calculos en la ingenieria y elementos de mecanica(2)(2)

8/8/2019 Calculos en La Ingenieria y Elementos de Mecanica(2)(2)

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CALCULOS EN LA INGENIERÍA Y ELEMENTOS DE MECÁNICA

De todas las herramientas a disposición de un ingeniero, quizás la más valiosa es la matemática. Losingenieros deben tener una sólida preparación matemática, para así resolver los problemas de su área decompetencia. A continuación se indica como se presentan los cálculos en ingeniería y se revisa las diferentesramas de las matemáticas más usadas en la ingeniería, enfatizando sus aplicaciones más comunes.PRESENTACIÓN DE LOS CÁLCULOS EN INGENIERÍA

La forma en que se presentan los cálculos en ingeniería debe ser clara sencilla, de manera que ellector pueda seguirlos y entender el método y la lógica que los respalda. A veces esos cálculos pueden sercomplicados o largos, pero una presentación adecuada facilita su comprensión. Un ingeniero puede suspendesu trabajo por un tiempo y dárselo a otro para que lo continúe y termine, de manera que el método de cálculodebe ser fácil de interpretar; seguir y eventualmente revisar. Afortunadamente los cálculos de ingenieríasiguen siempre ciertos patrones, que se enseñan en todas las escuelas de ingeniería y que concuerdan con emétodo de solución de los problemas. Este método se ilustra con la solución de un problema sencillo.

Problema: Dada la viga que se muestra en la figura, determinar las reacciones en los apoyos A y B.

Solución:1) Diagrama de cuerpo libre

Comentario: Normalmente se necesita ayuda gráfica para resolver un problema. Con un dibujo se puede“visualizar” los elementos más significativos del problema. En este caso, un diagrama de cuerpo libre permite“aislar” un elemento de una estructura e indicar allí todas las solicitaciones que existen sobre ese elemento(fuerzas y momentos). A este tipo de diagramas se asocia un sistema de coordenadas y hemos elegido, porsimplicidad coordenadas cartesianas x-y.

2) Planteamiento de las ecuaciones necesarias para solucionar el problema o de las condiciones que sedebe cumplir.

A veces un problema puede resolverse de más de una manera, pero cualquier método de soluciónpuede asociarse a una formulación matemática (ecuaciones) o al planteamiento de condiciones que tambiénpuede hacerse en lenguaje matemático. En este caso, por haber equilibrio, las condiciones que debencumplirse son:

250 N1000 N

2 m3 m3 m

BA

1000 N

2 m3 m3 m

BA

250 N

FAx

FBFA



La suma de fuerzas actuando en la dirección del eje “x” (horizontales) debe ser cero:Σ Fx = 0

La suma de fuerzas actuando en la dirección del eje “y” (verticales) debe ser cero:Σ Fy = 0

La suma de momentos, en cualquier punto, debe ser cero: Σ M = 0

Nota: Las formulaciones matemáticas se hacen después de haberse planteado una estrategia de solución delproblema, con una lectura comprensiva del mismo, si se tiene un planteamiento escrito o con ayuda de undibujo si se dispone de un planteamiento gráfico. En todo casoes conveniente, cuando se esta analizando elproblema, anotar los datos que se tiene y las incógnitas que existen, para así seleccionar las ecuacionesadecuadas.

3) Solución matemática a partir de las ecuaciones

Σ Fx = 0 → FAx = 0Σ Fy = 0 → FAy + FBy – 1000 – 250 = 0Σ MA = 0 → 1000 · 3 + 250 · 8 – FBy · 6 = 0

6 FBy = 3000 + 2000→

FBy = 5000 / 6 = 833.3 N∴ FAy = 1250 – 833,3 = 416.7 N∴

4) Resultados

Normalmente conviene destacar los resultados, presentándolos por separado, en este caso se tiene:

Fuerzas en los apoyos:FAy = 416.7 NFBy = 833.3 N

Para insistir en el método indicado, se resolverá un segundo problema.

Problema: Una hormiga exploradora parte desde un montículo de azúcar a dar cuenta del hallazgo a sucolonia, cuya cueva está a 1 ,4 metros de distancia. Al mismo tiempo parte la hormiga vigía en dirección a lahormiga exploradora tardando 10 minutos en recibir información. Si la hormiga exploradora hubiera errado laubicación de la cueva y partido en dirección opuesta, la hormiga vigía habría tardado 35 minutos en darlealcance. Se desea saber la velocidad de la hormiga exploradora y de la hormiga vigía.

1) Gráficas: La primera condición del problema puede describirse con la figura inferior.

La segunda condición del problema puede describirse con la figura siguiente:

1.4 metros(1.4 – x) metrosx metros Tiempo que demoran en

encontrarse las hormigas:10 minutos



2) Ecuaciones x = v · t (en que x (ó y) es la distancia; v es la velocidad y t es el tiempo)

3) SoluciónConsiderando la primera condición y designando a la hormiga exploradora como (1) y a la vigía

como (2), tenemos:x = v1 · 10 ... (1)1.4 – x = v2 · 10 ... (2)

Considerando la segunda condición, se tiene:

y = 35 · v1

... (3)1.4 + y = 35 · v2 ... (4)

Se tiene cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas (x; v1; v2 e y), pero es fácil observar que se puedenreducir a dos, eliminando “x” en el primer par y eliminando “y” del segundo. Entonces:

10 v1 = - 10 v2 + 1.4 ... (1’)35 v1 = 35 v2 – 1.4 ... (2’)

De ambas ecuaciones se tiene:

104.1

21 +−= vv y35

4.121 −=vv

Entonces igualando ambas expresiones se tiene:

354.1

104.1

22 −=+− vv → 35063

35·1010·4.135·4.1

354.1

104.12 2 =+=+=v

min09.02 mv =

Reemplazando este último valor en la ecuación (1’) y resolviendo, se tiene:

min / 05.05.04.109.01010 11 mvv =→=+⋅−=

Resultado:Velocidad de la hormiga exploradora:v1 = 0.05 metros / minuto Velocidad de la hormiga vigía: v2 = 0.09 metros / minuto

Adicionalmente se podría calcular las distancias recorridas por ambas hormigas, evaluando lasincógnitas x e y, pero no se hará, porque no se pregunta en el problema.

SISTEMAS NUMÉRICOS

El sistema numérico más usado en la ingeniería es el decimal. Se usa signos numéricos (o símbolos)arábigos. En sistema decimal, cualquier número puede expresarse como una combinación de esos símbolos.El valor de cada dígito depende del símbolo y de su posición dentro del guarismo. Así, por ejemplo 456indica:

(1.4 + y) metros

y metros 1.4 metros

Tiempo que demoran en encontrarse las hormigas: 35 minutos



cuatro centenas = 400cinco decenas = 50seis unidades = 6

456

También un número puede expresarse como potencias de diez. El número 456, significa:

4 · 102 + 5 · 101 + 6 · 100 = 4 · 100 + 5 · 10 + 6 · 1 = 456

Otro sistema numérico usado en ingeniería es el binario, es decir el sistema de base dos. En este casose usa sólo dos símbolos: 0 y 1 y cualquier número puede expresarse como una combinación de estossímbolos. Por ejemplo el número 11011 en sistema binario, traducido al sistema decimal es:

1 · 24 + 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20 = 1 · 16 + 1 · 8 + 1 · 2 + 1 · 1 = 16 + 8 + 0 + 2 + 1 =27

En la tabla siguiente se muestran los primeros números binarios y su equivalencia en sistema decimal

Sistema binario 0 1 10 11 100 101 110 111 1000Sistema decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8

El sistema binario se usa en computación

Ejercicio: Expresar el número 23 en sistema binarioSolución: Primero se anotan las potencias de dos, hasta superar el valor del número, como se muestra en laprimera columna de la tabla. Después se selecciona las potencias que sumadas den el número en cuestión,partiendo de la penúltima, tratando deno superar el valor del número, tal como se indica:

Potencias de 2 valor en s. d. ¿supera valor 23? Valor seleccionado Símbolo en s. b.25 32 si - -24 16 no 16 123 8 si - 022 4 no 4 121 2 no 2 120 1 no 1 1

Suma→ 23 # : 10111

Resultado: El número buscado, en sistema binario, es: 10111

DIMENSIONES

El mundo físico o material se puede describir en términos dedimensiones(o variables). Estasdimensiones describen las propiedades físicas de los objetos o de los materiales. Las dimensiones se dividenen fundamentales, que son aquellas que necesariamente hay que definir (o aceptar) yderivadas, que si sepueden expresar como una combinación de otras variables, es decir, por una fórmula.

Las dimensiones fundamentales de física son:

Longitud (L)Masa (M)Tiempo (T)Corriente eléctrica (I)Cantidad de sustancia (mol)Temperatura (θ)Intensidad de luminancia (Γ )



Son dimensiones derivadas por ejemplo la velocidad (L / T); el área (L2); el volumen (L3); laaceleración (L / T2); la fuerza (ML / T2) y la energía (ML2 / T2). Es claro que cada una de las dimensionesderivadas se obtiene a partir de una fórmula, por ejemplo la fuerza es el producto de la masa por laaceleración (segunda ley de Newton), de manera que sus dimensiones son : M · (L / T2) = ML / T2

Ejercicio: Obtener las dimensiones de la “tenacidad de fractura” (KIc), si se sabe que cK Ic ⋅= πσ , en que

σ es esfuerzo y tiene dimensiones de fuerza dividida por área ;π es una constante adimensional y c es unalongitud.

Respuesta: Dimensiones deσ →Fuerza (ML / T2) / área (L2) → M / LT2

Dimensiones de c⋅π → L →L1/2 Dimensiones de KIc → (M / LT2) · (L1/2) → M / L1/2T2 o bien M L-1/2 T-2

UNIDADES

Las unidades son cantidades preestablecidas, en términos de la cuales pueden especificarse otrasunidades del mismo tipo.Las unidades sirven para expresar cuantitativamente las dimensiones. Porejemplo la dimensión longitud se puede expresar en pulgadas; cuartas; pies; metros; millas; kilómetros; etc..y la dimensión masa se puede expresar en kilos; gramos; libras-masa; quintales; toneladas; etc. La existenciade muchas unidades diferentes para indicar la misma dimensión ha traído innumerables problemas a laingeniería, de manera que se hizo una necesidad establecer un sistema general de unidades que permitieranevitar complicaciones innecesarias. Por ejemplo 120 libras son 54.43 kilos, pero si a alguien que sólo conocelos kilos le ofrecen ciento veinte libras de cemento a cierto precio, no sabe si el negocio es bueno o maloporque no conoce la equivalencia entre kilos y libras. De la misma manera si a un estudiante de ingeniería ledan los valores de resistencia de ciertos materiales en “Ksi” y no tiene a mano la equivalencia entre Ksi (milede psi) y Mpa (millones de pascal), le hacen pasar un mal rato. Con el desarrollo de la ingeniería seestablecieron diferentes “sistemas de unidades” en diferentes países. Los países de habla inglesa adoptaron esistema práctico inglés, en que la fuerza era una dimensión fundamental y la masa era dimensión derivada. Eneste sistema, la fuerza se medía en libras; la longitud en pies; el tiempo en segundos; la masa en “slugs”, etc.Los múltiplos o submúltiplos de esas unidades son bastante arbitrarios, por ejemplo un pie tiene docepulgadas; un “mil” es una milésima de pulgada y tres pies conforman una yarda. Por otra parte en Europaoccidental se usó el sistema métrico decimal, en que las unidades menores son y mayores a la básica sonmúltiplos de diez, por ejemplo un metro se divide en cien centímetros; mil milímetros; un millón de micronesy diez mil millones de ángstrom; decámetro tiene cien metros y un kilómetro mil metros. Una actitud muyporfiada de parte de los ingleses y norteamericanos impidió que se adoptara un sistema único de unidades pomucho tiempo hasta que por fin en 1960 se aceptó establecer el Sistema Internacional de Unidades (SI), peroaún existen y seguirán existiendo por mucho tiempo resabios de los sistemas anteriores, mientras lasmáquinas inglesas y norteamericanas sigan produciendo barra calibradas en pulgadas y de longitud medida enpies, por ejemplo.

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES

Es un sistema completo de unidades de medición que incluye nombres y símbolos para la unidadesbásicas, a partir de las que se puede formar unidades derivadas para expresar cualquier cantidad física. El SI

incluye un sistema de prefijos, mediante el que las unidades básicas y las derivadas pueden adoptar lamagnitud más conveniente para un caso determinado. El SI ha sido aceptado por todo el mundo por la baseprecisa de sus unidades y por la facilidad que da el que los múltiplos o submúltiplos de las unidades esté enconcordancia con el sistema numérico en base diez. En las tabla siguientes se indica las siete unidades básicasdel SI y las unidades suplementarias; las unidades derivadas y los prefijos. Se dice que son unidades básicaslas que miden las dimensiones fundamentales. Por ejemplo la unidad básicametro se usa para medir ladimensión fundamentallongitud. Se dice que son unidades suplementarias aquellas en que no se logróacuerdo si eran básicas o derivadas y son: el ángulo plano y el ángulo sólido.



Unidades básicas del SIDimensión Unidad SímboloLongitudMasaTiempoCorriente eléctricaTemperatura termodinámica

Cantidad de sustanciaIntensidad luminosa

metrokilogramosegundoamperegrado Kelvin

molcandela

mkgsAK

molcdUnidades suplementarias

Ángulo planoÁngulo sólido

radiánestereorradián

radsr

Unidades derivadasDimensión Unidad Símbolo FórmulaFrecuenciaFuerzaPresión, esfuerzoEnergía, trabajoPotencia

Cantidad de electricidadPotencial eléctricoCapacitanciaResistencia eléctricaConductanciaFlujo magnéticoDensidad de flujo magnéticoInductanciaFlujo luminosoIluminancia

hertznewtonpascal joulewatt

coulombvoltfaradohmsiemensweberteslahenrylumenlux

HzNPascalJW

CVFΩ SWbTHlmlx

s-1 kg · m / s2 N / m2 N · mJ / s

A / sW / AC / VV / AA / VV · sWb / m2 Wb / Acd · srlm / m2

Símbolo y fórmulaÁreaVolumenVelocidadAceleraciónDensidadVolumen específicoEntropíaIntensidad de radiaciónMomento de flexiónCapacidad calórica

metro cuadradometro cúbicometro por segundometro por segundo al cuadradokilogramo por metro cúbicometro cúbico por kilogramo joule por grado Kelvinwatt por estereorradiánnewton – metro joule por kilogramo – grado kelvin

m2 m3

m / sm / s2

kg / m3 m3 / kgJ / K

W / srN · m

J / kg · K

Prefijos del SIFactor de multiplicación Prefijo símbolo1012 109 106

103

102 101 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18

TeraGigaMega

KiloHectoDekaDeciCentiMiliMicroNanoPicoFemtoato

TGM

khdadcmµ npf a



CONVERSIÓN DE UNIDADES

Uno de los ejercicios más frecuentes de los estudiantes de ingeniería y de los ingenieros en su vidaprofesional, es convertir unidades. Esto se debe a que no todos los datos que requiere para solucionar unproblema, están dados en el mismo sistema de unidades.Si se mezclan unidades, al resolver un problema,el resultado no es válido. Por ejemplo, para el sencillo problema de determinar la aceleración que produce enun cuerpo de 50 gramos, una fuerza de 3 kilos, se debe transformar la fuerza a dinas, que es una unidadcompatible con la masa expresada en gramos, o bien transformar ambos: la fuerza a newton y la masa akilogramos. Lo último es más apropiado. La conversión de unidades es un proceso sencillo. Basta multiplicapor el factor de transformación correspondiente, para obtener la unidad que se requiere. A continuación seexplicará el método de conversión con un ejercicio.

Ejercicio: Una solución pesa 435 g y ocupa un volumen de 517 ml, determine su densidad en kg / m3.

Solución: La densidad se puede calcular con la fórmula:

V M

D = , en que D es la densidad; M la masa y V es el volumen,

entonces ....

333 39.8411000517 10001000435

10001

10001517

1000

1435

mkg

mkg

litrosm

mllitro

ml

gramos

kggramos

D =⋅⋅⋅=

⋅⋅

⋅

=

Resultado: La densidad expresada en las unidades pedidas es 841.39 kg / m3

Como la conversión de unidades es muy frecuente en el ejercicio de la ingeniería, conviene que elestudiante resuelva varios problemas que envuelvan transformación de unidades. Por ello se recomiendaresolver todos los ejercicios de la guía correspondiente.

CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Se denomina cifras significativas a lacantidad de cifras confiables, en una expresión numérica que

es resultado de mediciones o cálculos. Por ejemplo, si se mide la longitud con una cinta métrica cuya divisiónmás pequeña es el milímetro, no puede expresarse el resultado en micrómetros. De la misma manera si semide el ancho de una puerta con una cinta en centímetros, resultando 61 cm y se mide el alto con otra cinta enmilímetros, dando 1998 mm, es decir, 199.8 cm el área de la puerta no se puede expresar como 12187.8 cm2,sino como 12000 cm2. Esto, porque el resultado con un decimal supone que ambas mediciones se hicieron concifras igualmente confiables. La medida del ancho tiene sólo dos cifras significativas, es decir confiables y lamedida de la altura tiene cuatro cifras significativas, de manera que el resultado sólo puede tener dos cifrassignificativas.

Ejemplo. Encontrar las cifras significativas de la siguiente suma:5.46353.124.165

+ 16.156330.9048El resultado confiable es 30.90 pues el número menos exacto tiene sólo dos cifras significativas en

los decimales, de manera que el resultado sólo debe tener dos cifras significativas en los decimales.

En sumas y restas, el resultado debe tener tantas cifras significativas decimales como el sumandomenos exacto. En multiplicaciones y divisiones el resultado debe tener tantas cifras significativas (totales),como las del factor menos exacto. Lo último ya se mostró en el ejemplo del área de la puerta.



Redondeo. Cuando se expresa un resultado con el número de cifras significativas que corresponde, hay queeliminar una cierta cantidad de cifras que arroja la calculadora. Para esto se acepta la siguiente regla: Si elnúmero que está inmediatamente después de la última cifra significativa es igual o mayor que cinco, estaúltima cifra se sube al número inmediatamente superior; en caso contrario permanece igual. Esto se entiendemejor con un ejemplo.

Ejemplo: Si el número de cifras significativas después del punto decimal es dos, entonces35.4355 se redondea a 35.4435.1239 se redondea a 35.12

NOTACIÓN CIENTÍFICA

El número 0.00000000015 es difícil de leer y uno frecuentemente se equivoca al transcribirlo.Entonces es más conveniente expresarlo de manera que no haya posibilidad de equivocarse y se escribe:

15 · 10-11 o bien 1.5 · 10-10

La forma en que se escribió el número anterior se denominanotación científica. Esta notaciónpermite escribir fácilmente números muy grandes o muy pequeños. Consiste en escribir, como se indicó, unnumero como el producto de dos números, en que el primero es un número decimal generalmentecomprendido entre uno y diez y el otro es una potencia de diez. En la tabla siguiente se muestran las primeraspotencias de diez y su significado en notación normal.

En algunos casos la notación científica se indica de otra forma.

En computación, para evitar el uso de exponentes, los números en notación científica se escriben dela siguiente manera:

1.5 · 10-10 se escribe como 1.5 E-103.15 · 106 se escribe como 3.15 E 06

En las calculadoras de bolsillo, números anteriores se escriben como:

1.5 · 10-10 se escribe como 1.50-10 3.15 · 106 se escribe como 3.1506

MATEMÁTICAS PARA INGENIERÍA

Las ramas de las matemáticas que más se usan en ingeniería sonálgebra; geometría y análisisocálculo.

Álgebra. Es una generalización de la aritmética, en que se usa símbolos en vez de números. Estos símbolosque son letras del alfabeto romano o del griego, se denominanvariables. Las variables se dividen endependientes que son aquellas cuyo valor depende del valor que toman otras variables e independientes, quepueden tomar cualquier valor. En la siguiente ecuación se muestra estos distintos tipos de variables.

Potencias de diez en notación científica10

1001000

1000000

====

1 · 101 1 · 102 1 · 103 1 · 106

óóóó

101 102 103 104

0.10.01

0.0010.000001

====

1 · 10-1 1 · 10-2 1 · 10-3 1 · 10-6

óóóó

10-1 10-2 10-3 10-6

variable dependiente

y = 2 x + 5 z + 4 v2

variables independientes



Además de lo anterior se usa una serie de símbolos convencionales para ahorrar escritura. Los máscomunes son:

= igual a ≠ diferente> mayor que < menor que≥ mayor o igual que ≤ menor o igual que

valor absoluto (positivo) Σ sumatorian! factorial (n! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · .......... · n)

GEOMETRÍA

En ingeniería se usa distintos tipos de geometría, entre ellos:• Geometría plana (líneas rectas; ángulos; curvas; polígonos; .....)• Geometría sólidao espacial (conos; esferas; cilindros; curvas alabeadas; .....)• Geometría diferencial(aplicación del cálculo infinitesimal a la geometría)• Geometría descriptiva(representación convencional de superficies de una figura

tridimensional en un plano)• Geometría analítica(aplicación del álgebra a la geometría, en que las líneas se representan

por una ecuación algebraica)

TRIGONOMETRÍA

Es una extensión de la geometría para calcular lados y ángulos en triángulos. En la tabla siguiente seindican las diferentes funciones trigonométricas y se definen en términos del triángulo de la figura inferior.

función significadoseno :

h y

sen =α

coseno :h x=αcos

tangente : x ytg =α

secante : x

h==α

αcos

1sec

cosecante : y

h

sen==

αα

1csc

cotangente : y

x

tgctg ==

αα

1

Relaciones trigonométricas importantes

x2 + y2 = h2 Teorema de Pitágoras

γ βα senc

senb

sena == Teorema del seno

c2 = a2 + b2 - 2 a b cosγ Teorema del cosenosen2α + cos2α = 1cos2α + cos2β + cos2γ = 1 Cosenos directoressen(α + β) = senα·cosβ + cosα·senβ cos (α + β) = cosα·cosβ - senα·senβ etc…..

α

hy

x



CALCULO INFINITESIMAL

El cálculo infinitesimal se divide encálculo diferencialy cálculo integral. El cálculo diferencialestudia las variaciones infinitesimales de una variable. Un infinitésimo o diferencial es la cantidad matemáticamás pequeña de una variable que existe y se designa anteponiendo a la variable la letra “d”. Por ejemplo “dx”significa diferencial de la variable x . La expresión

dxdy significa variación infinitesimal de la variable “ y” con

respecto a la variable “ x” y representa la operación de “derivar”. Con cálculo diferencial se puede obtener lavelocidad de variación de una variable (la pendiente); máximos y mínimos de esas variables, entre otros. Elcálculo integral, que consiste en sumar valores infinitesimales, sirve para calcular volúmenes; áreas; energía;deformaciones y en general el valor integral de cualquier función. La operación de integrar se representa conel símbolo∫ .

Por ejemplo si la distancia recorrida por un móvil uniformemente acelerado está representada por laexpresión:

S = vo t + ½ a t2 ,

su velocidad en cualquier instante se puede encontrar diferenciando (derivando) la función S, lo que da:

t avdt

dSv o

⋅+== ,que es la tangente a la función en un punto determinado. Esto se representa en la figura de la izquierda:

Si se integra la funciónv = v o + a · t , entre dos valores de tiempo, se encuentra la distanciarecorrida entre esos instantes. La integral en cuestión es el área bajo la curva que representa la funciónvelocidad, como se muestra en la figura de la derecha. En este caso se calculó la distancia recorrida desdetiempo igual a cero, hasta tiempo igual a t1.

ESTADÍSTICA EN INGENIERÍA

La estadística es una rama de las matemáticas en que con base en un grupo finito de datos de tipoexperimental se obtiene conclusiones de tipo general. La estadística incluye la recolección; la organización yla interpretación de datos numéricos. Los ingenieros usan la estadística para:

• Calcular los errores de medición• Planificar la recolección de datos para un proyecto o estudio de ingeniería• Interpretar la incertidumbre asociada a fenómenos físicos; estructuras y productos de ingeniería• Efectuar control de calidad a insumos y productos en una planta industrial.

Los datos de tipo estadístico pueden organizarse en grupos mediante un “histograma” o “gráfico debarras”, como se muestra en la figura siguiente. Este histograma se aproxima a una distribución que puederepresentar a la “población” total en que se tomó los datos. Tal distribución se muestra en la línea continua

D i s t a n c i a r e c o r r i d a

( S )

tiempo (t)t1

Velocidad para t = t1

S = vo t + ½ a t2

v = vo + a · t

tiempo (t)

V e l o c i d a d

( v )

vo

t1

distanciarecorrida



gruesa. Esto es precisamente la suposición básica de la estadística, es decir que unos pocos datos puedenrepresentar a una población total.

El histograma en cuestión se construyó con el número de calzado de un curso de estudiantes de 17años, que se encuentra tabulado a la derecha. En base a la estadística se puede suponer que la distribución detamaño del calzado de todos los estudiantes de diecisiete años se puede representar por la curva continua quese muestra.

Variables estadísticas más comunes. Las variables estadísticas mas usadas son aquellas que permitencaracterizar una población en base a una muestra de tal población, es decir, tomando parte de la poblacióntotal. Estas son:- Media aritmética. Es el valor promedio de los datos. Se puede evaluar en b ase a la expresión:

n

x x i∑=

En el ejemplo presentado aquí, la media del tamaño del calzado es entonces:28.40

36451441433425416407396384372361 =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= x

- Mediana. Es el punto situado en la mitad de los datos, ordenados por tamaño. En nuestro caso lamediana es 40.5

- Moda. Es el valor más repetido. En este caso la moda es 40.

- Dispersión o desviación estándar. Es una medida convencional de cuan agrupados o dispersos estánlos datos. Se calcula mediante la expresión:

1)( 2

−−= ∑

n

x xs i

En el ejemplo presentado, la desviación estándar es 2.05Distribución normal. Se ha encontrado que los eventos que se agrupan en torno a una media, lo hacen conuna distribución semejante, que se denominadistribución normal. Algunos ejemplos que permiten visualizaresto son:- La distancia al centro de un blanco al que se dispara- La longitud de un grupo de estacas de madera, cortadas con hacha a cierta medida- La distribución de estaturas de la población adulta de un país

4342414039383736 4544

6

5

4

3

2

1

8

7

Medida del calzado

C a n

t i d a d

d e p e r s o n a s

# de calzado # de estudiantes36 1

37 238 439 640 741 642 543 344 145 1



La distribución normal se expresa mediante la siguiente formulación matemática:

2

2

2)(

21)( σ

µ

πσ

−−=

x

e x f

en esta expresión “x” es el valor de cada uno de los eventos;µ es el valor promedio yσ es ladesviación estándar.

Graficando la expresión de la distribución normal se obtiene una curva como la de la figura inferior

Curva normal estándar. La curva normal se ha estandarizado para estudiar bajo los mismos patronescualquier población con esa distribución, para ello se usa la variable z = (x - µ) / σ . Si µ = 0 y σ = 1 , laexpresión de la curva normal es:

22

21)( ze z f −=π

su representación gráfica es:

Esta curva tiene algunas propiedades especiales, entre ellas:• El área bajo la curva vale 1• Entre los valores z = –1 y z = 1 se tiene el 68.26 % del área

(eso significa que entre x -σ y x +σ se tiene el 68.26% de los casos en cualquierdistribución normal)

• Entre los valores z = - 2 y z = 2 se tiene el 95.44% del área• Entre los valores z = - 3 y z = 3, se tiene el 99.74% del área

La siguiente tabla muestra el área acumulada debajo de la curva, hasta un valor z, tal como semuestra en la figura inferior. Esta tabla permite calcular la cantidad de casos que están por debajo del valor xen cualquier distribución normal.

z → 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50área → 0.5000 0.6915 0.8413 0.9332 0.9772 0.9938 0.9987 0.9998

x

(x)

µ

σ

z

(z)

0

σ

1-1-2

z- ∞



ANÁLISIS GRÁFICO.

La representación gráfica de las ecuaciones matemáticas da una gran cantidad de informacióncondensada. Ya se vio que puede representarse gráficamente el movimiento de un móvil y que en esa gráficala tangente en cualquier punto representa la velocidad instantánea. Mucha de la información que maneja uningeniero está en la forma gráfica propia de la geometría analítica. En ese caso basta una mirada; unamedición fácil o un pequeño cálculo para determinar una relación; un máximo o una tendencia de la variabledependiente. Ya se dijo que en geometría analítica las líneas se representan por ecuaciones y a la inversa, lasecuaciones están representadas por líneas. Conviene conocer las ecuaciones de las líneas más importantes,estas son:

• Ecuación de la recta y = m x + b• Ecuación de la parábola y = a xm + b• Ecuación de la hipérbola y = a x-m • Curvas exponenciales y = a enx ; y = a e-kx ; y = a ek/x .....

Línea recta. En la figura inferior se muestra una línea recta en coordenadas cartesianas (ejes “x” e “y”). En laecuación de la recta (y = mx + b), “m” representa la pendiente o inclinación respecto al eje x y “b” es el puntoen que la recta corta al eje “y”, tal como se muestra.

En las figuras de la derecha se muestran curvas de distinta pendiente y distinto valor de “b”. Operarcon líneas rectas o con sus ecuaciones es sencillo. Para encontrar la intersección de dos rectas, basta resolverun sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, por ejemplo:

recta 1: y = 3 x + 3recta 2: y = -2 x + 5

Si dos rectas tienen el mismo valor de “m”, son paralelas. Ej: y = 0.3 x + 4; y = 0.3 x – 2.

Dos rectas son perpendiculares si m1 · m2 = -1

Parábola. Una parábola se representa con la ecuación: y = a xm + b , en que m > 0. Si “b” es cero, laparábola pasa por el origen. Si el exponente “m” es mayor que uno, la parábola es cóncava hacia arriba y si m< 1, la parábola es cóncava hacia abajo, como se muestra en la figura.

b

m =∆y / ∆x

x

y m > 0b > 0

m < 0b > 0

m > 0b < 0

m = 0b > 0

xx

x x

y

y

y

y

3x + 3 = - 2x + 5→5x = 2 →x = 0.4 ; y = 4.2

1

1

x

y

y = x2

1

4

1 2

2

3

3

x

y

y = x0.5

1

1

2

2

3

3

4



Para dibujar una parábola a partir de su ecuación, se asigna valores a “x” y se obtiene loscorrespondientes valores de “y” y se tabula esos valores. La misma operación se hace para construir unahipérbola o cualquier otra curva, excepto una recta, en que basta conocer dos puntos o un punto y lapendiente, para trazarla.

Ejercicio. Dibujar la hipérbola: y = 3 x–2

Tabla de valoresx y

0.11234

3003

0.750.330.19

USO DEL PAPEL LOGARÍTMICO Y SEMILOGARÍTMICO

Una curva de orden superior puede “linealizarse” al usar logaritmos. Esto permite dibujarla másfácilmente, ya que es más fácil trazar una recta que una curva en coordenadas cartesianas. La misma hipérboladel ejemplo anterior, al aplicar logaritmos se transforma en una recta, como se muestra a continuación.

Al graficar la expresión z = 3 v–2 en papel “log – log”, se obtiene la misma recta que al graficar laexpresión y = -2 x + 0.477 en papel milimetrado.

Mucha información se da en papel semilog o en papel log – log. Manejar la información entregadaen esta forma es muy útil para el estudiante de ingeniería y para el ingeniero. A menudo se usa escala linealen ordenadas y logarítmica en abscisas, pues en escala lineal en este eje, los gráficos serían muy grandes ypoco precisos. En esta última forma se entregan las “curvas S – N” o de Wöhler para fatiga y las “CurvasTTT”, para tratamientos térmicos.

1

3

2

1

x

y

432

y = 3 x–2

y xb m

z = 3 v –2 → log z = log 3 - 2 log v

y = -2x + 0.477

100

10

1100101

2010

10

0

v

z y

x

y = -2x + 0.477

z = 3 v–2



VECTORES

Los vectores son expresiones matemáticas que tienen módulo; dirección y sentido. Se usan, paraoperar con magnitudes físicas que; como la fuerza y la velocidad, también tienen medida dirección y sentidoUn vector se representa con una flecha, tal como se muestra en la figura inferior.

Operaciones con vectores. Los vectores se pueden sumar; restar y multiplicar.

Suma de vectores: Dos vectores de igual dirección y sentido, se suman, sumando sus módulos ymanteniendo la dirección y el sentido, tal como muestra la figura inferior:

Nota: normalmente se designa un vector con una letra y sobre ella se coloca una flecha, así:V . Pero porfacilidad para escribir se indicará los vectores con letra negrita y los valores numéricos o escalares sin negritaEntoncesV ; A; C; i ; j ; kson vectores y V ; A, C ; i ; j ; k , son escalares, es decir valores numéricos.

Dos vectores de distinta dirección se suman usando la regla del paralelogramo, tal como se muestraabajo, al centro o colocando el origen del segundo vector al extremo del primero, como se muestra a laderecha

La resta de vectores corresponde a la suma de un vector con el valor negativo del otro

Expresión de los vectores en términos de sus componentes. Todo vector se puede descomponer en vectoresmutuamente perpendiculares, en la dirección de los ejes cartesianos, cuya suma por el método ya indicado dacomo resultado el vector. Esto se muestra en la figura siguiente, en que V cosα es el módulo de lacomponente en la dirección del eje x y V senα es el módulo de la componente en la dirección del eje y.

dirección

Sentido (de izquierda a derecha)

Módulo (medida)

+ =V1 V2 V1 + V2

B

A A + BA

B

AA + B

B

AA - B

B-B



En la figura se puede apreciar queVx + Vy = V y que el módulo deVx es V cosα. Otra manera deexpresar los vectores en términos de sus componentes es a través de los vectores unitariosi y j que se indicaen la figura de la derecha, así el vectorV = V cosα i + V senα j , o mas sencillamenteV = a i + b j ,como se muestra en la figura de la derecha. Esta última forma de expresar los vectores facilita lasoperaciones, ya que siV1 = a1 i + b1 j y V2 = a2 i + b2 j , entoncesV1 + V2 = (a1 + a2) i + (b1 + b2) j .

Ejercicio 1. Sumar los vectoresA = 3 i + 2 j con el vectorB = 2 i - 3 j .

Resultado: El vector A + B = 5 i - j

Ejercicio 2. Se desea que un bote atraviese en sentido transversal un río que fluye a una velocidad de 2 m / sy el bote navega a una velocidad de 5 m / s. Determine la velocidad real del bote y la dirección en que navegavisto por un espectador desde la orilla.

Solución y resultados.La velocidad del río esVr = 2 i y la velocidad del bote esVb = 5 j , entoncesVR = 2 i + 5 j es la

velocidad del bote para el espectador que está fuera del río.

La dirección de navegación seríaθ = Arctg (5 / 2) = 68.2º.

La rapidez, esto es,|VR| = 22 52 + = 5.39 m / s

Multiplicación de vectores. Hay dos tipos de multiplicación de vectores, estos son: multiplicación escalar o“producto punto” y multiplicación vectorial o “producto cruz”. El resultado de la primera es un escalar y elproducto de la segunda es un vector perpendicular al plano formado por los vectores que se multiplican.

Producto punto. A · B= A B cosα , en que A y B son los módulos de los vectores yα es el ángulo entreellos. De esta expresión es fácil deducir que el producto escalar entre dos vectores perpendiculares es cero,pues cos(90º) = 0, y que el producto punto entre dos vectores paralelos es el producto de sus módulos, pues

V

a

b

y

xi jα

V

V cosα

V senα

y

xVx

Vy

VrVb

VR

y

x

θ



cos(0º) = 1. Si se expresa los vectores en términos de los vectores unitariosi y j , tenemos quei · i = 1 y que i · j = 0. Si multiplicamos escalarmente entre si los vectores del ejercicio 1 (A = 3 i + 2 j , B = 2i – 3 j),tenemosA · B = 3·2 + 2·(-3) = 0. esto indica que esos vectores son perpendiculares entre si.

Ejercicio. Encuentre el ángulo entre los vectoresV1 = 5 i + 3 j y V2 = i + 2 j

De la expresión de producto puntoA · B= A B cosα, se encuentra que:

α = Arcos (A · B/ A B), entonces:846.0cos

23.283.511cos

4192565cos

21352315cos

2222 Ar Ar Ar Ar =

⋅=

+++=

++⋅+⋅=α

α = 32.21º

El producto punto se puede interpretar como la proyección de uno de los vectores, sobre el otro, talcomo se muestra en la figura inferior.

Producto vectorial. El producto vectorial entre dos vectoresA y B, se define como n ABsen B Av

α=× . Porcomodidad para escribir, el vectorn se designará porn y la cruz de multiplicación se reemplazará por la letra“x ”. El producto vectorial de dos vectores es otro vector, perpendicular a ambos, como se muestra en la figurasiguiente:

Si se expresa los vectores en términos de los vectores unitariosi ; j y k , en la multiplicaciónvectorial se cumple: i x i = 0 : j x j = 0 : k x k = 0 ; i x j = k ; j x k = i ; k x i = j , j x i = -k ;k x j = - i , y cualquier otro producto que no esté en el ordeni j k i j ..., es negativo. Se denominaproducto cruz, pues se hace multiplicación cruzada, como se muestra en el ejemplo siguiente:

Ejemplo: Si A = 3 i + j y B = 2 i + 3 j , determinarA x B

θ

P

QP cosθ

P · = P cosθ

A = 3 i + j B = 2 i + 3 j

A x B = 9k - 2 k = 7k

AB

A x Bn A x B n



El método para multiplicar vectorialmente consiste en resolver el siguiente determinante:

Este determinante se resuelve aplicando la siguiente regla: Se repite la primera y la segundacolumnas y se multiplica en diagonal. Todos los productos obtenidos por multiplicación diagonal hacia abajoson positivos y los obtenidos por multiplicación diagonal hacia arriba son negativos. Esto se muestragráficamente a continuación:

Ejemplo: Multiplicar los vectoresA = 3 i + 2 j + k con B = i + 3 j + 2k

EntoncesA x B = i - 5 j + 7k

LEYES DE NEWTON

Las leyes de Newton constituyen la base de la física mecánica. Ellas son:• Primera ley: Todo cuerpo que está en reposo , tiende a permanecer en reposo y todo

cuerpo que está en movimiento permanecerá en movimiento rectilíneo uniforme, a menosque una fuerza altere su estado de movimiento. (ley de la inercia)

• Segunda ley: Si se aplica una fuerzaF a un cuerpo de masa m, este adquiere unaaceleracióna = F / m. Expresada de otra forma esta ley dice queF = ma

• Tercera ley de Newton: A toda acción (fuerza), se opone una reacción de igual magnitud,pero de sentido contrario a la fuerza aplicada. (ley de acción y reacción)

MOMENTOS

Momento de una fuerza respecto a un punto. El momento de una fuerza respecto aun punto se define

como: Mo = r x F (en quer es un vector que une el punto con el origen de lafuerza y se le denomina “radio vector)

Este momento se puede calcular resolviendo el determinante:

i j ka1 b1 c1a2 b2 c2

i j ka1 b1 c1a2 b2 c2

i ja1 b1 a2 b2

+ + +

- - -

i j k i j3 2 1 3 21 3 2 1 3

= 4 i + j + 9k - 2k - 3 i - 6 j = i- 5 j + 7k

i j k x y zFx Fy Fz

Mo =



El momento respecto a un punto se puede representar como se indica en la figura:

Momento de una fuerza respecto a un eje

El momento de una fuerza respecto de un eje es la proyección del momento especto a un puntocontenido en el eje, en la dirección del eje. Se calcula mediante la expresión:

MOL = λ · Mo = λ · (r x F) =

El momento respecto a un eje se representa de la siguiente forma:

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

Un diagrama de cuerpo libre es la representación de un elemento estructural en equilibrio y aislado,en que todas las reacciones a las cargas aplicadas se reemplazan por fuerzas y eventualmente momentos.

Por ejemplo el diagrama de cuerpo libre de la viga de la figura se representa a la derecha.

O

F

r

z

y

x

R: radio vectorF: FuerzaO: Origen o posición

del punto

λx λy λz x y zFx Fy Fz

eje

λ Mo

r

F

z

y

x

5000 N5000 N 10000 N10000 N

BB AA

RByRAy

RAx CC

Viga cargada Diagrama de cuerpo libre de la viga

calculos en la ingenieria y elementos de mecanica(2)(2)

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