caltep 2000 - cimne · 2007. 7. 17. · a continuación se presentan los resultaos obtenidos en el...

CALTEP 2000

Ejemplos de Validación

E. Sala

F. Zárate

Informe Técnico CIMNE IT-381, Octubre 2001

CENTRO INTERNACIONAL DE MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA

CALTEP 2000

Ejemplos de Validación

E. Sala

F. Zárate

Informe Técnico CIMNE IT-381, Octubre 2001

Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería Gran Capitán s/n, 08034 Barcelona, España

Validación Caltep2000

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ÍNDICE 1. OBJETIVO.............................................................................................................. 4 2. CASO UNIDIMENSIONAL.................................................................................. 5

2.1 INTRODUCCIÓN............................................................................................ 5 2.2 GEOMETRÍA................................................................................................... 5 2.3 MALLA Y TIPOS DE ELEMENTOS ............................................................. 5 2.4 CARACTERÍSTICAS DEL MATERIAL ....................................................... 6 2.5 CONDICIONES DE CONTORNO.................................................................. 6

2.5.1 Problema 1 ................................................................................................ 7 2.5.2 Problema 2 ................................................................................................ 7

2.6 RESULTADOS ................................................................................................ 8 2.6.1 Problema 1 ................................................................................................ 8 2.6.2 Problema 2 .............................................................................................. 10

3. CASO BIDIMENSIONAL I. ............................................................................... 11 3.1 INTRODUCCIÓN.......................................................................................... 11 3.2 GEOMETRÍA................................................................................................. 11 3.3 MALLA Y TIPOS DE ELEMENTOS ........................................................... 11 3.4 CARACTERÍSTICAS DEL MATERIAL ..................................................... 13 3.5 CONDICIONES DE CONTORNO................................................................ 14

3.5.1 Problema 1 .............................................................................................. 14 3.5.2 Problema 2 .............................................................................................. 15 3.5.3 Problema 3 .............................................................................................. 16 3.5.4 Problema 4 .............................................................................................. 16

3.6 RESULTADOS .............................................................................................. 17 3.6.1 Problema 1 .............................................................................................. 17 3.6.2 Problema 2 .............................................................................................. 20 3.6.3 Problema 3 .............................................................................................. 25 3.6.4 Problema 4 .............................................................................................. 30

4. CASO BIDIMENSIONAL II: DOS MATERIALES. ....................................... 33 4.1 INTRODUCCIÓN.......................................................................................... 33 4.2 GEOMETRÍA................................................................................................. 33 4.3 CARACTERÍSTICAS DEL MATERIAL ..................................................... 33 4.4 MALLA Y CONDICIONES DE CONTORNO............................................. 34

4.4.1 Problema 1 .............................................................................................. 34 4.4.2 Problema 2 .............................................................................................. 35 4.4.3 Problema 3 .............................................................................................. 36 4.4.4 Problema 4 .............................................................................................. 37 4.4.5 Problema 5 .............................................................................................. 38


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4.5 RESULTADOS .............................................................................................. 39 4.5.1 Problema 1 .............................................................................................. 39 4.5.2 Problema 2 .............................................................................................. 40 4.5.3 Problema 3 .............................................................................................. 41 4.5.4 Problema 4 .............................................................................................. 44 4.5.5 Problema 5 .............................................................................................. 44

5. CASO TRIDIMENSIONAL I: SUPERFICIE EN 3D ..................................... 46 5.1 INTRODUCCIÓN.......................................................................................... 46 5.2 GEOMETRÍA................................................................................................. 46 5.3 MALLA Y TIPO DE ELEMENTOS ............................................................. 46 5.4 CARACTERÍSTICAS DEL MATERIAL ..................................................... 47 5.5 CONDICIONES DE CONTORNO................................................................ 47

5.5.1 Problema 1. ............................................................................................. 47 5.5.2 Problema 2 .............................................................................................. 48

5.6 RESULTADOS .............................................................................................. 48 5.6.1 Problema 1 .............................................................................................. 48 5.6.2 Problema 2 .............................................................................................. 52

6. CASO TRIDIMENSIONAL II: CUBO.............................................................. 56 6.1 INTRODUCCIÓN.......................................................................................... 56 6.2 GEOMETRÍA................................................................................................. 56 6.3 MALLA Y TIPO DE ELEMENTOS ............................................................. 56 6.4 CARACTERÍSTICAS DEL MATERIAL ..................................................... 58 6.5 CONDICIONES DE CONTORNO................................................................ 58

6.5.1 Problema 1 .............................................................................................. 58 6.5.2 Problema 2 .............................................................................................. 58 6.5.3 Problema 3 .............................................................................................. 59 6.5.4 Problema 4 .............................................................................................. 59 6.5.5 Problema 5 .............................................................................................. 60 6.5.6 Problema 6 .............................................................................................. 61

6.6 RESULTADOS .............................................................................................. 61 6.6.1 Problema 1 .............................................................................................. 61 6.6.2 Problema 2 .............................................................................................. 63 6.6.3 Problema 3 .............................................................................................. 64 6.6.4 Problema 4 .............................................................................................. 65 6.6.5 Problema 5 .............................................................................................. 67 6.6.6 Problema 6 .............................................................................................. 68

7. CASO TRIDIMENSIONAL III: SEMIESFERA.............................................. 70 7.1 INTRODUCCIÓN.......................................................................................... 70 7.2 GEOMETRÍA................................................................................................. 70 7.3 MALLA Y TIPO DE ELEMENTOS ............................................................. 70 7.4 CARACTERÍSTICAS DEL MATERIAL ..................................................... 71


3

7.5 CONDICIONES DE CONTORNO................................................................ 71 7.5.1 Problema 1 .............................................................................................. 71 7.5.2 Problema 2 .............................................................................................. 72

7.6 RESULTADOS .............................................................................................. 72 7.6.1 Problema 1 .............................................................................................. 72 7.6.2 Problema 2 .............................................................................................. 75

8. CASO TRIDIMENSIONAL IV: COMBINACIÓN 2D-3D.............................. 77 8.1 INTRODUCCIÓN.......................................................................................... 77 8.2 GEOMETRÍA................................................................................................. 77 8.3 MALLA Y TIPO DE ELEMENTOS ............................................................. 77 8.4 CARACTERÍSTICAS DEL MATERIAL ..................................................... 78 8.5 CONDICIONES DE CONTORNO................................................................ 78 8.6 RESULTADOS .............................................................................................. 78


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1. OBJETIVO

En este documento se describen una serie de ejemplos que han servido para validar el correcto funcionamiento del programa Caltep2000. Son problemas muy sencillos cuya solución es, al menos cualitativamente, conocida cosa que ha permitido determinar si cada una de las opciones de las que dispone el programa funciona correctamente. Todos los casos aquí planteados son ejercicios académicos sin interés práctico aunque pueden servir para familiarizarse con el programa y su entorno.


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2. CASO UNIDIMENSIONAL

2.1 INTRODUCCIÓN

Para validar el caso unidimensional se han resuelto dos problemas diferentes sobre el mismo dominio, variando para ello las condiciones de contorno. En el primer caso se imponen condiciones de tipo Dirichlet (temperatura prescrita) en los dos extremos mientras que en el segundo se utilizan este tipo de condiciones solamente en un extremo mientras que en el otro se imponen condiciones de tipo Neumann (flujo prescrito).

2.2 GEOMETRÍA

La geometría sobre la que se va a resolver el problema es una espiral de radio 1 y paso 1 como la que puede verse en la figura.

Figura 2-1 Geometría.

2.3 MALLA Y TIPOS DE ELEMENTOS

Para resolver el problema se han utilizado elementos lineales, ya que éstos son los únicos que pueden utilizarse para resolver problemas unidimensionales con Caltep2000. En GID se ha generado la malla imponiendo un tamaño de elemento de 0.2 con lo que se tienen 172 elementos y 173 nodos. Si se quiere escribir directamente el fichero de datos, se tienen que introducir primero las coordenadas de todos los nodos (en el bloque GEOMETRY DEFINITION) y a continuación escribir todas las conectividades entre nodos (en el bloque SET DEFINITION), tal y como se muestra a continuación.

GEOMETRY DEFINITION

SCALE = 1.0 $ node x-coord y-coord z-coord 1 1 0 0

2 0.9072 0.17644 -0.010201

M 173 -1 0 5

END GEOMETRY DEFINITION


6

SET DEFINITION

NAME = MALLA1 ELEMENT TYPE = BE02 MATERIAL NUMBER 1

BEGIN CONECTIVITIES $ element node1 node2

1 1 2

2 2 3

M 172 172 173

END CONECTIVITIES END SET DEFINITION

2.4 CARACTERÍSTICAS DEL MATERIAL

El análisis se ha realizado con un material de prueba cuyas características son: - Conductividad 1.0 en todas las direcciones - Densidad 1.0 - Calor específico 1.0 - Fuente de calor interna 0.03

Si se utiliza GID estas características se introducen directamente utilizando la opción DATA – MATERIALS. Si se quiere escribir el fichero de datos, la manera de introducir estas propiedades del material es la siguiente:

MATERIAL DEFINITION MATERIAL NUMBER 1 MATERIAL TYPE CONDUCTIVITY

X-COND 1.00000 Y-COND 1.00000 Z-COND 1.00000

DENSITY 1.00000 SPECIFIC HEAT 1.0000 HEAT SOURCE = 0.03

END MATERIAL

2.5 CONDICIONES DE CONTORNO

Para acabar de definir el problema sólo hace falta imponer las condiciones de contorno. A continuación se describe como variando estas condiciones se plantean dos problemas distintos. En ambos casos se ha resuelto el problema con dos tipos de materiales: uno con generación interna de calor y otro en el que esta fuente se ha desactivado. Si se utiliza GiD, para considerar o no una fuente de calor interna tiene que definirse el material activando o desactivando según convenga la opción ACTIVATE HEAT SOURCE.


7

Si se genera directamente el archivo de datos, en el caso de querer considerar una fuente de calor interna debe activarse en el archivo de datos la opción de generación de calor (por defecto esta desactivada) en la sección de definición de cargas, tal y como se indica a continuación

LOAD CONDITION INTERNAL HEAT ON

END LOAD CONDITION

2.5.1 PROBLEMA 1

En el primer caso se imponen condiciones de tipo Dirichlet en los dos extremos de la curva. Concretamente, se prescribe el valor de la temperatura a 0 en uno de los extremos y a 10 en el otro. Estas condiciones impuestas pueden verse en la siguiente figura.

φo = 0.0

φo = 10.0 Figura 2-2 Problema 1. Condiciones de contorno.

Para imponer estas condiciones con GiD sólo hace falta escoger la opción FIXED TEMPERATURE – POINT TEMPERATURE e introducir la temperatura correspondiente en cada vértice. Si se quiere generar el archivo de datos directamente, estas condiciones se imponen con la opción FIXED TEMPERATURE, tal y como puede verse a continuación:

BOUNDARY CONDITION

FIXED TEMPERATURE $ node value

1 10.0

173 0.0 END BOUNDARY CONDITION

2.5.2 PROBLEMA 2

En el segundo problema se imponen condiciones de tipo Dirichlet en un extremo, prescribiendo el valor de la temperatura a 10. En el otro, la condición impuesta es de tipo Neumann y se ha prescrito un flujo puntual de valor 10. Estas condiciones pueden verse en la siguiente figura.


8

φo = 10.0 qn = 1.0

Figura 2-3 Problema 2. Condiciones de contorno.

Si se utiliza el programa GiD la temperatura se prescribe, tal y como se ha indicado en el problema anterior, utilizando la opción FIXED TEMPERATURE. Para imponer el flujo puntual se tiene que utilizar la opción LOADS – POINT FLUX OVER POINTS. Si se quieren introducir los datos directamente en un fichero, éste tendrá que tener la forma:

BOUNDARY CONDITION

FIXED TEMPERATURE $ node value

173 10.00

END BOUNDARY CONDITION .

LOAD CONDITION NODAL FLUX

$ node value

1 1.0 END LOAD CONDITION

2.6 RESULTADOS

A continuación se presentan los resultaos obtenidos en el análisis de los dos problemas propuestos (con y sin generación interna de calor).

2.6.1 PROBLEMA 1

Sin fuente de calor

En este caso, la temperatura tiene que crecer desde el punto donde se ha prescrito su valor a 0 hasta el extremo opuesto, donde se ha fijado su valor a 10. En la figura puede verse que los resultados del análisis coinciden con los esperados.


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(a) (b)

Figura 2-4 Problema 1 sin fuente de calor.

(a) Distribución de temperaturas.

(b) Distribución de flujo suavizado.

Con fuente de calor

Al aplicar una fuente de calor la temperatura tiende a aumentar en todo el dominio pero como está prescrito su valor en los extremos no puede hacerlo cerca de éstos. Esto hace que el campo de temperaturas alcance un máximo en un punto del interior de la espiral desde donde decrecerá hacia los dos extremos. Este punto donde se alcanza el máximo no está en el centro de la espiral sino que se encuentra un poco más cerca del extremo en el que se ha prescrito la temperatura a 10. En la figura siguiente puede verse como los resultados del análisis son los esperados.

(a) (b)

Figura 2-5 Problema 1 con fuente de calor.




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2.6.2 PROBLEMA 2

Sin fuente de calor

En este problema se ha impuesto un valor de flujo positivo en uno de los extremos lo que significa que el sistema está recibiendo calor. Por este motivo, la temperatura aumenta en el extremo donde se ha impuesto la condición de tipo Neumann mientras que se mantiene a 10 en el extremo donde se ha prescrito su valor.

(a) (b)

Figura 2-6 Problema 2 sin fuente de calor.



Con fuente de calor

Al añadir una fuente de calor interna, la temperatura tiende a subir en todo el dominio. El hecho de haber impuesto una condición de tipo Dirichlet en uno de los extremos impide que en este lado la temperatura aumente su valor, quedándose fija a 10.

(a) (b)

Figura 2-7 Problema 2 con fuente de calor.




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3. CASO BIDIMENSIONAL I.

3.1 INTRODUCCIÓN

Para validar el caso bidimensional se plantean diversos problemas sobre una geometría muy sencilla. Concretamente, el dominio computacional será un cuadrado de lado unidad sobre el que se irán variando las condiciones de contorno.

3.2 GEOMETRÍA

El dominio sobre el que se resuelven los problemas es particularmente sencillo. Se trata de un cuadrado de lado unidad sobre el que se genera una superficie, tal y como puede verse en la figura.


3.3 MALLA Y TIPOS DE ELEMENTOS

Los problemas propuestos se resuelven con diferentes tipos de elementos para poder así observar las diferencias de los resultados obtenidos con unos y otros. Los elementos que se utilizan en los diferentes cálculos son triángulos lineales (de tres nodos) y cuadráticos (de seis), cuadrados lineales (de cuatro nodos) y cuadráticos (lagrangianos de nueve nodos y serendípitos de ocho). En todos los casos se genera una malla estructurada con diez elementos por lado. En la tabla siguiente pueden verse el número de elementos y nodos obtenidos para cada una de las mallas

Elemento Nº elementos Nº nodos

TR03 200 121

TR06 200 441

QU04 100 121

QU08 100 341

QU09 100 441


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El aspecto de las mallas para las que se ha analizado el problema es el que puede verse en las figuras siguientes.

Figura 3-2 Malla de triángulos. Figura 3-3 Malla de cuadriláteros.

Si no se dispone de un preprocesador las características de la malla tienen que incluirse en el fichero de datos, proporcionando tanto las coordenadas de los nodos como las conectividades entre ellos, tal y como puede verse a continuación para el caso de elementos cuadrados de ocho nodos:

GEOMETRY DEFINITION SCALE = 1.0

$ node x-coord y-coord z-coord

1 0.000 0.000 2 0.050 0.100

M

341 1.000 1.000 END GEOMETRY DEFINITION

SET DEFINITION

NAME = MALLA1 ELEMENT TYPE = QU08

MATERIAL NUMBER 1 BEGIN CONECTIVITIES

$ element node1 node2 node3 node4 node5 node6 node7 node8

1 260 237 215 209 206 233 254 257 2 266 243 221 217 215 237 260 264

M

END CONECTIVITIES END SET DEFINITION


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Para solucionar el problema se considera un material con las siguientes características: - Conductividad 1.0 en todas las direcciones - Densidad 1.0 - Calor específico 1.0 - Fuente de calor interna 100.0

Si se quiere imponer una condición de tipo radiación tendremos que proporcionar también el valor del coeficiente de radiación:

- Coeficiente de radiación: 0.5 Si se utiliza GiD, se define un nuevo material utilizando el menú DATA-MATERIAL y se introducen sus propiedades.

Figura 3-4 Características del material.

Si se escribe directamente el fichero de datos, las características del material se introducen en él definiendo un material de tipo CONDUCTIVITY (utilizado para la transmisión del calor), tal y como se indica a continuación:

MATERIAL DEFINITION

MATERIAL NUMBER 1 MATERIAL TYPE CONDUCTIVITY X-COND 1.00000

Y-COND 1.00000 Z-COND 1.00000 DENSITY 1.00000

SPECIFIC HEAT 1.0000 HEAT SOURCE = 100.00

END MATERIAL

Si se quiere considerar la interacción con el medio, es necesario definir un nuevo material de tipo RADIATION (asociado al fenómeno de radiación y / o convección):

MATERIAL DEFINITION MATERIAL NUMBER 2 MATERIAL TYPE RADIATION

COEF-RAD 0.5 END MATERIAL

y generar sobre el contorno elementos de tipo radiación.


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Para poder resolver el problema sólo falta imponer las condiciones de contorno. En este caso variando las condiciones de contorno se proponen cuatro problemas distintos que se describen a continuación. Los diferentes problemas se resuelven con todos los tipos de elementos. Además, para cada caso se consideran dos tipos de materiales según tenga o no activada una fuente de generación de calor interna. Si se utiliza GiD, para considerar o no una fuente de calor interna se tiene que activar o desactivar la opción ACTIVATE HEAT SOURCE en la definición del material. Si se escribe directamente un fichero de datos, en caso de querer considerar una fuente de calor, debe activarse la opción de generación de calor (por defecto esta desactivada) en la sección de definición de cargas, tal y como se indica a continuación

LOAD CONDITION

INTERNAL HEAT ON END LOAD CONDITION

3.5.1 PROBLEMA 1

En este caso se imponen solamente condiciones de contorno de tipo Dirichlet en dos lados paralelos, fijando el valor de la temperatura a 0 en uno y a 10 en el otro, tal y como puede verse en la figura..

φo = 0.0 φo = 10.0


Para imponer estas condiciones con GiD sólo hace falta escoger la opción FIXED TEMPERATURE – LINE TEMPERATURE e introducir la temperatura correspondiente en cada lado. En el archivo de datos estas condiciones se imponen con la opción FIXED TEMPERATURE, tal y como puede verse a continuación:

BOUNDARY CONDITION FIXED TEMPERATURE

$ node value

1 0.00 89 10.00

M

END BOUNDARY CONDITION


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3.5.2 PROBLEMA 2

En este problema se imponen dos tipos de condiciones de contorno diferentes en dos lados paralelos del dominio. En uno de ellos se prescribe la temperatura, mientras que en el otro se fija el valor del flujo por unidad de longitud. Además, para tener en cuenta la interacción con el medio en este último se prescribe el valor de la temperatura del medio exterior, tal y como se puede ver en la figura siguiente.

qn = 20.0

φo = 10.0 φext = 5.0


Si se utiliza el programa GiD la condición de temperatura prescrita se impone utilizando la opción FIXED TEMPERATURE – LINE TEMPERATURE del menú DATA. La temperatura exterior se fija utilizando la opción EXTERNAL TEMPERATURE – LINE EXTERNAL TEMPERATURE del mismo menú. Para imponer el flujo sobre un lado del contorno se utiliza la opción LOADS – LINE FLUX OVER LINE. En el caso de escribir directamente el fichero de datos, para imponer un valor de la temperatura se utiliza, tal y como se ha descrito en el caso anterior, la opción FIXED TEMPERATURE. La temperatura exterior se prescribe también como una condición de contorno mediante la opción EXTERNAL TEMPERATURE:

BOUNDARY CONDITION

EXTERNAL TEMPERATURE $ node value 89 5.00

91 5.00

M END BOUNDARY CONDITION

Para poder prescribir el valor del flujo en el otro lado es necesario incluir esta información en la sección de cargas. Además, como el flujo que se considera es por unidad de longitud debe utilizarse la opción SIDE FLUX, tal y como se describe a continuación:

LOAD CONDITION

SIDE FLUX $ node1 node 2 value value 89 91 20.0 20.0

91 93 20.0 20.0

M END LOAD CONDITION


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3.5.3 PROBLEMA 3

El problema planteado es estudiar la transmisión del calor en un cuadrado tomando como condiciones de contorno la temperatura prescrita en uno de los lados y el flujo por unidad de longitud en el paralelo, tal y como puede verse en la figura.

φo = 10.0 qn = 20.0


Si se trabaja con GiD, para fijar la temperatura en un lado se tienen que escoger la opción FIXED TEMPERATURE – LINE TEMPERATURE Para imponer un flujo de calor uniformemente repartido por una línea del contorno se utiliza la opción LOADS – LINE FLUX OVER LINE.

Si se escribe directamente el fichero de datos, la temperatura se puede prescribir fácilmente utilizando la opción FIXED TEMPERATURE y la condición de flujo por unidad de longitud se impone utilizando la opción SIDE FLUX, tal y como se ha descrito en los casos anteriores.

3.5.4 PROBLEMA 4

Tal y como puede verse en la figura, en este problema se imponen como condiciones de contorno el valor de la temperatura en un lado y un flujo puntual nulo en el lado opuesto.

φo = 10.0 qn = 0.0


Si se utiliza el programa GiD la temperatura se prescribe utilizando la opción FIXED TEMPERATURE. Para imponer el flujo puntual se tiene que mallar primero la geometría, para poder así prescribir el valor del flujo en cada uno de los nodos utilizando la opción LOADS – POINT FLUX OVER POINTS.


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Si se escribe el fichero de datos, la temperatura se fija utilizando la opción FIXED TEMPERATURE: En este caso, como el flujo se prescribe puntualmente (y no por unidad de longitud), sólo hace falta imponerlo directamente sobre los nodos que corresponda. Para esto se utiliza la opción NODAL FLUX de la sección de imposición de cargas, tal y como puede verse a continuación:

LOAD CONDITION

NODAL FLUX $ node value 89 0.00

91 0.00

M END LOAD CONDITION

3.6 RESULTADOS

A continuación se presentan los resultados obtenidos para cada problema con todos los tipos de elementos. Estos resultados se analizan con un doble objetivo: por un lado, se quiere comprobar que los resultados obtenidos en todos los casos son coherentes con el problema planteado y, por otro, se pretende analizar las posibles diferencias producidas al utilizar en la resolución uno u otro tipo de elemento.

3.6.1 PROBLEMA 1

Sin fuente de calor

Éste es un problema particularmente sencillo en el que se conoce a priori la forma de la solución del problema. Como la única condición de contorno impuesta es el valor de la temperatura en los dos lados verticales, el campo de temperaturas toma valores comprendidos entre los dos valores fijados y varía de forma lineal de un lado al otro formando isotermas verticales. El flujo de calor es constante en todos los puntos, tiene dirección horizontal y sentido hacia el lado donde se ha prescrito la temperatura menor. En este caso los resultados que se obtienen en el análisis son los mismos para cualquiera de los elementos e iguales a los esperados a priori. En las figuras siguientes pueden verse los que se han obtenido utilizando elementos triangulares de tres nodos.

Figura 3-9 Distribución de temperaturas.

Problema 1 sin fuente de calor, elementos TR03.


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Figura 3-10 Flujo horizontal suavizado.


Figura 3-11 Sentido del flujo horizontal.


Con fuente de calor

Al añadir una fuente de generación de calor interna, la temperatura tiende a aumentar en todo el dominio pero como se encuentra prescrita en dos lados paralelos disminuye al acercarse a éstos formando isotermas verticales. El calor se desplazará de las zonas con temperatura más alta (situadas en el interior del cuadrado) hacia las zonas más frías (en los contornos verticales donde se ha prescrito la temperatura). En este caso, los resultados obtenidos con todos los elementos utilizados en el análisis son coherentes con los esperados. Para los diferentes elementos utilizados se obtiene siempre la misma distribución de temperaturas y el sentido del flujo es coherente con este resultado.


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Problema 1 con fuente de calor, elementos TR03.

Figura 3-13 Sentido del flujo horizontal.

Problema 1 con fuente de calor, elementos TR03.

En cambio, los valores de la distribución de flujo varían según el tipo de elemento utilizado en la resolución: elementos de mayor orden dan valores del flujo ligeramente superiores.

(a) (b)


20

(c) (d)

(e)


Problema 1 con fuente de calor.

(a) Triángulos de tres nodos.

(b) Triángulos de seis nodos.

(c) Cuadriláteros de cuatro nodos.

(d) Cuadriláteros de ocho nodos.

(e) Cuadriláteros de nueve nodos.

3.6.2 PROBLEMA 2

Sin fuente de calor

El campo de temperatura toma el valor 10 en el lado del contorno donde se han impuesto condiciones de tipo Dirichlet y aumenta a medida que nos acercamos al lado opuesto ya que en éste se ha prescrito un flujo de calor positivo, que aporta calor al sistema. La distribución de flujo de calor será uniforme en todo el dominio. En las figuras siguientes puede verse como la distribución de temperaturas obtenida con todos los tipos de elementos utilizados es prácticamente la misma y sólo varían ligeramente los valores.


21

(a) (b)

(c) (d)

(e)

Figura 3-15 Distribución de temperatura.

Problema 2 sin fuente de calor.

(a) Triángulos de tres nodos

(b) Triángulos de seis nodos

(c) Cuadriláteros de cuatro nodos

(d) Cuadriláteros de ocho nodos

(e) Cuadriláteros de nueve nodos


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En las siguientes figuras puede verse la distribución de flujo obtenida en el análisis. El hecho de que sólo se obtiene una distribución de flujo completamente uniforme para los elementos lineales se explica porque para este tipo de elementos se integra exactamente sin utilizar ninguna cuadratura numérica que puede producir errores.

(a) (b)

(c) (d)

(e)

Figura 3-16 Flujo suavizado.








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Con fuente de calor

Al añadir una fuente de calor, la temperatura aumenta en el interior del dominio aunque se mantiene constante e igual al valor prescrito en el contorno donde se ha impuesto la condición de tipo Dirichlet. En las figuras siguientes puede verse como la distribución de temperatura es prácticamente la misma sea cual sea el tipo de elemento utilizado en el análisis.

(a) (b)

(c) (d)

(e)









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Con todos los elementos utilizados se obtiene la misma distribución de flujo y sólo varían ligeramente los valores que se obtienen, tal y como puede verse en las siguientes figuras.

(a) (b)

(c) (d)

(e)

Figura 3-18 Flujo suavizado.








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3.6.3 PROBLEMA 3

Sin fuente de calor

El valor de la temperatura en el lado donde se han impuesto condiciones de tipo Dirichlet será constante e igual al valor prescrito. Como en el lado paralelo se ha impuesto como condición de contorno un valor del flujo positivo (entrante, que aporta calor al sistema) la temperatura aumenta a medida que nos acercamos a éste, formando isotermas verticales. En todos los casos obtenemos la distribución de temperaturas esperada y se verifican las condiciones de contorno de tipo Dirichlet (exactamente porque se han impuesto de forma fuerte). La única diferencia en los resultados obtenidos con los distintos elementos utilizados en el análisis es que los valores de la temperatura varían ligeramente al cambiar de elementos, tal y como puede verse en la siguiente figura.

(a) (b)

(c) (d)


26

(e)








Dadas las condiciones impuestas, el flujo tiene que ser uniforme en todo el dominio e igual al valor prescrito. En la figura siguiente pueden verse los resultados obtenidos con cada tipo de elemento. En todos los casos la distribución del flujo es prácticamente uniforme y sólo se producen ligeras irregularidades debidas, probablemente, a errores de integración. El hecho de que se obtenga un valor del flujo de valor –20 en la dirección horizontal es debido a que cuando se impone como condición de contorno un flujo positivo se entiende como un flujo que aporta calor al sistema y, en este caso, para que el flujo sea entrante tiene que tener sentido contrario al del eje de abcisas.

(a) (b)


27

(c) (d)

(e)

Figura 3-20 Flujo suavizado en la dirección horizontal.







Con fuente de calor

Debido a la fuente de generación de calor, la temperatura tiende a aumentar en todo el dominio. El hecho de haber prescrito su valor en uno de los lados que forman el contorno hace que, aunque la temperatura aumenta en el interior del dominio, su valor va disminuyendo a mediad que nos acercamos al lado donde se ha impuesto la condición de tipo Dirichlet.


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(a) (b)

(c) (d)

(e)








La distribución de flujo obtenida en el análisis es en todos los casos coherente con la distribución de temperaturas obtenida. El flujo es aproximadamente 20 en el contorno donde se ha prescrito a este valor y aumenta su módulo (aunque tiene sentido negativo) a medida que nos alejamos de este lado ya que el calor se mueve hacia las zonas de menor temperatura situadas a la izquierda del dominio.


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En las figuras siguientes puede verse la distribución de flujo obtenida con cada tipo de elemento. Observamos que la distribución es prácticamente la misma en todos los casos y sólo existen diferencias en los valores que toma. Aunque en ningún caso se obtiene exactamente un valor de flujo saliente 20 en el contorno donde se ha prescrito (cosa que es de esperar, puesto que las condiciones de tipo Neumann sólo se imponen de forma débil) podemos ver como utilizando elementos cuadráticos el valor obtenido se acerca más al impuesto que si se usan elementos lineales.

(a) (b)

(c) (d)

(e)

Figura 3-22 Flujo suavizado en la di rección horizontal.








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3.6.4 PROBLEMA 4

Sin fuente de calor

Al resolver este problema con cualquier tipo de elemento se obtiene una distribución de temperaturas uniforme e igual a la prescrita y un flujo horizontal nulo en todo el dominio computacional, que son los resultados que cabía esperar dadas las condiciones de contorno impuestas. Los resultados que se obtienen son los mismos con todos los tipos de elementos utilizados en el análisis. Podemos ver los resultados obtenidos con elementos triangulares de tres nodos en las dos figuras siguientes





Con fuente de calor

Si se añade una fuente de calor en el interior, el campo de temperaturas aumenta su valor aunque se mantiene constante en el lado donde se ha impuesto la temperatura de manera que la temperatura máxima se alcanzará en el lado opuesto al que se ha impuesto. El flujo de calor, por tanto, dejará de ser nulo ya que el calor tenderá a moverse de las zonas con mayor temperatura a las más frías. Los resultados que se obtienen con este análisis son los esperados: la temperatura aumenta a medida que nos alejamos del lado en el que se ha prescrito su valor y, dado que las condiciones están impuestas en lados opuestos, el campo de temperaturas va formando líneas verticales de igual valor.


31

La distribución de temperatura obtenida con todos los tipos de elementos es la misma aunque utilizando triángulos lineales se obtienen valores ligeramente superiores. En la figura siguiente se muestra la distribución de temperaturas obtenida con triángulos lineales y cuadráticos (que es la misma que con el resto de elementos).

(a) (b)





El sentido del flujo es correcto y coherente con la distribución de temperaturas en todos los casos.

(a) (b)

Figura 3-26 Sentido del flujo de calor.




La condición de flujo prescrito no se cumple exactamente en ninguno de los casos, cosa que era de esperar puesto que esta condición, al contrario que la temperatura, no se impone de forma fuerte. De todas maneras, podemos considerar que la distribución es correcta porque el valor del flujo en el lado donde se ha impuesto flujo nulo es sensiblemente inferior al del resto del dominio. Se puede observar que con elementos cuadráticos se obtiene un resultado bastante mejor que con los lineales ya que en el lado donde se ha prescrito flujo nulo se tienen unos valores sensiblemente menores. También podemos observar que los peores resultados se obtienen con los triángulos lineales.


32

(a) (b)

(c) (d)

(e)









33

4. CASO BIDIMENSIONAL II: DOS MATERIALES.

4.1 INTRODUCCIÓN

Para acabar de validar el funcionamiento del programa en dos dimensiones, se plantean diferentes problemas sobre una geometría sencilla en la que se combinan dos materiales. Sobre este dominio se solucionan distintos problemas variando en cada uno tanto las condiciones de contorno como la malla computacional.

4.2 GEOMETRÍA

La geometría sobre la que se va a resolver el problema está formada por dos cuartos de circunferencias concéntricas de radios 1 y 0.25. Sobre cada uno de ellos se genera una superficie, de manera que se obtiene el dominio que puede verse a continuación.



La geometría que se va a estudiar está formada por dos materiales que se diferencian únicamente en tener o no activada la fuente de calor interna. La distribución de dichos materiales puede verse en la figura siguiente.

Figura 4-2 Distribución de materiales.


34

Las características de los materiales son: - Conductividad 1.0 en todas las direcciones - Densidad 1.0 - Calor específico 1.0 - Fuente de calor interna 30.0 - Coeficiente de radiación: 0.5

4.4 MALLA Y CONDICIONES DE CONTORNO

En cada uno de los problemas, además de cambiar las condiciones de contorno, se utiliza una malla formada por diferentes tipos de elementos tal y como se describe a continuación.

4.4.1 PROBLEMA 1

Malla computacional

Para resolver el primer problema se utiliza una malla no estructurada de elementos triangulares de tres nodos. Sobre las líneas de la superficie pequeña (la que tienen activada la fuente de calor) se ha impuesto un tamaño de elemento de 0.03 mientras que en el resto del dominio los elementos tienen un tamaño de 0.08. Con estas condiciones se obtiene la malla de la figura siguiente, que tiene 384 elementos (309 sobre la superficie grande y 75 sobre la pequeña) y 223 nodos.

Figura 4-3 Malla problema 1.

Condiciones de contorno En este problema la única condición de contorno impuesta es una de tipo Dirichlet en el perímetro del cuarto de circunferencia. En concreto, sobre esta línea se ha impuesto una temperatura de 0, tal y como se indica en la figura.

φR = 0.0



35

Para imponer esta condición con GiD sólo hace falta utilizar la opción FIXED TEMPERATURE – LINE TEMPERATURE.

4.4.2 PROBLEMA 2

Malla computacional Para resolver el problema se utiliza una malla no estructurada de elementos triangulares de seis nodos. Sobre las líneas de la superficie pequeña (la que tienen activada la fuente de calor) se ha impuesto un tamaño de elemento de 0.03 mientras que en el resto del dominio los elementos tienen un tamaño de 0.1. Con estas condiciones se obtiene la malla de la figura siguiente, que tiene 292 elementos (217 sobre la superficie grande y 75 sobre la pequeña) y 637 nodos.


Condiciones de contorno

Todas las condiciones de contorno impuestas en este problema son de tipo Dirichlet. Concretamente, se ha impuesto temperatura nula en el perímetro del cuarto de circunferencia y en el centro de la misma, tal y como puede verse en la figura siguiente.

φR = 0.0


De la misma manera que en el problema anterior, si se trabaja con GiD para imponer la condición sobre la circunferencia sólo hace falta utilizar la opción FIXED TEMPERATURE– LINE TEMPERATURE. Para prescribir la temperatura sobre el punto se usa la opción FIXED TEMPERATURE – POINT TEMPERATURE.


36

4.4.3 PROBLEMA 3

Malla computacional Se va a resolver este problema con diferentes mallas para poder así comparar, por un lado, el comportamiento de un elemento lineal y uno cuadrático y, por otro, qué sucede cuando se refina la malla en ambos casos. Para ello se generan cuatro mallas distintas sobre la misma geometría con las características que se describen a continuación:

- cuadrados de cuatro nodos y tamaño de elemento 0.04 (831 elementos y 875 nodos)

- cuadrados de ocho nodos y tamaño de elemento 0.04 (831 elementos y 2580 nodos)

- cuadrados de cuatro nodos y tamaño de elemento 0.08 (226 elementos y 247 nodos)

- cuadrados de ocho nodos y tamaño de elemento 0.08 (226 elementos y 719 nodos)

En las figuras siguientes puede verse el aspecto de las mallas así generadas:


Tamaño de elemento 0.08


Tamaño de elemento 0.04


37


En este problema se han impuesto condiciones de contorno de dos tipos. Por un lado, se imponen condiciones de tipo Dirichlet puesto que se prescribe el valor de la temperatura a –10 en el punto central. Por otro, se utilizan condiciones de tipo Neumann ya que se impone un flujo nulo en la circunferencia exterior. Además, se considera la radiación provocada por el contacto con el medio exterior imponiendo una temperatura exterior de 5 sobre la misma curva. En la figura siguiente pueden verse estas condiciones que se han impuesto.

φext = 5.0 qn = 0.0

φo = -10.0 Figura 4-9 Problema 3. Condiciones de contorno.

Si se trabaja con GiD la temperatura sobre el origen se prescribe mediante la opción FIXED TEMPERATURE - POINT TEMPERATURE, para imponer la temperatura exterior se utiliza EXTERNAL TEMPERATURE – LINE EXTERNAL TEMPERATURE y el flujo sobre la circunferencia se fija con LOADS – LINE FLUX OVER LINE.

4.4.4 PROBLEMA 4

Malla computacional Para resolver el problema se utiliza una malla no estructurada de elementos cuadriláteros de ocho nodos. El tamaño de los elementos es de 0.08 en toda la malla excepto en el punto donde se ha prescrito la temperatura en el que se refina un poco la malla imponiendo un tamaño de elemento de 0.02. Con estas condiciones se obtienen la malla de la figura, que está formada por 253 elementos (12 en la superficie pequeña y 241 en la grande) y 810 nodos.



38


En este problema se imponen dos tipos de condiciones de contorno. Por un lado, se fija la temperatura a 0 en el punto situado en la esquina superior izquierda utilizando la opción FIXED TEMPERATURE – POINT TEMPERATURE. Por otro, se prescribe un valor del flujo por unidad de longitud en la circunferencia exterior mediante la opción LOADS – LINE FLUX OVER LINE. φR = 0.0

qn = -3.0


4.4.5 PROBLEMA 5

Malla computacional Para resolver el problema se utiliza la malla de elementos cuadriláteros de nueve nodos que puede verse en la siguiente figura.


Esta malla se ha generado imponiendo un tamaño de elemento 0.02 sobre los dos puntos en que se ha prescrito el valor de la temperatura, cuatro divisiones en las líneas que forman la superficie pequeña y un tamaño de elemento de 0.08 en el resto de la geometría. Está formada por 211 elementos (10 en la pequeña y 201 en la grande) y 915 nodos.


39


Para definir completamente el problema falta imponer las condiciones de contorno. En este caso se ha fijado la temperatura a –10 en dos puntos de la circunferencia separados 90º y en el arco que los une se ha impuesto un flujo nodal saliente de valor 3.00. Si se utiliza GiD, para imponer el valor de la temperatura en los puntos sólo hace falta utilizar la opción FIXED TEMPERATURE – POINT TEMPERATURE. Para poder prescribir un valor del flujo nodal se tiene que generar la malla e imponer un flujo puntual sobre cada uno de los nodos del contorno donde se desee fijar el valor del flujo, utilizando para ello la opción LOADS – POINT FLUX OVER POINTS.

φ1 = - 10.0

φ2 = - 10.0 Figura 4-13 Problema 5. Temperatura puntual impuesta.

qn = - 3.0

Figura 4-14 Problema 5. Flujo nodal prescrito.

4.5 RESULTADOS

4.5.1 PROBLEMA 1

Debido a la sencillez del problema sabemos a priori como tienen que ser los resultados del análisis. Como se ha impuesto temperatura nula en la circunferencia que forma el perímetro exterior, el campo de temperaturas toma un valor cero en esta línea. A medida que se acerca a la parte interior va aumentando su valor ya que en esta zona el material tiene una fuente de generación interna de calor. Debido a las características del problema, el campo de temperatura se distribuye de manera que se forman circunferencias concéntricas de igual temperatura.


40

Estos resultados esperados son los que se obtienen en el análisis, tal y como puede verse en la siguiente figura.

Figura 4-15 Distribución de temperatura. Problema 1.

En las figuras siguientes puede verse la distribución del flujo de calor para cada uno de los dos conjuntos definidos en el análisis, correspondientes a los dos tipos de material definidos:

(a) (b)

Figura 4-16 Distribución de flujo suavizado. Problema 1.

(a) Set 1. Material con generación interna de calor.

(b) Set 2. Material sin generación interna de calor.

4.5.2 PROBLEMA 2

Si no hubiera una generación interna de calor, la distribución de temperaturas sería nula en todo el dominio. En el problema analizado, la existencia de una fuente de calor en una de las superficies hace subir la temperatura en esta zona provocando que la distribución de temperaturas deje de ser uniforme y se distribuya formado líneas isotermas concéntricas que van disminuyendo la temperatura desde la zona donde ésta es máxima hacia el centro por un lado y hacia la circunferencia del perímetro por el otro. El resultado que se obtiene con el programa es el esperado, tal y como puede verse en la gráfica de distribución de temperaturas que se muestra a continuación.


41


En las figuras siguientes puede verse la distribución de flujo para cada uno de los sets utilizados en el cálculo (cada set está formad por los elementos que tienen un tipo de material)

(a) (b)




4.5.3 PROBLEMA 3

El campo de temperatura toma un valor 10 en el punto donde se ha impuesto la condición de tipo Dirichlet. La temperatura será mayor en el resto del dominio debido a la generación de calor del material que forma la superficie interior. El flujo se concentra en el punto donde se ha prescrito el valor de la temperatura ya que en esta zona hay una variación brusca de temperaturas que provoca un fuerte gradiente. La condición de contorno de tipo Neumann se verifica de forma aproximada. A continuación pueden verse los resultados obtenidos con las diferentes mallas utilizadas en el análisis.


42

(a) (b)

(c) (d)

Figura 4-19 Distribución de temperaturas. Problema 3.

(a) Elemento QU04, tamaño 0.08.

(b) Elemento QU04, tamaño 0.04.

(c) Elemento QU08, tamaño 0.08.

(d) Elemento QU08, tamaño 0.04.

En las siguientes figuras puede verse la distribución de flujo obtenida con cada tipo de elemento.

(a) (b)

Figura 4-20 Distribución de flujo suavizado.

Problema 3. Malla de cuadriláteros lineales de tamaño 0.08.




43

(a) (b)


Problema 3. Malla de cuadrilátero lineales de tamaño 0.04.



(a) (b)


Problema 3. Malla de cuadriláteros cuadráticos de tamaño 0.08.



(a) (b)


Problema 3. Malla de cuadriláteros cuadráticos de tamaño 0.04.




44

4.5.4 PROBLEMA 4

Dadas las condiciones de contorno impuestas, el resultado que se espera para el campo de temperaturas es que tome un valor 0 en el punto donde se ha impuesto. En el resto del dominio la temperatura disminuye debido a que en el contorno se ha impuesto un flujo de calor negativo, que sale del dominio. El flujo se concentrará alrededor del punto donde se ha impuesto la temperatura ya que en esta zona es donde hay mayor variación de la temperatura. En la figura siguiente podemos ver como el resultado del análisis es el esperado.


En las figuras siguientes puede verse la distribución de flujo para cada tipo de material.

(a) (b)

Figura 4-25 Problema 4. Distribución de flujo suavizado

(a) Set 1. Material con generación interna de calor

(b) Set 2. Material sin generación interna de calor

4.5.5 PROBLEMA 5

Dado que las condiciones de tipo Dirichlet se imponen de forma fuerte, en los puntos donde se ha fijado la temperatura ésta tomará exactamente el valor prescrito. En el resto del dominio el campo de temperaturas tomará valores inferiores debido a que en el contorno se ha impuesto un flujo de calor saliente. Estos resultados esperados son los que se obtienen en el análisis, tal y como puede verse en la siguiente figura.


45


En las figuras siguientes puede verse la distribución de flujo que se obtiene en el análisis. El flujo que se observa en la superficie interior es debido al suavizado que el programa realiza para mostrar los resultados. En realidad, el flujo se concentra en los vértices en los que se ha fijado el valor de la temperatura mientras que en el resto del dominio es prácticamente nulo. Nótese que la condición de tipo Neumann no se verifica exactamente pero sí que es cierto que en el contorno se tiene un flujo aproximadamente igual (del mismo orden) al prescrito.

(a) (b)


(a) Set 1. Material con generación interna de calor

(b) Set 2. Material sin generación interna de calor

Figura 4-28 Detalle distribución de flujo en un vértice.


46

5. CASO TRIDIMENSIONAL I: SUPERFICIE EN 3D

5.1 INTRODUCCIÓN

Con los ejemplos que se presentan a continuación se pretende validar el funcionamiento de los elementos 2D en el caso de que el problema no sea plano. En este caso se plantean dos problemas sobre un octavo de esfera variando las condiciones de contorno. Los elementos que se utilizan en la resolución son triángulos y cuadriláteros lineales.

5.2 GEOMETRÍA

El dominio sobre el que se va a resolver el problema es un octavo de esfera de radio unidad tal y como puede verse en la siguiente figura.


5.3 MALLA Y TIPO DE ELEMENTOS

Para resolver un problema con Caltep2000 sobre una superficie no plana sólo pueden utilizarse elementos lineales, es decir, triángulos de tres nodos y cuadriláteros de cuatro. Resolveremos el problema utilizando dos mallas diferentes, una con cada tipo de elementos. La malla de triángulos se genera imponiendo un tamaño global de elemento de 0.05. Con estas condiciones se obtiene una malla formada por 462 nodos agrupados en 829 elementos. El aspecto de la malla puede verse en la siguiente figura.

Figura 5-2 Malla de triángulos lineales.


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La malla de cuadriláteros se genera imponiendo el mismo tamaño elemental y se obtiene una malla de 469 elementos y 515 nodos, con el aspecto que puede verse en la siguiente figura.

Figura 5-3 Malla de cuadriláteros lineales


La superficie sobre la que se resuelven los problemas está formada por un material con las siguientes características:

- Conductividad 1.0 en todas las direcciones - Densidad 1.0 - Calor específico 1.0 - Fuente de calor interna 30.0

En cada problema se resuelven dos casos: uno en el que el material tiene la fuente de calor interno activada y otro en el que está desactivada.


5.5.1 PROBLEMA 1.

Para poder determinar la solución del problema falta imponer condiciones de contorno. En este problema se han utilizado solamente condiciones de tipo Dirichlet: se fija el valor de la temperatura a 10 en uno de los lados del dominio y a 0 en el punto opuesto a esta línea.

φo = 10.0



48

Si se utiliza GiD, estas condiciones de contorno pueden imponerse con el menú DATA-FIXED TEMPERATURE utilizando la opción POINT TEMPERATURE para prescribir la temperatura en el vértice y LINE TEMPERATURE para fijarla en la línea.

5.5.2 PROBLEMA 2

En este problema se utilizan condiciones de contorno de dos tipos: - Por un lado se imponen condiciones de tipo Neumann en uno de los arcos que

forma el contorno prescribiendo sobre él un flujo de valor 20. - Por otro, en el vértice opuesto se imponen condiciones de tipo Dirichlet, fijando

el valor de la temperatura a 10.

φo = 10.0

�� qn = 20.0 Figura 5-5 Problema 2. Condiciones de contorno.

Si se trabaja con GiD para imponer las condiciones de contorno de este problema sólo hace falta utilizar la opción FIXED TEMPERATURE - POINT TEMPERATURE y fijar la temperatura deseada en el punto y la opción LOADS - LINE FLUX OVER LINE para prescribir un valor del flujo en el contorno indicado.

5.6 RESULTADOS

A continuación se presentan los resultados obtenidos para cada uno de los problemas analizados. Además de comprobar el correcto funcionamiento de los elementos triangulares y cuadráticos en este tipo de problemas, podremos comparar los resultados obtenidos con ambos.

5.6.1 PROBLEMA 1

Sin fuente de calor Como condiciones de contorno se ha impuesto temperatura nula en un arco de circunferencia y temperatura 10 en el vértice opuesto. Esto hace que la temperatura vaya aumentando desde el arco hacia dicho punto de manera que las isotermas coinciden con los paralelos de la esfera. En las figuras siguientes puede verse que los resultados obtenidos son los esperados y que se obtienen los mismos para los dos tipos de elementos utilizados en el análisis.


49


Problema 1 sin fuente de calor. Elementos TR03.


Problema 1 sin fuente de calor. Elementos QU04.

Como las temperaturas van aumentando a medida que nos acercamos al punto donde se ha fijado el valor de la temperatura a 10, el flujo de calor va hacia esta zona. Además, como el cambio de temperatura es mayor en la zona alrededor de este vértice, el flujo se concentra aquí.




50



Utilizando elementos triangulares se obtienen valores del flujo sensiblemente mayores.

Con fuente de calor Al considerar una fuente de calor interna, la temperatura tiende a subir en todo el dominio pero como su valor está fijado en algunos puntos decrece al llegar a éstos, tal y como puede verse en las figuras siguientes. En ellas se aprecia como se cumplen las condiciones de contorno y como el campo de temperaturas alcanza un valor máximo en el interior del dominio.


Problema 1 con fuente de calor. Elementos TR03.


51


Problema 1 con fuente de calor. Elementos QU04.

El flujo de calor va de zonas con temperaturas mayores a zonas más frías, tal y como puede apreciarse en las siguientes figuras.





De la misma forma que en el caso anterior, el campo de temperaturas que se obtiene con las dos mallas es prácticamente el mismo ya que sólo varían ligeramente los valores. En cambio, en este caso también se obtienen valores del flujo mayores con la malla de elementos triangulares.


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5.6.2 PROBLEMA 2

Sin fuente de calor La temperatura toma un valor 10 en el vértice donde se ha impuesto este valor y va aumentando a medida que nos acercamos al lado donde se ha prescrito el flujo, ya que se considera que un valor positivo corresponde a un flujo entrante, que aporta calor al sistema. En las figuras siguientes puede verse que los resultados obtenidos en el análisis son los esperados. La distribución de temperaturas es muy similar con las dos mallas utilizadas aunque con la de cuadriláteros se obtienen valores ligeramente superiores que con la de triángulos.





El flujo de calor alcanza sus valores más altos en la zona alrededor del vértice donde se ha prescrito la temperatura porque es aquí donde la temperatura varía más. La condición de contorno de tipo Neumann no se cumple exactamente (porque en la formulación del problema se impone sólo de forma débil) pero se obtiene un valor muy parecido al prescrito. En las figuras siguientes se puede ver la distribución de flujo obtenida en el análisis.


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Con fuente de calor Las condiciones de contorno de tipo Dirichlet se imponen de forma fuerte. Por este motivo el campo de temperaturas en el vértice donde se ha impuesto toma un valor exactamente igual al prescrito. En el resto del dominio la temperatura aumenta por la generación interna de calor. Además, en el lado donde se ha impuesto la condición de tipo Neumann el valor de la temperatura es aún mayor puesto que se ha prescrito un flujo entrante.




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El flujo de calor es mayor en la zona alrededor del punto donde se ha impuesto la condición de tipo Dirichlet ya que es aquí donde hay mayores gradientes de temperatura. Además de esto, en las figuras siguientes puede verse como la condición de flujo prescrito también se verifica, aunque de forma aproximada.






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Si observamos los resultados obtenidos con las dos mallas vemos que en ambos casos se obtiene una distribución similar tanto para el campo de temperaturas como para el flujo. Los valores numéricos de la temperatura y el flujo varían en función de la malla utilizada en el análisis: con la de cuadriláteros se obtienen valores de la temperatura ligeramente superiores que con la malla de triángulos mientras que con el flujo pasa lo contrario.


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6. CASO TRIDIMENSIONAL II: CUBO

6.1 INTRODUCCIÓN

Para validar el funcionamiento en tres dimensiones, se van a resolver diferentes problemas de transmisión del calor en un cubo de lado unidad, variando para ello las condiciones de contorno. Cada problema se resolverá con diferentes tipos de elementos para poder así comparar el funcionamiento de cada uno.

6.2 GEOMETRÍA

El dominio sobre el que se resuelve el problema es muy sencillo: se trata de un cubo de lado unidad como el que puede verse en la figura.


6.3 MALLA Y TIPO DE ELEMENTOS

Para resolver el problema se han utilizado cuatro mallas de elementos diferentes: (1) malla no estructurada de tetraedros lineales (PI04) con 10 elementos por línea y

un tamaño global de elemento de 0.17 (2) malla estructurada de hexaedros lineales (HE08) con 8 elementos por lado (3) malla no estructurada de tetraedros cuadráticos (PI10) con cinco elementos por

lado y un tamaño global de elemento de 0.25 (4) malla estructurada de hexaedros cuadráticos (HE20) con cinco elementos por

lado


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En la tabla que se presenta a continuación puede verse el número de elementos y nodos que componen cada una de las mallas

Elemento Nº elementos Nº nodos

PI04 2034 519

HE08 512 729

PI10 739 1244

HE20 125 756

El aspecto de las mallas utilizadas en la resolución del problema es el de las figuras siguientes.

Figura 6-2 Malla elementos PI04. Figura 6-3 Malla elementos HE08.

Figura 6-4 Malla elementos PI10. Figura 6-5 Malla elementos HE20.


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Se ha considerado que el cubo objeto de estudio está formado por un solo material cuyas características son:

- Conductividad 1.0 en todas las direcciones - Densidad 1.0 - Calor específico 1.0 - Fuente de calor interna 100.0 - Coeficiente de radiación: 0.5


A continuación se describen las condiciones de contorno impuestas para resolver los diferentes problemas. En cada uno de ellos se han analizado dos situaciones: una en la que el material genera calor y otra en la que esta fuente está desactivada.

6.5.1 PROBLEMA 1

Para resolver el problema se han impuesto condiciones de contorno de tipo Dirichlet en dos lados opuestos del cubo. Concretamente, se ha fijado la temperatura a 0 en una lado mientras que en el otro se ha prescrito un valor de 10, tal y como puede verse en la siguiente figura.

. Figura 6-6 Problema 1. Condiciones de contorno.

Si se utiliza GiD, las condiciones de contorno de este problema pueden imponerse fácilmente utilizando la opción FIXED TEMPERATURE – SURFACE TEMPERATURE del menú DATA.

6.5.2 PROBLEMA 2

Para poder resolver el problema sólo falta imponer unas condiciones de contorno que permitan determinar la solución. En este caso se ha prescrito el valor de la temperatura a 10 en una cara del dominio mientras que en la opuesta se ha impuesto un flujo nulo.


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φo = 10.0

qn = 0.0 Figura 6-7 Problema 2. Condiciones de contorno.

Para imponer las condiciones de contorno utilizando el programa GID sólo hace falta utilizar dos opciones del menú DATA: para prescribir la temperatura en una cara se utiliza la opción FIXED TEMPERATURE – SURFACE TEMPERATURE y para imponer un flujo de calor nulo se usa LOADS – SURFACE FLUX OVER SURFACE.

6.5.3 PROBLEMA 3

En este problema se imponen dos tipos de condiciones de contorno. Por un lado, se prescribe el valor de la temperatura en una cara mientras que en la cara opuesta se impone un flujo negativo, es decir, que sale del dominio.

φo = 5.0

qn = -20.0


Para imponer estas condiciones con GiD se procede de la misma forma que en el caso anterior.

6.5.4 PROBLEMA 4

En este caso se han impuesto como condiciones de contorno en valor de la temperatura en cuatro líneas que delimitan una de las caras del cubo y el flujo en los cuatro puntos que delimitan la cara opuesta, tal y como puede verse en la siguiente figura.


60

φo = 5.0

qn = 0.5


Si se utiliza GiD, para prescribir la temperatura sobre las líneas se utiliza la opción FIXED TEMPERATURE – LINE TEMPERATURE y para imponer un flujo puntual se utiliza la opción LOADS – POINT FLUX OVER POINTS.

6.5.5 PROBLEMA 5

En este problema se tiene en cuenta la interacción con el medio exterior. En este caso impondremos como condiciones de contorno la temperatura en una de las caras del cubo y el valor de la temperatura exterior en la cara opuesta

φo = 10.0

φext = 0.0


Si se utiliza GiD, las condiciones de contorno se imponen utilizando el menú DATA. Para prescribir el valor de la temperatura en una cara se utiliza la opción FIXED TEMPERATURE – SURFACE TEMPERATURE y para imponer una temperatura exterior determinada se emplea la opción EXTERNAL TEMPERATURE – SURFACE EXTERNAL TEMPERATURE.


61

6.5.6 PROBLEMA 6

Finalmente, vamos a resolver un problema en el que también se tiene en cuenta la interacción con el medio. Las condiciones de contorno que se imponen son las mismas que las prescritas en el caso anterior pero, a diferencia de éste, la temperatura exterior que consideramos es no nula. Dichas condiciones pueden verse en la figura siguiente.

φo = 10.0

φext = 20.0


Para imponer las condiciones de contorno con GiD sólo tiene que utilizarse el menú DATA tal y como se ha indicado en el caso anterior.

6.6 RESULTADOS

A continuación se presentan los resultados obtenidos para cada uno de los problemas propuestos con cada tipo de elemento. Los elementos cuadráticos (tetraedros de 10 nodos y hexaedros de 20) sólo se han utilizado para resolver los problemas 1 y 4 ya que el resto de ejemplos propuestos contienen condiciones de contorno que no pueden imponerse con estos elementos puesto que no están implementadas en el programa.

6.6.1 PROBLEMA 1

Sin fuente de calor

La única condición de contorno impuesta en este problema es el valor de la temperatura en dos caras paralelas, fijándolo a 0 en una y a 10 en la otra. Esto hace que la temperatura tome valores entre 0 y 10 en todo el dominio se distribuya en todo el cubo formando superficies de igual temperatura paralelas a las caras donde se ha impuesto la condición de contorno. Los resultados que se obtienen con el análisis son los mismos para todos los tipos de elementos utilizados. En la figura siguiente se muestra el campo de temperaturas obtenido con tetraedros lineales.


62


Problema 1 sin fuente de calor, elementos PI04.

Con fuente de calor

Al añadir una fuente de calor, la temperatura aumenta en el interior del dominio. Para poder cumplir las condiciones de contorno impuestas, el campo de temperaturas disminuye al acercarse a las caras donde se ha fijado su valor. En las figuras siguientes puede verse la distribución de temperaturas obtenida con cada uno de los elementos utilizados. Puede verse como, aunque la distribución de temperaturas es similar, hay diferencias en los valores que se obtienen.

(a) (b)


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(c) (d)



(a) Malla de tetraedros lineales.

(b) Malla de tetraedros cuadráticos.

(c) Malla de hexaedros lineales.

(d) Malla de hexaedros cuadráticos.

6.6.2 PROBLEMA 2

Este problema se resuelve únicamente utilizando malas de elementos lineales, ya que la condición de flujo prescrito no está programada para elementos cuadráticos. Sin fuente de calor

Como se ha prescrito un valor de la temperatura en una cara y se ha impuesto un flujo nulo en la cara opuesta, el resultado tienen que ser una distribución de temperatura uniforme en todo el dominio de valor igual al prescrito. Los resultados que se obtienen son los esperados en los dos casos. En la figura siguiente puede verse la distribución de temperatura obtenida con la malla de tetraedros.


Problema 2 sin fuente de calor. Elementos PI04.


64

Con fuente de calor

Al añadir una fuente de calor interna la temperatura tiende a aumentar en todo el dominio aunque se mantiene constante en la cara en la que se ha prescrito su valor. En las figuras siguientes pueden verse los resultados obtenidos en el análisis. La distribución de temperaturas para las dos mallas utilizadas es muy similar y sólo varían ligeramente sus valores.

(a) (b)



(a) Elementos PI04.

(b) Elementos HE08.

6.6.3 PROBLEMA 3

Sin fuente de calor Dadas las condiciones de contorno impuestas en este caso, el campo de temperaturas tiene que valer 5 en la cara donde se ha prescrito su valor e ir disminuyendo a medida que nos acercamos a la cara opuesta, ya que en ésta se ha impuesto un flujo negativo (es decir, que sale del dominio y, por tanto, hace disminuir la temperatura). En las figuras siguientes puede verse que los resultados obtenidos son los esperados.

(a) (b)



(a) Elementos PI04.

(b) Elementos HE08.


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Con fuente de calor

Al añadir una fuente de calor interna la temperatura tiende a aumentar en todo el dominio aunque se mantiene constante en el contorno donde se ha prescrito su valor y disminuye en la cara donde se ha impuesto un flujo saliente. La distribución de temperaturas obtenida puede verse en las siguientes figuras.

(a) (b)



(a) Elementos PI04.

(b) Elementos HE08.

Como en el caso anterior, no hay demasiadas diferencias entre los resultados obtenidos utilizando tetraedros o hexaedros.

6.6.4 PROBLEMA 4

Sin fuente de calor

El resultado esperado en este problema es que la temperatura valga 5 sobre las líneas en las que se ha prescrito su valor y aumente en los puntos donde se ha impuesto como condición de contorno un flujo positivo, que aporta calor al sistema. En las figuras siguientes pueden verse los resultados obtenidos con todas las mallas utilizadas en el análisis.

(a) (b)


66

(c) (d)


Problema 4 sin fuente de calor

(a) Elementos PI04

(b) Elementos PI10

(c) Elementos HE08

(d) Elementos HE20

Con fuente de calor Al añadir una fuente de calor, la temperatura aumenta en todo el dominio excepto en las líneas donde su valor está prescrito. Los resultados obtenidos coinciden con los esperados, como puede verse en las siguientes figuras:

(a) (b)


67

(c) (d)



(a) Elementos PI04.

(b) Elementos PI10.

(c) Elementos HE08.

(d) Elementos HE20.

6.6.5 PROBLEMA 5

Sin fuente de calor El campo de temperaturas toma un valor 10 sobre la cara en que se ha impuesto esta condición. Como en la cara opuesta se ha prescrito la temperatura exterior a 0, la temperatura en el cubo disminuye a medida que nos acercamos a ésta. Estos resultados pueden verse en la siguiente figura. Podemos observar que con los os tipos de elementos utilizados se obtienen los mismos resultados.

(a) (b)



(a) Elementos PI04.

(b) Elementos HE08.


68

Con fuente de calor

Al añadir una fuente de calor, la temperatura aumenta en el interior del dominio. Dadas las condiciones de contorno impuestas, el campo de temperaturas se mantiene constante e igual al valor prescrito en la cara sobre la que se ha impuesto una condición de contorno de tipo Dirichlet y disminuye al acercarse a la cara en la que se ha dado un valor de la temperatura exterior. En las figura siguiente podemos ver que los resultados obtenidos con los dos tipos de elementos utilizados son prácticamente iguales.

(a) (b)



(a) Elementos PI04.

(b) Elementos HE08.

6.6.6 PROBLEMA 6

Sin fuente de calor En este caso el campo de temperaturas toma un valor igual al prescrito en la cara en que se ha impuesto y aumenta a medida que nos acercamos a la cara opuesta, en la que la condición de contorno asignada es un valor de la temperatura exterior mayor que la prescrita. Los resultados obtenidos coinciden con los esperados, tal y como puede verse en la siguiente figura. También como en el caso anterior, los resultados son los mismos sea cual sea el elemento que se utiliza.


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(a) (b)



(a) Elementos PI04.

(b) Elementos HE08.

Con fuente de calor Al añadir una fuente de calor, la

caltep 2000 - cimne · 2007. 7. 17. · a continuación se presentan los resultaos obtenidos en el...

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