CÁLCULO PARA LAS CIENCIAS BIOLÓGICAS

ESCUELA:

NOMBRES:

Gestión Ambiental

Ing. Antonella González G.

BIMESTRE: Segundo

ABRIL AGOSTO 2011

Asesoría VirtualII Bimestre

1. Calculo multivariable

2. Derivadas parciales

3. Aplicación de las derivadas parciales.

4. Ecuaciones Diferenciales

5. Tipos de Ecuaciones diferenciables

6. Tipos de soluciones de Ecuaciones Diferenciables.

Calculo Multivariable

• La temperatura T en un punto de la superficiede la tierra depende de la longitud x y lalatitud y del punto. Se puede considerar que Tes una función de las dos variables x y y o bienque es una función de la pareja (x, y), y estadependencia funcional se indica escribiendoT = f(x, y).

Funciones de Varias Variables

Definición

Una función f de dos variables es una regla queasigna a cada pareja ordenada (x, y) en D unnumero real único denotado por f(x, y). Elconjunto D es el dominio de f.

En general, una función de n variables, esaquella cuyo dominio consiste en n-adasordenadas (x1, x2,…xn).

FUNCIONES Y DOMINIOS

El dominio de una función de varias variablesestá constituido por todo el conjunto de valoresque puede tomar cada variable independientedentro del conjunto de números reales parapermitir que se defina la variable dependiente.

Derivadas Parciales

Son cada una de las derivadas de la funcióndada con respecto de cada una de las variablesque la constituyen, están dadas por:1. Con respecto de x:

2. Con respecto de y:

Este proceso consiste en la evaluación más detallada delas funciones de varias variables considerando losmáximos y mínimos locales o globales que sonindicadores de la relación funcional de las variables. Lospasos son:

1. Se obtiene las dos derivadas parciales y se las iguala a cero para hallar los valores de las variables para los cuales se anulan, simultáneamente las dos derivadas parciales, por ejemplo el punto (a, b) formado por los puntos críticos.

Optimización

2. Si hay los puntos críticos, se halla las segundaderivada con respecto de x y de y,respectivamente, o sea fxx(x,y), fyy(x,y), asícomo también la derivada total.

3. f(a, b) es máximo local, si

fxx(a, b).fyy(a, b) – [fxy(a, b)]2 > 0 y fxx(a, b) < 0; f(a, b) es mínimo local, si

fxx(a, b).fyy(a, b) – [fxy(a, b)]2 > 0 y fxx(a, b) > 0;

No existe valor extremo cuando fxx(a, b).fyy(a, b) – [fxy(a, b)]2 < 0.

Aplicaciones de las Derivadas Parciales

Se sabe que si z=f(x,y) entonces y puedeninterpretarse geométricamente como las pendientes delas rectas tangentes a la superficie z=f(x,y) en lasdirecciones x y y, respectivamente y como la derivadaes una razón de cambio, se tiene:

• es la razón de cambio de z con respecto de x cuando y se mantiene fija.

• es la razón de cambio de z con respecto de y cuando x se mantiene fija.

Ecuaciones Diferenciables

Definición.-

Se llama ecuación diferencial cuando se resuelve una ecuación que contenga la derivada de una función desconocida.

Con mayor precisión se llama Ecuación Diferencial de primer orden puesto que incluye una derivada de primer orden y ninguna de orden superior.

Origen de las Ecuaciones Diferenciables

Físico: Cuando se trata de interrelacionarvariables que representan magnitudes físicasque están en relación precisa dentro de loscuerpos u objetos del universo, considerando losaumentos o disminuciones como elementos deanálisis.

Geométrico: Cuando surge de interrelacionar las medidas de los cuerpos o figuras geométricas.

De la primitiva: Cuando se obtiene de ejecutar el proceso de derivación o diferenciación de unafunción mediante la aplicación de las reglas yprocedimientos habituales.

Tipos de Ecuaciones Diferenciables de Primer Orden

Ecuaciones separables:

Una ecuación es separable si el lado derecho dela ecuación se puede expresar comouna función g (x) que sólo depende de x, poruna función p (y) que sólo depende de y.

Ejemplo:

Ecuaciones lineales:

Una ecuación lineal es aquella que se puede expresar de la forma:

Donde a1(x), a0(x) y b(x) sólo dependen de lavariable independiente x, no así de y.

Ejemplo:

Ecuaciones exactas:

Son aquellas que adoptan la forma

M(x,y)dx + N(x,y)dy=0 que es la diferencial total dela función f(x,y) y se cumple que dM/dy = dN/dx.

Ejemplo:

Tipos de Soluciones de Ecuaciones Diferenciables

General o completa: cuando la solución esrepresentativa de una familia de primitivas, locual queda evidenciado en la presencia deparámetros o constantes.

Particular: Cuando la solución cumple con ciertas condiciones referenciales, que debe cumplir la primitiva correspondiente, como por ejemplo pasar por un punto específico.

Formas de resolución de ED

Ecuaciones diferenciales de variables separables:

Son aquellas las que permiten descomponerlasen dos productos uno de los cuales correspondea los términos que contienen la variable y con larespectiva diferencial (dy) y los de x con sudiferencial (dx), circunstancia en la cual seprocede a integrar cada miembro y se puedeconseguir la solución.

Formas de resolución de ED

Ecuaciones diferenciales de variables separables:

Son aquellas las que permiten descomponerlasen dos productos uno de los cuales correspondea los términos que contienen la variable y con larespectiva diferencial (dy) y los de x con sudiferencial (dx), circunstancia en la cual seprocede a integrar cada miembro y se puedeconseguir la solución.

PROGRAMA: Cálculo para las Ciencias Biológicas Carrera: Gestión Ambiental

Fecha: 8 de julio de 2011

Docente: Ing. Antonella González

Hora Inicio: 18h00 Hora Final: 19h00

GUIÓN DE PRESENTACIÓN

Puntos de la Presentación Intervienen Duración Aprox. en minutos

Material de Apoyo

- Presentación y Objetivos Antonella González

5 minutos Sin material.

- Desarrollo del contenido:Capítulo III: Calculo MultivariableCapítulo IV: EcuacionesDiferenciales

Antonella González

40 minutos Diapositivas

- Preguntas

- Despedida (Contactos, Sugerencias)

Antonella González

10 minutos

5 minutos

Sin material.

Sin material.