cálculo poliádico tomo i volume ii

LIÇÕES

DE

CÁLCULO POLIÁDICO

TOMO I - ÁLGEBRA VOLUME II por

Elysio Roberto Figueiredo Ruggeri

Engenheiro Civil pela Escola de Minas de Ouro Preto Furnas Centrais Elétricas SA

Centro Tecnológico de Engenharia Civil

Goiânia 2013

II

© 2013 - Elysio R. F. Ruggeri Projeto gráfico e ilustrações: Elysio R. F. Ruggeri Editoração eletrônica: Elysio R. F. Ruggeri Capa: Luciano Dalmiglio, Alexandre de Castro Pereira e Elysio R. F. Ruggeri

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

Qualquer parte desta publicação pode ser reproduzida, desde que citada a fonte em cada página da reprodução. Contato com o autor: [email protected]

Ruggeri, Elysio Roberto Figueiredo. Lições de Cálculo Poliádico: tomo I, volume II, álgebra / Elysio Roberto Figueiredo Ruggeri. – Goiânia : Ed. do Autor, 2013. XX, 447 p. ISBN 978-85-907001-1-1 1. Análise tensorial. 2. Leis físicas lineares. 3. Matemática aplicada. I. Título. CDU 514.742

Poliádicos - Ruggeri

III

PREFÁCIO No volume I desenvolvemos os conceitos e as operações básicas com os mais simples dos poliádicos, os vetores e os diádicos, apontando a utilidade deles em Física sem, entretanto, fazer aplicações diretas, quase todas já conhecidas desde os tempos de Gibbs. Neste volume II, por um lado, desenvolvemos o Cap. IV – POLIÁDICOS, uma álgebra multilinear particular na visão dos matemáticos – com uma preocupação físico-matemática quase desesperada. Com efeito, do ponto de vista matemático devíamos estender conceitos e definições que generalizassem coerentemente conceitos anteriores; do ponto de vista físico, as operações deviam prestar-se à já anunciada pretensão de representação analítica das leis físicas. Para tal, fomos socorridos, em muito, por pré-claros autores de obras magistrais e de requintado conteúdo. Mas devemos estar alertas para o fato de que a Física à qual nos referimos é apenas linear na imensa maioria das vezes, ou seja, nessa Física, cartesianamente falando, “as componentes de uma grandeza física são proporcionais a todas as componentes de outras grandezas físicas”. Isso é o mesmo que dizer que, nessa Física, as leis são lineares ou, ainda, que uma grandeza física – representada por um poliádico de certa valência – é "ponderadamente proporcional" a uma ou mais grandezas – representadas por outros poliádicos de diferentes valências. Não é só essa proporcionalidade ponderada que as operações estudadas neste Tomo I se prestam a traduzir com simplicidade, mas também os casos de dependência entre as grandezas em qualquer grau. Com essas operações podemos também e principalmente, com ampla generalidade e rara simplicidade, formular a Física Não Linear. Muitos desses assuntos têm sido expostos com a utilização do Cálculo Tensorial na sua forma clássica. Por outro lado, do ponto de vista matemático, o desenvolvimento foi feito sem podar as asas da imaginação. Por força de estilo, pela suspeita da utilidade prática que pudesse vir a ter as nossas lucubrações e para ser bem leal ao leitor, devemos confessar que nem todas as operações definidas (§06 e §09) satisfazem ao importante requisito da utilidade imediata direta, mas apenas indireta. Definimo-las por analogia com outras, mas intuitivamente sentimos que em algum instante do desenvolvimento da física poderão (mais diretamente) ser necessárias. A situação é mais ou menos como a de Mendelyev que, ao sentir a falta de certos elementos em sua classificação periódica, ousou predizer a existência deles e algumas de suas propriedades; ou como aquela do descobrimento de certos cristais cuja simetria helicoidal fora antecipadamente estabelecida como "matematicamente possível". No Cap. IV podemos destacar alguns tópicos como inéditos: 1º) – a feliz concepção (§03.04) da associação de matrizes a poliádicos (por apelo ao conceito clássico de submatrizes ou blocos); 2º) – a ampliação da operação de dupla multiplicação ponteada de matrizes (já apresentada de forma preliminar no Cap. II) relacionada com a multiplicação ponteada múltipla de poliádicos (§06.02); 3º) – a concepção unificada dos tensores cartesianos por métodos poliádicos (§06.05); 4º) – a introdução dos conceitos de norma, módulo e ângulo de dois poliádicos (§06.06), o que caracteriza o espaço dos poliádicos como euclidiano (no sentido da Álgebra Linear); 5º) – um estudo mais geral da isomeria – termo provavelmente introduzido por Sirotin e Chaskolskaya (bibliografia [2] do Cap. IV) – como uma generalização da operação de transposição dos diádicos (§07); 6º) – a elementar e generalíssima concepção de poliádico unidade (§08.01); 7º) – a “tabuada do um” (§08.04), que dá os produtos de poliádicos unidade de diferentes valências; 8º) – o estudo do “poliádico desvio” ou desviante (§08.05), adaptado da obra de Drew (bibliografia [1] do Cap. IV), generalização do clássico tensor desvio (de ordem 2) utilizado em Elasticidade e

IV

Plasticidade. Estudos originais são apresentados no §09 relativos ao conceito de espaço poliádico, ao de bases poliádicas recíprocas, às operações de multiplicação cruzada, à dupla multiplicação cruzada e à multiplicação mista de vários poliádicos, que generalizam as noções correlatas já estudas para os diádicos no §10 do Cap. II. Também originais são a pesquisa dos invariantes de um poliádico (§10), a definição de poliádico completo e seu G-ésimo (§11) e a extensão aos poliádicos (§13) dos conceitos de adjunto, segundo, inverso e principal (conceitos estes já definidos por Gibbs e Moreira para os diádicos (§08, II)). Muitos desses assuntos foram desenvolvidos como preliminares à solução do problema da determinação dos autovalores e dos autopoliádicos de dado poliádico (de valência par), uma generalização do problema clássico com diádicos. Sobre os Elementos Característicos de Poliádicos (§14), cujo desenvolvimento parece depender fortemente da teoria clássica dos polinômios, não fizemos mais que interpretar geometricamente os coeficientes da equação característica de um poliádico de valência par e demonstrar o teorema CH (Caylei-Hamilton). Sabemos, porém, que diádicos e tetrádicos estão presentes nas expressões analíticas das diferentes leis que descrevem os fenômenos naturais. Ora, se, na prática, os autovalores e os autovetores de um diádico desempenham sabidamente importante papel no estudo desses fenômenos, porque não desempenharão, igualmente, os autovalores e os autodiádicos de um tetrádico? Podemos perguntar, por exemplo, em primeira instância: qual o significado (teórico e aplicado) dos autovalores e autodiádicos do tetrádico das constantes elásticas na Lei de Hooke da Teoria Linear da Elasticidade? Não reconhece o leitor que essa pergunta, teoricamente cabível, merece uma resposta judiciosa? Dentro dessa mesma linha de raciocínio – discussão do valor aplicado de generalizações de conceitos simples de reconhecida utilidade prática – devemos citar, também, o conceito de poliádico desvio (§08.05). É conhecido o valor do conceito de diádico desvio (para tensões e deformações, pelo menos) em relação às suas partes escalares, nas teorias da elasticidade e plasticidade. Não terão, também, por exemplo, os tetrádicos desvio (dos tetrádicos de Green, de Riemann-Christofel, de Hooke, apresentados neste volume), em relação às suas partes escalares e diádicas principais, algum valor prático nas respectivas teorias em que aparecem? Concebemos neste volume o tetrádico cíclico, ampliando o estudo das rotações com os tetrádicos de rotação (§14.04), estes já apresentados por Drew (o. c.) por outras vias. Não foi difícil conceber o poliádico de rotação (§15) com valência (inteira) igual a 2k para k>2. Além dos tetrádicos especiais apresentados (cuja nomenclatura, espera-se, seja do agrado do leitor), aparecem os conceitos de simetria externa dos tetrádicos, isto é, tetrádicos com planos de simetria (§17.01) e com eixos de simetria (§17.02), que atendem as necessidades práticas correspondentes a muitos materiais naturais e, mesmo, artificiais. Com os tetrádicos cíclicos, entretanto, abre-se uma nova (e mais geral) possibilidade de simetria externa de tetrádicos, cuja utilidade na física ainda não se conhece. Com o que até aqui foi apresentado e com a operação de dupla multiplicação ponteada matricial o leitor poderá, por exemplo, avaliar com facilidade as possibilidades de aplicação dessas concepções na Teoria da Elasticidade e, mesmo, expressar a clássica equação constitutiva do sólido de Hooke (§17.02). É fácil empregar esses mesmos conceitos noutras áreas da Física. Fechando a apresentação do Cap. IV devemos considerar, ainda, que é necessário


V

pesquisar uma interpretação geométrica das operações ponteadas e cruzadas múltiplas com poliádicos, muito semelhantes à da interpretação da multiplicação ponteada entre diádico e vetor, de resultado vetor, base da Geometria da Transformação Linear. O estudo dessa matéria – não tão elementar quanto possa parecer – precisa ser mais desenvolvida para superar o que já foi realizado nos §’s 15 e 16 do Cap. II. Numa primeira investida essas interpretações geométricas poderiam ficar restritas apenas às multiplicações ponteadas simples entre um triádico e um vetor (de resultado diádico), entre um tetrádico e um vetor (de resultado triádico) etc.. Muitas surpresas poderiam originar-se dessas pesquisas, pelas quais os físicos certamente se interessariam; estão ligadas à geometria da transformação multilinear, uma ampliação natural do Cap. III desta Álgebra, em que provavelmente se fariam necessárias certas reduções canônicas (para facilitar a descrição das transformações) e, possivelmente, uma classificação geral dos poliádicos. O capítulo V é dedicado aos poliádicos complexos. Os conceitos básicos sobre os números complexos são revistos (Ap. I) para facilitar o entendimento de sua aplicação no estudo de oscilações e composição de movimentos oscilatórios unidirecionais (Ap. II). A composição desses movimentos em duas ou em três direções exige a introdução dos vetores complexos associado a diádicos reais (§01 a §05); mas isto pode não representar toda a utilidade desses vetores. A analogia dos conceitos pode ser estendida aos diádicos complexos associados a tetrádicos reais (§06) e aos poliádicos complexos em geral (§07); ambos os temas foram apresentados de modo bem superficial. A introdução de poliádicos complexos permite explorar de modo mais objetivo a questão dos autodiádicos dos tetrádicos cíclicos e de rotação (§08), assunto já iniciado no (§14.04,IV). Fecha-se o Capítulo V com o estudo da redução normal do tetrádico completo (§09), sua decomposição polar (§10), e uma menção aos tetrádicos definidos e semidefinidos (§11). Quando se dão aos poliádicos representações cartesianas em bases convenientes, é possível expressar em forma matricial todos os conceitos vistos. Se as relações entre poliádicos são lineares e se as bases utilizadas são poliádicas, os temas podem ser vistos como na “álgebra linear” a muitas dimensões. Um dos valores da álgebra dos poliádicos está em estar ela sempre traduzindo questões de geometria entre espaços de diferentes dimensões, questões essas que vêm sendo induzidas desde a geometria euclidiana de uma, duas e três dimensões, como no volume I. É óbvio que não podemos considerar este trabalho como livro texto para algum curso, mas como relato de aprendizado, pesquisa solitária, curiosidade e de estudos realizados por pelo menos três décadas (de forma bastante intermitente). Acrescento a essas observações que o estudo de muitos temas e aplicações não estão aqui concluídos. Lamentavelmente a flecha implacável do tempo impõe dar-se a esse trabalho algum paradeiro.

VI

CONVENÇÕES

Numerações diversas (já utilizadas no Volume I) Os capítulos, numerados seqüencialmente em romano, são compostos por parágrafos e estes por subparágrafos numerados seqüencialmente em arábico. As páginas são numeradas seqüencialmente, em arábico, por capítulo. As figuras são numeradas seqüencialmente dentro de cada parágrafo e de cada capítulo. Assim, Fig. 02.03 significa a terceira figura dentro do § 02 do capítulo onde foi feita essa referência (podendo existir figuras com o mesmo número em diversos capítulos). A referência Fig. 02.03, III, feita em qualquer capítulo que não o III, é relativa à terceira figura do § 02 do capítulo III. As fórmulas são numeradas seqüencialmente, em arábico, dentro de cada parágrafo ou subparágrafo, conforme as conveniências; esses números são dispostos entre parênteses. Quando derivam diretamente de uma mesma fórmula (a matriz), são representadas com o mesmo número desta, acompanhado de um sub-índice; assim (021) é uma fórmula que deriva de (02). Um conjunto de fórmulas pode ter um mesmo número. Como regra, imaginando-as numeradas mentalmente da esquerda para a direita, ou de cima para baixo, na seqüência 1,2,..., a referência à fórmula de ordem N do conjunto a que pertence será feita indicando o número N, como sub-índice, à direita e externamente aos parênteses que envolvam o número do conjunto. Assim, (03)2 representa a segunda fórmula do conjunto (03).

Citações e Referências Durante a leitura do texto o leitor será ajudado relativamente à localização de conceitos, fórmulas, figuras etc. que estejam sendo referidas ou citadas; isto será feito com a indicação entre parênteses, do parágrafo ou subparágrafo onde se encontre o referido conceito, ou fórmula, ou assunto. Assim, por exemplo, apesar de alguma redundância, ((02)3,§03.02,Cap.II,Vol.I) representa: a terceira fórmula do grupo de fórmulas (02), apresentada no segundo subparágrafo do § 03 do capítulo II do volume I. As referências, ou apelos, a fórmulas, conceitos etc. contidas dentro do capítulo em que se faz a referência serão desprovidas da indicação do capítulo.

ABREVIATURAS CNS - Condição necessária e suficiente (CsNsSs para o plural), página 20. EN - Espaço vetorial euclidiano N dimensional, página 9. Teor. - Teorema, página 7. Corol. - Corolário, página 8. Propr. - Propriedade, página 75. nsn - Não simultaneamente nulo, página 92. min - Minorante, Pmin (polinômio mínimo), página 86, 250. sen, co-sen, tg - linhas trigonométricas circulares, páginas 52.


VII

SIMBOLOGIA E NOTAÇÕES GERAIS (Notações não apresentadas no Volume I)

SÍMBOLOS REPRESENTAÇÃO TOM PÁGINA

[ ]ALPMQ :[B]

PQ Duplo produto ponteado de matrizes multiordinais Natural 33

[4ΙΙΙΙ] Matriz unidade de ordem 4 Negrito 73

Airk, Airk, Birk, ... Coordenadas de triádicos Natural 1, 13

Ahijk, Ahijk, ... Coordenadas de tetrádicos Natural 16

(aa*,φ), 4(aa*,φ) Diádico cíclico, tetrádico cíclico Negrito 169,170

A L F A B E T O L A T I N O

Pφφφφ Poliádico φφφφ de valência P (P=3, 4, ...) Negrito 3

[2Qφφφφ] Matriz associada ao poliádico 2Qφφφφ Negrito 16

2QΙΙΙΙ Poliádico unidade de valência 2Q (Q=2, 3, ...) Negrito 71

PΟΟΟΟ Poliádico nulo de valência P (P=3, 4, ...) Negrito 21

P+Qφφφφ Poliádico φφφφ de valência P+Q Negrito 4

4ΩΩΩΩ(i,ϕ) Tetrádico de rotação (de eixo i e ângulo ϕ) Negrito 170, 1724

TRPr

φφφφ , TRPs

φφφφ Transposto de R vetores de Pφφφφ para montante (→), ou para jusante (←), e posto T.

Natural 54

RPr

φφφφ RPs

φφφφ Transposto de R vetores de Pφφφφ para montante (→), ou para jusante (←)

Natural 54

||Pφφφφ|| Norma do poliádico ||Pφφφφ|| - 52

QP &φφφφ Potência ponteada Q-pla de Pφφφφ Negrito 38

ψψψψφφφφ QRP o

Produto R-plo de Pφφφφ por Qψψψψ (ponteado ou cruzado) Negrito 27

P P Q φφφφ χχχχ= ΛΛΛΛ ( ) Função P-ádica linear de argumento Q-ádico Negrito 42 r sP P e φφφφ φφφφ P-ádicos reversos Negrito 55

TSQRPsr

φφφφ Transposição composta com Pφφφφ Natural 56

χχχχψψψψφφφφ RSQTP ×• Produto misto de poliádicos Negrito 68 A(maj Pφφφφ) A-ádico majorante de Pφφφφ Negrito 86 A(min Pφφφφ) A-ádico minorante de Pφφφφ Negrito 86

devA Pφφφφ Poliádico desvio de Pφφφφ em relação à sua parte A-ádica principal

Natural 89

fatA Pφφφφ) Fator desviante de Pφφφφ para A-ádicos Natural 89

εεεε* Base diádica definida por diádicos εεεε1, εεεε2, ... Negrito 116

A L F A B E T O G R E G O

VIII

ÍNDICE PREFÁCIO ....................................................................................................................................................... III CONVENÇÕES................................................................................................................................................ VI SIMBOLOGIA E NOTAÇÕES GERAIS.......................................................................................................... VII

CAPÍTULO IV

POLIÁDICOS

§ 01 - POLIÁDICOS DE VALÊNCIA P........................................................................................................... 1 § 01.01 - Vetores e diádicos. ........................................................................................................... 1 § 01.02 - Geração de triádicos. ........................................................................................................ 2 § 01.03 - Geração de tetrádicos. ...................................................................................................... 2 § 01.04 – Poliádicos: geração, notação, nomenclatura. ................................................................... 3

§ 02 - OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS. ........................................................................................................ 4 § 02.01- Multiplicação de poliádico por número real...................................................................... 4

Produto de triádico por número real............................................................................... 4 Produto de poliádico por número real. ........................................................................... 5

§ 02.02 - Adição de poliádicos. ....................................................................................................... 5 Soma de poliádicos ........................................................................................................ 5 Combinação linear de poliádicos ................................................................................... 6

§ 02.03 - Multiplicação ponteada entre poliádico e vetor................................................................ 6 Produto ponteado de poliádico por vetor........................................................................ 6 Função linear de argumento (ou variável) vetor e valor diádico..................................... 7 Função linear de argumento vetor e valor poliádico....................................................... 7

§ 02.04 - Igualdade de poliádicos. ................................................................................................... 8 § 03 - REPRESENTAÇÕES Ni-NOMIAIS DE POLIÁDICOS........................................................................ 9

§ 03.01 - Representações N-nomiais de triádicos............................................................................ 9 § 03.02 - Representações N2-nomiais de triádicos........................................................................... 12 § 03.03 - Representações N3-nomiais de triádicos........................................................................... 13 § 03.04 - Representações Ni-nomiais de poliádicos......................................................................... 14

Matriz associada a poliádico em base vetorial ............................................................... 16 Representações mistas e não mistas de 2H-ádicos. ........................................................ 19

§ 04 - POLIÁDICO NULO. .............................................................................................................................. 20 § 05 - CASOS DE IGUALDADE DE POLIÁDICOS. ...................................................................................... 22 § 06 - MULTIPLICAÇÃO DE POLIÁDICOS. ................................................................................................. 24

§ 06.01 - Multiplicação simples. ..................................................................................................... 24 § 06.02 - Multiplicação múltipla simples e dupla de poliádicos e matrizes..................................... 25

Propriedades................................................................................................................... 26 Caso de igualdade de poliádicos .................................................................................... 30 Matriz associada a produtos ponteados.......................................................................... 31 Multiplicação múltipla dupla ......................................................................................... 37 Propriedades dos produtos duplos (P+Q)-plos ............................................................... 38

§ 06.03 - Potenciação de poliádicos. ............................................................................................... 38 Propriedades................................................................................................................... 39 Potenciação ponteada poliádica e potenciação matricial................................................41

§ 06.04 - Função poliádica linear e argumento poliádico. ............................................................... 41 § 06.05 – Tensores cartesianos de ordem qualquer ......................................................................... 46 § 06.06 - Norma e flecha de poliádico. Ângulo de dois poliádicos. ................................................ 50

§ 07 - POLIÁDICOS ISÔMEROS. ................................................................................................................... 52 § 07.01 - Transposição múltipla para montante e para jusante. Reversão. ...................................... 52

Fórmulas de transposições compostas sobre um triádico e seu reverso.......................... 59 Fórmulas de transposições compostas sobre um tetrádico e seu reverso, ....................... 59

§ 07.02 - Expressões de produtos múltiplos de políades isômeras................................................... 63 Políades quaisquer, de valências diferentes.................................................................... 63 Políades quaisquer, de mesma valência.......................................................................... 64


IX

Produtos múltiplos ponteados ou cruzados com três poliádicos..................................... 66 Casos particulares .......................................................................................................... 69 Produtos duplos (P+Q)-plos. .......................................................................................... 69

§ 07.03 – Matrizes isômeras............................................................................................................ 70 § 08 - POLIÁDICO UNIDADE. ....................................................................................................................... 70

§ 08.01 - Definição e propriedades.................................................................................................. 70 Matriz associada ao tetrádico unidade ........................................................................... 73 Propriedades do poliádico unidade. ............................................................................... 75 A transposição: uma multiplicação ponteada. ................................................................ 77 Propriedades da transposição sobre poliádicos unidade.................................................78

§ 08.02 - O escalar (ou ponteado) e o Q-vec de um 2Q-ádico. ........................................................ 79 §08.03 - Isômeros distintos do poliádico unidade ........................................................................... 82 § 08.04 - A tabuada do um. ............................................................................................................. 83 § 08.05 - Poliádico desvio. .............................................................................................................. 86

A-ádicos majorantes e minorantes de um poliádico....................................................... 86 Parte A-ádica principal de um poliádico ........................................................................ 88

§ 09 - ESPAÇO POLIÁDICO. BASES. OPERAÇÕES.................................................................................... 91 § 09.01 - Espaço poliádico. ............................................................................................................. 91 § 09.02 - Bases poliádicas recíprocas. Representações G-nomial e cartesiana. ............................... 97

Constituição de bases..................................................................................................... 100 Cálculo cartesiano de sistemas recíprocos...................................................................... 102 Isômeros do hexádico unidade e seus recíprocos ........................................................... 103 Novas operações com poliádicos de um espaço G-dimensional..................................... 104

§ 09.03 - Multiplicação cruzada múltipla de poliádicos.................................................................. 104 Propriedades................................................................................................................... 105 Cruzado e Q-vetor de um 2Q-ádico................................................................................ 105

§ 09.04 - Multiplicação cruzada múltipla dupla de poliádicos. ....................................................... 106 § 09.05 - Multiplicação mista múltipla de poliádicos...................................................................... 107

Propriedades:.................................................................................................................. 108 § 09.06 – Algumas considerações sobre a geometria do espaço poliádico. ..................................... 113

Transformações Lineares entre espaços poliádicos ........................................................ 113 Cálculo do operador de uma Transformação Linear.......................................................115 Equações poliádicas. ...................................................................................................... 116 Simplex e baricentros..................................................................................................... 117 Trigonometria Plana e Esférica do espaço poliádico...................................................... 117 Projeções no espaço dos 2H-adicos. 2H-adicos menores. .............................................. 117

§10 - INVARIANTES DOS POLIÁDICOS. ..................................................................................................... 120 § 10.01 - Invariância do escalar, do Q-vec e do cruzado de um 2Q-ádico....................................... 120 § 10.02 - Invariantes primários........................................................................................................ 122 § 10.03 - Invariantes secundários. ................................................................................................... 129 § 10.04 - Invariantes P-ários............................................................................................................ 130

§ 11 - POLIÁDICO COMPLETO. G-ÉSIMO DE UM POLIÁDICO............................................................... 131 § 11.01 - Caso geral......................................................................................................................... 131 § 11.02 - Caso dos tetrádicos (H=1) gerados do E3 (para G = 32); o nono. ..................................... 135 § 11.03 - Relações entre as matrizes associadas a um tetrádico. ..................................................... 136 § 11.04 – Produtos de poliádicos completos e incompletos............................................................. 138

§ 12 – POLIÁDICOS DE MOREIRA (OU EM FEIXE)................................................................................... 140 § 12.01 – O grupo ortocêntrico do espaço poliádico....................................................................... 140 § 12.02 – Poliádicos em feixe.......................................................................................................... 141

Generalização................................................................................................................. 142 § 13 - ADJUNTO, SEGUNDO, INVERSO E PRINCIPAL.............................................................................. 143

§ 13.01 – Definições e propriedades................................................................................................ 143 Caso de poliádicos completos ........................................................................................ 146

§ 13.02 - O ponteado e o G-ésimo do adjunto. ................................................................................ 148 § 13.03 – Poliádicos incompletos planares e lineares. ..................................................................... 152

Aspectos geométricos relativos aos tetrádico incompletos. ............................................ 152 Caracterização dos incompletos pelo adjunto. ............................................................... 156

§ 13.04 – Potências ponteadas de poliádicos incompletos. ............................................................. 157

X

Potências ponteadas de poliádicos lineares e ortolineares.............................................. 157 Potências ponteadas de poliádicos planares e ortoplanares ............................................ 158

§ 14 – TRANSFORMAÇÕES POR SIMILARIDADE..................................................................................... 161 § 14.01- Tetrádico de mudança de base. ......................................................................................... 161

Definição........................................................................................................................ 161 Propriedades e invariantes primários ............................................................................. 162 Matrizes associadas a tetrádico de mudança de base ..................................................... 164

§ 14.02- Transformação de tetrádicos por similaridade................................................................... 166 Propriedades dos tetrádicos e das transformações similares........................................... 167

§ 14.03 - Transformação de coordenadas de tetrádico por uma mudança de base diádica. Tensor de quarta ordem.................................................................................... 168

§ 14.04- Tetrádicos cíclicos e de rotação......................................................................................... 170 Definição. Matriz associada. .......................................................................................... 170 Bases diádicas congruentes ou concordantes ................................................................. 173 Díade semitangente de rotação....................................................................................... 174 Bases cíclicas vetoriais e diádicas.................................................................................. 175 Tetrádicos similares mediante tetrádicos cíclicos e de rotação....................................... 178 Relações entre o tetrádico cíclico e alguns de seus invariantes. ..................................... 178 Relações entre um cíclico e os isômeros de 4I ................................................................ 180

§ 14.05 - Produto de tetrádicos de rotação. ..................................................................................... 182 §14.06 - Generalizações. ................................................................................................................. 185

§ 15 - POLIÁDICOS INTERNAMENTE SIMÉTRICOS E ANTI-SIMÉTRICOS. ..........................................187 § 15.01 - Casos de igualdade entre poliádicos isômeros.................................................................. 187

Decomposição aditiva de poliádicos .............................................................................. 190 § 15.02 – Simetria interna dos triádicos. ......................................................................................... 195

Dupla simetria interna. Triádicos simétricos e completamente anti-simétricos.............. 199 A simetria e a semi-anti-simetria internas dos triádicos pelas suas coordenadas. .......... 202 Triádicos internamente simétricos e semi-anti-simétricos..............................................205 O triádico de Civita, 3I ................................................................................................... 207 Transposições com o hexádico de Civita, 6C ................................................................. 210

§ 15.03 – Simetrias internas dos tetrádicos. .................................................................................... 212 Estudo das simetrias pelas escritas triádicas, diádicas e vetoriais .................................. 213 Estudo da simetria pelas escritas cartesianas ................................................................. 217 Tetrádico igual ao seu reverso........................................................................................ 218 Tetrádicos diadicamente simétricos ............................................................................... 220 Tetrádicos com simetrias múltiplas e respectivas matrizes associadas........................... 221 Tetrádicos vetorialmente simétricos e simétricos ........................................................... 222 Tetrádicos simétricos e diadicamente simétricos ........................................................... 224 Tetrádico Elástico (simetria dupla) ................................................................................ 225 Matriz associada a tetrádico elástico referida a base ortonormada. Notação de

Voigt. ............................................................................................................... 227 O tetrádico de Green (simetria tripla)............................................................................. 228 Tetrádico de Riemann–Christoffel (simetria quádrupla) ................................................ 230

§ 16 – POLIÁDICOS EXTERNAMENTE SIMÉTRICOS E ANTI-SIMÉTRICOS. ........................................ 233 § 16. 01 - Tetrádicos com planos de simetria. ................................................................................. 233

Tetrádicos com um plano de simetria............................................................................. 235 Tetrádicos com dois planos de simetria (ou ortotrópicos) ..............................................237 Caso do tetrádico de Green ............................................................................................ 239

§ 16. 02 – Tetrádicos com eixos de simetria.................................................................................... 241 Tetrádicos transversalmente isotrópicos......................................................................... 241 Caso de tetrádicos simétricos ......................................................................................... 242 Tetrádicos de Green Transversalmente Isotrópicos ........................................................ 244 Tetrádico Isotropicos (ou Isótropos)............................................................................... 246 Caso do tetrádico de Green Isotrópico............................................................................ 247

§ 16. 03 – Hexádicos isotrópicos..................................................................................................... 249 § 17 - ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS DE POLIÁDICOS...................................................................... 249

§ 17.01 – Polinômio mínimo de um poliádico ................................................................................ 249 § 17.02 – Equação característica, autovalores e autopoliádicos ...................................................... 251


XI

Poliádicos com autovalores nulos. Poliádicos antitriangulares. ..................................... 256 Poliádicos antitriangulares ............................................................................................. 256

§ 17.03 - Forma espectral. Redução Tônica. ................................................................................... 258 O Teorema de Cayley-Hamilton para poliádicos............................................................ 260

§ 18 – FORMAS E REDUÇÕES CANÔNICAS DOS POLIÁDICOS. ............................................................ 262 § 18.01 – Redução de poliádicos com autovalores simples. ............................................................ 262

Poliádicos com autovalores imaginários. ....................................................................... 262 Poliádicos com autovalores reais.................................................................................... 266 Caso dos poliádicos simétricos. ..................................................................................... 266 Forma espectral dos 2H-ádicos simétricos ..................................................................... 269

§ 18.02 – Redução dos poliádicos com autovalores múltiplos. ....................................................... 269 Tetrádico cíclico............................................................................................................. 269 Caso geral....................................................................................................................... 270

§ 18.03 – Redução dos tetrádicos de uso em Elasticidade............................................................... 275 Autovalores e autodiádicos dos ortotrópicos.................................................................. 275 Autovalores e Autodiádicos do tetrádico transversalmente isotrópico. .......................... 276 Autovalores e autodiádicos do tetrádico isotrópico........................................................ 277 Compatibilidade de resultados ....................................................................................... 278

§19 – A DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DE 2H-ÁDICOS .................................................................. 279 Sobre as leis físicas lineares ........................................................................................... 279

§19.01 – Leis do tipo: b=φφφφ.a, ou vetor=diádico . vetor ................................................................... 281 Um teorema fundamental ............................................................................................... 283 Uma solução para o problema com medidas perturbadas............................................... 284 Aplicação numérica considerando pequenas perturbações............................................. 284 Ampliação do método .................................................................................................... 285 Um exemplo numérico ................................................................................................... 287 Resumo e conclusões ..................................................................................................... 288

§19.02 – Leis do tipo: β= 4φ:α, ou diádico=tetrádico : diádico........................................................ 289 Sobre as leis físicas do tipo β= 4φφφφ:α ............................................................................... 289

§20 – SOBRE AS LEIS FÍSICAS NÃO LINEARES........................................................................................ 290 §20.01 - Isotropias ......................................................................................................................... 290 §20.02 - Anisotropias ...................................................................................................................... 294

APÊNDICES..................................................................................................................................................... 301 BIBLIOGRAFIA............................................................................................................................................... 309

CAPÍTULO V

POLIÁDICOS COMPLEXOS

VETORES COMPLEXOS E DIÁDICOS REAIS

Da necessidade dos vetores complexos .......................................................................... 313 Geometria dos vetores complexos .................................................................................. 315

§ 01 – IDÉIAS PRIMÁRIAS ............................................................................................................................ 315 § 01.01 – Definições........................................................................................................................ 315 § 01.02 – Elipse direcional de um vetor complexo.......................................................................... 316

Rememorando conceitos relativos à elipse..................................................................... 316 Elipse direcional e elíptico direcional. ........................................................................... 317

§ 01.03 – Oposto e conjugado de um vetor complexo..................................................................... 319 Oposto do vetor complexo ............................................................................................. 319 Conjugado do vetor complexo. ...................................................................................... 319

§ 01.04 – Vetores complexos coplanares oblíquos e paralelos. ....................................................... 320 § 01.05 – Vetores complexos ortogonais. ........................................................................................ 323

Complexos polares recíprocos coplanares e elipses polares recíprocas. ......................... 323 Complexos coplanares ortogonais.................................................................................. 325 Determinação dos eixos de elipses polares recíprocas.................................................... 327 Complexos não coplanares ortogonais ........................................................................... 328 Complexos ortogonais e sistemas recíprocos no espaço................................................. 330

§ 01.06 – Vetores complexos oblíquos. ........................................................................................... 331

XII

§ 01.07 – Exercícios. ....................................................................................................................... 331 Álgebra dos vetores complexos. ..................................................................................... 332

§ 02 – OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS ........................................................................................................ 332 § 02.01 – Adição de vetores complexos. ......................................................................................... 332 § 02.02 – Multiplicação de vetor complexo por número complexo................................................. 333 § 02.03 – Norma e Módulo de vetor complexo ............................................................................... 335

Vetor complexo unitário e unitário de um vetor complexo ............................................ 335 § 02.04 – Forma binomial dos vetores complexos........................................................................... 336 § 02.05 – Interpretação geométrica do produto Zz. ......................................................................... 337

Produto e-iϕz................................................................................................................... 337 O produto Zz e a definição de complexos paralelos ....................................................... 339

§ 02.06 - Axial e fásico de um vetor complexo ............................................................................... 339 § 03 – MULTIPLICAÇÕES DE VETORES COMPLEXOS, PONTEADA E CRUZADA.............................. 341

§ 03.01 - Produtos ponteado e cruzado............................................................................................ 341 § 03.02 - Paralelismo e ortogonalidade de complexos em forma algébrica. .................................... 344 § 03.03 – Produto misto de complexos............................................................................................ 346

Propriedades................................................................................................................... 346 § 03.04 – Nulidade do produto misto de complexos ....................................................................... 347

Caso de fatores complexos paralelos.............................................................................. 347 Caso de complexos coplanares....................................................................................... 347 Caso de complexos não coplanares ................................................................................ 348

§ 04 – IDENTIDADES COM VETORES COMPLEXOS................................................................................ 352 § 05 – VETORES COMPLEXOS RECÍPROCOS ........................................................................................... 354

§ 05.01 – Produto cruzado de dois produtos cruzados..................................................................... 354 § 05.02 – Vetores complexos recíprocos. Bases. ............................................................................. 355 § 05.03 – Representações cartesianas diversas. ............................................................................... 356

DIÁDICOS COMPLEXOS E TETRÁDICOS REAIS

§ 06 – ÁLGEBRA E GEOMETRIA DOS DIÁDICOS COMPLEXOS ............................................................ 358 Idéias primárias.............................................................................................................. 358

§ 06.01 – Definições........................................................................................................................ 358 § 06.02 – Operações com um diádico complexo. ............................................................................ 359 § 06.03 – Elipsóide direcional de um diádico complexo. ................................................................ 361 § 06.04 – Diádicos complexos paralelos e perpendiculares............................................................. 362 § 06.05 – Diádicos complexos esféricos e Trigonometria Esférica. ................................................ 363

§07 – POLIÁDICOS COMPLEXOS ................................................................................................................ 369 §08 – AUTODIÁDICOS DOS TETRÁDICOS CÍCLICO E ROTAÇÃO......................................................... 370 § 09 - REDUÇÃO NORMAL DO TETRÁDICO COMPLETO. ...................................................................... 373

§09.01 - Teoremas fundamentais. Definições.................................................................................. 373 §09.02 - Marcha de cálculo da redução normal............................................................................... 376 §09.03 - Tetrádico reto. Deformação pura....................................................................................... 376 §09.04 - Tetrádico reto e deformação de um corpo. ........................................................................ 377

§ 10 - DECOMPOSIÇÃO POLAR DO TETRÁDICO COMPLETO ............................................................... 377 § 11 – TETRÁDICOS DEFINIDOS E SEMIDEFINIDOS, POSITIVOS E NEGATIVOS ............................... 380

APÊNDICES

APÊNDICE I..................................................................................................................................................... 383 SOBRE OS NÚMEROS COMPLEXOS. ......................................................................................................... 383

§I.01 – Definição, notação............................................................................................................... 383 §I.02 – Adição e multiplicação por número real.............................................................................. 383 §I.03 – Forma binomial. .................................................................................................................. 384 §I,04 – Conjugado de um complexo................................................................................................ 384 §I,05 – Multiplicação de complexos. Norma e módulo................................................................... 384 §I,06 – Divisão de complexos. Inverso. ........................................................................................... 384 §I,07 – Diagrama de Argand de um complexo. ............................................................................... 385 §I,08 – Forma polar ou exponencial de um complexo. .................................................................... 386


XIII

APÊNDICE II ................................................................................................................................................... 389 OSCILAÇÕES MECÂNICAS (noções)............................................................................................................ 389

§II.01 – Movimento circular uniforme. ........................................................................................... 389 §II.02 – Um movimento oscilatório associado ao circular uniforme. .............................................. 390 §II.03 – Movimentos oscilatórios harmônicos livres (MOH’s)........................................................ 392

Movimento vibratório harmônico .................................................................................. 392 Movimento pendular harmônico .................................................................................... 392

§II.04 – Energia no MOH livre........................................................................................................ 393 §II.05 – Os números complexos e a composição de MOH’s livres, de mesma direção. .................. 394

Composição de MOH’s livres, de mesma direção..........................................................395 §II.06 – Análise Harmônica............................................................................................................. 397 §II.07 – MOH’s amortecidos. .......................................................................................................... 398 §II.08 – MOH forçado. .................................................................................................................... 400 §II.09 – Os vetores complexos e a composição de MOH’s livres de mesma freqüência,

mas de diferentes direções................................................................................ 404 §II.10 – Os vetores complexos e a composição de MOH’s livres de diferentes freqüências

e diferentes direções. ........................................................................................ 405

APÊNDICE III .................................................................................................................................................. 411 CURVAS POLARES RECÍPROCAS (noções). ............................................................................................... 411

§III.01 – Razão anarmônica de quatro pontos colineares................................................................. 411 §III.02 – Curvas polares recíprocas. ................................................................................................ 412 §III.03 – Notas sobre a inversão ...................................................................................................... 414

BIBLIOGRAFIA............................................................................................................................................... 418

ÍNDICE REMISSIVO....................................................................................................................................... 419 Tomo I, Volume I: Capítulo I – Vetores Capítulo II – Diádicos Capítulo III – Geometria das Transformações Lineares Tomo II: Capítulo VI – Análise poliádica Capítulo VII – Campos de poliádicos


CAPÍTULO IV

POLIÁDICOS

§ 01 - POLIÁDICOS DE VALÊNCIA P.

§ 01.01 - Vetores e diádicos. A pista para a generalização dos conceitos estudados nos capítulos anteriores (volume I) está bem visível. A primeira generalização deve dar-se em relação às entidades; a segunda, em relação às operações com essas entidades. A entidade admitida conhecida, e introduzida na exposição sem maiores referências, é o número real.

A partir de conceitos geométricos elementares, criamos uma segunda entidade: o vetor (§01,Cap.I,Vol.I). Com a concepção da multiplicidade linear vetorial e a da independência linear de vetores (§04,Cap.I,Vol.I), demos aos vetores uma expressão cartesiana geral, exposta na forma seguinte:

iii

i ) () ( : ggr.ggr.rr ==∀ , (i=1,2,..., N e N=1, ou 2, ou 3), (01),

onde os gi e os gi constituem sistemas recíprocos (§03,Cap.I,Vol.I), e os números reais r.gi e r.gi, as coordenadas cartesianas contravariantes e covariantes de r . A partir do conceito de vetor de um EN, como se caminhássemos passo a passo, criamos os diádicos (§02.01,Cap.II,Vol.I), e demos a eles: 1°)- uma representação (reduzida) denominada N-nomial (§02.07,Cap.II,Vol.I), exposta na forma

jji

i : gbga ==∀ φφφφφφφφ , (i,j=1,2, ...,N), (02),

onde os gi e gi (no caso, os conseqüentes de φφφφ) constituem, ainda, sistemas recíprocos; e os ai e os bj (no caso, os antecedentes de φφφφ), vetores determinados; 2°) - uma representação N2-nomial, mais apropriadamente denominada representação cartesiana, e escrevemos:

jij

ij

iij ji

ijjiij : gggggggg φ=φ=φ=φ=∀ φφφφφφφφ , (021),

onde os φij , φij etc. são números reais1. Não é demais relembrar que, tanto a representação N-nomial quanto a N2-nomial, são gerais e sempre possíveis.

1Essa representação é, também, denominada redução N2-nomial; mas a denominação redução é errônea uma vez que ela apresenta nove díades, isto é, o triplo das díades da redução N-nomial; logo não há redução. Gibbs denominou-a de fundamental certamente por causa da sua utilidade nas aplicações numéricas, onde intervem as coordenadas cartesianas dos vetores do motivo do diádico (§02.07,Cap.II,Vol.I).

2 § 01 - Poliádicos de valência P.

IV,§ 01.03

§ 01.02 - Geração de triádicos.

Consideremos, agora, um conjunto de S vetores de um EN, que representaremos por

, , , v v v v1 2 ... , ... i S ,

e um conjunto de S diádicos gerados do mesmo EN, que representaremos por

, ... ,, ... ,, Si21 φφφφφφφφφφφφφφφφ ,

entre os quais, por hipótese, esteja estabelecida a correspondência

ii S , ... 1,2,i , i v⇔=∀ φφφφ , (01).

Definições: (tríades, triádicos) As entidades representadas simbolicamente pela justaposição de um diádico com um vetor, em qualquer ordem, são ditas tríades binárias. A soma simbólica das tríades binárias formadas com elementos correspondentes de um conjunto de diádicos e um conjunto de vetores,

S

S2

21

1 ... vvv φφφφφφφφφφφφ +++ , ou SS

22

11 ... φφφφφφφφφφφφ vvv +++ , (02).

é denominada triádico.

Assim, φφφφiv

i e vi φφφφi (observe as somas indicadas em i) são triádicos do conjunto dos vetores vi (de um EN) e do conjunto dos diádicos φφφφi (gerados do mesmo EN). Da esquerda para a direita, em tríades binárias, as entidades encontradas são ditas os antecedentes do triádico ; da direita para a esquerda, são ditas os conseqüentes do triádico.

Notação: Os triádicos serão representados por letras gregas (maiúsculas ou minúsculas), em negrito, em cujo canto superior esquerdo se disporá o número 3 (como um sobre índice): 3φφφφ, 3αααα, 3ΨΨΨΨ etc..

Então, com os conjuntos atrás referidos, podemos gerar os triádico

S), ... ,2,1(i , e ii3i

i3 === φφφφψψψψφφφφφφφφ vv , (03),

em geral distintos. A escrita (03) será dita polinomial.

§ 01.03 - Geração de tetrádicos.

Consideremos agora dois conjuntos de S diádicos, representados por

, , ... , , φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ1 2 ... ,i S e , , , ψψψψ ψψψψ ψψψψ ψψψψ1 2 ... , ... i S ,

ou um conjunto de triádicos e um conjunto de vetores,

§ 01.04 - Geração de poliádicos. Valência. 3


, , ... , , 31 2

3 3χχχχ χχχχ χχχχ χχχχ3i S ... , e , , , v v v v1 2 ... , ... i S ,

entre os quais, por hipótese, esteja estabelecida a correspondência

ii

3 ,ii ou S , ... ,2,1i , i v⇔⇔=∀ χχχχψψψψφφφφ .

Tal como anteriormente, as entidades representadas simbolicamente pela justaposição de dois diádicos, ou de um triádico e um vetor, em qualquer ordem, serão denominadas tétrades binárias. A soma simbólica das tétrades binárias formadas com elementos correspondentes de dois conjuntos de diádicos, ou de um conjunto de triádicos e um de vetores, é denominada tetrádico; escrevemos:

4i

i 4 ii e (i ... ,S)αααα φφφφ ψψψψ ββββ ψψψψ φφφφ==== ==== ====, , ,1 2 , (01),

S), ... ,2,1(i , e i

3i4ii

34 === χχχχδδδδχχχχγγγγ vv , (02).

Assim, φφφφi ψψψψi e ψψψψi φφφφi são tetrádicos dos conjuntos dos diádicos φφφφi e ψψψψi , bem como 3 3χχχχ χχχχ

ii i

i e v v são tetrádicos dos conjuntos de triádicos 3χχχχ

i e vetores iv . Da esquerda

para a direita, nas tétrades binárias, as entidades encontradas são ditas os antecedentes do tetrádico; da direita para a esquerda, são ditas os conseqüentes do tetrádico. As escritas (01) e (02) são ditas polinomiais.

§ 01.04 – Poliádicos: geração, notação, nomenclatura. Os vetores, os diádicos, os triádicos etc. são denominados, em geral, poliádicos. Diremos que 1 é a valência ou a ordem dos vetores (que seriam ditos, ainda, uniádicos ou monádicos); 2 é a valência dos diádicos, 3 a dos triádicos etc. Um poliádico de valência P será também denominado um P-ádico quando tivermos interesse em especificar a sua valência. Na forma de P-ades binárias, um P-ádico assim será representado:

i1PiPi

i1PP e ψψψψψψψψφφφφφφφφ −− == vv , (i = 1,2, ..., S), (01),

P-1φφφφi e P-1ψψψψi sendo poliádicos de valência P-1. Quando houver perigo de confusão deveremos usar a seguinte representação equivalente,

P Pi

i P i Pi

e φφφφ φφφφ ψψψψ ψψψψ= =− −( ) ( )1 1v v , (i = 1, 2, ..., S), (02),

com a finalidade de explicitar os poliádicos (antecedentes ou conseqüentes) de valência P-1. Podemos, com facilidade, definir (P + Q)-ades binárias por meio de um conjunto dado de P-ádicos, Pφφφφ, com um conjunto de Q-ádicos, Qψψψψ, postos em correspondência. Somando (simbolicamente) os produtos justapostos desses poliádicos em diferentes ordens, obteremos os dois poliádicos seguintes, distintos em geral, mas ambos da mesma valência, P + Q:

4 § 02 - Operações fundamentais.

IV,§ 02.01

S), ... ,2,1(i , e iPiQQPiQ

iPQP === ++ φφφφψψψψββββψψψψφφφφαααα , (03),

ou, ainda, quando quisermos destacar os poliádicos antecedentes e conseqüentes das P + Q - ades binárias:

P Q Pi

Q i P Q Q i Pi

) e (i ... ,S)+ += = =αααα φφφφ ψψψψ ββββ ψψψψ φφφφ( )( ( )( ), , ,1 2 , (04).

É evidente que a expressão (04) engloba todas as anteriormente apresentadas, isto é, (04) é a expressão geral da composição de poliádicos em produto direto, em forma binária. Como um P-ádico pode, então, conforme (04), ser gerado de dois outros poliádicos cujas somas das valências seja P, digamos, P

iR k S

k i φφφφ λλλλ µµµµ= , com P=R+S e k=1,2, ...,T,

escrevemos também2:

P Q R S Q R k Sk i

Q i + + += =αααα αααα λλλλ µµµµ ψψψψ , (05).

Em (05) temos, assim, somas simbólicas de (R+S+Q)-ades ternárias (políades ternárias). Agora, fica evidente o meio de representação de poliádicos em geral, nas formas de somas simbólicas de políades n-árias (n, qualquer, finito).

Aos poliádicos podemos dar representações binárias, ternárias, quaternárias etc., isto é, pares e ímpares. Nas representações pares os poliádicos encontrados na metade das políades da esquerda para a direita são ditos os antecedentes do poliádico (e diremos: os primeiros antecedentes, os segundos antecedentes etc.); os poliádicos encontrados na outra metade das políades da direita para a esquerda são ditos os conseqüentes do poliádico (e diremos: os primeiros conseqüentes etc.). Nas representações ímpares a nomenclatura é a mesma das pares, mas os poliádicos que separam as duas metades de cada políade recebem o nome de medianos. Para i>3 as escritas dos poliádicos são ditas polinomiais.

§ 02 - OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS.

§ 02.01- Multiplicação de poliádico por número real.

Produto de triádico por número real.

2 A representação P

i R k S

k iφφφφ µµµµλλλλ= se justifica porque para dado valor de i o poliádico correspondente, P

iφφφφ ,

é, por hipótese, gerado de dois outros conjuntos de poliádicos (um de valência R, outro de valência S), a somatória em k estendendo-se de 1 até o número de poliádicos que compõe esses dois conjuntos (no caso, T).

Definição: Chama-se produto do triádico,

3 12φφφφ φφφφ ψψψψ φφφφ= = =

ii 3 i

i ou (i ... ,S)v v , , , ,

pelo número real M, e representa-se por M 3φφφφ, ou 3φφφφ M, o triádico que se obtém efetuando-se as somas simbólicas de todas as suas tríades cujos diádicos ou vetores componentes sejam multiplicados por M, ou, ainda, cujos diádicos e vetores sejam multiplicados por fatores de M.

§ 02.02 - Adição de poliádicos. 5


Assim,

3 1 2φφφφ φφφφ= = = ⇒

ii (i ... ,S), M AB

v , ,

⇒ = = =M M M A B3

ii

ii

iiφφφφ φφφφ φφφφ φφφφ( ) ( ) ( )( )v v v , (01);

analogamente, 3 12ψψψψ φφφφ= = = ⇒v i

i (i ... ,S), M AB, ,

⇒ = = =M M M B Ai

ii

ii

i3ψψψψ φφφφ φφφφ φφφφv v v( ) ( ) ( )( ) , (011).

A multiplicação de triádico por número real é a operação que tem por fim gerar o triádico produto. É operação sempre possível e unívoca. O triádico M 3φφφφ será dito paralelo a 3φφφφ.

Produto de poliádico por número real. De próximo em próximo podemos formar os produtos de número real por tetrádico, pentádicos etc. para obter os poliádicos correspondentes paralelos aos iniciais.

Genericamente, para iQi

PQP ψψψψφφφφαααα =+ com i=1,2,...,V, escreveremos:

)B ( )A ()M ( )M (M iQi

PiQi

PiQi

PQP ψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφαααα ===+ , (02),

ou, ainda, se M = A B C e iQki

SkRQSR ψψψψµµµµλλλλαααα =++ para k=1,2,...,T e i=1,2,...,V),

))(C )(B(A M iQki

SkRQSR ψψψψµµµµλλλλαααα =++ , (021).

Essa operação goza das mesmas propriedades da multiplicação de diádicos por número real (§02.02,Cap.II,Vol.I).

§ 02.02 - Adição de poliádicos.

Soma de poliádicos Chama-se soma de poliádicos de mesma valência, e dados na mesma forma binária, ao poliádico cujas políades binárias sejam as somas simbólicas das políades binárias dos poliádicos parcela. Resulta, logo, que o poliádico soma tem a mesma valência que as parcelas; diremos, eventualmente, que eles são homovalentes. A adição poliádica de poliádicos é a operação que tem por fim gerar o poliádico soma desses poliádicos. Essa operação é sempre possível, unívoca e goza, ainda, das mesmas propriedades da adição de diádicos (§04,Cap.II,Vol.I).

6 §02 - Operações Fundamentais.

IV, § 02.03

Combinação linear de poliádicos Estabelecidas as definições de adição e de multiplicação por número real, podemos definir o conceito de combinação linear poliádica pela expressão (polinomial):

P1

P 12

P 2i

P iA A A (i = 1, 2, ... , S)αααα φφφφ φφφφ φφφφ= + + =( ) ( ) ... ( ) , (02),

ou, ainda, não havendo perigo de confusão, na forma equivalente,

P1

P 12

P 2i

P iA A A (i = 1, 2, ... , S)αααα φφφφ φφφφ φφφφ= + + =... , (021).

§ 02.03 - Multiplicação ponteada entre poliádico e vetor.

Chama-se produto pontuado, ou ponteado, anterior (posterior) do triádico

ii

3 vφφφφφφφφ = (i ...,S)= 1,2, pelo vetor v, e representa-se por 3φφφφ. v (v . 3φφφφ), lendo-se triádico fi

ponto v (v ponto triádico fi), o diádico definido pela expressão:

3 1φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ. v v . v v. v. v= = =i

i 3 ii

ou (i ... ,S)( ) ( ) , ,2, , (01).

A multiplicação ponteada de triádico por vetor é a operação que tem por fim gerar o produto ponteado dos mesmos, na ordem estabelecida. É uma operação sempre possível e unívoca. Essa operação goza, ainda, das mesmas propriedades da multiplicação ponteada entre diádicos e vetores, destacando-se:

1°) - o produto ponteado de qualquer triádico pelo vetor nulo é o diádico nulo;

2°) - a operação é associativa em relação a fatores escalares e distributiva em relação à adição de vetores:

M( M M e + + ... ) + + ...3 3 3 3φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ. v . v . v . a b .a .b) ( ) ( ) (= = =3 3 , (02).

3°) - não é comutativa, isto é

3 3φφφφ φφφφ. v v.≠ , (03),

o que é evidente pelas (01).

Produto ponteado de poliádico por vetor De próximo em próximo (com o aumento da valência dos poliádicos) podemos escrever, genericamente:

∀ = = =− − − e P Pi

i P Pi

i P Pi

iv v . v v . v v . v . v, : ( ) ( ) ( )φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ1 1 1 , (04).

§02.03 - Multiplicação ponteada entre poliádico e vetor. 7

Poliádicos – Ruggeri

A multiplicação ponteada de poliádico por vetor é a operação que tem por fim gerar o produto ponteado do poliádico pelo vetor. É uma operação sempre possível e unívoca, não sendo difícil comprovar que ela goza, ainda, das mesmas três propriedades anteriormente apontadas para os triádicos.

Função linear de argumento (ou variável) vetor e valor diádico

Pela expressão (01), considerando 3φφφφ independente do vetor (agora, variável) v, podemos conceber a função linear de valor diádico e de argumento vetor, λλλλ( )v , isto é, uma função que transforme, de alguma maneira, um vetor num diádico, com absoluta analogia com a função linear de variável vetor e de valor vetor (§ 01, II). Escrevemos, simbolicamente,

∀ = = = = V (V ) V ) (i ... , N)ii

ii

ii

v v v v v: ( ) ( , ,λλλλ λλλλ λλλλ 1 2 (05).

A mesma concepção é válida no sentido inverso, isto é, se v for independente dos diádicos (agora, variáveis) φφφφi.

Função linear de argumento vetor e valor poliádico

Pela primeira expressão (04), )()( ii

1P .vv.v P φφφφφφφφ −= , podemos, analogamente,

conceber a função linear de valor poliádico e de argumento vetor:

∀ = = = = V (V ) V [ )] (i ... , N)ii

P P ii

i Pi

v v v v v: ( ) ( , ,φφφφ φφφφ φφφφ 1 2 , (06),

onde, relembramos, N – a dimensão do espaço dos vetores - deve valer 1, ou 2, ou 3. Assim, a função linear poliádica age como um operador, transformando um vetor num poliádico.

Teor. 1: Uma função de argumento vetor e valor poliádico, gerados na reta (N=1), no plano (N=2) e no espaço (N=3), fica perfeitamente determinada se são conhecidos os seus valores (poliádicos) para um vetor não nulo, dois vetores não paralelos e três vetores não coplanares, respectivamente.

Com efeito, se, por exemplo, P-1φφφφi são três (P-1)-ádicos supostos conhecidos, valores das funções poliádicas P-1φφφφ(vi) de três vetores independentes, vi, isto é, P

iP

i − −=1 1φφφφ φφφφ( )v ,

então, para qualquer vetor v = Vi vi , é, conforme (05),

P ii

i Pi

i Pi

V V V− − −= =1 1 1φφφφ φφφφ φφφφ( ) [ ( )] ( )v v ,

isto é, está determinada a função P-1φφφφ(...) porque são conhecidos os Vi e os P-1φφφφi. Tal como demonstramos para os diádicos (§02.04,Cap.II,Vol.I), podemos demonstrar o seguinte

Teor. 2: Qualquer poliádico, quando usado como pré ou como pós-fator em multiplicação ponteada por vetor, é operador de uma transformação linear;

8 §02 - Operações Fundamentais.

IV, § 02.04

reciprocamente, toda transformação linear sobre vetores (na reta, no plano ou no espaço) pode ser univocamente representada por um poliádico para ser usado como pré ou pós-fator.

O teorema direto é de demonstração evidente em vista da definição de multiplicação ponteada de poliádico por vetor. Reciprocamente, se P ( )−−−−1λλλλ é uma função linear poliádica,

determinada pelo conhecimento dos (P-1)-ádicos Pi

−1ββββ , transformados dos vetores

independentes ai, tem-se:

Pi

Pi

Pj i

j Pj

ji

Pj

ji ( (i, j N−−−− −−−− −−−− −−−− −−−−==== ==== ==== ==== ====1 1 1 1 1 1 2λλλλ ββββ ββββ ββββ ββββ( ) ( ) ) , , ... , )a a .a a .aδ .

Assim, denotando por Pψψψψ o poliádico dentro dos parênteses no último membro - poliádico este, conhecido, porque são conhecidos, por hipótese, os seus antecedentes e os seus conseqüentes - podemos escrever: P

iP

i (i N−−−− ==== ====1 1 2λλλλ ψψψψ( ) , , ... , )a .a . Como podemos escrever, também:

Pi

Pi i

j Pj i

j Pj i

j Pj [ (i, j N−−−− −−−− −−−− −−−− −−−−==== ==== ==== ==== ====1 1 1 1 1 1 2λλλλ ββββ ββββ ββββ ββββ( ) ( ) ( ) ( )] , , ... , ),a a .a a . aδ

resulta, denotando-se por Pφφφφ o poliádico dentro dos colchetes no último membro:

Pi i

P (i N−−−− ==== ====1 1 2λλλλ φφφφ( ) , , ... , )a a . .

Corol. 1: Um P-ádico, gerado de um espaço N-dimensional de vetores EN, fica perfeitamente determinado quando são conhecidos os seus produtos ponteados ((P-1)-ádicos) por N vetores independentes, quaisquer, desse espaço:

v. v v

v . vi

Pi

Pi

P Pi

i

Pj j

P P j Pj

independentes

− −

− −

= ⇒ =

= ⇒ =

1 1

1 1

φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ

ψψψψ φφφφ φφφφ ψψψψ

( )

( ), (07).

Esses conceitos serão ampliados no § 06.04.

§ 02.04 - Igualdade de poliádicos.

Definição: (poliádicos iguais) Dois P-ádicos, Pφφφφ e Pψψψψ, são ditos iguais, e se escreve Pφφφφ = Pψψψψ (lendo-se: P-ádico fi igual a P-ádico psi) se, nas mesmas condições de multiplicação ponteada (anterior ou posterior), transformam um mesmo e qualquer vetor em (P-1)-ádicos iguais3:

3 Esta é uma "definição por recorrência", isto é, pressupõe conhecido o conceito de igualdade de dois poliádicos homovalentes, mas de valências menores que P. Em outras palavras, para que sejam definidos triádicos iguais é necessário o conhecimento do que sejam diádicos iguais etc.

§ 03.01 - Representações N-nomiais de triádicos. 9

Poliádicos – Ruggeri

P P

P P

P Pφφφφ ψψψψφφφφ ψψψψ

φφφφ ψψψψ= ⇐ ∀ ⇒

==

v. v . v

v . v ., (01).

Teor. 1: A multiplicação direta de diádico por vetor é distributiva em relação à adição de diádicos e de vetores:

3φφφφ φφφφ φφφφ= =( )( )A B A B i

i jj i

j ijb b , (02).

Com efeito, para qualquer v, tem-se:

3φφφφ φφφφ φφφφ. v b . v b . v= =( )[( ) ] ( )[ ( )]A B A Bii j

j ii j

j .

Ora, A i

iφφφφ é uma soma de diádicos e B

jj( )b . v é uma soma de produtos de escalares. Como

a operação de multiplicação de diádico por número é distributiva em relação à adição de diádicos e à adição de números, e associativa em relação à multiplicação por números, podemos escrever: 3φφφφ φφφφ. v b . v= ( )( )A Bi

j ij . Agora, lembrando a definição ((01), § 02.03),

escrevemos, ainda: 3φφφφ φφφφ. v b . v= ( )A Bi

j ij ,

no segundo membro sendo imutáveis as ordens dos vetores e diádicos entre parêntesis. Mas as somas indicadas entre parêntesis representam um triádico porque são somas de produtos diretos de diádicos por vetores. Como v é um vetor qualquer, a expressão (01), tradutora da igualdade de poliádicos, implica a veracidade de (02).

Corol. 1: A multiplicação direta de poliádico por poliádico é distributiva em relação à adição de poliádicos:

P+Q i P

i jQ j i

jP

iQ jA B A B αααα φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ= =( )( ) , (021).

§ 03 - REPRESENTAÇÕES Ni-NOMIAIS DE POLIÁDICOS.

§ 03.01 - Representações N-nomiais de triádicos.

Consideremos, inicialmente, os triádicos representados nas formas ((03), § 01.01), isto é,

3 1 2φφφφ φφφφ ψψψψ φφφφ= = =i

i 3 ii

e (i ... ,S)v v , , , , (01).

Se g* e g* são sistemas de vetores recíprocos de EN, podemos escrever:

v g gi i kk k

i kV V (k N)==== ==== ====, , , ... ,1 2 , e, então, em vista da definição de produto de triádico por número real e de ((02), §02.04):

10 .§ 03 - Representações Ni -nomiais de poliádicos.

IV, § 03.01

3 1 2φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ= = = = =i

i kk

i ki k

3i k

i k ki

ikV ) V ) e V ) V (i ... ,S)( ( ( ( ) , , ,g g g g .

Considerando que as expressões entre parênteses nos últimos membros das igualdades anteriores são combinações lineares de diádicos (§ 02.02), poderemos por4

V i ki

kφφφφ αααα= e V ki

i kφφφφ ββββ= ;

então: 3 k

k kk (k Nφφφφ αααα ββββ= = =g g 1 2, , ... , ).

É evidente que existem relações entre os diádicos ααααk e ββββk, pois, das igualdades acima podemos deduzir, operando com os vetores recíprocos (§ 03, I):

ββββ ααααj k j

kG= , e sua inversa, αααα ββββj i ji

G= , com Gjk=gj.gk e Gij=gi.gj , (02).

Poderíamos obter resultados análogos para o triádico 3ψψψψ, dado por (01)2. Consideremos, agora, as 4 únicas reduções N-nomiais (§ 02.07, II) de cada um dos diádicos ααααk e ββββk. Ponhamos, para r,k = 1,2, ..., N nos dois sistemas recíprocos , f f∗

∗ e

, e e∗∗ :

ααααk r kr r

k rr

k r r rk==== ==== ==== ====a f a f e c e c , (03),

e ββββk k

rr r k

rr k

r rk r==== ==== ==== ====b f b f e d e d , (031).

Então, podemos escrever:

3 kk

r kr k r

k rk r

k rk

r rk

kφφφφ αααα==== ==== ==== ==== ====g a f g a f g e c g e c g( ) ( ) ( ) ( ) e

3φφφφ ββββ==== ==== ==== ==== ====kk

kr

rk

r kr k

r k r k r

k rkg b f g b f g e d g e d g( ) ( ) ( ) ( ) ,

expressões nas quais o uso dos parêntesis é irrelevante. Com efeito, temos, por exemplo:

∀∀∀∀ ==== ==== ====r r. r.a f g r. a f g r. a f g: ( ) [( ) ] [ ( )] r kr k

r kr k

r kr k

3 φφφφ , isto é,

3φφφφ ==== ====( ) ( )a f g a f gr kr k

r kr k .

Então,

3 kk

r kr k r

k rk r

k rk

r r k

kφφφφ αααα==== ==== ==== ==== ====g a f g a f g e c g e c g, (04),

4 Notar que k (letra latina minúscula) é um índice. Os expoentes de potências são representados por latinas maiúsculas. Assim, a potência P de ααααk se escreve ( k Pαααα ) .

§ 03.01 - Representações N-nomiais de poliádicos. 11


e 3φφφφ ββββ==== ==== ==== ==== ====k

k kr

rk

r kr k

r k r k r

k rkg b f g b f g e d g e d g , (041).

Notemos, por outro lado, que, por exemplo, kr

kkkr gdgc = , porque das (02)

escrevemos:

e . e . e . g e . grk

r ii k

rk

k r iiG e, logo: (ββββ αααα ββββ αααα==== ====( ) ) ( ) .

Agora, considerando as (03) e as (031), comprovamos logo a tese. Analogamente comprovaríamos que c g d g r

kk k r

k==== . Então, pondo

γγγγ r k rk k

r k==== ====c g d g e δδδδr rk

k r kk==== ====c g d g ,

teremos novas representações para o triádico 3φφφφ, na forma de somas de N tríades binárias:

3r

r rr (r Nφφφφ γγγγ δδδδ= = =e e 1,2,... , ).

Em resumo:

3 kk k

kφφφφ αααα ββββ==== ==== ====g g rrr

r δδδδγγγγ ee = , (r,k=1,2,...,N) (05).

É evidente que em todas as representações poderíamos adotar uma única base vetorial e sua recíproca, digamos g* e g*, caso em que essas representações seriam escritas apenas em função dos vetores dessas bases. Então:

Teor. 1: Todo triádico gerado de um EN pode ser expresso de quatro, e apenas de quatro, maneiras distintas, mas únicas, como uma soma de N tríades binárias de que antecedentes ou conseqüentes sejam N vetores independentes de EN.

Definição: As expressões (05) às quais se reduzem um triádico 3φφφφ denominam-se reduções N-nomiais do triádico. Os diádicos ααααk, ββββk, γγγγr e δδδδr são ditos os diádicos motivo do triádico nas respectivas bases. Diremos, também, por isso, que nas formas (05) os triádicos estão diadicamente escritos.

Teor. 2: Se numa representação trinomial de um triádico, dois diádicos motivo são não paralelos, existe uma segunda redução trinomial em que dois diádicos motivo são os mesmos não paralelos da primeira redução, mas, agora, perpendiculares ao terceiro.

12 § 03 - Representações Ni -nomiais de poliádicos.

IV, § 03.02

Com efeito, consideremos a redução N-nomial do triádico arbitrário 3φφφφ em relação a

um terceto de vetores não coplanares e*, 33

22

113 eee ααααααααααααφφφφ ′++= em que, por hipótese,

1αααα não é paralelo a αααα2. Pelo Teor. 9,§10.02,Cap.II, existem números M1 e M2, e um

diádico 3αααα perpendicular a αααα1 e a αααα2 tais que 322

11

3 M+M αααααααααααααααα +=′ . Então

33

3222

31113 )M()M( eeeee ααααααααααααφφφφ ++++= ,

ou

333222311133

22

113 u e M ,M com , eeeueeuuuu =+=+=++= ααααααααααααφφφφ .

Sendo )( )M()M(

3213322311eeee.eeee =+×+ ,

concluímos que os vetores u1, u2 e u3 são não coplanares e que a expressão 3φφφφ αααα= ii

u é

uma autêntica redução trinomial; o que comprova o teorema.

§ 03.02 - Representações N2-nomiais de triádicos.

Se, ainda, considerarmos que os diádicos motivo γγγγr e δδδδr podem ser escritos nas formas

γγγγ δδδδrk

k r kk r

r k rk k

k r e ==== ==== ==== ====f m f m f n f n , (01), então, das (04) e (041), § 03.01 e de (01) escreveremos 3φφφφ nas 12 formas alternativas seguintes, únicas e distintas, constituindo três grupos:

1° grupo: 3 r kr k

kr

rk r k

r k rk r

kφφφφ ==== ==== ==== ====b f g b f g a f g a f g , (021),

2° grupo: 3 r rk

k rk r

kr

r kk

r kr kφφφφ ==== ==== ==== ====e c g e c g e d g e d g, (022),

3° grupo: 3 r k

k rr

kk r r k

k rr

k rkφφφφ ==== ==== ==== ====e f m e f m e f n e f n , (023).

Definição: Qualquer uma das 12 diferentes expressões a que se reduz um triádico, representadas em (021), (022) ou (023), denomina-se redução N2-nomial desse triádico,

nomenclatura esta que se justifica pelo fato de cada forma apresentar N2 parcelas. Em cada uma destas 12 novas formas de representação de um mesmo triádico, todas as parcelas são justaposições de três vetores; são tríades ternárias (§01.04). Então, triádicos são, também, somas simbólicas de (no máximo) N2 tríades ternárias. Em cada tríade, dois dos vetores são, necessariamente, vetores (independentes) de dois sistemas de vetores recíprocos (idênticos ou distintos). O terceiro vetor em cada tríade (com dois índices) está ligado ao motivo de cada diádico motivo; em seu conjunto, são ditos os vetores motivo do triádico. Por isso, diremos que um triádico, posto sob qualquer uma das formas (02), está vetorialmente (ou monadicamente) escrito.

§ 03.03 - Representações N3-nomiais de triádicos. 13


§ 03.03 - Representações N3-nomiais de triádicos.

Se, finalmente, considerarmos que os vetores motivo do triádico (aqueles representados com dois índices nas formas N2-nomiais) podem ser convenientemente decompostos cartesianamente em relação a novas bases recíprocas, obteremos novas representações para o triádico. A forma N2-nomial br kf

r gk, por exemplo, dará, em relação aos sistemas recíprocos e* e e* (do mesmo EN de que os sistemas f*, f* e g*, g* são bases):

3φφφφ ==== ====B Bi r ki r k

r ki

ir ke f g e f g , (011),

sendo B e Bi r k i r k r k

i ir k==== ====e .b e .b , (01).

Operando analogamente com as demais representações, obteremos para 3φφφφ um total de 12 × 2 = 24 representações do tipo (011).

Três são os grupos de 4 representações N2-nomiais de um triádico (§03.02): aqueles em que os vetores motivo aparecem como primeiros antecedentes, como primeiros conseqüentes e como medianos. Cada representação N2-nomial dá duas novas representações que assim podem ser escritas:

- do primeiro grupo:

A A A A

A A A A

i r ki r k

r ki

ir k

ki r

i rk

i k r i

rk

i r ki r k i

r k ir k r

i ki

rk i r

k i rk

e f g e f g e f g e f g


==== ==== ==== ====

==== ==== ==== ==== ;

, (021);

- do segundo grupo:

B B B B

B B B B

r k ir k i i

r kr k

i k i r

rk

i k ir

rk i

r k i r k

i r k ir k i

r k i r

k i r i k r

ki



= = = =

= = = = ;

, (022);

- do terceiro grupo:

C C C C

C C C C

r i k r

i k r i k r i

kr i k

r i k i r k

ri

k

r k i r

ik

r i kr i k

kr i

r ik

i kr

ri k



= = = =

= = = =, (023).

É fácil ver que cada grupo contém uma representação do mesmo tipo, sendo, pois, idênticas. É o caso, por exemplo, das representações:

A B C

A B C

i r ki r k

r k ir k i

r i kr i k

ri k

ir

k kr i

rk

i ir k

ri

k

e f g e f g e f g

e f g e f g e f g

, ,

, , etc.

14 § 03 - Representações N3-nomiais de poliádicos.

IV,§ 03.04

Teremos, portanto, um total de 8 representações distintas. Isto, de certa forma, poderia ser previsto porque essas representações deveriam ser tantas quantas fossem as diferentes posições que os três índices podem assumir nos dois níveis, ou seja, 23 = 8.

Definições: Qualquer uma das 8 diferentes expressões (02), à qual se reduz um triádico, denomina-se uma representação N3-nomial desse triádico. Os coeficientes numéricos das tríades ternárias dessas representações são ditos as coordenadas cartesianas do triádico no terceto de bases recíprocas adotado. Diremos, também, que numa qualquer das formas (02), o triádico está cartesianamente escrito.

Tal como no caso dos diádicos, as coordenadas cartesianas de um triádico serão ditas: triplamente contravariantes (como Aijk), triplamente covariantes (como Aijk), uma vez contravariante e duas vezes covariante (como Ai

jk), uma vez contravariante, uma vez covariante, outra vez contravariante (como Ai

jk) etc..

Em vista das definições e das deduções feitas, podemos enunciar:

Todo triádico pode ser (cartesianamente) escrito como uma combinação linear de N3 tríades ternárias cujos coeficientes são as suas coordenadas em relação aos sistemas recíprocos constituídos pelos seus antecedentes, medianos e conseqüentes.

§ 03.04 - Representações Ni-nomiais de poliádicos.

Com um raciocínio análogo ao desenvolvido no caso dos triádicos, podemos comprovar que: 1°) - os tetrádicos têm:

- 4 representações N-nomiais distintas em que os motivos são triádicos, - 3× 22 = 12 representações N2-nomiais distintas em que os motivos são diádicos, - 4 23× = 32 representações N3-nomiais distintas em que os motivos são vetores, e - 24 = 16 representações N4- nomiais distintas (ou cartesianas) em que os motivos são escalares. 2°) - os pentádicos têm:

- 4 representações N-nomiais distintas em que os motivos são tetrádicos,

- 3 12× =22 representações N2-nomiais distintas em que os motivos são triádicos,

- 4 23× = 32 representações N3-nomiais distintas em que os motivos são diádicos,

- 5 24× = 80 representações N4- nomiais distintas em que os motivos são vetores, e

§ 03.04 - Representações Ni-nomiais de poliádicos. 15


- 25 = 32 representações N5- nomiais distintas (ou cartesianas) em que os motivos são escalares. E assim, sucessivamente. Genericamente, um poliádico de valência P tem 2×21 representações N-nomiais distintas em que os motivos são poliádicos de valência P-1, e que pode ser (P-1)-adicamente escrito; 3×22 representações N2-nomiais distintas em que os motivos são poliádicos de valência P-2, e que pode ser (P-2)-adicamente escrito; ... etc.; (i+1)×2i representações Ni-nomiais distintas (i < P) em que os motivos são poliádicos de valência P-i, e que pode ser (P-i)-adicamente escrito, isto é, triadicamente, diadicamente, vetorialmente escrito; e 2P representações NP-nomiais (cartesianas) distintas em que os motivos são escalares e que pode ser cartesianamente escrito5. A seqüência

P1Pi321 2 ,2P ..., ,1)2+(i ..., ,24 ,23 ,22 −×××× dá a quantidade de escritas i-ádicas de um P-ádico, e gera a tabela seguinte, paras P = 1, 2, ...,5:

Quantidade de representações de um poliádico

Valência Escrita

1 2 3 4 5

Cartesiana 2 = 21 4 = 22 8 = 23 16 = 24 32 = 25

Vetorial 1 4 = 2 x 21 12 = 3 x 22 32 = 4 x 23 80 = 5 x 24

Diádica 1 4 = 2 x 21 12 = 3 x 22 32 = 4 x 23

Triádica 1 4 = 2 x 21 12 = 3 x 22

Tetrádica 1 4 = 2 x 21

Pentádica 1

Se e* e e*, f* e f*, ..., g* e g*, h* e h*, são P - 1 sistemas recíprocos arbitrários de EN, dentre as múltiplas possibilidades podemos escrever, por exemplo:

P Pv

v φφφφ φφφφ= −1 h , em escrita (P - 1)-ádica,

P P vu

uv φφφφ φφφφ= −2 g h , em escrita (P - 2)-ádica

....

5 O que aqui denominamos (P - i)-adicamente escrito, Drew denomina i-adicamente escrito (Bibl. 1, item 2.8 - 3).

16 § 03 - Representações Ni-nomiais de poliádicos.

IV,§ 03.04

... P

j r v k ... s ... u j r

s uv ... ... φφφφ φφφφ= f n m g h , em escrita diádica,

v

usrj

iu ... s ...k i

r v j P ... ... hgmnfea=φφφφ , em escrita vetorial,

... ... ...A v

usrj

ihu ... s

vr k i

jh p hgmnfed =φφφφ , em escrita cartesiana, (01),

onde i, j, k, ..., u, v = 1, 2, ..., N (e N = 1, ou 2, ou 3). As escritas (P-1)-ádicas de um poliádico requerem apenas que os vetores presentes nas representações sejam independentes no EN.

Teor. 1: Todo poliádico pode ser escrito (P-1)-adicamente com conseqüentes (ou antecedentes) vetores, tais, que um deles seja perpendicular aos outros dois.

Pois, no E3, e e e e .e e .e

1 23 3

13

20, e , com = = constituem uma base, e

331P

221P

111PP eee ααααααααααααφφφφ −−− ++= ,

constituiria uma autêntica escrita (P-1)-ádica do poliádico.

Matriz associada a poliádico em base vetorial A cada uma das 16 escritas cartesianas de um tetrádico relativas a um único sistema de vetores recíprocos do E3 (por exemplo), a saber,

etc. AAA

AAA

kj

ih

jh k i

kjihhijk

kjih

hijk

kjih

hijk

kjih

hijk kjih

hijk4

eeeeeeeeeeee

eeeeeeeeeeee

===

====φφφφ

poderemos associar uma matriz 9×9 que contenha todas as suas 34 = 81 coordenadas. Para tal vamos imaginar essa matriz subdividida em 9 blocos, ou submatrizes 3×3. Representando cada bloco pela letra B, acompanhado do primeiro e do terceiro índices faremos as seguintes associações:

1°) - Se 4 φφφφ = A hijkh i j k

e e e e , [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

4

9

9

11

3

3 12

3

3 13

3

3

21

3

3 22

3

3 23

3

3

31

3

3 32

3

3 33

3

3

φφφφ∗∗ =

B B B

B B B

B B B



sendo

[ ]BA A AA A AA A A

hj

h j h j h j

h j h j h j

h j h j h j3

31 1 1 2 1 3

2 1 2 2 2 3

3 1 3 2 3 3=

;

2°) - Se [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

4 4

9

9φφφφ φφφφ= =

∗∗A ,

jk h ij khi

11

21

31

12

22

32

13

23

33

B B B

B B B

B B B

e e e e ,

sendo

[[[[ ]]]]B

A A A

A A A

A A A jh

j1h1

j2h1

j3h1

j1h2

j2h2

j3h2

j1h3

j2h3

j3h3

3

3====

;

e assim sucessivamente, para todas as 16 representações cartesianas de 4 φφφφ . As nove submatrizes com índices h e j iguais são ditas submatrizes diagonais; os elementos destas, com i=k, em número de nove, compõem a diagonal principal da matriz associada.

Esse critério de associação de matriz a poliádicos de valência quatro pode ser estendido aos de valência 6, que têm 36 = 33×33 = 27×27 = 729 coordenadas; e de próximo em próximo ao 2H-ádicos em geral. Criamos uma matriz 27×27 e a subdividimos em 9 blocos (três horizontais e três verticais) representados pela letra B acompanhada do primeiro e quarto índices da representação cartesiana correspondente, cada bloco comportando as coordenadas de cada um dos 9 tetrádicos motivo do hexádico. Assim, por exemplo,

se 6 φφφφ = Ah i j

k l m klmhij e e e e e e , então [ ]

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

11

21

31

12

22

32

13

23

33

6

27

279

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

φφφφ ∗∗ =

B B B

B B B

B B B

,

sendo

[ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

B kh

k1h1

k2h1

k3h1

k1h2

k2h2

k3h2

k1h3

k1h3

k3h3

B B B

B B B

B B B

9

93

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

=

e

=hi3

kj3 hi3

kj2 hi3

kj1

hi2kj3

hi2kj2

hi2kj1

hi1kj3

hi1kj2

hi1kj1

hikj

AAA

AAA

AAA

]B[ .

18 § 03 - Representações Ni-nomiais de poliádicos.

IV,§ 03.04

As matrizes 9x9 com índices h=k, em número de nove, são ditas submatrizes 9x9 diagonais do hexádico. A submatriz diagonal com índices i e l iguais (do tipo [Bhi

hi]) serão submatrizes 3x3 diagonais do hexádico; e este terá, pois, nove submatrizes 3x3 diagonais. Como cada submatriz 3x3 diagonal apresenta três elementos na diagonal principal – os números Bhij

hij – tais elementos, em número de vinte e sete comporão a diagonal principal da matriz associada ao hexádico. Fica evidente o processo de representação cartesiana das 32H coordenadas de um 2H - ádico. É evidente também que outros processos poderiam ser idealizados, mas o apresentado tem a vantagem de identificação imediata dos números componentes da diagonal principal da matriz final ou das submatrizes diagonais. Representemos o tetrádico 4φφφφ por cada uma de suas 4 escritas diádicas (ternárias), isto é,

4 j kj k k

jj

k ...φφφφ φφφφ φφφφ= = =e e e e .

Como cada um dos seus 32 diádicos apresenta 4 representações cartesianas,

φφφφ

φφφφ

j k h i j kh i i

h j k h

ih i j k h i

h i j k h

i

kj

kh i j

h i

A A A A

A ... ,

= = = =

= =

e e e e e e e e

e e

,

concluímos que a matriz de certo nome associada a cada conjunto de 32 diádicos motivo de um tetrádico (§ 10, II) é a própria matriz de mesmo nome associada ao tetrádico. Essa propriedade é verdadeira para todos os poliádicos de valência par, 2H. Por exemplo, uma escrita H-ádica de um 2H-ádico é:

1,2,3)=i (h, , ... wv

uj

ihu w ... i

v... jh H2H eeeeeeφφφφ====φφφφ , (02),

onde se evidenciam os 3H H-ádicos motivo (antecedentes) de 2Hφφφφ. Nestas condições (de valência), e apenas nestas condições, aos H-ádicos ficam associadas matrizes quadradas 3H x 3H já que cada um tem 3H coordenadas (que formariam as linhas da matriz) e existem em número de 3H (que comporiam as colunas da matriz). Concluímos:

A matriz de certo nome associada a cada conjunto de 3H H-ádicos motivo de um 2H-ádico é a própria matriz de mesmo nome associada ao 2H-ádico.

Com facilidade podemos associar matrizes retangulares a poliádicos de valência ímpar. Assim, para o triádico 3φφφφ ==== A hij

h i j e e e, aplicando critério análogo ao já utilizado no



caso dos tetrádicos, poderíamos efetuar a seguinte associação matricial:

=

=33

3

33

2

33

1

333332331

323322321

313312311

233232231

223222221

213212211

133132131

123122121

113112111

39

3

]A[

]A[

]A[

AAA

AAA

AAA

AAA

AAA

AAA

AAA

AAA

AAA

][ φφφφ ,

com submatrizes 3x3 dispostas na vertical (formando blocos horizontais), sendo

[[[[ ]]]]

====133132131

123122121

113112111

3 3

1

AAA

AAA

AAA

A , [[[[ ]]]]

====233232231

223222221

213212211

3 3

2

AAA

AAA

AAA

A e [[[[ ]]]]

====333332331

323322321

313312311

3 3

3

AAA

AAA

AAA

A .

Entretanto, poderíamos efetuar também a associação:

[ ] [ ] [ ] [ ][ ]321

333323313332322312331321311

223223213232222212231221211

133123113132122112131121111

9

3 3 AAA

AAAAAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAAAAA

′′′=

=φφφφ

com três submatrizes 3x3 dispostas na horizontal. Neste caso, o último índice de um elemento da matriz representa a ordem de cada bloco, o penúltimo a ordem da coluna dentro do bloco e o primeiro índice a ordem da linha no bloco. No caso dos triádicos mais duas outras associações poderiam ser efetuadas. No caso dos pentádicos, a associação matricial poderia ser realizada por procedimentos análogos, mas as matrizes associadas teriam, agora, 33=27 linhas e 32=9 colunas, ou 9 linhas e 27 colunas.

É fácil deduzir que, no caso geral de um poliádico de valência ímpar 2H-1 (H=1,2, ...), as matrizes associadas teriam 3H linhas e 3H-1 colunas (ou 3H colunas e 3H-1 linhas).

Representações mistas e não mistas de 2H-ádicos.

A denominação "representação não mista" é muito apropriada às escritas cartesianas dos poliádicos de valência par, 2H, em que os H primeiros vetores de base de cada 2H-ade apresentem índices em níveis idênticos dos seus correspondentes nos H vetores restantes. Assim, uma representação não mista de um 2H-ádico é

4342143421fatores Hfatores H

ut

sr

kj

ih

... r t ... jh u sk ... i ... ... A eeeeeeee ,

20 § 04 - Poliádico Nulo.

IV,§ 04

em que eh é o correspondente de er, ei é o de es etc. (os índices desses vetores

correspondentes estando em níveis idênticos).

Para os tetrádicos, por exemplo, quatro e apenas quatro das suas 16 representações cartesianas são representações não mistas (distintas):

A e A , A , A kj

ih

jh k i k

ji

hk i jh

kjih hijkkjih

hijk eeeeeeeeeeeeeeee .

Outras representações de tetrádicos – todas mistas - recebem as denominações já estabelecidas. Por exemplo:

A khij

h i jke e e e é uma representação três vezes contravariante e um vez covariante;

kjih

h jk i A eeee é uma representação contravariante e três vezes covariante etc..

Os poliádicos de valência par, 2H, apresentam coordenadas não mistas duplamente homônimas porque se os seus primeiros H índices ocupam certas posições, os seus H índices correspondentes ocuparão posições idênticas. Assim, para os diádicos (H=1), elas

são duplamente covariantes (hiA ) ou duplamente contravariantes (hiA ); para os tetrádicos

elas são quadruplamente covariantes (hijkA ), quadruplamente contravariantes (hijkA ),

antravariantes/covariantes/contravariantes/covariantes ( jh k i A ) ou, finalmente,

covariantes/contravariantes/covariantes/contravariantes ( k i jh A ); e assim por diante para os

demais 2H-ádicos.

§ 04 - POLIÁDICO NULO.

Consideremos o seguinte triádico reduzido à forma N-nomial, 3ΟΟΟΟ = ααααkgk , (k = 1, 2, ..., N); tem-se:

)( : kk3 .vg.vv ααααΟΟΟΟ =∀ .

Para que o diádico resultado - o transformado do vetor mediante o triádico - seja o diádico nulo é necessário e suficiente que os diádicos ααααk sejam todos nulos (§02.09,Cap.II,Vol.I). Tem-se, ainda:

kk3 )( : gv.v.v ααααΟΟΟΟ=∀

Para que o novo (diádico) resultado seja, ainda, o diádico nulo, é condição necessária e suficiente que os vetores v.ααααk sejam todos nulos. Mas como o vetor v é qualquer, é necessário e suficiente que todos os ααααk sejam nulos (§02.09,Cap.II,Vol.I). Faríamos as mesmas deduções caso o triádico 3ΟΟΟΟ fosse reduzido a uma forma N-nomial com conseqüentes diádicos. Logo:

Teor. 1: A CNS para que um triádico, representado em forma N-nomial, transforme qualquer vetor no diádico nulo é que os seus antecedentes ou os seus conseqüentes sejam todos nulos.

§ 04 - Poliádico Nulo. 21


Definição: ( triádico nulo) O poliádico, único, de valência 3, que transforma qualquer vetor no diádico nulo, denomina-se 3-ádico nulo, triádico nulo, ou, ainda, poliádico nulo de valência 3; será representado por ΟΟΟΟ3 .

De próximo em próximo podemos generalizar esses resultados e definir o P-ádico nulo; este será representado por ΟΟΟΟP .

Teor. 2: A CNS para que um P-ádico transforme qualquer vetor no (P-1)-ádico nulo é que os seus antecedentes, ou os seus conseqüentes, sejam todos nulos.

Dada a arbitrariedade do vetor v, e em face da definição de igualdade de poliádicos (§02.04), concluímos que são iguais todos os poliádicos de valência P que transformam qualquer vetor no (P - 1)-ádico nulo.

São, pois, poliádicos nulos: o vetor nulo, o diádico nulo, o triádico nulo etc., respectivamente de valências um, dois, três etc. É evidente que, estando um P-ádico nulo expresso em forma Ni-nomial (§03.03), todos os seus (P-i)-ádicos motivo são nulos. A matriz associada ao tetrádico nulo é a matriz zero 9×9 se os vetores recíprocos utilizados na representação cartesiana são do E3; nestas mesmas condições a matriz associada ao 2H-ádico nulo é a matriz zero 3H×3H.

É evidente a demonstração do seguinte

Teor. 3:

ΟΟΟΟφφφφΟΟΟΟφφφφΟΟΟΟφφφφ PP1PP1PP ou , =⇒∀⇐== −− vv..v , (01).

Teor. 4: ∀ ≠ ≠ = com ( ) 0 e ( (iP i

i1 2 3 1 2 3φφφφ, , , ) ,2,3) :a e a a a e e e 0 1

ΟΟΟΟ

φφφφφφφφφφφφ

φφφφ

P

P3

33

23

13

P2

32

22

12

P1

31

21

11

P321

=

.e.ae.ae.ae

.e.ae.ae.ae

.e.ae.ae.ae

aaa

, (02),

desde que os (P-1)-ádicos da última coluna sejam os antecedentes nas políades binárias a serem formadas no cálculo desse pseudo-determinante.

A demonstração é a mesma já apresentada no caso dos diádicos (§02.09,Cap.II,Vol.I), bastando lá trocar-se φφφφ por Pφφφφ.

Corol. 1:

∀ ∀ = = =∗∗ e e : (i ... , N)P P P

ii P i

ie e .e e .e e , ( ) ( ) , ,φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ 1 2 , (03).

22 § 05 - Casos de igualdade de poliádicos.

IV,§ 05

Com efeito, para comprovar basta trocar ai por ei em (02) para se obterem os dois primeiros membros de (03); ou trocar ei por ei e ai por ei para se obterem o primeiro membro e o último.

§ 05 - CASOS DE IGUALDADE DE POLIÁDICOS. Alguns casos de igualdade de poliádicos podem ser assinalados. As demonstrações dos teoremas seguintes são as mesmas dos casos de igualdades de diádicos (§02.07,Cap.II,Vol.I).

Teor. 1: Dois poliádicos iguais, reduzidos a uma forma N-nomial com os mesmos vetores antecedentes (conseqüentes) independentes, têm iguais conseqüentes (antecedentes); e reciprocamente:

P Pi

P P ii

P P ii

P i P i

indep. (i 1, 2, ..., N),

,

φφφφ ψψψψ

φφφφ αααα ψψψψ ββββ αααα ββββ

= ⇐ =

= = ⇒ =− − − −

g

g g1 1 1 1,

, (01).

Temos, para qualquer vetor v:

v . v . v . g v . g ou ( ( P P P ii

P ii

φφφφ ψψψψ αααα ββββ= =− −, ) )1 1 .

Multiplicando escalarmente ambos os membros por gj e simplificando, resulta:

v . v . P j P j− −=1 1αααα ββββ .

Então, lembrando a definição de igualdade de poliádicos, resulta a igualdade dos (P-1)-ádicos antecedentes dos P-ádicos iguais, já que v é qualquer. A recíproca é de demonstração imediata6.

Corol. 1: Uma CNS para que dois P-ádicos sejam iguais, é que os seus antecedentes e os seus conseqüentes, em qualquer redução N-nomial, sejam respectivamente iguais.

Teor. 2: Uma CNS para que dois P-ádicos gerados de EN sejam iguais, é que transformem os mesmos N vetores independentes de EN em (P-1)-ádicos iguais.

Com efeito, sejam ui e ui (i = 1, 2, ..., N) sistemas de vetores recíprocos de EN. A

condição é necessária porque, por hipótese, Pi

Pi

φφφφ ψψψψ. u .u= , P P e φφφφ ψψψψ sendo dois P-

6 Este teorema será generalizado no § 06.

§ 05 - Casos de igualdade de poliádicos. 23


ádicos quaisquer, mas que transformam os mesmos N vetores independentes nos mesmos (P-1)-ádicos. Então, multiplicando diretamente ambos os membros dessa igualdade por u i e somando em i, temos a igualdade poliádica:

( (i ... , N)Pi

i Pi

iφφφφ ψψψψ. u u .u u) ( ) , ,= = 1 2 .

Mas, pelo Corol. 1 do Teor. 4 do §04, o primeiro membro é igual a P φφφφ e o segundo é igual

a P ψψψψ ; donde a tese. A condição suficiente é de demonstração imediata. O Teor. 1 pode ser generalizado facilmente, dando lugar ao seguinte

Teor. 3: A CNS para que dois P-ádicos, escritos (P-Q)-adicamente em função de Q sistemas de vetores recíprocos, sejam iguais, é que seus (P-Q)-ádicos motivo sejam respectivamente iguais:

P P φφφφ ψψψψ= ⇐ ∀ ∗

∗∗

∗ ... , :P Pn n m m, , , , ,φφφφ ψψψψ

P P Q

r v s ... u r

s uv P P Q

r v s ... u r

s uv ... e ... φφφφ φφφφ ψψψψ ψψψψ= =− −n m g h n m g h ,

(r, s, ..., u, v = 1, 2, ..., N) ⇒ P Qr v s ... u P Q

r v s ... u− −=φφφφ ψψψψ , (02).

Com efeito, se P P φφφφ ψψψψ= , das escritas (P-Q) - ádicas desses P-ádicos em função dos

mesmos Q sistemas de vetores recíprocos (como em (02)), temos Pi

Pi

φφφφ ψψψψ. h .h= , ou

melhor:

... ... P Qr i s ... u r

s uP Q

r i s ... u r

s u− −=φφφφ ψψψψn m g n m g ;

também, ( ) )P

ij P

ij ( φφφφ ψψψψ. h .g .h .g= , ou

... ... P Qr i s ... j r

sP Q

r i s ... j r

s− −=φφφφ ψψψψn m n m .

Após Q multiplicações escalares pelos recíprocos dos primeiros conseqüentes dos poliádicos remanescentes de multiplicações anteriores encontra-se a igualdade final procurada. Reciprocamente, se são correspondentemente iguais os (P-Q)-ádicos,

P Qr v s ... u P Q

r v s ... u− −=φφφφ ψψψψ ( r, s, ..., u, v = 1, 2, ..., N),

então, em relação aos sistemas recíprocos n* e n*, o Teor. 1 permite escrever:

P Qr v s ... u r P Q

r v s ... u r− −=φφφφ ψψψψn n ,

24 § 06 - Multiplicação de poliádicos.

IV,§ 06.01

expressão na qual está estabelecida uma somatória em r (de 1 até N). Aplicando novamente o Teor. 1 para esses novos (P-Q+1)-ádicos e adotando um novo sistema de vetores recíprocos, m*, m*, teremos:

P Qr v s ... u r

sP Q

r v s ... u r

s− −=φφφφ ψψψψn m n m .

Assim, operando com Q sistemas de vetores recíprocos, encontraremos dois P-ádicos iguais, P P e φφφφ ψψψψ, escritos (P-Q)-adicamente em função desses mesmos Q sistemas.

§ 06 - MULTIPLICAÇÃO DE POLIÁDICOS.

§ 06.01 - Multiplicação simples. As operações denominadas multiplicação ponteada e cruzada, já definidas e estudadas para os vetores e diádicos (Cap.II), já foram estendidas para os poliádicos e vetores em geral no caso de multiplicação ponteada (§02.03). Consideremos a pêntade e a tríade seguintes: abcde e xyz. Podemos efetuar com essas políades a operação de multiplicação ponteada ou cruzada, representadas indiferentemente pelo símbolo , pela seguinte definição:

yzxeabcdxyzabcde )()()( oo = ,

onde o produto (ex) é um escalar ou um vetor, conforme esteja representando a multiplicação ponteada ou a cruzada. No primeiro caso, conforme já definimos (§02.01), a posição desse produto é irrelevante (pois representa um escalar); mas no segundo - caso de multiplicação cruzada - a posição desse vetor produto no políade resultado é imutável. Concluímos, logo, que nesse segundo caso, a políade produto tem valência uma unidade menor que a soma das valências das políades fatores; no primeiro caso, a políade produto tem valência duas unidades menor que a soma das valências das políades fatores. Esses conceitos e resultados são válidos, também, quando as políades têm como primeiro conseqüente e/ou primeiro antecedente (§01.04) outras políades. Assim, por exemplo,

ααααφφφφααααφφφφ yxabcxyabc )()()( 44 oo = isto é, o produto do 7-ádico multiplicando (que tem um tetrádico como primeiro conseqüente) pelo tetrádico multiplicador (que, por sua vez, tem um vetor como primeiro antecedente) é uma (7 + 4 - 2)-ade no caso de multiplicação ponteada, e uma (7 + 4 - 1)-ade no caso de multiplicação cruzada. Nas aplicações, notadamente em Física, trabalhamos com triádicos, tetrádicos e, no máximo, com hexádicos, representados nas suas várias formas Ni-nomiais; podem, pois, ter como primeiros antecedentes ou primeiros conseqüentes vetores, diádicos etc., até pentádicos. Isto torna o entendimento e os resultados das operações relativamente simples em comparação com operações entre poliádicos em geral as quais aparecem com pouca freqüência; o que justifica um estudo bastante sumário.

§ 06.02 - Multiplicação múltipla simples e dupla de poliádicos e matrizes. 25


Essas operações não são comutativas (em geral), mas são distributivas em relação à adição; podem ser estendidas aos poliádicos porque elas se distribuem em relação à adição de políades. Assim, por exemplo,

se e , (i, j, k = 1,2, ... ,Q) então 3 ji

ij 4

kk 3 4

ji

ij

kkφφφφ ψψψψ αααα ββββ φφφφ ψψψψ αααα ββββ= = =a g g . a g g .( ) .

De um modo geral, o primeiro conseqüente de um P-ádico multiplicando é outro poliádico (de valência menor que P); similarmente, o primeiro antecedente de um Q-ádico multiplicador é também um poliádico (de valência menor que Q). Então, de próximo em próximo, poderemos sempre calcular o produto (ponteado ou cruzado) de qualquer poliádico por outro. Particularmente, do Corol. 1 do Teor.4 do §04 podemos escrever:

∀ = = : P P P Pφφφφ φφφφ φφφφ φφφφ. .ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ , (01).

Ainda,

a.a.a )() ( :,, ψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφ ×=×∀ , (02).

Pois, sendo φφφφ ψψψψ= =a b c di

ij

j e , tem-se:

) )(()] ([) ( j

ji

ij

ja.dcbaa.dca. ×=×=× φφφφψψψψφφφφ .

Considerando-se a definição de produto ponteado de poliádico por vetor (§02.03), o último membro pode ser escrito na forma a.dcba ])([ j

ji

i× . Agora, considerando a definição de

multiplicação simples cruzada de diádico por diádico, concluímos a veracidade de (02). É evidente, ainda, pelos mesmos motivos, que

)( ) ( :,, ψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφ ×=×∀ .a.aa , (03),

aaa )()( :,, ××=××∀ ψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφ , (04),

e χχχχψψψψφφφφχχχχψψψψφφφφχχχχψψψψφφφφ )()( :,, ××=××∀ , (05).

§ 06.02 - Multiplicação múltipla simples e dupla de poliádicos e matrizes.

Consideremos as políades

abcd xyzw x y zw d cb a ... , e ... ... ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ de valências P e Q, respectivamente, com, suponhamos, P > Q. Como a, b, c, ... são vetores, essas políades estão escritas em forma P-ária e Q-ária, respectivamente.


IV,§ 06.02

Definição: Chama-se produto R-plo (duplo, triplo, etc.) da P-ade xyzwabcd ... pela Q-

ade abcdwzyx ′′′′′′′′ ... , para R ≤ Q, e escreve-se

4342143421 o

fatores Rfatores R

R ), ... ... ( ) ... ... ( abcdwzyxxyzwabcd ′′′′′′′′

onde é o símbolo da operação de multiplicação ponteada ou cruzada de vetores, à políade

434214444 34444 21321ooo

fatores R-Qfatores Rfatores R-P

... ))()((... ... abcdwwzzyyabcd ′′′′′′′, (01),

onde, a ordem dos fatores entre parênteses (vetores) deve ser mantida caso representem vetores

A multiplicação R-pla de duas políades é a operação que tem por fim gerar o produto R-plo das mesmas. Quando a multiplicação R-pla é a ponteada, o produto é dito produto ponteado R-plo; quando a multiplicação é a cruzada, o produto é dito produto cruzado R-plo. Essa operação múltipla goza das seguintes

Propriedades

1ª) - É sempre possível e unívoca.

Com efeito, é possível porque, sendo R≤Q (será R≤P), ao (R-j)-ésimo antecedente da políade multiplicadora (no caso, a de menor valência) corresponderá sempre o j-ésimo conseqüente da políade multiplicando (no caso, a de maior valência); logo, é sempre possível a determinação tanto dos R primeiros fatores da políade produto (que são escalares ou vetores) como a dos demais, sem ambigüidade. É unívoca porque todos os fatores da políade produto, sejam eles vetores ou escalares, são determinados de forma única.

2ª) - A multiplicação ponteada R-pla de políades somente será comutativa se ambas as políades tiverem a mesma valência R.

Pois,

... ... ... , Q-R fatores R fatores P-R fatores

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′a b c d y . y z .z w .w dcba( )( )( )1 24 34 1 24444 34444 124 34 (02),

é obviamente diferente de (01) onde se faça .≡o . Mas,

( ( )abcd xyzw . a b c d x y z w ... ... ) ...

R

R fatores R fatores

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ =1 2444 3444 1 2444 3444

= ′ ′ ′ ′ ′ ′ = ( ... ... R fatores

a.a b.b c.c y.y z.z w.w)( )( ) ( )( )( )1 2444444444 3444444444



= ′ ′ ′ ′ ′ ′ =( ... ... R fatores

a .a b .b c .c y .y z . z w . w)( )( ) ( )( )( )1 2444444444 3444444444

= ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′( ) ( )a b c d x y z w . abcd xyzw ... ... ...

R

R fatores R fatores1 2444 3444 1 2444 3444 ,

o que comprova a propriedade.

3ª) - Para a multiplicação cruzada R-pla de políades de valência R, tem-se:

444 3444 2144 344 21fatores Rfatores R

R ) ... ( ) ... ... ( =′′′′′′′′× wzyxdcbaxyzwabcd

44444444 344444444 21fatores R

))()(( ... ... ))()(( =′×′×′×′×′×′×= wwzzyyccbbaa

).)()(( ... ... ))()(( )1(

fatores R

R44444444 344444444 21

wwzzyyccbbaa ×′×′×′×′×′×′−=

Para R ímpar diremos que a multiplicação cruzada R-pla de duas políades é anti-comutativa; para R par, ela é sempre comutativa.

4ª) - A operação é distributiva em relação à adição de políades e associativa em relação a fatores escalares,

o que é evidente.

Definição: Chama-se produto R-plo de um P-ádico Pφφφφ por um Q-ádico Q ψψψψ, nessa ordem, para R≤P e R≤Q, e se indica por:

ψψψψφφφφ QRP o

,

o poliádico que se obtém efetuando-se as somas das políades produto R-plo de cada políade de Pφφφφ por cada políade de Q ψψψψ.

A multiplicação R-pla do poliádico Pφφφφ pelo poliádico Q ψψψψ é a operação que tem por fim gerar o produto R-plo deles. Essa operação é sempre possível porque é sempre possível reduzir qualquer S-ádico a uma forma que contenha R vetores de base como antecedentes ou como conseqüentes (desde que R ≤ S), o que possibilita a aplicação da definição (01). Resultam logo de (02):

φφφφψψψψψψψψφφφφ PPPPPP .. = , (021),

e φφφφψψψψψψψψφφφφ PPPPPPP )1( ×× −= , (022).


IV,§ 06.02

Pode acontecer que a representação de alguma das políades fatores contenha letras que representem outras políades, como a bc 3φφφφ αααα ββββ, em que o primeiro e o segundo conseqüentes são diádicos, o terceiro conseqüente um triádico, e os demais são vetores. Nesse caso será necessário dar aos diádicos uma representação N-nomial e ao triádico uma representação N2-nomial, ou N3-nomial, antes de proceder-se a operação. Com efeito, sem o que não se aplica a definição representada pela expressão (01). Entretanto, poderão ocorrer casos de multiplicação possíveis com políades expressas em função de outras políades, desde que haja compatibilidade da multiplicidade das operações indicadas com as valências das políades componentes das políades fatores. Exemplo:

a b c . y z 3 7 3φφφφ αααα ββββ ψψψψ γγγγ δδδδ .

Nesta multiplicação ponteada 7-pla, os três primeiros conseqüentes da políade multiplicando têm valências 2, 2 e 3; os três primeiros antecedentes na políade multiplicadora têm valências 3, 2 e 2. Em ambos os casos, a soma das valências é 7, e as valências se correspondem em ordem inversa; o que possibilita escrever, imediatamente:

a b c . y z 3 7 3φφφφ αααα ββββ ψψψψ γγγγ δδδδ =

= =a b c . : : y z . : : a b c y z ) ) 3 3

( )( )( ( )( )(3 3 3 3φφφφ ψψψψ αααα γγγγ ββββ δδδδ φφφφ ψψψψ αααα γγγγ ββββ δδδδ .

Com efeito, se pusermos, para atender às condições da definição (01):

3φφφφ αααα ββββ ψψψψ γγγγ δδδδ= = = = = =d e f g h i j k l m n o p q e 3, , , , , ,

escreveremos:

a b c . y z 3 7 3φφφφ αααα ββββ ψψψψ γγγγ δδδδ =

= =a b c d e f g h i j . k l m n o p q y z a b c d.k e. l f.m g.n h.o i.p j.q y z (

7

7 fatores 7 fatores

)( )( )( )( )( )( ) .1 24 34 1 244 344

Mas

)],( ))][(( ))][( ( ) [()])()][()()][()()([(

))()()()()()(() ( ) (

3

7

pq:ijno:ghmlkfedj.qi.ph.og.nf.me.ld.k

j.qi.ph.og.nf.me.ld.kqponmlkjihgfed

.

.

=

==

resultado que comprova a assertiva. Outros casos de multiplicação poderão ocorrer em que o cálculo do produto poderá ser conduzido de maneira bastante próxima da anteriormente considerada, eventualmente sem uma simplificação satisfatória. Exemplo:

wzyxcba 3653 δδδδγγγγψψψψββββααααφφφφo

.



Nesse caso a soma das valências dos dois primeiros conseqüentes da políade multiplicando, 7, é maior que R = 6; e a soma das valências dos dois primeiros antecedentes da políade multiplicadora, 4, é menor que R. Ponhamos, então, para podermos aplicar (01),

αααα ββββ ψψψψ γγγγ δδδδ= = = = =d e f g h i j k l m n o p q 5 3, , , , .

Teremos:

== )( )( 633653 wklmnopqxyzefghijdabcwzyxcbaoo

φφφφδδδδψγψγψγψγββββααααφφφφ

wyxqpjoinhmglfkedcba

wzyxqponmlkjihgfedcba

)])()()()()([(

) ( ) (

3

63

oooooo

o

φφφφ

φφφφ

=

==

É impossível descobrir dentro dos colchetes operações simples ou múltiplas envolvendo todas as políades componentes das políades fatores que possam simplificar o resultado. Essas multiplicações nem sempre são associativas, mesmo nos casos em que os fatores têm as mesmas valências. Entretanto, para os poliádicos de valência par, 2H, em multiplicação H-pla (ponteada ou cruzada), é fácil comprovar que:

γγγγββββααααγγγγββββαααα 2HH

2HH

2H2HH

2HH

2H ) ( ) ( oooo

= , (03).

Em algumas ocasiões estaremos efetuando multiplicações com poliádicos expressos em formas Ni-nomiais em relação aos mesmos sistemas recíprocos de vetores; o que, em geral, reduz substancialmente os cálculos a efetuar e os resultados. Exemplos 1: (nos quais g* e g* são sistemas recíprocos)

1.1) - Seja calcular 3φφφφ ψψψψ : , sendo

3φφφφ ψψψψ= =F e P i k j i

jk

r s r

sg g g g g.

Tem-se, aplicando a definição (01): 3φφφφ ψψψψ : = F P

i k j i

jk

r s r

sg g g : g g =

.P FC sendo , C P F

P F))(( P F

k j

j k i i

ii

ik j

j k i

iks

r j

s r

j k is

krj

is r

j k i

===

=δδ==

gg

g.gg.ggg

1.2) - Se 4φφφφ ψψψψ= =a g g g g g g

sr t

rs

t3

i kj i

jk e P , então:

a) - 4 φφφφ ψψψψ 3

3. = P P i kj

sr t

ri s

j tk

i kj

j i ka aδ δ δ = (vetor);


IV,§ 06.02

b) - =×× ψψψψφφφφ 34 k

jtis

rr ts

j k i ))( ( P gggggga ×× (pentádico).

Teor. 1: (produto ponteado nulo)

ΟΟΟΟββββχχχχΟΟΟΟχχχχββββ PPQQPQQP =⇒∀⇐= −. .

Pois, sendo

P ij

ki

jk

Q uv

w

Q fatores Q fatores

... ... e = ...

φφφφ χχχχ= ′ ′ ′a b c y z w y z w ,1 24 34 1 244 344

deve ser

. ... ))()(( ...

escalares fatores Q

QPwkv

jui

kj

iQQP

44444 344444 21ΟΟΟΟχχχχφφφφ −=′′′= w.wz.zy.ycba.

Nenhum dos fatores escalares de cada políade é necessariamente nulo, porque o poliádico multiplicador é qualquer. Então, para que o poliádico produto seja nulo, cada políade do poliádico multiplicando deve ter um vetor fator nulo, o que implicará a sua nulidade.

A demonstração da recíproca é imediata.

Definição: (poliádicos perpendiculares) Se o produto ponteado Q-plo de dois Q-adicos é nulo eles são ditos ortogonais ou perpendiculares.

Caso de igualdade de poliádicos

Teor. 2: A CNS para sejam iguais dois P-ádicos, P P e φφφφ ψψψψ , é que nas mesmas condições de multiplicação ponteada R-pla (P, Q ≥ R), seus produtos por um Q-ádico qualquer sejam (P + Q - 2 R)-ádicos iguais:

=

=

⇒∀⇐=

.

ou

PR

QPR

Q

QR

PQRP

QPP

ψψψψχχχχφφφφχχχχ

χχχχψψψψχχχχφφφφ

χχχχψψψψφφφφ

..

..

, (04).

A condição é necessária, porque se, digamos, P R Q P

R Qφφφφ χχχχ ψψψψ χχχχ. .= , então:

ΟΟΟΟχχχχψψψψφφφφ 2RQPQR

PP ) ( −+=− . ,

condição que só se verifica se o poliádico entre parênteses for o poliádico nulo de valência P (Teor. 1); o que implica a tese. A condição suficiente é de demonstração evidente7.

7 No caso particular em que Q = 1, o poliádico é um vetor e o teorema fica reduzido à definição de § 02.04.

§ 06.02 - Multiplicação múltipla simples e dupla de poliádicos. 31


Matriz associada a produtos ponteados.

Sejam

P i k sh j ... r t

hi k

rs

t

R fatores

A ... ... (R P), αααα = ≤e e e e e e1 244 344

e

Q r t i

k ... s j h

kr

st

ji

h

R fatores

B ... , (R Q) 1 1 1

1 1 1 1

1

1

1

1

1

1

1

ββββ = ≤e e e e e e e1 244 344 .

Tem-se:

P R Q

i k sh j ... r t A αααα ββββ. =

B ... ...

R fatores

r t i

k ... s j h

kk

r r

ss

t

t

hi

j ji

h

P+Q-2R fatores

1 1 1

1 1 1 1

1

1

1

1

1

1

1

6 7444 8444

1 2444 3444δ δ δ δ e e e e e e .

Efetuando-se as somas indicadas resulta:

P R Q

i k sh j ... r t A αααα ββββ. =

B ... r t i

k ... s j h

hi

j ji

h1

1 1

1

1

1e e e e e e .

Representando por C 11

1

h j ... jh i i a coordenada geral do produto, a lei geral de formação

dessas coordenadas é dada por:

11

1

h j .... jh i i C = A

i k sh j ... r t B

r t i

k ... s j h

1

1 1, (05).

Teor. 3: Quando os poliádicos são ambos de mesma valência par, 2H, e a multiplicação ponteada é H-pla (metade da valência), a matriz mista 3H x 3H de certo nome, associada ao poliádico produto (numa certa base vetorial), é igual ao produto, na mesma ordem, das matrizes 3H x 3H homônimas das matrizes associadas a cada poliádico (na mesma base vetorial):

2H H 2H 2H 2H

33 2H

33 2H

33 [ [ [H

H

H

H

H

H

αααα ββββ γγγγ αααα ββββ γγγγ. .= ⇒ =] ] ] , (051).

Com efeito, tendo os poliádicos valências pares iguais, e estando escritos em formas cartesianas homônimas numa mesma base vetorial, os i-ésimos dos H conseqüentes do 2H-ádico multiplicando têm seus índices em níveis opostos aos dos índices dos (H - 1)-ésimos antecedentes do 2H-ádico multiplicador. Na expressão cartesiana do produto ponteado H-plo desses poliádicos ocorrerão necessariamente H deltas de Kronecker que acarretam as igualdades desses índices assim correspondentes nas expressões cartesianas de cada poliádico. Como índice(s) repetido(s) em níveis diferentes implica somatório, a expressão encontrada do produto impõe que a composição da matriz produto seja realizada da mesma maneira como se multiplicam ordinariamente as matrizes. De fato, pois os H últimos índices das coordenadas numa linha qualquer da matriz multiplicando são iguais aos H primeiros índices de uma coluna qualquer da matriz multiplicadora.


IV,§ 06.02

Exemplos 2:

2.1) - Se 4 j kh i

h ij k 4

t ur s

r st uH e G ΗΗΗΗ ΓΓΓΓ= =e e e e e e e e, tem-se:

=∗∗∗∗

3333

3312

3311

1233

1212

1211

1133

1112

1111

4

H...HH

............

H...HH

H...HH

][ ΗΗΗΗ

e

=∗∗∗∗

3333

3323

3312

3311

1223

1223

1212

1211

1133

1123

1112

1111

4

G...G...GG

.........

G...G...GG

G...G...GG

][ ΓΓΓΓ .

Sendo

4 4 4 j kh i

t uj k

h it u

11h i

t u11

12h i

t u12

3 3h i

t u3 3

h it u

t uh i

h it u

H G H G H G

... H G F

φφφφ = = = + +

+ + =

ΗΗΗΗ ΓΓΓΓ: e e e e

e e e e e e e e

(

) ,

tem-se, por exemplo:

F H G H G ... H G 2312

1112

2311

1212

2312

3 312

233 3= + + +( )

elemento esse igual ao produto da segunda linha de [4H**** ] pela sexta coluna de [4Γ**

** ]. 2.2) - Se 7

j l nh i k m

h ij

kl

mn 6

s u wr t v

rs

tu

vwH e G ΗΗΗΗ ΓΓΓΓ= =e e e e e e e e e e e e e,

então: 7

3 6

j l nhi k m

s u wr t v

r l

m s

t n

h ij

ku

vw

j l nh i k m

m u wl n v

h ij

ku

vw

H G

= H G

ΗΗΗΗ ΓΓΓΓ. e e e e e e e

e e e e e e e

= =δ δ δ

.

No caso geral de poliádicos de valências distintas em multiplicação ponteada de qualquer ordem, o estabelecimento da matriz associada ao produto requer uma ampliação da operação de dupla multiplicação ponteada matricial estuda no §09.11,Cap.II,Vol.I; pois, apenas com esta operação e com a multiplicação ponteada (simples) de matrizes, nem sempre é vantajosa, ou possível, a representação matricial desses produtos.

Definição: Diremos que duas matrizes são multiordinais quando os números de linhas e colunas de uma são múltiplos dos seus correspondentes da outra.



Assim, são multiordinais as matrizes [B]PQ (de P linhas e Q colunas) e [ ]A

LPMQ se L e M são

inteiros. É evidente que a matriz [ ]ALPMQ pode ser decomposta em LM blocos de P linhas e

Q colunas, isto é, [ ]ALPMQ é uma matriz de L linhas e M colunas cujos elementos são

matrizes Aij de P linhas e Q colunas.

Definição: Chama-se duplo produto ponteado das matrizes multiordinais [ ]A

LPMQ e

[B]PQ nessa ordem, e representa-se por [ ]A

LPMQ : [B]

PQ , à matriz de L

linhas e M colunas cujos elementos sejam os duplos produtos ponteados de cada submatriz [ ]A

ij PQ de [ ]A

LPMQ , com i = 1, 2, ..., L e j = 1, 2, ..., M,

pela matriz [B]PQ .

Assim,

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] =

QP

MQ

LP

QPLM

QPL2

QPL1

QP2M

QP22

QP21

QP1M

QP12

QP11

B

A...AA

............

A...AA

A...AA

:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

=

A B A B A B

A B A B A B

A B A B A B

11 P

Q

PQ

12 P

Q

PQ

1M P

Q

PQ

21 P

Q

PQ

22 P

Q

PQ

2M P

Q

PQ

L1 P

Q

PQ

L2 P

Q

PQ

LM P

Q

PQ

L

M

: : :

: : :

: : :

...

...

... ... ... ...

...

.

A dupla multiplicação ponteada de matrizes multiordinais é a operação que tem por fim determinar o duplo produto ponteado dessas matrizes. Essa operação é sempre possível, unívoca, comutativa, distributiva em relação à adição de matrizes, mas em geral não é associativa.

Exemplo 3 (numérico):

1 2 34 1 03 2 15 1 0

21

6 3 611 3 2

2

1−

−

=

+

=

4=2x2

3=3x1

1x2 4x1 2x2 + (-1)x1 3x2 + 0x13x2 +5x1 2x2 + (-1)x1 1x2 + 0x1: .

Com essa operação de dupla multiplicação ponteada matricial de matrizes multiordinais, as matrizes associadas aos produtos ponteados de poliádicos podem ser escritas com facilidade. De imediato devemos observar que quando a multiplicação


IV,§ 06.02

ponteada entre os poliádicos é simples, as matrizes dos poliádicos fatores são multiplicadas em multiplicação matricial simples; quando essa multiplicação é no mínimo dupla, as matrizes dos poliádicos são multiplicadas na forma dupla.

Exemplo 4: Consideremos o produto de valor diádico

ψψψψ φφφφ= = A R3 ijki j k m

m. r e e e . e( ) ( ) , ou seja, ψψψψ = A Rijkk i je e .

A matriz associada ao diádico ψψψψ pode ser expressa na forma

[ ]ψψψψ∗∗ =

3

3

111 121 131

112 122 132

113 123 133

211 221 231

212 222 232

213 223 233

311 321 331

312 322 332

313 323 3339=3x3

3=3x1

1

2

3 3

1

A A AA A AA A AA A AA A AA A AA A AA A AA A A

RRR

: ,

ou, na forma

[ ]ψψψψ∗∗ =

3

3111 112 113 121 122 123 131 132 133

211 212 213 221 222 223 231 232 233

311 312 313 321 322 323 331 332 3333=3x1

9=3x3A A A A A A A A AA A A A A A A A AA A A A A A A A A

: [ ]R R R1 2 3 1

3.

Devemos observar que, nesse exemplo, cada coordenada do diádico produto é função de todas as coordenadas do vetor fator. Exemplo 5: O produto 3 αααα ββββ: , com 3 ijk

i j kAαααα = e e e e ββββ = B

rsr se e , é o vetor

v e e= =A B Vijkjk i

ii.

Matricialmente a expressão acima pode ser representada na forma:

VVV


B B BB B BB B B

1

2

3

111 112 113

121 122 123

131 132 133

211 212 213

221 222 223

231 232 233

311 312 313

321 322 323

331 332 3333x3

1x3

11 12 13

21 22 23

31 32 33

=

3

1

3

3

: ,

ou, na forma



[ ] =3

1 321 VVV

3x39

3x13

333332331233232231133132131

323322321223222221123122121

313312311213212211113112111

AAAAAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAAAAA=

=

= :

3

3333231

232221

131211

BBB

BBB

BBB

,

não sendo estas as únicas formas. Observemos que, também nesse exemplo, cada coordenada do vetor produto é função de todas as coordenadas do diádico fator. Exemplo 6: Para esses mesmos poliádicos temos, por outro lado:

3 3 ijkks i j

s A Bφφφφ αααα ββββ= =. e e e ,

expressão poliádica esta cujo equivalente matricial é

[ ]39

3

111 112 113

121 122 123

131 132 133

211 212 213

221 222 223

231 232 233

311 312 313

321 322 323

331 332 3339

3

11 12 13

21 22 23

31 32 33 3

3


B B BB B BB B B

φφφφ =

. .

Observa-se, nesse caso, que cada coordenada do triádico produto não é função de todas as coordenadas do diádico fator (apenas de algumas).

Outros exemplos com poliádicos de valências maiores e com multiplicações ponteadas de maiores ordens poderiam ser facilmente estabelecidos, como a seguir.

Exemplo 7: Se kjih

hijk4 A eeee=αααα e srrsB ee=ββββ , então ihjk

hijk4 BA ee: =ββββαααα . A matriz associada ao

produto pode ser calculada em função das matrizes associadas aos fatores por dois caminhos:

[ ]=ββββαααα 4 :

3

3333231

232221

131211

3x3

3x3333333323331323332323231313331323131

332333223321322332223221312331223121

331333123311321332123211311331123111

233323322331223322322231213321322131

232323222321222322222221212321222121

231323122311221322122211211321122111

133313321331123312321231113311321131

132313221321122312221221112311221121

131313121311121312121211111311121111

BBBBBBBBB

:

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

=

,

,

uma matriz 3x3; e


IV,§ 06.02

1

933

32

31

23

22

21

13

12

119

9333333323331332333223321331333123311

323332323231322332223221321332123211

313331323231312331223121311331123111

233323322331232323222321231323122311

223322322231222322222221221322122211

213321322131212321222121211321122111

133313321331132313221321131313121311

123312321231122312221221121312121211

113311321131112311221121111311121111

BBBBBBBBB

.

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

,

uma matriz 9x1. Deve ser observado que as matrizes associadas aos poliádicos num caso e noutro são montadas por caminhos diferentes; a do segundo caso corresponde ao critério adotado no (§03.04) para ser usada em multiplicação ordinária. Deve ser observado também que, decomposta a matriz associada no primeiro caso em 9 submatrizes 3x3 – compondo-se, assim uma matriz 3x3 cujos elementos são matrizes 3x3 –, as submatrizes são formadas com as linhas da matriz do segundo caso.

Nota: A segunda maneira de calcular-se o produto ponteado dos poliádicos deste exemplo 7 requer representações de poliádicos em bases poliádicas, como veremos oportunamente (§09.02).

Exemplo 8:

Se kjihhijk4 A eeee=αααα e utsr

rstu4 B eeee=ββββ , então ut

ihrstuhirs44 BA eeee: =ββββαααα .

A matriz associada ao produto, de elemento genérico Chitu, pode ser calculada em função

das matrizes associadas aos fatores devidamente preparadas. Montemos, a partir da matriz 9x9 [Ahijk] associada a 4αααα (segundo o critério adotado no §03.04), a submatriz 3x3: Ahirs, tendo o par (h,i) fixo, digamos h=1, i=2; ou seja, a matriz: A12rs. Essa matriz será montada, evidentemente, com os elementos da segunda linha do primeiro bloco horizontal de [Ahijk]. Montemos também, a partir da matriz 9x9 [Brstu] associada a 4ββββ, a submatriz 3x3, digamos Brs23, com os elementos da terceira coluna do segundo bloco vertical. Temos então as matrizes:

=123312321231

122312221221

121312121211

12rs

AAAAAAAAA

]A[ e

=

332332233123

232322232123

132312231123

rs23BBBBBBBBB

]B[ ,

cujo duplo produto (duplo), [A12rs]:[B rs23], dá como resultado o número C1223 que, na matriz

9x9 associada ao produto (duplo) dos tetrádicos, deve ocupar posição no primeiro bloco horizontal (1), segunda linha (2), segundo bloco vertical (2) e terceira coluna (3). Compare este resultado com o obtido no exemplo 2.1.

Consideremos agora a matriz 27x3 cujos elementos sejam as matrizes 3x3 do tipo [A12rs] dispostas na vertical, ou seja, a matriz cujos 9 elementos sejam, ordenadamente: [A11rs], [A12rs], ..., [A33rs]. Consideremos também, analogamente, a matriz a matriz 3x27 cujos elementos, dispostos na horizontal, sejam, ordenadamente, as matrizes 3x3: [Brs11],

§ 06.03 - Potenciação de poliádicos. 37


[Brs12], [Brs13], ..., [Brs33]. Nestas condições é possível calcular o duplo produto dessas matrizes – uma matriz 9x9 – posto que seus elementos correspondentes sejam todos de ma ordem. Tem-se:

[ ] =

][B...][B][B][B:

][A...

][A][A][A

rs33rs13rs12rs11

33rs

13rs

12rs

11rs

=

][B:][A...][B:][A][B:][A][B:][A........................][B:][A][B:][A

][B:][A...][B:][A][B:][A][B:][A

][B:][A...][B:][A][B:][A][B:][A

][B:][A......][B:][A][B:][A][B:][A

rs3333rs

rs1333rs

rs1233rs

rs1133rs

rs1221rs

rs1121rs

rs3313rs

rs1313rs

rs1213rs

rs1113rs

rs3312rs

rs1312rs

rs1212rs

rs1112rs

rs3311rs

rs1311rs

rs1211rs

rs1111rs

,

sendo esta a matriz (9x9) associada ao duplo produto dos tetrádicos. Notar que a multiplicação simples entre matrizes, realizada no exemplo 2.1, pode ser substituída por uma multiplicação dupla apresentada neste exemplo. Em muitas situações as submatrizes originadas do “preparo” de uma matriz 9x9 podem assumir formas simples (matrizes zero, unidade, simétricas etc.), casos em que a obtenção do produto pode ser mais rápida e menos cansativa pelo caminho aqui apresentado. No §14.02 faremos uma aplicação dessa operação.

*

Multiplicação múltipla dupla

Definição: Os produtos duplos (P+Q)-plos entre políades (de valências não menores que P+Q), são definidos pela expressão:

3214342143421321

o

fatores Pfatores Qfatores Qfatores P

Q

*P

)... ... ... ( )... ... ...( =lmnyzwuvxefgcbarst

(06),

444 3444 21444 3444 21ooo

fatores Qfatores P

*** ... ))()(...( ))()(...( ... lmnxgvfuewazbycrst=

na qual, como sempre, os sinais e ∗, distintos, podem representar tanto a multiplicação ponteada quanto a cruzada, e as ordens dos fatores são imutáveis, excetuado para os fatores produto ponteado.

A multiplicação múltipla dupla , (P+Q)-pla, entre poliádes é a operação que tem por fim determinar o produto (P+Q)-plo dessas políades. O produto duplo (P+Q)-plo dos poliádicos de valência P+Q+A e P+Q+B, com A>1 e B>1, é um poliádico de valência no mínimo igual a 3P+A+B, ou 3Q+A+B.


IV,§ 06.03

Propriedades dos produtos duplos (P+Q)-plos

1°) - A multiplicação (P+Q)-pla de poliádicos de valência pelo menos iguais a P+Q é sempre possível e unívoca;

2°) - É operação não comutativa em relação às políades e em relação aos símbolos operatórios (Q

o e P∗ );

3°) - A multiplicação (P+Q)-pla é distributiva em relação à adição de políades e associativa em relação a fatores numéricos.

Desta última propriedade podemos estender a operação acima definida para os poliádicos, isto é, podemos definir os produtos duplos (P+Q)-plos entre poliádicos e a multiplicações (P+Q)-plas entre poliádicos. Não vamos detalhar o estudo desta operação porque ela não apresenta utilidade prática.

*

§ 06.03 - Potenciação de poliádicos. Definiremos duas potências distintas para dado poliádico, a partir das definições de multiplicações múltiplas (com poliádicos iguais), todas elas, entretanto, tendo como resultado um poliádico de mesma valência que o poliádico dado. Esse condicionante limita a quantidade dessas potências a não mais que duas. Recordemos inicialmente que as multiplicações múltiplas, quando possíveis, em geral não são associativas, mas há exceções (§06.02). Particularmente,

( ) ( ),2H H 2H H 2H 2H H 2H H 2Hφφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ . . . . =

) ( ) ( PPPPPPPPPP φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ ×××× = .

Definição: Chama-se potência ponteada Q-pla (ou potência de expoente Q>1) do

poliádico de valência par 2H φφφφ , e representa-se por 2H Qφφφφ . (lendo-se: fi 2H, Q

ponto), o poliádico (de valência 2H) produto ponteado H-plo de Q fatores 2H φφφφ :

2H 2H H 2H H H 2H , Qφφφφ φφφφ φφφφ φφφφ.

. . . = ... Q fatores

1 24444 34444 (01),

lendo-se o segundo membro na forma: 2H φφφφ H ponto 2H φφφφ , H ponto 2H φφφφ , ... .

§ 06.03 - Potenciação de poliádicos. 39


Chama-se potência cruzada Q-pla (ou potência de expoente Q>1) do

poliádico de valência P, Pφφφφ , e representa-se por ×QPφφφφ (lendo-se: fi P, Q

cruz), o poliádico (de valência P) produto cruzado P-plo de Q fatores Pφφφφ :

444 3444 21fatores Q

PPPPPP ... Q φφφφφφφφφφφφφφφφ ××=

×

, (02).

Por definição, toma-se 2H 2H φφφφ φφφφ×

=1 porque não existe produto múltiplo com um só fator. Para Q=2,3,4 ... as potências assumem os nomes de quadrado, cubo, quarta

potência etc. Assim 4 2φφφφ. e

×24 φφφφ são os quadrados ponteado e cruzado de 4 φφφφ .

Denominaremos também, simplesmente, a potência ponteada, de potência; assim

4 4φφφφ φφφφ φφφφ.

:2 4= é o quadrado de 4φφφφ , 8 8 8φφφφ φφφφ φφφφ.2

4 ==== . é o quadrado de 8φφφφ ,

4 4 4 43φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ• = : : é o cubo ponteado de 4 φφφφ ; φφφφφφφφφφφφ 3333 2×

×= é o quadrado cruzado de

3φφφφ etc..

Propriedades

1ª) - As potenciações são sempre possíveis e unívocas.

2ª) - As potências pares são positivas; as ímpares têm o sinal da base:

••

−=− Q

Q PQH2 )1()( φφφφφφφφ ,

××

−=− Q

Q PQH2 )1()( φφφφφφφφ , (04).

3ª) - Tem-se:

•••+

•

•+ =≡

B

A

)BA( 2HH

2H2H)BA(2H φφφφφφφφφφφφφφφφ

×××+

×

×+ ==

B

A

)BA( 2HH

2H2H)BA(2H φφφφφφφφφφφφφφφφ , (05).

ooooo B A

B

A

)AB( 2H2H2H )( φφφφφφφφφφφφ ≡=

Pois, aplicando a definição (01) escrevemos, para o caso de potência ponteada:

444 3444 21444 3444 21

444 3444 21

fatores BfatoresA

B2HHA2H2HH2HH2HH2HH2HH2H

fatores B+A

2HH2HH2HB)(A2H

. ... ...

...

..

......

...

φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ

φφφφφφφφφφφφφφφφ

==

==+

Para o caso da potência cruzada a demonstração é semelhante.


IV,§ 06.03

Tem-se, ainda aplicando a definição (01):

444 3444 21444 3444 21444 3444 21

444 3444 21

fatoresA fatoresA fatoresA

2HH2HH2HHH2HH2HH2HH2HH2HH2H

fatores AB

2HH2HH2H(AB)2H

, ... ... ... ...

...

φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ


.........

...

=

==

com B fatores formando potências com A fatores. Reaplicando a definição (01),

encontramos em cada grupo de A fatores, 2H Aφφφφ....

, e em todo o segundo membro, um produto

múltiplo ponteado H-plo dos poliádicos 2H Aφφφφ....

; donde, então, a tese. As demais fórmulas são demonstradas de forma análoga. As fórmulas do conjunto (05) podem ser generalizadas com facilidade; tem-se:

2H (A B+C+...) 2H A H 2H B H 2H C H ...φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ+ =....

....

....

....

....

....

....

... H2HH2H2H)...BA(2H BA

)...BA(××

++ ×××++

×== φφφφφφφφφφφφφφφφ , (06).

...2H2H...)ABC(2H C AB

...ABC

ooooo

φφφφφφφφφφφφ =≡ Como casos particulares, temos:

ooooo

KA2HAK2H(KA)2H φφφφφφφφφφφφ == ,

×××××

==

KAPAKP(KA)P φφφφφφφφφφφφ , (07).

...H2)A(H2

fatoresK

AAA

K

oooo

φφφφφφφφ = ,

oooo

o

AK

KA

12H12H(KA)12H ∗∗∗∗× +++ == φφφφφφφφφφφφ Exemplo:

4444 34444 21fatores 8

42422242444)(244444444484 ...

××××××××

×

===== ××××× φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ .

4ª) - A potenciação R-pla ponteada ou cruzada de poliádicos de mesma valência é distributiva em relação à multiplicação múltipla de mesmo nome desses poliádicos:

§ 06.04 - Função poliádica linear e argumento poliádico. 41


( 2H H 2H R 2H R H 2H R 2H R

H 2H Rφφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ ψψψψ φφφφ

....

.... ....

....

.... ....

....

....

) ,= = (08),

×××××

××× == RRRRR PPPPPPPPP ) ( φφφφψψψψψψψψφφφφψψψψφφφφ (09).

Pois

( ( ... (

...

2H H 2H 2H

H 2H

H 2H

H 2H

H H 2H H 2H

2H H 2H H 2H H 2H H H 2H H 2H

φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ

φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ

....

....

.... .... .... .... .... ....

.... .... .... .... .... ....

) ( ) ) )

,

R = =

=

existindo, neste último membro, R fatores 2H φφφφ e R fatores 2H ψψψψ . Como essas multiplicações são comutativas (todos os poliádicos têm a mesma valência par, 2H, e a multiplicação é H-

pla) poderemos agrupar todos os 2H φφφφ ou todos os 2H ψψψψ como primeiros fatores; e escreveremos:

( ( . ... ( . ... 2H

H 2H R 2H H 2H H H 2H H 2H H 2H H H 2H

R fatores R fatores

φφφφ ψψψψ φφφφ φφφφ φφφφ ψψψψ ψψψψ ψψψψ. . . . . . ) ) ),

....

=

1 24444 34444 1 24444 34444

donde a tese. Analogamente pode ser demonstrada (09).

Potenciação ponteada poliádica e potenciação matricial. Em vista do Teor.3, §06.02, a expressão matricial do 2H-ádico potência ponteada Q de um 2H-ádico, é obtida multiplicando-se, na forma clássica, a matriz do 2H-ádico base por ela própria Q vezes; então, em coordenadas cartesianas, a matriz associada a um poliádico potência é obtida pela potenciação matricial:

[( ) ] [ ] ] ] [ ] ,2H Q 2H 2H 2H 2H Q

Q fatores

[ ... [ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ....

.... .... ....= =1 24444 34444 (11).

§ 06.04 - Função poliádica linear e argumento poliádico.

A operação de multiplicação ponteada permite generalizar a noção de função vetorial linear (de valor vetor) e argumento vetor criada no Cap. II,Vol.I, geometricamente estudada no Cap. III,Vol.I, e a noção de função poliádica linear (de valor poliádico) e argumento vetor criada no §02.03. Recordemos inicialmente que uma função é um liame entre duas entidades (variáveis), no caso, entre um poliádico, digamos Pφφφφ , com outro poliádico, digamos Q χχχχ . O mesmo liame deve existir, equivalentemente, entre as coordenadas cartesianas desses


IV,§ 06.04

poliádicos (em bases vetoriais recíprocas quaisquer previamente estipuladas). Quando essas coordenadas estão ligadas por funções lineares (caso em que só aparecem com expoente um nessas funções), dizemos que a função que liga esses poliádicos é linear, tem argumento poliádico (ou a variável independente é um poliádico) e valor poliádico (a variável dependente é um poliádico); representamos isso, sinteticamente, escrevendo:

P P Q φφφφ χχχχ= ΛΛΛΛ ( ) , em que P ( )ΛΛΛΛ é o símbolo usado para representar a função linear de valor poliádico de valência P.

Teor. 1: Se certo poliádico Pφφφφ é função linear de certo poliádico Q χχχχ e, digamos,

P≥Q, então existe um e apenas um poliádico ′S ψψψψ que não depende de Q χχχχ

nem de Pφφφφ , e certa ordem S S≤ ′ de multiplicação ponteada, com S Q≤ tais,

que P S S Q φφφφ ψψψψ χχχχ= ′. , ou seja:

, Q S ,S S e ,e de indep.

QP ,)(

QSSPQPS

QPP

χχχχψψψψφφφφχχχχφφφφψψψψ

χχχχΛΛΛΛφφφφ

.′′ =≤′≤∃⇒

⇒≥= (01).

Se Pφφφφ é função linear de Q χχχχ , com P≥Q, então, em bases vetoriais recíprocas

arbitrárias, cada uma das 3P coordenadas de Pφφφφ é uma combinação linear única de pelo

menos 3S das 3Q coordenadas de Q χχχχ (∀ ≤S Q); e os coeficientes dessa combinação não

dependem das coordenadas de Pφφφφ , nem das de Q χχχχ . Escrevendo

P

b ... g s ta f r ... u

ab

fg

rs t

u

(Q S) fatores

F ... ... φφφφ =−

e e e e e e e e1 24 34

e ordenando as coordenadas de Q χχχχ , de que dependem as de Pφφφφ para que se correspondam com os primeiros S índices da expressão cartesiana, escrevemos também:

Q

n ... q s tm p r ... u m

n pq

rs t

u

(Q S) fatores

X ... ... χχχχ =−

e e e e e e e e1 24 34 .

Então existe um e um único conjunto de coeficientes de proporcionalidade, C

b ... g n .... qa f m p,

com P+Q - 2S índices tais, que

F = b ... g s t

a f r ... u

Q S indices−

C b ... g n .... q

a f m p

P (Q S) indices− −123

X n ... q s tm p r ... u

S indices123 , (011),



expressão em que, para dado conjunto de P-(Q-S) índices a,b,...,f,g, e os (Q-S) outros r,s,...,t,u, está estabelecida uma somatória nos S índices (repetidos) m,n,...,p,q através dos 3P-Q+2S coeficientes C

b ... g n .... qa f m p (que não dependem dos X

n ... q s tm p r ... u nem dos

F b ... g s ta f r ... u ). Esta expressão (011) representa um sistema de P-(Q-S) equações lineares

com P incógnitas (os números C) Assim, multiplicando ambos os membros de (011) pela P-ade de base

... ... ab

fg

rs t

u

Q-S

e e e e e e e e1 24 34

e somando em a, b, ...f, g, r, s, ..., t, u teremos formado no primeiro membro o poliádico Pφφφφ . Aplicando propriedades dos vetores recíprocos e lembrando a definição de produto ponteado múltiplo de poliádicos (§06.02), o segundo membro pode ser escrito na forma:

C b ... g y .... wa f x z

... ... ab

fg

xy

zw

S

e e e e e e e e1 24 34

.S

n ... q s tm p r ... u X ... ...

mn

pq r

s tu

S

e e e e e e e e1 244 344

,

ou seja, na forma de um produto ponteado S-plo do poliádico de valência S'= P – Q + 2S, único (para dado S),

′ =S b ... g y .... wa f x z

S fatores

C ψψψψ123

... ... ab

fg

xy

zw

S fatores

e e e e e e e e1 24 34

,

pelo poliádico Q χχχχ ; o que comprova a tese.

Notas:

1 - Se cada coordenada de P φφφφ é função de todas as coordenadas de Q χχχχ , então, na demonstração anterior deverá ser S=Q, logo S'=P+Q; 2 - Os exemplos 2, 3 e 4 apresentados no §06.02 mostram algumas situações particulares relativas a esse teorema.

Para P e Q variáveis até 4, logo S' variável até 7, podemos organizar a Tabela 5 apresentada no final do capítulo, que mostra alguns modos (não todos) de expressão da função linear P P Q φφφφ χχχχ= ΛΛΛΛ ( ) .

De um modo geral, se 2Q é a valência de um poliádico (logo Q ≥ 0, finito), e se J é a ordem de multiplicação ponteada múltipla entre poliádicos (logo J ≥ 0, finito) , então, para qualquer K tal que

χχχχψψψψ K2JJK2Q −+. , (02),

deve ser JK2Q ≤≤− , (03).

Com efeito, além das condições já estabelecidas para J e Q, a possibilidade da operação (02) impõe ainda que:


IV,§ 06.04

1ª condição: KJ2J −≤ , ou seja, simplificando, JK ≤ ; 2ª condição: J≤2Q+K, ou, K≥J-2Q, isto é, K≥-2Q (porque 0J ≥ ), devendo notar-se que para Q = 0 deve ser JK ≤ (primeira condição) e JK ≥ (segunda condição), isto é, apenas J = K. Logo, nos casos em que JK ≠ deve ser Q > 0. Para as funções de valor poliádico de valência ímpar, 2H+1, devemos ter, analogamente,

2H+1+K J 2J K ψψψψ χχχχ.− , (021),

o que exige seja

− ≤ ≤(2H +1) K J, (031). Como de costume, representemos por X e C poliádicos de valência zero (escalares) tais que C não seja função de X. Representemos, ainda, por x e c os poliádicos de valência um (vetores) tais, que c não seja função de x, e assim sucessivamente. Genericamente, então, sejam Q χχχχ e Q ψψψψ dois poliádicos independentes de valência Q. Para dado H, somando todos os poliádicos obtidos de (02) atribuindo-se a J e K todos os valores possíveis, encontramos:

++++++++= −++−−− ... ... X 1H1HHH1H1H22H12H2H2H χχχχψψψψχχχχψψψψχχχχψψψψχχχχψψψψψψψψψψψψφφφφ x

++++++++ −−+−− χχχχψψψψχχχχψψψψχχχχψψψψψψψψχχχχχχχχχχχχψψψψ 422H312H2H12H2H12H22H C ...x.c

... ... 1+2H2H3H1-H2HH1H1H ++++++++ ++++ χχχχχχχχψψψψχχχχψψψψχχχχψψψψχχχχψψψψ .c....

... ... + 2+2HH4HH31H31+2H2+2H +++++++ +++ χχχχψψψψχχχχψψψψχχχχψψψψχχχχψψψψχχχχψψψψ :::::

++++ + χχχχψψψψχχχχψψψψχχχχψψψψ 6H3H432+2H34+2H ... + ...

... + ... 32H335H1H χχχχψψψψχχχχψψψψ ++− +++ .: (04),

e assim sucessivamente. Logo, se um poliádico 2H φφφφ é função linear de poliádicos 2J K− χχχχ de

valências 0, 1, 2, ... (finita), existem poliádicos 2H+K ψψψψ de valências 0, 1, 2, ... com os quais é possível expressar aquela linearidade na forma da expressão (04) que pode ser escrita, ainda, resumidamente, na forma

finito

0KJ,

K2JJK+2H2H ∑=

−= χχχχψψψψφφφφ . , (041),



satisfeitas as condições (03). Com base em (021) e (031) podemos escrever também para os poliádicos de valência ímpar

finito

0KJ,

K2JJK+1+2H1+2H ∑=

−= χχχχψψψψφφφφ . , (042).

As formas (041) e (042) são as formas mais gerais de expressar a linearidade da dependência de 2H φφφφ , ou de 2H+1φφφφ com os demais poliádicos. Com outras palavras podemos dizer que se, por exemplo,

...) , , , X,( 32H2H χχχχχχχχΛΛΛΛφφφφ x= , (05),

então podemos escrever (04) para representar 2Hφφφφ. Mas é óbvio que poderíamos ter vários argumentos escalares, vários vetores, vários diádicos etc. Escreveríamos, então, a expressão correlata de (04),

... X kk12H

jj12H

ii2H2H +++= ++ χχχχψψψψψψψψψψψψφφφφ :x. ,

para

i = 1, 2, 3, ..., M; j = 1, 2, 3, ..., P; k = 1, 2, 3, ..., Q etc., desde que tivéssemos M grandezas escalares X, P vetoriais x, Q diádicas χχχχ etc.. Até o momento pudemos apenas comprovar a existência dos poliádicos 2Hψψψψ, 2H+1ψψψψ, ..., mas não sabemos ainda como determiná-los.

*

Expressões do tipo (05) são utilizadas com freqüência em Mecânica do Contínuo, sendo especialmente úteis no estudo geral das equações constitutivas8. Na Física, em geral, é comum expressões em que H ≤ 2, J ≤ 2, logo - 4 ≤ K ≤ 2; raramente encontramos J = 4. Alem disso, nem sempre o poliádico é função de vários poliádicos, sendo comum expressar-se um poliádico de certa valência em função de outros poliádicos de valências não maiores.

Por exemplo:

1)- Em Elasticidade expressamos o diádico das tensões, ΣΣΣΣ, em função do diádico das deformações, ΕΕΕΕ, conforme a lei de Hooke, na forma

ΣΣΣΣ ΕΕΕΕ= 4H : , (06);

2)- Em Física de Cristais podemos citar vários exemplos de leis lineares (usando notações clássicas):

, , , , 4 430 ΣΣΣΣΖΖΖΖδδδδττττΕΕΕΕηηηηξξξξααααΙΙΙΙξξξξ :.ed.ee.dd ++Θ==+=π+= (07),

8Ver, por exemplo, Eringen, A. C., Mechanics of Continua, Robert E. Krieger Publishing Company, 1980, Capítulo 5.


IV,§ 06.05

onde ξξξξ é o diádico permitividade dielétrica, αααα o diádico suscetibilidade dielétrica, d e d0 os vetores de indução elétrica, e o vetor campo elétrico, ηηηη o diádico impermeabilidade dielétrica, Θ o escalar variação de temperatura, ττττ o diádico expansão térmica, 3δδδδ o triádico piezelétrico e 4ΖΖΖΖ o tetrádico de compliência. Mas se formos estudar a atividade acústica dos cristais, encontraremos um pouco mais de dificuldades9. Em cristais não centro simétricos e em corpos girotrópicos a preponderância da dispersão espacial na propagação de ondas elásticas causa atividade acústica. Nesse caso, a lei de Hooke (já citada), numa primeira aproximação, deve ser posta na forma:

ΣΣΣΣ ΕΕΕΕ ΦΦΦΦ==== ++++ ∇Ε∇Ε∇Ε∇Ε 4 5 3H : . , (08),

onde 5ΦΦΦΦ é o pentádico de giração acústica e ∇∇∇∇ΕΕΕΕ é o triádico gradiente do diádico das deformações.

Nota: Oportunamente (§ 09.06) poderemos entender as leis (06), (07) e (08) como transformações lineares, tal como já interpretamos expressões parecidas envolvendo diádicos e vetores. No caso dos vetores, os diádicos são interpretados como operadores de transformações lineares, transformando vetores (pacientes) em vetores (operados). Na lei (06), por exemplo, 4H opera uma transformação linear no campo diádico das deformações e o transforma no campo diádico das tensões. Na lei (08), o campo das tensões é uma superposição de duas transformações lineares: uma idêntica à anteriormente citada, regida por 4H, e uma segunda, regida pelo pentádico 5ΦΦΦΦ, tendo o campo triádico ∇ΕΕΕΕ por paciente.

§ 06.05 – Tensores cartesianos de ordem qualquer Consideremos as expressões cartesianas de um triádico relativas a duas bases vetoriais a* e b* do E3:

3 ijki j k rst

r s tA Bφφφφ = =a a a b b b , às quais correspondem,

respectivamente, as matrizes associadas:

[[[[ ]]]]A

A A A

A A A

A A A

A A A

A A A

A A A

A A A

A A A

A A A

93

111 112 113

121 122 123

131 132 133

211 212 213

221 222 223

231 232 233

311 312 313

321 322 323

331 332 3339=3x3

3 3x1

∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗

====

====

e [[[[ ]]]]B

B B B

B B B

B B A

B ... ...

... ... ...

... ... B

... ... ...

... ... ...

B ... B

9

3

111 112 113

121 122 123

131 132 133

211

233

331 333 9=3x3

3 3x1

∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗

====

====

.

Ora, se esse triádico é uma entidade cuja existência independe de bases, entre as suas matrizes associadas (em diferentes bases) deve existir uma relação. De fato, sendo

9 Sirotin e Chaskolskaya, o. c., seção 83.

§ 06.05 - Tensores de ordens quaisquer. 47


φφφφ33kjiijk A .aaa= , ou seja, rst

tsr3kjiijk B A bbb.aaa= ,

podemos escrever, em forma matricial,

[ ]

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ][ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ]A

M M M

M M M

M ... ...

M ... ...

... ... ...

M M M

B9

3

111

112

113

121

122

123

131

211

331

332

333

81=9x9

9=3x3

∗∗∗

∗∗∗ ∗∗∗ ∗∗∗

∗∗∗ ∗∗∗ ∗∗∗

∗∗∗

∗∗∗

∗∗∗ ∗∗∗ ∗∗∗

∗∗∗=

9

3

9

3

9

3

9

3

9

3

9

3

9

3

9

3

9

3

9

3

9

3

9

3: , (01),

expressão na qual

[ ]

=∗∗∗

3333kji2333kji1333kji

1123kji

1313kji



39

ijk

.........

......

......

M

bbb.aaabbb.aaabbb.aaa

bbb.aaa

bbb.aaa



, (02).

Reciprocamente, se entre dois conjuntos de 27 números Aijk e Brst, referidos cada um a uma base, existe uma relação do tipo (01) em que as submatrizes 9x3 [Mijkrst] são definidas por (02) - os elementos das quais são definidos por multiplicações ponteadas triplas entre os vetores das bases - dizemos que esses conjuntos constituem um tensor cartesiano de ordem 3. Com outras palavras, dizemos que um tensor de ordem 3 é uma entidade - um conjunto de 33 números - que, numa mudança de base, se comporta exatamente como os triádicos cuja existência independa de bases. Por isso mesmo, todo tensor de ordem 3 pode sempre ser convenientemente representado por um triádico, mas nem todo triádico pode ser um tensor. Para os tetrádicos podemos deduzir expressões análogas. Se

4 hijkh i j k rstu

r s t uA Bφφφφ = =a a a a b b b b , então rstuutsr4kjihhijk B A bbbb.aaaa= .

Se, por exemplo,


IV,§ 06.05

[ ]A

A A A ... A

A A A ... A

A A A ... A

A A ... ... ...

... ... ...

A A A ... A

9

9

1111 1112 1113 1133

1211 1212 1213 1233

1311 1312 1313 1333

2111 2112

3311 3312 3313 3333

∗∗∗∗ =

9

9

e [ ]B

B B B ... B

B B B ... B

B B ... ... B

B .. ...

... ...

B B B ... B

9

9

1111 1112 1113 1133

1211 1212 1213 1233

1311 1312 1333

2111

3311 3312 3313 3333

∗∗∗∗ =

... ...

9

9

,

então

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

A

M M M M

M M M ... M

M M M ... M

M M M M

... ... .

9

3

1111

1112

1113

1133

1211

1212

1213

1233

1311

1312

1313

1333

2111

2112

2113

2133

∗∗∗∗

∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗

∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗

∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗

∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗

=

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

...

...

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

.. ... ...

M M M ... M

B

3311

3312

3313

3333

81=9x9

81=9x9

∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗

∗∗∗∗

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9: ,

sendo

[ ] .

...

............

...

...

M

33334kjih21334kjih11334kjih



99

hijk

=∗∗∗∗

bbbb.aaaabbbb.aaaabbbb.aaaa



Podemos, agora, conceber o tensor cartesiano de ordem 4 e concluir que numa mudança de base, ele se comporta exatamente como o tetrádico cuja existência independa de bases, ou, ainda, que todo tensor de ordem 4 pode sempre ser convenientemente representado por um tetrádico. É fácil generalizar esses resultados para os poliádicos e para os tensores (cartesianos) de um modo geral. As expressões matriciais correspondentes podem ser escritas, evidentemente, com alguma simplicidade, embora bastante longas posto que as ordens das matrizes, bem como as ordens das multiplicações ponteadas entre os vetores de base, vão aumentando significativamente.

§ 06.05 - Tensores de ordens quaisquer. 49


Se nos reportarmos, agora, ao §02.04,Cap.III,Vol.I, e compararmos as expressões matriciais (031), (081) e outras lá deduzidas - pelas quais são caracterizados os tensores de ordens 1 e 2 - com as que acabamos de deduzir para os tensores de ordens 3, 4 etc., veremos que não existe homogeneidade entre elas. Com efeito, as relativas aos tensores de ordens 1 e 2 são definidas pelas operações clássicas de multiplicação matricial, enquanto que as relativas aos tensores de ordens mais elevadas são definidas pelas duplas multiplicações matriciais. Mostraremos, agora, que esse segundo modo de proceder é geral e suficiente para a caracterização dos tensores. Ponhamos, então, no caso dos vetores e dos diádicos:

v a b= =A Bii r

r , donde A Bi i rr

= ( )a .b ;

e

φφφφ = =A Biji j rs

r sa a b b , donde A Bij i j r srs

= ( )a a : b b .

Por consideração da definição de dupla multiplicação matricial, podemos escrever: - no caso dos vetores:

AAA

BBB

1

2

3

9=3x3

1=1x1

1

2

3

=

3

1

1 1

1 2

1 3

2 1

2 2

2 3

3 1

3 2

3 3

3

1

a .ba .ba .b

a .ba .ba .b

a .ba .ba .b

: ;

- no caso dos diádicos: sendo

[ ]AA A AA A AA A A

3

311 12 13

21 22 23

31 32 33

∗∗ =

3

3

e [ ]BB B BB B BB B B

3

3 11 12 13

21 22 23

31 32 33 3

3

∗∗ =

,

então

[ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ]A

M M M

M M M

M M M

B3

3

11

12

13

21

22

23

31

32

33

9=3x3

9=3x3

∗∗

∗∗ ∗∗ ∗∗

∗∗ ∗∗ ∗∗

∗∗ ∗∗ ∗∗

∗∗=

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

33

3:

,


IV,§ 06.06

com

[ ]M

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

ij

i j 2 1 i j 2 i j 2

i j 2 i j 2 i j 2

i j 2 i j 2 i j 2

∗∗ =

3

3

1 1 2 1 3

2 1 2 2 2 3

3 1 3 2 3 3

3

3( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

a a . b b a a . b b a a . b b



.

É evidente que essas novas formas de expressão das relações matriciais entre as coordenadas dos vetores e dos diádicos se enquadram no sistema geral deduzido anteriormente para triádicos, tetrádicos etc.. De fato, para o poliádico de valência par, 2H (com H = 1, 2, ... ), as suas matrizes associadas nas bases a* e b* têm, ambas, 3H linhas e 3H colunas. A matriz de transformação de uma matriz associada na outra tem 32H linhas e 32H colunas e as submatrizes que a constituem, todas com 3H linhas e 3H colunas, têm seus elementos definidos como produtos ponteados 2H-plos entre 2H-ades compostas ordenadamente com os vetores das bases. Para o poliádico de valência ímpar, 2H-1 (com H = 1, 2, ...), as suas matrizes associadas nas bases a* e b* têm, ambas, 3H linhas e 3H-1 colunas. A matriz de transformação de uma matriz associada na outra tem 32H linhas e 32(H-1) colunas e as submatrizes que a constituem, todas com 3H linhas e 3H-1 colunas, têm seus elementos definidos como produtos ponteados (2H-1)-plos entre (2H-1)-ades compostas ordenadamente com os vetores das bases. Mostraremos oportunamente (§14) que para os poliádicos de valência par existem expressões similares às apresentadas no (§02,Cap.III,Vol.I) relativas aos diádicos. Por ora, com relação ao modo como se conectam as coordenadas de um poliádico numa e noutra base vetorial, devemos nos contentar com os resultados gerais encontrados, facilmente computáveis.

§ 06.06 - Norma e flecha de poliádico. Ângulo de dois poliádicos. Consideremos um poliádico genérico, Pφφφφ , associado a um vetor não nulo e1 de E1, e sua escrita (P-1)-ádica

P P 1 φφφφ αααα= − 11

e .

Tem-se, sempre:

P P P P 1

P P 1 ( φφφφ φφφφ αααα αααα. . e= − −1 1

12)( ) , (01).

Analogamente, em relação a dois vetores não paralelos de E2, escrevendo-se,

P P 1 P 1 φφφφ αααα αααα= +− −11

22

e e ,

temos também:

))( (2

))( ())( (

2121P1-P

11P

22

21P1-P

21P21

11P1-P

11PPP

P

.ee.

e.e..

αααααααα

ααααααααααααααααφφφφφφφφ

−−

−−−−

+

++=, (02).

§ 06.06 - Norma e módulo de poliádico. Ângulo de dois poliádicos. 51


Recorrendo ao Teor.1,§03.04, podemos escrever, para vetores não coplanares do E3,

331P

221P

111PP eee ααααααααααααφφφφ −−− ++= , resultando, pois,

....,))( (2

))( ( ))( ())( (

2121P1-P

11P

23

31P1-P

31P22

21P1-P

21P21

11P1-P

11P

PP

P

++

+++=

=

−−

−−−−−−

.ee.

e.e.e.

.

αααααααα

αααααααααααααααααααααααα

φφφφφφφφ

(03).

Teor. 1:

∀∀∀∀ >>>> P P P Pφφφφ φφφφ φφφφ: . 0, (04).

Consideremos a primeira associação, dada por (01), entre poliádicos e um vetor do E1. Para triádicos, caso P = 3, (04) é evidente já que as normas de diádicos (§07.07,Cap.II,Vol.I) e vetores são números positivos. Consideremos a segunda associação, dada por (02), entre poliádicos e vetores do E2. Para os casos P=1 e P=2 a desigualdade (04) já é nossa conhecida. Para o caso P=3 temos:

))( (2|||| |||||||| |||| 2121

22

11333 .ee:ee. ααααααααααααααααφφφφφφφφ ++= .

Ora, |||| |||| 212121 αααααααααααααααααααααααα ≤≤− : e |||| |||| 212121 eee.eee ≤≤− . Logo

||||||||2|||| |||||||| |||| 2121

22

11333 eeee. ααααααααααααααααφφφφφφφφ ++≥

ou seja, 2

22

11333 |)||||||(| ee. ααααααααφφφφφφφφ +≥ , o que comprova (03) para P=3.

A associação dada por (03) pode ser demonstrada analogamente. Para o caso P=3, com triádico e vetores do E3, temos:

))( (2))( (2))( (2

|||| |||||||| |||||||| ||||

1313

3232

2121

33

22

11333

.ee:.ee:.ee:

eee.

αααααααααααααααααααααααα

ααααααααααααφφφφφφφφ

+++

+++=

e sendo ||||||||))( (|||||||| 2121

2121

2121 ee.ee:ee αααααααααααααααααααααααα ≤≤− etc., vem, analogamente

à dedução anterior,

...||||||||2|||| |||||||| |||||||| |||| 2121

33

22

11333 ++++≥ eeeee. ααααααααααααααααααααφφφφφφφφ

isto é, 23

32

21

1333 |)||||||||||(| eee. ααααααααααααφφφφφφφφ ++≥ .

Para P=4 (associação entre triádicos e vetores do E3), escritos os triádicos na forma de uma soma de um triádico planar com um triádico linear, perpendiculares entre si, é válida também (04) já que (03) equivale a somar uma parcela positiva a uma expressão positiva do tipo (02)10.

10 Isto significa, na linguagem da Álgebra Linear, que o espaço dos triádicos com a operação de multiplicação escalar, definida como uma multiplicação ponteada tripla, é um espaço euclidiano, isto é, os triádicos têm quadrado escalar positivo (ou norma positiva).

52 § 07 - Poliádicos isômeros.

IV,§07.01

Definamos 3 3 φφφφ φφφφ.3 como a norma de 3φφφφ e ponhamos 3 3 3 φφφφ φφφφ φφφφ.

3 ==== || ||. Definamos

também o módulo do triádico 3φφφφ com a raiz quadrada positiva da sua norma e ponhamos

|| ||| | 33 φφφφφφφφ += . Então:

|| || :, 3333

333 ψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφ <∀ • , (05).

Com efeito, seja ψψψψφφφφγγγγ 333 X += , em que 3 3φφφφ ψψψψ e são triádicos quaisquer e X um escalar. Tem-se:

3 3 3 3 3 3 3 32γγγγ γγγγ φφφφ φφφφ φφφφ ψψψψ ψψψψ ψψψψ ( X ( X ( 3 3 3 2 3. . . .= + +) ) )

Como as normas dos triádicos são números positivos, o trinômio do segundo grau acima

tem discriminante negativo; logo 0|||| ||||) ( 332333 <−• φφφφψψψψψψψψφφφφ , donde a comprovação de

(05). Então,

1 || ||

1 :,

33

33

333 ≤≤∀ •

ψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφ - , (051),

isto é,

dados dois triádicos quaisquer, existe um ângulo - que denominaremos ângulo dos dois triádicos - cujo co-seno vale o triplo produto ponteado desses triádicos dividido pelo produto dos seus módulos.

Com estes resultados alcançados podemos prosseguir a demonstração do teorema para os tetrádicos. Recairemos em situação idêntica em que definiremos a norma de um tetrádico, o ângulo de dois tetrádicos etc.. Em geral, então, escreveremos:

∀∀∀∀ ==== : cos(P P P P P P P P Pφφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ, | | | | , ). , (06), tornando-se evidente o significado da notação cos(Pφφφφ, Pψψψψ). Esses conceitos, de natureza algébrica, serão utilizados mais à frente (§ 09.06) para associar a um poliádico uma “flecha” de natureza idêntica à dos vetores.

§ 07 - POLIÁDICOS ISÔMEROS.

§ 07.01 - Transposição múltipla para montante e para jusante. Reversão. Se

3 kk k

k rk r

kφφφφ αααα γγγγ= = =g g a f g , então para qualquer vetor v podemos escrever:

§ 07.01 - Transposição múltipla para montante e para jusante. Reversão. 53


3 kk k

kk

k 3 φφφφ αααα αααα αααα φφφφ. v g . v v.g v. g v.= = = ≠( ) ( ) ( ) ,

ou v. v.g g . v g . v . v 3

kk k

kk

k3φφφφ γγγγ γγγγ γγγγ φφφφ= = = ≠( ) ( ) ( )

Analogamente, para qualquer diádico ψψψψ = a bi

i , escrevemos:

3 rk r

k ii

rk r

i ki i

i kr

rk T

kr

rk ( ( (φφφφ ψψψψ ψψψψ: a f g : a b a f . a g .b b a : g f a : g f a= = = =( ) ) ( )( ) ( ) ) ).

Assim, para os triádicos, diádicos e vetores, tal como já sucedera com diádicos e vetores (§02,05,Cap.II,Vol.I), constatamos a necessidade da criação de novos triádicos, a partir do triádico dado, obtidos por operações algo parecidas com a transposição para os diádicos; seriam estes os triádicos

g g g f akk k

k kr

rk e αααα γγγγ, .

Similarmente, se

4 3 kk

kk r

k ss

rk φφφφ αααα αααα ββββ= = =g a e f g ,

então, para quaisquer

nm

mn

3ii , , vurbav == χχχχψψψψ ,

escrevemos:

4 3 kk k

3 kk

3 k φφφφ αααα αααα αααα. v g . v v.g v. g= = =( ) ( ) ( ) ,

4 kk k

kk

k (φφφφ ψψψψ αααα ββββ ψψψψ ψψψψ ββββ αααα ψψψψ ββββ αααα: : : := = =( ) ( ) ) , ou, ainda,

4 kk k

T T k kk

T T ( φφφφ ψψψψ αααα ββββ ψψψψ ββββ ψψψψ αααα αααα ββββ ψψψψ: : : := = =( ) ( ) ) , e

4 3 3 rk s

sr

k3

nm

mn

rk s

sr

k3

nm

mn

nm

s mr n

k rk s 3 3

sr

k rk s

nk n

ms m

r rk s n

nm

m3

k sr

rk s

rk s

k sr 3

) (

( )

φφφφ χχχχ

χχχχ

. . .

.

.

.

a e f g r u v a e f g r u v

r .e u .f v .g a e f g a

v .g r .e u .f a v r u g e f a

a g e f

= = =

= = =

= = =

=

( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )( )( ) ( ) ( )

[ ) ) ( .n nm

m rk s

k sr 3 n

nm

m( ( )v r u a g e f v r u

.=


IV,§ 07.01

Definição: Chama-se transposta múltipla para montante (ou dianteira) de R vetores e posto T≥≥≥≥R da políade P-ária (de valência P>R),

P ... φφφφ = a b c d v x y z w,

e representa-se por

P R RT T ... φφφφs s

= ( )a b c d v x y z w ,

a políade que se forma, a partir da políade P-ária dada, inserindo-se o conjunto dos seus R primeiros vetores conseqüentes, sem alterar-lhes a ordem nesse conjunto, entre os conseqüentes de postos T e T+1 da políade paciente11, mantendo-se a ordem das demais letras:

P R R

R fatores R fatores

T fatores

T T ... ...... ... ... ...

φφφφs s

1 24 34 1 244 344

1 2444 3444

= =( )a b c r s t u v x y z w a b c r s v x y z w t u, (01).

Definição: Analogamente se define e se representa a transposta múltipla para jusante (ou traseira), de R vetores e posto T:

P R R

R fatores R fatores

T fatores

T T ..... ...... ... ... ...

φφφφr r

123 124 341 244 344

= =( )a b c r s t u v x y z w r s t a b c u v x y z w, (02).

Quando, numa transposição, o posto T é igual à valência P, escrevemos, simplesmente:

( )a b c r s t u v x y z w s t u v x y z w a b c r ... ...... ... ...

R

R fatores R fatores

r

1 24 34 1 24 34= ,

( )a b c r s t u v x y z w v x y z w a b c r s t u ... ...... ... ... ...

R

R fatores R fatores

s

1 24 34 1 24 34= , (021),

e a denominamos simplesmente de transposição múltipla de ordem R para montante ou para jusante. Poremos, por definição,

P 0 P 0 P P P P P φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφs r s r

= = = = , (022); com os símbolos acima estaremos, pois, representando a transposição idêntica. Para os 2Q-ádicos existem as transposições especiais de Q vetores para montante ou

11 A noção de posto é óbvia: é o lugar entre letras na representação de uma políade.



para jusante, casos especiais de (021) em que P=2Q, R=Q; e escrevemos:

T2QQ2QQ2Q φφφφφφφφφφφφ ≡=sr

, (031).

No §15 estudaremos os caso de igualdade entre poliádicos isômeros. Um caso especial de igualdade está relacionado com os 2Q-ádicos tais, que

T2Q2Q φφφφφφφφ = e T2Q2Q φφφφφφφφ −= , (032),

casos em que os 2Q-ádicos serão ditos, respectivamente: simétricos e anti-simétricos. Com base nas definições (023) é fácil comprovar que

)(2

1 : QTQ

simQQ ψψψψψψψψψψψψψψψψ +=∀ e )(

2

1 : QTQ

antQQ ψψψψψψψψψψψψψψψψ −=∀ , (033),

são Q-ádicos simétrico e anti-simétrico, respectivamente; o que justifica a notação.

Políades reversas

Definição: Chama-se políade reversa de dada políade P-ária aquela cujos vetores fatores sejam os da primeira, mas dispostos em ordem inversa.

Assim a reversa de abcd é dcba; e vice-versa. Quando necessário, para especificar políades reversas, usaremos as notações: r sP P e φφφφ φφφφ . A transposição múltipla para montante ou para jusante de R vetores e posto T de uma políade é a operação que tenha por fim determinar a transposta de mesmo nome dessa políade. A reversão de uma políade é a operação que tenha por fim determinar a sua reversa. A operação de transposição múltipla generaliza a operação de transposição para a díade, pois

( ) ( ) ( )ab ba ab abT = = =s r1 1, (04);

identifica-se também com a reversão, isto é

( ) ( ) ( )a b b a a b a b Ts r= = = , (041).

As operações de transposição e de reversão estendem-se ao P-ádico Pφφφφ transpondo-se e revertendo-se, respectivamente, cada uma de suas díades na sua representação P-ária, e somando-as em seguida; obtêm-se, então, os poliádicos transpostos para montante ou para jusante de Pφφφφ , de R vetores e posto T e os poliádicos reversos. Os transpostos de


IV,§ 07.01

poliádicos são representados por P R P RT T ou φφφφ φφφφs r

; os transpostos correspondentes dos

reversos por s s s r

P R P RT T, φφφφ φφφφ .

Exemplos:

1) – Sendo 9φφφφ = abcdexyzw, tem-se:

9 2 2

9 3 3

6 6

7 7

φφφφ

φφφφ

s s

r r

= =

= =

( ) ;

( ) .

abcdexyzw abczwdexy

abcdexyzw dexyabczw

2) - ( ) , ( )a b c d e f e f a b c d a b c d e f c d e f a b e s r2 2= = .

3) - No caso do triádico 3 kk k

k rk r

kφφφφ αααα γγγγ= = =g g a f g , referido no início deste parágrafo, temos:

3 1k

k 3 1 kk

3k

r rk, φφφφ αααα φφφφ γγγγ φφφφ

s r s

= = =g g g f a, ;

no caso do tetrádico 4 3 kk

kk r

k ss

rk φφφφ αααα αααα ββββ= = =g a e f g ,

4 1

k3 k 4 3 4 2

kk 4 2 k

kT 4 1

rk s

k sr 4 1

2 3φφφφ αααα φφφφ φφφφ ββββ αααα φφφφ αααα ββββ φφφφ φφφφs r s r s s

= = = = = =g a g e f, , , .

4) - Não é difícil comprovar-se que

)1P(1P1P )() ( 2

rrr−×−=× ΙΙΙΙφφφφφφφφΙΙΙΙ , (05),

de onde podemos também deduzir, trocando Pφφφφ por Pφφφφs1 :

)1(PP11P )() ( 2

rrs−×−=× ΙΙΙΙφφφφφφφφΙΙΙΙ , (051).

Então, para P = 2 (diádicos), temos, dentre outras fórmulas:

1T1 )()( 2

rr

ΙΙΙΙφφφφφφφφΙΙΙΙ ×−=× , (052),

5) - Transposição de um triádico resultado de produtos com três diádicos:

TT1 )() ()] ([ : ,, ψψψψφφφφχχχχχχχχφφφφψψψψχχχχψψψψφφφφχχχχψψψψφφφφ .. ×−×=×∀ ××

r

, (053).

Transposição simples e composta

As transposições múltiplas definidas serão denominadas, também, de simples para diferençá-las da composta, isto é, de uma transposição (múltipla) realizada sobre uma transposição (múltipla) anteriormente executada. Escreveremos, por exemplo, para as



transposições compostas de ordens Q e R:

etc )( ,)( RQPRQPRQPRQPsrsrssss

φφφφφφφφφφφφφφφφ ≡≡ , (06).

No primeiro exemplo, indicamos uma transposição para montante sobre Pφφφφ (o que gera um

poliádico P χχχχ , diferente de Pφφφφ ), seguida de uma transposição, também para montante,

sobre P χχχχ . No segundo exemplo, a primeira transposição é para jusante, a segunda é para montante. Exemplos:

1) - bcdxyzayzabcdxabcdxyz == 33 2 )( )(rss

,

isto é,

13 2 )( )(rss

abcdxyzabcdxyz = .

2) - ( ) ( )abcdxyz xyzabcd zabcdxys s s3 5 5 = = ,

isto é,

( ) ( ) .abcdxyz abcdxyzs s s3 1 5 =

3) - ( ) ( )abcdxyz xyzabcd cdxyzabs r r3 5 5 = = ,

isto é,

( ) ( )abcdxyz abcdxyzs r r3 2 5 = .

4) - ( ) ( ) ,abcd abcd abcdr s4 4= =

,)()()(

,)()()(

)42(4 48

22 46

abcdabcdabcdabcd

cdababcdabcdabcd

===

===

×rrrr

rrrr

5) - 13 43 )()()(srsr

abcdabcddabcabcd === ,

ou

( ) ( ) ( )abcd abcdr s3 4 3= − .

6) - ( ) ( ) ( )abcd bcda abcds r3 4 3= = −

Estes exemplos podem ser generalizados pelas fórmulas seguintes


IV,§ 07.01

P Q R P (R Q) P R Q φφφφ φφφφ φφφφ

s s s s s

= =+ , (07);

P Q R P (R Q) P R Q φφφφ φφφφ φφφφr r r r r

= =+ , (071);

P Q R P (R Q) P (Q R) φφφφ φφφφ φφφφs r r s

= =− − , (08);

P (KP) P (KP) P φφφφ φφφφ φφφφr s

= = (K inteiro ou K = 0), (09);

P Q P (P Q) φφφφ φφφφr s

= − , (10);

P Q P (P Q) φφφφ φφφφs r

= − , (11). Pelas fórmulas (07) e (071) são resolvidos os problemas da composição de transposição quando ambas são de mesma natureza, podendo a ordem resultante ser maior que a valência do poliádico a transpor (ver exemplo 4).

Convenção Convencionando-se que uma transposição de ordem negativa deva ser entendida como uma transposição de mesma ordem em sentido contrário, isto é, que:

P Q P Q φφφφ φφφφ− =r s

, (12), os dois últimos membros de (08) tornam-se equivalentes. A fórmula (12) resolve, pois, o problema da composição de transposições de naturezas diferentes (exemplo 3). Poderíamos também dizer, em relação aos dois últimos membros de (08), que a seta indicativa da transposição resultante é a da transposição correspondente ao minuendo. Assim, por exemplo,

sendo ( ) ( )abcd abcdr s r3 = 4 3, porque ( )abcd abcd

s4 = ,

resulta:

( ) ( ) ( ) ) ( ) .abcd abcd abcd abcd abcdr s r s r3 1 1= = = =− − −(4 3) (3 4) (

Pela fórmula (09) pode-se determinar o transposto de um poliádico em que a ordem da transposição é um múltiplo inteiro da valência do poliádico; o que, evidentemente, é uma transposição idêntica. As fórmulas (10) e (11) resultam logo das anteriores, porque, lembrando (03) e em seguida aplicando (08), temos:

)Q(PP)P(QPQPPQP ) ( srrsr

−− === φφφφφφφφφφφφφφφφ , (121).



Analogamente,

P Q P P Q P (P Q) P (Q P) φφφφ φφφφ φφφφ φφφφs r s r s

= = =− −( ) , (122). Poderemos, também, efetuar transposições compostas de ordens e postos diferentes, para montante e para jusante, representadas genericamente pelas expressões:

P Q S P Q S P Q SR T R T R T etc.φφφφ φφφφ φφφφ

r r s r r s

, , Alguns casos particulares merecem destaque por sua utilidade prática. Assim, exporemos as

Fórmulas de transposições compostas sobre um triádico e seu reverso todas de ordem 1 e postos 2 ou 3, que se demonstram facilmente:

3 3 1 1 3 1 1 3 11 3 112 2 2 2φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ= = = = s s r r r s s r

, (13); 3 1 3 1 1 3 11 3 12 2 2φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ

r s s r s s r

= = = , (14);

3 1 3 1 1 3 11 3 12 2 2φφφφ φφφφ φφφφ φφφφs r r s r s s

= = = , (15);

3 1 3 1 1 3 11 3 12 2 2φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ

r r s s s s r

= = = , (16);

3 1 3 1 1 3 11 3 12 2 2φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ

s s r r r s s

= = = , (17);

s s r r s r r s s

3 3 1 1 3 1 1 3 11 3 112 2 2 2φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ= = = = , (18);

Estas fórmulas são válidas para qualquer triádico; então, para o triádico reverso de 3φφφφ podemos escrever, ainda, dentre outras fórmulas:

s s s s s r r s r s s s r3 3 1 1 3 1 1 3 11 3 112 2 2 2φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ= = = = , (131);

s r s s s s r s r3 1 3 1 1 3 11 3 12 2 2φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ= = = , (141).

Exporemos também, a seguir, algumas formulas, sem demonstração.

Fórmulas de transposições compostas sobre um tetrádico e seu reverso,

de diversas ordens e diversos postos:

4 4 1 1 4 1 1 4 11 4 112 2 2 2φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ= = = = s s r r s r r s

, (19),


IV,§ 07.01

4 1 1 4 22 3φφφφ φφφφr r s

= , (20),

4 1 1 4 22 3φφφφ φφφφr s s s

= , (21),

4 1 1 4 22 3φφφφ φφφφs s r

= , (22),

4 1 1 4 22 3φφφφ φφφφs r s r

= , (23),

4 1 2 4 12 3φφφφ φφφφr r s r

= , (24),

4 1 2 4 12 3φφφφ φφφφs s s s

= , (25),

4 1 2 4 1 4 212 2 2φφφφ φφφφ φφφφr r s r s s

= = , (26),

4 1 2 4 1 4 212 2 2φφφφ φφφφ φφφφs s s s r r

= = , (27),

4 2 1 4 1 13 2 3φφφφ φφφφr r s s r

= , (28),

e várias outras. *

Exercícios: 1 - Comprovar que, de (052), considerando-se (18), pode deduzir-se:

ΙΙΙΙφφφφφφφφΙΙΙΙ ×−=× T )(s

, ou, T )(s

ΙΙΙΙφφφφφφφφΙΙΙΙ ×−=× , (29).

2 – Mostrar que:

.aa: 2133 )( s

φφφφΙΙΙΙφφφφ =−× , (30).

*

Isomeria

Definições: (Isômeros, isomeria) Um poliádico e todos os seus transpostos e reversos são ditos isômeros uns dos outros.

Então, poliádicos isômeros são aqueles que se escrevem com os mesmos vetores, diádicos, triádicos etc., mas em ordens diferentes.

Isomeria é a parte da álgebra dos poliádicos que tem por finalidade o estudo das propriedades dos poliádicos isômeros bem como das propriedades das operações com isômeros.



Verificam-se as seguintes

propriedades:

1ª) - Uma transposição para montante ou para jusante com R vetores é operação equivalente a R operações sucessivas para montante ou para jusante com apenas um vetor:

P R P ... 1 P R P ... 1 e φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ

r r r r r s s s s s

==== ====111 111 .

Assim, por exemplo,

5 3 3 (φφφφr r r r r r r r

= = = = =abcde deabc cdeab bcdea abcde) ( ) ( ) ( ) ( )1 11 111.

Logo: P R P R e φφφφ φφφφr s

, qualquer que seja R, são duas permutações, em geral distintas,

sobre a escrita vetorial de Pφφφφ . Analogamente, uma transposição para montante (jusante) de R vetores e posto Q é operação equivalente a R transposições sucessivas para montante (jusante) com um vetor e posto Q:

e

R vezes R vezes

P R P 1 ... 1 P R P 1 ... 1Q Q Q Q Q Q Q Q

674 84 674 84r r r r s s s s

φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ==== ====1 1.

2ª) - Uma transposição para montante de R vetores e posto T sobre uma P-ade é operação equivalente à conservação da (P-T)-ade formada pelos seus antecedentes e à transposição para montante (ou para jusante) de ordem R (ou T-R) da T-ade formada pelos seus conseqüentes.

Pois, aplicando as definições e, depois, as fórmulas (10) e (11), temos:

... ...... ... ... ...

T fatores P T fatores

P R R

R fatores R fatores

T T

6 7444 8444 6 74 84

1 24 34 1 244 344

s s

−

= = =φφφφ ( )a b c r s t u v x y z w a b c r s v x y z w t u

= =−

− − −

( )( ) ( )( )a b c r s t u v x y z w a b c r s t u v x y z w ... ..... .... ... ..... ... . (T R) R

P T fatores T R fatores R fatores P T fatores T fatores

r s

1 244 344 124 34 1 244 344 1 244 344 1 24444 34444

Analogamente, uma transposição para jusante de R vetores e posto T sobre uma P-ade é operação equivalente à conservação da (P-T)-ade formada pelos seus conseqüentes e à transposição de ordem R (ou T-R) para jusante (ou para montante) da T-ade formada pelos seus antecedentes:

62 § 07 – Poliádicos isômeros

IV,§07.01

.... .... ...... (... ... ) ...

T fatores P T fatores

P R R

R fatores T R fatores R fatores

T T

6 7444 8444 6 744 844

1 24 34 124 34 124 34

r r

−

−

= = =φφφφ ( )a b c r s t u v x y z w r s t a b c u v x y z w

... ... ( ..... ....

T fatores

R

R fatores P T fatores

6 744 844

124 34 1 2444 3444

r

=−

( ) )a b c r s t u v x y z w .

Logo: P R P RT T e φφφφ φφφφr s

são duas permutações, em geral distintas, sobre a escrita

vetorial de Pφφφφ . Com efeito, a transposição sobre a políade fator não conservada gera políades distintas.

3ª) - As duas propriedades anteriores aplicadas à políade sPφφφφ , reversa de

Pφφφφ , representam novas permutações, em geral distintas, sobre a escrita

vetorial de Pφφφφ . Com efeito, pois

P R P R P R P R ...T Tφφφφ φφφφ φφφφ φφφφ

r s r r s r

≠ ≠, , .

4ª) - Tem-se:

∀ ≥ = = = =− − − −P P P Q P Q P Q P QT Q: T T T T T T T Tφφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ,

( ) ( ) ( ) ( )r r r r s s s s

T Q T Q T Q T Q, (30).

Com efeito, pela propriedade 2ª podemos decompor univocamente o P-ádico no

produto direto de um T-ádico por um (P-T)-ádico, escrevendo P T P T para T P,φφφφ ψψψψ χχχχ= ≤−

caso em que a transposição de Q vetores e posto R sobre Pφφφφ é equivalente a uma

transposição de ordem Q sobre T ψψψψ se Q ≤ T ≤ P. Logo,

P Q T Q P T P Q T Q P TT T T e φφφφ ψψψψ χχχχ φφφφ ψψψψ χχχχr r r r r r

= =− − − −( ) ( )T Q T Q

Mas, segundo (11), T Q T Qψψψψ ψψψψr r r s

( )T Q Q− = ; e segundo (08), T Q Q T ψψψψ ψψψψr s

= ; logo:

P Q T P T PT T φφφφ ψψψψ χχχχ φφφφr r

( )T Q− −= = , o que justifica os dois primeiros membros de (20). Como, por (071),

P Q P QT T T T φφφφ φφφφ

r r r r( ) ( )T Q T Q− −= ,

justifica-se, também, o terceiro membro de (30). Para se comprovarem os dois últimos membros de (30) basta que se considere a

§ 07.02 - Expressões de produtos múltiplos de políades isômeras. 63


decomposição P P T T φφφφ αααα ββββ= − e se leve em conta que as transposições de ordens Q e T - Q

para montante são realizadas apenas sobre T ββββ porque Q≤T.

5ª) - Existem, no máximo, P! políades isômeras de valência P.

Com efeito, imaginada uma políade escrita vetorialmente, todas as suas isômeras (as transpostas e as reversas) podem ser obtidas por permutação circular dos vetores; com o que se obtêm P! permutações. As tabelas 1 e 2 apresentadas em apêndice, no final deste capítulo, apresentam todas as isômeras de uma tríade e uma tétrade, políades estas de maior utilidade nas aplicações.

§ 07.02 - Expressões de produtos múltiplos de políades isômeras.

Políades quaisquer, de valências diferentes.

Pondo

... ... ...

T fatores

P

Q fatores Q fatores

6 74444 84444

1 24 34 1 2444 3444φφφφ = abc e fg l mn pqr yz... , onde T ≤ P, 0≤ Q,

têm-se as isômeras

P Q

T - Q fatores Q fatores P-T fatores

T ... ... ... φφφφr

1 244 344 124 34 124 34= fg lmn p ab e qr yz... , (A),

... ... ...

P-T fatores

P P T)

P - Q fatores

P Q

6 74 84

1 24444 34444

s

φφφφ (...

− − = ab e qr yzfg lmn p , (B),

e a fórmula geral

∀ ≤ ≤

=+ − + − + − + − − −

P, Q, T com T P e 0 Q :

P Q Q P T Q P T Q P T

Q P T P (P T)

T P Qφφφφ ψψψψ ψψψψ φφφφr s

. . ,. (01).

Com efeito, considerando (A), escrevemos:

P Q Q P T Q P T

Q P T Q P TT ... ... ... ... ),

φφφφ ψψψψ ψψψψ

r

. fg lmn p ab eqr yz .+ − + − + − + −= (

ou, ainda, lembrando que a multiplicação múltipla entre parênteses é comutativa (§06.02) e que o resultado é um número:


IV,§ 07.02

P Q Q P T Q P T Q P T

Q P TT ... ... ... ...

φφφφ ψψψψ ψψψψ

r

. . ab eqr yzfg lmn p+ − + − + − + −= .

Agora, considerando (B) temos, logo, (01). Analogamente,

∀ ≤ ≤

=− + − + − + − + −−


P (P T)

Q P T Q P T Q P T

Q P T P QP Q Tφφφφ ψψψψ ψψψψ φφφφ

v s

. . , (011).

Para P=T resultam, de (01) e (011), respectivamente:

∀ = = : e P Q P Q Q Q Q

Q P P

Q Q Q

Q P Qφφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ ψψψψ φφφφ φφφφ ψψψψ ψψψψ φφφφ,

r s

. . . . , (012).

Para a multiplicação cruzada, considerando a sua eventual anticomutatividade e lembrando que o produto (Q+P-T)-plo é um (Q+P-T)-ádico, deduzimos, sucessivamente:

=−= +×

+−+++× )...... (......)1( T-PQ

T-PQTPQT-PQT-PQ

QP T yzeqrabplmnfg ψψψψψψψψφφφφs

)T-PQ(T-PQ

T-PQT-PQ )............ ()1(r

++×

++−= plmnyzfgeqrabψψψψ

ou, ainda, considerando (B) e efetuando uma transposição para montante, de ordem Q+P-T:

, )1( ) (

: Q 0 e P T com T Q, P,

QPT)T(PPTPQ

TPQTPQ)TP(QTPQTPQ

QP −−−+

×−+−+−+−+−+

× −=

≤≤∀

ssr

φφφφψψψψψψψψφφφφ (02).

Para P=T resulta, logo:

φφφφψψψψψψψψφφφφψψψψφφφφ PQ

QQQQQ

QPQP )1() ( :, ×× −=∀sr

, (021),

e, trocando-se nesta fórmulaPφφφφ por P Qφφφφs

:

QPQ

QQQQQ

PQP )1() ( :,ss

φφφφψψψψψψψψφφφφψψψψφφφφ ×× −=∀ (022).

Políades quaisquer, de mesma valência.

Independentemente de representar × ou . é fácil comprovar a validade da fórmula

§ 07.02 - Expressões de produtos múltiplos de políades isômeras 65


TTT )Q-(TQPPQPPPPPP ) ( :T , , rr

o

r

oµµµµββββµµµµββββµµµµββββ =∀ , (03),

a transposição no segundo membro sendo irrelevante no caso de ≡ . . Trocando-se P µµµµ por P (T Q)

Tµµµµ−

r

em (03) e lembrando-se ((20),§07.01), resulta:

TTT )Q(TPPQP)Q(TPPPPP ) ( :T,, r

o

rr

o

−− =∀ µµµµββββµµµµββββµµµµββββ , (04),

ou, ainda, especificamente:

P P P (T Q) P Q P P T Tββββ µµµµ ββββ µµµµ. .− =

r r

, (041),

e

TTT )Q-(TPPQP)Q-(TPPP ) ( rrr

µµµµββββµµµµββββ ×× = , (042).

Considerando-se ((11),§07.01) e fazendo-se T = P em (04) resulta:

QPPQPQPPPPP ) ( :T,, s

o

rs

oµµµµββββµµµµββββµµµµββββ =∀ , (05),

ou, especificamente:

P P P Q P Q P P ββββ µµµµ ββββ µµµµ. .

s r

= , (051),

e

QPPQPQPPP ) ( srs


Trocando P ββββ por P(T Q)

Tββββ−

r

em (03), obtemos:

TTT )Q-(TQPPPPP)Q-(TPPP ) ( :T , , rr

oo

r

µµµµββββµµµµββββµµµµββββ =∀ , (06),

donde, P (T Q)

P P P

P P Q

T T ββββ µµµµ ββββ µµµµ− =r r

. . , (061),

e

TTT )Q-(TQPPPPP)Q-(TP ) ( rrr


Fazendo-se P = T nas fórmulas (06), tem-se:

QQPPPPPQPPP ) ( :Q , , sr

oo

s


P Q

P P P

P P Q ββββ µµµµ ββββ µµµµ

s r

. .= , (071),


IV,§ 07.02

QQPPPPPQP ) ( srs


É válida também a fórmula análoga a (03),

TTT )Q-(TQPPQPPPPPP ) ( :TQ, , , ss

o

r

oµµµµββββµµµµββββµµµµββββ =∀ , (08).

Trocando-se em (08) P ββββ por P(T Q)

Tββββ−

s

e relembrando (20), § 07.01 resulta:

TTT )Q-(TQPPPPP)Q-(TPPP ) ( :TQ, , , ss

oo

s


donde

TT QPPPPP)Q-(TP s

oo

s

µµµµββββµµµµββββ = , (091),

TTT )Q-(TQPPPPP)Q-(TP ) ( sss


Analogamente ao caso anterior, fazendo P = T em (09) obtemos:

QQPPPPPQPPP ) ( :Q , , rs

oo

s

µµµµββββµµµµββββµµµµββββ =∀, (10),

e, especificamente,

QPPPPPQP sr

µµµµββββµµµµββββ •• = , (101),

e

QQPPPPPQP ) ( rsr


Exemplos para simples comprovação: Tem-se, para zwxy=∆∆∆∆4 e abcdE =4 :

4 2 4 4 4 4 4 2 ∆∆∆∆ ΕΕΕΕ ∆∆∆∆ ΕΕΕΕ

r s

. . .z. c w.d x.a y.b zwxy cdab= = =( )( )( )( ) 4 ,

11444141

44414

) (])( )[(]))()()(([

))()()(()( )( srss

ΕΕΕΕ∆∆∆∆

ΕΕΕΕ∆∆∆∆

××

××

==××××=

=××××==

bcdazwxyaydxcwbz

dxcwbzayabcdyzwx

etc..

Produtos múltiplos ponteados ou cruzados com três poliádicos. Conforme (01) e (011), podemos escrever:



∀ ≤ ≤

= =− − − − − − − − − − −


T Q P Q P T Q) P T Q) P T Q)

P T Q) P (P T)

T P Qαααα φφφφ ψψψψ ψψψψ φφφφr s

. .( ( ( ( ,

T Q P (P T)

P T Q) P T Q) P T Q)

P T Q) P Q

P Q T− − − − − − − − − −= =−ββββ φφφφ ψψψψ ψψψψ φφφφr s

. .( ( ( (

;

∀ ≤ ≤

=+ − + − + − + − − −

0 S, V R:

R S R S V R S V R S V

R S V R (R V)

V R Sµµµµ αααα αααα µµµµr s

. . .

Logo, para R + S - V = T - Q podemos escrever: R S

T Q P Q

P T Q) P T Q)

P T Q) P T Q) P (P T)

T Q R (R V) R T Q)

V T

P Q R S

[

]

µµµµ φφφφ ψψψψ

ψψψψ φφφφ µµµµ αααα

r r

s s

. .

. .

− − − − −

− − − − − − − − −

=

= =− −

( (

( ( (

]

[, (111),

R S T Q P T Q)

P T Q) P Q

P (P T)

P T Q) P T Q)

T Q R (R V) R T Q)

V T

P Q R S

[

]

µµµµ ψψψψ φφφφ

φφφφ ψψψψ µµµµ ββββ

r s

r s

. .

. .

− − − − −

− − − − − − − − −

=

= =− −

( (

( ( (

]

[ , (112).

Para T - Q = R e, portanto, S = V, temos os escalares:

∀ =

= =

− − −

− − − −

+

−

Q: [

] A

R P P R R R P Q

P R P R

P R P R P (P Q R)

R R

R Q

P Q

µµµµ φφφφ ψψψψ µµµµ φφφφ ψψψψ

ψψψψ φφφφ µµµµ

, , , ]

[

. .

. .

r

s , (121),

e

∀ =

= =

− − −

− − − −

+

−

Q: [

] B

R P R R R P R

P R P Q

P (P Q R)

P R P R

R R

R Q

P Q

µµµµ ψψψψ µµµµ ψψψψ φφφφ

φφφφ ψψψψ µµµµ

, , ]

[

. .

. .

s

r , (122).

Fazendo-se R = P - Q, (121) e (122) dão:


IV,§ 07.02

∀ =− − − − − − ( )

P Q P P R P Q P Q P Q

Q Q Q

Q P

P Q P Qµµµµ φφφφ ψψψψ µµµµ φφφφ ψψψψ ψψψψ φφφφ µµµµ, , : ) (. . . .

r

, (131),

e

∀ =− − − − − (

P Q Q P P Q P Q Q

Q P Q P

Q Q

P Q P Qµµµµ ψψψψ φφφφ µµµµ ψψψψ φφφφ φφφφ ψψψψ µµµµ, , : ) ( ). . . .

s

, (132).

Considerando, ainda, que:

µµµµααααααααµµµµ PPPPPPP )1( ×× −= ,

então, denotando por P αααα a políade entre parêntesis no primeiro membro de (022), temos:

µµµµφφφφψψψψψψψψφφφφµµµµψψψψφφφφµµµµ PP

QQPQ

QQPQQ

PP

PQPP ) ( )1() ( :,, ××+

×× −=∀rs

, (141);

analogamente, deduzimos:

µµµµψψψψφφφφφφφφψψψψµµµµψψψψφφφφµµµµ PP

QQQ

QPQPPQ

QP

PQPP ) ( )1() ( :,, ××+

×× −=∀sr

, (142).

Assim, aplicando (102) a (141) e (07) a (142), podemos deduzir:

QPP

QPQ

QQPQPQ

QP

PQPP ) ( )1()] ( [ :,, sss

µµµµφφφφψψψψφφφφψψψψµµµµψψψψφφφφµµµµ ××+

×× −=∀ (151),

e

QPP

QQ

QPQPQPQ

QP

PQPP ) ( )1()] ( [ :,, rrr

µµµµψψψψφφφφφφφφψψψψµµµµψψψψφφφφµµµµ ××+

×× −=∀ (152).

Produtos mistos ponteados ou cruzados com três poliádicos. Procuremos, agora, algumas expressões de produtos múltiplos compostos, de nomes diferentes, com políades isômeras12. São eles:

) ( QQPRR ψψψψφφφφχχχχ ×• e ) ( QQ

PRR ψψψψφφφφχχχχ •× .

O primeiro é uma (P - R)-ade se P ≥ Q, ou uma |Q - R|-ade se P ≤ Q. A segunda é uma |R - |P - Q||-ade, mas P ≠ Q e R ≤ |P - Q|. Tem-se, aplicando (012)1 ao primeiro produto:

χχχχψψψψφφφφψψψψφφφφχχχχψψψψφφφφχχχχ RRRQQ

PQQ

PR

RQPR ) ( ) ( :RP,,, •××• =>∀r

;

em seguida, aplicando (022) aos parênteses do segundo membro:

12 Existem expressões mais gerais que o leitor poderá pacientemente encontrar.



χχχχφφφφψψψψψψψψφφφφχχχχ

ψψψψφφφφχχχχRR)R(QQPQ

QQQQ

PR

R

QPR

) ( )1( ) (

:RQP,,,

•+

××• −=

+>∀rs , (16).

Aplicando (021) ao segundo produto, escrevemos:

RRRRQQ

PRQQ

PRR ] ) [((-1)) ( sr

χχχχψψψψφφφφψψψψφφφφχχχχ ×••× = ,

ou, efetuando em ambos os membros uma transposição para jusante de ordem R:

χχχχψψψψφφφφψψψψφφφφχχχχ

ψψψψφφφφχχχχRRRQQ

PRRQQ

PRR

QPR

) ( )1( ) (

:RQP,,,

××•× −=

+>∀r , (17).

Casos particulares Alguns casos particulares podem ser deduzidos dessas expressões gerais. Assim, para R = Q, temos de (16) e de (17), respectivamente:

χχχχφφφφψψψψψψψψφφφφχχχχψψψψφφφφχχχχ QQ)(2QQPQ

QQQQ

PQ

QQPR ) ( )1( ) ( :Q2P,,, •××• −=>∀rs

(181),

χχχχψψψψφφφφψψψψφφφφχχχχψψψψφφφφχχχχ QQQQQ

PQQQQ

PQQQPR ) ( )1( ) ( :Q2P,,, ×••× −=>∀rr

, (191).

Para R = Q = P/2 (logo, P é par), temos, de (181), e (191), respectivamente:

χχχχφφφφψψψψψψψψφφφφχχχχψψψψφφφφχχχχ QQQ2QQ

QQQQ

2QQ

QQ2QQ ) ( )1( ) ( :,, •×•• −=∀s

, (182);

χχχχψψψψφφφφψψψψφφφφχχχχψψψψφφφφχχχχ QQQQ

2QQQQQ

2QQ

QQ2QQ ) ( )1( )] ( [ :,, ×••× −=∀r

, (192).

Para R = Q = P só podemos operar em (181); e deduzimos,

χχχχφφφφψψψψψψψψφφφφχχχχψψψψφφφφχχχχ PPPP

PPPP

PP

PPPR ) ( )1( ) ( :,, •××• −=∀ (183),

Produtos duplos (P+Q)-plos.

Não é difícil comprovar a seguinte fórmula para produtos duplos:

QPQ

PQP

Q

P

QSQRSR +

∗

+

∗

=rs

oo ψψψψφφφφψψψψφφφφ (23).

70 § 08 - Poliádico unidade.

IV,§ 08.01

Para P = Q = H = 21

R = 21

S

H2HH2HH2HH2H2H2H

H

H2H

H

H2H

H

H

rsrs

ooo ψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφ∗∗∗

== , (231).

*

Exercícios: Comprovar as seguintes fórmulas:

φφφφΙΙΙΙΙΙΙΙφφφφφφφφΙΙΙΙ P1PP 2 :+=−××

r

, (20);

ΙΙΙΙΙΙΙΙφφφφφφφφΙΙΙΙφφφφ P1PP 2 :+=−××

s

, (201);

ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ 4 P P 4. .φφφφ φφφφ=

r4 , (21);

ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ = P 4 P: : .φφφφ φφφφs2, (22).

* § 07.03 – Matrizes isômeras.

Vimos (§03.04) como associar uma matriz a um poliádico (estando este escrito cartesianamente). A matriz de qualquer um dos isômeros de um poliádico é formada com as coordenadas desse poliádico dispostas, porém, em postos diferentes. As matrizes associadas a poliádicos isômeros são ditas matrizes isômeras e podem ser determinadas facilmente.

§ 08 - POLIÁDICO UNIDADE.

§ 08.01 - Definição e propriedades.

Sejam e e e e e e1 21 2 ... e ... N

N sistemas de vetores recíprocos em EN (N = 1, ou 2, ou 3). O diádico cujos antecedentes e conseqüentes sejam vetores recíprocos correspondentes de sistemas recíprocos quaisquer é o diádico unidade, único, que se representa por ΙΙΙΙ (§02.09,Cap.II,Vol.I). Para N=3,

ΙΙΙΙ = = = =e e e e e e e e e e e e e e e eii

11

22

33 j

j1

12

23

3+ + + + , (01),

sendo, em geral:

∀∀∀∀ ==== ==== ==== ==== (i Nii i

iv v v. v.e e v.e e: ( ) ( ) , ,..., )ΙΙΙΙ 1 2 , (02). Temos também:

φφφφφφφφΙΙΙΙΙΙΙΙφφφφφφφφ QQQQ : ==∀ .. , (03).

§ 08.01 - Definição e propriedades. 71


Consideremos, então, a políade:

P

Q fatores

φφφφ = rst lmnabc xyz... ...1 24 34

e Q sistemas de vetores recíprocos de EN,

e , e ..., , e , e ∗∗

∗∗

∗∗

∗∗ hhggffee .

Em vista de (02), Pφφφφ pode ser escrita na forma:

Pi

i jj v

v ww φφφφ = rst lmn a.e e b. f f y. g g z.h h... ( ) ( ) ... ( ) ( )

dentre as 2Q formas possíveis. Como os produtos entre parênteses são números, podemos acomodá-los convenientemente na expressão e escrever:

Pi

jv

w ij

vw

Q fatores

... φφφφ = rst lmn a.e b. f y.g z.h e f g h... ( )( ) ... ( )( )1 244 344 ,

ou, ainda, lembrando a definição de produto ponteado múltiplo de poliádicos (§06.02):

4434421443442143421fatores Qfatores Qfatores Q

wv

jiw

vj

iQ

P ... )] ... ( ) ... ... [( hgfehgfe.xyzlmnabcrst=φφφφ

Ora, dentro dos primeiros parênteses encontramos Pφφφφ . Dentro dos segundos parênteses encontramos a políade que se obtém da políade externa aos colchetes por simples contraposição dos índices das letras. Em outras palavras: os vetores que ocupam os mesmos postos nestas políades são correspondentemente recíprocos nos sistemas aos quais pertencem. Podemos escrever, mais uma vez relembrando a definição de produto ponteado Q-plo de poliádicos:

) ... ... (

fatores Qfatores Q

wv

jiw

vj

iQ

PP

443442143421hgfehgfe.φφφφφφφφ=

,

o poliádico multiplicador tendo valência 2 Q.

Analogamente podemos comprovar que P

ij

vw i

jv

w Q P

Q fatores Q fatores

... φφφφ φφφφ==== ( ... )e f g h e f g h .1 24 34 1 244 344 ,

P P Q i

jv

w ij

vw

Q fatores Q fatores

... φφφφ φφφφ==== . e f g h e f g h( ... )1 244 344 1 244 344

e

P ij

vw i

jv

w Q P

Q fatores Q fatores

... φφφφ φφφφ==== ( ... )e f g h e f g h .1 244 344 1 244 344 .

É evidente que os mesmos resultados poderiam ser deduzidos se Pφφφφ fosse um poliádico e não apenas uma políade. Então, como os produtos ponteados múltiplos Q-plos


IV, § 08.01

dos 2Q-ádicos entre parêntesis são iguais, qualquer que seja o poliádico Pφφφφ, resulta que tais poliádicos são todos iguais para cada Q (conforme Teor.2,§06). Deve ser observado que a assertiva independe dos Q sistemas recíprocos de vetores adotados. Dada a arbitrariedade desses sistemas recíprocos, resulta ser único o referido 2Q-ádico; será denotado por 2Q ΙΙΙΙ .

Definição: (poliádico unidade) O 2Q-ádico da forma

2Qi

jv

w ij

vw

Q fatores Q fatores

... ΙΙΙΙ = e f g h e f g h... )1 24 34 1 244 344

= ... i

jv

w ij

vw

Q fatores Q fatores

( ... )e f g h e f g h1 244 344 1 244 344 , (04),

em que , , , e e f f g g h h∗∗

∗∗

∗∗

∗∗ e e ... , e e são

sistemas de vetores recíprocos em EN, e que transformam um poliádico nele mesmo, é denominado poliádico unidade, ou 2Q-ádico unidade, ou ainda, idem-fator de valência 2Q.

Então, como propriedade característica do 2Q-ádico unidade resulta a expressão:

∀ = = P P

Q 2Q 2Q Q P Pφφφφ φφφφ φφφφ φφφφ: . . ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ , P≥Q (05).

* Exercício 1: Provar que:

ψψψψφφφφψψψψΙΙΙΙφφφφ 2QQ

2Q2Q2Q

4QQ

2Q ••• = .

* Além do diádico unidade (01), com duas representações distintas, cada uma com 31 = 3 parcelas, temos também: o tetrádico unidade,

4i

j ij i j

i j ij i

j i ji jΙΙΙΙ = = = =e f e f e f e f e f e f e f e f, (06),

ou, em relação aos mesmos tercetos recíprocos:

4 ΙΙΙΙ = = = =e e e e e e e e e e e e e e e ei

j ij i j

i j ij i

j i ji j

. (061),

com 4 (2Q, Q=2) representações distintas, cada uma com 9 (3Q, Q=2) parcelas; o hexádico unidade,

6i

jk

ij

ki j

k i jk

ij k i

j k

i jk i j

ki j k

i j k i j ki j k

ij k i

j ki

jk

ij

k

ΙΙΙΙ = = = =

= = = =

= =

e f g e f g e f g e f g e f g e f g

e f g e f g e f g e f g e f g e f g

e f g e f g e f g e f g ,

(062),

com 8 (2Q, Q=3) representações distintas, cada uma com 33 = 27 (3Q, Q=3) parcelas etc..



* Exercício 2: Provar que:

.v.uvu.vu. )(44 ΙΙΙΙΙΙΙΙ == , .vua.vu.a φφφφφφφφΙΙΙΙ ×=× ).( 4 , φφφφΙΙΙΙφφφφ u.va.vu.a ×=× ).( 4 ,

cab.a.cb. ×=× φφφφΙΙΙΙφφφφ .)( 4 , abc:.b.a.c. )()( 1TT4r

φφφφφφφφφφφφφφφφΙΙΙΙ ×−=× , .bca.ba.c. φφφφφφφφΙΙΙΙ ×=×4 .

* Matriz associada ao tetrádico unidade

É fácil escrever uma das matrizes mistas (§ 03.04) associadas ao tetrádico unidade. Temos, por exemplo:

kj

ihhi

jk kj

kj4 A eeeeeeeeI == , sendo i

k h

j hi

jk A δδ= .

Então, utilizando a mesma notação do §03.04, deve ser:

[ ]B

0 0

0 0

0 0

jh

jh

jh

jh

j h=

=

δ

δ

δ

δ ΙΙΙΙ ,

[ ]499

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 00 0 0

0 0 0

0 0 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0

0 0 0

0 0 00 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

ΙΙΙΙ ∗∗∗∗ =

, (063).

É fácil comprovar que qualquer que seja a escrita cartesiana de 4 ΙΙΙΙ , suas matrizes correspondentes são todas iguais à matriz unidade 9×9, isto é,

[ ] ] ] ] ],4 4 4 4 4ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ

[ [ [ [∗∗∗∗

∗∗∗ ∗

∗ ∗∗∗

∗∗∗∗= = = ≡ (064).

* Exercícios:

3 – Tem-se os isômeros com 4I : j

jj

ii

j14 3 eeeeee ΙΙΙΙΙΙΙΙ ==r

, ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ jji

i24 3 == eeeer

, (065),

e :φφφφ∀

T14 3 φφφφφφφφΙΙΙΙ =:r

, ΙΙΙΙφφφφφφφφΙΙΙΙ E24 3 =:r

, sim144 )(

2

13 φφφφφφφφΙΙΙΙΙΙΙΙ =+ :r

, ΙΙΙΙφφφφφφφφΙΙΙΙΙΙΙΙ )( 33 2414 ××=+− :

rr

, (066).


IV, § 08.01

4 – Igualdades matriciais:

etc.

000

000

010

[12] ,

000

000

001

[11] com ,

]33[]32[]31[

]23[]22[]21[

]13[]12[]11[

][

=

=

=ΙΙΙΙΙΙΙΙ , (067).

5- ∀ = =φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ: ] [ ] [ ] [ ] e [ ] [ [ ]4 2 T 43: :ΙΙΙΙ ΙΙΙΙr s

13 , (068),

e

])[]([2

1 ][][ 3244

sim

r

ΙΙΙΙΙΙΙΙφφφφφφφφ += : , (069).

6 – Observe-se que:

∀ =φφφφ φφφφ φφφφ: 4: ΙΙΙΙ e ][][ ])Tr[][ E4 ΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφφφφφ ==≠ (:][][ , (06

10).

Poderia parecer que as igualdades poliádicas acarretassem correspondentes matriciais. O leitor não deve estranhar eventualmente esses resultados matriciais porque as valências dos poliádicos fatores são diferentes (veja Teor. 3, §06.02).

7 - Demonstrar que

])()[(2

133 114rs

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ +=

e generalizar:

]) ... () ... [(2

11-2H3-2H31-2H3-2H3 )1-(H)2-(H ... 1

fatores H

)1-(H)2-(H ... 1

fatores H

H2rrrsss

321321 ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ += .

8) - Comprovar que os isômeros 33 24144 , ,rr

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ têm módulo igual a 3 e formam entre

si ângulos iguais cujo co-seno é igual a 1/3 (ou seja, 70°31'43,61") e tentar interpretar geometricamente essa questão antes de estudar o §09. 9) - Comprovar que:

9.1) - 6I e os 14 tetrádicos seguintes são isômeros distintos:

III )( 324 =r

ΙΙΙΙΙΙΙΙ , ΙΙΙΙΙΙΙΙ 4 , 4233 1141414 ) () () () (sssr

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ === , ΙΙΙΙΙΙΙΙ 4 ,

314 ) (s

ΙΙΙΙΙΙΙΙ , 35 2424 ) () (sr

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ = , 41) (r

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ

55 1434 ) () (sr

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ = , 324 ) (r

ΙΙΙΙΙΙΙΙ , 514 ) (r

ΙΙΙΙΙΙΙΙ , 424 ) (s

ΙΙΙΙΙΙΙΙ ,

11 ) () (sr

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ = , 1414 ) () (sr

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ = , 55 1434 ) () (ss

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ = ;

9.2) - que todos têm módulo igual a 27 , formam entre si o mesmo

ângulo cujo co-seno é igual a 1/9 (ou seja 83°37'14,27") e tal como no exercício anterior, tentar interpretar geometricamente essa questão antes de estudar o §08.03 e o §09.

*



No caso particular de bases ortonormadas em E3, ˆ,ˆ,ˆ kji , ˆ,ˆ,ˆ cba , ˆ,ˆ,ˆ tsr e outras,

os poliádicos unidade têm uma única representação:

ΙΙΙΙ = $ $ $ $ $ $i i j j k k + + , ou ccbbaa ˆˆˆˆˆˆ ++=ΙΙΙΙ , (07),

4 + + +

+ + + +

+ + + ,

ΙΙΙΙ = $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $

$ $ $ $ $ $$ $ $ $ $ $

$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $

i a i a i b i b i c i c

j a j a j bj b j c j c

k a k a k bk b k c k c

(08),

6 + + +

+ + + +

+ + + +

ΙΙΙΙ = $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $

$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $$ $ $$

$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $

i a r i a r i a s i a s i a t i a t

i br i br i bs i bs i bt i bt

i c r i c r i c s i c s i c t i c t

+ + ... ... .$ $ $ $ $ $j a r j a r

(09).

Propriedades do poliádico unidade.

Uma escrita do 2Q-ádico unidade requer Q somatórias (com Q pares de índices), cada qual estabelecida por uma repetição de índices (em níveis diferentes) entre cada um dos seus i-ésimos antecedentes e o seu correspondente (2Q + 1 - i)-ésimo recíproco conseqüente. Se representarmos por

vu

ji

vj ....u i ... hgfeQQ ==∗

a Q-ade formada pelos antecedentes e por

vu

ji...u i

vj ... hgfeQQ ==∗ ,

a Q-ade formada pelos conseqüentes (a letra Q já define a valência dessa políade), então

==== ∗∗ v

uj

ivu

ji

...u i vj

vj ...u i

2Q ... ... hgfehgfeQQQQΙΙΙΙ

= =∗∗Q Q vj

...u i...u i vj QQ = e f g hi

ju

v ... e f g h

ij

uv ... , (10).

Logo, de (05) deduzimos:

∀ = =∗∗ ∗

∗ : P P P Q P

Qφφφφ φφφφ φφφφ φφφφ( ) ( ). Q Q . Q Q , (101).

Os poliádicos unidade gozam das seguintes propriedades:

1ª) - Uma mesma transposição, arbitrária, realizada simultaneamente sobre cada uma das Q-ades de um 2Q-ádico unidade não lhe altera o valor.

Com efeito, como a construção de um 2Q-ádico unidade requer que vetores correspondentes de uma e outra Q-ade sejam recíprocos, uma mesma transposição sobre ambas as Q-ades não altera essa condição.

2ª) - Cada Q-ade que compõe o 2Q-ádico unidade pode ser decomposta arbitrariamente em produtos diretos de uma A-ade, uma B-ade, uma C-ade etc., desde que A + B + C + ... = Q.


IV, § 08.01

Pois, escrevendo:

, (11),

com A*=A i

j (díade), B*=Bklm (tríade),

resulta Q A B C R S∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗= ... ;

ou, então, escrevendo:

...n kl im j QQ =∗ , (111),

e fazendo

A*=A ij (díade), B*=Bkl

m (tríade),

resulta:

Q A B C R S∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗= ... .

3ª) - O tetrádico unidade é igual à soma dos produtos diretos dos diádicos de uma base pelos seus correspondentes recíprocos:

9), ..., 2, 1,=(r ,r

rrr

4 εεεεεεεεεεεεεεεεΙΙΙΙ == (12).

Se para o tetrádico qualquer, 4φφφφ, 4 φφφφ φφφφ= i ji j

(i, j = 1,2,3)e e é uma de suas escritas

diádicas (notar que os φφφφij são diádicos), podemos escrever, aplicando ((08),§10.02,Cap.II,Vol.I):

4r

r i ji j

rr

i ji j

(r = 1, 2, ..., 9)φφφφ εεεε εεεε φφφφ εεεε εεεε φφφφ= =[ ( )] [ ( )] ,: e e : e e .

Lembrando a definição de multiplicação ponteada múltipla simples (§06.02), escrevemos:

4r

r i ji j

rr

i ji j r

r 4 rr

4 = φφφφ εεεε εεεε φφφφ εεεε εεεε φφφφ εεεε εεεε φφφφ εεεε εεεε φφφφ= = =: e e : e e : : .

Mas, por (05), 4 4 4 4 4 φφφφ φφφφ φφφφ= =: :ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ; e pelo teorema da igualdade de poliádicos (Teor.2,§06.02) resulta a tese. Essa propriedade será generalizada com facilidade pelo Teor. 2 no §09.02. 4ª) - Se P R e Q R:≥≥≥≥ ≥≥≥≥

ψψψψφφφφψψψψΙΙΙΙφφφφψψψψφφφφ QRPQR2RRPQP ) ( : , ×•× =∀ , (13).

De fato, o primeiro membro não se altera com a outra associação possível dos fatores. Então, aplicando (05) ao segundo fator encontramos (13). Esta fórmula generaliza algumas já conhecidas envolvendo vetores e diádico unidade, como ((01)2 e (021),§06.02,Cap.II,Vol.I) para P=Q=R=1 e P=R=1 e Q=2.

Q ∗ = = Q A B C . . . R S i k l n . . . q s u j m p r t

i j

k l

m n q s

p r t v



A transposição: uma multiplicação ponteada.

Teor. 1: : QP e P ≤≠∀ ΟΟΟΟφφφφ

ΟΟΟΟΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφφφφφΙΙΙΙ P2QPP)2(QP2QP

PPP2Q ) ( Q −− ≠==r

.. , (14).

Calculando o produto ponteado P-plo da políade P ... φφφφ = a b c n p q pelo 2Q-ádico

unidade escrito na forma (10),§08.01, ∗∗∗∗ −−= )()(2P PQPPQPΙΙΙΙ , temos:

)]( ) [( )()( ))( ( PPPP2QP

P ∗∗∗∗

∗∗∗∗ −−=−−= PQPP.PQPQPPQP.. φφφφφφφφΙΙΙΙφφφφ

Por força de ((101),§08.01) os P fatores vetores intermediários (entre colchetes) são a própria expressão da políade. Os Q - P outros fatores de um lado e do outro desta políade constituem políades recíprocas. Podemos escrever, efetuando uma transposição para montante, de ordem P - Q e posto Q,:

P P 2Q P P P 2(Q P) P

[ ] Q Qφφφφ φφφφ φφφφ. Q P Q PΙΙΙΙ ΙΙΙΙ= − − =∗∗ −( ) ( ) ( )

r r

Como também podemos escrever, pela propr. 1ª dos poliádicos unidade (§ 08.01):

2Q ΙΙΙΙ = − −∗ ∗∗ ∗( ) ( )Q P P Q P P ,

o produto ponteado P-plo deste poliádico unidade pela políade apresentará na extrema direita o escalar com P fatores, P . . P∗ ∗= P P P Pφφφφ φφφφ , que pode ser convenientemente

alocado entre os fatores do poliádico produto. Poderemos, assim, escrever:

2Q P P ΙΙΙΙ . φφφφ = ( [( P PQ P . P P Q P− −∗

∗∗

∗) ) ]( )φφφφ.

Ora, reaplicando (021),§08.01, encontramos a políade dentro dos colchetes; logo:

2Q P P P P 2(Q P) P QΙΙΙΙ ΙΙΙΙ. Q P Q Pφφφφ φφφφ φφφφ= − − =∗

∗ −( ) ( ) ( )r

.

É evidente dos resultados a que chegamos que o poliádico resultante da operação é sempre diferente do poliádico nulo de valência compatível, exceto se o poliádico de partida é o poliádico nulo.

Corol. 1: Fazendo P = 2T e trocando Q por Q + T em (01), temos:

, ) (

: QT ,

2QT2T)2(Q2TT)+2(Q2T

2T2T2TT)+2(Q

2T

T+Q ΟΟΟΟΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφφφφφΙΙΙΙ

φφφφ

≠==

≤∀

−r

..

(141).

A utilização da fórmula (14) requer apenas seja obedecida a condição de ser a ordem da multiplicação menor ou igual que a metade da valência do poliádico unidade, o que, no caso, está satisfeita; de fato, 2T ≤ Q + T se T ≤ Q.


IV, § 08.01

Corol. 2: Fazendo 2Tφφφφ = 2TΙΙΙΙ em (011), temos:

2(Q+T) 2T 2T 2T 2T 2(Q+T) 2Q T

QΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ . .= = ( )r

, (142);

e trocando nesta, T por Q–T, com Q≥ T:

2(2Q T) 2(Q T) 2(Q T) 2(Q T)

2(Q T) 2(2Q T) 2Q (Q T)

Q− − − − − − −= =ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ. . ( ) , (143).

De fato, operando no penúltimo membro de (141), teremos:

, ])()[

])()( ])()([) (

QQ

T+QT+Q

T2QT

T2T2T)2(Q2T

rr

rr

ΙΙΙΙ

ΙΙΙΙΙΙΙΙ

=−−=

=−−=−−=

∗∗∗

∗∗∗

∗∗

∗−

TQTTTQ

TQTTTQTQTQTT

o que comprova a primeira fórmula. A comprovação da segunda fórmula é imediata.

Teor. 2: (a transposição como multiplicação ponteada múltipla) Tem-se:

∀ ≥ = = =− − ,Q T : Q Q T 2Q T

Q Q Q

Q 2Q (Q T) Q (Q T)Q Qφφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ

r r r s

ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ. .

Q T 2Q (Q T)

Q Q Q

Q 2Q T Q (Q T)Q Qφφφφ φφφφ φφφφ φφφφ

s r r r

= = =− −ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ. . , (15).

Com efeito, podemos escrever, por exemplo:

2Q T Q Q Q QQΙΙΙΙr

. Q T T T Q T .φφφφ φφφφ= − −∗∗

∗∗( ) [ ( ) ] ,

donde, aplicando ((04),§07.02) e em seguida ((05),§08.01):

[ 2Q T Q Q Q T Q Q T Q 2Q Q TQΙΙΙΙ ΙΙΙΙr r r r

. . Q T T Q T T .φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ= − − = =∗∗ ∗

∗( ) ]( ) ,

Analogamente podemos comprovar as demais fórmulas13. No final deste capítulo

apresentamos na Tabela 6 um quadro com alguns valores do poliádico 2Q TQΙΙΙΙr

.

Propriedades da transposição sobre poliádicos unidade.

1ª) - O transposto para montante (jusante) de S + T vetores e posto Q do 2Q-ádico unidade é igual ao produto ponteado Q-plo, em qualquer ordem, dos seus transpostos para montante (jusante) de S e T vetores e posto Q:

2Q (S+T) 2Q S

Q 2Q T 2Q T

Q 2Q S

Q Q Q Q Q ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙr r r r r

= =. . , (16).

2Q (S+T) 2Q S

Q 2Q T 2Q T

Q 2Q S

Q Q Q Q Q ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙw s s s s

= =. . , (161).

13 A transposição como resultado de uma multiplicação ponteada múltipla por alguns poliádicos especiais será vista no §15.02.

§ 08.02 - O escalar (ou ponteado) e o cruzado de um poliádico. 79


Podemos escrever, lembrando ((071),§ 07.01):

( 2Q T

Q 2Q S

Q Q 2Q T

Q Q S Q S T Q (S+T) 2Q(S+T)

Q QQ Q Q QΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ

r r r r r r r r

. . . .φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ) ( ) .= = = =

Associando no primeiro membro e considerando a arbitrariedade de Qφφφφ resulta logo (03). Analogamente demonstra-se (161).

2ª) - O transposto de posto Q de S vetores para jusante e T vetores para montante do 2Q-ádico unidade é igual ao produto ponteado Q-plo, em qualquer ordem, do transposto de T vetores e posto Q para montante desse poliádico pelo seu transposto de S vetores e posto Q para jusante:

2Q (S T) 2Q S

Q 2Q T 2Q T

Q 2Q S

Q Q Q Q Q ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ− = =r r s s r

. . , (17).

A demonstração é análoga à do teorema anterior. No §15.01 (Teor.8) apresentaremos as CNS para que 2Q-ádicos tenham cruzado nulo e no §10.01 mostraremos que escalar e cruzado de poliádicos são invariantes.

§ 08.02 - O escalar (ou ponteado) e o Q-vec de um 2Q-ádico.

Definição: (ponteado e Q-vec de uma 2Q-áde) Chamam-se: ponteado (ou escalar) e Q-vec (ou Q-ade) da 2Q-áde

2Q

Q fatores Q fatores

... ... φφφφ = a b l m n p y z1 24 34 1 24 34 ,

e representam-se, respectivamente, por E2Q φφφφ e V

2Q φφφφ , o produto de todos

os fatores que se obtêm multiplicando ponteadamente (para o ponteado) e cruzadamente (para o Q-vec) cada um dos seus Q primeiros antecedentes pelos seus correspondentes Q + 1 - i primeiros conseqüentes:

))( ( ... ))( (E2Q m.z.ylb.pna.=φφφφ , (01),

))( ( ... ))( (V

2Q zmylpbna ××××=φφφφ , (02).

Lembrando a definição dos produtos ponteado e cruzado múltiplos (§06.02) podemos escrever:

)...( )...( Q E

2Q yznplmab .=φφφφ , (011),

e

)...( )...( Q V

2Q yznplmab ×=φφφφ , (021).

O escalar e o Q-vec de um poliádico 2Qφφφφ são, respectivamente, as somas dos produtos


IV, § 08.02

ponteados e cruzados múltiplos de todas as suas 2Q-ades. Por exemplo:

se mk

ji

k im j

4 A eeee=φφφφ , então: mk

ji

k im j V

4 A eeee ××=φφφφ ou ))((A mj

kik i

m j V4 eeee ××=φφφφ .

De (01) e (02) deduzimos imediatamente, para 2Q-ades e 2Q-ádicos:

E2QT

E 2Q φφφφφφφφ = e V

2QQTV

2Q )1( φφφφφφφφ −= , (03),

igualdades que se comprovam facilmente por serem: a multiplicação ponteada de vetores comutativa e a multiplicação cruzada anti-comutativa. Partindo das fórmulas (03) podemos demonstrar o seguinte

Teor.1: O escalar de um 2Q-ádico é igual ao produto ponteado (comutativo) 2Q-plo desse poliádico pelo 2Q-ádico unidade:

∀ = = : 2Q 2Q 2Q 2Q 2Q

2Q 2Q 2Q

Eφφφφ φφφφ φφφφ φφφφ. .ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ , (04).

O Q-vec de um 2Q-ádico é igual ao produto misto (Q+Q)-plo (nem sempre comutativo) desse poliádico pelo 2Q-ádico unidade:

T2Q2QQ2Q2Q

V2Q2Q (-1) :

Q

Q

Q

Q φφφφΙΙΙΙΙΙΙΙφφφφφφφφφφφφ •

×

•

×

==∀ , (05).

Com efeito, deduzimos, sucessivamente, no caso do escalar, usando a representação simbólica para o 2QΙΙΙΙ (§08.01):

2Q 2Q 2Q

Q fatores Q fatores

... ... φφφφ . a b l m n p y zΙΙΙΙ =1 24 34 1 24 34 =∗

∗ QQ.QQ2Q

... ))(() ... ( ) ... (

) ... ( ] ) ... [(

] ) ... ][( ) ... [(

Q

QQQQ

QQQQ

b.pa.nzypn.mlba

zypn.QQ.mlba

Q.zypnQ.mlba

==

==

==

∗∗

∗∗

.

No caso do Q-vec, temos:

4342143421fatores Qfatores Q

2Q 2Q

... ...

Q Q

zypnmlba=•

×

ΙΙΙΙφφφφ

=∗∗

•

×

QQ QQ Q Q

§ 08.02 - O escalar (ou ponteado) e o cruzado de um poliádico. 81


VQ2Q

QQQQ

... ))(() ... ( ) ... (

] ) ... ( [ ) ... [(

φφφφ=××==

==

×

∗∗

×

pbnazypnmlba

QQ.zypnmlba

, (06).

Tem-se, ainda, de (06):

4342144 344 21fatores Qfatores Q

QQQV

2Q ) ... ( ) ...()1( ... ))(( )1( lmabyznpbpan ×−=××−=φφφφ ,

donde,

TQ22QQQQQ

Q

QQQQV

Q2

)1() ... )( ... ( )1(

) ... ( )] ... ( [ )1(Q Q

Q Q

φφφφΙΙΙΙ

φφφφ

•

×

•

×

−=−=

=−=

∗∗

×•∗∗

mlbazypnQQ

mlbazypnQQ

.

Teor. 2: (escalar e Q-vec do poliádico unidade) O escalar do 2Q-ádico unidade é a potência Q de N; o seu Q-vec é o Q-ádico nulo:

Q

E2Q N =ΙΙΙΙ , e ΟΟΟΟΙΙΙΙ Q

V2Q = , (07).

O produto ponteado Q-plo de duas Q-ades pertencentes a Q-plas recíprocas (logo, de índices diferentes) é o produto dos Q deltas de Kronecker formados com os pares de índices

correspondentes: ... tk

js

r i

u wr t v... s

QQ

m j n l ...k i

Q δδδ=Q.Q ; se os índices são iguais esse

produto ponteado é o ponteado do 2Q-ádico unidade, e tem-se:

Qk k

jj

i i

n lk im ... j

QQ

m j n l ...k i

QE

2Q N ... NNN... =×××=δδδ== Q.QΙΙΙΙ .

Se pusermos, como em ((04),§08.01),

2Qi

jv

w ij

vw

Q fatores Q fatores

... ΙΙΙΙ = e f g h e f g h... )1 24 34 1 244 344 , para i, j, ..., w=1, 2, ..., N,

a aplicação da definição (02) a cada uma das 2H-ádes de poliádico unidade dá:

) )(( ...) )((w

wvvj

jiiV

2Q hhggffee ××××=ΙΙΙΙ .

Observando que dentro de cada um dos parênteses temos o vetor do diádico unidade relativo a vetores de EN, e lembrando que este é o vetor nulo, temos comprovado a tese.


IV,§ 08.03

§08.03 - Isômeros distintos do poliádico unidade Consideremos o 2QΙΙΙΙ posto na forma (04),§08.01, ou seja

2Qi

jv

w ij

vw

Q fatores Q fatores

... ΙΙΙΙ = e f g h e f g h... )1 24 34 1 244 344

= ... i

jv

w ij

vw

Q fatores Q fatores

( ... )e f g h e f g h1 244 344 1 244 344 .

Havendo 2Q letras indexadas (ou índices) para a formação dos isômeros de 2QΙΙΙΙ, haverão (2Q)! agrupamentos possíveis dessas letras que suporemos listados. Dentre esses agrupamentos, muitos representarão o próprio 2QΙΙΙΙ em vista da possibilidade das letras indexadas de dois tercetos recíprocos, independentemente da posição dos índices, ocorrerem nas mesmas casas em cada um dos dois conjuntos de Q letras, como em

jvijv

i

fatores Q

j

fatores Q

jv

ij

vi

2Q... ... ... ... fgefgefgefge ==

32143421ΙΙΙΙ

.

Com as Q letras e, f, ... podemos formas Q! permutações e como a posição dos índices é irrelevante estaremos formando permutações com objetos iguais (pois, para esse efeito, ei tem o mesmo significado que ei, etc.). Então o número de agrupamentos iguais a 2QΙΙΙΙ é 2Q Q!. Consideremos agora os seguintes isômeros, distintos de 2QI , digamos

32143421fatores Q

j

fatores Q

vjv

ji

i ... ... gfgfee= 32143421

fatores Qfatores Q

ijijv

v ... ... efefgg = ... .

Fazendo o mesmo raciocínio anterior, comprovamos que este isômero aparecerá também na mesma quantidade 2Q Q! dentre todos os (2Q)! agrupamentos já estabelecidos. Isto significa que dentre todos os (2Q)! agrupamentos listados haverá apenas (2Q)!/2Q Q! distintos. Sendo

(3)(2)(1) ... 2)-1)(Q-(Q)(Q2

1)]-(2Q-2)][2Q-(2Q-3)][[2Q-(2Q-4)...[2Q-3)(2Q-2)(2Q-1)(2Q-2Q(2Q

Q!2

)!Q2(QQ

=

tem-se, fatorando 2 em Q fatores no denominador (em 2Q, em (2Q-2) etc., em 2Q-(2Q-4)=2x2 e em 2Q-(2Q-2))=2x1, simplificando os fatores comuns entre o novo numerador e o denominador e lembrando a definição de semi-fatorial (!!), vem:

!)!1Q2()1)(3)...(3Q2)(1Q2(Q! 2

)!Q2(Q

−=−−= .

Assim, diádicos, tetrádicos e hexádicos – os poliádicos de maior valência utilizados na prática - têm, respectivamente, 1, 3 e 15 isômeros distintos. No §09 poderemos comprovar, por inspeção, que esse isômeros são também todos independentes nas suas respectivas categorias; o que, entretanto, não ocorre exatamente com os 105 isômeros de 8I .

§ 08.04 - A tabuada do um. 83


§ 08.04 - A tabuada do um.

Teor. 1: ΟΟΟΟφφφφ PP ≠∀ , Q<P, Q≥1, P≥1,

P

P 2Q 2(P Q) 2(P Q) P (P Q) 2Q

P PQφφφφ φφφφ φφφφ. . .ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ= =− − −

s

, (01).

Escrevamos a políade qualquer na forma composta de três políades

P

P Q fatores 2Q P fatores P Q fatores

... ... ... φφφφ =− − −

r s n p x y123 123 123 ;

e o 2Q-ádico unidade (ver §08.01) na forma

2Q

P fatores

ΙΙΙΙ = − − − −∗ ∗∗ ∗( ) ( ) ( ) ( )P Q Q P P Q Q P2 2

1 24444 34444 .

Então:

P P 2Qφφφφ . ΙΙΙΙ =

( ) ) ) ) . ... ) ( ( ... ) (2 ( ... ) ( (2

P Q 2Q P

P Q

P Q fatores 2Q P fatores P Q fatores

r s . P Q n p . Q P x y . P Q Q P−∗

−∗

− ∗ ∗

− − −

− − − −1 2444 3444 1 24444 34444 1 2444 3444

Com os dois conjuntos de P - Q números podemos escrever, lembrando o Teor.2,§08.02:

),... ... ( ... ))(()... ... (

)... ... (

Q)2(P

Q)2(PE

Q)2(PQ)2(P

yxsr.s.yr.xyxsr

.yxsr

−−

−−

===

=

ΙΙΙΙ

ΙΙΙΙ (A).

Agora, acoplando convenientemente os 2Q - P números restantes com os 2Q - P vetores da políade (2Q - P)*, e observando que essa políade assim formada é a políade (intermediária) de 2Q - P fatores do poliádico base, escrevemos:

444 3444 21

4847648476s

fatores Q

)QP(PQ)2(P

Q)2(PQ)2(P

Q)2(P2QP

P

fatores P-2Qfatores Q-P

) ... ... ... (

Q−== φφφφΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙφφφφ -.

--.

-. npxyrs ,

o que conclui a demonstração do teorema, pois, por ((05),§08.01) a comutatividade está comprovada.

Nota: Esse teorema não garante a não nulidade do produto, pois para ΟΟΟΟφφφφ ≠≤ P e PQ poderá

acontecer que o produto seja o poliádico nulo. Exemplo: para P=2, Q=1, tem-se φφφφ :I=φφφφE, o escalar de φφφφ podendo ser nulo.


IV,§ 08.04

Corol. 1: A CNS para que seja nulo o produto ponteado P-plo de ΟΟΟΟφφφφ PP ≠ pelo

2Q-ádico unidade, com Q P≤ , é que dentre os seus P-Q primeiros antecedentes e os P-Q primeiros conseqüentes exista ao menos um par de vetores correspondentes (os de ordens i e P-Q+1-i) que sejam perpendiculares.

A demonstração é garantida por (A) e o Corol.1 do Teor.1,§08.02.

Teor. 2: Para H≥1; 2P≥H, 2Q≥H, (ou P≥1 e Q≥1)

H)-2(PQH-QP )H-Q(PH)-Q2(P2QH

2P +++• =

rr

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ , (02).

Usando o modo simplificado de representação dos poliádicos unidade pelos grupos de políades recíprocas, escrevamos: 2PI=ABA *B* e 2QI=CDC*D*, as políades A, B, C e D tendo, respectivamente, P-H vetores, H vetores, H vetores e Q-H vetores. Então:

ΙΙΙΙΙΙΙΙ 2QH2P • =ABA *(B* H • C)DC*D*; e agrupando convenientemente o escalar entre

parênteses, observando que B CB H•

∗ =C, vem: ΙΙΙΙΙΙΙΙ 2QH2P • =ACA *DC*D*. Entretanto,

podemos escrever, aplicando os conceitos de transposição seguidamente:

ACA *DC*D*= H)-2(PQH)-Q(PH)-2(PQ )H(QP)H-(Q )(*)**( +++ −∗∗∗=rrr

DCACDADCDACA .

Este resultado demonstra o teorema uma vez que dentro dos parênteses reconhecemos o poliádico unidade de valência 2(P+Q-H).

Notas: 1 - Poderíamos dar à expressão (02) uma representação equivalente acoplando o escalar

(B*.C) após o fator D na expressão ΙΙΙΙΙΙΙΙ 2Q H 2P• =ABA *( CB H •

∗ )DC*D*.

2 – Releva observar que o produto ΙΙΙΙΙΙΙΙ 2QH

2H • não é comutativo em geral, exceto para

valores particulares de H, por exemplo, H=P, ou H=Q, cujos resultados são conhecidos. De (02) podemos deduzir, sem dificuldades que:

P=Q≥1, H≥1, 2P≥H: 2H3PH-2P )HP(PH)-2(2P2PH

2P −−• =

rr


Os casos extremos são: Q=P=1, H=2, com I . I=I e P=Q=2, H=2, 4I : 4I= 4I , P=Q=3,

H=2, 6I : 6I= 54138rr

ΙΙΙΙ Pondo H=Y≥1 e 2P-Y=X, resulta, somando membro a membro: 2P=X+Y – o que significa que X e Y são de mesma paridade (ambos pares ou ambos ímpares). Assim: P+Q-H=2P-H=2P-Y=X e Q-H=P-Y=(X+Y)/2-Y=(X-Y)/2≥0., X-Y sendo par. Então, sendo 2P-Y=X e P-Y=(X-Y)/2 vem, somando membro a membro: 3P-2Y=[2X+(X-Y)]/2, ou seja par/2=inteiro.

§ 08.04 - A tabuada do um. 85


A fórmula (03) fica, assim, reduzida a:

Y)/2(3XX )2

YX()2

YX(2XYXY

YX :YX −−+

+•

+ =≥r


Exemplos:

Para X=3, Y=1 tem-se: 4312644 rr

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ =. ; para X=4 e Y=2, 5413866 : rr

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ = ; para X=2 e

Y=2, ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ 402444 22 ==rr

: .

Os casos de multiplicação com X≤Y são resolvidos pelo teorema seguinte.

Teor. 3: Para X≤Y e X e Y de mesma paridade (logo X+Y é par, bem como Y-X)

X Y Y X Y

Y X2 2X + +−

=ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ. 3 , (04).

Consideremos a L-ade (com L≥2B e B≥1, logo L≥2):

4342143421fatores Bfatores B

up

ts

rfj

i ... ... ... qnhmlkfeL =∗ e sua recíproca L *=

... ... i

j fr

st

pu

B fatores B fatores

e f k l m h n q...124 34 124 34 .

Fazendo i, j, ..., p, u = 1, 2, 3, ..., o produto direto dessas políades representará o 2L-ádico unidade, isto é,

2Li

j fr

st

pu

B fatores B fatores

... ... ΙΙΙΙ = e f k l m h n q...124 34 124 34

... ... i

j fr

st

pu

B fatores B fatores

e f k l m h n q...124 34 124 34

Considerando as B-ades recíprocas

wvk

q ... zyorB =∗ e wvk

q ... zyorB =∗

e o 2(L + B)-ádico unidade correspondente (2(L+B)≥6B), isto é, 2(L+B) ΙΙΙΙ = ∗ ∗∗ ∗L B L B ,

temos:

2(L+B) L+2B 2(L+B)

L+2B ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ. L B L B . L B L B= ∗ ∗

∗ ∗∗ ∗

∗ ∗

O 2L-ádico produto terá a L-ade L* por antecedentes, a L-ade lr ms ht ... np q

u B* por conseqüentes e o fator numérico

Agrupando convenientemente, aos pares, os 2B fatores, escrevemos:

) )( )( )( ( ... ) )( )( )( ( wr'

r'wv

f'f'

vk

j'j'

kqi'

i'q z.ll.zy.kk.yo.ff.or.ee.r .

4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 2 1

4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 2 1

fatores B

r w f

v j

k q

w u v p

fatores B t j

s i r

w f v

j k i

q

) )( )...( )( )( )( ...(

)... )( )( )( )...( )( (

′ ′ ′

′ ′ ′

′ ′

′ ′ ′

′

.l z .k y .f o .e r .z q .y n

.h f .m e .l z .k y .f o .e r

i


IV,§ 08.05

Cada par de fatores é igual a três, pois, por exemplo,

3 ]) [() )( ( qq

qi'

i'q

qi'

i'q === r.rr.ee.rr.ee.r .

Logo, o produto desses 2B fatores é 3B. Acoplando convenientemente os 2L fatores restantes do grande fator numérico do poliádico produto aos vetores da sua L-ade antecedente, escrevemos:

Então o poliádico resultante é 3B × 2LΙΙΙΙ, pois ∗∗ BqnhmBqnhm u

pt

su'p'

t's' ...... é o 2L-ádico

unidade. Assim, da identidade:

2(L+B) L+2B 2(L+B) B 2L ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ. = 3 ,

fazendo L+2B=Y e L=X, donde B=(Y-X)/2 e 2(L+B)=X+Y≥6B (desigualdades que acarretam Y≤2X), encontramos (04). Com as fórmulas deduzidas podemos montar um quadro que dê o resultado da multiplicação múltipla T-pla do poliádico unidade de valência 2R pelo poliádico unidade de valência 2Q; para abreviar denominá-lo-emos de tabuada do um. Esta tabuada está apresentada na Tabela 3 no final deste capítulo.

* Exercícios: Comprovar as seguintes fórmulas:

1 - 114 )()(- rs

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ −==×× (05);

2 - 1424244 ) () () ( ssr

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ ××

××

××

×× −=== (06).

* § 08.05 - Poliádico desvio.

A-ádicos majorantes e minorantes de um poliádico

Fazendo-se A=2Q-P (logo, A+P e A-P são pares), o A-ádico definido pela fórmula ((01),§08.03) é escrito na forma:

2P+A

PPAPP+APPPPP+A ) (

r

ΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφφφφφΙΙΙΙ −== .. , se A-P≥2 (01);

e o A-ádico definido pela fórmula ((01),§08.04), na forma

4 4 3 4 4 2 1 4 4 3 4 4 2 1 fatores B fatores B L

w v k

q u

p t'

s' u

u w p p v

t t

k s

s q

r r

u f

f p

j j t i

i s

h ... ... ) ( ) ( ...

... ) ( ) ( ) ( ) ( ...

... ) ( ) (

−

′ ′ ′

′ ′

′ ′ ′

′ ′

′ ′

′ ′

= z y o r q n

m q .q z n .n y

h .h o m .m r l .l q k .k n

f .f h e .e m

§ 08.05 - Poliádico desvio. 87


2AP)2

AP(PAP

APP+APPPP

P+A

+−

−−==s

φφφφΙΙΙΙΙΙΙΙφφφφφφφφΙΙΙΙ ... , se P-A≤2 (011).

Definição: (A-ádicos majorantes e minorantes de um P-ádico) Os A-ádicos A(maj Pφφφφ) e A(min Pφφφφ) dados por (01) e (011), respectivamente,

são denominados os A-ádicos do P-ádico Pφφφφ : majorantes no primeiro caso (porque A-P≥2), minorantes no segundo caso (porque P-A≤2).

Exemplos: (apresentados na tabela seguinte)

A-ádicos majorantes de Pφ: A Pmaj ( )φφφφ

P A ≥ P Escrita poliádica

2 4 φφφφ φφφφ 6 23: ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ= ( )r

6 φφφφ φφφφ 8 4 2

4: ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ= ( )r

... ...

3 5 3 3 8 3 3 3 4φφφφ φφφφ φφφφ. ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ==== ====( ) ( )r s

1

7 3 3 10 3 4 3 4 3 (5φφφφ φφφφ φφφφ. ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ==== ====( ) )r r

2

... ...

4 6 4 4 10 4 4 4 1 5φφφφ φφφφ φφφφ. ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ==== ====( ) ( )

r s

... ...

A-ádicos minorantes de Pφ: A Pmin ( )φφφφ

P A ≤ P Escrita poliádica

2 0 ΙΙΙΙ E

: φφφφ φφφφ=

3 1 ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ 3 1 3 3 42: .φφφφ φφφφs

==== 4 0 4 4 4 4 4 4 4

E φφφφ φφφφ φφφφ. .ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ==== ====

2 φφφφΙΙΙΙφφφφφφφφφφφφΙΙΙΙ 4461E

41E

414 3

3

1

3.: ===

rss

... ...

Vê-se que o escalar de Pφφφφ é o seu minorante 0-ádico (ou minorante escalar).

Teor. 1: (majorantes de 2PΙΙΙΙ)

AP2A2P2A )maj ( :2PAr

ΙΙΙΙΙΙΙΙ =≥∀ , (02).

Trocando A por 2A, P por 2P e φφφφ por I em (01), temos:

PA)2P(P)-2(A2P2P2A ) ()maj ( +=r

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ .


IV,§ 08.05

Lembrando a notação estabelecida no §08.01 para escrita compacta do poliádico unidade, escrevemos:

,])()([)()(=

])()([) (

A

P+AP+A

P

)(2P)(2PP)2(A2P

r

rr

∗∗∗∗

∗∗∗∗

∗∗

∗∗

−

−−=−−

=−−=

PAPPAPPAPPPA

PAPAPPΙΙΙΙΙΙΙΙ

donde, logo, (02) já que o poliádico unidade entre colchetes tem valência 2A.

*

Exemplos:

4 4 1 6 4 6 2 8 6 8 3maj maj maj etc2 3 4( ) , ( ) , ( )ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ= = =r r r

.

*

Teor. 2: Se A>P e A+P é par (logo, A-P é par), todo poliádico de valência P é

equivalente a 3A P

2−

avos do produto ponteado A-plo do (A+P)-ádico unidade pelo seu A-ádico majorante:

∀∀∀∀ ====−−−−++++P

A P2

A P A A P P maj φφφφ φφφφ φφφφ: ( )1

3ΙΙΙΙ . , (03).

Com efeito, lembrando a definição de majorante (fórmula (01)) e considerando que a multiplicação múltipla de poliádicos é operação associativa, temos:

1

3

1

3A P

2

A+P A A+P

P P

A P2

A+P A A+P

P P ( ( − −=ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ. . . .φφφφ φφφφ) ) .

Como por hipótese A≥P e A+P é par, podemos calcular o produto múltiplo entre parêntesis aplicando ((04),§08.04); em seguida, simplificando e lembrando ((05),§08.01) encontramos (03).

Parte A-ádica principal de um poliádico Então, se A<P e A+P é par (logo, P-A é par), todo poliádico de valência P é diferente dos 3(P-A)/2 avos do produto ponteado A-plo dos seus correspondentes (A+P)-ádicos unidade e A-ádicos minorantes; e escrevemos:

φφφφΙΙΙΙφφφφφφφφΙΙΙΙ PP

2PPPAAP+A

2

AP )(min

3

1 par,PA e P<A

.. =≠=+ − , (04).

§ 08.05 - Poliádico desvio. 89


Definição: (parte A-ádica principal de um poliádico) Para A < P, o P-ádico igual os 3(P-A)/2 avos do produto ponteado A-plo do (A + P)-ádico unidade pelo A-ádico minorante do poliádico Pφφφφ será dito a parte A-ádica principal desse poliádico; e será representado por P

prAφφφφ :

prAPPAA

PA

2

APP )(min

3

1 :parPA e P<A, φφφφφφφφΙΙΙΙφφφφ ==+∀ +

− . , (05).

Para A=0 tem-se a parte escalar principal de Pφφφφ, também dita a parte esférica de Pφφφφ:

ΙΙΙΙφφφφφφφφ PE

PP/2pr0

P ) 3

1(= , donde ΙΙΙΙφφφφφφφφ )

3

1( Epr0 = , ΙΙΙΙφφφφφφφφ 4

E4

2pr04 )

3

1(= etc.

* Exercício 1: Comprove que o escalar, o escalar do adjunto e o 3P-ésimo de Pφφφφpr0 são, respectivamente: PφφφφE, (PφφφφE)2/3P/2 e (PφφφφE/3P/2)3.

* De (04), (05) e (011) deduzimos:

φφφφΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙΙΙΙΙφφφφ PP

2PPP

PAA

PA

2

APprAP )

3

1( par,PA e PA ... ≠==+< ++

−

ou, ainda, por ser Pφφφφ arbitrário:

)

3

1( par,PA e P <A 2PPAA

PA

2

APΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ ≠=+ ++

− . .

Ponhamos, para

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ PAAPA

2

AP2P2P

A

3

1 )(fat par,PA e PA ++

−−==+< . , (06).

Denotando-se, ainda, por )(dev PA φφφφ o produto ponteado P-plo de (fat

AP2 ΙΙΙΙ) por Pφφφφ, de (06)

e (05) resulta:

)(dev )(fat PAprA

PPPP

P2A φφφφφφφφφφφφφφφφΙΙΙΙ =−=. , (07).

Definições: (poliádico desvio e fator desviante) O P-ádico ( )dev

APφφφφ , visto como a diferença entre o poliádico Pφφφφ e sua parte

A-ádica principal, é denominado poliádico desvio de Pφφφφ em relação à sua

90 § 08 - Poliádicos Unidade.

IV,§ 08.05

parte A-ádica principal. O 2P-ádico (fatA

P2 ΙΙΙΙ) que, por multiplicação

ponteada P-pla por Pφφφφ, dá o desvio desse poliádico em relação à sua parte A-ádica principal, será dito o fator desviante de 2PI para A-ádicos.

Exemplos:

Fator desviante de 2PΙΙΙΙ para A-ádicos: (fatA

P2 ΙΙΙΙ) , (A+P=par)

P A (< P) (fatA

P2 ΙΙΙΙ)

2 0 (fat 0

4 4ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ) = − 13

3 1 (fat 1

4 6 4 4ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ) = − 13 .

4 0 (fat 0

8 8 4 4ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ) = − 19

2 ( )fat 2

8 8 6 6ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ= − 13 :

5 1 ( )fat 0

10 10 6 6ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ= − 19 .

3 ( )fat 3

10 10 8 3 8ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ= − 1

3 .

6 0 ( )fat 0

12 12 6 6ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ= − 127

2 ( )fat 2

12 12 8 8ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ= − 19 :

4 ( )fat 4

12 12 10 4 10ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ= − 1

3 . P-ádico desvio de Pφφφφ em relação à sua parte A-ádica principal: ( )dev

APφφφφ

P A ≤ P Representação de ( )devA

Pφφφφ

2 0 φφφφ φφφφ− 13

EΙΙΙΙ

4 0 4 4E

4 φφφφ φφφφ− 19 ΙΙΙΙ

2 φφφφΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙΙΙΙΙφφφφ 44

82

44664 fat 31

⋅=− .:

6 0 6 6E

6 φφφφ φφφφ− 127 ΙΙΙΙ


122

66

886 fat 91

⋅=− .:


124

66

104

106 fat 31

⋅=− ..

...

Para A=0 tem-se o desvio de Pφφφφ em relação à sua parte escalar (ou esférica). Muito utilizados na prática são os diádicos desvio (H=2).

*

§ 09.01 - Espaço Poliádico. 91


Exercício 2: Demonstrar que: ΟΟΟΟΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ 44

04

0 )fat(fat : == : .

* Teor. 3: A parte A-adica principal de um P-ádico e o seu fator desviante para A-ádicos são P-ádicos ortogonais:

0dev PA

P prA

P =φφφφφφφφ . , (08).

Do primeiro e último membros de (07) escrevemos:

φφφφΙΙΙΙφφφφφφφφφφφφ PP

P2A

PprA

PPA

PprA

P )(fat dev . . . = ,

donde, associando e considerando (06):

φφφφΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙφφφφφφφφφφφφ PP

PAA

PA

2

AP2PP

prAPP

AP prA

P )

3

1 ( dev ....

++−−= .

Lembrando que A<P e aplicando ((04), §08.04) para o subtraendo dentro dos parênteses, com X=P e Y=A, concluímos que é nulo o 2P-ádico entre parênteses; o que comprova (08)

Corol. 1: No espaço dos P-ádicos, um P-ádico qualquer, sua parte A-ádica principal e seu fator desviante para A-ádicos formam um triângulo retângulo de que o P-ádico é hipotenusa.

§ 09 - ESPAÇO POLIÁDICO. BASES. OPERAÇÕES. As noções de espaço de vetores e de diádicos - casos particulares da noção mais geral de "espaço linear ou vetorial" - são, evidentemente, estendidas aos poliádicos. Com efeito, pois para estes já estão definidas as operações de adição e de multiplicação por número real, e estas gozam das propriedades requeridas para poder-se enquadra-los como mais um caso particular daquela noção geral.

§ 09.01 - Espaço poliádico. Seja

N) ..., 1,2,rk,j, G;,...,2,1(i A rk

jk ir j

i3 === eeeαααα , (01),

uma representação de um dos triádicos de dado conjunto de G deles, em relação às bases vetoriais recíprocas do EN, e* e e* (valendo lembrar que N=1, ou 2, ou 3). A combinação linear desses triádicos,

ΟΟΟΟαααα 3i3i M = , (i=1, 2, ..., G) (02),

92 § 09 - Espaço Poliádico. Bases. Operações.

IV,§ 09.01

em que os Mi são G incógnitas, é equivalente ao sistema de N3 equações algébricas lineares

N) ..., 1,2,=rk,j, G; ..., 1,2,=(i 0MA ik i

r j = , (021).

A matriz desse sistema não difere da sua correspondente (023), § 10.01, II - caso dos diádicos - senão pelas suas ordens e pela estrutura de suas colunas. Com efeito, aqui os elementos da i-ésima coluna são as N3 coordenadas do triádico 3ααααi,

A , A , A , A , A , A , A ... 1 1i 1

1 2i 1

1 3i 1

1 1i 2

1 2i 2

1 3i 2

1 1i 3 , ,

e a matriz é de ordem N3 x G. É evidente que no caso dos tetrádicos será Mi

4ααααi=4ΟΟΟΟ e a matriz correspondente, de

ordem N4 x G, terá por i-ésima coluna as N4 coordenadas do tetrádico 4ααααi de dado conjunto de tetrádicos, isto é,

... ,A ,A ,A ,A ,A ,A ,A 1 1 i3 1

3 1 i2 1

2 1 i2 1

1 1 i2 1

3 1 i1 1

2 1 i1 1

1 1 i1 1 (em número de N4=14, ou 24, ou 34).

No caso geral de um conjunto de H-ádicos ordenados será Mi Hααααi= HΟΟΟΟ e as equações

correspondentes a (01) e (021) serão:

H i ji k

u w v j

ku

vw

ji k

u w v

i

H índices

A ... e A M

αααα = =... ...e e e e e 01 24 34 , (022).

Então, analogamente ao caso dos diádicos, a matriz associada ao poliádico de valência H de um conjunto de G desses H-ádicos terá a ordem NH x G (com NH=1H, ou 2H, ou 3H). Se a ordem do principal dessa matriz for P, então:

1°) - Se for P = G, o sistema admitirá apenas as soluções nulas, isto é, a combinação Mi

Hααααi só será possível para os Mi simultaneamente nulos.

Nesse caso os G poliádicos serão ditos linearmente independentes e constituirão uma base do espaço a que pertencem; este terá a dimensão G e será denotado por HEG, sendo G≤NH. As bases serão representadas, como habitualmente, inserindo seus poliádicos ordenados entre chaves, por exemplo, Hεεεε1, Hεεεε2, ..., HεG. Como o maior valor possível de G é NH, concluímos:

No espaço HEG uma base é definida por, no máximo, NH H-ádicos,

isto é, por no máximo N3 triádicos para o espaço dos triádicos, N4 tetrádicos para o espaço dos tetrádicos etc., com N=1, ou 2, ou 3. A todos os valores de G inferiores a NH (1H, ou 2H, ou 3H) corresponderão subespaços do espaço dos H-ádicos. Em resumo: G≤NH, e não obstante essa desigualdade, todos os G H-ádicos entrarão na composição de uma base para esse sub-espaço.

2°) - Se for P < G, isto é, se a matriz associada aos G poliádicos tem o principal do grau menor que G, a combinação Mi

Hααααi = 0 é possível para os Mi não simultaneamente nulos (nsn); nesse caso os poliádicos pertencerão a um subespaço do espaço dos H-ádicos e P será a sua dimensão (apenas P dentre os G H-ádicos entrarão na composição de uma base para esse sub-espaço).

§ 09.01 - Espaço poliádico. 93


Fica, pois, demonstrado o seguinte

Teor. 1: Se Hφφφφ é um H-ádico e Hεεεε1, Hεεεε2, ..., HεG, para G ≤ NH, é uma base de um

subespaço HEG do HNH E (espaço dos H-ádicos), ambos quaisquer, existe um

e um único conjunto de G números Mi tal que Hφφφφ = Mi Hεεεεi:

,M | NG G), ..., 1,2,(i M

:,..., ,,,

iHi

HHi

GH2H1HH

εεεεφφφφ

εεεεεεεεεεεεφφφφ

=≤=∃

∀ (03).

Com outras palavras diríamos, também:

Todo H-ádico de um HEG do espaço dos H-ádicos (G ≤ NH) pode ser representado como uma combinação linear única dos H-ádicos de uma base desse subespaço.

Os G números Mi que em relação a uma base H-ádica Hεεεε* de um HEG determinam univocamente um H-ádico do mesmo, são ditos as coordenadas cartesianas desse H-ádico naquela base. A expressão Hφφφφ = Mi

Hεεεεi é dita, então, a decomposição cartesiana do H-ádico na base Hεεεε*. Tal como já se dera com os vetores, a todo H-adico referido a uma base H-ádica poderemos associar uma matriz linha, ou coluna, cujos elementos sejam as coordenadas desse H-ádico naquela base.

Definição: Denominaremos matriz métrica de um conjunto H

iψψψψ (i = 1, 2, ..., G) de G

poliádicos de valência H, a matriz G x G

H1

H H1

H1

H H2

H1

H HG

H2

H H1

H2

H H2

H2

H HG

HG

H H1

HG

H H2

HG

H HG

... ... ...

...

ψψψψ ψψψψ ψψψψ ψψψψ ψψψψ ψψψψ



. . .

. . .

. . .

...

...

...

, (04).

Os elementos da matriz (04) poderiam ser facilmente calculados se os H-ádicos estivessem referidos a bases vetoriais recíprocas do EN, pois, então (§ 06.02), seriam iguais aos produtos duplos das matrizes de nomes contrários associadas aos H-ádicos. Considerando que podemos escrever,

H n k

n j

vu w

jk

uv

wA ... αααα = ... e e e e e ,

o elemento genérico da matriz métrica dos G H-ádicos H iαααα é


IV,§ 09.01

H n H H i k n j

vu w

j i k

u w v A A αααα αααα

.= ... ... , onde

N. ..., 1,2,= w v,u, ..., k, j,G, ..., 1,2,=in,

Então, considerando (022), o sistema (02) pode ser escrito também na forma

( ) ... ... )H n H H ii k

n j vu w

j i k

u w v

i M A (A Mαααα αααα.

= = 0 (05).

Para que esse sistema admita apenas a solução trivial é CNS que a matriz associada aos G H-ádicos seja regular. Assim, fica demonstrado o seguinte

Teor. 2: A CNS para que um conjunto de G H-ádicos de um HEG constitua uma base desse espaço é que a matriz métrica desse conjunto seja regular.

*

Exercício 1:

Mostrar que a matriz métrica do conjunto 33 24144 , ,rr

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ é

933

393

339

.

Sugestão: aplique apenas a definição de matriz métrica, fórmula (04). Exercício 2: Provar que

ΟΟΟΟΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ 424144 BA 33 =++rr

C ⇒ A=B=C=0,

o que significa que 4I e seus dois isômeros definem uma base de um espaço particular de tetrádicos – dito espaço de tetrádicos isotrópicos – isto é, aqueles postos na forma

33 241444 C BArr

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙφφφφ ++=

em que A, B e C são números reais (assunto a ser estudado no §16). Sugestão: calcule o produto ponteado quádruplo da igualdade dada por cada um dos isômeros, constitua três equações lineares em A, B e C e conclua a tese.

* Teor. 3: O determinante da matriz métrica de uma base poliádica pode ser considerado sempre positivo.

Com efeito, se esse número (não nulo) fosse negativo - caso em que a base se diria negativa - poderíamos reordenar os seus poliádicos (já previamente ordenados) alternando-os de forma que a nova ordenação apresente um número ímpar de inversões em relação à anterior. Teríamos uma nova base cuja matriz métrica seria a matriz da antiga base com linhas (ou colunas) alternadas (um número ímpar de vezes). Logo, seu determinante será o mesmo determinante da antiga com o sinal trocado, isto é, positivo.

§ 09.01 - Espaço poliádico. 95


Definição: (norma e módulo de base) O determinante, sempre positivo, da matriz métrica de uma base H 1 H 2 H G ... εεεε εεεε εεεε será denominado a norma dessa base e será representado por ||Hεεεε* ||; a raiz quadrada positiva da norma será denominada o módulo da base e será representada por |Hεεεε* |.

*

Exercício 3: (independência dos 15 isômeros de 6I ). No enunciado do Exercício 9 do §08.01 foram listados os 15 isômeros distintos de 6I , tendo sido solicitada, inclusive, a comprovação de que todos eles têm a mesma norma 27 e seus produtos sextuplos iguais a 3. Comprove, então: a) - que os elementos da diagonal principal da matriz métrica 15x15 (simétrica) do conjunto são iguais a 27 e os demais elementos iguais a 3; b) - que o determinante dessa matriz é igual a 23x315x814; c) – que a introdução de qualquer outro isômero na lista dos 15 acarretará matriz métrica não regular para esse conjunto (pois o determinante 16x16 desse conjunto terá necessariamente duas linhas ou colunas iguais).

Teor. 4: Se Hεεεε* é uma base de um HEG e Ai são G números dados, existe um e um só H-ádico de HEG, Hχχχχ, tal que:

H

H H i H i

H H i A (i ..., G)χχχχ εεεε εεεε χχχχ. .= = = 1,2, , (06).

Se Hψψψψ é um poliádico qualquer de um HEG onde elegemos arbitrariamente uma base Hεεεε*, e se M1, M2, ..., MG são as coordenadas desse poliádico nessa base, podemos escrever (Teor. 1):

H H H i

kH k H H i M ψψψψ εεεε εεεε εεεε. . = (i, k = 1, 2, ..., G).

Representando-se os números H H H i ψψψψ εεεε. por Pi, as G equações acima, uma correspondente

a cada valor de i, constituem o sistema

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

...

( ) ( ) ( )

H H H

1H

H H

2H

H H G

G1

H H H

1H

H H

2H

H H G

G2

H G H H

1H G

H H

2H G

H H G

GG

M M ... M P

M M ... M P

M M ... M P

εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε



1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

1 2

. . .

. . .

. . .

+ + + =

+ + + =

+ + + =

, (061).

Esse sistema tem determinante (do grau G) não nulo porque os εεεεi constituem uma base de HEG (Teor. 2). Existe, pois, uma correspondência biunívoca entre os conjuntos dos Mi e o dos Pi. Trocando-se, no sistema, os termos independentes pelos números Ai, dados, os G novos números, Qi, que lhes correspondem, constituirão as coordenadas de um e um único H-ádico que, na base Hεεεε*, satisfará (06).


IV,§ 09.01

Corol. 1: Se Hεεεε* é uma base de um HEG, existe um e um só conjunto de H-ádicos desse HEG, Hχχχχ

* tal, que

Hj

H H i ji Aχχχχ εεεε. = , (i, j = 1,2, ..., G), (07),

os Ai

j sendo G2 números dados.

Com efeito, para dado j escreveríamos: Hj jk

H jMχχχχ εεεε= ; e o sistema equivalente a

(061) seria escrito na forma:

M Aj k

H k H H i

jiεεεε εεεε. = .

Para todos os j's, o sistema seria escrito na forma matricial

[ ] [ ] [ ]E M A

∗∗∗∗ ∗

∗=. , (071),

em que

[ ]E

... ... ...

...

H 1 H H 1 H 1

H H 2 H 1

H H G

H 2 H H 1 H 2

H H 2 H 2

H H G

H G H H 1 H G

H H 2 H G

H H G

∗∗ =




. . .

. . .

. . .

...

...

...,

[ ]

M M ... M

M M ... M

... ... ... ...

M M ... M

M

11 12 1G

21 22 2G

G1 G2 GG

= ∗∗ e [ ]A

A A ... A

A A ... A

... ... ... ...

A A ... A

11

21

G1

12

22

G2

1G

2G

GG

∗∗ =

, (072).

Como [E]** é regular, tem-se: [ ] [ ] [ ]M E A ∗∗

∗∗−∗

∗= 1. , e os Hχχχχj estão todos determinados.

Corol. 2: Se G poliádicos Hχχχχj de um HEG satisfazem o sistema (07), em que os Ai

j são G2 números dados, a CNS para que eles constituam uma base de HEG é que a matriz G x G, [A]* * , seja regular.

Pois, sendo

Hj jk

H jMχχχχ εεεε= , tem-se: Hj

H Hr j k

H k H H i

ir M Mχχχχ χχχχ εεεε εεεε. .= ( ) .

§ 09.02 - Bases poliádicas recíprocas. Representações G-nomial e cartesiana. 97


Então a matriz métrica do conjunto dos Hχχχχj pode ser escrita na forma

[ ] [ ] ] ]H M [E [Mχχχχ ∗∗ ∗∗∗∗

∗∗= . . , de onde se conclui que | | | | | |H M Eχχχχ∗∗ ∗∗∗∗= 2 .

Agora se torna evidente que MH| | | |χχχχ∗∗ ∗∗= ⇔ =0 0, o que demonstra o teorema.

Notas: 1 - Vimos no §08.03 que a quantidade de isômeros do 6I é 5!!=15 e que, por inspeção, é possível constatar que eles são distintos. O processo apresentado nesse Exercício 3 pode servir de "crivo" para eliminar algum suposto isômero de 6I diferente de qualquer um dos 15 citados.

2 – Ainda no §08.03 informamos que nem todos os 7!!=105 isômeros distintos de 8I são independentes. É trabalhoso verificar que apenas 91 são independentes. Para a aplicação do "crivo" seria necessário calcular os produtos de cada isômero por todos os demais para compor a matriz associada ao conjunto deles e, em seguida, comprovar que o posto dessa matriz é 91. Essa matriz deverá apresentar 105-91=14 linhas ou colunas iguais que devem ser eliminadas para se selecionarem os isômeros componentes da base do espaço dos

hexádicos da forma ... 2182

81

8 ++=r

ΙΙΙΙΙΙΙΙφφφφ AA em que os A1, A2 ... são números reais, cada número multiplicando um dos 91 isômeros. Esse é o espaço dos octádicos isotrópicos que não tem tanta utilidade prática como o dos hexádicos isotrópicos (ver §16 e §20).

§ 09.02 - Bases poliádicas recíprocas. Representações G-nomial e cartesiana.

Teor. 1: Se Hεεεε* é uma base de um HEG, existe uma e apenas uma base Hεεεε1,

Hεεεε2, ..., HεεεεG nesse subespaço tal, que

H i

H H

j ji εεεε εεεε. = δ , (i, j = 1, 2, ..., G), (01),

onde os deltas são os deltas de Kronecker14.

Com efeito, a matriz associada aos deltas de Kronecker é a matriz unidade G x G cujo determinante é +1. Então, pelo Corol. 2 do Teor. 3, os H-ádicos Hεεεεj constituem uma base do subespaço; e são os únicos a satisfazerem (01).

14 É dispensável nova definição dos deltas de Kronecker com a finalidade de ampliar o conceito introduzido no § 04.02,I.

Definições: As bases Hεεεε1,

Hεεεε2, ..., HεεεεG e Hεεεε1, Hεεεε2, ..., HεεεεG de um HEG - que representaremos sintética e respectivamente por Hεεεε* e Hεεεε* - cujos H-ádicos satisfazem (01) serão denominadas bases H-ádicas recíprocas de HEG. Suas matrizes métricas, regulares, serão representadas por [HE] ** e [ HE] ** .. H-adicos de bases recíprocas que apresentem o mesmo índice são ditos homólogos; os de índices diferentes não homólogos.

Por (01) concluímos logo, para i≠j:


IV,§ 09.02

Num HEG, um H-ádico de uma base é perpendicular a todos os H-adicos não homólogos da base recíproca, logo perpendicular ao subespaço HEG-1 do qual estes últimos constituem base.

Resulta imediatamente de (03), § 09.01 e de (01), que

iHiHH

HiH

iHH

HH

GHHHH

) () (

:Eum de ,,

εεεεεεεεφφφφεεεεεεεεφφφφφφφφ

εεεεεεεεφφφφ

.. ==

∀ ∗∗

(i = 1, 2, ..., G), (011).

*

Exercício 1: Comprovar que (com H=4 e G=3) os tercetos

3

1 ;

3

1 ;

3

1 33 24144

rv

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ e )4(10

1 );4(

10

1 );4(

10

1 333333 241442414424144

rvrvrv

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ +−−−+−−−

constituem sistemas recíprocos no 4E3 dos isômeros do tetrádico unidade (logo, base do espaço dos tetrádicos isotrópicos, como será visto no §16.02).

* Teor. 2: O poliádico unidade de valência 2H de um G

2HE (G≤ N2H) é igual à soma

dos produtos justapostos de cada H-ádico de uma base de um HEG pelo H-ádico homólogo da base recíproca:

∀ = =∗

∗ (j ..., G)H H 2H H j Hj

, : ,2,εεεε εεεε εεεε εεεεΙΙΙΙ 1 , (02).

De (011) podemos escrever H H

H H

jH j (φφφφ φφφφ εεεε εεεε= . ) . Lembrando que por (05) § 08.01,

escrevemos, ainda:

∀ = = H H H 2H 2H

H H Hφφφφ φφφφ φφφφ φφφφ: . .

ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ

concluímos a veracidade de (02).

Teor. 3: Todo poliádico de valência par, 2Hφφφφ, de um

G2HE (G≤N2H), pode ser

decomposto numa soma de G produtos diretos de poliádicos de valência H de dois conjuntos em um HEG, um deles constituindo uma base desse HEG.

Sejam dois conjuntos arbitrários de P poliádicos de valência H de um HEG,

, , , , , ,H H HP

H H H P ... , e ... , αααα αααα αααα ββββ ββββ ββββ1 2

1 2 .



A soma dos produtos justapostos, Hi

H i αααα ββββ (i = 1, 2, ..., P), é um poliádico arbitrário desse

espaço, 2H φφφφ . Se H H e εεεε εεεε∗∗ são bases H-ádicas recíprocas desse mesmo espaço

podemos escrever, aplicando (011):

H i H i H H

jH j ββββ ββββ εεεε εεεε= ( ). (j = 1, 2, ..., G).

Então, reescrevendo-se a expressão de 2H φφφφ e agrupando convenientemente, vem:

2H Hi

H i H H

jH j H

jH j φφφφ αααα ββββ εεεε εεεε γγγγ εεεε= =[ ( )]. , (03),

expressão que comprova o teorema. Evidentemente, se escrevêssemos:

H i H i H H j H

j ββββ ββββ εεεε εεεε= ( ). (j = 1, 2, ..., G),

teríamos uma nova forma de representação de 2H φφφφ ,

2H Hi

H i H H j H

jH j H

j φφφφ αααα ββββ εεεε εεεε δδδδ εεεε= =[ ( )]. onde (i = 1, 2, ..., P) e (j = 1, 2, ..., G), (04),

pela qual também se demonstra o teorema. Pondo, conforme o Teor. 1, § 09.01,

kHk

j jH C εεεεγγγγ = , kHj

kjH D εεεεδδδδ = para k=1,2, ...,G,

e substituindo essa expressão em (03) e (04), deduzimos:

jHk

Hkj

2H C εεεεεεεεφφφφ= , (j,k=1,2,...,G) (031),

e

jHkHj

k2H D εεεεεεεεφφφφ= (j,k=1,2,...,G) (041).

Definição: (representações) As formas (03) e (04) denominam-se representações G-nomiais do poliádico

de valência 2H no 2G2HE ; as (031) e (041) são representações cartesianas

G2-nomiais nas bases H-adicas recíprocas Hεεεε* e Hεεεε* de um HEG; as representações (011) são representações cartesianas de Hφφφφ em base H-adica.

No § 03.04 associamos uma matriz (retangular ou quadrada) a poliádicos quando representados cartesianamente em bases vetoriais recíprocas (das quais extraímos políades recíprocas de base). Com as generalizações agora introduzidas – criação de novos espaços e


IV,§ 09.02

suas bases – podemos associar por (011) uma matriz coluna com G linhas a um H-adico representado numa base H-adica, sua i-esima linha sendo a coordenada i

HH

H εεεεφφφφ . .

Para os poliádicos de valência par, por exemplo, quando representados na forma G2-nomial (031), ou na forma (041), podemos também associar a matriz quadrada GxG com as respectivas coordenadas (Ck

j ou Dkj). Assim, num HEG, conforme a conveniência, pode-se

associar aos poliádicos de valência K (par ou ímpar, pouco importa) uma matriz coluna com G linhas (para G≤K) se a base é K-ádica. Aos poliádicos de valência 2H, particularmente, poderemos associar uma matriz quadrada GxG (com G≤NH, com N=1, ou 2, ou 3) se a base é H-adica (representação H-adica), ou uma matriz G2xG2 (com G2≤N2H) se a base é vetorial (representação cartesiana).

As matrizes associadas a poliádicos podem apresentar formas mais simples em situações particulares. Esse assunto será estudado no §16.02 e §16.03.

Teor. 4: São inversas as matrizes métricas de bases poliádicas recíprocas.

Aplicando (011) podemos escrever (01) na forma

[( H i H H k H

k H H

j ji ) ] εεεε εεεε εεεε εεεε. . = δ ,

ou seja, operando,

( )H i H H k H

k H H

j ji )( εεεε εεεε εεεε εεεε. . = δ .

Ora, a expressão obtida representa a soma (no índice k) dos produtos dos elementos da i-ésima linha da matriz [HE]** pelos seus correspondentes da coluna j da matriz [HE]** . Para todos os valores de i e de j esta expressão representa, então, o produto das mencionadas matrizes, produto esse igual à matriz unidade de ordem H; essas matrizes são, pois, inversas.

Como poderíamos escrever, também:

( )Hj

H Hk

H k H H i

jiεεεε εεεε εεεε εεεε. .)( = δ ,

concluímos, analogamente, que o produto das matrizes é comutativo, o que completa a demonstração.

Constituição de bases Tal como no caso dos diádicos é fácil demonstrar o seguinte

Teor. 5: Constituem bases de um HEG os conjuntos (de H-ádicos) obtidos substituindo-se qualquer H-ádico de uma base desse espaço pelos seus correspondentes recíprocos.



Assim, se Hεεεε* e Hεεεε* são bases recíprocas de um HEG,

..., ,, e ..., ,, GH2H1

HG

H2

H1H εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε são também bases desse espaço, embora não recíprocas. Partindo do Teorema 5 é fácil demonstrar o seguinte

Corol. 1: É sempre possível constituir uma base H-ádica de um HEG, a partir de uma base dada do mesmo, substituindo-se um, dois, três etc. H-ádicos dessa base por H-ádicos paralelos aos seus correspondentes recíprocos.

Teor. 6: Todo poliádico de um HEG pode ser decomposto numa soma de T<G poliádicos de mesma valência, um deles perpendicular a outros T-1 não paralelos.

Consideremos as bases H-ádicas recíprocas Hεεεε* e Hεεεε* de um HEG. Pelo corolário do Teor. 4, constitui uma base desse espaço o conjunto formado por T H-ádicos quaisquer de Hεεεε* (logo, não paralelos), digamos Hεεεε1,

Hεεεε2, ..., HεεεεT, com os G-2 outros não homólogos

da base Hεεεε* (aos quais Hεεεε1, Hεεεε2, ... são perpendiculares). Ora, qualquer Hφφφφ pode ser

decomposto cartesianamente nessa base (Teor. 1, § 09.01) e escrito na forma:

φφφφεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεφφφφ HGHG1T

1TTHT2

H21

H1H , M ... M M ... M M ∀++++++= ++ ,

ou seja, na forma:

εεεεεεεεεεεεεεεεφφφφ HTHT2

H21

H1H M ... M M ++++= ,

em que Hεεεε, por ser uma combinação linear de H-ádicos perpendiculares a Hεεεε1,

Hεεεε2, ..., é perpendicular a esses H-ádicos. Em resumo:

,0 ... sendo

, M ... MM

| ,..., ,,,,M ..., ,M,M ,

THH

H

2HH

H

1HH

H

HT

HT2

H21

H1H

HT

HH2

H1

HT21H

====

++++=

∃∀

εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε

εεεεεεεεεεεεεεεεφφφφ

εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεφφφφ

...

(05).

Teor. 7: Se Hεεεε1,

Hεεεε2, ..., HεεεεG e Fεεεε1, Fεεεε2, ..., FεεεεS são, respectivamente, bases dos espaços HEG e FES (G ≤ NH e S ≤ NF), então o conjunto de GxS poliádicos de valência H+F, Hεεεεk

Fεεεεm para k=1, 2, ..., G e m=1, 2, ..., S, constitui base num H+FEGxS.


IV,§ 09.02

Com os recíprocos das bases dadas podemos constituir o conjunto de GxS poliádicos Hεεεεi Fεεεεj, com i=1, 2, ..., G e j=1, 2, ..., S. Tem-se, então a expressão:

m j

ik

mFF j

Fk

HH

iHmFk

HFH j

FiH ) )( ( δ δ==+ εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε ... ,

pela qual vemos que os conjuntos Hεεεε1

Fεεεε1 , Hεεεε1Fεεεε2, ... e Hεεεε1 Fεεεε1,

Hεεεε1 Fεεεε2, ..., constituem sistemas de (H+F)-ádicos recíprocos de um H+FEGxS; logo, formam bases.

Nota: A recíproca do Teor. 7 não é verdadeira. Por exemplo: para dado espaço triádico construído com vetores do E3 e com características tais que a sua dimensão seja um número primo (digamos, onze) – o que é sempre possível porque esse número deve ser menor que 27 - pode não existir um 2EG que satisfaça as condições do teorema.

Cálculo cartesiano de sistemas recíprocos

Os H-ádicos Hεεεε1,

Hεεεε2, ... HεεεεG (com G≤NH) são linearmente independentes em um subespaço e estão referidos a uma base H-diádica H

∗µµµµ desse subespaço. Os Hεεεεs

constituem, também, uma base no subespaço, cujo sistema recíproco quer-se expressar cartesianamente em relação à base H

∗µµµµ .

Conforme (01)1, a expressão cartesiana de Hεεεεu em termos das suas coordenadas covariantes é iH

iHH

uH

uH ) ( µµµµµµµµεεεεεεεε .= , com u,i=1,2, ...,G. Se Hεεεε1, Hεεεε2, ... HεεεεG são os H-

ádicos recíprocos dos H-ádicos dados, então escrevendo Hεεεεi em termos das suas coordenadas contravariantes, isto é, j

HjHH

uHuH ) ( µµµµµµµµεεεεεεεε .= e observando que

vuv

HH u

H δ=εεεεεεεε . podemos escrever, para u,v=1,2, ...,G:

.

...

............

...

...

GHH

GH

2HH

GH

1HH

GH

GHH

2H

2HH

2H

1HH

2H

GHH

1H

2HH

1H

1HH

1H

•••

•••

•••

µµµµεεεεµµµµεεεεµµµµεεεε

µµµµεεεεµµµµεεεεµµµµεεεεµµµµεεεεµµµµεεεεµµµµεεεε

,

1000

............

0010

0001

...

............

...

...

.

G

GGHH

GHGHH

2HGHH

1H

2HH

GH2HH

2H2HH

1H

1HH

GH1HH

2H1HH

1H

=

•••

•••

•••



ou, sinteticamente, [E** ].[E** ]=[I] G, onde as matrizes [E** ], [E** ] e [I]G têm representação evidente: as linhas de [E** ] são formadas com as coordenadas covariantes dos Hεεεεu e as linhas de [E** ] com as coordenadas contravariantes dos Hεεεεv. Deduzimos, facilmente,

[E** ]=[E** ]-1, (06),

pois [E** ] é regular (por hipótese os Hεεεεu formam uma base).



Se escrevêssemos Hεεεεu em coordenadas contravariantes, iHiHH

uH

uH ) ( µµµµµµµµεεεεεεεε .= e

os recíprocos dos Hεεεεv em coordenadas covariantes seria, analogamente: [E**].[E*

*]=[I **]G, as

linhas de [E**] sendo formadas com as coordenadas covariantes de Hεεεεv (as incógnitas) e as colunas de [E*

*] com as coordenadas contravariantes de Hεεεεu. Então:

[E**]=[E*

*]-1, (07).

Isômeros do hexádico unidade e seus recíprocos

Como aplicação, para calcular cartesianamente o sistema recíproco do conjunto dos 14 isômeros de 6I , listados no Exercício 9 do §08.01, dispostos na tabela seguinte

324 ) (r

ΙΙΙΙΙΙΙΙ1

II 4

2

214 ) (w

II3

ΙΙΙΙΙΙΙΙ 4

4

314 ) (s

ΙΙΙΙΙΙΙΙ5

324 ) (s

ΙΙΙΙΙΙΙΙ

6

4146 ) (w

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ =8

514 ) (s

ΙΙΙΙΙΙΙΙ9

424 ) (s

ΙΙΙΙΙΙΙΙ12

41) (r

ΙΙΙΙΙΙΙΙI7

324 ) (r

ΙΙΙΙΙΙΙΙ10

1) (r

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ

13

514 ) (r

ΙΙΙΙΙΙΙΙ

11

14 ) (w

ΙΙΙΙΙΙΙΙ14

514 ) (s

ΙΙΙΙΙΙΙΙ15

dados em relação a uma base vetorial nas formas

kk

jji

i24 3) ( eeeeee=v

ΙΙΙΙΙΙΙΙ , ji

ji

kk

4 eeeeeeII = , kj

jk

ii

14 2) ( eeeeee=s

ΙΙΙΙΙΙΙΙ etc.,

poderíamos aplicar o critério exposto nesta seção. Entretanto, vamos fazê-lo por outro caminho utilizando os resultados expostos no referido Exercício 9 do §08.01, consubstanciado na matriz métrica determinada no Exercíco 3 do §09.01. Nesse caso, invertendo aquela matriz métrica obtemos a matriz simétrica 15x15, denotada por [Metr Isom]-1:

−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

=−

221...111

12211

..................

11...2211

111221

11...1122

5521

]IsomMetr [ 1 ,

a qual, conforme o Teorema 4, é a matriz métrica da base recíproca da base definida pelos isômeros. Então podemos escrever, denotando a coluna dos hexádicos isômeros por 6I isom e a dos seus recíprocos por 6I isom rec :

.]IsomMetr [ isom61rec

isom6 ΙΙΙΙΙΙΙΙ −= .

Assim, por exemplo:

])()(...) () ()(22[552

1)( 43333 21414142424rec24

rsrrsrr

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ −−−−−= ,

])()(...) () (22[552

1)) (( 4333 21414142424rec24

rsrrsrs

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ −−−−+−= ,

e outros.


IV,§ 09.03

Novas operações com poliádicos de um espaço G-dimensional.

Todas as operações já definidas para diádicos (§11, §12, II) podem ser estendidas aos poliádicos. É o que faremos a seguir, sem delongas, uma vez que as demonstrações dessas propriedades são análogas às dos diádicos.

§ 09.03 - Multiplicação cruzada múltipla de poliádicos

Definição: (produto cruzado) Chama-se produto cruzado de G - 1 poliádicos de valência H de um HEG, H H H G ... , αααα αααα αααα1 2 1, , ,− nessa ordem, para 2 ≤ G-1 ≤ NH-1 (ou 3≤ G ≤ NH,

logo N=2 ou 3), e representa-se por < >−H H H G ... αααα αααα αααα1 2 1 , o H-ádico do HEG que, em relação às bases recíprocas arbitrárias desse espaço, , H H εεεε εεεε∗

∗ (de módulos | | | |H H e εεεε εεεε∗∗ ), é definido pelo determinante

simbólico:

< >=

=

−

∗

− − −

...

... ...

... ... ...

H 1 H 2 H G 1

H

H 1 H 2 H 3 H G

H 1 H H 1 H 1

H H 2 H 1

H H 3 H 1

H H G

H 2 H H 1 H 2

H H 2 H 2

H H G

H G 1 H H 1 H G 1

H H 2 H G 1

H H 3 H

αααα αααα αααα

εεεε

εεεε εεεε εεεε εεεε

αααα εεεε αααα εεεε αααα εεεε αααα εεεε

αααα εεεε αααα εεεε αααα εεεε

αααα εεεε αααα εεεε αααα εεεε αααα

| |

...

...

...

. . . .

. . .

. . .G 1

H H G −. εεεε

, (01),

que convencionaremos desenvolver segundo a regra de Laplace pelos elementos da primeira linha. Em vista da arbitrariedade da base, podemos escrever, também:

< >=

=

−

∗

− − −

...

... ...

... ... ...

H 1 H 2 H G 1

H

H1

H2

H3

HG

H 1 H H

1H 1

H H

2H 1

H H

3H 1

H H

GH 2

H H

1H 2

H H

2H 2

H H

G

H G 1 H H

1H G 1

H H

2H G 1

H H

3H

αααα αααα αααα

εεεε

εεεε εεεε εεεε εεεε


αααα εεεε αααα εεεε αααα εεεε

αααα εεεε αααα εεεε αααα εεεε αααα

| |

...

...

...

. . . .

. . .

. . .G 1

H H

G −

.εεεε

, (011).

Deve ser observado que o produto cruzado não está definido para G<3 e que esta definição, para H=1, encampa a definição de produto vetorial posto em forma cartesiana (§04.03,Cap.I,Vol.I,T.I).

§ 09.03 - Multiplicação cruzada múltipla de poliádicos. 105


Para H i H i αααα εεεε= (i = 1, 2, ..., G - 1) resulta de (01), aplicando ((01), § 09.02):

< >=− ∗ ... H H H G HG

εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε1 2 1 | | , (02).

Analogamente, obtemos:

< >=− ∗ ... H H HG

H Gεεεε εεεε εεεε εεεε εεεε1 2 1

| | , (021).

A multiplicação cruzada de poliádicos é a operação que tem por fim determinar o produto cruzado desses poliádicos. Essa operação, ou o seu resultado, gozam das seguintes

Propriedades

1ª) - O produto cruzado é nulo: a) - se um dos poliádicos é o poliádico nulo; b) - se dois poliádicos são paralelos; c) - se, em geral, existe uma combinação linear entre dois ou mais poliádicos fatores.

Com efeito, em qualquer um dos casos o determinante (01) seria nulo porque uma de suas linhas seria uma combinação linear de linhas paralelas.

2ª) - Alternância: Permutando-se dois poliádicos contíguos quaisquer de dado produto cruzado, o novo produto cruzado é igual ao anterior com o sinal trocado,

pois essa operação equivale a alternar duas linhas paralelas do determinante (01).

Genericamente, diríamos:

O produto cruzado de poliádicos troca de sinal tantas vezes quantas forem as inversões contadas entre os poliádicos em relação a uma ordem pré-fixada.

3ª) - A multiplicação é distributiva em relação à adição, ou, ainda, é uma operação linear.

4ª) - G-1 poliádicos de um espaço G-dimensional e seu produto cruzado não nulo são linearmente independentes nesse espaço.

Cruzado e Q-vetor de um 2Q-ádico

A dimensão do espaço dos 2Q-ádicos (logo, vetores excluídos) é N2Q=G2 com G=NQ e N=2 ou 3. Eles podem ser escritos em forma G-nomial em função de Q-ádicos de base. Algumas dimensões (N2Q) e valores de G para N=2 e 3, com Q=1,2,3,4, estão apresentados na tabela a seguir.

Dimensões (N2Q) e valores de G=NQ Q=1 Q=2 Q=3 Q=4

N N2Q G=NQ N2Q G=NQ N2Q G=NQ N2Q G=NQ

2 4 2 16 4 64 8 256 16 3 9 3 81 9 729 27 6561 81

2Q-ádico diádico tetrádico hexádico octádico


IV, § 09.04

É óbvio que os subespaços terão dimensões menores. Consideremos o 2Q-ádico: 2Qφφφφ=Qψψψψi Qεεεεi com i=1,2,...,N2Q. Cada 2Q-áde de 2Qφφφφ define

um subespaço bidimensional 2QE2 de QN2QE . O produto cruzado do antecedente pelo

conseqüente de cada 2Q-áde, do tipo <Qψψψψ Qεεεε>, é um Q-ádico ortogonal ao plano da 2Q-áde Qψψψψ Qεεεε e gera com ela um subespaço tridimensional do mesmo QN

2QE .

Definição: (cruzado de um 2Q-ádico) O Q-ádico soma desses Q-ádicos produtos assim determinados, <Qψψψψi Qεεεεi>, é, por definição, o cruzado do 2Q-ádico.

É importante observar que o cruzado de um 2Q-ádico não tem haver com o Q-vetor

iQiQ εεεεψψψψ ×

× gerado do mesmo 2Q-ádico, isto é:

44 344 21444 3444 21ádico-Qádico-Q

V2Q

iQiQ

iQiQ2Q φφφφεεεεψψψψεεεεψψψψφφφφ =≠>>=<< ×

× , (03),

exceto para Q=1 porque as fórmulas (01) e (011) se identificam com as correspondentes cartesianas do produto vetorial de vetores. Assim, excepcionalmente para os diádicos:

vetorvetor

Vii

ii e a φφφφφφφφ =×=>>=<< ea , (031).

§ 09.04 - Multiplicação cruzada múltipla dupla de poliádicos.

Definição: (duplo produto cruzado múltiplo) Chama-se duplo produto cruzado múltiplo, H ππππ , de G-1 poliádicos,

H H H G ... , αααα αααα αααα1 2 1, , ,−

de um HEG-1 (3≤G≤NH), um produto cruzado desses poliádicos em que um deles seja um segundo produto cruzado

< >−H H H G ... ββββ ββββ ββββ1 2 1 ; e escrevemos:

H H H H G H H H G ... ... ππππ αααα αααα αααα ββββ ββββ ββββ=< < >>− −1 2 2 1 2 1 . A multiplicação cruzada dupla de poliádicos é a operação que tem por fim determinar o duplo produto cruzado desses poliádicos. É válida para os poliádicos fórmula análoga à demonstrada para os diádicos (§ 12, II):

∀ =< >− − − , , ... , e ... H H H G H G H H H Gαααα αααα αααα αααα ββββ ββββ ββββ1 2 2 1 1 2 1 :

H H 1 H 2 H G H 1 H 2 H G ... ... ππππ αααα αααα αααα ββββ ββββ ββββ=< < >=− −2 1

§ 09.05 - Multiplicação mista múltipla de poliádicos. 107


1GHH

2GH3HH

2GH2HH

2GH1HH

2GH

1GHH

2H2HH

2H1HH

2H

1GHH

1H3HH

1H2HH

1H1HH

1H

1GH3H2H1H

...

.........

......

...

...

−−−−−

−

−

−

=

ββββααααββββααααββββααααββββαααα

ββββααααββββααααββββααααββββααααββββααααββββααααββββαααα

ββββββββββββββββ

....

...

....

, (01),

os Hββββ i devendo forma uma base (num 2EG-1) cuja recíproca tem por módulo | Hββββ*|.

Multiplicação cruzada dupla com um produto cruzado Uma aplicação interessante dessa operação aparece no estudo do produto cruzado de um Q-ádico dado, Qρρρρ, pelo Q-ádico cruzado < Qααααi Qµµµµi > com (i=1,2,...,G e G≤NQ) do dado 2Q-ádico 2Qφφφφ= Qααααi Qµµµµi. Tem-se, então aplicando (01):

iQQ

QiQQ

Q

iQiQ

iQiQQ

µµµµρρρρααααρρρρµµµµααααµµµµααααρρρρ..

>>=<< ,

donde, desenvolvendo o determinante:

).( )( 2QT2QQ

Qi

QiQiQi

QQ

Qi

QiQQ φφφφφφφφρρρρµµµµααααααααµµµµρρρρµµµµααααρρρρ −=−>>=<< ..

Para qualquer 2Qφφφφ, o 2Q-ádico: 2QφφφφT - 2Qφφφφ é anti-simétrico, pois 2QφφφφT - 2Qφφφφ=-(2QφφφφT - 2Qφφφφ)T. Então, lembrando ((033),§07.01):

ρρρρφφφφφφφφρρρρφφφφρρρρ QQ ant

2Qant

2QQ

Q2QQ 2 2 .. −=>>=<< , (02).

§ 09.05 - Multiplicação mista múltipla de poliádicos.

Definição: (produto misto)

Chama-se produto misto múltiplo de G H-ádicos H αααα1,H αααα 2, ..., GH αααα de um HEG (3≤G≤NH, N>1), nessa ordem, e representa-se por ( )H H H G ... αααα αααα αααα1 2 , o escalar definido como o produto ponteado H-plo do produto cruzado múltiplo dos G-1 primeiros (que é um H-ádico) pelo último; e escrevemos:

( )H H H G H H H G

H H G ... ... αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα1 2 1 2 1=< >−. , (01).

A multiplicação mista múltipla de vários poliádicos é a operação que tenha por fim determinar o produto misto desses poliádicos. Deve ser observado que o produto misto não está definido para NH≤3 (devendo ser, pois, N=2, ou 3 e H≥2). Se H H e εεεε εεεε∗

∗ são base H-ádicas recíprocas do HEG, então para

H i H i αααα εεεε= (i = 1, 2, ..., G),


IV, § 09.05

temos, lembrando (02), § 09.03:

( ) | | ... H H H G Hεεεε εεεε εεεε εεεε1 2 = ∗ , (02). Analogamente podemos comprovar que

( ) | | ... H H HG

Hεεεε εεεε εεεε εεεε1 2

= ∗ , (021).

De (01), aplicando (011), § 09.03, podemos concluir:

∀ = − −G: ( ... ...

... ...

H 1 H 2 H G G 1 H 1 H 2 H G

H 1 H H

1H 1

H H

2H 1

H H H 1

H H

GH 2

H H

1H 2

H H

2H 2

H H

3H 2

H H

GH 3

H H

1H 3

H H

2H 3

H

αααα αααα αααα εεεε εεεε εεεε



αααα εεεε αααα εεεε αααα

) ( ) ( )

...

...

1

3

.

.

. . . .

. . . .

. . .

... ... ...

HG

H G H H

1H G

H H

2H G

H H

3H G

H H

G

εεεε

αααα εεεε αααα εεεε αααα εεεε αααα εεεε. . . ....

, (03).

ou, ainda,

∀ = − −G: ( ... ...

... ...

H 1 H 2 H G G 1 H H HG

H 1 H H H 1

H H H 1

H H H 1

H H G

H 2 H H H 2

H H H 2

H H H 2

H H G

H 3 H H H 3

H H H 3

H




αααα εεεε αααα εεεε αααα

) ( ) ( )

...

...

1 1 2

1 2 3

1 2 3

1 2

.

.

. . . .

. . . .

. . .H G

H G H H H G

H H H G

H H H G

H H G

... ... ...

εεεε

αααα εεεε αααα εεεε αααα εεεε αααα εεεε. . . .1 2 3 ...

, (031).

Propriedades:

1ª) - Um produto misto de vários poliádicos é nulo: a) - se um dos poliádicos é nulo; b) - se dois deles são paralelos; c) - se existe uma combinação linear qualquer entre eles.



2ª) - A operação é linear:

( ) )

( )

H H H H H G H H H H G

H H H H G

, ... , (B C ), ... , B( , ... , , ... ,

C , ... , , ... ,

αααα αααα ββββ γγγγ αααα αααα αααα ββββ αααα

αααα αααα γγγγ αααα

1 2 1 2

1 2

+ = +

+, (04).

3ª) - A alternância: Um produto misto troca de sinal se alternamos dois quaisquer dos seus poliádicos.

Logo:

No HEG, uma permutação circular dos fatores muda G - 1 vezes o sinal de um produto misto de poliádicos,

e, portanto,

Nos HEG, com G = ímpar, o produto misto de G poliádicos de valência H é invariante numa permutação circular; nos de dimensão par esse produto troca de sinal.

Logo, lembrando propriedades do permutador a G índices (§14,II), podemos escrever:

∀ εG: ( ... ... H i H j H m ij ... m H H H Gαααα αααα αααα εεεε εεεε εεεε) ( )==== 1 2 , (05).

Teor. 1: São números recíprocos os produtos mistos de H-ádicos de bases recíprocas (H≥2) de qualquer HEG (3≤G ≤ NH, N=2, ou 3):

( ) ... H H H Gεεεε εεεε εεεε1 2 ( ) ... H H H

Gεεεε εεεε εεεε

1 21= , (06).

Conforme o Teor.3, § 09.02, as matrizes métricas de bases recíprocas são inversas. Então são números inversos os seus determinantes, isto é, os seus módulos (§ 09.01). Logo, multiplicando membro a membro (02) por (021), encontramos (06).

Teor. 2:

:, G,1,2,...,i ,NG3 HHH ∗∗=≤<∀ εεεεεεεε

Hi

i(G 1)H i 1 H i H G H 1 H i- H i 1

H H H i 1 H i H i 1 H G ... ... ... ...

εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεεεεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε

= − < >−+ + −

− +( )( )

12 2

1 2 , (07),


IV, § 09.05

H j j(G 1)

Hj 1

Hj

HG

H1

Hj

Hj

H1

H2

Hj 1

Hj

Hj 1

HG

... ...

... ... εεεε


εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε= −

< >− + + − −

− +

( )( )

12 2 1

, (071);

ou

Hi

i GH 1 H H i 1 H i 1 H G

H H H G ... ...

... εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε

εεεε εεεε εεεε= − < >+

− +( )

( )1

2

1 2 , (08),

H j j G

H1

H Hj

Hj

HG

H1

H2

HG

... ...

... εεεε

εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε

εεεε εεεε εεεε= −

< >+ − +

( )( )

12 1 1

, (081).

Consideremos a expressão evidentemente verdadeira para dado i:

( ... ... )

... ...

H i 1 H i H G H 1 H i- H i

H i 1 H i H G H 1 H i- H H i



+ +

+ +

=

=< > ≠

2 1

2 1 0.

.

Então:

... ... ... ...

H i 1 H i H G H 1 H i-

H i 1 H i H G H 1 H i- H i H H i< >

<=

+ +

+ +εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε

εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεεεεεε

2 1

2 1 1) . ,

isto é, para aquele valor fixo de i, o primeiro H-ádico fator no primeiro membro é o H-ádico recíproco do segundo, H

iεεεε . Transpondo-se para as primeiras posições os i últimos fatores

do produto misto, esse produto trocará de sinal G-1 vezes para cada fator transportado, isto é, trocará de sinal i(G-1) vezes; o que comprova (07) e, por analogia, (071). Agora escrevemos, transportando os (i-1) últimos fatores do numerador para as primeiras posições:

< >=

= − < >

+ + −

− − − +

... ...

... ...

H i 1 H i H G H 1 H i

i G H 1 H H i H i H G



2 1

1 2 2 1 11( ) ( )( )

,

justificando-se o expoente da potência de (-1) porque o numerador tem G-1 fatores e cada vez que se transporta um fator para a primeira posição ele troca de sinal G-2 vezes. O expoente de -1 será, pois, (i G i(G iG i i G)− − + − = − + − +1 2 1 2 1)( ) ) ( ) ( , ou seja, i + G, o que comprova (08). É fácil comprovar-se (081). Resulta imediatamente de (08) e (081) que

< >− + ... ... H H H i H i H G Hεεεε εεεε εεεε εεεε εεεε1 2 1 1. < >=− + ... ...H H H

jH

jH

G jiεεεε εεεε εεεε εεεε εεεε

1 2 1 1δ , (09).



Com efeito, pré multiplicando pontual e H-plamente (08) por (081) obtemos, no primeiro membro, δ

ji (uma vez que as bases são recíprocas). Conforme (06), o produto dos

denominadores do segundo membro vale 1. O expoente de -1 é 2G+i+j. Portanto, o sinal do segundo membro será positivo se i = j, o que comprova (09) para i = j. Se for i ≠ j, esse segundo membro é nulo porque δ

ji = 0, sendo irrelevante o valor de (- 1) i+j. Logo (09) é

válida para i e j quaisquer.

Teor. 3:

:E de ... ; ... GHGH2H1HGH2H1H ψψψψψψψψψψψψφφφφφφφφφφφφ∀

=) ... () ... ( GH2H1HGH2H1H ψψψψψψψψψψψψφφφφφφφφφφφφ

GHH

GH3HH

GH2HH

GH1HH

GH

GHH

3H2HH

3H1HH

3H

GHH

2H3HH

2H2HH

2H1HH

2H

GHH

1H3HH

1H2HH

1H1HH

1H

...

...............

......

...

...

ψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφ

ψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφ



....

...

....

....

= , (10).

De fato, fazendo H i H i αααα φφφφ= (i = 1, 2, ..., G) em (03), H i H i αααα ψψψψ= em (031) e multiplicando membro a membro as expressões obtidas encontramos no primeiro membro o primeiro membro de (10). O segundo membro tem sinal positivo, (- 1) 2(G -1). Como o produto dos produtos mistos das bases recíprocas neste segundo membro vale 1, resta-nos comprovar que o produto dos determinantes que aí ocorrem é igual ao determinante do segundo membro de (10). Ora, o produto da i-ésima linha do determinante de (03) pela j-ésima coluna do determinante de (031) em que se tenham trocado previamente linhas por colunas é, já representando o resultado numa expressão com soma em k:

( H i H H k H

k H H j H i

H H jφφφφ εεεε εεεε ψψψψ φφφφ ψψψψ. . .)( ) =

Fazendo, agora, i, j = 1, 2, ..., G, podemos montar e justificar o determinante (10).

Teor. 4: É um invariante o produto misto de poliádicos.

Representemos por ( ) ( )H 1 H 2 H G H 1 H 2 H G ... e ... αααα αααα αααα αααα αααα ααααε µ os produtos

mistos dos mesmos poliádicos em relação a duas bases H H e εεεε µµµµ∗ ∗ do HEG. O primeiro

produto é dado por (03). Conforme (031), podemos escrever o segundo na forma:


IV, § 09.05

GHH

GH3HH

GH2HH

GH1HH

GH

GHH

3H2HH

3H1HH

3H

GHH

2H3HH

2H2HH

2H1HH

2H

GHH

1H3HH

1H2HH

1H1HH

1H

GH

2H

1H1GGH2H1H

...

.........

......

...

...

) ... ()1() ... (

µµµµααααµµµµααααµµµµααααµµµµαααα

µµµµααααµµµµααααµµµµααααµµµµααααµµµµααααµµµµααααµµµµααααµµµµααααµµµµααααµµµµααααµµµµαααα

µµµµµµµµµµµµαααααααααααα εεεε

....

...

....

....

=

=−= −

.

Multiplicando por ( )H 1 H 2 H G ... µµµµ µµµµ µµµµ ambos os membros dessa igualdade, vem:

GHH

GH3HH

GH2HH

GH1HH

GH

GHH

3H2HH

3H1HH

3H

GHH

2H3HH

2H2HH

2H1HH

2H

GHH

1H3HH

1H2HH

1H1HH

1H

GH2H1HGH2H1H

...

.........

......

...

...

) ... ( ) ... (

µµµµααααµµµµααααµµµµααααµµµµαααα

µµµµααααµµµµααααµµµµααααµµµµααααµµµµααααµµµµααααµµµµααααµµµµααααµµµµααααµµµµααααµµµµαααα

µµµµµµµµµµµµαααααααααααα εεεε

....

...

....

....

=

, (A).

Analogamente, multiplicando por ( )H 1 H 2 H G ... µµµµ µµµµ µµµµ ambos os membros de (03) e aplicando (10), ao primeiro fator do segundo membro, temos: ( ... ... H 1 H 2 H G H H H Gαααα αααα αααα µµµµ µµµµ µµµµ) ( )ε

1 2 =

.

....

...

....

....

...

.........

......

...

...

GHH

GH3HH

GH2HH

GH1HH

GH

GHH

3H2HH

3H1HH

3H

GHH

2H3HH

2H2HH

2H1HH

2H

GHH

1H3HH

1H2HH

1H1HH

1H

εεεεµµµµεεεεµµµµεεεεµµµµεεεεµµµµ

εεεεµµµµεεεεµµµµεεεεµµµµ

εεεεµµµµεεεεµµµµεεεεµµµµεεεεµµµµ

εεεεµµµµεεεεηηηηεεεεµµµµεεεεµµµµ

=

.

. . . .

. . . .

. . .

. . .

... ...

... ... ...

H1

H H 1 H1

H H 2 H H H 3 H

1 H H G

H2

H H 1 H2

H H 2 H2

H H 3 H2

H H G

H3

H H 1 H3

H H 2 H3

H H G

HG

H H 1 HG

H H 2 HG

H H 3 H

εεεε αααα εεεε αααα εεεε αααα εεεε αααα

εεεε αααα εεεε αααα εεεε αααα εεεε αααα

εεεε αααα εεεε αααα εεεε αααα

εεεε αααα εεεε αααα εεεε αααα

1...

...

... εεεε ααααG

H H G .

, (B).

§ 09.06 – Algumas considerações sobre a geometria do espaço poliádico. 113


Ora, em (B), o produto da i-ésima linha do primeiro determinante fator pela j-ésima coluna do segundo determinante fator vale, já representando o resultado com uma soma em k:

( H i H H k H

k H H jµµµµ εεεε εεεε φφφφ. .)( ) .

Então, conforme (011), § 09.02, esse produto vale H i

H H jµµµµ φφφφ. . Mas esse é o elemento da i-

ésima linha e j-ésima coluna do determinante (A). Então, igualando os primeiros membros e cancelando-lhes o fator comum (não nulo), comprovamos a igualdade dos produtos mistos. Portanto, o produto misto dos poliádicos independe das bases em relação às quais ele é calculado; é, pois, um invariante.

§ 09.06 – Algumas considerações sobre a geometria do espaço poliádico. Nesse instante o leitor está convidado a fazer uma incursão ao § 10.03 do Capítulo II para rever a introdução que fizemos das idéias primárias principais no espaço diádico. Por analogia, o leitor verá que aqui também, a rigor, devemos postular a existência de pontos, retas, planos, 3-espaços, ... G-espaços como regiões definidas por um, dois, ... G+1 pontos dados, com dimensões zero, um, dois, ..., G, respectivamente. Nesses espaços, entretanto, representados genericamente por HEG, habitam os poliádicos de valência H. A teoria a ser aqui exposta seria, em resumo, a mesma exposta no referido parágrafo. Tornam-se necessárias apenas pequenas (e até raras) adaptações nos enunciados de teoremas e notações. Basicamente devemos estar atentos para a troca de biflecha por H-flecha, N2 por NH e para a generalização da tabela relativa ao número de espaços fronteira de dimensão R de um paralelotopo. Ficará por conta do leitor essa tarefa um tanto trabalhosa.

Transformações Lineares entre espaços poliádicos

Um importante conceito (ou operação) a generalizar é o de transformação linear entre poliádicos de valência H de um espaço em poliádicos de valência R de outro espaço. Essa transformação é representada genericamente pela expressão

χχχχψψψψφφφφ HHHRR .+= , (01),

na qual o poliádico ψψψψHR+ , cuja valência é a soma das valências dos demais poliádicos, é

operador da transformação. Em geral, Hχχχχ e Rφφφφ são poliádicos variáveis; quando a transformação está representada na forma indicada, Hχχχχ pode ser tratado como a variável independente e Rφφφφ a dependente.

Do ponto de vista geométrico podemos entender a expressão (01) como a transformação (linear) de pontos do espaço dos H-ádicos (com até 3H dimensões se os poliádicos são gerados do E3) em pontos do espaço dos R-ádicos (com até 3R dimensões),

operada por ψψψψHR+ , espaços esses que têm pelo menos um ponto comum. Para tal basta que imaginemos aplicadas ao ponto comum dos espaços (eleito como uma origem comum) as flechas dos poliádicos correspondentes (§06.06).


IV, § 09.06

Muitas das leis lineares da Física podem ser representadas por uma equação poliádica do tipo (01) para diferentes valores de R e H. Em geral os poliádicos Hχχχχ e Rφφφφ constituem campos15 porque as grandezas correspondentes variam de ponto para ponto no espaço físico considerado (uma massa material, por exemplo) e são relacionadas por uma propriedade física do espaço considerado. Assim, podemos entender essas leis como transformações lineares entre os campos representados por Hχχχχ e Rφφφφ operadas pelo poliádico representante de alguma propriedade física do meio onde prevalece a lei. Algumas novas características devem ser imediatamente adicionadas; por exemplo, a invertibilidade da equação (01). Pois, devendo ser possível expressar também Hχχχχ em função de Rφφφφ, deve existir ainda a lei

φφφφψψψψχχχχ RRRHH .′= + , (02).

Então, por substituição de (02) em (01) e por associação, vem:

φφφφψψψψψψψψφφφφψψψψψψψψφφφφ RHRHHHRRHRHHHRR ) ( ) ( . . . . ′=′= ++++ ,

isto é,

ΙΙΙΙψψψψψψψψ 2RRHHHR =′++ . , (03).

Por outro lado, substituindo (01) em (02) e operando analogamente obteríamos:

ΙΙΙΙψψψψψψψψ 2HRHRHR =′ ++ . , (04).

Interpretamos as expressões (03) e (04) dizendo que as propriedades que correlacionam os campos Hχχχχ e Rφφφφ nas leis físicas lineares que expressam uma variável em função da outra são “pseudoinversas”; quando R=H essas propriedades são realmente inversas, ou, o que é o mesmo, os poliádicos que as representam são inversos, conforme definiremos no § 13.

Em Elasticidade, por exemplo, para R=H=2, (01) é a lei de Hooke que correlaciona o diádico de tensões (2φφφφ) com o de deformações (2χχχχ); 4ψψψψ é o tetrádico de rigidez (stiffness, em Inglês) e 4ψψψψ’ é o de flexibilidade (compliance, em Inglês).

Demonstremos o seguinte

Teor. 1: (teorema fundamental) Qualquer poliádico de valência R+H, usado como pré-fator em multiplicação ponteada múltipla por poliádicos de valência H, é operador de uma TL entre o espaço destes e o espaço dos poliádicos produto.

Reciprocamente, toda TL dos poliádicos de valências H nos poliádicos de valência R pode ser univocamente representada por um poliádico de valência R+H, para ser usado como pré-fator em multiplicação ponteada múltipla.

O teorema direto decorre imediatamente da definição de multiplicação ponteada múltipla e das interpretações geométricas já introduzidas.

15 Esse conceito será rigorosamente definido no Tomo II.



Reciprocamente, se existe uma transformação linear entre os poliádicos Hχχχχ (de um HEA) e os Rφφφφ (de um REB) e se é sabido que, nesta transformação, certos A R-ádicos independentes (§09.01) de HEA, Hχχχχ1,

Hχχχχ2, ..., RχχχχA, têm como transformados certos A H-ádicos Rφφφφ1,

Hφφφφ2, ..., HφφφφA de HEB, então o operador da transformação, H+Rψψψψ, está determinado:

uH

uRHR χχχχφφφφψψψψ=+ , (u=1,2,...,A) (05),

os poliádicos Hχχχχ1, Hχχχχ2, ..., HχχχχA constituindo os recíprocos (§09.02) dos H-ádicos Hχχχχ1,

Hχχχχ2, ..., HχχχχA.

Cálculo do operador de uma Transformação Linear Quer-se determinar o 2H-ádico 2HH que transforme G(≤NH) H-ádicos dados, linearmente independentes, Hεεεε1,

Hεεεε2, ..., HεεεεG, obedecendo à expressão uHH

H2

uH εεεεσσσσ .H=

(u=1,2,...,G), sendo dados, também, os G transformados Hσσσσ1, Hσσσσ2, ..., HσσσσG. Supõe-se,

ademais, que os H-ádicos sejam todos dados por suas representações cartesianas em relação a uma base H-ádica do espaço, H

∗µµµµ , de recíproca H ∗µµµµ .

Podemos escrever, conforme o Teor. 1: uH

uHH2 εεεεσσσσ=H , em que os Hεεεεu são os

recíprocos dos Hεεεεu. Como iHiHH

uH

uH ) ( µµµµµµµµσσσσσσσσ .= e jH

jHHuHuH ) ( µµµµµµµµεεεεεεεε . , resulta:

jHi

Hj

HH

uHiHH u

H2H ˆ) )( ( µµµµµµµµµµµµεεεεµµµµσσσσ ..H = , (i,j=1,2, ..., G).

A matriz mista associada a 2HH em relação às bases H-ádicas recíprocas é, então:

) )( (...) )( () )( (

............

) )( (...) )( () )( (

) )( (...) )( ())( (

GHH

uHGHH

uH

2HH

uHGHH

uH

1HH

uHGHH

uH

GHH

uH2HH

uH

2HH

uH2HH

uH

1HH

uH2HH

uH

GHH

uH1HH

uH

2HH

uH1HH

uH

1HH

uH1HH

uH

µµµµεεεεµµµµσσσσµµµµεεεεµµµµσσσσµµµµεεεεµµµµσσσσ

µµµµεεεεµµµµσσσσµµµµεεεεµµµµσσσσµµµµεεεεµµµµσσσσµµµµεεεεµµµµσσσσµµµµεεεεµµµµσσσσµµµµεεεεµµµµσσσσ

......

......

......

na expressão de cada um de seus elementos estando estabelecida uma soma em u. Essa matriz pode ser fatorada no produto das matrizes quadradas

GHHG

HGHH2

HGHH1

H

2HHG

H2HH2

H2HH1

H

1HHG

H1HH2

H1HH1

H

...

............

...

...

µµµµσσσσµµµµσσσσµµµµσσσσ

µµµµσσσσµµµµσσσσµµµµσσσσµµµµσσσσµµµµσσσσµµµµσσσσ

. . .

. . .

. . .

e

GHHGH

2HHGH

1HHGH

GHH2H

2HH2H

1HH2H

GHH1H

2HH1H

1HH1H

...

............

...

...

.



. . .

. . .

. . .

.


IV,§ 09.06

Então, sinteticamente,

[2HH**]=[HΣ*

*].[HE**],

as matrizes fatores tendo representação evidente: a i-ésima coluna de [HΣ*

*] é formada com as coordenadas contravariantes de Hσσσσi e a j-ésima linha [HE*

*] com as coordenadas covariantes de Hεεεεj. Voltaremos a esse assunto no §19 deste capítulo para uma aplicação em Elasticidade.

Equações poliádicas. Consideremos a expressão poliádica 1 HHH =ρρρραααα . em que Hαααα é um poliádico

constante e Hρρρρ um poliádico variável no HEG. Esta expressão é uma equação poliádica uma vez que apenas certo conjunto de H-ádicos a satisfaz. Para H=2 esta equação já é nossa conhecida (§ 16.03, II), podendo representar uma reta para G=2, um plano para G=3, um 3-espaço para G=4 etc..

Vamos dar inicialmente uma expressão cartesiana à equação. Uma base no espaço HEG pode ser imaginada como as suas correspondentes no espaço dos vetores e diádicos, ou seja, como um conjunto de G H-ádicos independentes (§ 09.01) cujas H-flechas estejam todas aplicadas num mesmo ponto arbitrário do espaço, ou ponto origem. Se, em relação a essa base, Hαααα tem G coordenadas (A, B, C, ..., L) e, na base H-ádica recíproca (§ 09.02), Hρρρρ tem (G) coordenadas X,Y,Z, ..., W, então a equação cartesiana correspondente a

1 HHH =ρρρραααα . (de um (G-1)-espaço) é 1LW ... CZBYAX =++++ . Essa equação é tão

válida do ponto de vista algébrico quanto a do plano (em três dimensões) no espaço dos vetores, ou do plano no espaço diádico. Diríamos que X,Y,Z, ...,W são números que, para o dado conjunto A,B,C, ...,L, satisfazem perfeitamente a referida equação.

Por outro lado, o conceito de módulo de um poliádico e a desigualdade de Schwarz entre dois poliádicos - com os quais comprovamos a existência de um ângulo definido por esses poliádicos (§ 06.06) - permite dar uma interpretação geométrica à equação

1 HHH =ρρρραααα . tal como a sua correspondente dos vetores e diádicos. Uma infinidade de H-

flechas satisfaz a equação, todas elas sendo paralelas ao (ou contidas no) subespaço ortogonal a Hαααα, subespaço esse tal, que a origem esteja distante dele de um comprimento d igual ao inverso do módulo de Hαααα. Como, agora, G ≤ NH, a referida equação pode ter alguns significados. Se G=2 a equação é a da reta ortogonal ao H-ádico fixo Hαααα à distância d da origem; se for G=3, a equação é de um plano ortogonal a Hαααα à distância d da origem; se for G=4, a equação é a do 3-espaço ortogonal a Hαααα à distância d da origem etc..

É fácil, também, justificar que a equação 1ˆ ˆ HH

H =ρρρρρρρρ . , em que ρρρρH é um poliádico

unitário variável cuja H-flecha tem origem aplicada num ponto arbitrário do espaço (com até 3H dimensões se esses poliádicos são gerados do E3), representa uma superfície esférica de raio unitário e centro naquele ponto. Já vimos que a equação 1ˆˆ =r..r φφφφ representa, no espaço tridimensional (bidimensional) dos vetores, uma quádrica (cônica) centrada na origem comum dos vetores



unitários variáveis r , podendo ser, pois, um (uma) elipsóide (elipse) ou um (uma) hiperbolóide (hipérbole). Na oportunidade (§ 09.07, II) não conseguimos estender outros conceitos ao espaço diádico por falta dos recursos algébricos ora adquiridos. Assim,

1ˆ ˆ HH

2HH

H =ρρρρφφφφρρρρ .. representa um hiperquádrica centrada num espaço de NH dimensões,

ou uma hipercônica centrada, em subespaços. Para H=2 a citada equação é a das quádricas fechadas no espaço diádico. Esse assunto pode ser mais bem desenvolvido, mas não o faremos aqui.

Simplex e baricentros No espaço dos poliádicos, os simplex são definidos tal como no espaço diádico; seus elementos: vértices, lados, faces, 3-espaços, 4-espaços etc., bem como o conceito de baricentro, aparecem da mesma forma. Assim, todas as propriedades estabelecidas para os simplex e a grande multiplicidade de baricentros no espaço diádico são igualmente válidas no espaço poliádico. Vamos nos dispensar dessa penosa tarefa.

Trigonometria Plana e Esférica do espaço poliádico. Calculando a norma de ββββααααφφφφ HHH += temos:

),cos(||||2|||||||||||| HHHHHHH ββββααααββββααααββββααααφφφφ ++= ,

ou melhor,

),cos(||||2|||||| HHHH2H2H2H ββββααααββββααααββββααααφφφφ ++= .

Vemos, assim, que os H-ádicos são somados geometricamente como os vetores, ou seja, no espaço poliádico a soma de duas poliflechas pode ser representada graficamente pela regra do paralelogramo, mas não dispomos de recursos geométricos para a resolução gráfica desse problema quando o espaço tem dimensão maior que três.

Na expressão acima reconhecemos uma generalização da “fórmula de Carnot” da Trigonometria Plana. Na verdade, todas as fórmulas da Trigonometria Plana são válidas no espaço poliádico. E muito mais: sobre a superfície esférica do espaço poliádico de dimensão G existem “subespaços esféricos” de dimensão G-J (J=1,2, 3, ...,G) cuja trigonometria pode também ser desenvolvida via a álgebra dos poliádicos. Isto é, cada conjunto de j pontos

(0<j<NH) da superfície esférica 1 HH

H =ρρρρρρρρ . - e existem jNHC deles – define com o centro

dessa superfície um HEj que tem em comum com ela um JNH

HE − ; estes jNHC subespaços

JNH

HE − são “os JNH

HE − do triângulo esférico”. Esse assunto poderá ser desenvolvido em

maior extensão.

Projeções no espaço dos 2H-adicos. 2H-adicos menores.

Vimos (§ 15,II) como são feitas as projeções de diádicos sobre um subespaço paralelamente a outro subespaço e como se apresentam as matrizes associadas a essas projeções, conhecida a matriz associada ao diádico. As projeções dos 2H-adicos podem ser feitas de modo inteiramente análogo.


IV,§ 09.06

Vamos induzir o processo de generalização de conceitos a partir da consideração dos tetrádicos (H=2). Consideremos a representação 9-nomial i

i4 εεεεααααφφφφ= com i=1,2,...,9 em

relação à base diádica εεεε* e a correspondente cartesiana, em relação à base vetorial e*, vt

srrs tv

4 A eeee=φφφφ em que, sendo srrsii A ee=αααα e vt

itvi E ee=εεεε , a matriz associada a 4φφφφ

em relação à base vetorial e* é itvrsirs

tv EAA = , com r,s,t,v=1,2,3. Em forma matricial

escrevemos:

[ ]

=∗∗∗∗

933913912911

412411

313312311

233221213212211

133121113112111

339332331

219212211

139132131

129124123122121

119114113112111

E......EEE

..................

EE

...EEE

E...EEEE

E...EEEE

.

A......AA

............

A......AA

A...AA

A...AAAA

A...AAAA

A .

Essas matrizes 9x9 podem ser imaginadas subdivididas em nove submatrizes 3x3 cada uma. Na matriz multiplicando o primeiro índice das coordenadas representa a ordem do bloco horizontal dentro da matriz e o segundo, a ordem da linha dentro desse bloco. Na matriz multiplicadora o segundo índice representa a ordem do bloco vertical dentro da matriz e o terceiro a ordem da coluna dentro do bloco.

Para que a matriz [A]**** tenha elementos nulos na s-esima linha do seu r-esimo

bloco horizontal (ou na v-esima coluna do seu t-esimo bloco vertical) é necessário que a matriz multiplicando (multiplicadora) tenha apenas zeros na s-esima linha do seu r-esimo bloco horizontal (na v-esima coluna do seu t-esimo bloco vertical). Em relação ao sistema global, essa matriz é a matriz associada ao tetrádico projeção de 4φφφφ paralelamente ao subespaço cuja tétrade local de base tem por antecedentes eres e conseqüentes etev, sobre o subespaço complementar que tem 81-9=72 dimensões. Para que a matriz [A]**

** tenha elementos nulos na s-esima linha do seu r-esimo bloco horizontal e na v-esima coluna do seu t-esimo bloco vertical é suficiente que as matrizes multiplicando e multiplicadora tenham, respectivamente, a s-esima linha do seu r-esimo bloco horizontal e a sua v-esima coluna do seu t-esimo bloco vertical simultaneamente nulas. Em relação ao sistema global, essa matriz é a matriz associada ao tetrádico projeção de 4φφφφ paralelamente ao subespaço cujos índices das tétrades locais de base se iniciem por eres e os que se findem por etev, sobre o subespaço complementar que tem 81-17=64 dimensões; esse tetrádico pertence a um 4E64. Se fizermos a projeção de 4φφφφ paralelamente ao subespaço cujas tétrades locais de base iniciem por eres ou er'es' e terminem por etev ou et'ev', sobre o subespaço complementar que tem 81-17-15=49 dimensões, obteremos um tetrádico de um 4E49; e assim sucessivamente até obtermos os tetrádicos em subespaços com 81- 17-15-13-...-3=1 dimensão, isto é tetrádicos de 4E1. Vê-se, assim, que as matrizes (quadradas) associadas aos tetrádicos projeção de um tetrádico dado – ou seja, as projeções desse tetrádico paralelamente a certo j-espaço, sobre o (k=81-j)-espaço complementar - são formadas como se formam os menores de um



determinante. As matrizes associadas aos tetrádicos do 4E64 têm por determinante os menores do grau 8 extraídos da matriz associada ao tetrádico, e são tantos quantos são as combinações de 9 objetos tomadas um a um, C9

1=9; as matrizes associadas aos tetrádicos do 4E49 são do grau 7, em número de C9

2=36 etc.. Por isso mesmo denominaremos esses tetrádicos de "tetrádicos menores" do tetrádico dado; existem em número total de 29-1=511. Os tetrádicos menores correspondentes a tétrades (ou grupo de tétrades) com pares de índices repetidos na mesma seqüência (e1e3e1e3, e3e2e3e2, e1e1e1e1 etc.) serão denominados "tetrádicos menores diagonais".

As considerações até aqui feitas à partir de todo o espaço dos tetrádicos (de 81 dimensões) são válidas também à partir de um G-espaço tetrádico qualquer (dentre os já considerados), com G≤81. Na prática trabalha-se mais freqüentemente com os subespaços de dimensões 82=64, 72=49, ..22=4 e 12=1.

O caminho para a generalização é bem visível. Consideremos a representação 3H-nomial z

HzH2H εεεεααααφφφφ= com z=1,2,...,3H na base H-adica Hεεεε* e a correspondente

cartesiana, na base vetorial e*, wvumji

m ... ijuv...w

2H ......A eeeeee=φφφφ (com 2 grupos de H

índices) em que, sendo kjiij...kzzH ...A eee=αααα e wvu

zuv...wzH ...E eee=εεεε , a matriz associada

a 2Hφφφφ na base vetorial e* tem elemento genérico zuv...wij...kzij...k

uv...w EAA = , com

i,j,...k,u,v,...,w=1,2,3. Em vista da somatória em z, essa matriz é o produto de duas matrizes 3Hx3H, cujos elementos são definidos por H+1 índices. Essas matrizes 3Hx3H podem ser subdivididas em 9 submatrizes 3H-1x3H-1 cada uma. Na matriz multiplicando o primeiro índice das coordenadas representa a ordem do bloco primário horizontal (de 3H-1 linhas) dentro da matriz; o segundo, a ordem de um bloco secundário de 3H-2 linhas dentro do bloco primário etc.; o último índice representará a ordem da linha dentro do bloco de ordem 3H com apenas uma linha. Na matriz multiplicadora o segundo índice representa a ordem do bloco primário vertical dentro da matriz (com 3H-1 colunas); o terceiro, a ordem de um bloco secundário de 3H-2 colunas dentro do bloco primário etc., o último índice representando a ordem da coluna dentro do bloco de ordem 3H-1 com apenas uma coluna. Isto é equivalente a subdividir a matriz em 9 blocos, cada bloco em nove outros blocos, cada um destes em outros nove e assim por diante até que os blocos sejam constituídos por um único elemento.

Para que uma linha da matriz [A]**...***...* seja constituída apenas por zeros, basta que

a linha correspondente da [A]**...* seja constituída de zeros; o mesmo se dando com a matriz E**...* se se pretende que uma coluna da matriz [A]**...*

**...* seja constituída apenas por zeros. Em relação ao sistema global, a matriz do primeiro caso é a matriz associada ao tetrádico projeção de 2Hφφφφ paralelamente ao subespaço cuja tétrade local de base inicie-se por

kji ...eee , sobre o subespaço complementar que tem 32H-3H dimensões. Podem ser feitas as

mesmas considerações em relação à matriz do segundo caso.

Para que a matriz [A]**...***...* tenha elementos nulos em toda uma linha e em toda

uma coluna é suficiente que as matrizes multiplicando e multiplicadora tenham, respectivamente, a linha e a coluna correspondentes com elementos todos nulos. Em relação ao sistema global, essa matriz é a matriz associada ao tetrádico projeção de 4φφφφ paralelamente ao subespaço cujos H primeiros índices das 2H-ades locais de base iniciem-

120 § 10 - Invariantes dos poliádicos.

IV,§ 10.01

se com os índices da linha considerada de [A]**...* ; e os H últimos índices com os índices correspondentes da coluna de E**...* , sobre o subespaço complementar que tem 32H-3H-3H-

1=32H-2x3H-1 dimensões. Os 2H-adicos assim obtidos pertencem a algum 132H

HE − . Se

fizermos a projeção de 4φφφφ paralelamente ao subespaço cujas 2H-ades locais de base iniciem-se por eiej ... ek ou ei'ej' ...ek' e findem-se por euev...ew ou eu'ev'...ew', sobre o subespaço

complementar que tem 32H-4x3H-4 dimensões, obteremos 2H-adicos de algum 232H

HE − ; e

assim sucessivamente até obtermos os 2H-adicos dos 12H E .

Pelas mesmas razões expostas para o caso dos tetrádicos, os poliádicos projeção serão denominados "poliádicos menores", dentre os quais se destacam os "poliádicos menores diagonais".

§10 - INVARIANTES DOS POLIÁDICOS.

§ 10.01 - Invariância do escalar, do Q-vec e do cruzado de um 2Q-ádico.

Consideremos a seguinte escrita arbitrária de um 2Q-ádico,

44 344 2143421fatores Qfatores 1Q

ml

ji

mlim j m j

l ... i l ... i2Q

... ... 1

11

111

11

−

= zysrqpbaφφφφ, i, j, ... = 1, 2, ..., S, (01),

onde S é um número finito positivo qualquer. Temos, pois, no segundo membro de (01), S2Q parcelas 2Q-ades. Lembrando ((05),§08.02), o produto múltiplo misto (Q+Q)-plo de 2Qφφφφ pelo 2Q-ádico unidade, isto é,

ΙΙΙΙφφφφ 2Q2Q Q Q.

×, com

2Qr

sk

t rs

kt

Q fatores Q fatores

... ΙΙΙΙ = e f g h e f g h...1 24 34 1 244 344 ,

é o cruzado de 2Qφφφφ (§08.02), 2QφφφφV, sendo, no caso,

444444 3444444 21

444444444 3444444444 21

fatores Q

tmk

lsjr

i

fatores Q

tmk

lsirm j m j

l ... i l ... i2Q2Q

V2Q

),)(( ... ))((

))(( ... ) )((

1

1

1

1

11

11

Q Q

.hz.gy.fs.er

hqgpfbea ××××== •×

ΙΙΙΙφφφφφφφφ

(02).

Acoplando convenientemente os Q produtos ponteados aos Q produtos cruzados e destacando fatores, vem:

)],([ )]([ ....

... )]( [ )]([

1

1

1

111

11

mt

tml

kk

l

js

sii

rrm j m j

l ... i l ... iV2Q

.zhhq.yggp

.sffb.reea

××

××=φφφφ

§ 10.01 - Invariância do escalar e do cruzado de um 2Q-ádico. 121


ou melhor,

))(( ... ) )(( 1

1

1

111

11m

mllj

iim j m j l ... i l ... iV

2Q zqypsbra ××××=φφφφ , (03).

Como também podemos escrever o 2Q-ádico unidade permutando o grupo dos conseqüentes com o grupo dos antecedentes, resulta:

Q2Q2QQQ2Q2Q2Q2QV

2Q (-1) Q

Q

Q

Q

Q

Q

φφφφΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙΙΙΙΙφφφφφφφφ •••×××

===r

, (04).

Teor. 1: (invariância) São invariantes o ponteado, o Q-vetor e o cruzado de um 2Q-ádico.

Podemos representar os Q conseqüentes do 2Q-ádico (01), em relação a Q sistemas recíprocos e*, e*, f*, f*, ... , nas formas:

z z .h h y y .g g s s . f f r r . e em m q

q l l pp j j s

s i i rr

1 1

1 1

1 1

1 1 ... , = = = =( ) , ( ) ( ) ( ) , (A),

e todos os seus antecedentes, excetuado o primeiro, nas formas

q q .h h p p .g g b b . f fm m q

q l l p

p i i s

s1

1 1

1 1

1

... = = =( ) , ( ) ( ) , (B).

Então, uma escrita vetorial arbitrária do poliádico é

2Q ... p s ... q

s q r p

sp

q rr

pq

Q fatores

1

1 1

1

1

1 ... ... φφφφ = v f g h e f g h

1 244 344 , (C),

sendo

v ... p s ... q

s q r p

1

1 1 =

( )

( ) )

...

( (

... )

i ... l i ... l

j m j m

r

i

i s

s j

l pp l

m q

q m

1 1

1 1 1

1

1

1

1

1

1

(

(

) )

( ( ),

a e .r

b .f f .s

p .g g .y

q .h h .z

(D).

Calculando o produto misto (Q + Q)-plo de 2Qφφφφ, dado por (C), pelo 2Q-ádico unidade, encontramos:

))(( ... ) )( ( qqp

prsr

pr q sq ... s p ... V

2Q

1

1

1

11

1hhggffev ××××=′φφφφ , (031).

Se esse produto for um invariante, isto é, se independer das formas pelas quais se possam escrever os 2Q-ádicos fatores, os primeiros membros de (03) e (031) deverão ser iguais; e

122 §10 - Invariantes dos poliádicos.

IV,§ 10.02

de fato são. Calculando-se o primeiro antecedente do produto misto múltiplo pela expressão (D), substituindo-se o resultado em (031) e destacando-se os vetores fatores, vem:

)],()[])([( )])([])([( ...

... )]([ ])( [( )]([(

11

111

1

11

1111

11

mqq

qqmlp

pp

pl

jss

ssiir

rm j m j

l ... i l ... iV2Q

.zhhh.hq.yggg.gp

.sfff.fb.reea

××

××=′φφφφ

ou seja, lembrando as expressões (A) e (B):

).)(( ... ) )((1

1

1

111

11m

mllj

iim j m j l ... i l ... iV

2Q zqypsbra ××××=′φφφφ

A comparação dessa expressão com (03), confirma a nossa assertiva relativamente à invariância do produto misto múltiplo do poliádico 2Qφφφφ por 2QΙΙΙΙ, logo de 2QφφφφV.

O caminho para a demonstração da invariância do escalar do poliádico é, agora, evidente, uma vez que a simples substituição do sinal de multiplicação cruzada pelo sinal de multiplicação ponteada não altera o raciocínio exposto. É evidente ainda que o cruzado do 2Q-ádico qualquer 2Qφφφφ é um invariante. De fato, a parte anti-simétrica desse 2Q-ádico independe, obviamente, de qualquer representação G-nomial (=2QφφφφT-2Qφφφφ); e ((02),§09.04) mostra que o produto cruzado duplo <Qρρρρ<2Qφφφφ>> é um Q-ádico único, porque 2Qφφφφant transforma o Q-ádico qualquer Qρρρρ em Q-ádicos iguais.

§ 10.02 - Invariantes primários

Da tríade 3φφφφ = abc podemos obter duas díades, dois vetores e um número, assim especificados, representados e denominados:

- Díades:

bca×=1

V3φφφφ , primeira díade,

cab×=2

V3φφφφ , segunda díade;

- Vetores:

bca •=1

E3φφφφ , primeiro vetor,

cab •=2

E3φφφφ , segundo vetor;

- Escalar: 3

(1)φφφφ = ( )abc , primeiro escalar.

*

Exercício: Comprovar que:

2E33 ) ( ψψψψΙΙΙΙψψψψ ×−=× aa: e

2E33 ) ( ψψψψΙΙΙΙψψψψ a..a: −= .

*

§ 10.02 - Invariantes primários. 123


Analogamente, para a tétrade 4 φφφφ = abcd, temos:

- Tríades:

bcda×=1

V4 φφφφ , primeira tríade,

cdab×=2

V4 φφφφ , segunda tríade,

dabc×=3

V4 φφφφ , terceira tríade;

- Díades:

bcda •=1

E4 φφφφ , primeira díade,

cdab •=2

E4 φφφφ , segunda díade,

dabc•=3

E4 φφφφ , terceira díade;

- Vetores: 4

(1)4

V E4

V E

1 1 2 1

φφφφ φφφφ φφφφ= = =( )abc d , primeiro vetor,

4(2)

4V E

4V E

2 2 3 2

φφφφ φφφφ φφφφ= = =a bcd( ) , segundo vetor.

Esses vetores, díades, tríades etc. assim obtidos serão denominados primários para distingui-los de outros similares existentes que receberão outras denominações. Essas denominações, notações e conceitos podem ser estendidos para uma Q-ade qualquer, como, também, para Q-ádicos.

Representando uma Q-ade, cujo P-ésimo antecedente seja o vetor n, por

↑

=

eantecedent esimo-P

, ... ... Q xyzlmnrstabcdφφφφ

a P-ésima (Q - 1)-ade de Q φφφφ é xyzstrnjmabcd ... )( ... P

VQ ×=φφφφ . Analogamente, a P-ésima

(Q - 2)-ade de Q φφφφ será: QE

P

... ... φφφφ = abcd lm n. r st xyz( ) ; e a P-ésima (Q - 3)-ade

Q(P)

... ... φφφφ = abcd lm nrs t xyz( ) .

Assim, uma Q-ade tem Q-1 políades de valência (Q-1), Q-1 políades de valência (Q-2) e Q-2 políades de valência (Q-3), todas denominadas, também, primárias ; as mesmas quantidades de poliádicos existem para Q-ádicos e a eles estendemos as mesmas denominações. Então, um Q-ádico tem 3Q-4 poliádicos primários cujas valências são, no mínimo, igual a Q-3.


IV,§ 10.02

Teor. 2: O P-ésimo poliádico primário de uma combinação linear de poliádicos é a combinação linear correspondente dos P-ésimos poliádicos primários dos poliádicos da combinação:

(A + B ) A + B Q Q

VQ

VQ

VP P P

φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ= , (01),

(A + B ) A + B Q QE

QE

QE

P P P

φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ= , (011),

(( )

A + B ) A + B Q Q(P)

QP

Q(P)

φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ= , (012).

Com efeito, pois sendo sempre possível escrever vetorialmente os Q-ádicos Q Q e φφφφ ψψψψ em termos dos mesmos Q-1 sistemas recíprocos ((01), § 03.03), temos:

Q j ... r vi k ... s ... u

ij r

s uv ... ... φφφφ = a e f n m g h ,

... ... Q

j ... r vi k ... s ... u

ij r

s uv ψψψψ = b e f n m g h

e

A + B A + B ) ... ... Q Q j ... r vi k ... s ... u

j ... r vi k ... s ... u

ij r

s uv φφφφ ψψψψ = ( a b e f n m g h .

Logo:

=×= vus

rji

u ... s ...k i vr ... j

u ... s ...k i vr ... j V

QQ ... ... ) B+A ()B +A (P

hgmnfebaψψψψφφφφ

=×

×=

vus

rji

u ... s ...k i vr ... j

vus

rji

u ... s ...k i vr ... j

... ... B+

+ ... ... A

hgmnfeb

hgmnfea

A + B QV

QV

P P

= φφφφ ψψψψ .

Analogamente podem ser demonstradas as demais fórmulas.

Corol. 1: As operações de cálculo de invariantes primários são lineares.

Teor. 3: (invariância) São invariantes todos os 3Q-4 poliádicos primários de um Q-ádico.

Consideremos o poliádico qualquer, Q φφφφ , definido por, digamos, S poliádicos Q 1 i− αααα de valência Q-1 e S vetores vi:

Q Q ii

i Sφφφφ αααα= =−1 1v ,2, ... , , (A).



O seu P-ésimo (Q-1)-ádico primário é

QV

Q Vi

iP P

se P < Q 1φφφφ αααα= −−1 v , (A'),

ou

i

i

1QV

Q

Pv×= − ααααφφφφ se P=Q-1, (A"),

Reduzindo esse mesmo poliádico a uma forma (Q-1)-nomial de que os conseqüentes sejam os vetores de base g* de EN, isto é,

Q Q kk

k Nφφφφ ββββ= =−1 1g ,2, ... , , (B),

o seu P-ésimo (Q - 1)-ádico primário é

QV

Q Vk

kP P

se P < Q 1φφφφ ββββ′ = −−1 g , (B'),

ou

1QP se k

k

1QV

Q

P−=×=′ − gββββφφφφ , (B"),

Ora, em relação aos sistemas recíprocos g* e g* podemos escrever:

v v .g gi i

kk i 1, 2, ... , S e k 1, 2, ... , N= = =( ) ;

então, Q Q i

ik

k i S; k 1, 2, ... , Nφφφφ αααα= = =−1 1( ) ,2, ... ,v .g g , (C).

De (B) e (C), lembrando o Teor.1, § 05, resulta:

Q 1 k Q ii

k − −=ββββ αααα1 ( )v .g , (D),

isto é, o poliádico Q k−1 ββββ é uma combinação linear dos S poliádicos Q i−1αααα . Pelo Teor. 1, Q 1

Vk Q

Vi

ik

P P

− −=ββββ αααα1 ( )v .g , ou seja, multiplicando diretamente ambos os membros por gk

e somando em k: Q 1 Vk

kQ

Vi

iP P

− −=ββββ ααααg v1 . Então, considerando-se (A') e (B'), resulta:

QV

QV

P P

φφφφ φφφφ= ′ , isto é, se P<Q-1 o P-ésimo (Q-1)-ádico de Q φφφφ independe da forma sob a

qual este se apresente, sendo, pois, um invariante. Se multiplicarmos vetorialmente ambos os membros de (D) por gk, se somarmos em k e agruparmos convenientemente no segundo membro, teremos:

])[( k

ki

i1Qk

k1Q g.gvg ×=× −− ααααββββ ,

ou seja, observando que dentro dos colchetes temos vi:

ii1Q

kk1Q vg ×=× −− ααααββββ .


IV,§ 10.02

Então, considerando (A") e (B"), concluímos que o mesmo resultado anteriormente obtido vale também para P = Q-1. Às mesmas conclusões poderíamos chegar, com o raciocínio exposto, se em vez de calcular o P-ésimo (Q-1)-ádico de Q φφφφ , calculássemos o seu P-ésimo (Q-2)-ádico. Consideremos agora, em EN, as duas escritas vetoriais arbitrárias seguintes de um poliádico Q φφφφ :

Q j ... r t ... i k ... s

ij

kr

st ... ... i, j, ... 1, 2, ... , Nφφφφ = =v a b c l m n , (E),

Q j ... r t ...

i k ... s

ij

kr

st

1 11 1 1

1 1 1

1

1

1

1

1

1 ... ... i , j 1, 2, ... , Nφφφφ = =w a b c l m n , ... , (F).

Se os vetores 1rr e ll ocupam os postos de ordem P, então o P-ésimo (Q-3)-ádico de Q φφφφ , calculado por (E), é

Q(P) j ... r t ...

i k ... s i

jk

rs

t ... ( ) ... i, j, ... 1, 2, ... , Nφφφφ = =v a b c l m n , (E'),

e calculado por (F),

Q(P) j ... r t ...

i k ... s

ij

kr

st

1 11 1 1

1 1 1

1

1

1

1

1

1 ... ( ) ... i , j 1, 2, ... , Nφφφφ ′ = =w a b c l m n , ... .

Ora,

a a .a a b b .b bi i

ii

j jj

j

1 1

1 1 ...= =( ) , ( ) , (F');

então, de (E) e (F) deduzimos, aplicando o Teor. 3, § 05:

v j ... r t ... i k ... s = w a .a b .b

j ... r t ...

i k ... s

i

i jj

1 1 1

1 1 1

1

1 ( ... )( ) , (G).

Assim, alocando-se os escalares convenientemente, levando-se (G) a (E'), tem-se:

Q(P)

φφφφ = w j ... r t ...

i k ... s

1 1 1

1 1 1 ( ) ( )a .a a b .b bi

ii

jj

j

1

1 ...

... ( ) ... rr s

s tt

rs

t1

1

1l . l m .m n .n l m n( )( )( )

Agora, reconsiderando-se as igualdades (F') e observando-se que

( ) ( )rs

t rr s

s tt

rs

t1

1

1 1

1

1l m n l . l m .m n .n l m n= ( )( )( ) ,

concluímos que Q(P)

Q(P)

φφφφ φφφφ= ′ , isto é, o P-ésimo (Q-3)-ádico de um poliádico pode ser

calculado por qualquer uma de suas escritas vetoriais, sendo, pois, um invariante.



Corol. 1: Se dois poliádicos são iguais, iguais são os seus invariantes primários correspondentes. Corol. 2: São invariantes os poliádicos primários dos isômeros de dado poliádico.

Pois cada isômero é um poliádico que, por isso mesmo, apresenta poliádicos primários invariantes. É evidente que muitos dos invariantes primários dos isômeros de um poliádico são

idênticos aos seus próprios invariantes. Por exemplo: se ,jii

j 3 cba=φφφφ então,

3φφφφ φφφφ φφφφr r1 j

ji 3

E3

E1 e

2 1

= =b c ai

, mas 3 1φφφφ φφφφr r1

V3

E2 2 e não se identificam com nenhum

dos invariantes primários de 3φφφφ .

Teor. 4: (quantidade de invariantes primários) Os poliádicos primários invariantes, distintos, de um Q-ádico e seus isômeros (Q≥2) são em número de:

1º) - A Q!QQ 1− = , de valência (Q-1), opostos (aos pares) e formam

2Q

C2 conjuntos de (Q-1)! isômeros;

2°) - A Q!QQ 2− = 1

2, de valência (Q-2) e formam C

Q2 conjuntos de (Q-

2)! isômeros;

3°) - Q!61

A 3QQ

=− , opostos (aos pares), de valência (Q-3) para Q≥3.

Com efeito, um Q-ádico tem Q! isômeros. Como cada isômero tem (Q-1) postos (para a formação de invariantes), forma-se um total de Q!(Q-1) poliádicos primários invariantes de valências Q-1. Mas, como a cada (Q-1)-ádico primário corresponde um

oposto (por inversão das letras do produto cruzado), tem-se 12

Q (Q 1)! − poliádicos opostos

de valências (Q-1). Como a dado par de vetores em produto vetorial (em certa ordem) corresponde (Q-1)! isômeros distintos, no máximo, existirão 2CQ

2 conjuntos de poliádicos

isômeros de valências Q-1. Como a multiplicação ponteada é comutativa, com pares de

vetores podemos formar CQ2 conjuntos distintos (uma vez que estes diferem pela natureza),

a cada conjunto correspondendo tantos (Q-2)-ádicos quantas são as permutações das (Q-2) outras letras. Então, o total de (Q-2)-ádicos distintos obtidos é C P

Q

2

Q 2×

−, ou seja16, A

Q

Q 2− .

Com as permutações cíclicas e anticíclicas das letras de um produto misto, obtemos

16 Na Análise Combinatória são clássicas as fórmulas:

pnn

pn

pnp

pn CC e APC −==× .


IV,§ 10.02

apenas um par de números opostos. Com Q letras podem ser formados CQ3 produtos mistos

e com cada produto misto obter PQ 3− (permutações de Q-3) poliádicos opostos de valências

(Q-3); ou seja, pelos mesmos motivos anteriormente expostos, com 3 letras dentre Q, podemos obter C P = A

Q

3

Q 3 Q

Q 3×−

− pares de (Q-3)-ádicos opostos.

Notas: 1ª) - As tríades isômeras têm 3 vetores invariantes diferentes (um paralelo ao seu antecedente, outro ao seu mediano e outro ao seu conseqüente) e 12 díades invariantes (3 pares de díades opostas e 3 pares de transpostas). As tétrades isômeras têm 4 pares de vetores opostos (cada par paralelo a um vetor de sua escrita vetorial), 6 pares de díades transpostas (cada díade formada com um par de vetores de sua escrita vetorial) e 12 conjuntos de 6 tríades isômeras, ou 36 pares de tríades opostas. 2ª) - Os triádicos isômeros têm: 3 vetores invariantes distintos, cada um sendo uma combinação linear dos seus antecedentes, dos seus medianos e dos seus conseqüentes; tem também 12 diádicos invariantes ... . Os tetrádicos isômeros têm 4 pares de vetores invariantes, opostos, distintos, cada par sendo uma combinação linear dos seus primeiros antecedentes, dos seus segundos antecedentes, dos seus primeiros conseqüentes e dos seus segundos conseqüentes; têm também 12 conjuntos de diádicos ... .

* Exercícios: Comprovar que, para vetores, diádicos e poliádicos quaisquer: 1) - para os vetores, vrvr . ×=× )( ΙΙΙΙ ; para os diádicos ψψψψφφφφψψψψΙΙΙΙφφφφ ×=× .)( .

2) - para os vetores, rr 2)(V

−=× ΙΙΙΙ ; para os poliádicos:

φφφφΙΙΙΙφφφφ PV

P 2)(1P

−=×−

, (02);

3) - para os diádicos V

T φφφφΙΙΙΙφφφφφφφφ ×=− ; para os poliádicos, ∀ Pφφφφ :

1

2V

PP1P φφφφΙΙΙΙφφφφφφφφ ×=−r

, ΙΙΙΙφφφφφφφφφφφφ 2

2V

PP1P ×=−s

,

1V

PP1P φφφφΙΙΙΙφφφφφφφφ ×=−rs

, ΙΙΙΙφφφφφφφφφφφφ ×=−−2

VP1PP sss

, (03);

4) - para os diádicos ΙΙΙΙφφφφφφφφΙΙΙΙφφφφ ET +−=×

× ; para os poliádicos:

ΙΙΙΙφφφφφφφφΙΙΙΙφφφφ1P

2E

P1PP + −

−=××

s

, 1

2E

P1PP + φφφφΙΙΙΙφφφφφφφφΙΙΙΙv

−=×× , (04).

5) – são válidas as seguintes fórmulas

3

1

32

V42414 ) (

rrrs

φφφφΙΙΙΙφφφφφφφφ ×=− , (05);

3 3φφφφ φφφφ E

2

: ΙΙΙΙ = , ΙΙΙΙ E

1

: 3 3φφφφ φφφφ= , (06),

ΙΙΙΙφφφφφφφφΙΙΙΙφφφφ2

E3133 +

s

=−×× , (07),

4 ΙΙΙΙV V

1

: φφφφ φφφφ= , (08),

4 ΙΙΙΙ ΙΙΙΙE

2

= , (09),

§ 10.03 - Invariantes secundários. 129


4 4φφφφ φφφφ E

3

: ΙΙΙΙ = , ΙΙΙΙ E

1

: 4 4φφφφ φφφφ= (10),

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ 31

V4

V4 ×−== , (11),

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ 2)( )( =×× : , (12),

6)( )( 3

=×× ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ . , (13),

)()( 14142444V

4rsrsr

φφφφφφφφφφφφφφφφΙΙΙΙφφφφ +−+=×× , (14).

§ 10.03 - Invariantes secundários.

Por força do Teor.3, § 10.02 os invariantes primários de um poliádico qualquer são novos poliádicos; logo, estes também admitirão invariantes primários, aos quais denominaremos invariantes secundários do primeiro. Assim, por exemplo, o escalar e o vetor do primeiro diádico do triádico 3φφφφ = a b c

i ji j , são: j

ii

j VV3j

ii

j EV3 )( e

1111cba.cba ××=×= φφφφφφφφ , sendo, ainda, nesse caso

particular, 3φφφφ φφφφ

V E3

(1)1 1

= , (01),

e )( )( ji

ij

ij

jiVV

311

.cba.acb −=φφφφ , isto é,

3 3 3φφφφ φφφφ φφφφV V

1E E

1 1 2 2

= −r

, (02).

Com esse exemplo simples vê-se que os invariantes secundários de um poliádico podem constituir novos poliádicos invariantes; todos eles, entretanto, se expressarão como funções dos invariantes primários. Exemplos:

1) - O vetor do segundo diádico de 3 ji

ijφφφφ = a b c é

ji

ij

ij

ji

ji

ij VV

3 ) ()()(12

c.ba.acbcba −=××=φφφφ ,

donde 3 3 3φφφφ φφφφ φφφφ

V V E1

E2 1 2 1

= −r

, (03).

2) - O primeiro diádico do triádico k

ji

k ij V

4

1dcba ×=φφφφ , invariante do tetrádico

4 j i k

ij

kφφφφ = a b c d é

kj

ik i

j VV4 )(

11dcba ××=φφφφ pode ser escrito na forma:

4

V Vj

j i k

i k ij

j i k

k1 1

φφφφ = −( ) ( )c .a b d b .c a d .

130 § 10 - Invariantes dos poliádicos.

IV,§ 10.04

Mas, sendo

( ) ( )c .a b d b c .a dj j i k

i k ij

j i k

k4

E

1

2

3= = φφφφr

e ( ) ( )b .c a d a b .c di

j j i k

k j i k

ij

k4

E

2

= = φφφφ ,

resulta: 4

V V1 1

φφφφ = 4 E

2

2

3φφφφr

− 4E

2

φφφφ , (04).

Para 4 φφφφ = 4 ΙΙΙΙ , considerando-se (09), §10.02, tem-se, de (04):

4V V

1 1

ΙΙΙΙ = 4 E

2

2

3ΙΙΙΙr

− = 4E

2

ΙΙΙΙ I −ΙΙΙΙ =ΟΟΟΟ, (05).

§ 10.04 - Invariantes P-ários.

Os poliádicos de valência maior que três admitem, ainda, invariantes terciários,

quaternários etc. Assim, por exemplo, para o tetrádico 4 j i k

ij

kφφφφ = a b c d , temos:

kj

ik i

j V4

1dcba ×=φφφφ ,

kj

ik i

j VV4

21dcba ××=φφφφ

e

kj

ik i

j j

kik i

j kj

ik i

j VVV4 )()()()(

121dcbacdbadcba −=×××=φφφφ ,

ou melhor, 4

V V V4

(1)

1 4(1)

1 2 1

2 φφφφ φφφφ φφφφ= −s

.

Dezenas de fórmulas análogas às encontradas até aqui, envolvendo os invariantes de um poliádico e os invariantes de seus isômeros, poderiam ser deduzidas sem dificuldades, porém não sem algum trabalho. Com as indicações apresentadas, o leitor poderá encontrar aquela que possa lhe interessar mais de perto numa particular aplicação. Exercícios: Demonstrar as seguintes fórmulas:

111E

411E

4244E

4444 32

2

32

2) () (

srssrr

φφφφΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφ −+−=× , )( 21444s

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙααααΙΙΙΙΙΙΙΙαααα −= ××× ,

133EE

4EE

4T44 ) ( χχχχααααχχχχααααχχχχΙΙΙΙΙΙΙΙαααα +−=××× : ,

1T1V

411V

4TV

444444 )()( ) ( ) ( 2

2

2

2

srsrs

ααααββββββββααααββββααααααααΙΙΙΙββββΙΙΙΙββββαααα ×+×++= ×××

×× : ,

2E

2E

42E

2E

4E

442E

4E

444 )()() ()() ( 3

2

3

1

rr

φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ −−+=× : .

§ 11.01 - Caso geral. 131


§ 11 - POLIÁDICO COMPLETO. G-ÉSIMO DE UM POLIÁDICO.

§ 11.01 - Caso geral.

Consideremos o poliádico 2H αααα , de valência par, pertencente a um 2HEG (G≤N2H), escrito nas formas G-nomiais

2H H i Hi

Hi

H i Hi

H i H i Hi αααα αααα εεεε ββββ εεεε εεεε γγγγ εεεε δδδδ= = = = (i = 1, 2, ..., G), (01),

em que H H e εεεε εεεε∗

∗ são bases H-ádicas recíprocas (§ 09.02) geradas com vetores de EN.

Escrevemos, então, as relações evidentes:

2H H H

iH

iH

jH j

H H

iH

k H H

iH k ( ( αααα εεεε ββββ εεεε γγγγ εεεε δδδδ εεεε εεεε. . .= = =) ) (i, j, k = 1, 2, . G), (011),

das quais deduzimos, considerando as (01): ∀ = = =i, r, s ... ,G): e H

i H H r H r

H H

iH

i H H

sH

s H H

i1,2, ββββ εεεε γγγγ εεεε ββββ εεεε δδδδ εεεε. . . . , (02).

Fazendo-se i, r = 1, 2, ..., G na primeira das igualdades (02), resulta:

H H H 1 H

H H 2 H

H H G

H H H 1 H

H H 2 H

H H G

HG

H H 1 HG

H H 2 HG

H H G

... ... ...

...

ββββ εεεε ββββ εεεε ββββ εεεε



1 1 1

2 2 2

. . .

. . .

. . .

...

...

...=

... ... ...

...

H H H 1 H

H H 2 H

H H G

H H H 1 H

H H 2 H

H H G

HG

H H 1 HG

H H 2 HG

H H G

=

εεεε γγγγ εεεε γγγγ εεεε γγγγ



1 1 1

2 2 2

. . .

. . .

. . .

...

...

..., (021),

ou seja, conforme ((10), § 09.05):

(

( )( )

H1

H2

HG

H 1 H 2 H G

H1

H2

HG

H 1 H 2 H G

... )( ... )

... ...

ββββ ββββ ββββ εεεε εεεε εεεε

εεεε εεεε εεεε γγγγ γγγγ γγγγ

=

=, (022),

o que justifica exigir-se G≥3. Assim, 3≤G≤3H, ou N=3 porque H pode ser igual a 1.

132 § 11 - Poliádico completo. G-ésimo de um poliádico.

IV,§ 11.01

Analogamente, fazendo i, s = 1, 2, ..., G na segunda das equações (02) podemos montar um determinante, escrevê-lo na forma de um produto de produtos mistos e simplificar o fator comum ( ... ) H 1 H 2 H Gεεεε εεεε εεεε para obter:

( ( )H1

H2

HG

H1

H2

HG

... ) ... ββββ ββββ ββββ δδδδ δδδδ δδδδ= , (023).

Como temos, também:

2H H H i H i H

jH j

H H i H k H

k H H i ( ( αααα εεεε αααα εεεε γγγγ εεεε εεεε γγγγ εεεε. . .= = =) ) (i, j, k = 1, 2, . G),

deduzimos, analogamente aos casos anteriores:

∀ =

= =

i, r, s ...,G):

e H i H H r H r

H H i H i

H H

rH

r H H i

12, ,

αααα εεεε γγγγ εεεε αααα εεεε δδδδ εεεε. . . .

, (03).

Então:

( ... ) ... H 1 H 2 H G H 1 H 2 H Gαααα αααα αααα γγγγ γγγγ γγγγ= ( ) , (031). e

( ... ) ...

... ... )

H 1 H 2 H G H1

H2

HG

H 1 H 2 H G H1

H2

HG


εεεε εεεε εεεε δδδδ δδδδ δδδδ

( )

( )(

=

= (032).

De (01), considerando-se (022), (023), (031) e (032) resulta demonstrado o seguinte

Teor. 1: Para todo poliádico 2H αααα de um G

2H E (3≤G≤3H), escrito nas 4 formas G-

nomiais com antecedentes ou conseqüentes independentes, são iguais o produto misto dos G H-ádicos antecedentes pelo produto misto dos G H-ádicos conseqüentes correspondentes.

Definição: (G-ésimo de um 2H-ádico) O número a que se refere o Teor. 1 será denominado o G-ésimo do 2H-ádico no 2HEG (3≤G≤3H), e o representaremos por 2HααααG. No 3-espaço o G-ésimo de um 2H-ádico denomina-se terceiro; no 4-espaço, quarto etc..

Em resumo:

2HG

αααα =

= =

= =

(

( )( )

H1

H2

HG

H 1 H 2 H G

H1

H2

HG

H 1 H 2 H G

... )( ... )

... ...


εεεε εεεε εεεε γγγγ γγγγ γγγγ

§ 11.01 - Caso geral. 133


= =

=

( ... ) ...

... ... )

H 1 H 2 H G H1

H2

HG

H 1 H 2 H G H1

H2

HG


εεεε εεεε εεεε δδδδ δδδδ δδδδ

( )

( )(

, (04).

Pelas (04) fica evidente o seguinte

Teor. 2: Se os H-ádicos de uma escrita G-nomial de um 2H-ádico são linearmente independentes, então são também linearmente independentes os H-ádicos de todas as suas outras escritas G-nomiais.

Definição: (poliádicos completos) O 2H-ádico de um 2HEG que, escrito G-nomialmente, tem os seus antecedentes e conseqüentes linearmente independentes, é dito completo; se antecedentes ou conseqüentes são linearmente dependentes, o 2H-ádico é dito incompleto.

Se um 2H-ádico, por hipótese pertencente a um 2HEG, for incompleto, ele pertencerá, na verdade, a um 2HEG-1 e a sua escrita G-nomial poderá ser reduzida a uma escrita (G-1)-nomial. Portanto, estando assegurada a pertinência de certo 2H-ádico a um 2HEG, esta

assegurada também a completeza desse poliádico apenas no 2HEG (mas não no H32HE )

Considerando novamente as (04) podemos enunciar:

Teor. 3: A CNS para que um 2H-ádico de um espaço G-dimensional (3≤G≥3H) seja completo é que o seu G-ésimo seja diferente de zero:

0 E completo é G

2HG

2H2H2H ≠⇒∈⇐ αααααααααααα , (05).

Teor. 4: É um invariante o G-ésimo de um poliádico no seu G-espaço.

Com efeito, se, além das representações (01), escrevêssemos, em relação a bases H-ádicas recíprocas H H e ΓΓΓΓ ΓΓΓΓ∗

∗ do espaço G-dimensional a que pertence 2H αααα ,

2H H i H

iH

iH i H

iH i H i H

i αααα λλλλ µµµµ ηηηη ξξξξ= = = =ΓΓΓΓ ΓΓΓΓ ΓΓΓΓ ΓΓΓΓ (i = 1, 2, ..., G),

escreveríamos, também:

... ) ... )( ... (

) ... () ... (

GH

2H

1HGH2H1H

GH

2H

1HGH2H1H

G2H

==

==

µµµµµµµµµµµµΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓ

ΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓλλλλλλλλλλλλαααα


IV,§ 11.01

Temos:

2H 2H H 2H 2H

H H i H

iH j H

j H H i H

i

2H H H k H

kH i H i

H H k H

k

( ) =

( ) ( )

αααα αααα αααα εεεε εεεε λλλλ εεεε εεεε

αααα αααα εεεε

= = =

= =

. . .

. .

ΙΙΙΙ ΓΓΓΓ

ΓΓΓΓ ΓΓΓΓ ΓΓΓΓ ΓΓΓΓ

( )

,

donde,

2H H H r H j H

j H H r H r ( αααα εεεε λλλλ εεεε αααα. .= =ΓΓΓΓ ) , e 2H

H H s H i H

i H H s H s ( αααα αααα εεεε λλλλ. .ΓΓΓΓ ΓΓΓΓ= =)

para (i, j, k = 1, 2, . G).

Se o 2H-ádico é completo podemos escrever, em relação à base Hεεεε*, lembrando (03) e (04), § 13, II:

( ... ) ...

... ... ...

...

H 1 H 1 H G H 1 H 1 H G

H 1 H H H 1

H H H 1

H H

G

H 2 H H H 2

H H H 2

H H

G

H G H H

1H G

H H

1H G

H H

G

λλλλ λλλλ λλλλ αααα αααα αααα

εεεε εεεε εεεε



=( )

...

...

...,

ΓΓΓΓ ΓΓΓΓ ΓΓΓΓ



. . .

. . .

. . .

1 2

1 1

ou, aplicando (092), § 13, II:

( ... ) ... ... ... ) H 1 H 1 H G H 1 H 1 H G H 1 H 2 H G H H Hλλλλ λλλλ λλλλ αααα αααα αααα εεεε εεεε εεεε=( )( )(ΓΓΓΓ ΓΓΓΓ ΓΓΓΓ1 2 G

.

Logo:

2HG

H 1 H 1 H G H H HG

H 1 H 1 H G H H HG

2HG

( ... ) ...

... ... )

αααα λλλλ λλλλ λλλλ

αααα αααα αααα εεεε εεεε εεεε αααα

Γ= =

= =

( )

( )(

ΓΓΓΓ ΓΓΓΓ ΓΓΓΓ1 2

1 2

isto é, o G-ésimo de um 2H-ádico, calculado em relação à base Hεεεε*, é igual ao calculado em relação a qualquer outra base.

Corol. 1: A completeza de um 2H-ádico no seu 2HEG é uma propriedade invariante desse poliádico.

É evidente que todos os poliádicos menores de dado 2H-adico de um 2HEG (§ 09.06) são incompletos nesse espaço, podendo ser completos nos seus respectivos subespaços.

* Exercício: Estudar as relações entre o G-ésimo de um 2H-adico e os G-ésimos de seus isômeros.

*

§ 11.02 - Caso dos tetrádicos (para G = 9); o nono. 135


§ 11.02 - Caso dos tetrádicos (H=1) gerados do E3 (para G = 32); o nono.

Por sua relevância, consideraremos o caso particular de um tetrádico 4 αααα quando dado por suas 4 representações diádicas:

4 αααα αααα αααα αααα αααα= = = =m i m

i im

mi

m im i m i

m i e e e e e e e e, i,m=1,2,3,

das quais podemos deduzir as respectivas representações cartesianas quando efetuamos as substituições dos seus antecedentes por suas expressões cartesianas seguintes:

ααααm i

mjk i

j k j m k i j

k jkm i j k

kmj i

jkA A A A = = = =e e e e e e e e, (011),

αααα

i m

ijkm

j k j i km j

k jk i m j k

k ij m

jkA A A A = = = =e e e e e e e e, (012),

αααα

m i

m ijk

j k j m i k j

k jkm i j k

km ij

jkA A A A = = = =e e e e e e e e, (013),

αααα

m i

jkm i

j k j km i j

k jk m i j k

k j m i

jkA A A A = = = =e e e e e e e e, (014),

onde todos os índices variam de 1 a 3. O produto misto dos antecedentes pode ser calculado aplicando-se as fórmulas (13), (131), (14) e (141) do § 13, II. Temos: ( ) ( )| | ( )| | ( )| | ( )| |αααα αααα αααα

11

1 3 2 3

... A A A A= = = =∗ ∗ ∗

∗∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗∗∗∗

∗∗

∗∗∗

∗ ∗e e e e e e e e , (021);

( ) ( )| | ( )| | ( )| | ( )| |αααα αααα αααα

2 3

... A A A A

11

1 3= = = =∗ ∗ ∗

∗∗∗ ∗∗ ∗ ∗

∗∗ ∗ ∗∗∗ ∗

∗∗

∗∗ ∗

∗ ∗e e e e e e e e , (022);

( ) ( )| | ( )| | ( )| | ( )| |αααα αααα αααα11 12 33

... A A A A= = = =∗ ∗ ∗∗

∗∗ ∗∗ ∗ ∗∗

∗ ∗ ∗∗∗∗∗ ∗

∗∗∗∗

∗e e e e e e e e , (023);

( ) ( )| | ( )| | ( )| | ( )| |αααα αααα αααα

12 33

... A A A A11 = = = =∗ ∗

∗∗∗∗ ∗∗ ∗

∗∗∗ ∗ ∗∗∗

∗∗∗

∗∗

∗ ∗∗e e e e e e e e , (024);

ou seja, em função das coordenadas cartesianas:

4 2αααα9

A A A A= = = =∗∗∗ ∗ ∗

∗∗ ∗

∗∗∗∗ ∗

∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗∗∗∗| | ( )( )| | ( ) | | ( )( )| |e e e e e e e e e e , (031);

4 2αααα9

A A A A= = = =∗∗∗∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗∗∗ ∗ ∗

∗∗∗∗∗ ∗

∗∗

∗∗∗∗| | ( )( )| | ( ) | | ( )( )| |e e e e e e e e e e , (032);

e outras análogas. Como se vê, tal como no caso dos diádicos, o nono de um tetrádico é igual ao determinante de qualquer uma de suas matrizes mistas associadas (§ 03.04), e apenas destas, ou seja:

|A||A||A||A|

9

4 ∗∗∗∗

∗∗∗∗

∗∗∗∗

∗∗∗∗ ====αααα , (033).


IV,§ 11.03

Particularmente,

1 ,1 ,1 33 24149 =−==

r


§ 11.03 - Relações entre as matrizes associadas a um tetrádico.

Tal como no caso dos diádicos (§ 09.03, II), existem relações entre as diferentes matrizes associadas a um tetrádico, relações essas que podem ser estendidas aos poliádicos em geral. No que segue todos os índices assumem valores no conjunto 1, 2 e 3. Assim, por exemplo, das representações:

4αααα αααα= =m i m

i e e A A jkm i j k m

i j m k i j

km

ie e e e e e e e= ,, (01),

deduzimos

A A

A A

jkm i 4

j k mi

r t s u r

st

u4

j k mi

r t s u

jr

s k mt

u i

j m s i

s k

= = =

= =

4 αααα . e e e e e e e e. e e e e

e .e e .eδ δ δ( ) ( ), (02).

Podemos, então, estabelecer uma relação entre as matrizes:

=∗∗∗∗

3 333

3 332

1 332

3 331

2 331

1 331

1 321

1 311

2 231

1 231

3 221

2 221

1 221

1 212

3 211

2 211

1 211

3 133

2 133

1 133

3 132

2 132

1 132

3 131

2 131

1 131

3 123

2 123

1 123

3 122

2 122

1 122

3 121

2 121

1 121

3 113

2 113

1 113

3 112

2 112

1 112

3 111

2 111

1 111

AA......AAAA

...A

A

.........AA

............AAA

............AAAA

AAAAAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAAAAA

]A[ , (03),

e

=∗∗∗∗

3 3 3 3

3 3 2 3

3 3 1 3

2 3 1 3

1 3 1 3

1 2 1 3

1 3 1 3

1 3 1 2

1 2 1 2

2 1 1 2

1 1 1 2

3 3 3 1

3 3 1 1

2 3 1 1

1 3 1 1

3 2 3 1

1 2 2 1

3 2 1 1

2 2 1 1

1 2 1 1

3 1 3 1

1 1 2 1

3 1 1 1

2 1 1 1

1 1 1 1

AA.........AAA

...A

...A

............A

............A

...............AA

A......AAA

A......AAAA

A......AAAA

]A[ , (031),

§ 11.03 - Relações entre as matrizes associadas a um tetrádico. 137


associadas ao tetrádico conforme exposto no § 03.04. . Com efeito, tem-se:

[ ] [ .[ ]A B] A 99

99

∗∗∗∗

∗ ∗∗ ∗=

99 , (04),

com

,

M000000000

000000000

000000000

M000000000

000000000

000000000

M

]B[

=

a submatriz M sendo

=

332313

322212

312111

]M[e.ee.ee.ee.ee.ee.ee.ee.ee.e

,

isto é, a matriz métrica da base vetorial. Notando-se que a submatriz [M] e as submatrizes nulas da matriz [B] podem ser escritas nas formas

[ ]M

e1

=

=

e e : e e e e : e e e e : e e


e e : e e e e : e e e e : e

11 1 1

11 1 2

11 1 3

12 1 1

12 1 2

12 1 3

13 1 1

13 1 2

13 3




21 2 1

21 2 2

21 3 3

22 2 1

22 2 2

22 2 3

23 2 1

23 2 2

23 3

e2

=

=



e e : e e e : e e e e : e

31 3 1

31 3 2

31 3 3

32 3 1

32 3 2

32 3 3

33 1 1

33 3 2

33 3

3

e3

,

e

[0]

e2

=




11 2 1

11 2 2

11 2 3

12 2 1

12 2 2

12 2 3

13 2 1

13 2 2

13 3

,

[0]

e3

=




11 3 1

11 3 2

11 3 3

12 3 1

12 3 2

12 3 3

13 3 1

13 3 2

13 3

etc.,


IV,§ 11.04

vemos que | | ( )( )B = ∗

∗ ∗ ∗e e e e , (05).

Tomando, então, os determinantes de ambos os membros de (04), e considerando (05), vem:

| | ( )( )| |A A

∗∗∗

∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗= e e e e , (06),

relação essa que juntaremos ao conjunto das (03), § 11.02. Das várias relações entre as matrizes associadas a um tetrádico poderíamos determinar todas as relações entre os respectivos determinantes, isto é, as relações (02) e (03), § 11.02. Da análise destas relações, concluímos a veracidade do seguinte

Teor. 5: A CNS para que um tetrádico seja completo é que seja diferente de zero o determinante de qualquer uma de suas matrizes associadas.

Por esse teorema vemos que um poliádico projeção de dado 2H-adico, pertencendo a certo subespaço, nem sempre é incompleto, mas são incompletos necessariamente todos os poliádicos menores do dado 2H-ádico (§ 09.06). Esses menores, por outro lado, nos seus respectivos subespaços, referidos a bases locais, são completos, isto é, os determinantes das suas matrizes (quadradas) associadas (mistas) – menores extraídos da matriz associada ao poliádico dado – são necessariamente diferentes de zero.

§ 11.04 – Produtos de poliádicos completos e incompletos.

Teor. 1: Se um 2Hφφφφ não nulo transforma (por multiplicação ponteada H-pla) qualquer H-ádico de um HEG no H-ádico nulo de HEG, então o operador 2Hφφφφ é necessariamente incompleto:

0 . :E e G

2HHHH

2HG

2HH2H2H =⇒=∈∀≠∀ φφφφΟΟΟΟψψψψφφφφψψψψΟΟΟΟφφφφ , (01).

Consideremos as escritas G-nomiais de 2H H e φφφφ ψψψψ, cujos conseqüentes sejam H-

ádicos de uma base, digamos, 2H H i Hi

φφφφ αααα εεεε= e Hj

H jM ψψψψ εεεε= com i, j = 1, 2, ..., G.

Temos, então, jH

jHHH

2H M . ααααΟΟΟΟψψψψφφφφ == , (011),

isto é, os G poliádicos (de valência H) da escrita G-nomial de 2H φφφφ são linearmente dependentes; logo, esse poliádico é incompleto.

Teor. 2: Se 2H φφφφ é completo e transforma um H-ádico de um HEG no H-ádico nulo de HEG, então esse H-ádico é o próprio H-ádico nulo:

ΟΟΟΟψψψψΟΟΟΟψψψψφφφφφφφφ HHHHH

2HG

2H 0, =⇒=≠∀ . , (02).

§ 11.04 – Produtos de poliádicos completos e incompletos. 139


Escrevendo 2H H e φφφφ ψψψψ como na demonstração do teorema anterior, devemos verificar (011). Como os diádicos do último membro são linearmente independentes todos os coeficientes M devem ser nulos, o que acarreta a nulidade de H ψψψψ .

Teor. 3: O G-ésimo de um produto ponteado H-plo de dois 2H-adicos é igual ao produto dos seus G-ésimos.

Pondo, em escrita H-adica:

2H H i Hi

φφφφ αααα εεεε= e 2H H j Hj

ψψψψ εεεε ββββ= com i, j = 1, 2, ..., G,

temos:

2H H 2H H i

i j H

jH i H

i φφφφ ψψψψ αααα ββββ αααα ββββ. = =δ

Então:

) ... ( ) ... ( ) ( GH

2H

1HGH2H1H

G2HH

2H == ββββββββββββααααααααααααψψψψφφφφ .

) ... )( ... )( ... )( ... ( GH

2H

1HGH2H1H

GH

2H

1HGH2H1H ββββββββββββεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεαααααααααααα= .

Nos dois primeiros fatores detectamos o G-ésimo de 2Hφφφφ; nos dois últimos o G-ésimo de 2Hψψψψ.

Corol. 1: O produto ponteado múltiplo H-plo de dois 2H-ádicos em que um é completo é um 2H-ádico completo ou incompleto conforme o outro fator seja completo ou incompleto.

Nota: Poderíamos fazer, também, as demonstrações desses teoremas recorrendo às representações cartesianas dos poliádicos, ou, ainda, às matrizes de um mesmo nome associadas a esses poliádicos nas mesmas bases vetoriais recíprocas. Com efeito, nesse caso, a matriz (de mesmo nome que as anteriores) associada ao produto H-plo é o produto das matrizes daqueles poliádicos (§ 06.02). Se essas matrizes são as mistas, esses determinantes são os G-ésimos dos 2H-ádicos, caso em que o produto será nulo ou não conforme um dos G-ésimos fatores seja nulo ou não.

Teor. 4:

G2HG

G2HH X)(X : NG3 e 0X φφφφφφφφ =≤≤≠∀ , (03).

A proposição é evidente, pois sendo 2H H i Hi

φφφφ αααα εεεε= uma escrita G-nomial do

poliádico, o G-ésimo de X 2Hφφφφ não diferiria do G-ésimo de 2Hφφφφ senão pelo fator XG pois este é o fator por que diferem os produtos mistos dos antecedentes de X 2Hφφφφ e 2Hφφφφ.

140 § 12 – Poliádicos de Moreira (ou em feixe).

IV, § 12.01

§ 12 – POLIÁDICOS DE MOREIRA (OU EM FEIXE).

§ 12.01 – O grupo ortocêntrico do espaço poliádico.

Vamos interpretar geometricamente a anulação do cruzado do 2Q-ádico unidade já estabelecida pela fórmula ((07), § 08.02). Para tal escreveremos o poliádico unidade numa forma G-nomial com antecedentes e conseqüentes recíprocos num QEG, isto é,

iQiQQ2 εεεεεεεεΙΙΙΙ = com i = 1, 2, ..., G (N≤ G ≤ NQ); e admitiremos extendida ao espaço dos

poliádicos de valência par maior que dois, sem demonstração, os conceitos geométricos estabelecidos para o espaço dos diádicos17. Imaginemos inicialmente aplicados os Q-ádicos recíprocos de um sistema num mesmo ponto arbitrário do espaço. O cruzado de qualquer 2Q-ádico unidade é o cruzado nulo QΟΟΟΟ. De fato, por ser 2QΙΙΙΙ diádico simétrico e por consideração de ((033),§07.01):

ΟΟΟΟεεεεεεεεΙΙΙΙ Qi

QiQ2Q >=>=<< . Decorre dai que os cruzados das 2Q-ades binárias

etc. , 2Q2Q

1Q1Q εεεεεεεεεεεεεεεε formam um contorno Q-ádico fechado num subespaço denotado por

QESG-1 contido no QEG. Como cada cruzado (um Q-ádico componente do contorno fechado)

é perpendicular ao plano da 2Q-áde correspondente, decorre ainda que esses planos têm um QE1 (reta) comum ortogonal ao espaço que contém o contorno fechado. Em outras palavras, os planos das 2Q-ades formam um feixe no QEG e a charneira desse feixe, denotada por e), é perpendicular ao subespaço QES

G-1 que contém o contorno fechado, isto é:

Teor. 1: Os planos definidos por retas homólogas de sistemas de Q-ádicos recíprocos formam um feixe (ou têm reta comum).

Definição: (eixo e espaço de sistemas recíprocos) Denominaremos a reta e) e o espaço QES

G-1 atrás referidos de eixo e (G-1)-espaço do sistema de Q-ádicos recíprocos.

O cruzado >< 1Q1Q εεεεεεεε , por exemplo, é perpendicular ao plano da díade 1

Q1Q εεεεεεεε .

O Q-ádico 1Q εεεε é perpendicular ao QEG-1 definido por ) ... ( GQ

3Q

2Q εεεεεεεεεεεε e 1

Q εεεε é

perpendicular ao QE*G-1 definido por ) ... ( GQ3Q2Q εεεεεεεεεεεε . Logo o cruzado >< 1

Q1Q εεεεεεεε é,

necessariamente, paralelo à reta interseção dos espaços homólogos 2QEG-1 e 2QE*G-1. O

mesmo acontece com os cruzados das demais 2Q-ádes. Logo:

17 O leitor poderá executar essa penosa tarefa por analogia com o que foi estabelecido para o 2EG com G≤9 (§10, Cap.II,Vol.I,T.I)

Teor. 2: As interseções dos espaços homólogos 2QEG-1 de sistemas de Q-ádicos recíprocos pertencem a um mesmo QEG-1.

Apliquemos, agora, os Q-ádicos recíprocos de um sistema em pontos distintos D e D’ de uma reta paralela ao eixo desse sistema. Por força do teorema 2, os pares de retas homólogas de cada 2Q-áde se interceptam necessariamente; sejam A1, A2, ..., AG os correspondentes pontos de interseção de cada par, todos, evidentemente, pertencentes a um mesmo QES’

G-1 paralelo ao QESG-1. Seja, ainda, H a interseção do eixo e) com QES’

G-1.

§ 12.02 – Poliádicos em feixe. 141


Como 1Q εεεε e 1Q εεεε são respectivamente perpendiculares aos homólogos 2QEG-1 e

2QE*G-1 que lhes correspondem, o plano definido por e) e A1, ou plano (DD’A1), além de ser

perpendicular ao QES’G-1 do sistema (por conter uma reta perpendicular a esse espaço) é

também perpendicular ao QEG-2, comum a QEG-1 e QE*G-1, definido pelos pontos A2A3 ...AG.

Seja A’1 o ponto de interseção de QEG-2 com o plano definido por e) e A1. Então: 1) – tal plano é seção reta do (G-1)-edro formado pelos (G-1)-espaços

homólogos ) ... ( GQ

3Q

2Q εεεεεεεεεεεε e ) ... ( GQ3Q2Q εεεεεεεεεεεε ; seja 11 D'AD γ=′ o “ângulo (G-1)-

edro” correspondente; 2) – a aresta DA1 do (G+1)-edro A1A2 ... AGD é ortogonal ao seu espaço oposto A2A3 ... AG; 3) – deduções análogas podem ser feitas em relação aos demais (G-1)-espaços homólogos (relativos às demais 2Q-ádes), o que nos permite concluir que D’ é o ponto comum às G+1 alturas do (G+1)-edro A1A2 ... AGD. Então:

Teor. 3: Os (G+1)-edros A1A2 ... AGD e A1A2 ... AGD’, associados ao sistema de Q-

ádicos recíprocos Q ∗εεεε e Q∗εεεε são (G+1)-edros ortocêntricos, D’ sendo

o ortocentro de A1A2 ... AGD e D o de A1A2 ... AGD’.

Resta agora observar que o conjunto dos G+2 pontos: D, D’, A1, A2, ..., AG, é tal que qualquer um deles é ortocentro do (G+1)-edro definido pelos demais; tal conjunto será denominado, por analogia com conceito clássico já apresentado (§03.02,I, §03.03,I e (§03.03,II), o grupo ortocêntrico de (G+1)-edros do espaço poliádico.

* Exercício: (desafio) Demonstrar que um (G+1)-edro tem uma superfície esférica inscrita e G+1 ex-inscritas (isto é, tangentes a uma face e aos prolongamentos das outras G). O centro da superfície esférica inscrita é o incentro do (G+1)-edro e os centros das ex-inscritas, os seus ex-incentros. Demonstrar, então, que num (G+1)-edro o incentro e os G ex-incentros formam um grupo ortocêntrico.

* § 12.02 – Poliádicos em feixe.

No espaço dos H-ádicos, dois quaisquer deles, Hαααα1 e Hεεεε1, definem um plano. Se três quaisquer dos H-ádicos de dois pares, (Hαααα1,Hεεεε1) e (Hαααα2,Hεεεε2), são não coplanares, eles têm uma reta comum distinta do suporte de qualquer um deles. Consideremos G pares quaisquer de H-ádicos de um HEG: (Hαααα1,Hεεεε1), (Hαααα2,Hεεεε2), ..., (HααααG,HεεεεG), cujos planos formem um feixe, e tais que os conjuntos Hαααα1, Hαααα2, ..., HααααG e Hεεεε1, Hεεεε2, ...,

HεεεεG sejam linearmente independentes. Qualquer um dos conjuntos define uma base do HEG. Apliquemos todos os H-ádicos co-inicialmente num ponto arbitrário do espaço, O, ponto esse pertencente à charneira do feixe. Podemos constituir, em O, o 2H-ádico completo:

2HM= Hααααi Hεεεεi (i=1, 2, ..., G), (01),

e procurar traduzir algebricamente a condição geométrica imposta para a sua formação. Os

142 § 12 – Poliádicos em feixe.

IV,§ 12.02

cruzados (§ 10.01) de todas as 2H-ádes parcela, < Hαααα1Hεεεε1>, < Hαααα2Hεεεε2>, ..., co-iniciais em O, devem pertencer a um espaço de dimensão G-1 ao qual é perpendicular a charneira do feixe, porque cada cruzado é perpendicular a um plano do feixe; vamos denotar esse espaço por HEM

G-1. Então, por ser

<2HM>= <Hααααi Hεεεεi>= <Hαααα1 Hεεεε1>+<Hαααα2 Hεεεε2>+ ..., (02), o cruzado de 2HM fecha a poligonal (contida num HE(O)

G-1, o índice (O) indicando a ligação desse espaço com o ponto O) definida pelos cruzados das 2H-ádes quando estes são dispostos consecutivamente (a origem de um sendo a extremidade do outro). Dada a arbitrariedade do ponto O pode-se enunciar, em resumo:

Se os planos das 2H-ádes de um 2H-ádico completo formam um feixe, o cruzado desse 2H-ádico e os cruzados de suas 2H-ádes, dispostos consecutivamente, definem uma poligonal fechada contida num HEG-1 ao qual é ortogonal a charneira do feixe.

Os suportes dos H-ádicos antecedentes e conseqüentes de cada 2H-ade de 2HM haverão de se interceptar quando forem aplicados em pontos D e D’, respectivamente, da charneira do feixe. Denotando-se por Ai a interseção de Hααααi com Hεεεεi para i=1, 2, ..., G resulta que todos os G pontos Ai são linearmente independentes num HEG-1 que é ortogonal à charneira do feixe, logo paralelo ao HE(O)

G-1 do feixe relativo a O. Para H=1 (no espaço 1E3 dos vetores) vimos que o simplex formado pelos quatro pontos A1, A2, A3, e D (ou D’) era um ortoquadrângulo (ou um tetraedro cujos lados opostos eram ortogonais). Aqui também, qualquer que seja H > 1, sendo independentes os G+1 pontos A1, A2, ..., AG e D (ou D’), eles constituirão um simplex especial, um orto-(G+1)-ângulo. Assim, Hααααi, para i= 1, 2, ..., G, será ortogonal ao HEG-2 (definido pelos G-1 pontos A2, ..., AG) que lhe é oposto.

Generalização

Esse processo de geração de orto-(G+1)-ângulos pode ser generalizado. Podemos

escrever um 3H-ádico na forma jH

iHijHH3 εεεεεεεεααααφφφφ = para i,j = 1, 2, ..., G (com G ≤ NH), os

H-ádicos Hεεεεi constituindo uma base num HEG. Para i ≠ j, cada 3H-áde constituinte de 3Hφφφφ

definirá um 3HE3 (um subespaço no 3G3H E ); para i = j, as 3H-ades correspondentes

definirão 3H-ades planares. Suponhamos agora que todas as 3H-ádes de 3Hφφφφ tenham um 3HE2 (plano) comum, isto é, formem um feixe cuja charneira seja esse plano. Consequentemente as 3H-ades de 3Hφφφφ

com índices iguais ( 1H

1H11H εεεεεεεεαααα , 2

H2

H22H εεεεεεεεαααα etc.) estão contidas na charneira e seus

cruzados são nulos (porque duas das H-ádes são iguais). Os cruzados de todas as demais 3H-ádes estarão contidos num HEG-1 ao qual é ortogonal a charneira do feixe. Dispostos esses cruzados consecutivamente nesse espaço, o cruzado de 3Hφφφφ fechará a poligonal por eles definida. Os demais conceitos, operações etc. aparecem como nos casos anteriores.

Definição: (poliádicos de Moreira, ou em feixe) Os poliádicos assim constituídos serão denominados "poliádicos de Moreira" , ou “poliádicos em feixe”; a eles estará associado um orto-(G+1)-ângulo.

143 § 13 - Adjunto, segundo, inverso e principal.

IV, § 13.01

§ 13 - ADJUNTO, SEGUNDO, INVERSO E PRINCIPAL.

§ 13.01 – Definições e propriedades. Consideremos o 2H-ádico genérico de um G

2HE (3≤G≤N2H), escrito G-nomialmente

em relação às H-ádicas recíprocas H H e εεεε εεεε∗∗ , digamos na forma:

iHi

H2H ββββεεεεφφφφ = (i = 1, 2, ..., G), (01).

Representemos por 2H Gφφφφ~

o 2H-ádico

44 344 21fatores 1G

mH

jH

iHmHjHiHG

~2H

... ...

1)!(G1

−

>><<−

= εεεεεεεεεεεεββββββββββββφφφφ

(i≠ j≠ ... ≠m = 1, 2, ..., G), (02), soma de G! políades de valência H (porque esse é o número de permutações que podemos formar com os G H-ádicos distintos de base, em cada permutação entrando apenas G - 1 dos

H-ádicos). Para dado G e dado 2H φφφφ do espaço, 2H Gφφφφ~

é único. Além disso, ou ele é o 2H-

ádico nulo se dois quaisquer dos H ββββ 's são paralelos, ou um 2H-ádico em que, para certo conjunto de valores atribuídos aos índices i, j, ..., m, as H-ades

< > < > ... e ... H i H j H m Hi

Hj

Hm


estão bem definidas, as últimas sendo paralelas aos H-ádicos da base H ∗εεεε . Logo, para

cada conjunto i, j, ..., m (e existem G! deles), o produto justaposto das H-ades em referência forma uma 2H-ade binária do espaço G-dimensional se o conjunto dos < > ... H i H j H mββββ ββββ ββββ não pertencer a um mesmo subespaço de dimensão menor que G-1.

O poliádico G~

2H φφφφ é, pois, uma soma de G H-ades binárias, cada uma se

correspondendo com um H-adico da base recíproca H ∗εεεε . Com efeito, conforme (05), §

09.05, escrevemos:

32144 344 21índicesG fatores 1-G

nHG

H2

H1

Hmn ... ijm

Hj

Hi

H ) ... ( ... εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε ε>=<

.

Então,

2H G H1

H2

HG ij ... mn

H i H j H m H n(G 1)! ... ... φφφφ εεεε εεεε εεεε ββββ ββββ ββββ εεεε

~( )= − < >1 ε , (021).

Para certo valor de n, as G! parcelas (não nulas) das somas indicadas corresponderão a i ≠ j ≠ ... ≠ m ≠ n. Como G! é par, metade das parcelas é obtida com as permutações cíclicas dos índices 1, 2, ..., G e a outra metade com as permutações anticíclicas. Entretanto, a cada parcela obtida com uma permutação cíclica corresponde uma parcela igual com uma permutação anticíclica. Por exemplo, para n = 2, num espaço 7-dimensional, são iguais:


IV,§ 13.01

ε

3456712H H H 5 H H H H < >ββββ ββββ ββββ ββββ ββββ ββββ εεεε3 4 6 7 1 2

e

ε1765432

H H H 6 H H H H < >ββββ ββββ ββββ ββββ ββββ ββββ εεεε1 7 5 4 3 2.

De fato, tem-se para a primeira

ε1345672

H H H H 5 H H H < >ββββ ββββ ββββ ββββ ββββ ββββ εεεε1 3 4 6 7 2;

a segunda podendo ser escrita sucessivamente, nas formas equivalentes

ε

ε

3176542H H H H 6 H H H

3417652H H H H H 6 H H

< > =

= < > =

ββββ ββββ ββββ ββββ ββββ ββββ εεεε


3 1 7 5 4 2

3 4 1 7 5 2

= < > = =

= < >

ε

ε

3451762H H H H H H 6 H

3457612H H H H H 6 H H

...



3 4 5 1 7 2

3 4 5 7 1 2, pois se houver troca de sinal de um permutador para o seguinte, haverá também troca de sinal no produto cruzado (o que não altera o sinal final do produto). Então, para dado n, temos (G - 1)! parcelas iguais. Calculemos essas somas para n = 1. Temos, de (021), escrevendo as (G - 1)!/2 primeiras parcelas com as permutações cíclicas dos índices e depois as outras tantas com as permutações anticíclicas:

... ... ...

... [ ...

2H3HGH321 ...G

2HGH4H3HG21 ... 34

GH3H2HG1 ... 23

1HmHjHiHm1 ... ij

+><ε++><ε+

+><ε=><ε

ββββββββββββββββββββββββββββ

ββββββββββββεεεεββββββββββββ

. ] ... ...

... > ... > ...

1HGH3H2HG1 ... 23

2HGH4H3HG21 ... 34

3H4HGH2H431 ...2G

2H3HGH321 ...G

εεεεββββββββββββββββββββββββββββ

ββββββββββββββββββββββββββββ

><ε+><ε+

++<ε+<ε+

Evidenciam-se as igualdades das parcelas eqüidistantes dos extremos. Além disso, conforme propriedades do comutador a G índices (§ 14, II):

ε εε ε ε

ε ε ε

23 ... G1 23 ... G1

G21G 2

23 ... G1G

23 ... G1

G ... 321(G 2)(G 2)

23 ... G1G

23 ... G1

== − = −

= − = −

−

− −

341 1

1 1

...( ) ( )

...( ) ( ) ;

e, conforme propriedades dos produtos cruzados,

§ 13.01 – Definições e propriedades. 145


< > = < >

< > = − < > == − < >

< > = − < > =

−

− −

... ...

... ...

...

... ...

H 2 H 3 H G H 2 H 3 H G

H 3 H 4 H G H 2 G 2 H 2 H 3 H 4 H G

G H 2 H 3 H G

H G H 3 H 2 (G 2)(G 2) H 2 H 3 H 4 H G

ββββ ββββ ββββ ββββ ββββ ββββ

ββββ ββββ ββββ ββββ ββββ ββββ ββββ ββββββββ ββββ ββββ

ββββ ββββ ββββ ββββ ββββ ββββ ββββ

( )

( )

...

( )

1

1

1

...

G H 2 H 3 H G= − < >

( )1 ββββ ββββ ββββ

Logo,

. ... ]1 ... 11[ ...

parcelas2

1)!(G

1HGH3H2HG1 ... 23

1HmHjHiHm1 ... ij 43421

−

><+++ε=><ε εεεεββββββββββββεεεεββββββββββββ

Com as permutações anticíclicas obtemos outras (G-1)!/2 parcelas. É fácil, agora, obter os resultados correspondentes para n = 2, 3, ... . Então: 2H G H

1H

2H

G 23 ... G1H 2 H 3 H G H 1

34 ... G12H 3 H 4 H G H 1 H 2

... ...

...

φφφφ εεεε εεεε εεεε ββββ ββββ ββββ εεεε

ββββ ββββ ββββ ββββ εεεε

~( )[= < > +

+ < > +

ε

ε

+ + < >− ... ...

123 ... GH 1 H 2 H G H G[ ]ε ββββ ββββ ββββ εεεε1 .

Mas

ε ε

ε ε ε

ε

23 ... G1G 1

123 ... GG 1

G122(G

123 ... G 123 ... G

12 ... G

= − = −

= − = =

=

− −

−

( ) ( )

( )

...;

...)

1 1

1 1

1

341

por isso,

2H G H1

H2

HG

(G H 2 H 3 H G H 1

H 3 H 4 H G H 1 H 2

(G H 4 H G H 1 H 2 H 3

... ...

...

...

φφφφ εεεε εεεε εεεε ββββ ββββ ββββ εεεε



~)

)

( )[( )

( )

= − < > +

+ < > +

+ − < > +

−

−

1

1

1

1

] ... ... GH1GH2H1H εεεεββββββββββββ ><++ − .


IV,§ 13.01

Pondo

( ) ... ... H2

HG

H1

H 2 H 3 H G Hεεεε εεεε εεεε ββββ ββββ ββββ ββββ< > = ′1,

( ) ... ... H

3H

GH

1H

2H 3 H G H 1 Hεεεε εεεε εεεε εεεε ββββ ββββ ββββ ββββ< > = ′

2

( ) ... ... H4

HG

H1

H2

H3

H 4 H G H 1 H 2 Hεεεε εεεε εεεε εεεε εεεε ββββ ββββ ββββ ββββ ββββ< > = ′3

.... ( ) ... ... H

GH

1H

GH G H 1 H G H

Gεεεε εεεε εεεε ββββ ββββ ββββ ββββ−

−−< > = ′

12

1,

( ) ... ... H

1H

2H

GH 1 H 2 H 3 H G H

Gεεεε εεεε εεεε ββββ ββββ ββββ ββββ ββββ< > = ′−1 , (03),

resulta

2H G Hi

H i φφφφ ββββ εεεε~

= ′ (i = 1, 2, ..., G), (031);

tal é a representação G-nomial de 2H Gφφφφ~

com conseqüentes independentes.

Definições: (adjunto e segundo)

Chama-se adjunto de um poliádico de valência par, 2H φφφφ , de um G2HE

(3≤G≤ NH), e representa-se por 2H Gφφφφ~, os 1/(G - 1)! avos da soma dos

produtos justapostos de todos os produtos cruzados dos G - 1 conseqüentes (antecedentes) pelos correspondentes produtos cruzados dos G - 1 antecedentes (conseqüentes) de uma escrita G-nomial desse 2H-ádico com antecedentes (conseqüentes)independentes.

O transposto de ordem H do adjunto de um 2H-ádico 2H φφφφ será dito o

segundo desse 2H-ádico e será representado por 2H2

φφφφ , sendo, então:

TG

~2HHG

~2HHG

~2H

22H φφφφφφφφφφφφφφφφ ===

sr

.

Caso de poliádicos completos

Suponhamos que o poliádico 2H φφφφ posto na forma (01) tenha conseqüentes independentes. Nesse caso, lembrando (01), § 09.05, as expressões (03) podem ser escritas nas formas:

( )( ) ... ... H2

HG

H1

H 2 H 3 H G H 1 H Hεεεε εεεε εεεε ββββ ββββ ββββ ββββ ββββ ββββ1 1

= ′ ,

( )( ) ... ... H

3H

GH

1H

2H 3 H G H 1 H 2 H Hεεεε εεεε εεεε εεεε ββββ ββββ ββββ ββββ ββββ ββββ

2 2= ′

§ 13.01 – Definições e propriedades. 147


e assim sucessivamente. Então, lembrando que

G2HGH2H1H

GH

2H

1HH ) ... )( ... ( :3 G φφφφββββββββββββεεεεεεεεεεεε =≤∀

e que

( )( )

( )( )

... ...

... ... ... ,

H2

HG

H1

H 2 H 3 H G H 1 2H

H3

HG

H1

H2

H 3 H G H 1 H 2

εεεε εεεε εεεε ββββ ββββ ββββ ββββ φφφφ

εεεε εεεε εεεε εεεε ββββ ββββ ββββ ββββ

= =

= =

resultam:

iHi

HG

2HG~

2H εεεεββββφφφφφφφφ = (i = 1, 2, ..., G), (04),

e

iHiH

G2H

22H ββββεεεεφφφφφφφφ = (i = 1, 2, ..., G), (041).

Temos, ainda,

2H H Hi

H i Hj

H j H Hi

H ii j H

jH i H

iH i 2H ( )

φφφφ ββββ εεεε εεεε ββββ ββββ εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε. .= = = =δ ΙΙΙΙ ,

e

Hi

H i H 2H H

iH i

H H

jH j

i j H

jH i H

iH i 2H ( ) ββββ εεεε φφφφ ββββ εεεε εεεε ββββ ββββ ββββ ββββ ββββ. .= = = =δ ΙΙΙΙ , (05).

Os resultados obtidos sugerem escrever:

∀ = = ≠ =− (i 1,2, ..., G), 2H Hi

H i 2HG

2H Hi

H iφφφφ εεεε ββββ φφφφ φφφφ ββββ εεεε0 1: , (06),

e denominar 2H φφφφ −1 de inverso ou recíproco de 2H φφφφ . Então,

∀ ≤ ≠ = =− − G 3 , com H 2H 2HG

2H H 2H 2H

H 2H 2Hφφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ0 1 1: . . ΙΙΙΙ , (07).

Combinando (06) com (05), escrevemos:

∀ ≤ ≠ = = G 3 , com H 2H 2HG

2H H 2H G 2H G

H 2H 2H

G2Hφφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ0:

~ ~

. . ΙΙΙΙ , (08).

A regra para a constituição do inverso de dado poliádico é análoga à correspondente dos diádicos (§ 08.01, II):

Dado um 2H-ádico completo em forma G-nomial, o seu inverso (em forma G-nomial) se obtém do seu transposto de ordem H onde se substituam (os H-ádicos) antecedentes e conseqüentes pelos seus correspondentes recíprocos.


IV,§ 13.02

O transposto de ordem H do inverso de 2H φφφφ será dito o principal de 2H φφφφ , e será

representado por 2HP

φφφφ , sendo, pois,

T12HP

2H −= φφφφφφφφ , ou, 12HTP

2H −= φφφφφφφφ (09).

Podemos deduzir também, facilmente:

ΙΙΙΙφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ 2HG

2H2

2HH

T2HT2HH 2

2H == •• , (10),

2H

2H 2H

22H

G2H

2 H 2H G φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ. .= = , (11),

2H

22H

G2H

P φφφφ φφφφ φφφφ= , (12).

A multiplicação ponteada 2H-pla de ambos os membros de (12) por 2H φφφφ dá, considerando (11):

G 2HG

2HG

2H 2H 2H

Pφφφφ φφφφ φφφφ φφφφ= . ,

ou, simplificando:

G2H 2H 2H

Pφφφφ φφφφ. = , (13).

Estas fórmulas generalizam todas as correspondentes obtidas no (§08,Cap.II,Vol.I,T.I).

*

Exercício: Dentre as inúmeras propriedades do recíproco, do adjunto etc. de um completo, demonstre que num espaço G-dimensional:

1) – o recíproco do produto ponteado H-plo de dois 2H-ádicos completos é um 2H-ádico completo, igual ao produto ponteado H-plo desses mesmos poliádicos em ordem inversa:

∀ ≠ ≠ =− − − 2HG

2HG

2H H 2H 2H H 2Hαααα ββββ αααα ββββ ββββ αααα0 0 1 1 1, : ( ). . .

2) – O G-esimo do inverso de um poliádico é igual on inverso do seu G-esimo:

1G

2HG

12H )()( −− = φφφφφφφφ .

(Sugestão: recorrer ao Teor. 3, § 11.04) *

§ 13.02 - O ponteado e o G-ésimo do adjunto.

Calculemos o ponteado (§ 08.02) do adjunto de 2H φφφφ no espaço de dimensão G. De (031), § 13.01 temos:

2H GE

Hi

H Hi φφφφ ββββ εεεε

~= ′ . (i = 1, 2, ..., G),

§ 13.02 - O ponteado e o G-ésimo do adjunto. 149


seja 2H φφφφ completo ou não. Das (03), § 12.01 deduzimos: - em relação a H

1′ββββ :

( )( ) ... ... H

2H

3H

GH

1H 2 H 3 H G H H

H Hεεεε εεεε εεεε εεεε ββββ ββββ ββββ εεεε ββββ εεεε1

11= ′ . ,

( )( ) ... ... H

2H

3H

GH

1H 2 H 3 H G H H

H Hεεεε εεεε εεεε εεεε ββββ ββββ ββββ εεεε ββββ εεεε2

12= ′ .

... ( )( ) ... ... H

2H

3H

GH

1H 2 H 3 H G H G H

H H Gεεεε εεεε εεεε εεεε ββββ ββββ ββββ εεεε ββββ εεεε= ′

1 .

- em relação a H2′ββββ :

( )( ) ... ... H

3H

4H

GH

1H

2H 3 H 4 H G H 1 H H

H Hεεεε εεεε εεεε εεεε εεεε ββββ ββββ ββββ ββββ εεεε ββββ εεεε1

21= ′ . ,

( )( ) ... ... H

3H

4H

GH

1H

2H 3 H 4 H G H 1 H H

H Hεεεε εεεε εεεε εεεε εεεε ββββ ββββ ββββ ββββ εεεε ββββ εεεε2

22= ′ .

( )( ) ... ... H

3H

4H

GH

1H

2H 3 H 4 H G H 1 H G H

H H Gεεεε εεεε εεεε εεεε εεεε ββββ ββββ ββββ ββββ εεεε ββββ εεεε= ′

2 . - em relação a H

G′ββββ :

( )( ) ... ... H

1H

2H

GH 1 H 2 H G H H

G H Hεεεε εεεε εεεε ββββ ββββ ββββ εεεε ββββ εεεε− = ′1 1 1.

( )( ) ... ... H

1H

2H

GH 1 H 2 H G H H

G H Hεεεε εεεε εεεε ββββ ββββ ββββ εεεε ββββ εεεε− = ′1 2 2.

...

( )( ) ... ... H1

H2

HG

H 1 H 2 H G H G HG

H H Gεεεε εεεε εεεε ββββ ββββ ββββ εεεε ββββ εεεε− = ′1. .

Aplicando ((10), §09.05) e lembrando ((01), §09.02) para o cálculo de cada um dos produtos de produtos mistos acima, temos: - em relação a H

1′ββββ :

( )( ) ... ... H

2H

3H

GH 2 H 3 H G H

H Hεεεε εεεε εεεε ββββ ββββ ββββ ββββ εεεε= ′

11

. − = ′ ... ... H

1H

3H

GH 2 H 3 H G H

H H( )( )εεεε εεεε εεεε ββββ ββββ ββββ ββββ εεεε

12

. ...

( ) ( )( )− = ′−

−11 1

3G 1 H1

H2

HG

H 2 H 3 H G H H H G ... ... εεεε εεεε εεεε ββββ ββββ ββββ ββββ εεεε. , (011);


IV,§ 13.02

- em relação a H2′ββββ :

( ) ( )( )

( )( ),

− =

− = ′ =

−1

21

2G 1 H3

H4

HG

H2

H 3 H 4 H G H 1

H H H H

2H

3H

GH 1 H 3 H G

... ...

... ...


ββββ εεεε εεεε εεεε εεεε ββββ ββββ ββββ.

( )( )

( )( ),

... ...

... ...

H3

H4

HG

H1

H 3 H 4 H G H 1

H H H H

1H

3H

GH 1 H 3 H G


ββββ εεεε εεεε εεεε εεεε ββββ ββββ ββββ

=

= ′ =2

2.

) ... )( ... ()1(

) ... )( ... (

GH3H1HG

H2

H1

H2GGHH 2

H

1HGH4H3H1G

H3

H2

H1

H

ββββββββββββεεεεεεεεεεεεεεεεββββ

ββββββββββββββββεεεεεεεεεεεεεεεε

−

−

−=′=

=

.

(012);

- em relação a H

G′ββββ :

( ) ( )( )− = ′− −1 1 1 1G H2

HG

H 1 H 2 H G HG

H H ... ... εεεε εεεε ββββ ββββ ββββ ββββ εεεε.

( ) ( )( )− = ′+ −1 2 1 2G H1

H3

HG

H 1 H 2 H G HG

H H ... ... εεεε εεεε εεεε ββββ ββββ ββββ ββββ εεεε. ...

( )( ) ... ... H

1H

2H

GH 1 H 2 H G H

G H H Gεεεε εεεε εεεε ββββ ββββ ββββ ββββ εεεε−

− = ′1

1. , (01G).

Temos, por outro lado:

2HG

H H H 1 H

H H 2 H

H H G

H H H 1 H

H H 2 H

H H G

HG

H H 1 HG

H H 2 HG

H H G

... ... ...

...

φφφφ

εεεε ββββ εεεε ββββ εεεε ββββ



=

1 1 1

2 2 2

. . .

. . .

. . .

...

...

..., (02).

Sendo

2H GE

Hi

H Hi

H2

H3

HG

H 2 H 3 H G

H1

H3

HG

H 1 H 3 H G H1

H2

HG

H 1 H 2 H G

... ...

... ... ... ...

φφφφ ββββ εεεε εεεε εεεε εεεε ββββ ββββ ββββ

εεεε εεεε εεεε ββββ ββββ ββββ εεεε εεεε εεεε ββββ ββββ ββββ

~( )( )

( )( ) ( )( ),

= ′ = +

+ +

.

resulta demonstrado o seguinte

§ 13.02 - O ponteado e o G-ésimo do adjunto. 151


Teor. 1: O escalar do adjunto de um 2H-ádico no espaço G-dimensional é igual à soma dos (G) menores diagonais de grau G-1 do seu G-ésimo.

*

As colunas do adjunto Adj(2HGφφφφ ) são18:

1ª coluna:

); ... )( ... ()1(

...

) ... )( ... (

) ... )( ... (

GH3H2H1G

H2

H1

H1G

GH3H1HG

H3

H1

H

GH3H2HG

H3

H2

H

ββββββββββββεεεεεεεεεεεε



−+−

−

2ª coluna:

−

− +−

( )( )

( )( )

...

( ) ( )( )

... ...

... ...

... ...

H2

H3

HG

H 1 H 3 H G

H1

H3

HG

H 1 H 3 H G

G H1

H2

HG

H 1 H 3 H G

εεεε εεεε εεεε ββββ ββββ ββββ

εεεε εεεε εεεε ββββ ββββ ββββ

εεεε εεεε εεεε ββββ ββββ ββββ1 21

, (021),

etc.. Substituindo as (011), (012), ..., (01G), nestas expressões, vem:

Adj( )

... ... ... ...

2HG

H H H H

H H H

G H H

H H H H

H H H

G H H

H H H G H

H H G H

G H H G

φφφφ




=

′ ′ ′

′ ′ ′

′ ′ ′

11

21 1

12

22 2

1 2

. . .

. . .

. . .

...

...

...

.

Então,

Adj( ) ... ... 2HG

H H HG

H H H Gφφφφ ββββ ββββ ββββ εεεε εεεε εεεε= ′ ′ ′( )( )1 2

1 2 ,

ou melhor, considerando (04), § 12.01:

18 Notar que estamos nos referindo ao adjunto de um determinante.


IV,§ 13.03

Adj( ) (2HG

2H GG

φφφφ φφφφ=~

) , (03).

A fórmula (03) traduz o seguinte

Teor. 2: Num espaço G-dimensional, o G-ésimo do adjunto de um 2H-ádico qualquer é igual ao adjunto do G-ésimo desse poliádico.

Um 2H-ádico tem C

3HG subespaços de dimensão G, isto é, C

3

1 HH = 3 subespaços de

dimensão 1, C3

2H de dimensão 2 etc. O próprio espaço é o seu subespaço de dimensão 3H .

Os Teor.1 e 2 são válidos em qualquer um desses 2 13H

− subespaços (estamos excluindo o subespaço de dimensão zero).

§ 13.03 – Poliádicos incompletos planares e lineares. Consideremos um poliádico qualquer de valência 2H de um G-espaço (3≤G≤NH), escrito em forma G-nomial (§ 09.02 ) em relação à base H-adica arbitrária Hεεεε*

iHi

H2H εεεεααααφφφφ = com i=1,2, ..., G, (G≤NH) (01).

Se 2Hφφφφ é incompleto (Teor. 3, § 11),

0)...( GH

2H

1H =αααααααααααα , (02),

o que exige 3≤G (conforme a definição de produto misto de poliádicos, § 09.05). A expressão (02) significa que os H-adicos Hααααi pertencem (ou são paralelos) a um mesmo P-espaço, com P≤G-1 (logo P≥2); mas isto não significa que o poliádico em si seja k-planar, isto é, menor de algum outro poliádico (§ 09.06).

Aspectos geométricos relativos aos tetrádico incompletos. Recordemos inicialmente que com vetores de um EN (N=1, ou 2, ou 3) geramos

diádicos de um 2N2 E e que, com diádicos de um 2EG (G ≤ N2), geramos tetrádicos de um

2G4 E .

Teor. 1: A todo tetrádico gerado de um 2N

2 E , mas pertencente a um 2G4 E , com G

= N2-J ≥ 1 (logo, J≤ N2-1) está associado um e um único par de 2EG.

Sejam: ii

4 ββββεεεεφφφφ = (i = 1, 2, ..., G) uma redução G-nomial arbitrária do tetrádico 4φφφφ

gerado de um 2N2 E com antecedentes independentes, e β) o 2EG (G = N2 – J e J < N2) ao

qual pertencem os seus conseqüentes. Esse tetrádico - que pertence ao 2G4 E - transforma,

por multiplicação ponteada dupla posterior, qualquer diádico ρρρρ gerado do 2N2 E no diádico

§ 13.03 – Poliádicos incompletos planares e lineares. 153


ρρρρ' do 2EG, β), pois, ii

4 ) ( ββββεεεερρρρφφφφρρρρρρρρ :: ==′ (e os ββββi pertencem a β)). Então 4φφφφ transforma

qualquer 2EG, γ), definido por G diádicos linearmente independentes ρρρρj, no próprio β).

Suponhamos agora que a redução seja ii

4 γγγγµµµµφφφφ = (i = 1, 2, ..., G) com os µµµµi

linearmente independentes, logo com os γγγγi pertencentes a um 2EG denotado por β'). Então, o 2EG, γ), anteriormente considerado deve ser transformado no 2EG γ') dos seus novos

conseqüentes γγγγ1, γγγγ2, ..., Gγγγγ . Como a transformação regida por 4φφφφ é unívoca, o transformado

de γ) é um só, isto é: o 2EG a que pertencem os conseqüentes de 4φφφφ, em qualquer redução G-nomial, com antecedentes independentes, é único. Se fizéssemos a redução G-nomial de 4φφφφ com conseqüentes independentes – operação sempre possível – os antecedentes de 4φφφφ deveriam pertencer a um mesmo 2EG,

digamos α), porque, por hipótese, 4φφφφ pertence a um 2G4 E . Procedendo como anteriormente

comprovaríamos que α) é único. Então, não obstante os antecedentes (um par) de duas reduções G-nomiais arbitrárias de um mesmo tetrádico serem correspondentemente diádicos diferentes, esses diádicos pertencem a um mesmo 2EG. O mesmo ocorre com os conseqüentes de 4φφφφ. Logo, a todos os

tetrádicos gerados de um 2N2 E , mas pertencentes a um 2G

4 E estão associados dois 2EG,

em geral distintos.

Definição: Os 2EG associados a um tetrádico de um 2G

4 E são ditos os 2EG do tetrádico.

Interseção e paralelismo dos 2EG associados a um tetrádico incompleto.

Os 2EG associados a um tetrádico de um 2G4 E estão contidos num 2N

2 E . Assim

(ver § 10.03,II):

1) – se for G+G+1=2G+1>N2 eles terão em comum um 2N2G2 E − , isto é:

Se 2G+1>N2, os 2EG associados a um tetrádico de um 2G4 E se

interceptam segundo um 2N2G2 E − .

Para N=3 (espaço tridimensional dos vetores), por exemplo, e, digamos, G = 6 (caso do espaço diádico simétrico): os 2E6 associados a um tetrádico (não simétrico) de um 4E36 (seria um 4E21 se ele fosse simétrico) se interceptam segundo um 2E3. 2) – se for 2G–2<N2, os 2EG não terão ponto comum. Nesse caso: - Dois 2E4, ambos contidos num 2E4+4-R, sem ponto próprio comum, são (R+1)/4 paralelos se têm um 2ER impróprio comum;

- Dois 2E3, ambos contidos num 2E3+3-R, sem ponto próprio comum, são


IV,§ 13.03

(R+1)/3 paralelos se têm um 2ER impróprio comum;

- Dois 2E2, ambos contidos num 2E2+2-R, sem ponto próprio comum, são (R + 1)/2 paralelos se têm um 2ER impróprio comum;

- Dois 2E1, ambos contidos num 2E1+1-R, sem ponto próprio comum, são (R + 1)/1 paralelos se têm um 2ER impróprio comum. No caso 1), em que os 2EG se interceptam, o produto cruzado dos antecedentes e o produto cruzado dos conseqüentes são diádicos ortogonais a cada um dos 2EG. O ângulo formado por esses dois produtos cruzados é suplementar do ângulo forma pelos 2EG. Assim, pode acontecer que o ângulo dos 2EG seja: de um reto, caso em que o tetrádico será dito ortoG-planar ; ou de dois retos, caso em que ele será dito uniG-planar . Quando G=1 o tetrádico é linear, podendo ser ortolinear se o 2E1 dos antecedentes é ortogonal ao 2E1 dos conseqüentes, ou unilinear se esses 2E1 são paralelos.

O teorema 1 e os conceitos vistos podem ser facilmente estendidos aos 2H-ádicos em geral.

A representação G-nomial dos 2H-adicos incompletos pode ser reduzida a um número de H-ades menor que G. Com efeito, se dentre os G-1 poliádicos Hααααi do G-espaço não existir combinação linear, eles constituirão uma base do mesmo. Então, escrevendo um deles como uma combinação linear dos demais, por exemplo,

jHj

GH A αααααααα = para j=1,2, ...,G-1, vem: GH

jHj2H

2H1H

1H2H ) A(... εεεεααααεεεεααααεεεεααααφφφφ +++= ;

ou seja, desenvolvendo e agrupando convenientemente,

) A(...) A() A( GH1G1-GH1-G

HH22H2

HH11H1

H2H εεεεεεεεααααεεεεεεεεααααεεεεεεεεααααφφφφ −++++++= .

Os G-1 poliádicos conseqüentes de 2Hφφφφ são necessariamente dependentes de um mesmo (G-1)-espaço porque o produto cruzado deles é um poliádico do G-espaço. De fato,

pondo GHjjHjH A εεεεεεεεµµµµ += , tem-se (§ 09.03):

1G

2

1G

H1G

H2

H1

H

GH2H1H1GH2H1H

A1...00

.........

A0...10

A0...01

...

)...(...

−

−

− >=<

εεεεεεεεεεεεεεεε

εεεεεεεεεεεεµµµµµµµµµµµµ ,

ou seja, desenvolvendo,

]. A... A)1( )1[(

)... (...

1H1

1GH1GG

GH1G

GH2H1H1G1

H2H1H

εεεεεεεεεεεε

εεεεεεεεεεεεµµµµµµµµµµµµ

++−+−

>=<

−−+

−

Ora, os dois fatores no segundo membro são não nulos; o primeiro porque é o produto misto

§ 13.03 – Poliádicos incompletos planares e lineares. 155


dos poliádicos da base escolhida, o segundo porque é uma combinação linear dos poliádicos da base recíproca. Por conseguinte, 2Hφφφφ, incompleto no G-espaço, é completo no (G-1)-espaço; diremos que ele é planar com grau de nulidade 1, ou 1-planar. Se, subsistindo (02), dentre os G-1 poliádicos Hααααi do (G-1)-espaço existir alguma combinação linear - digamos HααααG-1 e HααααG-2 sendo paralelos, caso em que poderemos escrever: HααααG-1= k HααααG-2 - então G-2 dentre os G-1 poliádicos constituirão uma base porque

0)...( 1-GH

2H

1H =αααααααααααα . Nesse caso, 2Hφφφφ é dito planar com grau de nulidade 2, ou, 2-

planar, sendo completo no seu (G-2)-espaço. Se, de outro lado, dentre os G poliádicos que satisfazem (02), existir uma dependência linear entre apenas três deles, digamos entre HααααG-2,

HααααG-1 e HααααG - caso em que um deles (digamos HααααG) poderá ser expresso em função dos outros dois (eles são coplanares ou de um mesmo 3-espaço) - então os G-1 poliádicos Hααααi (i=1,2, ...,G-1) serão dependentes de um subespaço, G-2 quaisquer deles constituirão uma base do mesmo e, portanto, pertencerão a um (G-2)-espaço. Nesse caso, então, 2Hφφφφ é planar com grau de nulidade 3, ou 3-planar. É evidente que essa análise pode ser ampliada por consideração de dependências lineares entre 4 ou mais dos poliádicos Hααααi, entre dois (ou mais) grupos dentre os mesmos Hααααi, cada um com uma relação de dependência. As relações de dependência vão simplificando a escrita G-nomial de um poliádico (não nulo) 2Hφφφφ à medida que o seu grau de nulidade vai aumentando; isto significa, concomitantemente, que ele pertence a espaço de dimensão cada vez menor, podendo chegar-se ao caso extremo em que todos os seus poliádicos motivo, Hααααi, sejam paralelos, tendo, então, grau de nulidade máximo, G-1; nesse caso o poliádico será dito (G-1)-planar ou, simplesmente, linear; e sua escrita G-nomial é monomial (tendo apenas uma políade). Se um poliádico linear tiver ponteado (ou escalar) nulo (§ 08.02), o seu antecedente será perpendicular ao seu conseqüente e ele será dito ortolinear . Se um 2H-adico linear tiver cruzado nulo (§ 10.01) o seu antecedente será paralelo ao seu conseqüente e ele será dito unilinear . Se um poliádico tem grau de nulidade J, a sua escrita G-nomial é reduzida à escrita P-nomial

jHj

H2H µµµµααααφφφφ = com j=1,2, ..., P= G-J, (03);

e ele é dito P-planar.

O H-adico >< PH

2H

1H ... αααααααααααα é, por definição (§ 09.03), ortogonal ao subespaço

do qual o conjunto PH

2H

1H ..., ,, αααααααααααα é base; analogamente com relação ao H-adico

>< PH2H1H ... µµµµµµµµµµµµ . Se esses H-adicos forem ortogonais, isto é,

>< PH

2H

1H ... αααααααααααα H

• >< PH2H1H ... µµµµµµµµµµµµ =0, (04),

diremos que 2Hφφφφ é ortoplanar (ou ortoP-planar se quisermos indicar a dimensão do espaço


IV,§ 13.03

a que pertence) e que o espaço dos seus antecedentes é ortogonal ao espaço dos seus conseqüentes.

Caracterização dos incompletos pelo adjunto.

Teor. 1: Uma CNS para que um 2H-adico de um G

2H E (3≤G≤N2H) seja incompleto é

que o seu produto ponteado H-plo pelo seu adjunto seja o 2H-adico nulo:

ΟΟΟΟφφφφφφφφφφφφ 2HG~

2HH .

2HG

2H 0 =⇔= , (05).

O teorema direto é de demonstração evidente em vista de ((08), §13.01), pois

0 G2H =φφφφ . Reciprocamente, se

φφφφφφφφΟΟΟΟφφφφφφφφ 2HH .

G~

2H2HG~

2HH .

2H == ,

então, ainda conforme ((08), §13.01), 0 2HG

2H =ΙΙΙΙφφφφ , ou seja, 0 G2H =φφφφ e φφφφ2H é

incompleto.

Teor. 2: Se um 2H-adico de um G

2H E (3≤G≤N2H) é linear, o seu G-ésimo e o seu

adjunto são nulos. De fato, se o poliádico é linear os seus antecedentes (ou os seus conseqüentes) numa escrita G-nomial arbitrária são paralelos; logo o seu G-ésimo – produto múltiplo misto dos antecedentes pelo produto múltiplo misto dos conseqüentes - é evidentemente nulo. Como o antecedente (ou o conseqüente) do seu adjunto é o produto cruzado múltiplo dos seus antecedentes (conseqüentes) este será um H-ádico nulo (por ser um produto cruzado de poliádicos paralelos); logo o adjunto é o 2H-ádico nulo.

Corol. 1: As CsNsSs para que um 2H-ádico de um G

2H E (3≤G≤N2H) seja planar

com grau de nulidade J (ortoplanar), são que seu G-ésimo seja nulo e seu adjunto linear (ortolinear) num (G-J)-espaço.

Seja 2Hφφφφ um poliádico de um G2H E e iH

iH2H εεεεααααφφφφ = com i=1,2, ..., G,

(3≤G≤32H), a sua escrita G-nomial em relação à base H-ádica arbitrária Hεεεε*. Se 2Hφφφφ é planar e tem grau de nulidade J, os seus antecedentes são dependentes de um HEP, com

P=G-J, seu G-ésimo é nulo – ele é incompleto no G2H E - e pode ser escrito na forma (03).

Então, considerando a definição ((02), §13) do adjunto, escrevemos:

>><<−

= kHjHiHk

Hj

Hi

HP~

2H ......)!1P(

1 µµµµµµµµµµµµααααααααααααφφφφ

para i≠j...≠k e i,j, ...,k=1,2,...P=G-J, (061).

§ 13.04 – Potências ponteadas de poliádicos incompletos. 157


O poliádico 2Hφφφφ é completo no HEP. Sendo,

><ε>=< PH

2H

1H

k...ijkH

jH

iH ... ... αααααααααααααααααααααααα

e

><ε>=< PH2H1Hk...ijkHjHiH ... ... µµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµ ;

então, com P-1 índices i,j,...k,

>><<εε−

= PH2H1HP

H2

H1

Hij...kij...k

P~

2H ......)!1P(

1 µµµµµµµµµµµµααααααααααααφφφφ , (062).

Lembrando propriedade ((15),§14,II) dos permutadores a vários índices, vem, finalmente,

>><<−

= PH2H1HP

H2

H1

HP~

2H ......)!2P(

P µµµµµµµµµµµµααααααααααααφφφφ , (05),

o que mostra, evidentemente, que P~

H2 φφφφ é linear.

A condição é suficiente porque se o poliádico tem G-esimo nulo, os seus antecedentes são dependentes de um mesmo subespaço, podendo ser planar com certo grau de nulidade, ou linear. Mas linear ele não pode ser porque, pelo Teor. 2, o seu adjunto seria o poliádico nulo e este deve ser linear num (G-J)-espaço, por hipótese. Então o grau de nulidade do poliádico planar é J.

O mesmo raciocínio pode ser aplicado no caso de o poliádico 2Hφφφφ ser ortoplanar, caso em que o seu adjunto será, obviamente, ortolinear.

Corol. 2: As CsNsSs para que um 2H-ádico de um G

2H E seja linear são que seu

G-esimo e seu adjunto sejam nulos.

As condições são necessárias pelo Teor. 2. As condições são suficientes porque se

um 2H-ádico de um G2H E tem G-esimo nulo ele é planar com grau de nulidade J<P, ou

linear (J=1). Mas, pelo Corol. 1, tendo esse poliádico adjunto nulo, ele não pode ser planar; logo, deve ser linear.

§ 13.04 – Potências ponteadas de poliádicos incompletos.

Potências ponteadas de poliádicos lineares e ortolineares

Teor. 3: A potência ponteada H-pla de dado 2H-ádico linear é um 2H-ádico paralelo ao 2H-ádico dado:

se 2Hφφφφ é linear, então φφφφφφφφ 2H2H K Q =•

(K=escalar constante).


IV,§ 13.04

Consideremos o poliádico linear µµµµεεεεφφφφ HH2H A = , com K HH

H =• µµµµεεεε . Tem-se,

sucessivamente:

φφφφφφφφµµµµεεεεµµµµεεεεµµµµεεεεφφφφ 2H2HHH

HHHHH

H22H C ) (A ) ( A 2 === •••

(com C=AK);

φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ 2H22HHH

2H2H CC C 2 3 ===

••

• ;

etc.,

φφφφφφφφ 2H1-Q2H C Q =•

.

Corol. 1: O quadrado ponteado de qualquer 2H-ádico ortolinear é o 2H-ádico nulo:

Se 2Hφφφφ é ortolinear, então ΟΟΟΟφφφφ 2H2H 2 =•

.

Pois seria, pela demonstração anterior, K = 0, isto é, C = 0.

Corol. 2: O produto ponteado H-plo de duas potências ponteadas quaisquer de dois 2H-ádicos lineares é um 2H-ádico paralelo ao produto ponteado H-plo dos 2H-ádicos base:

ψψψψφφφφψψψψφφφφ HH

2HHH

2H R

•• =•β

•α (R=escalar constante)

Sejam εεεεεεεεφφφφ ′= HH2H A e µµµµµµµµψψψψ ′= HH2H B dois 2H-ádicos lineares base. Sendo,

pelo teorema demonstrado,

φφφφφφφφ 2H1-2H C α=•α e ψψψψψψψψ 2H1-2H D

β=•

β

deduzimos:

ψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφ 2HH

2H2HH

2H1-1-2HH

2H R DC

••βα

• ==•

β•α .

Potências ponteadas de poliádicos planares e ortoplanares

Lema 4: Se 4ψψψψ e 4ψψψψ' são tetrádicos K-planares e pertencem ambos a um G

4 E , o

produto ponteado duplo deles é um tetrádico K-planar de G4 E .

§ 13.04 – Potências ponteadas de poliádicos incompletos. 159


Ponhamos kk

4 ββββααααψψψψ = e kk

4 ββββααααψψψψ ′′=′ para k=1, 2, ..., G-K, pois ambos são K-

planares, isto é, os subespaços diádicos dos seus antecedentes são idênticos, bem como os dos seus conseqüentes. Então:

kk

jj

kk

44 '') ( ββββααααββββααααββββααααψψψψψψψψ =′′=′ :: , com jkj

jj

kk'' C)':( ββββββββααααββββββββ ′=′= ,

o produto deles tendo, pois, por antecedentes os ααααk e por conseqüentes os ββββ ''k que são combinações lineares dos ββββ'k. Logo, esse produto é k-planar.

Teor. 5: Se 4ψψψψ é um tetrádico ortoplanar pertencente a um G

4 E , o seu quadrado

ponteado também é ortoplanar, mas pertencente a um 2N-2GE4 .

Seja 4ψψψψ=ααααkββββk uma representação de um tetrádico ortoplanar com k=1, 2, ..., G, (3≤G≤N4, com N=2 ou N=3). O subespaço dos diádicos antecedentes de 4ψψψψ, de G dimensões, é ortogonal ao subespaço dos seus conseqüentes (também de G dimensões) e ambos estão contidos no espaço dos tetrádicos que tem dimensão N4. Por ser G+G+1>N2, isto é, G>(N2-1)/2, o subespaço dos antecedentes e o dos conseqüentes de 4ψψψψ têm um subespaço diádico em comum (Teorema, §10.03 ,II), de dimensão G+G+N2=2G-N2. Sobre cada reta interseção desses subespaços (em número de 2G-N2) podemos escolher diádicos λλλλu (u=1, 2, ..., 2G-N2) como parte de uma base a ser completada para referir o espaço dos tetrádicos.

O espaço complementar do 2N-2G2 E , a este ortogonal, é o )N2G(N

222E −− , isto é,

G)2(N2

2E − . Por ser 2(N2-G)+G+1>G, isto é, 2N2>G-1, os subespaços dos antecedentes de

4ψψψψ e o subespaço complementar 2N-2G2 E têm um subespaço em comum (conforme o

mesmo teorema anteriormente citado), de dimensão 2(N2-G)+G-N2=N2-G. Sobre as retas interseção desses subespaços poderemos escolher outros N2-G diádicos, digamos os diádicos ννννv (v=1, 2, ..., N2-G), para compor a base pretendida. Procedemos analogamente com relação ao subespaço dos conseqüentes de 4ψψψψ e sua interseção com o subespaço complementar, escolhendo outros N2-G diádicos µµµµw (w=1, 2, ..., N2-G) para compor a base. Vale observar que as direções desses diádicos de base estão todas bem definidas, os νννν e os µµµµ sendo ortogonais aos λλλλ, e ortogonais entre si, porque eles pertencem a subespaços ortogonais (por hipótese o tetrádico é ortoplanar). Apenas os módulos dos diádicos dessa base ortogonal são arbitrários, podendo, sem qualquer prejuízo, ser considerados unitários. Adotaremos essa hipótese. Podemos escrever:

rrksskkˆ)ˆ (ˆ)ˆ ( λλλλλλλλαααανννννννναααααααα :: += (no subespaço dos antecedentes),


IV,§ 13.04

uuk

ttkk ˆ)ˆ (ˆ)ˆ ( λλλλλλλλββββµµµµµµµµββββββββ :: += (no subespaço dos conseqüentes),

com s,t = 1, 2, ..., N2-G e r, u = 1, 2, ...,2G-N2, valendo observar que as coordenadas de ααααk em relação aos diádicos de base tµµµµ são todas nulas (os tµµµµ são ortogonais ao subespaço dos

antecedentes), bem como as de ββββk em relação aos diádicos sνννν .

O quadrado ponteado de 4ψψψψ é, então, escrito na forma ii

kk

4 ) (2 ββββααααββββααααψψψψ :=•

, com k,

i = 1, 2, ..., G. Mas, lembrando as expressões de ααααk e ββββk acima escritas e observando que os

duplos produtos ts ˆ ˆ µµµµνννν : , usˆ ˆ λλλλνννν : e tr ˆ ˆ µµµµλλλλ : são todos nulos quaisquer que sejam os índices,

tem-se:

) ˆ)(ˆ ( iuuk

ik ααααλλλλλλλλββββααααββββ ::: = ,

uma vez que ruurˆ ˆ δ=λλλλλλλλ : (os δru são os deltas de Kronecker). Então:

) ˆ)(ˆ ( ) ˆ)(ˆ ( 4uu

4iiuu

kk

4 2 ψψψψλλλλλλλλψψψψββββααααλλλλλλλλββββααααψψψψ :::: ==•

,

com u= 1, 2, ..., 2G-N2. Para cada valor de u está definido um diádico antecedente para

•24 ψψψψ , e um diádico conseqüente. Como o antecedente de u

4 ˆ λλλλψψψψ : é uma combinação dos

antecedentes de 4ψψψψ, e ψψψψλλλλ 4u ˆ : é uma combinação linear dos conseqüentes de 4ψψψψ,

•24 ψψψψ é um

tetrádico ortoplanar com 2G-N2 antecedentes e 2G-N2 conseqüentes, o que demonstra o teorema.

Notas:

1 - O quadrado do ortoplanar 4ψψψψ, este com grau de nulidade N2-G, é, então, um ortoplanar com grau de nulidade N2-(2G-N2)=2(N2-G), isto é: Se um tetrádico é ortoplanar e tem grau de nulidade J, o seu quadrado é ortoplanar e tem grau de nulidade 2J. Assim, por exemplo, o quadrado do tetrádico ortoplanar com grau de nulidade 4 é um

tetrádico linear, isto é, se 55

443

22

11

4 3 ββββααααββββααααββββααααββββααααββββααααψψψψ ++++= seu quadrado é do tipo

)BBBBB(

)AAAA(A5

54

43

32

21

1

55

44

33

22

1124

ββββββββββββββββββββααααααααααααααααααααψψψψ

++++++++=

•

,

os coeficientes A1, A2, ... e B1, ... sendo escalares bem determinados e fixos. Esse caso de potência de tetrádico ortoplanar tem como similar o caso de potência de diádico ortoplanar referido no Corol. 2, Teor. 4, §05.04, II. 2 – O lema 4 e o teorema 5 podem ser facilmente estendidos aos 2H-ádicos. Conforme observamos no §09.06 (início), todos os resultados obtidos para o espaço dos diádicos (que têm até nove dimensões) podem ser estendidos aos espaços com um número finito qualquer de dimensões. Isto equivale a considerar espaços H-ádicos de G dimensões com 3≤G≤NH, escrever 2Hψψψψ=Hααααk

Hββββk com k=1,2,...,G etc..

§ 14.01- Tetrádico de mudança de base. 161


§ 14 – TRANSFORMAÇÕES POR SIMILARIDADE.

§ 14.01- Tetrádico de mudança de base.

Definição

Sendo µµµµ = r ei

i (i = 1, 2, 3) o diádico de mudança da base e* para a base r *,

então, ii .er µµµµ= ; ii

1 re=−µµµµ é o diádico de mudança da base r * para a base e*. Em

geral, todo diádico completo é um diádico de mudança de base. Se φφφφ e ψψψψ são similares mediante µµµµ, conforme definido (§02,III),

φφφφ µµµµ ψψψψ µµµµ ψψψψ µµµµ φφφφ µµµµ= =− −. . . .1 1 e , (01). Tem-se: φφφφ ψψψψ ψψψψ= =r e . . e r : e e r r

jj

ii j

i ji ( ) ( ) , ou seja,

311)( r

−= µµµµµµµµψψψψφφφφ : , pois ii

jj

1 reer=−µµµµµµµµ e iji

j11 3)( rree=−r

µµµµµµµµ , (02);

ou, ainda,

φφφφ µµµµµµµµ ψψψψ µµµµµµµµ= =− −( ) pois ( )1j

i ji

13 31 1s w

: r r e e .

Analogamente tem-se: ) () ()( jij

ij

ijij

ji

i φφφφφφφφφφφφψψψψ :rreeeerr:e.r.re === , isto é,

ψψψψ φφφφ µµµµ µµµµ µµµµ µµµµ φφφφ= =− − ( ) ( )1 13 3: : 1 1r s

,

o que se comprova facilmente. De ii

jj

1 reer=−µµµµµµµµ podemos deduzir:

4 1µµµµ µµµµµµµµ= =− ( )1 ji j

i3

r

e e r r (i, j = 1, 2, 3), (03),

sendo, como é fácil demonstrar:

( ) ( ) ( )1 1 13 3 3µµµµµµµµ µµµµ µµµµ µµµµ µµµµ µµµµ µµµµ µµµµ− − −= = =1 4 2 1 4 4 2 1s r r s s r s

, , .

Então

φφφφ ψψψψ µµµµ µµµµ ψψψψ ψψψψ φφφφ µµµµ µµµµ φφφφ= = = = e 4 4 4 4: : : :r s s r2 2 .

Sendo, ainda, nmn

mjij

i ) )( ( rree:eerr:φφφφφφφφ = , vem:

φφφφ φφφφ µµµµ µµµµ φφφφ µµµµ µµµµ µµµµ µµµµ φφφφ= = =( ) 4 4 4 4 4 4: : : : : :s s r s r

2 2 ,

resultando, assim, que 4 4 e µµµµ µµµµs

são inversos, pois

ΙΙΙΙµµµµµµµµ 4jij

inmn

mjij

i44 )( )( === rrrrrree:eerr:s

,

162 § 14 – Transformações por similaridade.

IV,§ 14.01

ou, ainda,

s r s r s s r r4 4 4 4 4 4 4 4 4 µµµµ µµµµ µµµµ µµµµ µµµµ µµµµ µµµµ µµµµ: : : := = = =2 2 2 2ΙΙΙΙ .

Em resumo:

jij

i41114 3)( eerr====µµµµ====µµµµµµµµ====µµµµ −−−−−−−−sr

(i, j = 1, 2, 3), (04),

Definição: (tetrádico de mudança de base) Se µµµµ for um diádico de mudança de base (um completo qualquer), os tetrádicos inversos:

4 1 4 1µµµµ µµµµµµµµ µµµµ µµµµ µµµµ= =− − ( ) e ( )1 1

3 3

r s r

, (05),

serão ditos os tetrádicos de mudança de base associados a µµµµ e µµµµ-1,

respectivamente; vice-versa, µµµµ e µµµµ-1 serão ditos associados a 4 4 e µµµµ µµµµs

. Como (04) é conseqüência de (01), podemos escrever:

φφφφ µµµµ ψψψψ µµµµ φφφφ ψψψψ µµµµ µµµµ ψψψψ= ⇔ = =−. . : :1 4 4 2r

, (06), e

φφφφµµµµµµµµφφφφψψψψµµµµφφφφµµµµψψψψ 2441 ::..rss

==⇔= − , (07).

Em resumo: Se um diádico φφφφ é similar a um segundo, ψψψψ, mediante o completo µµµµ, isto é, φφφφ µµµµ ψψψψ µµµµ= −. . 1, então φφφφ é a transformação linear de ψψψψ (por multiplicação ponteada dupla) pelo

tetrádico 4 1µµµµ µµµµµµµµ= − ( )13

r

para ser usado como pós-fator: µµµµψψψψφφφφ 4 := ; ou pelo seu transposto, 4 2 1µµµµ µµµµµµµµ

r s

= − ( )13 , para ser usado como pré-fator: ψψψψµµµµφφφφ 24 :r

= .

Notar que se ββββηηηηαααα 4 := , então T1P

TT24T )( ηηηηββββηηηηηηηηββββηηηηηηηηββββαααα ..::: −===s

, isto é, ααααT é

similar a ββββ mediante ηηηη-1.

Propriedades e invariantes primários Particularmente, poderá ser φφφφ=ψψψψ=µ (pois existe a identidade evidente µ=µ.µ.µ-1), de

onde resulta: µµµµµµµµµµµµ 4 := . Tem-se, ainda:

4µµµµ:µµµµP=ejei(r jri:r kek)=ejeiδj

k(r i.ek)=ej (ej.ri)ei=µµµµP.

Logo:



Teor. 1: Todo tetrádico de mudança de base opera como o tetrádico unidade (4ΙΙΙΙ) sobre o seu diádico de mudança associado, µ, em multiplicação ponteada dupla posterior, ou sobre o principal de µ, µP, em multiplicação ponteada anterior:

:0 com ,

P4

P

4

3

µµµµµµµµ====µµµµ

µµµµµµµµ====µµµµ≠≠≠≠µµµµµµµµ∀∀∀∀

:

:, (08).

Invariantes

Dentre os invariantes de um tetrádico de mudança de base (§10.01) destacam-se o ponteado e o cruzado (§ 08.02). Tem-se:

PEE-1E EE

4 µµµµµµµµµµµµµµµµµµµµ == , (09),

e

PVV-1V VV

4 µµµµµµµµµµµµµµµµµµµµ =−= , (10).

Pois de (03), escrevemos:

oooooo

ooo oooo Pi

ijji

jij

-1

T

iij

jiji

j4 ))(( ))(( µµµµµµµµµµµµµµµµµµµµ ====== erereerrrererree (11),

expressão da qual podemos deduzir (09) e (10) conforme façamos ≡ ., ou ≡×. Aplicando (06)1, para ψψψψ µµµµ µµµµ= − −

V V 1 temos, lembrando ((17),§08.01,II) e

((02)1,§08.02,II):

) )( () )( ( 1PVV

1-1V V

−− =− µµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµ .... (12),

e

))(())(( VPV1

V-1V

1 µµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµ .... −− =− (12)1.

Existem as seguintes relações entre µµµµ, µµµµT, µµµµP, µµµµ-1, 4µµµµ e seus invariantes 1V

4µµµµ e 3V

4µµµµ

(§10.02):

11V

44 )()( )( :,1

−− ×=×=−=×∀ µµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµΙΙΙΙµµµµ .rr..r:rr , (13),

PT

PT

V44 )()( )(

3µµµµµµµµµµµµµµµµµµµµΙΙΙΙµµµµ .rr.r.r: ×=×==−× , (13)1.

Com efeito, ij

ji

kjk

jii

) (] )[( rre.errree:eer ×=× . Mas,

i

ij

ji

ij

ji

jj

i)()()() ( rer.erre.rerrre.er ×=×=× ; logo: i

ij

ji

jj

i) () ( re.rerrre.er ×=× .


IV,§ 14.01

Lembrando que µµµµ = r ei

i e ii

1 re=−µµµµ , as relações a que chegamos permitem comprovar a

veracidade das fórmulas (13). Analogamente podemos demonstrar a validade das (13)1. Para r = µµµµ

V, particularmente, caso em que, conforme ((01),§06.04,II)

µµµµµµµµΙΙΙΙµµµµ −=× TV e )( T

V µµµµµµµµµµµµµµµµµµµµ −=× . ,

temos, de (13), ou aplicando ((06)1,§14.01):

1T4V )( )( −−=× µµµµµµµµµµµµµµµµµµµµΙΙΙΙµµµµ ..: , (14).

É fácil ver que o nono do tetrádico de mudança de base é igual ao produto dos módulos das bases diádicas que o definem. De fato, consideremos o tetrádico escrito na forma (03), mas vendo suas tétrades como tétrades binárias. Isto significa entender suas díades antecedentes e conseqüentes como díades das bases diádicas geradas das bases dadas (e suas recíprocas) e1, e2, e3 e r 1, r 2, r 3, respectivamente. O nono do tetrádico (ver (04),§11.01) é igual ao produto dos produtos mistos das díades antecedentes e conseqüentes, produtos esses que são iguais aos módulos das bases que lhes correspondem, isto é:

|| ||94 ∗∗∗∗

∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗====µµµµ rree , (15).

Para um µ qualquer, tem-se:

ΙΙΙΙ================µµµµ ii

ij

ji

iji

jE

4 )(1

rrrrrr.ee δ e ΙΙΙΙ================µµµµ iij

i iji

jij

E4 )(

3eeee.rree δ .

Da identidade ΙΙΙΙ=µ.ΙΙΙΙ.µ-1 resulta:

1E44 µµµµ====µµµµΙΙΙΙ====ΙΙΙΙ : .

Da mesma forma:

ΙΙΙΙ====µµµµ====ΙΙΙΙµµµµ3E

44 : .

Assim:

Teor. 2: O primeiro e o terceiro escalares de todo tetrádico de mudança de base, 4µ, são iguais ao diádico unidade; a transformação deste por aquele, em multiplicação ponteada dupla anterior ou posterior, é operação idêntica:

31 E4

E444

3 :0 com , µµµµ====µµµµ====ΙΙΙΙµµµµ====µµµµΙΙΙΙ====ΙΙΙΙ≠≠≠≠µµµµµµµµ∀∀∀∀ :: , (16).

Matrizes associadas a tetrádico de mudança de base

De uma base vetorial dada podemos gerar uma base diádica associada (§10.02,II); e seus diádicos componentes (todos lineares) podem ser denotados por pelo menos três critérios: o de Voigt, o moderno e o “preparado”, resumidos na Tabela 7 “Critérios para



numeração de diádicos de base”, auto-explicativa, apresentada em Apêndice.

Considerando-se, então, o tetrádico de mudança da base e para base r , dado por (03), poderíamos escrevê-lo na forma de tétrades binárias (§01.03)

uu4 ηηηηµµµµµµµµ = , (u=1,2,3,4,...,9), (17),

em que, usando notação preparada (Tabela 7), os diádicos µu formando o conjunto e1e1=µµµµ1, e1e2=µµµµ2, e1e3=µµµµ3, e2e1=µµµµ4, ... e os diádicos ηv o conjunto r 1r

1=ηηηη1, r 1r2=ηηηη2,

r 1r3=ηηηη3, r 2r

1=ηηηη4, .... Os recíprocos desses sistemas estão bem determinados; tem-se: µµµµ1=e1e

1, ..., µµµµ4=e2e1, ... e ηηηη1=r 1r 1, ..., ηηηη4=r 2r 1, ... . Podemos escrever 4µµµµ numa forma

cartesiana qualquer, digamos,

mk

ijm

ki

jmk

ijmi

kji

jij4 ) ())(( eeeeee:rreeee.er.errree ===µµµµ , (i,j,k,m=1,2,3), (18).

Com a notação adotada podemos escrever o último membro de (18) na forma (ηηηηu:µµµµv)µµµµuµµµµv, ou na forma Muvµµµµuµµµµv. As matrizes associadas a 4µ são diferentes em função da notação desejada. Usar quatro índices significa adotar o critério já está estabelecido no §03.04. Interessando uma representação em bases diádicas, dois índices apenas podem ser utilizados. Assim, adotando-se a notação preparada, a matriz duplamente covariante associada a 4µµµµ será:

=∗∗

99

93

92

91

41

31

29

23

22

21

19

14

13

12

11

prep4

M...MMM

...

M

M

M...MMM

M...MMMM

][ µµµµ .

Com as notações de Voigt e moderna essas matrizes são, respectivamente:

=∗∗

33

35

36

31

81

51

63

65

66

61

13

18

15

16

11

Voi4

M...MMM

...

M

M

M...MMM

M...MMMM

][ µµµµ e

=∗∗

33

36

34

31

71

64

61

43

46

44

41

13

14

16

14

11

mod4

M...MMM

...

M

MM

M...MMM

M...MMMM

][ µµµµ .

Tais matrizes são as “matrizes covariantes de mudança da base ηηηη* para a base µ*”. Deve ser observado que os índices u e v poderão ser dispostos em níveis quaisquer, conforme as conveniências. O que importa é a aplicação correta da correspondência estabelecida (pela citada Tabela 7).


IV,§ 14.02

§ 14.02- Transformação de tetrádicos por similaridade.

Consideremos dois diádicos completos, φφφφ e ψ, similares mediante o diádico µ de mudança de base referido no parágrafo anterior.

Teor. 1: 0 e 0 com , . . Se 33

1 ≠≠= − ψψψψφφφφµµµµψψψψµµµµφφφφ , então

33 11411444144 )( e )( para rr

−−− === ψψψψψψψψψψψψφφφφφφφφφφφφµµµµψψψψµµµµφφφφ :: (01).

Tem-se:

jj

ii

jj

ii

1 ) () ( ree:rr.e.er.. ψψψψ====ψψψψ====µµµµψψψψµµµµ====φφφφ −−−−

e m

mk1

km

m1k

k111 ) () ( ree:rr.e.er.. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ψψψψ====ψψψψ====µµµµψψψψµµµµ====φφφφ .

Logo:

mi

14m

kj

ik

jmik

jm

k1j

i114 ) () () ()( 3 rreeeerrrrrree:ee: −−−−••••

−−−−−−−− ψψψψψψψψ====ψψψψψψψψ====φφφφφφφφ====φφφφr

,

ou, ainda, efetuando transposição 31r

dentro dos parênteses:

m

i114

mik

jkj4 ])( [ 3 rreeeerr

r−−−−

•••• ψψψψψψψψ====φφφφ .

Observando a presença de 4

ψ dentro dos colchetes, e lembrando que o produto ponteado quádruplo pode ser escrito na forma de duas multiplicações ponteadas duplas, escrevemos, finalmente:

mim

i4kjk

j4 ) ( rree::eerr ψψψψ====φφφφ .

No segundo membro vemos o tetrádico 4ψ pós-multiplicado duplamente por 4µ e pré-

multiplicado por 4µ-1 (conforme (03) e (04), § 14.01); o que acarreta a veracidade de (01). Notar que

1 . . −= µµµµψψψψµµµµφφφφ acarreta µµµµψψψψµµµµφφφφ 44144 ::−= , e não 14444 −= µµµµψψψψµµµµφφφφ :: .

Vamos, agora, estender o conceito de similaridade (de dois diádicos φφφφ e ψψψψ, mediante µµµµ) a dois tetrádicos 4φφφφ e 4ψψψψ mediante um tetrádico 4µ, com a seguinte

Definição: Se 4µµµµ é um tetrádico de mudança de base e 4φφφφ e 4ψψψψ são tetrádicos entre os quais existe a relação

14444 −= µµµµφφφφµµµµψψψψ :: , (02),

§ 14.02- Transformação de tetrádicos por similaridade. 167


então diz-se que 4ψψψψ é obtido de 4φφφφ mediante uma transformação similar na qual 4µµµµ é o tetrádico de transformação. O tetrádico 4ψψψψ é dito, ainda, similar a 4φφφφ mediante 4µµµµ.

É evidente que se 4ψψψψ é similar a 4φφφφ mediante 4µµµµ, então 4φφφφ é similar a 4ψψψψ mediante

14 −−−−µµµµ , pois

) ( ) ( 41444144414 µµµµµµµµφφφφµµµµµµµµ====µµµµψψψψµµµµ −−−−−−−−−−−− ::::::

ou seja,

µµµµψψψψµµµµ====φφφφ −−−− 44144 :: , (021).

Propriedades dos tetrádicos e das transformações similares.

Consideremos agora dois tetrádicos, cada um referido a uma base diádica, escritos, por exemplo, nas formas enanomiais 4φφφφ=ρρρρiα

i e 4ψψψψ=εiβi (i=1,2,...,9) com antecedentes

independentes. O tetrádico de mudança da base ε* para a base ρ* é 4µ=ρρρρiε

i e seu

principal (§13.01) é ii

P4 εεεερρρρµµµµ = . Tal como comprovado para os diádicos, podemos,

também, comprovar para os tetrádicos o seguinte

Teor. 2: A CNS para que dois tetrádicos, 4φφφφ =ρρρρiα

i e 4ψψψψ = εiβi, reduzidos a formas

eneanomiais com antecedentes independentes e distintos, sejam similares, é que os conseqüentes de 4φφφφ (diádicos αi) sejam transformados dos conseqüentes de 4ψψψψ (diádicos βi) mediante o principal (4

µP) do tetrádico (4µ) de mudança da base dos antecedentes de 4ψψψψ (diádicos εi) para a base dos antecedentes (ρi) de 4φφφφ. Teor. 3: Se dois tetrádicos são similares, são iguais as suas coordenadas mistas homônimas relativas às suas respectivas partes espaciais; e reciprocamente.

Consideremos as reduções eneanomiais arbitrárias já citadas dos tetrádicos similares 4φφφφ e 4ψψψψ, com antecedentes independentes, e o tetrádico de mudança de base, 4µµµµ. Podemos escrever:

jij

i4 )( ρρρρρρρρρρρρααααφφφφ := , e nmn

m4 )( εεεεεεεεεεεεββββψψψψ := ,

expressões estas que representam as formas cartesianas mistas de φφφφ e ψψψψ nas suas respectivas bases (ρ* e ε*). Devemos comprovar que αi:ρj = βi:εj para todo i e j. Por hipótese 4φφφφ=4

µ:4ψψψψ:4µ

-1; logo:

====φφφφ====ρρρρρρρρρρρραααα 4jij

i ):(

.)()(

)(])[()(

jij

iji

nj

im n

m

jj

nmn

mii

ρρρρρρρρεεεεββββρρρρρρρρεεεεββββ

ρρρρεεεεεεεεεεεεεεεεββββεεεερρρρ

::

:::

=δδ=

==


IV,§ 14.03

Igualando as coordenadas do primeiro membro e do último da igualdade acima, concluímos a tese. Reciprocamente, se são iguais as coordenadas mistas homônimas de dois tetrádicos em bases diferentes, esses diádicos são similares. Ponhamos:

ji

ij

4 A εεεεεεεεψψψψ = e ji

ij

4 B ρρρρρρρρφφφφ = , com A B ji

ji= .

Sendo ii

4 εεεερρρρµµµµ = , tem-se:

. e , jP

4ji

4ii

iP

4 εεεεµµµµρρρρεεεεµµµµρρρρεεεερρρρµµµµ :: === Logo:

TP

4ji

ij

4jP

4i

4ij

4 )A( ))((A µµµµεεεεεεεεµµµµεεεεµµµµεεεεµµµµφφφφ :::: == .

Lembrando que 14TP

4 −= µµµµµµµµ , resulta: 14444 −= µµµµψψψψµµµµφφφφ :: , isto é, 4φφφφ e 4ψψψψ são similares.

Como as bases a que se referem os Teoremas 1 e 2 são arbitrárias podemos enunciar:

Corol. 1: A CNS para que dois tetrádicos sejam similares mediante certo tetrádico 4µ, é que as suas matrizes mistas homônimas, nas bases que definem 4

µ, sejam iguais:

⇔⇔⇔⇔µµµµφφφφµµµµ====ψψψψµµµµψψψψµµµµ====φφφφ −−−−−−−− ou , 4414414444 ::::

][A ][Bou ],[A ][B j i

j i

ij

ij ========⇔⇔⇔⇔ , (i,j=1,2,3,...,9), (03).

Corol. 2: Se 4φφφφ é reduzido a uma forma cartesiana mista e é similar com 4ψψψψ mediante 4µµµµ, então 4ψψψψ é redutível a uma forma cartesiana mista homônima com as mesmas coordenadas de 4φφφφ e os seus antecedentes (conseqüentes) são os transformados dos antecedentes (conseqüentes) correspondentes de 4φφφφ mediante 4µµµµ-1 (4µµµµT) usado como pré-fator:

j

iij

4 ρρρρρρρρφφφφφφφφ = e 14444 −= µµµµψψψψµµµµφφφφ :: ⇒

ji

ij

4 εεεεεεεεψψψψ φ=⇒ com i14

i ρρρρµµµµεεεε :−= (logo, jT4j ρρρρµµµµεεεε := ), (04).

§ 14.03 - Transformação de coordenadas de tetrádico por uma mudança de base diádica. Tensor de quarta ordem.

Consideremos o tetrádico 4φφφφ representado por suas coordenadas em duas bases diádicas dadas, quaisquer, µ* e ηηηη* e correspondentes recíprocas µ* e ηηηη*, nas formas:

4φφφφ=Apuµpµ

u=Bvqηηηηvηηηηq, com u,v,p,q=1,2,3,4,...,9.

§ 14.03 – Transf. de coord. de tetr. por mud. de base diádica. Tensor de quarta ordem. 169


Tem-se, então, ∀s,r=1,2,...,9:

(Apuµpµ

u) 4 • (ηηηηsηηηηr)=Bv

qηηηηvηηηηq 4 • (ηηηηsηηηηr),

ou seja, observando-se que ηηηηvηηηηq 4 • ηηηηsηηηηr=δv

sδqr e efetuando as somas indicadas:

(ηηηηs:µp)A

pu(µ

u:ηηηηr)=Bsr, (01).

Dentro dos segundos parênteses estão os elementos Mu

r (u-ésima linha e r-ésima coluna) da matriz 9x9 de mudança da base ηηηη* para a base µ*, [M

**]; logo, Ap

u(µu:ηηηηr) representa o

produto da p-ésima linha da matriz preparada 9x9 das coordenadas de 4φφφφ, [A**], pela r-

ésima coluna da matriz [M**] de mudança. Esse produto é, pois, o elemento da p-ésima linha e v-ésima coluna da matriz produto. Os elementos dentro dos primeiros parênteses devem, então, pertencer à s-ésima linha e p-ésima coluna da inversa da matriz de mudança. De fato, pois, é

][

::...::.........:

:...::

::...:::

::...:::

.

::...::.........:

:...::

::...:::

::...:::

99

89

29

19

14

93

23

13

92

82

32

22

12

91

81

31

21

11

99

89

29

19

14

93

23

13

92

82

32

22

12

91

81

31

21

11

I=

ηηηηµµµµηηηηµµµµηηηηµµµµηηηηµµµµ

ηηηηµµµµηηηηµµµµηηηηµµµµηηηηµµµµηηηηµµµµηηηηµµµµηηηηµµµµηηηηµµµµηηηηµµµµηηηηµµµµηηηηµµµµηηηηµµµµηηηηµµµµηηηηµµµµ

µµµµηηηηµµµµηηηηµµµµηηηηµµµµηηηη

µµµµηηηηµµµµηηηηµµµµηηηηµµµµηηηηµµµµηηηηµµµµηηηηµµµµηηηηµµµµηηηηµµµµηηηηµµµµηηηηµµµµηηηηµµµµηηηηµµµµηηηηµµµµηηηη

.

Então, (01) pode ser escrita na forma sintética:

[M **]

-1.[A**].[M

**]=[B *

*], (02), donde, por inversão

[A **]=[M *

*].[B**].[M

**]

-1, (021). A lei (02) possibilita determinar a matriz [B*

*] das coordenadas de um tetrádico numa base diádica ηηηη* conhecida, a partir da matriz [A*

*] das coordenadas deste mesmo tetrádico em outra base diádica µ* também conhecida, logo com matriz [M*

*] de mudança das bases conhecida. O mesmo, mutatis mutandis, se pode dizer da lei (021). As leis (02) e (021) definem a similaridade entres as matrizes [A*

*] e [B**].

Nota: As leis (02) e (021) são formalmente idênticas às leis (07) e (071), §02.04,III vistas para o caso dos diádicos. Aqui determinamos a transformação das coordenadas de um tetrádico (num espaço de até 81 dimensões) por uma mudança de base diádica, enquanto que lá determinamos a transformação das coordenadas de um diádico (num espaço de até 9 dimensões) por uma mudança de base vetorial.


IV,§ 14.04

Tensor cartesiano de quarta ordem A dedução de (02) e sua inversa requereu postular que o tetrádico fosse a mesma entidade em relação às duas bases diádicas especificadas. Isto é o mesmo que dizer que as coordenadas Apu e Br

q fossem relativas à mesma entidade denominada tetrádico e denotada por 4φφφφ. Entretanto, dados ao acaso dois conjuntos ordenados de 81 números, cada conjunto referido a uma base diádica e representado por uma matriz 9x9, estes poderão não definir uma mesma entidade, um tetrádico. Definirão, apenas, quando tais conjuntos satisfizerem as leis inversas (02) e (021). Tal é precisamente a condição para que qualquer um dos conjuntos (ou qualquer uma das matrizes), em relação à correspondente base diádica, represente um tensor (cartesiano) de quarta ordem.

Se 4µ é o tetrádico de mudança da base ηηηη* para a base µ*, isto é, µs=4µ:ηηηηs, então

4µ=µsηηηηs e 4µ-1=ηηηηrµr para s,r=1,2,...,9. Pré e pós-justapondo a ambos os membros de (01) os

diádicos µs e µr, somando em r e em s e agrupando, temos:

(µsηηηηs):(µpApuµ

u):(ηηηηrµr)=Bs

rµsµr, ou melhor, 4µ: 4φφφφ: 4µ-1= Bs

rµsµr.

O primeiro membro diz que (o tensor de quarta ordem) 4φφφφ é similar ao tetrádico indicado no segundo membro. Mas, em relação à base µ, esse tetrádico deve ter matriz associada idêntica a [A*

*] (Corol. 1, Teor. 3, §14.02). Resulta, assim, que 4µ: 4φφφφ: 4µ-1= 4φφφφ, ou 4µ-1: 4φφφφ: 4µ= 4φφφφ. Assim (tal como concluímos para os diádicos, §02.04,III):

tensores de quarta ordem são tetrádicos auto-similares mediante qualquer tetrádico de mudança de base.

§ 14.04- Tetrádicos cíclicos e de rotação.

Definição. Matriz associada.

Sejam a,b,c) e (a*,b*,c*) sistemas recíprocos aplicados num ponto arbitrário O. A esse sistema está associado o cíclico

)(sen)(cos),(

∗∗∗∗ϕ − ϕ+− ϕ+=∗ abbacccc

ccΙΙΙΙ , (01),

com o inverso

)(sen()(cos1),(

∗∗∗∗−ϕ − ϕ)+− ϕ+=∗ abba-cccc

ccΙΙΙΙ , (01)1,

que rodam elipticamente os vetores do plano (a, b), com origem em O, em torno do seu eixo c tendo a elipse (E) de semi-diâmetros conjugados a e b (e centro O) como referência (ver §05.02,A,III). Consideremos ainda a circunferência (O) de centro O, projeção paralela da elipse (E) segundo c, e cujo raio tomaremos como unidade de comprimento. Nesta projeção, aos semidiâmetros conjugados a e b de (E) correspondem, na circunferência, raios vetores

unitários ortogonais i e j , respectivamente. Fica, assim, caracterizado o diádico de

rotação:

)ˆˆˆ( sen)ˆˆcosˆˆ),ˆ(

jiijkkkkk

−−−−++++−−−−ΙΙΙΙ++++====ΩΩΩΩ ϕϕ(ϕ , (02),

§ 14.04- Tetrádicos cíclicos e de rotação. 171


e seu inverso

)ˆˆˆ( sen()ˆˆcosˆˆ1),ˆ(

jiijkkkkk

−ϕ)−+−ϕ(+=−ϕ ΙΙΙΙΩΩΩΩ , (02)1,

de eixo k (unitário de c) e ângulo ϕ, que faz corresponder o raio rr

de (O) que faz o

ângulo ϕ com i , com o raio vetor r (ϕ) da elipse (E) de argumento ϕ. Se µ é o diádico de

mudança da base ortonormal kji ˆ,ˆ,ˆ para a base a, b, c, isto é, se

a=µ. i , b= µ. j e c=µ. k , donde kcjbia ˆˆˆ ++=µµµµ e ∗∗∗− ++= ckbjai ˆˆˆ1µµµµ , (03),

então

1),(),ˆ( −

ϕϕ ∗= µµµµµµµµΩΩΩΩ ..cck , (04),

ou seja: o diádico de rotação é similar ao diádico cíclico mediante µ. Então, conforme Corol. 1 do Teor. 3, §14.02, a matriz mista associada ao cíclico na base a, b, c deve ser

igual à matriz mista associada ao de rotação na base kji ˆ,ˆ,ˆ , o que confirma as evidências

expressas por (01) e (02), pois:

kjikabccc ˆˆ),ˆ(),(][cossen

sencos

][ ϕϕ =

1000ϕϕ0ϕ−ϕ

=∗ ΩΩΩΩ .

Em vista de (04) e do Teor. 1, §14.02, concluímos que os tetrádicos:

311),(),(),(

4 )(r

−ϕϕϕ ∗∗∗ =

cccccc e 311

),ˆ(),ˆ(),ˆ(4 )(

r−−−−ΩΩΩΩΩΩΩΩ====ΩΩΩΩ ϕϕϕ kkk

, (05)

- aos quais daremos os nomes de tetrádico cíclico e tetrádico de rotação, respectivamente - são similares mediante 4µ, isto é:

µµµµµµµµΩΩΩΩ 4),(

414),ˆ(

4 ::cck ϕ

−ϕ ∗= , ou 14

),ˆ(44

),(4 −

ϕϕ =∗ µµµµΩΩΩΩµµµµ ::kcc

, (06).

Considerando (01), (01)1 e as (05) deduzimos:

).−−++−ϕ(ϕ+

+)+−−ϕ(+)+++ϕ(+

+−+−ϕ(+

++++ϕ(+=ϕ

jijjiiijjjjiijiiiijijiii

iijjjiijijjijjiijjjjijijjijiiiii

kikjkjkiikjkjkik

kjkjkikijkjkikikkkkkk

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆcossen

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆsenˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆcos

)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆsen

)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆcosˆˆˆˆ

22

),ˆ(4ΩΩΩΩ

, (06)1.

e


IV,§ 14.04

cossen)sen

)cos

)sen

)cos][

2

2

),(

4

).−−++−+

+−ϕ(ϕ++−−ϕ(+

++++ϕ(+

+−+−ϕ(+

++++ϕ(+=

∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗

∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗

∗∗∗∗∗∗∗∗

∗∗∗∗∗∗∗∗

∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ϕ∗

babbaaabbbbaabaabbababbb

baaaaababaabaabbbbaaabba

bbbbababbabaaaaa

cacbcbcabcacacbc

cbcbcacabcbcacaccccccc

ΩΩΩΩ

, (06)2.

Pelo Corol. 1 do Teor. 3, §14.02 a matriz mista associada ao tetrádico cíclico, [

),( ϕ∗cc ]*

***,

deve ser igual à matriz (mista ou não) associada ao tetrádico de rotação. É fácil comprovar que essas matrizes são iguais, sendo, de fato (ver §03.04):

ϕϕ−ϕϕ

ϕϕ−ϕϕϕ−ϕϕ−ϕ

ϕϕϕϕ−ϕϕ−ϕϕ

ϕϕϕ−ϕϕϕ−ϕϕϕϕϕϕ

=

== ϕϕ ∗

100000000

0cossen000000

0sencos000000

000cos00sen00

0000coscossen0cossensen

0000cossencos0sencossen

000sen00cos00

0000cossensen0coscossen

0000sencossen0cossencos

][ ][

22

22

22

22

),(4

ˆˆ),ˆ(4

abccckjikΩΩΩΩ

, (07),

matriz essa para ser usada em multiplicação ordinária. Para operar-se com multiplicação matricial dupla (§06.02), a matriz mista (07) deve ser preparada e posta na forma 27x3:

=

][D

...

][D

]D[

][

9

2

1

4 , caso em [4 : ψ] = [4] : [ψ]= ][:

][D

...

][D

]D[

9

2

1

ψ

(08);

ou na forma 9x9:

]D[]D[]D[

]D[]D[]D[

][D][D]D[

987

654

321

, caso em que [4 : ψ] = [4] : [ψ]=

]D[]D[]D[

]D[]D[]D[

][D][D]D[

987

654

321

:[ψ], (081),

sendo

====0000sencossen0cossencos

][D 2

2

1 ϕϕϕϕϕϕ

,

−−−−−−−−

====0000cossensen0coscossen

][D 2

2

2 ϕϕϕϕϕϕ

,



ϕϕ

=000

sen00cos00

]D[ 3 , T2

2

2

4 ]D[

000

0cossencos

0sencossen

][D =

ϕϕϕϕ−ϕϕ−

= ,

ϕϕϕ−ϕϕ−ϕ

=000

0coscossen

0cossensen

][D 2

2

5 ,

ϕϕ−

=000

cos00sen00

]D[ 6 ,

T37 ]D[

0sencos000000

]D[ =

ϕϕ= , T

68 ]D[0cossen000000

]D[ =

ϕϕ−= e

=

100000000

]D[ 9 , (082).

Bases diádicas congruentes ou concordantes

Para simplificar as escritas usaremos doravante as notações compactas:

≡ϕ∗ ),(cc, ΩΩΩΩΩΩΩΩ ≡ϕ),ˆ(k

, -1-1),(

≡ϕ∗cc, 11

),ˆ(−−

ϕ ≡ ΩΩΩΩΩΩΩΩ k

4),(

4 ≡ϕ∗cc, ΩΩΩΩΩΩΩΩ 4

),ˆ(4 ≡ϕk

, etc.

Considerando duas bases vetoriais congruentes (§06.02,III,vol.I), para as quais o diádico de mudança de base, µµµµ, é um diádico de rotação (Teor.6,§06.01,III,vol.I), então:

PΩΩΩΩΩΩΩΩµµµµ == . Logo, o tetrádico de rotação 4ΩΩΩΩ (associado ao diádico de rotação ΩΩΩΩ) goza da

propriedade fundamental (idêntica à propriedade fundamental dos diádicos de rotação):

4ΩΩΩΩT = 4ΩΩΩΩ-1 = ΩΩΩΩ4s

, com ΙΙΙΙΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ 44T4T44 == :: (09). Com efeito, se u1, u2, u3 e u’1, u’2, u’3 são bases congruentes podemos escrever:

ΩΩΩΩ=uiu’ i (i = 1, 2, 3,), (10); então,

jiji1

jji

i4 3)( uuuuuuuu ′′=′′=

r

ΩΩΩΩ e T424srsr

414 ΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ ≡=′′==−rs

uuuu , (11).

Notar que, dadas duas bases vetoriais congruentes, o diádico e o tetrádico de rotação correspondentes estão determinados; mas o contrário não é verdadeiro, isto é, podem existir infinitos pares de bases vetoriais congruentes associadas a um mesmo diádico de rotação e a um mesmo tetrádico de rotação. Por outro lado, supostos dados cartesianamente, em relação à mesma base, um diádico de rotação e o tetrádico correspondente, é sempre possível escrevê-los nas formas (10) e (11). Da base vetorial u1, u2, u3, como visto (§10.02,II), podemos gerar a base diádica µ1, µ2, µ3, ..., µ9 com µu=uiuj, ao par i,j correspondendo o número u com a convenção


IV,§ 14.04

moderna: 1→1,1; 2→2,2; 3→3,3; 4→1,2; 5→2,3; 6→1,3; 7→2,1; 8→3,2; 9→3,119. Se a base vetorial u’1, u’2, u’3 é congruente com u1, u2, u3, a base diádica dela derivada, µ’1, µ’2, µ’3, ..., µ’9, é também congruente com µ1, µ2, µ3, ..., µ9. Pois, digamos

µ’4:µ’9=u’1u’2:u’3u’3=(u’1.u’3)(u’2.u’3)=(u1.u3)(u2.u3)=u1u2:u3u3= µ4:µ9,

o mesmo acontecendo com todos os demais pares. Decorre dessas representações que o tetrádico de rotação, associado a um diádico de rotação ΩΩΩΩ relativo a bases vetoriais congruentes u e u’, pode ser escrito na forma geral 4ΩΩΩΩ=µ’u

µu para u=1,2,...,9, pois de (111), para qualquer u, µ’u = 4ΩΩΩΩ:µu. Deve ser lembrado que:

1) - embora ΙΙΙΙµµµµµµµµ 444 =s

: (se µ é diádico de mudança entre bases vetoriais

quaisquer), apenas no caso de ser µµµµ µµµµ=P, isto é, no caso de bases congruentes, é que

4µµµµ=4ΩΩΩΩ, com µµµµµµµµ 42 4 sr

= ;

2) – a todo par de bases vetoriais congruentes (bem como ao par correspondente de bases diádicas congruentes) está associado um diádico (ou tetrádico) de

rotação com eixo k e ângulo ϕ bem determinados, mas existem infinitos cíclicos de eixo k e parâmetro ϕ, pois seu autovetor relativo a +1 pode ser qualquer vetor (logo, arbitrário);

3) – De bases vetoriais ortonormadas geram-se bases diádicas também ortonormadas (um caso particular de bases diádicas congruentes).

*

Exercícios: 1 - Demonstrar que a CNS para que um tetrádico seja de rotação é que ele seja igual ao seu principal: 4µµµµ= 4ΩΩΩΩ ⇔ 4µµµµ= 4µµµµP.

2 – Demonstrar que o nono de um tetrádico cíclico é igual a ±1. Comprovar também esta assertiva pelo cálculo do determinante da matriz mista (07).

* Díade semitangente de rotação

Os tetrádicos de rotação podem ser caracterizados de forma mais simples. Tem-se,

para expressão do cruzado do tetrádico de rotação dado por (11), jiji4 uuuu ′′=ΩΩΩΩ :

VVjj

ii

V4 ))(( ΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ =×′×′= uuuu , (12),

ΩΩΩΩV sendo o vetor do diádico de rotação ΩΩΩΩ. Tem-se, também, para expressão do ponteado (ou escalar) de 4ΩΩΩΩ:

2EEEj

ji

iE

4 )())(( ΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ ==′′= .uu.uu , (121).

19 Ver a Tabela “Critérios para numeração de diádicos de base” apresentada em Apêndice.



Então, tal como o vetor semitangente de rotação, q, caracteriza univocamente o diádico de rotação ΩΩΩΩ ((13),§06.01,III), da mesma forma a díade unilinear ξξξξ=qq caracteriza univocamente o tetrádico de rotação 4ΩΩΩΩ pois:

kkqq ˆˆtg)(1

22

E

VV

2ϕ=

+==

ΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ

ξξξξ , (13).

*

Bases cíclicas vetoriais e diádicas Consideremos o diádico cíclico (01) e geremos das bases recíprocas a que ele se

refere, a base diádica seguinte (onde kc ˆ= ), conforme visto:

µµµµ1=a*a, µµµµ2=a*b, µµµµ3=a*c, µµµµ4=b*a, µµµµ5=b*b, µµµµ6=b*c, µµµµ7=c*a, µµµµ8=c*b, µµµµ9=c*c, (14), cuja recíproca é composta pelas díades:

µµµµ1=aa*, µµµµ2=ab*, µµµµ3=ac*, µµµµ4=ba *, µµµµ5=bb*, µµµµ6=bc*, µµµµ7=ca*, µµµµ8=cb*, µµµµ9=cc*, (141), sendo

951951 µµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµΙΙΙΙ ++=++= , (142).

Escrevemos, então, o cíclico na forma:

µµµµµµµµµµµµµµµµµµµµ µµµµ ≡− ϕ++ ϕ+=ϕ )(sen)(cos 24519),( 9, (15).

Por agrupamento conveniente podemos também escrever (01) na forma

≡++= ∗π/2+ϕ

∗ϕ

∗ϕ∗ )()(),(

arbrcccc

, (16),

o terceto dos conseqüentes sendo

ϕ+ϕ−=

ϕ+ϕ=

=

∗∗∗π/2+ϕ

∗∗∗ϕ

∗∗

abr

abr

cc

cos sen

sen cos

)(

)( , (17),

e seus recíprocos

++++−−−−====

++++========

++++ abr

abr

cc

cos sen

sen cos

)(

)(

ϕϕ

ϕϕ

π/2ϕ

ϕ , (171).

Resulta dessas representações que roda ciclicamente a base c, r (ϕ),r (ϕ+π/2) na basec, b,


IV,§ 14.04

a, pois

.cc = , )(ϕ= .rb , )( π/2+ϕ= .ra .

Então, o cíclico é um diádico de mudança de base (da base (171) para a base c,b,a) e o

tetrádico ),(

4ϕ∗∗∗∗ cc

a ele associado é

33 1)()()()(

114 )])([()(rr

∗π/2+ϕ

∗ϕ

∗∗π/2+ϕ

∗ϕ

∗− ++++== arbrccarbrcc ,

isto é, operando, agrupando adequadamente e considerando as (06):

) 98)(7)(6)(5)()(

4)()(3)(2)()(1)()(4

µµµµµµµµµµµµµµµµµµµµ

µµµµµµµµµµµµµµµµ

ccrcrccrrr

rrcrrrrr∗

ϕ∗

π/2+ϕ∗∗

ϕϕ∗ϕ

π/2+ϕ∗ϕ

∗π/2+ϕϕ

∗π/2+ϕπ/2+ϕ

∗π/2+ϕ

+++++

++++= , (18).

Considerando as (14), (141), (17) e (171) podemos, ainda, escrever esse tetrádico na forma:

+= 994 µµµµµµµµ

+−+−( ϕ++++ϕ+ )sen)( cos 78

87

36

63

88

77

66

33 µµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµ

++−−( ϕ++++ϕ+ )sen)( cos 15

24

42

512

55

44

22

112 µµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµ

)( cossen 45

25

54

14

52

12

41

21 µµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµ −−+−+−+ϕϕ+ , (19).

Observemos de (171) que r (ϕ) e r (ϕ+π/2) são semidiâmetros conjugados da elipse (E) de que b e a são, também, semidiâmetros conjugados. Analogamente, de (17) vemos que r *

(ϕ) e r *

(ϕ+π/2) são semidiâmetros conjugados da elipse (E*) de que b* e a* são semidiâmetros conjugados. Observemos, ainda, que a díade µ9=cc* é ortogonal a todas as oito díades antecedentes em (18), exceto a c*c=µ9 (na última parcela), isto é:

∗ϕ

∗∗π/2+ϕ

∗∗∗ϕ

∗ϕ

∗ϕ

∗ϕ

∗π/2+ϕ

∗π/2+ϕ

∗ϕ

∗∗π/2+ϕ

∗π/2+ϕ

∗π/2+ϕ

µ====

=====

cc:rccc:rccc:crcc:rr

cc:rrcc:rrcc:crcc:rr

0

8)()()()()(

)()()()()()()(.

Então essas oito díades definem uma base do 8-espaço diádico ortogonal à díade µ9; denotemo-la por B(φ) e ponhamos:

, ;, ;, ; ,B )()()()()()()()()()()()()( π/2+ϕ∗

ϕ∗∗

π/2+ϕ∗ϕπ/2+ϕ

∗ϕϕ

∗π/2+ϕϕ

∗ϕπ/2+ϕ

∗π/2+ϕϕ = rcrccrcrrrrrrrrr .

Fazendo-se o parâmetro ϕ variar de 0 a 2π rd, os pares de semidiâmetros conjugados (r (ϕ), r (ϕ+π/2)) e (r *

(ϕ), r *(ϕ+π/2)) de (E) e (E*), respectivamente, descrevem as elipses

correspondentes. Por analogia com o caso dos vetores vem s seguinte



Definição: As oito díades definidoras de B(φ) formam quatro pares de díades semidiâmetros conjugados (díades cujos argumentos diferem de ± π/2 rd) de uma mesma hiperelipse do 8-espaço a que pertencem.

Esses pares de díades estão separados por ponto e vírgula na expressão de B.

Nesta mesma hiperelipse podemos determinar novos pares de semidiâmetros conjugados, interessando, particularmente, os correspondentes a ϕ=0 rad. Deduzimos, assim, da expressão B(ϕ), considerando as expressões (17), (171) e (14), as expressões dos pares de semidiâmetros conjugados:

1)()( µµµµ======== ∗∗∗∗∗∗∗∗ aarr π/2π/2 , 5

)()( µµµµ======== ∗∗∗∗∗∗∗∗ bbrr 00 ,

2)()( µµµµ======== ∗∗∗∗∗∗∗∗ barr 0π/2 , 4

)()( µµµµ======== ∗∗∗∗∗∗∗∗ abrr π/20 ,

6)( µµµµ======== ∗∗∗∗∗∗∗∗ cbcr 0 , 3

)( µµµµ======== ∗∗∗∗∗∗∗∗ cacr π/2 ,

8)( µµµµ======== ∗∗∗∗∗∗∗∗ bcrc 0 , 7

)( µµµµ======== ∗∗∗∗∗∗∗∗ acrc π/2 , (20).

Os resultados obtidos indicam que a oito díades µ

1, µ2, µ3, µ4, µ5, µ6, µ7 e µ8, todas ortogonais a µµµµ9 (=cc*), definem o mesmo 8-espaço ortogonal a µµµµ9 (posto constituírem base derivada de B(ϕ)). Neste 8-espaço diádico, a hiperelipse que contém as extremidades das 8 díades da base B contém ainda as extremidades das 8 díades µ1, µ2, µ3, µ4, µ5, µ6, µ7 e µ8 constituintes de uma base B(0). As díades de B(ϕ) e B (0) definem, pois, quatro conjuntos de quatro pontos, cada conjunto pertencendo a um 4-espaço contido no 8-espaço (§10.03,II).

Chegaríamos aos mesmos resultados por consideração dos vetores e díades recíprocas dos conjuntos considerados. Assim, o conjunto:

, ;, ;, ; ,B )()()()()()()()()()()()(∗

π/2+ϕ∗ϕ

∗π/2+ϕ

∗ϕ

∗π/2+ϕϕ

∗ϕπ/2+ϕ

∗ϕϕ

∗π/2+ϕπ/2+ϕ

∗ = crcrcrcrrrrrrrrr .

que é ortogonal à díade µµµµ9 (=c*c) seria o recíproco do conjunto B etc.

Definições: Pares de bases vetoriais, como c, r(ϕ),r(ϕ+π/2) e c, b, a, definidas por (17) e (171), ou suas correspondentes recíprocas, são ditas bases cíclicas vetoriais 20.

Pares de bases diádicas, como a B acrescida da díade µµµµ 9=c*c, e µµµµ1, µµµµ2, µµµµ3, µµµµ4, ...,µµµµ9, ou suas correspondentes recíprocas, são ditas bases diádicas cíclicas.

20 Esta nomenclatura (para o caso dos vetores) é adaptada da utilizada por Sirotin, Yu, I. e Chaskolskaya, M. P., em “Fundamentals of Crystal Physics”, Mir, 1982, Sec. 46.


IV,§ 14.04

Tetrádicos similares mediante tetrádicos cíclicos e de rotação

Dois tetrádicos podem, então, se relacionar por uma expressão do tipo ((02,§14.02) em que 4µ seja um tetrádico (de rotação) 4ΩΩΩΩ de mudança entre bases (diádicas) congruentes. Como bases vetoriais cíclicas nunca são congruentes nem ortogonais, as bases diádicas cíclicas delas geradas também nunca serão congruentes nem ortogonais. Assim, um tetrádico de mudança entre bases diádicas cíclicas é sempre um tetrádico cíclico. Daí as seguintes definições:

Definição: (tetrádicos congruentemente e ciclicamente similares) Tetrádicos 4ψ e 4φφφφ similares, ou que se correlacionem pela expressão

14444 −−−−µµµµφφφφµµµµ====ψψψψ :: são ditos congruentemente similares (ou, simplesmente,

rodados circularmente) se 4µµµµ é um tetrádico de rotação; são ditos ciclicamente similares (ou rodados ciclicamente) se 4

µ é um tetrádico cíclico.

Quando as bases vetoriais congruentes são ortonormadas, os diádicos delas provenientes são também ortonormais; por isto mesmo são ortogonais os tetrádicos de rotação provenientes destes. Neste caso, os tetrádicos similares 4ψ e 4φφφφ são ditos ortogonalmente similares.

Relações entre o tetrádico cíclico e alguns de seus invariantes. Algumas relações a serem estabelecidas para os tetrádicos cíclicos valerão também para os tetrádicos de rotação, pois estes são casos particulares daqueles. Assim, o escalar e o cruzado (uma díade) de um tetrádico cíclico podem ser expressos em função do escalar e do cruzado (um vetor) do seu diádico cíclico associado e correspondente inverso. De fato, tem-se:

−=

ϕ+==1-V VV

4

22EE

4

)cos21()(

, (21).

A comprovação da primeira expressão pode ser feita calculando-se diretamente o traço da matriz mista (07) ou aplicando-se a definição à expressão (06)2, ou, mesmo, a (19). A comprovação da segunda poderia ser muito trabalhosa (e até penosa), se fossemos calcular as expressões dos dois membros, por consideração de (01), (01)1 e (06)2, e verificar a igualdade das mesmas (o que pode ficar como exercício para o leitor). Entretanto, se lembrarmos que esses tetrádicos são tetrádicos de mudança de base, são válidas para eles as expressões gerais ((09), (10), §14.01) que comprovam imediatamente as citadas fórmulas. Para os tetrádicos de rotação a expressão do cruzado em (21) se simplifica um pouco porque, conforme (09), o inverso do tetrádico de rotação é igual ao seu transposto. Tem-se:

kk ˆ ˆ sen4

)cos21()(2

VVTV VV

4

22EE

4

ϕ==−=

ϕ+==

ΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ

ΩΩΩΩΩΩΩΩ, (21)1,



resultados estes que podem ser comparados com (12) e (12)1. No espaço dos diádicos, a

díade kk ˆˆ define o eixo de rotação de 4 ΩΩΩΩ .

Consideremos o produto ponteado do cíclico pelo seu vetor. Conforme a fórmula geral ((01),§08.02,II) tem-se:

~

V V2V V.... −=== . , (22).

Mas, conforme ((10),§08.01,II), o vetor indicado no último membro de (22) é igual ao produto do terceiro do cíclico (que é igual a +1) pelo vetor do seu inverso, ou simplesmente, igual ao vetor do seu principal. Então:

PV1 V VV ........ =−== - , (23),

donde, trocando o cíclico pelo seu principal no primeiro membro e no último, depois comutando no primeiro membro formado e utilizando resultados já conhecidos:

1V

111V

1V

TP

TP

1V VPPVPVP

−−−−−− −=−=−=−=== ........ .... .

Logo:

V1 V

1 1 1 V ........ −== ---- , (23)1.

Para quaisquer vetores v e w a díade vw é um tensor; e para qualquer tetrádico de mudança de base 4µµµµ, tem-se: vw:4µµµµ= vw:ejeir jr

i=(v.ej)r j(w.ei)ri=(µµµµ.v)(w.µµµµ-1), operação essa

que é comutativa: 4µµµµ:vw=(µµµµ.v)(w.µµµµ-1). Como vw é similar a sí própria mediante qualquer

diádico µµµµ de mudança de base, vw:4µµµµ=vw, ou 4µµµµ:vw=vw. Para µµµµ 44 = , V=v e -1V =w

tem-se, então:

1-V VV

1-V

V-1-1

V -1-1

V V-1V V

44-1V V

))(())((

........

==

==== ..::, (24),

ou seja, lembrando (212) e interpretando geometricamente:

o tetrádico cíclico, em multiplicação anterior ou posterior, transforma a sua

díade invariante V4 na sua oposta.

Para os tetrádicos de rotação, (24) é escrita na forma

VV4

VV ΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ =: , (24)1,

pois V-1V ΩΩΩΩΩΩΩΩ = . Então:

o tetrádico de rotação, em multiplicação posterior, não movimenta o seu cruzado invariante.


IV,§ 14.04

Como o cíclico um tetrádico de mudança de base, ((08),§14.01) permite concluir que

o tetrádico cíclico, em multiplicação posterior, não movimenta o seu cíclico associado, e em multiplicação anterior não movimento o principal do seu cíclico associado,

isto é:

=4 : e PP4 =: (25).

Essa propriedade é válida evidentemente para as rotações circulares (caso em que ΩΩΩΩ=ΩΩΩΩP):

ΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ 44 :: == , (25)1,

isto é,

um tetrádico de rotação não movimenta o seu rotor (ou diádico de rotação) associado.

Considerando ainda 4 escrito na forma (19) temos, lembrando que os escalares dos diádicos da base diádica µµµµ1, µµµµ2,..., µµµµ9 são: 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, operando e simplificando:

ΙΙΙΙµµµµµµµµµµµµ =++= 519E

43

.

Da mesma forma poderíamos calcular o diádico primeiro escalar do cíclico e encontrar como resultado o diádico unidade. Em resumo:

ΙΙΙΙ ==13 E

4E

4 , (26),

resultado válido também para os tetrádicos de rotação:

ΙΙΙΙΩΩΩΩΩΩΩΩ ==13 E

4E

4 , (26)1.

Relações entre um cíclico e os isômeros de 4I

Vamos considerar um cíclico escrito na forma (19) e determinar a que diádico é transformado o diádico unidade quando o cíclico é usado como pré-fator e como pós-fator. Temos, evidentemente, considerando os resultados anteriores:

3E44 ΙΙΙΙ =: e

1E4 ΙΙΙΙ =: ,

isto é:

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ 4E

44 3

:: === , (27),



resultado também válido para os tetrádico de rotação:

ΩΩΩΩΙΙΙΙΙΙΙΙΩΩΩΩΙΙΙΙΩΩΩΩ 4E

44 3

:: === , (27)1.

Consideremos um diádico qualquer φφφφ e os isômeros 4I , 314r

ΙΙΙΙ e 324r

ΙΙΙΙ (ver §07); temos, pondo 4I=uru

surus:

Tsr

srTsr

rssr

rs14 ) () ()( 3 φφφφφφφφφφφφφφφφΙΙΙΙφφφφ ==== uuu:uuuu:uuuuu::r

,

TT

rsrs

srrs

srrs14 ) () ( )( 3 φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφΙΙΙΙ ==== :uuuu:uuuu:uuuu:

r

e

ΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφ )() ( E24 3 == ::r

, ΙΙΙΙφφφφφφφφΙΙΙΙΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙ )( ) ( E24 3 == ::r

.

Calculemos o duplo produto do tetrádico cíclico, posto na forma (19), pelo isômero

314r

ΙΙΙΙ . Considerando os resultados acima deduzidos, vem, facilmente:

23 14144 sr

ΙΙΙΙ =: e 23 144 14 vr

ΙΙΙΙ =: , sendo ΙΙΙΙΙΙΙΙ 414144 33 ::rr

≠ , (28).

Calculemos agora o duplo produto de 4 por 324r

ΙΙΙΙ . Como o duplo produto de um conseqüente qualquer do cíclico pelo isômero é igual ao diádico unidade multiplicado pelo seu escalar, das nove parcelas do resultado da operação apenas as relativas aos índices 1, 5 e 9 serão não nulas, resultando

ΙΙΙΙµµµµµµµµµµµµΙΙΙΙµµµµµµµµµµµµΙΙΙΙΙΙΙΙ )( )]sencos([ 5952294 ++=+ϕ)(+ϕ+= 11: .

Analogamente, temos:

ΙΙΙΙµµµµµµµµµµµµΙΙΙΙµµµµµµµµµµµµΙΙΙΙΙΙΙΙ )( )]sencos([ 5195122

94 ++=+ϕ)(+ϕ+=: .

Recorrendo a (14), (141) e (142), temos, em resumo:

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ 44 == :: , (29). É óbvio que as igualdades (28) e (29) são válidas para o tetrádico de rotação, para o

qual 22 1414 rs

ΩΩΩΩΩΩΩΩ = . Então:

2233 1414414144 srrr

ΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΙΙΙΙΙΙΙΙΩΩΩΩ === :: , (28)1,

e

ΙΙΙΙΙΙΙΙΩΩΩΩΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΩΩΩΩ 44 == :: , (29)1.


IV,§ 14.05

*

Exercícios: 1 - Demonstrar que:

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ 33 2414244 ==−rr

:: , e ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΩΩΩΩΙΙΙΙΩΩΩΩ 33 2414244 ==−rr

:: (30),

2 - Demonstrar que os rodados de diádicos simétricos (anti-simétricos) são diádicos simétricos (anti-simétricos).

* § 14.05 - Produto de tetrádicos de rotação.

Ponhamos

33 1),ˆ(),ˆ(

1),ˆ(

T),ˆ(),ˆ(

4 ][][rr

ϕ−ϕϕϕϕ == uuuuu ΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ

para explicitar o eixo e o ângulo de rotação de ΩΩΩΩ, os mesmos de 4 ΩΩΩΩ . Quando escrevemos

),ˆ( ϕuΩΩΩΩ na sua forma normal, ii),ˆ( ˆˆ uuu ′=ϕΩΩΩΩ , um dos vetores antecedentes pode ser

considerado unitário do seu eixo (e os outros dois, além de perpendiculares entre si, seriam

também perpendiculares ao eixo). Nesse caso, se, por exemplo, 11 ˆˆ uu ′= , os demais

unitários estariam rodados do ângulo ϕ no plano de 2u e 3u .

Assim, se dois diádicos de rotação têm o mesmo eixo, mas ângulos de rotação diferentes, α e β, eles podem sempre ser escritos nas formas:

ii),ˆ( ˆˆ uuu ′=αΩΩΩΩ , sendo ),ˆ(),ˆ(

1i

i),ˆ(

T ˆˆ α−α−

α ==′= uuu uu ΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ , e jj),ˆ( ˆˆ vuu ′=βΩΩΩΩ ;

os tetrádicos associados a ΩΩΩΩ

( , )T$u α

e ΩΩΩΩ( , )$u β

são, então:

jiji),ˆ(

4 ˆˆˆˆ uuuuu ′′=α−ΩΩΩΩ e srsr

),ˆ(4 ˆˆ ˆˆ uuvvu ′′=βΩΩΩΩ .

Logo, ji

jisrsr

),ˆ(4

),ˆ(4 ˆˆ)ˆˆ ˆˆ( ˆˆ uuuu:uuvv: uu ′′′′=α−β ΩΩΩΩΩΩΩΩ ,

donde, operando e simplificando:

31jjiijiji),ˆ(

4),ˆ(

4 )ˆˆˆˆ(ˆˆˆˆ r

uvvuuuvv: uu ′′′′=′′′′=α−β ΩΩΩΩΩΩΩΩ .

Mas, para os diádicos de rotação, conforme (§ 06.03.B, III):

),ˆ(iij

jii

),ˆ(),ˆ( ˆˆˆ)ˆˆ(ˆ α−ββα− =′′=′′= uuu vuvu.uu. ΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ ;

§ 14.05 - Produto de tetrádicos de rotação. 183


então:

),ˆ(4

),ˆ(4

),ˆ(4 α−βα−β = uuu : ΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ , (01),

isto é:

O duplo produto ponteado de dois tetrádicos de rotação de mesmo eixo é um tetrádico de rotação de mesmo eixo que os fatores e ângulo de rotação igual à soma algébrica dos ângulos de giro dos rotores associados aos tetrádicos fatores.

Definição: (quadrantais e biquadrantais) Os tetrádicos associados a rotores quadrantais e biquadrantais - representados por 4 4

2ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ

( , ) ( , ) e $ $/u uπ π - denominam-se, respectivamente,

tetrádicos quadrantais e biquadrantais. Lembrando (§ 06.04, III) que ΙΙΙΙΩΩΩΩ −=π aaa ˆˆ2),ˆ( , temos:

4 1 43 4 2 2ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ ΙΙΙΙ

( , ) ( , ) ( , )T

ii i

i

$ $ $[ ] $ $ $ $ $ $ $ $

a a aaaaa ae ae e ae a

π π π= = − − +

r

, (02).

Para um segundo biquadrantal de eixo de unitário $b temos, analogamente:

4 1 43 4 2 2ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ ΙΙΙΙ( , ) ( , ) ( , )

Ti

i ii

$ $ $

[ ] $ $ $ $ $ $ $ $

b b bbbbb be be e be b

π π π= = − − +

r

, (021).

Teor.1: (direto) O duplo produto ponteado de dois tetrádicos biquadrantais é um tetrádico de rotação de eixo ortogonal aos eixos dos fatores e ângulo de rotação igual ao dobro do ângulo formado por esses eixos:

)2,ˆ(

4

),ˆ(

4),ˆ(

4 ϕππ =

kba: ΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ , com bak ˆˆˆ2sen ×=ϕ (03).

Conforme o Corol 1, Teor. 3, §06.03,A, III, temos, para expressão do produto de

dois diádicos biquadrantais de eixos $ $a b e , produto esse de eixo $k e ângulo 2ϕ (igual ao dobro do ângulo formado pelos eixos dos rotores fatores):

ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ( , ) ( , ) ( , )

$ $ $

( $ $ ) ( $ $ ) ( $ $ ) $ $ $ $ $ $

k b a. bb . aa a.b ba aa bb

2ϕ π π= = − − = − − +2 2 4 2 2 .

Logo,


IV,§ 14.05

ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ ΙΙΙΙ

ΙΙΙΙ

ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ

( , ) ( , )

T

$ $$ $ ) $ $ $ $ $ $ ) $ $ $ $ ( $ $ ) $ $ $ $ ( $ $ ) $ $

$ $ ) $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ( $ $ ) $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $

$ $ ( $ $ ) $

k ka.b baab a.b baaa a.b babb a.b ba

a.b aaab aaaa aabb aa a.b bbab bbaa bbbb

bb a.b

2ϕ 2ϕ= − − + −

− + + − − + + −

− +

16( 8( 8 4

8( 4 4 2 8 4 4

2 4

2

ab aa bb$ $ $ $ $− − +2 2ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙΙΙΙΙ

, (A).

Por outro lado, de (02) e (021), operando e simplificando, temos:

4 216( 8( 8 4

8( 4 4 2 8 4

4

ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ( , )

4

( , )

ii

ii

ii

$ $$ $ ) $ $ $ $ $ $ ) $ $ $ $ ( $ $ ) $ $ $ $ $ $ $ $

$ $ ) $ $ $ $ ( $ $ ) $ $ $ $ $ $ $ $ ( $ $ ) $ $ $ $ $ $ $ $

( $ $ ) $ $

a b: a.b aabb a.b aaba a.b aaab aaaa

a.b abbb a.b ae be abab ae ae a.b babb baba

a.b e ae b

π π= − − + +

− + + − − + +

+ − 2 4 2 2 4e ae a bbbb be be e be bii i

i ii

$ $ $ $ $ $ $ $ $ $+ − − + ΙΙΙΙ

, (B).

Transpondo em ordem 1 e posto 3, em ambos os membros de (A), obtemos a expressão do tetrádico de rotação 4 ΩΩΩΩ( , )$k 2ϕ associado ao rotor ΩΩΩΩ( , )$k 2ϕ , expressão esta idêntica

ao segundo membro de (B); o que comprova (03).

Teor. 2: Dado um tetrádico de rotação, é sempre possível decompô-lo no duplo produto ponteado de dois tetrádicos biquadrantais cujos diádicos rotores (biquadrantais) associados tenham por produto o rotor associado ao tetrádico dado.

Com efeito, seja

)2,ˆ( ϕkΩΩΩΩ o rotor associado ao tetrádico de rotação dado, 4 ΩΩΩΩ( , )$k 2ϕ .

Pelo Corol 1, Teor. 14, § 06.03,A, III é sempre possível decompor ΩΩΩΩ( , )$k 2ϕ no produto de

dois rotores biquadrantais ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ( , ) ( , ) e $ $a bπ π cujos eixos definam um plano ortogonal ao seu

eixo e cujo ângulo seja ϕ; escrevemos, então:

ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ( , ) ( , ) ( , )

$ $ $

( $ $ ) ( $ $ ) ( $ $ ) $ $ $ $ $ $

k b a. bb . aa a.b ba aa bb

2ϕ π π= = − − = − − +2 2 4 2 2 .

A expressão de 4 ΩΩΩΩ( , )$k 2ϕ é, então, o transposto de ordem 1 e posto 3 do segundo membro de

(A).

Formando, agora, os tetrádicos de rotação: 4 ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ( , ) ( , ) e 4$ $a bπ π , associados a

ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ( , ) ( , ) e $ $a bπ π , e efetuando o seu duplo produto ponteado, obtemos a expressão (B), cujo

segundo membro é idêntico ao de 4 ΩΩΩΩ( , )$k 2ϕ .

§14.06 - Generalizações. 185


Outros teoremas, análogos aos já demonstrados para os diádicos de rotação, podem ser estendidos aos tetrádicos de rotação.

Teor. 3: Se $ $a c e são dois vetores unitários respectivamente ortogonais aos eixos dos tetrádicos de rotação, 4 φφφφ ψψψψ e 4 , e que formem com a normal ao plano desses eixos, ângulos iguais à metade dos ângulos de rotação desses tetrádicos,

então o duplo produto ponteado ψψψψφφφφ 44 : é um tetrádico de rotação cujo

ângulo de rotação é igual ao dobro do ângulo formado por $ $a c e .

Definição: O vetor semitangente de rotação do rotor associado a um tetrádico de rotação será dito, também, o vetor semitangente de rotação desse tetrádico.

Como o vetor semitangente de rotação de um diádico de rotação (§ 06.03, III) determina univocamente esse diádico (e a rotação), o mesmo se dá com o tetrádico, evidentemente.

Teor. 4: O vetor semitangente de rotação do duplo produto ponteado de dois tetrádicos de rotação é igual ao vetor correspondente do duplo produto ponteado dos rotores associados aos tetrádicos fatores.

§14.06 - Generalizações. Os conceitos vistos neste §14 são generalizáveis. Assim, se os tetrádicos 4 φφφφ ψψψψ e 4

são similares mediante 4 µµµµ , isto é, se existe (08), §14.01, então:

4 4 4 4 4 1 26φφφφ ψψψψ µµµµ µµµµ= − . ( )r

, (01).

Com efeito, pois sendo:

4 4 1µµµµ µµµµ= =−e e r r r r e eji j

i kn k

n e ,

temos, de (08), § 14.01, operando e agrupando convenientemente:

4 4φφφφ ψψψψ= e e r r : : r r e eji j

i kn k

n ( ) .

Podemos escrever o número entre parênteses na forma (4

ji k

n4ψψψψ . r r r r ) e dispô-lo

convenientemente na expressão anterior. Assim,

4j

i kn

ji k

n4 4φφφφ ψψψψ= . r r r r e e e e ,

186 § 14 - Poliádicos de rotação.

IV,§ 14.06

o que comprova (01) uma vez que o octádico fator é

r r r r e e e e e e r r r r e eji k

nj

i kn j

i ji k

n kn = = −( ) ( )

r r2 4 4 1 26 6µµµµ µµµµ .

Analogamente poderíamos comprovar que

4 4 1 4 2 4 46φφφφ µµµµ µµµµ ψψψψ= − ( )r

. , (011),

e que

4 4 4 4 1 4 2 4 4 1 2 4 46 6ψψψψ φφφφ µµµµ µµµµ µµµµ µµµµ φφφφ= =− − . .( ) ( )r r

, (02).

Pondo

8 4 4 1 26µµµµ µµµµ µµµµ= − ( )r

, tem-se 8 1 4 1 4 26µµµµ µµµµ µµµµ− −= ( )r

, (03),

pois

ΙΙΙΙµµµµµµµµ 8nki

jn

kij

ijn

ki

jnk

4nki

jn

kij

1848 )( )( === ′′′

′′

′′′

− rrrrrrrrrrrreeee.eeeerrrr. .

Quando as duas bases associadas ao completo µµµµ são ortonormadas, µµµµ é um diádico

de rotação e 4 1 13µµµµ µµµµ µµµµ= −( ) r

é um tetrádico de rotação, 4 ΩΩΩΩ . Analogamente, 8µµµµ, dado por

(03) é um octádico de rotação, 8ΩΩΩΩ . Lembrando que similaridade é conceito aplicável a poliádicos de valência par, podemos generalizar os resultados obtidos na forma da seguinte expressão:

2 2 1 2 1 2 4H 2H H H H 2H H H 2H 2H H H 2H H = 3Hφφφφ µµµµ ψψψψ µµµµ ψψψψ µµµµ µµµµ ψψψψ µµµµ= =− −. . . .( )

r

, (04).

Sendo

4H 2H 2H H 3Hµµµµ µµµµ µµµµ= −( )1r

, 4H 2H 2H H 3Hµµµµ µµµµ µµµµ− −=1 1( )r

(05). Os poliádicos de rotação têm valência 2H (H = 1, 2, 3, ...); podemos representá-los,

em geral, por ΩΩΩΩH2 . É possível estender aos poliádicos de rotação teoremas relativos a

produtos, associar-lhes eixos, ângulos etc.

Teor. 1: Se 2Hφφφφ e 2Hψψψψ são similares mediante 2Hµµµµ, se Hµµµµ é autodiádico de 2Hψψψψ relativo

ao autovalor A, então µµµµµµµµεεεε HH

2HH .= e A são, respectivamente, autoH-

diádico e autovalor correspondentes de 2Hφφφφ:

§ 15.01 - Casos de igualdade entre poliádicos isômeros. 187


εεεεµµµµµµµµµµµµµµµµφφφφµµµµµµµµψψψψ

µµµµψψψψµµµµφφφφ HHH

2HHH

2HH

2H

HHH

2H

12HH

2HH

2H2H

A ) A() ( A

==⇒

=

= −

....

.. .

Temos:

) ( ) ( HH

2HH

2HH

12HHH

2HH

2HH

12HHH

2H µµµµµµµµφφφφµµµµµµµµµµµµφφφφµµµµµµµµψψψψ .......−− == ,

ou, ainda, considerando que µµµµµµµµψψψψ HHH

2H A =. :

) ( A HH

2HH

2HH

12HH µµµµµµµµφφφφµµµµµµµµ ...−= .

Agora, pré-multiplicando pontual e H-plamente ambos os membros por 2Hµµµµ, vem:

) ( A HH

2HH

2HHH

2H µµµµµµµµφφφφµµµµµµµµ ... = , ou εεεεεεεεφφφφ HHH

2H A =. ,

isto é, Hεεεε é auto diádico de 2Hφφφφ correspondente ao autovalor A.

Corol.: 2H-ádicos similares mediante 2Hµµµµ têm os mesmos autovalores e autoH-ádicos transformados mediante 2Hµµµµ..

§ 15 - POLIÁDICOS INTERNAMENTE SIMÉTRICOS E ANTI-SIMÉTRICOS.

§ 15.01 - Casos de igualdade entre poliádicos isômeros. Consideremos as políades abcabcabcababaaaa e , . Temos, evidentemente:

aaaa aaaa aaaa aaaa aaaa

aaaa aaaa

= = = = = == = ∀

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ,

r s r s

s r

1 1 2 2 . . .

Q.Q Q

Com Q≤4 evidentemente. Temos, ainda:

abab abab abab abab abab= = = =( ) ( ) ( ) ( )r s r s2 2 4 4,

mas,

abab abab abab abab abab≠ = = = =( ) ( ) ( ) ( )r s r s1 1 3 ... .

Para uma 9-ade, escrevemos:

abcabcabc abcabcabc abcabcabc abcabcabc= = = =( ) ( ) ( )r s r3 3 6 . . .,

188 § 15 - Poliádicos internamente simétricos e anti-simétricos.

IV,§ 15.01

Mas

abcabcabc abcabcabc abcabcabc abcabcabc≠ ≠( ) , ( )r s2 4 etc..

Consideremos agora a tétrade 4 φφφφ = −abab baba. Temos:

2434414rrr

φφφφφφφφφφφφφφφφ =−==−−= ababbaba .

Pelos exemplos simples apresentados, constatamos a existência de poliádicos iguais a alguns de seus transpostos de diferentes ordens, com o mesmo sinal ou com o sinal trocado.

Teor. 1: Se um P-ádico é igual ao seu transposto de ordem Q para jusante, com certo sinal, ele é igual também ao seu transposto de mesma ordem para montante e mesmo sinal:

∀ = ± ⇔ = ±P P P Q P P QQ: φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ,r s

, (01). A demonstração é imediata, pois, a transposição de Q vetores para montante na

igualdade P P Q φφφφ φφφφ= ±r

dá: ( ) )P Q P Q Q P ( φφφφ φφφφ φφφφw r w

= ± = ± . A demonstração da recíproca é análoga.

Definição: (poliádicos Q-adicamente simétricos e não simétricos) Se um poliádico Pφφφφ for tal, que

P Q P φφφφ φφφφ

r

= , logo, também P Q Pφφφφ φφφφs

= (02),

então diremos que Pφφφφ é Q-adicamente simétrico internamente; do contrário, isto é,

P R P φφφφ φφφφr

≠ , logo, também P R Pφφφφ φφφφs

≠ (021),

diremos que Pφφφφ é R-adicamente não simétrico internamente (ou assimétrico).

De outra forma, e com símbolos, escrevemos:

P P Q P P Q Q -adicamente sim. φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ⇔ = =r s

, (03),

P P R P P R R - adicamente assim. φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ⇔ ≠ ≠r s

, (031).



Definição: (poliádico Q-adicamente anti-simétrico) Se um poliádico Pφφφφ for tal, que

P Q P φφφφ φφφφ

r

= − , logo, também P Q Pφφφφ φφφφs

= − (04),

então diremos que Pφφφφ é Q-adicamente anti-simétrico internamente. Com outras palavras e com símbolos, escrevemos:

P P Q P P Q Q -adicamente antisim. φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ⇔ = − =r s

, (051).

Devemos notar, entretanto, que poderá ser P Q P Qφφφφ φφφφr s

= sem que Pφφφφ seja Q-

adicamente simétrico, isto é, P Q P Q P φφφφ φφφφ φφφφr s

= ≠ . Em resumo:

... )Q2(PPQPQPQPP ====⇒=rsrr

φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ (052).

Aplicando (121) e (122), § 07.01 escrevemos também:

P Q P Q P P (2Q) P (2Q) P (2Q P) P (2Q P)

P Q P Q

φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ

φφφφ φφφφ

r s r s r s

r s

= ⇒ = = = = ≠

≠ =

− −

,

(053);

ou, ainda, de (053), por ser P Q P (2Q)Q P (3Q) φφφφ φφφφ φφφφr r r s

= = :

P Q P Q P (3Q) P (3Q) P (3Q P) P (3Q P)

P P (2Q) P (2Q) P (2Q P) P (2Q P)

,

φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ

φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ

r s s r r s

r s r s

= = = = = ≠

≠ = = = =

− −

− −

(054),

e assim sucessivamente21. Um poliádico Q-adicamente anti-simétrico é também KQ-adicamente simétrico para

todo K par, e KQ-adicamente anti-simétrico para todo K ímpar. Pois, de P P Q φφφφ φφφφ= −r

deduzimos, sucessivamente:

P Q P (2Q) P P (2Q) P , ou seja, φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφr r r

= − = − = ,

P (2Q) P (3Q) P Q P (3Q) P P Q , ou seja, φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφr r r r r

= − = − − = = − , etc.

21 O caso P = N Q, N inteiro, é irrelevante.


IV,§ 15.01

Definição: (poliádico simétrico)

Se for Q2Q2Q r

φφφφφφφφ= diremos simplesmente que o poliádico φφφφ2Q é simétrico

internamente, e escreveremos T2Q2Q φφφφφφφφ= ; se for Q2Q2Q r

φφφφφφφφ −= , diremos

que φφφφ2Q é anti-simétrico internamente, e escreveremos T2Q2Q φφφφφφφφ −= 22.

* Exercício: Provar que:

a) - T2QQ

T2QT2QQ

2Q ) ( ββββφφφφββββφφφφ •• = ,

b) - T2QQ

2Q2Q2Q

2QQ

4Q φφφφψψψψψψψψφφφφΙΙΙΙ ••• =

e escrever essas expressões para Q=1 e 2.

*

Decomposição aditiva de poliádicos

Temos, evidentemente:

∀ ≤ = + + − e Q P : P P P P Q P P Qφφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ12

12

( ) ( )r r

, (06).

O poliádico P P Q φφφφ φφφφ+r

é Q-adicamente simétrico se QPQP sr

φφφφφφφφ = . Com efeito,

( )P P Q Q P Q P QQ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ+ = +r r r r r

. De acordo com (053), P QQ P (2Q) P φφφφ φφφφ φφφφ

r r r

= = . Logo,

( )P P Q Q P Q P φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ+ = +r r r

,

igualdade que satisfaz (03).

Se P Q P Q φφφφ φφφφr s

= , o poliádico P P Q φφφφ φφφφ−r

é Q-adicamente anti-simétrico, pois

( )P P Q Q φφφφ φφφφ−r r

= − = − + = − − P Q P QQ P P Q P P Q φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφr r r r r

( ) , igualdade que satisfaz (05). Os mesmos resultados anteriores poderiam ser obtidos com transposições para montante, isto é,


12

( ) ( )s s

, (061).

22 No §07.01 fizemos menção rápida a esses poliádicos, aos quais nos referimos apenas como "simétricos" e "anti-simétricos". Estas, na verdade, são as nomenclaturas mais usuais, sendo usado o termo "internamente" apenas quando é necessário um destaque.



caso em que o primeiro e o segundo poliádicos parcelas seriam Q-adicamente simétrico e

anti-simétrico respectivamente, se P Q P Q φφφφ φφφφr s

= .

Definições: ( partes simétrica e anti-simétrica)

Quando Pφφφφ é um poliádico tal que P Q P Q φφφφ φφφφr s

= , a expressão:


12

( ) ( )r r

recebe o nome de decomposição aditiva desse poliádico; os poliádicos

12

12( ) ( )P P Q P P Q e φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ+ −

r s

,

respectivamente Q-adicamente simétrico e Q-adicamente anti-simétrico, são denominados as partes Q-simétrica e Q-anti-simétrica do poliádico Pφφφφ que será dito, então, separável23.

Para os poliádicos de valência par, φφφφ2Q , as partes Q-adicamente simétrica e

Q-adicamente anti-simétrica serão ditas simplesmente, partes simétrica e anti-simétrica de φφφφ2Q .

Teor. 2: A CNS para que a soma (diferença) de dois poliádicos de valência par seja um poliádico simétrico (anti-simétrico) é que as suas partes anti-simétricas (simétrica) seja poliádicos opostos:

),(21

)(21

, )(

T2Q2QT2Q2Q

2Q2QT2Q2Q2Q2Q

ψψψψψψψψφφφφφφφφ

ψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφ

mmm =

⇒∀⇐±±=± (062),

expressão em que os sinais se correspondem. Com efeito, pois, se T2QT2QT2Q2Q2Q2Q )( ψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφ +±=±±=± tem-se, por

transposição de termos: )( T2Q2QT2Q2QT2Q2Q ψψψψψψψψψψψψψψψψφφφφφφφφ mmmm =+= . A recíproca se

demonstra analogamente. Nas aplicações são comuns os poliádicos de valência par P=2H, com Q=H, caso em que

) (2

1 ) (

2

1 T2H2HT2H2H2H φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ −++= , (063).

23 A nomenclatura é de Drew (ver bibliografia)


IV,§ 15.01

A primeira parcela em (063) é um 2H-ádico simétrico; a segunda, anti-simétrico. Sejam

∀ =−

T: ... ... P P T i

jk

mn

ij

km

n

P T fatores

φφφφ φφφφ ψψψψ, e f g u v1 244 344 , (07),

e ... ...

Pi

jk

mn

T ijk

mn

P T fatores

φφφφ χχχχ=−

e f g u v1 244 344 , (071),

duas das representações T-nomiais de Pφφφφ em relação aos P - T sistemas recíprocos de vetores e* e e*, f* e f* etc.. Nesses sistemas, os poliádicos T i

jk

mn T i

jk

mn ... e ... ψψψψ χχχχ são os T-ádicos motivo de Pφφφφ por montante e por jusante,

respectivamente.

Teor. 3: Para Q < T < P, a CNS para que um poliádico Pφφφφ, dado por (07) (ou (071)), seja igual ao seu transposto de ordem Q e posto T para jusante (montante), com o mesmo sinal ou com o sinal contrário, é que os seus T-ádicos motivos por montante (jusante) sejam Q-adicamente simétricos ou anti-simétricos internamente, respectivamente:

∀ T, Q, Q < T < P:Pφφφφ,

P P Q T ijk

mn T i

jk

mn Q ... ... Tφφφφ φφφφ ψψψψ ψψψψ= ± ⇔ = ±

r r

( ) , (08),

ou, P P Q T i

jk

mn T i

jk

mn Q ... ... Tφφφφ φφφφ χχχχ χχχχ= ± ⇔ = ±

s s

( ) , (081)24.

No caso de transposição para jusante,

P Q T ijk

mn Q

ij

km

n

P T fatores

T ( ... ) ... φφφφ ψψψψr r

1 244 344=

−

e f g u v .

Então, igualando membro a membro esta expressão com (07) resulta logo, necessária e suficientemente, a expressão (08). Faríamos a mesma demonstração no caso da transposição para montante.

Corol. 1: Se os T-ádicos motivos de Pφφφφ por montante são respectivamente iguais aos seus T-ádicos por jusante, com os mesmos sinais ou com os sinais contrários, Pφφφφ é igual aos seus transpostos de ordem Q e posto T por montante e por jusante com os mesmos sinais ou com os sinais

24 Nos casos de igualdade de T com Q, ou de T com P, (08) e (081) são expressões evidentes.



contrários:

T ijk

mn T i

jk

mn P P Q P Q

... ... T Tψψψψ χχχχ φφφφ φφφφ φφφφ= ± ⇔ = ± = ±r s

, (09).

Pois, se T i

jk

mn T i

jk

mn ... ... ψψψψ χχχχ= , os segundos membros de (08) e (081) são

equivalentes, isto é, (08) e (081) são simultâneas; donde, então, (09).

Reciprocamente, se P P Q P Q T Tφφφφ φφφφ φφφφ= ± = ±r s

, de (08) e (081) escrevemos:

, ) ... ( ... ... ...

, ... ) ... ( ... ...

Qnm

kj

iTn

mk

ji

QPnm

kj

iTn

mk

ji

P

nm

kj

iQn

mk

jiTQP

nm

kj

in

mk

jiTP

T

T

ss

rr

χχχχφφφφχχχχφφφφ

ψψψψφφφφψψψψφφφφ

vugfevugfe

vugfevugfe

±=±==

±=±==

donde a tese.

Definições: (poliádicos Q-adicamente simétricos ou anti-simétricos no posto T)

Os poliádicos Pφφφφ tais, que P P Q Tφφφφ φφφφ=r

são ditos Q-adicamente simétricos

por montante no posto T; os tais que P P Q Tφφφφ φφφφ= −r

são ditos Q-adicamente anti-simétricos por montante no posto T. Analogamente são definidos os poliádicos Q-adicamente simétricos e anti-simétricos por jusante no posto T.

Os 2Q-ádicos simétricos (anti-simétricos) são Q-adicamente simétricos (anti-simétricos) no posto 2Q. Nas aplicações (especialmente com espaços diádicos) são úteis certas relações entre os 2H-ádicos anti-simétricos, seus H-adicos associados (§ 10.01) e H-ádicos quaisquer.

Teor. 4: Os 2H-ádicos anti-simétricos gerados com vetores do E1 ou do E3 são incompletos; gerados com vetores do E2 são completos em geral.

De fato, o espaço dos 2H-ádicos gerados com vetores do EN tem dimensão N2H e seus subespaçoços, dimensões G≤N2H. Sendo 2HA = - 2HAT os G-ésimos em subespaços obedeceriam a condição 2HAG=(-1)G (2HAT)G=(-1)G 2HAG que também deve valer para

G=N2H. Ora, para N=3, G=32H é ímpar e em 2H32HE os anti-simétricos têm G-ésimo nulo e

são incompletos; mas poderão ser completos em subespaços de dimensão G=par≤32H. Para

N=2, 22H é par e em 2H22HE os anti-simétricos terão G-ésimo em geral não nulo e serão

completos em geral; mas poderão ser incompletos em subespaços de dimensão G=ímpar≤22H.

Teor. 5: Todo 2H-ádico anti-simétrico de um 2HN

2HE com N ímpar, pode ser escrito

numa forma (NH-1)-nomial de que antecedentes e conseqüentes são H-ádicos


IV,§ 15.01

de um mesmo 1N

HHE − .

Ponhamos, em redução NH-nomial: iHiH2H εεεεαααα=A (i=1, 2, ..., NH). Sendo NH

ímpar, logo N=1, ou 3, o poliádico é incompleto (Teor. 4), isto é, os seus antecedentes

pertencem a certo 1N

HHE − uma vez que seus conseqüentes são independentes. Então

existem números A1, A2, ..., 1N HA − não simultaneamente nulos, tais, que Ai Hααααi = HΟΟΟΟ (i=1,

2, ..., NH-1). Extraindo-se o valor de HNH αααα dessa expressão (supõe-se 0A HN

≠ ) e

substituindo-se na de 2HΑΑΑΑ, resulta:

)A

A(...)

AA

()AA

( H

H

H

H

H

H

H

H

HN

H

N

1N1N

H1NHN

H

N

22

H2HN

H

N

11

H1HH2 εεεεεεεεααααεεεεεεεεααααεεεεεεεεαααα −−

− −++−+−=A ,

os conseqüentes dessa representação devendo pertencer a um 1N

HHE' − . Mas, devendo ser

AA 2HT2H =− , resulta que antecedentes e conseqüentes pertencem a um mesmo

subespaço, isto é, 1N

H1N

HHH E' E −− ≡ ; em outras palavras: o 2H-ádico anti-simétrico é

uniespacial (seu espaço tendo dimensão NH-1).

Definição: (1N

HHE − de um anti-simétrico)

O espaço 1N

HHE − , com N ímpar, ao qual pertencem antecedentes e

conseqüentes de qualquer redução NH-nomial de um 2H-ádico anti-

simétrico, será dito “o 1N

HHE − do anti-simétrico”.

Teor. 6 O cruzado de qualquer 2H-ádico anti-simétrico de um 2HN

2HE , com N =

ímpar, é ortogonal ao seu 1N

HHE − .

Consideremos ((02),§09.04 ), a saber,

ρρρρφφφφφφφφρρρρφφφφρρρρ HH ant

2Hant

2HH

H2HH 2 2 .. −=>>=<< , (10),

válida para qualquer Hρρρρ de um GH E com G≤NH onde opere 2Hφφφφ. Se este for anti-simétrico,

isto é, para 2Qφφφφant=2QA e N=ímpar, 2QA será incompleto (Teor.4); e seus antecedentes e

conseqüentes pertencerão ao seu 1N

HHE − (Teor. 5). Ora, para qualquer Hρρρρ de HN

H E ,

<Qρρρρ<2QA > será (por definição do produto) ortogonal a Hρρρρ e a <2QA >. Logo, <2QA > será

ortogonal ao seu 1N

HHE − , c.q.d.

§ 15.02 – Simetria interna dos triádicos. 195


Corol. 2 Qualquer 2H-ádico anti-simétrico de um 2HN

2HE , com N = ímpar

transforma qualquer Hρρρρ de HNH E num H-ádico do seu espaço

1NH

HE − .

Pois os dois primeiros membros de (10) mostram que o transformado de Hρρρρ é um H-adico do espaço dos antecedentes 2Qφφφφant=

2QA.

Corol. 3: Num HN

2HE com N= ímpar

ΟΟΟΟΟΟΟΟ 2Q2HQ2HT2H2H e =⇔>=<=− AAAA (11).

Teor. 7: A CNS para que um 2Q-ádico seja simétrico é que seu cruzado seja o Q-ádico nulo.

Consideremos ((02),§09.04 ), a saber,

ρρρρφφφφφφφφρρρρφφφφρρρρ QQ ant

2Qant

2QQ

Q2QQ 2 2 .. −=>>=<< ,

válida para qualquer Hρρρρ de um GQE com G≤NQ, onde opere 2Qφφφφ. Para 2QφφφφT=2Qφφφφ (2Q-ádicos

simétricos), 2Qφφφφant=2QΟΟΟΟ e <Qρρρρ<2QA >=QΟΟΟΟ. Dada a arbitrariedade de Hρρρρ, <2QA >=QΟΟΟΟ. A

recíproca é verdadeira, pois se o cruzado do qualquer 2Qφφφφ é o Q-ádico nulo, então para

qualquer Hρρρρ de um GQE com G≤NQ, onde opere 2Qφφφφ é ΟΟΟΟφφφφρρρρ Q

ant2QQ

Q =. . Então:

ΟΟΟΟφφφφ 2Qant

2Q = e, portanto, 2QφφφφT=2Qφφφφ.

Assim, o cruzado de um diádico (que é idêntico ao seu vetor) é o vetor nulo (conforme já sabíamos) se o diádico é simétrico. O cruzado de um tetrádico simétrico é o diádico nulo, mas seu diádico (ou 2-vetor) é não nulo em geral. De outro lado, é não nulo o cruzado de um tetrádico anti-simétrico (como também já sabíamos), mas seu diádico (ou 2-vetor) é o diádico nulo.

§ 15.02 – Simetria interna dos triádicos.

A aplicação aos triádicos dos conceitos gerais expostos no § 14.01 pode originar propriedades particulares que apresentam interesse em aplicações práticas, especialmente em Física de Cristais; permite também introduzir nomenclaturas mais adequadas e sugestivas.

Podemos escrever um triádico de diversas maneiras (§ 03). Destaquemos as representações contravariantes do triádico 3φφφφ pelas suas escritas diádica, vetorial e cartesiana seguintes, em relação a uma única base vetorial:

3φφφφ αααα= = =kk

j kj k

i j ki j k

Ae a e e e e e, (i, j, k=1, 2, ..., N) (011).


IV, § 15.02

Para o que nos interessa analisar, é mais adequada a escrita vetorial duplamente homônima (duplamente contravariante ou covariante) combinada com a escrita cartesiana triplamente homônima (triplamente contravariante ou covariante, § 03). Entretanto, o leitor poderá comprovar facilmente que tudo o que deduzirmos para o triádico, com essas representações, será válido para qualquer outra representação. De outro lado, devemos nos lembrar (Teor. 7, § 09.02) que a dimensão X do espaço 3EX criado dependerá das dimensões do 1EN e do 2EY dos quais se origina. Por exemplo: para N=3 e Y=6 (caso de diádicos internamente simétricos, §10.02, II), será X=18. Mas dado um 3EX qualquer, construído com vetores do E3, poderá não ser possível determinar um Y. Em qualquer um dos casos, entretanto, o número de coordenadas independentes do triádico será sempre igual à dimensão do espaço a que pertence. Das (011) podemos deduzir:

3 k Tk j

j kk

i j kj i k

Aφφφφ ααααr12 = = =e e a e e e e, (021),

3 j kk j

i j ki k j

Aφφφφs12 = =a e e e e e, (031),

3j k

j k i j kj k i

Aφφφφr1 = =e e a e e e, (041),

jikk j i

jk j

kk

k13 A eeeeaee === ααααφφφφs

, (051),

Se mantivermos as posições dos índices mudos poderemos mudar-lhes os nomes sem que isso implique alteração das somatórias. Por isso, poderemos escrever, em coordenadas cartesianas (no caso, contravariantes):

3 i j ki j k

Aφφφφ = e e e , (01),

3 j i ki j k

Aφφφφr12 = e e e , (02),

3 k i j

i j kAφφφφ

r1 = e e e , (03),

3 i k j

i j kAφφφφ

s12 = e e e , (04),

3 j k i

i j kAφφφφ

s1 = e e e , (05).

Como caso particular da fórmula geral (012), § 07.02 resulta (para Q = 1) que:

O produto ponteado de um vetor por um triádico é igual ao produto ponteado do seu transposto de ordem 1 para jusante, por esse mesmo vetor:

∀ = = : 3φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ, ,r r. . r . r r.3 3 1 3 3 1r s

, (06);



vice-versa, o produto ponteado de um triádico por um vetor é igual ao produto ponteado desse vetor pelo transposto de ordem um para montante do triádico.

Além disso, se um triádico é vetorialmente simétrico (conforme (03),§ 15.01),

3φφφφ φφφφ φφφφ= = 3 1 3 1r s

, (07),

caso em que r.3φφφφ=3φφφφ.r . Em geral,

φφφφφφφφφφφφ 333 : , r..rr ≠∀ , (061).

É evidente que se todos os diádicos antecedentes de um triádico são simétricos (anti-

simétricos), então 3 3 12φφφφ φφφφ= r

( 3 3 12φφφφ φφφφ= − r

); se todos os diádicos conseqüentes são

simétricos (anti-simétricos), então 3 3 12φφφφ φφφφ= s

( 3 3 12φφφφ φφφφ= − s

).

Definição: (triádicos diádica e internamente simétricos)

Os triádicos 3φφφφ tais, que:

1º) - 3 3 12φφφφ φφφφ= r

, ou 3 3 12φφφφ φφφφ= − r

, vetorialmente simétricos (ou anti-simétricos) por montante no posto 2 serão ditos, simplesmente, diádica e internamente simétricos por montante, ou diádica e internamente anti-simétricos por montante, respectivamente;

2º) - 3 3 12φφφφ φφφφ= s

, ou 3 3 12φφφφ φφφφ= − s

serão ditos diádica e internamente simétricos por jusante, ou diádica e internamente anti-simétricos por jusante, respectivamente.

Teor. 1: A CNS para que um triádico seja vetorialmente simétrico, é que o seu reverso o seja:

3 3 1 3 1 3 3 1 3 1φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ= = ⇔ = = r s s s r s s

, (08). Com efeito, temos, efetuando uma transposição de ordem 1 e posto 2 para jusante, seguida de uma transposição de ordem 1 para jusante nas igualdades que expressam a simetria vetorial do triádico:

3 1 1 3 11 1 3 11 12 2 2φφφφ φφφφ φφφφr r r r r s r r

= = .

Obtemos logo a expressão da tese, pois:

, e 13 1 1 3 3 11 1 3 1 3 11 1 32 2 2φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφr r s s r r r s r s r r

= = = .


IV,§ 15.02

A recíproca se demonstra analogamente, bastando efetuar-se nas igualdades que expressam a simetria vetorial do triádico reverso do triádico dado uma transposição de ordem 1 e posto 2 para montante, seguida de uma transposição de ordem 1 para jusante.

Nota: 1111 3

3

3

3

3

srsr

φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ ==⇒= , (3φφφφ é vetorialmente simétrico) (081),

o que se comprova facilmente efetuando-se uma transposição de ordem um para jusante na expressão tradutora da hipótese. Mas

ΟΟΟΟφφφφφφφφφφφφ 331313 =⇒−=

sr

, (082).

Com efeito, efetuando uma transposição para jusante e outra para jusante, temos:

3 11 3 3 1 3 3 11 3 3 3 1φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφr r s r s s s r

= − = − = − = − ou e ou 11, ; , ,

donde

ΟΟΟΟφφφφφφφφφφφφ 3333 ou , =−= .

Teor. 2: A CNS para que um triádico seja diadicamente (anti-simétrico) simétrico por montante ou por jusante é que o (oposto do) seu reverso seja vetorialmente simétrico por jusante ou montante, respectivamente:

3 3 1 3 1 32φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ= ± ⇔ = ± r s s

, (09),

3 3 1 3 1 32φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ= ± ⇔ = ± s r s

, (091). Demonstraremos apenas (09). Efetuando uma transposição de ordem 1 para montante em ambos os membros da igualdade que expressa a anti-simetria e a simetria diádica do triádico por montante, temos:

3 1 3 1 12φφφφ φφφφ

s r s

= ± , donde 3 1 3φφφφ φφφφs s

= ± . Reciprocamente, efetuando uma transposição de ordem 1 para jusante em ambos os

membros de 3 1 3φφφφ φφφφs s

= ± , temos: 3 3 1φφφφ φφφφ= ± s r

, donde a tese, porque ± ± = 1

2

s r r

3 1 3φφφφ φφφφ .

Analogamente podemos demonstrar (091).

Corol. 1: A CNS para que o reverso de um triádico seja diadicamente (anti-simétrico) simétrico por montante ou por jusante é que o (oposto do) reverso desse triádico seja igual ao seu transposto de ordem 1 para montante ou para jusante, respectivamente:

s s r s s s3 3 1 3 1 32φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ= ± ⇔ = ± , (10),



s s s s r s3 3 1 3 1 32φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ= ± ⇔ = ± , (101).

Com efeito, o Teor. 2 é válido para qualquer triádico, particularmente para o seu reverso.

Teor. 3: É nulo todo triádico diadicamente simétrico (anti-simétrico) por montante e anti-simétrico (simétrico) por jusante:

ΟΟΟΟφφφφφφφφφφφφ 331313 22 =⇒=±sr

m , (11).

Pois efetuando uma transposição de ordem 1 e posto 2 para jusante nas expressões

da hipótese, temos: 3 3 1φφφφ φφφφ= − s

. Efetuando-se agora, nesta expressão, uma transposição de

ordem 1 para montante, resulta: 3 1 3 1φφφφ φφφφs r

= − . Logo, 3 3 1 3 1φφφφ φφφφ φφφφ= − = s r

, e (082) garante ser

ΟΟΟΟφφφφ 33 = .

Dupla simetria interna. Triádicos simétricos e completamente anti-simétricos.

As várias condições apresentadas por um triádico, a saber:

1°)- de ser igual ao seu reverso: 3 3φφφφ φφφφ= s

;

2°)- de ser vetorialmente simétrico: 3 3 3φφφφ φφφφ φφφφ= = 1 1r s

; 3°)- de ser diadicamente simétrico:

-por montante: 3 3φφφφ φφφφ= 12

r

,

- por jusante: 3 3φφφφ φφφφ= 12

s

; 4°)- de ser diadicamente anti-simétrico:

-por montante: 3 3φφφφ φφφφ= − 12

r

,

- por jusante: 3 3φφφφ φφφφ= − 12

s

,

serão ditas condições de simetria interna desse triádico.

Existem, pois, C62 = 15 maneiras distintas de um triádico apresentar dupla condição

de simetria as quais podem ser reunidas metodicamente nos 5 grupos seguintes:

Grupo I:

−=−=

===

=

=

e

2

2

2

2

133

133

133

133

13133

33

w

r

s

r

wr

s




φφφφφφφφ ; Grupo II: 3 3 1 3 1

3 3 1

3 3 1

3 3 1

3 3 1

φφφφ φφφφ φφφφ

φφφφ φφφφ

φφφφ φφφφ

φφφφ φφφφ

φφφφ φφφφ

=

=

=

= −

= −

= e

2

2

2

2

r w

r

s

r

w

;


IV,§ 15.02

Grupo III: 3 3 1

3 3 1

3 3 1

3 3 1

φφφφ φφφφ

φφφφ φφφφ

φφφφ φφφφ

φφφφ φφφφ

=

=

= −

= −

e

2

2

2

2

r

s

r

w; Grupo IV: 3 3 1

3 3 1

3 3 1φφφφ φφφφ

φφφφ φφφφ

φφφφ φφφφ=

= −

= −

e

2

2

2

sr

w ;

Grupo V: 3 3 1 3 3 1φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ= − = − e 2 2

r w

. Por força Teor. 3 a terceira condição do grupo III e a primeira condição do grupo IV devem ser abandonadas. Por evidência, também devem ser abandonadas as segundas condições desses mesmos grupos. Restam, pois, 11 condições.

Para o grupo I temos, para todos os casos:

3 3 3 3 1 3 3 12 2φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ= ⇒ = = e 1 1s r r s s

, (12).

* Exercício: Mostrar, a partir de (12), que:

)(21

)(21

)(21

: 221313133133333srssrs

φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ +−+++==∀ , (121).

*

Resulta, então, para o grupo I, considerando as imposições complementares (12): 1) - da primeira condição:

3 3 3 3 1 3 1 32 2φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ= = = = = 1 1r s s r s

, (13).

Definição: (triádico simétrico) Um triádico igual ao seu reverso e vetorialmente simétrico (logo, diadicamente simétrico por montante e por jusante) será dito completamente simétrico, ou, simplesmente, simétrico.

2) - da segunda condição: 3 3 3 1 32φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ= = = 1s r r

. Considerando (12) vê-se que o triádico é simétrico, resultando demonstrado o seguinte

Teor. 4: Todo triádico diadicamente simétrico por montante e igual ao seu reverso é simétrico.

3)- da terceira condição resulta também, tal como no caso anterior, que o triádico satisfaz a (13). Logo:



Teor. 5: Todo triádico diadicamente simétrico por jusante e igual ao seu reverso é simétrico.

4) - as duas últimas condições devem ser descartadas. Com efeito, da quarta,

considerando (12), escrevemos: 3 3φφφφ φφφφ= = s

− = −3 1 32φφφφ φφφφr r

1 donde 3 1φφφφ φφφφ φφφφs r

= − = −3 3 12 , ou

3 3 1 3 12 2φφφφ φφφφ φφφφ= = −

r r

. O Teor. 3 permite concluir que o triádico é o triádico nulo, o que é absurdo. Analogamente provaríamos que a quinta condição deve ser descartada. Para o grupo II temos, para todos os casos (Teor. 1):

3 3 1 3 1 3 3 1 3 1 3 1 3 12 2φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ= = ⇔ = = = =

r s s s r s s r s

, (14). Resulta, então, das condições complementares:

1) - da primeira condição: 3 3 3 3 1 3 3 12 2φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ= = = = = 1 1

r s r s s

, sistema equivalente a (13). Logo:

Teor. 6: Todo triádico diadicamente simétrico por montante e vetorialmente simétrico é simétrico.

2) - da segunda condição, tal como deduzido no caso anterior, concluímos:

Teor.7: Todo triádico diadicamente simétrico por jusante e vetorialmente simétrico é simétrico.

3) - da terceira condição e de (14), vem:

3 3 3 3 1 3 1 32 2φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ= = = − = − = − 1 1r s r s s

, (141).

Definição: (triádico semi-anti-simétrico) Um triádico igual ao oposto do seu reverso e vetorialmente simétrico (logo, diadicamente anti-simétrico por montante e por jusante) será dito semi-anti-simétrico.

Logo:

Teor. 8: Todo triádico vetorialmente simétrico e diadicamente anti-simétrico por montante é semi-anti-simétrico.

4)- da quarta condição e de (141), deduzimos:

3 3 3 3 1 3 1 32 2φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ= = = − = − = − 1 1r s s r s

, (142).


IV,§ 15.02

Logo:

Teor. 9: Todo triádico vetorialmente simétrico e diadicamente anti-simétrico por jusante é semi-anti-simétrico.

Para o único caso do grupo III temos, lembrando que devem subsistir, nesse caso, (09) e (091):

3 3 1 3 1 3 3 32 2φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ= = = = e 1 1r s s r s

. Das primeiras igualdades deduzimos:

3 1 3 1 1 3 11 3 1 3 32φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφr r r s r r s

= = = = ou 1

2 .

Logo o triádico satisfaz (13). Então:

Teor. 10: Todo triádico diadicamente simétrico por montante e por jusante é simétrico.

Para o grupo V, temos:

3 3 1 3 1 3 3 1 3 1 1 3 3 3 3 12 2 2 2 2φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ= − = − = − = − = − = − = − , donde e 1 1r s r s s r s s s s

. Logo, esse triádico satisfaz (141). Então:

Teor. 11: Todo triádico diadicamente anti-simétrico por montante e por jusante é semi-anti-simétrico.

A simetria e a semi-anti-simetria internas dos triádicos pelas suas coordenadas.

Consideremos um triádico gerado com vetores do E3. Podemos dividir as suas (AR)3

3 = =3 273 coordenadas triplamente homônimas25, numa mesma base vetorial, em três classes, conforme a natureza dos algarismos que compõem os índices dessas coordenadas: - Classe I: algarismos não repetidos. São elas:

A A A e A A A123 312 321 132 213, , , ,231 ;

- Classe II: com 2 algarismos repetidos. São elas:

311131113211121112 A ,A ,A e A ,A ,A 322232223122212221 A ,A ,A e A ,A ,A

233323332133313331 A ,A ,A e A ,A ,A ;

25 O que vale para esse tipo de coordenadas vale para qualquer outro tipo.



- Classe III: com 3 algarismos repetidos. São elas:

A A A111 333, ,222 .

Podemos, agora, analisar as várias condições de simetria.

Teor. 12: Se um triádico é igual ao seu reverso, são iguais as suas coordenadas cartesianas triplamente homônimas, numa mesma base, cujos índices estejam em ordem inversa; e reciprocamente:

3 3φφφφ φφφφ= ⇔ = A Ai j k k j is

.

Com efeito, pois deve ser A Ai j ki j k

i j kk j i

e e e e e e= ; e como uma somatória não se

altera apenas pela troca da notação dos índices repetidos (mantidas as suas posições), o

último membro pode ser escrito na forma A k j ii j k

e e e , donde a tese. Reciprocamente, se

entre as coordenadas de um triádico subsistem as relações A Ai j k k j i = , subsistem também

A Ai j ki j k

k j ik j i

e e e e e e= , e o triádico é igual ao seu reverso.

Corol. 1: Se um triádico é igual ao seu reverso ele tem, no máximo, 18 coordenadas independentes.

Pois, nesse caso, os diádicos de montante e jusante do triádico são simétricos e a dimensão do espaço corresponde é 18. Suas coordenadas são: - da classe I são apenas 3:

A A , A A , A A 1 2 3 3 2 1 2 3 1 1 3 2 3 1 2 2 1 3= = = ; - da classe II são apenas 12:

;A ;AA ;A ;AA 131311113121211112 ==

;A ;AA ;A ;AA 232322223212122221 ==

;A ;AA ;A ;AA 323233332313133331 == - da classe III são apenas 3:

A A e A1 1 1 2 2 2 3 3 3, . Assim, teremos, no máximo, 3 + 12 + 3 = 18 coordenadas não nulas.

Teor. 13: Se um triádico é vetorialmente simétrico são iguais as suas coordenadas


IV,§ 15.02

cartesianas homônimas, numa mesma base, cujos índices formem uma permutação circular; e reciprocamente:

3 3 1 3 1φφφφ φφφφ φφφφ= = ⇔ = = A A Ai j k j k i k i j

r s

. (15). A proposição direta decorre imediatamente de (01), (03) e (05). Temos: 3 i j k

i j kj k i

j k i k i j

k i j= A A Aφφφφ e e e e e e e e e= = , já que a notação dos índices mudos não altera

a somatória, apenas a sua posição. Mas sendo, por hipótese, A A Ai j k j k i k i j= = ,

podemos escrever 3 i j ki j k

i j kj k i

i j kk i j= A A Aφφφφ e e e e e e e e e= = , ou seja, 3 3 1 3 1φφφφ φφφφ φφφφ= =

r s

; e a

proposição recíproca é verdadeira.

Corol. 1: Se um triádico é vetorialmente simétrico ele tem, no máximo, 11 coordenadas independentes.

Pois, devendo as coordenadas do triádico satisfazer (15), podemos constatar que: - as da classe I são apenas 2:

A A A e A A A , 1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 1 3 2 2 1 3= = = = ; - as da classe II são apenas 6:

A A A ; A A A

A A A ; A A A

A A A ; A A A

1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 3 3 1 1 1 3 1

2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 3 3 2 2 2 3 2

3 3 1 1 3 3 3 1 3 3 3 2 2 3 3 3 2 3

= = = == = = == = = =

;

;

. - as da classe III são apenas 3:

A A e A1 1 1 2 2 2 3 3 3, .

Assim, teremos, no máximo, 2 + 6 + 3 = 11 coordenadas não nulas.

Nota Pode-se constatar aqui, facilmente, que, escrito o triádico na forma trinomial

k

k3 eααααφφφφ =

(k=1, 2, 3) e cada antecedente na forma eneanomial ji

jkk iA ee=αααα (i, j= 1, 2, 3), as

matrizes associadas a esses antecedentes são: uma simétrica e duas não simétricas (com alguns elementos de umas, iguais aos de outras), o que impossibilita a fixação de um único espaço (diferente do 2E9) a que poderiam pertencer todos os antecedentes.

Teor. 14: Se um triádico é diadicamente simétrico (anti-simétrico) por montante ou por jusante, são iguais (opostas) as suas coordenadas homônimas, numa mesma base, cujos índices apresentem, respectivamente, os últimos ou os primeiros algarismos iguais e os outros dois alternados; e reciprocamente:



3 3 1

2φφφφ φφφφ= ± ⇔ = ± A Ai j k j i kr

, (151),

3 3 12φφφφ φφφφ= ± ⇔ = ± A Ai j k i k js

. (152). Com efeito, para o caso dos triádicos diadicamente simétricos (anti-simétricos) por

montante, (01) e (02) implicam A Ai j k j i k= ± , o que demonstra a primeira parte do teorema direto. Para o caso de simetria (anti-simetria) por jusante, (01) e (04) acarretam

A Ai j k i k j= ± , o que demonstra a segunda parte.

A recíproca se demonstra como na demonstração do Teor. 13.

Corol. 1: Um triádico diadicamente simétrico (anti-simétrico) por montante ou por jusante tem, no máximo, 18 (9) coordenadas independentes.

Com efeito, como todos os seus diádicos antecedentes (por hipótese, existentes) sejam simétricos (anti-simétricos), ou todos os seus conseqüentes, o número máximo de coordenadas independentes é seis (três) para cada diádico, ou seja, 18 (9) no total.

Triádicos internamente simétricos e semi-anti-simétricos. Qualquer dupla simetria implica que o triádico seja simétrico ou semi-anti-simétrico, conforme os Teor. 3 a 11.

Teor. 15: Se um triádico é simétrico (semi-anti-simétrico), são iguais (números opostos) as suas coordenadas homônimas, numa mesma base, cujos índices apresentem os últimos algarismos iguais com os outros dois primeiros alternados e os primeiros algarismos iguais com os dois últimos alternados:

3 3 1 3 1 3 1 3 1 32 2φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ= = = = = ⇔

⇔ = = =

A A A Ai j k j i k i k j j k i

r s r s s

,

3 3 1 3 1 3 1 32φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ= − = = = − ⇔

⇔ = − = = −

A A A Ai j k j i k j k i i k j

r r s s

.

Esse teorema resulta da aplicação simultânea dos Teor. 13 e 14 (duas condições de simetria simultâneas).

Corol. 1: Um triádico simétrico tem 10 coordenadas independentes; um semi-anti-simétrico, apenas uma.


IV,§ 15.02

Pois as coordenadas da classe I são: uma no caso de simetria,

A A A A A A1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 1 3 2 2 1 3= = = = = ; uma no caso de semi-anti-simetria:

3 1 22 3 11 2 32 1 31 3 23 2 1 AAA AAA −=−=−=== ; as da classe II são apenas 6, no caso de simetria:

A A A e A A A

A A A e A A A

A A A e A A A

1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 3 3 1 1 1 3 1

2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 3 3 2 2 2 3 2

3 3 1 1 3 3 3 1 3 3 3 2 2 3 3 3 2 3

= = = =

= = = =

= = = =

,

,

, e todas nulas, no caso de semi-anti-simetria; as da classe III são 3, no caso de simetria:

A A e A1 1 1 2 2 2 3 3 3, ; e todas nulas no caso de semi-anti-simetria. No total temos, então, 10 coordenadas independentes, no máximo, no caso de simetria; e apenas uma no caso de semi-anti-simetria. A um triádico simétrico está, pois, associada a matriz coluna cujos elementos são matrizes simétricas 3x3, assim representadas:

133

123122

113112111

Asim.AAAAA

,

233

223222

123122112

Asim.AAAAA

,

333

233223

133123113

Asim.AAAAA

,

suas coordenadas independentes sendo: 1) – da primeira matriz: as três da primeira linha, as duas apresentadas na segunda linha e na terceira, num total de 6; 2) – da segunda matriz: as apresentadas na quinta e sexta linhas; 3) – da terceira matriz: a da última linha.

A um triádico semi-anti-simétrico, analogamente, está associada a matriz coluna cujos elementos são matrizes anti-simétricas 3x3, assim representadas:

0anti

A0

000123 ,

0anti

00

A-00 123

,

0anti

00

0A0 123

.

Nota: Podemos resumir as conclusões relativas às coordenadas independentes de um triádico,



em função das várias condições de simetria por ele apresentada, da seguinte maneira: se um triádico é diadicamente simétrico (anti-simétrico) ele tem, no máximo, 18 (9) coordenadas independentes; se ele é vetorialmente simétrico ele tem, no máximo, 11 coordenadas independentes; se ele tem uma dupla simetria (de qualquer natureza) ele poderá ser: simétrico, e terá, no máximo, 10 coordenadas independentes; ou completamente anti-simétrico, e terá uma coordenada independente.

O triádico de Civita, 3I

Os triádicos semi-anti-simétricos serão representados por 3 3 ΑΑΑΑ ΒΒΒΒ, etc.; as suas coordenadas contravariantes independentes, por A*, B* etc., e as covariantes por A*, B* etc. , respectivamente. Assim, em relação às bases recíprocas e* e e*, escrevemos:

3122311232131323213 AAAAAA eeeeeeeeeeeeeeeeeeA ∗∗∗∗∗∗ −−−++= ,

e 3122311232131323213 AAAAAA eeeeeeeeeeeeeeeeeeA ∗∗∗∗∗∗ −−−++= .

Com a definição dos permutadores (§ 04.02, I), podemos expressar os triádicos completamente anti-simétricos numa forma mais compacta. Ponhamos:

312231123213132321kjiijk3 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeE −−−++=ε=∗ , (16),

e 312231123213132321kji

ijk3 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeE −−−++=ε=∗ , (161).

Multiplicando ambos os membros de (16) por (e1e2e3) e os de (161) por (e1e2e3), temos:

kjiijk3213321 eee)eee(E)eee( ε=∗ e kji

ijk3213

321 eee)eee(E)eee( ε=∗ .

Lembrando, conforme ((04) e (041), § 04.02, I), que

jik

ijk321 )( eeeeee ×=ε e ji

kijk321

)( eeeeee ×=ε ,

e que, ainda,

kji

ijk321)( eeeeee ×=ε e kj

iijk321 )( eeeeee ×=ε ,

escrevemos:

kjkjji

ji3321 )( eeeeeeeeEeee ×=×=∗

e kj

kjjiji3

321 eeeeeeeeE)eee( ×=×=∗ .

Ora, considerando o tetrádico unidade (§ 08.01) e seus invariantes denominados primeiro e terceiro triádicos (§ 11.02), temos:

i j

i j i ji j

4 ΙΙΙΙ = =e e e e e e e e,

jijiji

jiV4

3 eeeeeeee ×=×=ΙΙΙΙ ,

jijiji

jiV4

1 eeeeeeee ×=×=ΙΙΙΙ ;


IV,§ 15.02

logo, lembrando (11),§ 10.02:

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ ×−==== ∗∗ EeeeEeee 3

321V4

V43321 )( )(

13, (17).

Definição: (triádico de Civita) O triádico (17), por ser um invariante do tetrádico unidade, é universal; será denominado triádico de Civita e representado por 3 ΙΙΙΙ , isto é,

3321

3321V

4V

4313 ∗∗

∗ ∀==×−=== e,E)eee(E)eee(ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ , (171).

Então,

ΙΙΙΙΙΙΙΙ 3321

33213333 A A AA )eee()eee(EEA:A ∗∗

∗∗∗∗ ====∀ , (18)26,

donde,

2321

2321

321

321 1

A

A

)eee()eee(

)eee()eee( ===

∗

∗, (19).

Não é difícil comprovar, lembrando (11) e (12), (§ 10.02), que o triádico de Civita goza das seguintes propriedades:

333333∗∗

∗∗∗ ∀==××= e,E.EE.E. ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ ,

)( )( 2 3333 ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΕΕΕΕΕΕΕΕΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ ××=== ∗∗ ::: ,

)( )( 6 3333333 ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΕΕΕΕΕΕΕΕΙΙΙΙΙΙΙΙ ××=== •∗

•∗• , (20).

Então deduzimos, das igualdades (18), considerando (20)3:

26Por (171) vemos que o triádico de Civita é um tensor; por (18) vemos que os triádicos semi-anti-simétricos não o são.

∗•∗ = EA 333

61

A e ∗•∗ = EA 333

61

A , (201).

* Exercício: Determinar a matriz 9x3 associada ao tetrádico de Civita em bases vetoriais quaisquer.

*

Teor. 16: ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ 33 : .vvv.v =×−=∀ , (21).

Pois, considerando (171) e (18), operando e agrupando convenientemente, vem:



iij

jiij

jjijiV

43 1

ee]e)e.v[(eee)e.v()v.e(eeev .v . ×−=×−=×== ΙΙΙΙΙΙΙΙ ,

donde os dois primeiros membros de (21) porque dentro dos colchetes temos v ((071), § 03.03,I) e o segundo fator do produto vetorial é ΙΙΙΙ.

Analogamente,

v.veeeeeeeev.v.v. ×−=×−=×== ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ )() ( iij

jji

jiV

43

3,

donde, então, os dois últimos membros de (21), posto que, conforme ((08), § 06.01, II), ΙΙΙΙΙΙΙΙ ×=× vv .

Corol. 1: O produto vetorial de dois vetores quaisquer numa certa ordem vale o produto ponteado do primeiro pelo triádico de Civita e pelo segundo vetor nessa ordem, com o sinal trocado:

rv.vr.vrvr ×==×−∀ :, 3ΙΙΙΙ , (211).

Teor. 17:

ΑΑΑΑΙΙΙΙΑΑΑΑΑΑΑΑΙΙΙΙΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑ e 2

1 : 3

VV3T :. ==−=∀ , (22).

Como o diádico v×ΙΙΙΙ é anti-simétrico ((12),§06.01,II), (21) garante ser 3V

ΙΙΙΙ ΑΑΑΑ.

anti-simétrico. O vetor de 3V

ΙΙΙΙ ΑΑΑΑ. pode ser calculado facilmente de (21) e de ((011), §

06.03, II). Temos: VVVVV

3 2)() ( ΑΑΑΑΑΑΑΑΙΙΙΙΑΑΑΑΙΙΙΙ =×−=. . Então os diádicos anti-simétricos: ΑΑΑΑ e

V

3 21

A.ΙΙΙΙ , têm o mesmo vetor. Pelo Corol. 2, Teor.7, § 04.02, II, esses diádicos são iguais,

o que comprova (22)1. Temos, ainda, considerando (171) e (161):

ijkjki321sr

rskjiijk321

3 A)(A )( eeeeee:eeeeeeA: ε=ε=ΙΙΙΙ ,

isto é, lembrando ((04), §04.02), Vkjjk3 A AeeA: =×=ΙΙΙΙ , o que conclui a demonstração

do teorema. *

Exercício: Provar que:

EV333

. 3

1 φφφφφφφφΙΙΙΙ = ,

11 V31

V3333 ( φφφφΙΙΙΙΙΙΙΙφφφφφφφφΙΙΙΙ −×=×

s

) , 1V

3V

3333 12

s

)( ΙΙΙΙφφφφφφφφΙΙΙΙΙΙΙΙφφφφ ×−×=×

Para abc=φφφφ3 , abcabc. = 33 ΙΙΙΙ

*

Teor. 18: φφφφΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφφφφφ 3

V3 ::: −==∀ , (23).

Ponhamos, em redução trinomial arbitrária, iiae=φφφφ e, segundo (171),


IV,§ 15.02

jjr

r3 eeee ×−=ΙΙΙΙ . Tem-se, sem delongas:

Vii

jji

ijjr

iir

3 )( φφφφΙΙΙΙφφφφ =×=×−=×δ−= aee.eeaee.ea: .

Analogamente se demonstra a parte restante de (23).

Transposições com o hexádico de Civita, 6C

Por definição, hexádico de Civita, que denotaremos por 6C, é o produto justaposto de dois triádicos de Civita, logo simétrico:

ΙΙΙΙΙΙΙΙ 336 =C , (24),

podendo-se, conforme (17)1, escrevê-lo sob a forma:

∗∗∗

∗ ==××= EEEEC 33336 ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ , (25).

As fórmulas (20) permitem determinar alguns de seus invariantes primários e secundários.

Teor. 19: (transposições sobre um P-ádico) Trasnsposições sobre um P-ádico podem ser obtidas como produtos ponteados triplos de isômeros do hexádico unidade pelo P-adico (P≥3):

φφφφΙΙΙΙφφφφ P63P = . φφφφφφφφΙΙΙΙ PP36 = . ,

22 1P163P ss

φφφφΙΙΙΙφφφφ = . 22 1PP316 rr

φφφφφφφφΙΙΙΙ = . ,

232 12P163P ssr

φφφφΙΙΙΙφφφφ = . 232 12PP316 rrs

φφφφφφφφΙΙΙΙ = .

333 1P163P163P rsr

φφφφΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφ == . . 333 1PP316P316 rsr

φφφφφφφφΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙ == . . ,

333 2P263P263P ssr

φφφφΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφ == . . , 333 2PP326P326rsr

φφφφφφφφΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙ == . . , (26)

Tem-se, por exemplo, pondo : kjikji

6 eeeeee=ΙΙΙΙ e mnp3Ppnm

P φφφφφφφφ −= eee :

2 32 12Pmnp3Pnpm

mnp3Ppnm

3jkikji

P316 rrs

φφφφφφφφφφφφφφφφΙΙΙΙ === −− eee)eee(eee)eee( . .

Analogamente se demonstram as demais fórmulas.

Teor. 20: (expressões de 6C em função de isômeros de 6I ) Tem-se:

23333 126166261666sssss

)()(C ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ ++−++= , (27),

e 23333 126166261666rrrrr

)()(C ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ ++−++= , (28).



De fato, considerando o hexádico na forma (25) e considerando (17)1, vem:

sqrjpirsq

ijpssr

rj

jii

6 eeeeeee)ee(ee)ee(eC εε=××=××= ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ .

Desenvolvendo o produto dos permutadores na forma do determinante de Gram (§04.02,I), tem-se:

ipjjpi

pjijpi

jippji

pijjpi

ijpjpi

jpijpi

6

eeeeeeeeeeeeeeeeee

eeeeeeeeeeeeeeeeeeC

−−−

−++=

cuja primeira parcela é 6ΙΙΙΙ. A segunda parcela é, trivialmente, 326s

ΙΙΙΙ etc. Entretanto,

escrevendo-se 6I na forma ijpijp

6 eeeeee=ΙΙΙΙ , tem-se: ijpjpi

26 3 eeeeee=r

ΙΙΙΙ que é exatamente

o hexádico relativo à segunda parcela de 6C, ou seja, 33 2626rs

ΙΙΙΙΙΙΙΙ = . Efetuando a mesma análise com as demais parcelas podemos escrever:

23232332323233 126116162616612611616261666rrrrrrvsssssss

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ −−−++=−−−++=C , tornando-se fácil, agora, comprovar (27) e (28).

Teor. 21: (produtos de Pφφφφ por 6C)

Tem-se, φφφφP ∀ :

23333 12P1PP2P1PPP3

6

rrrrr

)()(C . φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ ++−++= , (29).

e 23333 12P1PP2P1PP63

P

sssss

)()(C. φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ ++−++= , (30).

Estas fórmulas são de dedução imediata, bastando escrever 6C nas formas (27) e (28) e efetuar as operações indicadas aplicando as fórmulas (26).

* Exercício

1 – Se, por definição: 21444 r

ΙΙΙΙΙΙΙΙ −=S , então:

21PPP4 r

φφφφφφφφφφφφ −=:S e ):S:C 33 2P1PP4P6 ( rr

φφφφφφφφφφφφφφφφ ++=

e 21PP4P s

φφφφφφφφφφφφ −=S: e S:)C: 42P1PP6P ( 33

ss

φφφφφφφφφφφφφφφφ ++=

* Observemos que

e 2332332 11P2P12P1P1PPrrrvrrr

φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ ==⇔= , (31),


IV,§ 15.03

e

e 2332332 11P2P12P1P1PPsssssss

φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ ==⇔= , (32).

Somando membro a membro as igualdades (31) conclui-se que é nulo o segundo membro de (29). Resultado análogo pode ser obtido somando membro a membro as igualdades (32). Assim,

Teor. 22:

ΟΟΟΟφφφφφφφφφφφφ 6PP6

61PP 2 -.C =⇒=

r

, (33),

e

ΟΟΟΟφφφφφφφφφφφφ 6P66P1PP 2 - . C =⇒=

s

, (34),

devendo observar-se que a recíproca não é verdadeira, isto é:

ΟΟΟΟφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ P12P1PP2P1PP 23333 =++−++rrrrr

)()( ,

não acarreta necessariamente nenhuma das simetrias (31) isoladamente. A mesma observação é válida para o outro caso.

§ 15.03 – Simetrias internas dos tetrádicos. Como vimos (§ 03), podemos escrever um tetrádico de diversas maneiras. Destaquemos as representações contravariantes do tetrádico 4φφφφ pelas suas escritas: triádica (binária necessariamente), diádica (ternária), vetorial (quaternária necessariamente) e cartesiana. São elas, em relação a uma mesma (e única) base:

4 3

3

φφφφ φφφφ αααα

ββββ ψψψψ γγγγ

= = = =

= = = =

A

kk

j kj k

h i j h i j

hk h

k hh

h ih i h i j k

h i j k

e e e a e e e

e e e e e e e e e,

(01).

Para o que nos interessa analisar são adequadas as escritas multiplamente homônimas (contravariantes, como as (01)), triádicas, diádicas, vetoriais e cartesianas. Entretanto, o leitor poderá comprovar facilmente que tudo o que deduzirmos para o tetrádico, com essas representações, será válido para qualquer outra representação.

Das (01) podemos deduzir:

4 1 3φφφφ ββββ ψψψψ γγγγr

= = = = =

= =

e e e a e e e e e

e e e e e e e e

h i jh i j k h

k hh

h ih i

h

h i j ki j k h

k h i jh i j k

A A ,

(02),

4 1 3φφφφ φφφφ αααα ββββs

= = = = =

= =

e e e e a e e e e

e e e e e e e e

kk

kj k

j jh i j

h i k hk h

h i j kk h i j

i j k hh i j k

A A ,

(03),

§15.03 – Simetrias internas dos tetrádicos. 213


4 2 4 2φφφφ φφφφ αααα

γγγγ

r s

= = = =

= = =

A A

j kj k

i jh i j

h

h ih i

h i j kj k h i

j k h ih i j k

e e e e a e

e e e e e e e e e e,

(04),

4 1 32φφφφ φφφφ αααα

γγγγ

r r

= = = =

= = =

A A

k1

kj k T

j k hh i j

i j

i hh i h i j k

i h j ki h j k

h i j k

2 e e e e a e e


(05),

4 1 32φφφφ αααα ψψψψ

γγγγ

s s

= = = =

= = =

A A

j kk j

h i j h j i h

h 1

h ih i T h i j k

h i k jh i k j

h i j k

2e e a e e e e


(06),

4 1 33φφφφ φφφφ

ββββ

r r

= = =

= = =

A A

k 1k h i

h i j j

k hh k

h i j ki j h k

i j h kh i j k

e e e a e


(07),

4 1

3

3φφφφ ββββ

ψψψψ

s

s

= = =

= = =

A A

h i j j h i h k

k h

hh 1 h i j k

h k i jh j k i

h i j k

a e e e e e

e e e e e e e e e,

(08),

4 2 33φφφφ φφφφ ααααr s

= = = =

= =

A A

k 1k j

j kk i

h i j h j

h i j kj h i k

i j h kh i j k

e e e e a e e

e e e e e e e e,

(09),

4 2 33φφφφ ψψψψ

γγγγ

s s

= = =

= = =

A A

h i j i j h h

h 2

hh i

ih i j k

h j k ih k i j

h i j k

a e e e e


(10).

Estudo das simetrias pelas escritas triádicas, diádicas e vetoriais

Teor. 1: Se os triádicos de montante (jusante) de um tetrádico são vetorialmente simétricos, esse tetrádico é vetorial e diadicamente simétrico por jusante (montante) no posto 3; e reciprocamente:

3 3 3 4 3 4 4 1 23 3φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφk k1 k1 k

k4 = = ⇐ ∀ = ⇒ = =

r s r r

e , (11);

3 3 3 4 3 4 4 1 23 3φφφφ ψψψψ ψψψψ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφh h1 h1

hh 4 = = ⇐ ∀ = ⇒ = =

r s s s

e , (111).


IV,§ 15.03

Pois, se 3 3 3φφφφ φφφφ φφφφk k1 k1 = =r s

a comparação dos segundos membros de (01)1, (07) e (08) implica imediatamente (11). Demonstramos a recíproca analogamente. Sendo iguais os primeiros membros de (01)1, (07) e (08) temos, igualando os seus segundos membros: 3 3 3φφφφ φφφφ φφφφk

kk1

kk1

ke e e= =

r s

, donde, imediatamente, a tese.

Com raciocínio análogo demonstraríamos (111).

Corol. 1: Se um tetrádico é igual aos seus transpostos de ordem 1 e posto 3 e ordem 2 e posto 3, ambos para jusante (montante), o reverso desse tetrádico é igual aos seus transpostos de ordem 1 e posto 3 e ordem 2 e posto 3, ambos para montante (jusante); e reciprocamente:

4 4 1 4 2 4 4 1 4 2

4 4 1 4 2 4 4 1 4 2

3 3 3 3

3 3 3 3



= = ⇔ = =

= = ⇔ = =

r r s s s s s

s s s s r s r, (112).

Pois, sendo 4 4 1 4 2

3 3φφφφ φφφφ φφφφ = =r r

,

temos, revertendo todos os membros:

s r rs s4 4 1 4 23 3φφφφ φφφφ φφφφ ) (= =( ) .

Sendo

(4 1 13 3φφφφ φφφφr s s s

) 4= e ( )4 2 23 3φφφφ φφφφr s s s

4 =

resulta logo a tese.

Analogamente, se fosse 4 4 1 4 23 3φφφφ φφφφ φφφφ = =s s

, por reversão de todos os membros encontraríamos a nova tese. Podemos demonstrar a recíproca analogamente.

Teor. 2: Se os triádicos de montante (jusante) de um tetrádico são diadicamente simétricos ou diadicamente anti-simétricos por montante (jusante) esse tetrádico é, respectivamente, diadicamente simétrico ou diadicamente anti-simétrico por montante (jusante); e reciprocamente:

3 3 4 3 4 4 12φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφk k1 k

k 2= ± ⇐ ∀ = ⇒ = ±

r r

e , (12);

3 3 4 3 4 4 12ψψψψ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ φφφφh h1

hh 2= ± ⇐ ∀ = ⇒ = ±

s s

e , (121).

Pois, se 3 3φφφφ φφφφk k1 2= ±

r

, a igualdade dos segundos membros de (01) e (05) implica a igualdade dos primeiros; donde, então, (12).

A recíproca é de demonstração evidente.



Corol. 1: Se um tetrádico é diadicamente simétrico ou anti-simétrico por montante (jusante), o seu reverso é, respectivamente, diadicamente simétrico ou anti-simétrico por jusante (montante); e reciprocamente:

4 4 4 4

4 4 4 4



= ± ⇔ = ±

= ± ⇔ = ±

1 1

1 1

2 2

2 2

r s s s

s s s r, (122).

Teor. 3: Se os triádicos de montante de um tetrádico são diadicamente simétricos ou diadicamente anti-simétricos por jusante, então seus triádicos de jusante são, respectivamente, diadicamente simétricos ou diadicamente anti-simétricos por montante; e reciprocamente:

3 3 4 3 3 3 3 12φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ ψψψψ ψψψψ ψψψψk k1 k

k hh h 2= ± ⇐ ∀ = = ⇒ = ±

s r

e e , (13).

Considerando o quinto membro de (01), escrevemos:

4 φφφφ ββββ= e eh

k hh, sendo 3 3φφφφ ββββ ψψψψ ββββk

hk h h k h

k e = =e e .

Como, por hipótese, 3 3φφφφ φφφφk k1 2= ±

s

, deduzimos: ββββ ββββk h k h T ( = ± ) . Logo:

3 3ψψψψ ββββ ψψψψh k h Tk

h 1 2= ± =( ) e

r

.

Definições: (tetrádicos internamente simétricos ou anti-simétricos pelo centro) Os tetrádicos cujos triádicos de montante (jusante) são diadicamente simétricos por jusante (montante) são ditos diádica e internamente simétricos pelo centro. Os tetrádicos cujos triádicos de montante (jusante) são diadicamente anti-simétricos por jusante (montante) são ditos diádica e internamente anti-simétricos pelo centro.

Todas as simetrias consideradas a seguir são internas, o que nos permitirá simplificar a linguagem.

Teor. 4: Se o tetrádico 4φφφφ é diadicamente simétrico ou diadicamente anti-simétrico pelo centro, então:

4 4 1 1 4 1 13 3φφφφ φφφφ φφφφ= ± = ±

s r s s s r

, ou, s r s s r

4 4 1 1 4 1 13 3φφφφ φφφφ φφφφ= ± = ± (14).

Pois, sendo, por exemplo, conforme (13), 3 3ψψψψ ψψψψh h1 2= ±

r

, temos, conforme (112) e (01):

± = = = ± h

hh

h1 4 1 42 3e e3 3 1ψψψψ ψψψψ φφφφ φφφφr s r s

.


IV,§ 15.03

Teor. 5: Se são iguais os transpostos de ordem 1 de um tetrádico, para montante e jusante, esse tetrádico é simétrico; e reciprocamente:

T4242441414 φφφφ====φφφφ====φφφφ====φφφφ⇔⇔⇔⇔φφφφ====φφφφ

srsr

(15), ou

T4242441414 φφφφ====φφφφ====φφφφ====φφφφ⇔⇔⇔⇔φφφφ====φφφφsssrssssrs

, (151). Pois, efetuando-se transposições de ordem 1 para jusante e montante nas expressões das hipóteses em (15), vem:

4 11 4 11 4 2 4

4 11 4 11 4 4 2



r r s r r

r s s s s

= =

= =

, ou ,

, ou , ,

donde a tese. Trocando-se em (15), o tetrádico pelo seu reverso tem-se logo (151). A recíproca se demonstra analogamente.

Teor. 6: Se um tetrádico é vetorialmente simétrico, são iguais os seus triádicos correspondentes de montante e de jusante; e reciprocamente:

4 4 1 4 1 4 3 3 3 3

4 4 1 4 1 4 3 3 3 3

φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ ψψψψ ψψψψ φφφφ

φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ ψψψψ ψψψψ φφφφ

ii i

i i i

ii i

ii i

= = ⇐ = = ⇒ =

= = ⇐ = = ⇒ =

r s

s s r s s s s s s s

e e

e e

, (16).

Teor. 7: Se um tetrádico (expresso em escrita diádica ternária) é simétrico, são iguais os seus diádicos correspondentes de montante e de jusante; e reciprocamente:

4 4 2 4 2 4

4 4 2 4 2 4

φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ αααα ββββ αααα ββββ

φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ αααα ββββ αααα ββββ

) ( )

iji j i j

ij ij ij

i jij T ij T

j iij ij

= = ⇐ = = ⇒ =

= = ⇐ = = ⇒ =

r s

s s r s s s

e e e e

e e e e(, (17).

Nota:

ii i

i com 4 4 4 4T422 ααααββββββββααααφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ =====sr

não implica necessariamente αααα ββββi

i =

porque a sua escrita não é diádica ternária mas binária.

Teor. 8: Se os triádicos de montante e de jusante de um tetrádico são correspondentemente reversos, esse tetrádico é igual ao seu reverso; e reciprocamente:

3 3 3 3 4 4φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ φφφφk k k k ou = = ⇔ =s s s

, (18).



Com efeito, pois escrevendo

kk3h3

h4 ee φφφφψψψψφφφφ == , tem-se ; = k3

khh34 ψψψψψψψψφφφφ

sss

ee =

donde, considerando-se as hipóteses:

s4 3 3 4φφφφ φφφφ ψψψψ φφφφ k

k kk= = =e e .

A recíproca é demonstrada analogamente.

Estudo da simetria pelas escritas cartesianas As coordenadas cartesianas de um tetrádico (numa mesma base vetorial) são tantas quantas são os arranjos com repetição de três objetos tomados quatro a quatro, isto é, (AR)

3

4 = =3 814 . Consideremos coordenadas não mistas, por exemplo, as duplamente

covariantes, dentre os quatro tipos possíveis (§03.04); o leitor poderá comprovar que tudo o que deduzirmos considerando estas coordenadas valerá também para as coordenadas duplamente contravariantes. Vamos dividi-las em 4 classes, conforme a natureza dos algarismos que compõem os seus índices (necessariamente repetidos): Classe I: com uma quadra de algarismos repetidos. São elas:

A1111, A2222 e A3333, (191),

em número de 3; Classe II: com um terceto de algarismos repetidos. São elas: com o número 1: A1112, A1121, A1211 e A2111 (4 agrupamentos com o número 2)

A1113, A1131, A1311 e A3111 (4 agrupamentos com o número 3), com o número 2: A2221, A2212, A2122 e A1222 (4 agrupamentos com o número 1)

A2223, A2232, A2322 e A3222 (4 agrupamentos com o número 3), com o número 3: A3331, A3313, A3133 e A1333 (4 agrupamentos com o número 1)

A3332, A3323, A3233 e A2333 (4 agrupamentos com o número 2), (192),

em número de 24;


IV,§ 15.03

Classe III: com uma dupla de algarismos repetidos. São elas: com o número 1:

A1123, A1213, A1231, A2311, A2131 e A2113 A1132, A1312, A1321, A3211, A3121 e A3112, com o número 2:

A2213, A2123, A2132, A1322, A1232 e A1223 A2231, A2321, A2312, A3122, A3212 e A3221, com o número 3: A3312, A3132, A3123, A1233, A1323 e A1332 A3321, A3231, A3213, A2133, A2313 e A2331; (193),

em número de 36; Classe IV: com duas duplas de algarismos repetidos. São elas: com os números 1 e 2: A1122, A1212, A1221, A2211, A2121 e A2112 ; com os números 2 e 3: A3322, A3232, A3223, A2233, A2323 e A2332 ; com os números 3 e 1: A3311, A3131, A3113, A1133, A1313 e A1331 , (194),

em número de 18. Total: 3 + 24 + 36 + 18 = 81.

Tetrádico igual ao seu reverso

Teor. 9: Se um tetrádico é igual ao seu reverso, são iguais as suas coordenadas cartesianas não mistas cujos índices estejam em ordem inversa; e reciprocamente:

,AA kjihhijk44 =⇔= φφφφφφφφs

(20).

Com efeito, pois se 4 4φφφφ φφφφ= s

, deve ser hijkhijk

kjihhijk A A eeeeeeee = . Com uma

somatória não se altera pela troca da notação dos índices, desde que se mantenham as suas

posições, kjihkjih

kjihhijk A A eeeeeeee = ; donde, então kjihhijk AA = . A recíproca pode ser



demonstrada analogamente.

Corol. 1: Se um tetrádico é igual ao seu reverso ele tem 45 coordenadas independentes.

Pois,

- as da classe I são:

A1111, A2222, A3333; - as da classe II são:

A1112 = A2111, A1121 = A1211, e A1113 = A3111, A1131 = A1311; A2221 = A1222, A2122 = A2212, e A2223 = A3222, A2322 = A2232; A3331 = A1333, A3133 = A3313, e A3332 = A2333, A3233 = A3323,

num total de 12; - as da classe III são:

com o número 1:

A1123 = A3211, A1213 = A3121, A1231 = A1321 A1132 = A2311, A1312 = A2131, A2113 = A3112

com o número 2:

A2213 = A3122, A2123 = A3212, A2132 = A2312 A2231 = A1322, A2321 = A1232, A1223 = A3221

com o número 3:

A3312 = A2133, A3132 = A2313, A3123 = A3213 A3321 = A1233, A3231 = A1323, A1332 = A2331

num total de 18.

- as da classe IV são:

A1122 = A2211, A1212 = A2121, A1221 = A2112; A3322 = A2233, A3232 = A2323, A3223 = A2332; A3311 = A1133, A3131 = A1313, A3113 = A1331;

num total de 12. Logo, o número de coordenadas independentes é 3 + 12 + 18 + 12 = 45.

* Exercício 1: Determine, em base vetorial arbitrária, a matriz associada ao tetrádico que é igual ao seu reverso.

*


IV,§ 15.03

Tetrádicos diadicamente simétricos Denotemos por 4C um tetrádico que opere transformações lineares de um 6-espaço de diádicos simétricos, Eu, para um 9-espaço de diádicos não simétricos, ΣΣΣΣu; então:

u4

u : ΕΕΕΕΣΣΣΣ C= . Se, de algum modo, soubermos que a certos Eu, conhecidos e independentes

(logo, u=1, 2, ..., 6), correspondem certos ΣΣΣΣu também conhecidos (não necessariamente independentes), a transformação estará determinada, ou, ainda, 4C estará determinado (conforme Teor. 1, § 06.04); tem-se:

uu

4 ΕΕΕΕΣΣΣΣ=C , (u=1,2,...,6), (21),

onde, relembramos, os diádicos ΕΕΕΕ1, ΕΕΕΕ2, ..., ΕΕΕΕ6 são os recíprocos dos ΕΕΕΕ1, ΕΕΕΕ2, ..., ΕΕΕΕ6 (§ 09.06). Como os diádicos ΕΕΕΕ1, ΕΕΕΕ2, ... são também simétricos, o tetrádico 4C é diadicamente simétrico por jusante.

* Exercício 2: Comprovar que qualquer matriz não mista 9x9 associada ao tetrádico 4C (§03.04) tem a segunda coluna igual à quarta (pois Chi12=Chi21), a terceira igual à sétima (pois Chi13=Chi31) e a sexta igual à oitava (Chi23=Chi32). Esse tetrádico é, pois, incompleto (o principal do determinante de sua matriz não mista é de ordem não maior que seis) e apresenta não mais que 54 coordenadas independentes. Exercício 3: Seja dado (em coordenadas contravariantes) o tetrádico simétrico por jusante: 4φφφφ=Aijmneiejemen= Aijmneiejenem, em que a base e1,e2,e3 é qualquer. Desta base podemos deduzir (§10.02,II) a base diádica simétrica

µ1=e1e1, µ2=e2e2, µ3=e3e3, µ4=(e1e2+e2e1)/ 2 , µ5=(e2e3+e3e2)/ 2 , µ6=(e1e2+e2e1)/ 2 , usando a notação moderna. Então: 4φφφφ=eiejα

ij=eiejα

ijT, para i,j=1,2,3, os 9 diádicos αij sendo simétricos (αij

=αijT ) e

αij=Aij1

µ1+ Aij2µ2+ Aij3

µ3+ 2 A ij4µ4+ 2 A ij5

µ5+ 2 A ij6µ6.

Exercício 4: Se o tetrádico 4φφφφ do exercício 3 for dado pelas coordenadas (agora, mistas) na forma 4φφφφ=Aijmneieje

men= Aijmneiejenem, então:

α

ij=Aij1µ

1+ Aij2µ

2+ Aij3µ

3+ 2 A ij4µ

4+ 2 A ij5µ

5+ 2 A ij6µ

6, sendo µ1, µ2,...,µ6 a base diádica recíproca da base referida no exercício 3 e Aijr=Aij

u(µu :

µr), ou Aij

r=Aiju(µu : µr).

*



Suponhamos, agora, que os poliádicos em pauta estejam associados a fenômenos físicos, e a transformação linear entre os espaços deve existir nos dois sentidos (podemos afirmar que qualquer um dos diádicos é função do outro). Então deve existir um tetrádico 4C’ que opere transformações lineares de um 9-espaço de diádicos não simétricos, ΣΣΣΣv, para

um 6-espaço de diádicos simétricos, Ev sendo: v4

v : ΣΣΣΣΕΕΕΕ C′= (logo, v=1, 2, ..., 9). Se

soubermos que a nove certos ΣΣΣΣv, conhecidos e independentes, correspondem certos ΕΕΕΕv também conhecidos, simétricos, mas não necessariamente independentes, a transformação estará determinada, ou, ainda, 4C’, simétrico por montante, estará determinado (conforme o mesmo Teor. 1, § 06.04, já citado); então:

vv

4 ΣΣΣΣΕΕΕΕ=′C , (v=1,2,...,9), (211).

Esse tetrádico também é incompleto porque seus antecedentes pertencem a um 6-espaço; apresenta, como o anterior, não mais que 54 coordenadas independentes.

* Exercício 5: Quais as características de uma matriz não mista associada ao tetrádico 4C’ simétrico por montante? Exercício 6: Dê uma representação para o tetrádico

4φφφφ=Aijmneiejemen= Aijmnejeiemen= Aijmneiejemen= Aij

mnejeiemen, simétrico por montante, em relação às bases diádicas recíprocas referidas no exercício 2.

*

Tetrádicos com simetrias múltiplas e respectivas matrizes associadas. As 11 possibilidades seguintes, apresentadas por um tetrádico quanto a sua igualdade com seus isômeros, a saber: 1°) - de ser igual ao seu reverso:

4 4φφφφ φφφφ= s

2°) - de ser vetorialmente simétrico, (logo, simétrico):

T4242414144 φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ =====srsr

.

3°) - de ser simétrico (mas não necessariamente vetorialmente simétrico):

T424244 φφφφφφφφφφφφφφφφ ===sr

.


IV,§ 15.03

4°) - de ser diadicamente simétrico:

- por montante: 4 4 12φφφφ φφφφ= r

- por jusante: 4 4 12φφφφ φφφφ= s

- pelo centro: 4 4 1 1 4 1 13 3φφφφ φφφφ φφφφ= =

s r s s s r

5°) - de ser vetorialmente simétrico no posto 3 e diadicamente simétrico no posto 3:

- para montante: 4 4 1 4 23 3φφφφ φφφφ φφφφ= = s s

- para jusante: 4 4 1 4 23 3φφφφ φφφφ φφφφ= = r r

6°) - de ser diadicamente anti-simétrico:

- por montante: 4 4 12φφφφ φφφφ= − r

- por jusante: 4 4 12φφφφ φφφφ= − s

- pelo centro: 4 4 1 1 4 1 13 3φφφφ φφφφ φφφφ= − = −

s r s s s r

serão denominadas as condições de simetria desse tetrádico. Existem, pois, C

11P (1<P<11) maneiras distintas de um tetrádico apresentar condição

P-pla de simetria, ou seja: 55 condições duplas, 165 condições triplas, 330 condições quádruplas, 462 condições quíntuplas, etc.. Outras condições de simetria poderiam ser impostas e isto poderia ampliar ainda mais a discussão destas questões; assim, por exemplo, a imposição de que o tetrádico seja igual a uma combinação linear de alguns dos seus isômeros.

Tetrádicos vetorialmente simétricos e simétricos

Teor. 10: Se um tetrádico é vetorialmente simétrico (logo, simétrico) são iguais as suas coordenadas cartesianas cujos índices formem uma permutação circular; e reciprocamente:

4 4 4 4 4φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ= = = = ⇔ = = = A A A A1 1 2 2

h i j k i j k h j k h i k h i j

r s r s

, (22).



O teorema direto decorre imediatamente da igualdade dos últimos membros das expressões (01), (02), (03) e (04). Reciprocamente, acoplando aos quatro membros das novas hipóteses, em (22), a tétrade eheiejek e novamente recorrendo a expressões análogas às (01) a (04) encontramos a tese.

Corol. 1: Os tetrádicos vetorialmente simétricos (logo, simétricos) têm 24 coordenadas independentes.

Com efeito, as coordenadas da classe I são 3; as da classe II são apenas 6: 1112, 1113, 2221, 2223, 3331,e 3332; as da classe III são 9: três correspondentes às duplas de números 1,

A1123 = A1231 = A2311 = A3112 , A1132 = A1321 = A3211 = A2113,

A1213 = A2131 = A1312 = A3121, três análogas correspondentes à dupla de números 2 e três à dupla de números 3; as da classe IV são apenas 6, duas correspondentes às duplas de números 1 e 2,

A1122 = A1221 = A2211 = A2112 e A1212 = A2121; e outras 4 correspondentes às outras duas duplas. Logo, as coordenadas independentes são em número de 3 + 6 + 9 + 6 = 24.

*

Exercício 7: Determine, em bases vetoriais arbitrárias, a matriz associada ao tetrádico (22).

*

Corol. 2: Se um tetrádico é simétrico, são iguais as suas coordenadas cujos índices tenham o par de algarismos de montante comutado com o par de algarismos de jusante; e reciprocamente:

ih k jk j ih T424244 A A = =⇔≡= φφφφφφφφφφφφφφφφ

sr

, (221).

A demonstração é evidente por (22).

Nota: Deve ser lembrado que um tetrádico simétrico não é necessariamente vetorialmente simétrico, pois, conforme (15),

1414T424244 srsr

φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ =⇔≡== , mas φφφφφφφφφφφφ 41414 ≠=sr

.


IV,§ 15.03

Corol. 3: Os tetrádicos simétricos têm 45 coordenadas independentes.

Pois esses tetrádicos têm:

3 coordenadas independentes na classe I;

12 na classe II:

A1112 = A1211, A1121 = A2111 , A1113 = A1311, A1131 = A3111, com o terceto 111 etc.;

18 na classe III:

A1123 = A2311, A1213 = A1312 , A1231 = A3112,

A2131 = A3121, A2113 = A1321 A1132 = A3211 (para a dupla 11) etc.;,

12 na classe IV:

A1122 = A2211, A1212 , A1221 = A2112, A2121, (com as duas duplas 11 e 22) etc.. Obtemos então, um total de 3 + 12 + 18 + 12 = 45 coordenadas. As suas matrizes associadas (duplamente homônimas) A**** , A**** , A*

***, A*

***, são sempre simétricas.

Devemos observar – tal como já observamos para o caso dos diádicos (§ 09.09,II) – que, embora o tetrádico seja simétrico, as sua matrizes mistas (§ 03.04): A**

** , A**** , A*

*** , A**

**, A*

*** , A****, A***

*, A**** , A***

*, A**** , A*

*** e A*

*** são não simétricas em geral

(exceto quando é ortonormada a base vetorial em relação à qual se expressa cartesianamente o tetrádico).

* Exercício 8: Determinar, em relação a uma base vetorial arbitrária, a matriz associada ao tetrádico (221).

*

Tetrádicos simétricos e diadicamente simétricos

Consideremos um tetrádico simétrico que possa estabelecer a proporcionalidade entre um diádico não simétrico ΣΣΣΣ e um diádico simétrico ΕΕΕΕ, qualquer, pela lei

T44 C::C ΕΕΕΕΕΕΕΕΣΣΣΣ == , subsistindo ainda entre eles a igualdade ΕΕΕΕΣΣΣΣ w := ; w é, pois, uma

variável escalar. Podemos escrever: ΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΣΣΣΣΕΕΕΕ w T44 :C::C:: === , donde

concluirmos que T44 CC = .

Suponhamos agora que subsistam as igualdades jkkj ΕΕΕΕΣΣΣΣΕΕΕΕΣΣΣΣ :: = para quaisquer

valores j,k=1,2,...,6 (isto é, entre os pares de diádicos supostos conhecidos). Provemos mais uma vez que 4C deve ser simétrico. Com efeito, como os E’s constituem base (no espaço

diádico simétrico) podemos escrever: ww ) ( : ΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕ :=∀ . Então temos,

sucessivamente, considerando (21) e as igualdades subsistentes:

uwuw

uwwu

uu

T4 ) )( () )( () ( ΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΣΣΣΣΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΣΣΣΣΕΕΕΕΕΕΕΕΣΣΣΣΕΕΕΕ ::::::C === .



Agrupando convenientemente no último membro, e lembrando que uu

4 ΕΕΕΕΕΕΕΕΙΙΙΙ = , resulta:

wwu

uwwT4 ) () )( ( ΣΣΣΣΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΣΣΣΣΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕ ::::C == .

O último membro desta igualdade é precisamente o duplo produto ponteado de 4C por E, o que conclui a demonstração uma vez que, sendo E qualquer, os tetrádicos que os transformam em diádicos iguais devem ser iguais (Teor. 2, § 06.02). Em Elasticidade o escalar w representa a densidade de energia armazenada no ponto do corpo. A igualdade jkkj ΕΕΕΕΣΣΣΣΕΕΕΕΣΣΣΣ :: = traduz a seguinte propriedade:

a densidade de energia armazenada num ponto, calculada com a tensão nesse ponto e a deformação de um outro ponto, é igual à densidade de energia neste segundo ponto calculada com a tensão nesse ponto e com a deformação correspondente ao primeiro ponto.

Definição: (tetrádico simétricos de um lado só) Tetrádicos simétricos e diadicamente simétricos por montante ou por jusante serão denominados tetrádicos simétricos de um lado e representados por 4C.

Assim, os tetrádicos simétricos de um lado só são definidos por

214T44 r

CCC == , ou 214T44 s

CCC == (23).

*

Exercício 9: Um tetrádico simétrico de um lado tem não mais que 36 coordenadas independentes uma vez que na sua matriz simétrica 9x9 a segunda coluna (ou linha) é igual à quarta, a terceira é igual à sétima e a sexta é igual à oitava.

*

Tetrádico Elástico (simetria dupla)

O tetrádico que estudaremos a seguir rege transformações lineares dentro do espaço dos diádicos simétricos (desse espaço nele mesmo), embora não estejamos exigindo, ainda, que ele seja simétrico.

Definição: (tetrádico elástico) Tetrádicos diadicamente simétricos por montante e por jusante serão denominados tetrádicos elásticos e representados por 4L.

Assim, 22 14144 sr

LLL ======== , (24),

e pelo Corol. 1 do Teor. 2:

22 14144 ssrss

LLL ======== , (241).


IV,§ 15.03

Então:

Se um tetrádico é elástico, o seu reverso também é elástico.

Teor. 12: Um tetrádico elástico é igual ao transposto do seu reverso:

, 2424T44ssrss

LLLL ============ (25);

O reverso de um tetrádico elástico é igual ao seu transposto:

, 2424T44srs

LLLL ============ (251). Com efeito, transpondo em (24) e lembrando que

2222 14214142144 e :ssrsrsrr

φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ ==∀ , vem: 2222 142141421424ssrsrsrrr

LLLLL ==== ;

logo, de (241), decorre (251). Analogamente podemos demonstrar (25).

Teor. 13: São iguais as coordenadas de um tetrádico elástico cujos índices apresentem permutados o par de algarismos de montante, ou o par de algarismos de jusante (ou ambos):

,LLLL ihkjhikjihjkhijk14144 22 ============⇔⇔⇔⇔========sr

LLL (26).

Com efeito, pois os seus diádicos de montante e de jusante são simétricos.

Corol. 1: Um tetrádico elástico tem 36 coordenadas independentes.

Com efeito, listando as coordenadas de um tetrádico elástico, levando em conta as relações (26), encontramos 3 coordenadas independentes na classe I, 12 na classe II, 12 na classe III e 9 na classe IV.

*

Exercício 10:

Determine a matriz (9x9) associada a um tetrádico elástico, quando este é referido a bases vetoriais quaisquer. Comprove que a segunda coluna é igual à quarta, a terceira é igual à sétima e a sexta é igual à oitava, o mesmo acontecendo com as correspondentes linhas.

*



Matriz associada a tetrádico elástico referida a base ortonormada. Notação de Voigt. O tetrádico elástico, 4L , é operador das transformações entre diádicos simétricos. A notação das coordenadas deste tetrádico pode ser substancialmente simplificada posto que (§09.02) podemos referir o espaço diádico a bases diádicas ortonormadas ˆ ..., ,ˆ,ˆ 621 µµµµµµµµµµµµ

geradas de uma base vetorial ortonormada ˆ,ˆ,ˆ kji , isto é,

ii ˆˆˆ1 ====µµµµ , jj ˆˆˆ 2 ====µµµµ , kk ˆˆˆ 3 ====µµµµ ,

),ˆˆˆˆ(2

1ˆ 4 jkkj ++++====µµµµ )ˆˆˆˆ(2

1ˆ 5 kiik ++++====µµµµ e )ˆˆˆ(2

1ˆ 6 ijji ++++====µµµµ .

Sejam ppu u Ê µµµµ====ΕΕΕΕ , q

qu u ˆS µµµµ====ΣΣΣΣ para u,p,q=1, 2, ..., 6 as escritas cartesianas dos

seis pares de diádicos, relativas à base diádica, com os quais caracterizaremos 4L . Os

recíprocos dos ΕΕΕΕu podem ser representados na forma ppuu Ê µµµµΕΕΕΕ = . Logo, conforme (21),

pqpuq

u 4 ˆÊS µµµµµµµµ====L , ou, pq

qp4 ˆˆL µµµµµµµµ====L com puqu

qp ESL ==== , (27).

Assim, na base diádica, a matriz 6x6 associada a 4L , [L** ], tem na sua q-ésima linha e p-ésima coluna o elemento Lqp, isto é,

=

66656261

4641

3631

26252221

16151211

**

LLLL

.........

L...L

L...L

LL...LL

LL...LL

]L[ , sendo, [L** ]=[S**].[E

** ] (271),

com

=

66

62

61

56

51

43

42

41

36

33

31

26

23

22

21

16

13

12

11

**

S...SS

SS

......SSS

S...SS

S...SS S

S...SSS

]S[ e

=

66562616

6414

6313

62522212

61512111

**

EEEE

.........

E...E

E...E

EE...EE

EE...EE

]E[ .

As relações entre as coordenadas (271) de um tetrádico na base diádica ˆ ∗µµµµ e as


IV,§ 15.03

coordenadas (191), (192), ... na “base vetorial” (com suas quatro classes), podem ser traduzidas pela igualdade matricial seguinte:

====

121212311223123312121211

311231313123313331221311

231223132323233323222311

331233313323333333223311

221222312223223322222211

111211311123113311221111

66656261

4641

3631

26252221

16151211

2A2A2AA2A2A2

2A2A2AA2A2A2

2A2A2AA2A2A2

A2A2A2AAA

A2A2A2AAA

A2A2A2AAA

LLLL

.........

L...L

L...L

LL...LL

LL...LL

, (28).

O tetrádico de Green (simetria tripla)

O tetrádico elástico não é necessariamente simétrico, isto é, em geral

, 24244sr

LLL ====≠≠≠≠ ou T44 LL ≠≠≠≠ , mas poderá sê-lo; nesse caso ele será igual ao seu reverso também.

Definição: (tetrádico de Green) Denominaremos tetrádico de Green ao tetrádico elástico simétrico (ou igual ao seu reverso); o representaremos por 4 G e suas coordenadas por Ghijk..

Então:

, 24244242414144 22

ssrsssrsr

LLLLLLLG ============================ (29). Essa condição de simetria imposta ao tetrádico elástico implica uma redução do número de suas 36 coordenadas independentes.

Teor. 14: O tetrádico de Green tem 21 coordenadas independentes.

De fato, da escrita cartesiana em relação à base vetorial vemos que: - as da classe I são 3:

G1111, G2222, G3333; - as da classe II são 6:

G1112 = G1121 = G1211 = G2111, G1113 = G1131 = G1311 = G3111, G2221 = G2212 = G2122 = G1222, G2223 = G2232 = G2322 = G3222, G3331 = G3313 = G3133 = G1333, G3332 = G3323 = G3233 = G2333;



- as da classe III são 6: - duas com a dupla de números 1:

G1123 = G1132 = G2311 = G3211, (o par 11 aparece a montante ou a jusante), G1213 = G2113 = G1231 = G1312 = G1321 = G3112 = G3121 = G2131,

- duas com a dupla de números 2:

G2213 = G2231 = G1322 = G3122, G2123 = G1223 = G2132 = G2321 = G2312 = G3221 = G3212 = G1232;

- duas com a dupla de números 3:

G3312 = G3321 = G1233 = G2133, G3132 = G1332 = G3123 = G3231 = G3213 = G2313 = G2331 = G1323;

- as da classe IV são 6:

G1122 = G2211, G1212 = G2112 = G1221 = G2121 (com as duplas 11 e 22), G3322 = G2233, G3232 = G2332 = G3223 = G2323 (com as duplas 22 e 33), G1133 = G3311, G1313 = G3113 = G1331 = G3131 (com as duplas 33 e 11).

A matriz do tetrádico de Green caracteriza-se, pois, pela igualdade da segunda com a quarta, da terceira com a sétima e da sexta com a oitava colunas e linhas. A “inconveniência” dos quatro índices não mais existirá se referirmos os diádicos às bases diádicas; de fato, nesse caso constataremos apenas que a matriz 6x6 associada é simplesmente simétrica, isto é Lpq=Lqp. A igualdade (29) é traduzida simplesmente na forma

=

66

5655

464544

36353433

2625242322

161514131211

66

36

262522

16151211

2G

2G2G

2G2G2G

G2G2G2G

G2G2G2GG

G2G2G2GGG

L

...sim.

......

L...

LL...L

LL...LL

, (30).

Nota: Justifica-se a nomenclatura adotada por ter sido Green quem primeiro introduziu na Teoria da Elasticidade a função densidade de energia de deformação - expressão do trabalho, W, realizado pelas forças elásticas num sólido carregado – que, em notação poliádica é escrita na forma

W sendo = = = =1

2

1

24 4 4ΣΣΣΣ ΕΕΕΕ ΕΕΕΕ ΕΕΕΕ ΣΣΣΣ ΕΕΕΕ ΕΕΕΕ:::: :::: :::: :::: ::::G G G, ,

onde ΕΕΕΕ é o diádico (simétrico) das deformações e ΣΣΣΣ o diádico (simétrico) das tensões.


IV,§ 15.03

Tetrádico de Riemann–Christoffel (simetria quádrupla) Denominaremos tetrádico de Riemann-Christoffel, e o denotaremos por 4ℜℜℜℜ com coordenadas covariantes Rhijk, ao tetrádico com as 4 condições seguintes de simetria:

4 4 1 4 1 4 4 4 1 4 22 2 3 3 ( ℜℜℜℜ =−=−=−=− ℜℜℜℜ =−=−=−=− ℜℜℜℜ ==== ℜℜℜℜ ==== ℜℜℜℜ ==== −−−− ℜℜℜℜ ++++ ℜℜℜℜr s r s s s

2 2 ) , (31). O primeiro membro, o segundo e o terceiro dizem que o tetrádico de Riemann é diadicamente anti-simétrico por montante e por jusante; o primeiro membro, o quarto e o quinto dizem que esse tetrádico é diadicamente simétrico. O primeiro membro e o último dizem que é nula a soma d0 triádico de jusante de 4ℜℜℜℜ (ou de montante, em vista da simetria) com os seus dois transpostos de ordem 1. Com efeito, pois pondo:

h3h

4 ψψψψ====ℜℜℜℜ e , temos: 1h3h

241h3h

14 e 33

rsss

ψψψψ====ℜℜℜℜψψψψ====ℜℜℜℜ ee ;

então (por ser ΟΟΟΟℜℜℜℜℜℜℜℜℜℜℜℜ 424144 33 =++ss

),

ΟΟΟΟψψψψψψψψψψψψ 31h31h3h3 + =+rs

.

Esse tetrádico, assim constituído à luz da teoria dos poliádicos, é o correspondente poliádico do clássico tensor de Riemann-Christoffel da Geometria Riemaniana aplicado ao caso particular da Geometria Euclidiana27.

As coordenadas covariantes das classes I e II do tetrádico de Riemann são todas nulas em face da anti-simetria. As coordenadas da classe III relativas à dupla de números 1 são:

R1213 = - R2113 = - R1231 = R1312 = - (R1321 + R1123), R2131 = - R1231 = - R2113 = R3121 = - (R2113 + R2311), R3112 = - R1312 = - R3121 = R1231 = - (R3211 + R3121);

Como –R1321=-R2113=R1213, resulta das primeiras igualdades: R1123=0; logo, temos uma só coordenada não nula:

27 Em Geometria Riemaniana a introdução do tetrádico de Riemann é feita por outras vias e as igualdades (31) aparecem como propriedades (ver, por exemplo: Santos, C. C., Introdução ao Cálculo Tensorial e à Geometria Riemaniana, Imprensa da UFMG, 1960).

R1231 = R2113 = ... = - R2131 = ... ,

posto que as coordenadas R1123, R3211 e R2311 são nulas. Como o mesmo resultado pode ser obtido com as outras duas duplas, concluímos existirem 3 coordenadas independentes nessa classe: R1231, R2321 e R2331.

§ 15. 03 – Simetria dos tetrádicos. 231


As coordenadas da classe IV com as duas duplas de números 1 e 2 são:

R1212 = - R2112 = - R1221 = - (R1221 + R1122), e

R2121 = - R1221 = - R2112 = - (R2112 + R2211). Sendo –R1221=R1212, resulta das primeiras igualdades: R1122=0. Portanto, existe uma só coordenada não nula: R1212 = - R2112 = - R1221 = R2121, isto é, temos 3 coordenadas não nulas nessa classe: R1212, R3131 e R2323. O tetrádico de Riemann tem, pois, não mais que 6 coordenadas independentes; sua matriz associada é a indicada a seguir (composta considerando os pares de índices 12, 23 e 31):

−−−

−−−−

−−−

0

0R

0RRsim.

0RRR

00000

0RRR0R

0RRR0RR

0RRR0RRR

000000000

2323

23313131

232323312323

1223123112231212

23313131233112313131

122312311223121212311212

, (311).

Como os diádicos de jusante e montante de 4ℜℜℜℜ são anti-simétricos ele se presta a reger transformações lineares entre espaços de diádicos anti-simétricos, isto é, para αααα e ββββ

anti-simétricos, ααααℜℜℜℜ====ββββ 4 : . Podemos, pois (§ 09.02), adotar uma base vetorial ortonormada

ˆ,ˆ,ˆ kji para a sua representação ou a base diádica anti-simétrica do espaço dos diádicos

anti-simétricos (associada à base vetorial),

),ˆˆˆˆ(2

1ˆ 1 jkkj −−−−====αααα )ˆˆˆˆ(2

1ˆ 2 kiik −−−−====αααα e )ˆˆˆ(2

1ˆ 3 ijji −−−−====αααα , (32).

Se ii

uu ˆA αααααααα = e jj

uuˆB αααα====ββββ (para u,i,j=1,2,3) são as representações cartesianas de três

pares de diádicos que se correspondem da transformação, e se, digamos, os primeiros são

independentes, então uu

4 ααααββββ====ℜℜℜℜ , ou, em coordenadas cartesianas:

ijji

ijuij

u4 ˆˆRˆˆAB αααααααα====αααααααα====ℜℜℜℜ , donde uij

uji ABR = , (33).

Como o tetrádico é, por hipótese, simétrico, a matriz a ele associada na base diádica é


IV,§ 15.03

simétrica (Rji=Rij), sendo

[[[[ ]]]]

====ℜℜℜℜ αααα33

2322

131211

ˆ4

Rsim.

RR

RRR

, (331).

Substituindo-se as expressões (34) na expressão do tetrádico em (35), e comparando-se a

nova matriz obtida (referida à base ˆ,ˆ,ˆ kji ) com (331), resultam as igualdades:

2R11=R1212, 2R22=R3131, 2R33=R2323,

2R23=R1231, 2R31=R2312, 2R12=R3123.

O escalar (ou ponteado) de 4ℜℜℜℜ, 4ℜℜℜℜE, é o traço da matriz, isto é,

332211ij

jiE

4 RRRˆ ˆR ++====αααααααα====ℜℜℜℜ : , (332).

O cruzado de 4ℜℜℜℜ (um tetrádico) é nulo porque ele é simétrico; seu primeiro e terceiro

escalares, 1E

4ℜℜℜℜ , 3E

4ℜℜℜℜ - diádicos, conforme sabemos, §10.02 - são ambos nulos porque os

escalares dos diádicos de base são nulos (esses diádicos são anti-simétricos).

Por (33) podemos calcular facilmente 2E

4ℜℜℜℜ , isto é, o segundo escalar de 4ℜℜℜℜ; tem-se,

simplesmente: ijji

E4 ˆ ˆR

2αααααααα====ℜℜℜℜ . . Esse diádico é simétrico, pois (sendo anti-simétricos os

diádicos de base),

Tji

jiij

jiE

4 )ˆ ˆ(Rˆ ˆR2

αααααααα====αααααααα====ℜℜℜℜ .. , ou seja, 22 E

4ji

ijTE

4 ˆ ˆR ℜℜℜℜ====αααααααα====ℜℜℜℜ .

posto que Rji=Rij. Por outro lado, sendo

)ˆˆˆˆ(2

1ˆ ˆ 11 kkjj. ++++−−−−====αααααααα , )ˆˆˆˆ(2

1ˆ ˆ 22 iikk. ++++−−−−====αααααααα , )ˆˆˆˆ(2

1ˆ ˆ 33 jjii. ++++−−−−====αααααααα

jk. ˆˆ2

1ˆ ˆ 32 ====αααααααα , ki. ˆˆ2

1ˆ ˆ 13 ====αααααααα , ij. ˆˆ2

1ˆ ˆ 21 ====αααααααα ,

podemos escrever:

§ 16. 01 - Tetrádicos com planos de simetria. 233


++++ kkjjii ˆˆ)RR(ˆˆ)RR(ˆˆ)RR(2 221111333322E

4

2−−−−−−−−−−−−====ℜℜℜℜ

)ˆˆˆ(R21

)ˆˆˆˆ(R21

)ˆˆˆˆ(R21 123123 ijjiikkikjjk ++++++

Então, considerando (332), a matriz associada a 2E

4ℜℜℜℜ , na base ˆ,ˆ,ˆ kji , é

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]

++++ΙΙΙΙℜℜℜℜ====ℜℜℜℜ33

2322

311211

4ˆˆE

4

Rsim.

R21R

R21R

21R

)Tr (22 kji

, (34).

O diádico 2E

4ℜℜℜℜ , é o correlato do tensor de Ricci na Teoria Geral da Relatividade;

seu escalar (ou traço, posto que as bases são ortonormadas) é a chamada curvatura escalar do espaço riemaniano; neste espaço, entretanto, ele não é nulo necessariamente por estarmos tratando de um problema geométrico qualquer. O leitor interessado poderá determinar o auto sistema desse diádico e procurar interpretar geometricamente os resultados obtidos. Evidentemente, poderá, também, discutir esses mesmos conceitos na Teoria da Relatividade Geral. Assim prosseguindo, montamos o quadro "simetria e anti-simetria dos tetrádicos pelas coordenadas", apresentado na Tabela 4 no final deste capítulo.

§ 16 – POLIÁDICOS EXTERNAMENTE SIMÉTRICOS E ANTI-SIMÉTRICOS. Conforme vimos, as coordenadas de um poliádico são relativas a certo sistema de referência; logo, uma mudança de sistema acarreta necessariamente uma mudança das coordenadas. Inversamente, poderemos impor a certo poliádico a condição de ficar invariante para certas mudanças particulares de sistemas de referência, ou, o que é o mesmo, para certas transformações geométricas. Nesse caso o poliádico apresentará outras simetrias, além das internas, se estas já estiverem fixadas. Isto significa, em outras palavras, novas reduções na quantidade das suas coordenadas independentes. As simetrias dos diádicos já foram estudadas no §02.05 do Capítulo III do volume I.

§ 16. 01 - Tetrádicos com planos de simetria. Seja R' o ponto simétrico do ponto R paralelamente a uma direção e3 e em relação a um plano do qual fixamos dois vetores arbitrários não paralelos, e e

1 2 e . Os vetores e1, e2 e

e3 definem uma base no espaço tridimensional dos vetores. Então podemos escrever:

234 § 16 – Poliádicos externamente simétricos e anti-simétricos.

IV,§ 16.01

r e r e e e= ′ = + −R e R R Rii

1 2 31 2 3

.

Sendo iiR r.e= , o diádico que executa a simetria de R em relação ao plano é

33

33

22

11

2 eeeeeeee −=−+= ΙΙΙΙµµµµ , (01)

pois

.rr.er.eer.eer.er µµµµµµµµ ==−+=′ T3

32

21

1 )()()( .

Diremos que o diádico definido por (01) rege uma transformação de pontos por simetria em relação ao plano ( )e e

1 2, paralelamente a e3; denominá-lo-emos um diádico

de reflexão.

Tem-se:

33

33

33

33

44)2()2( eeeeee.ee. +−=−−= ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙµµµµµµµµ ,

isto é, 1−= µµµµµµµµ ,

sendo, ademais:

33 e.e −=µµµµ , 22 e.e −=µµµµ e 11 e.e −=µµµµ .

O diádico µµµµ é, então, tônico (§ 04.01,B, III); seus autovalores são 1, 1, - 1 e seus autovetores correspondentes são (os arbitrários escolhidos) e e e

1 2 3, e . Esse diádico pode

ser entendido também como o diádico de mudança da base , , e e e1 2 3

− para a base

, , e e e1 2 3

, ou, ainda, da base , , e e e1 2 3

para a base , , e e e1 2 3

− , o que confirma ser

µµµµ µµµµ= −1, com µµµµ3

1= − (o que é fácil comprovar). Temos (§09.02,III):

∗∗

−∗∗ =

−=

1 ][

100

010

001

][ µµµµµµµµ

Seja R" o simétrico de R' em relação a um ponto arbitrário que tomaremos como origem. Temos:

′′ = − ′ = −r r . r( )µµµµ , (02), com

1)1()( e ][

100

010

001

][- e 33

3 1

3

32

21

1 =−=−−=

−−

=+−−=− ∗∗

−∗∗ µµµµµµµµµµµµµµµµµµµµ eeeeee .



Sendo

)2()2(22)2()2( 11

22

11

22

22

11

ee.eeeeeeee.ee −−=−−=−− ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ ,

resulta que R é transformado em R" por dois estágios comutativos de simetria: em relação ao plano coordenado ( )e e

2 3, paralelamente a e1 e em relação ao plano ( )e e

3 1,

paralelamente a e2.

Por outro lado, sabemos que poderíamos escrever (02) na forma )( r.rr −=′−=′′ µµµµ .

Então, a dupla simetria atrás referida é equivalente a uma inversão do ponto R em relação à origem, seguida de uma simetria em relação ao plano ( )e e

1 2, , paralelamente à direção e3.

Finalmente, observemos que por ser

.ree.ee.ee.rrr )2()2()2()( 33

11

22 −−−=−=−=′′′ ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ ,

resulta que A simetria de um ponto em relação ao plano (e1,e2) paralelamente a e3 , seguida de uma simetria em relação ao plano (e2,e3) paralelamente a e1, esta seguida de simetria em relação ao plano (e3,e1) paralelamente a e2, é equivalente a uma inversão central.

Tetrádicos com um plano de simetria

Em geral, sendo jjer====µµµµ um diádico de mudança de base (com inverso )jj

1 re====µµµµ −−−− ,

o tetrádico de mudança de base que lhe é associado (§ 15.01) é

tst

s14iji

j114 donde, ,)( 3 eerrrree === −− µµµµµµµµµµµµµµµµr

.

Aqui interessa considerar o caso em que µµµµ é definido por (01); daí dizer-se que seu tetrádico associado, 4µµµµ, rege simetria de tetrádicos (ou pontos no espaço tetrádico) em relação ao plano ( )e e

1 2, , paralelamente à direção e3. Nesse caso,

. 333

3232

3131

3

323

2222

2121

2313

1212

1111

14

eeeeeeeeeeee

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

+−−

−−++−+=µµµµ

Definição: Diz-se que um tetrádico apresenta um plano de simetria quando ele é similar a si próprio mediante o tetrádico que rege simetria (de pontos, ou tetrádicos, no espaço tetrádico) em relação a esse plano paralelamente a certa direção.

Impondo a condição de que o tetrádico genérico t

svu vs

u t4 P eeee=ψψψψ (expresso em

coordenadas mistas, por exemplo) seja similar a si próprio mediante 4 µµµµ - caso em que ele apresenta o plano de simetria ( )e e

1 2, se 11 er ==== , 22 er ==== , e 33 er −−−−==== - escrevemos:


IV,§ 16.01

4 4 4 4 1ψψψψ µµµµ ψψψψ µµµµ= − : : ; ou seja, operando e simplificando:

tsv

u vsu t

tsv

u vsu t P P eeeeeeee = , (03).

Para u = t = 3, temos:

3sv

3 vs3 3

3sv

3 vs3 3 P P eeeeeeee = ,

donde, somando:

- para v = s e v, s ≠ 3, temos identidades;

- para v = 3 ≠ s (logo, s = 1, 2) temos:

P P P P para s = 1,23 3 3s 3

3 s3

3 3 3s 3

3 s3

3 3 3s

3 3 3se e e e e e e e= − ∴ = − = 0 .

- Para v = s = 3 temos:

t33

u33 u t

t33

u33 u t P P eeeeeeee = ,

donde, somando:

- para u = t e u, t ≠ 3, temos identidades; - para u = 3 ≠ t (logo t = 1,2) temos:

-P P P para t = 1,23 t 33 3

3 3t

3 t 33 3

3 3t

3 t 33e e e e e e e e= ∴ = 0 ;

- para t = 3 ≠ u (logo u = 1,2)

-P P P para u = 1,2u 3 33 u

3 33

u 3 33 u

3 33

u 3 33e e e e e e e e= ∴ = 0 .

Para u = 3, e v, s, t ≠ 3 (logo v, s, t = 1,2) temos

− = ∴ = =P P P para v,s, t3 t vs 3

v st

3 t vs 3

v st

3 t vse e e e e e e e 0 1,2.

Para t = 3, v, s, u ≠ 3 (logo v, s, u = 1,2)

− = ∴ = =P P P para v,s,uu 3 vs u

v s3

u 3 vs u

v s3

u 3 vse e e e e e e e 0 1,2.

Para v = 3 e u, s, t ≠ 3 (logo u, s, t = 1,2) temos:

P P P para u,s, tu t 3s u

3 st

u t 3s u

3 st

u t 3se e e e e e e e= − ∴ = =0 1,2.

Para s = 3, u, v, t ≠ 3 (logo u, v, t = 1,2) temos:

P P P para u,v, tu t v3 u

v 3t

u t v3 u

v 3t

u t v3e e e e e e e e= − ∴ = =0 1,2.



Esses resultados permitem enunciar um teorema que dita uma regra para a escrita das coordenadas do tetrádico.

Teor. 1: (regra) Se 4 4 4 4 1ψψψψ µµµµ ψψψψ µµµµ= − : : , com

4 1 13µµµµ µµµµµµµµ= =−( )r

e e r rji j

i e r e r e r e1 1 2 2 3 3

= = = −, e ,

caso em que 4 ψψψψ apresenta o plano de simetria ( )e e

1 2, , então são nulas

todas as suas coordenadas cujos índices apresentem o algarismo 3 repetido um número ímpar de vezes.

Logo:

Corol. 1: Se um tetrádico (sem simetria interna) apresenta um plano de simetria ele tem 41 coordenadas independentes.

Pois serão nulas 16 coordenadas dentre as 24 da classe II e 24 dentre as 36 da classe III.

A matriz associada ao tetrádico 4 ψψψψ (tetrádico esse que apresenta o plano ( )e e1 2,

como seu plano de simetria), para ser usada em multiplicação ordinária, é, pois:

=∗∗∗∗

33 3 3

32 2 3

32 1 3

31 2 3

31 1 3

23 2 3

23 1 3

22 3 3

21 3 3

13 2 3

13 1 3

12 3 3

11 3 3

33 2 2

33 1 2

32 3 2

31 3 2

23 3 2

22 2 2

22 1 2

21 2 2

21 1 2

13 3 2

12 2 2

12 1 2

11 2 2

11 1 2

33 2 1

33 1 1

32 3 1

31 3 1

23 3 1

21 2 1

22 1 1

21 2 1

21 1 1

13 3 1

12 1 1

12 1 1

11 2 1

11 1 1

4

P000PP0PP

0PPP00P00

0PPP00P00

0PPP00P00

P000PP0PP

P000PP0PP

0PPP00P00

P000PP0PP

P000PP0PP

][ ψψψψ , (04).

Tetrádicos com dois planos de simetria (ou ortotrópicos)

Suponhamos que um dos planos de simetria seja o do caso anterior, isto é, ( )e e

1 2, .

Se considerarmos, além disso, que o tetrádico (sem simetrias internas) apresenta, também, simetria em relação ao plano ( )e e

2 3, , deveremos anular todas as coordenadas cujos índices

apresentem repetido o algarismo 1 um número ímpar de vezes na matriz (04). Portanto, sendo nulas as coordenadas:

P P P P P P P P1 1 1s

1 1 s1

1 s 11

s 1 11

1 t vs

u 1 vs

u t 1s

u t v1= = = = = = = = 0,

onde devemos fazer u, v, s, t = 2, 3, resulta que dentre as 41 coordenadas não nulas da


IV,§ 16.01

primeira simetria devemos eliminar:

1°) - 4 relativas à primeira condição: P P P P1 1 12

1 1 21

1 2 11

2 1 11= = = já que todas as

demais já foram contadas na primeira;

2°) - 16 relativas à segunda condição: 32 3 1

23 3 1

33 2 1

22 2 1 PPPP === (referentes a

P1 t vs = 0) etc.;

Logo: Se um tetrádico (sem simetria interna) apresenta dois planos de simetria ele tem 21 coordenadas independentes,

porque do total das 81 coordenadas, 40 da primeira simetria e 20 da segunda são nulas. As 21 coordenadas não nulas do tetrádico que apresenta os planos de simetria ( )e e

1 2, e ( )e e

2 3, são, pois:

- todas as da classe I; - nenhuma da classe II. Com efeito, nela os índices ocorrem com um terceto de algarismos repetidos. Eliminando-se por evidência os índices com tercetos 111 e 333 (contíguos ou não) restariam as coordenadas cujos índices apresentem o terceto 222. Mas desses só devemos considerar (nessa classe) os índices cujo quarto algarismo seja 1 ou 3, caso em que todos são nulos; - nenhuma da classe III. Pois nessa classe os índices ocorrem em duplas de algarismos repetidos. Consideremos, por exemplo, a dupla 11. Os demais algarismos deverão ser necessariamente 2 e 3. Mas em qualquer um desses agrupamentos ocorrerá o algarismo 3 uma única vez, o que implica serem as coordenadas todas nulas. Analogamente para os outros casos; - todas as da classe IV. Aqui os índices são formados com duas duplas de algarismos repetidos. Logo, nenhuma coordenada se anula. A matriz correspondente é:

,

P000P000P

0P0P00000

00P000P00

0P0P00000

P000P000P

00000P0P0

00P000P00

00000P0P0

P000P000P

][

33 3 3

32 2 3

31 1 3

23 2 3

22 3 3

13 1 3

11 3 3

33 2 2

32 3 2

23 3 2

22 2 2

21 1 2

12 1 2

11 2 2

33 1 1

31 3 1

22 1 1

21 2 1

13 3 1

12 2 1

11 1 1

4

=∗∗∗∗ψψψψ (05).



Definição: (tetrádicos ortotrópicos) Os tetrádicos que apresentam simetria em relação a dois planos são denominados ortotrópicos.

A simples inspeção da matriz (05) - matriz das coordenadas de um tetrádico que apresente dois planos de simetria - mostra que esse tetrádico apresenta também o terceiro plano coordenado como um plano de simetria. Com efeito, todas as coordenadas cujos índices apresentem repetido o algarismo 2 um número ímpar de vezes já estão nulas. Logo:

Se um tetrádico apresenta dois planos de simetria, ele apresenta um terceiro necessariamente.

Caso do tetrádico de Green

Pela sua importância em aplicações (espacialmente em Elasticidade) vamos estudar o tetrádico de Green que, por definição, apresenta as simetrias internas definidas pelo Corol. 3 do Teor. 10, §15.03; nesse caso é apropriado o uso de bases vetoriais ortonormadas, desaparecendo, inclusive, a diferença entre coordenadas covariantes, contravariantes e mistas. Usaremos, por isso, doravante as coordenadas covariantes ou contravariantes.

Teor. 2: Se um tetrádico de Green apresenta um plano de simetria, ele tem 13 coordenadas independentes.

Com efeito, supondo que o seu plano de simetria seja o plano )ˆ,ˆ( ji , os resultados

encontrados anteriormente determinam que sejam nulas todas as suas coordenadas cujos índices apresentem repetido o algarismo 3 um número ímpar de vezes. Então, pelo Teor.14, § 15.03, das 21 coordenadas listadas devemos eliminar as 8 coordenadas nulas seguintes: - 4 da classe II:

0GGAG 31111311G11311113 ==== ,

0GGGG 3222232222322223 ==== ,

0GGGG 1333313333133331 ==== ,

0GGGG 2333323333233332 ==== ;

- 4 da classe III:

0GGGG 3211231111321123 ==== ,

...GG 21131213 == ,

...G2213 = ,

...G2123 =


IV,§ 16.01

São, então, não nulas as coordenadas seguintes:

G1111, G2222, G3333 (da classe I),

G1112, G1222 (da classe II),

G1233, G2331 (da classe III)

G1122, G1212, G2233, G2323, G1133 e G3131. A matriz (simétrica) das coordenadas é, então:

=∗∗∗∗

3333

2323

23313131

232323312323

22232222

123312221212

2331313123313131

1233122212121212

11331122111211121111

4

G

0G

0GGsim.

0GGG

G000G

G000GG

0GGG00G

G000GG0G

G000GG0GG

][ G , (06).

Lembremo-nos de que, por ser o tetrádico de Green simétrico e diadicamente simétrico por montante e jusante, ele pode ser referido a uma base diádica ortonormada

ˆ,...,ˆ,ˆ 621 µµµµµµµµµµµµ associada à base vetorial ˆ,ˆ,ˆ kji que gerou a matriz (06). Nesse caso,

=

66

55

4544

3633

262322

16131211

ˆ4

2G

02Gsim.

02G2G

G200G

G200GG

G200GGG

][ µµµµG , (061),

matriz idêntica a (30),§15.03 onde se façam G14=G15= G24=G25= G34=G35= G46=G56=0.

Teor. 3: Se um tetrádico de Green apresenta dois planos de simetria ele tem 9 coordenadas independentes.

Supondo que um dos planos de simetria fosse )ˆ,ˆ( ji , prevaleceriam os resultados

anteriores e a matriz do tetrádico seria (06). Se o segundo plano for, digamos, )ˆ,ˆ( kj ,

bastará anular em (06) as coordenadas cujos índices apresentem repetido o algarismo 1 um número ímpar de vezes; e obteremos:

§ 16. 02 – Tetrádicos com eixos de simetria. 241


=∗∗∗∗

333333223311

32233223

31133113

23232323

223322222211

21121212

13311313

12121212

113311221111

4

G000G000G

0G0G00000

00G000G00

0G0G00000

G000G000G

00000G0G0

00G000G00

00000G0G0

G000G000G

][ G , (07).

Em relação à uma base diádica ortonormada ˆ,...,ˆ,ˆ 621 µµµµµµµµµµµµ escrevemos:

=

66

55

44

33

2322

131211

ˆ4

2G

02Gsim.

002G

000G

000GG

000GGG

][ µµµµG , (071).

Os tetrádicos de Green que apresentam dois planos de simetria são denominados tetrádicos ortotrópicos.

§ 16. 02 – Tetrádicos com eixos de simetria.

Tetrádicos transversalmente isotrópicos

Definição: Diz-se que um tetrádico 4 ψψψψ apresenta simetria em relação a dado eixo, de

unitário $k , quando ele é ortogonalmente similar a si próprio mediante um tetrádico de rotação 4 ΩΩΩΩ ( )$ ,k ϕ cujo eixo é o eixo dado e o ângulo de rotação é

qualquer; e escrevemos:

4 4 4 4 1ψψψψ ψψψψ= − ( ) ( )

ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ$ , $ ,k k

: :ϕ ϕ

, (01).

Pondo, conforme (02), § 06.03, III:

ϕ−+ϕ++=ϕ sen ) ˆ ˆ( cos ) ˆ ˆ(ˆ ˆ),ˆ( jiijjjiikkkΩΩΩΩ ,

temos:

ϕ−+ϕ++== −ϕϕ sen ) ˆ ˆ( cos ) ˆ ˆ(ˆ ˆ1

),ˆ(T

),ˆ( ijjijjiikkkk ΩΩΩΩΩΩΩΩ .


IV, § 16.02

Conforme (01), § 15.02, é

4 1 1 13 3ΩΩΩΩ ΩΩΩΩΩΩΩΩ ΩΩΩΩΩΩΩΩ= =−( ) ( )r r

T . Substituindo nesta expressão as de ΩΩΩΩ e ΩΩΩΩT, obtemos a expressão cartesiana de 4ΩΩΩΩ e, logo, a matriz associada a esse tetrádico de rotação, para ser usada em multiplicação ordinária; tal é precisamente a matriz dada por ((07),§14.04). A inversa dessa matriz, relembremos, pode ser obtida simplesmente substituindo-se na sua própria expressão, ϕ por - ϕ.

Observemos que a equação (01) pode ser também escrita na forma (ainda geral):

T),ˆ(

444),ˆ(

4 ϕϕ = kk : : ΩΩΩΩψψψψψψψψΩΩΩΩ., (011).

Existindo a intenção de calcular os produtos indicados pelas multiplicações duplas das matrizes, a matriz multiplicando de cada produto (em cada membro) deve ser preparada pelas linhas e a multiplicadora pelas colunas. Assim, as submatrizes da matriz de rotação ((07),§14.04), são as matrizes 3x3 [Du] (u=1,2,...,9) indicadas em (082),§14.04. Como devemos utilizar a transposta da matriz de rotação como matriz multiplicadora no segundo membro de (011), devemos preparar esta transposta por colunas. É fácil comprovar que as colunas preparadas de [ΩΩΩΩT] são as próprias matrizes [Du] onde se substitua ϕ por -ϕ,

matrizes estas que denotaremos por [uD ]; decorre então, de (011):

[ ] [ ]]D[...]D[]D[]D[:

][C...

][C][C][C

][L...][L][L][L:

][D...

][D][D][D

9321

9

3

2

1

9321

9

3

2

1

=

, (02),

as matrizes 3x3 [Fu] e [Cu] resultando da preparação das linhas e colunas, respectivamente,

matriz 9x9 associada a 4φφφφ , base ortonormada ˆ ˆ kji , cujo elemento genérico á Auv com

u,v=1,2,3,4,...,9. As matrizes [Lu] e [Cu] em geral são diferentes para cada valor de u, mas serão iguais se o tetrádico for simétrico.

Definição: (tetrádico transversalmente isotrópico) Tetrádicos que apresentem um eixo de simetria serão denominados tetrádicos transversalmente isotrópicos.

A nomenclatura provém do fato desses tetrádicos apresentarem simetria em relação a todas as direções (definidas por um ângulo qualquer, ϕ) contidas num plano ortogonal ao eixo; por isso, esse plano é denominado “plano de isotropia” do tetrádico. Esses tetrádicos serão denotados genericamente por 4φφφφtr.

Caso de tetrádicos simétricos A matriz associada a um tetrádico simétrico transversalmente isotrópico, 4φφφφtr, é uma matriz simétrica (completa, sem elementos nulos) de elemento genérico Aij=Aji para

§ 16. 02 - Tetrádicos com eixos de simetria. 243


i,j=1,2,...,9, tendo, pois 45 elementos. Nove elementos compõem à diagonal principal, ou primeira diagonal: A11, A22, ..., A99; oito compõem a segunda diagonal: A12, A23, A34, ..., A89; sete a terceira diagonal: A13, A24, A35, ..., A79; e assim sucessivamente. A sétima diagonal é composta por A17, A28 e A29, a oitava por A18 e A29 e a nona apenas por A19. No caso de tetrádicos simétricos é [Lu]=[Cu]=[Fu]; donde podermos escrever (02) na forma compacta:

Du : Fv= D v : Fu, (021), para todo u,v=1,2,...,9. As submatrizes Fu em ambos os membros da igualdade acima devem ser preparadas pelas linhas (ou pelas colunas) de [4φφφφ] para se efetuarem as duplas multiplicações (§06.02, Exemplo 6); são as seguintes:

=

191817

161514

131211

1AAAAAAAAA

]F[ ,

=

292827

262524

232212

2AAAAAAAAA

]F[ ,

=

393837

363534

332313

3AAAAAAAAA

]F[ ,

=

494847

464544

342414

4AAAAAAAAA

]F[ ,

=

595857

565545

352515

5AAAAAAAAA

]F[ ,

=

696867

665646

362616

6AAAAAAAAA

]F[ ,

=

797877

675747

372717

7AAAAAAAAA

]F[ ,

=

898878

685848

382818

8AAAAAAAAA

]F[ ,

=

998979

695949

392919

9AAAAAAAAA

]F[ .

Em (021) temos 81 igualdades que acarretarão valores particulares para as diversas

coordenadas do tetrádico que apresente o eixo k como eixo de simetria. Efetuando-se esses cálculos obtemos os resultados expressos na Tabela 8 – Tabela de Resultados - apresentada em apêndice. A adoção de dois índices apenas para indicar as coordenadas de 4φφφφtr foi feita apenas para facilitar os longos cálculos resumidos na Tabela 8. A matriz (com duplo índice) associada ao tetrádico simétrico transversalmente isotrópico é representada por

=

99

77

77

373833

1911

1222

383733

122422

1915121211

tr4

A0A00Asim.0AA-A

A000A0000A-A0AA000A0000AA0A

A000AA-0AA

][ ijkφφφφ , (022),


IV, § 16.02

devendo ser lembrada identidade apresentada no pé da Tabela 8, isto é:

A22+A24=A11-A15, (023). Concluímos, assim que um tetrádico simétrico transversalmente isotrópico tem 10 coordenadas não nulas independentes (as 11 presentes na matriz (022), menos uma eliminada pela igualdade (023)).

* Pretendemos, agora, retornar à notação com quatro índices para retomar os estudos que vínhamos procedendo. Em outras palavras, em função dos resultados obtidos (com dois

índices) pela imposição da auto-similaridade de 4φφφφ na rotação de eixo k e ângulo qualquer, pergunta-se: qual seria a matriz associada a 4φφφφ, correspondente a (022), com elementos denotados com quatro índices e dentro do critério adotado para associação de matriz a tetrádico (§03.04)? Pelas convenções adotadas, deveremos trocar o índice u por um par hi e o índice v por um par jk, ou seja: 1 por 11, 2 por 12, 3 por 13, 4 por 21, 5 por 22, 6 por 23, 7 por 31, 8 por 32 e 9 por 33. Assim, por exemplo, o elemento A47 da matriz representada com dois índices é o elemento A2131 da mesma matriz representada com quatro índices (ambos ocupando a mesma posição ou posto nas matrizes). Tem-se, então:

=

3333

3131

3131

1331713321313

11331111

11122121

133213311313

111212211212

11331122111211121111

tr4

A0A00Asim.0AA-A

A000A0000A-A0AA000A0000AA0A

A000AA-0AA

][ ijkφφφφ , (03),

as igualdade correspondentes a (022) sendo:

A2121+A1221=(A1111-A1122)/2, (031).

Tetrádicos de Green Transversalmente Isotrópicos Consideremos o caso particular dos tetrádicos de Green com as simetrias internas dadas por ((29),§15.03) (tetrádicos simétricos, bem como simétricos por jusante e montante), que apresentam ainda um eixo de simetria; serão denotados por tr4G .

Como visto, as simetrias do tetrádico de Green acarretam a igualdade da segunda com a quarta, da terceira com a sétima e da sexta com a oitava colunas e linhas da sua

matriz associada, referida à mesma base ortonormada ˆ ˆ kji . Sendo este um caso particular

do caso anteriormente estudado (simetria simples), teremos apenas que traduzir as



igualdades das colunas e linhas acima especificadas. Resultam as seguintes igualdades:

A12=0, A38=0, A22=A24 e A33=A37=A77,

ou

A1112=0, A1332=0, A1212=A1221=A2121 e A1313=A1331=A3131, diminuindo a quantidade de coordenadas distintas em (022) ou em (03) de 11 para 6. Prevalecem ainda as igualdades correspondentes a (023) e (031), isto é:

A22=(A11-A15)/2 e A1212=(A1111-A1122)/2. Resulta, então que um tetrádico de Green transversalmente isotrópico apresenta 5 coordenadas independentes, que representaremos por

G1111, G1122, G1133, , G1313, G3333, assim dispostas na sua matriz representativa:

=

3333

1313

1313

13131313

11331111

1212

13131313

12121212

113311221111

tr4

G0G00Gsim.0G0G

G000G00000G00G000G00000G0G

G000G000G

][ G , (032),

sendo

G1212=(G1111-G1122)/2, (033).

Portanto,

Os tetrádicos de Green transversalmente isotrópicos, com eixo de simetria

k , têm 21 coordenadas não nulas na base ˆ ˆ kji , mas apenas 5 delas são

independentes. Lembrando que os tetrádicos de Green podem ser referidos à base diádica simétrica

ˆ,...,ˆ,ˆ 621 µµµµµµµµµµµµ , deduzida do terceto ˆ ˆ kji , e que em relação a essa base as coordenadas do

tetrádico podem ser consideradas com apenas dois índices (§15.03), a matriz associada a 4G é, então (com os 5 elementos independentes G11, G33, G55, G15, G12 e G13):


IV, § 16.02

=

66

55

55

33

1311

131211

ˆ4

4G04Gsim.004G000G000GG000GGG

][ µµµµG , (034),

sendo G66=(G11-G12)/2, (035).

Nota: Deve ser observado que todos os resultados deduzidos são relativos à base vetorial

ˆ,ˆ,ˆ kji a que se refere o diádico de rotação ),ˆ( ϕk

ΩΩΩΩ .

Tetrádico Isotropicos (ou Isótropos)

Definição: (tetrádico isotrópico) Tetrádicos que apresentem qualquer eixo como eixo de simetria são ditos tetrádicos isotrópicos (ou isótropos).

As expressões (28)1 e (29)1 demonstradas no §14.04 mostram que 4I e seus dois

isômeros distintos 314r

ΙΙΙΙ e ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ 324 =r

são tetrádicos isotrópicos, isto é, para qualquer 4ΩΩΩΩ:

14444 −= ΩΩΩΩΙΙΙΙΩΩΩΩΙΙΙΙ :: , 1414414 33 −= ΩΩΩΩΙΙΙΙΩΩΩΩΙΙΙΙ ::rr

, 1424424 33 −= ΩΩΩΩΙΙΙΙΩΩΩΩΙΙΙΙ ::rr

. Multiplicando a primeira dessas equações pelo escalar não nulo e arbitrário A, a segunda pelo não nulo B, a terceira pelo não nulo C e somando membro a membro, vemos

que o tetrádico 33 241444 C B A rr

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙφφφφ ++= é isotrópico (logo, simétrico porque os

tetrádicos parcelas que o definem são simétricos).

Vimos no Exercício 2, §09.01 que os tetrádicos ΙΙΙΙ4 , 314r

ΙΙΙΙ e 324r

ΙΙΙΙ são independentes e definem uma base dos tetrádicos isotrópicos. No Exercício 1 do §09.02 vimos que

3|||||| 33 24144 ===rr

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ e 3 3333 2441424441444 ===rrrr

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ . . .

ou seja, que a base não é ortogonal. Assumindo tetrádicos de base com módulo 1, seus recíprocos foram determinados, e são:

) 4(10

133 24144

rr

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ −− , homólogo de 4I /3;

) 4 (10

133 24144

rr

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ −+− , homólogo de 314r

ΙΙΙΙ /3;

) 4 (10

133 24144

rr

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ +−− , homólogo de 324r

ΙΙΙΙ /3.



Então as coordenadas do isotrópico 34 φ/φ/φ/φ/ na base 4I /3, 314r

ΙΙΙΙ /3, 324r

ΙΙΙΙ /3 são:

) 4(10

1 ) 4(

10

1 A EE

41E

4E

4241444

41

233 φφφφφφφφφφφφΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙφφφφ −−=−−=rrr

. ,

) 4 (10

1 B 33 2414444

rr

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙφφφφ −+−= . e ) 4 (10

1 C 33 2414444

rr

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙφφφφ +−−= . .

* Exercício Comprove que em espaço isotrópico 2D os pares

3

1 4I , 324

r

ΙΙΙΙ e 8

1 ) 3( 3244

r

ΙΙΙΙΙΙΙΙ − , ( 3244 3 r

ΙΙΙΙΙΙΙΙ +− )

formam sistemas recíprocos. *

Caso do tetrádico de Green Isotrópico

Na lei de Hooke da Teoria da Elasticidade dos corpos isotrópicos o tetrádico que

conecta os diádicos simétricos de tensão ( TΣΣΣΣΣΣΣΣ = ) e deformação ( TΕΕΕΕΕΕΕΕ = ), em transformação linear, é um tetrádico de Green isotrópico (denotado por 4 G

iso.). Então,

sendo ΕΕΕΕΣΣΣΣ iso4 :G= , deduzimos, com A, B e C a determinar:

ΙΙΙΙΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ E24144 C)BA( )C B A ( 33 ++=++ :rr

,

porque

ΕΕΕΕΕΕΕΕΙΙΙΙΕΕΕΕΙΙΙΙΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΙΙΙΙ ) ( 4T4Tijij

jiij

14 3 ===== :::eeee:eeee:r

e E24 3 ΙΙΙΙΕΕΕΕΕΕΕΕΙΙΙΙΙΙΙΙΕΕΕΕΙΙΙΙ == ::r

.

Um tetrádico isotrópico que reja uma transformação linear do espaço dos diádicos simétricos nele próprio é dependente apenas de dois parâmetros independentes (pertence a um espaço tetrádico de dimensão 2); esses parâmetros são A+B e C. Pondo A+B=2µ e C=λ resulta:

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ 2 4iso

4 λ+µ=G , (04);

e a lei de Hooke pode, então, ser escrita na forma clássica

ΙΙΙΙΕΕΕΕΕΕΕΕΣΣΣΣ E2 λ+µ= , (05).

*

Exercício 1: Definindo k=λ+2µ/3, mostre que: 4Giso=k I I +2µ fat0

4I , em que fat0 4I (= 4I -II /3, ver

§08.05) é o fator desviante de 4I para escalares.

Exercício 2: Como 4Giso é definido em função de dois tetrádicos invariantes (I I e fat0

4I ), o seu inverso também pode ser definido em função desses mesmos invariantes. Demonstre que:


IV, § 16.02

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ 40

1iso

4 fat2

1

9k

1

µ+=−G

*

Vamos agora verificar as expressões (04) e (05) aplicando o método que vínhamos utilizando para a determinação da matriz associada aos tetrádicos transversalmente isotrópicos, ortotrópicos etc.

Se considerarmos, então, um tetrádico de Green com simetria em relação aos eixos $i e $k e com rotações arbitrárias, concluiremos que as suas coordenadas independentes são apenas duas, digamos: G e G

1111 1122. Pondo

)G(G21

11221111121213132323 −=µ=== GGG , (06),

e 2 223311331122333322221111 λ=====µ+λ= GGGGGG (061),

caso em que G1111=λ+2µ=G2222=G3333, a matriz associada ao tetrádico será

µλµ

µµµ

µµλµ

µµµµ

λλµλ

=

2+

0

00sim.

00

0002+

00000

00000

000000

0000002+

][ iso4G , (07).

Assim,

os tetrádicos isótropos têm 21 coordenadas não nulas: 9 na diagonal principal e 6 pares fora dela.

Aplicando a definição de produto ponteado duplo entre matrizes multiordinais (§ 06.02), é fácil comprovar que a clássica lei de Hooke generalizada da Teoria Linear da Elasticidade pode ser escrita matricialmente na forma:

[ ] ]ΣΣΣΣ ΕΕΕΕ= [ [ ]iso

4G : , (08),

em que [ ]ΣΣΣΣ ΕΕΕΕ e [ ] são as matrizes

Σ Σ Σ

Σ Σ Σ

Σ Σ Σ

XX XY XZ

YX YY YZ

ZX YZ ZZ

e

Ε Ε Ε

Ε Ε Ε

Ε Ε Ε

XX XY XZ

YX YY YZ

ZX YZ ZZ

.

§ 17.01 – Polinômio mínimo de um poliádico. 249


De fato, lembrando que a matriz associada ao tetrádico unidade (§ 08.01) é a matriz unidade 9 x 9, e considerando que

[ ] [ ]ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ

sim.

23= =

4

1 0 00 0

0

0 1 00 0 00 0 0

0 0 10 0 00 0 0

0 0 01 0

0

0 0 00 0 10 0 0

0 0 00 0

1

r

, (09),

podemos escrever, em forma matricial:

][2][][ 424iso

4 3 ΙΙΙΙΙΙΙΙ µ+λ=r

G , (10).

Aplicando (065) e (067), §08.01 para o diádico simétrico das deformações, isto é, sendo

ΙΙΙΙΕΕΕΕΕΕΕΕΙΙΙΙ ][ E24 3 =:][r

, e ][][ ][4 ΕΕΕΕΕΕΕΕΙΙΙΙ =: ,

é fácil comprovar, a partir de (10), que a lei de Hooke generalizada pode ser realmente escrita na forma proposta (08).

§ 16. 03 – Hexádicos isotrópicos.

Problemas análogos aos estudados com os tetrádicos isotrópicos deverão ser resolvidos com os hexádicos se existir a pretensão da abordagem de problemas elásticos não

lineares. Nesse caso a relação tensão x deformação seria: ΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΣΣΣΣ :G: :G iso6

iso4 += , o

hexádico podendo ser considerado simétrico por montante e jusante em vista da simetria de ΕΕΕΕ; e pelo centro em vista da simetria de ΣΣΣΣ. Dentre os 15 isômeros de 6I apenas 6 serão necessários para expressão da lei, mas os coeficientes da segunda parcela serão bem complicados. O assunto pode ser mais detalhado nos cursos de Teoria de Elasticidade não Linear, mas voltaremos ao assunto no §20.

§ 17 - ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS DE POLIÁDICOS.

§ 17.01 – Polinômio mínimo de um poliádico Os poliádicos a considerar neste parágrafo são os de valência par, 2H. Para o 2H-ádico 2Hφφφφ define-se o conceito de polinômio poliádico inteiro do grau Q, e representa-se por PQ(2Hφφφφ), pela expressão

•••

+++++= Q2HQ

32H3

22H2

2H1

2H0

2HQ C ... C C C C)( φφφφφφφφφφφφφφφφΙΙΙΙφφφφP , (01),

em que as potências são definidas como em ((01), §06.03). Por estar associada a 2Hφφφφ, em relação a uma determinada base H-ádica, uma matriz quadrada 3Hx3H, [2Hφφφφ], fica também associada a cada potência de 2Hφφφφ a potência de mesmo expoente de [2Hφφφφ]. Assim, à (01) está

250 § 17 - Elementos característicos de poliádicos.

IV, § 17.01

associado o polinômio inteiro matricial:

Q2HQ

32H3

22H2

2H1

2H0

2HQ ][ C ... ][ C][ C][ C][ C)]([ φφφφφφφφφφφφφφφφΙΙΙΙφφφφ +++++=P , (011).

Tal como demonstrado para os diádicos, podemos demonstrar para os 2H-ádicos o seguinte

Teor. 1: Existem infinitos conjuntos de N2+1 números reais não simultaneamente nulos, C0, C1, C2, ..., 2NC , tais, que para qualquer 2Hφφφφ gerado de EN,

ΟΟΟΟφφφφφφφφφφφφφφφφΙΙΙΙ 2HN2HN

32H3

22H2

2H1

2H0 C ... C C C C

22 =+++++

•••

, (02),

ou, em forma matricial,

][ ][ C ... ][ C][ C][ C][ C2

2N2H

N32H

322H

22H

12H

0 ΟΟΟΟφφφφφφφφφφφφφφφφΙΙΙΙ =+++++ , (021).

Se trocarmos, no polinômio (01), •Q2H φφφφ por XQ, obteremos o polinômio (escalar,

ordinário)

QQ

22

2210Q XC ... XCXCXCC)X(P +++++= , (03),

que será denominado polinômio escalar associado ao polinômio poliádico (01). A situação inversa nem sempre é verdadeira, mas poderá sê-lo. Assim, dado um polinômio como (03), diremos que ele anula o poliádico 2Hφφφφ se (02), ou (021) forem verificadas. Então:

Corol. 1: Dado um poliádico qualquer 2Hφφφφ, gerado de EN, o grau do polinômio real que anula 2Hφφφφ não é maior que N2H.

Pode provar-se que, existindo o polinômio do menor grau que anula dado 2H-ádico, ele é único. Esse polinômio será dito o polinômio mínimo de 2Hφφφφ e denotado por Pmin(

2H)φφφφ.

Teor. 2: O polinômio mínimo de um 2H-ádico é fator de qualquer polinômio que anule esse 2H-ádico.

Seja Q o grau de um polinômio associado a um 2H-ádico (que, portanto anula esse 2H-ádico), com Q maior que o grau do polinômio mínimo que, por hipótese, existe. Seja, então, R o grau do polinômio restante ao dividirmos o polinômio associado (do grau Q) pelo polinômio mínimo. Escreveríamos: (X)R(X)Q(X).P)X(P RminQ += , uma identidade

que deve ser satisfeita pelo 2H-ádico28; vale, pois, a igualdade:

)()( )()( 2HR

2Hmin

H

2H2HQ φφφφφφφφφφφφφφφφ RPQP += • .

28 Essa assertiva pode ser demonstrada, não sem alguma dificuldade.

§ 17.02 – Equação característica, autovalores e autopoliádicos. 251


Assim, substituindo-se X por 2Hφφφφ e observando que Pmin(

2Hφφφφ) = 2HΟΟΟΟ, RR(2Hφφφφ) = 2HΟΟΟΟ. Logo, RR(X) é um polinômio de grau menor que o de Pmin(X) que anula 2Hφφφφ. Mas, como esse polinômio não é o polinômio mínimo (e este, Pmin(X), é único), deve ser RR(2Hφφφφ) = 2HΟΟΟΟ

necessariamente; isto é: )(P )Q()(P 2Hmin

2H

2H2HQ φφφφφφφφφφφφ •= , ou seja, Pmin(

2Hφφφφ) é fator de

PQ(2Hφφφφ). Tal como para os diádicos, concluímos:

Corol. 1: Qualquer polinômio poliádico é equivalente a um polinômio poliádico de grau não maior que o grau do seu polinômio mínimo.

§ 17.02 – Equação característica, autovalores e autopoliádicos

O problema, aqui, tal como no caso dos diádicos, consiste em, sendo dado um poliádico de valência par de um espaço G-dimensional, 2H φφφφ , saber em que condições esse

poliádico transforma, por multiplicação ponteada H-pla, um H-ádico não nulo, H ψψψψ , em um

poliádico paralelo a H ψψψψ . Em outros termos: se X é um número, será possível a expressão:

ψψψψψψψψφφφφ HHH

2H X =. ?, (01).

Se (01) for possível, deverá ser

ΟΟΟΟψψψψΙΙΙΙφφφφ HHH

2H2H )X( =− . , (011).

Ora, para que (011) seja possível o 2H-ádico dentro dos parênteses deve ser incompleto (Teor. 1, § 11.04), isto é, o seu G-ésimo deve ser nulo (Teor. 3, § 11.01). Pondo, em relação às bases H-ádicas recíprocas H H e εεεε εεεε∗

∗ ,

2H H

iH i φφφφ εεεε ββββ= e 2H H

iH i ΙΙΙΙ = εεεε εεεε (i = 1, 2, ..., G), (02),

a condição (011) implica, então, que o 2H-ádico H

iH iεεεε αααα , com

X iHiHiH εεεεββββαααα −= , (021),

seja incompleto, isto é, que ( ... H 1 H 2 H Gαααα αααα αααα ) = 0. Então, aplicando (03), § 09.05, e

considerando que ... , X, 2HH

1H

2HH

1H

1HH

1H

1HH

1H εεεεββββεεεεααααεεεεββββεεεεαααα .... =−= , temos:


IV,§ 17.02

0

X ...

............

...X

... X

GHHGH

1HHGH

1HHGH

GHH2H

2HH2H

1HH2H

GHH1H

2HH1H

1HH1H

=

−

−−

εεεεββββεεεεββββεεεεββββ

εεεεββββεεεεββββεεεεββββεεεεββββεεεεββββεεεεββββ

...

...

...

, (03).

O determinante (03) representa a CNS para que (01) seja possível. Com efeito, que a condição é necessária já está demonstrado. Reciprocamente, verificando-se (03), é nulo o produto misto H-plo dos H-ádicos H iαααα dados por (021). Então o 2H-ádico H i

H i εεεε αααα é

incompleto e (011) - portanto, também (01) – verifica-se para algum H ψψψψ não nulo. O determinante (03), que será denominado o G-ésimo característico de 2H φφφφ no 2HEG, é equivalente a uma equação algébrica do grau G que pode ser escrita na forma dita mocha29:

0 X X diag

X diag ...X diag

X diag X X-

G2HG

~

E 2H2

2G2H

33G

2H3G3

2H

2G2

2H1GE

2HG

=φ+φ−φ+

+φ−+φ−

+φ−φ+

∑

∑∑

∑

−

−−

−−

, (04),

cujos coeficientes têm sinais alternados e o significado explicado a seguir.

Na equação formada o termo independente de X é o próprio determinante (03) em que se cancele X, isto é (§ 11.01), 2H

Gφφφφ . Esse determinante pode ser entendido como a

soma dos menores do grau G extraídos do determinante 2HG

φφφφ , ou seja, ele próprio; ou

ainda, como a soma dos G-ésimos dos menores diagonais do grau G (um único menor) extraídos de 2H φφφφ . O coeficiente de X é a soma dos 1

GC menores diagonais do grau G - 1

extraídos de 2HG

φφφφ , isto é, a soma dos (G - 1)-ésimos dos 2H-adicos menores diagonais 1-

planares de 2H φφφφ (§ 09.06), ou ainda, o escalar de G~

2H φφφφ (§ 13.02). O coeficiente de XJ

(para J>1) é a soma dos menores diagonais do grau G-J extraídos do determinante 2HG

φφφφ ,

ou seja, a soma dos (G-J)-ésimos dos JGC 2H-adicos menores diagonais J-planares de 2H φφφφ ,

que representaremos por )diag( J-G2H∑ φφφφ . O coeficiente de XG-1, soma dos menores

diagonais do grau 1 do determinante, é o escalar de 2H φφφφ .

Vê-se por (04) que existe um polinômio do grau não maior que NH que anula 2Hφφφφ; é o polinômio característico de 2Hφφφφ. A equação (04) é a equação característica do poliádico 2H φφφφ no 2HEG; o polinômio correspondente (do grau G) é um candidato ao polinômio mínimo de 2Hφφφφ.

29 Um polinômio do grau H é dito mocho quando o coeficiente do seu termo do mais alto grau é i gual a ±1.



Representemos por X1, X2, ..., XG as raízes (reais ou complexas) da equação característica, a que denominaremos os autovalores ou valores característicos de 2H φφφφ . Cada autovalor torna possível (01), a cada um correspondendo pelo menos certo H-ádico H ψψψψ ; resta, então, determinar esse H-ádico – problema sempre possível - a que

denominaremos autoH-ádico(s), ou H-ádico(s) próprio(s) de 2H φφφφ 30.

Nota: Se um autoH-ádico pudesse ser o auto H-adico nulo, o valor de X poderia ser um número qualquer; excluímos o H-ádico nulo como um autoH-ádico. Para Hψψψψ não nulo poderíamos dividir ambos os membros de (01) por seu módulo, o que estabeleceria uma relação unívoca entre um autovalor e o unitário de um autoH-ádico.

Podemos traduzir matricialmente a equação (011). Se, em relação a bases vetoriais recíprocas e e∗

∗ e ,

2H

rs .... tuh i ... km

h i k mr s t u

H fatores

A ... ... φφφφ = e e e e e e e e,1 244 344 e

H x y ... zw

x y z w

H fatores

P ...

ψψψψ = e e e e1 244 344

são as representações cartesianas do poliádico dado, 2H φφφφ , e da incógnita H ψψψψ - o primeiro com G2H coordenadas, o segundo com GH) - temos para expressão do poliádico característico relativo ao autovalor X:

2H 2H rs .... tuh i ... km

h i k m r s t ur s t uX A ... X ... ... φφφφ − = −ΙΙΙΙ ( ) ,e e e e e e e e e e e e.

Ainda, lembrando que (em função dos deltas de Kronecker)

... ... ... r s t u r

hs i

t k

u m

h i k me e e e e e e e= δ δ δ δ ,

podemos escrever,

utsrmkih

m u

k t

i s

s r

km ... ih tu.... rs

2H2H ... ... ) ... X A( X eeeeeeeeδδδδ−=− ΙΙΙΙφφφφ .

Como a multiplicação ponteada H-pla de ΙΙΙΙφφφφ 2H2H X− por H ψψψψ é o H-ádico nulo, escrevemos, finalmente:

30 Kelvin foi o precursos desses estudos em Elasticidade. Ver: Mehrabadi, Morteza M. and Cowuin, Stephen C., "Eigentensors of Linear Anisotropic Elastic Materials", Q. J. Mech. Appl. Math, vol. 43, Pt 1, 1998, Oxford University Press.

0P ) ... X A( tu... rsm u

k t

i s

s r

km ... ih tu.... rs =εεεε− ,

com (h, i, ..., k, m, r, s, ..., t, u = 1, 2, ..., G), (05).


IV,§ 17.02

O sistema homogêneo (05) - representação cartesiana da equação poliádica (011) – tem G equações e G incógnitas. O seu determinante é precisamente o G-ésimo de

ΙΙΙΙφφφφ 2H2H X− . Sendo nulo este determinante (por ser incompleto o poliádico), vemos que o sistema admite solução não trivial. A cada uma das G raízes simples da equação característica de 2H φφφφ , isto é, a cada X simples, corresponderá a solução desse sistema que

define coordenadas de um autoH-ádico de 2H φφφφ em relação à base adotada. Se certa raiz X for múltipla de grau de multiplicidade k, o que indicaremos por X(k), o sistema homogêneo correspondente, (05), apresentará tantas soluções independentes quantas forem a diferença entre k e o posto de ] X[ 2HH2 ΙΙΙΙφφφφ − 31. Quando essa diferença é igual a k, o autovalor

correspondente é dito regular.

* Para um tetrádico qualquer, por exemplo, o sistema (05) pode ser representado pelo produto da sua matriz mista [A** ** ] associada em relação às bases recíprocas e e∗

∗ e pela

coluna das coordenadas duplamente contravariantes do autodiádico ψ em relação às mesmas bases, na forma

.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

P

P

P

P

P

P

P

P

P

XAA.........AAA

...A

...A

............A

............A

...............AA

A......XAAA

A......AAXAA

A......AAAXA

33

32

31

23

22

21

13

12

11

3333

3332

3313

3312

3311

3211

1 311

2311

2211

2112

2111

1333

1313

1312

1311

1233

1221

1213

1212

1211

1133

1121

11 13

11 12

11 11

=

−

−

−

−

.

Particularmente, podemos escrever o mesmo sistema (05) para o caso de um tetrádico cíclico (H=2), N=3 e G =9 (isto é, 32), cuja matriz mista associada, []*

***, em

relação à base ,, cba (e sua recíproca), é dada por ((07),§14.04). Nesse caso, a coluna

relativa ao autodiádico deve ser escrita com as coordenadas mistas contravariantes-covariantes do mesmo em relação às mesmas bases. Sinteticamente,

0P).]X[]([ 4

=− ∗∗

∗∗

∗∗∗∗ ΙΙΙΙ , (06).

31 Essas propriedades são conhecidas dos cursos de Álgebra. O posto de uma matriz é o grau do determinante não nulo do maior grau que se possa extrair dessa matriz.



Se, entretanto, 2H φφφφ estiver referido à base H-ádica Hεεεε*, com a qual pudemos expressa-lo na forma (02), as notações são simplificadas de modo substancial. Assim, se

escrevêssemos, usando coordenadas contravariantes (§03.04): jHijiH F εεεεββββ = e

rHrH P εεεεψψψψ = para i,j,r,s=1, 2, ...,G, (G≤ NH), seria j

Hi

Hij2H F εεεεεεεεφφφφ = ; e a equivalente

matricial de (05) seria,

=

−

−−

−

0

...

0

0

0

P

...

P

P

P

.

XF...FFF

.........

F......F

F...FXFFF

F...FFXFF

F...FFFXF

G

3

2

1

GG3G2G1G

4G41

3G34333231

2G24232221

1G14131211

, (07).

Existem algumas propriedades gerais de fácil demonstração, aqui apresentadas como exercícios. Conforme a ocasião poder-se-á optar por escrever o sistema (011) na forma de multiplicação dupla de matrizes (§06.02,IV), devendo-se previamente preparar as matrizes dando-lhes uma das formas ((08),§14.04,IV). Assim agiremos para a resolução do presente problema no momento oportuno (§08,V), pondo (07) na forma

,

000

000

000

PPP

PPP

PPP

X100

000

000

0Xcossen

000

000

0senXcos

000

000

000

Xcos00

sen00

000

0Xcoscossen

0cossensen

000

0cossenXcos

0sencossen

000

sen00

Xcos00

000

0cossensen

0Xcoscossen

000

0sencossen

0cossenXcos

33

32

31

23

22

21

13

12

11

2

2

2

2

2

2

2

2

=

−

−ϕϕ−

ϕ−ϕ

−ϕ

ϕ−

−ϕϕϕ−

ϕϕ−ϕ

ϕϕ−ϕ

ϕ−ϕϕ−

ϕ

−ϕ

ϕϕϕ−

−ϕϕϕ−

ϕϕϕ

ϕϕ−ϕ

:

*

Exercícios: 1) – Os autovalores de 2H-ádicos transpostos (ver §15.01) são iguais; logo, poliádicos transpostos têm a mesma equação característica. 2) – Os tetrádicos característicos (e, portanto, os autovalores) de tetrádicos similares (ver §14.01) são idênticos.

3) – Quaisquer que sejam 2Hφφφφ e 2Hψψψψ, ψψψψφφφφ 2HH

2H • e φφφφψψψψ 2HH

2H • têm a mesma

equação característica. 4) – Todo 2Hφφφφ de um 2HEímpar tem ao menos uma raiz real.


IV,§ 17.02

5) – Para K>0, os autoH-ádicos de •K2H φφφφ e 2Hφφφφ são paralelos, mas os autovalores do

primeiro são as potências K-ésimas dos autovalores do segundo. Se 2Hφφφφ é completo a proposição anterior é igualmente válida para K<0. 6) – Se 2Hφφφφ e 2Hψψψψ são similares mediante 2Hµµµµ (ver §15) e se Hαααα é autoHádico de 2Hψψψψ

correspondente ao autovalor A, então ααααµµµµ HH2H • a A são autoH-ádico e autovalor de 2Hφφφφ.

*

Poliádicos com autovalores nulos. Poliádicos antitriangulares.

Teor. 1: A CNS para que um 2H-ádico seja orto(NH-J)-planar é que ele seja (NH-J)-planar e tenha J autovalores nulos.

Se um 2H-ádico é orto(NH-J)-planar, seu adjunto é orto(NH-J)-linear (Corol. 1, Teor.

2, §13.03 para G=NH). Então, conforme a equação característica, 0HN2H =φφφφ (o seu NH-

ésimo é nulo), 0G~

E 2H =φφφφ (o escalar do seu adjunto é nulo), 0diag 2G

2H =∑ −φφφφ , ...

0diag JG2H =∑ −φφφφ são nulos, o que acarreta a existência de J autovalores nulos.

Reciprocamente, se um 2H-ádico tem J autovalores nulos, o seu NH-ésimo e o escalar do seu adjunto etc. são nulos necessariamente. Então, o mesmo Corol. 1, Teor. 2, §13.03 para G=NH garantem ser esse 2H-ádico orto(NH-J)-planar.

* Exercício: 7 - Se dois 2H-ádicos são similares e um deles é orto(NH-1)-planar, então o outro também é orto(NH-1)-planar.

*

Teor. 2: A CNS para que um 2H-ádico seja orto(NH-J)-linear é que ele seja (NH-J)-linear e tenha J autovalores nulos.

A demonstração deste teorema pode ser feita por caminho idêntico ao anterior.

Poliádicos antitriangulares

O 2H-ádico a que se refere o Teor. 1 pertence a um espaço JN

2H2HE − e, nesse

espaço, ele é completo. Se todos os NH autovalores de um 2H-ádico são nulos – o que é possível, sem que ele seja o 2H-ádico nulo – a matriz associada a esse poliádico numa base qualquer é da forma antitriangular, isto é, são nulos todos os elementos dessa matriz situados na diagonal principal e numa das bandas triangulares; e ele pertence a um espaço 2HEG com G = 3H(3H-1)/2. Apenas as matrizes antitriangulares apresentam equação característica com



coeficientes simultaneamente nulos (exceto o coeficiente do termo de mais alto grau, evidentemente). Os 2H-ádicos dessa natureza serão denominados, como os diádicos (caso H=1), poliádicos antitriangulares; e serão denotados por 2Hφφφφatr.

Se um 2Hφφφφatr pertence a um 2HEG então, necessariamente, ΟΟΟΟφφφφ 2HGatr

2H =&

, isto é, a

potência ponteada de expoente G de 2Hφφφφatr (§ 06.03) é o 2H-ádico nulo. Conforme a natureza de um 2Hφφφφatr poderá acontecer que, para algum expoente menor que G, sua potência ponteada seja ainda o 2H-ádico nulo (caso em que, necessariamente, a potência de expoente G se anula).

Assim, por exemplo, se as matrizes mistas [M] e [M'] associadas a dois tetrádicos antitriangulares num 4E6 (G=6, H=2), 4φφφφ e 4φφφφ', referido à base diádica εεεε1, εεεε2, ..., εεεε6 e sua recíproca, são

=

000000

E00000

ED0000

EDC000

EDCB00

EDCBA0

]M[

5

44

333

2222

11111

e [ ]

=′

000000

A00000

A00000

ABB000

ABB000

BAAAA0

M-

-

--

então a sexta potência de M e a segunda de M' são a matriz zero: [M]6=[0] e [M']2=[0], quaisquer que sejam os elementos dessas matrizes.

No primeiro caso o polinômio mínimo do 2H-ádico (§17.01) é Pmin(2H φφφφ )=X6, isto é,

esse é o polinômio do menor grau que anula o 2H-ádico. No segundo caso, um caso particular do primeiro, Pmin(

2H φφφφ )=X2. Por qualquer um dos exemplos acima vemos que os tetrádicos antitriangulares são ortoplanares (ver final §09.06), a rigor (62- 15)-planares, e têm escalar nulo. No primeiro caso, por exemplo, 4φφφφ tem 36-21=15 parcelas:

4φφφφ=A1εεεε1εεεε2+ B1εεεε1εεεε3+...+ E1εεεε1εεεε6+ B2εεεε2εεεε3+ C2εεεε2εεεε4+ D2εεεε2εεεε5+ E2εεεε2εεεε6+...+ E5εεεε5εεεε6 e tem escalar trivialmente nulo. Como qualquer diádico ortogonal ao subespaço 2E5 dos antecedentes é paralelo a εεεε6 e qualquer diádico ortogonal ao subespaço (também um 2E5) dos conseqüentes é paralelo a εεεε1, então, por serem estes ortogonais (posto que pertençam a sistemas recíprocos), resulta que os referidos subespaços de 4φφφφ também o são. Logo, 4φφφφ é (62- 15)-planar e tem escalar nulo.

* Exercício 8: Se dois 2H-ádicos são similares e um deles é orto(GH-J)-planar, ou orto(GH-J)-linear ou antitriangular, então, correspondentemente, o outro também é orto(NH-J)-planar, orto(NH-J)-linear ou antitriangular.

*


IV,§ 17.03

§ 17.03 - Forma espectral. Redução Tônica.

Teor. 1: Se os autovalores de um 2H-ádico são simples (logo, distintos), os autoH-ádicos que lhes correspondem são independentes.

Essa propriedade é válida, como já demonstrado, para H=1 (caso dos diádicos, (§ 03.03, III)); para um H qualquer e G-1≤NH (e N=1, ou 2, ou 3), isto é, para os 2H-ádicos pertencentes a um subespaço de dimensão G, é válida também, evidentemente. Essa propriedade é válida, ainda, para G=2, caso em que teríamos dois autovalores apenas, X1 e X2. Pois se os autoH-ádicos correspondentes, Hψψψψ1 e Hψψψψ2 fossem paralelos (logo, não

independentes) existiria um número K tal que 1

H2

H K ψψψψψψψψ = . Então por multiplicação,

1HH2H

2HH2H K ψψψψφφφφψψψψφφφφ . . = ,

isto é, lembrando a relação (01) e o paralelismo admitido:

2H

11H

12H

2X)(KXX ψψψψψψψψψψψψ == ,

isto é, X1=X2, o que é absurdo. Suponhamos que a propriedade fosse verdadeira para G-1 quaisquer autovalores simples e seus correspondentes auto H-adicos, com G-1<NH uma vez que NH é a dimensão do espaço dos H-ádicos. Suponhamos, ainda, que existissem G números Cu, não simultaneamente nulos, tais que

ΟΟΟΟψψψψ Hu

Hu C = para u=1, 2, ..., G, (01),

caso em que os G autoH-ádicos seriam linearmente dependentes. Então, multiplicando-se ambos os membros dessa igualdade por 2Hφφφφ vem:

uuuH

uH2Hu XC C ψψψψΟΟΟΟψψψψφφφφ == . , (02).

Multiplicando (01) por XG e subtraindo-se o resultado de (02) vem

ΟΟΟΟψψψψ HuuG

u )X(XC =− , (u=1,2, ..., G-1) (03).

Como os G-1 auto H-adicos são independentes por hipótese, (03) só será verdadeira se os coeficientes forem simultaneamente nulos, o que acarreta C1=C2= ...=CG-1=0. Nesse caso (01) mostra que deverá ser, também, CG=0, isto é, que os G autoH-ádicos sejam independentes.

Notas: 1 – O teorema 1 não seria verdadeiro se um autoH-ádico pudesse ser o autoH-ádico nulo. 2 – O recíproco desse teorema não é verdadeiro, isto é, um 2H-adico pode admitir autoH-ádicos independentes sem que seus autovalores sejam simples. Um exemplo óbvio é o do 2H-ádico unidade que apresenta o autovalor 1 com grau de multiplicidade NH, a esse autovalor correspondendo um H-ádico qualquer do espaço.

§ 17.03 - Forma espectral. Redução Tônica. 259


Sendo independentes os autoH-ádicos de 2H φφφφ , correspondentes a autovalores regulares, podemos escrever (sejam esses autovalores simples ou múltiplos):

1H

11HH

2H X ψψψψψψψψφφφφ =. , 2

H22

HH

2H X ψψψψψψψψφφφφ =. , GH

GGHH

2H X ψψψψψψψψφφφφ =. .

Vemos, à luz do conceito de Transformação Linear (§ 09.06), que 2H φφφφ transforma H-ádicos independentes de certo subespaço em H-ádicos independentes (no caso, os mesmos H-ádicos), devendo pois, nessa hipótese, ser completo. Então, se os recíprocos dos autoH-ádicos são Hψψψψ1, Hψψψψ2, ..., o teorema fundamental relativo a transformações lineares (Teor.1, § 09.06) permite escrever:

uHu

Hu

2H A ψψψψψψψψφφφφ = , u=1,2, ..., G, (04).

Definição: (forma tônica ou espectral) Os 2H-ádicos (completos) de um 2HEG que podem ser reduzidos à forma (04) são ditos tônicos; a forma (04) em si é dita forma tônica do 2H-ádico, ou forma espectral.

Tal como no caso dos diádicos, vemos pela relação espectral (04) que

Teor. 2: Se 2H φφφφ apresenta autoH-ádicos independentes, e se referirmos o espaço à base por eles definida, a sua matriz associada é diagonal e os elementos (diagonais) desta matriz são os autovalores de 2H φφφφ .

Escrevemos:

[ ]

=

H

H

N

4

3

2

1

H2

X...0000

..................

0...X

0...0X

0...00X

0...000X

ψψψψφφφφ .

Nota: O Teor. 2 diz que a existência de apenas autovalores simples para um 2H-ádico é uma condição suficiente para que a sua matriz associada seja diagonal; mas essa condição não é necessária, isto é, existem 2H-ádicos com autovalores múltiplos aos quais é possível associar uma matriz diagonal, ou dar-lhes uma representação espectral (e o poliádico unidade é o exemplo mais trivial).

Suponhamos que todos os autovalores de um poliádico 2Hφφφφ de um G-espaço sejam regulares (§17.02), cada um com um grau de multiplicidade. A cada autovalor corresponde um número de autoH-ádicos independentes igual ao seu grau de multiplicidade. Como esses


IV,§ 17.03

G autoH-ádicos, em conjunto, são também independentes, formam uma base para o G-espaço a que pertence 2Hφφφφ. Particularmente um X(α) poderia ser nulo, a este autovalor podendo-se associar qualquer conjunto de α H-ádicos independentes entre si e independentes dos demais autoH-ádicos de 2Hφφφφ. Tendo um 2H-ádico autovalores regulares (eventualmente algum nulo) ele será sempre diagonalizável. Resulta, então, afinal:

Teor. 3: A CNS para que um 2H-ádico (completo ou não) admita uma representação espectral – logo, uma matriz associada diagonal – é que ele tenha autoH-ádicos independentes.

O Teorema de Cayley-Hamilton para poliádicos.

Podemos escrever a equação característica de 2H φφφφ , isto é, ((04),§17.01), na forma simplificada

0A+XA ... XA XA XA- 012G

2G1G

1GG

G =−+−+ −−

−− ,

em que os coeficientes são, naturalmente, os mesmos de ((04),§17.01). Em face da

definição ((02), §14), o adjunto de ΙΙΙΙφφφφ 2H2H X − , isto é, ~)X ( 2H2H ΙΙΙΙφφφφ − , é um polinômio

do grau G - 1 em X e pode ser escrito na forma:

1G1G

2H2G2G

2H22

2H1

2H0

2H2H2H X X ... X X ~)X ( −−

−− +−−+−=Ι− ββββββββββββββββββββφφφφ .

Aplicando a esse poliádico a relação ((08), §13), temos:

=+−−+−+ −−

−− )X X ... X X ( . )X ( 1G

1G2H2G

2G2H2

22H

12H

02HH

2H2H ββββββββββββββββββββΙΙΙΙφφφφ

ΙΙΙΙ2H01

22

2G2G

1G1G

GG ]A+XAXA ... XAXA XA[ −++−+−= −

−−

− .

Operando e agrupando convenientemente vem:

. X]A [X]A . [

X]A . [ ... X)A. (

X)A . ()A . (

2HG2HG1G

2H1-G2H1-G2-G

2H1-G

2HH

2H

2-G2H2-G3-G

2H2-G

2HH

2H22H21

2H2

2HH

2H

2H10

2H1

2HH

2H2H00

2HH

2H

ΟΟΟΟΙΙΙΙββββΙΙΙΙββββββββφφφφ

ΙΙΙΙββββββββφφφφΙΙΙΙββββββββφφφφ

ΙΙΙΙββββββββφφφφΙΙΙΙββββφφφφ

=−−+−−+

+−−++−−+

++−−−

−

Para que esse polinômio, cujos coeficientes são 2H-ádicos independentes, seja o 2H-ádico nulo, é necessário e suficiente que as suas NH coordenadas (escalares) sejam polinômios identicamente nulos, ou seja, que todos os coeficientes (2H-ádicos) desse polinômio sejam poliádicos nulos; donde podermos escrever:

§ 17.03 - Forma espectral. Redução Tônica. 261


=−

=−

=−

=−

−=−

=

−

−

−

ΙΙΙΙββββ

ΙΙΙΙββββββββφφφφ




ΙΙΙΙββββφφφφ

2HG1G

2H

2H1-G2G

2H1-G

2HH

2H

2H2-G3G

2H2-G

2HH

2H

2H21

2H2

2HH

2H

2H10

2H1

2HH

2H

2H00

2HH

2H

A

A .

A .

..., A .

,A .

,A .

onde já levamos em conta que o produto ponteado H-plo de qualquer poliádico de valência 2H pelo 2H-ádico unidade é o próprio poliádico.

Isto posto, pré-multipliquemos ponteada e H-plamente: a primeira igualdade pelo 2H-ádico unidade; a segunda pelo poliádico 2H φφφφ ; a terceira pelo quadrado ponteado (§

06.03) de 2H φφφφ , 2H 2φφφφ & ; a quarta pelo cubo ponteado desse mesmo poliádico, 2Hφφφφ &3, e assim

sucessivamente, a última parcela sendo multiplicado por 2H Gφφφφ & . Aplicando (03), § 06.02 podemos associar os fatores em cada equação, obtendo em ambos os membros potências ponteadas de 2H φφφφ como novos fatores. Somemos, então, membro a membro os resultados obtidos já simplificando as parcelas simétricas que ocorrem no primeiro membro; resulta dessas operações:

ΟΟΟΟΙΙΙΙφφφφφφφφφφφφφφφφ 2H2H0

2H1

22H2

)1(G2H1G

G2HG AAA ... A1A- =+−+−+ −

−&&&

, (05).

A expressão (05) significa que a equação característica de 2H φφφφ é satisfeita quando se

substituem as potências indicadas de X por potências ponteadas de 2H φφφφ , isto é, fica demonstrado o seguinte

Teor. 4: (Cayley-Hamilton) Todo poliádico satisfaz sua própria equação característica.

Sejam α1, α2, ..., αk os graus de multiplicidade dos autovalores X1, X2, ..., Xk de 2Hφφφφ supostos regulares. Se escrevermos a equação característica na forma conhecida (X-X1)(X-X2)...(X-XG) valerá também a equação poliádica

ΟΟΟΟΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφ 2H2Hk

2HH

H

2H2

2HH

2H1

2H ) X ( ... ) X ( ) X ( k1 =−−− ααα•••

2 , (06),

em que os fatores podem entrar em qualquer ordem. Mas para os valores p1 ≤ α1, p2 ≤ α2, ..., pk ≤ αk poderá acontecer que

ΟΟΟΟΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφ 2Hp2Hk

2HH

H

p2H2

2HH

p2H1

2H ) X ( ... ) X ( ) X ( k1 =−−− •••2 .

262 § 18 – Formas e reduções canônicas dos poliádicos.

IV, § 18.01

Os menores valores de p1, p2, ..., pk determinarão o polinômio mínimo de 2Hφφφφ, isto é,

k21 pk

p2

p1

H2min )XX...()XX()XX()(P −−−=φφφφ , (061).

Considerando novamente ((08),§13) - isto é, considerando que o produto (comutativo) ponteado H-plo de um 2H-ádico de um 2HEG pelo seu adjunto é igual ao seu G-ésimo pelo 2H-ádico unidade de 2HEG – resulta:

Teor. 5: O produto ponteado H-plo de qualquer característico de um 2H-ádico pelo seu adjunto é o 2H-ádico nulo:

ΟΟΟΟΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφ 2H2H2HH

2H2H ~) X ( ) X ( =−− • , (07),

posto que os característicos são incompletos. De (06) e (07) deduzimos ainda, e finalmente:

Teor. 6: O adjunto de qualquer um dos característicos de um 2Hφφφφ é igual ao produto ponteado H-plo de todos os seus demais característicos em qualquer ordem:

) X ( ... ) X ( ) X ( ~) X ( 2H1-G

2HH

H

2H2

2HH

2H1

2H2HG

2H ΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφ −−−=− ••• , (08).

§ 18 – FORMAS E REDUÇÕES CANÔNICAS DOS POLIÁDICOS.

§ 18.01 – Redução de poliádicos com autovalores simples.

Poliádicos com autovalores imaginários.

Vimos que, num espaço de dimensão ímpar, um poliádico de valência par deve apresentar pelo menos um autovalor real. É o que vamos considerar a seguir. É conveniente lembrar que se um autovalor é um número complexo (ou imaginário) o seu conjugado também é um autovalor. No espaço de dimensão 32H=9H, com poliádicos gerados do E3, um

2H-adico tem, então, um autovalor real e 1)/2(32H − pares de autovalores complexos

conjugados.

Teor. 1: Se A é autovalor real de 2HΓΓΓΓ e z1=M1+iN1, z2=M2+iN2, z3=M3+iN3, z4=M4+iN4 ... zG=MG+iNG

e seus conjugados (com G=(N2H-1)/2) são seus autovalores imaginários, existem bases H-ádicas recíprocas Hεεεε* e Hεεεε* em relação às quais 2HΓΓΓΓ fica reduzido à forma cartesiana mista

§ 18.01 – Redução de poliádicos com autovalores simples. 263


)(M

...)(M)(MA

12GH12G

H2GH2G

HG

5H5

H4H4

H2

3H3

H2H2

H1

1H1

H2H

+++

++++++=

++ εεεεεεεεεεεεεεεε

εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεΓΓΓΓ

(01),

),(N

...)(N)(N

12GH2G

H2GH12G

HG

5H4

H4H5

H2

3H2

H2H3

H1

++ −+

++−+−+


εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε

ao qual, na referida base, fica associada a matriz (2G+1)(2G+1)

−

−

−

=Γ

GG

GG

22

22

11

11

4

MN000000NM000000........................000MN000000NM00000000MN000000NM00000000A

][ εεεε , (011).

Como A é raiz simples, 2HΓΓΓΓ-A2HI é um 2H-ádico (NH-1)-planar, a ele estando associado um par de 2HEG com G=N2H-1. Sejam, então, Hεεεε2,

Hεεεε3, ..., HεεεεG G-1 H-adicos

arbitrários, ordenados e independentes, do HEG dos antecedentes de 2HΓΓΓΓ-A2HI . Seja, ainda, Hεεεε1 um H-ádico ortogonal ao HEG dos conseqüentes de 2HΓΓΓΓ-A2HI , mas tal, que o conjunto Hεεεε1,

Hεεεε2, Hεεεε3, ...,

HεεεεG seja direto. Então:

ΟΟΟΟεεεεΙΙΙΙΓΓΓΓ H1

HH

2H2H )A ( =− • ,

isto é, Hεεεε1 é um autoH-ádico de 2HΓΓΓΓ correspondente ao autovalor A. Se Hεεεε1, Hεεεε2, ..., HεεεεG é o sistema recíproco de Hεεεε1,

Hεεεε2, Hεεεε3, ...,

HεεεεG, os H-ádicos Hεεεε2, ..., HεεεεG estão contidos no HEG definido pelos conseqüentes de 2HΓΓΓΓ-A2HI e Hεεεε1 é ortogonal ao HEG definido pelos antecedentes de 2HΓΓΓΓ-A2HI . Os conseqüentes de 2HΓΓΓΓ-A2HI , desconhecidos, são combinações lineares de pelo menos um par de H-ádicos da base Hεεεε2, ..., HεεεεG com coeficientes que se determinam impondo-se a condição de que A, z1, z2, ... sejam os autovalores de 2HΓΓΓΓ. Podemos, assim, escrever:

2HΓΓΓΓ-A 2HI= Hεεεε2(P2 Hεεεε2+ P3

Hεεεε3)+ Hεεεε3(Q2 Hεεεε2+ Q3

Hεεεε3)+

+ Hεεεε4(R4 Hεεεε4+ R5

Hεεεε5)+ Hεεεε5(S4 Hεεεε4+ S5

Hεεεε5)+ ... ...

...+ HεεεεG (VG HεεεεG+ VG+1

HεεεεG+1)+ HεεεεG+1(WG HεεεεG+ WG+1

HεεεεG+1), estando a determinar os coeficientes P2, P3, Q2, Q3, .... Um dos coeficientes da combinação


IV, § 18.01

P2 Hεεεε2+ P3

Hεεεε3, bem como das demais, é arbitrário, podendo ser fixado de antemão. Ponhamos, então: P2=P, P3=-N1, Q2=N1 e Q3=Q, ficando a determinar nessa dupla, P e Q. Procedendo analogamente com as demais duplas, temos:

2HΓΓΓΓ-A 2HI= Hεεεε2(P Hεεεε2 - N1

Hεεεε3)+ Hεεεε3(N1 Hεεεε2+ Q Hεεεε3)+

+ Hεεεε4(R

Hεεεε5 - N2 Hεεεε6)+ Hεεεε5(N2

Hεεεε5+ S Hεεεε6)+ ... ...

...+ HεεεεG (V HεεεεG - NG/2 HεεεεG+1)+ HεεεεG+1(NG/2

HεεεεG+ W HεεεεG+1). A matriz mista associada a 2HΓΓΓΓ nas bases recíprocas εεεε* e εεεε* é, agora:

+−+

+−+

+−+

=

AWN000000NAV000000........................000ASN000000NAR00000000AQN000000NAP00000000A

][

G/2

G/2

2

2

1

1

4

εεεεΓΓΓΓ ;

e seus autovalores são:

A,

))QP(N4QP2A(2

1 22 1 −+−−++ , ))QP(N4QP2A(

2

1 22 1 −+−+++

))SR(N4SR2A(2

1 22 2 −+−−++ , ))SR(N4SR2A(

2

1 22 2 −+−+++

.....

))WV(N4WV2A(2

1 22 G/2 −+−−++ , ))WV(N4WV2A(

2

1 22 G/2 −+−+++ .

Mas esses autovalores devem ser idênticos a A, z1, z2, ...e seus conjugados. Para a primeira dupla podemos escrever:

1122

1 N iM))QP(N4QP2A(2

1 −=−+−−++

e

1122

1 N iM))QP(N4QP2A(2

1 +=−+−+++ .

Somando e depois subtraindo membro a membro essas expressões, resultam:

1M2QP2A =++ e 122

1 N i2))QP(N4 =−+−

Quadrando a segunda igualdade e simplificando resulta P=Q. Logo, da primeira, M1=P+A.



De modo análogo podemos comprovar que R=S, M2=R+A, ..., V=W, MG=V+A; o que comprova o teorema. Não é difícil, agora, demonstrar o teorema recíproco:

Teor. 2: (recíproco) Todo 2H-ádico redutível à forma cartesiana mista (01) tem A, z1=M1+i N1, ... e seus conjugados por autovalores e Hεεεε1 por autoH-ádico relativo a A.

Os teoremas 1 e 2 podem ser resumidos de outra maneira pelo seguinte

Corol. 1: A CNS para que um 2H-ádico tenha apenas uma raiz real, A, é que ele seja redutível à forma cartesiana (01) em que Hεεεε* e Hεεεε* são bases recíprocas e N1≠0, N2≠0, ..., NG/2≠0.

*

Não é difícil ver que, tendo um 2H-ádico três autovalores reais apenas, ele poderia ser escrito numa forma análoga a (01). Observando que, agora, G=(NH-3)/2, seria:

)(M

...)(M)(M

C B A

12GH12G

H2GH2G

HG

7H7

H6H6

H2

5H5

H4H4

H1

3H3

H2H2

H1H1

H2H

+++

+++++

+++=

++ εεεεεεεεεεεεεεεε


εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεΓΓΓΓ

), (N

...) (N) (N

12GH2G

H2GH12G

HG

7H6

H6H7

H2

5H4

H4H5

H1

++ −+

++−+−+



e a matriz associada (muito parecida com (011)),

−

−=

GG

GG

11

11

4

MN000000

NM000000

........................

000MN000

000NM000

00000C00

000000B0

0000000A

][ εεεεΓΓΓΓ .


IV, § 18.01

Poliádicos com autovalores reais. É fácil ver, dos teoremas anteriores, que quando o poliádico só apresenta raízes reais A1, A2, A3, ..., AG-1, AG, com G=NH ele pode ser escrito na forma dita diagonal, tônica ou espectral:

iHi

Hi

2H A εεεεεεεεφφφφ = com i=1, 2, 3, ...,G e G=NH, (02), ao qual está associada uma matriz evidentemente diagonal. Observa-se de imediato que:

Teor. 3: Se um 2H-ádico tem autovalores simples, os seus autoH-ádicos e os do seu transposto constituem sistemas recíprocos.

Se um 2H-ádico é sabidamente tônico, é possível diagonalizá-lo. A diagonalização de um poliádico é o processo através do qual se diagonaliza esse poliádico.

Teor. 4: A CNS para que um 2H-ádico seja diagonalizável é que os seus autoH-ádicos sejam linearmente independentes.

A condição é necessária porque se 2Hφφφφ é diagonalizável podemos escrevê-lo na forma tônica (02) em que antecedentes e conseqüentes são sistemas recíprocos, logo independentes.

Reciprocamente, se um 2Hφφφφ tem autoH-ádicos independentes, existentes as relações

1H

11HH2H A εεεεεεεεφφφφ =• , 2

H22

HH2H A εεεεεεεεφφφφ =• , ... GH

GGHH2H A εεεεεεεεφφφφ =• ,

com G=NH. A cada igualdade podemos fazer corresponder o H-ádico recíproco do H-ádico que nela aparece. Acoplemos a ambos os membros de cada uma dessas igualdades o H-ádico recíproco que lhe corresponde. Somemos agora membro a membro e observemos que, (por associação) no primeiro membro, fica estabelecido o produto ponteado H-plo de 2Hφφφφ pelo 2H-ádico unidade, isto é, é o próprio 2Hφφφφ. Encontramos então a forma tônica de 2Hφφφφ, o que mostra ser o 2H-ádico diagonalizável.

* Exercício 1: Demonstrar que todo 2H-ádico diagonalizável é um poliádico em feixe (§12).

* Caso dos poliádicos simétricos.

Teor. 5: Os autovalores do poliádico simétrico 2Hφφφφ são números reais.



Mesmo sendo A um autovalor complexo do poliádico podemos escrever a igualdade que expressa essa condição,

χχχχχχχχφφφφ HHH2H A = . (03), a qual mostra que as coordenadas do autoH-ádicos devem ser, necessariamente, números complexos (porque as coordenadas no segundo membro são números complexos e as do 2H-adico, números reais). Podemos, pois, escrever o autoH-ádico na forma

ββββααααχχχχ HHH i += ,

os H-ádicos Hαααα e Hββββ sendo reais32. Isto nos leva a definir o H-ádico ββββαααα HH i − como o

conjugado de Hχχχχ (por analogia com os números complexos) e representá-lo por χχχχH . Então,

0|||| |||| HHHHH >+= ββββααααχχχχχχχχ . ,

isto é, a norma de Hχχχχ é igual à soma das normas de Hαααα e Hββββ. Por outro lado, temos:

ββββφφφφααααφφφφββββφφφφααααφφφφββββααααφφφφ HH2HHH2HHH2HHH2HHHH2H i i ) i( . . . . . −=+=+ ,

isto é,

χχχχφφφφββββααααφφφφ HH2HHHH2H ) i( . . =+ ,

e

. A)i()iNM(

)Ni(M)NM()i()iNM(

HHH

HHHHHHH

χχχχββββαααα

ααααββββββββααααββββααααχχχχ

=−−=

=+−−=++=A

Tomando-se os conjugados (dos H-ádicos) de ambos os membros em (03) e considerando os resultados acima, vem

χχχχχχχχφφφφ HHH2H A = . , (031),

Sabemos (da Teoria das Equações) que se o complexo A é raiz de uma equação, o seu conjugado, Ā é também raiz dessa equação. De (031) concluímos, então, que ao

autovalor Ā de 2Hφφφφ corresponde o autoH-ádico χχχχH ; portanto: a autovalores conjugados de um poliádico correspondem auto poliádicos conjugados.

Ora, sendo, então,

χχχχχχχχφφφφ HHH2H A = . e χχχχχχχχφφφφ HHH2H A = . ,

32 A teoria dos poliádicos complexos será motivo do Capítulo V.


IV, § 18.01

a consideração da simetria de 2Hφφφφ permite escrever que

χχχχχχχχχχχχχχχχχχχχφφφφχχχχχχχχφφφφχχχχ HHHHHHHH2HHHHH2HHH A A . . . . . . === ,

ou seja, considerando que 0 HHH ≠χχχχχχχχ . : A= Ā. Assim, o autovalor genérico A é um

número real, o que demonstra o teorema.

Teor. 6: A dois autovalores simples do poliádico simétrico 2Hφφφφ correspondem autoH-ádicos ortogonais.

Escrevamos (01) para dois autovalores simples (distintos), A1 e A2, aos quais correspondem os auto H-adicos Hχχχχ1 e Hχχχχ2:

1H

11HH2H A χχχχχχχχφφφφ = . e 2

H22

HH2H A χχχχχχχχφφφφ = . . Então,

1HH

2H

21HH2HH

2H A χχχχχχχχχχχχφφφφχχχχ . . . = e 2

HH1

H12

HH2HH1

H A χχχχχχχχχχχχφφφφχχχχ . . . = ,

e, por serem

2HH2HH

1H

1HH2HH

2H χχχχφφφφχχχχχχχχφφφφχχχχ . . . . = e 2

HH1

H1

HH2

H χχχχχχχχχχχχχχχχ . . =

tem-se, também

0 ) A(A 2HH

1H

21 =− χχχχχχχχ . .

Sendo A1≠A2 resulta 0 2HH

1H =χχχχχχχχ . , isto é, os autoH-ádicos são ortogonais.

Corol. 1: Se os autovalores do poliádico simétrico 2Hφφφφ são regulares, seus autoH-ádicos são ortogonais entre si e independentes.

Pois a certo autovalor simples de 2Hφφφφ corresponde um autoH-ádico que (pelo teorema anterior) é ortogonal ao autoH-ádico relativo a qualquer um dos outros autovalores; alem disso, pelo Teor.1 do §17.01 esses auto H-adicos são independentes.

*

Os autoH-ádicos característicos (2Hφφφφ-A1 2HI , 2Hφφφφ-A2

2HI etc.) de 2H-ádicos simétricos são uni(NH-NH-1)-planares. Notando que G=NH-NH-1 é par para N>1, os subespaços HEG dos seus antecedentes e conseqüentes numa escrita G-nomial qualquer são confundidos. Então esses subespaços se interceptam dois a dois segundo as direções dos autoH-ádicos do poliádico.

*

§ 18.02 – Redução dos poliádicos com autovalores múltiplos. 269


Forma espectral dos 2H-ádicos simétricos Encontramos, assim, um resultado geral de notável importância para as transformações lineares entre espaços H-ádicos, regidas por 2H-ádicos simétricos. Dividamos ambos os membros de (01) pelo módulo do autoH-ádico correspondente e escrevamos todas as expressões análogas para todos os autovalores simples de 2Hφφφφ. Como os recíprocos dos unitários dos autoH-ádicos se confundem com esses unitários, podemos escrever, aplicando o teorema fundamental da TL (Teor. 1, § 09.06),

iH

iH

i2H ˆ ˆ A χχχχχχχχφφφφ = (i=1,2, ..., 3H), (04).

Tal é a representação espectral dos poliádicos simétricos. Um resultado de uso prático imediato para H=2 pode ser comprovado imediatamente por evidência: se os diádicos χχχχi forem simétricos, o tetrádico simétrico 4φφφφ será também diadicamente simétrico por montante e por jusante.

§ 18.02 – Redução dos poliádicos com autovalores múltiplos.

Tetrádico cíclico Consideremos o tetrádico cíclico cuja matriz mista associada, []*

***, em relação à

base ,, cba (e sua recíproca), é dada por ((07),§14.04). Procuram-se os valores de X que

anulam o seu nono característico, isto é, o determinante

,0

X100000000

0Xcossen000000

0senXcos000000

000Xcos00sen00

0000Xcoscossen0cossensen

0000cossenXcos0sencossen

000sen00Xcos00

0000cossensen0Xcoscossen

0000sencossen0cossenXcos

22

22

22

22

=

−

−ϕϕ−

ϕ−ϕ

−ϕϕ−

−ϕϕϕ−ϕϕ−ϕ

ϕϕ−ϕϕ−ϕϕ−

ϕ−ϕ

ϕϕϕ−−ϕϕϕ−

ϕϕϕϕϕ−ϕ

sinteticamente representado por

0|]X[][| 4

=− ∗∗

∗∗∗∗ ΙΙΙΙ , (01).

O determinante característico permite concluir imediatamente que X=1 é um autovalor porque 1 o anula (a última linha, ou última coluna torna-se nula). Além disso, esse determinante tem posto 6 porque (para X=1) a primeira linha é igual à quinta multiplicada por (-1) e a segunda é igual à quarta. É facílimo comprovar que o determinante remanescente (proveniente da eliminação da primeira linha, da segunda, da última e das correspondentes colunas) é igual a sen2φ(cosφ-1)2≠0 (porque φ≠0), tendo, então, posto 6. Então, o grau de multiplicidade da raiz 1 é igual a 3.


IV, § 18.02

Considerando que cosϕ-e±iϕ= m isenϕ podemos concluir que a sétima e oitava linhas (bem como a terceira e a sexta) são proporcionais (uma é igual à outra multiplicada por i). Logo e±ϕ são raízes duplas. Não é difícil comprovar que e+2iφ e e-2iφ são autovalores simples33. Em resumo: existem poliádicos que apresentam autovalores múltiplos (nulos ou não, reais ou complexos).

Caso geral

Em geral, se certo autovalor X de um 2Hφφφφ de um G-espaço tem grau de multiplicidade k (k<G, evidentemente), o sistema homogêneo (05) que lhe corresponde apresentará tantas soluções (autoH-ádicos) independentes quanto for a diferença d entre G e o posto de |2Hφφφφ-X 2HΙΙΙΙ|. Isto é equivalente a dizer que o subespaço a que pertence o característico 2Hφφφφ-X 2HΙΙΙΙ tem dimensão d=G-posto de |2Hφφφφ-X 2HΙΙΙΙ|. No caso do tetrádico cíclico, como visto, k=3, G=9 e d=9-6=3.

Agora, é fácil entender que quando d=G-1 o característico 2Hφφφφ-X 2HΙΙΙΙ correspondente ao autovalor X(k) é poliádico linear (a ele estando associadas duas retas); se d=G-2, esse poliádico característico é planar (a ele estando associado um par de planos); se d=G-3, é 3-espacial (a ele estando associado dois 3-espaços) etc.. Mas devendo ser d≤k, o poliádico característico 2Hφφφφ-X 2HΙΙΙΙ será no máximo k-espacial. Quando, para certo X(k), k=G-posto de |2Hφφφφ-X 2HΙΙΙΙ|, dizemos que X é autovalor regular, a 2Hφφφφ-X 2HΙΙΙΙ estando associados k autoH-ádicos independentes, a cada autoH-ádico estando associados dois k-espaços.

Para d≤k, os dois d-espaços associados ao autopoliádico poderão ser ortogonais, caso em que ele será dito um ortoH-ádico, tendo escalar nulo (necessariamente). Esses dois d-espaços poderão, ainda, ser coincidentes, caso em que o autoH-ádico será dito um uniH-ádico, tendo cruzado nulo.

*

Se um 2H-ádico de um 2HEG tem apenas um autovalor simples, digamos XG, e os demais com grau de multiplicidade G-1, então,

ΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφ 2H1

2H2H2G

2H2H1G

2H2HG

2H X ... X X X −==−=−≠− −− , (01).

Por ser GE2H =ΙΙΙΙ , e pondo X1=X2=...=XG-1=X , vem:

0)X1)(X(G GXX)X...X(X) X( GGG1G21E2H

G2H ≠−−=−++++=− −ΙΙΙΙφφφφ , (02);

e

0)X(X GXXX...XX)X ( GG1G21E2H2H ≠−−=−++++=− −ΙΙΙΙφφφφ , (021);

Das expressões (02) e (021) concluímos que nenhum dos característicos de 2Hφφφφ é um poliádico antitriangular ou ortolinear porque estes têm escalar nulo.

33 Só estaremos aptos para tratar dos autodiádicos do cíclico no capítulo seguinte.



Alem disso,

>>=<−< φφφφΙΙΙΙφφφφ 2H2H2H )X ( , e >>=<−< φφφφΙΙΙΙφφφφ 2H2HG

2H ) X( , (03);

e reciprocamente. Então, os característicos de 2Hφφφφ são simétricos se, e apenas se, 2Hφφφφ é simétrico.

Teor. 1: Se um 2H-ádico de um 2HEG tem apenas um autovalor simples, XG, os demais com grau de multiplicidade G - 1 e apenas um autoH-ádico independente, o

característico ΙΙΙΙφφφφ 2HG

2H X− não pode ser ortoplanar nem linear.

De fato, se o referido característico fosse ortoplanar, seu adjunto – produto ponteado H-plo de todos os demais característicos - seria ortolinear, isto é, esse adjunto teria escalar nulo; então:

0] ) X( .... ) X( ) X[( E2H

12HH

H

2H2G

2HH

2H1G

2H =−−− ••−•− ΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφ .

Desenvolvendo os produtos indicados temos:

,0G)X...XX( )XX...X(1

... )XX( )X(

1G21E2H

1-G

1 fatores 2-G

E 2H

1-G

1E

2H1-G

1E

2H

3)(G

2)(G

1)(G

=+−

+−+−

−∑

∑∑•−

•−

•−

φφφφ


321

a primeira somatória representando a soma de todos os autovalores (exceto XG), a segunda representando a soma dos produtos dois a dois desses mesmos autovalores etc.. Denotemos por:

∑=

−G

1j

1Gj )X( a soma das potências de expoente G-1 de todos os autovalores (inclusive XG);

∑=

−G

1j

2Gj )X( a soma das potências de expoente G-2 de todos os autovalores (inclusive XG)

etc..

Agora, escrevamos 2Hφφφφ em forma espectral, iHi

Hi

2H X εεεεεεεεφφφφ = , em que os Hεεεεi, para i=1, 2,

...,G são os autoH-adicos do 2H-ádico. É fácil ver que

iHi

H2i

2H )X(2 εεεεεεεεφφφφ =•

, iHi

H3i

2H )X(3 εεεεεεεεφφφφ =•

etc..

Tomando os escalares desses diádicos e substituindo esses valores na expressão atrás deduzida vem, para j variando de 1 até G-1:


IV, § 18.02

0.G)X...XX()X)(XX...X(-

...)(X)XX()(X)X()(X

1G21

G

1jj

1G

1 fatores 2-G

G

1j

3Gj

1G

1

G

1j

2Gj

1G

1

G

1j

1Gj

=+

+−+−

−=

−

=

−−

=

−−

=

−

∑∑

∑∑∑∑∑

321

Para elucidar, consideremos o caso particular dos diádicos (H=1) com G=3. Se A, B e C são os autovalores desse diádico e C é simples:

0)BC)(AC(AB3)CBA)(BA(CBA 222 =−−=++++−++ ,

No caso particular dos tetrádicos (H=2) com digamos, G=4, temos, denotando por A, B, C e D os seus autovalores:

.0)CD)(BD)(A(D4ABC-D)CBCA)(ABC(AB

)DCBA)(CBA(DCBA 22223333

=−−−=++++++++++++−+++

Por indução completa podemos comprovar a identidade:

=−++

+−+−

−−

=

−−

=

−−

=

−−

=

−

∑∑

∑∑∑∑∑

G)X...XX()1()X)(XX...X((-1)

...)(X)XX()(X)X()(X

1G211G

G

1jj

1G

1 fatores 2-G

2G

G

1j

3Gj

1G

1

G

1j

2Gj

1G

1

G

1j

1Gj

321

)XX)...(XX)(XX( 1GG2G1G −−−−= , (04).

Frente ao problema que estamos discutindo essa identidade é um absurdo uma vez que ela requer sejam os autovalores todos iguais entre si (XG, por hipótese, é autovalor simples).

Logo, o característico ΙΙΙΙφφφφ 2HG

2H X− não pode ser ortoplanar.

Esse mesmo característico não pode ser linear porque seu adjunto deveria ser o 2H-adico nulo que também tem escalar nulo; o que também é absurdo.

Teor. 2: Sendo o característico ΙΙΙΙφφφφ 2H

G2H X− é planar e os demais característicos:

...X X 2H2

2H2H1

2H =−=− ΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφ ΙΙΙΙφφφφ 2H1G

2H X ... −−= , lineares e iguais (por

ser X1= X2 = ... = XG-1) : 1°) – o polinômio mínimo de 2Hφφφφ (o mesmo de 2HφφφφT ) é

Pmin(2Hφφφφ)=(X-XG)(X-X j) para qualquer j≠G, (05);



2°) – 2Hφφφφ pode ser reduzido, de infinitas maneiras, à forma diagonal

GHG

HG

1GH1G

H2H2

H1H1

H1

2H X)...( X εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεφφφφ ++++= −− , (06),

em que os Hεεεεi e os Hεεεεi são sistemas recíprocos arbitrários com a condição de que HεεεεG e HεεεεG sejam ortogonais, respectivamente, aos subespaços dos

antecedentes e conseqüentes do característico ΙΙΙΙφφφφ 2HG

2H X− ;

3°) – Os H-ádicos Hεεεεi e Hεεεεi são os autoH-ádicos de 2Hφφφφ e 2Hφφφφ T, correspondentes aos mesmos autovalores34, isto é:

1G1,2,...,i , X e X GH

GGHH2H

iH

1iHH2H −=∀== •• εεεεεεεεφφφφεεεεεεεεφφφφ , (07).

1G1,2,...,i , X e X GH

GGHHT2H

iH

1iHHT2H −=∀== •• εεεεεεεεφφφφεεεεεεεεφφφφ , (071).

No caso, por termos G-1 autovalores iguais, o produto dos característicos de 2Hφφφφ é escrito na forma

ΟΟΟΟΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφ 2H2H1

2HH2HG

2H ) X( ) X(

)1G( =−−•−

• .

Mas, sendo ΙΙΙΙφφφφ 2H1

2H X− linear, sua potência ponteada é paralela a si próprio (Teor. 3, §

14.03). Logo:

ΟΟΟΟΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφ 2H2H1

2HH2HG

2H ) X( ) X( =−− • .

O polinômio escalar associado a essa identidade é (05), precisamente o polinômio mínimo (do 2º grau) de 2Hφφφφ.

Sejam Hεεεε1, Hεεεε2, ...,

HεεεεG-1 poliádicos arbitrários e independentes do subespaço dos

conseqüentes do 1-planar ΙΙΙΙφφφφ 2HG

2H X− . O produto cruzado deles, denotado por HεεεεG,

pertence ao espaço de dimensão G e é ortogonal ao subespaço dos conseqüentes. Seja HεεεεG

um poliádico ortogonal ao subespaço dos antecedentes de ΙΙΙΙφφφφ 2HG

2H X− e de módulo

ajustado de forma a que 1 GHHG

H =• εεεεεεεε . O conjunto Hεεεε1, Hεεεε2, ...,

HεεεεG-1, HεεεεG forma uma

base para o G-espaço porque ΙΙΙΙφφφφ 2HG

2H X− não é ortoplanar, por hipótese ( se ele fosse

ortoplanar HεεεεG pertenceria ao subespaço dos conseqüentes de ΙΙΙΙφφφφ 2HG

2H X− ). Então é

possível determinar a base recíproca correspondente, Hεεεε1, Hεεεε2, ..., HεεεεG-1, HεεεεG, à qual HεεεεG

deve pertencer necessariamente porque esse poliádico satisfaz a igualdade 1 GHHG

H =• εεεεεεεε

e é ortogonal ao subespaço dos conseqüentes de ΙΙΙΙφφφφ 2HG

2H X− (logo, ortogonal a todos os

H-ádicos Hεεεε1, Hεεεε2, ..., HεεεεG-1 desse subespaço).

Decorre dessas considerações que ΙΙΙΙφφφφ 2HG

2H X− é uma combinação linear dos 2H-

34 Notar que, embora apenas XG seja autovalor simples, os autoH-ádicos Hεεεεi existem distintos.


IV, § 18.02

ádicos Hεεεε1Hεεεε1, Hεεεε2

Hεεεε2, ..., HεεεεG-1HεεεεG-1. Pondo

1GH

1GH

1G2H

2H

21H

1H

12H

G2H K...K K X −

−−+++=− εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεΙΙΙΙφφφφ ,

vemos que

GHG

HG

jHj

HGj

2H X)( )XK( εεεεεεεεεεεεεεεεφφφφ ++= para j=1,2,...,G-1.

Mas, para qualquer j, os autovalores devem ser iguais (apenas XG é autovalor simples). Assim, K1=K2=...=KG-1, o que justifica (06). A terceira parte do teorema é, por conseguinte, evidente.

Corol. 1: Se XG, XG-1, ..., XG-J são J+1 (J+1<G) autovalores simples do 2Hφφφφ de um 2HEG, e os demais são tais que existam α iguais a A, β iguais a B, ..., λ iguais a L, com α+β+ ... +λ=G-(J+1) e α≥β≥...≥λ, então, devendo ser

planares os característicos ΙΙΙΙφφφφ 2HG

2H X− , ΙΙΙΙφφφφ 2H1-G

2H X− ... e lineares

os demais característicos: 1°) – o polinômio mínimo de 2Hφφφφ é

Pmin(2Hφφφφ) =(X-A)(X-B) ... (X-L)(X-X G-(J+1))... (X-XG-1) (X-XG), (08);

2°) – 2Hφφφφ pode ser reduzido, de infinitas maneiras, à forma diagonal

GHG

HG

J-GHJ-G

HJ-G

HH

...H...

H...H...

H

HHHHHH

HH2H2

H1H1

H2H

X....X)...

...(L ....

)...(B

)...(A




εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεφφφφ

++++

+++++

+++++

++++=

λ+...+β+αλ+...+β+α

2++β+α2++β+α

1++β+α1++β+α

β+αβ+α

2+α2+α

1+α1+α

αα

, (09);

3°) – quanto aos autoH-adicos:

, X .... X

L ..., ,L

...

,B ..., ,B

;A ..., ,A

GH

GGHH2H

JGH

J-GJGHH2H

HHH2HHHH2H

HHH2HHHH2H

HHH2H1

H1

HH2H

εεεεεεεεφφφφεεεεεεεεφφφφ




=++=

==

==

==

•−−•

λ+...+β+αλ+...+β+α•1+...+β+α1+...+β+α•

β+αβ+α•1+α1+α•

αα••

, (10).

§ 18.03 – Redução dos tetrádicos de uso em Elasticidade. 275


O produto dos característicos pode ser escrito na forma

, ) X( ....

) X( )L ( .... )B ( )A (

2H2HG

2HHH

2HJ-G

2HH2H2HHH2H2HH2H2H

ΟΟΟΟΙΙΙΙφφφφ

ΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφ

=−

−−−−

••

••••

•λ

•β

•α

ou, considerando o Corol. 2, Teor. 3, § 14.03:

. ) X( ....

) X( )L ( .... )B ( )A (

2H2HG

2HHH

2HJ-G

2HH2H2HHH2H2HH2H2H

ΟΟΟΟΙΙΙΙφφφφ

ΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφ

=−

−−−−

••

••••

.

A essa identidade está associado o polinômio escalar (08), que é o polinômio mínimo de 2Hφφφφ. As demais partes da proposição podem ser demonstradas como no teorema anterior.

§ 18.03 – Redução dos tetrádicos de uso em Elasticidade.

Autovalores e autodiádicos dos ortotrópicos A equação característica de um ortotrópico pode ser obtida diretamente de ((071), § 16.01), sendo fácil deduzir que X4=2G44, X5=2G55 e X6=2G66 são três dos seus autovalores aos quais correspondem, respectivamente, os autodiádicos 4µµµµ , 5µµµµ e 6µµµµ . Os demais

autovalores do ortotrópico, X1, X2 e X3, são as raízes do determinante formado com as três primeiras linhas e três primeiras colunas da matriz ((071),§16.01). Se pusermos

332211 GGGB ++=− , 212231223221111333322 )G()G()G(GGGGGGC −−−++=

e

212332312222311123123332211 )G(G)G(G)G(GGGG2GGGD −−−+=− ,

a equação será escrita na forma X3+BX2+CX+D=0; e se substituirmos X por Y-B ela assumirá a forma Y3+PY+Q=0, com 3P=B2-3C e 27Q=B3-9BC+27D. Como sabemos que essa equação apresenta raizes reais, deve ser 27Q2+4P3<0. Assim, calculando-se

P3

PQ

23cos 0 −=ϕ (P <0), escrevemos

3cos

P32X

ϕ−= , onde 0K2 ϕ+π=ϕ .

Atribuindo-se a K os valores 0, 1 e 2, teremos as três raízes. Desconhecem-se expressões analíticas simples para exprimir os autodiádicos correspondentes.


IV, § 18.03

Autovalores e Autodiádicos do tetrádico transversalmente isotrópico.

Ponhamos (034),§16.02)) na forma

−

=

ja

02dsim.

002d

000c

000ga

000gja

]G[ ˆ4

µµµµ , (03).

A equação característica do tetrádico transversalmente isótropo, posta na forma

0RQXPXNXMXLXX 23456 =+−+++− , (031), tem os seguintes coeficientes:

jd4ca3L −++=

2222 a3ac3ad12cd4d4g2aj2cjdj4jM +++++−−−−−=

322222

22222223

aca3da12acd12ad12cd4ag4

dg8jaacj2adj8cdj4jd4jg4ajcjdj4jN

−−−−−−+

+++++++−+++−=

3322

222222222

2222222222233

dj4cjj2g

jd4cdj4adj4acjjdg16jag4jcd4jad8acdj8

dja4cjagd8adg16ga2acd12da12cda12da4caP

++−

−−−−−++−−−

−−−−−−++++=

323222222222

22222222222233

j4d4cdjj8dgj4cdj4ad4acdjjg16d

j16adgj8acdjd4acdj4ag16addg8acd12ad4acd4aQ

++−−−−+

++−−−−−++=

3222222222222223 jcd4jgd8jacd4jgad16jcda4gda8cda4R +−−+−−= .

Esta equação tem dois autovalores duplos, X1=X2=2d e X3=X4=a-j; e dois autovalores simples,

)cjg2ac(4)jca(jca(21X 22

5 +−−+++++=

e

)cjg2ac(4)jca(jca(21X 22

6 +−−++−++= .

§ 18.03 – Redução dos tetrádicos de uso em Elasticidade. 277


Os autodiádicos de coordenadas (0,0,0,1,0,0) e (0,0,0,0,1,0), ou seja: 4µµµµ e 5µµµµ , são

relativos ao autovalor duplo 2d; e os de coordenadas (0,0,0,0,0,1) e (-1,1,0,0,0,0), ou seja:

6µµµµ e 21 ˆˆ µµµµµµµµ +− , relativos a a-j. Ao autovalor simples X5 corresponde o autodiádico (α-β, -

β,1,0,0,0), com

)g8BB(g21 22 ++−=α ,

)g8BB(g2gj4

)g8BB(j2g4

22

222

++′+

++−=β−

sendo

jcaB −+−= , jcaB −−=′ .

Ao autovalor X6 corresponde o autodiádico (α’-β’, -β’,1,0,0,0) com

)g8BB(g21 22 +−−=α′ ,

)g8BB(g2gj8

)g8BB(j2g4

22

222

++′+

+−−=β′ .

Autovalores e autodiádicos do tetrádico isotrópico

De (07),§ 16.02)) podemos deduzir a matriz associada a 4Giso em relação à base diádica ˆ,...,ˆ,ˆ 621 µµµµµµµµµµµµ :

µµ

µµ+λ

λµ+λλλµ+λ

=µ

2

02sim.

002

0002

0002

0002

][ ˆ4G , (04).

Sendo 4Giso 6 o determinante de 4Giso, isto é, o sexto de 4Giso,

)23(32 56 iso

4 µ+λµ=G

e

)25(48diag 4E

~iso

45 iso

4 µ+λµ==∑ GG , )(240diag 34 iso

4 µ+λµ=∑ G etc.,

a aplicação de (04),§17.02 para o caso (G=6, H=2) dá a equação característica do tetrádico isótropo:

+µ+λµ−µ+λµ+µ+λ− 32456 X)43(40X)2(30X)4(3X

0)2(3λ32µ)X4(5λ48µµ)X(λ240µ 5423 =µ++µ+−++ , (05),

que tem uma raiz simples, X1=3λ+2µ, e uma raiz quíntupla, 2µ. À raiz simples corresponde


IV, § 18.03

o autodiádico

ΙΙΙΙµµµµµµµµµµµµεεεε3

1)ˆˆˆ(

3

1ˆ 3211 =++= , (06),

e a cada uma das raízes quíntuplas os diádicos

)ˆ3(6

1)ˆ2ˆˆ(

6

1ˆ 33212 µµµµΙΙΙΙµµµµµµµµµµµµεεεε +−=+−−= ,

)ˆˆ(2

1ˆ 213 µµµµµµµµεεεε +−= , 44 ˆˆ µµµµεεεε = , 55 ˆˆ µµµµεεεε = , 66 ˆˆ µµµµεεεε = , (07).

Esses diádicos, conforme já comprovamos, formam uma base ortonormada; o que pode ser verificado facilmente35.

Compatibilidade de resultados A expressão espectral de 4Giso é

)ˆˆ...ˆˆˆˆ(2ˆˆ)23( 66332211iso4 εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε ++µ+µ+λ=G

ou melhor,

)ˆˆ...ˆˆˆˆˆˆ(2ˆˆ3 6633221111iso4 εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε +++µ+λ=G .

Lembrando que

ii ˆˆˆ1 =µµµµ , ..., )ˆˆˆˆ(2

1ˆ 4 jkkj +=µµµµ , ..., kkjjii ˆˆˆˆˆˆ ++=ΙΙΙΙ e 6611

4 ˆˆ...ˆˆ εεεεεεεεεεεεεεεεΙΙΙΙ ++= ,

deduzimos:

ΙΙΙΙεεεε )()()()(εεεε 411iso

4 2)ˆ3ˆ µ+3λ(=G ,

ou seja, considerando (06):

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ 4iso

4 2 µ+λ=G ,

precisamente a fórmula ((04),§ 16.02) já deduzida por outras vias.

35 Para um estudo amplo dos autodiádicos de tetrádicos, com vistas à aplicação em Geofísica, ver: Helbig, K., Foundations of Anisotropiy for Exploration Seismics, Handbook of Geophysical Exploration, Volume 22, Chapter 11, Pergamon, 1994, ISBN 0-08-037224-4.

§19 – A determinação experimental de 2H-ádicos 279


§19 – A DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DE 2H-ÁDICOS

Sobre as leis físicas lineares Os fenômenos físicos se passam em domínios geométricos, D, uni, bi ou tridimensionais, supostamente determinados em relação a dado e conveniente sistema de coordenadas S. Assim, D pode ser uma curva, uma superfície, ou uma região do espaço. Dizemos que D é campo de uma grandeza G quando a cada ponto de D está associado um e um único valor para G, seja esta de natureza escalar, vetorial, diádica etc36. A trajetória de um corpo, por exemplo, é campo dos vetores: força atuante, aceleração e velocidade desse corpo.

Nos campos existem as variáveis de campo (como forças, tensões, deformações, deslocamentos etc.) e grandezas físicas eventualmente constantes, todas sempre

representadas por poliádicos de diferentes valências, como ΣΣΣΣR (de valência R), H εεεε (de valência H), etc. Na maioria dos casos esses poliádicos são tensores.

Todas as grandezas físicas podem ser representadas por tensores de diferentes ordens, ou por poliádicos de diferentes valências. O escalares são poliádicos de valência zero, os vetores têm valência um, os diádicos têm valência dois etc.. Os escalares (trabalho, energia, temperatura, entropia etc.) e os vetores (força, velocidade, aceleração, campo elétrico etc.) são bem conhecidos da mecânica elementar e do eletromagnetismo. Alguns diádicos são também conhecidos como tensões e deformações na teoria da elasticidade (TE) e mecânica dos fluidos; outros, como a permitividade dielétrica, a impermeabilidade dielétrica, a difusividade térmica etc. são conhecidos na física dos cristais. Os triádicos são pouco comuns; talvez o mais conhecido seja o triádico piezelétrico (dos cristais de rocha). Dentre os tetrádicos os mais conhecidos são: os de rigidez e flexibilidade (na TE), o de elasto-resistividade, o piezo-otico, o eletro-otico (física de materiais) e o de curvatura, ou de Riemann, em geometria diferencial.

Dizemos que um poliádico (dependente) ΣΣΣΣR é proporcional a um segundo

(independente), H εεεε , quando cada coordenada de ΣΣΣΣR , relativa a uma base vetorial

arbitrária (§09), é proporcional ao conjunto de todas as coordenadas de H εεεε , cada uma delas participando com certo peso (em geral, constante). A proporcionalidade entre duas quantidades físicas é expressa por uma lei física linear. Pelo Cálculo Poliádico esta proporcionalidade é formulada como uma multiplicação ponteada múltipla (§06.04) na

forma εεεεΣΣΣΣ HH

HRR .G+= onde a valência do poliádico R+HG é a soma das valências dos

outros dois. As coordenadas de R+HG definem os quinhões com os quais as coordenadas do poliádico independente entram na constituição de cada coordenada do poliádico dependente.

Para R=H a proporcionalidade existe entre duas variáveis de campo da mesma valência. Vamos concentrar atenção nesse tipo de proporcionalidade, expressa por

36 Esse conceito será apresentado precisamente no Capítulo VII do Volume III (Tomo II).

280 §19 – A determinação experimental de 2H-ádicos.

IV,§19

H 2H H H ΣΣΣΣ = G . εεεε , e postular a existência de uma função de valor escalar, 2W, entre os

poliádicos dependente e independente: εεεεεεεεΣΣΣΣεεεε HH

2HH

HHH

H W2 ... G== . A existência

dessa função acarreta a simetria de 2H G , isto é, a igualdade do poliádico de

proporcionalidade com seu transposto (ver Nota,§15.03): H2H2Hr

GG = . Muitas leis físicas são expressas com essa condição, com H=1 (envolvendo vetores e tensores de ordem dois), ou H=2 (envolvendo tensores de ordem dois e de ordem quatro). Relações entre poliádicos simétricos podem ser expressas em relação a uma base vetorial arbitrária, mas é sempre mais vantajoso procurar uma base poliádica conveniente. Particularmente, quando possível,

a base H-ádica ortonormal definida pelos autoH-ádicos de 2H G é preferível (§09.02). Alguns dos mais interessantes casos de proporcionalidade entre poliádicos ocorrem na TE. Para H=2, 2W é a densidade de energia armazenada em cada ponto de um corpo em estado de tensão; para H=1, 2W é a tensão normal. Para um H qualquer, os conceitos de tensão normal e tangencial são estendidos com os nomes de valor radial a valor tangencial

de 2H G . Valores radiais e tangenciais estacionários em um ponto de um campo conduzem à generalização de teoremas clássicos conhecidos na teoria das tensões, como as quádricas de Cauchy e Lamè e a representação plana de Mohr. Do círculo de Mohr podemos deduzir um critério geral de proporcionalidade, relacionado com os critérios de falha na teoria dos materiais (veremos isso no Tomo II). Quando as bases diádicas são usadas no estudo de uma lei natural, com H=2, é necessário introduzir um novo espaço 9-dimensional estritamente ligado ao problema central. Este espaço leva-nos ao uso intuitivo de conceitos de Geometria Euclidiana 9-dimensional. Os principais conceitos dessa geometria euclidiana foram estabelecidos no §10.03 a §10.05,II,vol.I. Não é muito simples estabelecer a Geometria Analítica N-dimensional associada às leis físicas lineares. Entretanto, ela aparece imediatamente quando se olha a lei física linear como uma transformação linear (um mapeamento) do espaço definido por um dos poliádicos no espaço definido pelo outro através de um poliádico operador (o poliádico de proporcionalidade), tal como nos cristais de rocha uma deformação provocada resulta no aparecimento de um campo elétrico criado por intermediação do seu triádico piezelétrico. Alguns aspectos da geometria oculta nessas leis sugerem interessantes experimentos para definir o poliádico operador da TL. Havendo medições, logo incerteza, vem à baila a necessecidade de uma estatística poliádica para definir valores prováveis. O objetivo principal neste parágrafo é: a) – mostrar que a expressão matemática de toda lei linear na física do continuo (particularmente para H=1, i.e., quantidades vetoriais ligadas por diádicos e para H=2, ou seja, diádicos ligados por tetrádicos), pode ser entendida de forma unificada quaisquer que sejam as grandezas envolvidas, tal como uma equação é utilizada independentemente do problema que deu origem a ela; b) – apresentar um método que permita determinar indiretamente o operador da TL por meio de medições diversas de pares correspondentes das grandezas envolvidas. Este método é algébrico, mas pode ser interpretado geometricamente; é baseado numa síntese do Cálculo Poliádico com a Geometria Analítica Euclidiana multidimensional.

§19.01 – Leis do tipo: b=φ.a, ou vetor=diádico . vetor. 281

IV,§ 19.01

§19.01 – Leis do tipo: b=φφφφ.a, ou vetor=diádico . vetor Exporemos aqui as concepções publicadas em artigo do autor37 em torno do tema, adaptando-as ao contexto. No caso aqui interessado, ao ponto genérico P de um domínio D estão associadas as grandezas representadas pelos vetores a e b. Uma lei física linear que correlacione essas grandezas é de um dos dois tipos seguintes:

ab K= , ou a.b φφφφ= , (01),

onde K é uma grandeza escalar e φφφφ uma grandeza diádica (ou tensorial de ordem 2), ambas não dependentes de a, nem de b. As grandezas K e φφφφ são, por exemplo, características de um material que ocupe o espaço D, para o qual são válidas as leis (01), ou apenas uma delas. Dizemos, muitas vezes, quando não existe perigo de confusão, que a e b constituem campos (a existência de D ficando subentendida). A grandeza representada por φφφφ, por não depender do ponto (poderá ser uma constante ou depender do tempo), não constitui um campo. A principal lei da Mecânica, classicamente representada por f=Ma, é do primeiro tipo, M representando a massa de um corpo. Ainda na Mecânica, a lei da dinâmica do corpo rígido, j=I . w – onde j é o momento angular (ou momento da quantidade de movimento do corpo), w a velocidade angular do corpo (em torno de um eixo) e I é o diádico (simétrico) de inércia do corpo (um tensor) – é uma lei do segundo tipo. Muitos exemplos poderiam ser citados na área da Física. Em Engenharia, uma lei do segundo tipo é a clássica lei de Darcy de percolação da água nos materiais permeáveis. Nesse caso, o diádico φφφφ representa a condutividade hidráulica do material (um tensor) que, submetido a um gradiente hidráulico b num ponto, permite a percolação da água com uma velocidade a (nesse mesmo ponto). Em muitas situações, especialmente na prática da Engenharia, podemos admitir (por algum motivo que não interessa discutir aqui) a validade das leis (01); mas não se conhecem de antemão as grandezas K e φφφφ que, então, devem ser determinadas experimentalmente. Portanto, medições são necessárias e suas incertezas não podem ser negligenciadas em geral. O procedimento utilizado de praxe para a resolução do problema consiste, assim, em se fazerem medidas diversas das grandezas vetoriais a e b, quando possível, e tratá-las estatisticamente para se determinarem os valores de K e φφφφ que, segundo algum critério adequado (o de minimização do quadrado de alguma norma, por exemplo) melhor se adaptem ao conjunto das medidas. A lei do tipo b=Ka diz que os vetores a e b devem ser paralelos, e que |b|=K|a|. Com uma série de medições de |b| e |a| não será difícil encontrar um valor adequado para K. Se a e b deverem ter o mesmo sentido, deverá ser K > 0; em caso contrário, será K < 0. O

37 Ruggeri, E. R. F., Determinação experimental de lei física linear que correlacione duas grandezas vetoriais, REM – R. Esc. Minas, Ouro Preto, 60(3):513-518, jul. set. 2007.


IV, §19.01

problema da determinação da direção comum a a e b, não é, assim, de solução imediata, mas um tratamento adequado dos dados resolverá o problema com alguma facilidade (o que não nos interessa no presente).

A lei do tipo b = φφφφ . a é, evidentemente, mais complexa que a anterior. Neste estudo mostraremos como encontrar boas determinações de φφφφ mediante certos pressupostos. Quando φφφφ não apresenta particularidades a solução é mais simples; mas, em geral, nas leis físicas, φφφφ é um diádico simétrico (φφφφ = φφφφT), o que exige um condicionamento a mais na formulação da solução. Alem disso, devemos notar que, em Física, as grandezas vetoriais a e b têm o mesmo status, isto é, tanto podemos expressar b em função de a, como a em função de b. Isto significa que φφφφ deve ser invertível, ou completo, devendo, pois, ter terceiro (ou determinante) diferente de zero (§08,II,vol.I). Devemos considerar ainda que as medidas dos vetores a e b devem ser feitas, geralmente, por suas coordenadas em relação a um mesmo sistema de referência S. Nesse caso podemos dar à forma a.b φφφφ= de representação da lei, forma essa que independe de qualquer sistema de referência, uma representação matricial válida apenas no sistema S. As coordenadas dos vetores poderão ser organizadamente dispostas em matrizes colunas 3x1; e o diádico φφφφ, por uma matriz simétrica e invertível 3x3 (§09,II,vol.I). Nas condições expostas, a lei a.b φφφφ= pode ser entendida de dois modos, úteis em muitas situações. No modo algébrico vemos um conjunto de três números variáveis – as coordenadas A1, A2, A3 de a – se transformar em um conjunto de três outros números, também variáveis – as coordenadas B1, B2, B3 de b – mediante a matriz constante [φ] associada à grandeza φφφφ, de elementos φij; e escrevemos:

φφφφφφφφφ

=

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

A

A

A

.

B

B

B

, com φij=φji (i,j = 1, 2, 3), (02).

Fazendo diversas medições dos pares de tercetos Ai e Bi, deveremos determinar o conjunto dos seis números: φ11, φ12=φ21, φ13=φ31, φ23=φ32, φ22 e φ33, que satisfaz (02).

No modo geométrico podemos entender a lei a.b φφφφ= como a transformação linear

do vetor a do espaço no vetor b do espaço, mediante o operador φφφφ (§02.04,II,vol.I); ou, em relação ao ponto P, a transformação (linear) da extremidade do vetor a (suposto aplicado em P), na extremidade do vetor b (também suposto aplicado em P). Visto de outra forma, poderemos sempre fazer a imagem de todos os vetores a e b (dos campos já definidos) aplicados em um mesmo ponto arbitrário do espaço (eventualmente exterior a D). As extremidades dos vetores a e b ocupariam cada um uma região do espaço – a hodógrafa do vetor; diríamos que essas hodógrafas se correspondem linearmente mediante o operador φφφφ38.

38 Decorreria disso uma série de propriedades. Por exemplo: três pontos colineares numa região seriam colineares na outra; um fragmento de plano numa região seria um fragmento de plano na outra etc..

§19.01 – Leis do tipo: b=φφφφ.a ou vetor=diádico . vetor 283


Um teorema fundamental Suponhamos agora que, de alguma forma, sejam conhecidos três pares de vetores: (a1, b1), (a2, b2) e (a3, b3) que devam estar correlacionadas mediante a lei geral a.b φφφφ= cujo operador (simétrico e invertível) pretendemos determinar. Vamos considerar inicialmente que todos os vetores tenham sido determinados com precisão, sem erros. Nestas condições podemos aplicar aos conjuntos o corolário 2 do teorema 1 do §02.03 do Cap. II, vol. I, sintetizado pela expressão seguinte:

se i i a.b φφφφ= com i = 1, 2, 3, e (a1a2a3)≠0, então: iiab=φφφφ , (03),

onde os ai são os vetores recíprocos dos ai. Vemos por (03) que, não havendo erros na determinação dos pares (ai, bi), o diádico simétrico φφφφ está determinado. Como, por hipótese, os bi são independentes, φφφφ é completo. Cabe registrar que o teorema sintetizado por (03) é geral, não exigindo que φφφφ seja simétrico. Por outro lado, se φφφφ=φφφφT, seu vetor é nulo (e reciprocamente), isto é,

oab =×=⇔= iiV

T φφφφφφφφφφφφ , (04),

o que nos leva a concluir que, nesse caso, os tercetos (ai, bi) não são totalmente arbitrários. Consideremos, em relação ao sistema S, o terceto de vetores ai: (1; 0; 1), (2; 1; -1), (0; 1; 2) e o terceto de vetores bi: (2; 0; 5), (-4, 1; 3), (7; -4; 3). Os recíprocos dos a’s são: (3; -4; 2)/5, (1; 2; -1)/5, (-1; 3; 1)/5 (§03.03 e §04.04,I,vol.I). Então,

[ ] [ ] [ ]

−−−

−=−

−+−

−+−

=213

121

311

131

3

4

7

121

3

1

4

243

5

0

2

(5

1][φφφφ , (05).

A verificação da expressão (02) pode ser feita imediatamente multiplicando-se [φφφφ] pelas colunas dos b’s. A solução apresentada é perfeita do ponto de vista matemático. Na realidade, em vista da necessidade de medições das grandezas, medições essas realizadas por pessoas, seguindo algum método e utilizando instrumentos e equipamentos, aquelas medidas dos vetores são perturbadas por erros, isto é, as medidas são incertas. Suponhamos, então, que aqueles mesmos vetores, agora incertos e denotados por amedi e bmedi, tenham as seguintes coordenadas:

amed1≡(0,97; 0; 1,02), amed2≡(2,02; 0,97; -0,99), amed3≡(0; 1,05; 1,94),

e bmed1≡(1,90; 0; 5,25), bmed2≡(-3,94; 1,03; 2,82), bmed3≡(6,60; -4,08; 3,21).

Os a’s apresentam perturbações da ordem de 5% para mais ou para menos; e os b’s, da ordem de 7%.


IV, §19.01

Se a perturbação nos vetores ai não tirou deles a característica de independentes (não coplanares), e no exemplo isso acontece porque o produto misto dos novos a’s é diferente de zero (ele é igual a 4,997), eles admitem os recíprocos:

amed1≡(0,584; -0,784; 0,424), amed

2≡(0,214; 0,376; -0,204), amed3≡(-0,198, 0,604; 0,188).

Ao aplicarmos o teorema expresso por (03), e seguirmos os mesmos passos de cálculo atrás apresentados, encontramos:

−

−−

−

=

26,211,104,3

98,008,203,1

85,202,104,1

][ medφφφφ , (051).

Vê-se, assim, que as perturbações nas medidas destruíram a esperada simetria que a matriz [φφφφmedi] deveria apresentar. Sendo absolutamente necessário que a matriz solução do problema seja simétrica, dever-se-á procurar algum método convincente que, tornando-a simétrica, aproxime-a do seu verdadeiro valor dado por (05). Nesse caso, se essa matriz existir e se for determinada, ela deverá ser a que melhor se adapta ao conjunto das medidas efetuadas vetores a’s e b’s.

Uma solução para o problema com medidas perturbadas Uma solução rápida para o problema consiste em aceitar a parte simétrica de φφφφmed como solução do problema, ou seja (φφφφmed)sim, responsabilizando sua parte anti-simétrica, (φφφφmed)ant, pelas incertezas. Como as medidas amedi e bmedi contêm erros, por melhor que seja a determinação do diádico φφφφ para a escrita da lei deveremos escrever, para qualquer medida:

iisimmedi )( da.b += φφφφ para i = 1, 2, 3, os vetores di representando os vetores erros em

relação ao (φφφφmed)sim solução. Esta solução parece simplista à primeira vista, mas pode ser demonstrado (e faremos isso no Tomo II) que ela pode ser gerada pela aplicação do método dos quadrados mínimos aplicado aos vetores erros.

Aplicação numérica considerando pequenas perturbações Para o caso do exemplo numérico apresentado, com pequenas perturbações, tem-se:

−

−−

−

=φ+φ=[φ

26,205,195,2

05,108,202,1

95,202,104,1

)][]([21

] Tmedmed , (06).



A incerteza de [φ] é dada pela matriz

−

−−

=φ−φ=φ[

007,009,0

07,0001,0

09,001,00

)][]([21

] Incerteza Tmedmed , (061).

cuja norma é igual a 0,026. Se [φ] é uma avaliação adequada, conforme o critério adotado, então bcalci=[φ].amedi. Assim,

−=16,5

08,0

99,1

1calcb ,

−=

70,2

08,1

03,4

2calcb , e

−=28,3

21,4

79,6

3calcb ,

são melhores avaliações para bmed1, bmed2 e bmed3, respectivamente, às quais correspondem os vetores erros:

d1≡(-0,09; 0,08; 0,09), d2≡(0,09; -0,05; 0,12), d3≡(-0,19; -0,06; -0,07), de normas respectivamente iguais a 2,26 x 10-2 , 2,5 x 10-2 e 4,5 x 10-2. Sendo

−−−−

=−

073,0124,0327,0

124,0715,0349,0

327,0349,0375,0

][ 1φφφφ ,

podemos obter, também, melhores avaliações: acalc1, acalc2 e acalc3 para os a’s medidos; sendo

.][ medi1

calci ba −φ= , encontramos:

−=003,1

013,0

006,1

1calca ,

−=

958,0

990,0

042,2

2cala , e

=889,1

008,1

0

3calca .

Os vetores erros correspondentes e os respectivos ângulos poderiam ser avaliados como anteriormente.

Ampliação do método Suponhamos que fosse viável a determinação (medição) de M>3 pares de vetores correspondentes (a, b). Poderia haver entre eles até CM

3 tercetos com vetores a’s linearmente independentes, mas, por hipótese, existe pelo menos um terceto nessas condições.


IV, §19.01

Uma primeira alternativa para a resolução do problema consiste em se selecionarem os N tercetos de pares que apresentem a’s linearmente independentes (logo, 1 ≤ N ≤ CM

3) e com cada terceto determinar-se uma matriz (φφφφmed)sim como indicado anteriormente. Far-se-ia, em seguida, uma estatística com essas matrizes, determinando-se uma matriz média e uma matriz de variância/covariância. Uma segunda alternativa consiste em tratar os dados simultaneamente, determinando-se uma única matriz (simétrica) que melhor se ajuste aos dados. Como visto, pretende-se determinar um diádico φφφφ que satisfaça a igualdade

jj a.b φφφφ= para j = 1, 2, ..., M (M=finito>3).

Para facilidade das medições, como sempre, esses vetores estão referidos a uma base ortonormada e são representados por suas coordenadas, isto é, a equação vetorial pode ser representada por uma equação matricial da forma b = φφφφ. a onde b e a são matrizes colunas 3x1 (b e a sendo conhecidas) e [φφφφ] – a incógnita - uma matriz simétrica 3x3. O conjunto dessas M equações pode ser representado na forma compacta [B] = [φ] . [A], sendo [B] e [A] de ordem 3xM. As colunas de [B] são formadas com as coordenadas dos vetores b’s; da mesma forma, as colunas de [A] são formadas com os vetores a’s. Seja φφφφmed o diádico que, tal como anteriormente, melhor vai adaptar-se ao conjunto das medidas a ponto de poder escrever-se, com um bom ajuste: jmedj a.b φφφφ= . Operando

vetorialmente podemos acoplar a ambos os membros dessa igualdade o vetor aj, e depois somar membro a membro todas as igualdades assim obtidas. Escrevemos, então:

jjmedjj aa.ab φφφφ= (soma em j),

e pondo:

A = ajaj = a1a1+ a2a2+...+ aMaM e B = = bjaj = b1a1+ b2a2+...+ bMaM vem,

A.B medφφφφ= , (07).

Multiplicando ponteadamente ambos os membros de (07) por AT resulta:

B . AT = (φφφφmed . A) . AT. Observando que é possível associar no segundo membro, e que o produto A . AT é diádico simétrico e completo39, deduzimos, facilmente, pós multiplicando ambos os membros por (A . AT)-1:

1TTmed ) ( −= A.A.A.Bφφφφ , (08).

O diádico φφφφmed em geral não é simétrico, mas se procedermos como anteriormente, 39 A demonstração dessa assertiva é demonstrada em apêndice no artigo em referência, estando também exposta mais à frente neste parágrafo.



consideraremos que sua parte simétrica seja o melhor ajuste aos dados a ponto de representar com boa aproximação a transformação pretendida. Da mesma forma, a sua parte anti-simétrica representará a medida da incerteza de φφφφmed. A expressão diádica (08) pode ser traduzida matricialmente de forma idêntica:

1TTmed )A] [ ([A] [A] . [B]][ −= ..φφφφ , (071),

as matrizes sendo assim compostas:

- a matriz [B], de ordem 3xM, tem por colunas as coordenadas dos vetores bmed; - a matriz [A], de ordem 3xM, tem por colunas as coordenadas dos vetores amed; - a matriz [φφφφmed] é quadrada de ordem 3. Calculada [φφφφmed], proceder-se-á como anteriormente, calculando-se [φφφφmed]sim e [φφφφmed]ant. A solução exposta, como a anterior, não está respaldada por um critério convincente de que a matriz calculada seja realmente a que melhor se adapte às medidas realizadas. No Tomo II, quando pudermos recorrer às derivadas, faremos essa comprovação.

Um exemplo numérico Aos dados do exemplo numérico apresentado (três vetores a’s linearmente independentes) vamos juntar o novo par de medidas dos vetores: amed4 ≡ (2,07; 2,91; 1,02) e bmed4 ≡ (3,80; -5,15; 5,30), caso em que M = 4 e 1 ≤ N ≤ 4. Então,

=1,021,940,99-1,02

2,911,050,970

2,0702,020,97

[A] ,

=5,303,212,825,25

5,15-4,08-1,030

3,806,603,94-1,90

[B] .

Logo, considerando (071):

=825,6045,4101,1

045,4512,10983,7

101,1983,79,306

[A].[A] T ,

−−−

−=

246,0208,0149,0208,0449,0361,0

149,0361,0399,0([A].[A]) 1- ,

−−−=

197,14529.21760,21188,14271,18580,8519.22166.14750.1

]A].[B[ T e

−−−

−=

260,2131,1041,3

968,0160,2045,1

848,2047,1047,1

][ medφφφφ .

A matriz que melhor se ajusta ao conjunto das quatro medidas, [φφφφmed]sim, e sua incerteza, [Inc φφφφmed]=[φφφφmed]ant, são, então:


IV, §19.01

−−−

−=

260,2049,1945,2

049,1160,2046,1

945,2046,1047,1

][ simmedφφφφ e

−−

−=

0082,00,097

082,000,0007

097,00,00070

] [Inc medφφφφ , (17).

A matriz obtida, [φmed]sim, pode ser comparada com a matriz não perturbada (05) levando-se em conta os percentuais de perturbação praticados (até 5% para os a’s e até 7% para os b’s).

Resumo e conclusões

Sendo certo que a lei representativa do fenômeno em estudo é do tipo linear: b = φφφφ . a, com φφφφ = φφφφT, pretende-se determinar a matriz simétrica associada ao diádico φφφφ em relação a uma base escolhida. Para isso é necessário que sejam efetuadas as medidas de três pares de vetores correspondentes (b, a), cada par relativo a um ponto do domínio em que ocorre o fenômeno, com a condição adicional de que os vetores a’s sejam linearmente independentes. Seguindo-se, então, o roteiro apresentado, chega-se à matriz solução do problema.

Ora, existindo incerteza nas medidas efetuadas para se determinarem os vetores, existirá também uma incerteza na matriz calculada associada à grandeza φφφφ. Podemos conhecer as incertezas com que são medidos os vetores, pois estas são funções dos métodos e instrumentos utilizados para as determinações; mas não dispomos ainda de argumentos que permitam correlacionar a incerteza de φφφφmed com as incertezas dos amed’s e dos bmed’s. Os valores obtidos para [φmed]sim mostram que seus elementos podem estar determinados com incerteza aproximadamente igual à soma das incertezas dos vetores, mas isso poderá não ser válido se as incertezas dos vetores forem maiores. Uma estimativa da incerteza de φφφφmed pode ser obtida pela diferenciação de (07), assunto que será discutido no Tomo II.

APÊNDICE (do referido artigo)

Para provar que [A].[A]T é regular basta expressar os quatro vetores a’s na base definida pelos três primeiros. Nesse caso, se a1, a2, a3 é o sistema recíproco de a1, a2, a3, então

=3

4

24

14

.100

.010

.001

[A]

aa

aa

aa

e

++

+=

234

34

24

34

14

34

24

224

24

14

34

14

24

14

214

T

)(1))(())((

))(()(1))((

))(())(()(1

[A].[A]

.aa.aa.aa.aa.aa

.aa.aa.aa.aa.aa

.aa.aa.aa.aa.aa

.

Calculando o determinante de [A].[A]T encontra-se o valor

1+(a4.a1)2+(a4.a

2)2+(a4.a3)2,

trivialmente diferente de zero. No caso de dispormos de cinco ou mais medidas poderíamos demonstrar a não nulidade do determinante de A.AT seguindo caminho idêntico, não sem um trabalho substancial a mais.

*

§19.02 – Leis do tipo: β= 4φ:α, ou diádico=tetrádico : diádico 289


§19.02 – Leis do tipo: β= 4φφφφ:α, ou diádico=tetrádico : diádico

Sobre as leis físicas do tipo β= 4φφφφ:α Se substituirmos no §19.01 o vetor a pelo diádico αααα, o vetor b pelo diádico ββββ, o diádico φφφφ pelo tetrádico 4φφφφ e o símbolo operatório (.) por (:) obteríamos as leis:

ααααββββ K = e ααααφφφφββββ 4 := , (01),

onde K é uma grandeza escalar e 4φφφφ uma grandeza tetrádica (ou tensorial de ordem 4), ambas não dependentes de αααα, nem de ββββ. Em geral αααα e ββββ são funções de ponto e o domínio D onde estão definidas constituí campo delas. As grandezas K e 4φφφφ são características de um material que ocupe o volume definido por D, sendo, em geral, constantes, podendo ser, em algumas situações, funções do tempo. Nesses casos a lei (01) constitui uma transformação linear de αααα em ββββ (§09.06). Escolhida uma base vetorial para referir D, as leis (01) podem ser expressas matricialmente uma vez que a cada um dos poliádicos nela presentes é possível associar uma matriz (§03.04); a operação matricial a utilizar-se é a multiplicação dupla (§06.02). Se da base vetorial gera-se uma base diádica (§09.02), pode-se também referir os poliádicos a essa base; o que acarretará uma matriz coluna associada aos diádicos e uma matriz quadrada ao tetrádico. Nesse caso a operação entre as matrizes correspondentes em (01) é a multiplicação matricial ordinária. Na maioria dos casos os diádicos presentes nas leis físicas apresentam simetria interna (§02.05, III, Vol. I). Os tetrádicos, além de apresentar simetria interna (§15.03), apresentam também simetria externa em relação a eixos (§16.01) ou a planos (§16.02). Isto imputa características especiais a esses poliádicos, logo também às suas matrizes Possivelmente a lei mais conhecida do tipo (01) é a chamada lei de Hooke generalizada na teoria da elasticidade. O tetrádico que define esta lei é o tetrádico de Green (§15.03) que é: 1) - internamente simétrico por jusante, montante e simétrico, conforme ((29), §15.03); 2) – e tem alguma simetria externa, o que acarreta igualdade de algumas de suas coordenadas. Os diádicos: αααα e ββββ, são os tensores (internamente simétricos) de tensão e deformação. Todo o raciocínio desenvolvido no §19.01 pode ser desenvolvido aqui também com as devidas mudanças. Disporemos das matrizes representativas de medidas diversas dos pares correspondentes αααα e ββββ (na lei de Hooke) em relação a alguma base vetorial (ou da base diádica gerada da vetorial) com a pretensão de determinar a matriz relativa ao tetrádico que melhor se ajuste ao conjunto de todos os pares (αααα ,ββββ) medidos. Poderemos, mais uma vez, conforme o exposto em §09.01, simular o estudo considerando medidas certas dos pares e depois, medidas incertas (com perturbações conhecidas). Na prática desconhecemos os valores certos. Algum método pode estar disponível para a determinação da grandeza αααα e outro para a sua correspondente, ββββ, pelos quais, possivelmente, poderemos gerar um modo de avaliar as incertezas correspondentes40. Com isso garantimos apenas que, com alguma probabilidade de acerto, os valores verdadeiros das coordenadas dos diádicos medidos possam estar situados dentro de intervalos

40 Ruggeri, E. R. F., Uma tentativa de cálculo da incerteza do tensor de tensões medido pelo método das almofadas, CBdB - Congresso Brasileiro de Barragens, Goiânia, 2005.

290 §20 – Sobre as leis físicas não lineares.

IV, §20.01

conhecidos. Em resumo: com as medidas realizadas deveremos calcular uma medida para o tetrádico; e com as incertezas das medidas dos diádicos calcular a incerteza associada ao tetrádico calculado.

§20 – SOBRE AS LEIS FÍSICAS NÃO LINEARES

§20.01 - Isotropias Os poliádicos simétricos isotrópicos (psi) têm muita utilidade para expressar as equações constitutivas de um material, ou seja, equações que correlacinem duas variáveis do campo definido por certa massa desse material. As formas expostas anteriormente estabelecem transformações lineares entre as grandezas envolvidas, sendo, evidentemente, formas particulares de expressão. Com os mesmos poliádicos e suas simetrias internas e externas é possível estabelecer formas não lineares, ou seja, equações que estabeleçam, em particular, transformações quadráticas entre duas variáveis vetoriais e duas variáveis diádicas, podendo ser escritas nas formas gerais:

vv:v.au 3φφφφφφφφ ++= e εεεεεεεεεεεεεεεεσσσσ 4640 .H:H ++= , (01),

em que a letra εεεε0 denota um diádico constante, a vetor constante, u, v vetores variáveis, εεεε0 denota o diádico constante, σσσσ e εεεε diádicos variáveis e φφφφ, 3φφφφ, 4H e 6H poliádicos constantes ou, em muitas questões, variáveis com o tempo. É evidente que as transformações lineares são casos particulares. Deve ser observado que na expressão de σσσσ em (01) não aparecem poliádicos de valência ímpar. Uma expressão geral para estabelecer a dependência de σσσσ com εεεε é

εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεφφφφεεεεαααα 46453534430 .... HaHaHF:Ha:H. +++++++= , (02),

que não acrescenta mais generalidade que a indicada em (01). De fato, a segunda parcela representa uma relação linear com εεεε, mas não expressa que cada coordenada de σσσσ é uma combinação linear de todas as coordenadas de εεεε, o que está expresso pela quarta parcela. A terceira parcela é de forma idêntica à segunda, pois 3H : aεεεε= a. 3H . εεεε e a. 3H é um diádico. A sexta parcela não deve ser contemplada porque é sempre possível reduzi-la à forma 4F:εεεε.

A sétima parcela é equivalente à quinta porque εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε 343545... GH.aaH == , devendo,

por isso, ser descartada. Podemos escrever a equação de valor diádico em (01) na forma ainda mais ampla seguinte, onde só aparecem poliádicos de valência par, além dos diádicos σσσσ, εεεε e H:

321fatores 1-H

1)2(H

H281068464 ... ... ... +++++++= εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεσσσσ -

.... HHHH:HH , (03).

A questão física do problema está em determinar os poliádicos constantes em (03) – todos, exceto σσσσ e εεεε - para que a equação traduza adequadamente o comportamento de um material

§20.01 – Isotropia 291


frente à ação de estímulos (campos de forças, campos magnéticos, campo de temperaturas etc.); ou para que a equação possa representar as relações entre as variáveis em algum fenômeno. Considerações físicas de várias naturezas estabelecem diretrizes para se determinarem os tipos de simetria (internas e externas) dos poliádicos envolvidos nas equações (03). Não é tarefa simples estudar e discutir todas essas possibilidades com as equações quadráticas, tão pouco como na forma mais geral (03). Como visto, quando o modelo linear é satisfatório para representar o comportamento de algum material, o tetrádico 4H – representando alguma propriedade do material - pode assumir diferentes formas; uma delas é relativa à isotropia. Nesse caso, o tetrádico deve ser similar a si próprio em qualquer rotação (qualquer eixo é um eixo de simetria), decorrendo disso (§16.02) sua representação na forma de uma combinação linear de 4I e seus dois isômeros (§07.01 e §08). O mesmo critério pode ser aplicado quando 2H pode ser expresso como uma potência inteira de dois (2H=2P, como H=4, P=3 ou H=8 e P=4 etc.) porque 2QH

seria similar a ele próprio mediante um poliádico de rotação ΩΩΩΩH2 (§14.06), mas as demais parcelas em (03), com H ímpar, não podem ser consideradas. Interessando um modelo apenas quadrático, por exemplo, caso em que além de H=2 se deve também considerar a parcela relativa a H=3, a questão não tem solução pelo caminho atrás indicado. Um caso que apresenta muita aplicação é aquele, que discutiremos em seguida, em que as variáveis σσσσ e εεεε devam conservar os mesmos autovetores, como acontece nos modelos lineares, a despeito dos termos quadráticos. Nesse caso, a seguinte proposição vai nos ajudar na solução do problema.

Teor. 1: Se dois diádicos diagonalizáveis têm os mesmos autovetores, o produto ponteado deles é comutativo.

De fato, pois podem ser escritos nas formas espectrais Aieie

i e Bjejej, tornando-se

evidente a igualdade do produto deles, Ai Bi eiei, em qualquer ordem.

Apliquemos o Teor. 1 à expressão (03) impondo a condição de que σσσσ e εεεε tenham os mesmos autovetores qualquer que seja εεεε. Tem-se, pré e pós multiplicando ambos os membros por εεεε e subtraindo-se membro a membro as expressões obtidas:

321

vvr

rrr

fatores 1-H

1)2(H

1H2H28110106188

41661441

... ... ).(... ).( ).(

).( ).().(222

222

+−++−+−+

+−+−+−=

εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε

εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεΟΟΟΟ-

...

.

HHHHHH

HH:HHHH

Como εεεε é arbitrário a nulidade da expressão exige que H2H = 212Hr

H para H=1,2,3,4, .... , o que implica σσσσ=σσσσT e, consequentemente, εεεε=εεεεT porque ambos os diádicos devem ter os mesmos autovetores. Assim, por ser H constante, a primeira parcela implica que H=σ0I . A segunda parcela diz que o tetrádico 4H deve ser simétrico por montante e jusante; a terceira parcela diz que 6H deve ser simétrico por montante, por jusante e pelo centro; etc. Sendo,


IV, §20.01

ainda, σσσσ:εεεε=εεεε:σσσσ (com ambos os diádicos simétricos), (03) acarreta:

... )( )( 0 6

T664

T44 +−+−= εεεεεεεεεεεεεεεεεεεε .. HHHH ,

ou seja, que além das simetrias já referidas, todos os poliádicos em (03) são simétricos. Tendo em vista as aplicações, vamos considerar (03) com apenas três parcelas (modelo quadrático), substituir o tetrádico e o hexádico envolvidos pelos poliádicos isotrópicos de mesma valência (§08.01 e §09.02), e impor as condições de simetria. Assim,

H será substituído por σ0I , (04),

4H por 33 24144 C B A rr

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ ++ e, lembrando a tabela apresentada no §16.03, 6H por

B1( ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ )+B2 ) ( 4ΙΙΙΙΙΙΙΙ +B3 )) (( 1s

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ +B4 ( ΙΙΙΙΙΙΙΙ 4 )+B5 314 ) (s

ΙΙΙΙΙΙΙΙ +B6 ( 211) rr

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ +B7 ( ΙΙΙΙΙΙΙΙ 214r

)+

+B8 +ΙΙΙΙ6

+ B9 ( 23126rr

ΙΙΙΙ )+B10 23114 ) (rs

ΙΙΙΙΙΙΙΙ +B11 ( 216r

ΙΙΙΙ )+B12 ( 316s

ΙΙΙΙ )+B13 ( 1) r

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ )+B14 ( 326r

ΙΙΙΙ )+B15( 23116rs

ΙΙΙΙ ).

Devendo ser H2H = 212Hr

H , obtém-se:

- para H=2: 33 24144 C B) (A rr

ΙΙΙΙΙΙΙΙ ++=H , (05),

uma vez que 2323 1414114rrrr

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ == e 323 24124 rrr

ΙΙΙΙΙΙΙΙ = ; - para H=3:

6H = B1( ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ )+B2 ) ( 4ΙΙΙΙΙΙΙΙ +B3 )) (( 1s

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ +(B4 +B7)( ΙΙΙΙΙΙΙΙ 4 )+(B5+B10) 314 ) (s

ΙΙΙΙΙΙΙΙ +

+(B6+ B13) ( 1) r

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ +(B8+B11) +ΙΙΙΙ6 (B9 +B14 )( 326r

ΙΙΙΙ )+(B12+B15) ( 316s

ΙΙΙΙ ), (06),

porque, por força das simterias, devem ser:

III ) ( 23 124 =rr

ΙΙΙΙΙΙΙΙ , 214 ) (r

ΙΙΙΙΙΙΙΙ = ΙΙΙΙΙΙΙΙ 4 , 114114 ) ( ) ( 222

swvw

IIIIIII == , etc.

A substituição desses valores de 4H e 6H, dados por (05) e (06), em (03), gera diádicos parcelas paralelos a I , a εεεε, e a εεεε.εεεε=εεεε2, multiplicados por coeficientes que ou são constantes, ou são funções de invariantes de εεεε. De fato, pois para os tetrádicos tem-se:

εεεεεεεεΙΙΙΙ =:4 , εεεεεεεεεεεεΙΙΙΙ == T14 :3

r

, εεεεεεεεεεεεΙΙΙΙΙΙΙΙεεεεΙΙΙΙ )( E24 3 == ::r

;

e para os hexádicos:

ΙΙΙΙεεεεεεεεεεεεΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ 2E

4 )( =. , 244 ||||||) ( εεεεΙΙΙΙεεεεΙΙΙΙεεεεεεεεΙΙΙΙΙΙΙΙ ==. , 241 |||||| ) ( εεεεΙΙΙΙεεεεΙΙΙΙεεεεεεεεΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ ==.

s

,

εεεεεεεεεεεεεεεεΙΙΙΙΙΙΙΙ E44 =. , 2414 ) ( 3 εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεΙΙΙΙΙΙΙΙ == ..

s

, 241 ) ( 4 εεεεεεεεεεεεΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ =.

r

, 246 εεεεεεεεεεεεΙΙΙΙ =. , 2426 3 εεεεεεεεεεεεΙΙΙΙ =.

r

, εεεεεεεεεεεεεεεεΙΙΙΙ E416 3 =.

s

.

§20.01 – Isotropia 293


Então, agrupando e substituindo relações entre constantes por novas constantes, obtemos a forma final de expressão de σσσσ em função de εεεε:

26E543

2 E2E10 S)SS(||)||SSS( εεεεεεεεεεεεΙΙΙΙεεεεεεεεεεεεσσσσ ++++++σ= , (07),

com um total de seis coeficientes.

A expressão (07) deve ser suficiente para satisfazer muitas necessidades físicas.

Podemos observar, de passagem, que a consideração de (04) e (05) leva-nos à lei linear ΙΙΙΙεεεεεεεεΙΙΙΙσσσσ E0 )BA( C++=σ− , ou, o que é o mesmo, na forma conhecida em

Elasticidade ΙΙΙΙεεεεεεεεΙΙΙΙσσσσ E0 2 λ+µ=σ− , (08),

com λ e µ constantes.

Seguindo a mesma linha de raciocínio, poderíamos introduzir os isômeros do octádico unidade em nossos cálculos, para expressar o diádico σσσσ na forma de um polinômio do terceiro grau em εεεε com coeficientes semelhantes aos da equação (07), mas certamente mais complicados. Como εεεε satisfaz a equação de Cayley-Hamilton, que é do terceiro grau, poderemos substituir o termos deste grau por um novo polinômio do segundo. Assim, reduziremos o polinômio do terceiro grau, obtido na primeira operação, a um polinômio do segundo grau com novos coeficientes (cada coeficiente sendo, ainda, função dos invariantes de εεεε e suas potências).

O problema agora consiste na determinação das constantes S, a partir da equação (07), supondo conhecidos pares (σσσσ, εεεε) na menor quantidade possível.

É fácil ver, analizando as matrizes dos sistemas passíveis de serem formados, que algumas alternativas são descartáveis:

1 - Apenas um par (σσσσ, εεεε), expressos cartesianamente em relação aos autovetores, é insuficiente porque só forneceria três equações, logo apenas três para a matriz do sistema (as outras três linhas seriam nulas). Se o par fosse expresso em bases quaisquer a matriz formada ainda teria determinante nulo, pois suas três primeiras colunas seriam iguais (bastando, para comprovar, evidenciar εεεεE na primeira coluna, seu quadrado na segunda e ||εεεε|| na terceira).

2 - Com os autovalores primários (escalar, escalar do segundo e terceiro) poder-se-ia obter três equações e com cada um dos autovetores, outras três equações que determinariam as seis linhas da matriz. Mas estas seis equações não seriam independentes porque, por exemplo, a equação relativa à tomada de escalar forneceria uma linha para a matriz que seria a soma das três linhas relativas às equações correspondentes aos autovetores.

3 – Tomar os escalares de seis pares de medidas é insuficiente porque a primeira coluna da matriz do sistema seria proporcional à quarta, a segunda à quinta e a terceira à sexta.

Seja (σσσσ(1), εεεε(1)) um par que deva satisfazer a (07). Tendo eles os mesmos autovetores e denotando seus autovalores com índices em romano, pode-se escrever:


IV, §20.02

=

−

−

−

6

5

4

3

2

1

2(1)III

(1)III

(1)E

(1)III

(1)2(1)E

(1)E

2(1)II

(1)II

(1)E

(1)II

(1)2(1)E

(1)E

2(1)I

(1)I

(1)E

(1)I

(1)2(1)E

(1)E

0(1)

III

0(1)

II

0(1)

I

S

S

S

S

S

S

.

)(εεεε||ε||)(εε



σσ

σσ

σσ

,

sistema insuficiente para a resolução problema.

Não é difícil comprovar que, para dois pares, a matriz do sistema é degenerada, tornando-se necessária a consideração de mais um par que satisfaça (07). O novo sistema,

agora com nove equações, pode ser escrito na forma compacta: 16

69

19 S.]m[ =σ em que

as matrizes têem significado evidente. A matriz [m] poderá ter posto 6, sendo extremamente trabalhoso estabelecer a priori as condições para que isso aconteça. Nesse caso a 6x6, [m]T.[m], será invertível, sendo, então:

.]m.[])m.[]m([S T1T σ= − .

§20.02 - Anisotropias

Na lei ((07),§20.01), como imposto, os diádicos σσσσ e εεεε têm os mesmos autovetores, traduzindo a isotropia da relação entre eles. Em outras palavras, isto significa que se n é um autovetor de εεεε, os vetores que se obtêm multiplicando ponteadamente ambos os membros da expressão da referida lei por este vetor, são vetores paralelos a n .

A introdução de alguma parcela no segundo membro desta lei, definida por algum diádico simétrico, P, que não tenha os mesmos autovetores que εεεε, significa que σσσσ. n poderá ser paralelo a n se σσσσ e εεεε tiverem n como autovetor comum, mas n não mais é paralelo ao vetor calculado no segundo membro. A presença de P na expressão da lei destroi a isotropia antes existente, logo, expressando anisotropia.

Vamos então estudar, no estilo dos poliádicos, uma forma de traduzir a anisotropia, apresentada por Sedov41 que a atribui a M. Feigen. Seja S um diádico simétrico com autovalores distintos A, B e C e autovetores unitários correspondentes i , j e k . Com esses

autovetores gera-se a base diádica ortonormada

)ˆˆˆˆ(2

1ˆ ),ˆˆˆˆ(

2

1ˆ ),ˆˆˆ(

2

1ˆ ,ˆˆˆ ,ˆˆˆ ,ˆˆˆ 654321 kiikjkkjijjikkjjii +=+=+==== µµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµ

em relação à qual S e um segundo diádico simétrico, P, com autovetores não todos coincidentes com os de S, podem ser escritos nas formas:

41 Segundo Sedov, L. I., Foundations of the Non-Linear Mechanics of Continua, Pergamon Press, 1965, section I.6 (Library of Congress Catalog Card no. 64-23713), o processo é devido a Feigen, M., Inelastic behaviour under combined tension or torsion, Proc. 2nd U. S. Nat. Congr. Appl. Mech (1954).

§20.02 - Anisotropias 295


321 ˆCˆBÂ µµµµµµµµµµµµ ++=S e 654321 ˆZˆYˆXˆzˆyˆx µµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµ +++++=P .

O conjunto de seis diádicos simétricos: I , S, S2, P, S.P+P.S, S2.P+P.S2 constitui uma base para o espaço. De fato, sendo 3

22

21

22 ˆCˆBÂ µµµµµµµµµµµµ ++=S ;

654321 ˆCZˆBYÂXˆCz2ˆBy2Âx2 µµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµ +++++=+ P.SS.P

62

52

42

32

22

1222 ˆ ZCˆYBˆXAˆzC2ˆyB2ˆxA2 µµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµ +++++=+ P.S.PS

pode ser montada a matriz M, 6x6, associada ao conjunto (§09.01). Disponhamos na primeira coluna as coordenadas de I , na segunda as coordenadas de S e nas demais colunas, as coordenadas dos diádicos na ordem estabelecida no conjunto. Disponhamos essas coordenadas por linhas, em cada coluna, na ordem 11, 22, 33, 12, 23 e 31. Tem-se, então:

=

ZCCZZ000

YBBYY000

XAAXX000

zC2Cz2zCC1

yB2By2yBB1

XxA2Ax2xAA1

]M[

2

2

2

22

22

22

,

que pode ser posta na forma:

=

3x33x3

x333x3

[B]]0[

]A[[V]]M[ ,

em que

=

2

2

2

CC1BB1AA1

]V[ ,

=zC22Czz

yB22Byy

xA22Axx

]A[2

2

2

e

=

ZCCZZYBBYYXAAXX

]B[2

2

2

,

a expressão de [A] não tendo significado para o cálculo do determinante de [M]. De fato, aplicando para isso o teorema de Laplace, obtém-se: [B]det[V].detdet[M] = . O

determinante de [V] é do tipo Vandermonde, sendo: det[V]=(C-A)(A-B)(B-C). Evidenciando o fator comum X aos elementos da primeira linha de det[B], Y aos elementos da segunda e Z aos da terceira, virá:

det[B]=X Y Z δ,

sendo: δ=det[V]. Em resumo:

det[M]= X Y Z (C-A)2 (A-B)2 (B-C)2,

com det[M]≠0 se X ≠0, Y ≠0 e Z≠0 (os autovalores de S são simples por hipótese).


IV, §20.02

Seja sss ˆˆP rrP = (soma em s) a representação espectral do diádico simétrico qualquer,

P. Se det[M]=0 por ser, digamos, X = 0, ou seja, se 0ˆˆˆ 4 == j.P.iP:µµµµ , então:

0)ˆ)(ˆ(P sss =j.r.ri . Se nenhum dos Ps é nulo, em cada parcela da soma indicada (em s) deve

haver um fator nulo para que a soma se anule. Assim, na primeira parcela deverá ser: 0ˆ

s =.ri , ou 0ˆs =j.r , caso em que, correspondentemente, sr deve ser paralelo ao plano

( kj ˆ,ˆ ), ou paralelo ao plano ( ik ˆ,ˆ ), qualquer que seja s. Deduziríamos o mesmo resultado se

Y =0, ou se Z=0. Em resumo: se det[M]=0 (e os Ps não nulos), um autovetor de P deve ser paralelo a um dos planos definidos pelos autovetores de S. Como os diádicos são simétricos e seus autovetores são ortogonais entre si, todo autovetor de P é paralelo ao plano de dois dos autovetores de S. Se, digamos X=0=Y, então 0)ˆ)(ˆ(P sss =j.r.ri e 0)ˆ)(ˆ(P sss =k.r.ri . Pela primeira

condição, como visto, sr deve ser paralelo ao plano (kj ˆ,ˆ ), ou paralelo ao plano ( ik ˆ,ˆ ),

qualquer que seja s. Pela segunda, sr deve ser paralelo ao plano (ik ˆ,ˆ ), ou paralelo ao plano

( ji ˆ,ˆ ). Então, necessariamente, algum sr deve ser paralelo a um autovetor de S porque deve

ser paralelo a um par de planos definido pelos autovetores de S. Assim, dados dois diádicos simétricos e completos P e S, qualquer diádico do espaço diádico simétrico pode ser decomposto em relação à base definida por I , S, S2, P, S.P+P.S, S2.P+P.S2. Esta base é não ortonormada, podendo ser determinado seu sistema recíproco I *, S*, S2*, ... para que as coordenadas de um diádico simétrico qualquer, φφφφ, possam ser calculadas por aplicação da fórmula geral de decomposição cartesiana (§09.01):

φφφφ=(φφφφ:I *)I+(φφφφ:S*)S+(φφφφ:S2*)S2+(φφφφ:P*)P+ ... ., (01).

As linhas de [M]-1 definem as coordenadas dos diádicos da base recíproca em

relação à base vetorial i , j , k , devendo ser lembrado que elementos fora da diagonal

principal devem ser divididos por 2 . Denotando-se então por m(i) a matriz 3x3 a ser formada com os elementos da i-ésima linha de [M]-1 e por m(i)

jk o elemento da j-ésima linha e k-ésima coluna de m(i), tem-se:

=

33)i(

23)i(

13)i(

23)i(

22)i(

12)i(

13)i(

12)i(

11)i(

)i(

m2/m2/m

2/mm2/m

2/m2/mm

m ,

- Para i=1 encontra-se:

)a)(cb(a

bcm 11

(1)

−−−= ,

)cb)(ba(

cam 22

)1(

−−= ,

)cb)(ac(

abm 33

)1(

−−−= ,



)]ba)(x2z(ab)ac)(x2y(ac)cb(bcx[X)cb()ac()ba(

bcm

2212)1( −−+−−+−−

−−−= ,

)]cb)(y2x(bc)ba)(y2z(ab)ca(acy[Y)ca()cb()ba(

acm

2223)1( −−+−−+−

−−−−=

Z)cb)(ac(

1m 13

)1(

−−= ;

para i=2:

)ac)(ba(

cbm 11

)2(

−−+= ,

)ac)(ba(

acm 22

)2(

−−+= ,

))cb)(ac(

bam 33

)2(

−−+=

X)cb()ac()ba(

)]yx(c)zx(b[bc)]zy(bc)cb(x2[a)cb)(cb(ax2m

22

222222

12)2(

−−−+−++−+−++−−=

Y)cb)(ac()ba(

)]xz(b)yx(cbcy2[ac)]zy(cby2[a)ac)(cb(by2m

22

22322

23)2(

−−−−+++−+++−−−−=

Z)cb()ac)(ba(

)]zy(bcz2[a)]zx(bbcz2)xy(c[ab)cb)(ab(cz2m

22

32222

31)2(

−−−++−+++−−−−−=

para i=3:

33)3(

22)3(

11)3( mm0m === ,

X)ac)(ba(

bcm 12

)3(

−−−= ,

Y)cb)(ba(

cam 23

)3(

−−−= ,

Z)cb)(ac(

abm 31

)3(

−−−=

para i=4:

33)4(

22)4(

11)4( mm0m === ,

X)ac)(ba(

bcm 12

)4(

−−−= ,

Y)cb)(ba(

cam 23

)4(

−−−= ,

Z()cb)ac(

bam 31

)4(

−−+−=


IV, §20.02

para i=5:

33)5(

22)5(

11)5( mm0m === ,

X)ac)(ba(

cbm 12

)5(

−−+= ,

Y)cb)(ba(

acm 23

)5(

−−+= ,

Z)cb)(ac(

bam 31

)5(

−−+=

para i=5:

33)5(

22)5(

11)5( mm0m === ,

X)ac)(ba(

cbm 12

)5(

−−+= ,

Y)cb)(ba(

acm 23

)5(

−−+= ,

Z)cb)(ac(

bam 31

)5(

−−+=

para i=6:

33)6(

22)6(

11)6( mm0m === ,

X)ac)(ba(

1m 12

)6(

−−−= ,

Y)cb)(ba(

1m 23

)6(

−−−= ,

Z)cb)(ac(

1m 31

)6(

−−−=

Numericamente, por lado, o problema é relativamente fácil de ser resolvido uma vez que a inversa de [M] pode ser calculada com o uso de um programa computacional adequado. O procedimento para a montagem das matrizes (numéricas) é análogo ao exposto. Exemplo:

Seja kkjjiiS ˆˆ4ˆˆ3ˆˆ ++= a expressão espectral de S e

−−−

−=

211

121

112

]P[ a

matriz associada certo diádico P na base ˆ,ˆ,ˆ kji . Em relação à base diádica ortonormada

definida pelos iµµµµ as coordenadas de P são: X'=2, Y'=2, Z'=2, 2 Ze Y2X ==−= .

A matriz associada ao conjunto I , S, S2, P, S.P+P.S, S2.P+P.S2 na base diádica µµµµ é regular, sendo :



−−−−−−=

217252000225272000210242000

64162164136122931442111

]M[ ,

−−−

−−−−

−−−

−−−−

=−

22

1

26

1

23

1000

22

5

26

7322

000

2

5

2

3

2

1000

23

2

3

22

3

1

2

1

6

1

253

27

3

28

3

4

2

5

6

725232122

]M[ 1

e det[M]=72 2 . Assim, em relação à base vetorial:

−−−−−−−

=∗

135

321

512

][ΙΙΙΙ , [ ]

−

−=∗

34375

372538

53867

S , [ ]

−−−−−−−

=∗

1311

312132

132612S ,

[ ]

=∗

02325

23021

25210

P ,

[ ]

−−−−−−

=+ ∗

012745

127032

45320

)..( SPPS e [ ]

=+ ∗

012141

121061

41610

)..( 22 SPPS .

Por simples inspeção das matrizes literais e numéricas verificam-se as seguintes propriedades (conhecidas da teoria):

1 – Os traços de todas as matrizes são iguais a zero porque estes representam os duplos produtos ponteados do diádico unidade da base original por todos os diádicos da base recíproca; é excessão o traço de I * que deve ser igual a 1.

2 – Por serem recíprocas as bases, os duplos produtos ponteados de cada diádico de uma base pelo seu homólogo são iguais a um e pelos não homólogos são iguais a zero.

* Para completar o exemplo vamos determinar as coordenadas do diádico φφφφ em relação à base diádica, conhecendo-se sua matriz associada

=φ

104013431

][ em relação à base ˆ,ˆ,ˆ kji .


IV, §20.02

Vem, então:

45

135

321

512

104

013

431

−=

−−−−−−−

=∗ ::ΙΙΙΙφφφφ , 56 =∗S:φφφφ , 12 2 −=∗S:φφφφ , 23 −=∗P:φφφφ ,

14) ( −=+ ∗SP.P.S:φφφφ , 3) ( 22 =+ ∗SP.P.S:φφφφ . Assim:

)(3)(1423125645 222 P.S.PSP.SS.PPSS +++−−−+−= ΙΙΙΙφφφφ ,

expressão que pode ser vericada matricialmente considerando as matrizes dos diádicos

expressos na base vetorial ˆ,ˆ,ˆ kji . Além das matrizes de S, P e I tem-se também:

=1600

090

001

]S[ 2 ,

−−−

−=+

1675

7124

544

]P.SS.P[ ,

−−−

−=+

642517

253610

17104

]P.S.PS[ 22 .

*

Retomaremos oportunamente o problema em estudo com a consideração de outras questões e conceitos, especialmente: funções poliádicas, das quais expressões como ((08),§20.01) e (01) são casos particulares, derivadas dessas funções, e campo de poliádicos, assuntos a serem abordados nos Capítulos 6 e 7 do Tomo II (vol. III).

Apêndices 301


APÊNDICES

TABELA 1

AS ISÔMERAS DE UMA TRÍADE E UMA TÉTRADE

ESCRITA DAS ISÔMERAS DIRETAS

Tetrádica Triádica Diádica Vetorial

_ r3 φφφφ ααααc=aββββ abc

_ r r r s s r3 1 3 2 3 12φφφφ φφφφ φφφφ= = ββββ a b c a

_ r r r s s s3 2 3 1 3 12φφφφ φφφφ φφφφ= = cα c a b

r4 φφφφ a d

r r3 3ψψψψ φφφφ=

αααα γγγγ a b c d

r r r r4 1 4 3φφφφ φφφφ=

r3 ψψψψ a ββββ δδδδ b c d a

r r r s4 2 4 2φφφφ φφφφ= _ γγγγ αααα c d a b

r r r s4 3 4 1φφφφ φφφφ= d 3

r

φφφφ δδδδ ββββ d a b c

r r4 12φφφφ

r r s s3 1 3 22φφφφ φφφφ d d= αααα γγγγT

b a c d

r r4 13φφφφ

r r3 1φφφφ d ββββ δδδδ T

b c a d

r r4 23φφφφ

r r3 2φφφφ d c d αααα c a b d

r s4 12φφφφ a

r s3 12ψψψψ αααα γγγγ T

a b d c

r s4 13φφφφ a

r s3 1ψψψψ δδδδ ββββT

a d b c

r s4 23φφφφ

a r r3 1ψψψψ

a b γγγγ

a c d b

r r s4 1 13φφφφ

d a r r r s3 1 3 1φφφφ ψψψψ=

d a ββββ d b c a

r r s4 1 12 3φφφφ _ _ b d a c

302 Apêndices.

IV, Apêndices

TABELA 2

AS ISÔMERAS DE UMA TRÍADE E UMA TÉTRADE

ESCRITA DAS ISÔMERAS REVERSAS

Tetrádica Triádica Diádica Vetorial

_ s3 φφφφ c aαααα ββββT T= c b a

_ s s s r r s

3 1 3 2 3 12φφφφ φφφφ φφφφ= = a Tββββ a c b

_ s s s r r r3 2 3 1 3 12φφφφ φφφφ φφφφ= = αααα Tc b a c

s4 φφφφ d a

s s3 3φφφφ ψψψψ= ββββ γγγγT T

d c b a

s s s r4 1 4 3φφφφ φφφφ= a

s3ψψψψ δδδδ ββββT T

a d c b

s s r r4 2 4 2φφφφ φφφφ= _ αααα γγγγT T

b a d c

s s s r4 3 4 1φφφφ φφφφ=

s3φφφφ d ββββ δδδδT T

c b a d

s s4 12φφφφ d d 3 3

s s r r

φφφφ φφφφ1 22 = γγγγ ααααT d c a b

s s4 13φφφφ d 3

s s

φφφφ 1 δδδδ ββββ T

d a c b

s s4 23φφφφ d 3

s s

φφφφ 2 d c Tαααα d b a c

s r4 12φφφφ

s r3 12ψψψψ a γγγγ αααα T

c d b a

s r4 13φφφφ

s r3 1ψψψψ a ββββ δδδδT

c b d a

s r4 23φφφφ

s s3 1ψψψψ a b a Tγγγγ b d c a

s s r4 1 13φφφφ a d 3

s r r s

ψψψψ φφφφ1 3 12= a d Tββββ a c b d

s s r4 1 12 3φφφφ _ c a d b

Apêndices 303


TABELA 3

TABUADA DO UM

2R

T 2Q ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ.

(empregando fórmulas do §08.04)

2Q

2R T 2 4 6 8 10 12

2 1 2 ΙΙΙΙ 4 ΙΙΙΙ

6 ΙΙΙΙ 8 ΙΙΙΙ


2 3 2 ΙΙΙΙ 4 12ΙΙΙΙr

6 1

3ΙΙΙΙr

8 1

4ΙΙΙΙr

10 1

5ΙΙΙΙr

4 1 4 ΙΙΙΙ 3124 ) (s

ΙΙΙΙΙΙΙΙ 8 4

6ΙΙΙΙr

= 4 ΙΙΙΙ 4 ΙΙΙΙ

10 57ΙΙΙΙr


12 68ΙΙΙΙr


14 79ΙΙΙΙr

= 4 ΙΙΙΙ 10ΙΙΙΙ

2 2 ΙΙΙΙ 4 ΙΙΙΙ



3 - 32 ΙΙΙΙ 4 ΙΙΙΙ 6 12ΙΙΙΙs

8 2

3ΙΙΙΙs

10 3

4ΙΙΙΙs

4 - 4

EΙΙΙΙ = 9

2 ΙΙΙΙ

4 ΙΙΙΙ 6 2 6 23 3ΙΙΙΙ ΙΙΙΙr s

= 8 2 8 2

4 4 ΙΙΙΙ ΙΙΙΙr s

=

6 1 6 ΙΙΙΙ ( )6 ΙΙΙΙ ΙΙΙΙs13 ( )6 4 ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ

s3

5 ( )6 6 ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ

s4


s5


s6

11

2 4 12ΙΙΙΙr

6 ΙΙΙΙ ( )6 ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ

s3


s4


s5


s6

10

3 - 4 ΙΙΙΙ 6 ΙΙΙΙ


12 ΙΙΙΙ

4 - 2 ΙΙΙΙ 3 (4 ΙΙΙΙ ) 6 ΙΙΙΙ 8 1

2ΙΙΙΙs

10 1

3ΙΙΙΙs

5 - - 9 (2 ΙΙΙΙ ) 4 ΙΙΙΙ

6 ΙΙΙΙ 8 15ΙΙΙΙs

6 - - 6

EΙΙΙΙ = 27

2 ΙΙΙΙ ( )ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ

s1 = 4 1

2ΙΙΙΙr

6 ΙΙΙΙ

8 1 8 ΙΙΙΙ 10 67ΙΙΙΙs

12 7

9ΙΙΙΙs

14 8

11ΙΙΙΙs

16 9

13ΙΙΙΙs

18 10

15ΙΙΙΙs

2 8 ΙΙΙΙ 10 ΙΙΙΙ


16ΙΙΙΙ

3 - 6 12ΙΙΙΙr

8 ΙΙΙΙ 10 1ΙΙΙΙ

s

12 10

11ΙΙΙΙr

14 11

12ΙΙΙΙr

4 - 4 ΙΙΙΙ 6 ΙΙΙΙ


12 ΙΙΙΙ

5 - - 4 ΙΙΙΙ 3 (6 ΙΙΙΙ ) 8 1ΙΙΙΙs

10 1

2ΙΙΙΙs

6 - - 2 ΙΙΙΙ 9 (4 ΙΙΙΙ ) 6 ΙΙΙΙ

8 ΙΙΙΙ

7 - - - 27 (2 ΙΙΙΙ ) 4 ΙΙΙΙ 6 1

2ΙΙΙΙs

8 - - - 8

EΙΙΙΙ = 81

2 ΙΙΙΙ

4 ΙΙΙΙ

304 Apêndices.

IV, Apêndices

TABELA 4

SIMETRIA E ANTI-SIMETRIA DOS TETRÁDICOS (pelas coordenadas)

Número máximo de

coordenadas independentes por classe

Discriminação Condição de simetria

I II III IV TOTAL

igual ao reverso 4 4φφφφ φφφφ==== s

3 12 18 12 45

vetorialmente simétrico

4 4 1 4 1 4 2 4 2φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ==== ==== ==== ==== r s r s

3 3 9 6 21

diadicamente simétrico

4 4 2 4 2φφφφ φφφφ φφφφ==== ==== r s

3 12 18 12 45

diadicamente simétrico montante

4 4 12φφφφ φφφφ==== r

3 18 21 12 54

diadicamente simétrico jusante

4 4 12φφφφ φφφφ==== s

3 18 21 12 54

diadicamente simétrico centro

4 4 1 1 4 1 13 3φφφφ φφφφ φφφφ==== ====

s r s s s r

3 18 21 12 54

vetorial e diadicamente simétrico por montante no posto 3

4 4 1 4 23 3φφφφ φφφφ φφφφ ==== ====s s

3 12 12 6 33

vetorial e diadicamente simétrico por jusante no posto 3

4 4 1 4 23 3φφφφ φφφφ φφφφ ==== ====r r

3 12 12 6 33

diadicamente anti-simétrico montante

4 4 12φφφφ φφφφ ==== −−−−r

0 6 15 6 27

diadicamente anti-simétrico jusante

4 4 12φφφφ φφφφ ==== −−−−s

0 6 15 6 27

diadicamente anti-simétrico centro

4 4 1 1 4 1 13 3φφφφ φφφφ φφφφ==== −−−− ==== −−−−

s r s s s r

0 6 15 6 27

diádico reverso 4 4 2 4 2H H H = =s r s s

3 12 18 12 45

Elástico 4 4 2 4 2 4 1 4 12 2E E E E E= = = =

s r s s r s

3 12 12 9 36

Green 4 4 2 4 2G G G= = r s

3 6 6 6 21

Riemann- Christophel

4 4 1 4 1 4

4 4 1 4 2

(

2 2

3 3

ℜ = − ℜ = − ℜ = ℜ =

= ℜ = − ℜ + ℜ

r s r

s s s

2

2 )

- - 3 3 6

Apêndices. 305


TABELA 5

FUNÇÃO LINEAR DE ARGUMENTO POLIÁDICO, DE VALOR POLI ÁDICO

χχχχψψψψφφφφ QSSP •′= com S’=P-(Q-2S), para P,Q,S’≤ 5

P Q≥ Q S Q≤ ′ = −S P Q + 2S Expressão Poliádica

1 1 0 0 C x

1 2 ψψψψ . x

2 2 3 χχχχψψψψ 3 :

3 3 4 χχχχψψψψ 33

4 .


5 .

2 1 0 1 cx

1 3 3ψψψψ . x

2 0 0 C χχχχ

1 2 ψψψψ χχχχ .

2 4 4 ψψψψ χχχχ:


5 .

3 1 0 2 ψψψψ x

1 4 4 ψψψψ . x

2 0 1 c χχχχ

1 3 3 ψψψψ χχχχ.

2 5 5 ψψψψ χχχχ:

3 0 0 C 3χχχχ

1 2 ψψψψ χχχχ . 3

2 4 4 3 ψψψψ χχχχ:

4 1 0 3 3ψψψψ x

1 5 5ψψψψ . x

2 0 2 ψψψψ χχχχ

1 4 4 ψψψψ χχχχ .

3 0 1 x 3χχχχ

1 3 3 3 ψψψψ χχχχ.

2 5 5 3 ψψψψ χχχχ:

4 0 0 C 4χχχχ

1 2 ψψψψ χχχχ 4.

306 Apêndices.

IV, Apêndices

TABELA 6

QUADRO DE VALORES DE 2Q TQΙΙΙΙr

Transposições no poliádico unidade como multiplicações ponteadas múltiplas entre poliádicos unidades

(fórmulas obtidas de (012),§08.03)

Q T 2Q TQΙΙΙΙr

1 1 ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙr1 41 = =:

2 1 ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ 614 : 2 =r

2 ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ 844424 2 •==r

3 1 6 1 83 ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙr

= :

2 6 2 4 4 103 ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙr

= .

3 6 3 6 4 6 123 ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙr

= = .

4 1 8 1 104 ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙr

= :


= .


= .

4 8 4 8 8 8 164 ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙr

= = .

5 ... ...

Apêndices 307


TABELA 7

CRITÉRIOS PARA NUMERAÇÃO DOS DIÁDICOS DE BASE (com um índice só)

eiej (ou eiej, ou eiej, ou eiej) →εu (ou εu)

Referência: constituição da matriz 3x3, §14.01

3j2j1j === elemento genérico ij:

3i

2i

1i

===

333231232221131211

i= índice indicativo de linha; j = índice indicativo de coluna

Índice u substitutivo do par ij

Notação preparada Notação de Voigt Notação moderna

987

654

321

378

429

561

389

527

641

Tabela de correspondências

Referência ij 11 12 13 21 22 23 31 32 33

Preparada u 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Voigt u 1 6 5 9 2 4 8 7 3

Moderna u 1 4 6 7 2 5 9 8 3

Notas: - As notações de Voigt e moderna atendem mais objetivamente aos casos em que existe simetria interna nos diádicos (§02.05,III) e tetrádicos (§15.03) a considerar. - A notação preparada é geral e simplifica o processo de preparação das matrizes para multiplicação dupla (§06.02). Nos casos de simetria interna, as matrizes associadas aos tetrádicos terão a segunda coluna igual à quarta, a terceira igual à sétima e a sexta igual à oitava (Exercício 2, §15.03) .

30

8

Ap

ênd

ices

IV, A

pêndices

u / v

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

A4=-A12

(1)

A35=-A16

(1)

A55=A11

A56=A13

A57=-A18

A58=A17

A59=A19

A49=-A29

2

(1)

A25=A12

A34=A26

Identidade

(1)

A46=-A23

A47=A28

A48=-A27

Identidade

3

A16=0

A26=0

A13=0

A23=0

A36=0

0=0

0=0

A66=A33

A67=-A38

A68=A37

A39=0

A69=0

4

(1)

Identidade

0=0

A45=A14

(1)

0=0

-A27=A17+A18

A28=0

Identidade

5

Identidade

(1)

0=0

(1)

A45=-A25

0=0

A17=0

A18=0

A27=0

0=0

A29=0

6

0=0

0=0

Identidade

0=0

0=0

A36=0

Identidade

Identidade

0=0

7

0=0

0=0

Identidade

0=0

0=0

Identidade

A78=0e

A88=A77

A79=0

A89=0

8

0=0

0=0

Identidade

0=0

0=0

Identidade

Identidade

A78=0

0=0

TABELA 8

TABELA DE RESULTADOS (§16.02)

Du : Fv = Dv : Fu

9

Identidade

0=0

0=0

0=0

Identidade

0=0

0=0

0=0

0=0

Identidade (1): A22+A24=A11-A15

309 Bibliografia

IV - Bibliografia

BIBLIOGRAFIA A maioria dos livros deste ramo da matemática aplicada trata apenas dos vetores e dos diádicos. Em geral são livros introdutórios ao cálculo tensorial embora este, originalmente, tenha sido estabelecido em outro contexto, em estilo bem marcante.

Cálculo Poliádico 1 - 1961 - DREW, T. B., Handbook of Vector and Polyadic Analysis, Reinhold Publishing

Corporation, New York, Chapman & Hall, Ltd., London, 103 p..

Nesta obra encontramos boas contribuições ao desenvolvimento do Cálculo Poliádico. Desde o início, são introduzidas operações no campo complexo. Não pudemos compartilhar dessa idéia por causa dos critérios didáticos adotados para apresentação da matéria. Desta obra utilizamos o estudo provavelmente original dos poliádicos desvio (ou desviantes), algumas nomenclaturas (valência, poliádicos separáveis e poucas outras) e pouquíssimas notações que nos pareceram simples e sugestivas (indicar a valência de um poliádico no canto superior esquerdo da letra, por exemplo). Lamentavelmente a notação de Drew relativa à transposição poliádica é algo complexa do ponto de vista tipográfico e foi rejeitada. Esta obra de Drew é mencionada na bibliografia do livro de Ben-Menahem, A. e Singh, S. J., Seismic Waves and Sources, Springer-Verlag, 1981 (ISBN 3-540-90506-5), onde "The dyadic approach is used for elegance and brevity".

Física de Cristais

2 – 1982 – SIROTIN,Yu. I. and SHASKOLSKAYA, M. P., Fundamentals of Crystal Physics, translated from Russian by Valentina Snigirevskaya, Mir Publishers, Moscow, 654 p.

Nesta obra encontramos alguns dos assuntos aqui tratados e alguns aqui não tratados por me parecerem bem específicos para esta área da Física. O Cálculo Poliádico é certamente mais útil em Física dos Cristais do que para estudo de qualquer outra matéria em virtude da diversidade das propriedades (térmicas, óticas, elétricas, magnéticas etc.) dos cristais, e por serem estes meios anisotrópicos por natureza. As bases recíprocas de vetores são denominadas nesta obra de bases covariantes e contravariantes e estão estritamente ligadas aos eixos cristalográficos que, em geral, por não serem triortogonais, motivam o uso dos vetores recíprocos. As simetrias internas e externas dos tensores podem ter sido definidas para satisfazer as necessidades da Cristalografia (conceitos que puderam ser estendidos para alguns materiais) etc.. Os autores não utilizam a nomenclatura empregada nestas "Lições"; referem-se aos poliádicos em geral como tensores. Isto é uma realidade, até certo ponto, uma vez que nem todo poliádico é um tensor. Assim, não é aconselhável confundir um poliádico de rotação, ou um poliádico de mudança de base, com um tensor porque é com esses poliádicos que se

310 Bibliografia

IV, Bibliografia

vai caracterizar um tensor.

Mecânica do Contínuo Muitas obras têm sido publicadas sobre a Mecânica do Contínuo; esta trata de problemas mais avançados da física e problemas requintados de mecânica dos materiais. Nestas searas, muito especialmente nas questões envolvendo formulações não lineares, aparecem grandezas de várias ordens e os poliádicos vêm à tona (em geral com o nome de tensores). Nos dois preciosos livros mencionados a seguir o autor (Sedov) trabalha com o que aqui chamamos de representação cartesiana de um poliádico em base vetorial, e com bases vetoriais covariantes e contravariantes, aqui denominadas recíprocas. Todas as deduções feitas indicialmente (na forma da índole do cálculo tensorial) e todas as representações têm suas correspondentes poliádicas compactas. 3 – 1965 – SEDOV, L. I., Foundations of the Non-linear Mechanics of Continua,

International Series of Monographs in Interdisclipary and Advanced Topics in Science and Engineering, Pergamon Press, Oxford, 252 p..

4 – 1971 - SEDOV, L. I., A couse in continuum mechanics, Wolters-Noordhoof Publishing,

Groningen, The Netherlands, volume I, 242 p.. Chapter 2, section 2.4. Alguns autores preferem o uso de uma notação mista vetorial e indicial, que bem poderia ser substituída pela notação poliádica. Devemos citar as grandes e magistrais obras seguintes: 5 – 1967 – ERINGEN, A. C., Mechanics os Continua, John Wiley, reeditado em 1980 por

Robert E. Grieger Publishing Co, 592 p.. 6 - 1971 – LANDAU, L. et LIFCHITZ, E., Mécanique des Fluides, Editions MIR, Moscow, 669 p.. Junte-se a esta obra praticamente toda a coleção de física teórica da Landau e Lifchitz. 7 – 1998 – ERINGEN, A. C., Microcontinuum Field Theories, volumes I - 325 p., volume

II - 340 p., Springer, New York. 8 – 2001 – ERINGEN, A. C., Nonlocal Continuum Field Theories, 374 p., Springer, New

York. A maioria dos autores utiliza a notação ⊗ com a finalidade de representar um

Bibliografia 311


“produto diádico” de dois vetores (Sedov é uma exceção), a nosso ver “sobrecarregando” as expressões com um símbolo simplesmente dispensável; usam ainda o sinal ∧ para indicar a multiplicação vetorial, contrariamente ao × aqui adotado (seguindo sugestão de Gibbs). Citamos: 9 – 1999 – CHADWICK P., Continuum Mechanics, Dover, Mineola, 187 p., Edição

original de 1976 por George Allen and Unwin Ltd, London. 10 – 1980 – SPENCER, A. J. M.,Cintinuum Mechanics, Dover, Mineola, 183 p.. Edição

original de 2004 pela Dover. Cursos de pequena duração, em nível de mestrado, com utilização do CP, podem ser apreciados em: 11 – 1977 – SIELAWA, J. T., Métodos Matemáticos da Mecânica do Continuum, Notas de

aulas, curso MAT 230, publicado em forma de apostila pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos, SP.

Neste trabalho é apresentada uma pequena introdução aos poliádicos visando a sua utilização no tema, mas a abordagem tem o forte estilo tensorial evitado nestas "Lições". A convivência com seu autor, entretanto, foi bastante útil no tocante às aplicações. 12 - 1999 – MASE, T. G., and MASE, G. E., Continuum Mechanics for Engineers, CRC

Press. Livro didático com tênue uso dos diádicos. 13 – 1967 – CHOU, P. C. and PAGANO, N. J., Elasticity (Tensor, dyadic, and Engineering

Approaches), Van Nostrand, 290 p.. Livro didático que, ao final, apresenta um exposição interessante da Elasticidade com o uso da notação diádica. Para aplicação em Geofísica, ver os dois trabalhos de peso seguintes: 14 – 1981 - BEN-MENAHEN, A. and SINGH, S. J., Seismic Waves and Souces, Springer-

Verlag, 1108 p. (ISBN 3-540-90506-5), Os autores se apoiam na obra de Drew [1], tratam todo o tema com base no Cálculo Poliádico, e dizem que ... "The dyadic approach is used for elegance and brevity". 15 – 1994 – HELBIG, K., Foundations of anisotropy for exploration seismics, 486 p.,

(ISBN 0 08 037224 4), Handbook of Geophysical Exploration, volume 22, Pergamon.

312 Bibliografia

V - Bibliografia

Nesta excelente obra são apresentadas, em linguagem e notação tensoriais, diversas questões teóricas tratadas nestas "Lições", além de aplicações em Geofísica. Com o autor, pessoalmente, tomei conhecimento dos trabalhos pioneiros de Lord Kelvin quanto à interpretação (para mim ainda não integralmente discutida) dos conceitos de autovalores e autodiádicos de tetrádicos em elasticidade.


CAPÍTULO V

POLIÁDICOS COMPLEXOS

VETORES COMPLEXOS E DIÁDICOS REAIS

Da necessidade dos vetores complexos

Consideremos ((01),§03.03,III,vol.I), qual seja, a equação característica geral do diádico φφφφ,

0XXX 3~E

2E

3 =−+− φφφφφφφφφφφφ , (01),

que admite pelo menos uma raiz real, aqui denotada por A. Fatorando (01), escrevemos:

0])A(A)XA(A)[X(X ~E EE

2 =+−+−+− φφφφφφφφφφφφ , (02),

devendo ser, necessariamente (para que seja nulo o resto da divisão do primeiro membro de (01) por X-A):

3~E E

2 A)(AA φφφφφφφφφφφφ =+− , (021).

Logo, a fatoração de (01) pode ser escrita, ainda, na forma:

0]A

)XA(A)[X(X 3E

2 =+−+− φφφφφφφφ , (03),

A fatoração do trinômio quadrático entre colchetes em (03) mostra que se

A)

2A

( 32E φφφφφφφφ <−, (031),

o diádico φφφφ apresentará, necessariamente, autovalores complexos conjugados. É fácil verificar a condição (031) no caso dos exercícios 1 e 2 do §03.03, III, vol. I. O caso dos diádicos cíclicos e de rotação, aqui utilizados nas formas ((01) e (02), §06.01, III, vol. I), a saber,

(cc*,ϕ)= )(sen)(cos ∗∗∗∗∗ −ϕ++ϕ+ abbabbaacc (04),

e

314 Da necessidade dos vetores complexos

V

ΩΩΩΩ( ,$ )k ϕ

= + + + −$ $ $$ $$) $$ $$kk i i jj ij ji cos sen ϕ ( ϕ ( + ), (041),

é particularmente interessante. O escalar A=+1 é autovalor desses diádicos, conforme visto na referida seção; terceiro deles também é igual a +1 e o escalar é 1+2cosφ. Como esses valores satisfazem (031), os demais autovalores são complexos conjugados; esses podem ser calculados por (03) e são e-iφ e eiφ. Para completar a determinação do auto-sistema de φφφφ (§03.03,III) resta a determinação dos autovetores correspondentes aos autovalores complexos. Sejam (L;M;N) as coordenadas do autovetor correspondente a eiφ referido às bases

recíprocas ,, cba e ,, ∗∗∗ cba no caso do cíclico . Devemos resolver o sistema

homogêneo:

=−++=+−+ϕ

=+ϕ−−ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

0N)e1(M)0(L)0(0N)0(M)e(cosL)sen(

0N)0(M)sen(L)e(cos

i

i

i

, ou

=−=ϕ+ϕ=ϕ−ϕ−

ϕ 0N)e1(0M)isen(L)sen(0M)sen(L)isen(

i.

A última equação mostra que N=0, pois φ≠0. A primeira e a segunda, por evidência de senφ dão M+iL=0, ou seja, M=-iL para L arbitrário. Assim, o autovetor correspondente ao autovalor eiφ é expressão do tipo L(a-ib), ou simplesmente, a-ib, ainda desconhecida no Cálculo Poliádico. Não é difícil comprovar, seguindo-se o mesmo caminho, que o autovetor de φφφφ relativo ao autovalor e-iφ é a+ib. Em resumo: aos autovalores

ϕ−

ϕ

i

i

ee de φφφφ correspondem autovetores

+−

babaii em que i2=-1, (05).

No caso dos diádicos de rotação ),ˆ( ϕk

ΩΩΩΩ os autovetores seriam:

+−

jijiˆiˆˆiˆ.

Algumas questões que poderiam ser postas nesse instante não teriam respostas satisfatórias pelo desconhecimento de expressões do tipo a-ib em que a e b são vetores (reais). Por exemplo: serão os autovetores a+ib e a-ib ortogonais, paralelos ou oblíquos? A idéia dos diádicos cíclicos e de rotação já foi estendida aos tetrádicos cíclicos e de rotação (§14.04,IV), mas a teoria ainda não está completa a ponto de satisfazer necessidades práticas, isto é, de aplicações; é preciso desenvolver uma teoria adequada de vetores complexos.

* Pudemos utilizar a teoria dos números complexos (ver Apêndice I) para facilitar a composição de oscilações de mesma direção (Ap.II,§02.05). A composição de oscilações de uma mesma grandeza oscilatória em duas ou três direções pode ser realizada com facilidade através dos vetores complexos cuja teoria não é tão elementar quanto a dos números complexos.

§ 01.01 – Definições 315


Mas é precisamente dentro da mesma linha de estruturação da álgebra dos números complexos que podemos estruturar a dos vetores complexos, a dos diádicos complexos etc.; afinal um número complexo é um poliádico complexo de valência zero (um escalar complexo). Muito embora um número complexo não represente nenhuma grandeza física, nem tampouco o representa o poliádico complexo, muitos problemas físicos podem ser resolvidos vantajosamente com o uso deles. Tal como argumentado no caso dos números complexos, não devemos definir um vetor (ou diádico) complexo como toda expressão da forma a+ib (ou diádico αααα+iββββ), em que a e b (αααα e ββββ) são vetores (diádicos) reais e i2=-1, se não estiver previamente definido o que seja o símbolo ib (ou iββββ). O caminho a seguir é bem próximo daquele adotado para a estruturação dos números complexos, mas nem todas as propriedades e operações dos números são estendidas para vetores complexos, nem tampouco para os diádicos complexos etc.; é preciso, pois, verificar o que é comum a todos os “elementos complexos” e o que não o é.

Criaremos, assim, o vetor complexo, o diádico complexo e em geral, o H-ádico complexo (ou poliádico complexo) com valências 1, 2, etc.. Com a teoria dos poliádicos complexos pretendemos, assim, ampliar a do número complexo e o faremos introduzindo, necessariamente, as direções inerentes aos mesmos. O conhecimento das idéias e operações básicas relativas aos poliádicos reais (Cap. IV) é fundamental para o entendimento deste capítulo. Existem figuras geométricas, e algumas transformações entre essas figuras, diretamente relacionadas com as entidades “vetor complexo” e “diádico complexo” particularmente; vamos estudá-las e utilizá-las na resolução dos problemas físicos. A álgebra definida com esses poliádicos particulares também está associada com essas transformações, como veremos. Por motivos didáticos, e até para facilitar o entendimento, vamos desenvolver os conceitos e operações gradativamente, iniciando com os vetores complexos posto que, conforme já observamos, os escalares complexos constituem tema clássico, bem conhecido e bem explorado.

Geometria dos vetores complexos

§ 01 – IDÉIAS PRIMÁRIAS

§ 01.01 – Definições.

Definição: (vetor complexo) Chama-se vetor complexo, z, a todo par ordenado a e b de vetores reais, e se representa por ),( baz = , ao qual se atribuem as seguintes propriedades:

1ª) – a que cria o vetor complexo nulo – vetor este que se representa pelo símbolo οοοο (ômicron) - e que encampa o conjunto dos vetores reais,

aoa ) ,( = , donde οοοο ) ,( =oo (vetor complexo nulo), (01);

316 § 01 – Idéias primárias

VI,§01.02

2ª) – a que estipula um critério de igualdade, que escrevemos na forma

) ,() ,( baba ′′= se bbaa ′=′= e , (011).

O primeiro vetor do par é denominado o antecedente ou a parte real do complexo; o segundo, conseqüente, ou a parte imaginaria. A três vetores complexos ordenados, ),( 111 baz = , ),( 222 baz = , ),( 333 baz = ,

podemos associar dois diádicos escritos em forma trinomial em relação a uma base ,, 321 eee arbitrariamente escolhida. Se, digamos, ambos tiverem por antecedentes os

vetores dessa base, um deles, αααα, terá por conseqüentes, ordenadamente, os vetores a1, a2 e a3 das partes reais dos complexos; o outro, ββββ, os vetores b1, b2 e b3 das partes imaginárias dos mesmos. Inversamente, poderemos fazer a mesma associação. Assim, simbolicamente:

=

=⇔

===

=

ii

1,2,3),(i , i

i

321

333222111

arbitrária ,, e

),( ),,( ),,(

be

aeeee

bazbazbaz

ββββ

αααα (02).

Um conjunto de três vetores complexos será dito planar, uniplanar, ortoplanar, linear, unilinear, ortolinear etc. conforme os diádicos a eles associados sejam, simultaneamente, planares, uniplanares, ortoplanares, lineares etc. Mas nada impede que um dos diádicos seja digamos planar e o outro completo etc. Todos os conceitos característicos dos diádicos são estendidos aos conjuntos de até 3 vetores complexos tais como: invariantes, autovalores, autovetores etc.. Ainda por extensão de idéias, a todo diádico φφφφ, gerado de um EN, escrito em forma polinomial arbitrária j

jba=φφφφ com j=1, 2, ..., P, podemos associar um vetor complexo φφφφz

cujo antecedente e cujo conseqüente sejam iguais, respectivamente, à soma dos antecedentes e à soma dos conseqüentes do diádico dado:

∑∑=⇒= ), ( jj

jj bazba φφφφφφφφ , (021).

Como veremos (§02.01), essa associação equivale a gerar de φφφφ o complexo soma dos complexos associados a cada uma de suas díades.

§ 01.02 – Elipse direcional de um vetor complexo.

Rememorando conceitos relativos à elipse. Denominaremos raio vetor, r , de uma elipse, todo vetor de origem no seu centro O e extremidade num qualquer dos seus pontos (Figura 01.01). Corda RS de uma elipse é o segmento que une dois pontos, R e S, dessa elipse. Diâmetro de uma elipse é toda corda, como VV' ou UU', que passe pelo seu centro; semidiâmetro é a metade de um diâmetro.

§ 01.02 – Elipse direcional de um vetor complexo. 317


Uma propriedade fundamental dos diâmetros é a de que os pontos médios M, M' ... das cordas paralelas a uma direção definida por um vetor unitário v estão situadas sobre um diâmetro UU'. Os diâmetros como VV' e UU', que gozam da propriedade de conter os pontos médios das cordas que são paralelas ao outro são denominados diâmetros conjugados.

Os vetores de origem O e extremidades em U e V são ditos vetores semidiâmetro conjugados. Quando os pontos R e S de uma corda se confundem com o seu ponto médio a corda é tangente à elipse. Então um diâmetro, como UU', passa pelos pontos de contato U e U' das tangentes paralelas ao seu diâmetro conjugado VV'. Numa elipse existem apenas dois diâmetros conjugados ortogonais: o maior, AA', e o menor, BB'; denominam-se eixo maior e eixo menor da elipse. Os pares de pontos (A, A') e (B, B'), extremidades do eixo maior e do eixo menor de uma elipse, respectivamente, denominam-se vértices dessa elipse.

Elipse direcional e elíptico direcional.

Dados dois vetores não paralelos, u e v, existe uma e uma única elipse, (E*), que os tem como vetores semidiâmetro conjugados. Gibbs denominou essa elipse de elipse direcional do vetor complexo z=(u,v), sendo ela, também, direcional da díade δδδδ(u,v). A elipse direcional está para o vetor complexo (ou díade), assim como a direção está para o vetor real, devendo ser observado, de imediato, que nem tudo o que se passa no campo real pode ser repassado igualmente para o campo complexo42. Como veremos (§01.04), todo vetor real ortogonal ao plano de um vetor complexo será ortogonal a esse complexo. Por outro lado, os vetores reais paralelos ao plano de um vetor complexo não são necessariamente paralelos a esse vetor complexo.

O vetor real unitário ortogonal ao plano de um complexo, e de mesmo sentido que o vetor de sua díade (u×v) será dito o elíptico direcional do complexo, ou simplesmente, o elíptico do complexo.

Se α é um parâmetro que varia no intervalo fechado (-2π,+2π), o vetor (de origem fixa, no centro da elipse)

42 Por exemplo: se dois vetores reais são paralelos, eles têm a mesma direção; e reciprocamente. Veremos oportunamente (§ 04.03) que se dois vetores complexos são paralelos eles têm elipses direcionais homotéticas, mas essa condição não é suficiente para que dois vetores complexos sejam paralelos.

vur sen cos)( α+α=α , (01),


V,§01.02

é um raio vetor da elipse direcional do complexo (u,v); α é o argumento ou fase de r (α)43.

Para α=0, r (0)=u; para α=π/2, r (π/2)=v; o vetor u é denominado o vetor de fase da elipse. Para α qualquer, o vetor semidiâmetro conjugado correspondente a r (α) é obtido dando-se um acréscimo de π/2 radianos ao argumento, sendo, então,

vur cos sen)/( α+α−=α+2π , (011).

Com efeito, considerando a propriedade elementar das elipses (teorema de Apolonius) segundo a qual a área do paralelogramo construído sobre dois vetores semidiâmetro conjugados quaisquer é constante (igual à área do retângulo circunscrito a essa elipse), escrevemos: vurr ×=× ′)()( αααααααα , onde α´ é o argumento do vetor semidiâmetro conjugado de

r (α). Então, considerando (01),

43 Se α fosse função de uma variável t, digamos α=ωt+α0 com ω e α0 constantes, o vetor (01) seria a solução geral da equação (vetorial) diferencial orr =ω+ )t()t( 2&& , onde o par de pontos representa derivada segunda em

relação a t.

vuvuvurr ×α−α′=×α′ααα′=×=× α′α )sen( )cossen-cossen()()( ,

isto é, sen(α´-α)=1, ou seja α´=α+π/2. Observando-se o plano de dado complexo z=(u,v) do semi-espaço em que está situado o seu elíptico, o sentido segundo o qual se deve girar o seu antecedente, u, do menor ângulo, para que a direção deste coincida com a do seu conseqüente, será dito o sentido positivo de rotação nesse plano, ou seja, é o sentido

trigonométrico (ou anti-horário); esse mesmo sentido de giro será dito, ainda, a orientação (ou sentido positivo) do vetor complexo (Figura 01.02); o sentido contrário será dito negativo. Assim, em relação ao antecedente do complexo tomado como (lado) origem de ângulos, os ângulos terão abscissas (angulares) positivas quando medidos no sentido positivo de rotação, ou, o que é o mesmo, quando esses ângulos têm a “mesma orientação do complexo”. Quando o argumento α de

um raio vetor recebe acréscimos positivos (negativos) este vetor roda no sentido positivo (negativo).

Vetores complexos particulares e suas elipses Não existindo dependência entre o antecedente e o conseqüente de um complexo, ele é dito linear ou elipticamente polarizado. A um vetor complexo linear estão associados e bem determinados: o plano definido pelo seu antecedente e pelo seu conseqüente, e a direção da normal a esse plano (definida pelo seu elíptico). Sempre que nos referirmos a um vetor complexo, ficará subentendido que ele seja linear, exceto se houver menção explicita em contrário.

§ 01.03 – Oposto e conjugado de um vetor complexo 319


Como definido (§01.01), quando o antecedente e o conseqüente de um complexo são paralelos, ele e a sua díade associada são ditos unilineares ou, ainda, unilinearmente polarizados; sua elipse direcional é degenerada num par de retas coincidentes e seu elíptico é indeterminado. Ao complexo unilinear está associada, pois, uma direção real bem determinada (a direção comum do seu antecedente e seu conseqüente). Se o antecedente de um complexo é perpendicular ao conseqüente, o complexo é dito ortolinear . Se o módulo do antecedente de um complexo ortolinear é igual ao módulo do conseqüente, esse complexo e sua díade associada são ditos circulares ou, ainda, circularmente polarizados; e sua elipse direcional é uma circunferência. Os complexos

circulares podem, então, ser escritos na forma geral )R,ˆR( ji em que R é o raio da sua

circunferência direcional e i e j dois vetores unitários ortogonais ( 0ˆˆ =j.i ).

§ 01.03 – Oposto e conjugado de um vetor complexo.

Oposto do vetor complexo

Definição: (oposto de um vetor complexo) Chama-se vetor complexo oposto de um vetor complexo ),( vu , e denota-se

por ),( vu− , o vetor complexo ),( vu −− :

),(),( vuvu −−=− , (01).

Resulta, logo, que a um vetor complexo e seu oposto corresponde a mesma díade e que vetores complexos opostos têm a mesma elipse direcional e o mesmo elíptico (ou mesmo sentido).

Conjugado do vetor complexo.

Definição: (conjugado do vetor complexo) Chama-se complexo conjugado de um complexo dado, (u,v), e denota-se por (u,v)-, o vetor complexo (u,-v):

),(),( vuvu −=− , (03).

Vemos, assim, que um vetor complexo está para o seu conjugado assim como sua díade está para a sua oposta; o que significa, também, que complexos conjugados têm elípticos opostos (ou sentidos opostos). Assim, se na elipse de um complexo os raios vetores rodam num sentido anti-horário quando o argumento cresce, na elipse do seu conjugado rodam no sentido horário se o argumento também cresce (Figura 01.03).


V,§01.04

Como o conjugado do conjugado de um complexo é o próprio complexo, um complexo e seu conjugado são autoconjugados.

§ 01.04 – Vetores complexos coplanares oblíquos e paralelos. Dois vetores complexos dados ao acaso podem não ter elipses direcionais paralelas a um mesmo plano.

Definição: Dois vetores complexos serão ditos coplanares se suas elipses direcionais forem paralelas a um mesmo plano.

É importante assinalar algumas características dos vetores complexos coplanares com respeito às suas elipses direcionais. Antes, é conveniente uma breve recapitulação do conceito de transformação de figuras por homotetia e rotação. Exercício 1: Comprovar que os dois autovetores a+ib e a-ib do diádico cíclico, referidos pela expressão (05) na introdução a este capítulo, relativos aos autovalores (complexos conjugados) e-iφ e eiφ, são os vetores complexos coplanares conjugados (b,-a) e (b,a).

Homotetia e rotação Sejam dados três pontos S, A e A’ sobre um eixo r de origem S e um plano α que contenha r. Chama-se homotetia de centro S a transformação em α que converte A em A’ e tal que a todo ponto B de α faça corresponder um ponto B’ do eixo SB de origem S tal, que:

constanteGSB'SB

SA'SA === , (08),

os segmentos SA , SB , ... sendo orientados sobre os seus respectivos eixos (todos com origem S). O número G, positivo ou negativo, é a característica ou a razão da homotetia. Se os pontos A, B, ... pertencessem a uma figura F de α, os pontos A’, B’ ... pertenceriam à figura F’ homotética de F em α, pela razão G. Se a figura F fosse uma elipse e o centro de uma homotetia com essa elipse fosse seu próprio centro, a figura homotética de F, F’, seria

§ 01.04 – Vetores complexos coplanares oblíquos e paralelos. 321


ainda uma elipse; uma seria sempre “interna” à outra e as retas suporte dos seus eixos seriam coincidentes necessariamente. A homotetia requer igualdade de orientação das figuras homotéticas, pois, em caso contrário, as igualdades (08) não serão verificadas. Um plano orientado é todo plano sobre o qual se tenha estabelecido um sentido positivo de rotação. Sejam dados sobre um plano orientado α), um ponto fixo O e dois pontos A e A’ tais, que OA=OA’. Chama-se rotação de centro O a transformação (biunívoca) no plano que: 1) - ao ponto A faz corresponder o ponto A’; 2) - a todo ponto B do plano faz corresponder um ponto B’ com OB=OB’; 3) - o ângulo orientado BOB’ seja congruente com o ângulo ABA’. O ângulo ABA’ (positivo ou negativo) chama-se amplitude da rotação. Efetuando–se uma mesma rotação (de centro O e amplitude ϕ) sobre todos os pontos de uma figura F obtém-se a figura F’ que é dita “figura rodada” de F pela citada rotação. As rotações são regidas pelos diádicos de rotação (). A figura roto-homotética de uma figura plana F, é a figura F’, de mesma orientação

que F, produto comutativo de uma rotação (no sentido positivo ou no negativo) por uma homotetia, ambas de mesmo centro realizadas sobre F. Quando a amplitude é de ±π/2 rad as figuras são ditas orto-homotéticas. Podemos considerar, então, inicialmente, duas relações fundamentais entre as elipses direcionais de dois vetores complexos: 1) – a elipse de um deles não tem nenhum haver com a elipse do outro; 2) – as elipses direcionais são roto-homotéticas, com centro no centro comum delas e razão de homotetia G. No caso 1) os complexos são apenas coplanares, não existindo nenhuma outra relação particular entre eles; são ditos oblíquos. Um exemplo para o caso 2) é apresentado na Figura 01.04, feita em escala,

podendo ser verificado graficamente que o ângulo de rotação é de 30° e a razão da homotetia G=1,7.

Definição: (vetores complexos paralelos) Dois vetores complexos (coplanares) serão ditos paralelos se tiverem elipses direcionais roto-homotéticas.

Resulta imediatamente da definição que complexos paralelos têm necessariamente a mesma orientação (ou mesmo elíptico), pois, do contrário, suas elipses não são homotéticas.

A definição aplica-se também para o caso G=1 (elipses coincidentes). Assim, embora sejam coincidentes as elipses direcionais de um vetor complexo e seu conjugado, esses vetores não são paralelos porque suas elipses não têm a mesma orientação. A mesma observação é feita em relação aos complexos circulares.

*


V,§01.04

Exercício 2: Comprove que os autovetores complexos (b,-a) e (b,a) do diádico cíclico, referido no Exercício 2, não são paralelos.

*

Notas:

1 – Dois vetores reais estão sempre contidos num plano, mas nem sempre os vetores complexos (pois a cada um está associado um plano). Dois vetores complexos coplanares (de planos confundidos), bem como dois vetores reais, nem sempre são paralelos.

2 - O conceito dual de vetores reais paralelos (de mesmo sentido ou sentidos opostos) é o de vetores complexos (coplanares) com elipses direcionais roto-homotéticas (de mesmo elíptico).

O vetor real nulo é paralelo a qualquer vetor real. Dualmente, o vetor complexo nulo é paralelo a qualquer vetor complexo. A excentricidade, T, de uma elipse de centro S e foco F é igual ao quociente da sua

semidistância focal, c=SF, para o seu semi-eixo maior, a=SA=BF (Figura 01.05); logo 0≤T(=c/a)≤1. Se b=SB é a medida do seu semi-eixo menor, 222 cba += . Então, sendo H o quociente do semi-eixo menor para o

semi-eixo maior, 22 HT1 =− , com 0≤H≤1. Elipses roto-homotéticas apresentam o mesmo H, logo a mesma excentricidade T, como as concêntricas de vértices A’, B’ e A, B apresentadas na Figura 1.5, com SA=1, SB=H, ângulo de giro=30° e razão de homotetia G=1,7. Dessas considerações resulta demonstrado o seguinte teorema.

Teor. 1:

Se a e b são os semi-eixos: maior, de unitário i , e menor, de unitário j , da

elipse direcional de um complexo, qualquer complexo que lhe seja paralelo é

também paralelo ao complexo ) T1,ˆ()ˆH,ˆ( 2 jiji −= , com H=b/a e 0ˆˆ =j.i .

Definição: (excêntrico)

O complexo ) T1,ˆ( 2 ji − , do qual i e j sejam unitários do eixo maior e do

menor, respectivamente, da elipse direcional de excentricidade T do complexo z, será dito o excêntrico de z.

O Teor. 1 deve ser adaptado ao caso dos complexos circulares, para os quais H=1 (pois, a=b), ou T=0. Assim:

§ 01.05 – Vetores complexos ortogonais. 323


se z =( i , j ) é um complexo circular (de raio unitário), todos os complexos

paralelos existentes no plano de z , tendo o mesmo elíptico de z , são paralelos a z .

A Figura 01.06 mostra uma visão espacial de um conjunto de vetores complexos (ui,vi) paralelos de mesmo elíptico e . Todas essas elipses devem ter a mesma excentricidade (seus semi-eixos são proporcionais), podendo cada uma estar rodada de um ângulo diferente das outras. Os antecedentes ui dos complexos não são paralelos necessariamente, nem os vi, seus conseqüentes, mas seus excêntricos são roto-homotéticos. Um conjunto de vetores circulares terá visual idêntico desde que se troquem as elipses por circunferências, os raios ortogonais de umas estando rodados no mesmo sentido em relação aos seus correspondentes de outras.

No caso dos complexos oblíquos, poderiam existir situações particulares, como: a) – as retas-suportes dos eixos correspondentes das elipses são rodadas e as elipses não são homotéticas; b) – as retas-suportes dos eixos não correspondentes das elipses são coincidentes (logo, não são homotéticas).

§ 01.05 – Vetores complexos ortogonais. A interpretação geométrica da ortogonalidade dos vetores complexos no caso geral é um pouco mais complexa que a interpretação relativa ao paralelismo. Vamos considerar inicialmente a ortogonalidade dos complexos coplanares.

Complexos polares recíprocos coplanares e elipses polares recíprocas. Consideremos o vetor semidiâmetro vur α+α=α sencos)( da elipse (E) do

complexo z=(u,v), cuja fase α, relembremos, está referida ao vetor de fase u (§01.02). A r (α) corresponde um e apenas um vetor semidiâmetro ∗∗α∗ α+α= vur sencos)( , também de

fase α (referido a u*), de uma segunda elipse (E*), de mesma orientação que a primeira, da qual os semidiâmetros conjugados u* e v* compõem o sistema recíproco de u,v. As elipses (E) e (E*) são polares recíprocas e, sem apresentar muitos detalhes (por não ser


V,§01.05

oportuno), são exibidos dois exemplos (em escala) nas Figuras 01.07.a e b. A elipse de maior semi-eixo é (E), a de menor semi-eixo é (E*). No Apêndice III apresentamos os principais conceitos geométricos relacionado com este interessante e curioso capítulo da geometria (a teoria das polares recíprocas).

Como é fácil comprovar, os vetores r (α), r

*(α) e seus correspondentes conjugados são

tais, que

==

==∗αα+π

∗α+πα

∗α+πα+π

∗αα

)()2/()2/()(

)2/()2/()()(

0

1

.rr.rr

.rr.rr, (01).

Então, constituem sistemas recíprocos (no plano de (E)) os pares de semidiâmetros conjugados

, α)+(π/2(α) rr de (E) e , ∗α)+(π/2

∗(α) rr de (E*),

isto é,

a um par de vetores semidiâmetros conjugados da elipse (E) do complexo z=(u,v) corresponde um e apenas um par de vetores semidiâmetros conjugados na sua polar recíproca (E*), isto é, na elipse direcional do complexo z*=(u*,v*) definido pelo par recíproco de (u,v).

Qualquer uma das Figuras 01.07.a ou b pode ser usada para representar dois pares de vetores recíprocos. Fixemos arbitrariamente um vetor u em (E), tracemos a tangente à elipse pela extremidade de u e uma paralela a ela pelo centro. O vetor v (conjugado de u) está determinado (pois a rotação positiva é a correspondente ao sentido anti-horário). As interseções das normais a u e a v, conduzidas pelo centro, com a elipse (E*) definem as extremidades dos vetores recíprocos u* e v*. O leitor poderá, agora, descobrir um modo de confirmar essas assertivas pelo desenho. É evidente que os resultados deduzidos se aplicam igualmente para o caso dos complexos circulares, devendo ser lembrado que: 1) - a elipse direcional (E) será substituída por uma circunferência (C); 2) - a polar recíproca de (C) é a circunferência (C*) de raio

inverso do raio de (C); 3) - semidiâmetros conjugados em (C), como iR e jR , são raios



perpendiculares; 4) – o par recíproco de (iR , jR ) é o par ( i R-1 , j R-1 ). Assim:

a um par de raios vetores conjugados (ortogonais) da circunferência (E) do

complexo circular )ˆR,ˆR( jiz = corresponde um e apenas um par de raios

vetores conjugados (ortogonais) na sua circunferência polar recíproca (E*),

circunferência direcional do complexo )ˆR,ˆR( -1-1 jiz =∗ definido pelo par

recíproco de ( iR , jR ).

Definição: (vetores complexos polares recíprocos) Dois vetores complexos coplanares, cada um definido por um par dos vetores constituintes de sistemas recíprocos de vetores reais (coplanares), serão ditos polares recíprocos nesse plano.

Notas:

1 – Elipses recíprocas não podem ser confundidas com elipses inversas, especialmente porque a polar recíproca de uma elipse é uma elipse, e sua inversa, uma quártica (ver Ap.III, § 03).

2 - Tampouco se poderá confundir complexos autoconjugados (§01.03) com complexos polares recíprocos.

3 – A um vetor real, dentre os vetores paralelos a uma mesma direção, corresponde um e apenas um vetor real recíproco do primeiro (§03.01,I,vol.I). A duas duplas recíprocas de vetores reais coplanares corresponde uma dupla de vetores complexos polares recíprocos.

4 – Veremos oportunamente que a um par de vetores complexos de planos distintos corresponderá um par de vetores complexos polares recíprocos; e a um terceto, um terceto polar recíproco. Mas vetores complexos polares recíprocos não poderão ser confundidos com vetores complexos recíprocos (ver §05.02) que têm outro significado.

Complexos coplanares ortogonais Se a e b são os semi-eixos maior e o menor da (E) de z, os semi-eixos de sua polar recíproca (E*), elipse de z*, são os vetores recíprocos dos anteriores, a* e b*; e tem-se:

==

==∗∗

∗∗

b.aba.

bb.aa.

0

1 , (02).

Como a é perpendicular a b (a e b são semi-eixos) e a b* (pela segunda das igualdades (02)), a deve ser paralelo a a*. Pela primeira das igualdades (02), o ângulo entre a e a* é agudo; logo, a e a* têm o mesmo sentido. Pelos mesmos motivos, b e b* são paralelos e têm o mesmo sentido. Como, então, |a| |a*|=1 e a é semi-eixo maior de (E), a* deve ser o semi-eixo menor de (E*); logo, (E) e (E*) têm semi-eixos maiores ortogonais (o que pode ser

verificado pelas Figuras 01.07). Em resumo: 1|||||||| == ∗∗ bbaa , ou, para certo R>0,


V,§01.05

R||

||

||

|| == ∗∗ ab

ba

, donde 2R||||

|||| =∗∗ ab

ba (03),

e

||

||||||

H ∗

∗==

ab

ab

(031).

Conforme (03), a constante R deve ser diferente de 1 se os vetores complexos z e z* não são circulares (§01.02). Conforme (031) as elipses (E) e (E*) têm a mesma excentricidade (pois têm o mesmo H) e são orto-homotéticas; logo, os complexos não podem ser paralelos (exceto se forem circulares).

Existe, evidentemente, uma infinidade de vetores complexos paralelos ao complexo z*=(u*,v*) polar recíproco de z=(u,v); são todos aqueles cujas elipses direcionais sejam roto-homotéticas com a de z* (logo, todas com o mesmo elíptico (§01.04)). Como z é qualquer, bem como seu polar recíproco z*, e em vista da orto-homotetia de suas elipses direcionais, emitiremos a seguinte definição.

Definição: (vetores complexos coplanares ortogonais) Dois vetores complexos coplanares serão ditos ortogonais se a elipse direcional de um deles for roto-homotética da polar recíproca da elipse direcional do outro.

Imediatamente podemos concluir:

Teor. 1: Dois complexos circulares paralelos são também ortogonais,

porque a circunferência recíproca de um deles é necessariamente roto-homotética da circunferência do outro. A definição dada, de caráter geométrico, poderia ser substituída pela seguinte:

Dois vetores complexos coplanares são ditos ortogonais se os seus antecedentes e conseqüentes constituem, correspondentemente, sistemas recíprocos no plano deles, ou vetores roto-homotéticos destes.

Assim, seja z=(u,v) um complexo elipticamente polarizado, de elipse (E), e z*=(u*,v*) o seu polar recíproco, de elipse (E*). Sejam ainda: w um vetor ortogonal a u e v, e (u*,v*,w*) o sistema recíproco de (u,v,w). O cíclico (§05.02,A,III, Vol. I)

(w*w,ϕ)=w*w+cosϕ (I -w*w)+senϕ (v*u-u*v), para qualquer ϕ, “roda” elíptica e positivamente u* e v* nos vetores semi-conjugados de

(E*): r *(ϕ)= cosϕu*+senϕv* e r *

(ϕ+π/2)= cosϕv*-senϕu*. Então H(w*w, ϕ), com H real, roda u* e v* da amplitude ϕ e amplia de H os seus módulos. Assim, os vetores:



u’=H(w*w, ϕ).u*==Hr *

(ϕ) e v’=H(w*w, ϕ).v*=H r *

(ϕ+π/2) são roto-homotéticos de u* e v* e o complexo z’=(u’,v’) é ortogonal a z. Dado um complexo z, existe, pois, uma infinidade de vetores complexos coplanares com z e ortogonais a z.

Pois, se z1 é perpendicular a z*, z1= H1(ϕ1, w w*).z*; . z2 é perpendicular a z*, z2= H2(ϕ2, w

w*).z*. Então, z* =(1/H2) (-ϕ2, w w*).z2, z1 =(H1/H2) (ϕ1-ϕ2, w w*).z2 e z1 é perpendicular a z2.

Conseqüentemente, existem infinidades de vetores complexos coplanares ortogonais entre si, ou mutuamente ortogonais.

As mesmas conclusões são válidas para os complexos circulares quando, então, as elipses dão lugar às circunferências.

* Exercício 3: Comprove que os autovetores complexos (b,-a) e (b,a) do diádico cíclico, referido no Exercício 2, não são ortogonais.

*

Determinação dos eixos de elipses polares recíprocas

Se α0 é a fase de a (em relação a u) na elipse (E) de z, a de b é α0+π/2; então:

vua 00 sencos α+α= e vub 00 cossen α+α−= , (04).

Logo:

=α+α−α+α== )cossen).(sencos(0 0000 vuvuba.

u.vuv 022

0 cos2)(sen22

1 α+−α= .

Uma expressão análoga pode ser escrita para a* e b* envolvendo a fase α*0, u

* e v*. Dessas expressões deduzimos:

.vuvu

22 ctg

22

0−=α e

∗∗

∗∗∗ −=α

.vuvu

22 ctg

22

0 , (05),

e com elas podemos determinar os semi-eixos posto que, estando dados u e v (logo, também u* e v*) poderemos calcular a fase α0. Então deduzimos:

bau 00 sencos α+α= e bav 00 cossen α+α−= , (06).

e fórmulas análogas para u* e v* em função de a* e b*.

* Exercício 4: A partir de (05), demonstre que os semi-eixos de elipses polares recíprocas apresentam fases iguais.

*

Se dois vetores complexos, z e z’, forem dados por suas respectivas elipses direcionais (E) e (E’), ambas de mesmo elíptico e de semi-eixos respectivos (a,b) e (a’,b’)


V,§01.05

com a>b e a’<b’, isto é, com semi-eixos maiores ortogonais (como nas Figuras 1.7), estes vetores serão ortogonais se, e apenas se, existirem as igualdades: aa’=bb’=G. Nesse caso, e apenas nesse caso, será a’=Ga* e b’=Gb*, com aa*=1=bb*, a elipse (E*), de semi-eixos (a*,b*), sendo: homotética de (E’), de mesmo elíptico que (E’), polar recíproca de (E), e de mesmo elíptico que (E).

Como o vetor real nulo é ortogonal a qualquer outro, concluímos que o vetor complexo nulo é ortogonal a qualquer complexo.

Complexos não coplanares ortogonais A introdução do conceito de complexos ortogonais pelos complexos coplanares é didática; vamos ampliar o conceito. Sejam e e e′′ˆ os elípticos dos complexos não coplanares z=(u,v) e z’’=( u’’, v’’), respectivamente. Disponhamos a elipse direcional (E’’) de z’’, digamos, de forma que seu centro se encontre sobre o suporte do elíptico e de z, elíptico este aplicado no centro da elipse (E).

A projeção ortogonal de z’’ sobre o plano de z é um complexo z’ cuja elipse direcional (E’) é a projeção ortogonal de (E) sobre aquele plano. A elipse (E*), polar recíproca de (E), tem posição definida no plano de z. A posição e a forma de (E’) – que dependem, evidentemente de (E’’) – poderão ter algum relacionamento com (E*); por exemplo, sendo (E’) roto-homotética com (E*), logo, tendo o mesmo elíptico que (E*). Se isto ocorrer, os complexos z* e z’ serão paralelos. Como z* é ortogonal a z (no plano a eles comum), segue-se, por transitividade, que z’ é ortogonal a z. Esta relação especial entre as elipses direcionais de dois complexos não coplanares z e z’’ é que vai caracterizar a ortogonalidade deles. Por isso vamos emitir a seguinte

Definição: Diremos que dois complexos não coplanares são ortogonais se a elipse projeção ortogonal da elipse direcional de um deles sobre o plano do outro for roto-homotética (logo, de mesmo elíptico) que a polar recíproca da direcional deste.

Apelando para o conceito de complexos coplanares ortogonais, esta definição é equivalente à seguinte:

Diremos que dois complexos não coplanares são ortogonais se um deles for perpendicular à projeção ortogonal do outro sobre o seu plano.

Gibbs, sem levar em conta uma possível rotação existente entre elipses homotéticas, preferiu a seguinte definição (mais restrita):

Dois complexos não coplanares são ortogonais se a elipse de um deles e a elipse direcional do outro, projetada sobre o plano do primeiro, são homotéticas, têm a mesma orientação e têm seus eixos maiores perpendiculares.



Oportunamente será justificada a introdução da rotação na nossa definição. Na definição de Gibbs, impor a condição de “mesma orientação” é dispensável porque, sem ela, conforme já enaltecemos, não haveria homotetia. Nada impede que a projeção z’ de z’’ sobre o plano de z seja um complexo circular e que o próprio z seja circular. Assim,

o vetor z’’, elipticamente polarizado num plano oblíquo ao do circular z, será ortogonal a z se sua projeção z’ sobre o plano de z for um complexo circular paralelo ao polar recíproco de z, z*.

Resulta dessas considerações geométricas que se dois complexos são circulares, mas de planos não paralelos, a elipse projeção de um deles sobre o plano do outro, associada a um vetor complexo elipticamente polarizado, jamais será homotética com a elipse deste; isto é:

Teor. 2: Se dois complexos circulares são não coplanares, eles não podem ser ortogonais.

Disponhamos as elipses direcionais dos complexos ortogonais coplanares e não circulares z1 e z2 de forma que o centro comum delas esteja situado sobre a normal ao plano da circunferência (C) de z3, conduzida pelo centro de (C). Pode acontecer que a projeção ortogonal de z1, digamos, sobre o plano de z3, seja um complexo circular (com circunferência de raio igual ao menor semi-eixo da elipse de z1) e de mesmo elíptico que z3. Então, conforme definição, z3 é perpendicular a z1. Mas, nesse caso, a projeção de z2 será necessariamente uma elipse porque sua elipse é roto-homotética com a de z1 (no plano desses complexos). Em resumo: os coplanares z1 e z2 são perpendiculares, e se o elipticamente polarizado z1 e o circular z3, não coplanares, são perpendiculares, z2 e z3 são, necessariamente, não perpendiculares. Então:

Teor. 3: Se dois complexos coplanares são ortogonais, apenas um deles poderá ser ortogonal a um complexo circular de plano não paralelo ao plano que lhes é comum.

Seja r uma reta do plano α da elipse direcional (E*) dos polares recíprocos z* de z (de plano α). Existe uma dupla infinidade de elipses roto-homotéticas com (E*), isto é, uma dupla infinidade de vetores coplanares com z e ortogonais a z (tal com em um plano ortogonal a um vetor real existe uma dupla infinidade de vetores reais ortogonais ao primeiro).

Algum vetor complexo y cujo plano β (distinto de α) contenha r, ou alguma paralela a r, poderá ter por projeção ortogonal sobre α um complexo cuja elipse direcional seja uma das elipses roto-homotéticas de (E*). Nesse caso, y será perpendicular a z (embora não coplanar com z). Como cada elipse roto-homotética de (E*) pode ser considerada projeção ortogonal de uma elipse de β, e como a cada elipse de β corresponde uma infinidade de complexos (paralelos entre si), resulta que existe em β uma infinidade de vetores complexos (paralelos entre si) todos ortogonais a z.


V,§01.05

Da mesma forma, em qualquer plano de um feixe de planos de charneira r existe uma infinidade de vetores todos ortogonais a z. Essa imagem tem análoga, no espaço dos vetores reais, segundo a qual existem infinidades de vetores contidos em planos paralelos entre si (a charneira do feixe sendo uma reta imprópria), mas todos ortogonais a certo vetor. Em resumo: a cada plano (real) da charneira de eixo r contido em α corresponde uma infinidade de vetores complexos paralelos entre si, todos ortogonais a z (de plano α). Mas os complexos de cada plano não são necessariamente perpendiculares.

O eixo menor de cada elipse roto-homotética de (E*) poderá servir de charneira de um feixe de planos sobre cada um dos quais existirá uma infinidade de vetores ortogonais a z. Analogamente com relação ao eixo maior, mas isto não implica ortogonalidade de vetores complexos cujas elipses pertençam a planos de um e outro feixe. Consideremos dois complexos ortogonais, coplanares ou não. Quantos complexos existirão (se é que existem!) simultaneamente ortogonais aos dois primeiros? Buscaremos resposta a essa pergunta no §02.

Complexos ortogonais e sistemas recíprocos no espaço Consideremos os sistemas arbitrários de vetores recíprocos a,b,c e a*,b*,c* e o par de vetores complexos não coplanares z3=(a,b) e z3

*=(a*,b*). Seja z’3=(a3,b3) a projeção ortogonal (paralela a c*) do complexo z3

* sobre o plano de z3. Podemos escrever para certos escalares L e M:

∗∗ += caa L3 e ∗∗ += cbb M3 , (07).

Então:

331 b.bb.ba.aa.a ==== ∗∗ e 330 a.ba.bb.ab.a ==== ∗∗ .

Estas igualdades demonstram que z’3=(a3,b3) e z3=(a,b) são polares recíprocos (no plano deles), sendo, pois, polares recíprocas as suas elipses. Logo, por definição, z3 é perpendicular a z3

* (no espaço) e a z’3 no plano, mas z’3 não é perpendicular a z3*. Os

mesmos resultados poderiam ser deduzidos para os outros dois pares homólogos nos sistemas recíprocos. Logo:

Teor. 4: A projeção ortogonal da elipse direcional do complexo definido por um par qualquer de vetores de um de dois tercetos (de vetores) recíprocos, sobre o plano da elipse do par homólogo do outro terceto, é polar recíproca desta.

Em outras palavras:

Teor. 5: O complexo definido por um par qualquer de vetores de um de dois tercetos de vetores recíprocos é sempre ortogonal ao vetor complexo definido pelo par homólogo do outro terceto.

§ 01.07 – Exercícios. 331


§ 01.06 – Vetores complexos oblíquos.

Vetores complexos não paralelos nem ortogonais serão ditos oblíquos; em geral, suas elipses direcionais não guardam entre si qualquer relação (nem mesmo se os complexos forem coplanares). Entretanto, sabemos que através de rotações e homotetias podemos levar uma elipse a assumir diferentes posições no seu plano; e nesses casos, evidentemente, cada elipse será direcional de um novo vetor complexo e poderá ter alguma relação com a elipse de partida. Essas operações sobre os vetores complexos e suas interpretações geométricas serão estudadas do §02 em diante.

*

§ 01.07 – Exercícios. 1) – Provar que é nula a soma dos vetores coiniciais no centro de uma elipse e extremidades situadas em três dos seus pontos cujos argumentos estejam em progressão aritmética de razão 2π/3.

Solução:

Somando os vetores s(α) e s(α´), dados por ((01), § 01.02) vem, evidenciando os fatores comuns no segundo membro: vuss )sensen()coscos()()( α′+α+α′+α=+ α′α .

Então, aplicando fórmulas trigonométricas clássicas relativas a somas de senos e soma de co-senos, simplificando e reconsiderando ((01), § 01.02), obtemos:

)2/)(()()( 2cos2 α′+αα′α

α′−α=+ sss .

A relação entre α e α´ tal, que 12

-cos2 −=α′α

, é 3/4π=α′−α , donde

α′+π=α′+α3

2

2.

Então,

osss =++ π+α′π+α′α )3/4()3/2()( ,

o que demonstra o teorema direto. Reciprocamente, sejam u e v são dois semidiâmetros conjugados quaisquer de uma elipse. Os vetores posicionais de três dos seus pontos cujos argumentos sejam α, α+2π/3 e α+4π/3 são:

vus α+α=α sencos)( , vus α)−α+α)+α−=/3π2+α sencos3(2

1sen3(cos

2

1)(

e

.sencos3(2

1sen3(cos

2

1)( vus α)−α−α)−α−=/3π4+α

332 § 02 – Operações fundamentais

V,§02.01

Somando membro a membro essas expressões reencontramos (01), que é a expressão da tese. 2) – Demonstrar que

As elipses de vetores semidiâmetros conjugados u, v e u+v e u-v têm o

mesmo elíptico e são homotéticas de razão de homotetia 2 (logo, são paralelos os vetores complexos (u,v) e (u+v,u-v)).

Demonstração: Se representarmos por a e b os vetores semi-eixo da elipse de semidiâmetros conjugados a e b, podemos escrever:

bau α+α= sencos e bav )2/sen()2/cos( π+α+π+α= .

Então, somando e depois subtraindo membro a membro essas igualdades, evidenciando os vetores a e b e aplicando fórmulas trigonométricas encontramos:

π+β+π+β=+−

β+β=+

],)2/sen()2/cos([2

)sencos(2

bavu

bavu

sendo 4/π+α=β . Esses resultados mostram que u+v e –u+v são semidiâmetros

conjugados da elipse cujos semi-eixos são 2 a e 2 b. Além disso, sendo

vuvuvu ×=+−×+ 2)()( ,

vemos que as elipses direcionais de (u,v) e (u+v, -u+v) têm o mesmo elíptico, o que comprova finalmente a proposição.

Álgebra dos vetores complexos.

§ 02 – OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS

§ 02.01 – Adição de vetores complexos.

Definição: (soma de dois vetores complexos) Chama-se soma dos complexos (u,v) e (u´,v´), e denota-se por

)(),( vuvu ′+′+ , o complexo que tem por antecedente e conseqüente,

respectivamente, a soma dos antecedentes e a soma dos conseqüentes dos vetores parcela:

),(),(),( vuvuvuvu ′+′+=′′+ , (01).

A definição pode ser estendida para um número finito de parcelas.

§ 02.02 – Multiplicação de vetor complexo por número complexo 333


A adição de complexos é a operação que tem por fim gerar a soma desses complexos.

Propriedades formais da adição de complexos 1ª) – É sempre possível e unívoca (o que é evidente); 2ª) – É comutativa:

),(),(),(),( vuvuvuvu +′′=′′+ , (02),

o que se comprova imediatamente pelo segundo membro de (01). 3ª) – É associativa:

...)(),(),()(),(),( =′′+′′++′′=′′+′′+′′+ vuvuvuvuvuvu , (03).

4ª) – Subtração: Chama-se diferença de dois complexos ordenados o complexo soma do primeiro (minuendo) com o oposto do segundo (subtraendo); a operação correspondente é a subtração, operação inversa da adição. 5ª) – Soma de um complexo com o complexo nulo:

),(),(),( vuoovu =+ , (04).

6ª) – É evidente que os vetores semidiâmetros conjugados da elipse direcional da soma de dois complexos são as somas (vetoriais) dos semidiâmetros conjugados correspondentes dos vetores parcela.

§ 02.02 – Multiplicação de vetor complexo por número complexo

Definição

Definição: (produto) Chama-se produto do número complexo B)(A,Z = pelo vetor complexo

),( vu , e denota-se por Z),(),Z( vuvu ≡ , o vetor complexo definido por

)AB,BA(),B)(A,(),Z( vuvuvuvu +−== , (01).

A multiplicação de número complexo por vetor complexo é a operação que tem por fim determinar o produto do número pelo vetor. Essa operação encampa a operação de multiplicação de número complexo por vetor real (bastando fazer-se v=o em (01)).


V,§02.02

Propriedades Formais

1ª) – A operação é sempre possível e unívoca.

2ª) – Sendo i unidade imaginária, tem-se:

),(i vov = , (02),

pois, sendo i=(0,1) e v=(v,o), deduzimos, aplicando (01):

),()01,10(),)(1,0(i voovovovv =+−== .

Ao vetor complexo iv está associada a díade nula; conseqüentemente, seu elíptico é indeterminado.

3ª) – Associatividade em relação a fatores escalares complexos:

...)],([ZZ),)(ZZ()],([ZZ 122121 === vuvuvu , (03).

4ª) – Distributividade em relação à adição de vetores ou de números complexos:

)(Z),(Z)](),(Z[ vuvuvuvu ′+′+=′+′+ , (04),

e )(Z),(Z),()Z(Z 2121 vuvuvu ′+′+=+ , (05).

Pois, aplicando ((01), § 02) e (01), tem-se:

)]B()A([)],B()A([)](),(B)[(A, uuvvvvuuvuvu ′++′+′+−′+=′+′+ ,

ou melhor, operando no último membro e reaplicando ((01), § 02):

)BA,BA()BA,BA()](),(B)[(A, uvvuuvvuvuvu ′+′′−′++−=′+′+ ,

Agora, reaplicando (01) às duas parcelas do último membro comprovamos (04). É fácil comprovar-se (05). 5ª) – Outras propriedades são facilmente demonstráveis, como:

oo =∀ Z:Z ;

ozz =∀ 0 : ;

ozoz ==⇒= ou 0, Z Z ;

zzz )Z(-Z)Z(- −== etc..., (07).

§ 02.03 – Norma e Módulo de vetor complexo. 335


§ 02.03 – Norma e Módulo de vetor complexo

Definição: (norma) Chama-se norma de um vetor complexo (u,v), e denota-se por ||u,v||, a soma das normas de suas partes real e imaginária:

||||||||||,|| vuvu += , (01).

Resulta imediatamente da definição que a norma de um vetor complexo é um número estritamente positivo, anulando-se se, e somente se, esse complexo é o complexo nulo.

Definição: (módulo) Chama-se módulo de um vetor complexo (u,v), e denota-se por |u,v|, a raiz quadrada positiva da sua norma:

||||||||||,|||,| vuvuvu +== , (02).

A norma da díade uv associada ao complexo (u,v) é um conceito diferente da norma do vetor complexo pois

22|||| vuuv = e |||||| vuuv = , (021).

Teor. 1: A norma de um complexo qualquer é igual à do seu oposto; analogamente, o módulo:

|,||,| e ||-|||||| :, vuvuu,-vu,vvu −−==∀ , (02).

Pois, tem-se:

||,||||||||||||||||||||,|| vuvuvuvu −−=−+−=+= .

Analogamente demonstraríamos a igualdade dos módulos.

Teor. 2: São iguais as normas e os módulos de complexos conjugados:

||,||||,|| vuvu −= e |,||,| vuvu −= , (03).

A demonstração desse teorema é evidente.

Vetor complexo unitário e unitário de um vetor complexo

Definição: (vetor unitário imaginário) Chama-se vetor unitário imaginário o par )ˆ,( vo , onde v é um vetor

unitário real.


V,§02.04

O vetor unitário real u é o vetor complexo definido por ),ˆ( ou . Ambos os

unitários, real e imaginário, serão ditos vetores complexos unitários; a esses complexos, na teoria dos diádicos, corresponde a díade nula. A norma e o módulo de um vetor complexo unitário podem ser determinados imediatamente; tem-se:

1|ˆ,| ,1||ˆ||||||||ˆ,|| ==+= vovovo e 1|,ˆ| ,1||||||ˆ||||,ˆ|| ==+= ououou , (04).

Partindo das expressões da norma e do módulo do complexo (u,v), deduzimos:

),(|| 2222 vu

v

vu

uzz

++= e 1|

|||

22

2

22

2=

++

+=

vuv

vuu

zz

.

Então, qualquer que seja o vetor complexo não nulo, z, existe um vetor complexo de módulo um, que denotaremos por z e que denominaremos unitário do complexo z, que goza da propriedade

||ˆ :

zz

zz =∀ , (06).

Logo:

Todo vetor complexo é paralelo ao seu unitário. À díade uv associada ao complexo (u,v) corresponde também a díade unitária vuˆˆ , sendo

vuvuuv ˆˆ||||= .

*

Exercício 1: Comprove que os autovetores complexos (b,-a) e (b,a) do diádico cíclico, referido

no Exercício 2, postos na forma ),(2

1ab e ),(

2

1ab − são vetores unitários.

*

§ 02.04 – Forma binomial dos vetores complexos

Tem-se sempre:

vuvu i),( += , onde 1i −= , (01).

Com efeito, considerando ((01),§02.01) e ((02),§ 02.02), podemos escrever:

vuvoouvu i),(),(),( +=+= .

§ 02.05 – Interpretação geométrica do produto Zz. 337


Teor. 1: As operações de adição de vetores complexos e multiplicação de vetor complexo por número complexo podem ser efetuadas escrevendo-se os números e os vetores nas suas formas binomiais como se tratasse de polinômios reais:

)i()i()(),( vuvuvuvu ′+′++=′+′+ , (021),

)i)(iBA(),)(BA,( vuvu ++= , (022).

De fato, pois

),()(i)()i()i( vvuuvvuuvuvu ′+′+=′++′+=′+′++ ,

expressão idêntica a ((01), § 03). Analogamente deduzimos, lembrando que i2=-1:

)BA,BA()Bi(ABA)i)(iBA( uvvuuvvuvu +−=++−=++ ,

expressão idêntica a ((01), § 04.01).

Teor. 2:(conjugado do produto de um número por um vetor) O conjugado do produto de um número complexo por um vetor complexo é igual ao produto do conjugado desse número pelo conjugado do vetor:

−−− =+=+=∀ zzvuz Z)(Z :i e iBA Z , (03).

Pois, sendo

)Bi(ABAZ uvvuz ++−= , donde )Bi(ABA)Z( uvvuz +−−=− ,

tem-se, agrupando e evidenciando neste último membro:

−−− =−=−−−= zvuvuvuz Z)iiB)(-(A)iiB()iA()Z( .

§ 02.05 – Interpretação geométrica do produto Zz.

Produto e-iϕz

O número complexo ϕ==ϕ−ϕ=ϕ−ϕ ϕ ciseisencos)sen,(cos -i costuma ser

denominado de cíclico; ϕ é o seu argumento ou fase. A cada valor do argumento corresponde um número complexo. O diagrama de Argand desse complexo (Ap.I,§01.07) é uma circunferência de centro na origem dos eixos e raio unitário (seu módulo e igual a 1), a cada ponto da qual corresponde um valor do argumento.


V,§02.05

Tem-se, denotando por )( ϕ−z)

o produto de e-iϕ pelo vetor complexo vuz i+= :

]cos)i[sen(sencos)i)(isencos(e-i)( vuvuvuzz ϕ+ϕ−+ϕ+ϕ=+ϕ−ϕ== ϕ

ϕ−)

, (01),

ou melhor,

)2/()()( i π+ϕϕϕ− += rrz)

, (02),

sendo, evidentemente,

vur ϕ+ϕ=ϕ sencos)( e vur /2)sen(/2)cos()2/( π+ϕ+π+ϕ=π+ϕ , (03),

semidiâmetros conjugados da elipse direcional de z (§01.02), tal como u e v (Figura 02.01). Logo, z e

)( ϕ−z)

=e-iϕz são paralelos (§01.04).

Seja w um vetor qualquer não coplanar com u e v, e (u*,v*,w*) o sistema recíproco de (u,v,w). É fácil ver que r (ϕ) e r (ϕ+π/2) são os “rodados” elíptica e positivamente de u e v pelo cíclico

(ww*,-ϕ)=ww*+cosϕ(I -ww*)+senϕ(vu*-uv*), usado como pré-fator em multiplicação ponteada (§05.02,A,III, Vol. I); isto é:

r (ϕ)=(ww*,-ϕ).u e r (ϕ+π/2)=(ww*,-ϕ).v. Alem disso, a área do setor elíptico descrito por u (ou por v), na rotação regida pelo cíclico - área pontilhada indicada na Figura 02.01 - está para a área de toda a elipse assim como ϕ está para 2π:

2πϕ=

elipse área

elípticosetor área.

Em resumo:

Teor. 1: O produto do cíclico e-iϕ pelo complexo z é paralelo a z; e a dois quaisquer semidiâmetros conjugados de e-iϕ z correspondem os semidiâmetros conjugados de z que, rodados ciclicamente da fase ϕ>0 no sentido positivo (em relação a z), descrevem, cada um, um setor (elíptico) cuja área esta para a área de toda a elipse assim como o argumento de ϕ está para 2π.

Em outras palavras, diremos que o (escalar) cíclico e-iϕ aplicado a um vetor complexo z transforma (elipticamente) esse complexo num outro cuja elipse direcional é coincidente com a de z, os vetores semidiâmetros conjugados que o definem sendo estabelecidos de acordo com o enunciado do teorema 1.

§ 02.06 - Axial e fásico de um vetor complexo. 339


Quando um vetor complexo )(ϕz)

, de mesma elipse direcional que um segundo vetor

complexo z, tem seus semi-diâmetros conjugados (que o definem) rodados de certa fase ϕ>0 na elipse de z, dizemos que )(ϕz

) está em relação a z; quando está rodado em sentido

contrário dizemos que está retardado da fase ϕ<0 em relação a z.

O Teorema 1 aplica-se também ao caso dos complexos circulares, substituindo-se: semidiâmetro pode ser substituído por raio, rodar ciclicamente da fase ϕ por rodar circularmente do ângulo ϕ etc.

Quando necessário, o complexo z pode ser expresso em função do seu excêntrico zexc (§01.04) na forma

) T1iˆ(e||e|| 2-iexc

-i j-iazaz +== ϕϕ ,

havendo, pois, relações semelhantes entre z, )(ϕz

) e zexc.

*

Exercício: A circunferência principal (C) de uma elipse (E) é coplanar com (E), é concêntrica com ela e tem raio igual ao seu semi-eixo maior. Sejam Q, P e P’ três pontos de mesma abscissa OM (Figura 02.02); o primeiro, da elipse (Eexc) de zexc, o segundo, da elipse (E) de z e o terceiro de (C). Comprovar que:5

abH

MP'MP == e

a1

MPMQ = .

*

O produto Zz e a definição de complexos paralelos Se, agora, escrevermos o complexo Z na forma exponencial, Z=|Z|e-iϕ, conforme exposto no Ap.I,§01.08, concluiremos que os complexos z e Zz (elípticos ou circulares) são ainda paralelos porque suas elipses direcionais são homotéticas de razão |Z|. Essa conclusão é totalmente compatível com a definição geométrica de complexos paralelos (§01.04): o fator (escalar) cíclico de Z, e-iϕ, é responsável pela rotação (cíclica) do vetor complexo z e o módulo de Z, |Z|, é responsável pela homotetia entre as elipses de z e Zz.

§ 02.06 - Axial e fásico de um vetor complexo Procuremos agora, por aplicação direta do Teor. 1, § 02.05, resolver o problema que

consiste em determinar o cíclico 0-ie α que multiplicando z=(u,v) transforme-o no complexo cujos semidiâmetros conjugados sejam os vetores semi-eixos a e b da elipse direcional de z. Deve ser, então:

bavu i)i(e 0-i +=+α ,


V,§02.06

onde devemos supor α0≠0 e α0≠π/2 pois, do contrário, u e v já seriam coincidentes com a e b, e não teríamos problema algum a resolver. Então, conforme ((03),§ 02.05) deve ser:

π+α+π+α=α+α−=α+α=

,/2)sen(/2)cos(cossen

sencos

0000

00

vuvub

vua

expressões já nossas conhecidas ((04),§01.05). Deduzimos, então, sem delongas, lembrando que a.b=0:

0022 )cos2(sen2)(

21 α=α− u.vvu , (03).

Se |||| vu ≠ é sempre possível determinar o ângulo de fase α0 (a menos de um número

inteiro de π/2 radianos), isto é,

2202 tg2 ||||

vuu.vvu−

=α⇒≠ , (031),

pois α0≠0 e α0≠π/2 (u.v≠0 e u e v não são semi-eixos). Nestas condições, sendo z elipticamente ou linearmente polarizado, é possível determinar-se α0. Se, porém, contrariamente ao caso anterior, z é tal que u.v=0 ( vu ⊥ ), e devendo ser, ainda, α0≠0 e α0≠π/2, então de (03) concluímos que: |||| vu = (pois sen2α0≠0). Nesse

caso – em que z é um complexo circularmente polarizado - α0 é indeterminado, podendo assumir qualquer valor diferente de 0 e π/2.

Se, finalmente, u=v, caso em que z é linearmente polarizado com u.v=u2, (03)

mostra que cos2α0=0, ou seja α0=45° e 2/2i)(1Z += .

Definições: (fásico e axial de um vetor complexo) O vetor complexo cujo antecedente e cujo conseqüente sejam, respectivamente, os vetores semi-eixo maior e menor de dado vetor complexo z elipticamente polarizado é denominado o axial de z. Ao cíclico que transforma, por multiplicação, dado complexo z elipticamente polarizado, no seu axial, denominaremos o fásico de z.

Consideremos agora dois complexos paralelos, vuz i+= e vuz ′+′=′ i de fásicos e-iψ e e-iψ´ e axiais ba i+ e ba ′+′ i respectivamente. Podemos escrever aa ρ=′ e bb ρ=′ ,

desde que ρ seja a razão da homotetia de suas elipses direcionais. Deduzimos, então:

zbabaz ψψ′ ρ=+ρ=′+′=′ -i-i e)i(ie ,

donde

zz )'-i(e ψ−ψρ=′.

§ 03.01 - Produtos ponteado e cruzado. 341


Portanto existe um (e um único) complexo )'-i(eZ ψ−ψρ= tal, que z´=Zz. Assim,

Teor. 2: Dados dois complexos paralelos, z e z , de fásicos e-iψ e e-iψ´ respectivamente, e elipses homotéticas de razão ρ, existe um e um único número complexo

)'-i(eZ ψ−ψρ= tal, que z =Zz.

Resulta dos teoremas 1 e 2:

Corol. 1: A CNS para que dois vetores complexos sejam paralelos é que tenham em comum um fator numérico complexo.

Como duas circunferências concêntricas, coplanares e igualmente orientadas relativas a dois vetores complexos circularmente polarizados são trivialmente homotéticas resulta:

Corol. 2: A CNS para que dois vetores complexos circulares sejam paralelos é que seus elípticos sejam iguais.

Nota: Dois complexos, z1 e z2, com elipses direcionais coincidentes (casos em que os complexos são coplanares), não são paralelos necessariamente porque nem sempre podemos escrever z1=Zz2. É o caso, por exemplo, dos complexos conjugados z1=u+iv e z2=u-iv que têm a mesma elipse direcional, mas elípticos opostos. Em geral, os complexos coplanares da forma u+iv e Au+Biv, eventualmente com elípticos iguais (A e B do mesmo sinal), mas com A≠B (as elipses não seriam homotéticas), não são paralelos.

§ 03 – MULTIPLICAÇÕES DE VETORES COMPLEXOS, PONTEADA E CRUZADA

§ 03.01 - Produtos ponteado e cruzado

Definição: (produtos: ponteado e cruzado) Chamam-se produto ponteado e produto cruzado dos vetores complexos

111 ivuz += e 222 ivuz += , e denotam-se, respectivamente por 21 z.z e

21 zz × , o número complexo

)- i() ( 21212'2121 .uvv.uv.vu.uz.z +−= , (011),

e o vetor complexo

)- i() ( 2121212121 uvvuvvuuzz ××+×−×=× , (012).

342 § 03 – Multiplicações de vetores complexos, ponteada e cruzada

V,§03.01

As multiplicações correspondentes são as operações que têm por fim determinar os respectivos produtos. Tal como na teoria dos vetores reais, se denotarmos por tanto o sinal de multiplicação ponteada quanto o de multiplicação cruzada, escreveremos as fórmulas tradutoras das definições acima pela expressão

)- i() ( 2121212121 uvvuvvuuzz ooooo +−= , (01).

Propriedades formais das multiplicações

1ª) – São associativas em relação a fatores numéricos complexos,

...)Z(Z))(ZZ()Z()(Z 212121212211 === zzzzzz ooo , (02),

e distributivas em relação à adição de vetores complexos,

2121 )( zzzzzzz ooo +=+ , (03).

2ª) – A multiplicação ponteada é comutativa; a cruzada é anti-comutativa:

1221 z.zz.z = e 1221 zzzz ×−=× , (04).

Aplicando a definição (01), escrevemos:

)- i() ( 1212121212 uvvuvvuuzz ooooo +−= , (013).

Como a multiplicação ponteada de vetores reais é comutativa, a expressão acima não diferirá de (011) quando fizermos ≡., mas trocará de sinal ao fazermos ×≡o porque a multiplicação cruzada de vetores é anti-comutativa; o que comprova as (04). Das (04) vem logo, fazendo z2=z1=z=u+iv:

) .i(2)(. 22 vuvuzz +−= , (041),

e ozzz =×∀ : , (042).

Resulta imediatamente de (041) que

É nulo o quadrado ponteado de um complexo circularmente polarizado. Reciprocamente, resulta ainda de (041):

Se o quadrado ponteado de um vetor complexo (não nulo) é igual a zero, ele é circularmente polarizado.

§ 03.01 - Produtos pontuado e cruzado 343


Pois devendo ser 022 =− vu e 02 =u.v , resulta |||| vu = e vu ⊥ (ver final do §01.02).

Assim,

Teor.1:(quadrado do circular) A CNS para que um vetor complexo (não nulo) seja circularmente polarizado é que seja nulo o seu quadrado ponteado.

3ª) – O produto ponteado de um vetor complexo pelo seu conjugado é igual à sua norma; o produto cruzado é um vetor complexo puro paralelo ao seu elíptico:

vuzzvuzzz.vuz ×=×+==+=∀ ∗∗ i 2 ,|||| :i 22 , (05).

As demonstrações correspondentes são evidentes em vista das fórmulas (01). Resulta imediatamente de segunda igualdade (05) que

Se um complexo é unilinear (ou unilinearmente polarizado) é sempre nulo o produto cruzado dele pelo seu conjugado.

A recíproca dessa propriedade é verdadeira:

Se for nulo o produto cruzado de um complexo pelo seu conjugado, esse complexo é unilinearmente polarizado.

Logo: Teor. 2: A CNS para que um complexo seja unilinearmente polarizado é que seja nulo o produto cruzado dele pelo seu conjugado.

4ª) – O conjugado do produto de certo nome (ponteado ou cruzado) de dois vetores complexos é igual ao produto de mesmo nome dos conjugados desses mesmos vetores na mesma ordem:

∗∗∗ = 2121 )( zzzz oo , (06).

Pois, aplicando a definição de conjugado ao produto definido por (01) vem, sem delongas:

)],i-(i[)]i([]u)i(i[)i(

)(i)(

22122121212121

2121212121

vuvvuuvvvvuuu

uvvuvvuuzz

oooooo

ooooo

−−=−+−==+−−=∗

donde, evidenciando o vetor complexo comum às duas parcelas, comprovamos (06). Trocando z1 por z1

* em (06), vem:

∗∗∗ = 2121 )( zzzz oo , (061),


V,§03.02

sendo, ainda

|||||||| 2121∗∗ = zzzz oo , (062),

5ª) – São nulos os produtos ponteado e cruzado de qualquer vetor complexo pelo complexo nulo:

0 =oz. e ooz =× , (07).

§ 03.02 - Paralelismo e ortogonalidade de complexos em forma algébrica.

Teor. 3: A CNS para que dois vetores complexos sejam paralelos é que seja nulo o produto cruzado deles:

ozzzz =×⇔ 2121 || , (08).

Se um dos complexos é nulo a demonstração é evidente. Se os vetores z1 e z2 (não nulos) são paralelos, então, pelo Corol. 1 do Teor. 2 do § 03.03, existe um número complexo Z tal, que z1=Zz2, donde, então, ozzzz =×=× 2221 Z , ou seja, conforme (042),

ozz =× 21 .

Reciprocamente, se ozz =× 21 , podemos escrever, pondo jjj ivuz += :

=×−×=×−×

.2121

2121

ouvvu

ovvuu

A primeira equação do sistema acarreta a coplanaridade dos complexos porque o produto cruzado dos seus antecedentes, u1×u2, e o dos seus conseqüentes v1×v2 devem ser paralelos (logo, ortogonais a um mesmo plano). Somando e subtraindo membro a membro as equações do sistema podemos transformá-lo no sistema equivalente

=+−×+=+×+−

.)()(

)()(

2211

2211

ovuvu

ovuvu

Esse novo sistema mostra que u1+v1 e –u1+v1 são vetores paralelos a –u2+v2 e u2+v2, respectivamente. Pelo exercício 2, § 01, a elipse de z1, de semidiâmetros conjugados (u1,v1),

é homotética de razão 2 com a do complexo (u1+v1,-u1+v1), ambas tendo o mesmo elíptico. Da mesma forma são elipses coplanares, têm elípticos iguais e são homotéticas de

razão 2 a elipse do complexo z2=(u2,v2) e a do complexo (u2+v2,-u2+v2). Logo, as elipses de z1 e z2 são também coplanares, têm elípticos iguais e são homotéticas (pouco importando a razão da homotetia); isto é, esses complexos são paralelos.

Teor. 4: E nulo o produto ponteado de vetores complexos ortogonais.

É evidente o teorema porque, sendo ortogonais os complexos (§01.05), os vetores que os definem devem ser paralelos e proporcionais a pares de vetores homólogos de

§ 03.02 - Paralelismo e ortogonalidade de complexos em forma algébrica. 345


sistemas recíprocos de vetores, isto é: um complexo é da forma (Pu,Pv) e o outro da forma (Qu*,Qv*)=(PQ-PQ,0)=0, u,v,w e u*,v*,w* sendo algum terceto de vetores recíprocos.

Nota: A recíproca deste teorema não é verdadeira, isto é, pode ser nulo o produto ponteado de dois vetores complexos sem que eles sejam ortogonais; o produto de um complexo circular por si próprio é um exemplo (Teor. 1).

*

Consideremos os tercetos recíprocos u,v,w e u*,v*,w*. Com o primeiro terceto podemos constituir os vetores complexos

z1=(v,w), z2=(w,u) e z3=(u,v); e com o segundo, os pares correspondentes proporcionais aos recíprocos homólogos:

z1*=(Mv*,Mw*), z2

*=(Nw*,Nu*) e z3*=(Pu*,Pv*).

Tem-se, então:

z1.z1*=0=z2.z2

*=z3.z3*

e (z1.z2

*)/N=i=(z1.z3*)/P=(z2.z3

*)/P =(z2.z1*)/M=(z3.z1

*)/M=(z3.z2*)/N.

*

Teor. 5: (direto) Se dois complexos são paralelos e circulares, então o produto ponteado deles é igual a zero.

Sejam z=(u,v) e z’=(u’,v’) complexos paralelos; e ponhamos (Corol.1, Teor.2, § 03.03), z’=Zz para algum número complexo Z≠0. Então: z.z’=Zz.z. Se z é circular, z’ também o é, e z.z=0 (Teor. 1); logo z.z’=0.

Teor. 6: (recíproco) Se dois complexos são paralelos e o produto ponteado deles é igual a zero, então eles são circulares.

Sejam z=(u,v) e z’=(u’,v’) complexos paralelos; e ponhamos z’=Zz para algum número complexo Z≠0. Então, se z.z’=0 é Zz.z=0, isto é, z.z=0 e pelo Teor. 1 z é circular.

Corol. 1: A CNS para que dois complexos paralelos sejam circulares é que o produto ponteado deles seja igual a zero.

* Exercício: De todos os vetores reais contidos no plano de dado complexo não degenerado, apenas aqueles ortogonais ao seu conseqüente admitem produto ponteado real com o complexo dado.

*


V,§03.03

Teor. 7: A CNS para que um vetor complexo seja nulo é que seja nulo o produto ponteado dele pelo seu conjugado:

oz.zoz =⇔= , (11).

Se z=o, o teorema é evidente. Reciprocamente, se oz.z = , tem-se: 022 =+ vu , o que é possível apenas se os vetores u e v são nulos, ou z=οοοο.

§ 03.03 – Produto misto de complexos Chama-se produto misto de três vetores complexos z1, z2 e z3, nessa ordem, e indica-se por (z1z2z3), o produto ponteado do produto cruzado dos dois primeiros (que é um vetor) pelo terceiro:

321321 )( .zzzzzz ×= , (01);

o produto misto é, pois, um número complexo. A multiplicação mista de três vetores complexos é a operação que tem por fim determinar o produto misto desses vetores.

Propriedades Pondo: ),( jjj baz = para j=1,2,3, tem-se:

),).(,()( 3321212121321321 baabbabbaa.zzzzzz ×+××−×=×= ,

a parte real desse número complexo sendo

)()()()(

)()()()()Re(

213132321321

321321321321321

bbabbabbaaaa

babbbaabbaaazzz

−−−==−−−= , (02),

e a parte imaginária

)()()()(

)()()()( )Im(

213132321321

321321321321321

aabaabaabbbb

aabababbbbaazzz

+++−==++−= , (03).

As propriedades dessa operação decorrem das propriedades das duas operações utilizadas para a sua definição; e todas são idênticas à da multiplicação mista de vetores reais.

Assim:

1) – É sempre possível e unívoca, o que é evidente;

2) – Um produto misto não se altera mantendo-se a posição das letras e alternando-se os símbolos operatórios:

321321321 )( z.zz.zzzzzz ×=×= , (04).

§ 03.04 – Nulidade do produto misto de complexos. 347


Para a comprovação da propriedade basta desenvolver o produto do último membro de (04) e comparar suas partes real e imaginária com as expressões (02) e (03). 3) – Um produto misto de vetores complexos não se altera quando se permutam ciclicamente os vetores que o compõem:

)()()( 213132321 zzzzzzzzz == , (05),

mas muda de sinal quando se permutam os vetores na ordem anti-cíclica:

)()()()( 321312231123 zzzzzzzzzzzz −=== , (06),

Esta propriedade pode ser demonstrada a partir de (02) e (03) efetuando-se uma mesma permutação nos vetores de todos os produtos mistos indicados e aplicando propriedades da multiplicação mista dos vetores reais.

* Exercício 1: Comprove que o produto misto dos autodiádicos do cíclico, referidos nos Exercício 1 do §02.03, é igual a –i.

*

§ 03.04 – Nulidade do produto misto de complexos

Caso de fatores complexos paralelos

É evidente que um produto misto é nulo sempre que dois dos fatores sejam paralelos, pois com permutação dos símbolos operatórios ocorrerá necessariamente um produto cruzado com os vetores paralelos (Teor. 3, §03.02). Logo para que um produto misto seja não nulo não pode haver nenhum fator nulo uma vez que o complexo nulo é paralelo a qualquer vetor. Consideremos o produto misto nulo, com fatores iguais, 0).( 211 =× zzz , expressão

em que usamos os parênteses apenas para destaque. A nulidade desse produto não implica a ortogonalidade de z1 com z1×z3 porque um produto ponteado pode ser nulo sem que os vetores fatores sejam ortogonais (ver Nota, Teor. 4, §03.02). Entretanto, não obstante a nulidade do produto, nada impede que os vetores z1 e z1×z2, ou z2 e z1×z2 sejam ortogonais, bastando, para tal, que a projeção da elipse direcional de um deles sobre o plano do outro seja roto-homotética com a elipse deste. Pode acontecer até que z1 ⊥ z1×z2 e z2 ⊥ z1×z2. De fato, basta que a projeção da elipse de z1×z2 sobre os planos das elipses de z1 e z2 seja simultaneamente roto-homotética com as elipses de z1

* e z2*.

Caso de complexos coplanares

Por outro lado,

para que seja nulo um produto misto de vetores complexos não paralelos é suficiente que os vetores complexos fatores sejam coplanares.


V,§03.04

De fato, pois nesse caso os vetores (reais) fatores de todos os produtos mistos componentes da parte real (02) e da parte imaginária (03) do produto são nulos. Mas a condição de coplanaridade não é necessária para que o produto misto seja nulo.

Caso de complexos não coplanares - Com antecedentes e/ou conseqüentes não coplanares

Teor. 1: Se ),( jjj baz = para j=1,2,3, se 0)( 321 ≠aaa e se i

iab=φφφφ é o diádico que

transforma os antecedentes dos complexos nos seus conseqüentes, então:

+−=

−=

))(()Im(

)1)(()Re(

E3321321

~E 321321

φφφφφφφφ

φφφφ

aaazzz

aaazzz, (07).

Tem-se: )/()())(( 321321321

3213 aaabbbaaabbb ==φφφφ e iiE .ab=φφφφ . De (03)

deduzimos imediatamente: ))( ()( )Im( 321i

i3213321 aaaa.baaazzz +−= φφφφ ; o que comprova a

segunda das fórmulas (07). Tem-se ainda:

)]bb()aaa(

)aa()[aaa()bb)(aa()]ab()ab[(~

ji321

ji321

jijiTj

ji

i 2

1

2

1

2

1 ××=××== ××φφφφ .

Recorrendo à expressão sintética ((04)1, §04.02,I, vol. I) e calculando o escalar de ~φφφφ vem:

)()(21)()(

21

jikijk321

jikijk321~

E bbaaaabb.aaaa ε=×ε=φφφφ .

Desenvolvendo as somas indicadas (nos índices i, j e k) e aplicando propriedades da multiplicação mista de vetores resulta:

)]()()[()(

1213132321

321

~E bbabbabba

aaa++=φφφφ .

Podemos agora escrever a expressão (02) na forma

~E 321321321 )()()Re( φφφφaaaaaazzz −= ,

idêntica, precisamente, à primeira das fórmulas (07). Torna-se evidente, então, a veracidade do seguinte



Corol. 1: A CNS para que seja nulo o produto misto dos complexos ),( jjj baz =

com antecedentes independentes, é que o diádico iiab=φφφφ , que

transforma seus antecedentes nos seus conseqüentes, seja tal, que φφφφE=φφφφ3 e

1~E =φφφφ .

De fato, se o produto misto é nulo, o Teor. 1 garante a existência das condições requeridas porque a parte real e a parte imaginária do produto misto dos complexos devem

ser simultaneamente nulas. A recíproca é evidente porque, se φφφφE=φφφφ3 e 1~E =φφφφ , as partes real

e imaginária do produto são nulas, conforme (07); e o produto é nulo.

Se os conseqüentes dos vetores complexos forem independentes, e se jjba=ψψψψ é o

diádico que transforma seus conseqüentes nos seus antecedentes, valeriam as fórmulas:

+−=

−=

)1)(()Im(

))(()Re(

~E 321321

E3321321

ψψψψ

ψψψψψψψψ

bbbzzz

bbbzzz, (08).

Analogamente ao corolário anterior, podemos enunciar:

Corol. 2: A CNS para que seja nulo o produto misto dos complexos ),( jjj baz =

com conseqüentes independentes é que o diádico jjba=ψψψψ , que

transforma seus conseqüentes nos seus antecedentes, seja tal, que ψψψψE=ψψψψ3

e 1~E =ψψψψ .

Devemos considerar o caso em que os antecedentes e os conseqüentes dos vetores complexos sejam independentes. Nesse caso, existe o diádico (completo) de mudança de

base iiba=µµµµ que transforma os bi nos ai, cujo inverso transforma os ai nos bi. Valem,

então, as seguintes fórmulas:

+−=+−=

−=−=

)1)(())(()Im(

))(()1)(()Re(

1-3 E321E3321321

-1E

-13 321

~E 321321

µµµµµµµµµµµµµµµµ

µµµµµµµµµµµµ

bbbaaazzz

bbbaaazzz, (09).

Se for nulo o produto misto dos vetores, então µµµµE=µµµµ3 e 1~E =µµµµ , sendo fácil comprovar-se

que estas conseqüências são equivalentes à nulidade dos segundos fatores nos últimos membros de (09). Logo:

Corol. 3: A CNS para que seja nulo um produto misto de complexos com tercetos de antecedentes e conseqüentes independentes é que o diádico de mudança dos vetores de um terceto nos vetores do outro tenha escalar igual ao terceiro e que o escalar do seu adjunto valha +1.


V,§03.04

Em qualquer um dos três casos vistos – em que é nulo o produto misto dos complexos – a equação característica do diádico (§03.03,III) que transforma um terceto no outro é:

0)1X)(X( 23 =+−ΓΓΓΓ ,

em que ΓΓΓΓ é igual a φφφφ, ou ψψψψ, ou µµµµ, pois deve ser ΓΓΓΓE=ΓΓΓΓ3 e 1E~ =ΓΓΓΓ Os autovalores são, pois:

X1=ΓΓΓΓ3, X2=+i=eiπ/2 e X2=-i= e-iπ/2.

Então ΓΓΓΓ é diádico ciclotônico (Teor. 1, §04.01,A,III, vol. I). Por ter ângulo de giro igual a π/2 rad (X2 e X3 são imaginários puros), ΓΓΓΓ é tônico quadrantal (§06.03,A,III, vol. I). Em resumo:

Teor. 2: A CNS para que seja nulo um produto misto de vetores complexos com tercetos de antecedentes e/ou conseqüentes independentes é que o diádico que transforma um terceto no outro seja um tônico quadrantal.

Interpretação geométrica

Seja u um autovetor de ΓΓΓΓ correspondente ao autovalor real X1. Constituamos com u e dois outros vetores arbitrários v e w, ambos do plano do uniplanar ΓΓΓΓ-ΓΓΓΓ3I , a base u,v,w cuja recíproca é u*,v*,w*. Podemos, assim, escrever:

∗∗∗ +−= wvvwuu3ΓΓΓΓΓΓΓΓ , (10).

que pode ser fatorado na forma

Q.TT.Q ==ΓΓΓΓ com

∗∗∗ ++= wwvvuuT 3ΓΓΓΓ (tônico) e ∗∗∗ +−= wvvwuuQ (quadrantal), (11).

Decomponhamos um vetor qualquer do espaço, r , numa componente paralela a u, r ’=(r.u *)u, e outra, r ”, contida no plano definido por v e por w. Seja E” a elipse homotética da elipse direcional do complexo (v,w) que contenha a extremidade de r ”. Conforme sabemos (§05.02,A,III, vol I)44, se o quadrantal Q é usado com pré-fator, ele translada r ’ e transforma r ” (da elipse E”) no seu vetor conjugado. O tônico T é inerte com relação a r ” (T.r ”= r”); atua simplesmente sobre r ’ distendendo ou contraindo seu módulo ΓΓΓΓ3 vezes, e mudando seu sentido se ΓΓΓΓ3<0 (T.r ’=ΓΓΓΓ3 r ’).

Observemos que o teorema 2 exige que os vetores antecedentes do terceto complexo, ou os conseqüentes, ou ambos, sejam não coplanares. Resta, então, analisar a possibilidade de nulidade de produto misto com tercetos de antecedentes e de conseqüentes não independentes (coplanares ou colineares).

44 No §05.02,A,III deve ser considerado ϕ=π/2 rad para que o cíclico seja um quadrantal.



- Com antecedentes e conseqüentes coplanares Dentre estes tercetos de vetores complexos devemos considerar apenas aqueles cujos planos sejam não paralelos, pois, do contrário, os complexos seriam coplanares (o plano dos antecedentes seria coincidente com o dos conseqüentes) e admitiriam sempre um produto misto nulo. Tampouco necessitaríamos considerar os vetores complexos cujos antecedentes fossem paralelos entre si, bem como os conseqüentes, pois estes seriam também coplanares. Consideremos, então, o produto misto dos complexos:

),( jjj baz = , j=1,2,3, com 0)( 321 =aaa , 0)( 321 =bbb e ∀j, aj≠o e bj≠o, (12),

produto este cuja parte real e parte imaginária estão dadas por ((02) e (03),§03.03). Denotemos por α) o plano que contem os vetores a’s e por a o unitário da sua normal; seja

β) o plano que contem os vetores e b o unitário de sua normal. Conforme ((02) e (03),§03.03) escrevemos:

b.abbabbabbazzz ˆ)()()()Re( 0213132321321 =−−−= ,

o vetor 0a - pertencente ao plano α) – sendo

3212121313132320 ),sen(||||),sen(||||),sen(|||| abbbbabbbbabbbba ++=− , (13);

e ˆ.)()()()Im( 0213132321321 abaabaabaabzzz =++= ,

o vetor 0b - pertencente ao plano β) – sendo

3212121313132320 ),sen(||||),sen(||||),sen(|||| baaaabaaaabaaaab ++= , (14).

Os planos α) e β) são não paralelos, por hipótese. Se 0)( 321 =zzz , então

0)Re( 321 =zzz e 0)Im( 321 =zzz ; e reciprocamente, isto é:

==

⇔=0ˆ

0ˆ 0)(

0

0321

a.b

b.azzz .

As condições simultâneas indicadas no lado direito da expressão acima existirão desde que

a0 e b0 sejam simultaneamente paralelos a ba ˆˆ × , ou seja, paralelos à interseção dos planos α) e β). Logo:

Teor. 3: Se um terceto de vetores complexos z1, z2 e z3 satisfaz (12), a CNS para que o produto misto deles seja nulo é que os vetores não nulos a0 e b0 dados por (13) e (14) sejam paralelos à interseção dos planos α) e β) que contêm seus antecedentes e conseqüentes,

ou,

352 § 04 – Identidades com vetores complexos

V,§04

A CNS para que seja nulo um produto misto de vetores complexos com tercetos de antecedentes e conseqüentes dependentes de planos distintos e nenhum deles nulo é que os vetores a0 e b0 dados por (13) e (14) sejam paralelos à interseção desses planos.

§ 04 – IDENTIDADES COM VETORES COMPLEXOS Apresentamos no Capítulo I do Volume I algumas identidades vetoriais (das quais, inclusive, geramos algumas identidades algébricas). Por exemplo:

b.yb.x

a.ya.xyx.bayxba =××≡ )()(),,,F( , de valor escalar, (01);

ya.xxa.yyxayxag )()()(),,( −=××≡ , de valor vetor, (02),

e outras. As identidades de valor escalar poderiam ser reunidas sinteticamente numa expressão geral do tipo

L(a,b, ..., x, y, ...)=0, (03), e as de valor vetor numa do tipo

l(a,b, ..., x, y, ...)=o, (031), em que 0 e o são, respectivamente, o escalar zero e o vetor zero, L representando uma função linear de valor escalar e l uma de valor vetor, ambas com argumentos (vetores) a, b, ..., x, y, .... Se, digamos, em (01) substituirmos o argumento x por Ar+Bs, virá:

))BA(()()),BA(,,F(),,,F( ysr.baysrbayxba ×+×≡+= ,

ou, operando no último membro:

),,,BF(),,,AF()()B()()A())BA(()( ysbayrbays.bayr.baysr.ba +=××+××=×+× .

Concluímos: a identidade (01) é linear no argumento x.

Definição: (função linear) Uma função (de valor escalar ou valor vetor) é linear num argumento vetor x quando a substituição desse argumento por uma combinação linear de outros vetores com certos coeficientes torna essa função uma combinação linear de funções idênticas desses outros argumentos, com os mesmos coeficientes.

§ 04 – Identidades com vetores complexos. 353


Para a função g definida em (02), teríamos:

),,(B),,(A))BA(()),BA(,( ysagyragysraysrag +=×+×≡+ , (04).

É válido, pois, o seguinte princípio:

Em geral, toda identidade vetorial linear válida para vetores reais é válida também para vetores complexos,

não sem algumas exceções, e desde que a função (F ou g) não indique “tomar o conjugado” de algum vetor complexo envolvido.

Identidades com vetores complexos Assim, são válidas as fórmulas apresentadas a seguir que, a título de exercício, podem ser desenvolvidas escrevendo-se cada vetor em forma binomial e aplicando-se em seguida o conceito de função linear. Fórmula do duplo produto vetorial:

:,, 321 zzz∀ 321231321 )()()( z.zzz.zzzzz −=×× , (05).

Se z2=z3 o duplo produto é nulo. Se, digamos, z1=z2=z, tem-se:

333 )()()( zz.zzz.zzzz −=×× , (051).

Essa fórmula, em vetores reais, permite decompor o vetor z3 na direção de z e da normal a z (porque )( 3zzzp ××= é perpendicular a z). Ela é verdadeira para vetores complexos, mas

o vetor p não é necessariamente perpendicular a z3, embora seu produto ponteado por z3 seja nulo (ver Nota, Teor. 4, §03.02). Se, em particular, z é um complexo circular,

zz.zzzzp )()( 33 =××= .

A CNS para que o complexo p seja perpendicular a z é dada pela própria definição de complexos ortogonais: a projeção da elipse direcional de p sobre o plano de z deve ser roto-homotética com a elipse direcional do polar recíproco z* de z; ou, o que é o mesmo, a projeção ortogonal p’ de p sobre o plano de z deve ser um complexo roto-homotético com z*. Se n é o elíptico de z, tem-se, tal como para os vetores reais: nnp.pp ˆ)ˆ(−=′ .

Deduzimos, então, sucessivamente, considerando (051), observando que 0ˆ =nz. e denotando por z3’ a projeção de z3 sobre o plano de z:

33333 )()(ˆ)ˆ)(()()( zz.zzz.znn.zz.zzz.zzz.zp ′−=+−=′ , pois nn.zzz ˆ)ˆ( 333 −=′ .

Se a elipse de p’ for roto-homotética com a de z*, p’ será perpendicular a z, isto é, p’ .z=0 necessariamente, bem como p.z=0. Em resumo:

354 § 05 – Vetores complexos recíprocos.

V,§05.01

1 – o produto misto .zzzzp.z )( 3××= é sempre nulo por ter dois fatores iguais (a

z), mas isto não implica que )( 3zzzp ××= seja perpendicular a z;

2 - se a projeção ortogonal da elipse de )( 3zzzp ××= sobre o plano de z for roto-

homotética com a de z* - caso em que p e z são perpendiculares e p.z=0 - a expressão (051) permitirá decompor z3 segundo um vetor paralelo a z (se z.z≠0, ou seja, se z é não circular) e um vetor p perpendicular a z. De fato, seria:

pz.z

zz.zz.z

z)(

1)(

)( 33 −= , com z.z≠0, )( 3zzzp ××= e p.z=0.

Se z for circularmente polarizado essa decomposição não será possível (pois z.z=0).

Se z é qualquer (circular ou não) e se a projeção ortogonal da elipse de

)( 3zzzq ××= ∗ sobre o plano de z for roto-homotética com a de z* - caso em que q e z são

perpendiculares e q.z=0 - a expressão 33 )()( zz.zzz.zq ∗∗ −= permitirá decompor o z3 (que

é qualquer) segundo um vetor paralelo a z* (já que z.z*≠0) e um vetor q perpendicular a z. Então, seria:

qz.z

zz.z

z.zz ∗

∗∗ −= 13

3 , com z.z*≠0, )( 3zzzq ××= ∗ e p.z=0.

Fórmula do produto escalar de dois produtos vetoriais:

:,,, 4321 zzzz∀ 4232

41314321 )()(

.zz.zz

.zz.zzzz.zz =×× , (06).

Fórmula de Lagrange:

221

22

21

221 |||||||| −−+=× .zzzzzz , (07),

sendo oportuno observar-se que o segundo fator na última parcela refere-se ao conjugado do complexo z2. Para a demonstração desta fórmula parte-se do cálculo da norma do produto cruzado 21 zz × , aplica-se propriedade do conjugado de um produto ((06),§03.01)

e em seguida a fórmula (06).

§ 05 – VETORES COMPLEXOS RECÍPROCOS

§ 05.01 – Produto cruzado de dois produtos cruzados

Ponhamos wzz =× 21 e apliquemos a fórmula do duplo produto cruzado à

expressão )( 3 zzw ×× . Teremos, sem delongas, quaisquer que sejam os vetores:

zw.zzw.zzzw )()()( 333 −=×× .

Sendo )()( 2121 zzz.zzzw.z =×= e )( 3213 zzzw.z = , obtemos:

§ 05.02 – Vetores complexos recíprocos. Bases. 355


zzzzzzzzzzzz )()()()( 321321321 −=××× , (01).

Ponhamos, agora, uzz =×3 ; temos:

132231122121 )()()()()( zzzzzzzzzu.zz.uzuzz −=−=×× , (02).

De (01) e (02) deduzimos, então:

321213132321 )()()()( zzzzzzzzzzzzzzzz ++= .

§ 05.02 – Vetores complexos recíprocos. Bases.

Para 0)( 321 ≠zzz podemos escrever a expressão a que chegamos na forma:

3321

212

321

131

321

32 ])(

.[])(

.[])(

.[ zzzzzz

zzzzzzz

zzzzzzz

zz×+×+×= , (01).

Tal como na teoria dos vetores recíprocos reais, poremos:

)( 321

321

zzzzz

z×= ,

)( 321

132

zzzzz

z×= e

)( 321

213

zzzzz

z×= , (02),

sendo fácil mostrar que também poderíamos escrever:

)( 321

32

1 zzzzz

z×= ,

)( 321

13

2 zzzzz

z×= e

)( 321

21

3 zzzzz

z×= , (021).

Aos vetores z1, z2 e z3 definidos por (02) denominaremos o sistema de vetores complexos recíprocos do terceto dado z1, z2, z3. Pelas fórmulas (021) o terceto z1, z2, z3 e também recíproco de z1, z2 e z3. Por (01) vemos que o vetor z, qualquer que seja ele, pode ser decomposto segundo cada um dos vetores do terceto dado z1, z2, z3, ou z1, z2 e z3, cujo produto misto é diferente de zero. Mantêm-se, assim, para os vetores complexos os mesmos conceitos e as mesmas nomenclaturas utilizadas no caso dos vetores recíprocos reais, como: espaço complexo linear, vetores complexos de base, vetores complexos linearmente independentes etc.. A expressão (01) passa, então, a ser escrita na forma

ii

33

22

11 )()()()( zz.zzz.zzz.zzz.zz =++= , (03),

no último membro de (03) estando definida uma somatória (em relação ao índice repetido) para i=1,2,3. Expressão como (05) será dita a decomposição cartesiana do complexo z na base vetorial complexa z1,z2,z3. A mesma nomenclatura se aplica à expressão

ii

33

22

11 )()()()( zz.zzz.zzz.zzz.zz =++= , (031).

356 § 05 – Vetores complexos recíprocos

V,§05.03

Dois tercetos de vetores complexos recíprocos gozam da propriedade fundamental:

1))(( 321321 =zzzzzz , (04),

cuja demonstração é simples. Para calcular inteligentemente o produto misto )( 321 zzz em

função dos vetores reais de cada complexo, basta que se recorra às fórmulas já deduzidas nos parágrafos anteriores. A decomposição cartesiana (03) e a (031) expressam o complexo z nas bases complexas recíprocas z1,z2,z3 e 321 zzz , suas coordenadas sendo os números complexos

z.zi e z.zi; é uma forma homogênea de representação. Mas pode ser vantajosa a representação do vetor z em bases reais recíprocas. Para tal, basta representar antecedentes e conseqüentes de cada vetor complexo em bases reais. Exercício 1: Foi justificado na Introdução que os autovetores do diádico cíclico

(cc*,ϕ)= )(sen)(cos ∗∗∗∗∗ −ϕ++ϕ+ abbabbaacc ,

são os vetores complexos,

c, )i(2

1ab + e )i(

2

1ab − .

Comprove que seus recíprocos são:

c*, )i(2

1 ∗∗ − ab e )i(2

1 ∗∗ + ab .

§ 05.03 – Representações cartesianas diversas.

Consideremos as bases reais recíprocas e1,e2,e3 e e1,e2,e3. Podemos dar ao antecedente e ao conseqüentes do complexo zj=(aj,bj) as expressões cartesianas:

kkk

kjj )()( e.eae.eaa j== e tt

jt

tjj )()( e.ebe.ebb == . Ponhamos: aj.ek=Akj, aj.ek=Ak

j etc.

Então, aplicando propriedades das operações de multiplicação de vetor por numero, deduzimos as seguintes expressões para zj:

kkjkj

kkj

kkjj )B,A()B,A( eeez == , ou t

tj

tjt

tj t

tj j )B,A()B,A( eeez == , (01).

Nestas representações, evidentemente, as coordenadas dos vetores complexos são números complexos (ver o Apêndice I para rápida revisão). Todas as operações com vetores complexos poderão ser realizadas como se esses vetores fossem vetores reais representados cartesianamente, aplicando todos os conhecimentos adquiridos no Cap. I do Vol. I. Tem-se, por exemplo, para expressão do produto misto dos vetores do terceto, aplicando ((04)2,§04.03,I,Vol.I):

§ 05 – Vetores complexos recíprocos 357

V,§05.03

333332323131

232322222121

131312121111321

321B iAB iAB iAB iAB iAB iAB iAB iAB iA

)()(+++++++++

= eeezzz , (02).

Sabemos (da teoria dos determinantes) que quando uma coluna j (ou linha) de um determinante é uma soma de termos ele pode ser desdobrado numa soma de determinantes de mesma ordem, a coluna j de cada um desses determinantes sendo formada com uma parcela da soma e as demais colunas (ou linhas) com as mesmas colunas do determinante incial. Assim, se ∆ é o (número complexo) valor do determinante em (02), a sua primeira coluna desdobra-se, podendo-se escrever:

3333323231

2323222221

1313121211

3333323231

2323222221

1313121211

B iAB iABB iAB iABB iAB iAB

iB iAB iAAB iAB iAAB iAB iAA

++++++

+++++++

=∆ .

Aplicando novamente a propriedade para cada um dos determinantes formados encontrar-se-á como resultado final duas somas de quatro determinantes, uma representando a parte real e outra a parte imaginaria de ∆. Dai em diante não será difícil detectar nas expressões obtidas os produtos mistos de (tercetos de) antecedentes e conseqüentes dos vetores complexos. Por este caminho comprova-se a validade de ((02) e (03), §03.03). Consideremos agora o terceto de complexos zj=(aj,bj) com (a1a2a3)≠0 e seja φφφφ=bja

j o diádico a ele associado. Em relação às bases reais recíprocas e1,e2,e3 e e1,e2,e3 este pode ser escrito na forma φφφφ=(bke

k).(ejaj), ou seja, na forma do produto do diádico ββββ=bke

k pelo diádico αααα=eja

j. Dando-se a αααα e ββββ representações cartesianas podemos escrever, por exemplo: t

k tkt

tjkkj F)A)(B( eeee ==φφφφ , com tj

kj tk ABF = . Ao diádico φφφφ está, pois, associada

a matriz produto da matriz 3x3, B** , associada ao terceto bj, dispondo-se as coordenadas de bj na j-ésima linha, pela matriz 3x3, A** , associada ao terceto aj, dispondo-se as coordenadas de aj na j-ésima coluna. Três outras representações poderiam ser adotadas, como sabemos (§09,II, vol. I). Pela representação cartesiana do diádico associado a um terceto de complexos poderemos deduzir ou comprovar todas as propriedades de operações com vetores complexos. Mas poderá não ser nada fácil a demonstração de alguns resultados. Por exemplo: experimente o leitor comprovar (pelos métodos cartesianos) o Corol 1, Teor. 1, §03.03,A. Em outras palavras: qual a CNS para que seja nulo o determinante em (02) com a condição de que (a1a2a3)≠0? Este problema é um bom exemplo para valorizar os métodos vetoriais. Na prática com as representações cartesianas, evidentemente, aplicar-se-ão propriedades já demonstradas vetorialmente.

*

Exercício: Os antecedentes aj e conseqüentes bj de um terceto de vetores complexos zj são dados por suas coordenadas contravariantes em relação a uma base arbitrária:

a1=(1;0;0), a2=(0;0;1/S), a3=(0;R;0) e b1=(P;0;0), b2=(0;-R;1), b3=(0;0;1/S),

com R e S finitos e não nulos. Demonstre que os antecedentes são independentes e que z2 e z3 são paralelos (logo, é nulo o produto misto deles). Escreva a expressão cartesiana

358 § 06 – Álgebra e geometria dos diádicos complexos

V,§06.01

contravariante/covariante do diádico φφφφ associado aos complexos e demonstre que esse diádico é um quadrantal.

*

DIÁDICOS COMPLEXOS E TETRÁDICOS REAIS

§ 06 – ÁLGEBRA E GEOMETRIA DOS DIÁDICOS COMPLEXOS

Idéias primárias

§ 06.01 – Definições.

Definição: (diádico complexo) Chama-se diádico complexo, ΖΖΖΖ, a todo par ordenado αααα e ββββ de diádicos reais, e se representa por ),( ββββααααΖΖΖΖ = , gozando das seguintes propriedades:

1ª) – a que cria o diádico complexo nulo – diádico este que se representa pelo símbolo ΟΟΟΟ (ômicron maiúsculo) - e que encampa o conjunto dos diádicos reais,

ααααΟΟΟΟαααα ) ,( = , donde ΟΟΟΟΟΟΟΟΟΟΟΟ ) ,( = (diádico complexo nulo), (01);

2ª) – a que estipula um critério de igualdade, que escrevemos na forma

) ,() ,( ββββααααββββαααα ′′= se ββββββββαααααααα ′=′= e , (011).

O primeiro diádico do par é denominado o antecedente ou a parte real do diádico complexo45; o segundo, conseqüente, ou a parte imaginaria.

45 Usaremos doravante as referências nc, vc e dc para número complexo, vetor complexo e diádico complexo, no singular ou no plural.

A 9 dc ordenados, ),( 111 ββββααααΖΖΖΖ = , ),( 222 ββββααααΖΖΖΖ = ,..., ),( 999 ββββααααΖΖΖΖ = , podemos

associar dois tetrádicos escritos em forma eneanomial em relação a uma base

diádica ..., ,, 921 εεεεεεεεεεεε arbitrariamente escolhida. Se, digamos, ambos tiverem por

antecedentes os diádicos dessa base, um deles, 4αααα, terá por conseqüentes, ordenadamente, os diádicos αααα1, αααα2, ..., αααα9 da parte real de cada dc; o outro, 4ββββ, os diádicos ββββ1, ββββ2, ..., ββββ9 da parte imaginária de cada um dos mesmos complexos. Inversamente, poderemos fazer a mesma associação. Assim, simbolicamente:

=

=⇔

===

=

ii4

9), ..., 1,2,(i , i

i4

921

999222111

arbitrária ..., ,, e

),( ..., ),,( ),,(

ββββεεεεββββ

ααααεεεεααααεεεεεεεεεεεε

ββββααααΖΖΖΖββββααααΖΖΖΖββββααααΖΖΖΖ

(02).

§ 06.02 – Operações com um diádico complexo. 359


Um conjunto de 9 dc será dito k-planar, k-uniplanar, k-ortoplanar, k-linear, k-unilinear, k-ortolinear etc. conforme os diádicos reais a eles associados sejam, simultaneamente, k-planares, k-uniplanares, k-ortoplanares, k-lineares etc (§13.03,IV). Mas nada impede que o conjunto dos diádicos antecedentes de uma enúpla de dc’s seja completo e o outro, digamos, k-planar etc. Diremos que uma enúpla de dc’s é k-planar, k-uniplanar etc. se os conjuntos dos seus antecedentes e conseqüentes forem simultaneamente k-planares, k-uniplanares etc. Dois dc particulares merecem destaque: um é o dc unidade real, (I ,O); o outro é o dc unidade imaginária (O,I ) cujas propriedades serão vistas à frente.

§ 06.02 – Operações com um diádico complexo. Vamos definir conceitos e operações para os dc como as definidas para os vc. Assim, vamos admitir o conceito de oposto e conjugado de dc e estabelecer as definições de adição de dc, multiplicação direta de vc por vc (que é uma díade complexa), multiplicação de dc por nc, multiplicação ponteada de dc por vc e por dc etc.. Vamos operar com essas expressões como se fossem polinômios considerando sempre que i2=-1, e a questão da comutatividade. Alem dessas operações comuns podemos definir também as operações simples e duplas com os dc (as ponteadas e as cruzadas, basicamente) para as quais se aplicarão propriedades conseqüentes às já estabelecidas para os diádicos reais (§07,II,vol. I).

Particularmente, tem-se, em multiplicação ponteada simples:

ΖΖΖΖΟΟΟΟΙΙΙΙΖΖΖΖββββααααΖΖΖΖ ==∀ ),( :),( . .

* Exercício 1: Consideremos o cíclico (§05.02.a,III)

(cc*,ϕ)= )(sen)(cos ∗∗∗∗∗ −ϕ++ϕ+ abbabbaacc .

Comprove a veracidade dos seguintes produtos ponteados desse cíclico pelos seus autovetores:

(cc*,ϕ).c=c,

(cc*,ϕ). )i(2

1ab + =e-iφ )i(

2

1ab + ,

(cc*,ϕ). )i(2

1ab − =eiφ )i(

2

1ab − .

Calcule também os produtos ponteados do transposto do cíclico pelos recíprocos dos seus autovetores. Então, mostre que o tetrádico cíclico e o de rotação podem ser escritos nas formas espectrais seguintes:


V,§06.02

(cc*,ϕ)=2

i

2

ie

2

i

2

ie ii

∗∗ϕ

∗∗ϕ−∗ +−+−++ abababab

cc ,

e

2

îˆ

2

îê

2

îˆ

2

îêˆˆ ii

),ˆ(ijijijij

kkk+−+−++= ϕϕ−

ϕΩΩΩΩ .

Exercício 2: Todos os conceitos emitidos para os diádicos reais são estendidos aos diádicos complexos pois um diádico complexo é uma combinação linear de diádicos reais que tem por coeficientes 1 e i. Comprove, então, as seguintes fórmulas: 2.1 – Transposto e conjugado de um dc: Sendo ),(),( TTT ββββααααββββαααα = resulta: TTT ),.(),()],).(,[( ββββααααββββααααββββααααββββαααα ′′=′′ .

Se (αααα,ββββ) é simétrico, (αααα,ββββ)=(αααα,ββββ)T; se (αααα,ββββ) é anti-simétrico: (αααα,ββββ)= - (αααα,ββββ)T. Sendo z vetor complexo, comprove que:

(αααα,ββββ).z=z. (αααα,ββββ)T para qualquer (αααα,ββββ) e z..z ),(),( T

ββββααααββββαααα = .

O diádico complexo (αααα,ββββ) igual ao transposto do seu conjugado é dito hermítico. Comprove também que um diádico complexo (αααα,ββββ) é hermítico se, para qualquer vetor complexo z, z..z ),( ββββαααα é um número real . 2.2 – Dupla multiplicação cruzada de dc pelo diádico unidade: ΙΙΙΙββββααααββββααααΟΟΟΟΙΙΙΙββββαααα ),(),(),( ),( EE

T +−=×× , donde ΙΙΙΙΟΟΟΟΙΙΙΙΟΟΟΟΙΙΙΙ 2),( ),( =×

× ;

2.3 – Escalar, vetor e terceiro de um dc: ),(:),(),(),( EEE ΟΟΟΟΙΙΙΙββββααααββββααααββββαααα == , donde 3),(:),( =ΟΟΟΟΙΙΙΙΟΟΟΟΙΙΙΙ ;

),(),( VVV ββββααααββββαααα = . Então, a CNS para que um dc seja simétrico é que seu

vetor seja nulo, ),(),( 23233 ααααββββββββββββααααααααββββαααα :: +−−= .

2.4 – Segundo e principal de um dc:

) ,(),( 222 ββββααααββββααααββββαααα ××−= ;

) , ( ) (

),(2323

2T

2P ααααββββββββββββαααααααα

ααααααααββββΙΙΙΙββββαααα ::..+−−

−= .

Escrevendo-se αααα=aje

j e ββββ=bjej, os vetores complexos associados a (αααα,ββββ) são os zj=(aj,bj) e o

denominador na expressão de (αααα,ββββ)P representa o produto misto desses três vc. Nesse caso, conforme ((01),§ 03.03,A), deverá ser (z1z2z3)≠0, ou seja (αααα,ββββ)3≠0 para que exista (αααα,ββββ)P.

§ 06.03 – Elipsóide direcional de um diádico complexo. 361


§ 06.03 – Elipsóide direcional de um diádico complexo. Consideremos o dc ),( ββββααααΖΖΖΖ = e expressemos os diádicos em forma trinomial em

relação a uma base e1,e2,e3. Sendo, então, αααα=ajej e ββββ=bje

j, escreveremos, relembrando que está definida a operação de multiplicação direta de vetor complexo por vetor complexo: ΖΖΖΖ=(aj,bj)e

j, ou, ΖΖΖΖ=zjej com zj=(aj,bj). Concluímos, assim, que o terceto de vc zj é o

representante do dc ΖΖΖΖ em relação à referida base. Imaginemos agora os antecedentes e os conseqüentes do terceto zj aplicados num ponto O qualquer do espaço. A cada vc z corresponde uma elipse direcional. Como um elipsóide fica definido por 6 pontos quaisquer do espaço (três quaisquer deles não colineares), concluímos que as extremidades dos antecedentes e conseqüentes do terceto de vc estão contidas num mesmo elipsóide centrado em O, as elipses direcionais dos vc definindo seções diametrais desse elipsóide. Em resumo: Em relação a uma base vetorial real e1,e2,e3 , todo diádico complexo

),( ββββααααΖΖΖΖ = =(aj,bj)ej fica definido por um terceto de vc zj, com zj=(aj,bj), sendo possível

associar-lhe um elipsóide que admita por seções diametrais as elipses direcionais dos vc que o definem.

Se ju é o elíptico da elipse de zj, ao diádico jjˆ eu=νννν denominaremos o elíptico de

ΖΖΖΖ. Se νννν for completo não existirão vc paralelos. Se νννν for planar, mas não linear, apenas dois vc serão paralelos (pois terão a mesma elipse direcional); e se νννν for linear, os três vc serão paralelos (pois terão a mesma elipse direcional). Quando νννν é incompleto o elipsóide de ΖΖΖΖ é indeterminado. Consideremos agora o dc ΖΖΖΖ’=e-iϕΖΖΖΖ. Tem-se, operando:

ΖΖΖΖ’=(cos ϕ, -senϕ)(αααα,ββββ)=(cos ϕ αααα+ senϕ ββββ, -senϕ αααα+ cos ϕ ββββ), ou

ΖΖΖΖ’=(ρρρρ(ϕ),ρρρρ(ϕ+π/2)). Se o parâmetro ϕ for variável de 0 a 2π rad e os três vetores antecedentes do diádico ρρρρ(ϕ)=cosϕ αααα+senϕ ββββ são aplicados em O, as extremidades desses vetores pertencem ao elipsóide de ΖΖΖΖ. De fato, se ρρρρ=r je

j é a redução trinomial ρρρρ em relação à base adotada, temos: r (ϕ)je

j=(cosϕ aj+senϕ bj)ej, donde, para j=1,2 e 3: r (ϕ)j =cosϕ aj+senϕ bj. Ora, a extremidade

do vetor r j pertence à elipse direcional de zj; logo pertence ao elipsóide qualquer que seja j. Assim,

aos dc ΖΖΖΖ e ΖΖΖΖ’ estão associados o mesmo elipsóide.


V,§06.04

Por analogia com a teoria dos vc podemos dizer que, estando o diádico ρρρρ(ϕ) aplicado em O, a sua extremidade é um ponto do elipsóide de ΖΖΖΖ. Diremos ainda, por definição, que, em 2E2 – o espaço diádico 2E2 definido por αααα e ββββ (§09,IV) - esses diádicos definem uma elipse E de que são semidiâmetros conjugados. O diádico ρρρρ(ϕ) será, assim, raio diádico de E de argumento ϕ e o diádico ρρρρ(ϕ+π/2) o raio diádico conjugado do primeiro; este estará contido no plano tangente ao elipsóide de Z conduzido pela extremidade de ρρρρ(ϕ) e será tangente à elipse E.

§ 06.04 – Diádicos complexos paralelos e perpendiculares. É evidente que ao dc ΖΖΖΖ’’=Ke -iϕ ΖΖΖΖ estaria associado o elipsóide roto-homotético de razão K do elipsóide de ΖΖΖΖ.

Definição: (dc paralelos) Diádicos complexos com elipsóides associados roto-homotéticos serão ditos paralelos.

Ora, Ke-iϕ é a representação de certo nc Z (de módulo K e argumento ϕ). Resulta, então, que o elipsóide associado ao dc Z"=Z ΖΖΖΖ é homotético de razão K do associado ao dc Z. Reciprocamente, se dois dc diferem por um fator escalar complexo, seus elipsóides são roto-homotéticos. Logo,

Teor.1: Uma CNS para que dois dc complexos sejam paralelos é eles admitam um número complexo por fator.

*

Os diádicos não paralelos, αααα e ββββ, definidores do 2E2 já mencionado no § 06.03 e no qual constituem uma base, admitem um par recíproco, αααα* e ββββ* pertencente ao mesmo 2E2 (§09.02,IV). Sejam Z=(αααα,ββββ) e Z*=(αααα*,ββββ*) os diádicos complexos por eles definidos. Em 2E2 as elipses definidas pelos pares recíprocos (αααα,ββββ) e (αααα*,ββββ*) serão ditas elipses polares recíprocas; estas são seções dos elipsóides direcionais Q e Q* associados aos dc. Seja ϖϖϖϖ o diádico ortogonal a αααα e ββββ, e αααα*,ββββ*,ϖϖϖϖ* o sistema recíproco do terceto αααα,ββββ,ϖϖϖϖ que define um 2E3 que tem 2E2 por subespaço. As bases ϖϖϖϖ,ρρρρ*

(ϕ),ρρρρ*(ϕ+π/2) e

ϖϖϖϖ*,αααα*,ββββ* do 2E3 são cíclicas (§14.04,IV); e o tetrádico cíclico

4= ββββρρρρααααρρρρ++++ϖϖϖϖϖϖϖϖ ∗/2π+ϕ

∗ϕ + )()(

roda a segunda sobre a primeira, isto é:

4 : ϖϖϖϖ* =ϖϖϖϖ, 4 : αααα* = ρρρρ*(ϕ)

4 : ββββ* = ρρρρ*(ϕ+π/2)

Então, no 2E2, a elipse direcional do dc (ρρρρ*

(ϕ),ρρρρ*(ϕ+π/2)) é rodada da elipse direcional do dc

(αααα*,ββββ*).

§ 06.05 – Diádicos complexos esféricos e Trigonometria esférica 363


Se H é um número real, o tetrádico H4 transforma por dupla multiplicação ponteada o dc Z*=(αααα*,ββββ*) no dc (ρρρρ*

(ϕ),ρρρρ*(ϕ+π/2)). Conseqüentemente, a elipse de Z* é rodada

por H4 na elipse de (ρρρρ*(ϕ),ρρρρ*

(ϕ+π/2)), seus raios diádicos conjugados correspondentes tendo sido ampliados H vezes. Em outras palavras: o dc Z' definido pelos diádicos αααα'=H4:αααα*=Hρρρρ*

(ϕ) e ββββ'=H4:ββββ*=Hρρρρ*(ϕ+π/2) é roto-homotético de Z*. Por analogia com os vc

diremos geometricamente, por

Definição: (dc ortogonais) Dois dc, no 2E2 que definem, serão ditos ortogonais se a elipse associada a um deles for roto-hometética da polar recíproca da elipse associada ao outro.

Algebricamente, vemos que se dois dc Z e Z' são ortogonais, o duplo produto ponteado deles é igual a zero:

Z : Z' =0.

§ 06.05 – Diádicos complexos esféricos e Trigonometria Esférica. É geometricamente inteligível que um dos vc que compõem um dc possa ser circular, caso em o plano de sua circunferência direcional é uma seção diametral do elipsóide que lhe é associado. Um elipsóide qualquer pode ter até duas seções diametrais circulares de mesmo raio. Diádicos complexos que, reduzidos a uma forma trinomial, têm vetores complexos motivos circulares de mesmo raio são ditos diádicos complexos esféricos. Justifica-se a nomenclatura pelo fato das extremidades dos três antecedentes e conseqüentes dos vc que constituem o dc serem pontos de uma mesma superfície esférica de certo raio R. Existem, entretanto, dois graus de liberdade, uma vêz que 4 pontos bastam para definir-se uma superfície esférica. Isto significa que entre os seis vetores que definem o dc (ou a sua superfície esférica) existem duas relações; por exemplo: dois dos vetores complexos são paralelos, o que significa que os dois pares de vetores que os definem são coplanares (logo, são rodados por um nc cíclico)

* Exercício: Comprovar que o diádico complexo que, em redução trinomial arbitrária, tem por vc's motivos

))ˆ ˆ(2

2,ˆ( 3211 aaaz += , ))ˆ ˆ(

2

2,ˆ( 1322 aaaz += e ))ˆ ˆ(

2

2,ˆ( 2133 aaaz +=

é um diádico esférico completo (o produto misto (z1z2z3) é diferente de zero).

*


V,§06.05

Os vetores reais componentes dos vc de um dc esférico ρρρρ devem ter o mesmo módulo, digamos R (as elipses direcionais dos vc devem ser circunferências). A superfície esférica de ρρρρ é, pois, homotética com a superfície esférica do dc ρρρρ cujos vc tenham por

vetores componentes os unitários dos vetores reais que definem ρρρρ. A circunferência

direcional do vc zj=(aj,bj) de ρρρρ=zjej e a sua correspondente de )ˆ,ˆ(ˆ jj ba=ρρρρ são igualmente

orientadas, tendo, pois, os mesmo elíptico jjj ˆˆˆ bak ×= .

Triângulo esférico As três circunferências direcionais de ρρρρ se cortam duas a duas em três pares de

pontos diametralmente opostos da superfície esférica de raio unitário: (A, A'), (B,B') e (C,C'). Estes pontos definem os triângulos esféricos46 de vértices A, B, C e A', B', C' e,

conseqüentemente os triedros (com uma face curvilínea) de vértice O e arestas retilíneas OA (oposta de OA'), OB etc. Os triedros OABC e OA'B'C' são diferentemente orientados. Os arcos de circunferência máxima: AB (da circunferência de z3), BC (da circunferência de z1) e CA (da circunferência de z2) são as arestas curvilíneas do tetraedro OABC ou os lados c, b e a, respectivamente, do triângulo ABC (Figura 06.01). Como o raio da

superfície é igual a um, os lados do triângulo (os arcos) são representados pelos respectivos valores dos ângulos centrais em radianos. É costume denominar os ângulos formados pelas arestas (retilíneas) de um triedro de faces desse triedro. Logo, as faces do triedro OABC são os lados do triângulo esférico ABC. É fácil estender os conceitos de bissetriz, mediana e altura de um triângulo retilíneo para o triângulo esférico, bastando considerar conceitos análogos relativos aos triedros. Assim, planos bissetores, medianos e planos altura do triedro OABC interceptam a superfície esférica segundo arcos de circunferência máxima que são bissetrizes, medianas e alturas do triângulo esférico ABC. A seminormal a uma face do triedro OABC é a perpendicular OA' a OBC que fura a superfície esférica em A', estando do mesmo lado que a aresta OA do triedro OABC. Da mesma forma são determinados os outros dois pontos, B' e C', relativos às faces CA e AB, respectivamente. Os três pontos A', B' e C' definem um novo triângulo esférico A'B'C'. Se se procedessem as mesmas operações com o A'B'C' ficaria univocamente determinado ABC; por isto ABC e A'B'C' são ditos suplementares (um do outro). Justifica-se o nome porque os ângulos diedros de um triedro são suplementares dos ângulos diedros correspondentes das faces do seu suplementar. Resulta dessas considerações as seguintes relações para os triângulos suplementares:

A+a'=B+b'=C+c'+A'+a=B'+b=C'+c=π,

46 Triângulo esférico é a figura definida pelos pontos de interseção de três arcos de circunferência máxima de uma superfície esférica.



de onde deduzimos imediatamente:

2p'=a'+b'+c'=2π-(A+B+C-π). Como sabemos da Geometria: "a soma das faces de um triedro é menor que quatro retos" (ou 2π radianos) concluímos, logo, que "a soma dos lados de um triângulo esférico – seu perímetro, por definição – é menor que 2π radianos. Então, da última relação podemos concluir que

A+B+C-π=ε>0. ou seja:

a soma dos ângulos intercetos de um triângulo esférico é maior que π radianos, diferentemente do triângulo retilíneo. O número ε é denominado excesso esférico do triângulo. Vamos supor, sem perda de generalidade que os elípticos das circunferências direcionais estejam todos apontando para o exterior do tetraedro OABC. Assim,

32 ˆˆAsen

1ˆ kka ×−= , 13 ˆˆBsen

1ˆ kkb ×−= , 21 ˆˆCsen

1ˆ kkc ×−= , (01).

Como os ângulos entre os unitários exteriores são suplementares dos ângulos diedros A, B e C das faces do triedro,

cosAˆ ˆ 32 −=k.k , cosBˆ ˆ 13 −=k.k , 0cosCˆ ˆ 21 <−=k.k , (02), sendo, ainda:

a cosˆ ˆ =c.b , b cosˆ ˆ =a.c , c cosˆ ˆ =b.a , (03).

O produto misto V)ˆˆˆ( =cba é igual ao volume do paralelepípedo construído sobre os

unitários fatores, sendo

1ˆ senaˆˆ kcb −=× , 2ˆ senbˆˆ kac −=× e 3ˆ sencˆˆ kba −=× , (04).

Logo, denotando o sistema recíproco de cba ˆ,ˆ,ˆ por ,, cba , vem:

1ˆV

asen ka −= , 2ˆ

V

bsen kb −= e 3ˆ

V

csen kc −= , (05).

*


V,§06.05

Relações dos senos

O produto vetorial )ˆˆ()ˆˆ( caba ××× pode ser calculado de dois modos diferentes.

Tem-se, considerando as (04) e em seguida as (02):

akkcaba ˆA sen csen bsen ˆ bsen csen )ˆˆ()ˆˆ( 23 −=×−=××× .

Tem-se ainda, aplicando a fórmula do duplo produto vetorial:

aacbacaba ˆ Vˆ)ˆˆˆ()ˆˆ()ˆˆ( ==×××

Logo:

Asen

asen

V

csen bsen asen = .

Efetuando-se cálculos análogos deduziríamos mais duas relações com o mesmo primeiro membro. Assim,

Csen

csen

Bsen

bsen

Asen

asen == , (06),

relações conhecidas como "relações dos senos".

Relações entre três lados e um ângulo

Seja B1 a projeção ortogonal de B sobre OA e C1 a de C. Tem-se: BBOBOB 11 +=

e CCOCOC 11 += , igualdades que multiplicadas escalartmente membro a membro dão:

CC BBOC OBˆ ˆ1111 ..c.b += .

Observando-se que

OB1=cos c, OC1=cos b, B1B=sen c, C1C=sen b,

que o ângulo entre BB1 e CC1 é igual a A, e lembrando a primeira das fórmulas (03),

resulta:

A cos bsen csen b cos c cos a cos += , havendo mais duas relações análogas que podem ser obtidas por caminho idêntico. Tem-se, assim, as as relações seguintes entre três lados de um triângulo e um ângulo interceto:



+=+=+=

C cos bsen asen b cos a cos c cos

B cos asen csen a cos c cos b cos

A cos csen bsen c cos b cosa cos

, (07).

Relação entre cinco elementos: três lados e dois ângulos

Expressando cartesianamente o vetor 1k em relação à base a,b,c escrevemos:

cc.kbb.kaa.kk ˆ) ˆ(ˆ) ˆ(ˆ) ˆ(ˆ 1111 ++= .

Substituindo-se nesta igualdade os produtos entre parênteses por consideração das (05) e em seguida aplicando as (02), vem:

cbak ˆB cosV

csen ˆ C cosV

bsen ˆV

asen ˆ 1 −−= .

O produto escalar de ambos os membros dessa igualdade por c e depois por b , a consideração das (03) e a observação de que o primeiro membro se anula, dão:

C cos a cos bsen B cos csen b cos asen += . e

B cos a cos csen C cos bsen c cos asen += . Tais fórmulas expressam relações entre três lados e dois ângulos do triângulo esférico, sendo possivel obter-se, ainda mais duas de cada tipo. Em resumo:

+=+=+=

B cos a cos csen C cos bsen c cos asen

C cos b cos asen A cos csen a cos bsen

C cos a cos bsen B cos csen b cos asen

, (08),

e

+=+=+=

A cos c cos bsen B cos asen b cos csen

A cos b cos csen C cos asen c cos bsen

B cos c cos asen A cos bsen a cos csen

, (08)1.

Relações entre um lado e três ângulos Desenvolvendo o produto escalar membro a membro das duas primeiras fórmulas de (01), considerando a terceira de (03) e utilizando fórmula conhecida da álgebra dos vetores, vem:

§ 06 – Álgebra e geometria dos diádicos complexos 368

V,§06.05

1333

12321332

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆ

BsenAsen

1)ˆˆ()ˆˆ(

BsenAsen

1c cosˆˆ

k.kk.k

k.kk.kkk.kkb.a =××== ,

ou seja, lembrando as (02): cosCcosAcosBsenBsenA cosc += , isto é:

cosCcosAcosBsenBsenA cosc =− . Similarmente poderiam ser deduzidas mais duas fórmulas análogas. Temos, assim, o grupo das fórmulas que expressam relação entre um lado do triângulo esférico e e três ângulos intercetos:

cosc senBsenA cosBcosA cosC

cosb senCsenA cosCcosA cosB

cosa senC senBcosC cosBcosA

+−=+−=+−=

, (09).

Quadrilátero esférico

As quatro circunferências concêntricas relativas a quatro vetores complexos circulares

definidos por vetores unitários se interceptam duas a duas (Figura 06.02) segundo quatro diâmetros de uma superfície esférica (de raio unitário), estabelecendo dois conjuntos de quatro pontos diametralmente opostos: A, B, C, D e A', B', C' e D'. Cada conjunto define um quadrilátero esférico de que são os vértices. Os arcos de circunferência máxima compreendidos entre dois vértices de um conjunto são os lados do quadrilátero correspondente e os ângulos definidos pelas tangentes aos

arcos, os seus ângulos. Os lados AC e BD são lados opostos, bem como BC e AD; AB e CD são as diagonais. Os ângulos são também os ângulos diedros dos planos que contêm as circunferências.

Sejam ba ˆOB ,ˆOA == , etc. os vetores unitários posicionais dos vértices de ABCD em relação ao centro O da superfície. Tem-se, conforme sabemos:

)ˆˆ)(ˆˆ()ˆˆ)(ˆˆ(ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆ)ˆˆ).(ˆˆ( d.ac.bd.bc.a

d.bc.b

d.ac.adcba −==×× , (10).

Vamos dar sentido aos unitários das normais 1k e 4k aos planos das diagonais AB e CD de modo que o ângulo α entre esses vetores seja o ângulo diedro dos planos das respectivas circunferências. Sejam, então

1ˆ ABsen ˆˆ kba =× e 4ˆ CDsen ˆˆ kdc =× .

§ 07 – Poliádicos complexos 369


Os produtos escalares no segundo membro de (10) são os co-senos dos arcos (ou ângulos centrais correspondentes). Então:

AD cos BC cos cosBD AC cos cos CDsen ABsen −=α , igualdade que traduz um teorema devido a Gauss:

O produto dos co-senos de dois lados opostos de um quadrilátero esférico menos o produto dos co-senos dos outros dois lados opostos é igual ao produto dos senos das diagonais pelo co-seno do ângulo entre elas.

§07 – POLIÁDICOS COMPLEXOS Os H-ádicos complexos podem ser definidos da mesma forma como os nc, os vc e os dc. Podem, também, ser reduzidos a formas trinomiais de que antecedentes sejam (H-1)-ádicos, ou a formas trinomiais etc. conforme as reduções a serem impostas aos seus antecedentes e conseqüentes (ver §03.03,IV). Para os pc são definidas, ainda, todas as operações já definidas para os poliádicos reais e as propriedades dessas operações são conseqüência daquelas operações com os poliádicos reais. Particularmente interessante é a representação vetorial em que um H-adico tem 3H-1 vetores antecedentes. Como cada H-ádico do par de H-ádicos definidores do H-ádico complexo tem 3H-1 vetores antecedentes uma representação mista desse pc é, por exemplo,

43421fatores) 1-(H

pji

hp jh ...k i

p jh ...k i

H ... ),( eeeeba=ΖΖΖΖ

, (01),

em que, entre parênteses, estão representados os 3H-1 vetores complexos associados ao HZ em relação à base vetorial e1,e2,e3 e sua recíproca. O espaço dos poliádicos complexos (pc), entretanto, tem uma estrutura mais complexa que a dos nc, dos vc e dos dc. A cada um dos vc em (01) está associada uma elipse direcional que poderia ser imaginada traçada no espaço dos vc. O espaço dos nc é de dimensão 30=1 ; o dos vc é de dimensão 31=3 e o dos dc, 32=9. Ao nc está associado um ponto; ao vc está associada uma elipse direcional e ao dc um elipsóide. O que estaria associado ao H-ádico complexo? Notemos que a figura associada a cada um desses elementos complexos tem a dimensão da valência do poliádico correspondente: ponto, correspondente à valência zero do nc, linha (elipse), correspondente à valência um do vetor e superfície (elipsóide), correspondente à valência dois do diádico. Por indução, vemos que um “espaço de dimensão H” corresponderá à valência H do pc cujo espaço tem dimensão 3H. Assim, se os vetores antecedentes e conseqüentes de cada vc que define HZ forem aplicados num mesmo ponto desse espaço, as suas extremidades pertencerão a um espaço de dimensão H.

370 §08 – Autodiádicos dos tetrádicos cíclico e rotação

V,§08

De modo inteiramente análogo aos casos anteriores poderemos definir o H-ádico direcional do H-ádico complexo em referência; será o H-ádico

43421fatores) 1-(H

pji

hp jh ...k i

H ... ˆ eeeeu=νννν

em que os vetores unitários antecedentes são os elípticos da elipse direcional de cada um dos vc que definem o pc. Aos triádicos, por exemplo, estarão associados, um espaço 3D e se h

i u são os 3H-1

unitários das elipses direcionais de seus vc antecedentes (na representação do tipo (01)), então o triádico i

hh i

3 ˆ eeu=νννν será o triádico direcional do triádico complexo em

referência.

§08 – AUTODIÁDICOS DOS TETRÁDICOS CÍCLICO E ROTAÇÃO Os tetrádicos cíclicos foram definidos no §14.04,IV e apresentam interesse em muitas questões da física-matemática. Vimos (§17.02,IV) que o cálculo dos autodiádicos do cíclico está resumido na resolução do sistema homogêneo de equações

0P).]X[]([ 4

=− ∗∗

∗∗

∗∗∗∗ ΙΙΙΙ , (01),

cujo determinante, nulo, dá origem à equação característica do tetrádico. Já comprovamos (§18.02,IV) que dentre os nove autovalores do tetrádico cíclico (ou do tetrádico de rotação), o escalar +1 é triplo, os complexos eiφ e e-iφ são duplos e os complexos e2iφ e e-2iφ, simples. Agora estamos aptos para tratar da determinação dos autodiádicos do tetrádico cíclico; e o faremos por inspeção inteligente do sistema (01) pondo a matriz do primeiro membro sob a forma ((08),§14.04,IV), a saber:

,

000

000

000

PPP

PPP

PPP

X100

000

000

0Xcossen

000

000

0senXcos

000

000

000

Xcos00

sen00

000

0Xcoscossen

0cossensen

000

0cossenXcos

0sencossen

000

sen00

Xcos00

000

0cossensen

0Xcoscossen

000

0sencossen

0cossenXcos

33

32

31

23

22

21

13

12

11

2

2

2

2

2

2

2

2

=

−

−ϕϕ−

ϕ−ϕ

−ϕ

ϕ−

−ϕϕϕ−

ϕϕ−ϕ

ϕϕ−ϕ

ϕ−ϕϕ−

ϕ

−ϕ

ϕϕϕ−

−ϕϕϕ−

ϕϕϕ

ϕϕ−ϕ

:

§08 – Autodiádicos dos tetrádicos cíclico e rotação 371


Que o diádico cc* (correspondente a P11=0=P1

2=...=P32 e P3

3=1) é autodiádico relativo ao autovalor triplo X(3)=1 é evidente, uma vez que a substituição de X por 1 no sistema torna-o uma identidade. Após a substituição de X por 1 no sistema, considerando que cos2φ-1=-sen2φ, vê-se que todas as submatrizes passam a ter traço nulo, o que significa que o diádico aa*+bb* (correspondente a P1

1=1=P22 e P1

2=0=P13=...) é autodiádico. Observando-se ainda que os

elementos da primeira linha e segunda coluna, e os da segunda linha e primeira coluna de todas as submatrizes são números iguais, vê-se que o diádico ab*-ba* (correspondente a P1

2=1=P21 e P1

1=0=P13=...) também é um autodiádico. Esses resultados mostram que 1 é

autovalor regular. Vamos agora substituir X por eiφ no sistema, observando que cosφ-eiφ=-isenφ. Nesse caso vemos que o diádico complexo cb*–ica*=c(b*–ia*) é autodiádico (correspondente a P3

1=-i, P32=1, P1

1=0=P12=...), bem como é autodiádico o complexo (b-ia)c* correspondente

a P13=-i, P2

3=1, P11=0=P1

2=...; esses resultados mostram ainda que eiφ é autovalor regular. De modo análogo, substituindo-se X por e-iφ e observando-se que cosφ-e-iφ=isenφ, pode ser verificado que cb*+ica*=c(b*+ia*) é autodiádico (correspondente a P3

1=i, P32=1,

P11=0=P1

2=...), bem como (b+ia)c* correspondente a P13=i, P2

3=1, P11=0=P1

2=...; esses resultados mostram que e-iφ também é autovalor regular. Finalmente, vamos substituir X por e2iφ e observar que cos2φ-e2iφ=sen2φ-isen2φ. Então vamos concluir que –aa*-iab*-iba*+bb*=(b-ia)(b*-ia*) é autodiádico correspondente a P1

1=-1=-P22, P1

2=-i=P21 e P1

3=0=P21=.... Da mesma forma pode ser comprovado que

(b+ia)(b*+ia*) é autodiádico. Em resumo, os autodiádicos do tetrádico cíclico são:

cc*, aa*+bb* e ab*-ba*, o primeiro linear e os demais planares, relativos ao autovalor triplo 1;

c(b*–ia*) e (b-ia)c*, lineares, relativos ao autovalor duplo eiφ;

c(b*+ia*) e (b+ia)c*, lineares, correspondentes ao autovalor duplo e-iφ;

(b-ia)(b*-ia*), planar, correspondente ao autovalor simples e2iφ;

(b+ia)(b*+ia*), planar, correspondente ao autovalor simples e-2iφ, todos os autovalores sendo regulares. A escrita dos autodiádicos do tetrádico de rotação é imediata e pode ser obtida como caso particular do cíclico porque o primeiro é definido em função dos vetores da base

ortonormada auto-recíproca ˆ,, kji . São eles:

,ˆˆkk ijji ˆˆˆ − , jjii ˆˆˆˆ + , o primeiro é unilinear e os demais uniplanares,

correspondente ao autovalor 1;

372 § 09 - Redução normal do tetrádico completo. Decomposição polar.

V,§08

)iˆ(ˆ ijk − e T)]î(ˆ[ˆ)iˆ( ijkkij −=− , planares, com planos interceptando-se

segundo k , correspondentes ao autovalor duplo eiφ;

)iˆ(ˆ ijk + e T)]î(ˆ[ˆ)iˆ( ijkkij +=+ , planares, com planos interceptando-se

segundo k , correspondentes ao autovalor duplo e-iφ;

)iˆ)(îˆ( ijij −− e )iˆ)(îˆ( ijij ++ , ambos uniplanares, com plano ortogonal a

k , correspondentes aos autovalores simples e2iφ e e-2iφ, respectivamente.

* Exercício 1: Se ψ representa um autodiádico qualquer, calcule os produtos ΟΟΟΟψψψψ4444 =: e

ΟΟΟΟψψψψΩΩΩΩ4444 =: dos tetrádicos cíclico e de rotação, dados por ((06)1 e (06)2, §14.04), pelos

correspondentes autodiádicos, comprovando a lei ((01),§17.02) para H=2.

*

Vamos observar inicialmente que os infinitos diádicos paralelos a dado autodiádico são todos autodiádicos também. Podemos, então, escolher aquele que tenha módulo igual a 1, mas isso nem sempre é prático. No caso do tetrádico de rotação poderíamos adotar como autodiádicos os seguintes, todos unitários47 e nem todos ortogonais entre si:

47 Convém lembrar que o módulo de um diádico complexo é obtido pelo duplo produto ponteado dele pelo seu conjugado.

1°) - os diádicos reais: ,ˆˆkk )ˆˆ(2

1ijji − , )ˆˆ(

2

1jjii + .

Esses diádicos são auto-recíprocos no subespaço que definem. São ortogonais entre si, e ortogonais a todos os demais autodiádicos;

2°) - os diádicos complexos: )iˆ(ˆ2

1ijk − e seu transposto kij ˆ)iˆ(

2

1 − ;

)iˆ(ˆ2

1ijk + e seu transposto kij ˆ)i(

2

1 + .

Esses dois pares de diádicos são recíprocos no subespaço que definem e são

ortogonais a todos os demais autodiádicos. Vale notar que k é autovetor do diádico de rotação (que gera o tetrádico), bem como os vetores complexos

2/)iˆ( ij − e 2/)i( ij + ; )iˆ)(î(21

ijij −− e )iˆ)(î(21

ijij ++ .

Esses são recíprocos entre si no espaço que definem, são ortogonais a todos os demais, são ambos unilineares e os vetores que os definem são autovetores do diádico de rotação.

§ 09.01 – Teoremas fundamentais. Definições. 373


§ 09 - REDUÇÃO NORMAL DO TETRÁDICO COMPLETO.

§09.01 - Teoremas fundamentais. Definições. Consideremos a transformação linear regida pelo tetrádico completo, qualquer, 4ψψψψ, usado como pré-fator. Seja P o ponto corrente do 2E8-esférico de raio unitário, definido pelo diádico unitário posicional ρρρρ de origem no centro O da hipersuperfície, por hipótese

coincidente com um ponto fixo. Se P' é o transformado de P mediante 4ψψψψ, e ρρρρ’ é o seu

vetor-posição de origem O, escrevemos:

ρρρρψψψψρρρρ 4 :=′ , ou, ρρρρψψψψρρρρ ′= − ˆ 14 :

donde

1 ) ( 1T4 =′′ − ρρρρψψψψψψψψρρρρ ::: , (01).

Tal é a equação do 2E8-elipsóide transformado do 2E8-esférico esférico. Se π) é o 2E8 tangente ao 2E8-esférico em P, então o seu transformado, π'), é o 2E8

tangente ao 2E8-elipsóide em P'. Com efeito, se não fosse, esse 2E8 teria mais um ponto comum (ao menos), Q, com o 2E8-elipsóide. Como a transformação direta e a inversa são unívocas, o transformado inverso de Q', Q, deveria pertencer a π) e ao 2E8-esférico, o que é impossível (o 2E8-esférico e π) só tem P por ponto comum). Então, a todo 2E8-cúbico circunscrito ao 2E8-esférico corresponde um e um único 2E8-oblíquo circunscrito ao 2E8-elipsóide; e às nove direções ortogonais que ligam os pontos de concurso das diagonais dos 2E7 opostos (regulares) do 2E8-cúbico, correspondem nove direções (geralmente não ortogonais) que ligam os pontos de concurso das diagonais dos 2E7 opostos do 2E8; e vice-versa. Logo:

ao 2E8-paralelotopo reto, único, que circunscreve o 2E8-elipsóide, corresponde um e um único 2E8-cúbico circunscrito ao 2E8-esférico.

Sejam 1εεεε , 2εεεε , ..., 9εεεε os unitários posicionais dos centros dos nove 2E8 quaisquer do 2E8-cúbico circunscrito, co-iniciais em O e tais, que o triedro 1εεεε , 2εεεε , ..., 9εεεε seja direto.

Se, então, 1µµµµ′ , ,2µµµµ′ ..., 9µµµµ′ são os diádicos posição (co-iniciais em O e eneaortogonais) dos

centros das nove 2E7 correspondentes do 2E8-paralelotopo circunscrito ao elipsóide,

podemos escrever: 14

1 ˆ εεεεψψψψµµµµ :=′ , 24

2 ˆ εεεεψψψψµµµµ :=′ ,... . Então:

9922114 ˆ...ˆˆ εεεεµµµµεεεεµµµµεεεεµµµµψψψψ ′++′+′= , (02),

é uma forma eneanomial de 4ψψψψ.

Usando o diádico como pós-fator é possível tirar conclusões análogas.


V,§09.01

Temos, assim, demonstrado o seguinte

Teor. 1: É sempre possível reduzir um tetrádico completo a uma forma eneanomial de que os conseqüentes (antecedentes) formem um terceto ortonormado direto e os antecedentes (conseqüentes) um conjunto eneaortogonal.

Sendo:

)...()ˆ...ˆˆ)(...( 92192192194 µµµµµµµµµµµµεεεεεεεεεεεεµµµµµµµµµµµµψψψψ ′′′=′′′=

vemos que 1µµµµ′ , ,2µµµµ′ ..., 9µµµµ′ é nono positivo ou negativo conforme 4ψψψψ9 seja positivo ou

negativo. Associemos às direções dos nove semi-eixos do 2E8-elipsóide os unitários 1εεεε′ , 2εεεε′ ,

..., 9εεεε′ correspondentes aos unitários 1εεεε , 2εεεε , ..., 9εεεε , tais que 1εεεε′ , 2εεεε′ , ..., 9εεεε′ seja direto;

então:

:0 com , 944 ≠∀ ψψψψψψψψ 99

922

211

14 ˆ ˆ L...ˆ ˆ Lˆ ˆ L εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεψψψψ ′++′+′= , (03),

onde L1, L2,...,L9 são números finitos, não nulos e cujos módulos são os valores dos semi-eixos do 2E8 elipsóide. Resulta, então, demonstrado o seguinte

Corol. 1: É sempre possível reduzir um tetrádico completo a uma soma de nove tétrades cujos antecedentes e conseqüentes sejam duas nônuplas ortonormadas diretas de diádicos e cujos coeficientes sejam números finitos e não nulos.

Definição: (forma e redução normal) A forma (03) de redução do tetrádico completo 4ψψψψ, em que 1εεεε , 2εεεε , ..., 9εεεε e

1εεεε′ , 2εεεε′ , ..., 9εεεε′ são duas nônuplas diretas ortonormadas e L1, L2, ... L9 são

números finitos não nulos, denomina-se forma normal do completo 4ψψψψ. Redução normal é o conjunto das operações através das quais se reduz um tetrádico completo à sua forma normal.

Sendo, ainda

921921

9219

4 ...LLL ... ...LLL =′′′= )ˆˆˆ( εεεεεεεεεεεεψψψψ ,

vemos que:

1°) - Se for 4ψψψψ9 > 0, dois casos podem acontecer: ou existe um número ímpar de coeficientes positivos, ou todos são positivos. No primeiro caso, se, digamos, apenas L1>0,

§ 09.01 - Teoremas fundamentais. Definições. 375


escrevemos:

999

222

1114 ˆ )ˆ (|L|...ˆ) ˆ(| L|ˆ ˆ |L| εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεψψψψ ′−++′−+′+= ,

caso em que o nono 1εεεε′ , - 2εεεε′ , ..., - 9εεεε′ ainda é direto48; no segundo caso, escrevemos:

)ˆ ˆ |L|...ˆ ˆ| L|ˆ ˆ |L(| 999

222

1114 εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεψψψψ ′++′+′+= .

2°) - se for 4ψψψψ9<0, dois outros casos podem se dar: ou existe um número ímpar de coeficientes negativos, ou todos são negativos. No primeiro caso, se, digamos, L1<0, escrevemos:

]ˆ )ˆ (|L|...ˆ) ˆ(| L|ˆ ˆ |L[| 999

222

1114 εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεψψψψ ′−++′−+′−= ,

sendo ainda direto o nono dos antecedentes; e no segundo caso,

)ˆ ˆ |L|...ˆ ˆ| L|ˆ ˆ |L(| 999

222

1114 εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεψψψψ ′++′+′−= .

Temos assim demonstrado o seguinte

48 Se de um triedro direto se invertem dois quaisquer dos eixos o novo triedro continua direto.

Teor. 2: Todo tetrádico completo pode ser reduzido a uma soma de nove tétrades de que antecedentes e conseqüentes formem sistemas diretos ortonormados, e cujos coeficientes sejam números todos positivos ou todos negativos:

)ˆ ˆ |L|...ˆ ˆ| L|ˆ ˆ |L(| :0com , 999

222

1114

944 εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεψψψψψψψψψψψψ ′++′+′±=≠∀ , (04).

Deve ser observado que na forma normal de 4ψψψψ, (03), os módulos dos coeficientes da

forma - valores dos semi-eixos do 2E8-elipsóide transformado do 2E8-esférico de raio

unitário pelo tetrádico 4ψψψψ: 4ψψψψT - são as raízes quadradas (todas positivas ou todas negativas) dos autovalores L2, M2 e N2 do tetrádico 4ψψψψ : 4ψψψψT (ou do 4ψψψψT : 4ψψψψ), correspondentes ao sistema direto dos autodiádicos unitários 1εεεε′ , 2εεεε′ , ..., 9εεεε′ (ou dos 1εεεε , 2εεεε , ..., 9εεεε ), não tendo

nenhum relacionamento com os autovalores do tetrádico 4ψψψψ. Com efeito, pois

) ˆ ˆ |L|... ˆ ˆ | L| ˆ ˆ |L|( )ˆ ˆ |L|...ˆ ˆ| L|ˆ ˆ |L(| 999

222

111

999

222

111T44 εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεψψψψψψψψ ′++′+′′++′+′= :: ,

ou, operando e simplificando:

ˆ ˆ |L|...ˆ ˆ |L|ˆ ˆ |L| 9929

2222

1121T44 εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεψψψψψψψψ ′′++′′+′′=: , (05),

Procedendo analogamente, podemos escrever:

ˆ ˆ |L|...ˆ ˆ |L|ˆ ˆ |L| 9929

2222

11214T4 εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεψψψψψψψψ +++=: , (06).


V,§ 09.02

Então:

ˆ ˆ |L|

1...ˆ ˆ

|L|

1ˆ ˆ

|L|

1 ) ( 992922221121

1T44 εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεψψψψψψψψ ′′++′′+′′=−: , (07),

Nota: Esse teorema é geral, aplicando-se, inclusive, aos tetrádicos simétricos, conforme já comprovamos (Teor. 11 e 12, § 04.01,B).

§09.02 - Marcha de cálculo da redução normal.

Uma marcha de cálculo da redução normal do tetrádico completo não difere em quase nada da apresentada para dos diádicos (§07.02,Cap.III,Vol.I,T.I); e não a repetiremos.

§09.03 - Tetrádico reto. Deformação pura.

Vimos no §07.01 (Teor. 2) que todo tetrádico completo pode ser reduzido à forma dita normal,

:0 com , 944 ≠∀ ψψψψψψψψ 99

922

211

14 ˆ ˆ L...ˆ ˆ Lˆ ˆ L εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεψψψψ ′++′+′= , (01),

onde 1εεεε′ , 2εεεε′ , ..., 9εεεε′ e 1εεεε , 2εεεε , ..., 9εεεε são dois nonos ortonormados diretos e L1, L2, ...,

L9 são números reais. Vimos também que:

ˆ ˆ |L|

1...ˆ ˆ

|L|

1ˆ ˆ

|L|

1 992922221121

T44 εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεψψψψψψψψ ′′++′′+′′=: , (02),

ˆ ˆ |L|...ˆ ˆ |L|ˆ ˆ |L| 9929

2222

11214T4 εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεψψψψψψψψ +++=: , (021),

Os tetrádicos 4ψψψψ : 4ψψψψT e 4ψψψψT : 4ψψψψ, distintos, são simétricos, de autovalores todos positivos (iguais aos quadrados dos coeficientes da redução normal de 4ψψψψ) e seus autodiádicos unitários são, respectivamente, os antecedentes e os conseqüentes da redução normal de 4ψψψψ.

Estenderemos essas características dos tetrádicos 4ψψψψ : 4ψψψψT e 4ψψψψT : 4ψψψψ para tetrádicos em geral com a seguinte

Definição: (tetrádico reto)

Denominam-se tetrádicos retos os tetrádicos da forma

999

222

1114 ˆ ˆ L...ˆ ˆ Lˆ ˆ L εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε∆∆∆∆ +++= com L1, L2, ... L9>0, (03),

e 1εεεε , 2εεεε , ..., 9εεεε nono ortonormado direto.

Resultam logo os seguintes teoremas:

Teor. 1: O duplo produto ponteado de qualquer tetrádico pelo seu transposto é tetrádico reto.

§ 10 - Decomposição polar do tetrádico completo. 377


Teor. 2: A CNS para que um tetrádico seja reto é que ele seja simétrico e tenha os autovalores todos positivos.

Com efeito, se um tetrádico é reto (da forma (03)) ele é simétrico e seus autovalores (L1,L2, ..., L9) são todos positivos. Reciprocamente, se um tetrádico é simétrico e tem todos os seus autovalores positivos (logo ele é completo), ele pode ser reduzido à forma (03) em que 1εεεε , 2εεεε , ..., 9εεεε é o nono ortonormado direto formado pelos seus autodiádicos.

Os diádicos retos são casos particulares dos tetrádicos tônicos. (§17.03). A descrição das TL’s por eles regidas é idêntica à dos diádicos tônicos (§04.01.B,III,vol.I) com a particularidade de que, por serem L1,L2, ..., L9>0, as coordenadas homônimas (na base dos autodiádicos unitários) dos diádicos transformando e transformado não podem ter sinais contrários (as componentes homônimas não mudam de direção). Isto significa que essas coordenadas são distendidas (aumentadas) se os autovalores correspondentes são maiores que um, ou contraídas (diminuídas) se os autovalores correspondentes são menores que um, nas proporções L1:1, L2:1, ...,L9:1. Assim,

se 99

22

11 ˆV...ˆVˆV εεεεεεεεεεεενννν +++= e 9

92

21

1 ˆV...ˆVˆV εεεεεεεεεεεενννν ′++′+′=′ e νννν∆∆∆∆νννν 4 :=′ ,

então

1L

V

V... ,

1L

V

V ,

1L

V

V 9

9

92

2

21

1

1

=′

=′

=′

.

§09.04 - Tetrádico reto e deformação de um corpo.

Precisamente o fato de serem os autovalores do tetrádico reto, números todos positivos, é que lhe atribui a possibilidade de representar concretamente o fenômeno físico de deformação no espaço dos diádicos. Com efeito, se um dos autovalores fosse negativo, um paralelelotopo de conteúdo positivo (§16.05,II,vol.I) antes da transformação seria negativo após a transformação; então, no problema que estivéssemos estudando, esse volume teria se anulado necessariamente, para depois se tornar negativo. Conseqüentemente, estaríamos aceitando a possibilidade de destruição da matéria (volume zero), o que é impossível. Essas considerações físicas sugerem a seguinte

Definição: (deformação pura) A transformação regida pelo tetrádico reto é denominada deformação pura; L1,L2, ..., L9 são os valores principais da deformação e as direções de 1εεεε , 2εεεε ,

..., 9εεεε , as direções principais da deformação.

§ 10 - DECOMPOSIÇÃO POLAR DO TETRÁDICO COMPLETO

Se ψψψψ é um tetrádico completo qualquer e

999

222

1114 ˆ ˆ L...ˆ ˆ Lˆ ˆ L εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεψψψψ ′++′+′=

é a sua redução normal (§08.01), então podemos escrever (Teor. 2, §07.01):

)ˆ ˆ |L|...ˆ ˆ| L|ˆ ˆ |L(| 999

222

1114 εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεψψψψ ′++′+′±= (01),

378 § 10 - Decomposição polar do tetrádico completo.

V,§ 10

onde 1εεεε′ , 2εεεε′ , ..., 9εεεε′ e 1εεεε , 2εεεε , ..., 9εεεε são dois nonos ortonormados diretos. De (01)

podemos escrever, qualquer que seja o completo ψψψψ:

)ˆ ˆ...ˆ ˆˆ ˆ( )ˆ ˆ |L|...ˆ ˆ| L|ˆ ˆ |L(| 902211999

222

1114 εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεψψψψ ′++′+′′′++′′+′′±= : , (02),

ou

)ˆ ˆ |L|...ˆ ˆ| L|ˆ ˆ |L(| )ˆ ˆ...ˆ ˆˆ ˆ( 999

222

111

9022114 εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεψψψψ ′′++′′+′′′++′+′±= : , (021).

Ora, o tetrádico ˆ ˆ...ˆ ˆˆ ˆ 9022114 εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεΩΩΩΩ ′++′+′= - o mesmo fator nos segundos

membros de (02) e (021) - é um tetrádico de rotação (§14.04,IV) e opera, pois, uma rotação; ele transforma um dos nonos ortonormados no outro. Dizemos, ainda, que o terceto 1εεεε′ ,

2εεεε′ , ..., 9εεεε′ é rodado de 1εεεε , 2εεεε , ..., 9εεεε por 4ΩΩΩΩ e que 1εεεε , 2εεεε , ..., 9εεεε é rodado de 1εεεε′ ,

2εεεε′ , ..., 9εεεε′ por ΩΩΩΩ ΩΩΩΩT = −1. O diádico semi-tangente de 4ΩΩΩΩ, ξξξξ, - que determina a rotação

((13),§14.04,IV) – é

kk ˆˆtg)1(

22

E

VV2ϕ=

+=

ΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩξξξξ , (03).

Os demais diádicos fatores nos segundos membros de (02) e (021) são diádicos retos e representam uma deformação pura (§08.03). Em (02), as direções principais da deformação são as de $ ' , $ ' $ 'i j k e , enquanto que em (021) essas direções são as de $, $ $i j k e ; em ambas as deformações, os valores principais são os mesmos. Se na redução (01) ocorrer o sinal negativo, o mesmo ocorrerá em (02) e (021); nesse caso, então, as rotações e as deformações têm com elas associada uma inversão completa de direções no espaço. Esses resultados podem ser enunciados em formas alternativas diversas.

Teor. 1: Todo tetrádico completo é redutível ao produto de um tetrádico de rotação por um tetrádico de deformação pura, em qualquer ordem, com um sinal positivo ou negativo.

Denotando por ∆∆∆∆′4 e ∆∆∆∆4 os tetrádicos retos em (02) e em (021), respectivamente, escrevemos, então:

ΩΩΩΩ∆∆∆∆∆∆∆∆ΩΩΩΩψψψψ 44444 :: ′== , (04).

Corol. 1: O tetrádico 4∆∆∆∆ é ortogonalmente similar a 4∆∆∆∆' mediante 4ΩΩΩΩT.

§ 10 - Decomposição polar do tetrádico completo 379


Com efeito, pré-multiplicado escalar e duplamente o segundo e o terceiro membro de (04) por ΩΩΩΩT, deduzimos:

ΩΩΩΩ∆∆∆∆ΩΩΩΩ∆∆∆∆ 44T44 :: ′= , (041), o que, conforme (§14.02), demonstra a proposição.

Teor. 2: Todo tetrádico completo, 4ψψψψ, pode ser decomposto nos produtos (04), onde 4ΩΩΩΩ é um tetrádico de rotação e 4∆∆∆∆ e 4∆∆∆∆’ diádicos retos de autovalores iguais e positivos e autodiádicos unitários rodados por 4ΩΩΩΩ.

Definição: (decomposição polar ou multiplicativa) A decomposição de 4ψψψψ em que 4ΩΩΩΩ aparece como pré-fator é denominada decomposição direita de 4ψψψψ; a outra, é denominada decomposição esquerda; ambas as decomposições são denominadas decomposições polares (ou multiplicativas) do tetrádico.

A decomposição polar de um tetrádico - de importante utilidade em Física - pode ser assim interpretada geometricamente:

A transformação regida pelo tetrádico completo, 4ψψψψ, reduzido à forma normal

999

222

1114 ˆ ˆ L...ˆ ˆ Lˆ ˆ L εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεψψψψ ′++′+′=

é equivalente à deformação pura regida pelo tetrádico reto

999

222

1114 ˆ ˆ |L|...ˆ ˆ| L|ˆ ˆ |L| εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε∆∆∆∆ +++= ,

precedida da rotação (rígida) regida pelo tetrádico rotor

ˆ ˆ...ˆ ˆˆ ˆ 9022114 εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεΩΩΩΩ ′++′+′= ;

ou à rotação regida por 4ΩΩΩΩ seguida da deformação pura regida pelo tetrádico reto

999

222

1114 ˆ ˆ |L|...ˆ ˆ| L|ˆ ˆ |L| εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε∆∆∆∆ ′′++′′+′′=′ ,

ambas seguidas ou não de inversão de direções. Portanto, a transformação mais geral (dos pontos do espaço diádico) regida por um tetrádico consiste no produto de uma rotação de eixo e ângulo de rotação definidos (pelo diádico semitangente (03)), acompanhada de uma deformação pura com inversão ou não de direções. A rotação e a deformação podem ser operadas em qualquer ordem; entretanto, a rotação e os valores principais das deformações, se definirão conforme a deformação pura

380 § 11 – Tetrádicos definidos e semidefinidos, positivos e negativos.

V,§ 11

seja precedida ou seguida da rotação. No primeiro caso, o sistema de direções principais de deformação poderá ser obtido de outro através do tetrádico de rotação, usado como pós-fator.

§ 11 – TETRÁDICOS DEFINIDOS E SEMIDEFINIDOS, POSITIVOS E NEGATIVOS

Teor. 1: Se ∆∆∆∆ é um tetrádico reto, então:

:ΟΟΟΟρρρρ ≠∀ 0 4 >ρρρρ∆∆∆∆ρρρρ :: , (01).

De fato, considerando ((03),§07.04), escrevemos:

0)ˆ (L...)ˆ (L)ˆ (L 29

922

221

14 >+++= εεεερρρρεεεερρρρεεεερρρρρρρρ∆∆∆∆ρρρρ :::::

uma vez que, no segundo membro, todas as parcelas são não negativas e não nulas simultaneamente. Em geral, tetrádicos 4φφφφ para os quais, para qualquer ρρρρ≠ΟΟΟΟ, ρρρρ : 4φφφφ : ρρρρ>0, são ditos tetrádicos definidos positivos; é o caso dos tetrádicos retos. Os tetrádicos 4φφφφ para os quais, para qualquer ρρρρ, ρρρρ : 4φφφφ : ρρρρ≥0, são ditos tetrádicos semi-definidos positivos. Vale observar que, para ρρρρ=ΟΟΟΟ, ρρρρ : 4φφφφ : ρρρρ=0, mas pode também ser ρρρρ : 4φφφφ : ρρρρ=0 para algum ρρρρ≠ΟΟΟΟ; é o caso, por exemplo, dos tetrádicos retos gerados de um E2. Se o oposto de um tetrádico é um tetrádico definido positivo (semidefinido positivo), ele é dito definido negativo (semidefinido negativo). Seja 4φφφφ um tetrádico simétrico semi-definido positivo – logo, com autovalores (reais) X i (i=1,2,.., 9) e autodiádicos iεεεε unitários e ortogonais entre si (Teor. 5 e 6, §18.01,IV) –

que podemos escrever, então, na forma tônica iii4 ˆˆX εεεεεεεεφφφφ = . Sendo:

0)ˆ (X , 2ii

4 >=∀ εεεερρρρρρρρφφφφρρρρρρρρ ::: ,

segue-se que X1≥0, X2≥0 e X3≥0. Existe, pois, o tetrádico, denotado por 4φφφφ1/2, tal que

iii2/14 ˆ ˆ X εεεεεεεεφφφφ = , (02),

evidentemente simétrico semi-definido positivo. O quadrado de 4φφφφ1/2, isto é, 4φφφφ1/2 : 4φφφφ1/2 é igual a 4φφφφ. O tetrádico 4φφφφ1/2 é único pois se existisse um segundo, digamos 4ψψψψ (≠ 4φφφφ1/2), tal que 4ψψψψ2 = 4φφφφ, então, sendo µµµµ um autodiádico de 4ψψψψ relativo ao autovalor A≥0,

§ 11 – Tetrádicos definidos e semidefinidos, positivos e negativos. 381


µµµµµµµµψψψψ ˆAˆ 4 =: , ou µµµµφφφφµµµµµµµµψψψψ ˆ ˆ Aˆ 424 2 :: ==•

.

Assim, o autodiádico µµµµ de 4ψψψψ relativo ao autovalor A é autodiádico de 4φφφφ relativo ao

autovalor A2. Portanto, cada autovalor de 4ψψψψ é a raiz quadrada positiva de um autovalor de 4φφφφ; e 4ψψψψ = 4φφφφ1/2, isto é, 4φφφφ1/2 é único. Dado o tetrádico iii ˆˆX ee=φφφφ , simétrico semidefinido positivo, o diádico φφφφ1/2, dado

por (05) e, também, simétrico semidefinido positivo, será dito a sua raiz quadrada positiva.

Se um tetrádico iii4 ˆˆX εεεεεεεεφφφφ = , simétrico semidefinido positivo, é completo (nenhum

dos seus autovalores Xi é nulo), ele admite também uma raiz quadrada, dada por (05), que admitirá inversa, isto é:

ˆ ˆ X

1 e ˆ ˆ X ,ˆ ˆ X 0 , ii

i

2/14iii

2/14iii

49

4T44 εεεεεεεεφφφφεεεεεεεεφφφφεεεεεεεεφφφφφφφφφφφφφφφφ ===⇒≠= − , (03).

Os tetrádicos 4ψψψψ: 4ψψψψT e 4ψψψψT: 4ψψψψ são simétricos semidefinidos positivos; e se 4ψψψψ9≠0, são simétricos definidos positivos. Exercício: (adaptado de Chadwick49) Seja dado um tetrádico 4φφφφ= 4φφφφT (simétrico). Então, para qualquer tetrádico 4ψψψψ = 4ψψψψT ≠ΟΟΟΟ (simétrico), provar que existem, únicos, o escalar A e o tetrádico 4S= 4ST (simétrico) tais, que

4ψψψψ=A 4φφφφ+ 4S, com 0 444 =• Sφφφφ (4φφφφ é ortogonal a 4S), (04).

Provar, ainda, que se 4φφφφ1= 4φφφφ1

T≠ΟΟΟΟ, 4φφφφ2= 4φφφφ2T≠ΟΟΟΟ e se 4µµµµ é ortogonal a 4φφφφ1 (

4µµµµ : 4φφφφ1=0) para

todo 4µµµµ ortogonal a 4φφφφ2 )0 ( 2444 =• φφφφµµµµ , então 4φφφφ1 é paralelo a 4φφφφ2.

Solução:

Podemos reduzir 4φφφφ à sua forma tônica: iii4 ˆˆX εεεεεεεεφφφφ = em que (i=1, 2, ... , 9) e os Xi

não são simultaneamente nulos. Logo:

ii2

i24 ˆˆ)X( εεεεεεεεφφφφ =&

e, portanto,

(4φφφφ2)E=(X1)2+(X2)

2+...+(X9)2>0.

Sendo 4φφφφ≠ΟΟΟΟ,

0|||| )( 4444E

24 ≠== • φφφφφφφφφφφφφφφφ&.

A recíproca é verdadeira.

49 Chadwick, P., Continuum Mechanics (concise Theory and Problems), Dover, New York, 1999, p. 27)

382 § 11 – Tetrádicos definidos e semidefinidos, positivos e negativos.

V,§11

Então, para qualquer 4ψ= 4

ψT, o número E

24444 )/() ( A&φφφφφφφφφφφφ •= está univocamente

determinado, bem como o tetrádico simétrico 4S= 4ψψψψ-A 4φφφφ. Da primeira igualdade, porém, deduzimos:

) (A ) ( 444444 φφφφφφφφψψψψφφφφ •• = , ou seja, , 0)A ( 4444 =−• φφφφψψψψφφφφ .

Agora, considerando a segunda igualdade, deduzimos: 0 444 =• Sφφφφ (4φφφφ é ortogonal a 4S).

Esses resultados comprovam (04). Se em (04) fizermos 4ψψψψ= 4φφφφ1= 4φφφφ1

T e 4φφφφ= 4φφφφ2= 4φφφφ2T, escreveremos: 4φφφφ1=A 4φφφφ2+ 4S,

com 0 442

4 =• Sφφφφ . Então, 0 441

4 =• Sφφφφ porque 0 441

4 =• µµµµφφφφ . Isto significa que

0 |||| 444 ==• SSS , ou seja, 4S= 4ΟΟΟΟ e, pois, 4φφφφ1=A 4φφφφ2 (4φφφφ1 é paralelo a 4φφφφ2).

§I.02 – Adição e multiplicação por número real.. 383


APÊNDICES

APÊNDICE I

SOBRE OS NÚMEROS COMPLEXOS. O conhecimento da teoria básica dos números complexos é um pré-requisito para o entendimento deste capítulo.

§I.01 – Definição, notação. Chama-se número complexo, Z, a todo par ordenado A e B de números reais, e se representa por Z=(A,B), gozando das seguintes propriedades: 1) – a que cria o número complexo nulo – número esse que se representa pelo símbolo Ο (ômicron maiúsculo) – e que encampa o conjunto dos números reais:

(A,0)=A, donde (0,0)=Ο (número complexo nulo), (01); 2) – a que estipula um critério de igualdade entre dois complexos Z=(A,B) e Z’=(A’,B’), que escrevemos na forma:

(A,B)=(A’,B’) se A=A’ e B=B’, (011). Havendo N números complexos a considerar, usaremos também a notação indicial escrevendo: Zj=(Aj,Bj) para j=1,2,...,N.

Dentre os números complexos não nulos existem dois números especiais: (1,0)=1, chamado unidade real; e (0,1), chamado unidade imaginária e que se representa por i.

§I.02 – Adição e multiplicação por número real. Chama-se soma dos complexos Z=(A,B) e Z’=(A’,B’), e se indica por Z+Z’, o complexo (A+A’,B+B’). A operação de adição de complexos tem por fim a determinação da soma deles. Esta operação é comutativa, associativa e distributiva em relação à adição de reais. Chama-se produto de um complexo Z=(A,B) pelo número real M, e se indica por MZ, ou ZM, ao complexo (MA,MB). A operação de multiplicação de complexo por número real tem por fim a determinação do produto deles. Esta operação é comutativa, associativa e distributiva em relação à adição de reais e de complexos.

384 Apêndice I - Sobre os números complexos.

V,Ap.I,§06

§I.03 – Forma binomial.

Considerando as operações anteriores podemos dar a um complexo Z=(A,B) a forma binomial seguinte: Z=A+iB, pois:

Z=(A,B)=(A+0,0+B)=(A,0)+(B×0-0×1,B×1+0×0)=(A,0)+(B,0)(0,1)=A+Bi. A forma binomial sugere denominar A a parte real do complexo; e B a parte imaginária. Quando conveniente escreveremos: Zre=A e Zim=B.

§I,04 – Conjugado de um complexo.

Chama-se conjugado de um complexo Z=A+iB, e se indica por Z*, o complexo Z*=A-iB. Resultam, logo: Ο*=Ο e Z** =Z.

§I,05 – Multiplicação de complexos. Norma e módulo.

Chama-se produto dos complexos Z1=A1+iB1 e Z2=A2+iB2, e indica-se (como ordinariamente) por Z1Z2, ao complexo obtido multiplicando-se os binômios como habitualmente, mas considerando que i2=ii=-1:

Z1Z2=(A1+iB1) (A2+iB2)=(A1A2-B1B2)+i(A1B2+B1A2),

destacando-se: (Z1Z2)re= A1A2-B1B2 e (Z1Z2)im= A1B2+B1A2.

O produto de qualquer complexo pelo seu conjugado é denominado norma desse complexo, e se indica por ||Z||, sendo:

||Z||=ZZ*=Z*Z=A2+B2>0.

A raiz quadrada positiva da norma de um complexo é denominada o módulo desse

complexo, escrevendo-se: |Z|= ||||Z . Um complexo Z é se, e somente se, ||Z||=0.

§I,06 – Divisão de complexos. Inverso.

Chama-se quociente do complexo Z1=A1+iB1 pelo complexo Z2=(A2+iB2), e se

indica como habitualmente por Z1/Z2 ou 2

1

Z

Z, ao complexo:

22

22

21212121

22

11

2

1

)B()A(

)BAAB((i)BBAA(

iBA

iBA

Z

Z

+−++

=++

= .

Resulta da definição que:

||Z||

ZZ

ZZ

ZZ

Z

Z

2

21

22

21

2

1∗

∗

∗

== e 22

11

)B()A(

iBA

ZZ

Z

Z

1Z)Z(

+−===≡

∗

∗−− .

O complexo Z-1 é denominado o inverso de Z.

§I,07 – Diagrama de Argand de um complexo. 385


* Exercícios: Para quaisquer complexos Z, Z1, Z2: 1) - Zre=(Z+Z*)/2 e Zim=(Z-Z*)/2i; 2) - |Z1Z2|=|Z1||Z2|; 3) - |Z1/Z2|=|Z1|/|Z2| se, e apenas se, Z2≠Ο.

*

§I,07 – Diagrama de Argand de um complexo.

Tal como a cada ponto de um eixo se pode associar um número real, a cada ponto de um plano se pode associar um número complexo; e reciprocamente. De fato, para isso, basta utilizar-se um par de eixos cartesianos ortogonais de origem O, Ox e Oy. Dado o complexo Z=A+iB podemos marcar em representação gráfica o ponto Z de coordenadas (A,B) a que se denomina imagem do complexo Z (Figura 1.1.a); inversamente a cada ponto do plano podemos fazer corresponder um número complexo. Então, ρ=OZ é o módulo de Z. Sendo θ o ângulo que OZ faz com o eixo Ox, considerado positivo quando medido no sentido trigonométrico, tem-se tgθ=B/A e

22 BA +=ρ . O eixo Ox costuma ser denominado eixo real; e Oy eixo imaginário.

De outro lado, poderíamos dar a Z a imagem representada pelo vetor z=OZ no

mesmo diagrama anterior; e escreveríamos, então: jiz ˆBˆA += , desde que i fosse um vetor

unitário associado ao eixo Ox e j associado a OY.

A figura obtida com as representações de um número complexo no plano cartesiano costuma ser denominada: diagrama de Argand do complexo (Figura I.1.a). Vários complexos podem ser representados num mesmo diagrama. O vetor soma de dois complexos obtém-se, assim, como o vetor soma dos vetores reais associados a cada complexo no diagrama de Argand (Figura I.1.b). É simples, também, representar no diagrama de Argand um complexo e seu conjugado (Figura I.1.c)

Figuras 1.1 – Diagramas de Argand de um complexo

* Exercício: Mostrar que |Z1+Z2|<|Z1|+|Z2| e generalizar.

*

386 Apêndice I - Sobre os números complexos.

V,Ap., §I,08

§I,08 – Forma polar ou exponencial de um complexo. Notando que A=ρcosθ e B=ρsenθ, podemos escrever:

Z=ρ(cosθ+isenθ) e Z*=ρ(cosθ-isenθ). Considerando os desenvolvimentos em série de MacLaurin das funções seno, co-seno e eiθ, quais sejam:

cosθ=1-θ2/2!+θ4/4!-θ6/6!+..., senθ=θ-θ3/3!+θ5/5!-θ7/7!+... e

eiθ=1+iθ-θ2/2!-iθ3/3!+ θ4/4!+iθ5/5!-... deduzimos facilmente a fórmula de Euler: eiθ=cosθ+isenθ. É evidente, então, trocando-se θ por -θ, que e-iθ=cosθ-isenθ. Assim,

Z=A+iB=ρeiθ e Z=A-iB=ρe-iθ.

A representação ρeiθ de A é denominada representação exponencial ou polar; θ é o argumento ou ângulo de Z.

* Exercícios: 1) – Para qualquer θ: |eiθ|=1; 2) – Se θ é muito pequeno (da ordem de no máximo 3π/180 rad), eiθ=1+iθ; 3) – Para qualquer θ: cosθ=(eiθ+e-iθ)/2 e senθ=(eiθ-e-iθ)/2i.

*

Podemos interpretar graficamente a exponencial eiθ da representação polar de Z como um operador (de rotação) que gira, no sentido trigonométrico, um segmento de comprimento igual ao módulo ρ de Z, este disposto, antes da rotação, paralelamente ao eixo real, de um ângulo igual ao argumento θ de Z (Figura I.2). Então, o vetor z representativo de Z, com origem em O’, é a

rotação do vetor real ρ i realizada pelo operador eiθ.

Uma das vantagens da adoção da representação polar está na determinação (gráfica e algébrica) dos produtos e quocientes de

números complexos. Tem-se, para o produto:

Z1Z2=ρ1(cosθ1+isenθ1) ρ2(cosθ2+isenθ2)=

=ρ1ρ2 (cosθ1cosθ2--senθ1isenθ2)+i(cosθ1senθ2--senθ1cosθ2), ou, lembrando fórmulas trigonométricas clássicas:

Z1Z2=ρ1ρ2 [(cos(θ1+θ2)+isen(θ1+θ2)]= ρ1ρ2)i( 21e θ+θ .

Similarmente deduzimos, ara o quociente:

§I,08 – Forma polar ou exponencial de um complexo. 387


=θ−θθ−θ

θ+θθ+θ

ρρ

=θ+θρθ+θρ

=)isen(cos

)isen(cos

)isen(cos

)isen(cos

)isen(cos

)isen(cos

Z

Z

22

11

22

11

2

1

222

111

2

1

=θθ−θθ+θθ+θθρρ

= )]cossencossen(i)sensencos[(cos 222121212

1

)(i

2

12121

2

1 21e)](sen(i)[(cos( θ−θ

ρρ

=θ−θ+θ−θρρ

= .

Em resumo:

se 1i11 eZ θρ= e 2i

22 eZ θρ= , então: )i(2121

21eZZ θ+θρρ= e )(i

2

1

2

1 21eZ

Z θ−θ

ρρ

= .

Decorre então que se Z=ρeiθ, tem-se: Zeiϕ=ρei(θ+ϕ). Assim, o vetor ZO ′=′z , que representa Zeiϕ no diagrama de Argand, pode ser obtido pela rotação do vetor z (que representa Z) de um ângulo ϕ no sentido positivo se ϕ>0. (Figura I.3 ), ou no sentido negativo se ϕ<0 (Figura I.4).

A interpretação geométrica do produto de dois complexos é análoga, pois

poderíamos escrever: )Z(eZZ 2i

1211θρ= , expressão que mostra podermos girar o vetor

representativo de Z2 do ângulo (θ1) de Z1 (e obtemos, assim, o vetor relativo ao complexo dentro dos parênteses), e depois simplesmente ampliar de ρ1 o módulo desse vetor girado. A interpretação geométrica do quociente pode ser feita de modo inteiramente análogo à do produto. Podemos escrever:

)eZ(1

Z

Z2i

122

1 θ−

ρ= ,

ou seja: para obter-se o quociente podemos girar o vetor z1 representativo de Z1, de θ2 no sentido negativo, e depois reduzir de ρ2 o modulo desse vetor rodado.

*

388 Apêndice I – Sobre os números complexos

V,Ap. I,§08

Para o que nos interessa nos parágrafos seguintes esses conhecimentos sobre os números complexos são suficientes. Mas o leitor deve estar ciente de que operações como potenciação, radiciação e logaritmação são, ainda, definidas para os números complexos, todas passíveis de interpretação geométrica.

389 Ap. II – Oscilações mecânicas.

V,Ap. II,§01

APÊNDICE II

OSCILAÇÕES MECÂNICAS (noções). Oscilação, ou movimento oscilatório (ou vibratório) é todo movimento, ou mudança de uma variável de estado (uma grandeza) de um sistema físico, que se repete com o tempo. As oscilações ditas mecânicas são os movimentos pendulares, movimento dos êmbolos dos motores de combustão interna, as vibrações das cordas, das hastes e das placas, a vibração dos terrenos e poucos outros. No eletromagnetismo aparecem as oscilações eletromagnéticas. As oscilações são ditas periódicas quando o(s) valor(es) da(s) grandeza(s) física(s) que oscila(m) se repete ao cabo de intervalos de tempo iguais. Alguns movimentos periódicos serão estudados a seguir.

§II.01 – Movimento circular uniforme. Um ponto apresenta um movimento circular quando sua trajetória é uma

circunferência. Seja (C) uma dessas circunferências com centro O e raio R. Para descrever-se analiticamente esse movimento é necessário fixar, em primeiro lugar, o sentido do movimento sobre a circunferência. Para isso adotamos dois semi-eixos cartesianos Ox e Oy positivos, arbitrários, mas ortogonais, de origem em O, ao semi-eixo Ox estando

associado o vetor unitário i e ao Oy o unitário j (Figura

II.1). Suponhamos que o sentido do movimento seja aquele que leva Ox a coincidir com Oy quando rodado no sentido trigonométrico (ou anti-horário) para quem observa o plano

do semi-espaço para o qual aponte ji ˆˆ× mas no sentido oposto ao desse vetor. Este sentido

de movimento é dito positivo; o sentido contrário é dito negativo.

A posição do ponto P (que gira num sentido qualquer) ndado instante poderá ser fixada pelo ângulo ϕ - dito abscissa angular instantânea de P (Figura II.2) – que o raio vetor de P (vetor de origem O e extremidade P, módulo R) faz (nesse instante) com o semi-eixo Ox (lado origem dos ângulos). A abscissa angular de um ponto é dita positiva quando o eixo Ox deve ser girado no sentido positivo para coincidir (em direção e sentido) com o raio vetor do ponto; é dita negativa em caso contrário. Estando o ponto em movimento, o ponto de início da marcação dos tempos poderá ser um ponto P0 cuja abscissa

angular ϕ0 seja conhecida; esse instante é dito instante inicial.

Se dt é o tempo necessário para que, a partir de P, o ponto descreva o arco Pd)

, no

sentido positivo, a velocidade escalar instantânea do ponto em P é v=Pd)

/dt, ou seja, v=Rdϕ/dt (para ϕ medido em rad). A grandeza dϕ/dt que descreve o modo de variação do

390 Apêndice II – Oscilações mecânicas

V,Ap.II, §02

ângulo central com o tempo é denominada velocidade angular instantânea do ponto (ou do movimento) e é denotada por ω. Assim, ω=dϕ/dt=v/R. Quando ω é constante (ou v é constante) o movimento é dito circular uniforme, sendo, então, ϕ=ωt+ϕ0, pois sendo dϕ=ωdt, tem-se, por integração: ϕ=ωt+C, valendo C=ϕ0 pata t=0. O ângulo ϕ é dito a fase instantânea do movimento, e ϕ0 a fase inicial.

§II.02 – Um movimento oscilatório associado ao circular uniforme. Vamos examinar o movimento da projeção Q do ponto P do movimento circular do item anterior sobre o eixo Ox (como bem poderia ser sobre o eixo Oy). É fisicamente evidente que ao movimento circular de P fica associado um movimento oscilatório de Q em torno da posição central O. Quando o movimento circular é uniforme, o oscilatório associado denomina-se movimento oscilatório harmônico. Como Q seja a projeção instantânea de P sobre Ox, a abscissa instantânea ou elongação de Q em relação a O é:

x=Rcosϕ=Rcos(ωt+ϕ0), (01). A elongação terá, então, um valor máximo igual a R; este é dito a amplitude da oscilação. A lei (01) é dita a resposta da partícula às causas (geralmente forças e deslocamentos) que a põe em oscilação. As causas iniciais apenas originam a oscilação livre da partícula; causas seguintes (forças externas ao movimento iniciado) acarretam a oscilação forçada da partícula. A expressão da fase, ϕ=ωt+ϕ0, mostra que a cada unidade de tempo passada corresponde (numericamente) um acréscimo de ω radianos à fase, pois para t=t+1 seria ω’=ω(t+1)+ϕ0, isto é ω’=ϕ+ωx1. Então, quanto tempo T será necessário para que a fase seja aumentada de 2π rad? Tem-se, tal como anteriormente: ϕ+2π=ω(t+T)+ϕ0=ωT+ϕ, donde T=2π/ω. T representa, então, o tempo que o ponto P (em movimento circular uniforme), depois de ter passado por certa posição em certo sentido, demora para retornar a essa mesma posição e no mesmo sentido. O mesmo conceito pode ser aplicado ao movimento oscilatório de Q: T representa o tempo que Q (em oscilação), depois de ter passado por certa posição em certo sentido, demora para retornar a essa mesma posição, chegando no mesmo sentido. Esse tempo é denominado o período do movimento (circular, ou do oscilatório). Ora, se decorrem T segundos para que P (circulando), ou o ponto Q (oscilando), dê uma revolução completa, em um segundo P dará ν=1/T revoluções e Q, ν oscilações. De fato, da proporção simples:

T (segundos) _______ 1 (revolução) 1 (segundo) _______ ν (revoluções),

deduzimos: Tν=1, ou ν=1/T=ω/2π. O número ν (de revoluções) é a freqüência angular do movimento circular, conceito este que é estendido apenas com o nome de freqüência (ou, às vezes, freqüência natural) do movimento oscilatório. A velocidade angular ω de um movimento circular costuma ser estendida aos movimentos oscilatórios com o nome de

§II.02 – Um movimento oscilatório associado ao circular uniforme. 391


freqüência cíclica. As fases do movimento oscilatório são indicadas no diagrama da Figura II.3, dito “diagrama de fases”, o eixo das ordenadas estando graduado em v/ω.

Vemos pela lei: x=Rcosϕ=Rcos(ωt+ϕ0) que, na oscilação, a elongação é anulada quando a fase instantânea (φ) é igual a um número ímpar de π/2 rad, isto é, ϕ=(2k+1)π/2 com k=0,±1,±2, ...; então, ωt=(2k+1)π/2-ϕ0. Para a elongação máxima (x=xmax=R), a fase instantânea ϕ=ωt+ϕ0 deve ser igual a um número inteiro de π rad, ϕ=k’π, com k’=0,±1,±2, ..., ou seja, para ωt=k’π-ϕ0. O gráfico indicativo da variação da elongação (ou deslocamento) de Q com o tempo, por unidade de R, é dito “diagrama de deslocamentos” do movimento oscilatório e está indicado na Figura II.5. A velocidade instantânea de Q é v=dx/dt=-ωRsen(ωt+ϕ0), o sinal negativo mostrando que, para aquele instante, o ponto pode estar se deslocando em sentido contrário ao do eixo Ox. O gráfico indicativo da variação de -v/ω de Q com o tempo (|v/R|≤1) é dito “diagrama das velocidades” do movimento oscilatório e está indicado na Figura II.4.

A aceleração é: a=d2x/dt2=-ω2x, ou 0xx 2 =ω+&& , o sinal negativo indicando que, em qualquer instante, a aceleração de Q tende sempre a frenar o movimento (como se O exercesse atração sobre Q). Vê-se, assim, que x=Rcos(ωt+ϕ0), envolvendo duas constantes

(ω e ϕ0), é a solução geral da equação diferencial 0xx 2 =ω+&& . Diagrama de Fases Diagrama de velocidades

10 20 30 40 50 60 70t

-1

-0.5

0.5

1

−vêw

Figura II.3 Figuras II.4

Diagrama de deslocamentos

Figura II.5


V,Ap.II, §03

§II.03 – Movimentos oscilatórios harmônicos livres (MOH’s).

No movimento circular uniforme estudado no item anterior não foi feita nenhuma referência ao esforço que pusesse o ponto P (ou Q) em movimento. Vamos agora discutir dois outros tipos de movimento oscilatório cujas causas estarão bem evidentes; são: o vibratório harmônico e o pendular harmônico.

Movimento vibratório harmônico

Consideremos a situação ideal em que uma massa m de centro O esteja presa entre duas molas retilíneas, mecânica e geometricamente idênticas. Fixemos as extremidades dessas molas e associemos ao seu eixo um semi-eixo com origem em O e sentido positivo da esquerda para a direita. Vamos supor que esse conjunto esteja apoiado sobre uma mesa e que seja desprezível o atrito (estático ou dinâmico) entre a massa e a mesa, bem como da mola com a mesa (Figura II.6). Desloquemos a massa para o lado positivo do semi-eixo dos x e seja x o deslocamento correspondente a uma força f aplicada à massa. Supomos que as duas molas,

uma comprimida e a outra tracionada, reajam elasticamente a esse esforço aplicando sobre a massa uma força que seja proporcional ao deslocamento por esta sofrido. As forças (internas) de reação das molas são, então, escritas na forma f=-kx, k sendo uma constante característica da mola, o sinal negativo indicando que a força atua em sentido contrário ao sentido positivo do eixo Ox. O valor máximo de f se dará para x=R (Figura II.6). Sob a ação de f a massa

entrará em movimento de retorno à sua posição inicial, ou posição de equilíbrio, com uma velocidade crescente desde zero. Ao passar pela posição inicial (de equilíbrio) a força f terá se anulado, mas a reserva de velocidade da massa, -v, faz com que ela ultrapasse a posição de equilíbrio, movimentando-se até o ponto (de abscissa –x) oposto ao ponto de partida. Isto, evidentemente, só acontecerá se pudermos desprezar (em uma situação ideal) a resistência que o ar (força externa) possa exercer sobre o movimento da massa (outras

forças externas, como as de atrito com a mesa já não existem). É evidente que, agora, por estar a mola da esquerda comprimida e a da direita tracionada, todo o movimento é reiniciado da esquerda para a direita. Tal movimento é dito vibratório harmônico.

Movimento pendular harmônico Um segundo exemplo de MOH livre é o pendular plano, realizado por uma massa m fixa à extremidade P de um fio (ou de uma haste) que tem fixa a outra extremidade C (tudo livre da resistência do ar). Supõe-se que a massa do fio (ou da haste) seja

desprezível em relação a m. Este pêndulo também é chamado de pêndulo matemático (Figura II.7).

§II.04 – Energia no MOH livre. 393


A posição vertical do fio estendido, CO (O≡P), é uma posição de equilíbrio (tal como a da massa m no movimento vibratório no ponto O). A trajetória de m devida a qualquer deslocamento é, a rigor, um arco de circunferência. Mas para um comprimento adequado de fio e um deslocamento inicial suficientemente pequeno de m, o ângulo central PCO de vértice em C poderá ser suficientemente pequeno para que se possa confundir, sem perigo de precisão, o arco OP com a corda OP. Isto significa que, para pequenos deslocamentos angulares da massa m (da ordem de π/180 rad para um lado e outro de CO), tudo se passa como se m descreve-se um movimento vibratório em torno de O.

A semelhança deste movimento com o vibratório anteriormente descrito é flagrante. Mas aqui a força f é a componente do peso relativo à massa m segundo a tangente ao arco de circunferência na posição genérica P, uma força praticamente horizontal (Figura II.6). A outra componente desse peso, na direção do fio, apenas traciona o fio e tem módulo praticamente igual à força peso da massa. A força f, embora não seja de natureza elástica, tem comportamento semelhante por depender linearmente da amplitude; forças desse tipo são ditas quasielásticas. Forças elásticas e quasielásticas atuantes sobre pontos materiais geram movimentos oscilatórios.

Sendo x a elongação de P relativa a uma abscissa angular (instantânea) ϕ (Figura II.6), tem-se, sendo k uma constante (da mola no caso do movimento vibratório): f=-kx, com k>0. Mas, também, f=ma, em que a é a aceleração de m. Como esta aceleração valha d2x/dt2, ou, simplesmente x&& , resulta x)k/m(x −=&& . Como k e m são quantidades positivas,

podemos por k/m=ω2, e a equação diferencial torna-se: 0 xx 2 =ω+&& .

Toda a nomenclatura utilizada para o movimento oscilatório, bem como a interpretação física das quantidades envolvidas, pode ser repassada ao movimento pendular.

Particularmente, por ser ω=2π/T, tem-se: m/k2T π= .

Exercício: Mostrar que o período T de oscilação de um pêndulo matemático de comprimento l é

igual a l/g2π , onde g é a aceleração da gravidade.

§II.04 – Energia no MOH livre.

Qualquer que seja o movimento oscilatório, uma força f (externa) quasielástica atua no ponto (ou partícula) em movimento, no ponto genérico P de elongação x, sendo f=-kx. Essa partícula apresenta, pois, uma energia potencial instantânea EP (energia devida à sua posição) equivalente ao trabalho realizado por f até a passagem da partícula por P. A variação dessa energia em P, dEP, para um deslocamento elementar -dx de posição da partícula (na direção da força f, pois f aponta sempre para a posição de equilíbrio), é igual à variação do trabalho realizado por f nessa mudança de posição. Logo, dEP=f(-dx), ou seja, por ser f=-kx: EP=C+kx2/2. Como para x=0 é EP=0 (porque f se anula) então, para qualquer x, EP=kx2/2. A representação gráfica da variação

de EP com x é a parábola de eixo OEP indicada na Figura II.8. Como a elongação tem valor máximo igual à amplitude R, resulta: 0≤EP≤kR2/2.


V,Ap.II,§ 05

Por outro lado, pelo fato da partícula ter velocidade variável, ela apresenta energia cinética variável (energia devida ao movimento). Em P, durante o deslocamento elementar de f, ocorrido no intervalo de tempo dt, a velocidade variou da quantidade dv; a aceleração a está, então, definida por a=dv/dt. Como f=ma (lei de Newton), f=mdv/dt. Como o espaço percorrido pela partícula no intervalo dt é dx’=vdt, o trabalho realizado por f é dEc=f.dx’=fvdt, ou, lembrando que fdt=mdv: dEc=mvdv. A energia cinética instantânea é, então: Ec= C’+mv2/2. Como para v=0 (elongação máxima) a energia cinética é nula, resulta que no ponto genérico da trajetória, no qual a velocidade da partícula é v, Ec=mv2/2.

Por ser x=Rcos(ωt+ϕ0), é )t(Rsen-vx 0ϕ+ωω==& . Logo:

EC=mω2R2sen2(ωt+ϕ0)/2 e EP=kR2cos2(ωt+ϕ0)/2. Como k=mw2 (ver §II.03), deduzimos:

EC+EP=Etot=kR2/2= constante,

constante essa (igual ao valor máximo da energia potencial) que permanecerá constante durante todo o tempo em que ocorrer a oscilação. Quando EP é máxima (na posição de elongação máxima), EC=0 (pois, para essa posição, é v=0). Ao contrário, EC será máxima quando EP tornar-se um mínimo, o que ocorre para x=0. Assim, no gráfico da variação da energia potencial com x (Figura II.8), a diferença entre kR2/2 e EP corresponde à energia cinética da massa para o deslocamento x.

§II.05 – Os números complexos e a composição de MOH’s livres, de mesma direção.

Relembremos que todo número complexo Z=(A,B) pode ser escrito nas formas binominal e polar seguintes:

Z=(A,B)=A+iB=R(cosθ+isenθ)=Reiθ, com 22 BAR += . Como a elongação de todo MOH livre pode ser escrita na forma x=Rcosϕ=Rcos(ωt+ϕ0), deduzimos que a todo movimento desta natureza podemos associar o número complexo cuja parte real seja x, isto é,

x=(Rcosϕ+iRsenϕ)re=( )t(i 0Re ϕ+ω )re. As operações de adição e multiplicação definidas para os números complexos mostravam que é possível substituir o penoso cálculo dos resultados (somas e produtos) com linhas trigonométricas por cálculos com exponenciais. Assim, a substituição de x pela parte real do complexo Reiϕ pode apresentar vantagens frente aos problemas de “composição de movimentos” em que uma mesma massa execute até três movimentos independentes e simultâneos, em direções diferentes (o que será explorado mais à frente).

Em relação a um movimento apenas, realizado por uma partícula, o quadrado da amplitude, por exemplo – ao qual é proporcional a energia total da partícula – é o produto de Reiϕ pelo seu conjugado (§I.05). Que resultado prático poderíamos obter com o produto

ϕα= ii eAe'Z 0 com A real? Ora, este seria equivalente à consideração de uma oscilação em

§II.05 – Composição de MOH’s de mesma direção e números complexos. 395


que a amplitude fosse o número complexo 0i0 AeZ α= . Mas

)t(i)(i 000 AeAe'Z α+ϕ+ωα+ϕ == .

Logo, sendo )tcos(A'Z 00re α+ϕ+ω= , concluímos que Z’re representa um movimento

oscilatório cuja amplitude é A, e que tem uma fase inicial ϕ0+α0.

Composição de MOH’s livres, de mesma direção

Imaginemos que, num sistema físico, uma partícula execute dois movimentos vibratórios de mesma direção, aos quais estejam associados os complexos:

1i11 eRZ ϕ= e 2i

22 eRZ ϕ= , com ϕ1=ω1t+ϕ01 e ϕ2=ω2t+ϕ02.

Quais são as características do movimento resultante?

O movimento resultante tem elongação x dada pela parte real de Z1+Z2, isto é, x=(Z1+Z2)re. Conforme exposto no §I.07, se construirmos os diagramas de Argand desses complexos, representando graficamente os vetores reais z1 e z2 associados a esses complexos (Figura II.9), o vetor z, soma de z1 com z2, está associado ao complexo Z soma de Z1 com Z2. A parte real de Z, isto é, Zre=R cosϕ, descreve a variação da elongação do movimento resultante. A amplitude R

desse movimento é |z|, isto é,

R2=|z|2=|z1|2+|z2|

2+2|z1||z2|cos(ϕ2-ϕ1), ou R2=|R1|2+|R2|

2+2|R1||R2|cos(ϕ2-ϕ1);

e a fase ϕ é tal, que (por projeção sobre o eixo real):

|z|cosϕ=|z1|cosϕ1+|z2|cosϕ2, ou cosϕ=(R1cosϕ1+R2cosϕ2)/R,

ou, ainda, tgϕ=(R1senϕ1+R2senϕ2)/(R1cosϕ1+R2cosϕ2).

Sendo: ϕ2-ϕ1=(ω2-ω1)t+(ϕ20-ϕ10), vemos que R é função do tempo e só seria constante se fosse ω2=ω1. A velocidade angular da partícula, ou seja, a freqüência cíclica com que gira o vetor z no diagrama de Argand, ω=ϕ& , não é constante. O movimento

composto não é, pois, harmônico (§II.02). *

Exercício: As elongações de dois MOH’s livres, de mesma direção, são dadas por: x1=R1cosϕ1 e x2=R2cosϕ2, com ϕ1=ω1t+ϕ01, ϕ2=ω2t+ϕ02 e ω1 e ω2 não variáveis com o tempo. Se ω1≠ω2, demonstre que: 1) – o quadrado da freqüência cíclica ω do movimento composto é dado por

21212

2211

22221112

coscosRR4)senRsenR(

)senRsenR(

ϕϕ−ϕ−ϕϕω+ϕω

=ω ;


V,Ap.II,§05

2) – a amplitude R (variável) do movimento composto satisfaz as desigualdades:

R1+R2≥R≥|R1-R2|;

3) – se R1=R2, então:

3.1) – a amplitude do movimento resultante é R=|2R1cos(ω2-ω1)t/2|;

3.2) – o módulo da amplitude se repetirá a cada τ segundos conforme a lei τ=2π/(ω2-ω1), e com freqüência ν igual à diferença das freqüências dos movimentos parcelas, ν2 e ν1 (ν=ν2-ν1);

3.3) – o vetor amplitude (no diagrama de Argand) gira com a velocidade (ω1+ω2)/2, sendo x=Rcos[(ω1+ω2)t/2+(ϕ10+ϕ20)];

3.4) – Se ω1 difere muito pouco de ω2, ou seja, ω’=ω2-ω1 é muito pequeno em relação a ω2+ω1, demonstre que o movimento resultante pode ser considerado praticamente harmônico, tendo freqüência cíclica (ω1+ω2)/2 e amplitude (que não permanece constante, mas varia periodicamente) dada pelo item 3.1. Analise, então, o gráfico elongação x tempo desse MOH livre (Figura II.10), com: R1=R2=2, ω1=1,4 rad/s e ω2=1,2 rad/s, para 20<t<100.

20 40 60 80 100

-4

-2

2

4

Figura II.10

Este MOH livre – conhecido por pulsação – tem amplitude variável com certo ritmo (no caso, de 0 a 4, conforme item 3.1) e freqüência |ω1-ω2|/2π que é chamada freqüência da pulsação. 3.5) - Na escala em que foi feita a Figura II.10, alguns efeitos não podem ser observados. Por exemplo: parece que em todos os pontos da curva a tangente apresenta uma variação contínua. Observe, porém que, por exemplo, para t1=15,71 s, t2=47,12 s, t3=78,53 s etc. (a cada τ=10π s, conforme item 3.2), a elongação é anulada e a tangente à curva apresenta uma mudança brusca de direção (ver detalhe nas Figuras II.11 e II.12, feitas em escala adequada). Interprete fisicamente essa constatação geométrica de descontinuidade

§II.06 – Análise Harmônica. 397


para a velocidade. Comprove (derivando a expressão de x) que o valor do módulo da velocidade nesses pontos de descontinuidade são todos iguais a aproximadamente 0,2577.

14.5 15.5 16 16.5

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0.02

0.04

46.2 46.4 46.6 46.8 47 47.2 47.4

-0.04

-0.02

0.02

0.04

0.06

0.08

Figura II.11 Figura II.12

*

§II.06 – Análise Harmônica.

Quando se compõem oscilações harmônicas com amplitudes e freqüências cíclicas distintas obtêm-se oscilações não harmônicas (a amplitude, a freqüência e a fase inicial resultantes sendo funções do tempo). Assim, para

x1=R1cosϕ1 e x2=R2cosϕ2, com ϕ1=ω1t+ϕ01, ϕ2=ω2t+ϕ02 e

x=x1+x2=R(t)cos[ω1t+ϕ(t)], (01), tem-se: R2(t)=R1

2+R22+2R1R2 cos[ψ(t)-ϕ10],

tgϕ(t)=[R1senϕ10+R2senψ(t)]/[R1cosϕ10+R2cosψ(t)]

e ψ(t)=(ω2-ω1)t+ϕ20. Se for |dA/dt|<<ωRmax e |dϕ/dt|<<ω, diremos que a oscilação do tipo (01) é oscilação modulada. Se for ϕ=constante a oscilação será dita de amplitude modulada; e se for R=constante, de fase ou freqüência modulada.

* O conceito de elongação (uma distância) de uma oscilação pode ser substituído por uma grandeza física qualquer, valendo para estas as mesmas interpretações para aquelas. É evidente que tal “grandeza periódica” deve ter significado físico. Dada uma grandeza periódica, de período T, denotada por G(t), é possível representá-la na forma de uma série de Fourier, isto é, uma soma de uma infinidade de oscilações harmônicas simples cujas freqüências sejam múltiplos de uma freqüência de base (ou fundamental), ω=2π/T. Assim,

∑∞

=

ϕ+ω=1n

nn0 )tcos(nA

2A

G(t)

para a qual, sendo:

398 Ap. II – Oscilações mecânicas.

V,Ap.II,§07

∫−=T/2

T/2n dt t)G(t)cos(nω

T2a , com n=0,1,2,.. e ∫−=

T/2

T/2n dt t)G(t)sen(nω

T2b ,

calculam-se

2n

2nn baA += e

n

nn b

aarctg=ϕ .

O problema consistirá, então, em encontrar uma série de Fourier correspondente a dada oscilação; encontrar esta série significa realizar uma análise harmônica da oscilação. As parcelas da série cujas freqüências cíclicas são ω, 2ω, ..., são ditas, respectivamente: a primeira harmônica da oscilação (ou harmônica fundamental), a segunda harmônica etc..

§II.07 – MOH’s amortecidos. Os estudos anteriores foram feitos impondo “condições ideais” que, na prática, não se verificam senão com alguma aproximação. Poderíamos considerar agora a presença real das forças (externas) de atrito (digamos, de uma massa com uma superfície plana) e da resistência do ar (digamos de uma massa de pêndulo com o ar). Essas forças provocam um amortecimento da oscilação, provocando a diminuição gradativa da elongação da massa com o passar do tempo; daí a razão do nome. Vamos considerar o caso freqüente de massa (ou partícula) que oscila imersa num meio fluido (ar e líquidos, por exemplo). Além das forças quasielásticas, sempre presentes no movimento, devemos considerar ainda essas “forças de resistência”, fr, que, via de regra, variam com a velocidade do movimento. Consideraremos apenas as forças fr do tipo proporcional à velocidade, xv &= , isto é, xrf r &−= , sendo r>0 um “coeficiente de

resistência”, o sinal negativo indicando que fr atua em sentido contrário ao da velocidade. Assim, a lei de Newton correspondente à posição genérica da massa m com elongação x deve ser escrita na forma: kxxrxm −−= &&& , ou 0x)m/k(x)m/r(x =++ &&& . Como r e k são

grandezas positivas, podemos por

ω02=k/m e 2β=r/m, (01),

resultando:

0xx2x 20 =ω+β+ &&& .

Pela troca da variável x na variável ξ através da relação

X=ξe-βt, (02), deduzimos:

ξβ−ξ= β−β− eex t && e ξβ+ξβ−ξ= β−β−β− t2tt ee2ex &&&&& .

Então a equação diferencial do movimento torna-se: ξβ−ξβ+ξω−=ξβ+ξβ−ξ &&&& 222 220

2 ,

ou

0)( 220 =ξβ−ω+ξ&& , (03).

§02.-07 – MOH’s amortecidos. 399


Para que o movimento seja um MOH, basta que ω02>β2, ou seja, que se possa

escrever:

ω2=ω02-β2, (04),

caso em que ele é dito um MOH amortecido.

* Exercício:

Comprovar que nos MOH’s amortecidos: 4/rkm

m2T

2−

π= .

* Para o MOH amortecido podemos então escrever a solução de (03) na forma:

ξ=R0 cos(ωt+α0), com R0 e ω constantes. Então, mudando novamente para a variável antiga (x),

x=R0 e-βt cos(ωt+α0), (05),

isto é, um movimento amortecido é equivalente a um MOH livre cuja amplitude R0e

-βt diminui com o passar do tempo. Se T (determinado conforme o último exercício) é o período (o tempo) que separa duas amplitudes sucessivas, isto é, R0e

-βt e R0e-β(t+T), então:

0TelneR

eRln T

)Tt(0

t0 >λ=β== β

+β−

β−.

A constante (positiva) λ é denominada de decremento logarítmico da oscilação. Podemos, então, escrever a expressão (05) da elongação do movimento na forma

x=R0e-λt/Tcos(2πt/T+α0), (06).

A amplitude inicial de um MOH amortecido é R0e

-λt/T=R0 (pois t=0). Então, depois de um número K de oscilações, ou melhor, KT segundo depois, essa amplitude RK será

RK= R0e-λk =R0/e

λK, (07), isto é, após K oscilações a amplitude inicial terá diminuído eλK vezes.


V,Ap. II,§08

* Exemplo: Na Figura II.13 encontra-se o gráfico elongação (em ordenadas) x tempo do MOH amortecido com R0=4, α0=0,7 rad, β=0,05, ω=1,2 rad/s, logo T=10π/6 e λ=0,2618, donde x=4e-0,2618tcos(1,2t+0,7).

10 20 30 40 50

-3

-2

-1

1

2

3

Figura II.13

Notar que, para α0≠0, a elongação nunca atinge o valor de R0, iniciando-se com R0cosα0.

* §II.08 – MOH forçado.

Consideremos o MOH amortecido estudado no item anterior. Pretendemos agora introduzir um segundo esforço exterior ao movimento (o primeiro, a resistência do meio fluido, já está presente) tal, que permita obter-se ao final um MOH de amplitude constante. Esse esforço funcionará, então, como uma “força excitatriz” complementar, variável certamente com o tempo e deverá ser, possivelmente, periódica. Seja ela dada na forma fexc=Fexccos(ϕ-ϕ0)= FexccosΩt, sua freqüência cíclica Ω podendo ser a mesma do MOH amortecido que estamos modificando, e Fexc>0 sua amplitude. A expressão da lei de Newton para o caso é excfkxxrxm +−−= &&& , ou

excfkxxrxm =++ &&& , (01).

A solução geral dessa equação é a soma da solução geral de equação 0kxxrxm =++ &&& correspondente ao MOH amortecido, isto é, de xamo==R0e

-λt/Tcos(2πt/T+α0), com uma solução particular qualquer, x0(t); então: x=xamo+x0(t). Ao cabo de certo tempo (a rigor, um tempo infinito), xamo torna-se muito pequeno frente a x0(t), isto é, após um tempo suficientemente longo, a elongação do movimento passa a ser praticamente representada por x0(t). Como temos a pretensão de que x0(t) =Rcosϕ, com ϕ=Ωt+ϕ0, seja uma solução particular da equação diferencial (01) – problema possível desde que seja possível determinar as duas constantes R e ϕ0 – deveremos substituir em (01) as derivadas de x em relação ao tempo. Encontramos:

(-mΩ2+k)Rcosϕ-rΩRsenϕ=Fexc cos(ϕ-ϕ0),

§II.08 – MOH forçado. 401


ou, dividindo ambos os membros por mR, considerando as expressões ((01), §II.06) e expandindo a expressão de cos(ϕ-ϕ0):

(ω02-Ω2)cosϕ-2βΩsenϕ=(cosϕ cosϕ0+senϕ senϕ0)Fexc/mR.

Para que esta expressão seja uma identidade, qualquer que seja Ωt, os coeficientes de senϕ e cosϕ em ambos os membros devem ser idênticos, isto é:

ω02-Ω2=cosϕ0Fexc/mR e -2βΩ=senϕ0Fexc/mR.

Dividindo essas expressões membro a membro, obtemos:

tgϕ0=-2βΩ/(ω02-Ω2), (02).

Elevando ao quadrado ambos os membros dessas mesmas expressões, somando membro a membro e depois explicitando R, obtemos:

2220 Ωβ+Ω−(ω

=4)m

FR

22

exc , (03).

Então, a expressão da elongação dessa oscilação estabilizada é

2220

0

Ωβ+Ω−(ω

ϕ+Ω=ϕ=

4)m

)tcos(FRcos)t(x

22

exc0 , (04),

e sua principal característica está em que, pelo fato de fexc ser periódica e iniciar com o valor Fexc, as amplitudes da oscilação vão aumentando paulatinamente com o tempo até atingirem o valor dado por (03). Insiramos no exemplo numérico do MOH amortecido do item anterior onde β=0,05 Ns/kgm, α0=0,7 rad, ω=Ω=1,2 rad/s as condições: Fexc/m=0,85 N/g. Resultam: R=0,85 e ϕ0=1,55 rad. Logo: x=4e-0,2618tcos(1,2t+0,7)+0,85cos(1,2t+1,55). A Figura II.14 mostra a tendência para a estabilização; a Figura II.15 mostra que para t≅50 s a oscilação já está praticamente estabilizada.

5 10 15 20

-4

-2

2

4

20 40 60 80

-4

-2

2

4

Figura II.14 Figura II.15


V,Ap. II,§08

Consideremos uma oscilação com ω=1,2 rad/s e Ω=1,5 rad/s, admitindo-se k/m=ω0

2=2,24688 (o que acarreta ϕ0=1,55 rad, conforme (02)) e Fexc/m=0,85 (o que acarreta R=0,85 dado por (03)). Com isto podemos escrever:

x=4e-0,2618tcos(1,2t+0,7)+0,85cos(1,5t+1,55).

A Figura II.16 mostra o gráfico elongação x tempo dessa oscilação. Observa-se uma ligeira perturbação inicial nas elongações, até os 40s; depois, até os 60s, uma tendência à estabilização, e aos 80s uma oscilação praticamente estabilizada.

20 40 60 80

-4

-2

2

4

Figura II.16

Temos, para o caso: 2220 Ωβ+Ω−(ω= 4)/85,0R 22 com ω0

2=2,24688. Se fizermos β

variar aos saltos e representarmos as variações de R em ordenadas (entre 1,4669 e 1,955) com as variações de Ω (entre 1,0 e 1,645) para cada valor de β, obteremos o gráfico da Figura II.17.

1 1 . 1 1 . 2 1 . 3 1 . 4 1 . 5 1 . 6

0 . 5

1

1 . 5

2

Figura II.17

§II.08 – MOH forçado. 403


Quando Ω<<ω0, é R≅Fexc/mω02=Fexc/k. Pondo Ω4 em evidencia dentro do radicando

de (03), vemos que, quando ω0<<Ω, esse radicando tende para Ω4 porque ω02/Ω2 tende para

zero; e β2/Ω2, com mais forte razão, tende também para 0 (porque ω02>β2, ver §II.06).

Logo, quando ω0<<Ω: R=Fexc/mΩ2. O valor máximo da amplitude, Rmax, corresponde ao valor Ω0 de Ω que minimize o radicando, ou seja, que anule a sua derivada em relação a Ω; encontra-se:

2200 2β−ω=Ω ou 22

0 β−ω=Ω , (05).

No exemplo, Rmax≅5,6766, e por ser β muito pequeno, Ω0≅ω0=1,499. As Figuras II.18 e II.19 mostram as variações de R2 (em ordenadas) com Ω0

2 nos intervalos indicados nas escalas.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.5 1 1.5 2

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Figura II.18 Figura II.19 O valor Rmax é atingido para Ω0

2=ω2-β2, sendo

Rmax=Fexc/(2mβω), (06). Consideremos a situação em que β seja muito pequeno, ou β→0, caso em que Rmax→∞. Relembrando ((01),§II.06), vemos que essa situação corresponde a considerar coeficiente de resistência r muito pequenos (ou tendentes para zero) ou forças de resistência muito pequenas. Se as demais grandezas presentes na expressão (06) são constantes, Rmax pode tornar-se muito grande, isto é, as oscilações deixam de ser pequenas. Mas nesse caso (06) não e mais válida porque a teoria aqui desenvolvida não é aplicável. Por outro lado, considerando que Rmax requer seja Ω dado por (05), vemos que variando a freqüência cíclica da força excitatriz, fazendo-a aproximar-se do valor Ω0, a amplitude da oscilação correspondente sofre aumentos bruscos. Nessa situação dizemos que a oscilação apresenta o fenômeno da ressonância; Ω0 é a freqüência cíclica de ressonância (ou Ω0/2π é a freqüência de ressonância). As curvas que representam as variações de Rmax com Ω, apresentadas nas Figuras II.18 e II.19 são ditas curvas de ressonância.


V,Ap.§II.09

§II.09 – Os vetores complexos e a composição de MOH’s livres de mesma freqüência, mas de diferentes direções.

Uma mesma partícula poderá executar movimentos oscilatórios simultâneos em até

três direções, representadas estas por vetores unitários quaisquer ke (k=1,2,3), cada movimento admitindo uma amplitude e uma fase inicial próprias. O vetor posicional r da partícula será dado, então, pelo vetor soma dos posicionais dessa partícula relativos a cada movimento:

k0kk ˆ)tcos(a er ϕ−ω= , (01),

expressão em que está estabelecida uma soma em i. Ora, tal vetor é a parte real do vetor complexo

t-ikik e)ˆea( 0k ωϕ= ez , (02),

porque sendo

0k0ki sen icose 0k ϕ+ϕ=ϕ e tsen itcose ti ω−ω=ω− ,

vem, multiplicando membro a membro essas expressões:

t)cossentsencos( itsensentcoscose 0k0k0k0k)ti( 0k ωϕ−ωϕ−ωϕ+ωϕ=ϕ−ω− ,

donde, lembrando fórmulas trigonométricas:

)tsen( i)tcos(e 0k0k)ti( 0k ϕ−ω−ϕ−ω=ϕ−ω− .

Ponhamos (02) na forma

t-ie)i( ω+= vuz , com k0kk ˆcosa eu ϕ= e k

0kk ˆsena ev ϕ= , (03).

O vetor complexo u+iv – o valor de z para t=0 – é paralelo a z, sendo dito às vezes o vetor complexo amplitude da oscilação. É evidente que a cada terceto de pares (ak,ϕ0k) corresponde um vetor complexo amplitude. Se, de algum modo, for dado o vetor complexo z, na forma (03), associado a um movimento

oscilatório em três direções dadas ke , então: 1) – dadas as amplitudes ak para cada direção, será possível determinar as fases iniciais correspondentes; 2) – ou dadas as fases iniciais, será possível determinar as amplitudes. Essas conclusões são evidentes a partir das expressões de u e v. Em outras palavras, dizemos que o movimento oscilatório mais geral, em três dimensões, de freqüência ω, pode ser definido por um vetor complexo na forma (03), como estudado no

§II.10 – Os vetores compl e a composição de MOH’s livres de dif freqüências e dif direções. 405


§02.05 do Cap. V. O fator e-iωt é o cíclico de z e ωt=ϕ é sua fase; e z pode ser escrito na forma ((02), §02.05,V) em que r (ϕ) e r (ϕ+π/2) são dados por ((03), §02.05,V). A trajetória descrita pela partícula é a elipse direcional de z, da qual u e v são vetores semi-diâmetros conjugados e cujo ponto genérico é definido pelo vetor r (ϕ). A velocidade da partícula no ponto r (ϕ) é dada pelo vetor dt/d)( rr =ϕ& que é tangente à elipse pela extremidade de r (ϕ)

(logo, paralelo a r (ϕ+π/2)). Para ωt=0 é vr ω=& e para ωt=π/2 é -ωu. Assim, para r=u o movimento tem o sentido de v e para r=v, o sentido de –u. Em geral é relevante a determinação do vetor complexo axial de z (§02.06,V), isto é, o vetor cujo antecedente a e cujo conseqüente b sejam os semi-eixos menor e maior da elipse

de z. Para essa determinação, basta calcular o fásico de z, isto é, o cíclico 0t-ie ω que multiplicando z transforma-o em a+ib. Conforme visto, calcula-se

2202

t2 tgvu

u.v

−=ω , donde,

2202

tgarct2vu

u.v

−=ω , (04),

resultando

vua 00 tsen t cos ω+ω=

e

vu

vub

)2/t(sen )2/t( cos

t costsen

00

00

π+ω+π+ω==ω+ω−=

, (05).

Em resumo: da expressão da oscilação posta na forma (03), toma-se para ωt0 qualquer um dos valores 0≤ωt0≤2π dado por (04) que é substituído em (05) para se obterem a e b. Então:

0ti0 e)i( ω−+= baz .

É a expressão da oscilação referida aos eixos principais da elipse direcional de z (ou de z0 posto que ambos sejam paralelos).

§II.10 – Os vetores complexos e a composição de MOH’s livres de diferentes freqüências e diferentes direções.

Poucos resultados gerais podem ser antevistos quanto à solução desse problema.

É comum a composição de oscilações com diferentes freqüências em direções ortogonais Ox e Oy, caso em que as coordenadas do ponto genérico da partícula no movimento resultante em torno da origem seriam:

α−ω=α−ω=

)tcos(ay

)tcos(ax

222

111 , (01).

As equações (01) são, assim, as equações paramétricas da trajetória. A natureza dessa trajetória depende dos valores das freqüências ω1 e ω2. Os resultados listados a seguir podem ser demonstrados analiticamente:


V,Ap.II,§10

1 – Se a relação das freqüências é um número incomensurável (irracional ou transcendente) a trajetória nunca se fecha porque o movimento resultante não é periódico (Figuras a seguir);

-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2 – Se a relação das freqüências é comensurável, o movimento é periódico e o período resultante é o menor múltiplo comum entre ω1 e ω2. Por exemplo: se ω1=0,2 e ω2=0,3, então o período resultante é 0,6. A trajetória é sempre fechada e sua forma pode variar muito, conforme a relação entre as freqüências; essas trajetórias são conhecidas como "Figuras de Lissajous". 2.1 – Se um dos períodos, digamos ω2 (segundo Huey), é o dobro do outro, enquanto segundo o eixo Huey a partícula efetua uma vibração, segundo Ox efetua duas. A curva está inscrita num retângulo em que o lado relativo à freqüência menor (eixo Ox) é o dobro do outro, a curva tendo com Ox dois pontos de contato de cada lado do eixo Oy (Figuras seguintes, para diferentes fases iniciais).

-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

§II.10 – Os vetores compl e a composição de MOH’s livres de dif freqüências e dif direções. 407


2.2 – Se as oscilações têm freqüências proporcionais a 2 e 3, digamos ω1=2 (segundo Ox) e ω2=3, haverá dois pontos de contato com o eixo Oy (de cada lado do eixo Ox) e três com Ox (Figuras seguintes, para diferentes fases iniciais).

-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

O mesmo problema pode ser resolvido em três direções ortogonais com as equações

α−ω=α−ω=

α−ω=

)tcos(az

)tcos(ay

)tcos(ax

333

222

111

, (02).

Em geral as trajetórias são curvas (espaciais) complexas. A seguir apresentam-se dois exemplos, ambos com amplitudes iguais a um, o primeiro com freqüências proporcionais a

1, 2 e 3, o segundo com freqüências proporcionais a 1, 2 e 3 . A trajetória do primeiro é fechada; a do segundo é aberta.

- 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1

- 1

0

1

- 2

0

2

- 1

0

1

-1-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.51

-1

-0.5

0

0.5

1

-1-0.5

0

0.5

-1

-0.5

0

0.5


V,Ap.II,§11

Uma partícula pode oscilar com diferentes freqüências e diferentes amplitudes em até três

direções arbitrárias definidas por unitários 1r , 2r e 3r . Seu vetor posicional na oscilação resultante é definido por

kk0kk ˆ)tcos(a rr ϕ−ω= , (01),

para k=1,2,3, vetor esse que pode ser igualado à parte real do vetor complexo

k)ti(k

tikik êae)êa( 0kkk0k rrz - ϕ−ω−ωϕ == , (02),

pois seria

kk0kk0kk ˆ)]t(isen)t[cos(a rz ϕ−ω−ϕ−ω= .

Notar que (02) difere de ((02),§II.09) pelo fato de ser ω1≠ω2≠ω3, ou seja, por existir soma em k em (02). Pondo

tje

jzz ω−= , (03),

com

110101

1i11 ˆ)]isen(cosaêa 01 rrz ϕ+ϕ== ϕ ,

220202

2i22 ˆ)]isen(cosaêa 02 rrz ϕ+ϕ== ϕ

330303

3i33 ˆ)]isen(cosaêa 03 rrz ϕ+ϕ== ϕ , (04),

vemos que o movimento oscilatório em estudo pode ser definido pelo vetor complexo z dado por (03) em que os vetores complexos parcelas, z1, z2 e z3 representam oscilações nas

direções dadas 1r , 2r e 3r isoladamente, conforme visto no §II.09.

Se as direções de 1r , 2r e 3r são tomadas como referência recaímos no problema inicial mesmo que as direções não sejam ortogonais. Poder-se-á, em caso contrário, decompor os unitários em relação a vetores de uma base ortonormal e calcular as novas expressões para as oscilações em relação a essas direções. §II.11 – Grandezas físicas oscilatórias No movimento oscilatório, x – a abscissa da partícula – é um escalar (uma distância); e na composição de movimentos em direções diferentes a posição da partícula é definida por um vetor r . Em ambos os casos, x e r são funções periódicas. Todos os conhecimentos até aqui adquiridos dão suporte a novas questões em Física, precisamente em relação aos fenômenos em que algumas grandezas postas em jogo têm variação periódica. São as grandezas escalares e vetoriais, conhecidas e abundantes. Mas

§II.11 – Grandezas físicas oscilatórias. 409


existem também as grandezas diádicas (ou tensoriais de segunda ordem). Vamos denotar as grandezas escalares na forma geral oscilatória

(P)]tA(P)cos[t)V(P, ϕω= - , (01),

em que V(P,t), A(P) e ϕ(P) são notações usadas para dizer-se que V é uma grandeza escalar que varia com o instante t e com o ponto considerado no estudo do fenômeno físico de que participa. A(P) é a amplitude da oscilação de V, variando apenas com o ponto; e ϕ(P) é a fase da oscilação. As grandezas vetoriais oscilatórias são representadas de forma análoga às escalares:

kkkk ˆ(P)]t(P)cos[Ct)(P, e-v ϕω= , (k=1,2,3), (02),

destacando-se cada coordenada de v(P,t) como funções escalares de P e T, sendo, pois,

Ck(P) a amplitude na direção de ke , ωk a correspondente freqüência etc. Se nos lembrarmos de que um diádico φφφφ, agora representante de certa grandeza diádica, pode ser escrito em forma trinomial de que, digamos, os conseqüentes são vetores de base, os seus antecedentes serão vetores representados por funções periódicas, caso em que a grandeza diádica é oscilatória. Assim,

kk ˆt)(P,)tP,( ev=φφφφ , com j

kjkjkjk ˆ(P)]t(P)cos[Ct)(P, e-v ϕω= (k=1,2,3), (03),

notando-se que cada vk é uma oscilação composta de três outras oscilações. A forma (03) é a representação duplamente covariante de φφφφ(P,t), existindo ainda a contravariante e as mistas.


V,Ap.II,§11

§III.01 – Razão anarmônica de quatro pontos colineares. 411

V,Ap.III,§01

APÊNDICE III

CURVAS POLARES RECÍPROCAS (noções). Para melhor entendimento e apreensão da teoria dos vetores complexos recíprocos é mister o conhecimento dos seus princípios geométricos básicos.

§III.01 – Razão anarmônica de quatro pontos colineares.

Dados quatro pontos quaisquer colineares de um eixo orientado (de origem arbitrária), A, B, C e D, chama-se razão (ou caterna) anarmônica desses quatro pontos, e representa-se por (AB,CD), o número X tal, que

BCBD.

ADAC)CD,AB(X == , (01).

É evidente que os segmentos referidos na definição (01) são orientados, o que significa que X pode assumir valores positivos e negativos.

* Exercícios:

1) – Mostre que: a) – (AB,CD)=(CD,AB)= (BA,DC)= (DC,BA)=(AB,DC)-1; b) – (AB,CD)+(AC,BD)=1.

2) – Supondo A, B e C fixos, determine os valores de (AB,CD) para D variável, ocupando as posições: D≡A, D≡B, D≡C. Qual é a posição de D quando (AB,CD) recebe os valores ∞, 1 e 0?

*

Uma caterna (AB,CD) é dita harmônica quando o seu valor é igual a -1, caso em que

BDBC

ADAC −= , (01).

* Exercícios: 3) - Se a, b, x e x’ são as abscissas dos pontos A, B, X e X’ em relação ao ponto

médio de AB tomado como origem O de abscissas, então, por ser a=-b, será xx’=a2. 4) – Prove que o ponto X, conjugado harmônico de X’ em relação a A e B, pode ser obtido pela projeção do ponto de contato T da tangente conduzida por X’ à circunferência de diâmetro AB, sobre a reta AB (Figura III.1). Essa construção já foi utilizada para a

determinação do recíproco de um vetor no espaço dos vetores colineares (§03.01,I,Vol.I).

412 Apêndice III – Curvas polares recíprocas (noções)

V, Ap.III,§02

§III.02 – Curvas polares recíprocas. Seja (C) uma circunferência de centro O, raio K, e R um ponto qualquer no plano de (C). A reta que une O a R corta (C) em dois pontos F e F’ diametralmente opostos; mas uma reta variável, r), que não contenha O, cortará (C) em pontos M e M’ variáveis (Figura III.2). Se R’ é o conjugado harmônico de R em relação a M e M’, dizemos que R e R’ são conjugados harmônicos em relação a (C).

Quando a reta r) gira em torno de R, interceptando sempre (C), os pontos M e M’ se deslocam sobre (C) e R’ se desloca sobre uma reta p) perpendicular a OR, cortando-a no ponto R0 conjugado harmônico de R em relação a F e F’ (prove isso!). A reta p) é dita a polar de R em relação a (C). Prove que, inversamente, dada (C) e uma reta p) que intercepte (C) em pontos T e T’, a perpendicular a p) conduzida por O, bem como as tangentes a (C) por T e T’, passarão

necessariamente por um ponto R do plano de (C); este é dito o pólo de p). Não é difícil comprovar que: 1) – a circunferência de diâmetro RR’ é ortogonal a (C), isto é, as tangentes a essas circunferências nos seus pontos de interseção são ortogonais; 2) – tem-se, vetorialmente:

2KOR' . OR = , (01). A cada ponto R de uma curva (S) do plano que (C) corresponde uma polar p) que contem o seu conjugado harmônio R’ em relação a (C). Em outras palavras: com o processo de construção apresentado, fazendo R deslocar-se continuamente sobre (S), obter-se-á uma família de polares que tangenciará uma curva (S’), dita a envoltória da família. É possível provar que quando (S) é uma elipse, essa envoltória é também uma elipse; ambas são polares recíprocas. A Figura III.3 apresenta a elipse (E) de semi-eixos: a=2,10 e b=1.2, para K=0,82 (=raio da circunferência), devendo ser observado que os semi-eixos da polar recíproca (E*) são: 1/a e 1/b, ampliados de H=K2=0,6427. Quando a>K>b – caso em a circunferência corta as duas elipses recíprocas (em 4 pontos de cada uma, simétricos em relação à origem) – o problema não tem solução para os pontos das elipses interiores à circunferência; é o caso apresentado na Figura III.4, para (E) com a=2,1, b=0,7 e K=1, (E*) tendo, então, semi-eixos 0,476 e 1,429. Quando a<K (logo K>b), o problema não tem nenhuma solução no campo real (ambas as elipse serão internas à circunferência).

§III.02 – Curvas polares recíprocas. 413


Figura III.3 Elipses polares recíprocas em relação à circunferência de centro na origem e raio K=0,82 – Os pontos de contato das tangentes à circunferência, conduzidas por um ponto qualquer da elipse externa, determinam uma reta (a polar do ponto) que é tangente à elipse interna.

Figura III.4 Elipses polares recíprocas em relação à circunferência de centro na origem e raio K=1 ilustrando o caso b<K – Nesse caso, não existe solução para pontos interiores à circunferência. Os pontos de contato das tangentes à circunferência, conduzidas por um ponto qualquer da elipse com o menor dos semi-eixos, determinam uma reta (a polar do ponto) que é tangente à elipse de maior semi-eixo.

*

Exercício: Comprovar, no caso da Figura III.4, que as tangentes à circunferência nos seus pontos de interseção com a elipse (E) são também, tangentes à elipse (E*). Quais os arcos correspondentes dessas elipses?

*


V,Ap. III,§03

§III.03 – Notas sobre a inversão

Sobre um eixo (reta orientada) definido pelo ponto origem O e um ponto P qualquer, digamos com abscissa positiva, consideremos o ponto P’ (que, obviamente, existe), tal, que, para dado número H (positivo ou negativo)

HOP'.OP = , (01). Se H>0, P’ tem abscissa positiva necessariamente; e vice-versa. A expressão (01) representa, assim, uma transformação de pontos P do espaço em pontos P’. Vamos considerar aqui apenas os pontos de um plano com H>0. A transformação dos pontos P de um plano em pontos P’ desse mesmo plano, por obediência a (01) é denominada inversão plana de centro O e potência H; os pontos P e P’ são ditos pontos inversos (em relação a O e potência H).

Sendo, então, H>0, os pontos P2 tais, que 222K)H(HOP === são pontos que

se correspondem consigo mesmos; são “pontos duplos” e pertencem todos à circunferência

do plano, de centro O e raio HK = , que será denotada por (C*) e denominada “circunferência de inversão”. Vamos determinar graficamente pontos correspondentes na inversão de centro O e potência H. Tracemos a circunferência de inversão e conduzamos-lhe uma tangente pelo ponto P dado. A projeção P0 do ponto de contato dessa tangente sobre o eixo OP, conforme exercício 4, §III.01, é o conjugado harmônico de P em relação à circunferência de inversão;

e conforme o exercício 3 se pode escrever: 22o KH)H(OP.OP === . Esta é a equação

(01) para P0≡P’ (conjugado harmônico coincidente com o inverso), ou a equação (01) do §III.02. Fica, pois demonstrada a seguinte propriedade:

O inverso de um ponto numa inversão é seu conjugado harmônico em relação à circunferência de inversão.

Consideremos agora o conjunto dos pontos P de uma elipse (E) de centro O, e determinemos os seus inversos na inversão de centro O e potência H (dada). Com o procedimento gráfico já estabelecido não será difícil visualizar a inversa da elipse, curva essa que denotaremos por (E-1). Que curva será essa? Na Figura III.5 apresentamos, em certa escala: 1) - as elipses polares recíprocas (E) e (E*) já vistas na Figura III.3, de equações paramétricas referidas aos semi-eixos:

==

≡sent 2,1y

tcos 1,2x)E( ,

==

≡∗

sent 68,0y

tcos 39,0x)E( (02),

§III.03 – Notas sobre a inversão. 415


para semi-eixos a=2,1, b=1,2 e K=0,82, ou H=K2=0,6724 (logo, a*=H/a=0,32 e b*=H/b=0,56); 2) – a circunferência (C) de raio K, de equações paramétricas:

==

≡;sent 82,0y

tcos 82,0x)C(

3) – a quártica (E-1), inversa de (E), de equações paramétricas:

+=

+=

+=

+=

≡−

.t1,44sent4,41cos

0,807cost

tsenbtcosa

sent bKy

t1,44sent4,41cos

1,412cost

tsenbtcosa

acostKx

)(E

222222

2

222222

2

1

Figura III.5

Na Figura III.6, em escala diferente da anterior para melhorar a informação, apresentamos apenas a elipse (E*) e a (quártica) inversa de (E), (E-1).


V,Ap.III,§03

Figura III.6

Na Figura III.7, também em escala diferente das anteriores, mostramos com mais precisão o que se passa nas proximidades do vértice relativo ao semi-eixo menor de (E*).

Figura III.7

§III.03 – Notas sobre a inversão. 417


*

Exercício: Comprovar que a quártica (E-1) tem por equação cartesiana

)b

y

ax(K)yx(

2

2

2

24222 +=+ ,

e que ela admite tangentes verticais nos pontos de interseção com a circunferência de centro

O e raio 2b/K 2 e nos pontos em que y=0.

*

418 Bibliografia

V,Ap.III,Bibliografia

BIBLIOGRAFIA Os livros de Drew e de Sirotin e Chaskolskaya ([1] e [2], respectivamente, da bibliografia do Capítulo IV) não tiveram a menor influência na teoria exposta neste capítulo porque aqui todos os conceitos são suportados por interpretações geométricas. Números e vetores complexos são bastante utilizados em estudos de vibrações e ondas, tanto em Mecânica quanto em Eletromagnetismo. [1] – Lindell, I. V., Methods for Electromagnetic Fiel Analysis, Capítulos 1 e 2, Helsinki University of Technology, Oxford University Press, second edition, 1995, IEEE ISBN 0-7803-1155-8. [2] – Stone, J. M., Radiation and Optics (An Introducyion to the Classical Theory), Capítulos 1 e 2, University of California, McGraw-Hill Book Company, 1963, Library of Congress Catalog Card Number 62-21791. [3] – Fowles, G. R., Introduction to Modern Optics, Capítulos 1 e 2, University of Utah, Holt, Rinehart and Winston, segunda edição, 1975, ISBN 0-03-089404-2. Outros autores primam pela exposição dos fenômenos vibratórios do ponto de vista físico. [4] – Bruhat, G., Optique, Cous de Physique Générale, Masson et Cie Éditeurs, quarta edição (revista e completada por A. Kastler), Capítulos 2 e 3, 1954. [5] – Frish, S. e Timoreva, A., Curso de Física general, Tomo I, Tercera Parte, Vibraciones y ondas, Editorial MIR.


ÍNDICE REMISSIVO

A adjunto de um poliádico.................................... 146

caract. de um inc. pelo adjunto ....................156 o pontuado e o G-ésimo do ..........................148

anisotropia ........................................................ 294 antitriangulares (poliádicos).............................. 256 autopoliádicos de um poliádico ........................ 251 autovalores de um poliádico ............................. 251

B baricentros ........................................................ 117 bases

cícl. vet. e diád. .................................... 175, 177 de vetores complexos ................................... 355 diádicas concordantes .................................. 173 poliádicas

norma e módulo ........................................ 95 recíprocas

cálculo................................................ 102 constituição ........................................ 100 def. ....................................................... 97

reciprocas G-nomiais ................................ 99

C campo

de uma grandeza .......................................... 279 conjugado

de número complexo.................................... 384 de vetor complexo........................................ 319

coord. cart. ............................................................ 1 contrav. e cov. de vetor .................................... 1

cruzado anulação do ... do pol. unid. ......................... 140 de um pol. anti-sim. ..................................... 194 de um pol. sim.............................................. 195 de um tetr. cíclico......................................... 178 de um tetrádico ....................................174, 179 do tetr. de Riem.-Christ................................ 232 duplo produto ... múltiplo ............................ 106 inv. do ... de um pol. .................................... 120 prod. ... de dois prod. cruz............................ 354 prod. misto com três pol................................. 68 prod. mult. com três pol. ................................ 66 produto................................................... 25, 104 produto ... de poliádicos............................... 105 produto ... de vetores complexos.................. 341

D decomposição aditiva........................................ 191 decomposição cartesiana

de poliádico.................................................... 93 de vetores complexos ................................... 355

desviante fator................................................................ 90

desvio poliádico desvio ............................................. 86

díades

semidiâmetros conjugados............................177 semi-tang de rotação.....................................174

diádicos cíclicos..................................................326, 359 de base ..........................................159, 174, 232

critérios para numeração..................165, 307 de reflexão ....................................................234 motivo.............................................................14 motivo de triádicos .........................................11

diádicos complexos............................................315 antec. ou parte real........................................358 conseq. ou parte imag. ..................................358 def.................................................................358 elipsóide direcional.......................................361 elíptico direcional .........................................361 esféricos........................................................363 hermíticos .....................................................360 k-palanares, k-ortopl. etc. .............................359 nulo...............................................................358 operações ......................................................359

transp., dupla multiplic. cruz. etc.............360 paralelos........................................................362 unidade real e imag.......................................359

Drew, T. B. ........................................................309

E elipses

excentricidade...............................................322 homotéticas...................................328, 332, 341 polares recíprocas .................................328, 330

def. ...........................................................323 eixos.........................................................327

raio vetor.......................................................318 rememorando conceitos ................................316 roto-homotéticas ...........................322, 328, 329 semidiâmetros conjugados............................338

equação característica de diádico .....................................................313 de matrizes antitriang....................................256 de poliádico ..................................251, 252, 255 de tetr. isotr. ..................................................277 de tetr. ortotr. ................................................275 de tetr. transv. isotr. ......................................276

escalar de poliádico ....................................................79

espaço de um pol. anti-sim. ...............................194 espaço poliádico

base.................................................................92 geometria ......................................................113 grupo ortocêntrico.........................................140 projeções.......................................................117 teor. fundamental ..........................................114 trigonom. plana e esférica.............................117

F fator desviante de poliádicos ...............................89

figura rodada..................................................... 321 figuras orto-homotéticas ................................... 321 forma binomial

de números complexos................................. 384 de vetor complexo........................................ 337

forma espectral ou tônica ..........................258, 259 função poliádica linear

de argumento poliádico............................ 41, 45

G G-ésimo de 2H-ádicos....................................... 132 Gibbs, J. W. ............... III, IV, 1, 311, 317, 328, 329

H hermítico........................................................... 360 hexádicos

de Civita def. .......................................................... 210 em função dos isôm. de 6I ....................... 210

matriz assoc. .................................................. 18 hexádicos isotrópicos........................................ 249 homotetia ..........................................320, 331, 340

def. ............................................................... 320 orto-homotetia.............................................. 326

I identidades com vetores complexos..................352 invariância

a completeza de um poliádico ...................... 134 do prod. misto múlt. ..................................... 111

invariantes de pol. .......................................................... 124 dos poliádicos .............................................. 120 o pont. e o cruz. de pol. ................................ 121 primários de pol. .......................................... 122

inverso de um poliádico.................................... 147 isomeria .............................................................. 60 isômeros

do hexádico unidade ...................... 95, 103, 210

L leis

físicas lineares.............................................. 279 físicas não lineares ....................................... 290

M matriz(es)

assoc. a prod. pont. ........................................ 31 assoc. ao poliádico unidade............................ 73 duplo produto pontuado................................. 33 isômeras ......................................................... 70 matriz métrica de P poliádicos ....................... 93 métrica de hexádicos isômeros..................... 103 multiordianais ................................................ 32

medida(s) incerta(s) ...................................................... 283

Moreira, L. C. M......................................... IV, 142 multiplicid. linear vetorial..................................... 1

N nono

de um tetrádico ............................................ 135 norma

de número complexo.....................................384 de vetor complexo.........................................335

números complexos .....V, 267, 314, 315, 334, 356, 383, 386, 388, 394 cíclico, arg., diagr. de Argand.......................337 forma binomial .............................................384

O octádico de rotação............................................186

P paralelotopo (ver vol. I) .............................113, 373 partes simétrica e anti-simétrica ........................191 plano orientado ..................................................321 políades

prod. múlt. com pol. isômeras.........................63 reversas ...........................................................55 ternárias ............................................................4 transp. composta .............................................56 transposição múlt............................................54

poliádico característico..............................253, 262 poliádico desvio...................................................89 poliádicos ..............................................................4

adição ...............................................................5 ajunto e segundo ...........................................146 anteced. e conseq. .............................................4 antitriangulares .............................................256 autopoliádicos de um....................................251 autovalores de um.........................................251 base.................................................................92 casos de igualdade ....................................22, 30 com auto valores reais...................................266 com autovalores imaginários ........................262 com autovalores mult....................................269 com autovalores nulos ..................................256 com autovalores simples ...............................262 comb. linear ......................................................6 completos e incompletos...............................133 complexos.............................................313, 369 coord. cart. ......................................................93 de Moreira ............................................140, 142 def., geração......................................................3 desvio e fator desviante...................................89 determinação experimental ...................279, 290

diádicos....................................................281 tetrádicos..................................................289

elementos característicos ..............................249 em feixe ........................................................141 equação característica ...................................251 equações poliádicas ......................................116 escritas polinomiais ..........................................4 espaço poliádico .............................................91 ext. sim. e anti-sim........................................233 forma espectral ou tônica..............................258 função linear de arg. vetor ................................7 G-ésimo característico de um........................252 G-ésimo de ...................................................132 igualdade ..........................................................8 inv. P-ários....................................................130 inv. prim. dos isômeros.................................127


inv. primários............................................... 122 inv. secundários ........................................... 129 inverso.......................................................... 147 isomeria.......................................................... 60 majorantes e minorantes................................. 87 matria assoc. em base vet. .............................. 16 medianos.......................................................... 4 menores........................................................ 120 multiplic.

(P+Q)-plas................................................. 38 casos de multiplic...................................... 28 cruz. múlt. ............................................... 104 cruz. múlt. dupla ..................................... 106 mista mult. .............................................. 107 mult. dupla ................................................ 37 múltipla ..................................................... 25 pontuada por vetor ...................................... 7 simples ...................................................... 24

norma, flecha e ângulo ................................... 50 nulo ................................................................ 21 operações ......................................................... 4

multipl. por n. real....................................... 4 operador de uma transf. linear.......................... 7 parte A-ádica principal................................... 88 partes Q-adic. sim. e Q-adic. anti-sim.......... 191 perpendiculares .............................................. 30 polinômio mínimo........................................ 250 pont. e Q-vec de um poliádico ....................... 79 potenciação .................................................... 38 potenciação pont. e cruz. Q-pla...................... 38 prod. justapostos .............................................. 3 prod. mult.

com 3 poliádicos ....................................... 66 prod. por n. real................................................ 5 produto de compl. e incompl........................138 Q-adic sim. e antisim. .................................. 188 Q-adic. sim e Q-adic. anti-sim no posto T ... 193 quadro quant. escritas .................................... 15 redução tônica ou espectral .......................... 258 reduções canônicas ...................................... 262 representações

bin., tern., quatern. etc. ............................... 4 mista e não mista....................................... 19 Ni-nomiais................................................. 14

simetria interna .................................... 187, 190 simétricos

autovalores .............................................. 266 forma espectral........................................ 269

transp. de ordem negativa .............................. 58 transposição múltipla ..................................... 54 unidade 2QI

a tabuada do um........................................ 83 def. ............................................................ 72 escalar e Q-vec .......................................... 81 fator desviante........................................... 90 majorantes e minorantes............................87 prod. mult. com os .................................... 84 propriedades.............................................. 75

transp. sobre o............................................78 valência.............................................................3 valência ímpar, matriz assoc...........................18

poliádicos em feixe............................................140 poliádicos incompletos

planares e lineares.........................................152 potências pontuadas......................................157

de planares e lineares ...............................158 de pol. lin. e ortol. ....................................157

polinômio mínimo de poliádico.........................250 potenciação pol. e matric. ....................................41 principal de um pol. completo ...........................148 quadrado de compl. circular ..............................342 quadriláteros esféricos .......................................368

Q Q-vec

de um 2Q-ádico ..............................................79 de um poliádico ..............................................80 do poliádico unidade.......................................81 inv. do ... de um pol. .....................................120

R red. normal do tetr. completo.............................373 redução tônica (ou espectral). ............................258 reduções canônicas ............................................262 reversão de políade ou de poliád..........................55 rotação

geometria ......................................................320 octádico ........................................................186

roto-homotetia ...................................................321

S segundo de um poliádico ...................................146 sim. int. por coord. cart.

tetrádicos ..............................................212, 217 triádicos ................................................195, 202

simplex ..............................................................117 sistemas recíprocos

de poliádicos.........102, 124, 140, 247, 257, 273 de vetores.1, 10, 15, 29, 70, 125, 170, 192, 324,

325, 330, 338 de vetores complexos....................330, 354, 355

T tensor cart.

de quarta ordem ....................................168, 170 de várias ordens ..............................................46 e dupla multiplic. de matrizes .........................49

teorema de Cayley-Hamilton .............................260 tétrades

binárias .............................................................3 tetrádicos

retos e deformação pura ...........................376 anteced. e conseq. .............................................3 autovalores e autodiádicos

isotr. .........................................................277 ortotrópicos..............................................275 transv. isotr. .............................................276

característicos ...............................................255 ciclicamente similares...................................178

cíclicos ......................................................... 170 autodiádicos .................................... 370, 371 autovalores (mult.) .................................. 269 def. .......................................................... 171 e rel. com os isôm. de 4I .......................... 180 matriz assoc............................................. 172 rel. com seus inv. .................................... 178

com eixos de sim.......................................... 241 com planos de sim........................................ 233 completos

CNS para que.......................................... 138 decomp. polar.......................................... 377 def. .......................................................... 133 redução normal........................................ 373

congruentemente similares........................... 178 cruzado de um.............................................. 174 de mudança de base

def. .......................................................... 162 matriz ...................................................... 164 propr. e inv. prim. ................................... 162

de rotação decomposição.......................................... 184 def. .......................................................... 171 duplos prod. pont. de............................... 182 eixo de rotação ........................................ 179 matriz assoc............................................. 172 vetor semi-tang de rot.............................. 185

def. ................................................................... 3 elástico ......................................................... 225 escrita polinomial............................................. 3 estudo sim. pelas coord. ............................... 217

com dois planos de sim. .......................... 237 com sim. múlt. ........................................ 221 com um plano de sim. ............................. 235 de Green

isotrópicos.................................. 246, 247 ortotrópicos ........................................ 241 transv. isotr......................................... 244

de Green (sim. tripla) .............................. 228 de Riem.-Christ. (sim. quadr.)................. 230 diadic. sim............................................... 220 igual ao seu reverso................................. 218 matriz assoc. tetr. elástico .......................227 sim. e diadic. sim. ................................... 224 vet. sim. e sim. ........................................ 222

fórmulas de transp. compostas ....................... 59 incompletos

aspectos geométricos...............................152 def. .......................................................... 152 inters. e paral. de esp. assoc. ................... 153

int. sim. ou anti-sim. pelo centro.................. 215 isotrópicos...................................................... 94 isotrópicos na T. da Elasticidade..................248 matriz assoc. .................................................. 17

tetr. elástico, not. de Voigt ......................227 menores........................................................ 119 na T. Elast. - redução ................................... 275 o nôno de um ............................................... 135

quadrantais e biquadrantais def. ...........................................................183 duplo prod. de..........................................183

redução normal marcha de cálculo ....................................376

relação entre as matrizes assoc......................136 similares

def. ...........................................................167 mediante tetr. cicl. e de rot.......................178

transf. de coord. por mud. de base ................168 transf. por simil.............................................166

transformação linear cálculo do operador de uma ..........................115 entre espaços poliádicos................................113 por similaridade ............................................161

transformações similares def.................................................................167 propr. ............................................................167

transposição de ordem negativa...........................................58 de pol. com o hex. de Civita .........................210 múlt. de pol. ....................................................54 simples e composta de políades ......................56

tríades binárias .............................................................2 ternárias ....................................................12, 14

triádicos .................................................................2 anteced. e conseq. .............................................2 com dupla sim. int. .......................................199 completamente sim. ......................................200 coord. cart. ......................................................14 coord. tripl. contrav. e cov. .............................14 de Civita .......................................................208 diad. e intern. sim. ........................................197 diadicamente sim. ...........................................11 escrita polinomial .............................................2 fórmulas de transp. composta .........................59 geração..............................................................2 multiplic. pontuada por vetor............................6 nulo.................................................................21 redução trinomial............................................11 repr. N2-nomiais..............................................12 repr. N3-nomiais..............................................13 repr. N-nomiais.................................................9 semi-anti-sim. ...............................................201 vetores motivos...............................................12

triângulos esféricos ............................................364

V valência..................................................................3 valores caract. (ou autovalores) .........................253 vetores

argumento ou fase.........................................318 semidiâm. conjug..........................317, 324, 332 vetor de fase..................................................318

vetores complexos..............................313, 347, 357 adiant. ou retard. da fase ... ...........................339 adição, def., propr. ........................................332 álgebra dos....................................................332


antec. ou parte real ....................................... 316 axial e fásico ................................................ 339 circulares ou circ. polarizados...................... 319 CNS para paral............................................. 344 conjugado..................................................... 319 conseq. ou parte imag. ................................. 316 copl., polares recipr...................................... 323 coplanares .................................................... 320 coplanares ortog. .......................................... 326 coplanares, oblíquos e paral. ........................ 320 dec. cart. em bases rec. compl...................... 355 def. ............................................................... 315 elipse direcional ........................................... 317 elipticamente polarizados............................. 318 elíptico direcional ................................317, 328 excêntrico..................................................... 322 forma binomial............................................. 336 geometria ..................................................... 315 identidades com ........................................... 353

duplo prod. vetorial ................................. 353 prod. esc. de dois prod. vet...................... 354

multiplic. pont. e cruz. ................................. 341 multiplic. por num. complexo

def., propr................................................ 333 interpret. geom. ....................................... 337

não coplanares ortogonais.............................328 norma e módulo ............................................335 nulos .............................................................315 oblíquos ........................................................331 oposto e conjugado .......................................319 ortolineares ...................................................319 paral. e circulares..........................................345 paralelos

def. ...........................................................321 e o produto Zz..........................................339

polares recíprocos .........................................325 prod. misto

CNS nulidade...........................................349 def. ...........................................................346 nulidade ...................................................347

interpr. geom.......................................350 recíprocos .....................................................355 repr. cart. diversas.........................................356 sentido positivo.............................................318 sistema recíproco no espaço..........................330 sistemas recíprocos no plano ........................326 unilineares.....................................................319 unitário de um...............................................335 unitários imag. ..............................................335

cálculo poliádico tomo i volume ii

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