Evidencia de aprendizaje

Clculo diferencial

Unidad 2. Lmites y continuidad

Evidencia de aprendizaje. Representacin de lmites y funciones

Resolver los siguientes ejercicios:

1. Dada una funcin sobreyectiva tal que es continua en , demostrar que existe tal que .

Suponiendo que f es contina entonces la desigualdad se cumple implica o entonces

en ambos casos y el punto fijo de f, si y

esto debido a que:

si aplicamos el teorema de valor intermedio existe

Esto implicara que g es continua enConsiderando que si adems:

y

si tenemos que y es un punto de f

si tenemos que y es un punto de f

si ninguno de los ni entonces

y

esto quiere decir que hay algun tal que si implica que

2. Dada la funcin mostrar que es continua en .

si entoncessi tendremos que

si eligiendo:

tenemos

para

si tenemos que

esto es verdad, no importando que tan cerca x irracional es 0, lo que podemos elegir nuevamente:

en cualesquiera de los dos casos, dado

existe tal que

por lo tanto f es continua en

3. Muestre que la funcin es discontinua en todo .

Definamos

Supongamos que si

El limite falla, entonces f es discontinua en

Mientras que por otro lado si

donde

en

nuevamente el limite falla su existencia lo que implica que f es discontinua en

finalmentef es discontinua en cada punto y es discontinua en toda R

4. Calcular .

El lmite es indeterminado por lo que hay que factorizar

5. Discutir la continuidad de la funcin.Es continua desde la derecha pero discontinua desde la izquierda porque

pero

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