CÁLCULO I ANEXO: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

1

Departamento de Matemática Aplicada a los Recursos Naturales

José Carlos Bellido Muñoz

Félix Miguel de las Heras García

Julián Herranz Calzada

Antonio Ruíz Perea

Definiciones

Conceptos de trigonometría. Definición.

Los dos triángulos rectángulos ABC y AB’C’, se

dice que son semejantes porque tienen un mismo

ángulo en el vértice A.

2

b B B’

C’ C

A

a c

Por ser semejantes se cumple que las relaciones que existen entre dos

lados cualesquiera de uno de los triángulos son las mismas que las que

hay entre los lados equivalentes del otro triángulo.

Estas relaciones dependen del ángulo , y si éste varía, también varían

las relaciones que se establecen.

Definiciones

3

Las relaciones se pueden definir de la siguiente forma:

CB C'B' a 1 CA csen cosec

c sen CB aCA C'A

BA B'A b 1 BA ccos sec

c cos bCA C'A CA

CB C'B' a 1 CB btg cotg

b tg aBA B'A BA

b B B’

C’ C

A

a c

Una vez definidas esta relaciones básicas pueden establecerse otras

relaciones entre ellas:

Por el Teorema de Pitágoras:

2 2 2 2

BC AB AC y dividiendo toda la ecuación por AC resulta:

Definiciones

4

2 2

2 2BC AB1 sen cos 1

AC AC

BC

BC sen senACPor otro lado tg tgcos cosAB AB

AC

b B

C

A

a c

2 2 2 2

2 22 2 2 2

2 2 2

2

2

Por último si la expresión sen cos 1 se divide por cos o bién por sen

se obtienen las dos siguientes expresiones:

sen cos 1tg 1 sec sec tg 1

cos cos cos

sen

sen

22 2 2 2

2 2

cos 11 cotg cosec cosec cotg 1

sen sen

Definiciones

5

Extensión de las funciones trigonométricas para ángulos A>90º

Consideremos un sistema de coordenadas xy. P es un punto de coordenadas

(x,y) cuya distancia la origen es . Un ángulo A con origen en OX en

sentido contrario a las agujas del reloj se considera positivo. Si en el sentido de

las agujas del reloj se considera negativo.

2 2r x y

y x y x r rsenA cos A tgA= cotgA= secA= cosecA=

r r x y x y

Funciones trigonométricas de un ángulo A de cualquier cuadrante

Signos e intervalos de variación de las

funciones trigonométricas 6

Cuadrante sen A cos A tg A cotg A sec A cosec A

I +

0 a 1

+

1 a 0

+

0 a

+

a 0

+

1 a

+

a 1

II +

1 a 0

-

0 a -1

-

a 0

-

- a 0

-

- a -1

+

1 a

III -

0 a -1

-

-1 a 0

+

0 a

+

a 0

-

-1 a -

-

- a -1

IV -

-1 a 0

+

0 a 1

-

a 0

-

- a 0

+

a 1

-

-1a -

Relaciones entre grados y radianes

7

Se denomina radián a aquel ángulo subtendido

en el centro O de una circunferencia por un arco

MN igual al radio r.

Como 2 radianes = 360º se tiene que:

1 radián = 180º/ = 57,2957795…º

1º = /180 = 0,174532935199…radianes

Los ángulos más usuales en radianes son los siguientes:

Ángulo 0º 30º 45º 60º 90º 135º 180º 225º 270º 315º

Radianes 0 /6 /4 /3 /2 3/4 5/4 3/2 7/4

Gráficas 8

Gráficas 9

Gráficas 10

Gráficas 11

Gráficas 12

Gráficas 13

Gráficas 14

Gráficas 15

Funciones de ángulos de cualquier

cuadrante reducidos al primero 16

−A

90º A /2 A

180º A /2 A

270º A 3/2 A

K(360º) A 2k A K entero

sen −sen A cos A ∓sen A −cos A ±sen A

Cos cos A ∓sen A −cos A ±sen A cos A

Tg -tg A ∓cotg A ±tg A ∓cotg A ±tg A

Cosec −cosec A sec A ∓cosec A −sec A ±cosec A

Sec sec A ∓cosec A −sec A ±cosec A sec A

Cotg −cotg A ∓tg A ±cotg A ∓tg A ±cotg A

sen( ) sen cos( ) cos tg( ) tg

cosec( ) cosec sec( ) sec cotg( ) cotg

x x x x x x

x x x x x x

Funciones de argumentos negativos

Relaciones entre las funciones de los

ángulos del primer cuadrante 17

sen x = u cos x = u tg x = u cotg x = u sec x = u cosec x = u

sen x u 1/u

cos x u 1/u

tg x u 1/u

cotg x 1/u u

sec x 1/u u

cosec x 1/u u

21 u / u

21 u

2u / 1 u

21 u

2u / 1 u

21 u / u

21/ 1 u

21/ 1 u

21 u

21 u

2u / 1 u

21/ 1 u2u / 1 u

21/ 1 u

21 u / u

21 u / u

2u / u 1

2u 1 / u

2u 1 / u

2u 1

2u 121/ u 1

21/ u 1

2u / u 1

Para los otros cuadrantes úsense los signos apropiados según se indica en la

tabla precedente.

Valores exactos de las funciones

trigonométricas de algunos ángulos 18

Ángulo x

en grados

Ángulo x

en

radianes

sen x

cos x

tg x

cotg x

sec x

cosec x

0 0 0 1 0 1

30 /6 1/2 2

45 /4 1 1

60 /3 1/2 2

90 /2 1 0 ±∞ 0 ±∞ 1

180 0 -1 0 ∓∞ -1 ∓∞

Para ángulos situados en los otros cuadrantes úsense los signos apropiados

según se indica en la tabla de reducción al primer cuadrante.

33

3 2 33

32

33

3 2 33

22

22

2 2

32

Fórmulas de adición y del ángulo doble

sen( ) sen cos cos sen

cos( ) cos cos sen sen

tg tgtg( )

1 tg tg

cotg cotg 1cotg( )

cotg cotg

x y x y x y

x y x y x y

x yx y

x y

x yx y

x y

19

Fórmulas del ángulo doble

2 2 2 2

2

2

sen 2 2sen cos

cos2 cos sen 2cos 1 1 2sen

2 tg cotg 1tg 2 cotg 2 =

1 tg 2cotg

x x x

x x x x x

x xx x

x x

A partir de estas expresiones

se deducen inmediatamente

las del ángulo doble.

Fórmulas del ángulo mitad

20

1 cossen si I ó II cuadrante, si III ó IV cuadrante

2 2 2 2

1 coscos si I ó IV cuadrante, si II ó III cuadrante

2 2 2 2

1 costg si I ó III cuadrante, s

2 1 cos 2

x x x x

x x x x

x x x

xi II ó IV cuadrante

2

sen 1 cos cosec cotg

1 cos sen

x

x xx x

x x

Fórmulas del ángulo múltiplo

3

3

3

2

3

4 2

3

2 4

sen3 3sen 4sen

cos3 4cos 3cos

3tg tgtg3

1 3tg

sen 4 4cos sen 2sen

cos4 8cos 8cos 1

4 tg 4 tgtg 4

1 6 tg tg

x x x

x x x

x xx

x

x x x x

x x x

x xx

x x

21

Potencias y productos de funciones

trigonométricas

2 2

3 3

4 4

1 1sen 1 cos2 cos 1 cos2

2 2

1 1sen 3sen sen3 cos cos3 3cos

4 4

3 1 1 3 1 1sen cos2 cos4 cos cos2 cos4

8 2 8 8 2 8

x x x x

x x x x x x

x x x x x x

22

1sen sen cos( ) cos( )

2

1cos cos cos( ) cos( )

2

1sen cos sen( ) sen( )

2

x y x y x y

x y x y x y

x y x y x y

Suma y diferencia de funciones trigonométricas

1 1sen sen 2sen ( ) cos ( )

2 2

1 1sen sen 2cos ( ) sen ( )

2 2

1 1cos cos 2cos ( ) cos ( )

2 2

1 1cos cos 2sen ( ) sen ( )

2 2

sentg tg

cos cos

sentg tg

cos cos

x y x y x y

x y x y x y

x y x y x y

x y x y y x

x yx y

x y

x yx y

x y

23

Funciones trigonométricas inversas o

recíprocas 24

Definición

Si 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝒚 entonces 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏−𝟏𝒙, es decir, el ángulo cuyo seno es 𝒙

o el seno inverso de 𝒙 que denominaremos a partir de ahora 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 𝒙.

Se trata de una función multiforme de 𝒙 que puede considerarse como

un conjunto de funciones uniformes llamadas ramas.

Las demás funciones trigonométricas inversas, 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙, 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙, 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝒙, 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒄𝒙 y 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒙 también son multiformes.

En ocasiones conviene seleccionar una determinada rama para algún

propósito específico. Tal rama se denomina rama principal y sus

valores se llaman valores principales.

Valores principales de las funciones

trigonométricas inversas 25

Valores principales para 𝑥 ≥ 0 Valores principales para 𝑥 < 0

0 ≤ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥 ≤𝜋

2

0 ≤ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤𝜋

2

0 ≤ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 <𝜋

2

0 < 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 ≤𝜋

2

0 ≤ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐𝑥 <𝜋

2

0 < 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥 ≤𝜋

2

−𝜋

2≤ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥 < 0

𝜋

2≤ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 𝜋

−𝜋

2≤ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 < 0

𝜋

2< 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 < 𝜋

𝜋

2≤ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐𝑥 ≤ 𝜋

−𝜋

2< 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥 < 0

Relaciones entre las Funciones trigonométricas inversas

arcsen arccos2

arctg arccotg2

arcsec arccosec2

1arccosec arcsen

1arcsec arccos

1arccotg arctg

x x

x x

x x

xx

xx

xx

arcsen( ) arcsen

arccos( ) arccos

arctg = arctg

arccotg( ) arccotg

arccosec ( ) arccosec

arcsec = arcsec

x x

x x

x x

x x

x x

x x

26

En todos los casos se da por

entendido que se trata de

valores principales.

Gráficas de las Funciones trigonométricas

inversas

27

28

Gráficas de las Funciones trigonométricas

inversas