Campos elctricos y ley de Gauss.La idea de que dos cuerpos que no se encuentran en contacto puedan ejercer fuerzas uno sobre el otro resulta un poco molesta, as que se ide el concepto de campo. Este modelo seala que el primer cuerpo genera un campo (en todo el espacio) y el segundo interacta con dicho campo y no con el primer cuerpo directamente. Dada una distribucin de carga especfica, podemos utilizar una carga de prueba para sondear sus alrededores. Por definicin, el campo elctrico generado por la distribucin est dado por , donde es la fuerza elctrica experimentada por la carga de prueba cuando se le coloca en una posicin especfica.Puesto que no queremos que el proceso de medicin altere el resultado de la misma, es importante que la carga de prueba sea pequea (para que no provoque una redistribucin de la carga que genera el campo).Debe quedar claro que el campo generado por la distribucin de carga existe independientemente de si la carga de prueba est presente o no. Su presencia es necesaria slo para sondear el campo.Considere por ejemplo el campo generado por una carga puntual colocada en el origen. Se sigue de la ley de Coulomb que .El principio de superposicin seala, en este caso, que el campo generado por un conjunto de cargas est dado por la suma de los campos generados por cada una de las cargas en ausencia de las restantes.Si la distribucin de carga es continua, es necesario integrar sobre ella para calcular el campo generado, de manera que . Ejemplo 1. Lnea de carga.Calcule el campo elctrico debido a una lnea de carga con densidad lineal uniforme , a una distancia sobre la mediatriz de la lnea.

Solucin:

Ejemplo 2. Anillo de carga.Calcule el campo elctrico debido a un anillo de carga con densidad lineal uniforme , a una distancia a lo largo del eje del anillo.

Solucin: Lneas de campo elctrico.Estas lneas proporcionan una representacin grfica conveniente del campo elctrico. Son tales que el campo elctrico en un punto dado es tangente a la lnea del campo elctrico en dicho punto y la densidad de lneas (nmero de lneas por unidad de rea a travs de una superficie perpendicular) es proporcional a la magnitud del campo.Adems, el nmero de lneas que entran o salen de una carga es proporcional a la magnitud de la carga (algunas comienzan o terminan en el infinito). Considere por ejemplo el caso de una carga puntual (positiva o negativa) y el de un dipolo.

Flujo elctrico.Considere un campo elctrico uniforme que atraviesa una seccin perpendicular de rea (figura de la derecha). Definimos entonces (en este caso) el flujo elctrico como . Por otro lado, sabemos que la magnitud del campo elctrico es proporcional al nmero de lneas por unidad de rea que atraviesan una seccin transversal dada. Concluimos entonces que el flujo es proporcional al nmero de lneas. Considere ahora el caso en el que la superficie no es perpendicular al campo (figura de la izquierda). Debido a que la misma cantidad de lneas atraviesan ambas superficies, el flujo debe ser el mismo para ambas y por tanto . En el caso ms general (figura de la derecha), el campo elctrico puede variar sobre la superficie. En este caso, la superficie se divide en elementos diferenciales (, donde es un vector unitario que seala hacia afuera de la superficie en caso de que sta sea cerrada) de manera que el flujo elctrico est dado por .

Ley de Gauss.Considere una carga puntual positiva localizada en el centro de una superficie esfrica de radio (figura de la derecha). Sabemos que el campo es paralelo a y tiene una magnitud , de manera que . Ahora considere varias superficies cerradas que rodean la carga (figura de la izquierda). Puesto que el nmero de lneas que atraviesan cada superficie es el mismo, lo mismo es cierto para el flujo. Tenemos entonces que el flujo a travs de cualquier superficie cerrada que rodea una carga puntual es . Finalmente considere una carga puntual localizada afuera de una superficie cerrada de forma arbitraria (figura de la derecha). Note que el nmero de lneas que entran en la superficie es igual nmero de lneas que salen de ella, de manera que el flujo neto es nulo. Se sigue entonces, del principio de superposicin, la ecuacin conocida como la ley de Gauss , donde es la carga neta encerrada por la superficie en consideracin (se le llama superficie gaussiana). La ley de Gauss es una consecuencia de la ley de Coulomb pero, si la distribucin de carga es altamente simtrica, es ms fcil calcular el campo elctrico asociado utilizando la ley de Gauss, en vez de emplear directamente (integrando) la ley de Coulomb. Existe una versin diferencial de la ley de Gauss. Para obtenerla notamos que , de manera que . Ahora utilizamos el teorema de la divergencia y obtenemos . Puesto que es arbitrario se sigue , donde en coordenadas cartesianas.

Aplicaciones de la ley de Gauss.Al seleccionar la superficie gaussiana siempre tome ventaja de la simetra de la distribucin de carga, de manera que se simplifique al mximo el clculo del flujo.

Ejemplo 1. Distribucin de carga esfricamente simtrica. Una esfera slida aislante de radio tiene una carga uniformemente distribuida sobre su volumen. Calcule el campo elctrico tanto dentro como fuera de la esfera.

Solucin:

Ejemplo 2. Distribucin de carga cilndricamente simtrica. Encuentre el campo elctrico (tanto dentro como fuera) a una distancia desde una lnea de carga positiva con una densidad lineal de carga .

Solucin:

Ejemplo 3. Plano de carga. Encuentre el campo elctrico debido a un plano infinito de carga positiva con una densidad de carga superficial uniforme .

Solucin:

Conductores en equilibrio electrosttico.Un conductor en equilibrio electrosttico (cuando las cargas ya no se mueven. Un buen conductor requiere para alcanzar el equilibrio) tiene las siguientes propiedades: El campo elctrico en su interior es nulo.

Si un conductor aislado posee una carga, sta reside en su superficie.

El campo elctrico justo afuera de un conductor cargado es normal a su superficie y tiene una magnitud .

Sobre un conductor de forma irregular, la densidad de carga es mayor en puntos con un radio de curvatura menor (se justifica en el siguiente captulo).

Dipolo elctrico.Un dipolo elctrico es conjunto de dos cargas puntuales de la misma magnitud pero de signo opuesto. La magnitud de su campo sobre su eje a distancias grandes comparadas con la separacin entre las cargas es , donde el momento dipolar del arreglo es un vector que va de la carga negativa a la positiva y cuya magnitud est dada por .

Deduccin 1. Campo elctrico dipolar.A

Dipolo en un campo elctrico externo.Considere un dipolo en presencia de un campo elctrico externo uniforme. Est claro que la fuerza neta sobre el dipolo es nula, no as el torque producido por el campo, el cual est dado por .

Deduccin 2. Torque sobre un dipolo.A

Actividad extraclase 1. Horno de microondas.Con base en su lectura del libro, explique cmo funciona un horno de microondas.

Ejercicios adicionales: 1, 3, 8, 10, 11, 13, 34, 35, 36, 37, 63, 65, 66 y 68.