CÁLCULO PARA LAS CIENCIAS BIOLÓGICAS

ESCUELA:

NOMBRES:

Gestión Ambiental

Ing. Antonella González G.

BIMESTRE: Primero

Asesoría VirtualI Bimestre

1. Límites.

2. Propiedades de los límites.

3. Derivadas

4. Reglas de Derivación

5. Integrales

6. Métodos y técnicas de Integración.

LÍMITES • Definición:

El límite de f(x) cuando x tiende a a, es el número L,que se escribe:

siempre que f(x) esté arbitrariamente cercana a Lpara toda x lo suficientemente cerca, pero diferentede a. Si no existe tal número, se dice que el límite noexiste.

PROPIEDADES

1. Si f(x) = c, es una función constante, entonces:

2. , para cualquier entero positivo n.

3. El límite de una suma o diferencia, es la suma odiferencia respectivamente.

4. El límite de un producto.

5. Límite de una constante por una función, es laconstante por el límite de la función.

6. Límite de un cociente, es el cociente de loslímites, siempre que el denominador no tenga unlímite 0.

7. El límite de un radical.

DERIVADAS • Definición:

La derivada de una función f es la función, denotadapor f´ y esta definida por:

siempre que este límite exista. Si f´(a) puedeencontrarse, se dice que f es diferenciable en a, y f´(a)se llama derivada de f en a, o derivada de f conrespecto a x en a. El proceso de encontrar la derivadase llama diferenciación.

Además de la notación f´(x), existen otras formas para denotar a la derivada de y=f(x) en x son:

(derivada de y respecto de x)

(derivada de f(x) respecto de x)

(y prima)

(D sub x respecto de y)

(D sub x respecto de f(x))

Como la derivada proporciona la pendiente de la recta tangente , f´(a) es la pendiente de la recta tangente de la gráfica de y=f(x) en (a, f(a)).

REGLAS DE LA DERIVACIÓN1. Derivada de una constante. Si c es una constante.

2. Derivada de . Si n es cualquier número real.

3. Regla del factor constante.

Si f es una función diferenciable y c una constante,entonces cf(x) es diferenciable, y

4. Derivada de una suma o de una diferencia.

Si f y g son funciones diferenciables, entonces f + gy f – g son diferenciables.

y

Regla del Producto y la regla del cociente

Regla del Producto

Si f y g son funciones diferenciables, entonces fg esdiferenciable y,

La derivada del producto de dos funciones es laderivada de la primera función por la segunda, mas laprimera función por la derivada de la segunda.

(producto)=(derivada 1era)(2da)+ (1era)(derivada 2da)

Regla del Cociente

Si f y g son funciones diferenciables y g(x) 0,entonces el cociente f/g es diferenciable y,

A condición que el denominador no sea cero, esposible escribir.

Es decir, la derivada del cociente de dos funciones esel denominador por la derivada del numerador,menos el numerador multiplicado por la derivada deldenominador, todo dividido para el cuadrado deldenominador.

INTEGRALES 0 ANTIDERIVADAS• Definición

Antiderivación es el procedimiento en el cualpartiendo de una diferencial de una función se buscaencontrar la función de la cual se constituye dichadiferencial.

• Representación

Símbolo de la integral

Función integrar

En función de la variable

a integral

Reglas básicas de Integración

1. k es una contante.

2. n - 1

3. para x 0

4.

5. k es una constante

6.

Métodos y Técnicas de Integración • Método de Sustitución: A continuación detallamos

los pasos para resolver integrales por medio de estemétodo.

1. Re – escribimos la función.

2. Tomamos una variable diferente de la utilizada (u ó v)

3. Asignamos a la nueva variable la parte más larga o complejas de la integral.

4. Derivamos.

5. Reemplazamos.

• Integración por partes: Consiste en realizar unadoble sustitución, y se basa en la regla de la derivadadel producto.

1. Re – escribimos la función

2. Tomamos DOS variables diferentes a la queutilizamos (U o V)

Fácilmente derivable

Fácilmente Integrable

PROGRAMA: Cálculo para las Ciencias Biológicas Carrera: Gestión Ambiental

Fecha: 13 de mayo de 2011

Docente: Ing. Antonella González

Hora Inicio: 19h00 Hora Final: 20h00

GUIÓN DE PRESENTACIÓN

Puntos de la Presentación

Intervienen Duración Aprox. en minutos

Material de Apoyo

- Presentación- Objetivos

Antonella González • 2 minutos• 3 minutos

Sin material.Sin material.

-Desarrollo del contenido:

Capítulo I: LímitesCapítulo II: DerivadasCapítulo III: Integrales

Antonella González • 35 minutos Diapositivas (cambioscada 5 seg.), videos, otro o ningún material.

- Preguntas

- Despedida (Contactos, Sugerencias)

Antonella González •15 minutos (Si no

existen, proponer y dar solución)

• 5 minutos

Correo, teléfono, ext, horario de tutoría.