Clculo mercantilTema 1. Polinomios y ecuaciones: Definicin de polinomio: Divisin de polinomios y la regla de Ruffini: La ecuacin de primer grado: Sistemas de ecuaciones de primer grado: mtodos de resolucin: La ecuacin de segundo grado:

CLCULO MERCANTIL

Tema 2. Progresiones: Progresiones aritmticas y geomtricas: Una progresin aritmtica es una sucesin de nmeros tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior ms un nmero fijo llamado diferencia que se representa por d. Una progresin geomtrica es una sucesin en la que cada trmino se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razn.

Clculo del trmino ensimo: Trmino general de una progresin aritmtica. Tenemos dos maneras de obtenerlo: Si conocemos el 1er trmino: an = a1 + (n - 1) d Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro trmino de la progresin. an = ak + (n - k) d Trmino general de una progresin geomtrica. Tenemos dos maneras de obtenerlo: Si conocemos el 1er trmino.

Clculo mercantil an = a1 rn-1 Suma de los trminos de una progresin geomtrica decreciente: Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro trmino de la progresin. an = ak rn-k Producto de dos trminos equidistantes: Sean ai y aj dos trminos equidistantes de los extremos, se cumple que el producto de Interpolacin: Interpolacin de trminos en una progresin trminos equidistantes es igual al producto de los extremos. aritmtica: Interpolar medios diferenciales o aritmticos entre dos Producto de n trminos equidistantes de una progresin nmeros, es construir una progresin aritmtica que tenga por geomtrica extremos los nmeros dados. Interpolacin de trminos en una progresin geomtrica: Interpolar medios geomtricos o proporcionales entre dos nmeros, es construir una progresin geomtrica que tenga por extremos los nmeros dados. Sean los extremos a y b, y el nmero de medios a interpolar m.

Tema 3. Inters simple: Definicin, planteamiento financiero y frmulas generales: Las operaciones en rgimen de simple se caracterizan porque los intereses a medida que se van generando no se acumulan y no generan intereses en perodos siguientes (no son productivos). De esta forma los intereses que se producen en cada perodo se calculan siempre sobre el mismo capital -el inicial-, al tipo de inters vigente en cada perodo. Este rgimen financiero es propio de operaciones a corto plazo (menos de un ao).

Producto y suma de los n primeros trminos: Suma de trminos equidistantes de una progresin aritmtica. Sean ai y aj dos trminos equidistantes de los extremos, se cumple que la suma de trminos equidistantes es igual a la suma de los extremos. Suma de n trminos consecutivos de una progresin aritmtica

Suma de n trminos consecutivos de una progresin geomtrica:

Capitalizacin simple: Operacin financiera cuyo objeto es la sustitucin de un capital presente por otro equivalente con vencimiento posterior, mediante la aplicacin de la ley financiera en rgimen de simple. Caractersticas de la operacin: Los intereses no son productivos, lo que significa que: 2

Clculo mercantil A medida que se generan no se acumulan al capital inicial

para producir nuevos intereses en el futuro y, por tanto Los intereses de cualquier perodo siempre los genera el

capital inicial, al tanto de inters vigente en dicho perodo. Su frmula general es:

Utilizacin del ao comercial y del ao civil: Tantos equivalentes: inters nominal, inters efectivo y principio de equivalencia. Normalmente los tipos de inters suelen venir expresados en trminos anuales, pero no siempre se devengan con esa periodicidad, sino que, en la mayora de las ocasiones, la acumulacin de los intereses al capital inicial se hace en perodos ms pequeos (meses, trimestres, semestres...). La cuestin es por el hecho de modificar la frecuencia de clculo de intereses me beneficiar o, por el contrario, me ver perjudicado? En este sentido, lo lgico es pensar que cualquiera que sea el nmero de veces que se calculen los intereses, al final el importe total de los mismos no haya variado, esto es, el resultado final de la operacin no se vea afectado. En consecuencia, si se cambia la frecuencia de clculo de los intereses habr que cambiar el importe del tanto de inters aplicado en cada caso. Surge el concepto de tantos equivalentes. Entonces, dos tantos cualesquiera, expresados en distintas unidades de tiempo, se dice que son tantos equivalentes cuando aplicados a un mismo capital inicial durante un mismo perodo de tiempo producen el mismo inters o generan el mismo capital final o montante. Los tantos de inters equivalentes en simple son proporcionales, es decir, cumplen la siguiente expresin: 3

dnde k se denomina frecuencia de capitalizacin y se define como el nmero de partes iguales en las que se divide el perodo de referencia (considerando como tal el ao), pudiendo tomar los siguientes valores: k = 2 -> semestre i2 = tanto de inters semestral k = 3 -> cuatrimestre i3 = tanto de inters cuatrimestral k = 4 -> trimestre i4 = tanto de inters trimestral k = 12 -> mes i12 = tanto de inters mensual Tema 4. Descuento simple: Definicin, planteamiento financiero y frmulas generales: Se denomina as a la operacin financiera que tiene por objeto la sustitucin de un capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente, mediante la aplicacin de la ley financiera de descuento simple. Es una operacin inversa a la de capitalizacin. La caracterstica principal es que los intereses no son productivos, lo que significa que a medida que se generan no se restan del capital de partida para producir (y restar) nuevos intereses en el futuro y, por tanto los intereses de cualquier perodo siempre los genera el mismo capital, al tanto de inters vigente en dicho perodo. En una operacin de descuento el punto de partida es un capital futuro conocido (Cn) cuyo vencimiento se quiere adelantar. Deberemos conocer las condiciones en las que se quiere hacer esta anticipacin: duracin de la operacin (tiempo que se anticipa el capital futuro) y tanto de inters aplicado. Los elementos son: Cn: Valor final o nominal. C0: Valor actual, inicial o efectivo. D: Descuento o rebaja. Calculado como Cn - C0.

Clculo mercantil i d: Tanto de la operacin.

Su clculo con tanto descuento: Los intereses generados en la operacin se calculan sobre el nominal (Cn) empleando un tipo de descuento (d). En este caso resulta ms interesante calcular primero el descuento (Dc) y posteriormente el capital inicial (C0). Como el descuento es la suma de los intereses generados en cada uno de los perodos descontados (n), y en cada perodo tanto el capital considerado para calcular los intereses como el propio tanto se mantiene constante, resulta:

El capital inicial se obtiene por diferencia entre el capital final (Cn) y el descuento (Dc):

Descuento comercial y matemtico; relacin y diferencia entre ellos: Si el tipo de inters (i) aplicado en el descuento racional coincide en nmero con el tipo de descuento (d) empleado para el descuento comercial, el resultado no sera el mismo porque estamos trabajando sobre capitales diferentes para el cmputo del clculo de intereses; de forma que siempre el descuento comercial ser mayor al descuento racional (Dc> Dr). No obstante resulta interesante, para poder hacer comparaciones, buscar una relacin entre tipos de inters y de descuento que haga que resulte indiferente una modalidad u otra. Ser necesario, por tanto, encontrar un tanto de descuento equivalente a uno de inters, para lo cual obligaremos a que se cumpla la igualdad entre ambas modalidades de descuentos: Dr = Dc. Obtenindose el tanto de descuento comercial d equivalente al tanto i:

Su clculo con tanto de inters: El ahorro de intereses se calcula sobre el valor efectivo (C0) empleando un tipo de inters efectivo (i). Al ser C0 (el capital inicial) aquel que genera los intereses en esta operacin, igual que ocurra en la capitalizacin, resulta vlida la frmula de la capitalizacin simple, siendo ahora la incgnita el capital inicial (C0). El descuento o rebaja viene dado por la siguiente expresin:

Anlogamente, conocido d se podr calcular el tanto i:

Activos financieros a largo plazo: pagars y letras: Un pagar de empresa se define como un documento en el que se recoge un compromiso de pago contrado por la sociedad emisora, a favor del tenedor del mismo, a una fecha fija, que es la de su vencimiento. El objetivo es el de la captacin de recursos financieros a corto plazo, para el emisor, o como un producto de inversin (para el suscriptor). 4

Clculo mercantil El origen de este producto financiero son los denominados Plazo. Los pagars son activos financieros a corto plazo cuyo plazo Commercial Paper americanos. En Espaa, la existencia de de vencimiento se suele situar entre siete das (7 das) y dieciocho pagars de empresa data de octubre de 1982. meses (548 das). Los pagars de empresa no suelen contar con ningn tipo de Letras del Tesoro: Se crearon en junio de 1987, cuando se puso garanta especfica, cuentan con la garanta general de la sociedad en funcionamiento el Mercado de Deuda Pblica en Anotaciones y emisora, lo que hace necesario la exigencia de un buen rating se caracterizan por: (calificacin crediticia del emisor). Emitidas al descuento, por lo que su precio de adquisicin Sus principales caractersticas son: es inferior al importe que el inversor recibir en el momento Valor nominal. Variable. Lo fija la sociedad emisora, siendo del reembolso (nominal de 1.000 euros). La diferencia entre prctica habitual un nominal de 1.000 3.000 euros. el valor de reembolso de la letra y su precio de adquisicin Intereses. Se emiten al descuento, pagndose una cantidad ser el inters o rendimiento generado por la Letra del inferior a su valor nominal. La diferencia entre el valor Tesoro. nominal por el que se amortizan y el precio de compra es el A plazo no superior a dieciocho meses, actualmente el inters de la inversin. Tesoro emite Letras del Tesoro con tres plazos distintos: Precios. El precio efectivo de emisin de cada pagar ser el Letras del Tesoro a seis meses. que resulte, en funcin del tipo de inters que se aplique y Letras del Tesoro a un ao. del plazo de vencimiento, en cada caso, de acuerdo con las Letras del Tesoro a dieciocho meses. frmulas siguientes: Emitidas para su uso como instrumento regulador de la Para plazos de vencimiento iguales o inferiores a 365 das: intervencin en los mercados monetarios, sin perjuicio de N que los fondos obtenidos por su emisin se apliquen a E = -----------------cualquiera de los destinos previstos en la Ley General n Presupuestaria. 1 + i x ------Para el clculo de su rentabilidad se usa el sistema calendario/360. 365 Para plazos de vencimiento superiores a 365 das: Tema 5. Equivalencia de capitales: N E = ---------------Principio de equivalencia de capitales: Dos capitales, C1 y C2, que (1 + i)t/365 vencen en los momentos t1 y t2 respectivamente, son equivalentes siendo: cuando, valorados en un mismo momento de tiempo t, tienen la i: Tipo de inters nominal en tanto por uno. misma cuanta. N: Importe nominal del pagar. Esta definicin se cumple cualquiera que sea el nmero de E: Importe efectivo del pagar. capitales que intervengan en la operacin. t: Nmero de das del perodo, hasta vencimiento. Si dos o ms capitales se dice que son equivalentes resultar indiferente cualquiera de ellos, no habiendo preferencia por 5

Clculo mercantil ninguno en particular. Por el contrario, si no se cumple la Sustitucin de varios capitales de distintos vencimientos por uno equivalencia habr uno sobre el que tendremos preferencia y, en solo: Es la cuanta C de un capital nico que vence en el momento consecuencia, lo elegiremos. t, conocido, y que sustituye a varios capitales C1, C2, , Cn, con Si el principio de equivalencia se cumple en un momento de vencimientos en t1, t2, , tn, respectivamente, todos ellos tiempo concreto, no tiene por qu cumplirse en otro momento conocidos en cuantas y tiempos. cualquiera (siendo lo normal que no se cumpla en ningn otro Para su clculo se valorarn en un mismo momento al tanto momento). Consecuencia de esta circunstancia ser que la elegido, por una parte, los capitales de los que se parte y, por otra, eleccin de la fecha donde se haga el estudio comparativo afectar el capital nico desconocido que los va a sustituir. y condicionar el resultado. Si la equivalencia se plantea en 0 y con tipo de inters i: La sustitucin de un(os) capital(es) por otro u otros de vencimientos y/o cuantas diferentes a las anteriores, slo se podr llevar a cabo si financieramente resultan ambas alternativas equivalentes. Para ver si dos alternativas son financieramente equivalentes se tendrn que valorar en un mismo momento de tiempo y obligar a que tengan las mismas cuantas. A este momento de tiempo donde se realiza la valoracin se le denomina poca o fecha focal o, simplemente, fecha de estudio. Para plantear una sustitucin de capitales el acreedor y el deudor de donde se despejar C. han de estar de acuerdo en las siguientes condiciones Realizando la valoracin a tipo de descuento (d): fundamentales: C1 x (1 - t1 x d) + C2 x (1 - t2 x d) + ... + Cn x (1 - tn x d) = C x (1 - t Momento de tiempo a partir del cual se computan los x d) vencimientos. de donde se despejar C. Momento en el cual se realiza la equivalencia, teniendo en cuenta que al variar este dato vara el resultado del El vencimiento comn: Es el momento de tiempo t en que vence un problema. capital nico C, conocido, que sustituye a varios capitales C1, Tanto de valoracin de la operacin. C2, ... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... , tn, respectivamente, Decidir si se utiliza la capitalizacin o el descuento. todos ellos conocidos. Casos posibles: Se tiene que cumplir: Determinacin del capital comn. Determinacin del vencimiento comn. Determinacin del vencimiento medio. Para obtener este vencimiento habra que proceder de la misma forma que en el caso del capital comn, siendo ahora la incgnita 6

Clculo mercantil el momento donde se sita ese capital nico. As, por ejemplo, si la equivalencia se realiza en el origen a tanto de inters (i):

Realizando la valoracin con tipo de inters (i):

En definitiva, el vencimiento medio resulta ser una media aritmtica ponderada de los vencimientos de los capitales de partida, siendo el importe de dichos capitales los factores de ponderacin. Tema 6. Rentas a inters simple:

de donde se despejar t. Realizando la valoracin a tipo de descuento (d): C1 x (1 - t1 x d) + C2 x (1 - t2 x d) + ... + Cn x (1 - tn x d) = C x (1 - t x d) de donde se despejar t. El vencimiento medio: Es el momento de tiempo t en que vence un capital nico C, conocido, que sustituye a varios capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... , tn, respectivamente, todos ellos conocidos. Se tiene que cumplir: El clculo es idntico al vencimiento comn, lo nico que vara es la cuanta del capital nico que sustituye al conjunto de capitales de los que se parte, que ahora debe ser igual a la suma aritmtica de las cuantas a las que sustituye. Realizando el estudio de equivalencia en el origen y empleando un tipo de descuento d, quedara as: C1 x (1 - t1 x d) + C2 x (1 - t2 x d) + ... + Cn x (1 - tn x d) = C x (1 - t x d) de donde despejando t se obtiene: 7

Definicin, planteamiento financiero y frmulas generales: Se trata de valorar un conjunto de capitales con vencimientos equidistantes en un determinado momento pero la duracin de la operacin no supera el ao, por tanto, se trata de operaciones a realizar en rgimen de simple. A diferencia de lo que ocurra con las rentas valoradas en rgimen de compuesta, en las rentas en simple (que emplean leyes financieras en rgimen de simple), por las particularidades de este tipo de leyes, habr que distinguir a la hora de calcular valores actuales y finales. De hecho, solamente se obtienen expresiones fciles de emplear cuando los valores actuales se realizan a tipo de descuento y los valores finales a tipo de inters. Valor final y actual de las rentas pospagables y prepagables: El valor actual de una renta pospagable, temporal, constante, inmediata y entera valorada a un tipo de descuento (d):

V0 = c x (1 d) + c x (1 2d) + c x (1 3d) + ... + c x (1 nd)

Clculo mercantil Simplificando Ventas a plazos: Tema 7. Cuentas corrientes: El valor final de una renta pospagable, temporal, constante, inmediata y entera la situacin ser: Aplicando la definicin de valor final empleando capitalizacin simple: Vf = c + c x (1 + i) + c x (1 + 2i) + c x (1 + 3i) + ... + c x [1 + (n 1) i] Definicin y caractersticas: Un contrato de cuenta corriente es un acuerdo entre dos partes con relaciones comerciales frecuentes, por el que ambas se comprometen a ir anotando el importe de las operaciones que hagan entre ellas para liquidarlas todas juntas en la fecha que sealen. Pueden pactarse estas cuentas corrientes entre empresas o particulares, pero donde ms se usan es en las relaciones entre los bancos y sus clientes. Las cuentas corrientes bancarias pueden ser de dos tipos: de depsito y de crdito. Una cuenta corriente de depsito es un contrato bancario por el que el titular puede ingresar fondos en una cuenta de un banco, o retirarlos total o parcialmente sin previo aviso. En la cuenta corriente de crdito es el banco quien concede al cliente (acreditado) la posibilidad de obtener financiacin hasta una cuanta establecida de antemano (lmite del crdito). Comenzaremos estudiando las primeras, que si bien es cierto que se trata ms de un instrumento de gestin en virtud del cual el banco se compromete a realizar, por cuenta de su cliente, cuantas operaciones son inherentes al servicio de caja, pueden llegar a convertirse en una fuente de financiacin (descubierto bancario). Clasificacin de las cuentas Corrientes: Las cuentas corrientes de depsito se pueden clasificar segn diversos criterios. Segn sus titulares: Individual: abierta a nombre de un solo titular. Conjunta: cuando hay dos o ms titulares, exigindose que cualquier acto deba ser realizado conjuntamente por todos los titulares, exigiendo la entidad la firma de todos ellos. Indistinta: cuando hay dos o ms titulares, pudiendo disponer cualquiera de ellos de los fondos utilizando nicamente su firma. 8

El valor actual de una renta prepagable, temporal, constante, inmediata y entera valorada a un tipo de descuento (d):

V0 = c + c x (1 d) + c x (1 2d) + c x (1 3d) + ... + c x [1 (n1)d]

El valor final de una renta prepagable, temporal, constante, inmediata y entera la situacin ser: Aplicando la definicin de valor final empleando capitalizacin simple: Vf = c x (1 + i) + c x (1 + 2i) + c x (1 + 3i) + ... + c x (1 + ni)

Clculo mercantil Segn el devengo de inters: Cuentas corrientes sin inters: son aquellas en las que no se paga ningn tanto por el aplazamiento de los capitales. Para hallar la liquidacin bastar calcular la diferencia entre el Debe y el Haber de dicha cuenta. Cuentas corrientes con inters: en este caso los capitales producen inters por el perodo que media entre la fecha valor de la operacin y la fecha de liquidacin de la cuenta. En las cuentas corrientes con inters, ste puede ser: Recproco: cuando a los capitales deudores y a los acreedores se les aplica el mismo tanto de inters. No recproco: cuando el tanto aplicado a los capitales deudores no es el mismo que el aplicado a los capitales acreedores. Para liquidar estas cuentas no bastar con calcular la diferencia entre las sumas del Debe y del Haber sino que deberemos hallar tambin el inters. Mtodos de liquidacin: directo, indirecto y hamburgus: Conocidos los capitales y el tanto de inters, que se fija de antemano, slo falta hallar el tiempo durante el cual produce intereses cada capital. Para ello se pueden seguir tres mtodos: directo, indirecto y hamburgus. A continuacin se comentar brevemente el funcionamiento de los dos primeros y se estudiar con ms detalle el mtodo hamburgus, que es el sistema que actualmente se emplea. Mtodo directo: Considera que cada capital, deudor o acreedor, devenga intereses durante los das que median desde la fecha de su vencimiento hasta el momento de liquidacin. Mtodo indirecto: En este sistema los capitales generan intereses desde la fecha en la que se originan hasta una fecha fija denominada poca. Ello supone un clculo de intereses que no se corresponden con la realidad, por lo que 9 cuando se conozca la fecha de liquidacin deben rectificarse. Mtodo hamburgus o de saldos: Este mtodo recibe el nombre de hamburgus porque se us por primera vez en Hamburgo. Y de saldos porque los nmeros comerciales se calculan en base a los saldos que van apareciendo en la cuenta (y no en funcin de los capitales). Los pasos a seguir para liquidar la cuenta por este mtodo son los siguientes: Se ordenan las operaciones segn fecha-valor. Se halla la columna de saldos como diferencia entre el Debe y el Haber de capitales. Cada vez que hagamos una anotacin cambiar el saldo de la cuenta. Hallar los das, que se cuentan de vencimiento a vencimiento, y del ltimo vencimiento a la fecha de cierre. Se calculan los nmeros comerciales multiplicando los saldos por los das y se colocan en el Debe si el saldo es deudor, o en el Haber si el saldo es acreedor. A partir de aqu terminaremos la liquidacin del siguiente modo: Clculo del inters: Intereses deudores = Suma de nmeros deudores x Multiplicador fijo del banco. Intereses acreedores = Suma de nmeros acreedores x Multiplicador fijo del cliente. El multiplicador fijo es el cociente resultante de dividir el tipo de inters de liquidacin (anual) entre el total de das del ao (360 365). Clculo del IRC (Impuesto de Rentas de Capital) sobre los intereses acreedores. Clculo del saldo a cuenta nueva. Clculo y anlisis de la rentabilidad y coste:

Clculo mercantil Cuentas de alta rentabilidad: Son productos de ahorro a la vista Para obtener el tipo de inters real con el que se retribuyen estas que ofrecen al ahorrador una rentabilidad ms alta que las cuentas supercuentas habr que considerar las comisiones que percibe la corrientes o de ahorro ordinarias. Se caracterizan porque ofrecen entidad financiera por su mantenimiento (Cm) y por realizar cada los mismos servicios que las cuentas corrientes pero con una apunte (Ca), adems de la retencin a cuenta del IRPF que soporta. mayor rentabilidad que aquellos. Es interesante para los La rentabilidad neta se obtendra: particulares, en general, y particularmente, para profesionales (autnomos y PYMES) con un movimiento bancario. Liquidacin de una cuenta de alta remuneracin. Esta medida hay que transformarla en su equivalente anual: Suelen ofrecer una mayor rentabilidad en funcin del saldo que el Capitalizacin simple: i= rn x m cliente mantiene en la cuenta, de acuerdo con la siguiente Capitalizacin compuesta: i= (1 + rn)m - 1 estructura: Ventajas e inconvenientes. Se ofrece un tipo de inters sobre el saldo medio de la La mayor ventaja frente a otros productos tradicionales de ahorro cuenta en cada perodo fijado de antemano en el contrato es su mayor rentabilidad. de adhesin. Inconvenientes: El tipo de inters que se ofrece puede ser distinto por La rentabilidad final no es la anunciada, sobre todo si existe tramos de cuantas. un saldo mnimo a mantener o una franquicia. En algunos casos se requiere tener un saldo mnimo para Suelen tener altas comisiones de mantenimiento, que, poder percibir intereses al tipo de inters pactado. En el contribuyen a reducir la rentabilidad real del producto. caso de no alcanzarse ese saldo no se perciben intereses o se cobran al tipo de inters de las cuentas corrientes Cuenta vivienda: Son depsitos que tiene por objetivo fundamental ordinarias. destinar el saldo obtenido en un plazo determinado a la adquisicin En otros casos se establece una franquicia, de forma que se o rehabilitacin de la vivienda habitual. Cualquier depsito puede retribuye el tipo de inters pactado la diferencia entre el ser una cuenta vivienda, sin ms que comunicarlo a la entidad saldo medio y la franquicia. financiera para que el Ministerio de Hacienda lo tenga en cuenta a Clculo de intereses: efectos fiscales. El atractivo de este tipo de cuentas se centra en I = (Sm - F) x im si Sm>Smin tres aspectos: I=0 si Sm