante el cambio de factorconforme es muy importante, pues recordando la expresion (IV.19), refleja unadependencia analoga a la que manifiestan los momentos newtonianos respecto aun cambio infinitesimal en el origen de coordenadas. En efecto, en ambos casosel cambio de cada momento multipolar depende unicamente del momento de or-den inferior, siendo la funcion w de la transformacion conforme (su gradiente)la correccion infinitesimal analoga al desplazamiento del origen en el sistema decoordenadas del espacio plano.

Afortunadamente, los momentos multipolares de la definicion (IV.24) de Ge-roch se comportan de la misma manera bajo transformaciones de factor conforme.Lo cual pone de manifiesto, una vez mas, que esta definicion es fısicamente muy ac-ertada, habida cuenta de que refleja los comportamientos de los momentos clasicosen gravitacion newtoniana. En efecto, supongamos que tenemos una coleccion detensores completamente simetricos y sin traza Ti1...ir que bajo transformacionesconformes infinitesimales se comportan segun (IV.29). Si hubiesemos adoptadocomo el tensor de orden siguiente la expresion

Ti1...ir+1 = T S[∇i1Ti2...ir+1

], (IV.30)


entonces, no tendrıa el comportamiento adecuado bajo la transformacion conforme(IV.28). De hecho, se transformarıa de la siguiente manera

(Ti1...in)Λ = (Ti1...in)Γ − 12(4n− 3)T S

[Ti1...in−1∇in

w]Λ−

−12(n− 1)(2n− 3)T S

[(∇i1Ti2...in−1)∇in

w]Λ

+[Ti1...in−2∇in−1∇in

w]Λ .

(IV.31)Para que los tensores completamente simetricos, se transformen adecuadamentebajo transformaciones conformes infinitesimales, es necesario anadir a la definicion(IV.30) terminos adicionales que cancelen los que aparecen involucrando a deriva-das de segundo orden en la transformacion (IV.31). Teniendo en cuenta como setransforma el tensor de Ricci a primer orden (o sea, siendo w infinitesimal) bajocambio de factor conforme , es decir,

Rij = Rij − w−1∇i∇jw − w−1gij42w , (IV.32)

se comprueba que la definicion apropiada para los tensores completamente simetri-cos y sin traza es la de la expresion (IV.24), en el sentido de que se transformaranbajo cambio de factor conforme de la misma manera que lo hacen los momentosclasicos, es decir,

(P (′n)i1...in

)Λ = (P (n)i1...in

)Λ − 12n(2n− 1)(T S

[P

(n−1)i1...in−1

∇inw])Λ . (IV.33)

Por ultimo, es necesario que hagamos algun comentario sobre la funcion es-calar φ a partir de la cual se construyen, como hemos visto, los tensores com-pletamente simetricos. Esta discusion nos permitira entender la importancia delcaracter conforme de la variedad que hemos construıdo, ası como nos permitiraintroducir la generalizacion estacionaria de Hansen [Hansen, 1974] de momentosmultipolares relativistas.

Como puede observarse, la definicion (IV.24) de los momentos multipolaresno hace ninguna referencia a las ecuaciones de Einstein. Serıa de esperar, aligual que ocurre en gravitacion newtoniana con la ecuacion de Laplace, que lasecuaciones de Einstein asumieran su protagonismo correspondiente. No obstante,la prescripcion dada en la definicion (IV.24) puede ser aplicada, en un espacioeuclıdeo tridimensional, a un numero de funciones mucho mas amplio que lassoluciones de la ecuacion de Laplace. En efecto, podrıa haber sido usada cualquierfuncion con la unica condicion de que su transformada conforme fuera holomorfaen el punto del infinito. Evidentemente, esto no se verifica para cualquier funcionen un espacio euclıdeo tridimensional. Para ello, es necesario que dicha funcion


tienda a cero en el infinito al menos tan rapido como 1/r. En particular, lassoluciones de la ecuacion de Laplace que tienden a cero en el infinito satisfacenestas condiciones. No en vano, la ecuacion de Laplace en tres dimensiones esinvariante conforme y, como es sabido, las soluciones de esta ecuacion o biendivergen o bien son holomorfas en cualquier punto. Ası pues, teniendo en cuentaque la transformada conforme de cualquier solucion de la ecuacion de Laplace estalimitada en el punto del infinito, (ya que tambien es solucion de la ecuacion deLaplace), se concluye que es necesariamente holomorfa. Es decir, existen todassus derivadas a cualquier orden y son contınuas en el punto del infinito. Enconclusion, podemos afirmar que si φ es un potencial clasico, las definiciones deGeroch (IV.24) para metricas estaticas, describen perfectamente una coleccion detensores bien definidos.

La discusion hecha en torno a las caracterısticas conformes de la ecuacion deLaplace, sugiere la utilizacion de las ecuaciones de Einstein en el caso estacionariopara establecer el comportamiento holomorfo de las adecuadas funciones φ queproporcionan una definicion correcta segun (IV.24) de los momentos multipo-lares. De esta manera, Hansen demuestra que la definicion de Geroch proporcionacorrectos momentos multipolares tambien para metricas estacionarias. Es decir,muestra que existen soluciones de las ecuaciones de Einstein que permiten definirfunciones conformes que son holomorfas en el punto del infinito. Para ello, intro-duce dos funciones φM y φJ y escribe las ecuaciones de Einstein en terminos deestos potenciales, comprobando que dichas ecuaciones son invariantes conformes.Si los coeficientes de estas ecuaciones son de clase Cn, entonces sus soluciones obien son discontınuas en el punto del infinito, o bien son de clase Cn+2. Teniendoen cuenta que las funciones transformadas conformes φM , φJ son contınuas enel punto del infinito, entonces se puede demostrar por induccion que ademas sonholomorfas en dicho punto.

La aplicacion de la definicion de Geroch para la construccion de los tensorescompletamente simetricos (IV.24) a estas funciones φM y φJ genera las dos familiasde momentos multipolares que aparecen, y de forma exclusiva en RelatividadGeneral, para espacio-tiempos estacionarios. Dichas funciones se pueden construira partir del vector de Killing Kα de la isometrıa temporal, de la forma,

φM =14f−1(f2 + W 2 − 1)

φJ =12f−1W

, (IV.34)

donde f ≡ KαKα y W es el escalar (II.11) del que deriva, como ya vimos enel capıtulo II, la proyeccion del twist del vector de Killing Kα (II.14) sobre la


variedad cociente V3. Observese que si el espacio-tiempo es estatico,es decir,W = 0, entonces tenemos definida una unica funcion

φM =14f−1(f2 − 1) . (IV.35)

Esta funcion no es la misma que la utilizada por Geroch (IV.22) para metricasestaticas, sin embargo, se obtiene de aquella por transformacion conforme, con locual la transformacion de los momentos multipolares correspondientes es conocida.

Cuando la metrica posee simetrıa axial, existe una simplificacion que vamosa ver a continuacion. Al igual que sucede en gravitacion newtoniana, la definicionrelativista de momentos de Geroch,, se reduce a una unica cantidad para cadaorden multipolar. El eje de simetrıa contiene al punto del infinito, por tanto, laaccion de la isometrıa del vector de Killing axial define rotaciones de los tensores enΛ, respecto de las cuales los momentos han de ser invariantes. Como, obviamente,los unicos tensores en Λ invariantes por la accion del Killing axial son productosde la metrica con el vector en la direccion del eje de simetrıa ~e, se concluye queel momento multipolar de orden l ha de ser necesariamente un multiplo de laparte simetrica y sin traza de l productos de vectores axiales ~e. Es decir, la unicacomponente independiente del momento multipolar de orden l, para una metricacon simetrıa axial, se define mediante la proyeccion sobre el eje de simetrıa de lostensores completamente simetricos y de traza nula (IV.24) ,

Ml =1l!

(P (l)i1...il

ei1 . . . eil)Λ (IV.36)

Observese que si ademas imponemos simetrıa equatorial, alguno de los momentoshan de ser nulos. La funcion φM que genera los momentos masicos (estaticos)permanece invariante por esta simetrıa de reflexion, mientras que φJ , a partirde la cual se construyen los momentos dinamicos, cambia su signo. Por tanto,teniendo en cuenta el cambio de orientacion del vector axial ~e, se concluye que losmomentos masicos impares han de ser nulos para preservar la invariancia, mientrasque los unicos momentos dinamicos no nulos son los de orden impar.

IV.4.-MOMENTOS MULTIPOLARES DE LAS METRICAS DE WEYL

IV.4.1.- Estructura multipolar de Thorne para metricas estacionarias.

La definicion anterior de momentos multipolares se realiza en la variedad co-ciente construıda a partir del vector de Killing temporal. Existe otra formulacion,


desarrollada principalmente por Thorne [Thorne, 1980], que permite definir losmomentos multipolares de metricas estacionarias de vacıo estudiando su estruc-tura en un determinado sistema de coordenadas sobre la variedad V4 del espacio-tiempo.

La definicion de Thorne, para el caso estatico en particular, permite calcularlos momentos multipolares relativistas de forma bastante sencilla a ordenes muyelevados. En la proxima seccion estaremos interesados en la obtencion de los mo-mentos multipolares de una metrica de Weyl general,y por ello, vamos a ver ahorabrevemente en que consiste la definicion de Thorne de momentos multipolares.

Thorne obtiene la estructura multipolar de metricas estacionarias de vacıohaciendo uso de una aproximacion post-minkowskiana de dichas metricas. Seagαβ una metrica de vacıo y definamos la perturbacion hαβ a la densidad metricaGαβ de la forma siguiente

hαβ ≡ Gαβ − ηαβ , (IV.37)

siendo ηαβ la forma de Minkowski y Gαβ la densidad metrica definida por

Gαβ ≡ √−ggαβ , (IV.38)

con g ≡ det(gαβ). Consideremos sobre la perturbacion hαβ un desarrollo enpotencias de la constante de gravitacion G, es decir, de tal manera que

Gαβ = ηαβ +∞∑

k=1

Gkhαβk . (IV.39)

La libertad en la eleccion de coordenadas nos permite tener en cuenta las sigu-ientes condiciones para nuestro sistema de coordenadas. Sean xα coordenadasarmonicas para la metrica dada, es decir, tales que se verifica

∂αGαβ = 0 . (IV.40)

En particular, consideraremos aquellas coordenadas que siendo post-galileanas, detal manera que se verifica (IV.40), son ademas asintoticamente cartesianas. Conello queremos decir que los coeficientes de la metrica deben ser asintoticamenteplanos, o sea que las correcciones a la metrica plana son al menos de orden O(r−1),es decir,

gαβ = ηαβ + O(r−1) , (IV.41)

siendo r ≡√

x2 + y2 + z2 la distancia radial habitual en coordenadas cartesianasx, y, z. A estas condiciones anadimos que el origen del sistema de coordenadas


elegido este situado en el centro de masas de la fuente. Thorne introdujo estossistemas de coordenadas denominandolos ACMC (Asymptotycally, Cartesian andMass Centered).

En estas condiciones las ecuaciones de Einstein de vacıo se escriben de lasiguiente manera

hαβ = 16π(−g)G tαβLL − hµν∂µνhαβ + ∂µhαν∂νhβµ , (IV.42)

con la condicion de gauge armonica ∂αhαβ = 0, siendo tαβLL el pseudo-tensor de

Landau-Lifschitz y ≡ ηµν∂µν denota el operador plano de D’Alambert.Consideremos a partir de ahora soluciones estacionarias. Entonces, se puede

comprobar que, resolviendo a cada orden en G las ecuaciones de Einstein de vacıopara una metrica estacionaria gαβ , esta posee en coordenadas ACMC t, xi lasiguiente estructura

g00 = −1 +2M

r+

∞∑

l=2

2rl+1

[(2l − 1)!!

l!M i1...il

xi1

r. . .

xil

r+ R

(l−1)00

]

g0j =∞∑

l=2

4rl+1

[− l(2l − 1)!!

(l + 1)!εjkil

Jki1...il−1xi1

r. . .

xil

r+ R

(l−1)0j

]

gij = δij +∞∑

l=1

1rl+1

R(l−1)ij

,

(IV.43)donde las cantidades R

(l−1)αβ las denominaremos restos de Thorne, M representa

la masa total y los tensores M i1...il y J i1...il son respectivamente los momen-tos masicos y dinamicos de orden l. Tengase en cuenta que para obtener estasexpresiones se ha hecho una eleccion particular de coordenadas ACMC tal quepermite reducir al mınimo el numero de constantes libres, de manera que en lascomponentes gij aparecen unicamente restos de Thorne sin introducir nuevas con-stantes arbitrarias, que en teorıa linealizada serıan lo correspodiente a momentosde tensiones.

Este resultado (IV.43) ha de entenderse en el sentido de que pone de mani-fiesto la estructura multipolar de metricas estacionarias que se obtiene en el sis-tema de coordenadas descrito. En este sentido, podemos observar cual es la depen-dencia de cada componente de la metrica en la potencia inversa de la coordenadaradial; el momento dipolar masico es nulo, y los restos de Thorne no dependen dela coordenada radial, siendo su dependencia angular de un grado menor al menosque el orden correspondiente del desarrollo en 1/r. Gursel [Gursel, 1983], ha-ciendo una comparacion entre los resultados de Geroch-Hansen y este formalismo,


demostro que los momentos multipolares son equivalentes en las dos definicionessalvo factores

P(l)i1...il

(φM ) = (2l − 1)!!M i1...il

P(l)i1...il

(φJ ) =(

2l

l + 1

)(2l − 1)!!J i1...il

, (IV.44)

donde P(l)i1...il

(φM ) y P(l)i1...il

(φJ ) son respectivamente los momentos multipolaresmasicos y dinamicos definidos por Geroch-Hansen.

Si consideramos simetrıa axial, los tensores M i1...il y J i1...il completamentesimetricos y sin traza se reducen a una unica cantidad, y la dependencia angularse describe entonces mediante polinomios de Legendre de orden l. Si ademasintroducimos simetrıa ecuatorial, sabemos que los momentos masicos de ordenimpar son nulos ası como los dinamicos de orden par. En estas condiciones, lascomponentes de la metrica se pueden escribir como sigue [Martın, 1972], [Blanchet,1984]

g00 = −1 +2c2

[ ∞∑n=0

1r2n+1

M2nP2n(w) +∞∑

n=1

1rn+1

R(n−1)00 (w)

]

g0i =4r2

[−

∞∑n=0

1r2n+1

J2n+1

2n + 1dP2n+1(w)

dwεik3xk +

∞∑n=1

1rn+1

R(n−1)0i (w, ϕ)

]

gij = δij +∞∑

n=1

1rn+1

R(n−1)ij (w, ϕ) ,

(IV.45)donde r, w ≡ cos θ, ϕ son coordenadas esfericas asociadas a las armonicas, yM2n y J2n son los momentos multipolares de Geroch-Hansen. Notemos que losrestos de Thorne R

(n−1)00 (w) no depende del angulo azimutal ϕ.

Es conocido que los momentos multipolares relativistas caracterizan de formaunıvoca, al menos en un entorno del infinito, una metrica estacionaria de vacıoasintoticamente plana [Beig et al, 1980,1981b]. De tal manera se puede demostrarque dos metricas estacionarias que posean los mismos momentos multipolarespresentan la misma geometrıa a distancias lejanas de la fuente [Kundu, 1981a,b].Ademas, esta caracterizacion de las metricas mediante su estructura multipolarproporciona una posible interpretacion fısica del objeto fuente de ese campo grav-itatorio externo. El hecho de que los momentos multipolares caracterizan unasolucion determinada, debe entenderse no solo en el sentido de que identificanfısicamente la solucion, sino porque ademas los restos de Thorne se pueden es-cribir en funcion de los momentos. Por eso, determinar los restos de Thorne deuna metrica sirve para conocer explıcitamente las componentes de la metrica, de-scribiendo completamente la solucion mediante unos parametros fısicos que son


sus momentos multipolares. Notese que, en particular, si la metrica es estatica,su componente temporal g00 coincide salvo signo con el potencial de Ernst querepresenta dicha solucion estatica.

En el apartado siguiente desarrollaremos la metrica de Weyl en coordenadasarmonicas para determinar sus momentos multipolares. Como una continuacionde este calculo, en el Apendice B estudiamos la estructura completa de la compo-nente g00, mostrando los restos de Thorne para metricas estaticas.

IV.4.2.- Coordenadas armonicas.

En este apartado utilizaremos de manera explıcita el procedimiento propuestopor Thorne para calcular los momentos multipolares de una metrica estatica. Todametrica estatica queda descrita por alguna de las soluciones de Weyl definidasmediante la funcion Ψ (III.7). Obviamente, puesto que esta solucion general deWeyl incorpora parametros arbitrarios, los coeficientes an, en general este calculonos proporcionara las expresiones de los momentos de dicha metrica en terminosde los coeficientes de Weyl.

Como hemos visto, para llevar a cabo el formalismo de Thorne se hacenecesario determinar un sistema de coordenadas ACMC, en el que desarrollarla metrica en potencias de la inversa de la coordenada radial correspondiente. Asıpues, lo que haremos a continuacion es obtener coordenadas ACMC aproximadasal orden correspondiente en el desarrollo de la metrica en potencias de G.

Un sistema de coordenadas ACMC de Thorne esta constituido por un sis-tema xα de coordenadas armonicas con un buen comportamiento asintotico.La condicion de armonicidad puede ser escrita de la siguiente manera

x(α) ≡ 1√−g∂λ

[√−g gλα]

= 0 , (IV.46)

donde representa el operador Dalembertiano asociado a la metrica y g el de-terminante de la misma. La manera mas sencilla de resolver la ecuacion (IV.46)para el caso que nos ocupa es introducir coordenadas esfericas r, θ, ϕ asociadasa las armonicas xα, es decir,

u ≡ x + iy = reiϕ sin θ ≡ ρeiϕ

z = r cos θ. (IV.47)

Ahora bien, para el caso de simetrıa axial, cuya metrica general estatica vienedescrita por el elemento de lınea (III.4), se comprueba sin dificultad que la coor-denada temporal t ya es armonica y que la coordenada azimutal ϕ es una buena


coordenada esferica armonica, en cuyo caso las ecuaciones (IV.46) se reducen des-pues de un pequeno calculo a las siguientes:

∂r(r2 sin θ∂rρ) + ∂θ(sin θ∂θρ) =1

sin θe2γ ρ

∂r(r2 sin θ∂r z) + ∂θ(sin θ∂θ z) = 0 ,(IV.48)

donde las funciones incognitas, la coordenada cilındrica ρ y la coordenada z, sonambas funciones de las variables (r, θ). La segunda condicion impuesta a lascoordenadas ACMC es un buen comportamiento asintotico de las mismas, es decir,que en el infinito se comporten como coordenadas cartesianas habituales. Paraello, es posible elegir la solucion de (IV.48) de la forma siguiente:

ρ(r, θ) = r sin θ

∞∑

l=0

1rl

Hl(cos θ)

z(r, θ) = r cos θ ≡ z ,

(IV.49)

donde las funciones Hl(ω) son las soluciones de la siguiente ecuacion diferenciallineal de segundo orden (ω ≡ cos θ):

(1− ω2)l(l − 3)Hl(ω)− 4ωH ′l(ω) + (1− ω2)H ′′

l (ω) =

=

0 , l ≤ 1∑

k+n=l−2

Bk(ω)Hn(ω) , l ≥ 2(IV.50)

y donde las funciones Bk(ω) estan definidas por la siguiente cadena de igualdades:

Bk(ω) =(k−δk)/2∑

j=0

2j+1

(j + 1)!B

(j+1)k−2j (ω)

δk = 0 : k par

δk = 1 : k impar(IV.51a)

B(n)k (ω) =

∑

i1+...+in=k

B(1)i1

. . . B(1)in

(IV.51b)

B(1)i (ω) =

∑

k+n=i

Ekn(ω) (IV.51c)

γ(r, ω) =∞∑

k,n=0

(k + 1)(n + 1)k + n + 2

akan

rk+n+2[Pk+1(ω)Pn+1(ω)− Pk(ω)Pn(ω)]

≡∞∑

k,n=0

Ekn(ω)1

rk+n+2.

(IV.52)


La resolucion de la ecuacion (IV.50) se efectuara por el procedimiento habitualde anadir a la solucion general de la ecuacion homogenea una solucion particularde la ecuacion completa. La ecuacion homogenea se puede resolver facilmente, acada orden, obteniendose la siguiente solucion general,

H0(ω) =A

[ω

1− ω2+

12

log(

1 + ω

1− ω

)]+ B

Hl(ω) =hl(ω)[Cl + Dl

∫dω

h2l (ω)(1− ω2)2

], l ≥ 1

(IV.53)

donde A, B, Cl, Dl son constantes de integracion arbitrarias y hl(ω) es unasolucion particular de la ecuacion homogenea correspondiente a la expresion (IV.50),que resulta ser, para l ≥ 3, un polinomio ultraesferico de Gegenbauer o bien unpolinomio de Jacobi

h1(ω) = h2(ω) =cte

1− ω2,

hl(ω) =

P

(1,1)l−3 (ω)

C(3/2)l−3 (ω)

. (IV.54)

Para preservar un buen comportamiento asintotico de la solucion, elegiremoslas constantes A = Dl = 0 ası como C2 = 0, de manera que H2(ω) = 0, para evitarlas funciones racionales en ω. Con lo cual H0(ω) resulta ser una constante, que setoma igual de valor 1 para que las coordenadas sean asintoticamente cartesianas.

Para completar la solucion general de la ecuacion (IV.50) hemos de anadira la solucion general de la homogenea ya descrita una solucion particular de lacompleta. El procedimiento que hemos elegido para determinarla consiste enbuscar soluciones polinomicas del tipo (nos limitamos como de costumbre al casode simetrıa ecuatorial):

H2n(ω) =n−1∑

k=0

c2kω2k , (IV.55)

donde el lımite superior de la suma viene determinado por el grado del polinomioen ω que aparece en la parte inhomogenea de la ecuacion diferencial a cada orden yque resulta ser igual a 2n−2. Como es evidente a partir de las formulas, el calculose hace progresivamente mas largo a medida que crece n por lo que su expresionfinal se hace mas inmanejable. Afortunadamente el uso de programas de orde-nador para calculo simbolico permite llegar sin dificultad a ordenes relativamenteelevados.


IV.4.3.- Estructura de la componente temporal de la metrica.

Para determinar los momentos de Geroch-Thorne de una solucion estaticade Weyl, hasta un orden determinado, no basta con calcular las coordenadasarmonicas hasta este orden, sino que es necesario invertir las correspondientesformulas (IV.49) hasta dicho orden, con objeto de poder expresar las coordenadasr, θ en funcion de las coordenadas r, θ, es decir,

r = r(r, θ)

ω = ω(r, θ) .(IV.56)

De esta manera, sustituyendo (IV.56) en la serie de Weyl (III.7) que describe unasolucion estatica general de las metricas de Weyl, es posible obtener la expresionde la componente g00 de la metrica en funcion de las coordenadas armonicas.En efecto, si desarrollamos la componente temporal de la metrica g00 = −e2Ψ

en potencias de la coordenada radial armonica, obtenemos, de acuerdo con elformalismo de Thorne, la siguiente expresion

g00 = −1 +2G

c2

[M0

r+

∞∑n=1

1r2n+1

M2nP2n(cos θ) +∞∑

n=1

1rn+1

R(n−1)00 (cos θ)

].

(IV.57)Todo este proceso, aun siendo elemental, se convierte en impracticable cuando

n crece. El calculo ha sido realizado hasta el orden 19 en el desarrollo en 1/r uti-lizando los paquetes de software MATHEMATICATM y MAPLE V y haciendo-les trabajar en una maquina IBM RS6000. Ası se han calculado los 20 primerosmomentos de Geroch de la solucion general de Weyl (recordemos que los imparesson nulos):

M0 = −a0

M2 =13a30 − a2

M4 = − 19105

a50 +

87a20a2 − a4

M6 =3893465

a70 −

2321

a40a2 +

6077

a0a22 +

1711

a20a4 − a6

M8 = − 2573465

a90 +

4431245045

a60a2 − 5204

3003a30a

22 +

40143

a32 −

5833

a40a4

+226143

a0a2a4 + 2a20a6 − a8


M10 =4436998729721

a110 − 17389

20349a80a2 +

22658088179

a50a

22 −

459700323323

a20a

32

+129027293

a60a4 − 193130

46189a30a2a4 +

3915046189

a22a4 +

3087046189

a0a24

− 2624969

a40a6 +

566323

a0a2a6 +4719

a20a8 − a10

M12 = − 125339077135137127025

a130 +

17039590242342475135

a100 a2 − 15070540

4732273a70a

22

+18266036052055003

a40a

32 −

42594007436429

a0a42 −

186209501111546435

a80a4+

+4756282676039

a50a2a4 − 34924620

7436429a20a

22a4 − 2192292

1062347a30a

24

+7965096577

a2a24 +

2417306780045

a60a6 − 14888

2737a30a2a6 +

66007429

a22a6

+97747429

a0a4a6 − 119953059

a40a8 +

60603059

a0a2a8 +6823

a20a10 − a12

M14 =5750942927

225881530875a150 − 45994278419

75293843625a120 a2 +

178952108565019589575

a90a

22

− 42066252466927861

a60a

32 +

6193160822309287

a30a

42 −

5204301

a52

+651527131430250535

a100 a4 − 6891019442

717084225a70a2a4 +

61003753447805615

a40a4a

22

− 74616163187041

a32a4a0 +

18709276647805615

a50a

24 −

7582006615935205

a20a2a

24 +

20587429

a34

− 54000971671525

a80a6 +

1925098185725

a50a2a6 − 207508

37145a20a

22a6 +

9199419665

a30a4a6

+184366111435

a2a4a6 +2202237145

a0a26 +

49906198325

a60a8 − 46472

6555a30a2a8 +

416437

a22a8

+89986555

a0a4a8 − 55791035

a40a10 +

772345

a0a2a10 +319

a20a12 − a14

M16 = − 784652183866134264417421389125

a170 +

1111009901105621868807289175

a140 a2 − 605523174952

161991165105a110 a2

2

+118487855544161263531087819

a80a

32 −

18763894456024775119369

a50a

42 +

540340800393255863

a20a5

− 953293090228712517530725

a120 a4 +

10493001787028902522205585

a90a2a4 − 1496600220656

60168147039a60a

22a4


+10789484560872002131

a30a

32a4 − 586267200

955049953a42a4 − 783040112

133056495a70a

24

+1055792567599867

a40a2a

24 −

3234237660955049953

a0a22a

24 −

11756942473465381

a20a

34

+30065575674894670161425

a100 a6 − 32933281408

2103781365a70a2a6 +

79186673646750697

a40a

22a6

− 5226320020036013

a0a32a6 +

996468632100180065

a50a4a6 − 3052808

290377a20a2a4a6

+55648326678671

a24a6 − 717747316

300540195a30a

26 +

79983904100180065

a2a26−

− 2170695194371255535

a80a8 +

197527841302651

a50a2a8 − 18664440

2750041a20a

22a8

− 22513640641

a30a4a8 +

668700392863

a2a4a8 +68299665892945

a0a6a8

+4744096606825

a60a10 − 8456464

930465a30a2a10 +

2129620677

a22a10 +

151606103385

a0a4a10

− 575488091

a40a12 +

67702697

a0a2a12 +12231

a20a14 − a16

M18 =36195988514551

2695896070993125a190 − 437245304908211

1042413147450675a160 a2 +

433728289302232115823683050075

a130 a2

2

− 959938370601687721578870005

a100 a3

2 +238546218559521544315774001

a70a

42 −

3113465771280514771924667

a40a

52

+319180800808119191

a0a62 +

16838859231161451424599625

a140 a4 − 823719688332

63395557225a110 a2a4

+293446955050073538846381

a80a

22a4 − 2680992187152

73538846381a50a

32a4 +

53676647496073538846381

a20a

42a4

+6073503412708787916211225

a90a

24 −

1388203429524775249765

a60a2a

24 +

20181942922810505549483

a30a

22a

24

− 6809238056179409

a32a

24 +

25654209856852527747415

a40a

34 −

2021766264955049953

a0a2a34

− 52056289524561735619626125

a120 a6 +

1035628953565030781525

a90a2a6 − 465901461376

12856441675a60a

22a6

+391811233762571288335

a30a

32a6 − 2846688

4321493a42a6 − 8240221256

500900325a70a4a6

+12367268704367326905

a40a2a4a6 − 2627224872

367326905a0a

22a4a6 − 100043496

19332995a20a

24a6


+940840628166966775

a50a

26 −

364738926678671

a20a2a

26 +

5241663365

a4a26

+425127229226806351475

a100 a8 − 19069715072

756261275a70a2a8 +

3460742952151252255

a40a

22a8

− 9107966430250451

a0a32a8 +

39606612030250451

a50a4a8 − 1817041788

151252255a20a2a4a8

+332316392863

a24a8 − 446498

85405a30a6a8 +

31200781964315

a2a6a8

+739510213750205

a0a28 −

1182552626119409675

a80a10 +

7566784350175

a50a2a10−

− 32352839215

a20a

22a10 − 7540894

1137235a30a4a10 +

183906103385

a2a4a10

+365716310155

a0a6a10 +118873241038345

a60a12 − 2371462

207669a30a2a12

+110509889

a22a12 +

4688829667

a0a4a12 − 216902387

a40a14

+606217

a0a2a14 +317

a20a16 − a18 (IV.58)

IV.5.- METODO FHP PARA EL CALCULO DE MOMENTOSA PARTIR DEL DESARROLLO DEL POTENCIAL DE ERNSTEN EL EJE DE SIMETRIA

Siguiendo las definiciones de Geroch y Hansen, para el caso de simetrıa axial,de los momentos multipolares relativistas de una metrica estacionaria de vacıo,G.Fodor, C.Hoenselaers y Z.Perjes [Fodor et al,1989] obtuvieron un algoritmo decalculo de dichos momentos a partir del desarrollo en el eje del potencial de Ernst.Recordemos que las dos familias de momentos multipolares que posee una metricano estatica, se construyen en el formalismo de Hansen a partir de dos funcionesescalares φM y φJ definidas segun expresiones (IV.34). Si se reescriben estasfunciones en terminos del potencial transformado de Ernst ξ (II.42), teniendo encuenta que f y W son la parte real e imaginaria respectivamente del potencial deErnst E, obtenemos una funcion compleja de la forma

φ ≡ φM + iφJ =ξ

(ξξ∗ − 1). (IV.59)

Como ya hemos mencionado, Hansen demostro que las transformadas conformesde esta funcion φ son holomorfas, es decir, existen las derivadas contınuas de


clase C∞ en el punto del infinito, y por tanto los momentos multipolares quedanperfectamente definidos. Este hecho se debıa a que las ecuaciones de Einstein enterminos de la funcion conforme φ tiene soluciones, que siendo contınuas en elpunto del infinito, son necesariamente holomorfas.

La novedad introducida por Fodor, Hoenselaers y Perjes para obtener sualgoritmo de calculo, consiste en considerar como funcion φ el propio potencialtransformado de Ernst ξ. Esta eleccion es obviamente satisfactoria pues la funciontransformada conforme ξ es una funcion holomorfa en el punto del infinito comoprescribe el formalismo de Geroch-Hansen. Para ver esto, tengase en cuenta queuna de las ecuaciones de Einstein referidas a la metrica gij = fgij es, como vimosen el capıtulo II, la propia ecuacion de Ernst para metricas con simetrıa axial. Portanto, al ser esta ecuacion invariante conforme, nos permite concluir, siguiendo elmismo argumento de Hansen para la funcion φ, que ξ es holomorfa en el puntodel infinito.

La ventaja manifiesta de utilizar como funcion φ el potencial de Ernst ξ, sebasa no solo en la simplicidad de las ecuaciones de Einstein (Ernst) en comparacioncon las que resultan de utilizar la funcion propuesta por Hansen (IV.59), sinoprincipalmente, en que permitiran, como veremos a continuacion, expresar losmomentos en terminos de los coeficientes del desarrollo de esta funcion ξ sobre eleje de simetrıa.

El calculo de los momentos multipolares aplicando la definicion de Geroch-Hansen a la funcion compleja ξ constituye lo que hemos llamado metodo FHP .Lo que a continuacion vamos a detallar es este procedimiento, reproduciendoexplıcitamente los calculos de este metodo, que en la referencia [Fodor et al, 1989]no se exponen claramente.

Sea la metrica cociente habitual gij

gij = gij − g0ig0j

g00, (IV.60)

en la variedad tridimensional V3 obtenida a partir de una metrica estacionaria ycon simetrıa axial gαβ (II.36) solucion de las ecuaciones de Einstein de vacıo. Con-struyamos mediante una transformacion conforme la metrica gij = fgij , siendo f

el cuadrado del vector de Killing temporal.

Introducimos ahora la variedad V3. Para ello hemos de definir un puntodel infinito Λ que se anade a la variedad V3, y realizar una transformacion con-forme de la metrica gij = Ω2gij segun definicion (IV.20). Para poder manipularcomodamente el punto del infinito Λ, realizamos un cambio de coordenadas, de


manera que lo situamos en el origen, de la siguiente manera

ρ =ρ

ρ2 + z2

z =z

ρ2 + z2

ϕ =ϕ ,

(IV.61)

siendo x1 ≡ ρ, x2 ≡ z, x3 ≡ ϕ las coordenadas cilındricas de Weyl habituales.En este sistema de coordenadas la metrica gij se escribe como sigue

gij =

e2γ 0 00 e2γ 00 0 ρ2

1

r4, (IV.62)

donde r2 ≡ ρ2 + z2 es la coordenada radial esferica asociada a las cilındricas. Enlo que respecta al factor conforme Ω, recuerdese que debe ser tal que la metrica gij

contruıda a partir de el sea holomorfa. Como el punto del infinito Λ se correspondecon el origen del sistema de coordenadas introducido, es necesario una transfor-macion conforme de factor Ω = r2 para que la metrica (IV.62) sea holomorfa.Ademas, sobre el punto del infinito, este factor conforme y su derivada deben sernulos y su derivada covariante de segundo orden proporcional a la metrica de lavariedad asintoticamente plana, es decir, gij . Es evidente que estas dos primerascondiciones se verifican

(r2)Λ = 0 , (∂ir2)Λ = 0 . (IV.63)

Respecto a la segunda derivada covariante, sobre el punto del infinito se tiene

(∇i∇j r2)Λ = 2

1 0 00 1 00 0 0

= 2(gij)Λ , (IV.64)

donde se ha tenido en cuenta que, como la metrica es asintoticamente plana, lafuncion metrica γ decae a cero en el infinito, es decir, (γ)Λ = 0.

A partir del potencial transformado de Ernst ξ, que en el metodo FHP rep-resenta la funcion φ de la definicion de Geroch, construımos el potencial conformeξ = Ω−1/2ξ. La ecuacion de Ernst para dicho potencial conforme ξ escrita encoordenadas ρ, z, ϕ resulta ser

(r2ξξ∗ − 1)4ξ = 2ξ∗[r2(∇ξ)2 + 2rξ∇ξ∇r + ξ2

], (IV.65)


donde los operadores 4 y ∇ son el Laplaciano y el gradiente habitual en tresdimensiones. No obstante, debido a la simetrıa axial de la solucion, dichos oper-adores se pueden considerar unicamente con derivadas en el plano ρ, z. Podemoscalcular explıcitamente el tensor de Ricci, de la metrica conforme gij = Ω2gij , quese escribe formalmente como la metrica gij , es decir,

gij =

e2γ 0 00 e2γ 00 0 ρ2

, (IV.66)

obteniendose el siguiente resultado

R11 =− γρρ − γzz +1ργρ

R22 =− γρρ − γzz − 1ργρ

R12 =1ργz

. (IV.67)

Con lo cual, las derivadas de la funcion metrica γ se obtienen en terminos deltensor de Ricci como sigue

γρ =12ρ(R11 − R22)

γz =ρR12

. (IV.68)

Estas expresiones son muy utiles pues nos van a permitir escribir las compo-nentes del tensor de Ricci Rij en terminos del Rij . en efecto, tengase en cuentaque para una transformacion generica de la metrica gij = e2σ gij el tensor de Riccise puede calcular como sigue

Rij = Rij − ∇i∇jσ + ∇iσ∇jσ − gij(42σ + 41σ) , (IV.69)

siendo en nuestro caso concreto σ ≡ lnΩ = 2 ln r. Haciendo ahora uso de lasexpresiones (IV.68) para la funcion γ, se tiene

R11 =z2

r2R11 −

2ρz

r2R12 +

ρ2

r2R22

R12 =ρz

r2R11 +

z2 − ρ2

r2R12 −

ρz

r2R22

R22 =ρ2

r2R11 +

2ρz

r2R12 +

z2

r2R22

. (IV.70)


Ahora bien, sabemos que en virtud de las ecuaciones de Einstein referidas a lametrica gij , el tensor de Ricci se puede escribir en terminos del potencial de Ernstcomo sigue

Rij = (E + E∗)−2(EiE∗j + EjE

∗i ) . (IV.71)

Si utilizamos el potencial de Ernst ξ, es facil comprobar entonces que el tensor deRicci se escribe en funcion de este de la siguiente manera

Rij = (ξξ∗ − 1)−2(ξiξ∗j + ξjξ

∗i ) . (IV.72)

Finalmente, si utilizamos el potencial conforme ξ y escribimos el tensor de RicciRij en las coordenadas asintoticas ρ, z obtenemos

Rij = (r2ξξ∗ − 1)−2(FiF∗j + FjF

∗i ) , (IV.73)

siendoFi ≡ r ξi + ξ ∂ir . (IV.74)

Como conocemos el tensor de Ricci Rij en terminos de Rij , finalmente obten-emos

Rij =1

(r2ξξ∗ − 1)2(GiG

∗j + GjG

∗i ) , (IV.75)

donde se ha definido

G1 ≡ z ξρ − ρ ξz

G2 ≡ ρ ξρ + z ξz + ξ , G3 = 0 .(IV.76)

Tenemos ası todos los elementos necesarios en la variedad (V3, gij) en funcionde ξ para proceder a exponer el metodo FHP , que desarrollaremos utilizando lasdefiniciones de Geroch-Hansen. El objetivo del algoritmo FHP , como ya se hadicho, es calcular los momentos multipolares en terminos de los coeficientes deldesarrollo, en el eje de simetrıa, del potencial conforme de Ernst, es decir,

ξ(ρ = 0) =∞∑

n=0

mnzn . (IV.77)

Notemos que, siendo ξ una funcion holomorfa, de forma general se puede escribircomo sigue

ξ =∞∑

i,j=0

aij ρizj , (IV.78)


de tal manera que los coeficientes a0j resultan ser los coeficientes mj del desarrollosobre el eje. Para el resto de los coeficientes aij con i > 0, obtenemos relacionesrecurrentes a partir de los a0j , imponiendo a la expresion (IV.78) que verifique laecuacion de Ernst (IV.65). Un calculo laborioso conduce a la siguiente expresion†:

4h2a2h,q =− (q + 1)(q + 2)a2h−2,q+2+

+∑

i+k+n=2h−2j+l+s=q

(n2 + s2 − 4n− 5s− 2in− 2js− 2)aija∗klans+

+∑

i+k+n=2hj+l+s=q−2

n(n− 2i)aija∗klans+

+∑

i+k+n=2h−4j+l+s=q+2

s(s− 1− 2j)aija∗klans ; h ≥ 1 , q ≥ 0

a2h+1,q = 0 ; h ≥ 0 , q ≥ 0 ,(IV.79)

donde todos los ındices han de ser numeros naturales. En consecuencia, notemosque en la expresion anterior para a2h,q, si h = 1 el tercer sumatorio no ha de serconsiderado, de la misma manera que para q ≤ 1 el segundo sumatorio tampocoexiste.

Procedamos ahora segun el formalismo de Geroch-Hansen, para construir losmomentos multipolares como unos tensores completamente simetricos y sin trazade la forma recursiva descrita en la expresion (IV.24), es decir, para orden n ≥ 1tenemos

P(n)i1...in

= T S[∇in P

(n−1)i1...in−1

− 12(n− 1)(2n− 3)Ri1i2 P

(n−2)i3...in

], (IV.80)

donde una vez mas los sımbolos S y T representan las operaciones de simetrizaciony sustraccion de traza respectivamente. P

(n)i1...in

es simetrico por construccion, porlo que vamos a introducir la siguiente notacion para todos los tensores construıdosa partir de ahora

P(n)a,b,c ≡ P

(n)

1 . . . 1︸︷︷︸a

2 . . . 2︸︷︷︸b

3 . . . 3︸︷︷︸c

, a + b + c = n , (IV.81)

† Notese que en la referencia indicada los autores utilizan una notacion quepuede conducir a equivocacion en su formula (16), pues no parece observarse quelos dos ultimos sumandos que allı aparecen incluyan de forma adecuada todas lasvariaciones posibles en los valores de los ındices del sumatorio.


es decir, los ındices a, b y c representan el numero de ındices con valores 1, 2 y 3respectivamente que posean las componentes de cualquier tensor de orden n, detal forma que la suma de dichas cantidades coincida con el numero de ındices (n)de dicho tensor.

Utilizando estas notaciones, vamos a proceder a describir de forma generica larelacion de recurrencia (IV.80). El primer sumando de dicha expresion , es decir,la derivada covariante del tensor de un orden menor, se escribira como sigue

S(∇in P(n−1)i1...in−1

) =1n

[a∇1P

(n−1)a−1,b,c + b∇2P

(n−1)a,b−1,c + c∇3P

(n−1)a,b,c−1

]. (IV.82)

En lo que respecta al segundo sumando, que involucra al tensor de Ricci, ten-dremos lo siguiente

S(Ri1i2 P(n−2)i3...in

) =1

n(n− 1)[a(a− 1)R11P

(n−2)a−2,b,c+

+ b(b− 1)R22P(n−2)a,b−2,c + 2abR12P

(n−2)a−1,b−1,c] .

(IV.83)

Escribamos explıcitamente las derivadas covariantes de la expresion (IV.82) yobtendremos

∇1P(n)a,b,c =∂1P

(n)a,b,c − a

[Γ1

11P(n)a,b,c + Γ2

11P(n)a−1,b+1,c

]−

−b[Γ1

21P(n)a+1,b−1,c + Γ2

21P(n)a,b,c

]− c(Γ3

31P(n)a,b,c)

∇2P(n)a,b,c =∂2P

(n)a,b,c − a

[Γ1

12P(n)a,b,c + Γ2

12P(n)a−1,b+1,c

]−

−b[Γ1

22P(n)a+1,b−1,c + Γ2

22P(n)a,b,c

]

∇3P(n)a,b,c =− aΓ3

13P(n)a−1,b,c+1 − cΓ1

33P(n)a+1,b,c−1

, (IV.84)

habiendo tenido en cuenta que, debido a la simetrıa axial, no existe dependenciaen la coordenanda 3 (angulo azimutal), con lo cual la conexion de la metrica gij

verificaΓ3

Ai = ΓC3B = 0 , A, B, C = 1, 2,

Γ333 = Γ2

33 = 0 .(IV.85)

Ası pues, utilizando estos ultimos resultados (IV.84) obtenemos la siguiente ex-


presion para el tensor P(n)i1...in

(n ≥ 1)

P(n)a,b,c =

1nT a∂1P

(n−1)a−1,b,c + b∂2P

(n−1)a,b−1,c−

−[a(a− 1)Γ1

11 + 2baΓ212 + 2acΓ3

13

]P

(n−1)a−1,b,c−

−[2abΓ1

12 + b(b− 1)Γ222

]P

(n−1)a,b−1,c−

−a(a− 1)Γ211P

(n−1)a−2,b+1,c − b(b− 1)Γ1

22P(n−1)a+1,b−2,c − c(c− 1)Γ1

33P(n−1)a+1,b,c−2−

−(n− 32)[a(a− 1)R11P

(n−2)a−2,b,c + 2abR12P

(n−2)a−1,b−1,c + b(b− 1)R22P

(n−2)a,b−2,c

],

(IV.86)donde T denota la operacion de sustraccion de la traza.

Consideremos ahora estos tensores, P(n)a,b,c sin efectuar sobre ellos la operacion

de sustraccion de traza, es decir, los tensores que se obtienen de la relacion re-currente anterior (IV.86) donde se haya eliminado el sımbolo T . Construyamos apartir de ellos unos nuevos tensores S

(n)a,b,c definidos de la siguiente manera

S(0)a,b,c ≡ P

(0)a,b,c

S(1)a,b,c ≡ P

(1)a,b,c

S(n)a,b,c ≡ P

(n)a,b,.c + M

(n)a,b,c , n ≥ 2

, (IV.87)

siendoM

(n)a,b,c ≡ S(gi1i2Q

(n−2)i3...in

) . (IV.88)

De tal manera que los momentos de Geroch-Hansen completamente simetricos ysin traza P

(n)a,b,c resultan de sustraer la traza a estos nuevos tensores S

(n)a,b,c, es decir,

P(n)a,b,c = T (S(n)

a,b,c) . (IV.89)

En consecuencia, los tensores Q(n−2)i3...in

son arbitrarios ya que M(n)a,b,c solo incorpora

terminos adicionales en la traza del tensor S(n)a,b,c, de tal manera que cuando real-

icemos la operacion de sustraccion de la traza, recuperamos la definicion originalde los momentos.

Lo que vamos a mostrar a continuacion es que los tensores Q(n−2)i3...in

siempre sepueden elegir de tal manera que a cualquier orden n se verifique

S(n)a,b,c = 0 , c 6= 0 . (IV.90)

Para n = 0 esta afirmacion es cierta por convenio, pues c no toma el valor cero.Para n = 1 se deduce de la construccion del tensor P

(1)a,b,c y de la condicion de


simetrıa axial. Recuerdese que el ındice c representa el numero de componentesde valor 3 que posea el tensor.

Para el caso n = 2, veamos cual es la expresion de las cantidades S(2)a,b,c con

c 6= 0. Teniendo en cuenta la definicion de estos tensores (IV.87) y haciendo usode la recurrencia (IV.86) para calcular los momentos de orden 2 P

(2)a,b,c, resulta lo

siguiente

S(2)0,1,1 =M

(2)0,1,1

S(2)1,0,1 =M

(2)1,0,1

S(2)0,0,2 =− Γ1

33S(1)1,0,0 + M

(2)0,0,2 .

(IV.91)

Por tanto, para verificar la condicion (VI.90) a orden n = 2, se ha de tomar

M(2)0,0,2 = Γ1

33S(1)1,0,0 , M

(2)0,1,1 = M

(2)1,0,1 = 0 . (IV.92)

Procedamos por induccion, suponiendo que la condicion (IV.90) se verifica paracualquier valor k < n. Calculamos entonces el tensor S

(n)a,b,c con c 6= 0, y se obtiene

S(n)a,b,1 =M

(n)a,b,1

S(n)a,b,2 =− 2

nΓ1

33S(n−1)a+1,b,0 + M

(n)a,b,2

S(n)a,b,c =M

(n)a,b,c , c > 2 .

(IV.93)

Es decir, que para verificar la condicion (IV.90) se han de elegir las siguientescantidades

M(n)a,b,1 = 0

M(n)a,b,2 =

2n

Γ133S

(n−1)a+1,b,0

M(n)a,b,c = 0 , c > 2 .

(IV.94)

Calculemos ahora que tensores Q(n−2)i3...in

permiten elegir esos M(n)a,b,c. Teniendo en

cuenta la definicion (IV.88) se construye el producto simetrizado de un tensorQ

(n−2)i3...in

de orden n − 2 con la metrica gi1i2 . Es decir, escribiendo la definicion(IV.88) en la notacion de ındices a, b, c, y teniendo en cuenta que la metrica esdiagonal, se obtiene

M(n)a,b,c =

1n(n− 1)

[a(a− 1)g11Q(n−2)a−2,b,c+b(b− 1)g22Q

(n−2)a,b−2,c+

+c(c− 1)g33Q(n−2)a,b,c−2] .

(IV.95)


Por tanto, de la igualdad de estas expresiones con las condiciones (IV.94) para eltensor M

(n)a,b,c se llega al siguiente sistema de ecuaciones

a(a− 1)g11Q(n−2)a−2,b,1 + b(b− 1)g22Q

(n−2)a,b−2,1 = 0

a(a− 1)g11Q(n−2)a−2,b,2 + b(b− 1)g22Q

(n−2)a,b−2,2 + 2g33Q

(n−2)a,b,0 = 2(n− 1)Γ1

33S(n−1)a+1,b,0

a(a− 1)g11Q(n−2)a−2,b,c + b(b− 1)g22Q

(n−2)a,b−2,c + c(c− 1)g33Q

(n−2)a,b,c−2 = 0 .

(IV.96)La solucion mas simple es tomar Q

(n−2)a,b,c = 0 para c 6= 0, con lo cual se verifican

automaticamente la primera y tercera ecuacion, y para c = 0 el tensor Q(n−2)a,b,c

queda obligado por la segunda ecuacion a valer lo siguiente

Q(n−2)a,b,0 =

n− 1g33

Γ133S

(n−1)a+1,b,0 . (IV.97)

Por tanto, podemos concluir que siempre es posible elegir, para cualquier ordenn, tensores M

(n)a,b,c de manera que las unicas cantidades no nulas del tensor S

(n)a,b,c

son S(n)a,b,0.

Como los valores de los ındices a, b y c suman el total de ındices del tensor,podemos definir la siguiente cantidad

S(n)a ≡ S

(n)a,n−a,0 . (IV.98)

Teniendo en cuenta esta notacion, los tensores S(n)a,b,0 definidos en (IV.87) resultan

S(0)0 ≡P

(0)0,0,0

S(1)0 ≡P

(1)0,1,0 = ∂2S

(0)0

S(1)1 ≡P

(1)1,0,0 = ∂1S

(0)0

S(n)a =M

(n)a,n−a,0 +

1na∂1S

(n−1)a−1 + (n− a)∂2S

(n−1)a − a[(a− 1)Γ1

11+

+ 2(n− a)Γ212]S

(n−1)a−1 − (n− a)

[2aΓ1

12 + (n− a− 1)Γ222

]S(n−1)

a −− a(a− 1)Γ2

11S(n−1)a−2 − (n− a)(n− a− 1)Γ1

22S(n−1)a+1 −

− (n− 32)[a(a− 1)R11S

(n−2)a−2 + 2a(n− a)R12S

(n−2)a−1 +

+ (n− a)(n− a− 1)R22S(n−2)a ]

,

(IV.99)donde M

(n)a,n−a,0 es, segun su definicion anteriormente expresada (IV.95), la sigu-

iente cantidad

M(n)a,n−a,0 =

1n(n− 1)

[a(a− 1)g11Q

(n−2)a−2,n−a,0 + b(b− 1)g22Q

(n−2)a,n−a−2,0

].

(IV.100)


Tomando para los tensores Q(n−2)a,b,0 los valores adecuados encontrados en (IV.97),

obtenemos entonces

M(n)a,n−a,0 =

Γ133

n

[a(a− 1)

g11

g33S

(n−1)a−1,n−a,0 + b(b− 1)

g22

g33S

(n−1)a+1,n−a−2,0

]. (IV.101)

En conclusion, hemos obtenido expresiones recurrentes para los tensores S(n)a ,

a partir de los cuales, y sustrayendo su traza, nos permitiran calcular los momentosmultipolares definidos por Geroch-Hansen. Teniendo en cuenta que el metodoFHP utiliza como funcion escalar φ el potencial transformado de Ernst ξ, setienen las siguientes expresiones para las cantidades S

(n)a

S(0)0 =ξ, S

(1)0 = ∂zS

(0)0 , S

(1)1 = ∂ρS

(0)0

S(n)a =

1na∂ρS

(n−1)a−1 + (n− a)∂zS

(n−1)a +

a

[(a + 1− 2n)∂ργ − a− 1

ρ

]S

(n−1)a−1 + (a− n)(a + n− 1)∂zγS(n−1)

a +

a(a− 1)∂zγS(n−1)a−2 + (n− a)(n− a− 1)(∂ργ − 1

ρ)S(n−1)

a+1 −

(n− 32)(a(a− 1)R11S

(n−2)a−2 + 2a(n− a)R12S

(n−2)a−1 +

(c− e)(c− e− 1)R22S(c−2)e )

(IV.102)Por ultimo, recordemos que, debido a la simetrıa axial, los momentos multi-

polares se reducen a cada orden a una unica cantidad, que se calcula proyectandolos tensores sin traza sobre el eje de simetrıa y evaluando en el punto del infinito.En consecuencia, necesitamos conocer la componente sobre el eje de la parte sintraza de un tensor completamente simetrico. Se puede obtener facilmente, porinduccion, que la parte sin traza de un tensor completamente simetrico de ordenn se calcula de la siguiente manera

T (Ti1...in) = Ti1...in +[n/2]∑

k=1

A(n)k S[gi1i2 gi3i4 . . . gi2k−1i2k

×

× gi1i2 gi3i4 . . . gi2k−1i2kTi1i2...in ]

,

(IV.103)donde se ha mantenido la notacion utilizada hasta ahora, T y S para las opera-ciones de sustraccion de traza y simetrizacion respectivamente. Los coeficientesA

(n)k tienen la siguiente expresion

A(n)k = (−1)k n!(2n− 2k − 1)!!

2kk!(n− 2k)!(2n− 1)!!. (IV.104)


Si tomamos unicamente la componente 2 de este tensor nos queda

T (Ti1...in)2...2 = T2...2

1 +

n!(2n− 1)!!

[n/2]∑

k=1

(−1)k(2n− 2k − 1)!!2kk!(n− 2k)!

=

= T2...2

[n/2]∑

k=0

(−1)k(2n− 2k − 1)!!2kk!(n− 2k)!

n!

(2n− 1)!!.

(IV.105)Se puede demostrar que el sumatorio de la expresion anterior vale 1, con lo cual,tenemos que la componente sobre el eje de la parte sin traza de un tensor comple-tamente simetrico es proporcional a la componente sobre el eje de dicho tensor.Aplicando este resultado al tensor S

(n)a,b,c se obtiene lo siguiente

T (S(n)a,b,c)2...2 =

n!(2n− 1)!!

(S(n)a,b,c)2...2 ≡ S

(n)0

n!(2n− 1)!!

, (IV.106)

donde se ha utilizado la notacion de (IV.98) para el tensor S(n)a .

Teniendo en cuenta la definicion de Geroch (IV.36), el momento multipolarde orden n vendra dado por la componente sobre el eje del tensor S

(n)a sin traza

y evaluado en el punto del infinito, es decir,

Mn ≡ 1n!T (S(n)

a )2...2 =1

(2n− 1)!!S

(n)0 . (IV.107)

Para concluir, resumamos el algoritmo FHP para el calculo de un momentomultipolar de orden n:

1) Sea una metrica estacionaria de vacıo con simetrıa axial gαβ . Considereseel potencial de Ernst ξ correspondiente y desarrollemoslo en serie (IV.78) a unorden n en la suma de potencias de ρ y z. Calculemos los coeficientes aij de dichodesarrollo utilizando la expresiones recurrentes (IV.79).

2) Construyase la variedad (V3, gij) mediante la definicion (IV.20), intro-duciendo un factor conforme Ω adecuado y un punto del infinto Λ.

3) Considerese el potencial conforme ξ = Ω−1/2ξ y calculese el tensor de RicciRij en terminos del mismo, segun expresion (IV.75), a un orden n− 2 en la sumade potencias de ρ y z.

4) A partir de las expresiones (IV.102) se calculan de forma recurrente lostensores S

(n)a , de manera que los momentos multipolares masicos y dinamicos de

orden n son la parte real e imaginaria respectivamente de la siguiente expresion

S(n)0

(2n− 1)!!. (IV.108)

V

SOLUCIONES ESTATICAS

CON UN NUMERO FINITO DE

MULTIPOLOS

V.1.- INTRODUCCION

En gravitacion newtoniana, como ya vimos, el campo creado por un objetode masa M y con simetrıa axial viene determinado en cada punto del espacioexterior por el potencial (IV.17). La descripcion del campo mediante dicha serietiene la gran ventaja de poner de manifiesto una caracterıstica fısica de la fuentetan importante como es su distribucion masica. Ademas, como todos los suman-dos son soluciones de la ecuacion de Laplace, se puede cortar la serie a cualquierorden n, obteniendo ası una solucion que admite las dos posibles interpretacionessiguientes. O bien que representa el campo en un punto suficientemente alejadode la fuente como para poder despreciar los terminos correspondientes a los mo-mentos superiores al orden n, o bien que la fuente tiene una distribucion masicalo suficientemente proxima a la simetrıa esferica como para que dichos momentossean despreciables. Este segundo supuesto es el mas natural en astrofısica pueslos objetos celestes no difieren excesivamente de la distribucion esferica.

Ası por ejemplo, si consideramos un cuerpo elipsoidal homogeneo de rev-olucion y con semiejes (a, a, b), que constituye una posible configuracion deequilibrio [Chandrasekhar, 1969], los momentos multipolares se escriben como

70

V.- Soluciones estaticas con un numero finito de multipolos 71

sigue†

D2n =(−2)n 3Ma2n

(2n + 1)(2n + 3)εn(1− ε/2)n

D2n+1 = 0

, ε ≡ a− b

a, (V.1)

formula que pone en evidencia la progresiva disminucion de la importancia de losmomentos para pequenas desviaciones de la esfericidad, ya que el parametro ε

mide dicha desviacion y aparece elevado a potencias cada vez mayores (notemosque este parametro sera positivo o negativo segun que el elipsoide sea achatadoo alargado respectivamente). Calculando explıcitamente, a partir de la expresionanterior, el momento cuadrupolar D2, obtenemos

D2 =Ma2

5(ε2 − 2ε) . (V.2)

Esta relacion nos permite relacionar la excentricidad con el momento cuadrupolarde la siguiente forma

ε = 1−√

1 +D2a2

5M5, (V.3)

donde se ha tomado el signo negativo de la raiz, porque ε debe ser un parametromenor que la unidad. Por tanto, el control de las desviaciones respecto a la simetrıaesferica, puede ser atribuıdo al momento cuadrupolar mediante un parametroadimensional construıdo a partir de el y que mas tarde introduciremos.

La generalizacion de todo lo anterior a la Relatividad General plantea comoes sabido serias dificultades incluso en el caso estatico, que es el mas sencillo.La razon fundamental proviene de que no se conoce la solucion general de lasecuaciones de Einstein correspondientes (vacıo, estaticidad y simetrıa axial) enterminos de la fuente, ya que no se dispone de una funcion de Green para estasecuaciones, cosa que sı ocurre para la ecuacion de Poisson. Consecuentemente noes posible por el momento desarrollar un programa absolutamente coherente debusqueda de soluciones caracterizadas por propiedades fısicas de la fuente ligadasa su distribucion masica. Sin embargo, los momentos multipolares relativistas,

† Se ha hecho uso de la siguiente integral (vease 7.226/3 [Gradshteyn et al,1965])

∫ 1

−1

(1 + px2)−n−3/2P2n(x)dx =2

2n + 1(−p)n(1 + p)−n−1/2 , |p| < 1


aunque no tengan una relacion directa con la fuente, son utilizados para carac-terizar soluciones de vacıo

En los ultimos anos se han desarrollado varios metodos para encontrar solu-ciones exactas de las ecuaciones de Einstein–Maxwell tomando como base lostrabajos de Ernst [Ernst, 1968a,b], dando lugar incluso a una sobreabundanciade las mismas. Estas soluciones se interpretan a posteriori fısicamente calculandosus momentos relativistas, sin que estos hayan jugado ningun papel en el procesode busqueda, por lo que en alguna ocasion dichas soluciones son de un interesdudoso.

Nuestro proposito es modificar este procedimiento buscando soluciones quetengan prefijados unos momentos multipolares determinados. En este capıtulonos centraremos en el caso sencillo de las metricas estaticas y con simetrıa axial,ya que en este caso se conoce la solucion general de Weyl, lo que permite poner enmarcha el metodo que utilizaremos. Mas concretamente construiremos la solucionmonopolo–cuadrupolo, es decir, tal que todos sus momentos multipolares seannulos excepto la masa y el momento quadrupolar, de forma que su equivalenteclasico sea la solucion formada por los dos primeros terminos de la serie (IV.17).En consecuencia podra considerarse como una pequena desviacion de la solucionesfericamente simetrica, es decir, de la solucion de Schwarzschild.

Como se vera a continuacion, la solucion que aportamos queda descrita comouna serie, donde cada termino debido a la linealidad de la ecuacion de Laplacees a su vez una solucion exacta de las ecuaciones de Einstein. La solucionmultipolar pura monopolo-quadrupolo ası presentada debe entenderse en el con-texto de la teorıa de perturbaciones, de tal manera que cada suma parcial dela serie constituye una solucion exacta mas aproximada a la solucion Monopolo–Cuadrupolo. Ello es ası porque, como veremos, dichas sumas parciales describencorrecciones quadrupolares mas finas respecto de la simetrıa esferica, en terminosde un parametro adimensional relacionado unicamente con el momento cuadrupo-lar.

V.2.- ESTRUCTURA DE LA SOLUCION MULTIPOLAR PURAMONOPOLO–CUADRUPOLO

Como ya se dijo en la introduccion, el objetivo fundamental de este capıtuloes buscar la solucion monopolo–quadrupolo puro de las ecuaciones de vacıo deEinstein para el caso estatico y con simetrıa axial. Esto significa que de entretodas las soluciones de Weyl definidas por las funciones metricas (III.7) y (III.8),


debemos entresacar aquella que tiene todos los momentos multipolares de Gerochnulos excepto la masa y el momento cuadrupolar.

Para conseguir dicho objetivo es necesario primero obtener las constantes an

de Weyl en funcion de los momentos Mn, lo cual se puede hacer facilmente a partirde la expresion (IV.58) debido a su estructura triangular, es decir, debido a quecada momento Mn solamente contiene las constantes de Weyl ak con k ≤ n, siendoademas lineal en la constante an. A continuacion se deben anular todos los momen-tos de orden superior a 2 para obtener ası las constantes an como funciones de losdos unicos parametros M ≡ M0 y Q ≡ M2. El resultado obtenido en este proceso,que se ha realizado una vez mas utilizando los programas informaticos de calculosimbolico MAPLE − V y MATHEMATICATM, es el siguiente (mostramos lasexpresiones correspondientes a las 12 primeras constantes de Weyl, que resultande considerar nulo el multipolo M1 y anular los momentos superiores al M2 ):

a0 = −M0

a2 = −13M3

0 −M2

a4 = −15M5

0 −87M2

0 M2

a6 = −17M7

0 −2521

M40 M2 − 60

77M0M

22

a8 = −19M9

0 −4033

M60 M2 − 820

429M3

0 M22 −

40143

M32

a10 = − 111

M110 − 175

143M8

0 M2 − 460143

M50 M2

2 −300187

M20 M3

2

a12 = − 113

M130 − 16

13M10

0 M2 − 6013

M70 M2

2 −1000221

M40 M3

2

− 1980029393

M0M42 . (V.4)

A partir de estas formulas (V.4) se concluye trivialmente que la estructuragenerica de la expresion de las constantes an en funcion de la masa M y el momentocuadrupolar Q es la siguiente:

a2n = −M2n+1αn∑

α=0

qαF (α, n) , a2n+1 = 0 , (V.5)

donde se ha introducido el parametro adimensional q ≡ Q/M3 y donde el lımitesuperior αn depende de cada valor de n como sigue:

αn ≡ 13(2n + hn) , (V.6)


siendo hn una funcion discreta de n definida en terminos de las clases de restosmodulo 3 de la forma siguiente:

hn =

0 : n ∈ [0]

1 : n ∈ [1]

−1 : n ∈ [2]

. (V.7)

La dificultad fundamental consiste en determinar la funcion numerica F (α, n),para lo cual no existe un procedimiento canonico, pues en principio requiere delcalculo de sus valores para todo α y n. Con objeto de poner de manifiesto laestructura de esta funcion para diferentes valores de α, es decir, la potencia delparametro q, y n arbitrario, escribimos las formulas que corresponden a los 5primeros valores de α:

F (0, n) =1

2n + 1

F (1, n) = 5n [n + 2]

(2n + 1)(2n + 3)

F (2, n) =52

n(n− 1)(n− 2) [5n + 21](2n + 1)(2n + 3)(2n + 5)

F (3, n) =256

n(n− 1)(n− 2)(n− 3)[5n2 + 18n− 98

]

(2n + 1)(2n + 3)(2n + 5)(2n + 7)

F (4, n) =2524

n(n− 1)(n− 2)(n− 3)(n− 4)(n− 5)[25n2 + 155n− 642

]

(2n + 1)(2n + 3)(2n + 5)(2n + 7)(2n + 9).

(V.8)

Estas expresiones surgen de forma natural al analizar para cada contribucionen el parametro q, es decir, en cada valor de α, la sucesion de valores en funcionde n. Dichos valores son numeros racionales cuyos denominadores son el productode impares consecutivos y los numeradores crecen, con el valor de n de formapolinomica, como muestran las expresiones anteriores.

A la vista de estas formulas puede observarse que para cada valor de α, lafuncion F (α, n) correspondiente tiene dos partes bien diferenciadas. Si obviamosel polinomio que aparece escrito entre corchetes, el factor resultante se puede de-scribir con factoriales y dobles factoriales. Por lo que respecta a los polinomiosentre corchetes, puede comprobarse que para distintos n el valor de estos poli-nomios se obtiene igualmente como una suma finita de potencias de 3 y 5. En


consecuencia, resulta que es posible obtener el termino general que incluya paracada valor de α la sucesion correspondiente en valores de n.

De esta manera se obtiene de forma muy sencilla la siguiente expresion parala funcion F (α, n) correspondiente al monopolo–quadrupolo puro, que de hecho,ajusta perfectamente los valores calculados hasta el orden 21 de los coeficientesde Weyl,

F (α, n) =n!(2n− 1)!!

(2n + 2α + 1)!!

α∑

k=kα

3α−k5k(4α− 3k + 1)(n− α− k)!(α− k)!(2k − α + 1)!

, (V.9)

donde el lımite inferior k(α) de la suma esta definido de la siguiente manera:

k(α) =

α− 12

, α imparα

2, α par

. (V.10)

Una vez conocida la expresion de los coeficientes de Weyl en funcion de lamasa M y el momento cuadrupolar Q, ya es posible analizar la solucion monopolo–cuadrupolo puro que andamos buscando. Para ello basta sustituir el resultado(V.5) para los coeficientes de Weyl en la serie (III.7) de la solucion general deWeyl, obteniendo ası la funcion metrica Ψ correspondiente, es decir,

Ψ = −∞∑

n=0

M2n+1αn∑

α=0

qαF (α, n)P2n(cos θ)

r2n+1. (V.11)

V.3.- LA SOLUCION CUADRUPOLAR PURA

Una primera observacion de la serie anterior (V.11) nos proporciona unadescomposicion interesante de la misma. En efecto, habida cuenta de la forma dela funcion F (α, n), se puede separar la parte que depende unicamente de la masaM y la parte que depende unicamente del momento cuadrupolar Q, dando lugarası a los tres sumandos siguientes:

Ψ ≡ ΨM + ΨQ + ΨMQ , (V.12)


donde se han utilizado las siguientes definiciones:

ΨM = −∞∑

n=0

M2n+1

2n + 1P2n(ω)r2n+1

(V.13a)

ΨQ = −∞∑

k=0

Q2k+1F (2k + 1, 3k + 1)P6k+2(ω)

r6k+3(V.13b)

ΨMQ = −2∑

ν=0

∞∑

j=0

2j+ν∑α=1

QαM6j−3α+2ν+3 F (α, 3j + ν + 1)P6j+2ν+2(ω)

r6j+2ν+3.(V.13c)

La funcion ΨM es bien conocida ya que proporciona la solucion de Schwarz-schild, que puede ser llamada Solucion Monopolar Pura. Por otro lado la funcionΨQ constituye una solucion, escrita en forma de serie, que contiene un unicoparametro Q (momento cuadrupolar) y representa la solucion cuadrupolar pura,en el sentido de que posee solo un momento cuadrupolar en su estructura multi-polar.

Finalmente ΨMQ debe considerarse el acoplamiento monopolo-quadrupolo,que pone de manifiesto el caracter no lineal de la teorıa. Es decir, recuerdese queen gravitacion newtoniana podemos describir el potencial gravitatorio como sumade contribuciones multipolares, de manera que cada una de ellas representa unmomento multipolar y las sumas parciales constituyen una solucion con dichosmomentos. Sin embargo, en Relatividad, si bien las soluciones ΨM y ΨQ aislada-mente son soluciones exactas que representan por sı solas una contribucion mul-tipolar pura, no obstante la suma de ambas no representa la solucion monopolo-cuadrupolo, si no tenemos en cuenta la contribucion ΨMQ.

Sin duda, la solucion ΨQ carece de interes fısico alguno, pues una solucion queno posea masa y tenga momento cuadruplar resulta muy extrana. Sin embargo,esta funcion ΨQ cabe entenderla matematicamente como una solucion exacta delas ecuaciones de Einstein que, por construccion, posee un numero finito de mo-mentos multipolares.

La funcion F (α, n) que aparece en la expresion de ΨQ (V.13b) corresponde avalores del ındice α = 2k + 1 y el ındice n = 3k + 1. Se puede comprobar a partirde (V.9) que para todo valor de k positivo la funcion F (α, n) con los mencionadosındices conduce a la expresion siguiente

F (2k +1, 3k +1) =15k+1

22k+1

2k+1∑

j=0

L4k+2,2j

6k + 2j + 3=

15k+1

22k+1

(6k + 2)!(10k + 5)!!(2k)!!

. (V.14)


Es decir, de la misma manera que la eleccion (III.46) (con γ = 1) de loscoeficientes de Weyl an proporciona la solucion de Schwarzschild, que describe lasimetrıa esferica, la siguiente eleccion de dichos parametros

a6k+2 = −15k+1

22k+1

(6k + 2)!(10k + 5)!!(2k)!!

Q2k+1 , an = 0 , n 6= 6k + 2 ∀k ,

(V.15)

conduce a una solucion que representa el Quadrupolo Puro, cuyo interes debeencontrarse en la posibilidad de obtener soluciones exactas en Relatividad Generalque poseen un unico momento multipolar.

V.4.- SUCESION DE SOLUCIONES EXACTAS

Una vision mucho mas interesante de la solucion (V.11) se obtiene invirtiendoel orden de las sumas y agrupando los terminos en potencias del parametro adi-mensional q, es decir,

Ψ = −∞∑

α=0

qα∞∑

n=0

F (α, n)λ2n+1P2n(cos θ) , λ ≡ M

r. (V.16)

Observese que la inversion estricta en el orden de las series de la expresion (V.11),conduce a esta ultima doble serie (V.16), pero con el valor inferior del ındice n dela segunda serie dependiente del ındice α. Es decir, la segunda serie no empiezaen cero para todo valor de α, sino en el valor mınimo nα que le corresponde envirtud de la conocida relacion (V.6), o sea,

nα =

3α− 12

, α impar

3α

2, α par

. (V.17)

Sin embargo, este hecho se puede obviar, iniciando siempre la segunda serie conel valor n = 0, ya que la funcion F (α, n) se anula para n < nα.

La funcion Ψ ası presentada pone de manifiesto que la solucion buscada sepuede entender como una suma infinita de las siguientes contribuciones:

ΨM−Q = Ψq0 + Ψq1 + Ψq2 + . . . =∞∑

α=0

qαΨqα , (V.18)


siendo

Ψqα = −∞∑

n=0

F (α, n)λ2n+1P2n(cos θ) , (V.19)

y donde el orden cero no es otra cosa que la solucion de Schwarzschild

Ψq0 = −∞∑

n=0

λ2n+1

2n + 1P2n(cos θ) , (V.20)

de manera que cada potencia en q anade una correccion quadrupolar a la solucioncon simetrıa esferica. Ahora bien, hay que tener en cuenta que, como consecuenciade la linealidad de la ecuacion de Laplace, estas correcciones dan lugar a sucesionde soluciones exactas. Es decir, la serie en potencias de q es susceptible de sercortada a cualquier orden, de manera que la suma parcial a ese orden da lugar auna solucion exacta que representa una correccion cuadrupolar de la solucion deSchwarzschild.

El interes del resultado obtenido serıa formal si nos limitaramos a presentarla solucion (V.16) en forma de doble serie, es decir, si no se pudieran sumar lasseries (V.19) que determinan los sumandos de la serie principal (V.18). Afortu-nadamente, la funcion F (α, n) definida por (V.9) puede ser reescrita de forma muyutil, descomponiendo en fracciones simples el resto de la division del cociente depolinomios en n con que se describe la funcion F (α, n) para cada valor de α. Estaoperacion no reviste gran dificultad y conduce finalmente a la siguiente expresionpara la funcion F (α, n):

F (α, n) =α−1∑

j=0

gj(α)nj +α∑

j=0

hj(α)2n + 2j + 1

, (V.21)

donde los coeficientes gj(α) y hj(α) estan definidos por las expresiones siguientes:

gj(α) =α∑

k=kj(α)

3(α−k)5k(4α− 3k + 1)(α− k)!(2k − α + 1)!

Jkj(α)

hj(α) =(

32

)αL2α,2j

(2α + 2j − 1)!!

α∑

k=k(α)

(−5

6

)k (4α− 3k + 1)(2α + 2j + 2k − 1)!!(α− k)!(2k − α + 1)!

(V.22)con las funciones Jkj(α) definidas de forma recurrente como sigue


Jkj(α) =k−1∑

i=j

Ji,j−1(α)(−1)i+k+1 (α + k − 1)!(α + i)!

J10(α) =1

2α+1

Jk0(α) = (−1)k+1 (2k − 3)!!2α+k

(2α + 2k − 1

2k − 2

), k > 1

(V.23)

y donde los lımites inferiores de las sumas (V.22) estan definidos por la ex-presion

kj(α) = maxj + 1, k(α) , (V.24)

donde k(α) se definio previamente en (V.10).Con esta descomposicion de la funcion F (α, n), las series (V.19) se pueden

sumar, obteniendo ası expresiones finitas para cada una de las contribuciones Ψqα .En efecto, sustituyendo (V.21) en (V.19) y reordenando las sumas se obtiene

Ψqα = −α−1∑

j=0

gj(α)∞∑

n=0

njλ2n+1P2n(cos θ)

−α∑

j=0

hj(α)∞∑

n=0

λ2n+1

2n + 2j + 1P2n(cos θ) .

(V.25)

Haciendo uso ahora del Lema–3 y el Lema–4 del Apendice A se llega a la siguienteexpresion finita en coordenadas prolate

Ψqα = −α−1∑

j=0

gj(α)j∑

n=1−δj0

Ajn

[P+

n

(x + y)n+1+ (−1)n P−n

(x− y)n+1

]

−α∑

j=0

hj(α)j∑

n=0

C2j,2nQ2n(x)P2n(y)

(V.26)

y reordenando estas sumas finitas se obtiene finalmente la siguiente expresioninteresante

Ψqα = −α−1∑

k=0

bk(α)[

P+k

(x + y)k+1+ (−1)k P−k

(x− y)k+1

]

−α∑

k=0

qk(α)Q2k(x)P2k(y) ,

(V.27)


donde se han definido los coeficientes

bk(α) =(α−1)(1−δk0)∑

j=k

gj(α)Ajk (V.28a)

qk(α) =α∑

j=k

hj(α)C2j,2k . (V.28b)

Resulta pues, a la vista de la expresion (V.27), que las contribuciones (V.19) a lasolucion Monopolo–Cuadrupolo (V.18) se pueden escribir como sumas finitas desoluciones del tipo de Gutsunayev–Manko [Gutsunayev et al, 1985] y del tipo deErez–Rosen [Erez et al, 1959].

La forma mas elemental de interpretar fısicamente las soluciones exactasdeducidas de las correcciones cuadrupolares anteriores, consiste en analizar losmomentos multipolares correspondientes. A este efecto se puede comprobar, uti-lizando las expresiones (IV.58), que cortando a un cierto orden α la solucion (V.18)se obtiene una solucion exacta con las siguientes propiedades:

a) Los momentos monopolar y quadrupolar son diferentes de cero.

b) Todos los momentos siguientes son nulos hasta el de orden 2(α+1) incluido.

d) Los momentos superiores a este ultimo son de orden qα+1. En consecuenciase trata de una correccion cuadrupolar a la solucion de Schwarzschild que es purahasta el orden multipolar prefijado.

A nuestro juicio, estas soluciones son los primeros intentos realistas de de-scribir pequenas desviaciones de la simetrıa esferica, puesto que las solucionesestaticas conocidas hasta la fecha, como la de Erez-Rosen y la de Gutsunayev–Manko, con dos parametros arbitrarios,tienen un estructura multipolar en la quelos momentos superiores al quadrupolo son del mismo orden que este. Para ilustraresta caracterıstica, observese de forma comparativa los momentos multipolares deambas soluciones (los momentos de orden impar son nulos)

MGM0 = MER

0 = M

MGM2 = MER

2 =215

q2M3

MGM4 = −3MER

4 =435

q2M5

MGM6 = MER

6 − 27

81733

M2MER4 =

215

4231

q2M7(

1947

+1415

q2)

, (V.29)


donde ha de tenerse en cuenta que la relacion entre el parametro q2 de lametrica de Erez-Rosen y nuetro parametro q es q2 = (15/2)q, de manera quetengamos el mismo momento cuadrupolar M2.

A continuacion presentamos el resultado explıcito para la solucion a primerorden, que describe la deformacion cuadrupolar de una fuente masiva, y que quedadefinida por las siguientes funciones metricas [Hernandez-Pastora et al, 1993]

Ψ(1)M−Q ≡Ψq0 + Ψq1 =

12

ln(

x− 1x + 1

)+

58q(3y2 − 1)×

×[(

3x2 − 14

− 13y2 − 1

)ln

(x− 1x + 1

)− 2x

(x2 − y2)(3y2 − 1)+

3x

2

],

(V.30)

γ =12

(1 +

22524

q2

)ln

(x2 − 1x2 − y2

)

− 158

qx(1− y2)[1− 15

32q

(x2 + 7y2 − 9x2y2 + 1− 8

3x2 + 1x2 − y2

)]ln

(x− 1x + 1

)

+2251024

q2(x2 − 1)(1− y2)(x2 + y2 − 9x2y2 − 1) ln2

(x− 1x + 1

)

− 154

q(1− y2)[1− 15

64q(x2 + 4y2 − 9x2y2 + 4)

]

− 7516

q2x2 1− y2

x2 − y2− 5

4q(x2 + y2)

1− y2

(x2 − y2)2

− 75192

q2(2x6 − x4 + 3x4y2 − 6x2y2 + 4x2y4 − y4 − y6)1− y2

(x2 − y2)4.

(V.31)El calculo de los doce primeros momentos multipolares relativistas de esta

solucion conduce a lo siguiente (M1 = M3 = M5 = M7 = M9 = M11 = 0, por susimetrıa ecuatorial)

M0 = M , M2 = M3q , M4 = 0 , M6 = −6077

M7q2

M8 = −10603003

M9q2 − 40143

M9q3 , M10 = − 19880138567

M11q2 +146500323323

M11q3

M12 = − 23600437437

M13q2 +5176001062347

M13q3 +42594007436429

M13q4 .

(V.32)Queda claramente de manifiesto que el parametro Q ≡ qM3 que representa elmomento quadrupolar masico, aparece en los momentos multipolares M2n, para


n ≥ 2, unicamente con grado 2 y superiores. Por tanto, la solucion (V.30) conun valor pequeno de q nos permite describir el campo gravitatorio externo deuna fuente estatica con momentos masicos monopolar y quadrupolar, en con-traste con las soluciones [Gutsunayev et al, 1985], [Erez et al, 1959], las cualesno pueden ser interpretadas en teorıa de perturbaciones como pequenas deforma-ciones quadrupolares respecto de una fuente esfericamente simetrica.

Para concluir esta seccion anadiremos la funcion Ψ correspondiente a la se-gunda solucion de la familia de soluciones de la serie (V.18), que adopta la formasiguiente [Hernandez-Pastora et al,1994]

Ψ(2)M−Q ≡ Ψq0+qΨq1 + q2Ψq2 = Ψ(1)

M−Q + q212

ln(

x− 1x + 1

)[22516

P2(x)P2(y)+

+16532

− 76532

P4(x)P4(y)]− 67532

xP2(y) +76532

55x− 105x3

24P4(y)

+16532

x

x2 − y2+

2532−3x3y2 − xy4 + x3 + 3x2y2

(x2 − y2)3 .

(V.33)No incluımos la funcion γ correspondiente a esta solucion porque resulta unaexpresion bastante complicada y carece de utilidad. Los momentos multipolaresde esta solucion resultan ser (M2k+1 = 0, k = 0, 1, . . .)

M0 = M , M2 = M3q , M4 = 0 , M6 = 0

M8 = − 40143

M9q3 , M10 = −4214046189

M11q3

M12 = −3880055913

M13q3 − 8886007436429

M13q4

(V.34)

Observese una vez mas como el parametro q aparece en los M2n, n ≥ 2, enpotencias nunca inferiores a 3, con lo cual, siendo este un parametro pequeno(q < 1), la solucion (V.33) proporciona una correccion mas ajustada a la solucionmonopolo–cuadrupolo que la anterior.

V.5.- HORIZONTE DE SUCESOS

Sea una metrica estatica arbitraria que, por tanto, admite un vector de Killingtemporal Kα que como vimos en (III.3) verifica la siguiente ecuacion

Kα∇βKµ + Kβ∇µKα + Kµ∇αKβ = 0 . (V.35)


Definimos observadores en reposo o estaticos como aquellos que se mueven segunesta congruencia temporal, en un sistema de coordenadas al Killing, es decir, convelocidades uα

uα ≡ (−KµKµ)1/2Kα , (V.36)

de forma que u0 6= 0 y ui = 0. Considerense igualmente fuentes u observadoresen reposo, que intercambian una senal luminosa. Se define entonces el redshift deesta senal como la variacion relativa de los valores de la longitud de onda medidospor ambos observadores, es decir,

z =λR − λE

λE, (V.37)

donde λR denota la longitud de onda de la senal recibida y λE el valor de lalongitud de onda para el observador que emite la senal. De esta manera, quedadefinido un escalar en terminos del cociente de longitudes de onda o bien defrecuencias, como sigue

z + 1 =λR

λE=

νE

νR. (V.38)

Para formalizar una definicion intrınseca de este redshift, conviene asociar estafrecuencias νE , νR a cantidades escalares definidas sobre las curvas de ambosobservadores. Consideremos el vector tangente lα a la geodesica nula que siguela senal luminosa, parametrizada de tal manera que su componente temporal esla cantidad que representa la frecuencia de la senal. Por tanto, el redshift (V.38)resulta ser

νE

νR=

(uµlµ)E

(uµlµ)R. (V.39)

Teniendo en cuenta la expresion (V.37) para la velocidad uα, resulta entonces

νE

νR=

(−KµKµ)1/2E (Kαlα)E

(−KµKµ)1/2R (Kαlα)R

. (V.40)

Habida cuenta de que la cantidad Kαlα es una integral primera a lo largo de unageodesica nula, el redshift (V.40) se reduce a lo siguiente

νE

νR=

(−KµKµ)1/2E

(−KµKµ)1/2R

. (V.41)

Como es bien conocido [Vishveshwara, 1967], en la metrica exterior de Schwar-zschild existe una superficie que posee dos propiedades muy interesantes; por unaparte, en dicha superficie se produce un redshift infinito y ademas, dicha superficie


es nula, de manera que actua localmente como una membrana unidireccional, esdecir, cualquier vector temporal orientado hacia el futuro cruza la superficie en lamisma y unica direccion.

A partir de (V.41) se puede observar que la superficie

Σ0 : KαKα = 0 , (V.42)

es de redshift infinito para el observador que recibe la senal exterior. Considere-mos, en general, aquella familia de superficies Σ definida por un valor constante,no nulo, del modulo del vector de Killing Σ : KαKα = Cte. Esta definicion gen-era correctamente una superficie de tres dimensiones en la variedad 4-dimensional,siempre y cuando se verifique

∇µ (KαKα) 6= 0 , (V.43)

es decir, que exista, (como ası asumiremos), el vector normal nµ a la superficie Σy sea de genero espacial

nµ ≡ 12∇µ(KαKα) = Kα∇µKα . (V.44)

Observese que esto siempre se verifica, pues la superficie Σ contiene al vectorde Killing, es decir, el vector normal a la superficie y el vector de Killing sonortogonales (nαKα = 0).

Estudiemos a continuacion en que casos la superficie Σ es nula. Teniendoen cuenta la ecuacion (V.35) y la antisimetrıa de ∇αKµ (ecuacion de Killing), seconcluye que

nµnµ =12KαKα(∇βKµ)(∇βKµ) . (V.45)

Por tanto, podemos observar que nµ es isotropo, cuando lo es el vector de Killing.Concluımos que la superficie Σ0, que era de redshift infinito, es al mismo tiempouna superficie nula.

Recordemos que por el hecho de ser Σ0, que denominaremos horizonte desucesos, superficie nula, posee dos caracterısticas a considerar. Una es evidente,y se refiere a la unidireccionalidad de los efectos causales. Es decir, localmente,la superficie posee en cada punto una direccion isotropa (normal a la superficie),de tal manera que todos los vectores genero tiempo orientados al futuro cruzanla superficie en esa misma direccion. Pero, una segunda caracterıstica mas intere-sante, es que esta superficie Σ0 no se extiende espacialmente al infinito. Con estoqueremos decir, que las geodesicas nulas que contenga dicha superficie ni proceden


del infinito ni tienden a el. De hecho, los rayos de luz permanecen en la superficie,en el sentido de que el vector tangente lα a su trayectoria es paralelo al vectorde Killing, que representa la estaticidad de la metrica. Es decir, como sabemosque el vector de Killing Kα es nulo sobre la superficie Σ0, ha de ser proporcionalal vector tangente nα que define esta superficie nula, con lo cual, el propio Kα

es un vector geodesico y ademas nulo y su congruencia temporal coincide con lastrayectorias de un foton.

Diversos autores han estudiado los efectos que sobre la superficie Σ0 producenperturbaciones axisimetricas estaticas de la metrica de Schwarzschild ([Doroshke-vich et al, 1965], [Mysak et al, 1966]). Dependiendo de si la perturbacion es internaa la fuente o externa, los resultados son diferentes. Ası , una perturbacion debidaexclusivamente a la presencia de cuerpos exteriores y no excesivamente fuertes,la superficie Σ0 se distorsiona ligeramente, pero se mantienen las caracterısticascualitativas ya descritas de un horizonte de sucesos no singular (superficie deSchwarzschild). Sin embargo, si se anade un momento cuadrupolar masico porpequeno que este sea, se puede concluir que la superficie de redshift infinito sehace singular, es decir, diverge.

Por otra parte, el teorema de Israel [Israel, 1968], niega la existencia decualquier perturbacion axisimetrica estatica de la metrica de Schwarzschild, de-bida a fuentes internas (momento cuadrupolar), que preserve la regularidad delhorizonte de sucesos. En torno a estos resultados, Israel demuetra un teoremaque, formulado de forma precisa, establece que el unico espacio-tiempo estaticoque satisface las condiciones que a continuacion se enuncian, es la metrica de vacıoesfericamente simetrica de Schwarzschild. Sea Σ una superficie espacial t = cte encualquier espacio-tiempo estatico. Las condiciones mencionadas en el teorema deIsrael, que se refieren al comportamiento de dicha superficie, son las siguientes:

a) Σ es regular y asintoticamente euclıdea, es decir, que la metrica en unsistema de coordenadas apropiado es asintoticamente minkowskiana

gαβ = ηαβ + O(r−1) , ∂µgαβ = O(r−2) , (V.46)

y la superficie V ≡ (−g00)1/2 = cte toma la forma 1 − M/r + O(r−2) en unentorno del infinito.

b) Las superficies equipotenciales V = cte > 0 a tiempo constante son super-ficies de dimension dos, cerradas y sin divergencias.

c) El invariante de curvatura RαβγδRαβγδ esta acotado en Σ.d) Si V se anula sobre la superficie Σ, entonces la geometrıa intrınseca in-

ducida en las 2-superficies V = cte se aproximan en el lımite cte → 0 a una2-superficie espacial, regular y cerrada de area finita.


La condicion c) nunca se verifica si el tensor de Riemman corresponde a unametrica de Schwarzschild perturbada con un momento cuadrupolar q interno. Enefecto, el invariante de curvatura diverge en la superficie V = 0, proporcionalmenteal cuadrado de dicho momento cuadrupolar, es decir,

RαβγδRαβγδ ' q2

g00. (V.47)

Dejando claro este hecho, nos parece interesante estudiar el comportamientodel horizonte de sucesos para el caso de la metrica Monopolo-Cuadrupolo, te-niendo en cuenta que representa una solucion perturbativa a la simetrıa esferica,obteniendo ası informacion de las distorsiones que introduce sobre el horizonte unparametro cuadrupolar.

A continuacion procedemos a estudiar cual es el comportamiento de la su-perficie Σ0 : g00 ≡ KµKµ = 0 , a cada orden del desarrollo en potencias delparametro q de la solucion Monopolo-Cuadrupolo. Como ya sabemos, la com-ponente temporal de la metrica g00, para metricas estaticas, se puede escribirg00 = −e2Ψ. Teniendo en cuenta como es la funcion Ψ de la solucion Monopolo-Quadrupolo (V.18) podemos escribir la componente g00 como el siguiente productode exponenciales

g00 = −σ∏

α=0

exp [2qαΨqα ] , (V.48)

donde el lımite superior σ del productorio representa el grado de aproximacionen la solucion M − Q. Recordemos que las funciones Ψqα (V.19) son una com-binacion de soluciones en la representacion de Gutsunaev-Manko y soluciones enla representacion de Erez-Rosen-Quevedo. Es conocido [Abramowitz et al, 1972]que las funciones especiales de Legendre de segunda especie, que aparecen en larepresentacion de Erez-Rosen-Quevedo, se pueden escribir como sigue

Q2k(x) =12P2k(x) ln

(x− 1x + 1

)+ W2k(x) , (V.49)

siendo

W2k(x) =2k∑

j=1

1jPj−1(x)P2k−j(x) . (V.50)

Por tanto, teniendo en cuenta la expresion (V.49), es posible escribir las exponen-


ciales de (V.48) como sigue

exp[2qαΨqα ] =(

x− 1x + 1

)Aα(x,y)

× exp

[−2qα

α∑

k=0

P2k(y)W2k(x)qk(α)

]

× exp

[−2qα

α−1∑

k=0

ζk(x, y)bk(α)

],

(V.51)

siendo

Aα(x, y) = qαα∑

k=0

P2k(x)P2k(y)qk(α)

ζk(x, y) =P+

k

(x + y)k+1+ (−1)k P−k

(x− y)k+1,

(V.52)

donde qk(α) y bk(α) son los coeficientes de las soluciones tipo Erez-Rosen-Quevedoy Gutsunaev-Manko para la solucion M −Q.

A partir de la expresion de la componente g00, vamos a estudiar para quevalores la superficie Σ0 : g00 = 0 esta bien definida. Para x = 1, es decir,la “superficie de Schwarzschild ”en coordenadas prolate, g00 se anula, luego esasuperficie define el horizonte de sucesos de esta solucion. Sin embargo, teniendoen cuenta el valor de la funcion ζk(x, y) sobre dicha superficie, es decir,

ζk(1, y) =(1− y)k+1 + (1 + y)k+1

(1− y2)k+1, (V.53)

y dependiendo del signo del exponente Aα(1, y), se observa que la superficie Σ0

no esta bien definida para ciertos valores de la coordenada y. En concreto, esnecesario que Aα(1, y) sea positivo y que la funcion ζk(1, y) no haga aparecerdivergencias, sobre el eje de simetrıa, en las exponenciales (V.51). Analicemos endetalle estas dos condiciones.

Si tenemos en cuenta la expresion (V.51), la componente g00 de la solucionmonopolo-cuadrupolo a orden σ presenta una exponencial, cuyo exponente tieneel siguiente valor sobre la superficie x = 1:

−2σ∑

α=1

qαα−1∑

k=0

ζk(1, y)bk(α) . (V.54)

En virtud de la expresion (V.53) para la funcion ζk(1, y), podemos escribir eltermino anterior como sigue

−2(1− y2)σ

σ∑α=1

qαα−1∑

k=0

(1− y2)σ−k−1[(1− y)k+1 + (1 + y)k+1

]bk(α) . (V.55)


Si consideramos este termino en y = ±1, es decir, sobre el eje de simetrıa, nosqueda

− 2σ+1

((1− y2)σ)y=±1qσbσ−1(σ) . (V.56)

Por tanto, la exponencial con este termino diverge, siempre y cuando el numeradorsea positivo.

Si se calculan los coeficientes bα−1(α), se comprueba que para α par sonnegativos, y para α impar son positivos. En consecuencia, dependiendo del signodel parametro q, es decir, de si la deformacion cuadrupolar es por alargamientoo achatamiento respectivamente, se concluye que la superficie x = 1 no esta biendefinida en y = ±1 para el caso q < 0, ni en el caso q > 0 para aquellas solucionescuyo grado de aproximacion en el parametro q sea par.

Analicemos ahora el comportamiento del exponente Aα(x, y) sobre el hori-zonte de sucesos x = 1 para la solucion M −Q a orden σ, es decir,

σ∑α=0

qαα∑

k=0

P2k(y)qk(α) . (V.57)

Necesitamos que esta cantidad sea positiva para todo valor de y de manera queg00 = 0 no tenga divergencias. Dicha condicion puede entenderse como la re-striccion a valores positivos de un polinomio en la variable angular y2, puestoque esa expresion involucra unicamente polinomios de Legendre de orden par.Recordemos que las coordenadas prolatex, y se pueden interpretar asociandoa la coordenada x el sentido de distancia radial desde el origen, mientras que y

representa el coseno de un angulo polar, respecto al eje de simetrıa, con lo que y2

esta restringida, por definicion, a valores 0 ≤ y2 ≤ 1. Teniendo esto en cuenta, lasgraficas adjuntas representan, para distintos valores de σ, las cotas superiores oinferiores que impone la condicion 1 al rango de validez de la coordenada angulary, en funcion del parametro q. (La curva separa las zonas en que la condicion(V.57) es positiva y negativa respectivamente).


Fig. V.1.- Graficas que representan las cotas (superior o inferior)del cuadrado de la coordenada angular para diferentes valores delparametro q ( negativo o positivo respectivamente). Dichos valoreslimitan la superficie x=1 de redshift infinito.(a) Solucion hasta lapotencia 1 del parametro q. (b) Solucion hasta la potencia 2. (c)Solucion hasta la potencia 3.


A la vista de estas graficas se obtienen las siguientes limitaciones sobre losvalores del parametro q para tener una superficie del horizonte de sucesos biendefinida.

A) Caso q > 0. Alargamiento.

Se observa que la solucion a primer orden en q, Ψq1 presenta un horizonte desucesos bien definido para valores de q < 8/15 y las divergencias van aumentandoncon valores superiores del parametro q. Considerando contribuciones superiores,se observa que el rango de valores de q que preservan la regularidad de la superficiex = 1 disminuye. Concretamente a orden 2, ademas de tener puntos singulares eny = ±1, para valores de q superiores a 0.229318 comienza a producirse singularidaden torno al ecuador y para valores superiores a 0.46188 ocurre lo mismo entornoal eje.

B) Caso q < 0. Achatamiento.

Como ya se dijo, aparecen dos puntos en el eje de simetrıa donde x = 1 no estadefinida. El resto de la superficie no presenta divergencias, siempre que el valorabsoluto de q este por debajo de un cierto valor, que para la contribucion Ψq1 noesta acotado, y que toma valores finitos y decrecientes a medida que aumentamoslas contribuciones Ψqα . Por ejemplo a orden 2, q = −0.40229 y q = −0.46188son valores a partir de los cuales aparece una singularidad entorno al ecuador yal eje de simetrıa respectivamente. Valores absolutos de q superiores a esas cotasproducen aumento de la singularidad en la superficie, pero sin llegar a conseguirsuperficies completamente singulares.

La solucion Ψq1 tiene una caracterıstica muy interesante, pues como hemos di-cho para q < 0, lo cual fısicamente es muy plausible pues significa un achatamiento,tenemos una superficie g00 = 0 bien definida en todo punto y para cualquier valorde q. Esto no ocurre por ejemplo en la solucion de Erez-Rosen. Tal como seaprecia en la grafica siguiente, solo para un valor de q muy pequeno (|q| < 2/15)se evitan divergencias en la superficie.

Otra observacion que podemos hacer de las graficas anteriores es que a me-dida que aumentamos el grado de aproximacion en la solucion M −Q, el compor-tamiento de la superficie es cada vez mas caotico, apareciendo divergencias paravalores de q muy pequenos.


Fig. V.2.- Cotas superior o inferior del cuadrado de la coordenadaangular para diferentes valores del parametro q, ( negativo o positivorespectivamente), correspondientes al horizonte de sucesos x = 1 dela metrica de Erez-Rosen. La grafica corta a las rectas y2 = 1 yy2 = 0 para valores del parametro q, −2/15 y 4/15 respectivamente.

Entendiendo, como ya hemos comentado, que la coordenada prolate x rep-resenta una distancia radial, y la coordenada y el coseno de un angulo polar, lasuperficie de Schwarzschild x = 1, cortada con la superficie ϕ = cte, puede repre-sentarse graficamente como una circunferencia, donde el eje vertical coincide conel eje de simetrıa, es decir,

Fig. V.3.- Representacion de la superficie de Schwarzschild, x = 1.


Graficamente, la introduccion de un momento cuadrupolar perturba esta su-perficie, haciendola discontınua, de manera que dichas discontinuidades represen-tan las divergencias (singularidades) ya comentadas, que aparecen en el horizontede sucesos para ciertos valores del angulopolar θ y de q, es decir,

Fig. V.4.- Esquema representativo de las singularidades en la super-ficie de redshit infinito x = 1 para valores q 6= 0.

Un modelo realista de objeto celeste ha de incluir un momento cuadrupo-lar negativo. Es decir, de manera que el cuerpo que se pretende describir esteachatado respecto a la simetrıa esferica. Como hemos visto, los resultados ante-riores indican que una perturbacion debida a un momento cuadrupolar negativohace aparecer, independientemente del valor de dicho momento, una singulari-dad sobre el horizonte de sucesos en el eje de simetrıa. La unica posibilidad demantener un horizonte regular, introduciendo un momento cuadrupolar, es queeste sea positivo, con lo cual, el objeto descrito tiene forma elipsoidal de semiejemayor situado a lo largo del eje de simetrıa. Tal imagen es realmente inusual paraobjetos celestes habituales, cuyas deformaciones respecto a la esfera se reflejangeneralmente en un achatamiento.

Podemos concluir diciendo que existen soluciones exactas estaticas, que rep-resentan perturbaciones cuadrupolares de la metrica de Schwarzschild, cuyo hori-zonte de sucesos, superficie g00 = 0, coincide con la “superficie de Schwarzschild”completa, sin divergencias. Sin embargo, dicha superficie es evidentemente singu-lar, en el sentido de que el invariante de curvatura RαβγδRαβγδ diverge.


V.6.- JERARQUIA DE SOLUCIONES ESTATICAS CON UNNUMERO FINITO DE MOMENTOS MULTIPOLARES

La solucion general al caso estatico de metricas de vacıo, viene descrita porla representacion de Weyl (III.7) y (III.8). Cada solucion queda caracterizada poruna familia de constantes, los denominados coeficientes de Weyl.

Calculados los momentos Multipolares de la metrica general de Weyl consimetrıa ecuatorial, se pueden invertir estas expresiones y obtener los coeficientesde Weyl en terminos de los momentos masicos. Una manera de seleccionar solu-ciones fısicamente interesantes es elegir apropiadamente los coeficientes de Weylpara que la metrica posea aquellos momentos multipolares que uno desee. Es decir,suponiendo que planteamos una solucion con k momentos multipolares tendrıamoslos siguientes coeficientes de Weyl,

a2n = −αmax

2∑α2=0

αmax4∑

α4=0

. . .

αmax2k∑

α2k=0

F (α2, . . . , α2k; n)M2n+1Mα22 . . .Mα2k

2k , (V.58)

donde se han definido momentos multipolares masicos adimensionales

M2k ≡ M2k

M2k+1. (V.59)

Como vimos anteriormente, se puede reordenar la serie que define la funcionΨ de la representacion de Weyl una vez introducidos los coeficientes anteriores.Y tenemos que la solucion general con k momentos, puede expresarse de formaexplıcita como sigue:

Ψ =∞∑

α2,...,α2k

Mα22 . . .Mα2k

2k Ψα2,...,α2k

Ψα2,...,α2k=

∞∑n=0

F (α2, . . . , α2k;n)λ2n+1P2n(cos θ) .

(V.60)

La estructura de estas series Ψα2,...,α2kestablece una jerarquıa de momentos

en la solucion descrita, de manera que el primer orden de la serie Ψ para unmomento multipolar cualquiera M2j , es decir, α2j = 0, coincide con la solucionde rango inferior, aquella que no posee dicho momento en su estructura multipolar.

Ası, una solucion monopolar pura se corresponde segun (V.60) con la siguienteexpresion

ΨM = Ψ0 ≡∞∑

n=0

F (0, . . . , 0;n)λ2n+1P2n . (V.61)


La solucion Monopolo-Cuadrupolo, resulta de la consideracion de todos losmomentos superiores al cuadrupolar de valor nulo, con lo cual nos queda solo,

ΨM−Q =∞∑

α2=0

Mα22 Ψα2,0

Ψα2,0 ≡∞∑

n=0

F (α2, 0, . . . , 0; n)λ2n+1P2n

. (V.62)

Esta solucion tiene como primera contribucion en la serie de potencias en M2

la solucion de Schwarzschild, para α2 = 0.De la misma manera, la solucion que posee unicamente los tres primeros

momentos masicos no nulos, se escribe

ΨM−Q−D =∞∑

α2,α4=0

Mα22 Mα4

4 Ψα2,α4,0

Ψα2,α4,0 ≡∞∑

n=0

F (α2, α4, 0, . . . , 0; n)λ2n+1P2n

(V.63)

Nuevamente, si consideramos la contribucion a primer orden el el momentomultipolar mas elevado, α4 = 0, de la serie anterior, obtendremos en este caso lasolucion Monopolo-Quadrupolo.

La funcion F (α2, α4, . . . , α2n) se determina a partir de la estructura que pre-sentan los coeficientes de Weyl en terminos de los momentos multipolares. Enel capıtulo IV , obtuvimos la forma analıtica de esta funcion general para el casode sus dos primeros ındices no nulos, es decir, para definir la estructura de unasolucion que constase unicamente de sus dos primeros momentos multipolaresmasicos.

VIPROCEDIMIENTO PARAGENERAR UNA SOLUCIONESTACIONARIA MONOPOLO-DIPOLO DINAMICO

VI.1.- INTRODUCCION

A diferencia de lo que ocurrıa en el caso estatico, no se conoce la solucion gen-eral de metricas estacionarias de vacıo. El conocimiento de dicha solucion paracondiciones estaticas nos permitıa elegir las constantes de la familia general desoluciones, con objeto de obtener metricas con caracterısticas fısicas peculiares,como hemos visto en el capıtulo anterior. A pesar de ello, en el caso no-estaticose conocen diversas tecnicas [Hoenselaers et al, 1979a,b], [Harrison, 19789, 1980],[Belinskii et al, 1978, 1980] para generar nuevas soluciones estacionarias a partirde otras conocidas. Sin embargo, la necesidad de conocer soluciones fısicamenteinteresantes es mayor en tanto en cuanto dichas tecnicas de generacion de solu-ciones no permiten en general fijar a priori las caracterısticas fısicas de dichassoluciones.

Resultarıa interesante por ejemplo, poder controlar los momentos multipo-lares relativistas de la solucion en el proceso de construccion de la misma. Ası ,en el presente capıtulo se plantea la obtencion de una solucion estacionaria queposea unicamente el primer momento multipolar dinamico, ademas del masico.Existe un metodo de generacion de soluciones exactas, desarrollado por Sibgat-ullin [Sibgatullin, 1984] que ha sido ampliamente utilizado por varios autores,entre ellos V.S.Manko [Manko et al, 1994a,b], L. Herrera [Herrera, et al, 1992] yE.Ruiz [Ruiz et al, 1995] para la obtencion de diversas soluciones de vacıo, y quefinalmente fue desarrollado por E.Ruiz [Manko et al, 1995], [Ruiz, 1994] aportandoexpresiones de caracter general para su aplicacion de forma sencilla y standard.Dicho metodo permite la construccion de soluciones de la ecuacion de Ernst a

95

VI.- Procedimiento para generar una solucion estacionaria 96

partir del conocimiento de la forma del potencial de Ernst sobre el eje de simetrıa.En particular, dada la estructura del potencial de Ernst en el eje de simetrıa comocociente de polinomios en la coordenada z de Weyl, el metodo de Sibgatullin ex-tiende el potencial a cualquier punto fuera del eje, de manera que se obtiene unasolucion exacta de la ecuacion de Ernst definida en todo el espacio-tiempo.

Como vimos en el capıtulo IV, el metodo FHP permite calcular los momen-tos multipolares relativistas en funcion de los coeficientes mn del desarrollo delpotencial transformado de Ernst ξ sobre el eje. Esta relacion, entre el momentode un orden determinado Mn y los coeficientes mk es lineal en el coeficiente mn

(de su mismo orden), no existiendo dependencia en ordenes superiores. De estamanera, es posible realizar una eleccion conveniente de los coeficientes mn paraanular a cada orden el momento multipolar correspondiente.

Ademas, veremos que un conjunto finito de coeficientes mk permite determi-nar la estructura de tipo racional para el potencial E ≡ (1 − ξ)/(1 + ξ) sobre eleje. De esta manera podremos construir el potencial de Ernst E en terminos delos momentos multipolares de la solucion deseada, eligiendo los coeficientes mn

apropiados. Como se vera, el hecho de fijar N coeficientes mk permitira obtenerun potencial de Ernst que describe una solucion que carecera de los N−2 multipo-los superiores al momento angular, al mismo tiempo que sus momentos superioresa estos, aun siendo diferentes de cero, quedan determinados por los mismos N

coeficientes mk. Al final de este capıtulo se discutira ampliamente este hechoy sus consecuencias en la estructura multipolar de los potenciales de Ernst asıconstruıdos.

VI.2.- METODO DE SIBGATULLIN

A partir del potencial de Ernst sobre el eje de simetrıa como condicion decontorno, Sibgatullin consigue reducir la formulacion de la ecuacion de Ernst ala resolucion de un sistema de ecuaciones lineales integrales. De esta manera,siguiendo el metodo de Sibgatullin, el potencial de Ernst E de una solucion devacıo, estacionaria y con simetrıa axial viene dado por la siguiente expresion

E =1π

∫ 1

−1

µ(σ)e(τ)√1− σ2

dσ , (V I.1)

donde τ es una variable compleja definida a partir de las coordenadas cilındricasde Weyl , τ ≡ z + iρσ, y σ ∈ [−1, 1] una variable de integracion arbitraria. Lafuncion e(z) representa el valor del potencial de Ernst sobre el eje de simetrıa, es


decir, e(z) ≡ E(ρ = 0, z), y constituye la condicion de contorno. La funcion µ(σ)ha de ser una solucion del siguiente sistema de ecuaciones integrales

℘

∫ 1

−1

h(τ, η)µ(σ)(τ − η)

√1− σ2

dσ = 0 (V I.2a)

1π

∫ 1

−1

µ(σ)√1− σ2

dσ = 1 , (V I.2b)

siendo η una variable compleja de la forma η ≡ z + iρς, con ς ∈ [−1, 1] y donde elsımbolo ℘ significa tomar la parte principal de dicha integral. Por otra parte, lafuncion h(τ, η) queda definida como sigue

h(τ, η) ≡ e(τ) + e(η) , (V I.3)

donde e(η) es el potencial de Ernst en el eje que resulta de escribirlo en la variableconjugada η∗ y efectuar la conjugacion de la funcion. Es decir, en lo sucesivo alo largo de este capıtulo, el sımbolo (˜) sobre una funcion denota la operacion deconjugar la variable y la funcion, con lo cual se tiene e(η) = e∗(η∗).

Obviamente, la solucion general de este sistema de ecuaciones integrales noes inmediata. Sin embargo, para un potencial de Ernst e(z) del tipo funcionracional sobre el eje de simetrıa, se puede desarrollar la prescripcion de Sibgatulliny construir una solucion. Es decir, elegiremos como condicion de contorno elpotencial de Ernst sobre el eje de simetrıa en la forma de cociente de polinomios,

E(ρ = 0, z) ≡ e(z) =N(z)D(z)

, (V I.4)

El comportamiento asintotico adecuado para el potencial de Ernst e(z) es quetienda a 1 en un entorno del infinito. Por tanto, la estructura de los polinomiosN(z) y D(z) debe ser la siguiente

N(z) =zN +N∑

k=1

akzN−k

D(z) =zN +N∑

k=1

bkzN−k

. (V I.5)

Para la funcion µ(σ), solucion del sistema de ecuaciones integrales (VI.2) escoge-mos la siguiente estructura

µ(σ) = A0 +2N∑

i=1

Ai

τ − αi, (V I.6)


donde los coeficientes A0, Ai son constantes a determinar y los αi son los ceros dela funcion h(τ, τ), que teniendo en cuenta la eleccion de potencial e(z) consideradaresulta

h(τ, τ) =N(τ)D(τ) + N(τ)D(τ)

D(τ)D(τ)= 0 . (V I.7)

Supondremos que h(τ, τ) tiene 2N ceros simples y 2N polos simples, es decir,

N(τ)D(τ) + N(τ)D(τ) =2N∏

i=1

(τ − αi)

D(τ)D(τ) =(N∏

l=1

(τ − βl))(N∏

n=1

(τ − β∗n))

, (V I.8)

y ademas, los 2N ceros αi han de ser reales o parejas de complejos conjugados,mientras que los 2N polos βi no pueden ser reales ni parejas de complejos conju-gados. De hecho, es facil de comprobar teniendo en cuenta las expresiones (VI.5)de los polinomios N(z) y D(z) que los ceros αi verifican dicha condicion. Enefecto, si escribimos explıcitamente el numerador de la funcion h(τ, τ) obtenemosun polinomio en la variable τ cuyos coeficientes son reales, es decir,

N(τ)D(τ) + N(τ)D(τ) =2N∑

m=0

(cm + c∗m)τm , (V I.9)

siendo los coeficientes cm ciertas combinaciones de los coeficientes ak y bk de lospolinomios N(z) y D(z) respectivamente. Por tanto, sus raıces, es decir, los cerosαi de dicha funcion son reales o parejas de complejos conjugados.

Para analizar la ecuacion (VI.2a) que ha de verificar la funcion µ(σ), cal-culemos el producto h(τ, η)µ(σ). Al definir e(z) como cociente de polinomios, yteniendo en cuenta la hipotesis anterior sobre los polos βi, implıcitamente se hasupuesto que dicho cociente es irreducible; por tanto existen N coeficientes el 6= 0de manera que el potencial e(z) se puede descomponer como suma de fraccionessimples, es decir,

e(z) = 1 +N∑

l=1

el

ξ − βl. (V I.10)

De la misma forma, y en virtud de esta ultima expresion, la funcion h(τ, η) sepuede escribir como sigue

h(τ, η) = 1 + e(η) +N∑

l=1

el

τ − βl. (V I.11)


Es bastante inmediato omprobar a partir de estas expresiones que se puede escribirde la siguiente manera el producto h(τ, η)µ(σ):

h(τ, η)µ(σ) = A0 [1 + e(η)] +N∑

l=1

µ(βl)el

τ − βl+

2N∑

i=1

h(αi, η)Ai

τ − αi. (V I.12)

Introduciendo esta expresion y la de la funcion µ(σ), (VI.6), en las ecuacionesintegrales (VI.2) obtenemos, tras calcular las integrales oportunas, las siguientesecuaciones para los coeficientes Ai

A0 +2N∑

i=1

Ai

ri= 1 (V I.13a)

N∑

l=1

µ(βl)Rl

el

η − βl+

2N∑

i=1

Ai

ri

h(αi, η)η − αi

= 0 , (V I.13b)

siendori ≡

√ρ2 + (z − αi)2

Rl ≡√

ρ2 + (z − βl)2. (V I.14)

Si descomponemos la expresion h(αi, η)/(η − αi) en suma de fracciones simples,teniendo en cuenta que h(αi, η) = e(αi) + e(η) y utilizando la expresion (VI.10)para el potencial e(η) se tiene

h(αi, η)η − αi

=h(αi, αi)η − αi

−N∑

l=1

e∗l(αi − β∗l )(η − β∗l )

. (V I.15)

Evidentemente h(αi, αi) = 0, con lo cual, la ecuacion de (VI.13b) queda comosigue

N∑

l=1

µ(βl)Rl

el

η − βl−

N∑

l=1

[2N∑

i=1

Ai

ri(αi − β∗l )

]e∗l

η − β∗l= 0 . (V I.16)

Esta condicion se verifica si y solo si se anulan cada uno de los resıduos, con locual, junto con la ecuacion (VI.13a), tenemos el siguiente sistema de ecuacionespara los coeficientes A0 y Ai

A0 +2N∑

i=1

Ai

ri= 1 (V I.17a)

µ(βl) ≡ A0 +2N∑

i=1

Ai

βl − αi= 0 , l = 1, 2, . . . , N (V I.17b)

2N∑

i=1

Ai

ri(αi − β∗l ), l = 1, 2, . . . , N . (V I.17c)


Una vez determinada la funcion µ(σ) a partir de la resolucion de este sistemade ecuaciones, es posible calcular la integral (VI.1). Para ello, desarrollamospreviamente el producto de funciones µ(σ)e(τ). A partir de las expresiones (VI.10)y (VI.6) para el potencial e(τ) y la funcion µ(σ) respectivamente tenemos

µ(σ)e(τ) = µ(σ) + A0

N∑

l=1

el

τ − βl+

2N∑

i=1

N∑

l=1

Aiel

(τ − αi)(τ − βl), (V I.18)

que se puede reescribir de la forma siguiente

µ(σ)e(τ) = A0 +2N∑

l=1

Ai

τ − αie(αi) +

N∑

l=1

N∑

l=1

el

τ − βlµ(βl) . (V I.19)

El ultimo termino de estos tres sumandos es nulo en virtud de la ecuacion (VI.17b).Calculando la integral (VI.1) a partir de esta ultima expresion obtenemos el po-tencial de Ernst en terminos de los coeficientes A0, Ai de la siguiente forma

E = A0 +2N∑

i=1

Ai

rie(αi) . (V I.20)

Teniendo en cuenta el sistema de ecuaciones (VI.17) para los coeficientes A0 y Ai,es posible obtener una ultima simplificacion de la expresion (VI.20), de maneraque el potencial de Ernst solo dependera del coeficiente A0. En virtud de laecuacion (VI.17c) del sistema de ecuaciones para los coeficientes Ai, evidentementese verifica

N∑

l=1

e∗l

2N∑

i=1

Ai

ri(αi − β∗l )= 0 . (V I.21)

Reordenando las sumas y teniendo en cuenta la expresion de e(αi), podemosreescribirlo de la forma siguiente

0 =2N∑

i=1

(N∑

l=1

e∗lαi − β∗l

)Ai

ri=

2N∑

i=1

[e(αi)− 1]Ai

ri. (V I.22)

Por definicion h(αi, αi) = e(αi) + e(αi) y ademas, sabemos que h(αi, αi) = 0, conlo cual, la expresion anterior implica esta otra

2N∑

i=1

Ai

rie(αi) = −

2N∑

i=1

Ai

ri. (V I.23)


Haciendo ahora uso de la ecuacion (VI.17a), se tiene que

2N∑

i=1

Ai

rie(αi) = A0 − 1 . (V I.24)

Por tanto, el potencial de Ernst E se construye calculando unicamente el coefi-ciente A0 de la funcion µ(σ), es decir,

E = 2A0 − 1 . (V I.25)

E. Ruiz y V.S. Manko [Manko et al, 1995], [Ruiz, 1994] obtuvieron expresionesbastante compactas para expresar el potencial de Ernst calculando el coeficienteA0 del sistema de ecuaciones (VI.17). En la notacion empleada por el citadoautor, el potencial de Ernst se puede escribir como un cociente de las siguientesexpresiones

E =E+

E−, E± ≡ Λ + Γ , (V I.26)

donde las funciones Λ y Γ se han definido como sigue

Λ =∑

i1<i2<...<iN

λi1...iN ri1 . . . riN

Γ =∑

i1<i2<...<iN−1

γi1...iN−1ri1 . . . riN−1

. (V I.27)

La funcion ri ha sido definida previamente en terminos de las coordenadas cilındri-cas de Weyl usuales. Los sumatorios de las expresiones anteriores para Λ y Γ debenentenderse extendidos a todas las combinaciones ordenadas de los N y N−1 ındicesrespectivamente.

Para cualquier valor N > 1 las funciones λi1...iNy γi1...iN−1 se definen como

sigue

λi1...iN ≡(−1)K(N)V (αi1 , . . . , αiN )V (αi′1 , . . . , αi′N

)N∏

l=1

D(αi′l)

N∏n=1

D(αiN )

γi1...iN−1 ≡(−1)K(N−1)V (αi1 , . . . , αiN−1)V (αi′1 , . . . , αi′N+1

)N+1∏

l=1

D(αi′l)

N−1∏n=1

D(αiN)

,

(V I.28)

donde K(a) ≡a∑

k=1

ik representa el valor de la suma de los ındices ik. Los ındices

i′k son complementarios respecto de los ik, esto es, toman los valores que no han


sido asignados a los ındices sin prima. Finalmente, la notacion V (αi1 , . . . , αiN)

representa el determinante de Vandermonde, cuyo valor resulta ser el indicado acontinuacion

V (αi1 , . . . , αiN) ≡

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

αN−1i1

αN−1i2

. . . αN−1iN

αN−2i1

αN−2i2

. . . αN−2iN

. . . . . . . . . . . .αi1 αi2 . . . αiN

1 1 . . . 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=∏

1≤ia<ib≤iN

(αia− αib

) .

(V I.29)Por definicion para N = 1 el determinante de Vandermonde vale 1.

VI.3.- RELACION ENTRE LOS COEFICIENTES DE LOS POTEN-CIALES DE ERNST E Y ξ SOBRE EL EJE DE SIMETRIA

Como acabamos de ver, el metodo de Sibgatullin permite construir solucionesestacionarias con simetrıa axial de las ecuaciones de Einstein de vacıo a partir de unpotencial de Ernst cuyo comportamiento en el eje de simetrıa sea del tipo funcionracional. A continuacion vamos a ver como se pueden relacionar los coeficientesutilizados para construir el potencial de Ernst E sobre el eje de simetrıa, con loscoeficientes del desarrollo del potencial ξ (II.42) sobre el eje de simetrıa, que comosabemos, se puede escribir en un entorno del infinito de la forma siguiente

ξ =∞∑

n=0

mnz−(n+1) . (V I.30)

Vamos a estudiar bajo que condiciones un conjunto arbitrario de coeficientesmn describen el comportamiento de una funcion racional en torno al infinito. Esdecir, nos planteamos construir sobre el eje de simetrıa el potencial E, escrito comoun cociente de polinomios (VI.4), a partir de los coeficientes mn del desarrollo(VI.30) del potencial ξ, de manera que se verifique

D(z)−N(z)D(z) + N(z)

=∞∑

k=0

mkz−k−1 . (V I.31)

Desarrollando esta ultima igualdad obtenemos las ecuaciones que relacionan loscoeficientes ak, bk, de los polinomios que definen a e(z), con los coeficientes mn.Resulta el siguiente sistema algebraico de ecuaciones lineales

An+1 =n∑

l=0

Blmn−l , n = 0, 1, . . . , N − 1 (V I.32a)


0 =N∑

l=0

Blmn−l , n ≥ N , (V I.32b)

donde se ha utilizado la siguiente notacion

An ≡ 12(bn − an) , Bn ≡ 1

2(bn + an) ; A0 = B0 = 1. (V I.33)

Las ecuaciones (VI.32) forman un sistema de infinitas ecuaciones para un numerofinito de variables Ak, Bk. Las condiciones de compatibilidad de un sistema deeste tipo quedan garantizadas por el siguiente Lema:

Lema: La condicion necesaria y suficiente para que un conjunto de coefi-cientes mn describan un comportamiento del potencial de Ernst sobre el eje desimetrıa, como cociente de polinomios (VI.4), es que el siguiente determinante

Ln ≡

∣∣∣∣∣∣∣

mn−1 mn . . . m2n−2

mn−2 mn−1 . . . m2n−3

. . . . . . . . . . . .m0 m1 . . . mn−1

∣∣∣∣∣∣∣, (V I.34)

sea distinto de cero para n = N y nulo para n > N .En consecuencia, este Lema pone de manifiesto que bajo dichas condiciones

es posible utilizar 2N coeficientes mn como parametros complejos arbitrarios enfuncion de los cuales construir el potencial E en el eje de simetrıa que verificael sistema de ecuaciones (VI.32). Por tanto, con la intencion de alcanzar eseobjetivo, vamos a demostrar a continuacion la condicion suficiente de este Lema,procediendo de la siguiente manera:

Prueba.Supongamos que tenemos un conjunto de 2N coeficientes mk que verifican

las condiciones LN 6= 0 y Ln = 0 para todo n > N . Vamos a demostrar entonces,que el sistema de ecuaciones (VI.32) se verifica automaticamente.

Consideremos la ecuacion (VI.32b) como un sistema lineal de ecuaciones paralos coeficientes Bl, con valores de k comprendidos entre N y 2N − 1, es decir,

N∑

l=1

Blmk−l = −mk , N ≤ k ≤ 2N − 1 . (V I.35)

Evidentemente existira solucion si y solo si se verifica∣∣∣∣∣∣∣

mN−1 mN . . . m2N−2

mN−2 mN−1 . . . m2N−3

. . . . . . . . . . . .m0 m1 . . . mN−1

∣∣∣∣∣∣∣6= 0 . (V I.36)


Por tanto, si existe un valor de N ≥ 1 tal que LN 6= 0, entonces existen N

coeficientes Bl y otros tantos Al con los que el potencial e(z) se puede construirmediante 2N coeficientes mn.

Aplicando la regla de Cramer, el valor de los N coeficientes Bl vendra dadopor el resultado de dividir por el factor LN el determinante cuya fila l ha sidosustituıda por las fila de valores (mN ,mN+1,mN+2, . . . ,m2N−1). Si escribimosesa fila en primer lugar, el valor del determinante se modifica unicamente en unfactor (−1)l, de manera que el coeficiente Bl se puede obtener de la siguientemanera

Bl = (−1)l(LN )−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

mN mN+1 . . . m2N−1

mN−1 mN . . . m2N−2

. . . . . . . . . . . .mN−(l−1) mN+1−(l−1) . . . m2N−1−(l−1)

mN−(l+1) mN+1−(l+1) . . . m2N−1−(l+1)

. . . . . . . . . . . .m0 m1 . . . mN−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

, (V I.37)

determinante en el que, como se observa, falta la fila l + 1. Esta caracterıstica sepuede denotar con mas claridad escribiendo el determinante de la forma

Bl = (LN )−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 mN mN+1 . . . m2N−1

0. . .1 LN

. . .0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

, (V I.38)

donde se entiende que la primera columna tiene el valor 1 en la posicion l + 1.

Por lo que respecta a los coeficientes Al, estos se calculan a partir de los Bl

mediante la ecuacion (VI.32a), es decir,

Ak+1 =k∑

l=0

Blmk−l = (LN )−1k∑

l=0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 mN mN+1 . . . m2N−1

0. . .

mk−l LN

. . .0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

,

(V I.39)donde ha de entenderse que el termino mk−l de la primera columna aparece en la


fila l + 1. Realizando la suma para valores de l desde 0 a k se obtiene

Ak+1 = (LN )−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

mk mN mN+1 . . . m2N−1

mk−1

. . .m0 LN

. . .0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

. (V I.40)

Esto, sin embargo, no nos asegura que la ecuacion (VI.32b) se verifique paravalores n ≥ 2N . Vamos a ver a continuacion que el resto de los coeficientes mk

cumplen estas ecuaciones bajo la condicion de que Ln = 0, ∀n > N .Consideremos el determinante LN+1, es decir,

LN+1 =

∣∣∣∣∣∣∣

mN mN+1 . . . m2N−1 m2N

mN−1 mN . . . m2N−2 m2N−1

. . . . . . . . . . . . . . .m0 m1 . . . mN−1 mN

∣∣∣∣∣∣∣. (V I.41)

El desarrollo por menores de este determinante, a partir de su ultima columna,conduce a la siguiente expresion

LN+1 = (−1)N+2N∑

l=0

Mlm2N−l , (V I.42)

siendo M0 ≡ LN , Ml ≡ (−1)lLNBl ; l = 1, 2, . . . , N , de manera que dichodeterminante se escribe como sigue

LN+1 = (−1)NLN

N∑

l=0

Blm2N−l . (V I.43)

En consecuencia, puesto que LN+1 = 0 y LN 6= 0, se concluye que

N∑

l=0

Blm2N−l = 0 , (V I.44)

es decir, que la ecuacion (VI.32b) se verifica para n = 2N .Supongamos por tanto, que para n = N + 1, N + 2, . . . , p− 1, con p > N + 1,

se verifica la implicacion

Ln = 0 ⇒N∑

l=0

Blmn+N+1−l = 0 . (V I.45)


Vamos a demostrar que se cumple igualmente para n = p. Consideremos eldeterminante Lp,

Lp =

∣∣∣∣∣∣∣

mp−1 mp . . . mp+N−1 . . . m2p−2

mp−2 mp−1 . . . mp+N−2 . . . m2p−3

. . . . . . . . . . . . . . .m0 m1 . . . mN . . . mp−1

∣∣∣∣∣∣∣. (V I.46)

Modifiquemos el determinante con el procedimiento de sumar a la ultima columna,es decir, la columna p, las N anteriores multiplicadas respectivamente por loscoeficientes BN , BN−1, . . ., B1; a la columna anterior, es decir, la p−1 le sumamossus N anteriores multiplicadas por esos mismos factores y ası sucesivamente hastala columna N + 1. El resultado de realizar esta operacion genera el siguientedeterminante

Lp =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

mp−1 mp . . . Sp+N−1 0 . . . . . .mp−2 mp−1 . . . 0 Sp+N−1 . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .mN mN+1 . . . 0 0 . . . Sp+N−1

mN−1 mN . . . 0 0 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m0 m1 . . . 0 0 . . . 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

, (V I.47)

donde se ha utilizado la siguiente notacion para la combinancion lineal de columnasanadidas

Sp+N−1 ≡N∑

l=0

Blmp+N−1−l . (V I.48)

Aplicando la formula de Laplace a este determinante, el desarrollo del mismoconduce a la siguiente expresion

Lp = (−1)N(p+1)LN (N∑

l=0

Blmp+N−1−l)p−N = 0 . (V I.49)

Teniendo en cuenta que LN 6= 0, llegamos a la conclusion de que la condicionLn = 0 para cualquier n mayor que N implica necesariamente el cumplimiento dela ecuacion (VI.32b) para valores de n mayores que 2N − 1.

La condicion necesaria del Lema enunciado es facil de demostrar realizandoargumentos similares, sin embargo, no lo detallaremos aquı porque la condicionsuficiente garantiza nuestro objetivo de construccion del potencial de Ernst en eleje como cociente de polinomios a partir de los coeficientes mn.

c.q.d.


Una vez demostrado que las ecuaciones (VI.32) son compatibles, y calculadoslos 2N coeficientes Al y Bl a partir de 2N coeficientes ml, construyamos lospolinomios cuyo cociente configura el potencial de Ernst en el eje (VI.4). Observeseen primer lugar, teniendo en cuenta las expresiones (VI.5) de los polinomios N(z)y D(z), que la semisuma de dichos polinomios constituye un polinomio del mismogrado cuyos coeficientes son los Bl. Analogamente, la semidiferencia produce otropolinomio cuyos coeficientes son los Al. Si utilizamos las expresiones calculadaspara estos coeficientes (VI.38) y (VI.40), tenemos que

12

[N(z) + D(z)] =N∑

l=0

BlzN−l = (LN )−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

zN mN mN+1 . . . m2N−1

zN−1

. . . LN

z1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣(V I.50)

12

[D(z)−N(z)] =N−1∑

l=0

Al+1zN−l−1 =

N−1∑

l=0

k∑

j=0

Bjmk−jzN−l−1 . (V I.51)

Y reordenando ahora las sumas de estas ultimas series tenemos

12

[D(z)−N(z)] =N−1∑

j=0

Bj

N−1−j∑

l=0

mlzN−l−1−j , (V I.52)

es decir, el siguiente determinante

(LN )−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

N−1∑n=0

mnzN−1−n mN . . . m2N−1

N−2∑n=0

mnzN−2−n

. . . LN

m0

0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

. (V I.53)

Obviamente, la suma y la diferencia de las expresiones (VI.50) y (VI.51) nosproporcionaran los valores correspondientes de los polinomios N(z) y D(z) re-


spectivamente, que resultan ser de la forma

D(z) = (LN )−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

zN +∑N−1

n=0 mnzN−1−n mN . . . m2N−1

zN−1 +∑N−2

n=0 mnzN−2−n mN−1 . . . m2N−2

. . . . . . . . . . . .z + m0 m1 . . . mN

1 m0 . . . mN−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(V I.54)

N(z) = (LN )−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

zN −∑N−1n=0 mnzN−1−n mN . . . m2N−1

zN−1 −∑N−2n=0 mnzN−2−n mN−1 . . . m2N−2

. . . . . . . . . . . .z −m0 m1 . . . mN

1 m0 . . . mN−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(V I.55)

Por tanto, hemos construıdo sobre el eje de simetrıa el potencial de Ernst deuna solucion de vacıo, como cociente de polinomios de grado N , a partir de 2N

coeficientes mk del desarrollo en el eje del potencial de Ernst transformado ξ.

VI.4.- SUCESION DE SOLUCIONES EXACTAS QUE TIENDE A LASOLUCION MONOPOLO–DIPOLO DINAMICO

Al igual que en el caso estatico nos propusimos encontrar una solucion devacıo con un numero finito de momentos multipolares, estamos ahora interesadosen construir una solucion estacionaria cuya estructura multipolar este constituıdaunicamente por su momento angular ademas de su masa.

Recordemos que los momentos multipolares de una solucion estacionaria devacıo con simetrıa axial, se pueden obtener mediante el algoritmo FHP , enterminos de los coeficientes mn del potencial de Ernst ξ sobre el eje de simetrıa. Elcalculo explıcito de estos momentos multipolares muestra que su relacion con loscoeficientes mn es triangular, en el sentido de que, a cada orden, el momento corre-spondiente es lineal en el coeficiente mn de su mismo orden y depende unicamentede los coeficientes de orden inferior. En consecuencia, dados unos momentos multi-polares se pueden determinar unıvocamente los coeficientes mn correspondientes,es decir, la relacion entre ambos se puede invertir.


Ası pues, las expresiones anteriores (VI.54) y (VI.55) ponen de manifiesto quese puede definir sobre el eje de simetrıa el potencial de Ernst E de una solucionestacionaria de vacıo, en funcion de los momentos multipolares de dicha solucion.Observese que fijando los 2N primeros coeficientes mn, podemos construir unpotencial de Ernst sobre el eje de simetrıa como cociente de polinomios de grado N .Por tanto, este potencial corresponde a una solucion cuyos 2N primeros momentosmultipolares estan prefijados.

En concreto, si imponemos la condicion de que los momentos calculados seannulos a excepcion del momento angular J y el monopolar descrito por la masa M ,obtendremos los coeficientes del desarrollo (VI.30) en funcion de los dos unicosmomentos J y M de esta solucion multipolar pura. A continuacion mostramosel resultado obtenido para los veinte primeros coeficientes, teniendo en cuentaque hasta el orden 3 incluıdo, los coeficientes mn coinciden exactamente con losmomentos multipolares de su mismo orden, y por tanto,m0 ≡ M , m1 ≡ iJ , m2 = 0y m3 = 0.

m4 =17MJ2

m5 =− 121

iJ3

m6 =121

M3J2

m7 =− 13231

M2iJ3

m8 =5

231M5J2 − 40

3003MJ4

m9 =− 1153003

M4J3i− 43003

J5i

m10 =5

429M7J2 − 115

7007M3J4

m11 =− 139

M6J3i− 389357357

M2J5i

m12 =1

143M9J2 − 1569

119119M5J4 − 53

2909907MJ6

m13 =− 432431

M8J3i− 265108927

M4J5i− 1305120369349

J7i

m14 =1

221M11J2 − 187618

20369349M7J4 +

112910968111

M3J6

m15 =− 534199

M10J3i− 109542263261

M6J5i− 831513364385021

M2J7i


m16 =1

323M13J2 − 40346

6789783M9J4 − 454

15954939M5J6 − 2419504

16397325945MJ8

m17 =− 3323

M12J3i− 124800701717815099

M8J5i− 29382261460123528465

M4J7i−

− 35634548147575933505

J9i

m18 =5

2261M15J2 − 862123

245402157M11J4 − 10703470

36074117079M7J6−

− 1118602302221103358491215

M3J8

m19 =− 17359446598621103358491215

M6J7i− 9904186557487428199463605

J9M2i− 36552003

M14J3i−

− 6808829736206471

M10J5i

m20 =5

3059M17J2 − 6540151

3681032355M13J4 − 9908406983

21103358491215M9J6−

− 46748998125464283981773716645

M5J8 − 98507806659418971919283602285

MJ10

(V I.56)

A la vista de estos resultados, y calculados hasta este orden los determinantesLn (VI.34), no parece que a partir de algun orden N los determinantes construıdoscon estos coeficientes mn se anulen . Si ello ocurriese, podrıamos escribir el po-tencial de Ernst de la solucion estacionaria de vacıo con masa y momento angularcomo un cociente de polinomios de grado N .

En virtud de estas consideraciones, lo que pretendemos a continuacion esaproximarnos a la solucion M − J desarrollando un mecanismo de construccionde soluciones exactas cuya estructura multipolar sea cada vez mas proxima ala solucion con masa y momento angular exclusivamente.En que medida talessoluciones aproximan a la solucion M−J , sera necesariamente objeto de discusionen lo sucesivo. En principio, serıa deseable que los momentos multipolares nonulos de orden superior al monopolo y al dipolo dinamico, fuesen no solo maspequenos que estos ultimos, sino que sean progresivamente menores a medida quese incrementa el orden de aproximacion en la sucesion de soluciones.

Para construir la sucesion de soluciones exactas vamos a proceder planteandoel potencial de Ernst sobre el eje de simetrıa como un cociente de polinomioscuyo grado N es sucesivamente mayor. Por tanto, para la solucion a cada orden,estaremos fijando un numero 2N de momentos multipolares cada vez mayor.


A) CASO N = 1

Consideremos como condicion de contorno para el metodo de Sibgatullin unpotencial de Ernst que sobre el eje de simetrıa se escriba como un cociente depolinomios de grado N = 1, es decir,

e(1)(z) =z + a1

z + b1≡ N (1)(z)

D(1)(z). (V I.57)

Para la determinacion de las constantes a1 y b1 utilizamos los dos primeros coefi-cientes mk, es decir,

m0 ≡ M , m1 ≡ iJ . (V I.58)

Construyendo los polinomios N (1)(z) y D(1)(z) segun las expresiones (VI.54) y(VI.55) concluımos que el potencial de Ernst sobre el eje, en terminos de losmomentos multipolares M y J , resulta ser

e(1)(z) =z −M − iJ/M

z + M − iJ/M. (V I.59)

Observese que el parametro a ≡ J/M representa el momento angular por unidadde masa, de manera que la siguiente expresion es justamente la forma del potencialde Ernst en el eje de simetrıa que presenta la solucion de Kerr de parametros M

y a

eKerr(z) =z −M − ia

z + M − ia. (V I.60)

En efecto, si se desarrollan las expresiones del metodo de Sibgatullin, para elcalculo del potencial de Ernst a partir de esta estructura en el eje, obtenemos elcorrespondiente a la metrica de Kerr. Para ello, hemos de determinar las raıcesdel polinomio N(z)D(z) + N(z)D(z), que es el numerador de la funcion h(z, z),cuyos dos unicos ceros son para este caso

α± = ±√

M2 − a2 . (V I.61)

Con lo cual, el potencial de Ernst de la metrica de Kerr se escribe en coordenadasde Weyl como sigue

EKerr =α(r+ + r−) + ia(r+ − r−)− 2αM

α(r+ + r−) + ia(r+ − r−) + 2αM, (V I.62)

siendo α el valor absoluto de las dos raıces (VI.61).


Calculemos ahora los coeficientes mk superiores a los dos primeros, para locual, podemos utilizar la ecuacion (VI.32b), que relaciona dichos coeficientes conlos de los polinomios N (1)(z) y D(1)(z), obteniendo el siguiente resultado

mk = M(ia)k ≡ Mk+1(iJ )k , (V I.63)

donde se ha introducido un parametro adimensional J ≡ J/M2. Recuerdeseque dicha metrica tiene la caracterıstica de poseer momentos multipolares quecoinciden con los coeficientes mk del desarrollo en el eje de su potencial ξ, ([Fodoret al, 1989]) por lo que los momentos multipolares de la metrica de Kerr se puedenescribir como sigue

M0 =M

M1 =iJM2

M2 =− J 2M3

M3 =− iJ 3M4

M4 =J 4M5

M5 =iJ 5M6

M6 =− J 6M7

. (V I.64)

Obviamente, los coeficientes mn de orden superior a 2 no coinciden con los quetiene la solucion M − J (VI.56), ası que vayamos al siguiente caso.

B) CASO N = 2

Para construir el potencial de Ernst sobre el eje, utilizamos en este caso uncociente de polinomios de grado N = 2, es decir,

e(2)(z) =z2 + a1z + a2

z2 + b1z + b2≡ N (2)(z)

D(2)(z). (V I.65)

Los cuatro primeros coeficientes mk, de acuerdo con los resultados (VI.56) losfijamos de la siguiente manera

m0 ≡ M , m1 ≡ iJ , m2 = m3 = 0 . (V I.66)

Con esta eleccion, y puesto que m2 y m3 coinciden con el momento cuadrupolary octupolar respectivamente, la solucion que vamos a generar poseera nulos, porconstruccion, dichos momentos multipolares.

El calculo de los polinomios N (2)(z) y D(2)(z) conduce al siguiente resultado

e(2)(z) =z2 −Mz − iJ

z2 + Mz + iJ. (V I.67)


La construccion del potencial de Ernst fuera del eje de simetrıa requiere,segun el metodo de Sibgatullin, la determinacion de los ceros de la funcion h(z, z).Los cuatro ceros de dicha funcion, en este caso, son dos cantidades reales y dosimaginarias puras, una conjugada de la otra, es decir,

α±1 =± M√2

√1 +

√1 + 4J 2 = ±M

2

[√1 + 2iJ +

√1− 2iJ

]

α±2 =± M√2

√1−

√1 + 4J 2 = ±M

2

[√1 + 2iJ −√1− 2iJ

] . (V I.68)

de manera que, el potencial de Ernst de la solucion exacta cuyo comportamientoen el eje de simetrıa es un cociente de polinomios de grado N = 2, resulta ser:

E(2)(ρ, z) ≡ Λ + ΓΛ− Γ

, (V I.68a)

Λ ≡ 18r+1

[(p− 1

p

)2

r+2 +

(p + 1

p

)2

r−2

]

+18r−1

[(p− 1

p

)2

r+2 +

(p + 1

p

)2

r−2

]+

14

p2p2 − 1p2p2

(r−1 r+1 + r−2 r+

2 )

Γ ≡ M

8(p− p)

[(p− 1

p

) (p + 1

p

)r+1 −

(p + 1

p

)(p− 1

p

)r−1

]

+M

8(p + p)

[(p− 1

p

)(p− 1

p

)r+2 −

(p + 1

p

)(p + 1

p

)r−2

],

(V I.68b)con las notaciones siguientes

p ≡ +√

1 + 2iJ

r±i ≡ +√

ρ2 + (z − α±i )2(V I.68c)

La estructura sobre el eje del potencial de Ernst conduce, curiosamente, a unpotencial ξ con los siguientes coeficientes

m0 ≡ M , m1 ≡ iJ , mk = 0 , ∀k ≥ 2 . (V I.69)

Esta vez los coeficientes mn reproducen hasta orden 4 los que caracterizana la solucion M − J , sin embargo los sucesivos son evidentemente distintos. Los


momentos multipolares correspondientes a esta solucion resultan ser

M0 = M

M1 = iJM2

M2 = 0

M3 = 0

M4 = −17J 2M5

M5 = i321J 3M6

M6 =133J 2M7

M7 = −i19429

J 3M8

M8 = −M9

(1

143J 2 +

533003

J 4

)

M9 = iM10

(43

2431J 3 +

4117017

J 5

)

M10 = M11

(7

4199J 2 +

20212597

J 4

)

(V I.70)

Observese que, por construccion, los momentos cuadrupolar y octupolar sonnulos. El primer momento multipolar no nulo es el de orden cuarto, cuyo valores inferior al momento angular pues es de orden J 2. Sin embargo, todos losmomentos masicos superiores son tambien de orden J 2 y los dinamicos de ordenJ 3, o sea del mismo orden que los momentos cuadupolar y octupolar en el casoanterior N = 1.

Otra caracterıstica evidente que presenta esta solucion es la simetrıa ecuato-rial, lo cual se desprende del hecho de que los momentos multipolares de ordenimpar son imaginarios puros, es decir, momentos dinamicos asociados a la rotacion,mientras que los momentos multipolares pares no nulos son unicamente los mo-mentos masicos, es decir, son cantidades reales. Esta es una caracterıstica propiadel metodo utilizado para construir las soluciones a partir de potenciales de Ernsten el eje de simetrıa de tipo racional. Se puede mostrar que si los coeficientesmn elegidos son alternativamente reales e imaginarios puros, el potencial de Ernstcorrespondiente tiene simetrıa ecuatorial. Y estos coeficientes son ası debido a quelos coeficientes ak y bk del potencial de Ernst en el eje e(z) verifican la relacionak = (−1)k b∗k. En consecuencia se verifica la condicion necesaria y suficiente paraque una solucion estacionaria, asintoticamente plana de las ecuaciones de Einstein


de vacıo y con simetrıa axial posea simetrıa ecuatorial [Kordas, 1995], [Meinel etal, 1995]:

e+(z) e∗+(−z) = 1 , (V I.71)

siendo e+(z) el potencial de Ernst sobre el eje de simetrıa en la parte positiva delmismo.

C) CASO N = 3

Para este caso, fijaremos los seis primeros coeficientes mk, de acuerdo con losque posee la solucion M − J (VI.56), de la siguiente manera

m0 ≡ M , m1 ≡ iJ , m2 = m3 = 0 ,

m4 =17MJ2 , m5 = −i

121

J3 .(V I.72)

Esta eleccion nos asegura que los momentos multipolares de orden inferior a 6 sonnulos, salvo el momento angular y el monopolar.

El potencial de Ernst sobre el eje de simetrıa resulta entonces en funcion deestos dos momentos

e(3)(z) =N (3)(z)D(3)(z)

, (V I.73)

siendo

N (3)(z) =z3 + Mz2(−1 + 1/3iJ ) + zM2(−1/7− 4/3iJ )+

+ M3(1/7 + 1/7iJ + 1/3J 2)

D(3)(z) =z3 + Mz2(1 + 1/3iJ ) + zM2(−1/7 + 4/3iJ )+

+ M3(−1/7− 1/7iJ + 1/3J 2) .

(V I.74)

Los ceros de la funcion h(z, z) construıda con este potencial resultan

α±1 =±M

√A− + A+ +

37− J 2

27

α±2 =±M

√−1

2(A− + A+) +

37− J 2

27+ i

12

√3(A+ −A−)

α±3 =±M

√−1

2(A− + A+) +

37− J 2

27− i

12

√3(A+ −A−)

, (V I.75)

donde se han utilizado las siguientes notaciones

A± ≡ (a±√

b)(1/3)

a ≡ 8343

+106441

J 2 +1313402

J 4 − 119683

J 6

b ≡ 25650421

J 2 +21284583443

J 4 − 715466751269

J 6 +5309

4960116J 8 − 1

177147J 10

(V I.76)


Si J < 1, lo cual como veremos es bastante realista, entonces b > 0 y a±√

b > 0,de manera que tenemos dos raıces reales y dos parejas de complejos conjugados. Elpotencial de Ernst correspondiente resulta muy complicado y no lo mostraremosaquı expresamente.

En lo que respecta a los coeficientes mk de esta solucion exacta, son los queresultan del desarrollo del potencial ξ en el eje de simetrıa, los cuales pueden sercalculados utilizando las expresiones (VI.32b), obteniendose el siguiente resultadopara los 10 primeros

m0 =M , m1 = iJM2 , m2 = m3 = 0 ,

m4 =17M5J 2 , m5 = −i

121

M6J 3

m6 =−M7(− 149J 2 +

163J 4)

m7 =iM8(− 5147

J 3 +1

189J 5)

m8 =M9(1

343J 2 − 1

49J 4 +

1567

J 6)

m9 =− iM10(3

343J 3 − 13

1323J 5 +

11701

J 7)

m10 =−M11(− 12401

J 2 +11

1029J 4 +

173969

J 6 +1

5103J 8)

(V I.77)

Una vez mas hemos de comentar que estos coeficientes mn no reproducen lasolucion M − J en su totalidad. Teniendo en cuenta estas expresiones, los mo-mentos multipolares resultan ser

M0 =M

M1 =iM2JM2 =0

M3 =0

M4 =0

M5 =0

M6 =−M7(4

147J 2 +

163J 4)

M7 =iM8(12539

J 3 +1

189J 5)

M8 =M9(32

3773J 2 +

55463063

J 4 +1

567J 6)

M9 =− iM10(26912

2501499J 3 +

91583216213

J 5 +1

1701J 7)

M10 =−M11(13392

10081799J 2 +

5550015842827

J 4 +130

1281987J 6 +

15103

J 8)

(V I.78)


Comentemos que, por construccion, esta solucion posee obviamente un mayornumero de momentos multipolares nulos que la anterior. Ademas, el primer mo-mento multipolar no nulo, que en este caso es de orden 6, es nuevamente inferioral momento angular. Sin embargo, es de senalar, que su magnitud no es nece-sariamente inferior al primer momento no nulo (orden 4) del caso anterior. Dehecho, el primer momento multipolar no nulo en cada caso es siempre de ordenJ 2, de manera que podemos encontrarnos con soluciones que posean respecto asoluciones anteriores de esta sucesion, momentos multipolares que, aun siendo deorden superior, son de mayor magnitud.

Para ilustrar el comportamiento de los momentos multipolares en esta suce-sion de soluciones exactas, escribamos explıcitamente el momento de un ordendeterminado para cada una de ellas. Por ejemplo, si consideramos el momento deorden 6 en cada caso, comparado con el caso N = 1 que representa la solucion deKerr, tenemos lo siguiente

M(1)6 = −M7J 6 = MKerr

6

M(2)6 =

133

M7J 2 = − 133

MKerr6

1J 4

M(3)6 =

149

M7J 2 − 163

M7J 4 = − 149

MKerr6

1J 4

+163

MKerr6

1J 2

(V I.79)

Es decir, a medida que avanzamos en la sucesion de soluciones, el momento mul-tipolar es de orden superior a la primera aproximacion (metrica de Kerr). Ala vista de estos resultados (VI.79), la sucesion de soluciones descrita tendrıa elcomportamiento deseado en la disminucion de sus momentos multipolares, si elparametro J fuese mayor que 1, es decir, J > M2 condicion poco deseable paracualquier objeto realista.

Por estas razones, y por otras motivaciones que argumentaremos en el sigu-iente capıtulo, nos dedicaremos a discutir una aproximacion diferente para laconstruccion de una solucion estacionaria Monopolo-Dipolo dinamico.

VII

SOLUCION ESTACIONARIAAPROXIMADA DE TIPO M–J

VII.1.- INTRODUCCION

La obtencion de una solucion estacionaria exacta que posea unicamente masay momento angular mediante el metodo de Sibgatullin requiere, como hemos visto,la determinacion sobre el eje de simetrıa de la estructura del potencial de Ernstque posea dicha caracterıstica multipolar. En la busqueda de esa estructura comocociente de polinomios nos encontramos con la necesidad de escribir el potencialde Ernst en el eje como un cociente de series.

Por las caracterısticas anteriormente descritas, la sucesion de soluciones ex-actas propuesta aunque se aproxima a la solucion Monopolo-Dipolo dinamico, nolo hace de una manera conveniente. Por ello, en este capıtulo vamos a cambiarde tactica, procediendo de un modo distinto. A partir de ahora renunciamos aobtener soluciones exactas y plantearemos la construccion de la solucion M − J

mediante soluciones aproximadas que seran las sumas parciales de una serie enpotencias del parametro J .

Escribiendo el potencial de Ernst ξ como una serie en dicho parametro, bus-camos a cada orden del desarrollo la solucion cuyos momentos multipolares seaproximen a los de la solucion M − J . Analogamente a como se hizo en el casoestatico, interpretamos ahora estas soluciones de forma perturbativa a cada or-den en el parametro J , como correcciones de la simetrıa esferica debidas a larotacion. Evidentemente, y dado que las ecuaciones de Einstein para el caso esta-cionario (no estatico) no son lineales, cada contribucion en la serie que describe elpotencial de Ernst ξ no representa una solucion exacta, como ocurrıa en el casoestatico respecto a la funcion metrica Ψ. Como veremos, los momentos multipo-lares quedan controlados por el parametro J , de manera que sus valores decrecenpara ordenes sucesivos de aproximacion en la serie. Ası, este desarrollo del poten-cial de Ernst conduce a una solucion aproximada que puede ser interpretada con

118

VII.- Solucion estacionaria aproximada de tipo M-J 119

caracter perturbativo en terminos de un parametro multipolar J . Un desarrollodel potencial de Ernst en potencias de la coordenada radial, [Fernandez-Jambrina,1994] no permite controlar de forma perturbativa los momentos multipolares dela solucion.

Un caso mas realista de solucion estacionaria serıa la solucion de tipo M −Q− J , es decir, aquella que posee masa, cuadrupolo masico y momento angular,pues un objeto en rotacion tiende a achatarse de manera que aparecen momentosmultipolares masicos que dan cuenta de la desviacion de la esfericidad. Sin em-bargo, es posible imaginar un objeto lo suficientemente rıgido, de manera que lasolucion M − J tuviese algun significado fısico. Ademas, puesto que en el casoestatico ya hemos tratado la solucion M −Q, nos hemos querido limitar en el casoestacionario al estudio de la solucion M −J , suponiendo que la M −Q−J podrıaobtenerse como una generalizacion de ambas.

def VII.- Solucion estacionaria aproximada de tipo M-J

VII.2.- MOMENTOS DINAMICOS EN ELECTROMAGNETISMO

En gravitacion newtoniana la rotacion de un cuerpo masivo no afecta al campogravitatorio que crea. Puesto que la gravitacion queda descrita mediante un unicopotencial, es suficiente una familia de momentos mutipolares (estaticos) para es-tablecer un desarrollo multipolar del mismo. El tener en cuenta los momentosmultipolares dinamicos es exclusivo de una descripcion relastivista de la grav-itacion.

Con objeto de ilustrar el comportamiento de los momentos multipolaresdinamicos vamos a recordar como se definen clasicamente estas cantidades en elec-tromagnetismo, teniendo en cuenta que, al igual que asociados a una distribucionde carga o de masa se definen momentos multipolares estaticos, analogamente sepuede definir algo similar para la rotacion.

Una distribucion de carga que este girando en torno a un eje produce una den-sidad de corriente, de manera que el potencial vector del campo electromagneticose puede describir mediante un desarrollo multipolar definiendo los momentosmultipolares magnetostaticos. Como es conocido, la gravitacion relativista enuna cierta aproximacion se puede describir formalmente con ecuaciones similaresa las del electromagnetismo. Recordemos la interpretacion de Bel [Bel, 1971] de lasecuaciones de Einstein mediante los campos de gravitacion (Λi,Ωij). El compor-tamiento de los momentos electrostaticos y magnetostaticos clasicos suponemosque no ha de ser muy diferente al de los momentos multipolares relativistas, o al


menos deben proporcionar informacion que podamos referir al comportamientoesperado de los mismos.

Consideremos el desarrollo del potencial vector ~A asociado al campo elec-tromagnetico creado por una distribucion de carga con simetrıa axial que girarıgidamente en torno al eje con velocidad angular Ω,

~A(P ) =∞∑

l=1

1rl+1

~Ml ∧ ~ndPl(cos(θ))d(cos(θ))

, (V II.1)

siendo θ el angulo polar esferico asociado a un punto exterior P , situado a unadistancia r del centro de la distribucion de carga. ~n ≡ ~r/r es el vector unitarioen la direccion radial a ese punto P , Pl(cos(θ)) son los polinomios de Legendre y~Ml es el momento magnetostatico asociado a esta distribucion y definido por la

siguiente expresion integral

~Ml =~Ω

l(l + 1)

∫yl+1ρ(y, β) sin2 β

dPl(cos(β))d(cos(β))

d3~y , (V II.2)

donde ρ(y, β) es la densidad de carga del objeto y la integral esta extendida atodo su volumen, de manera que ~y representa el vector de posicion del punto deintegracion y β su angulo polar correspondiente.

Podemos entender, entonces, los momentos de rotacion asociados a una dis-tribucion de carga de densidad ρ que gira de forma rıgida con una velocidadangular ~Ω como sigue

~Ml ≡~Ω

l(l + 1)Il , (V II.3)

donde Il queda definido de la siguiente manera

Il ≡ −∫

V

ρ(y, β)yl+1 sin2 βdPl(cos(β))d(cos(β))

d3~y . (V II.4)

Si calculamos estos momentos para una distribucion de carga homogenea y


de geometrıa elipsoidal de ejes (a, a, b), se obtiene el siguiente resultado †

~M2n =0

~M2n+1 =(−2)n3Qa2n+2

(2n + 1)(2n + 3)(2n + 5)εn(1− ε

2)n~Ω

, (V II.5)

donde ε ≡ (a − b)/a y Q es la carga total de la distribucion definida por laintegracion de la densidad de carga ρ a todo el volumen de la misma.

Recordemos en este momento que los momentos clasicos de masa adscritosal campo externo de una fuente con simetrıa axial (IV.17), podıan ser descritosen terminos de la desviacion respecto a la simetrıa esferica de dicha fuente (V.I).Es decir, existe un parametro que controla la desviacion de la distribucion de laforma esferica y ademas pone de manifiesto la progresiva disminucion del ordende magnitud de cada momento. Analogamente, las expresiones (VII.5) describenel mismo comportamiento para estos momentos dinamicos asociados a la rotacionen electromagnetismo.

Notese que podrıamos haber definido cantidades analogas a estas (VII.5),pero para una distribucion de masa, en cuyo caso a orden 1, I1 representarıa elmomento de inercia ~M1 ≡ ~L = 1/2 ~Ω I1 de un objeto masivo con velocidadangular ~Ω. Entonces, como serıa de esperar, si consideramos en (VII.5) ε = 0,es decir, una esfera de radio a y masa M rotando rıgidamente con una velocidadangular ~Ω, esta solo posee un momento dinamico, ~M1 = 1/5 M a2 ~Ω ≡ 1/2 I ~Ω.Los momentos superiores son debidos a la existencia de una desviacion de laesfericidad, (ε 6= 0) representando ası una correcion a la misma, cuya magnitud esproporcional al parametro (ε) que describe esa desviacion.

VII.3.- ESTRUCTURA MULTIPOLAR SOBRE EL EJE DE SIMETRIA

Consideremos el potencial de Ernst ξ de una solucion estacionaria de vacıo consimetrıa axial. Recordemos que, en general, esta funcion solucion de la ecuacion

† Las integrales correspondientes se han resuelto generalizando eq. 7.226/3 en[Gradshteyn et al, 1965] de la siguiente manera

∫ 1

−1

(1 + px2)−n−5/2P2n(x)dx =2

(2n + 1)(2n + 3)[(2n + 2)p + 4n + 3]×

× (−p)n(1 + p)−n−3/2 , |p| < 1

.


(II.43) se puede desarrollar en serie, en algun entorno del infinito, sobre el eje desimetrıa. Los coeficientes mk de dicho desarrollo juegan el papel correspondientea los coeficientes de Weyl de la solucion general estatica. Dicha afirmacion ha deentenderse en el sentido de que los momentos multipolares, calculados utilizando elalgoritmo FHP descrito, pueden se expresados en terminos de estos coeficientes.

Como ya comentamos previamente, dados unos momentos multipolares pode-mos determinar unıvocamente los coeficientes mk del desarrollo de ξ. En concretohemos considerado unicamente momento monopolar y momento angular, es decir,imponiendo las condiciones siguientes

M0 ≡ M, M1 ≡ iJ, J ≡ iJ

M2

Mk = 0 , k ≥ 2, (V II.6)

donde tengase en cuenta que hemos cambiado la notacion del parametro J , queahora es imaginario. Los coeficientes mk, que ya mostramos en el capıtulo anterioradquieren en terminos del parametro J la siguiente estructura

m2k = M2k+1

(2k+1)/4∑n=1

J 2nG(2n, 2k)

m2k+1 = M2k+2

k/2∑n=1

J 2n+1G(2n + 1, 2k + 1)

, (V II.7)

La funcion G(n, k) describe los factores que aparecen en aquellas expresiones(VI.56) para cada potencia n del parametro J y cada orden k en el desarrollo en1/z del potencial de Ernst.

Sustituyendo estas expresiones (VII.7) de los coeficientes mk en el desarrollodel potencial de Ernst ξ en el eje, y reordenando las sumas, podemos escribir dichopotencial como una serie en potencias del parametro J como sigue,

ξ(ρ = 0, z) =M

z+

M2

z2J +

∞∑α=2

J αφα , (V II.8)

quedando las funciones φα definidas por las siguientes expresiones

φ2n =∞∑

k=2n

G(2n, 2k)λ2k+1 (V II.9a)

φ2n+1 =∞∑

k=2n

G(2n + 1, 2k + 1)λ2k+2 , (V II.9b)


donde se ha definido λ ≡ M/z. Observese que al haber definido el parametro Jimaginario, las funciones φα con α impar, contribuyen a la serie (VII.8) con unafuncion imaginaria, constituyendo ası el potencial ξ como una funcion complejatal y como corresponde a una solucion no estatica.

En principio serıa posible obtener expresiones generales para los factoresG(n, k). Los dos ındices de esta funcion generan un cuadro de valores de dobleentrada. Fijando el primero de los dos ındices, es decir, el valor de la potencia delparametro J , tratamos de ajustar la sucesion de valores que, para esa potencia,aparecen en los distintos coeficientes mn. Por ejemplo, es muy sencillo comprobarque, para los dos primeros ordenes en la potencia del parametro J se tiene

G(2, 2k) =15

(2k + 3)(2k + 1)(2k − 1)

G(3, 2k + 1) =15(10k − 17)

(2k + 5)(2k + 3)(2k + 1)(2k − 1)

. (V II.10)

En teorıa, deberıan obtenerse cada una de las sucesiones correspondientes a todaslas potencias del parametro J . Sin embargo, y a pesar de haber calculado loscoeficientes mk hasta el orden 30, no parece que los factores G(n, k) tengan laregularidad suficiente como para obtener una expresion que los ajuste, de unaforma tan simple como las anteriores (VII.10). Por tanto, no habiendo obtenidoun termino general G(n, k), y sin menoscabo de la necesaria investigacion en tornoa una segura y definitiva expresion para el mencionado termino, nos proponemosestudiar a continuacion, y con la pretension de generalizar los resultados queobtengamos, la solucion aproximada a orden 2 en la serie (VII.8).

Veamos en primer lugar como es posible obtener expresiones finitas para lasfunciones φα. Para ello, basta con escribir la funcion G(n, k) como una suma defracciones simples. Ası por ejemplo, para los dos primeros valores de su primerındice resulta

G(2, 2j) =158

[1

2j + 3− 2

2j + 1+

12j − 1

]≡

2∑

i=0

g(2)i

2i + 2j − 1

G(3, 2j + 1) =158

[7

2j + 5− 16

2j + 3+

112j + 1

− 22j − 1

]≡

3∑

i=0

g(3)i

2i + 2j − 1(V II.11)

Sustituyendo en (VII.9) la expresion G(2, 2k) obtenemos la siguiente funcionφ2 (analogamente para G(3, 2k + 1))


φ2 =∞∑

k=2

2∑

j=0

g(2)j

2k + 2j + 1λ2k+1 . (V II.12)

Reordenando las sumas y haciendo uso del Lema–5 del Apendice A, tenemos

φ2 =2∑

j=0

g(2)j λ4

3−j∑

k=0

C2(3−j),2kQ2k(1/λ) , (V II.13)

con lo cual obtenemos una expresion finita sobre el eje de simetrıa de la forma

φ2 = λ43∑

k=0

Q2k(1/λ)min(3−k,2)∑

j=0

g(2)j C2(3−j),2k . (V II.14)

VII.4.- DESARROLLO DEL POTENCIAL DE ERNST EN SERIE DEPOTENCIAS DEL PARAMETRO J

Como hemos visto, la expresion de los coeficientes mn (VII.7) permite escribirel potencial de Ernst ξ en el eje de simetrıa como una suma en potencias delparametro J . Coherentemente con el procedimiento que hemos planteado, vamosa obtener soluciones de la ecuacion de Ernst en forma de serie de potencias deunparametro J .

Consideremos la ecuacion de Ernst para el potencial ξ

(ξξ∗ − 1)4ξ = 2ξ∗(∇ξ)2 , (V II.15)

y sea ξ una solucion de la forma

ξ ≡ ξ0 +∞∑

α=1

ξαJ α , (V II.16)

donde ξ0 corresponde al potencial de Ernst de la solucion de Schwarzschild. Im-poner que esta serie sea solucion de la ecuacion de Ernst conduce a cada orden alas siguientes ecuaciones para las funciones ξα

(ξ20 − 1)4ξ2α+1 − 4ξ0∇ξ0∇ξ2α+1 + 2ξ2α+1(∇ξ0)2 = H2α+1

(ξ20 − 1)4ξ2α − 4ξ0∇ξ0∇ξ2α + 2ξ2α(∇ξ0)2

ξ20 + 1

ξ20 − 1

= H2α

, (V II.17)


donde la parte inhomogenea de la ecuacion tiene la siguiente expresion

Hα =∑

i+j+k=αi,j,k<α

(−1)i [2ξi∇ξj∇ξk − ξiξj4ξk] , α > 0 . (V II.18)

Para simplificar las ecuaciones anteriores, es posible hacer una redefinicionde las funciones ξα, de la siguiente manera

ζα ≡ ξα

ξ20 − 1

. (V II.19)

Con este cambio, las ecuaciones a cada orden resultan tener la expresion massimple siguiente

(ξ20 − 1)4ζα + ξ2

0ν2ζα =Hα

ξ20 − 1

, (V II.20)

donde ν = 0 si α es un numero par y ν = 2 si α es impar. Esta ecuacion escritaen coordenadas prolate es facil de resolver, y se obtiene la solucion general por elprocedimiento de anadir una solucion particular de la ecuacion inhomogenea a lasolucion general de la homogenea. Imponemos como condiciones de contorno uncomportamiento regular en el eje (y = ±1) y una dependencia en la coordenadax de manera que decaiga en el infinito al menos como 1/x. La solucion en formade serie mas general de las ecuaciones de Ernst con dicho comportamiento, escritaen coordenadas prolate, resulta ser

ξ =1x

+∞∑

α=1

J αξα(x, y)

ξα(x, y) =x2 − 1

x2

[ζinhα (x, y) +

∞∑n=0

hαnQ(ν)

n (x)Pn(y)

] , (V II.21)

donde Q(ν)n (x) son las funciones asociadas de Legendre de segunda especie, y las

funciones ζinhα (x, y) son soluciones particulares de las ecuaciones no-homogeneas

a cada orden, y hαn son constantes arbitrarias.

Como ejemplo, resulta ilustrativo estudiar la solucion de Kerr en ese sentido,es decir, conocer el desarrollo de su potencial ξ en un parametro J . Ademas, elloservira de referencia con respecto a las soluciones que aportaremos en el proximoapartado. En relacion con la metrica de Kerr, realizaremos en el Apendice C unestudio distinto del que venimos considerando para las metricas estacionarias eneste capıtulo. Utilizaremos el formalismo de Thorne, desarrollando la metrica deKerr en coordenadas armonicas, con objeto de conocer la estructura multipolar yde restos de Thorne de dicha metrica.


Sea el potencial de Ernst de la metrica de Kerr

EKerr =px + iqy − 1px + iqy + 1

, p2 + q2 = 1 , (V II.22)

donde x, y son coordenadas prolate para esta metrica, definidas como sigue

x =r+ + r−

2σ

y =r+ − r−

2σ

r2± ≡ρ2 + (z ± σ)2

σ ≡∣∣∣√

M2 − a2∣∣∣

, (V II.23)

donde a y M son los parametros de rotacion y masa respectivamente que apare-cen en la metrica de Kerr en coordenadas Boyer–Lindquist [Boyer et al, 1967].Observese que estas coordenadas prolate no son las mismas que las definidas parala metrica de Schwarzschild, puesto que la constante σ en este caso no representala masa.

Tomando el valor usual, q =a

M, para los parametros en la definicion (VII.22),

se tiene que el potencial de Ernst transformado ξ para la metrica de Kerr resultaser

ξKerr =1

x√

1 + J 2 − J y, (V II.24)

donde se ha considerado J ≡ ia

M, pues como a representa en la notacion de

Kerr en coordenadas Boyer-Lindquist el momento angular por unidad de masa,

evidentemente se tiene que J =J

M2.

Teniendo en cuenta que las coordenadas prolate (VII.23) dependen del para-metro J , (σ = M

√1 + J 2), el desarrollo de la expreion anterior (VII.24) no es

tan sencillo como parece a simple vista. A continuacion mostramos los primerosordenes del desarrollo de la metrica de Kerr escrita en la forma de la solucion(VII.21)

ξKerr0 =

1x

ξKerr1 =

x2 − 1x2

12Q

(2)1 (x)P1(y)

ξKerr2 =

x2 − 1x2

12

[2y2 − x2

x(x2 − 1)+

∞∑n=0

(4n + 1)Q2n(x)P2n(y)

].

(V II.25)


VII.5.- CONSTRUCCION DE LA SOLUCION M −J EN FORMA DESERIE

Hemos visto que escribiendo el potencial de Ernst ξ en serie de potencias delparametro J obtenemos, mediante las sumas parciales a cada orden, solucionesaproximadas de las ecuaciones de Einstein de vacıo. En consecuencia, podemosdescribir en teorıa de perturbaciones la solucion que posee unicamente masa ymomento angular.

Recordemos que en el apartado anterior obtuvimos una serie (VII.8) querepresenta la estructura en el eje de simetrıa del potencial de Ernst ξ de unasolucion estacionaria de las ecuaciones de Einstein de vacıo que, por construccion,posee unicamente masa y momento angular. A continuacion vamos a imponer quelas funciones φα de dicha serie coincidan a cada orden con la reduccion al eje dela correspondiente funcion ξα de la solucion general (VII.21), para ciertos valoresde las constantes hα

n. Es decir, de entre todas las soluciones de la familia generaldescrita por la expresion (VII.21), la solucion M-J que buscamos ha de ser aquellacuya reduccion sobre el eje de simetrıa coincida con la estructura (VII.8) y (VII.9)construıda con los dos unicos momentos multipolares.

Teniendo en cuenta la expresion de la solucion general (VII.21), vamos aadaptar las funciones φα del desarrollo sobre el eje a dicha estructura. En primer

lugar vamos a extraer de la expresion de φα un factorM2 − z2

z2que se corresponde

con el que aparece en (VII.21). Para ello, basta con multiplicar las expresiones(VII.9) por un factor unidad de la siguiente manera

φ2n =M2 − z2

z2

[1

λ2 − 1

∞∑

k=2n

G(2n, 2k)λ2k+1

]. (V II.26)

El desarrollo correspondiente en el parametro λ conduce a la siguiente expresion

φ2n = −M2 − z2

z2

∞∑

i=0

∞∑

k=2n

G(2n, 2k)λ2k+2i+1 , (V II.27)

o lo que es lo mismo,

φ2n = −M2 − z2

z2

∞∑

j=2n

λ2j+1

j∑

k=2n

G(2n, 2k) . (V II.28)

En segundo lugar, escribimos las funciones pares φ2n en terminos de las fun-ciones asociadas de Legendre de primera especie. Para ello hacemos uso del Lema–6 del Apendice A, de manera que

φ2n = −M2 − z2

z2

∞∑

j=2n

I(2n)j

∞∑

i=j

(4i + 1)L2i,2jQ2i(1/λ) , (V II.29)


donde se ha utilizado la notacion

I(2n)j ≡

j∑

k=2n

G(2n, 2k) . (V II.30)

Para las funciones impares φ2n+1, operamos del mismo modo para conseguirel factor mencionado. Ademas, en este caso tenemos que encontrar una expresionen terminos de las funciones asociadas de Legendre de segunda especie Q

(2)n (1/λ).

Si utilizamos el resultado enunciado en el Lema–7 del Apendice A obtenemosfinalmente la siguiente expresion

φ2α+1 =z2 −M2

z2

∞∑

l=2α

4l + 3(2l + 2)(2l + 1)

Q(2)2l+1(1/λ)

l∑n=2α

2l + 2n + 1(2n + 1)!!

L2l,2nI(2α+1)n

(V II.31)donde se ha utilizado la notacion

I(2α+1)n ≡

n∑

k=2α

G(2α + 1, 2k + 1) . (V II.32)

Vamos a obtener ahora las expresiones generales de las constantes hαn de la

solucion general (VII.21), para que esta represente la solucion M − J . Escojamoscomo soluciones particulares de las ecuaciones inhomogeneas (VII.20), series defunciones asociadas de Legendre de segunda especie de la siguiente forma

ζinh2α =

∞∑

l=0

(4l + 1)Q2l(x)S2l(y)

ζinh2α+1 =

∞∑

l=0

(4l + 3)Q(2)2l+1(x)S2l+1(y)

, (V II.33)

siendo Sa(y) polinomios en la variable angular.

Comparando la solucion general (VII.21), considerada sobre el eje de simetrıa,con las expresiones obtenidas anteriormente (VII.29) y (VII.31), se obtienen las


siguientes expresiones

h2α2n+1 = 0

h2α2n = −(4n + 1)S2n(1) , n < 2α

h2α2n = −(4n + 1)

[S2n(1) +

n∑

k=2α

L2n,2kI(2α)k

], n ≥ 2α

h2α+12n = 0

h2α+12n+1 = −(4n + 3)S2n+1(1) , n < 2α

h2α+12n+1 = −(4n + 3)

[S2n+1(1) +

1(2n + 1)(2n + 2)

n∑

l=2α

2n + 2l + 1(2l + 1)!!

L2n,2lI(2α+1)l

]

n ≥ 2α(V II.34)

Construyamos ahora los primeros ordenes de la solucion M − J . La con-tribucion a orden cero de la solucion debe ser, obviamente, la correspondiente ala metrica de Schwarzschild, pues si consideramos el parametro J = 0 estamostomando como unico multipolo la masa, que describe simetrıa esferica. La depen-dencia angular no existe y la expresion del potencial de Ernst ξ para la metrica deSchwarzschild (ξ0 = 1/x) se corresponde en el eje con la estructura descrita por(VII.8).

La primera contribucion en el parametro J debe ser solucion de la ecuacion(VII.17) a orden 1 que resulta ser homogenea, por tanto,

ξ1 =1− x2

x2

∞∑

l=0

h1l Q

(2)l (x)Pl(y) . (V II.35)

Escribiendo esta expresion general en el eje de simetrıa, tenemos

ξ1(y = 1) = 2λh10 + 2λ2h1

1 + (λ2 − 1)2∞∑

l=2

h1l Q

(2)l (1/λ) . (V II.36)

Ademas, la primera contribucion de la solucion M −J debe tener el valor descritopor (VII.8) sobre el eje de simetrıa, con lo cual resulta evidente que la unicasolucion posible se obtiene tomando

h10 =0

h11 =

12

h1l =0 , l ≥ 2

, (V II.37)


con lo cual tenemos

ξ1(x, y) =12

1− x2

x2Q

(2)1 (x)P1(y) =

y

x2. (V II.38)

Observese que esta solucion aproximada resulta ser la misma que para el desarrollode Kerr a primer orden en el parametro J (VII.25).

Consideremos a continuacion la solucion a segundo orden de la serie M − J .Una solucion particular de la ecuacion inhomogenea (VII.17) a orden dos resultaser

ζinh2 = (

x

2− y2

x)

11− x2

. (V II.39)

Teniendo en cuenta el Lema–6 del Apendice A, podemos escribir dicha solucionparticular en terminos de las funciones asociadas de Legendre de la siguientemanera

ζinh2 =

∞∑n=0

Q2n(x)(4n + 1)[12− y2(1− L2n,0)

]. (V II.40)

Sustituyendo esta solucion particular en las expresiones generales para las con-stantes hα

n (VII.34) tenemos que las constantes de la contribucion a orden 2 son

h20 =

12

h22 =5

(L2,0 − 1

2

)

h22n =(4n + 1)

[−1

2+ L2n,0 −

n∑

k=2

L2n,2kI(2)k

], n ≥ 2

. (V II.41)

Si consideramos la expresion (VII.11) de la funcion G(2, 2j), podemos evaluar eltermino I

(2)k como suma de fracciones simples de la forma

I(2)k =

(k + 3)(k − 1)(2k + 3)(2k + 1)

=14− 15

81

2k + 1+

158

12k + 3

. (V II.42)

A partir de esta expresion, observamos que I(2)0 = −1 y I

(2)1 = 0. Ası pues, las

constantes h22n con n ≥ 2 se pueden escribir de la siguiente manera

h22n = (4n + 1)

[−1

2−

n∑

k=0

L2n,2kI(2)k

]. (V II.43)


Teniendo en cuenta la descomposicion de I(2)k se obtiene

h22n = (4n+1)

[−1

2+

158

n∑

k=0

L2n,2k

2k + 1− 15

8

n∑

k=0

L2n,2k

2k + 3− 1

4

n∑

k=0

L2n,2k

]. (V II.44)

Si utilizamos ahora el resultado del Lema–2 del Apendice A y recordamos laortonormalidad de los polinomios de Legendre, concluimos en la siguiente ex-presion para las constantes h2

n

h20 =

12

h22 =− 5

h22n =− 3

4(4n + 1) , n ≥ 2

. (V II.45)

Por tanto, la contribucion a orden dos de la solucion M − J se escribe como sigue

ξ2(x, y) =12x

− y2

x3+

1− x2

x2[12Q0(x)P0(y)− 5Q2(x)P2(y)−

−∞∑

n=2

34(4n + 1)Q2n(x)P2n(y)] .

(V II.46)

Expresion que se puede simplificar haciendo uso de la identidad de Heine [Lense,1947]:

x

x2 − y2=

∞∑n=0

(4n + 1)Q2n(x)P2n(y) , (V II.47)

para obtener ası la siguiente expresion

ξ2(x, y) =12x

− y2

x3+

1− x2

x2

[54Q0(x)P0(y)− 5

4Q2(x)P2(y)− 3

4x

x2 − y2

].

(V II.48)Si reescribimos convenientemente esta expresion, podemos obtener finalmente

la relacion con la contribucion del mismo orden en la metrica de Kerr,

ξ2(x, y) =54

1− x2

x2

[Q0(x)P0(y)−Q2(x)P2(y)− x

x2 − y2

]− ξKerr

2 . (V II.49)

Los momentos multipolares de la solucion M − J a un orden determinado deaproximacion, se pueden calcular a partir de la expresion (IV.58) de los coeficientesmn. Para la solucion a orden 1, es decir ξ

(1)M−J ≡ ξ0 + J ξ1 todos los coeficientes

mn con n ≥ 2 son nulos (de orden superior a J ). Con lo cual, sus momentos


multipolares son los mismos que tenıa la solucion exacta del capıtulo anterior,cuyo potencial e(z) era un cociente de polinomios de grado 2, es decir,

M0 = M

M1 = iJM2

M2 = 0

M3 = 0

M4 = −17J 2M5

M5 = i321J 3M6

M6 =133J 2M7

M7 = −i19429

J 3M8

M8 = −M9

(1

143J 2 +

533003

J 4

)

M9 = iM10

(43

2431J 3 +

4117017

J 5

)

M10 = M11

(7

4199J 2 +

20212597

J 4

).

(V II.50)

La solucion M − J a segundo orden, es decir, ξ(2)M−J ≡ ξ0 +J ξ1 +J 2 ξ2 tiene los

siguientes momentos multipolares

M0 = M

M1 = iJM2

M2 = 0

M3 = 0

M4 = 0

M5 = i121J 3M6

M6 = 0

M7 = i59

3003J 3M8

M8 = − 2231

J 4M9

M9 = iM10

(41

17017J 5 − 593

51051J 3

)

M10 = − 498736789783

J 4M11

. (V II.51)


Como puede verse en estas dos ultimas expresiones, segun aumenta el ordende aproximacion de la solucion M −J , sus momentos multipolares, distintos de lamasa y el momento angular, son de un orden superior a dicha aproximacion.

La estructura de los coeficientes mk en funcion del parametro J (IV.58), nosmuestra el orden n de dichos coeficientes a partir del cual existe contribucion deorden α en J . En concreto, para una potencia α par en el parametro, la primeracontribucion aparece en el coeficiente mk de orden 2α. Si α es impar, dichacontribucion aparece en el coeficiente de orden 2α− 1. Dada la linealidad entre elmomento multipolar y el coeficiente mk del mismo orden, y teniendo en cuenta lasultimas consideraciones, podemos concluir que los momentos multipolares de lasolucion M−J a un orden α de aproximacion tienen las siguientes caracterısticas:

1) Si el orden α es par, se anularan todos los momentos multipolares masicoshasta el M2α+2 incluido, siendo los siguientes de grado α + 2 o superior en lapotencia del parametro J . Por lo que respecta a los momentos multipolaresdinamicos, estos seran nulos hasta el M2α−1 incluıdo, siendo los superiores degrado mayor o igual a α + 1 en la potencia de J .

2) Si el orden α de aproximacion es impar se anularan todos los momen-tos masicos hasta el M2α siendo los siguientes de grado α + 1, mientras que losmomentos dinamicos se anularan hasta el M2α+1 siendo los superiores de gradoα + 2.

Estos hechos ponen de manifiesto, al igual que sucedıa con la solucion estaticaM −Q, la posibilidad de interpretar en teorıa de perturbaciones la serie (VII.16).Cada suma parcial de la serie es una aproximacion mayor a la solucion que poseeunicamente masa y momento angular, en la medida en que el resto de sus momen-tos multipolares o se anulan o son de grado superior a la aproximacion escogidaen el parametro J .

CONCLUSIONES

En la presente Memoria se han abordado las siguientes cuestiones:

1.- El estudio de las soluciones de vacıo estaticas y con simetrıa axial nosha llevado a establecer la relacion explıcita entre los coeficientes que caracterizana estas en las distintas representaciones de la solucion general. Estas relacionesnos permiten demostrar que la solucion de Gutusnayev-Manko constituye unanueva represenatcion de la solucion general de las ecuaciones de Einstein con lascaracterısticas mencionadas.

2.- Hemos analizado las distintas definiciones de Momentos Multipolares enRelatividad General, aplicandolas al calculo explıcito de momentos de metricasestacionarias. En concreto, aportamos los momentos multipolares de una metricaestatica general de Weyl, llevando a cabo un desarrollo de la componente temporalde la metrica en coordenadas armonicas. Igualmente para el caso estacionariohemos calculado los momentos multipolares de una solucion general utilizando elmetodo FHP.

3.- El calculo de los momentos multipolares de metricas estaticas nos hapermitido establecer la relacion existente entre los coeficientes de la representacionde Weyl de una solucion estatica general y sus momentos multipolares. Conello hemos construıdo la estructura de las soluciones con un numero finito demomentos multipolares , en el intento de describir en Relatividad General el campogravitatorio externo mediante correcciones multipolares a la simetrıa esferica.

4.- En concreto aportamos la solucion estatica Monopolo-Cuadrupolo, queposee en su estructura multipolar unicamente los dos primeros momentos masicos.Escrita esta solucion en serie de potencias de un parametro adimensional, con-struımos explıcitamente las dos primeras soluciones exactas de la sucesion queconstituye la suma parcial de esa serie. Del estudio de sus horizontes de sucesosy de sus momentos multipolares, concluımos que estas soluciones describen de

134

Conclusiones 135

una forma mas satisfactoria que otras soluciones conocidas las correcciones a lasimetrıa esferica debidas a un momento cuadrupolar.

5.- Mostramos que es posible construir soluciones estacionarias exactas enfuncion de sus momentos multipolares. Concretamente obtenemos una sucesion desoluciones cuya estructura multipolar se ajusta a un orden arbitrario a la solucionMonopolo- Dipolo dinamico. Igualmente construımos una solucion aproximadaestacionaria que describe las desviaciones respecto de la solucion de Schwarzschilddebidas a la presencia de un momento angular.

6.- Analizamos la estructura de la metrica de Kerr en coordenadas armonicas,obteniendo los momentos multipolares ya conocidos de esta metrica, y sus restosde Thorne.

APENDICE ALemas

Sean los polinomios de Legendre de orden par, en una variable arbitraria

P2n(ζ) =n∑

k=0

L2n,2kζ2k , (A1)

donde los coeficientes del polinomio tienen la siguiente expresion

L2n,2k ≡ (−1)n−k2k−n (2n + 2k − 1)!!(n− k)!(2k)!

. (A2)

Consideremos el desarrollo de la potencia par de una variable arbitraria en funcionde los polinomios de Legendre en dicha variable, es decir,

ζ2n =∞∑

k=0

C2n,2kP2k(ζ) , (A3)

donde los coeficientes C2n,2k se obtienen por integracion mediante la siguienteexpresion,

C2n,2k =4k + 1

2

∫ 1

−1

P2k(ζ)ζ2ndζ , (A4)

de manera que, para disitintos valores de k y n dichos coeficientes resultan

C2n,2k =

(4k + 1)2n!

(2n− 2k)!!(2n + 2k + 1)!!: k ≤ n

0 : k > n

. (A5)

A continuacion, enunciaremos y demostraremos una serie de Lemas que in-volucran a los coeficientes L2n,2k y C2n,2k , y las funciones de Legendre de primeray segunda especie.

Lema–1. Se verifica la siguiente relacion de ortogonalidad:k∑

j=0

L2k,2jC2j,2n = δkn . (A6)

136

Apendice A 137

Prueba.

Esta relacion es una consecuencia directa de la ortogonalidad de los poli-nomios de Legendre. En efecto, utilizando la expresion (A4) para los coeficientesC2j,2n, resulta:

k∑

j=0

L2k,2jC2j,2n =4n + 1

2

k∑

j=0

L2k,2j

∫ 1

−1

P2n(ζ)ζ2jdζ , (A7)

y conmutando ahora la integral y la suma

k∑

j=0

L2k,2jC2j,2n =4n + 1

2

∫ 1

−1

P2n(ζ)P2k(ζ)dζ , (A8)

relacion que es equivalente al enunciado del Lema si se tiene en cuenta la ortogo-nalidad de los polinomios de Legendre.

Corolario: Se deduce evidentemente esta otra relacion de ortogonalidad

j∑

k=n

L2k,2nC2j,2k = δjn (A9)

def Apendice A

Prueba.

En efecto, tengase en cuenta que el Lema–1 escrito en forma matricial, esdecir,

L · C = Id , (A10)

pone de manifiesto que las matrices L y C son inversas, siendo L2k,2j y C2j,2n

sus componentes respectivos. De manera que (A9) es consecuencia directa delLema–1 al trasponer las matrices en la expresion (A10).

q.e.d.

Lema–2. Para toda pareja de numeros enteros no negativos n y k tales quen < k, se verifica la siguiente igualdad:

k∑

j=0

L2k,2j

2n + 2j + 1= 0 . (A11)

Apendice A 138

Prueba.

Si introducimos en (A4) la expresion de los polinomios de Legendre en po-tencias de su argumento (A1), resulta lo siguiente

C2n,2k =4k + 1

2

∫ 1

−1

k∑

j=0

L2k,2jζ2n+2jdζ , (A12)

con lo cual se obtiene trivialmente

C2n,2k = (4k + 1)k∑

j=0

L2k,2j

2n + 2j + 1, (A13)

de donde se deduce lo afirmado en el enunciado del Lema si se tiene en cuenta que

C2n,2k = 0 ∀ k > n . (A14)

q.e.d.

Lema–3. Para todo numero entero no negativo j se verifican las siguientes igual-dades:

∞∑n=0

λ2n+1

2n + 2j + 1P2n(cos θ) =

j∑n=0

C2j,2nQ2n(x)P2n(y) (A15.a)

∞∑n=0

λ2n+2

2n + 2j + 3P2n+1(cos θ) =

j∑n=0

C2j+1,2n+1Q2n+1(x)P2n+1(y) , (A15.b)

donde se ha definido λ ≡ M/r, r, θ son coordenadas esfericas de Weyl yx, y son coordenadas prolate que se relacionan con las coordenadas cilındricasde Weyl ρ, z como sigue

x =r+ + r−

2σ, y =

r+ − r−2σ

r± ≡ [ρ2 + (z ± σ)2]1/2

x ≥ 1 , −1 ≤ y ≤ 1 ,

(A16)

donde σ es una constante arbitraria.

Apendice A 139

Prueba.

La demostracion detallada de este Lema es larga y laboriosa por lo que nos li-mitaremos a indicar los pasos fundamentales de la misma. En este sentido y comopaso previo consideremos la funcion generatriz de los polinomios de Legendre:

1(λ2 − 2λ cos θ + 1)1/2

=∞∑

n=0

λnPn(cos θ) , (A17)

o tambien, efectuando la transformacion λ → −λ ,

1(λ2 + 2λ cos θ + 1)1/2

=∞∑

n=0

(−1)nλnPn(cos θ) , (A18)

con lo cual sumando y restando ambas expresiones se obtiene:

2∞∑

n=0

λ2nP2n(cos θ) =1

∆−(λ)+

1∆+(λ)

(A19.a)

2∞∑

n=0

λ2n+1P2n+1(cos θ) =1

∆−(λ)− 1

∆+(λ), (A19.b)

donde ∆±(λ) = r±/r, habiendo utilizado las definiciones (A16). Definamos ahoralas siguientes integrales:

Ij(λ) ≡∫ λ

0

µj

∆−(µ)dµ + (−1)j

∫ λ

0

µj

∆+(µ)dµ . (A20)

Resulta entonces evidente, multiplicando a ambos miembros de las expresiones(A19) por λ2j y por λ2j+1 respectivamente e integrando las series termino atermino, que las igualdades (A15) del Lema son equivalentes a las siguientes:

I2j(λ) = 2λ2j

j∑n=0

C2j,2nQ2n(x)P2n(y) (A21.a)

I2j+1(λ) = 2λ2j+1

j∑n=0

C2j+1,2n+1Q2n+1(x)P2n+1(y) . (A21.b)

La demostracion de estas ultimas igualdades se realiza de una manera sencilla,aunque larga, utilizando el procedimiento de induccion completa, es decir, com-probando primero que ambas se verifican para j = 0, 1 y demostrando despues

Apendice A 140

que si son ciertas para j = l tambien lo son para j = l + 1 . Es un calculo bas-tante largo, por lo que indicamos unicamente el procedimiento a seguir. Para esteultimo paso es necesario utilizar las siguientes relaciones de recurrencia entre lasintegrales Ij [Gradshteyn et al, 1965]:

Ij =2jλj(εj−1x− εjy) +

2j − 1j

cos θ Ij−1 − j − 1j

Ij−2 , (A22)

siendo

ε =

0 : j par

1 : j impar, (A23)

y donde se ha tenido en cuenta que, de acuerdo con (A16),

∆± = λ(x± y) ,

λ−2 = x2 + y2 − 1

λ−1 cos θ = xy. (A24)

Por otro lado hay que utilizar tambien las relaciones de recurrencia habitualespara los polinomios de Legendre y las funciones de Legendre de segundo tipo, esdecir,

(2n + 1)xQn(x) = (n + 1)Qn+1(x) + nQn−1(x)

(2n + 1)yPn(y) = (n + 1)Pn+1(y) + nPn−1(y). (A25)

q.e.d.

Lema–4. Para todo numero entero no negativo j se verifica la siguiente igualdad:

∞∑n=0

njλ2n+1P2n(cos θ) =j∑

n=1−δj0

Ajn

[P+

n

(x + y)n+1+ (−1)n P−n

(x− y)n+1

], (A26)

donde los coeficientes Ajn tienen la siguiente expresion

Ajn =n

2j+1

n∑

h=1

(−1)hhj−1

(n− 1h− 1

), A00 =

12

, (A27)

y P+n , P−n representan los polinomios de Legendre en la variable que se muestra a

continuacion

P±n ≡ Pn

(xy ± 1x± y

). (A28)

Apendice A 141

Prueba.

Derivando con respecto a la variable λ los dos miembros de (A19.a) y multi-plicando despues por λ2/4, se obtiene la siguiente igualdad:

∞∑n=0

nλ2n+1P2n(cos θ) =λ2

4∂

∂λ(∆−1

+ + ∆−1− ) . (A29)

A partir de esta expresion se puede proceder de forma recurrente, dividiendoprimero por λ , derivando despues con respecto a λ y multiplicando finalmentepor λ2/2. Se obtiene ası lo siguiente:

∞∑n=0

njλ2n+1P2n(cos θ) =j∑

k=1−δj0

12j+1

Njkλk+1 ∂k

∂λk(∆−1

+ + ∆−1− ) , (A30)

donde los numeros Njk verifican las siguientes propiedades (similares a las de losnumeros combinatorios):

Nj1 = Njj = 1 , Nj,j−1 =(

j

j − 2

)

Njk = kNj−1,k + Nj−1,k−1 .

(A31)

A partir de estas reglas de recurrencia, se puede comprobar que los coeficientesNjk se escriben como sigue

Nj2 =j−2∑r=0

2r

Nj3 =j−3∑r=0

3r

j−3−r∑s=0

2s

Nj4 =j−4∑r=0

4r

j−4−r∑s=0

3s

j−4−r−s∑

h=0

2h

. . . . . .

, (A32)

de manera que la suma de estas sucesiones geometricas conduce facilmente a lassiguientes expresiones

Njk =1

(k − 1)!

k∑r=1

(−1)r+krj−1

(k − 1r − 1

), j ≥ k . (A33)

Apendice A 142

Teniendo encuenta ahora la conocida relacion [Manko, 1989]

∂k

∂λk∆−1± =

(∓1)k k!λk+1(x± y)k+1

Pk

(xy ± 1x± y

), (A34)

resulta, sustituyendo en (A30),

∞∑n=0

njλ2n+1P2n(cos θ) =

=j∑

k=1−δj0

k

2j+1

k∑r=1

(−1)rrj−1

(k − 1r − 1

)[P+

k

(x + y)k+1+ (−1)k P−k

(x− y)k+1

].

(A35)

q.e.d.

Lema–5. Para todo par de numeros enteros no negativos α y j se verifica lasiguiente igualdad:

∞∑n=2α

λ2n+1

2n + 2j + 1= λ4α

j+2α∑n=0

C2j+4α,2nQ2n(1/λ) , λ ≡ M

z. (A36)

Prueba.

Podemos entonces redefinir el ındice n del sumatorio del enunciado del Lemay escribir

∞∑n=2α

λ2n+1

2n + 2j + 1= λ4α

∞∑n=0

λ2n+1

2n + 2(j + 2α) + 1. (A37)

Si consideremos ahora las expresiones del Lema–3, para los valores de las coor-denadas x = z/M, y = 1 y r = z, θ = 0, es decir, sobre el eje de simetrıa,entonces se verifica la igualdad:

∞∑n=0

λ2n+1

2n + 2j + 1=

j∑n=0

C2j,2nQ2n(1/λ) . (A38)

Con lo cual, sustituyendo en (A37) concluimos en la expresion del enunciado.

q.e.d.

Apendice A 143

Lema–6. Para todo numero entero positivo n se verifica

1x2n+1

=∞∑

k=n

(4k + 1)L2k,2nQ2k(x) (A39a)

1x2n

=∞∑

k=n−1

(4k + 3)L2k+1,2n−1Q2k+1(x) . (A39b)

Prueba.

Considerese el desarrollo de las funciones asociadas de Legendre de primeraespecie en potencias del inverso de su argumento

Q2n(x) =1

4n + 1

∞∑

k=n

C2k,2n1

x2k+1(A40a)

Q2n+1(x) =1

4n + 3

∞∑

k=n+1

C2k−1,2n+11

x2k. (A40b)

Si sustituimos estos desarrollos en las series descritas por el enunciado del Lema,obtendremos

1x2n+1

=∞∑

k=n

L2k,2n

∞∑

j=k

C2j,2k1

x2j+1(A41a)

1x2n

=∞∑

k=n−1

L2k+1,2n−1

∞∑

j=k+1

C2j−1,2k+11

x2j. (A41b)

Reordenando las sumas tenemos

1x2n+1

=∞∑

j=n

1x2j+1

j∑

k=n

L2k,2nC2j,2k (A42a)

1x2n

=∞∑

j=n

1x2j

j∑

k=n

L2k+1,2n−1C2j−1,2k+1 . (A42b)

Haciendo uso del Corolario del Lemma–1 se concluye en la identidad de estasexpresiones.

q.e.d.

Lema–7. Para todo numero entero n > 0 se verifica

1x2n

=1

(2n− 1)!!

∞∑

k=n−1

(4k + 3)Q(2)2k+1(x)L2k,2n−2

2k + 2n− 1(2k + 2)(2k + 1)

. (A43)

Apendice A 144

Prueba.

Considerese la expresion (A39b) del Lema anterior y derivemosla una vez conrespecto a x. Multiplicando por un factor 1− x2 y teniendo en cuenta la relacion

√1− x2∂xQ2l(x) = Q

(1)2l (x) , (A44)

se obtiene,

(2k + 1)x2 − 1x2k+2

=∞∑

l=k

(4l + 1)L2l,2k

√1− x2Q

(1)2l (x) . (A45)

Consideremos ahora la relacion de recurrencia que existe entre funciones asociadasde Legendre de distinto grado

√1− x2(4l + 1)Q(1)

2l (x) = −Q(2)2l+1(x) + Q

(2)2l−1(x) , l ≥ 1 . (A46)

Con lo cual, sustituyendo en (A45) obtenemos

(2k + 1)[

1x2k

− 1x2k+2

]=

∞∑

l=k

L2l,2k(Q(2)2l−1(x)−Q

(2)2l+1(x)) , (A47)

o lo que es lo mismo, en terminos de Q(2)2l+1(x) se tiene

(2k + 1)[

1x2k

− 1x2k+2

]=

∞∑

l=k−1

Q(2)2l+1(x)(L2l+2,2k − L2l,2k) , k ≥ 1 . (A48)

Para el valor k = 0, teniendo en cuenta que (4l + 1)√

1− x2Q(1)0 = 1, se obtiene

a partir de la expresion (A42), el siguiente resultado

1x2

= −∞∑

l=1

L2l,0(Q(2)2l−1(x)−Q

(2)2l+1(x)) , (A49)

con lo que se tiene

1x2

=∞∑

l=0

Q(2)2l+1(x)(L2l,0 − L2l+2,0) . (A50)

Actuando por induccion sobre el ındice k en la expresion (A48) y teniendoen cuenta este ultimo resultado (A50), se obtiene

1x2n

=1

(2n− 1)!!

∞∑

l=0

Q(2)2l+1(x)

n−1∑

j=0

(L2l,2j − L2l+2,2j) . (A51)

Apendice A 145

Ademas, la diferencia de coeficientes del mismo grado de dos polinomios de Leg-endre consecutivos resulta ser

L2l,2j − L2l+2,2j = (4l + 3)L2l,2j

2l − 2j + 2, (A52)

con lo que la expresion (A51) se escribe como sigue

1x2n

=1

(2n− 1)!!

∞∑

l=0

(4l + 3)Q(2)2l+1(x)

n−1∑

j=0

L2l,2j

2l − 2j + 2. (A53)

Se puede demostrar por induccion sobre el ındice n la siguiente relacion

n−1∑

j=0

L2l,2j

2l − 2j + 2= L2l,2n−2

2l + 2n− 1(2l + 2)(2l + 1)

, (A54)

con lo cual el Lema queda demostrado, teniendo en cuenta que en la expresion(A52) el sumatorio en el ındice l puede comenzar en el valor n− 1 en virtud de laexpresion (A53) (recuerdese que L2n,2k = 0, ∀ n < k).

q.e.d.

APENDICE BRestos de Thorne para metricasestaticas

En el capıtulo IV escribimos la componente temporal g00 de una metricaestatica en coordenadas armonicas, para determinar los momentos multipolaresde las metricas de Weyl. Siguiendo con ese mismo desarrollo, vamos a ver en esteApendice la estructura completa del g00, es decir, sus restos de Thorne. De hecho,los restos de Thorne mas relevantes para metricas estaticas son los correspondi-entes a la componente g00 de la metrica en la gauge armonica. Ello se debe aque dicha componente coincide con el potencial de Ernst en el caso estatico. Portanto, teniendo en cuenta la expresion de Thorne de la g00 en coordenadas ACMC(IV.45) la podemos escribir como sigue

g00 ≡ E = 1− 2Φ + R , (B1)

siendo Φ el analogo al potencial gravitatorio newtoniano pero definido con losmomentos multipolares relativistas Mn y escrito en coordenadas armonicas, esdecir,

Φ =∞∑

n=0

Mn

rn+1Pn(w) , (B2)

y R la suma de los restos de Thorne asociados a la componente temporal g00 dela metrica estatica:

R =∞∑

n=1

R(n−1)00

rn+1. (B3)

Considerese el sistema de coordenadas descrito por las series (IV.49). Este sis-tema de coordenadas es el mas general que, garantizando un buen comportamientoasintotico y preservando simetrıa ecuatorial, presenta soluciones razonables paralas funciones Hl(cos θ) al satisfacer las condiciones de armonicidad. Tal y comose hizo en el capıtulo IV, conocida la solucion general estatica de Weyl mediante

146

Apendice B 147

la funcion metrica Ψ, la componente g00 (potencial de Ernst) viene dada por laexpresion

g00 ≡ E = −exp(2Ψ) . (B4)

Usando el sistema de coordenadas armonicas descrito anteriormente, la es-tructura de la g00 quedara escrita en terminos de los coeficientes de Weyl an.Puesto que conocemos estos coeficients en terminos de los momentos multipo-lares, ello nos permite escribir los restos de Thorne R

(n−1)00 de la siguiente manera

R(0)00 = −M2

0

R(1)00 = M3

0

R(2)00 = −M4

0 − 2M0M2P2

R(3)00 = M5

0 +227

M20 M2P2

R(4)00 = −M6

0 −307

M30 M2P2 − 2M0M4P4 −M2

2 P 22

R(5)00 = M7

0 +11521

M40 M2P2 +

3911

M20 M4P4 + M0M

22 (

233308

− 4011

w2 +24944

w4)

R(6)00 = −M8

0 −203

M50 M2P2 − 112

11M3

0 M4P4+

−M20 M2

2

1154

(244− 1186w2 + 1842w4)− 2M2M4P2P4 − 2M0M6P6 .

(B5)A partir de estas expresiones puede observarse, como ya apuntaba Thorne,

que cada resto de Thorne R(n−1)00 contiene aportaciones de las distintas correcciones

no lineales del desarrollo post-minkowskiano de la metrica, de tal manera que sepuede expresar como una suma de productos de momentos multipolares que seacoplan a un polinomio en w a determinar. Notese que para cada resto R

(n−1)00 ,

los polinomios en la variable w son de grado maximo n− 1, siendo n + 1 el ordenen el desarrollo 1/r que corresponde a dicho resto.

Las expresiones (B5) nos permiten obtener los restos de Thorne R(n−1)00 para

algunas metricas conocidas. En efecto, vease que si consideramos M2n = 0, ∀n ≥1, es decir, la solucion de Schwarzschild, que solo posee momento monopolar,resulta

R(n−1)00 = (−M0)n+1 . (B6)

Apendice B 148

Para obtener los restos de la solucion M−Q debemos anular en dichas expresionestodos los momentos superiores al cuadrupolo, de manera que se pueden escribirlos restos R

(n−1)00 de dicha solucion como sigue

R(n−1)00 (w) = (−M0)n+1

αn∑α=0

qαT(n−1)2α (w) , q ≡ M2

M30

, (B7)

siendo T(n−1)2α (w) un polinomio de grado 2α en w para cada resto R

(n−1)00 , que se

puede escribir como combinacion de los polinomios de Legendre

T(n−1)2α (w) =

α∑

k=0

C(n−1)(k, α)P2k(w) , (B8)

y donde el lımite superior de la suma en (B7) αn, es el que se definio para lasolucion M −Q, es decir,

αn =13(n + hn)

hn =

0 : n ∈ [0]

−1 : n ∈ [1]

1 : n ∈ [2]

.

(B9)

Observese que el primer sumando de la expresion (B7) reproduce los restos deThorne de la solucion de Schwarzschild, es decir, para α = 0, pues T

(n−1)0 = 1.

La suma de todos los restos R(n−1)00 de esta solucion (B3) se puede escribir

entonces de la siguiente manera

R =∞∑

α=0

qα∞∑

n=1

(−λ)n+1T(n−1)2α (w) , λ ≡ M0

r. (B10)

Podemos considerar en general una solucion estatica que posea unicamente k

momentos multipolares. Entonces, la estructura de Thorne, escrita explıcitamentey de forma generica para la suma R (B3) se puede expresar como sigue

R =∞∑

α2k=...=α2=0

Mα2k

2k Mα2k−22k−2 . . .Mα2

2

∞∑n=1

(−λ)n+1T (n−1)κ (w) , (B11)

siendo el grado del polinomio T(n−1)κ (w), κ definido como sigue

κ ≡k∑

l=1

2l α2l . (B12)

APENDICE CEstructura multipolar de la metricade Kerr en coordenadas armonicas

C.1. COORDENADAS ARMONICAS DE DING

Sean t, r, θ, φ coordenadas de Boyer-Lindquist [Boyer et al, 1967], en lascuales elelemento de linea de la metrica de Kerr se escribe

ds2 = (1− 2mr

α2)dt2−2

2mr

α2a sin2 θdtdφ− (r2 + a2 +

2mr

α2a2 sin2 θ) sin2 θdφ2+

− α2

4 dr2 − α2dθ2 ,

(C1)donde se ha definido

α2 ≡ r2 + a2 cos2 θ

4 ≡ r2 + a2 − 2mr. (C2)

Los parametros a y m representan el momento angular por unidad de masa y lamasa respectivamente.

Coordenadas armonicas para esta metrica ya las obtuvo E. Ruiz [Ruiz, 1986],pero resultan difıciles de manejar. Nosotros para este estudio utilizaremos comocoordenadas armonicas para la metrica de Kerr, las coordenadas de Ding [Ding,1984]:

t = t

x = ((r −m)2 + a2)1/2 sin θ cos(φ− µ(r))

y = ((r −m)2 + a2)1/2 sin θ sin(φ− µ(r))

z = (r −m) cos θ

, (C3)

donde

µ(r) = am2

∫ ∞

r

dr

4(4+ m2). (C4)

149

Apendice C 150

A partir de (C3) se pueden definir las coordenadas armonicas esfericas asociadas

r = ((r −m)2 + a2 sin2 θ)1/2

cos θ =r −m

((r −m)2 + a2 sin2 θ)1/2cos θ

φ = φ− µ(r)

. (C5)

Un pequeno calculo nos permite encontrar la relacion inversa

(r −m)2 =12r2

[1− ε2 + h(ε, cos θ)

]

cos2 θ =2 cos2 θ

1− ε2 + h(ε, cos θ)

φ = φ + µ(r, θ)

, (C6)

siendo

ε ≡ a

r

h(ε, cos θ) =[(1− ε2)2 + 4ε2 cos2 θ

]1/2

µ(r, θ) = am2

∫ ∞

r(r,θ)

dx

[(x−m)2 + a2] [(x−m)2 + a2 −m2]

. (C7)

La forma explicita de la funcion µ(r) (C4) depende de la relacion entre lamasa m y el parametro a, que refiere a la rotacion, de la siguiente manera

µ(r) =

π

2

[a

(a2 −m2)1/2− 1

]− a

(a2 −m2)1/2arctg

[r −m

(a2 −m2)1/2

]+

+ arctg

[r −m

a

]: a ≥ m

m

r −m− π

2+ arctg

[r −m

a

]: a = m

ai

(m2 − a2)1/2arcotgh

[r −m

(a2 −m2)1/2

]+ arcotgh

[r −m

a

]: a ≤ m .

(C8)

C.2. ESTRUCTURA MULTIPOLAR

Escribir el elemento de lınea (C1) en las coordenadas armonicas descritases una tarea laboriosa pero sistematica. Como resultado de ello y recordando

Apendice C 151

la estructura de Thorne para metricas estacionarias, la componente temporal sepuede escribir como sigue

g00 = −1 +2c2

[m

r+

∞∑n=1

1r2n+1

M2nP2n(w) +∞∑

n=1

1rn+1

R(n−1)00 (w)

], (C9)

donde los momentos multipolares masicos son los conocidos para la metrica deKerr

M2l = (−1)l m a2l , (C10)

y los restos de Thorne se pueden escribir en funcion de esos momentos multipolarescomo sigue

R00(l−1)(w) = (−1)lml+1

T∑

i=0

(−1)i+1( a

m

)2i

C( l+1−2i

2 )2i (w) , (C11)

donde el lımite superior de la suma se define

T =

l − 12

: l impar

l − 22

: l par

, (C12)

y donde w ≡ cos θ y C(α)2i (w) son los polinomios ortogonales de Gegenbauer.

Las componentes g0i de la metrica se escriben como sigue

g01 =4r2

[−y

∞∑

l=0

1r2l+1

J2l+1

2l + 1dP2l+1(w)

dw+

∞∑

l=1

1rl+1

R(l−1)01 (w)

]

g02 =4r2

[x

∞∑

l=0

1r2l+1

J2l+1

2l + 1dP2l+1(w)

dw+

∞∑

l=1

1rl+1

R(l−1)02 (w)

]

g03 =4r2

[z sin2 θ

∞∑

l=3

1rl+1

R(l−3)03 (w)

], (C13)

donde los momentos multipolares dinamicos J2l+1de la metrica de Kerr valen comoes sabido

J2l+1 = i(−1)l m a2l+1 . (C14)

Apendice C 152

Los restos de Thorne para estas componentes tienen las siguientes expresiones

R(l−1)01 (w) = (−1)l−1ml+1

[T∑

i=0

−i( a

m

)2i+1

yAil(w) +

T∑

i=1

( a

m

)2i

x sin2 θBil (w)

]

R(l−1)02 (w) = (−1)l−1ml+1

[T∑

i=0

i( a

m

)2i+1

xAil(w) +

T∑

i=1

( a

m

)2i

y sin2 θBil (w)

]

R(l−3)03 (w) = (−1)l−1M l+1

T∑

i=1

( a

m

)2i

Dil(w) ,

(C15)donde Ai

l(w), Bil (w), Di

l(w), son polinomios en la variable w. En concreto, lospolinomios Ai

l(w), son de grado 2i en dicha variable, y para los primeros valoresde i se pueden expresar en terminos de los polinomios ortogonales de Gegenbauercomo sigue

A0l (w) =0

A1l (w) =− C

( l−12 )

2 (w)− w2 , l ≥ 2

A2l (w) =C

( l−32 )

4 (w) + w2C( l−3

2 )2 (w) + w4C

( l−32 )

0 (w)− w2(1− w2) , l ≥ 4

A3l (w) =− C

( l−52 )

6 (w)− w2C( l−5

2 )4 (w)− w4C

( l−52 )

2 (w)− w6C( l−5

2 )0 (w)+

+ w4(1− w2) , l ≥ 6 .

(C16)

Por lo que respecta a los polinomios Bil (w) y Di

l(w), son de grado 2i − 2 en lavariable angular w. A continuacion mostramos algunos de los polinomios Bi

l (w)

B0l (w) =0

B1l (w) =

l − 12

, l impar

l − 22

, l par

.(C17)

Bil (w)

l i = 2 i = 3 i = 4

5 1− 6w2 0 07 3− 19w2 1− 15w2 + 29w4 09 6− 43w2 4− 62w2 + 128w4 1− 27w2 + 121w4 − 130w6

11 10− 82w2 10− 174w2 + 392w4 5− 138w2 + 653w4 − 744w6

(C18)

Apendice C 153

Bil (w)

l i = 2 i = 3 i = 4

6 12 (3− 17w2) 0 0

8 12 (8− 52w2) 1

8 (15− 214w2 + 415w4) 010 1

2 (15− 113w2) 14 (25− 402w2 + 857w4) 1

16 (35− 903w2 + 4061w4−−4425w6)

(C19)Los polinomios Di

l(w) verifican las siguientes relaciones

D0l (w) =0

D1l (w) =

l − 12

D2l (w) =B2

l+1(w) + B1l−1(w)

D3l (w) =B3

l+1(w) + B2l−1(w) + (1− w2)B1

l−3 .

(C20)

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