cálculo diferencial e integral de una variable 1 Áreas entre curvas

11

Cálculo diferencial e integral de una variable

Áreas entre

curvas.

22


Habilidades

1. Identifica los dos tipos de regiones regulares con respectoa los ejes coordenados.

2. Calcula área entre curvas.3. Calcula volúmenes por el método de las secciones

transversales.4. Calcula volúmenes por el método del disco.5. Calcula volúmenes por el método de la arandela.

33


Regiones regulares

Una región regular R con respecto al eje X es aquélla que puede describirse como:

Región regular con respecto al eje X:

Se caracteriza porque cada curva y=f(x) e y=g(x) está descrita por una sóla regla de correspondencia en el intervalo [a,b].

R

y = f(x)

y = g(x)

X

Y

ba

xfyxg b,x/aRIyx,R 2

44


Regiones regulares

Una región regular R con respecto al eje Y es aquélla que puede describirse como:

Región regular con respecto al eje Y:

Se caracteriza porque cada curva x=h(y) y x=i(y) está descrita por una sóla regla de correspondencia en el intervalo [c,d].

yhxyi d,y/cRIyx,R 2

x = h(y)

X

Yd

c

Rx = i (y)

55


Área entre curvas

elemento diferencial de área:

Si la región es regular con respecto al eje X:

R

y = f(x)

y = g(x)

X

Y

ba x

b

a

dxg(x)f(x)A(R) ][

dAA(R)área de la región:

diferencial de área: dA=[f(x)-g(x)]dx

dx

f(x)-g(x)

66


Área entre curvas

elemento diferencial de área:

Si la región es regular con respecto al eje Y:

diferencial de área: dA=[h(y)-i(y)]dy

d

c

dyi(y)h(y)A(R) ][

dAA(R)área de la región:

x = h(y)

X

Yd

c

Rx = i (y)

y dy

h(y)-i(y)

77


Bibliografía

“Cálculo de una variable”

Cuarta edición

James Stewart

Secciones 6.1 y 6.2

Ejercicios 6.1 pág 438:1-30, 43-49.

Ejercicios 6.2 pág 448:1-36, 39-42, 45-69.

88


Cálculo de áreas.

99


1. Encuentre el área de la región dada en forma constructiva 2 2 2, / 2x y IR x y x x

Pasos:

1. Graficamos la región.

2. Encontramos los puntos de intersección.

3. Escogemos un rectángulo típico de aproximación.

4. Planteamos el diferencial de área.

5. Calculamos la integral.

1010


1

0

22

22

2

2

dxxxxA

dxxxxdA

1111


y

x0

y = f(x)

dx

dA = f(x)dx

a b( )

b

a

A f x dx ( )b

a

A f x dx

f(x)

dx

1212


dx

y

x0 dx

y = f(x)

y = g(x)

f(x)

- g(x)

( ) - ( )b

a

A f x g x dx ( ) - ( )b

a

A f x g x dxdA =[f(x) - g(x)]dx

ba

1313


Ejemplo

1. Determine el área de la región acotada por y = 0, y = cos x, x = 0; x = .

2. Calcule el área de la región acotada por las curvas y = sen x, y = cos x , x = 0, x = /2

1414


1. Encuentre el área de la región dada en forma constructiva

22 6

, / 12

yx y IR x y

1515


dy

y

x0

dyx = g(y)

d

c

( )d

c

A g y dy ( )d

c

A g y dy

dA = g(y)dy

g(y)

1616


dy

y

x0

x = g(y)

d

c

d

c

dyf(y)-g(y)A d

c

dyf(y)-g(y)A

dA = [f(y) - g(y)]dy

f(y)- g(y)

x = f(y)

dy

1717


1. Hallar el área de la curva x = - y2 + 3 ; x = 0.

2. Encontrar el área de la región xy = 1; x = 0,5 ; x = 2; y = 0.

1818


2. Plantee las integrales que permiten calcular el área entre las curvas; y = lnx ; y = ex ; y = 0.5 ; y = 1

1. Encontrar el área entre las curvas y - x = 3; x1y2

1919


3. Encontrar el valor del número K tal que la recta y = K divida la región limitada por las curvas y = x2 y y = 4 en dos regiones de áreas iguales.

4. ¿Para cuáles valores de m, la recta y = mx y la curva y = x/(x2 + 1) encierran una región? Hallar el área de dicha región.

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