calculo diferencial e integral de funciones de una variable

Lord Livin Barrera Bocanegra

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRALDE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Un libro de aplicaciones orientado a las áreas de:CIENCIAS

INGENIERÍA

ECONOMÍA

ADMINISTRACIÓN

NEGOCIOS

MEDICINA

LIMA - PERU

2013

Lord Livin Barrera Bocanegra

[email protected]

Universidad Cesar Vallejo

Los Olivos

Lima - Perú

Cálculo Diferencial e Integral de Funciones de una Variable

c⃝ Lord Livin Barrera Bocanegra

Edición a cargo: Editorial San Marcos

Lima, Enero de 2013

Primera edición

Tiraje: 2000 ejemplares

ISBN: 000-0000-00-000-0

Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú: 2013-00000

Impreso en Perú

Printed in Perú

Tipeado por el autor en LATEX

Este libro está sujeto a copyright y no puede ser reproducido parcial o totalmente sin el consenti-

miento por escrito del autor. El autor se reserva todos los derechos de publicación y elogia el buen

uso de este material que ha sido sometido oficialmente.

A mis Padres

Índice general

Prefacio 9

Introducción 15

1. Funciones, Gráficas y sus Aplicaciones 171.1. El Concepto de Función y sus Operaciones . . . . . . . . . . . . . . 18

1.1.1. ¿Qué es una Función? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.1.2. Gráficando Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.1.3. Operaciones Aritméticas de Funciones . . . . . . . . . . . . 361.1.4. Composición de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.1.5. Funciones Inyectivas y sus Inversas . . . . . . . . . . . . . . 451.1.6. Funciones Crecientes y Decrecientes . . . . . . . . . . . . . . 52

1.2. Funciones Elementales y sus Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . 551.2.1. Función Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.2.2. Función Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.2.3. Función Cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661.2.4. Funciones Polinómicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721.2.5. Funciones Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

1.3. Funciones Exponenciales y Logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . 821.3.1. ¿Qué es una Función Exponencial? . . . . . . . . . . . . . . . 821.3.2. Interés Compuesto y Anualidades . . . . . . . . . . . . . . . 871.3.3. La Función Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 951.3.4. Escalas Logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1001.3.5. Modelos de Crecimiento y de Decaimiento . . . . . . . . . . 106

1.4. Funciones Trigonométricas y sus Inversas . . . . . . . . . . . . . . . 1101.4.1. La Funciones Seno y Coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101.4.2. Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante . . . . . . . . . . 124

1.5. Algo Más Acerca de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1291.5.1. Transformaciones de la Gráfica de una Función . . . . . . . 1291.5.2. Simetrías y Otras Propiedades de Funciones . . . . . . . . . 139

5

6 ÍNDICE GENERAL

2. Límite de Funciones 1692.1. Comprendiendo el Concepto de Límite . . . . . . . . . . . . . . . . 1692.2. Propiedades de los Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1742.3. Límite de Funciones Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1832.4. Técnicas para Evaluar Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1882.5. Límites Laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1932.6. Definición Rigurosa de Límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

3. Continuidad 2153.1. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2153.2. Discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2253.3. Teorema del Valor Intermedio (TVI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2323.4. Límites que Involucran Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

4. La Derivada 2634.1. Introducción y Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2644.2. El Concepto de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2694.3. Propiedades de la Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2804.4. Velocidad y Análisis Marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3004.5. Regla de la Cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

4.5.1. Motivación y Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3084.5.2. Regla General de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3124.5.3. Combinando con Funciones Trigonométricas . . . . . . . . . 3194.5.4. Combinando Funciones Exponenciales . . . . . . . . . . . . 321

4.6. Derivación Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3264.6.1. Diferenciación de Ecuaciones Implícitas . . . . . . . . . . . . 3264.6.2. Calculando Recta Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3294.6.3. Relacionando Razones de Cambio . . . . . . . . . . . . . . . 333

5. Aplicaciones de la Derivada 3575.1. Aproximación Lineal y Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3585.2. Extremos Relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3645.3. Extremos Absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3745.4. Optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3885.5. Elasticidad de Demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3995.6. Regla de L’Hopital y Formas Indeterminadas . . . . . . . . . . . . . 4045.7. Análisis de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4105.8. Teorema del Valor Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4215.9. El Método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

ÍNDICE GENERAL 7

6. Integración 4516.1. La Antiderivada y la Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . 4526.2. Técnicas de Integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

6.2.1. Técnica General de Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4676.2.2. Técnica de Sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4706.2.3. Técnica de Integración por Partes . . . . . . . . . . . . . . . 4746.2.4. Técnica de Fracciones Parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . 479

6.3. La Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4876.3.1. Tasas Acumuladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4886.3.2. Definición de Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . 490

6.4. Evaluando Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4946.4.1. Teorema Fundamental del Cálculo - Parte I . . . . . . . . . . 4946.4.2. Reglas de Integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4976.4.3. Teorema Fundamental del Cálculo - Parte II . . . . . . . . . 506

7. Aplicaciones de la Integral Definida 5217.1. Aplicaciones Geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522

7.1.1. Área entre Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5227.1.2. Longitud de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5277.1.3. Área de Superficies de Revolución . . . . . . . . . . . . . . . 5337.1.4. Volumen de Sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538

7.2. Aplicaciones en Ciencias Físicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5467.2.1. Movimiento Rectilíneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5467.2.2. Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5487.2.3. Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5557.2.4. Centro de Masa, Momento y el Teorema de Pappus . . . . . 560

7.3. Aplicaciones en Estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5727.3.1. Valor Promedio de una Función . . . . . . . . . . . . . . . . 5727.3.2. Variables Aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580

7.4. Aplicaciones a la Economía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5837.4.1. Capacidad de Consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5847.4.2. Exceso de Consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5877.4.3. Capacidad de Producción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5907.4.4. Exceso de Producción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5937.4.5. Equilibrio y Beneficio Social . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595

7.5. Integración Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5997.5.1. Una Revisión de Sumas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . 6007.5.2. La Regla del Trapezoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6047.5.3. La Regla de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608

8. Proyectos de Matemática 6318.1. Aplicaciones en Robótica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6318.2. Colisión de Cometas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6388.3. Diseño de una Vía de Ferrocarril . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643

Bibliografía 651

Índice Alfabético 653

Prefacio

EL CÁLCULO es una de las mayores conquistas del intelecto humano. Inspi-rados en problemas de astronomía, Newton y Leibniz desarrollaron las ideas delcálculo hace 300 años. Desde entonces, el cálculo ha sido una herramienta fun-damental para resolver problemas en matemática, ciencias físicas, ingeniería; asícomo en ciencias sociales y biológicas.

Origen del texto: Un pedido urgenteMi interés en escribir este libro fue motivado por la necesidad de alcanzar al

estudiante y al docente lo que se pide hoy en las universidades: me refiero a lamatemática aplicada a los negocios, economía, administración, ciencias e ingenie-ría. El pedido radica en dos puntos:• Por el lado del estudiante: que le permita asimilar los conceptos de forma

rápida y adquiera la suficiente habilidad para interpretar la matemática en situa-ciones reales; específicamente desde la carrera profesional que desarrolle.• Por el lado del docente: tener el material necesario de Cálculo de una Va-

riable para llegar al alumno con la mejor pedagogía.Estoy seguro que hay buenos libros de Cálculo, pero algunos resultan poco

claros para el lector; también estoy seguro que existen excelentes modelos ma-temáticos dispersos en interesantes textos cuyas explicaciones pueden cansar allector. En este libro se evitan tales dificultades.

Presentación: Intuitiva y simpleAunque la palabra “intuitiva” tiene muchas interpretaciones, su uso aquí sig-

nifica “basado en la experiencia y sin demostraciones”. Lo que hago aquí es pre-sentar el cálculo con un enfoque atractivo y amigable, manteniendo un lenguajebastante comprensible para que el estudiante no demore en su aprendizaje. En miexperiencia docente he notado que una buena forma de despertar el interés ma-temático en el estudiante es haciendo que la matemática tenga significado en suvida práctica y específicamente en su carrera profesional. Por esas razones decidíescribir un libro con una lectura amena y con bastantes ejemplos cuyas explica-ciones son detalladas; también se presentan ilustraciones visuales que ayudarána comprender mejor el desarrollo de cada aplicación.

9

10 Prefacio

Orientación: Ciencias, ingeniería y negociosLos temas contenidos en este libro forman parte de un curso tradicional de

cálculo de una variable, y está dirigido a estudiantes que cursan ciencias e in-geniería y especialmente para aquellos estudiantes involucrados en las carrerasprofesionales de negocios, administración y economía. Yo como matemático lesdigo que hay una necesidad urgente de aprender la matemática mediante estetratamiento moderno que interactúa con la vida cotidiana.

Contribución: Adaptación e imitaciónNo soy un creador de todos los ejemplos que el lector podrá leer, lo que hice

simplemente es imitar el estilo impuesto por matemáticos extranjeros, varios deellos citados en la bibliografía. Debo destacar aquí mi especial predilección por lasobras de Latorre [La], Harshbarger y Reynolds [Ha], Ron Larson [Lar], Soo Tan[Ta], Anton [An], Rogawski [Ro] y Hungerford [Hu]. Estos autores como los de-más, enfatizan la matemática con elegancia y buen nivel. Lo que hice en este libroes incorporar el mismo tratamiento expuesto por estos autores haciéndolo másfácil y objetivo, manteniendo el enfoque práctico de los modelos matemáticos.

ContenidosEl contenido de cada capítulo representa una visión moderna del cálculo. Su

flexibilidad y suficiencia se acomoda a los requerimientos de un curso semestralde Cálculo de una Variable.

Capítulo 1: Funciones, gráficas y sus apli-caciones. En este capítulo se introduce elconcepto de función, su gráfica y sus ope-raciones. Para entender funciones de ma-nera rápida no había modo de evitar co-menzar con funciones elementales talescomo: funciones lineales, polinómicas yracionales, con las que estamos familiari-zados desde la escuela. A continuación seestudian funciones exponenciales y logarítmicas que como sabemos, una es inver-sa de la otra; entre algunas de sus aplicaciones aparecen los pronósticos de creci-miento y decrecimiento poblacional así como el cálculo de intereses compuestos.A continuación pasamos ligeramente por el estudio de funciones trigonométricasy sus inversas con la finalidad de aplicar en algunos modelos relacionados a in-geniería. Finalmente revisamos transformaciones de funciones que refuerzan lamanipulación de las diversas gráficas de funciones elementales.

Prefacio 11

Capítulo 2: Límite de Funciones. Mate-mática superior se basa en el concepto delímite y en este capítulo vemos su desa-rrollo. Aunque éste es uno de los concep-tos más difíciles de la matemática, nuestrapresentación deja de ser misteriosa. Desa-rrollamos propiedades de límites y algu-nas técnicas para evaluarlas. Varios mo-delos en física son tratados usando límites

laterales y algunos modelos en negocios y economía se resuelven usando límitesinvolucrando infinitos. Para no perder el rigor del concepto de límite, la últimasección está dedicada a explicar su definición en términos de deltas y épsilon.

Capítulo 3: Continuidad. Aquí vemos elconcepto de continuidad como una conse-cuencia del concepto de límite. Su relevan-cia es fundamental en los problemas coti-dianos y en este capítulo se modelan pro-blemas de negocios, administración e in-geniería. Para ayudar a comprender me-jor este concepto se hacen ilustracionesgráficas y nos apoyamos en propiedadesvistas en el capítulo 2.

Capítulo 4: la Derivada. En este capí-tulo, nuestro desarrollo de los temas seenriquece exponencialmente. Cada vezque hablamos de derivadas queremos de-cir “razón de cambio”, y las razones decambio aparecen en todas partes, inclu-so cuando el lector lee esta línea ¿cómo?La razón de cambio motivó a Newton yLeibniz a fundamentar el cálculo, y este esel eje central en toda la matemática. En este capítulo se estudia con detalle todaslas propiedades de derivadas, haciendo gran énfasis en la regla de la cadena y enderivación implícita. Muchas aplicaciones relacionadas a los negocios, economíae ingeniería son vistas con base en datos reales, explicando línea por línea; ademásse plantea una gran variedad de ejercicios que en su mayoría el lector no tendrádificultad para resolverlos, aunque algunos de ellos pueden reducirse a cálculosformales simples.

12 Prefacio

Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada.Ya habíamos dicho en el capítulo anteriorque las derivadas proveen gran cantidadde material, y aquí lo que hacemos es con-tinuarlo. En este capítulo se hace especialénfasis en aproximaciones lineales y opti-mización. En situaciones relacionadas haempresas, el problema de maximizar o

minimizar recursos es indispensable y aquí se resuelven tales problemas. Aquítambién se describe de manera ligera el comportamiento geométrico de curvasmediante el uso de la primera y la segunda derivada, y los conceptos comunesen esta parte son la concavidad, punto crítico y punto de inflexión. Esto últimoproporciona al estudiante algunas técnicas de optimización que podrá revisarlocon más amplitud en un curso de matemática II.

Capítulo 6: Integración. Aunque la ideade integral es más antigua que la idea dederivada, tradicionalmente es estudiadoen el orden de este libro. Integrar es el pro-ceso inverso a derivar, o sea, hallar la fun-ción que originó la derivada, y nuestro en-trenamiento en derivadas nos facilita estetrabajo. En este capítulo se desarrollan téc-nicas de integración, que son procedi-mientos similares a los que aparecen en el capítulo de derivadas. Inicialmente sepresenta a la integral indefinidas y se estudian algunas de sus propiedades, luegose usan aproximaciones del cálculo de área para conseguir definir integral defi-nida. Finalmente, haciendo uso del teorema fundamental del cálculo se estudianintegrales definidas aplicándolos a modelos matemáticos concretos.

Capítulo 7: Aplicaciones de Integración.Aquí nos dedicamos a las aplicaciones eneconomía y negocios. Se estudian algunasaplicaciones de oferta y demanda como:gasto de consumo, capacidad para gas-tar, exceso de consumo, equilibrio, pro-ducción, exceso de producción y benefi-cio social total. Para facilitar nuestra com-prensión nos apoyamos en los conceptos

vistos en el capítulo 1 y en las propiedades de derivadas. Una gran variedad de

Prefacio 13

ejemplos pueden verse con soluciones simples. También se desarrollan valorespromedios de funciones de producción y costos, interpretándolos en términos deáreas de regiones planas.

Capítulo 8: Proyectos de matemática. Fi-nalizamos el libro con el llamado “ho-rizonte matemático”. En este capítulo sepresentan algunos proyectos interesantestales como: Aplicaciones a la Robótica, Co-lisión de Cometas y Diseño de la Vía deun Ferrocarril. En estos tópicos volcamosnuestra experiencia en matemática I. Ca-da material está diseñado de modo que elalumno debe resolver los ejercicios sugeridos para completar la solución del pro-yecto. Una visión para estos proyectos es presentarlo computacionalmente. Deboreconocer que en este capítulo he sido influenciado por la obra de Anton [An] quecon magnífica pedagogía explica cada proyecto.

AgradecimientosMe siento en deuda con las personas que colaboraron por ayudarme a ha-

cer posible la edición de esta obra, de todos ellos me he nutrido con un poco desus conocimientos: a la Ing. Veronica Tello Mendivil por su asesoría en química; ami amigo el físico Arturo Dávila Obando por compartir conmigo algunas discu-siones de física matemática; a mi colega el economista Dante Pino Archondo porsus interpretaciones técnicas de los diversos modelos económicos; a mi amigo elmaestro Denis Morales Saavedra por sugerirme una mejor presentación didácti-ca del libro; al matemático Carlos Deudor Gómez por proporcionarme algunasfuentes bibliográficas; al maestro José Vallejos Decheco por sus correcciones ala redacción; a mis alumnos de ingeniería industrial: Jorge Villanueva Espejo yHober Rivera Gonzales por sus desarrollos del proyecto sobre Aplicaciones enRobótica; a mis alumnos de ingeniería ambiental Luis Calixtro Ascencio y StalinZegarra Torres por resolver los problemas sobre Colisión de Cometas; y un espe-cial agradecimiento a mis alumnas Kiara Prieto Samaniego, Melody Melo Revoloy Danae Flores Osorio, por sus aportes al proyecto sobre el Diseño de una Vía deFerrocarril. Fueron muchos los que participaron directa e indirectamente en estetrabajo, a todos ellos mi más rendido agradecimiento.

LORD LIVIN BARRERA BOCANEGRA

Universidad Cesar VallejoLima - PerúEnero, 2013

Presentación

Sobre mi querido colega y amigo Lord Barrera me consta su excelenteformación como matemático y su ejercicio docente.

Conocí al autor cuando aún compartíamos los pasillos del mismo centro deestudios, la Facultad de Matemática de la Universidad Nacional Mayor de SanMarcos. Desde esa época se vislumbraba el gran interés e inquietud que la Ma-temática despertaba en él; esa avidez de querer aprender siempre algo nuevo enmatemática y ciencias afines, y que priorizaría en aquel momento de su vida hastala actualidad.

Tal voracidad por apreender lo llevó a leer muchos libros, adquirir conoci-mientos y desear compartir estos, obteniendo como resultado la elaboración demanuscritos sobre tópicos de diversas áreas de la Matemática que ahora se con-virtieron en libros.

Aún recuerdo las presentaciones de Lord, en la condición de profesor, reali-zadas en aulas de la Facultad de Matemática de San Marcos. Cuando estuve enLima percibí que todo ese deseo lo había convertido en un buen expositor y enun profesor que conseguía prender la atención de sus alumnos. Estoy seguro queeste libro lo será de la misma forma, no solamente a los estudiantes y público in-teresado que se inicie en matemática superior, sino también despierte la atenciónde los estudiantes que se sientan obligados a leer un libro de cálculo.

DRA. ROSA QUISPE COYCLLO

Pontificia Universidad Católica de Río de Janeiro

Capítulo 1

Funciones, Gráficas y susAplicaciones

La ciencia y la tecnologíanos brindan cada momentoimportantes avances quenos permiten conocermás de nuestro universo.Sin la teoría de funciones

esto no sería posible.

La idea de función es una de las más importantes en matemática. Para estu-diar matemática más allá del nivel elemental, usted necesita adquirir una sólidacomprensión acerca de las funciones, sus gráficas y de cómo usarlas. Por ejem-plo, si usted quiere analizar la tendencia actual sobre el gasto de publicidad eninternet y sus futuras proyecciones, requiere un modelo matemático para resolveresta situación. En este capítulo usted aprenderá lo suficiente acerca de funcionesy estará convencido de que son ¡son extremadamente útiles!

18 Lord Barrera - Capítulo 1. Funciones, Gráficas y sus Aplicaciones

1.1. El Concepto de Función y sus Operaciones

En esta sección se establece el concepto de función y se estudian sus operacio-nes básicas, que serán utilizadas en todo este libro.

1.1.1. ¿Qué es una Función?

Comencemos ilustrando una máquina expendedora de bebidas.

Algunas preguntas que surgen son lassiguientes: ¿Qué tiene que ver la mate-mática con este asunto? y en particular¿cómo relacionamos esta máquina ex-pendedora de bebidas con funciones enmatemática? Tomaremos en cuenta es-te hecho para introducir más adelanteel concepto de función y modelarlo me-diante un ejemplo concreto. n

ewte

chhin

di.

blo

gsp

ot.

com

Consideremos el caso de dos máquinas A y B que expenden bebidas. La má-quina A tiene cuatro botones y cada uno permite obtener una bebida distinta. Lomismo pasa con la máquina B que tiene 4 botones y cada uno de ellos expendediferente bebida. Los siguientes cuadros ilustran esta situación:

Máquina A

Botón n◦ Salida1 Coca cola2 Inca cola3 Pepsi4 Sprite

Máquina B

Botón n◦ Salida1 Fanta2 Agua mineral3 Fanta4 Chola de oro

Es común que hayamos visto maqui-nas similares a A y B, pero no creoque hayamos encontrado una situa-ción parecida a la que muestra elcuadro de la derecha:

Máquina C

Botón n◦ Salida1 Coca/Sprite2 Inca cola3 Mirinda/Diet coca

Lord Barrera - Sección 1.1. El Concepto de Función y sus Operaciones 19

Aquí, cuando usted presiona el boton 1 de la máquina C, consigue Coca ySprite; es decir, nuestro botón de entrada n◦1, no permite una única bebida desalida, y lo mismo pasa con el botón 3.

Los casos anteriores muestran las relaciones que hay entre entradas (en estecaso los botones) y salidas (que son las bebidas).

Definición 1.1.1. Una función es una correspondencia f que asigna a cada entra-da una única salida.Cuando una función f tiene entrada x, la salida se escribe como f (x), que se lee“ f de x”.

Si queremos indicar que la función f asigna a la entrada 2 la salida 5, entoncesescribimos

f ( 5=

entrada salida

nombre de la función

(2

que se lee “ f de 2 es 5”.

La entrada se llama variable independiente y la salida variable dependiente.En lo que sigue, nuestras funciones serán reales, esto quiere decir que las entradasy salidas son números reales.

Ejemplo 1.1.1. (Costo de llamada). Siusted habla por celular y cada minuto lecuesta S/0.5, entonces

en un minuto gasta 1× 0.5 = 0.5 soles

en dos minutos gasta 2× 0.5 = 1 sol

en tres minutos gasta 3× 0.5 = 1.5 soles... =

...

en x minutos gasta x× 0.5 = 0.5x soles


O sea, por hablar x minutos le costará 0.5x. Para este modelo tenemos así unafunción que escribimos

f (x) = 0.5x

Aquí nuestra función es la regla que asigna a la entrada x (cantidad de minutoshablados por celular) la salida 0.5x (que consiste del costo que resulta de hablarx minutos).

Definición 1.1.2. El dominio de una función f es el conjunto de todas sus entra-das, denotado por dom( f ). El rango de f es costituido por todas sus salidas; másprecisamente, el rango de f es el conjunto

ran( f ) = { f (x) : x ∈ dom( f )}

Si damos la función y = f (x) y no especificamos el dominio, podemos pedirel dominio natural de f , que consiste de todos los posibles valores de x para loscuales existe f (x).

Ejemplo 1.1.2. Consideremos la función f (x) = x2. Esta hace corresponder acada número su cuadrado, por ejemplo

f (1) = (1)2 = 1, f (2) = (2)2 = 4, f (√

5) = (√

5)2 = 5

Si indicamos que x toma sólo valores 1, 2 o√

5, entonces dom( f ) = {1, 2,√

5} yran( f ) = {1, 4, 5}. Sin embargo, si no damos restricción a las entradas x, entoncessu dominio natural es el conjunto R de todos los números reales y su rango elconjunto R≥0 de reales positivos incluído el cero.

Para reforzar nuestro concepto de dominio y rango, regresemos al modelo delas máquinas expendedoras de bebidas.

Ejemplo 1.1.3. (i). La máquina A puede ser modelada por una función porqueel boton a presionar (la entrada) determina la bebida recibida (la salida); así quecada entrada determina una única salida.

Aquí, el dominio de la función es el con-junto {1, 2, 3, 4} y el rango es el conjunto

{Coca cola, Inca cola, Pepsi, Sprite} .

A1 Coca cola

2 Inca cola

3 Pepsi

4 Sprite


(ii). Lo mismo sucede con la máquina B, ya que para cada botón obtenemosuna única bebida. Notemos que los botones 1 y 3 producen la misma bebida ycumple con la definición de función. Modelando gráficamente tenemos

o bien

B

1 Fanta

2 Agua mineral

3 Fanta4 Chola de oro

B

1

234

Fanta

Agua mineral

Chola de oro

En este caso, el dominio es el conjunto {1, 2, 3, 4}, mientras que el rango es elconjunto {Fanta, Agua mineral, Chola de oro}.

(iii). En este caso no se tiene una funciónporque para las entradas 1 y 3 se tienendos salidas. El siguiente gráfico ilustra es-te hecho:

C

1Coca colaSprite

2 Inca cola

3MirindaDiet coca

Ejemplo 1.1.4. El siguiente esquema de función representa los 10 terremotosmás grandes del mundo entre los años 1900 y 2010.

LOCALIZACION Y FECHA MAGNITUD

Chile (mayo 22 de 1960) 9.5

Alaska (marzo 28 de 1964) 9.2Rusia (noviembre 4 de 1952) 9.0Indonesia (diciembre 28 de 2004)

Chile (febrero 27 de 2010)

Ecuador (enero 31 de 1906) 8.8

Alaska (marzo 9 de 1957)

Islas Kuriles (noviembre 6 de 1958) 8.7

Alaska (febrero 4 de 1965)

Chile (noviembre 11 de 1922) 8.5dru

goi.

livej

ourn

al.c

om


Un ayuda-memoria para cerciorarse que una correspondencia es una funciónes tener en cuenta la disposición de la flecha:

pero noo

Ejemplo 1.1.5. Considere la función f (x) = x + 1.

(i) Calcule f (−1), f (2) y f (3).

(ii) Determine el dominio natural de f .

Solución. (i) Evaluando tenemos

f (−1) = −1 + 1 = 0, f (2) = 2 + 1 = 3 y f (3) = 3 + 1 = 4 .

(ii) Para determinar el dominio natural, debemos tener en cuenta que la salidax + 1 existe para todo número real x, o sea, dom( f ) = R.

Ejemplo 1.1.6. Considere la función f (x) =1

x− 1.

(i) Calcular f (0), f (2) y f (5).

(ii) Halle el dominio natural de f .

Solución. (i) Evaluando tenemos

f (0) =1

0− 1= −1, f (2) =

12− 1

= 1 y f (3) =1

3− 1=

12

.

(ii) Para hallar el dominio natural, notemos que1

x− 1existe para todo nú-

mero x que satisface x ̸= 1, o sea, dom( f ) = R \ {1}.

Ejemplo 1.1.7. Hallar el dominio natural de las siguientes funciones

(i) f (x) =√

x− 2 (ii) g(x) =2x

x2 − 4(iii) h(x) =

x√

1− x

Solución. (i) Sólo números no negativos admiten raíz cuadrada. Luego sedebe tener x− 2 ≥ 0, esto significa que x ≥ 2, o también

dom( f ) = {x : x ≥ 2} .


(ii) Desde que la función g es una fracción, el denominador debe ser no nulo.Aquí x2 − 4 ̸= 0, o también x ̸= ±2. En término de conjunto podemos escribir

dom(g) = {x : x ̸= ±2} .

(iii) Siguiendo las ideas anteriores, la única restricción aquí es√

1− x > 0,

o también 1 > x. Luegodom(h) = {x : x < 1} .

Ejemplo 1.1.8. Expresar el área de un disco en función de su radio (ver figuraabajo).

r

Solución. Sabemos que el área A de un disco de radio r es A = πr2. Si r repre-senta la variable independiente y A la variable dependiente, entonces tenemos lafunción

A(r) = πr2 .

Podemos destacar también el dominio de esta función: desde que se tiene undisco, entonces r siempre toma valores mayores que cero, o sea

dom(A) = {r : r > 0}.

Ejemplo 1.1.9. (Punto de ebullición y elevación). La elevación E, en metros,sobre el nivel del mar en el cual el punto de ebullición del agua es t grados centí-grados, es dada por la función:

E(t) = 1000(100− t) + 580(100− t)2

¿Cuál es la elevación si el punto de ebullición tiene 99.5◦?


Solución. Para conocer el nivel de elevación pedido, es suficiente evaluar enla función; así

E(99.5) = 1000(100− 99.5) + 580(100− 99.5)2 = 645 .

O sea, 645 metros.

Ejemplo 1.1.10. (Costo por consumode agua). Con el fin de incentivar el aho-rro en el consumo de agua, de las familiasde la ciudad de Lima, SEDAPAL señala lasiguiente medida de cobro: a cada familiase le cobrará 0.008 soles por galón si usamenos de 4000 galones al mes, y que co-brará 0.012 por galón si cada familia usa4000 galones o más al mes. e

codebate

.com

.br

(i) Hallar una función C que determina el costo mensual que cada familia asu-me por consumir x galones de agua al mes.

(ii) Hallar C(3900) y C(4200). ¿Qué representan sus respuestas?

Solución. (i) Desde que el costo de x galones de agua depende de su uso,necesitamos definir la función C en dos partes: para x < 4000 y para x ≥ 4000.Para x galones el costo es 0.008x si x < 4000 y 0.012x si x ≥ 4000. De estamanera podemos expresar a la función C como

C(x) =

{0.008x si x < 4000

0.012x si x ≥ 4000

(ii) Desde que 3900 < 4000 tenemos que

C(3900) = 0.008(3900) = 31.20 .

Por otra parte, desde que 4200 > 4000 tenemos

C(4200) = 0.012(4200) = 50.40 .

En conclusión, usando 3900 galones el costo es 31.20 soles y usando 4200 galonesel costo es 50.40 soles.


1.1.2. Gráficando Funciones

Funciones pueden ser representadas gráficamente, y es común ver estas re-presentaciones. Casos concretos pueden verse por ejemplo en un sismógrafo paramedir la magnitud de temblor del departamento de Lima. También, un aparatode electrocardiograma mide la actividad eléctrica en el corazón. Estas máquinasdescriben gráficas de funciones.

La función que describe el número de estudiantes en una universidad privadacomo una función del tiempo (en años) puede ser representada de manera simplemediante una gráfica:

2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

6000

6350

9398

11 050

12 400

15 340

18 760

año

n° estudiantes

2012

19 840

Cuando graficamos funciones debemos tener presente que la variable inde-pendiente (entrada) se ubica a lo largo del eje horizontal, y la variable depen-diente (salida) se ubica a lo largo del eje vertical. Las coordenadas de los puntosen la gráfica de la función son de la forma (entrada, salida). Dada la función f ,


para cada x en el dominio de f , el punto con coordenadas (x, f (x)) es un puntode la gráfica de f . Recordemos que el valor de la función f en el punto x se es-cribe como f (x). Así que los puntos de la gráfica son de la forma (x, f (x)). Másformalmente, dada la función f , la gráfica de f es el conjunto

graf( f ) = {(x, f (x)) : x ∈ dom( f )}.

Podemos distinguir a una función notan-do que su gráfica es una curva en el plano,tal que cualquier recta vertical interseca adicha curva en un solo punto. Esto se veen la figura de la derecha. x

y

Ejemplo 1.1.11. Identificar las gráficas que representan funciones.

(i) (ii) (iii)

x x x

yyy

Solución. La gráfica en (i) representa claramente una función ya que cual-quier recta vertical interseca a la curva en un solo punto.

La gráfica de la (ii) no es una función debido a que podemos intersecar conuna recta vertical a dicha curva en dos puntos.

En el caso (iii) el único punto en discusión es el punto donde hay un salto,pero en este caso la curva también representa una función pues una recta verticalque pasa por este salto corta a la curva en un solo punto.

Ejemplo 1.1.12. Si x pertenece al dominio de la función, entonces (x, f (x))pertenece a la gráfica de f . Si (2, 5) está en la gráfica de alguna función f , entonces2 es la entrada de la función mientras que la salida es 5; así que f (2) = 5. Si laentrada 4 produce la salida 7, entonces (4, 7) está en la gráfica de la función. Másgeneralmente, si (x, y) ∈ graf( f ), entonces f (x) = y; de manera recíproca, sif (x) = y, entonces (x, y) ∈ graf( f ).


Ejemplo 1.1.13. (Cantidad de visitan-tes al parque de las leyendas). La asisten-cia anual al parque de las leyendas entrelos años 1964 y 2004 se muestra en la figu-ra derecha.(i) Teniendo en cuenta que las entradas es-tán en el eje horizontal y las salidas en eleje vertical, identificar las entradas y lassalidas a partir de la tabla.

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

1964 1980 2000 2002 2004

Asis

tencia

en m

illo

nes

Año

(ii) Indicar si la correspondencia entre años y asistencia de público como mues-tra la gráfica, representa una función.

(iii) ¿Qué tendencia observa usted en los datos particulares?

Solución. (i) Para el conjunto de datos, la variable de entrada es el año y lavariable de salida es el número de personas que asisten anualmente al parque delas leyendas.

(ii) La correspondencia entre la variable de entrada y la variable de salidarepresenta una función, pues, para un año en particular tenemos una única can-tidad de asistentes por año.

(iii) A partir de la gráfica vemos que la asistencia del público al parque delas leyendas se incrementa desde el año 1964 hasta el 2002; pero que disminuyedesde el 2002 hasta el 2004.

Ejemplo 1.1.14. Considere un recipiente en forma de botella. La siguientegráfica describe el comportamiento del volumen de un líquido que es llenado enla botella.

volumen

altura

volumen alturaf

(11,3)

Usar la gráfica para determinar el dominio y rango de f .


Solución. Mirando la gráfica de f notamos que el dominio de la función es elconjunto de todos los posibles volumenes, es decir, [0, 11]. Además, el rango es elconjunto de todas las posibles alturas, es decir [0, 3].

Ejemplo 1.1.15. Suponga que usted enciende la hornalla de su cocina durantealgunos minutos y calienta agua en una olla. La temperatura del agua dependedel tiempo que lleva calentando el agua. Sea T la función definida por

T(x) = “temperatura del agua despues del tiempo x′′

donde x se mide en minutos.

(i) Esbozar la gráfica de la función T.

(ii) Realice una gráfica exacta con los datos que fueron recogidos de un experi-mento particular. Dibuje la gráfica de la función T en base a estos datos.

x (min) 0 1 2 5 10 15 20 25 30 35 40 50

T (F◦) 68 85 90 98 100 100 97 86 70 60 55 55

Solución. (i) Cuando la olla comienza a calentarse, la temperatura inicial delagua es prácticamente la temperatura ambiente. Conforme van pasando los mi-nutos, la temperatura T del agua comienza a aumentar hasta alcanzar una máxi-ma temperatura. Después que usted apaga la cocina, T se mantiene constante porunos minutos. Cuando van pasando los minutos, T decrece hasta que la tempera-tura del agua se mantiene a la temperatura ambiente. La figura (a) abajo muestrala gráfica de la temperatura T del agua como función del tiempo x cuando el aguase calienta en un tiempo determinado.

(ii) La gráfica de la tabla se ve en la figura (b).

5 20 40

70

100

5 20 40

40

100

60

80

T( )F T( )F

x(min) x(min)

(a) (b)

10 30


OFERTA Y DEMANDA

Comprender oferta y demanda es importante en economía, administracióny negocios. La cantidad demandada depende del precio en el mercado y puedevariar según cómo varíe el precio. La demanda es vista del lado del consumidory se espera que a medida que el precio aumente, el consumidor adquiera menosproductos. Lo contrario pasa con la oferta que se ve del lado del productor y seespera que a medida que el precio aumente, el productor venda cada vez más.

alliance-group.net

Un ejemplo de demanda se puede ver en una gasolinera cuando el consumi-dor se encuentra con nuevos precios.

Cuando el precio de la gasolina aumenta,cada vez se compra menos combustible.La figura de la derecha muestra la curvade la demanda para la gasolina. Cuando elprecio de la gasolina es de 2.70 por galón,los peruanos gastamos aproximadamente367.2 millones de galones de gasolina dia-riamente.

q millones de galones

p solespor galón100

200

300

400

0 2 4 6 8 10

367.2

2.7

Notemos en la gráfica anterior que a medida que el precio de la gasolina aumenta,la cantidad de gasolina consumida es cada vez menor. Como consecuencia, elnivel de viajes en omnibus disminuye.


Definición 1.1.3. La función de de-manda es la función q = D(p) querelaciona la cantidad q adquirida (porel consumidor) de un producto, con elprecio unitario p del producto en elmercado. La gráfica de la función dedemanda se llama curva de demanda.

q

p

D

Ejemplo 1.1.16. (Demanda de rope-ros). La demanda de roperos en una fábri-ca de muebles es modelada por

D(p) = −0.01p + 5.55

donde p es el precio (en soles) de un rope-ro y q se mide en unidades.

per

so.w

anad

oo.e

s

(i) De acuerdo al modelo, ¿a qué precio el consumidor no consigue comprarningún ropero? ¿Cuánto paga el consumidor por un ropero?

(ii) ¿Qué cantidad de roperos compra el consumidor cuando el precio de mer-cado es de 145 soles por cada unidad?

(iii) Calcule el precio unitario que el consumidor es capaz de pagar para obtener3 roperos.

Solución. (i) El consumidor no consigue comprar roperos cuando

0 = D(p) = −0.01p + 5.55

que implica p = 555; o sea que al precio de 555 soles por ropero, el consumidorno compra más roperos. Cuando se demanda un ropero, tenemos

1 = D(p) = −0.01p + 5.55 ⇔ p = 455

O sea, por 1 ropero paga 455 soles.(ii) Cuando el precio de un ropero es de 145 soles, la cantidad obtenida de

roperos esD(145) = −0.01(145) + 5.55 ≈ 3.1 roperos


O sea, 3 roperos aproximadamente.(iii) El precio unitario que el consumidor gasta para obtener 3 roperos se ob-

tiene haciendo3 = −0.01p + 5.55

De aquí se consigue p = 255 soles.

Ahora estudiemos la función de oferta: un ejemplo de cantidad ofertada pue-de verse en la venta de gasolina cuando el vendedor determina el precio porgalón.

0 1 2 3 4 50

100

200

300

400

q millones de galones

p solespor galón

(0.799, 175.9)

(2.699, 356.4)

(3.158, 400)

500

Los productores no venden gasolina cuando el precio es menor a 0.799 solespor galón. Cuando el precio de mercado es 2.699, los productores venden 356.4millones de galones. La oferta de 400 millones de galones se produce cuando elprecio de mercado es de 3.158 soles por galón.

Definición 1.1.4. La función de ofertaes la función q = O(p) que relaciona lacantidad q ofrecida (por el vendedor)de un producto, con el precio unitariop del producto en el mercado. La gráfi-ca de la función de oferta se llama cur-va de oferta.

O

p

q


Ejemplo 1.1.17. (Oferta de motos). Laoferta en la venta de motos es modeladapor

O(p) =

{0 si p < 3

2.194(1.295p) si p ≥ 3

donde O(p) está en miles y p es el precioen miles de soles por moto. ri

ccim

oto

.com

(i) ¿Cuántas motos deben ser vendidas cuando el precio es de 4000 y de 8000?

(ii) ¿A qué precio debe ofertarse para vender 10,000 motos?

(iii) Calcule la cantidad vendida, cuando el precio en el mercado es de 7500soles.

Solución. (i) Cuando el precio es de 4000, entonces p = 4 y la cantidad ven-dida es

O(4) = 2.194(1.2954) ≈ 6170 motos.

Similarmente, cuando el precio es de 8000, entonces p = 8 y la cantidad vendidaes

O(8) = 2.194(1.2958) ≈ 17353 motos.

(ii) Para obtener el precio que resulta de vender 10000 motos, hacemos O(p) =10, entonces resolvemos la ecuación

10 = 2.194(1.295p) ⇔ 4.558 = 1.295p ⇔ ln(4.558) = p ln(1.295)

O sea,

p =ln(4.558)ln(1.295)

≈ 5867 soles por moto

(iii) La cantidad vendida cuando el precio por moto en el mercado es de 7500soles, se obtiene haciendo p = 7.5. Entonces

O(7.5) = 2.194(1.2957.5) ≈ 15.249

O sea, 15,249 motos aproximadamente.

Si las curvas de la oferta y la demanda de un producto se grafican en el mismosistema cartesiano, con las mismas unidades, el equilibrio de mercado ocurre enel punto donde las curvas se intersecan. Este punto está determinado por el precio


de equilibrio y la cantidad de equilibrio. El equilibrio de mercado nos dice que elnúmero de consumidores es abastecido por la cantidad de artículos producidospor el fabricante sin que sobre ni falte artículos en el inventario.

Definición 1.1.5. El equilibrio de mercado ocurre cuando la cantidad ofertadadel producto es igual a la cantidad demandada. Para un producto con funciónde oferta O y función de demanda D, las coordenadas del punto de equilibrio(p∗, q∗) nos da el precio de equilibrio p∗ que satisface la ecuación D(p) = O(p)y la cantidad q∗ = D(p∗) = O(p∗).

Podemos representar a este punto de equilibrio geométricamente.

La curva de la demanda D(p) es la cur-va decreciente, mientras que la curva dela oferta O(p) es la creciente. El punto deintersección (p∗, q∗) entre estas dos curvases el punto de equilibrio. Aquí, p∗ es elprecio de equilibrio y q∗ es la cantidad deequilibrio. p

O p( )

D p( )

q

p* q*,( (

Ejemplo 1.1.18. Si las funciones de demanda y oferta para la venta de teléfo-nos celulares son, respectivamente

D(p) = −5p + 4000 y O(p) = 15p + 1000

entonces el precio de equilibrio se obtiene haciendo

D(p) = O(p) .

De esto−5p + 4000 = 15p + 1000 ⇔ p = 150

O sea, p∗ = 150 soles es el precio de equilibrio, y desde que

q∗ = O(p∗) = D(p∗) = 3, 250

el punto de equilibrio es(p∗, q∗) = (150, 3250).

Esto significa que la cantidad demandada de 3250 celulares por los consumidoreses satisfecha por los vendedores, mientras cada celular se mantiene al precio de150 soles.


VALOR ABSOLUTO Y RAIZ CUADRADA

La función f (x) = |x| se lee valor absoluto de x y se define como sigue

|x| ={

x si x ≥ 0−x si x < 0

El valor |x|mide la distancia de x al origen. Por tanto, |x| es siempre mayor oigual a cero. La figura abajo muestra una tabla de los valores x y |x|. La gráficadescribe una forma de V y tiene punta en el origen. Como vemos, el dominio esel conjunto R de números reales y el rango es el conjunto R≥0 de números realesmayores o iguales a cero.

x |x |-4 4

-2 2

-1 1

0 0

1 1

2 2

4 4

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

1

2

3

45

x

y

-1

-2

-3

-4

-5

dominio

rango

Ejemplo 1.1.19. (Clima). En una loca-lidad de la Patagonia, la temperatura engrados Farenheit durante el año, se mode-la por la función

f (T) = |T + 10|

Se sabe que estos valores son menores a 20grados Farenheit. Interpretar T. v

iaje

salp

asad

o.c

om

Solución. Como los valores son menores a 20 grados Farenheit, obtenemos lainecuación

f (T) = |T + 10| < 20

Ahora bien, tenemos dos situaciones: T + 10 ≥ 0 o T + 10 < 0.En el primer caso resulta T + 10 < 20, o sea, T < 10.En el segundo caso resulta −(T + 10) < 20, o sea, T > −30. En conclusión, la

temperatura T varía desde −30◦F hasta 10◦F.


La función f (x) =√

x se lee raíz cuadrada de x, que resulta de la únicasolución positiva y de la ecuación

y2 = x

La raíz cuadrada de un número existe sólo para valores positivos, incluído el cero,o sea, el dominio está constituido por el conjunto R≥0; además, el rango de estafunción es el conjunto R≥0. Su gráfica es una curva creciente que comienza en elorigen y se va curvando hacia abajo a medida que aumenta la entrada x.

Su gráfica se muestra en la figura abajo

x f (x) =√

x

0 0

1 1

4 2

9 3 1 2 3 4 5

1

2

3

45

x

y

dominio

rango

6 7 8 9 10

Ejemplo 1.1.20. (Movimiento de unpéndulo). El periodo de un péndulo es eltiempo requerido por por el péndulo paramoverse de un lado a otro un ciclo com-pleto. El periodo t en (segundos) es unafunción de la longitud l del péndulo, y sedefine mediante

t = f (l) = 2π

√l

9.8

l

Hallar el periodo de un péndulo cuya longitud es 40 centímetros.

Solución. En realidad, nuestra fórmula sólo es válida para oscilaciones muypequeñas, o sea, el ángulo debe ser bien próxima al cero. Por otra parte, l está enmetros y debemos sustituir l = 40 cm = 0.4 m en la fórmula para tener

t = 2π

√l

9.8= 2π

√0.49.8≈ 0.12

Por tanto, el periodo es aproximadamente 0.12 s.


1.1.3. Operaciones Aritméticas de Funciones

En este apartado veremos que las funciones se parecen a los números, es decir,se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir. Por ejemplo, si f (x) = x2 + 1 yg(x) = x + 3, entonces

f (x) + g(x) = (x2 + 1) + (x + 3) = x2 + x + 4

La nueva función y = x2 + x + 4 se llama función suma f + g. Similarmente,

f (x) · g(x) = (x2 + 1) · (x + 3) = x3 + 3x2 + x + 3

y la función y = x3 + 3x2 + x + 3 se llama función producto f · g.

Definición 1.1.6. Las operaciones aritméticas de f con g producen:

(i) La suma f + g es la función definida por

( f + g)(x) = f (x) + g(x) .

(ii) La diferencia f − g es la función definida por

( f − g)(x) = f (x)− g(x) .

(iii) El producto f · g es la función definida por

( f · g)(x) = f (x).g(x) .

(iv) El cocientefg

es la función definida por

( fg

)(x) =

f (x)

g(x).

Observación 1.1.1. La suma f + g, la diferencia f − g y el producto f · g tienencomo dominio

dom( f + g) = dom( f − g) = dom( f · g) = dom( f ) ∩ dom(g)


Sin embargo, el cocientefg

tiene como dominio

dom(

fg

)= dom( f ) ∩ dom(g) ∩ {x : g(x) ̸= 0}

Ejemplo 1.1.21. Sean f y g dos funciones definidas por

f (x) =1

x− 1y g(x) =

xx + 2

.

En cada caso, determine su dominio y halle el respectivo valor.

(i) ( f + g)(x) (ii) ( f − g)(x) (iii) ( f · g)(x) (iv)( f

g

)(x)

Solución. El dominio de f es {x : x ̸= 1} y el dominio de g es {x : x ̸= −2}.(i) En este caso el dominio de f + g es {x : x ̸= 1, x ̸= −2}. Además

( f + g)(x) = f (x) + g(x)

=1

x− 1+

xx + 2

=(x + 2) + x(x− 1)

(x− 1)(x + 2)=

x2 + 2(x− 1)(x + 2)

.

(ii) En este caso el dominio de f − g es {x : x ̸= 1, x ̸= −2}. Además

( f − g)(x) = f (x)− g(x)

=1

x− 1− x

x + 2

=(x + 2)− x(x− 1)

(x− 1)(x + 2)=−x2 + 2x + 2(x− 1)(x + 2)

.

(iii) En este caso el dominio de f · g es {x : x ̸= 1, x ̸= −2}. Además

( f · g)(x) = f (x).g(x) =1

x− 1· x

x + 2=

x(x− 1)(x + 2)

(iv) Desde que( f

g

)(x) =

f (x)

g(x)=

1x− 1

xx + 2

=x + 2

x(x− 1). En este caso el dominio

de( f

g

)es {x : x ̸= 1, x ̸= −2, x ̸= 0}.


COSTO TOTAL, INGRESO TOTAL Y GANANCIA

La ganancia G(x) en una empresa sobre la cantidad x de productos vendidos,es la diferencia entre el ingreso total I(x) y el costo total de producción C(x), esdecir

G(x) = I(x)− C(x)

donde

G(x) = Ganancia por la venta de x unidades

I(x) = Ingreso por la venta de x unidades

C(x) = Costo de producción de las x unidades

En general, el ingreso se calcula mediante la ecuación

Ingreso = (precio por unidad)(número de unidades)

El costo se compone de dos partes: costo fijo y costo variable. El costo fijo tal co-mo la renta, pago de sueldos y publicidad, se mantiene constante independientedel número de unidades producidas. El costo variable se relaciona directamentecon el número de unidades producidas. Así que el costo se calcula mediante laecuación

Costo = costo variable + costo fijo

Ejemplo 1.1.22. (Ganancia en una cor-poración). Una importante corporacióntiene un ingreso modelado por la funciónI(t) = 40 + 2t, donde t es el número deaños desde el 2003 y I(t) está en millonesde dólares. Su costo de operación es mo-delado por la función C(t) = 35 + 1.6t,donde t es el número de años desde el2003 y C(t) está en millones de dólares. w

eb.e

art

hshif

t.com

Hallar la función de ganancia para dicha corporación.Solución. Desde que la ganancia G(t) es igual al ingreso menos el costo, po-

demos escribirG(t) = I(t)− C(t)

Sustituyendo las expresiones para I(t) y C(t), obtenemos

G(t) = (40 + 2t)− (35 + 1.6t) = 40 + 2t− 35− 1.6t = 5 + 0.4t

Así que la función de ganancia es G(t) = 5 + 0.4t, donde t es el número de añosdesde el 2003.


Ejemplo 1.1.23. (Ganancia en la ventade perfumes). Considere una fábrica queproduce una marca de perfume y vendecada unidad a 65 soles. El costo que re-sulta en la producción entre la publicidad,salarios y otros gastos es de 200,000 so-les, más 15 soles que resulta producir cadaperfume. Determinar la función de ganan-cia que resulta de vender x unidades. d

onnec

once

pts

tore

.com

Solución. El ingreso total cuando se venden x unidades es 65x, así que lafunción de ingreso es I(x) = 50x. El costo fijo es de 200,000 soles, así que el costototal en la producción de x unidades es 15x + 200, 000. Así que la función de costoes C(x) = 15x + 200, 000. La función de ganancia se calcula mediante

G(x) = I(x)− C(x) .

Por tanto,G(x) = 65x− (15x + 200, 000) = 50x− 200, 000

Las gráficas de I(x), C(x) y G(x) se muestran en la figura abajo

x

I x( )

x

C( )x

x

G( )x

4000

200000

-200000

I x( ) = 65xC( )x = 15x + 200000

G( )x = 50x - 200000

Observe a partir de las gráficas lo siguiente:

Ingreso : 0 unidades no producen ingreso; I(0) = 0

Costo : 0 unidades producen un costo fijo de 200,000 soles; C(0) = 200, 000

Ganancia : 0 unidades dan una pérdidad de 200,000 soles; G(0) = −200, 000

4, 000 unidades no producen ganancia ni pérdida; G(4, 000) = 0


1.1.4. Composición de Funciones

En situaciones reales es común encontrarnos con ejemplos donde la salida deuna función depende de una entrada, y donde ésta a su vez depende de otra.Esta combinación se llama composición de funciones. Ilustremos este hecho conel siguiente ejemplo: supongamos que un estudiante de ingeniería, en su curso dequímica necesita una fórmula para convertir la temperatura de grados Fahrenheita grados Kelvin. La fórmula

c(t) =59(t− 32)

le ayuda a calcular la temperatura de grados Fahrenheit a grados Celcius. Porotro lado, la fórmula

k(c) = c + 273

le ayuda a calcular la temperatura de grados Celcius a grados Kelvin.

Por tanto, 50◦ grados Fahrenheit co-rresponde a

c(50) =59(50− 32) = 10◦ Celcius

y 10◦ celcius corresponde a

k(10) = 10 + 273 = 283◦ Kelvin

212 100 373

32 0 273

-460 -273 0

50 10 283

F C K

O sea que, 50◦ grados Fahrenheit equivale a 283◦ grados Kelvin. Estos dosprocesos se pueden utilizar para convertir grados Fahrenheit a Kelvin.

Una manera directa de hacer esta convesión es haciendo a partir de,

c(t) =59(t− 32) y k(c) = c + 273

la fórmula

(k ◦ c)(t) = k(c(t)) = k(

59(t− 32)

)=

59(t− 32) + 273 =

5t + 22979

Si ahora utilizamos esta fórmula tenemos

(k ◦ c)(50) =5(50) + 2297

9= 283.


Definición 1.1.7. Dadas dos funciones f y g, definimos la composición de f cong, denotada por g ◦ f , como la función

(g ◦ f )(x) = g[ f (x)]

Podemos pensar de la composición g ◦ f como una máquina que está com-puesta por otras dos g y f , que actúan juntas para fabricar el mismo producto.Al ingresar la entrada x, la función interna f es la primera en procesar la entradax para producir la salida f (x); a continuación se convierte en una entrada para lafunción externa g que se encarga de procesar la nueva entrada f (x) que da comoresultado la nueva salida g( f (x)). El siguiente dibujo ilustra este procedimiento.

x

y = f x( (

f x( (

y =g x( (

f x( (( (g

Ejemplo 1.1.24. Sean f (x) = x + 1 y g(x) = x2. Calcular

( f ◦ g)(x) y (g ◦ f )(x) .

Solución. Podemos ver que ambas funciones tienen como dominio a R, y susvalores son números reales. Ahora bien,

f (g(x)) = f (x2) = x2 + 1 y g( f (x)) = g(x + 1) = (x + 1)2.

Ejemplo 1.1.25. Sean f (x) = 2x− 3 y g(x) =√

x. Calcular

( f ◦ g)(x) y (g ◦ f )(x) .


Solución. Debemos notar que g(x) =√

x está definida para todo x ≥ 0.Entonces para estos valores se tiene

f (g(x)) = f (√

x) = 2√

x− 3 .

Por otro lado,g( f (x)) = g(2x− 3) =

√2x− 3 .

Pero esta última ecuación es posible teniendo en cuenta que 2x − 3 ≥ 0, o sea,x ≥ 3/2.

Ejemplo 1.1.26. (Recuento de bacte-rias). Después de modelar un experimen-to bacteriológico, el número N de bacte-rias en una comida congelada es dada por

N(T) = 20T2 − 80T + 500,

donde T es la temperatura de la comida engrados centígrados, siendo 2 ≤ T ≤ 14. s

cin

exx.d

e

Cuando la comida es sacada de la refrigeración, su temperatura es dada por

T(t) = 4t + 2, 0 ≤ t ≤ 3

donde t es el tiempo en horas.

(i) Hallar la composición (N ◦ T)(t) y explicar el significado.

(ii) Determinar el tiempo cuando el recuento de la bacteria es de 2000.

Solución.

(i) N(T(t)) = 20(4t + 2)2 − 80(4t + 2) + 500

= 20(16t2 + 16t + 4)− 320t− 160 + 500

= 320t2 + 320t + 80− 320t− 160 + 500

= 320t2 + 420 .

La composición N(T(t)) representa el número de bacterias en la comida comouna función del tiempo cuando la comida sale de la refrigeración.

(ii) El recuento de la bacteria debe ser 2000 cuando 30t2 + 420 = 2000. Resol-viendo esta ecuación conseguimos que t ≈ 2.2 horas. Cuando se resuelve estaecuación omitimos la solución negativa debido a que no pertenece al dominio dela composición.


Observación 1.1.2. Debemos destacar lo siguiente: cada vez que realicemos lacomposición ( f ◦ g)(x) = f [g(x)], el valor g(x) está en el dominio de f , por esomismo tiene sentido la expresión f [g(x)]. Más precisamente, la composición exis-te si y sólo si

ran(g) ⊆ dom( f ) .

Otras fórmulas que debemos tener presentes son las siguientes:

dom( f ◦ g) = dom(g) y ran( f ◦ g) = ran( f ) .

Ejemplo 1.1.27. Consideremos

f (x) =1√

1− x2y g(x) =

√x2 − 1

x

(i) Calcular la composición f ◦ g ¿qué fórmula se obtiene?

(ii) ¿Cuál es el dominio de f ◦ g? ¿y el de g ◦ f ?

Solución. Calculemos dom( f ) y dom(g). Debemos tener

1− x2 > 0 ⇔ x2 < 1 ⇔ |x| =√

x2 < 1 ⇔ x ∈ (−1, 1)

Luego dom( f ) = (−1, 1). Por otra parte, g(x) está definida para todo x tal quex2 − 1 ≥ 0 y x ̸= 0. Desde que

x2 − 1 ≥ 0 ∧ x ̸= 0 ⇔ |x| ≥ 1 ∧ x ̸= 0 ⇔ x ∈ (−∞,−1] ∪ [1,+∞)

conseguimos que dom(g) = (−∞,−1] ∪ [1,+∞).(i) Para conocer la fórmula de f ◦ g, debemos tener que ran(g) ⊆ dom( f ).

Ahora bien, dado x ∈ dom(g)

y =

√x2 − 1

x⇔ xy =

√x2 − 1

⇔ x2y2 = x2 − 1

⇔ x2(1− y2) = 1

⇔ x2 =1

1− y2sólo cuando 1− y2 ̸= 0

⇔ x = ± 1√1− y2

sólo cuando 1− y2 > 0


Se sigue que ran(g) = (−1, 1) = dom( f ). Por tanto, para x ∈ dom(g)

f (g(x)) = f

(√x2 − 1

x

)

=1√√√√1−

(√x2 − 1

x

)2

=

{x si x ≥ 1−x si x ≤ −1

(ii) De la parte inicial se sigue que

dom( f ◦ g) = dom(g) = (−∞,−1] ∪ [1,+∞).

Finalmente, para x ∈ dom( f )

y =1

√1− x2

⇔ y2 =1

1− x2

⇔ y2(1− x2) = 1

⇔ x2y2 = y2 − 1

⇔ x2 =y2 − 1

y2≥ 0 sólo cuando y ̸= 0

⇔ x =

√y2 − 1

|y|sólo cuando y ̸= 0

En este caso tenemos que ran( f ) = (−∞,−1] ∪ [1,+∞). Por tanto, para x ∈dom( f )

g( f (x)) = g

(1√

1− x2

)

=

√√√√( 1√1− x2

)2

− 1

1√1− x2

=

{x si 0 ≤ x < 1−x si −1 < x < 0


1.1.5. Funciones Inyectivas y sus Inversas

Consideremos las siguientes funciones

Barrio donde vive

CarlosJoséMartin

PaulaTeresaMilagros

Los Olivos

Puente Piedra

Ingeniería

Vitarte

Lurín

El cubo del número

1 1

2 8

3 27

4 64

5 125

La diferencia entre estas funciones es que la primera se caracteriza por queuna de las salidas (o sea, Lurin) proviene de dos entradas (José y Paula). Por otrolado, en la segunda función observamos que cada salida proviene de una únicaentrada. Esta es la noción de función inyectiva.

Definición 1.1.8. Decimos que una función f es inyectiva si para cada b ∈ ran( f ),existe un único a ∈ dom( f ) tal que f (a) = b.

Ejemplo 1.1.28. Veamos que la función f (x) = x + 1 es inyectiva.

Solución. Notemos que

dom( f ) = R, ran( f ) = R e y = x + 1 ∈ ran( f )

ademásy = x + 1 si y sólo si x = y− 1.

Luego, dado y ∈ ran( f ), existe x = y− 1 que es único y

f (x) = f (y− 1) = (y− 1) + 1 = y

Muchas veces resulta dificultoso verificar que una función es inyectiva, sinembargo el siguiente criterio geométrico nos ayuda a identificar de manera sim-ple este tipo de funciones.


Test de la recta horizontal. Podemos iden-tificar funciones inyectivas gráficamente:para esto debemos darnos cuenta que alintersecar a la gráfica de la función conuna recta horizontal en cualquier parte dela curva, entonces debemos conseguir sóloun punto de intersección.

x

y

Observación 1.1.3. Una manera equivalente de decir que f es inyectiva es la si-guiente :

Dados a1, a2 ∈ dom( f ) tal que f (a1) = f (a2), entonces a1 = a2.

Ejemplo 1.1.29. Utilicemos la observación anterior para mostrar que la fun-ción f del ejemplo 1.1.28 es inyectiva.

Solución. Sean x1, x2 ∈ dom( f ) tal que

f (x1) = f (x2),

o sea,x1 + 1 = x2 + 1 que implica x1 = x2.

Por tanto, f es inyectiva.

Ejemplo 1.1.30. La función f (x) = x2 definida en R no es inyectiva ya quepara los números x = −1 y x = 1 tenemos

f (−1) = 1 = f (1) .

Observación 1.1.4. Cuando queremos verificar que una función es inyectiva, de-bemos tener en cuenta el dominio sobre el que trabajamos. Puede suceder queuna función no sea inyectiva en su dominio natural; sin embargo, al restringirel dominio la función resulte inyectiva. Por ejemplo, si consideramos la funciónanterior f (x) = x2, ya sabemos que no es inyectiva en R, pero sobre el conjuntoR≥0 resulta inyectiva.

Ejemplo 1.1.31. Determinar analíticamente si cada una de las funciones esinyectiva.

(i) f (x) =3x + 52x− 3

(ii) g(x) =√

4x + 1 (iii) h(x) = (x− 2)2 + 3


Solución. (i) En este caso, la única restricción para el dominio de f se consi-gue haciendo

2x− 3 ̸= 0 si y sólo si x ̸= 32

O sea, dom( f ) = R \{

32

}. Luego

y =3x + 52x− 3

⇔ y(2x− 3) = 3x + 5

⇔ 2xy− 3y = 3x + 5

⇔ 2xy− 3x = 3y + 5

⇔ x(2y− 3) = 3y + 5

⇔ x =3y + 52y− 3

sólo cuando 2y− 3 ̸= 0 .

Aquí, la restricción para y también se consigue de 2y− 3 ̸= 0, o también, y ̸= 3/2.

Luego, ran( f ) = R \{

32

}. Además

f (x) = f(

3y + 52y− 3

)=

3(

3y + 52y− 3

)+ 5

2(

3y + 52y− 3

)− 3

=3(3y + 5) + 5(2y− 3)2(3y + 5)− 3(2y− 3)

= y

Por tanto, f es inyectiva.(ii) Aquí el dominio de g se consigue haciendo

4x + 1 ≥ 0 si y sólo si x ≥ −14

O sea que, dom(g) = [−1/4,+∞). Ahora bien, si y =√

4x + 1 ≥ 0

y =√

4x + 1 ⇔ y2 = 4x + 1 ⇔ x =y2 − 1

4

Del primer término es claro que ran(g) = [0,+∞). Además

g(x) = g

(y2 − 1

4

)=

√4(

y2 − 14

)+ 1 =

√y2 = |y| = y

y g resulta inyectiva.(iii) Desde que h(x) = (x− 2)2 + 3 es una función polinómica, su dominio es

R y se deduce fácilmente que su rango es [3,+∞). Por otro lado, esta función noes inyectiva, ya que

h(1) = (1− 2)2 + 1 = 2 y h(3) = (3− 2)2 + 1 = 2.


INVERSA DE UNA FUNCIÓN

Si f es una función inyectiva, sabemos que existe una flecha

f

f( (aa

dominio de f rango de f

Así que dado b ∈ ran( f ), existe (debido a la inyectividad) un único a ∈dom( f ) tal que f (a) = b. Esto nos permite considerar la nueva función f−1(b) =a, lo que nos da la nueva flecha

f

f ( (bb

dominio de frango de f

-1

-1

a=

Se sigue de la definición que

( f−1 ◦ f )(a) = a para todo a ∈ dom( f ) y ( f ◦ f−1)(b) = b para todo b ∈ ran( f )

En este caso decimos que f es biyectiva y llamamos a f−1 la inversa de f .

Observación 1.1.5. La definición anterior nos dice que: la función f es biyectivasi existe una función g tal que

g( f (a)) = a y f (g(b)) = b

Más precisamente, cuando una función es biyectiva, su inversa también lo es.

Juntando las dos flechas anteriores podemos observar el comportamiento deambas funciones simultáneamente:

f

f

f( (xx

-1

dominio de f

dominio de f -1

rango de f

rango de f -1


Ejemplo 1.1.32. (Talla de pantalón). La siguiente tabla muestra talla de pan-talones en el Perú y la correspondiente talla en Estados Unidos. Sea y = f (x)la función que da la talla de pantalón en EE.UU correspondiendo a la talla depantalón x en el Perú.

Talla de pantalón en Perú Talla de pantalón en EE.UU

28 38

30 40

32 42

34 44

36 46

(i) ¿Es f inyectiva?

(ii) Hallar f (32).

(iii) Hallar f−1(44).

(iv) Hallar f−1( f (28)).

(v) Hallar f ( f−1(46)).

Solución. (i) De la tabla vemos que el dominio está formado por todas lastallas de pantalón en el Perú, o sea

dom( f ) = {28, 30, 32, 34, 36}

y también vemos que el rango está formado por las correspondientes tallas enEE.UU, es decir

ran( f ) = {38, 40, 42, 44, 46}

Desde que a cada talla del dominio le corresponde una única talla en el rango yrecíprocamente, vemos que la función es biyectiva.

(ii) f (32) = 42 .

(iii) f−1(44) = 34 .

(iv) f−1( f (28)) = f−1(38) = 28 .

(v) f ( f−1(46)) = f (36) = 46 .


Ejemplo 1.1.33. Es fácil verificar que las funciones

f (x) = x + 2 y g(x) = x− 2

son una inversa de la otra. En efecto, notemos que

(g ◦ f )(x) = g( f (x)) = g(x + 2) = (x + 2)− 2 = x

y

( f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x− 2) = (x− 2) + 2 = x

Esto muestra que f−1 = g y g−1 = f .

Ejemplo 1.1.34. La función f (x) = x2 tiene por dominio a R y por rango a[0,+∞). Su inversa es la función g(y) =

√y.

Ejemplo 1.1.35. La función lineal f (x) = 2x + 1 tiene por dominio y rango a

R. Su inversa es la función g(y) =y− 1

2.

Ejemplo 1.1.36. Para cada una de las siguientes funciones, hallar el dominioy rango para que resulte biyectiva. A continuación calcular f−1.

(i) f (x) = 3x− 7 (ii) f (x) =4x + 3x + 2

(iii) f (x) = −2√

x + 3

(iv) f (x) =x + 4x− 3

(v) f (x) = −2(x + 1)2 + 3 (vi) f (x) = x2 − 2x + 2

Solución. (i) La función f (x) = 3x − 7 está definida para todo x ∈ R; portanto, dom( f ) = R y es fácil ver que ran( f ) = R. La función definida por g(y) =(y + 7)/3 es su inversa. En efecto

f [g(y)] = f(

y + 73

)= 3

(y + 7

3

)− 7 = y

y

g[ f (x)] = g(3x− 7) =(3x− 7) + 7

3= x

(ii) La función f (x) =4x + 3x + 2

tiene por dominio a R \ {−2}. Además,

y =4x + 3x + 2

⇔ y(x + 2) = 4x + 3

⇔ yx + 2y = 4x + 3


⇔ yx− 4x = 3− 2y

⇔ x(y− 4) = 3− 2y

⇔ x =3− 2yy− 4

sólo cuando y ̸= 4

O sea que, ran( f ) = R \ {4}. Su inversa es la función definida por

g(y) =3− 2yy− 4

.

(iii) La función f (x) = −2√

x + 3 está definida para todo x ≥ 0, luegodom( f ) = [0,+∞). Por otro lado

0 ≤ x ⇔ 0 ≤√

x ⇔ −2√

x ≤ 0 ⇔ −2√

x + 3 ≤ 3

Esto nos dice que ran( f ) = (−∞, 3]. Además f es biyectiva con inversa

g(y) =(

3− y2

)2

.

(iv) Resulta fácil por imitar la solución (ii).(v) Desde que f (x) = −2(x + 1)2 + 3 ≤ 3, es fácil garantizar que ran( f ) =

(−∞, 3]. Por otro lado, para y ≤ 3 tenemos

y = −2(x + 1)2 + 3 ⇔ 3− y = 2(x + 1)2 ⇔ x = −1±√

3− y2

Luego el único valor x para el cual f (x) = y sucede cuando

x = −1 +

√3− y

2o x = −1−

√3− y

2

en cada caso tenemosx ≥ −1 ó x ≤ −1

Ahora bien, para que f resulte biyectiva, basta considerar dom( f ) = [−1,+∞) ódom( f ) = (−∞,−1]. En este caso, la inversa es

g(y) = −1 +

√3− y

2o g(y) = −1−

√3− y

2

según sea el caso.(vi) Es similar a la solución (v). En este caso sólo debemos tener en cuenta que

podemos escribirf (x) = x2 − 2x + 2 = (x− 1)2 + 1.


1.1.6. Funciones Crecientes y Decrecientes

Intuitivamente, una función es creciente cuando la salida aumenta a medidaque la la entrada aumenta, y es decreciente cuando la salida disminuye a medidaque la entrada crece.

Por ejemplo, la gráfica abajo muestra el precio del dolar en el Perú entre losaños 1993 al 2012

1993 1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007 2009 2011

2.70

2.80

2.90

3.00

3.10

3.20

3.30

3.40

Pre

cio

del

dóla

r

Años

2012

Esta es claramente una función decreciente ya que la salida disminuye a me-dida que la entrada aumenta.

Otros modelos de funciones crecientes o decrecientes son:

(i) La cantidad de bacterias que se reproducen luego de ser infectado un orga-nismo es una función creciente como función del tiempo.

(ii) El desarrollo tecnológico a nivel de computación desde la década del 70.Steve Jobs introdujo el primer modelo de computadora Apple en 1976 yhasta nuestros días el desarrollo tecnológico no ha dejado de crecer.

(iii) Los capitales invertidos en el 2011 fueron realizados por un total de 476empresas mineras ubicadas en diversas regiones del Perú. Esta tendenciadel flujo de capitales en la minería fue creciente a lo largo el 2011.

Se considera que este récord histórico de inversión anual de la minería pe-ruana en el 2011, podría descender en el 2012, como consecuencia del man-tenimiento del conflicto Conga y otros proyectos mineros como Tía María,Rio Blanco y otros.


Definición 1.1.9. Sea f una función.

(i) f es una función creciente si para todo x1, x2 ∈ dom( f ), se tiene

x1 < x2 implica f (x1) < f (x2) .

(ii) f es una función decreciente si para todo x1, x2 ∈ dom( f ), se tiene

x1 < x2 implica f (x1) > f (x2) .

Gráficamente

x1 x2

x1f ( (

x2f ( (

x

y

x1 x2

x1f ( (

x2f ( (

x

y

Creciente Decreciente

Ejemplo 1.1.37. La función definida por f (x) = 2x + 1 es creciente en todosu dominio. En efecto, si x1, x2 ∈ R con x1 < x2, entonces

x1 < x2 ⇒ 2x1 < 2x2 ⇒ 2x1 + 1 < 2x2 + 1 ⇒ f (x1) < f (x2) .

Ejemplo 1.1.38. La función f definida por f (x) = x2 es creciente en [0,+∞)

y decreciente en (−∞, 0]. En verdad, si x1, x2 ∈ R con x1 < x2, entonces

x22 − x2

1 = (x2 − x1)(x2 + x1) > 0 si x1, x2 ∈ [0,+∞)

yx2

2 − x21 = (x2 − x1)(x2 + x1) < 0 si x1, x2 ∈ (−∞, 0]

Ejemplo 1.1.39. La función f : R→ R definida por f (x) = x3 es creciente enR. En verdad, si x1, x2 ∈ R con x1 < 0 < x2, entonces claramente x3

1 < 0 < x32.


Por otro lado, si x1, x2 ∈ [0,+∞) o x1, x2 ∈ (−∞, 0] con x1 < x2, entonces

x32 − x3

1 = (x2 − x1)(x22 + x2x1 + x2

1) > 0

Ejemplo 1.1.40. En la figura de la dere-cha, cada cuadradito tiene lado 1, y los ejesx e y se intersecan en el origen de coorde-nadas (0, 0). Aquí la gráfica de la funciónes formada por los dos pedazos de curvas(uno a la izquierda del eje y y el otro a laderecha del eje y). Según vemos, la fun-ción crece en el intervalo [−6,−2] ∪ [5, 7]pero decrece en el intervalo [1, 5].

x

y

MONOTONÍA DE FUNCIONES HOMOGRÁFICAS

Muchas veces trataremos con funciones homográficas, que son funciones dela forma

f (x) =ax + bcx + d

donde ad− bc ̸= 0 .

Teorema 1.1.41. La función homográfica f (x) =ax + bcx + d

es

(i) Creciente si ad− bc > 0.

(ii) Decreciente si ad− bc < 0.

Algunos ejemplos se muestran en las gráficas.

23

x

y

f ( (x =x2 +3x3 - 2

2

x

y

23

23

f ( (x =x-3x -2

Decreciente Creciente

Lord Barrera - Sección 1.2. Funciones Elementales y sus Aplicaciones 55

1.2. Funciones Elementales y sus Aplicaciones

En esta sección estudiaremos algunos modelos de funciones elementales talescomo función constante, lineal, cuadrática, polinómica y racional. Estas funcio-nes nos permitirán comprender los principales conceptos del cálculo diferenciale integral desarrollado a lo largo del libro.

1.2.1. Función Constante

En nuestra vida cotidiana estamos familiarizados con funciones constantes.Aunque por abuso de lenguaje empleamos este término para referirnos a una si-tuación que acontece de manera repetitiva, podemos pensar de una función cons-tante como una correspondencia que admite la misma salida para cada entrada.

Consideremos por ejemplo el caso de 10familias a quienes se les hace una pro-moción de instalación telefónica. Digamosque el costo fijo por instalación de cada fa-milia es de 40 soles. Esto significa que cadafamilia (que es la entrada) deberá realizarel único pago 40 (que es la salida). La grá-fica de esta función se ve en la figura abajo.

crm

socia

lmedia

.com

Esta función se expresa mediante

f (x) = 40, 1 ≤ x ≤ 10 .

Ubicamos los puntos 1, 2, . . . , 10 en el eje xy sus respectivos valores

f (1) = f (2) = . . . = f (10) = 40

en el eje y. La gráfica es una línea horizon-tal punteada que pasa por el nivel y = 40.

y

1

x

2 3 4 5 6 7 8 9 10

40

Cuando trabajamos con funciones constantes, por lo general la entrada puedevariar en el conjunto de números reales como vemos en la definición.


Definición 1.2.1. Una función constante es una función de la forma

f (x) = c, donde c ∈ R

el dominio natural es el conjunto de números reales.

Su gráfica es una recta paralela al eje deabscisas, que pasa por el nivel y = c. De lagráfica, el dominio es claramente

dom( f ) = A

y el rango el conjunto

ran( f ) = {c} .x

y

A

c

x

Ejemplo 1.2.1. La función f (x) = 2 hace corresponder a cada número real x

el valor 2. Así por ejemplo

f (−1) = f (3) = f (1) = f (0) = f (5) = 2.

El dominio de esta función es el conjuntoR de números reales y su rango es

ran( f ) = {2}.

Su gráfica es una recta horizontal que pasapor el nivel y = 2.

y

x

2

Ejemplo 1.2.2. Otros ejemplos de funciones constantes son las siguientes

(i) f (x) = 10 (ii) f (x) =√

2 (iii) f (x) = π (iv) f (x) = ln 2 .

Estudiemos a continuación otro tipo importante de función elemental: consis-te de la función lineal, que es comúnmente utilizada en negocios y economía.


1.2.2. Función Lineal

Un modelo de la vida cotidiana: Alguna vez alguién le contó que en EstadosUnidos, cuando usted contrata un taxi para trasladarse de un barrio a otro, el

taxímetro del auto le marca inmediata-mente un precio, digamos $ 3.30. Despuésque inicia el viaje, el taxímetro debe aña-dirle $ 2.40 cada kilometro que recorre. Enesta situación, la tarifa total del taxi de-pende al número de kilometros recorri-dos. Ahora nos preguntamos si es posiblemodelar esta situación con una función. th

eage.

com

.au

Solución. Usando variables, podemos elegir x para la distancia en kilómetrosy C para el costo en dólares como una función de la distancia: y nuestra funciónserá C = C(x).

Sabemos que C(0) = 3.30 ya que 3.30 se marca independientemente de cuan-tos kilómetros se recorrerán. Desde que la factura $ 2.40 se agrega por cada kiló-metro recorrido, entonces C(1) = 3.30 + 2.40 = 5.70.

Si recorriéramos un segundo kilómetro, entonces otros $ 2.40 serán agregadosal costo:

C(2) = 3.30 + 2.40 + 2.40 = 3.30 + 2.40(2) = 8.10

Si recorriéramos un tercer kilómetro, otros $ 2.40 serán agregados al costo:

C(3) = 3.30 + 2.40 + 2.40 + 2.40 = 3.30 + 2.40(3) = 10.50

En general, si recorriéramos x kilómetros,entonces el costo resulta

C(x) = 3.30 + 2.40x

pues, empezamos con una tarifa reducidade $ 3.30 y entonces por cada kilómetro re-corrido aumenta $ 2.40. Eso es correcto pa-ra verificar que las unidades den sentido aesta ecuación.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

10

20

30

40

50

60

x

xC( (

Es importante notar que en esta ecuación, el promedio de cambio es constantesobre cualquier intervalo. Este tipo de variación es llamado lineal.


Un modelo de la física: Supongamos que tenemos un resorte atado a un ob-jeto quieto, y supongamos que jalamos el resorte una distancia de x unidades.Ahora bien, si el resorte es rígido deberíamos emplear mucha fuerza, mientrasque si no es rígida haríamos un menor esfuerzo. Los físicos determinaron que lafuerza necesaria para desplazar el objeto x unidades de su posición original esdada por F = kx, donde k es una constante que depende del estiramiento delresorte. Esto se conoce como la Ley de Hooke.

A partir de los siguientes datos

x 1 2 3 4 5

F 2 4 6 8 10

F = kx

Hallemos la función que satisface el esquema gráfico.

Solución. Debemos recordar que la Leyde Hooke es dada por

F(x) = kx.

Para hallar el valor de k, es suficiente susti-tuir cualquier par de correspondientes va-lores (x, F) en la ecuación y vemos fácil-mente que k = 2. Esto es F = 2x.

F

x

1 2 3 4 5

2

4

6

8

10

Un modelo de los negocios: La tabla abajo muestra el porcentaje de empresasque aún se mantienen vigentes luego de un número de años de operación

Años 5 6 7 8 9 10

Porcentaje de empresas 50 47 44 41 38 35

En base a la tabla observamos en la figura abajo que los incrementos en lassucesivas salidas son constantes:


50 47 44 41 38 35

47 50- 44 47- 41 44- 38 41- 35 38-

3= - 3= - 3= - 3= - 3= -

Debido a que las diferencias calculadas son constantes, la tabla anterior sepuede modelar perfectamente por una función lineal. El incremento constante(−3 por ciento por año) es la razón de cambio del porcentaje de empresas quesobreviven.

La inclinación para este modelo lineal esde −3 por ciento por año. Si el quinto añode vigencia de una empresa se represen-ta por t = 0 y el valor con que comien-za nuestro modelo es del 50 %, entoncesP(t) = −3t + 50 por ciento es la ecuaciónpara nuestro modelo, que significa el por-centaje de empresas que están en vigencialuego de t + 5 años de operación. 0 1 2 3 4 5

45

35

40

50P t( )

t

Sin más preámbulos, definimos una función lineal

Definición 1.2.2. Una función lineal es una función de la forma

f (x) = mx + b donde m ̸= 0

Su dominio natural es el conjunto R de números reales.

Su gráfica es una línea recta con pendientem que interseca al eje y en el punto (0, b). Eldominio natural es claramente

dom( f ) = R

y el rango el conjunto

ran( f ) = R .

x

y=f (x ( xm +b

b ((0,


Ejemplo 1.2.3. La función lineal f (x) = 2x + 3 tiene la siguiente gráfica:

x

y

3

-3

2

y = x2 +3

Esta gráfica resulta de los siguientes datos:

(i) Hacer y = 2x + 3.

(ii) Determinar dos puntos de la recta, por ejemplo

Si x = 0, entonces y = 3 y obtenemos el primer punto (0, 3)

Si y = 0, entonces x = −32

y obtenemos el segundo punto(−3

2, 0)

(iii) A continuación ubicamos estos dos puntos en el plano. La gráfica de la fun-ción f (x) = 2x + 3 es la recta que pasa por estos dos puntos.

Observación 1.2.1. Para graficar la función lineal

f (x) = ax + b,

debemos tener en cuenta los siguientes pasos:

(i) Hacer y = ax + b. Los valores x se ubican en el eje de abscisas y los valoresy en el eje de ordenadas.

(ii) Determinar dos puntos de la recta (x1, y1) y (x2, y2). Una manera fácil dedeterminar estos puntos es haciendo primero x = 0 y luego y = 0.

Si x = 0, entonces y = b y obtenemos el primer punto (0, b)

Si y = 0, entonces x = −ba

y obtenemos el segundo punto(−b

a, 0)

(iii) A continuación ubicar estos dos puntos en el plano. La gráfica de la funciónf (x) = ax + b es la recta que pasa por estos dos puntos.


Ejemplo 1.2.4. (Un modelo de depre-ciación lineal). La depreciación lineal secaracteriza porque expresa el valor de unamáquina en función del tiempo. Supongaque una compañía compro un lote de au-tos para su personal al precio de 24000 dó-lares por auto. La compañía asegura que elvalor de cada auto disminuye linealmentedurante 6 años. rp

-onli

ne.

de

Esto significa que cada auto queda depreciado por24000

6= 4000 por año.

(i) Escribir una función lineal que exprese el valor V de cada auto como fun-ción de su tiempo de uso.

(ii) ¿Cuál es el valor de cada auto luego de 3 años?

(iii) Interprete la pendiente.

(iv) ¿Cuándo el valor de cada auto es de 18000 dólares?

(v) Graficar la función lineal.

Solución. (i) Notemos que V(x) representa representa el valor de cada autoluego de x años, entonces V(0) representa el valor original del auto, es decir,V(0) = 24000. La intersección de la gráfica con el eje y es 24000. Debido a quecada auto se deprecia a razón de 4000 por año, la pendiente de la función lineales −4000. La función lineal que representa el valor V(x) de un auto luego de xaños es

V(x) = −4000x + 24000

(ii) Cada auto luego de 3 años vale

V(3) = −4000(3) + 24000 = 12000 .

(iii) Desde que la pendiente de V(x) = −4000x + 24000 es -4000, la razónde cambio del valor de cada auto es −4000/año. Así que cada año adicional quepasa, el valor de cada auto decrece en 4000 dólares.

(iv) Para determinar el tiempo en el que cada auto cuesta 18000 dólares, debe-mos resolver la ecuación V(x) = 18000, o sea

−4000x + 24000 = 18000 ⇔ 6000 = 4000x ⇔ x = 1.5


(v) La figura abajo muestra la gráfica de V.

1 2 3 4 5 6

24000

16000

(

x

V (x

Ejemplo 1.2.5. (Oferta y demanda decelulares). Supongamos que la cantidadofertada O, y la cantidad demandada Dde teléfonos celulares cada mes son dadaspor las siguientes funciones

O(p) = 15p+ 1000, D(p) = −5p+ 4000

donde p es el precio (en soles) del teléfono. unid

ata-

phones

.de

(i) Recordemos que el precio de equilibrio de un producto es el precio en elcual la cantidad ofertada es igual a la cantidad demandada, es decir, el pre-cio de equilibrio es el precio en el cual O(p) = D(p). Hallar el precio deequilibrio de los teléfonos celulares. ¿Cuál es la cantidad de equilibrio? Osea, la cantidad ofertada (o demandada) del precio de equilibrio.

(ii) Halle los precios para el cual la cantidad ofertada es mayor que la cantidaddemandada; o sea, resolver la inecuación O(p) > D(p).

(iii) Graficar O = O(p), D = D(p) y hallar el punto de equilibrio.

Solución. (i) Para hallar el precio de equilibrio debemos resolver

O(p) = D(p) .


O(p) = D(p)

15p + 1000 = −5p + 4000

15p = −5p + 3000

20p = 3000

p = 150 .

Esto nos dice que el precio de equilibrio es de 150 soles por celular. Para hallarla cantidad de equilibrio es suficiente evaluar O(p) o D(p) en p = 150.

O(50) = 15(150) + 1000 = 3250

O sea que la cantidad de equilibrio es de 3250 celulares. Al precio de 150 solesla compañía debe producir 3250 celulares mensualmente para no tener escases oexcesos en su inventario mensual.

(ii) Resolviendo la desigualdad O(p) > D(p) tenemos

O(p) > D(p)

15p + 1000 > −5p + 4000

15p > −5p + 3000

20p > 3000

p > 150 .

lo que quiere decir: si la compañia cobra más de 150 soles por teléfono, lacantidad ofertada debe exeder a la cantidad demandada. En este caso la compañiatiene exesos de teléfonos en el inventario.

(iii) La figura de la derecha muestra lasgráficas de O = O(p) y D = D(p) y elpunto de equilibrio.

D

p

150 800

1000

2000

3000(150, 3250)

O4000( p (

( p (

=q

=q


INTERÉS SIMPLE Y DESCUENTO

Otra aplicación de funciones lineales es al mundo de los negocios para calcu-lar interés simple. El interés es el honorario que se paga por el uso del dinero dealguien más.

El interés simple I, sobre una cantidad P de soles a una tasa de interés r anualdurante t años es

I = Prt

Ejemplo 1.2.6. Martín Gomez pidió un préstamo de 6000 soles a un interésdel 10 % por 10 meses. ¿Cuánto interés tendrá que pagar?

Solución. A partir de la fórmula I = Prt, con P = 6000, r = 0.1 y t = 10/12(en años). El interés total que pagará es

I = 6000(0.1)(10/12) = 500

que son 500 soles.

Si un depósito de P soles a una tasa de interés r durante t años produce uninterés de I = Prt, entonces la suma del capital junto con el interés despues de taños es dada por

F = P + I = P + Prt = P(1 + rt)

que es una función lineal de t.

El valor futuro o valor al vencimiento F de P soles por t años a una tasa de interésr por año es

F = P(1 + rt)

En aplicaciones a los negocios nosotrosestamos interesados sólo en los casosdonde t es positivo, o sea, la parte de larecta que está en el primer cuadrante, esel valor futuro. t

F

P F P Prt+=


Ejemplo 1.2.7. Un banco paga un interés simple de 8 % por depósito anual.Si un cliente hace un depósito de 1000 dólares y no hace retiros durante 3 años,¿Cuál es la cantidad total que resulta luego de tres años? ¿Cuál es el interés gana-do durante este tiempo?

Solución. De acuerdo a la fórmula de capital acumulado con P = 1000, r =

0.08 y t = 3, vemos que la cantidad total luego de tres años resulta

F = P(1 + rt) = 1000[1 + (0.08)(3)] = 1240

o sea, 1240 dólares.El interés ganado durante los 3 años es

I = Prt = 1000(0.08)(3) = 240

o sea, 240 dólares.

Una suma de dinero que se deposita y que puede producir una cantidad ma-yor en el futuro se llama valor presente de esa cantidad futura. El valor presentese refiere al capital por invertir o prestar, por lo que usamos la misma variable Pque para el capital. Comenzamos con la fórmula para el valor futuro

F = P(1 + rt)

Dividiendo cada lado entre 1 + rt obtenemos la siguiente fórmula para el valorpresente

P =F

1 + rt

El valor presente de una cantidad futura de P soles a una tasa de interés simple rpor t años es

P =F

1 + rt

Ejemplo 1.2.8. Encuentre el valor presente de 32,000 soles en 4 meses a 9 %de interés.

Solución. De acuerdo a nuestra fórmula tenemos

P =32, 000

1 + (0.09)( 4

12

) =32, 000

1.03= 31, 067.96

Un depósito de 31, 067.96 hoy al 9 % de interés, producirá 32,000 soles en 4 meses.Esas dos sumas 31, 067.96 y 32,000 en 4 meses, son equivalentes (al 9 %) porque laprimera cantidad se convierte en la segunda cantidad en 4 meses.


1.2.3. Función Cuadrática

En la sección anterior vimos de que manera se pueden usar las funciones li-neales para modelar ciertos problemas que encontramos en el mundo de los ne-gocios. Sin embargo, existen muchos problemas para el cual una función lineal nose adapta para ser modelado. A continuación estudiaremos algunos problemas yexploraremos otra clase de funciones llamadas funciones cuadráticas.

(Venta de celulares). Supongamos que setiene una tienda de venta de celulares,donde las cantidades (en la variable x) ylos precios (en la variable p) se relacionancomo se muestra en la tabla:

mobil

edevic

e.r

u

Precio por celular en dolar p Número de celulares x

60 12,000

65 11,250

70 10,500

75 9,750

80 9,000

85 8,250

90 7,500

Desde que el precio de un producto determina la cantidad que debe ser com-prada, nuestra variable independiente es el precio. Realmente, el número x decelulares vendidos y el precio p por celular, se relacionan por la ecuación

x = 21, 000− 150p

Entonces el ingreso I que resulta de vender x celulares al precio p por celular es

I = xp

o tambiénI(p) = (21, 000− 150p)p = −150p2 + 21, 000p


Su gráfica se muestra en la figura:

0 14 28 42 56 70 84 98 112 126 140

100,000

200,000

300,000

400,000

500,000

600,000

700,000

800,000

p

I

Este es un ejemplo de función cuadrática como definiremos a continuación

Definición 1.2.3. Una función cuadrática es una función de la forma

f (x) = ax2 + bx + c donde a ̸= 0

Su dominio natural es el conjunto R de números reales.

Su gráfica es como se indica abajo

x

y

x

y

a >0a < 0

Notamos en la figura arriba que cuando el coeficiente principal a es positivo,la gráfica es una parábola que se habre hacia arriba. Por otro lado, si el coeficienteprincipal a es negativo, la gráfica es una parábola que se habre hacia abajo.


En particular, si la función cuadrática se reduce a

f (x) = ax2 donde a ̸= 0

su gráfica es

x

yxy

a >0a < 0

Observación 1.2.2. El método para graficar la función cuadrática

f (x) = ax2 + bx + c

es como sigue:

1. IDENTIFICAR INTERSECCIONES CON LOS EJES:

(a) El punto de intersección con el eje y se consigue haciendo x = 0. Eneste caso f (0) = c, y el punto de intersección resulta (0, c).

(b) Los puntos de intersección con el eje x se consiguen haciendo y = 0.En este caso la ecuación

ax2 + bx + c = 0 (1.2.1)

puede tener dos, una o ninguna solución real, dependiendo del valordel discriminante b2 − 4ac que puede ser positivo, cero o negativo.Más precisamente:

1) Si el discriminante es b2 − 4ac > 0, la ecuación (1.2.1) tiene dossoluciones reales x1, x2, y la gráfica de la función y = f (x) se inter-seca con el eje x en los puntos (x1, 0) y (x2, 0).

2) Si el discriminante es b2 − 4ac = 0, la ecuación (1.2.1) tiene únicasolución real x1, y la gráfica de la función y = f (x) se interseca conel eje x en el punto (x1, 0).

3) Si el discriminante es b2 − 4ac < 0, la ecuación (1.2.1) no tienesolución real, y la gráfica de la función y = f (x) no se intersecacon el eje x.


2. COMPLETAR CUADRADOS:

f (x) = ax2 + bx + c

= a(

x2 +ba

x)+ c

= a(

x2 +ba

x +b2

4a2

)+ c− b2

4a2

= a(

x +b

2a

)2

+ c− b2

4a

= a(

x +b

2a

)2

+4ac− b2

4a

De este resultado concluímos lo siguiente:

Haciendo h = − b2a

y k =4ac− b2

4a, entonces

f (x) = ax2 + bx + c = a(x− h)2 + k

3. IDENTIFICAR VÉRTICE Y EJE DE SIMETRÍA:

De la ecuación anterior hacemos

y = a(x− h)2 + k ⇔ y− k = a(x− h)2

y el vértice es el punto (h, k) =(− b

2a,

4ac− b2

4a

).

El eje de simetría es la recta x = − b2a

.

Ejemplo 1.2.9. Graficar la función cuadrática

f (x) = −x2 + 6x− 8

e identificar el vértice y los puntos de intersección con el eje x.Solución.

f (x) = −x2 + 6x− 8 escribir la función original

= −(x2 − 6x)− 8 factorizar -1 a los terminos en x

= −(x2 − 6x + 9− 9)− 8 sumar y restar 9 en el paréntesis

= −(x2 − 6x + 9)− (−9)− 8 reagrupar y términos

= −(x− 3)2 + 1 escribir en su forma estandar


Los puntos de intersección con el eje x son determinados como sigue:

−(x2 − 6x + 8) = 0 ⇔ −(x− 2)(x− 4) = 0

de donde resulta x = 2 o x = 4.

De los resultados anteriores vemos que elgráfico de la función es una parábola convértice (3, 1). Luego los puntos de inter-sección con el eje x son (2, 0) y (4, 0). Lagráfica de la parábola se muestra a la de-recha

x

y

1 2 3 4 5

( )3,1

-1

-2

-3

1( )4,0( )2,0

Ejemplo 1.2.10. (Función cuadráticaen la lucha contra incendios). Se puedemostrar que, si una manguera se sujetacon un ángulo de θ◦ con la horizontal, yel agua sale de la manguera con una velo-cidad constante de v metros por segundo,entonces la altura h del agua sobre el sueloa una distancia x es dada por tv

ers

vod.r

u

h = −16(1 + m2)x2

v2+ mx + h0

donde m = tan θ es la inclinación de la boquilla y h0 es la altura de la manguerasobre el suelo.

Suponga que la boquilla se sujeta con un

ángulo de arctan

√2

2, que la velocidad es

v = 30 metros por segundo y que la man-guera tenga una altura inicial de 4 metrossobre el suelo. Haga el gráfico de esta fun-ción y determine la distancia del agua ensu punto más alto. Determine también lamáxima distancia alcanzada.

h

x

5 10 15 20 25 301.25

2.5

3.75

5

6.25

7.5

0


Solución. Desde que m =

√2

2, nuestra función altura dependiendo de la

distancia x es

h = − 24900

x2 +

√2

2x + 4 (1.2.2)

Aquí el camino que sigue el agua es a lo largo del arco parabólico. La figuraanterior indica que el agua llega a 30 metros del bombero, y la máxima alturade h es a 13 metros de altura. Esto viene por lo siguiente: desde que la parábola

y = ax2 + bx + c tiene máximo para x = − b2a

, entonces la altura máxima debeocurrir para

x =−√

22

2(−24/900)= 13.258 metros

y reemplazando el valor 13.258 metros en la ecuación (1.2.2) obtenemos aproxi-madamente

h ≈ 8,6875.

Finalmente para tener la máxima distancia alcanzada, hacemos h = 0 en la ecua-ción (1.2.2) y obtenemos x ≈ 31.308 metros.

Ejemplo 1.2.11. (Alquiler de departamentos). El administrador de un edifi-cio de 18 departamentos descubrió que cada incremento de 50 soles en la rentamensual trae como consecuencia un departamento vacío. Todos los departamen-tos se rentarán a 600 soles mensuales. ¿Cuántos incrementos de 50 soles produci-rán un ingreso máximo mensual para el edificio?

Solución. Sea x el número de incrementos de 50 soles. El número de departa-mentos rentados será 18− x. La renta mensual por departamento será 600 + 50x(hay x incrementos de 50 soles para un incremento total de 50x). El ingreso men-sual I(x) está dado por el número de departamentos rentados multiplicado porla renta de cada departamento, por lo que

I(x) = (18− x)(600 + 50x)

= 10800 + 900x− 600x− 50x2

= 10800 + 300x− 50x2 .

Ahora bien, esta ecuación determina una parábola con vértice(−b2a

, f(−b2a

))= (3, 11250)

el cual nos dice que el ingreso máximo es de 11250 soles cuando se aplica unincremento de 50 soles a cada departamento.


1.2.4. Funciones Polinómicas

En los apartados anteriores discutimos funciones lineales y cuadráticas en de-talle. Recordemos que una función lineal tiene la forma f (x) = mx+ b y funcionescuadráticas son de la forma f (x) = ax2 + bx + c. A continuación podemos pedirnuevas funciones definidas a partir de x y sus potencias tales como la tercera po-tencia, la cuarta potencia y todas las posibles potencias. Los exponentes en estaspotencias son números enteros no negativos tales como 0, 1, 2, 3, . . . y las sumasde estas potencias se conocen como funciones polinómicas

Definición 1.2.4. Una función polinómica f es dada por

f (x) = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + . . . + a1x + a0

donde los coeficientes an, an−1, an−2, . . . , a1, a0 son números reales y los exponen-tes son enteros no negativos.El dominio natural de una función polinómica es el conjunto R de números reales.

El coeficiente an es llamado coeficiente principal. El término anxn es llamadotérmino principal. El grado de la función polinómica es n.

Algunos ejemplos de funciones polinómicas son

Función Grado Ejemplo

constante 0 f (x) = 3

lineal 1 f (x) = 3x− 2

cuadrática 2 f (x) = −x2 + 5x + 1

cúbica 3 f (x) = x3 + 4x2 − 2x + 1

cuártica 4 f (x) = 7x4 + 5x3 − x2 + 1

quíntica 5 f (x) = x5 − x3 − x2 + 2

A continuación identificaremos las gráficas de algunas funciones polinómicas.Esto es posible a partir del coeficiente principal y del grado del polinomio comose ve a continuación.


GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA

La gráfica de una función polinómica es una función continua, es decir unacurva que no tiene agujeros ni saltos como se ilustra en los dibujos

función polinómica función no polinómica

x

y y

x

Ya vimos en el apartado anterior que una función cuadrática interseca al ejex en un máximo de dos puntos. Esto ocurre precisamente debido al grado de lafunción. Podemos asegurar esto de manera general: si un polinomio tiene gradon, entonces su gráfica interseca al eje x en un máximo de n puntos.

La gráfica de una función polinómica

f (x) = anxn + . . . + a1x + a0

interseca al eje x en un máximo de n puntos.

x

y

Veamos a continuación el test del coeficiente principal que nos permitirá gra-ficar el comportamiendo de la función dependiendo del crecimiento o decreci-mento de la variable x.


TEST DEL COEFICIENTE PRINCIPAL

Podemos hacer más precisa esta gráfica estudiando el comportamiento deltérmino principal. Sea

f (x) = anxn + . . . + a1x + a0

CASO n PAR:

si es par yn an >0 si es par yn an <0

f ( )x oo+

si x oo+

f ( )x oo+

si x oo-

f ( )x oo

si x oo+

-f ( )x oo

si x oo

-

-

CASO n IMPAR:

si es impar yn an >0 si es impar yn an <0

f ( )x oo+

si x oo+

f ( )x oo

si x oo-

f ( )x oo

si x oo+

-

f ( )x oo

si x oo-

-

+

Ejemplo 1.2.12. Graficar las siguientes funciones:

(i) f (x) = −x3 + 4x (ii) f (x) = x4 − 5x2 + 4 (iii) f (x) = x5 − 5x


Solución. (i) Debido a que la función

f (x) = −x3 + 4x

tiene grado impar y el coeficiente principales negativo, su gráfica crece para el lado iz-quierdo y decrece para el lado derecho.

(ii) Debido a que la función

f (x) = x4 − 5x2 + 4

tiene grado par y el coeficiente principal espositivo, su gráfica crece para el lado dere-cho e izquierdo como se ve en la figura.

(iii) Debido a que la función

f (x) = x5 − 5x

tiene grado impar y el coeficiente principales positivo, su gráfica crece para el lado de-recho y decrece para el lado izquierdo comose ve en la figura.

1

2

3

1 3-1-3

x

y

6

4

x

y

4

4

1

2

1-1-2

x

y

2

Ejemplo 1.2.13. (Ibuprofeno en el flujo sanguíneo). La función polinomial

M(t) = 0.5t4 + 3.45t3 − 96.65t2 + 347.7t

puede ser usada para estimar el número de miligramos en el flujo de sangre paraaliviar el dolor de un paciente, con medicación de ibuprofeno, t horas despues dehaberse tomado una dosis de 400 mg. Hallar el número de miligramos en el flujode sangre en t = 0, 0.5, 1, 1.5 y así hasta la tercera hora y media.

Solución. Evaluando tenemos

Tiempo t 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Cantidad 0 150.2 255 318.3 344.4 338.6 306.9 255.9


1.2.5. Funciones Racionales

Las funciones racionales generalizan a las funciones polinómicas. Comence-mos con la siguiente motivación

Motivación: La federación peruana defutbol pretende construir un campo re-creacional para los futbolistas, de esta ma-nera contribuir un mejor rendimiento de-portivo. Esta construcción requiere cercartres lados de una área rectangular de 5000metros cuadrados. Expresar el número demetros a cercar, en función de uno de loslados. eu

ropla

n-o

nli

ne.

de

Solución. Es natural comenzar introduciendo dos variables, digamos x e yque denotan las longitudes del área del campo recreacional. Expresando la longi-tud del cercado en términos de x e y, tenemos

F = x + 2y (1.2.3)

Desde que nuestro objetivo es expresar la longitud de la pared en metros comofunción de x, entonces debemos hallar la manera de expresar y en términos de x.Para esto usamos el hecho que el área es de 5000 m2, o sea

xy = 5, 000

Resolviendo esta ecuación para y

y =5, 000

x(1.2.4)

y sustituyendo la expresión (8.1.2) en(8.1.1) se tiene

F(x) = x +10, 000

x 020 40 60 80 100 120 140 160 180 200

200

210

220

230

240

250

260

270

x

280

290

300xF( )

que resulta una función racional dependiendo de x.


Definición 1.2.5. Una función racional es el cociente de dos funciones polino-miales. Más precisamente, es una función de la forma

f (x) =p(x)q(x)

donde p(x) y q(x) son funciones polinomiales.

Ejemplo 1.2.14. (Construyendo un cilin-dro). Un cilindro tiene una capacidad de24π cm3. El costo para fabricar las tapas su-perior e inferior es de 3 céntimos por cén-tímetro cuadrado, y el costo del materialusado para la cara lateral es de 2 centimospor centímetro cuadrado. Determinar el cos-to para construir dicho cilindro como fun-ción de su radio.

h

r

Solución. Debemos notar que

Volumen del cilindro = πr2h

Area de una tapa = πr2

Area lateral = 2πrh

Si 1 cm2 de tapa cuesta 3 céntimos, entonces las dos tapas costarán

3× (2πr2) = 6πr2 (1.2.5)

Si 1 cm2 de cara lateral cuesta 2 céntimos, entonces toda la cara lateral costará

2× (2πrh) = 4πrh (1.2.6)

De las relaciones (1.2.5) y (1.2.6) conseguimos el costo total

f (r) = 6πr2 + 4πrh (1.2.7)

Debemos notar también que el volumen del cilindro es πr2h = 24π, que im-plica

h =24r2

(1.2.8)

Finalmente, reemplazando (1.2.8) en (1.2.7) conseguimos

f (r) = 6πr2 + 4πrh = 6πr2 + 4πr24r2

= 6π

(r2 +

16r

)


Ejemplo 1.2.15. Hallar el dominio de f (x) =1x

y gráficar.Solución. Debido a que el denominador es cero cuando x = 0, el dominio de

f consiste de todos los reales excepto x = 0. Para determinar el comportamientopróximo a este valor, evaluamos f (x) a la izquierda y a la derecha de x = 0 comose indica en las siguientes tablas:

x -1 -0.5 -0.1 -0.01 -0.001 → 0

f (x) -1 -2 -10 -100 -1000 → −∞

x 0← 0.001 0.01 0.1 0.5 1

f (x) +∞← 1000 100 10 2 1

Note que cuando x se aproxima a ceropor la izquierda, f (x) decrece ilimitada-mente. Por otra parte, cuando x se apro-xima a cero por la derecha, f (x) crece ili-mitadamente. Su gráfico se muestra enla figura:

1

1 2

2

-1

-1

Observación 1.2.3. En el ejemplo anterior vimos el comportamiento de f próximoa x = 0 y denotamos como sigue:

f (x)→ −∞ cuando x → 0− y f (x)→ +∞ cuando x → 0+

La recta x = 0 es una asíntota vertical a la gráfica de f . También, la recta y = 0 esuna asíntota horizontal a la gráfica de f .


Definición 1.2.6. (Asíntota horizontal y vertical).

(i) La recta x = a es una asíntota vertical al gráfico de f si

f (x)→ +∞ o f (x)→ −∞

cuando x se aproxima a a por la izquierda o por la derecha.

(ii) La recta y = b es una asíntota horizontal a la gráfica de f si

f (x)→ b

cuando x → +∞ o x → −∞.

El siguiente ejemplo se justifica en la proposición 1.2.17.

Ejemplo 1.2.16. Hallar todas las asíntotas verticales de cada una de las fun-ciones

(i) f (x) =2x

x + 1(ii) f (x) =

x + 2x2 − 1

(iii) f (x) =x2 − 32x + 1

Solución. (i) Para la función f (x) =2x

x + 1vemos que el numerador y deno-

minador no tienen factores comunes. Así que el denominador igualaremos a ceropara hallar las asíntotas verticales:

x + 1 = 0 ⇒ x = −1

Por tanto, la recta x = −1 es la única asíntota vertical de la función.

(ii) El numerador y denominador de la función f (x) =x + 2x2 − 1

no tienen facto-

res comunes, luego podemos igualar a cero el denominador para hallar la asíntotavertical. En este caso, el denominador puede ser factorizado y tenemos

x2 − 1 = 0 ⇒ (x + 1)(x− 1) = 0 ⇒ x = −1, 1

Esta función tiene dos asíntotas verticales, la recta x = −1 y la recta x = 1.(iii) Para el último ejemplo, también vemos que el numerador y denominador

no tienen factores comunes. La asíntota vertical es la recta x =−12

ya que x = −12

es la solución de la ecuación 2x + 1 = 0.


Proposición 1.2.17. Sea f una función racional dada por

f (x) =p(x)q(x)

=anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0

bmxm + bm−1xm−1 + . . . + b1x + b0

donde p(x) y q(x) no tienen factores comunes. Se cumple

(i) El gráfico de f tiene asíntotas verticales en los ceros de q(x).

(ii) El gráfico de f tiene una o ninguna asíntota horizontal y se determina por compararlos grados de p(x) y q(x).

a) Si n < m, la gráfica de f tiene a y = 0 como asíntota horizontal.

b) Si n = m, la gráfica de f tiene a y = an/bm de asíntota horizontal.

c) Si n > m, la gráfica de f no tiene asíntota horizontal.

Ejemplo 1.2.18. (Proyección estereográfica). Imagine que colocamos una cir-cunferencia de radio 1 en el punto t = 0 de la recta real (ver figura), y que todos

los puntos de la recta real se conectan conel “polo norte”, o sea el punto (0, 2). Elsegmento que une el polo norte con es-te punto de la recta interseca a la circun-ferencia en el punto P. Entonces decimosque el punto P es la proyección estereo-gráfica de t sobre la circunferencia.

( (0, 2

( (t, 0

P

xp

yp

(i) Mostremos que las coordenadas del punto P son funciones racionales de t.

(ii) Discutir el dominio y rango de cada función coordenada.

Solución. (i) Para determinar la ubicación exacta de P debemos considerarel segmento de recta que pasa a través de (0, 2) y (t, 0). Este segmento tiene

pendiente m =2− 00− t

, y su ecuación es

y =

(−2t

)x + 2 (1.2.9)

Notemos que la pendiente depende del valor particular de t. Por ahora pensare-mos que el valor de t es fijo en todo nuestro cálculo. Por otro lado, la ecuación de


la circunferencia unitaria con centro (0, 1) es

(x− 0)2 + (y− 1)2 = 1 (1.2.10)

Podemos hallar la intersección de esta recta con la circunferencia sustituyendo laecuación (1.2.9) en la ecuación (1.2.10) de donde conseguimos

x2 +

(1− 2x

t

)2

= 1

Desarrollando los cuadrados del lado izquierdo obtenemos

x2 +

(1− 4x

t+

4x2

t2

)= 1(

1 +4t2

)x2 − 4x

t= 0

x[(

1 +4t2

)x− 4

t

]= 0

Desde que x = 0 corresponde al polo norte de la circunferencia, el cual no es elpunto P, concluímos de la última ecuación que(

1 +4t2

)x− 4

t= 0

Para despejar x en esta ecuación, sumamos 4/t en ambos lados de la ecuación yluego multiplicamos por t2. Así que llegamos a

4t = (t2 + 4)x

Dividiendo luego por t2 + 4, conseguimos

xp =4t

t2 + 4(1.2.11)

Desde que P está en la recta descrita por la ecuación (1.2.9), la segunda coordena-da debe ser

yp =−2t

xp + 2 =−2t

(4t

t2 + 4

)+ 2 =

2t2

t2 + 4(1.2.12)

Las ecuaciones (1.2.11) y (1.2.12) nos relacionan las variables t, x e y, respectiva-mente. Escribiendo x e y como función de t, tenemos

xp =4t

t2 + 4y yp =

2t2

t2 + 4.

(ii) Desde que el número t se proyecta sobre la circunferencia, el dominio tantode x como de y es R. Para cada punto de la circunferencia, la coordenada xp varíaentre −1 y 1 y el dominio resulta [−1, 1]. Similarmente, la coordenada y varíaentre 0 y 2, pero ningún valor de t se proyecta sobre el polo norte, así que yp

nunca toma valor 2. Por tanto, el rango de y es [0, 2).


1.3. Funciones Exponenciales y Logarítmicas

En esta sección estudiaremos de manera elemental las funciones exponencia-les y logarítmicas. Podemos decir que una es la inversa de la otra y no nos ha-remos problemas en analizar los aspectos rigurosos, mas bien, trataremos a estasfunciones desde el punto de vista de los modelos matemáticos.

1.3.1. ¿Qué es una Función Exponencial?

daily.wired.it

Las bacterias son microorganismos que son comunes en nuestro medio am-biente. Muchas bacterias son beneficiosas para el ser humano; por ejemplo, desem-peñan un papel escencial en el proceso digestivo o en la curación de una herida.Pero algunos tipos de bacterias pueden resultar mortales, por ejemplo, el Strep-tococcus es una bacteria que puede causar diversas enfermedades como la neu-monía y otras enfermedades respiratorias. Aunque las bacterias son invisibles asimple vista, su gran impacto en nuestro planeta se debe a su habilidad para re-

Lord Barrera - Sección 1.3. Funciones Exponenciales y Logarítmicas 83

producirse rápidamente. Bajo condiciones ideales, el Streptococcus es una bacteriaque puede multiplicarse en poco menos de 20 minutos. Así que una infecciónde sólo algunas bacterias puede aumentar rápidamente hasta una gran cantidadcomo para eliminar las defensas del cuerpo.

Supongamos que una persona infectada con 10 bacterias de Streptococcus es-tornuda en el aula llena de alumnos. A continuación minitorearemos el progresode la infección. Si cada bacteria se divide en dos bacterias cada hora, entonces eltotal de bacterias se duplica por hora. Si después de una hora la persona tiene10× 2 = 20 bacterias en su cuerpo, después de otra hora las bacterias duplicansu cantidad nuevamente y ahora son 40. En este sentido, duplicar el número debacterias indica multiplicar su cantidad por 2. Si comenzamos con 1 bacteria, elnúmero de bacterias luego de la primera, segunda y tercera hora son:

Tiempo Cantidad de bacterias

1 hora 10× 2 = 10× 21

2 horas 10× 2× 2 = 10× 22

3 horas 10× 2× 2× 2 = 10× 23

La tabla abajo indica el número de bacterias reproducidas en 7 horas.

Horas 1 2 3 4 5 6 7

Bacterias 10× 21 10× 22 10× 23 10× 24 10× 25 10× 26 10× 27

Notemos con qué rápidez crecen las bacterias en un día. ¿Qué tipo de fun-ción puede ser usada para modelar tal crecimiento? De la segunda fila en la tablavemos que la cantidad P despues de t horas es dada por

P = 10× 2t

y es llamada función exponencial debido a que la variable t es un exponente.

La gráfica a la derecha describe el com-portamiento de la póblación P de bacte-rias para t entre 1 y 7. Lo que se vé no esmás que un dibujo a escala para P entre10× 21 y 10× 27.

1 2 3 4 5 6 7

10 x 21

10 x 26

10 x 27

t

P


A continuación haremos una construcción intuitiva de la función exponencial.Recordemos que si a es un número real y n es un entero positivo, entonces

an = a · a · a . . . a︸︷︷︸n factores

En la expresión an, el número a se llama base y n es el exponente. Por definiciónhacemos a0 = 1, y si n es un entero positivo, hacemos

a−n =1an

Si p/q es un número racional, donde p y q son enteros con q > 0, definimos laexpresión ap/q con exponente racional como

ap/q =q√

ap = ( q√

a)p

Para definir expresiones con exponentes irracionales tales como 2√

2, procedemoscomo sigue: observemos que

√2 = 1.414213 . . . Así que

√2 se puede aproximar

sucesivamente por la sucesión creciente de números racionales

1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, 1.414213,

Así que 2√

2 se puede aproximar por

21.4, 21.41, 21.414, 21.4142, 21.41421, 21.414213

En la tabla abajo se muestran estas aproximaciones

x 1.4 1.41 1.414 1.4142 1.41421 1.414213

2x 21.41 21.41 21.414 21.4142 21.41421 21.414213

Esto nos induce a definir 2x cuando x es un número irracional. En realidad,este procedimiento se puede usar para definir ax cuando a es cualquier númeropositivo y x es irracional. De esta manera, vemos que ax puede ser definido pa-ra todo número real x. Algunas propiedades que resultan de los exponentes seproponen en las leyes de exponentes.

Proposición 1.3.1. (Leyes de exponentes). Si a y b son números positivos y x, y sonnúmeros reales, entonces

(i) axay = ax+y (ii)ax

ay = ax−y (iii) (ax)y = axy

(iv) (ab)x = axbx (v)( a

b

)x=

ax

bx .


Ejemplo 1.3.2. Aplicando la proposición anterior tenemos

(i) 21/221/3 = 2(1/2)+(1/3) = 25/6 (ii)57/2

52= 5(7/2)−2 = 53/2

(iii) (32)3 = 3(2)(3) = 36 (iv) [(2)(3)]5 = 2535 (v)(

32

)2

=32

22.

Definición 1.3.1. Una función exponencial con base a es una función de la forma

f (x) = ax, donde a > 0, y a ̸= 1

Su dominio natural es dom( f ) = R y su rango ran( f ) = R>0 .

Su gráfica es tal como se muestra en la figura

x

y

x

y

a <1)) a < 1)) <0f ) )x = ax

f ) )x = ax

Notamos a partir de la gráfica que cuando la base es mayor que 1, la curvaes creciente y se encuentra por encima del eje x. Sin embargo, cuando la base esmenor que 1, la curva es decreciente y también se encuentra por encima del eje x.

Ejemplo 1.3.3. Graficar f (x) = 2x.

Solución. Tabulando algunos puntos (x, y) tenemos

x f (x) (x, f (x))

-1 1/2 (−1, 1/2)

0 1 (0, 1)

1 2 (1, 2)

2 4 (2, 4)

3 8 (3, 8) x

y(3,8)

(2,4)

(1,2)

(0,1)(-1,1/2)

f( )x = 2x


Ejemplo 1.3.4. Graficar f (x) =(

12

)x

.

Solución. Para graficar f (x) =(

12

)x

hallaremos varios puntos (x, y) cuyas

coordenadas satisfacen la ecuación, luego pasaremos una curva por estos puntos.

f (x) =(

12

)x

x f (x) (x, f (x))

-3 8 (−3, 8)

-2 4 (−2, 4)

-1 2 (-1, 2)

0 1 (0, 1)

1 1/2 (1, 1/2)

x

y

(-3,8)

(-2,4)

(-1,2)

(0,1) (1,1/2)

f( )x =2

x1( (

Teorema 1.3.5. (La función exponencial es inyectiva). La función exponencial fdada por

f (x) = ax, donde 0 < a < 1 o a > 1

es biyectiva. Así que las siguientes condiciones equivalentes se satisfacen para todo par denúmeros reales

(i) Si x1 ̸= x2, entonces ax1 ̸= ax2 .

(ii) Si ax1 = ax2 , entonces x1 = x2.

Ejemplo 1.3.6. Resolver la ecuación 35x−8 = 9x+2.

Solución.

35x−8 = 9x+2 = (32)x+2 = 32x+4 que implica 5x− 8 = 2x + 4

o sea, x = 4.

En muchas aplicaciones, la elección más conveniente para una base es el nú-mero irracional

e ≈ 2.718281828 . . .

Este número es llamado base natural. La función f (x) = ex es llamada funciónexponencial natural.


1.3.2. Interés Compuesto y Anualidades

Si usted desea comprar una casa, hay un número de factores que debe consi-derar. ¿Qué cantidad de dinero le hace falta? y ¿cómo comprará usted dicha casa:tal vez requiere pagar en cuotas, ¿cuánto será cada cuota? En esta sección desa-rrollamos alternativas de financiación para que usted pueda comprar su casa.

INTERÉS COMPUESTO Y CONTINUO

Suponga que un capital P se invierte a una tasa r de interés anual. Si al finaldel primer año el interés se añade al capital P, entonces tenemos el nuevo capital

P1 = P + Pr = P(1 + r)

El resultado de multiplicar el capital previo por 1 + r, repitiendo sucesivamentecada año se muestra en la siguiente tabla:

Año Balance al final del año

0 P

1 P1 = P(1 + r)

2 P2 = P1(1 + r) = P(1 + r)(1 + r) = P(1 + r)2

3 P3 = P2(1 + r) = P(1 + r)2(1 + r) = P(1 + r)3

......

t Pt = P(1 + r)t

Podemos colocar el interés con más frecuencia (trimestral, mensual o diario)para calcular el interés compuesto. Sea n el número de veces por año al que sedeposita el capital y sea t el número de años, entonces la tasa de interés anual

resultarn

, y el capital total después de t años es

F = P(

1 +rn

)nt

Si hacemos que el número de composiciones por año n sea cada vez más grande,el proceso es llamado composición continua. En la fórmula para n composicionesanuales, sea m = n/r. Esto produce


F = P(

1 +rn

)ntcapital con n composiciones por año

= P(

1 +r

mr

)mrtsustituyendo mr por n

= P(

1 +1m

)mrt

simplificando

= P[(

1 +1m

)m]rt

propiedad de exponentes

Si hacemos que m crezca ilimitadamente, la tabla de abajo muestra que(1 +

1m

)m

→ e siempre que m→ +∞

De esto concluímos que la fórmula para el interés compuesto continuo es

F = Pert, sustituyendo e en lugar de(

1 +1m

)m

m (1 + 1/m)m

1 2

10 2.59374246

100 2.704813829

1000 2.716923932

10,000 2.718145927

100,000 2.718268237

1’000,000 2.718280469

10’000,000 2.718281693

↓ ↓+∞ e

Definición 1.3.2. (Fórmulas para el interés compuesto). Después de t años, elcapital F que resulta de depositar un capital inicial P a una tasa de interés anualr (expresada en su forma decimal), es dada por las siguientes fórmulas

(i) Si el interés es compuesto n veces por año: F = P(

1 +rn

)nt

(ii) Si el interés compuesto es continuo: F = Pert.

La cantidad P es llamada valor presente y F se llama valor futuro.


Ejemplo 1.3.7. (Depósito). Un capitalde 12,000 dolares se deposita a una tasade interés anual del 9 %. Hallar el capitalluego de 5 años si el interés compuesto es

(i) Trimestral.

(ii) Mensual

(iii) Continuo thei

nves

tmen

tdia

ry.c

om

Solución. (i) Para el interés compuesto trimestral hacemos n = 4. De estamanera, en 5 años al 9 %, el capital acumulado es

F = P(

1 +rn

)ntfórmula para el interés compuesto

= 12, 000(

1 +0.09

4

)(4)(5)

sustituyendo P, r, n y t

≈ 18, 726.11 use calculadora

(ii) Para el interés compuesto mensual hacemos n = 12. Así que, en 5 años al9 % el capital acumulado es

F = P(

1 +rn

)ntfórmula para el interés compuesto

= 12, 000(

1 +0.0912

)(12)(5)

sustituyendo P, r, n y t


(iii) Para el interés compuesto continuo, en 5 años al 9 % el capital acumuladoes

F = Pert fórmula para el interés compuesto continuo

= 12, 000e(0.09)(5) sustituyendo P, r y t



Cuando las personas se comprometen con una financiación, comúnmente serefieren al “valor del dinero en el tiempo” y usualmente se refieren al valor presentedel dinero. El valor presente P del dinero que usted recibirá en un futuro, es lacantidad que usted necesita invertir con el propósito de que su dinero se acumuleen la cantidad F durante un determinado tiempo. El valor presente del dineroque recibirá en un futuro es siempre menor que la cantidad a recibir, ya que eldinero que usted acumula es igual al valor presente más los intereses acumuladosdurante el periodo de inversión.

Usaremos la fórmula de interés compuesto para conseguir la fórmula del va-lor presente. Si P es el valor presente de F dólares que recibirá después de t años,mediante una tasa de interés anual r, compuesto n veces por año, entonces

F = P ·(

1 +rn

)ntfórmula de interés compuesto

Para resolver P, dividimos en ambos lados por(

1 +rn

)nt. El resultado es

F(1 +

rn

)nt = P o P = F ·(

1 +rn

)−nt

Definición 1.3.3. (Fórmulas para el valor presente). El valor presente P de F dó-lares que recibe después de t años, suponiendo que la tasa de interés anual es r,compuesto n veces por año, es

P = F ·(

1 +rn

)−nt(1.3.13)

Si el interés es compuesto continuamente,

P = Fe−rt . (1.3.14)

Ejemplo 1.3.8. ¿Qué cantidad de dinero debe usted invertir ahora al 4 % poraño para que después de 2 años su cantidad acumulada sea 10, 000 dólares, sa-biendo que el interés es compuesto?

(i) Anualmente.

(ii) Mensualmente.

(iii) Diariamente.

(iv) Continuamente.


Solución. En este problema, queremos hallar la cantidad necesaria P paraconseguir un monto de 10,000 dólares después de t = 2 años, sabiendo que latasa de interés es de r = 0.04.

(i) Desde que la composición es anual, usamos la fórmula (1.3.13) con n = 1.El valor presente P de 10,000 dólares es

P = F ·(

1 +rn

)−nt

= 10, 000(1 + 0.04)−2

= (10, 000)(0.924556)

= 9245.56 dólares .

(ii) Desde que la composición es de 12 veces por año, usamos la fórmula(1.3.13) con n = 12. El valor presente P de 10,000 dólares es

P = F ·(

1 +rn

)−nt

= 10, 000(

1 +0.0412

)−24

= (10, 000)(0.923239)

= 9232.39 dólares .

(iii) Desde que la composición es de 365 veces por año, usamos la fórmula(1.3.13) con n = 365. El valor presente P de 10,000 dólares es

P = F ·(

1 +rn

)−nt

= 10, 000(

1 +0.04365

)−24

= (10, 000)(0.923120)

= 9231.20 dólares .

(iv) Desde que la composición es continua, usamos la fórmula (1.3.14). El valorpresente P de 10,000 dólares es

P = F · e−rt

= (10, 000)(0.923116)

= 9231.16 dólares .


ANUALIDAD

A menudo, las personas no depositan su dinero una única vez, a veces nece-sitan hacer depósitos regulares en intervalos de tiempo iguales. Ejemplos de talesdepósitos usted lo puede notar cuando paga cuotas mensuales de una hipoteca ocuando hace pagos mensuales de un seguro.

Una anualidad es una serie de pagos realizados a intervalos regulares. Losdepósitos periódicos pueden ser anuales, semianuales, cuatrimestrales, mensua-les, etc. Cuando los depósitos se realizan al final de cada periodo de pago, laanualidad se denomina ordinaria. En esta parte trataremos sólo con anualidadesordinarias. El monto de una anualidad es la suma de todos los depósitos realiza-dos más los intereses acumulados.

Ejemplo 1.3.9. A fin de encontrar una fórmula para la la cantidada acumu-lada F de una anualidad, supóngase que se deposita una suma de $ 100 en unacuenta al final de cada año, durante cinco años. Además, supóngase que la cuentagenera intereses sobre el depósito con una tasa del 4 % por año, compuesta anual-mente. Entonces el primer pago de $ 100 realizado al final del primer año generaintereses con una tasa del 4 % durante los restantes cuatro años y, por tanto, porla fórmula de interés compuesto, se tiene una cantidad acumulada de

F1 = 100(1 + 0.04)4 = 100(1.16986) = 116.99

El segundo depósito de 100 dólares, realizado al final del segundo año, generaintereses con la misma tasa durante los 3 años restantes, por lo cual tiene unacantidad acumulada de

F2 = 100(1 + 0.04)3 = 100(1.12486) = 112.49

Similarmente, la tercera, cuarta y quinta cantidad acumulada, es respectivamente

F3 = 100(1 + 0.04)2 = 100(1.0816) = 108.16

F4 = 100(1 + 0.04)1 = 100(1.04) = 104.00

F5 = 100

El monto de la anualidad luego de 5 depósitos, es

F1 + F2 + F3 + F4 + F5 = 116.99 + 112.49 + 108.16 + 104.00 + 100

= 541.64


Suponga que la tasa de interés en que una anualidad comienza es de i porperiodo de pago (expresado en su forma decimal). Por ejemplo, si una institución

paga el 12 % compuesto mensualmente (12 veces por año), entonces i =0.1212

=

0.01. Si una institución paga el 9 % compuesto trimestralmente (4 veces por año),

entonces i =0.09

4= 0.0225.

Para desarrollar una fórmula del monto de una anualidad, supongamos quese depositan P dólares en n depósitos, cada uno pagado periódicamente a unatasa de interés anual del i %. Cuando se hace el último depósito en el n-ésimo pe-riodo de pago, el primer depósito de P dólares tiene un interés compuesto paran− 1 periodos de pago, el segundo depósito de P dólares tiene un interés com-puesto para n− 2 periodos de pago, y así sucesivamente. La tabla abajo muestrael valor de cada depósito después que n depósitos han sido realizados.

Depósito 1 2 3 . . . n− 1 n

Cantidad P · (1 + i)n−1 P · (1 + i)n−2 P · (1 + i)n−3 . . . P · (1 + i) P

El monto F de la anualidad es la suma de los montos mostrados en la tablaanterior, es decir,

F = P · (1 + i)n−1 + P · (1 + i)n−2 + . . . + P · (1 + i) + P

= P[1 + (1 + i) + . . . + (1 + i)n−1]

La expresión en corchete es la suma de una serie geométrica con n términos yuna razón común de (1 + i). Resulta

F = P[1 + (1 + i) + . . . + (1 + i)n−2 + (1 + i)n−2]

= P1− (1 + i)n

1− (1 + i)= P

1− (1 + i)n

−i= P

(1 + i)n − 1i

Ahora estamos en condición de dar la siguiente definición:

Definición 1.3.4. (Monto de una anualidad). Suponga que P es el depósito hechoal final de cada periodo de pago para un pago anual con una tasa de interés iperiódico. La cantidad F de la anualidad después de n depósitos es

F = P ·[(1 + i)n − 1

i

](1.3.15)


Ejemplo 1.3.10. Hallar el monto de una anualidad luego de 5 depósitos, si sehace un depósito de 200 dólares cada año, al 4 %, compuesto anualmente. ¿Cuáles el interés ganado?

Solución. El depósito es de P = 200 dólares. El número de depósitos es den = 5 y el interés por periodo de pago es de i = 0.04. Usando la fórmula (1.3.15),el monto F luego de 5 depósitos es

F = P ·[(1 + i)n − 1

i

]= 200 ·

[(1 + 0.04)5 − 1

0.04

]= 200(5.416323) = 1083.2646 .

El interés ganado es el monto luego de 5 depósitos menos los 5 depósitos anualesde 200 dólares cada uno:

Interés ganado = F− 1000 = 1083.2646− 1000 = 83.2646 .

Ejemplo 1.3.11. (Ahorrando para la universidad). El Señor Miranda decideahorrar dinero para el futuro estudio universitario de su hija. Él decide hacer undepósito de 50 dólares cada mes en unbanco que le garantiza un interes del4 % compuesto mensualmente. El señorMiranda inicia este programa de ahorrocuando su hija tiene 3 años de edad. ¿Quécantidad de dinero tendrá cuando hace eldepósito 180? ¿Qué edad tiene su hija enese momento?

Solución. Esta es una anualidad con P = 50 dólares, n = 180 depósitos e

i =0.0412

. Entonces el monto guardado F es

F = P ·[(1 + i)n − 1

i

]= 50 ·

(

1 +0.0412

)180

− 1

0.0412

= 50(246.090488) = 12, 304.52

Desde que se hacen 12 depósitos por año, cuando se realiza el depósito 180 han

pasado18012

= 15 años, es decir, su hija tendrá 18 años.


1.3.3. La Función Logaritmo

En la sección anterior estudiamos funciones exponenciales y algunos mode-los. Por ejemplo, conociendo la población inicial de bacterias y el comportamien-do de reproducción por hora, podemos determinar la población de bacterias encualquier tiempo. Ahora necesitamos responder a la siguiente cuestión: si sabe-mos la población de bacterias en un determinado momento, ¿cuánto tiempo ha-brá pasado para que se desarrolle esta población? De manera natural tambiénpodemos preguntarnos ¿cuánto tiempo lleva una cantidad radiactiva para dismi-nuir en 1 % de su muestra original? Para resolver estas cuestiones necesitamosresolver ecuaciones exponenciales, y la manera de hacerlo es usando logaritmos.

Definición 1.3.5. Si a es un número positivo, entonces el logaritmo en base a dex es definido por

loga x = y si y sólo si ay = x

De acuerdo a la definición vemos que el logaritmo de x es un exponente: esteexponente resulta de considerar la potencia de base a con exponente y.

Ejemplo 1.3.12. Hallar los logaritmos en las diferentes bases.

(i) log5 25 (ii) log3 27 (iii) log4 64 (iv) log5 125

Solución. De acuerdo a la definición se tiene(i) log5 25 = 2, pues 52 = 25.

(ii) log3 27 = 3, pues 33 = 27.

(iii) log4 64 = 3, pues 43 = 64.

(iv) log5 625 = 4, pues 54 = 625.

Ejemplo 1.3.13. Evaluar los siguientes logaritmos.

(i) log8 1 (ii) log3 3 (iii) log2 215 (iv) log218

Solución. Ejercicio para el lector.


Ejemplo 1.3.14. Resolver la ecuación log√3 x(x− 2) = 2.

Solución. De acuerdo a la definición tenemos

log√3 x(x− 2) = 2 ⇔ x(x− 2) = (√

3)2 = 3 ⇔ x2 − 2x− 3 = 0

Las soluciones de esta ecuación son x = −1, 3. Por otra parte, log√3 x(x− 2) estádefinida para x(x− 2) > 0 y las soluciones resultan x = −1 y x = 3.

PROPIEDADES BÁSICAS DE LOGARITMOS

A partir de la definición de logaritmo podemos establecer las siguientes pro-piedades básicas

(Propiedades básicas del logaritmo).

(1) loga 1 = 0 : el logaritmo de 1 en cualquier base es cero.

(2) loga a = 1 : el logaritmo de a en base a es igual a 1.

(3) loga ax = x : logaritmo en la base a de la potencia ax es igual a x.

(4) aloga x = x : si elevamos la base a al exponente loga x, conseguimos x.

Ejemplo 1.3.15. Aplicar las propiedades básicas de logaritmos.

(i) log7 1 (ii) log5 5 (iii) log4 49 (iv) 5log5 12

Solución. Usando las propiedades tenemos

(i) log7 1 = 0, (propiedad 1).

(ii) log5 5 = 1, (propiedad 2).

(iii) log4 49 = 9, (propiedad 3).

(iv) 5log5 12 = 12, (propiedad 4).

Ejemplo 1.3.16. Evaluar los siguientes logaritmos.

(i) log8 1 (ii) log3 3 (iii) log2 215 (iv) log218



LA FUNCIÓN LOGARITMO Y SUS GRÁFICAS

A continuación definimos la función logaritmo y estudiamos su gráfica.

Definición 1.3.6. La función logaritmo con base a, es la función

f (x) = loga x, donde a > 0, a ̸= 1

Su dominio natural es dom( f ) = R>0 y su rango ran( f ) = R.

Su gráfica es tal como se muestra en la figura

x

y

x

ya <1))

a < 1))

Observación 1.3.1. Cuando la base es a = 10, el logaritmo log10 x se denota sim-plemente por log x; mientras que si a = e, denotamos ln x := loge x y éste esllamado logaritmo natural. Así tenemos

log x = y ⇔ 10y = x y ln x = y ⇔ ey = x .

Ejemplo 1.3.17. Graficar f (x) = log2 x.

Solución. Tabulando algunos puntos (x, y) tenemos

x f (x) (x, f (x))

1/16 −4 (1/16, −4)

1/8 -3 (1/8, -3)

1/4 -2 (1/4, -2)

1/2 -1 (1/2, -1)

1 0 (1, 0)

2 1 (2, 1)

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

x

y

f( )x = log x2


LAS LEYES DEL LOGARITMO

Desde que logaritmos son exponentes, las leyes de los exponentes son útilespara calcular logaritmos. Sabemos que “para hallar el producto de dos potenciascon la misma base, sumamos los exponentes”.

Por ejemplo, 10x · 10y = 10x+y. Si hacemos A = 10x y B = 10y, entoncesAB = 10x+y y escribiendo estas ecuaciones en su forma logarítmica tenemos

log10 A = x log10 B = y y log10 AB = x + y

De esto se sigue quelog10 AB = log10 A + log10 B

Podemos expresar esta última ecuación diciendo que “el logaritmo de un produc-to es la suma de logaritmos”. Esta ley así como las leyes (las leyes 2 y 3) tambiéncorresponden a las propiedades de los exponentes:

Proposición 1.3.18. (Leyes del logaritmo). Sean A y B números positivos y Ccualquier número real. Se cumplen

(1) loga(AB) = loga(A) + loga(B).

(2) loga

(AB

)= loga(A)− loga(B).

(3) loga(AC) = C loga(A).

Ejemplo 1.3.19. Evaluar cada expresión

(i) log4 2 + log4 32 (ii) log2 80− log2 5 (iii)12

log2 16 (iv) log3 81

Solución.

(i) log4 2 + log4 32 = log4(2 · 32) = log4(64) = 3.

(ii) log2 80− log2 5 = log2

(805

)= log2 16 = 4.

(iii)12

log2 16 = log2(161/2) = log2 4 = 2.

(iv) log3 81 = log3(34) = 4 log3 3 = 4.


Ejemplo 1.3.20. En cada expresión aplique convenientemente las leyes de lo-garitmos

(i) log3 5x (ii) log3x2

y(iii) log4 x2y5 (iv) ln

abc

Solución.

(i) log3 5x = log3 5 + log3 x.

(ii) log3x2

y= log3 x2 − log3 y = 2 log3 x− log3 y.

(iii) log4 x2y5 = log4 x2 + log4 y5 = 2 log4 x + 5 log4 y.

(iv) lnabc

= ln(ab)− ln c = ln a + ln b− ln c.

Ejemplo 1.3.21. Combine las expresiones dadas en un solo logaritmo

(i) 3 log x + 2 log(x− 3) (ii) 5 log s− 12

log(t + 1)

Solución.

(i) 3 log x + 2 log(x− 3) = log x3 + log(x− 3)2 = log[x3 · (x− 3)2

].

(ii) 5 log s− 12

log(t + 1) = log s5 − log(t + 1)1/2 = logs5

(t + 1)1/2.

Ejemplo 1.3.22. Hallar los posibles valores de x tal que

log3 x + log3(x + 2) = 1 .

Solución. De acuerdo a la propiedad (2) tenemos

log3[x(x + 2)] = 1 o log3(x2 + 2x) = 1 .

Escribiendo esta última ecuación de forma exponencial

x2 + 2x = 3 ⇔ (x + 3)(x− 1) = 0

y la única solución resulta x = 1.


1.3.4. Escalas Logarítmicas

El uso de escalas logarítmicas como una herramienta de medida es de granimportancia para establecer el rango de valores de un fenómeno a ser medido.Por ejemplo, el tiempo generalmente se mide en una escala lineal y para periodoscortos esta escala es muy apropiada. Para un tiempo lineal (ver figura (a)), cadamarca en la línea recta representa 1 unidad, y el tiempo lineal puede recorrerun periodo de 10 años. Sin embargo, tal escala resulta inútil en un estudio degeología o para calcular la edad del universo. Si ahora nuestra nuestra escala eslogarítmica, cada marca en la línea representa una potencia de 10 (ver figura (b)).Ahora bien, esta escala con la misma longitud puede recoorer un periodo de 10millones de años.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10años

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10años

0 101

102

103

104

105

106

107

108

109

1010

(a)

(b)

De la misma manera, las medidas logarítmicas son necesarias para el estudiodel sonido ya que por ejemplo, el arranque de un motor es un millón de vecesmás intenso que un barullo de grillo. También son importantes para estudiar laintensidad de un terremoto ya que un terremoto destructivo es millones de vecesmás intenso que un leve movimiento de la Tierra. Rangos similares existen paramedir velocidades muy próximas a la luz, la acicidad de una sustancia química,medida de voltage, etc.

Veamos a continuación algunos de estos modelos

LA ESCALA PHEn química es usual medir la acicidad de una solución dada por su concentra-

ción de ion de hidrógeno (H+) en moles por litro (M). La concentración de ionde hidrógeno varía enormemente de sustancia en sustancia e involucra númerosgrandes. En 1909, Sorensen propuso usar una escala logarítmica para medir laconcentración de ion de hidrógeno. El definió

pH = − log(H+)

El hizo esto para evitar números pequeños y exponentes negativos. Por ejemplo,

Si H+ = 10−4 M entonces pH = − log10(10−4) = −(−4) = 4 .


En otras palabras, la escala pH es una “regla logarítmica” para medir la concen-tración de ion.

4 5 6 7 8 9 10

10-4

10-5

10-6

10-7

10-8

10-9

10-10

Concentración de ion

pH

La tabla muestra el pH para algunas sus-tancias de nuestro uso diario. Las solucio-nes con pH igual a 7 son llamadas neutra-les, aquellos con pH menor que 7 se lla-man acídicos, y aquellos con pH mayorque 7 se llaman básicos. Note que por ca-da unidad que pH crece, H+ decrece porun factor de 10.

Sustancia pHLeche de magnesio 10.5

Agua de mar 8.0 - 8.4Sangre humana 7.3 - 7.5

Galletas 7.0 - 8.5Leche de vaca 6.4 - 6.8

Espinaca 5.1 - 5.7Tomates 4.1 - 4.4Naranjas 3.0 - 3.4

Manzanas 2.9 - 3.3Limón 1.3 - 2.0

Ácido de batería 1.0

Ejemplo 1.3.23. (Concentración de ion de hidrógeno en una muestra de san-gre).

(i) La concentración de ion de hidrógeno de una muestra de sangre humana escalculada por H+ = 3.16× 10−8M. Hallar el pH y determinar si la sangrees acídica o básica.

(ii) La lluvia más ácida ocurrida, sucedió en Escocia en 1974; su pH fue de 2.4.Hallar la concentración de ion de hidrógeno.

Solución. (i) La definición de pH nos da

pH = − log(H+) = − log(3.16× 10−8) ≈ 7.5 .

Así que su pH es de 7.5, y como es mayor que 7, la sangre es básica.(ii) Usando la definición de pH y expresando en su forma exponencial

log(H+) = −pH ⇔ H+ = 10−pH = 10−2.4 ≈ 0.0039 .

ESto significa que la concentración de ion de hidrógeno es aproximadamente4.0× 10−3 moles por litro.


Ejemplo 1.3.24. (Química). En química, el pH es una medida de la acidez obasicidad de una sustancia. El pH se relaciona con la concentración H+ de ionesde hidrógeno, medido en concentración molar, mediante la ecuación

pH = − log(H+)mol

litrosSi una sustancia tiene una concentración de 0.0001 moles, determinemos el pH yla concentración de hidrógeno de una sustancia con un pH de 7.

Solución. El primer pedido resulta de la siguiente evaluación

− log(0.0001) = − log(10−4) = 4 .

Para el segundo pedido necesitamos resolver la ecuación

7 = − log(H+)

Cambiando el signo llegamos a

−7 = log(H+)

Si ahora reescribimos en forma exponencial llegamos a

H+ = 10−7 = 0.0000001 moles .

LA ESCALA DECIBEL

Los científicos modelan las reacciones humanas a los estímulos (tal como elsonido, la luz o la presión) usando funciones logarítmicas. Por ejemplo, la in-tensidad del sonido aumenta enormemente precisamente antes de que lo "sinta-mos"debido a que el volumen se duplica. El psicólogo Gustav Fechner formuló laley como

S = k log(

II0

)donde S es la velocidad subjetiva del estímulo, I es la intensidad física, y I0 es laintensidad física inicial (la intensidad en la cual los sentidos comienzan a perci-bir). La constante k depende del estímulo sonoro (sonido, luz o presión).

El oído es sensible a un amplio rango de intensidades del sonido. La intensi-dad inicial es I0 = 10−12W/m2 (wats por metro cuadrado) a una frecuencia de1000 Hz (hertz) el cual mide el sonido que es apenas audible. La sensación psi-cológica del volumen varía con el logaritmo de la intensidad, así que el nivel deintensidad B medido en decibeles (dB), es definido como

B = 10 · logII0


El nivel de decibeles que apenas es audible en el sonido es

B = 10 · logI0

I0= 10 · log 1 = 0 dB

Así que la escala de decibeles es una escala logarítmica para medir la intensidaddel sonido, con 0 decibeles correspondiendo a 10−12W/m2.

0 20 40 60 80 100 140

10-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

102

Intensidad

Decibel 120

100

W/m( (2

En la tabla arriba se muestran niveles dedecibeles para algunos sonidos comunes.Por ejemplo, el sonido en un concierto derock es de aproximadamente 120 decibe-les; mientras que del tránsito denso es 80,y de las hojas en movimiento varía entre10 y 20.

Fuente sonora dBDespegue de un avión 140

Martillo percutor 130Concierto de rock 120Tren subterráneo 100

Tránsito denso 80Transito común 70

Conversación normal 50Susurro 30

Hojas moviéndose 10 - 20Sonido nulo 0

Ejemplo 1.3.25. (Intensidad de sonido de un despegue de avión). Hallar elnivel de decibeles de un avión durante su despegue si la intensidad se mide en100 W/m2.

Solución. De la definición de nivel de decibeles vemos que

B = 10 · logII0

= 10 · log102

10−2

= 10 log 1014

= 140 .


LA ESCALA RICHTER

En 1935, el geólogo americano Charles Richter (1900-1984) definió la magni-tud M de un terremoto como

M = logIS

donde I es la intensidad de las vibraciones del terremoto (medido por la amplitudde un sismógrafo leído a 100 km del epicentro del terremoto) y S es la intensidadde un terremoto estandar (cuya amplitud es 1 micron = 10−4 centímetros). Lamagnitud de un terremoto estandar es

M = logSS= log 1 = 0

Richter estudió muchos terremotos que ocurrieron entre 1900 y 1950. El mayor deellos tuvo magnitud 8.9 en la escala Richter y el más pequeño tuvo magnitud 0.Esto corresponde a un radio de intensidad de 794,000,000, así que la escala Richterprovee números más manejables para este trabajo. Por ejemplo, un terremoto demagnitud 6 es 10 veces más fuerte que un terremoto de magnitud 5.

Ejemplo 1.3.26. (Terremoto en Esta-dos Unidos). En 1906, un terremoto en Es-tados Unidos, fue estimado con magnitudde 8.3 en la escala Richter. Ese mismo añoocurrió un devastador terremoto en Co-lombia (frontera con Ecuador) con una in-tensidad cuatro veces mayor. ¿Cuál fue lamagnitud en la escala Richter del terremo-to ocurrido en Colombia? sf

.funch

eap.c

om

Solución. Si I es la intensidad del terremoto en Estados Unidos, entonces dela definición de magnitud tenemos

M = logIS= 8.3

La intensidad del terremoto en Ecuador es 4I, así que su magnitud fue

M = log4IS

= log 4 + logIS

= log 4 + 8.3

≈ 8.9


Ejemplo 1.3.27. (Terremoto en el Perú). El día 29 de marzo del 2008, el ser-vicio de información de terremotos del Perú informó un terremoto en el Callaoque midió 5.3 grados en la escala Richter, pero pocas personas se dieron cuentade esto. El año anterior, precisamente el 15 de agosto del 2007, un terremoto enPisco ocasionó aproximadamente 1000 muertos y millones de dólares en daños.Éste midió 7.9 grados en la escala Richter. ¿Cuánto más severo fue el terremotode Pisco, que el del Callao?

Solución. De acuerdo a la definición de la escala Richter

5.3 = logICallao

Sy

7.9 = logIPisco

SEscribiendo nuevamente estas ecuaciones usando la propiedad de los logaritmos

que dice logAB

= log A− log B, ahora tenemos dos ecuaciones nuevas.

5.3 = log ICallao − log S

y

7.9 = log IPisco − log S

Cuando restamos las dos ecuaciones tenemos

7.9− 5.3 = (log IPisco − log S)− (log ICallao − log S)

2.6 = log IPisco − log S− log ICallao + log S

2.6 = log IPisco − log ICallao

Usando ahora la misma propiedad de los logaritmos inversamente,

2.6 = log(

IPisco

ICallao

)Por lo tanto,

IPisco

ICallao= 102.6

Si usas tu calculadora puedes confirmar que 102.6 ≈ 398.11. De hecho,

IPisco = 398.11 ICallao

El terremoto de Pisco tuvo una intensidad de 398.11 veces mayor que el terremotodel callao. ¡Esta es la razón por la cual el terremoto de Pisco estuvo en las noticiasnacionales!


1.3.5. Modelos de Crecimiento y de Decaimiento

En discursos televisivos y en las noticias, la expresión “crecimiento exponen-cial” es comunmente usada para describir cualquier situación que involucra uncrecimiento rápido. Sin embargo, en ciencias, crecimiento exponencial se refiereespecíficamente al crecimiento gobernado por funciones de la forma

P(t) = P0akt, donde P0 > 0 y k > 0

Este es un modelo de una gran clase decrecimientos poblacionales, donde la po-blación se refiere a personas, bacterias, te-léfonos celulares, o dinero. En esta fun-ción, P0 es la población en el tiempo 0, Pes la población en el tiempo t, y k es lla-mada razón de crecimiento exponencial.

Por ejemplo, la función P(t) = 10 × 2t

(discutida en el inicio de esta sección) tie-ne esta forma general. En este caso deci-mos que la población de bacterias crece amedida que pasa el tiempo.

t

tP( (

tP( (=P0 e tk

P0

k <0

dai

ly.w

ired

.it

Similarmente, en ciencias, el decaimiento exponencial se refiere específica-mente al decrecimiento o decaimiento gobernado por funciones de la forma

P(t) = P0ekt, donde P0 > 0 y k < 0

Bajo condiciones ideales, este es un mode-lo efectivo de decrecimiento poblacional ode decaimiento radiactivo. Aquí, P0 es lacantidad de población o de sustancia en eltiempo t. La constante k es llamada cons-tante de decaimiento. t

tP( (

tP( (=P0 e tk

P0

k < 0


Ejemplo 1.3.28. (Modelando el creci-miento de bacterias). En el comienzo deun experimento biológico, 1800 bacteriasestán presentes en una colonia. Dos ho-ras después, el tamaño de la población es2240. Suponga que el tamaño de la pobla-ción crece exponencialmente. si

mply

scie

nce

.ch

(i) Halle la razón de crecimiento k y la ley de crecimiento para esta población.

(ii) ¿Cuántas bacterias hubo luego de 1.5 hr de haber iniciado el experimento?

(iii) ¿Cuánto tiempo pasa para que la población de bacterias sea 6800?

Solución. (i) Desde que la población inicial es 1800, la ecuación P(t) = P0ekt

se convierte enP(t) = 1800ekt

Por otro lado, sabemos que luego de 2 horas de haber comenzado el experimento,el tamaño de la población es 2240. Usando esta información llegamos a

2240 = P(2) = 1800ek(2) = 1800e2k

de dondee2k =

22401800

=5645

Tomando logaritmo llegamos a

2k = ln(

5645

)⇔ k =

ln(56/45)2

≈ 0.22

Por tanto, la ley de crecimiento para la población es

P(t) = 1800e0.22t (1.3.16)

(ii) Para calcular el número de bacterias 1.5 horas luego de haber comenzadoel experimento es suficiente utilizar la ecuación (1.3.16) haciendo

P(1.5) = 1800e0.22(1.5) = 2503.7

o sea que la cantidad de bacterias es aproximadamente 2503.(iii) Para que la población sea 6800 usamos nuevamente la ecuación (1.3.16).

Así tenemos

6800 = 1800e0.22t ⇔ e0.22t =68001800

=349

⇔ t =1

0.22ln(

349

)y llegamos a t ≈ 6.04. Esto nos dice que luego de 6 horas aproximadamente, lapoblación de bacterias alcanza un total de 6800.


Ejemplo 1.3.29. (Crecimiento poblacional en el Perú). El año 2009, la pobla-ción peruana fue de 32.4 millones y la razón de crecimiento exponencial fue de1.13 % por año.

(i) Hallar el modelo de crecimiento exponencial.

(ii) Estimar la población en el 2014.

(ii) ¿Después de cuánto tiempo la población del 2009 será duplicada?

Solución. Hacemos t = 0 para el año 2009. Entonces cuando t = 0, la pobla-ción fue de 32.4 millones y la razón de crecimiento exponencial fue de 1.13 % poraño. Sustituyendo 32.4 para P0 y 1.13 %, o 0.0113 para k, obtenemos la función decrecimiento exponencial.

P(t) = 32.4e0.0113t

(ii) El año 2014 corresponde a t = 5; o sea, han pasado 5 años desde el 2009.Para hallar la población el 2014 sustituimos 5 en lugar de t:

P(5) = 32.4e0.0113(5) = 32.4e0.0565 ≈ 34.3 .

(iii) Ahora determinaremos el tiempo T para el cual P(t) = 2(32.4) = 64.8. Elnúmero T es llamado tiempo de duplicación. Por tanto resolvemos la ecuación

64.8 = 32.4e0.0113T

2 = e0.0113T

ln 2 = ln e0.0113T = 0.0113Tln 2

0.0113= T

61.3 ≈ T

Esto significa que el Perú duplicará su población del 2009 luego de 61.3 añosaproximadamente.

Ejemplo 1.3.30. (Decaimiento radiactivo). Los hospitales utilizan la sustanciaradiactiva iodine-131 en el diagnóstico de la glándula tiroidal. La vida media deliodine-131 es de 8 días.

(i) Determine la razón de decaimiento k para el iodine-131.

(ii) Si un hospital adquiere 3 gr de iodine-131, ¿qué cantidad de muestra debequedar luego de 18 días?

(iii) ¿Cuánto tiempo pasa que sólo quede 0.02 gr de la muestra?


Solución. (i) Usaremos la información de la vida media para hallar el valorde la razón de decaimiento k. Sustituyendo t = 8 en la ley de decaimiento P(t) =P0ekt conseguimos

12

P0 = P(8) = P0ek(8) = P0e8k que implica12= e8k

Usando logaritmo, esta última ecuación se convierte en

8k = ln12

y por tanto k =ln 1

2

8=− ln 2

8≈ −0.08664

(ii) Tenemos que P0 = 3 gr y queremos hallar P(18), que es la cantidad luegode 18 días. Para ello sustituímos P0 = 3 y t = 18 en la ley de decaimientoP(t) = P0ekt para obtener

P(18) = 3e(−0.08664)(18) = 0.63 gr

Esto nos dice que luego de 18 días queda una cantidad aproximada de 0.63 gr deiodine-131.

(iii) Para hallar el tiempo t cuando sólo queda 0.02 gr, sustituímos t en P(t), loque nos da

0.02 = 3e−0.08664t por tanto e−0.08664t ≈ 0.007

La forma logarítmica de esta última ecuación es ln(0.007) = −0.08664t, de dondeconcluímos

t = −ln(0.007)0.08664

≈ 57.2 días

Ejemplo 1.3.31. (Decaimiento radiactivo). El bismuto-210 es un isótopo quedecae exponencialmente, con una razón de decaimiento del 13 % cada día, estosignifica que el 13 % de la muestra de bismuto-210 se transforma en otro átomo(en este caso el polonium-210) cada día. Si comenzamos con una muestra de 100mg de bismut-210, ¿cuánta muestra quedará luego de una semana?

Solución. Notemos que este es un modelo de decaimiento exponencial. Nues-tra cantidad inicial es P0 = 100 y nuestra razón de decaimiento es del 13 %, estosignifica que k = −0.13. Esto nos da la ecuación

P(t) = 100e−0.13t

Esto también puede interpretarse como: si el 13 % decae, entonces queda un 87 %.Luego de una semana, o sea, 7 días, la cantidad de muestra que queda es

P(7) = 100e−0.13(7) = 100e−0.91 = 40.32 mg de bismuto-210.


1.4. Funciones Trigonométricas y sus Inversas

vincentchong-vincent.blogspot.com

Trigonometría es uno de los temas útiles en matemática práctica. Por ejemplo,si viajamos a lo largo de un camino circular sobre una silla de rueda gigante,podemos calcular la distancia viajada luego de un determinado tiempo, así comola velocidad con la que viajamos. Esto se hace simple usando trigonometría.

1.4.1. La Funciones Seno y Coseno

Recordemos que la longitud de una circunferencia de radio r es 2πr unidades;de aquí, una circunferencia de radio 1 tiene longitud 2π unidades. Supongamosahora que cortamos la circunferencia unitaria para formar una cuerda.

Usamos esta cuerda para marcar intervalos de longitud 2π en la recta real.

0 2p 4p 6p 8p-2p-4p-6p-8p 10p-10p

Fijando el punto 0 marcamos intervalos a la derecha del 0 con extremos en2π, 4π, 6π, . . . , etc. Comenzamos nuevamente marcando intervalos a la izquierda

Lord Barrera - Sección 1.4. Funciones Trigonométricas y sus Inversas 111

del cero con extremos en los puntos −2π,−4π,−6π, . . . , etc.Así podemos expresar la recta real como unión disjunta de intervalos

· · · ∪ [−4π,−2π) ∪ [−2π, 0) ∪ [0, 2π) ∪ [2π, 4π) ∪ [4π, 6π) ∪ . . .

Notemos que cada número real pertenece sólo a uno de estos intervalos, estoes, dado x ∈ R existe un único k ∈ Z tal que x ∈

[2kπ, (2k + 2)π

). En otras

palabras,

x ∈[2kπ, (2k + 2)π

)⇔ 2kπ ≤ x < (2k + 2)π ⇔ 0 ≤ x− 2kπ < 2π

Si hacemos l = x− 2kπ, podemos decir que existe un único k ∈ Z tal que

x = k(2π) + l, donde 0 ≤ l < 2π

Ejemplo 1.4.1. Los números reales 327π y −283π

5se expresan como

327π = 163(2π) + π donde π ∈ [0, 2π)

y

−283π

5= (−29)2π +

7π

5donde

7π

5∈ [0, 2π)

Ejemplo 1.4.2. Expresar el número175π

3como en el ejemplo anterior.

Solución. Podemos escribir

175π

3= 29(2π) +

π

3donde

π

3∈ [0, 2π)

Ejemplo 1.4.3. Expresar las siguientes cantidades como en el ejemplo ante-rior.

(i) 1225π (ii)135π

4π (iii) − 89π

2π (iv)

57π

3π (v) − 117π

5π



A continuación vamos a definir las funciones seno y coseno:

Definición 1.4.1. Dado x ∈ R, sabemos que existe k ∈ Z y un único 0 ≤ l < 2π

tal quex = k(2π) + l

El valor l es la longitud de arco que se muestra en la figura abajo, que va desdeel punto (1, 0) hasta el punto M en sentido anti-horario, formándose un ángulo θ

entre el semieje de abscisas y el segmento OM. Convenimos en que el punto Mtiene coordenadas

C = cos x y S = sen x

y llamamos coseno de x y seno de x, respectivamente.

El número cos x es precisamente la proyección del punto M sobre el eje deabscisas, mientras que el número sen x es la proyección de M sobre el eje de or-denadas.

x

C

Sl

M

O

q

(1,0)

De la gráfica vemos que −1 ≤ cos x ≤ 1 y −1 ≤ sen x ≤ 1. Así tenemos

dom(sen) = R y ran(sen) = [−1, 1]

Además

dom(cos) = R y ran(cos) = [−1, 1]

El siguiente ejemplo muestra algunos valores del seno y coseno de ánguloscuadrantales.


Ejemplo 1.4.4. Si x = 0, entonces

M = (1, 0). Así que

cos 0 = 1 y sen 0 = 0

como indica la figura derecha.

• Si x =π

2, entonces M = (0, 1).

cosπ

2= 0 y sen

π

2= 1


• Si x = π, entonces M = (−1, 0).

cos π = −1 y sen π = 0


• Si x =3π

2, entonces M = (0,−1).

cos(

3π

2

)= −1 y sen

(3π

2

)= 0


M

M

M

M

Observación 1.4.1. Cuando k ̸= −1, escribimos

senk x y cosk x

para denotar (sen x)k y (cos x)k, respectivamente. En particular, las expresionessen2 x y cos2 x significan (sen x)2 y (cos x)2, respectivamente.

Cuando k = −1, también podemos escribir

sen−1 x y cos−1 x

pero como veremos mas adelante, esta notación se reserva para las inversas delseno y el coseno, respectivamente.


Veamos a continuación las gráficas del seno y el coseno.

x

x

y

y

senxy =

cosxy =

p2

3p2

pp2

3p2

p- - -

p2

p 3p2

p2

-p-3p

2-

1

-1

1

-1

Debemos notar que la gráfica del coseno es similar a la gráfica del seno. Ustedpuede pensar que la gráfica del coseno resulta de trasladar la gráfica del seno unadistancia de π/2 unidades a la izquierda. En ambos casos, las curvas se muevenen una banda de ancho 2 (que es la longitud del rango [−1, 1]) y se extienden alo largo de toda la recta real (que es el dominio). Otra cosa que debemos obser-var es que las gráficas del seno y el coseno tienen periodo 2π, esto significa quesi tomamos un pedazo de cada curva sobre una longitud 2π, la curva se repitenuevamente.

En lo que sigue vamos a adoptar la manera fácil de entender los númerossen x y cos x. Ya sabemos que dado x ∈ R, podemos escribir

x = k(2π) + l donde 0 ≤ l < 2π (1.4.17)


Podemos interpretar a esta ecuación como sigue: tomemos una cuerda de lon-gitud |x| y fijemos uno de su extremos en el punto (1, 0).

Si k > 0, entonces la ecuación (1.4.17)implica que enrollamos la cuerda (ensentido antihorario) sobre la circunfe-rencia unitaria, k vueltas, luego l midela longitud (en el mismo sentido) des-de el punto (1, 0) hasta el otro extremode la cuerda.

Similarmente, si k < 0, entonces laecuación (1.4.17) implica que enrolla-mos la cuerda (en sentido horario) so-bre la circunferencia unitaria, k vueltas,luego l mide la longitud (en el sentidohorario) desde el punto (1, 0) hasta elotro extremo de la cuerda.

l

q

l

q

Los casos anteriores nos dan una buena aproximación para presentar la defi-nición tradicional del seno y el coseno. En lo que sigue vamos a mirar el ánguloθ, o sea, el ángulo que subtiende el arco de longitud l.

Debemos tener presente que

θ es agudo si 0 < θ <π

2

θ es obtuso siπ

2< θ < π

Las figuras abajo describen cada uno de estos casos:

q

cateto adyacente

cate

to o

pues

to

hipotenusa

( )x y,

qx

yr

r

= x2+ y2

x

y


Entonces podemos definir

Definición 1.4.2. (Seno y coseno).

(i) Si θ es agudo

sen θ =cateto opuesto

hipotenusay cos θ =

cateto adyacentehipotenusa

(ii) Si θ es agudo o cualquier ángulo menor que una vuelta

sen θ =ordenada

radio vectory cos θ =

abscisaradio vector

Ejemplo 1.4.5. Evaluar seno y coseno de π/3.

Solución. Comenzamos nuestro desarro-llo dibujando el ángulo agudo θ = π/3 ensu posición estandar, como se muestra enla figura derecha. Debido a que θ = π/3radianes, es equivalente a 60◦, usted pue-de imaginar un triángulo equilátero conlados de longitud 1 y θ en cada uno de susángulos.

( )x y,

x

y

r = 1

x

y

q

También, la altura del triángulo biseca a la base y sabemos que x = 1/2.Usando el teorema de Pitágoras obtenemos

y =√

r2 − x2 =

√12 −

(12

)2

=

√34=

√3

2.

Ahora bien, usando x =12

, y =12

√3, y r = 1, podemos hallar los valores del

seno y el coseno como siguen:

senπ

3=

yr=

12

√3

1=

√3

2y

cosπ

3=

xr=

121=

12


Ejemplo 1.4.6. Imitando el ejemplo anterior se obtiene que

senπ

4=

√2

2, cos

π

4=

√2

2sen

π

6=

12

cosπ

6=

√3

2

De los resultados previos resumimos los valores del seno y coseno para algu-nos ángulos.

0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2

Seno 0 1/2√

2/2√

3/2 1 0 -1

Coseno 1√

3/2√

2/2 1/2 0 -1 0

Teorema 1.4.7. (Fórmula de Pitágoras). Para todo número real x, se cumple

sen2 x + cos2 x = 1.

Observación 1.4.2. Del teorema 1.4.7 se desprende que

cos x = ±√

1− sen2 x

ysen x = ±

√1− cos2 x

La ambiguedad del signo se resuelve especificando el cuadrante en el que se en-cuentra el punto M = (cos x, sen x).

Ejemplo 1.4.8. Sea3π

2< x < 2π y cos x =

13

. Hallar sen x.

Solución. El punto está en el cuarto cuadrante, o sea, sen x < 0. Por tanto,

sen x = −√

1− cos2 x = −√

89= −2

√2

3.

Ejemplo 1.4.9. Seaπ

2< x < π y sen x =

25

. Hallar cos x.

Solución. El punto está en el segundo cuadrante, o sea, cos x < 0. Por tanto,

cos x = −√

1− sen2 x = −√

2125

= −√

215

.


Teorema 1.4.10. (Identidades simétricas). Dado x ∈ R, se cumplen:

sen(−x) = − sen x

cos(−x) = cos x

sen(π − x) = sen x

cos(π − x) = − cos x

sen(π + x) = − sen x

cos(π + x) = − cos x

Observación 1.4.3. Las funciones seno y coseno son funciones periodicas de pe-riodo 2π, es decir, para todo x ∈ R

sen(2π + x) = sen x y cos(2π + x) = cos x

Observación 1.4.4. Debido a la periodicidad del seno y el coseno, para todo x ∈ R

y k ∈ Z se cumplen:

cos(2kπ + x) = cos x y sen(2kπ + x) = sen x.

Teorema 1.4.11. (Identidades complementarias). Para todo x ∈ R se cumplen:

(a) sen(π

2+ x)= cos x.

(b) sen(π

2− x)= cos x.

(c) cos(π

2+ x)= − sen x.

(d) cos(π

2− x)= sen x.

Ejemplo 1.4.12. Calculemos sen3π

4y cos

3π

2.

Solución.

sen3π

4= sen

(π

2+

π

4

)= cos

π

4=

√2

2y

cos3π

2= cos

(π

2+ π

)= − sen π = 0 .


INVERSAS DEL SENO Y EL COSENO

Sabemos que la función sen x es periódica pero no inyectiva (sobre su dominionatural), y por tanto no admite inversa. Sin embargo, al considerar el dominio[−π

2,

π

2

], tenemos la función seno principal definida

Definición 1.4.3. La función seno principal es

sen :[−π

2,

π

2

]→ [−1, 1]

x 7→ sen x

que ahora resulta biyectiva, cuya inversa es la función arc sen x definida como:

Definición 1.4.4. (Función arco seno).

arc sen : [−1, 1] →[−π

2,

π

2

]x 7→ arc sen x

x

y

senxy =

p

2

p

2-

1

-1

x

yp

2

p

2-

-1 1

arcsenxy =

Ejemplo 1.4.13. Calculemos arc sen12

y arc sen

√2

2.

Solución. Sabemos que senπ

6=

12∈ [−1, 1]. Por tanto

arc sen12=

π

6.

Por otro lado, cosπ

4=

√2

2∈ [−1, 1]. Luego

arc sen

√2

2=

π

4.


Ahora miremos la inversa del coseno: sabemos que la función cos x es perió-dica pero no inyectiva, por tanto no admite inversa. Sin embargo al considerar eldominio [0, π], tenemos la función coseno principal definida por

Definición 1.4.5. La función coseno principal es

cos : [0, π] → [−1, 1]x 7→ cos x

que ahora resulta una función biyectiva cuya inversa es la función arc cos xdefinida como sigue:

Definición 1.4.6. (Función arco coseno).

arc cos : [−1, 1] → [0, π]

x 7→ arc cos x

Las gráficas del coseno principal y del arcocoseno se muestran a continuación:

x

y

cosxy =

p

1

-1

O

y

x

-1 1O

p

arccosxy =

Ejemplo 1.4.14. Calculemos arc cos12

y arc cos

√2

2.

Solución. Sabemos que cosπ

6=

√3

2∈ [−1, 1]. Por tanto

arc cos

√3

2=

π

6.

Por otro lado, cosπ

4=

√2

2∈ [−1, 1]. Luego

arc cos

√2

2=

π

4.


VALORES PRINCIPALES Y ECUACIONES

Veamos algunas técnicas para resolver ecuaciones trigonométricas:

Definición 1.4.7. El valor principal de la ecuación

sen x = A

es el único número θ ∈[−π

2,

π

2

]tal que sen θ = A. Denotamos al valor principal

por vp .

Ejemplo 1.4.15. El valor principal de la ecuación sen x =12

es el

número x =π

6.

Ejemplo 1.4.16. Hallar el valor principal de la ecuación sen x =

√2

2.


Teorema 1.4.17. Dada la ecuación

sen x = A (1.4.18)

Las soluciones de (1.4.18) se consiguen mediante la fórmula

x = nπ + (−1)nvp , n ∈ Z.

Ejemplo 1.4.18. Resolver la ecuación

sen x = 0 (1.4.19)

Solución. Claramente el valor principal es vp = 0. De acuerdo al teoremaanterior, la solución general de la ecuación (1.4.19) es

x = nπ, n ∈ Z.

Ejemplo 1.4.19. Resolver la ecuación sen x =12

.

Solución. Claramente, el valor principal es vp =π

6. De acuerdo al teorema

anterior, la solución general de la ecuación (1.4.19) es

x = nπ + (−1)n π

6, n ∈ Z.


Ejemplo 1.4.20. Hallar las soluciones de la siguiente ecuación en el intervaloque se indica

sen x = −√

22

, [−π, π]

Solución. Aquí el valor principal es vp = −π/4, luego la solución general es

x = nπ + (−1)n(− π

4

), n ∈ Z

Por otra parte,

n = −2 : x = −2π − π

4̸∈ I

n = −1 : x = −π +π

4∈ I

n = 0 : x = −π

4∈ I

n = 1 : x = π +π

4̸∈ I

n = 2 : x = 2π − π

4̸∈ I

Luego el conjunto solución es {−3π/4,−π/4}.


cos x = A

es el único número θ ∈ [0, π] tal que cos θ = A. Denotamos al valor principal porvp.

Ejemplo 1.4.21. El valor principal de la ecuación cos x =12

es el

número x =π

3. En efecto, sabemos que

cos(π

3

)=

12

yπ

3∈ [0, π]

O sea que vp =π

3.

Ejemplo 1.4.22. Calcular el valor principal de la ecuación cos x = 0.



Teorema 1.4.23. Dada la ecuación

cos x = A (1.4.20)

Las soluciones de (1.4.20) se calculan mediante la fórmula

x = 2nπ ± vp , n ∈ Z.

Ejemplo 1.4.24. Resolver la ecuación cos x = 0 .

Solución. Claramente el valor principal es vp = π/2. De acuerdo al teoremaanterior, la solución general de la ecuación inicial es

x = 2nπ ± π

2, n ∈ Z o también x = (2n + 1)

π

2, n ∈ Z.

Ejemplo 1.4.25. Resolver la ecuación

cos x =12

(1.4.21)

Solución. En primer lugar hallemos el valor principal de esta ecuación. Sabe-mos que

cos(π

3

)=

12

y queπ

3∈ [0, π]

Luego vp =π

3. Ahora bien, de acuerdo al teorema anterior, las soluciones de la

ecuación (1.4.21) toman la forma

x = 2nπ ± π

3, donde n ∈ Z .

Ejemplo 1.4.26. Hallar las soluciones de la siguiente ecuación en el intervaloque se indica

cos x =

√3

2, [0, 2π]

Solución. Aquí el valor principal es vp = π/6, luego la solución general es

x = 2nπ ± π

6, n ∈ Z

Por otra parte,

n = 0 : x = −π

6o x =

π

6

n = 1 : x = 2π − π

6o x = 2π +

π

6

Luego el conjunto solución es {π/6, 11π/6}.


1.4.2. Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante

Terminamos este apartado haciendo una ligera revisión de las funciones tri-gonométricas, son consecuencia del seno y el coseno.

Definición 1.4.9. Definimos las funciones tangente, cotangente, secante y cose-cante, respectivamente, como sigue

tg : R \{(2n + 1)

π

2: n ∈ Z

}→ R

x 7→ sen xcos x

cotg : R \ {nπ : n ∈ Z} → R

x 7→ cos xsen x

sec : R \{(2n + 1)

π

2: n ∈ Z

}→ (−∞,−1] ∪ [1,+∞)

x 7→ 1cos x

csc : R \ {nπ : n ∈ Z} → (−∞,−1] ∪ [1,+∞)

x 7→ 1sen x

Las gráficas de la tangente y cotangente son, respectivamente

x

tg xy =

p

2pp

2-

p-

y

x

ctgxy =

p

2pp

2-

y

Observación 1.4.5. Notemos a partir de la definición que

dom(tg) = R \{(2n + 1)

π

2: n ∈ Z

}y ran(tg) = R .

dom(cotg) = R \ {nπ : n ∈ Z} y ran(cotg) = R .


Las gráficas de la secante y cosecante son, respectivamente

x

secxy =

y

cscxy =

x

1

-1

p2

3p2

pp2

-p- p

2

3p2

pp2

-p-

-1

1

y

Observación 1.4.6. Notemos a partir de la definición que

dom(sec) = R \{(2n + 1)

π

2: n ∈ Z

}y ran(sec) = (−∞,−1] ∪ [1,+∞) .

dom(csc) = R \ {nπ : n ∈ Z} y ran(csc) = (−∞,−1] ∪ [1,+∞) .

Proposición 1.4.27. Se cumplen:

(i) sen x csc x = 1, cos x sec x = 1 y tg x cot x = 1 .

(ii) 1 + tg2 x = sec2 x y 1 + cotg2 x = csc2 x .

Completamos las funciones trigonométricas inversas definiendo

Definición 1.4.10. La función tangente principal es la restricción de la funciónx 7→ tg x al intervalo

(−π

2,

π

2

). Con tal restricción

tg :(−π

2,

π

2

)→ R

x 7→ tg x

es biyectiva con inversa

arc tg : R →(−π

2,

π

2

)x 7→ arctan x


Ejemplo 1.4.28. (Piloto de un bombar-dero). Un piloto de avión de combate ob-serva desde su cabina la vista panorámicadel horizonte donde ejecutara su plan deataque. Su vista está a 25 cm de la esquinatrasera de la cabina y el punto de intersec-ción de las líneas visuales laterales con elcasco de la cabina dista 50 cm de la esqui-na trasera. ¿Cuál es el ángulo total de suvisión periferica? d

emo.e

ver

exper

t.co

mSolución. Sea α el ángulo total de su visión periférica como se muestra en la

figura abajo.

25

50

x

y

a

x = 2 - 25

225

25

q

a

2

50

2545

Podemos describir la situación geométrica con un triángulo rectángulo cuyoslados son 25

√2 cm y la hipotenusa midiendo 50 cm. En el triángulo, el ángulo θ

se calcula mediante

tan θ =yx

=25√

2

25(√

2− 1)

=

√2

(√

2− 1)≈ 3.414 .

Usando la función arcotangente se puede ver que θ = 73.7◦. Así que α/2 =

180◦ − 73.7◦ = 106.3◦, el cual implica que α = 212.6◦.



tg x = A

es el único número θ ∈(−π

2,

π

2

)tal que tg θ = A. Denotamos al valor principal

por vp .

Teorema 1.4.29. La ecuacióntg x = A

tiene como solucionesx = nπ + vp , n ∈ Z.

Ejemplo 1.4.30. En cada caso, calcular el rango de la función y sus raíces.

(i) f (x) = sen(x + π) (ii) g(x) =12

cos(x− π)− 4 (iii) h(x) = tg(−x)

(iv) k(x) = sen(2x) + 1 (v) n(x) = | cos x|+ 1 (vi) p(x) = sen(|x|)− 2

Solución. (i) Claramente ran( f ) = [−1, 1]. Por otro lado,

Raíces de f = {x ∈ R : sen(x + π) = 0}= {x ∈ R : x + π = nπ, n ∈ Z}= {(n− 1)π : n ∈ Z}

(ii) Tenemos

g(x) =12

cos(x− π)− 4

luego

−1 ≤ cos(x− π) ≤ 1⇔ −12≤

cos(x− π)

2≤ 1

2

⇔ −12− 4 ≤

cos(x− π)

2− 4 ≤ 1

2− 4

⇔ −92≤

cos(x− π)

2− 4 ≤ −7

2

Por tanto, ran( f ) = [−9/2,−7/2].


También

Raíces de g = {x ∈ R :12

cos(x− π)− 4 = 0}

= {x ∈ R : cos(x− π) = 8}= ∅

(iii) En este caso tenemos ran(h) = R. También

Raíces de h = {x ∈ R : tg(−x) = 0}= {x ∈ R : −x = nπ, n ∈ Z}= {nπ : n ∈ Z}

(iv) Tenemosk(x) = sen(2x) + 1

luego−1 ≤ sen(2x + 1) ≤ 1 ⇔ 0 ≤ sen(2x) + 1 ≤ 2

por tanto, ran(k) = [0, 2]. También

Raíces de k = {x ∈ R : sen(2x) + 1 = 0}= {x ∈ R : sen(2x) = −1}= {x ∈ R : 2x = nπ + (−1)n(−π/2), n ∈ Z}

={nπ

2+

π

4(−1)n+1 : n ∈ Z

}(v) Desde que

−1 ≤ cos x ≤ 1 ⇔ 0 ≤ | cos x| ≤ 1 ⇔ 1 ≤ | cos x|+ 1 ≤ 2

se sigue que ran(n) = [1, 2]. También

Raíces de n = {x ∈ R : | cos x|+ 1 = 0}= {x ∈ R : | cos x| = −1}= ∅

(vi) Desde que

−1 ≤ sen(|x|) ≤ 1 ⇔ −3 ≤ sen(|x|)− 2 ≤ −1

se sigue que ran(p) = [−3,−1]. También

Raíces de p = {x ∈ R : sen(|x|)− 2 = 0}= {x ∈ R : sen(|x|) = 2}= ∅

Lord Barrera - Sección 1.5. Algo Más Acerca de Funciones 129

1.5. Algo Más Acerca de Funciones

En esta sección nos encargamos de entender un poco más las gráficas de algu-nas funciones. Utilizaremos algunas transformaciones geométricas que nos per-mitirán usar algunas funciones elementales para crear otras funciones.

1.5.1. Transformaciones de la Gráfica de una Función

Las transformaciones geométricas utilizadas en esta subsección son la trasla-ción, ampliación, compresión y reflexión, que nos permitirán generar las gráficasde nuevas funciones a partir de la gráfica de una función dada. Las propiedadesgenerales de estas transformaciones son bastante útiles para graficar una grangama de funciones.

x

y

x x

y y

f ( (x =x2 f ( (x =x f ( (x = x

TRASLACIÓN HORIZONTAL Y VERTICAL

La transformación más simple que podemos considerar es aquella que resultade desplazar la gráfica de una función tanto horizontal como verticalmente. Estatransformación es llamada traslación.

Ejemplo 1.5.1. (Comparando las gráficas de f (x) = x + 1 y g(x) = x + 3).Hacer una tabla de valores para las funciones f (x) = x + 1 y g(x) = x + 3

para x = −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3. Enseguida use la tabla para graficar ambas funcio-nes. ¿Cuáles son los dominios de f y de g?

Solución. En la izquierda se muestra la tabla de valores para ambas funcio-nes, mientras que a la derecha las gráficas de ambas funciones.


x f (x) = x + 1 g(x) = x + 3

-3 -2 0

-2 -1 1

-1 0 2

0 1 3

1 2 4

2 3 5

3 4 6

x

y

f ( (x =x +1

g( (x =x +3

1 2 3 4

1

2

3

4

5

-1-2-3-4

Observemos lo siguiente:

(i) En la tabla vemos que los valores de g(x) = x + 3 son dos unidades másque los correspondientes valores de f (x) = x + 1.

(ii) La gráfica de g(x) = x + 3 tiene la misma forma que la gráfica de f (x) =

x + 1, que resulta de trasladar dos unidades.

El dominio de ambas funciones es el conjunto de números reales. En la gráficavemos que el rango de ambas funciones también resulta el conjunto de númerosreales.

A continuación formalicemos la definición de traslación en la siguiente defi-nición:

Definición 1.5.1. (Traslación vertical).Sea f una función y c una constantepositiva.

(i) La gráfica de g(x) = f (x) + c re-sulta de trasladar c unidades ha-cia arriba a la gráfica de f (x).

(ii) La gráfica de g(x) = f (x)− c re-sulta de trasladar c unidades ha-cia abajo a la gráfica de f (x). x

y

xf ( (

xf ( (-c

xf ( (+c

c

c

Suponga que ahora tiene una función y = f (x). Exploraremos las gráficas delas nuevas funciones y = f (x− c) e y = f (x + c) para c > 0.


Ejemplo 1.5.2. (Comparando las funciones f (x) = x2 y g(x) = (x − 2)2.Hacer una tabla de valores para las funciones f (x) = x2 y g(x) = (x − 2)2 parax = −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3. Enseguida use la tabla para graficar ambas funciones.¿Cuáles son los dominios de f y de g?

Solución. En la izquierda se muestra la tabla de valores para ambas funcio-nes, y en la derecha las gráficas de ambas funciones.

x f (x) = x2 g(x) = (x − 2)2

-2 4 16

-1 1 9

0 0 4

1 1 1

2 4 0

3 9 1x

f ( (x =x

g( (x =x

1 2 3 4

1

2

3

4

-1-2

5

2

-2( (2

5 6

y


(i) En la tabla vemos que los valores de g(x) = (x− 2)2 resultan de restar dosunidades a las entradas de f (x) = x2, y luego elevar al cuadrado.

(ii) La gráfica de g(x) = (x− 2)2 tiene la misma forma que la gráfica de f (x) =x2, que resulta de trasladar dos unidades a la derecha.

El dominio de ambas funciones es el conjunto de números reales. En la gráficavemos que el rango de ambas funciones también resulta el conjunto de númerosreales.

Definición 1.5.2. (Traslación horizon-tal). Sea f una función y c una cons-tante positiva.

(i) La gráfica de g(x) = f (x− c) re-sulta de trasladar c unidades a laderecha a la gráfica de f (x).

(ii) La gráfica de g(x) = f (x + c) re-sulta de trasladar c unidades a laizquierda a la gráfica de f (x).

x

yxf ( ( xf ( (-cxf ( (+c

c

c


Ejemplo 1.5.3. (Combinando traslaciones horizontales y verticales). Use lastraslaciones horizontales y verticales, apoyándose en tabla de valores, para grafi-car las funciones

(i) g(x) =√

x + 2 y (ii) f (x) = |x + 3| − 2.

Solución. (i) La gráfica de g(x) =√

x + 2 es una traslación horizontal de 2unidades a la izquierda de la gráfica de f (x) =

√x, pues, g(x) =

√x + 2 =

f (x + 2) = f (x− (−2)). Haciendo la tabla de valores y la gráfica se tiene

x f (x) =√

x g(x) =√

x + 2

-2 0

-1 1

0 0√

2

1 1√

3

2√

2 2

3√

3√

5

x

y

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

1

2

3

4

5

f ( (x = x

g( (x = x +2

(ii) La gráfica de la función g(x) = |x + 3| − 2 consiste de una traslación dela gráfica de f (x) = |x| mediante 3 unidades a la izquierda, y de una traslaciónvertical de 2 unidades hacia abajo.

x f (x) = |x| g(x) = |x + 3| − 2

-3 3 -2

-2 2 -1

-1 1 0

0 0 1

1 1 2

2 2 3

3 3 4

x

y

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

1

2

3

4

5

-1

-2g( (x =x

f ( (x =x

+3

=x +3y

-2

Examinando la tabla de valores vemos que los valores de y = |x + 3| son losvalores de f (x) = |x| que se trasladan 3 unidades a la izquierda.

Para hallar los valores de g(x) = |x + 3| − 2 trasladamos los valores de y =

|x + 3| dos unidades hacia abajo. Podemos graficar la función g(x) = |x + 3| − 2en dos pasos: primero trasladando de manera horizontal, y luego trasladando demanera vertical.


AMPLIACIÓN, COMPRESIÓN Y REFLEXIÓN VERTICAL

Ahora veremos qué sucede cuando una función es multiplicada por una cons-tante no nula. Es natural esperar que las salidas de una función sean más grandescada vez que multiplicamos por un número mayor que 1; mientras que al multi-plicar a una función por un número positivo menor que 1, es natural esperar quelas salidas sean más pequeñas.

Ejemplo 1.5.4. (Graficando una función y sus múltiplos por constantes). Ha-cer una tabla de valores para las funciones f (x) = x2, g(x) = 2x2 y h(x) = 1

2 x2,para x = −3,−2,−1, 9, 1, 2, 3.

Solución. La tabla de valores se describe en la parte izquierda, mientras quelas gráficas se muestran a la derecha.

x f (x) = x2 g(x) = 2x2 h(x) = 12 x2

-3 9 18 4.5

-2 4 8 2

-1 1 2 0.5

0 0 0 0

1 1 2 0.5

2 4 8 2

3 9 18 4.5x

y

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

4

8

12

16

20

24

xf ( ( =x2

xh( ( = x2

2

xg( ( =x22

1


(i) La gráfica de g(x) = 2x2 = 2 f (x) tiene como salida el doble de f (x) = x2;así que g(x) ≥ f (x) para todo x. La gráfica de g(x) se desplaza verticalmen-te hacia arriba.

(ii) La gráfica de h(x) = 12 x2 = 1

2 f (x) tiene como salida la mitad de f (x) = x2;así que h(x) ≤ f (x) para todo x. La gráfica de h(x) se desplaza verticalmen-te hacia abajo.

Como vimos en el ejemplo anterior, multiplicamos f (x) por una constante nonula que tiene el efecto de ampliar las salidas f (x). El resultado es un estiramientoo una compresión de la gráfica de f (x).

La discusión anterior nos permite definir la ampliación de la gráfica de unafunción.


Definición 1.5.3. (Ampliación verti-cal). Sea f una función y c una cons-tante positiva.

(i) Si c > 1, la gráfica de g(x) =

c f (x) resulta de estirar a f (x) alo largo del eje y.

(ii) Si 0 < c < 1, la gráfica deg(x) = c f (x) resulta de compri-mir a f (x) a lo largo del eje y.

x

y

xf ( (

xf ( (

xf ( (

c

c 0< c<1,

c <1,

También podemos considerar la gráfica de g(x) = − f (x). En este caso, lasegunda coordenada de (x, g(x)) debe ser la parte negativa de la segunda coor-denada de (x, f (x)). Gráficamente, este resultado es una reflexión de la gráficade f (x) con respecto al eje x.

Definición 1.5.4. (Reflexión con res-pecto al eje x). Sea f una función.La gráfica de g(x) = − f (x) es la grá-fica de f (x) que se refleja con respectoal eje x. La figura a la derecha describeeste comportamiento.

x

y

xf ( (xf ( (-

Muchos problemas gráficos involucran combinaciones de traslaciones hori-zontales y verticales, así como estiramientos, compresiones y reflexiones. Estasacciones en la gráfica de una función son conocidas como transformaciones de lagráfica de la función. A continuación exploramos algunos ejemplos.

Ejemplo 1.5.5. (Graficando mediante transformaciones). En cada caso, iden-tifique la función básica f (x) que es transformada para obtener g(x). Entoncesuse transformaciones para graficar tanto f (x) como g(x).

(i) g(x) = 3√

x (ii) g(x) = −2|x| (iii) g(x) = −2|x + 1|+ 3

Solución. (i) La gráfica de la función g(x) = 3√

x es un estiramiento verticalde la gráfica de f (x) =

√x, ya que los valores de la función f (x) son multipli-


cados por un factor 3. Ambas funciones tienen dominio [0,+∞). A continuaciónmostramos la tabla de valores y las gráficas de ambas funciones.

x f (x) =√

x g(x) = 3√

x

0 0 0

1 1 3

2 1.414 4.243

4 2 6

9 3 9 x

y

1 2 3 4 5

2

3

4

5

1

6

7

89

6 7 8 9

xf ( (= x

xf ( (= x3

(ii) La gráfica de la función g(x) = −2|x| consiste de un estiramiento verticaly luego una reflexión de la gráfica de f (x) = |x|, a lo largo del eje y. En este caso,los valores de f (x) no solo se duplican sino que se hacen negativos. La tabla y lasgráficas de estas funciones se muestran a continuación

x f (x) = |x| g(x) = −2|x|-3 3 -6

-2 2 -4

-1 1 -2

0 0 0

1 1 -2

2 2 -4

3 3 -6

x

y

1 2 3 4-1-2-3-4

2

4

-6

-8

-2

-4

xf ( (= x

xg( (= x-2

(iii) Podemos ver que la gráfica de g(x) resulta de transformar la gráfica def (x) = |x| en la siguiente manera:

f (x) = |x| → y1 = −2|x| → y2 = −2|x+ 1| → g(x) = −2|x+ 1|+ 3

Las flechas se explican en los siguientes ítems:

(1) La primera flecha corresponde al estiramiendo doble y luego la reflexióncon respecto al eje x.

(2) La segunda flecha es una traslación horizontal de 1 unidad hacia la izquier-da.

(3) La tercera flecha es una traslación vertical de 3 unidades hacia arriba.


La transformación que lleva f (x) = |x|para y1 = −2|x| ya fue discutido y gra-ficado en la parte (ii). Tomando ahora lagráfica de y1 = −2|x| y trasladando haciala izquierda una unidad y luego subiendo3 unidades, conseguimos lo pedido (ver fi-gura derecha).

x

y

1 2 3 4-1-2-3-4

2

4

-6

-8

-2

-4

xf ( (= x

xg( (

= x-2y1

= x-2y1 +1

= x-2 +1 +3

AMPLIACIÓN, COMPRESIÓN Y REFLEXIÓN HORIZONTAL

El conjunto final de transformaciones, involucra estiramientos y compresio-nes de la gráfica de una función a lo largo del eje horizontal. En notación funcio-nal, examinaremos la relación entre la gráfica de f (x) y la gráfica de f (cx), c > 0.Una buena forma de estudiar este tipo de transformaciones es mirando primeroa la gráfica de una función y su correspondiente tabla de valores.

Ejemplo 1.5.6. Consideremos la siguiente función, f (x), definida por la grá-fica como se muestra en la figura abajo, con su correspondiente tabla de valores.

x -4 -2 0 2 4

f (x) 0 2 4 2 0

-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5

1

2

3

4

x

y

xf ( (

-1

A continuación vamos a hacer la tabla de valores para f (2x) y f ( 12 x), así

como también sus gráficas. Para f (2x), si evaluamos en x = 1 y usamos la tabla


arriba tenemos f (2(1)) = f (2) = 2. La tabla para f (2x) se ve abajo.Para f ( 1

2 x). Si evaluamos en x = 4 y usamos la tabla arriba, tenemos la igual-dad f ( 1

2 (4)) = f (2) = 2. La tabla para f ( 12 x) se ve abajo.

x -2 -1 0 1 2

f (2x) 0 2 4 2 0

x -8 -4 0 4 8

f ( 12 x) 0 2 4 2 0

La gráfica de f (2x) es una compresión horizontal de la gráfica de f (x) (verfigura (a)). La gráfica de f ( 1

2 x) es un estiramiento horizontal de la gráfica de f (x)(ver figura (b)).

1

xx

y y

2

3

4

-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5 -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4(a) (b)

xf ( (2

xf ( (

xf ( (

xf (21(

La discusión precedente nos permite definir la ampliación horizontal de lagráfica de una función.

Definición 1.5.5. (Ampliación hori-zontal). Sea f una función y c unaconstante positiva.

(i) Si c > 1, la gráfica de g(x) =

f (cx) resulta de comprimir af (x) a lo largo del eje x.

(ii) Si 0 < c < 1, la gráfica de g(x) =f (cx) resulta de estirar a f (x) alo largo del eje x.

xf ( (

xf ( (

c

xf ( (c

0< c<1

c <1

x

y

También podemos considerar la gráfica de g(x) = f (−x) el cual es una refle-xión de la gráfica de f (x) con respecto al eje y.


Definición 1.5.6. (Reflexión con res-pecto al eje y). Sea f una función.La gráfica de f (x) = f (−x) es la grá-fica de f (x) que se refleja con respectoal eje y. La figura a la derecha describeeste comportamiento.

x

y

xf ( (xf ( (-

Ejemplo 1.5.7. La gráfica de f (x) semuestra en la figura derecha. Utilice estagráfica para hacer las gráficas de

(i) g(x) = f (3x) y

(ii) g(x) = f (−x) + 1.

Solución. (i) La gráfica de f (3x) es unacompresión horizontal de la gráfica def (x). La tabla abajo describe la transfor-mación f (x) 7→ f (3x).

Punto de f (x) Punto de f (3x)

(−3, 0) ( 13 (−3), 0) = (−1, 0)

(0,−1) ( 13 (0),−1) = (0,−1)

(3, 2) ( 13 (3), 2) = (1, 2)

(ii) La gráfica de f (−x) + 1 es una refle-xión con respecto al eje y seguida por unatraslación vertical hacia arriba. Algunosvalores se muestran en la siguiente tabla.

Punto de f (x) Punto de f (−x) + 1

(−3, 0) (−(−3), 0 + 1) = (3, 1)

(0,−1) (−(0),−1 + 1) = (0, 0)

(3, 2) (−(3), 2 + 1) = (−3, 3)

y

x1 2 3 4 5-4-5 -3

1

2

3

4

-1-2

-3

-4

3( ,2 (

0( ,-1 (

-3( ,0 (xf ( (

y

x1 2 3 4 5-4-5 -3

1

2

3

4

-1-2

-3

-4

3( ,2 (

0( ,-1 (

-3( ,0 ( xf ( (

1( ,2 (

-1( ,0 (

xf ( (3

y

x1 2 3 4 5-4-5 -3

1

2

3

4

-1-2

-3

-4

3( ,2 (

0( ,-1 (

-3( ,0 (xf ( (

-3( ,3 (

3( ,1 (

xf ( (- +1


1.5.2. Simetrías y Otras Propiedades de Funciones

En esta subsección estudiaremos más propiedades de funciones que seránusadas en los capítulos posteriores. Estas propiedades proveen herramientas adi-cionales para comprender funciones y sus gráficas.

FUNCIONES PARES E IMPARES

Notemos que la gráfica de la función f (x) = x2 se refleja como si el espejofuera el eje y. Esta reflexión es la simetría con respecto al eje y. ¿Cómo podemosdefinir a esta simetría? En principio consideremos una tabulación de valores ymostremos su respectiva gráfica.

x f (x) = x2

-3 9

-1.5 2.25

-1 1

0 0

1 1

1.5 2.25

3 9

x

y

xf ( (

xx-

=x2

De la figura y la tabla vemos que

(i) Los puntos (x, f (x)) y (−x, f (−x)) son simétricos con respecto al eje y.

(ii) f (x) = f (−x).

En realidad, estas afirmaciones se cumplen para todo x en el dominio de lafunción f (x) = x2. Resumimos esto en la siguiente definición

Definición 1.5.7. (Función par). Una función es llamada función par si

f (x) = f (−x) para todo x en el dominio de f .

Funciones con esta propiedad son también llamadas funciones simétricas.


Otro tipo de simetría ocurre cuando definimos simetría con respecto al ori-gen. ¿Cómo podemos definir a esta simetría? En principio consideremos una ta-bulación de valores y mostremos su respectiva gráfica.

x f (x) = x3

-3 -27

-1.5 -3.375

-1 -1

0 0

1 1

1.5 3.375

3 27

x

yxf ( (

xx-

=x3

xf ( (

xf ( (- = xf ( (-

De la figura y la tabla vemos que

(i) Los puntos (x, f (x)) y (−x, f (−x)) son simétricos con respecto al origen.

(ii) f (−x) = − f (x).

En verdad, estas afirmaciones son verdaderas para todo x en el dominio deesta función. Resumimos esto en la siguiente definición

Definición 1.5.8. (Función impar). Una función es llamada función impar si

f (−x) = − f (x) para todo x en el dominio de f .

Estas funciones son también llamadas funciones simétricas respecto del origen.

Observación 1.5.1. (1) Una función no puede ser par e impar simultáneamente amenos que sea la función nula f (x) = 0.

(2) Existen otros tipos de simetrías que se pueden analizar. Por ejemplo, unafunción puede ser simétrica con respecto a una recta vertical distinta al eje y, osimétrica con respecto a un punto que no sea el origen. Sin embargo, este tipo desimetrías van mas allá de nuestra discusión.

Ejemplo 1.5.8. Usando las definiciones de función par e impar, clasificar lassiguientes funciones.

(i) f (x) = |x|+ 1 (ii) g(x) = (x− 1)2 (iii) h(x) = x5 + 5x


Solución. (i) Primero verificaremos quef (x) = |x|+ 1 es una función par.

f (−x) = | − x|+ 1 = |x|+ 1 = f (x) .

Desde que f (−x) = f (x), la función f espar. La gráfica de f es simétrica respectodel eje y como se ve en la figura. 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

1

2

3

4

5

6

7

x

y

xf ( (= x +1

(ii) Para g(x) = (x− 1)2 lo que hacemos es desarrollar esta expresión

g(x) = (x− 1)2 = x2 − 2x + 1

también vemos que

g(−x) = (−x)2 − 2(−x) + 1 = x2 + 2x + 1

Desde que g(x) ̸= g(−x), la función g no es par. Usando la expresión para g(−x),vemos que

g(−x) = x2 + 2x + 1 y − g(x) = −(x2 − 2x + 1) = −x2 + 2x− 1 .

Desde que g(−x) ̸= −g(x), la función g no es impar (ver figura (a)).(iii) Desde que h(x) tiene como términos potencias impares, esperamos que la

función h(x) sea impar

h(−x) = (−x)5 + (−x) = −x5 − x = −h(x)

Desde que h(−x) = −h(x), la función h es impar. Así que la función es simétricarespecto del origen (ver figura (b)).

1 2 3 4 5-1-2-3

1

2

3

4

5

6

7

x

y

xg( (= x -1 ((2

xh( (= x 55+ x

x

y(a) (b)


Ejercicios Propuestos

SECCIÓN 1.1Ejercicio 1.1. Completar a continuación los siguientes espacios

(i) Si y = f (x) es una función, entonces x se llama variable . . . . . . . . . . . . . . . . . .e y se llama variable . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

(ii) El conjunto de todas las entradas de una función es llamado . . . . . . . . . . . . . . .

(iii) El conjunto de todas las salidas de una función es llamado . . . . . . . . . . . . . . .

Ejercicio 1.2. ¿Cuál de las siguientes correspondencias puede ser modelada comofunción? Si alguna de ellas no es función, justificarla.

(i) La correspondencia que asigna a cada persona, su fecha de cumpleaños.

(ii) Fijada una botella de un litro de capacidad, la correspondencia que asignaal volumen del líquido contenido, su respectiva altura.

(iii) La correspondencia que asigna a cada estudiante universitario su respectivocódigo de matrícula.

(iv) La correspondencia que asigna a cada alumno de ingeniería los nombres desus cursos por semestre.

Ejercicio 1.3. ¿Cuáles de los siguientes diagramas representan funciones?

1

2

3 a

4

5

Sandra Bullok Air force one

George Cooney

Julia Roberts

Denzel Washington

Harrison Ford

Miss congeniality

O brother where art thou

The pelican brief

Pretty woman

Remember the titans

(i) (ii)

Ejercicio 1.4. El colegio privado San Fernando ha lanzado una campaña parareunir fondos. Se supone que los directivos del colegio estiman que llevará

d(x) =10x

100− xdías lograr el x % de su objetivo. Hallar el dominio e interpretar las salidas.


Ejercicio 1.5. Para cada uno de los casos, hallar una regla de correspondencia ydibujar flechas de tal manera que represente una función

12

3 24

5

1 22 4

34 8

5 10

1 12

34 16

5 25

01

3

4

4

96

(i) (ii) (iii)

Ejercicio 1.6. Determine el dominio natural de las siguientes funciones

(i) f (x) = x− 2 (ii) g(x) =x

x2 + 1(iii) h(x) =

x− 2x + 3

(iv) j(x) =1

x + 2(v) k(x) =

x√

x− 1(vi) l(x) =

x + 3x2 − 1

(vii) m(x) =√

x− 3x− 1

(viii) n(x) =x2 − 3x2 + 1

(ix) p(x) =x

x2 + x

(x) q(x) =x

√x + 1

(xi) r(x) =x + 3

x(xii) s(x) =

xx2 − x

Ejercicio 1.7. (Velocidad del sonido en el aire). La velocidad v del sonido en elaire es una función de la temperatura t, en grados Fahrenheit, y dada por

v(t) = 1087.7

√5t + 2457

2457

donde S se mide en pies por segundo. Hallar la velocidad del sonido en el airecuando la temperatura es 0◦, 32◦, 70◦ y −10◦ Fahrenheit.

Ejercicio 1.8. (Área territorial). El área te-rritorial de un animal se define por su do-minio en regiones. Por ejemplo, un Leónvive en una región sobre el cual es consi-derado su dominio. Se ha mostrado queel área territorial T en hectáreas, de losanimales depredadores es una función delpeso corporal w. an

imal

.dis

cover

y.co

m

La función T en términos del peso corporal w (en libras), es dada por T(w) =

w1.32. Calcular el área territorial de animales con pesos corporales de 0.5 libras,10 libras, 20 libras, 100 libras y 200 libras.


Ejercicio 1.9. En cada caso, hallar el valor de a sabiendo que

(i) f (x) = ax3 − 3x2 + x + 2 y f (2) = 1.

(ii) f (x) = ax2 − 2x + 5 y f (3) = 17.

Ejercicio 1.10. (Contaminación ambiental). La emisión de gas contaminante devehículos motorizados, tales como el dióxido de carbono y el metano, contribuyesignificativamente al calentamiento glo-bal. La agencia EPA de protección am-biental, lleva las estadísticas del númerode toneladas de gas contaminante emitidopor año para dos modelos de vehículos.Por ejemplo, el auto deportivo Land Ro-ver (modelo 2005) emite 10 toneladas degas contaminante por año. th

ecutt

inged

gen

ews.

com

(i) Escribir una expresión para la cantidad total de gas contaminante como unafunción del tiempo (en años).

(ii) El modelo Mitsubishi (modelo 2005) emite 8.2 toneladas de gas contami-nante por año. Este tiene un motor más pequeño que el modelo Land Ro-ver, el cual explica la disminución para las emisiones de gas. Escribir unaexpresión para la cantidad total de gas contaminante emitido por el modeloMitsubishi como una función del tiempo (en años).

(iii) ¿Qué modelo produce mayor cantidad de gas contaminante en un periodode 8 años, ¿el modelo Land Rover o el modelo Mitsubishi?

Ejercicio 1.11. (Precio promedio de unaentrada). El precio promedio de una en-trada a un concierto de rock, puede esti-marse mediante la función P expresada enla figura, donde x indica el año y P está enunidades de 10 soles. P(2005) es el preciopromedio de un ticket el año 2005. Se es-pera precios bajos debido a la disminuciónen los precios para descuentos especiales.

S 80.00/

P x( ) = 0.227x - 448.71

klu

v.cb

sloca

l.co

m

(i) Use la función para determinar los precios promedios los años 2008 y 2009.

(ii) ¿Cuándo el precio promedio fue de S/ 85?


Ejercicio 1.12. (Efecto de la gravedad en Jupiter). Si una roca cae de una alturade 20 metros en el planeta Jupiter, su altura H (en metros) despues de t segundoses aproximadamente

H(t) = 20− 13t2

(i) ¿A qué altura está la roca cuando eltiempo es 1 segundo, 1.1 segundo y1.2 segundos?

(ii) ¿Cuándo la roca está a 15 metros dealtura?

(iii) ¿Cuándo la roca toca suelo?

(iv) ¿En algún momento la roca está a 30metros de altura? cs

elig

man

.com

Ejercicio 1.13. Dos funciones f y g son iguales si tienen el mismo dominio,mismo rango y tienen la misma regla de correspondencia, en este caso denotamosf = g. Justificar la verdad o falsedad de cada afirmación:

(i) Si f (x) = x +√

x− 1 y g(u) = u +√

u− 1, entonces f = g.

(ii) Si f (x) =x2 − xx− 1

y g(x) = x, entonces f = g.

(iii) Si f (x) = (x− 1)2 y g(x) = x2 − 2x + 1, entonces f = g.

(iv) Si f (x) = |x− 1| y g(x) = x− 1, entonces f = g.

Ejercicio 1.14. (Crecimiento de un niño). Para los niños con edades entre 6 y 10años, la altura y (en centímetros) y la edad t (en años) se relacionan mediantey = at + b. Suponga que para dos niños se sabe que: uno tiene 100 centímetros ytiene 6 años de edad, el otro niño tiene 110 centímetros y tiene 7 años.

(i) Hallar los valores de a y b.

(ii) Determinar la altura de un niño de 10 años de edad.

Ejercicio 1.15. (Movimiento y distancia). Un auto viaja a 60 km/h.

(i) Expresar a la distancia recorrida por el auto (en km) como función del tiem-po (en horas).

(ii) ¿Qué distancia recorre el auto en 2 horas? Expresar esta información usandola notación funcional.

(iii) Hallar el dominio y el rango de esta función.


Ejercicio 1.16. La gráfica de una función f es la colección de pares ordenados dela forma (x, f (x)) tal que x está en el . . . . . . . . . . . . . . . . . . de f .

Ejercicio 1.17. ¿Es la gráfica de f (x) =√

x + 4 igual a la gráfica de la funciónf (x) =

√x + 4? Explicar mediante dibujos.

Ejercicio 1.18. En cada uno de los casos, use la prueba de la recta vertical paradeterminar en qué caso se tiene una función.

(i) (ii) (iii)

x x x

yyy

Ejercicio 1.19. (Ecología). El año 2003,una región costera del pacífico, con unaárea de 250 hectáreas cuadradas, ha esta-do perdiendo 2.5 hectáreas cuadradas poraño debido a la erosión. Así que el áreade la región t años después del 2003 esA(t) = 250 − 2.5t (donde t está en añosy t = 0 corresponde al año 2003). h

alc

row

.com

(i) Esbozar la gráfica de A para los valores 0 ≤ t ≤ 100.

(ii) ¿Qué representa el punto de intersección de la gráfica con el eje t?

Ejercicio 1.20. (Ciencia ambiental). El auto deportivo Land Rover (modelo 2005)emite 10.1 de toneladas de gas contaminante por año, mientras que el modeloMitsubishi (modelo 2005) emite 8.1 de toneladas de gas contaminante por año.

(i) Expresar la cantidad de gas contaminante emitido por el modelo Land Ro-ver como una función del tiempo y graficar dicha función. ¿Cuáles son lasunidades de las variables de entrada y de salida?

(ii) Hacer lo mismo que en el ítem (i) para el modelo Mitsubishi.

(iii) Compare las dos gráficas. ¿Qué observa usted?


Ejercicio 1.21. El siguiente gráfico repre-senta el grado de eficiencia (en puntos) deun obrero recolector de espárragos en elnorte del país durante 1 día (desde las 8.00A.M, que empieza su jornada)

(i) ¿En qué intervalo de tiempo aumen-ta la eficiencia del obrero?

(ii) ¿A qué hora su eficiencia máxima?8 9 10 11 12 13

1

2

3

4

5

Eficiencia

Tiempo

(iii) ¿Entre que horas tiene un rendimiento constante?

(iv) ¿A partir de qué hora pierde su eficiencia?

Ejercicio 1.22. La siguiente figura muestra la gráfica de una función

(i) ¿Es f (0) positivo o negativo?

(ii) Hallar f (−2), f (1), f (2) y f (3).

(iii) ¿Qué número es mayor, f (2) of (4)?

(iv) Hallar f (4)− f (1).

(v) Hallar | f (4)− f (1)|.

x

y

f

1

1

Ejercicio 1.23. (Presupuesto de la NASA). La siguiente gráfica describe el pre-supuesto para la Administración Nacional de Aeronautica Espacial (NASA) paralos años 2004-2008. Las gráficas para los años 2006-2008 son proyecciones.

(i) ¿Parta qué año el presupuesto de laNASA es de 17 millones de dólares?

(ii) Aproximadamente, ¿en qué canti-dad se incrementa el presupuestoentre el 2004 y el 2005?

2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

15

15.5

16

16.5

17

17.5

18

18.5

pre

supues

to (

en m

illo

nes

)


Ejercicio 1.24. (Ventiladores de techo). La demanda para ventiladores de techopuede ser modelada por

D(p) = 25.92(0.996p) miles de ventiladores de techo

donde p es el precio en soles de un ventilador de techo.

(i) ¿Cuál es la cantidad demandada cuando el precio es de 80 soles?

(ii) ¿Cuál es el precio por ventilador cuando la cantidad demandada es de 20ventiladores?

Ejercicio 1.25. Grafique una función f que satisface las siguientes condiciones

(i) dom( f ) = [−2, 3].

(ii) ran( f ) = [−4, 5].

(iii) f (−1) = f (2).

(iv) f (1) = 0.

Ejercicio 1.26. (Calculando la distancia).En la figura de la derecha se observa unglobo aerostático ubicado en el punto C yes observado por una persona ubicada enel punto A. El globo está a x metros porencima del punto B, y el punto A está a10 metros a la derecha del punto B. Hallary graficar la distancia d(x) de A hasta Cpara x > 0. AB

C

10

x

Ejercicio 1.27. Considere la función f (x) =2x2

x4 + 1

(i) ¿El punto (−1, 1) pertenece a la gráfica de f ?

(ii) ¿Cuáles son los puntos de intersección de la gráfica con el eje x?

(iii) ¿Cuáles son los puntos de intersección de la gráfica con el eje y?

Ejercicio 1.28. (Remando un bote). El tiempo que le toma a una persona pararemar un bote una sistancia de 50 km es dado por T(s) = 50

s , donde s es la ve-locidad con la cual el bote es remado. ¿Para qué valores de s está función tienesentido? Hacer una gráfica de T usando los valores de s.


Ejercicio 1.29. Si el dominio de la función f es el intervalo [1, 5] y el dominio dela función g es el intervalo [2, 7], entonces el dominio de la función f + g es elintervalo . . . . . . . . . . . .

Ejercicio 1.30. Si f (x) = x2 y g(x) = x− 1, entonces f (x)− g(x) = . . . . . . . . . . . .

Ejercicio 1.31. En cada caso, determine las siguientes funciones

(i) ( f + g)(x) (ii) ( f − g)(x) (iii) ( f · g)(x) (iv)( f

g

)(x)

donde

(i) f (x) = x− 1 y g(x) = 2x + 3.

(ii) f (x) = x2 + 1 y g(x) = x− 2.

(iii) f (x) =x + 2x− 1

y g(x) = x +12

.

(iv) f (x) = x2 + x− 2 y g(x) =x− 3x + 5

.

Ejercicio 1.32. Usar el ejercicio 1.31 para calcular en cada caso

(i) ( f + g)(2) (ii) ( f − g)(−1) (iii) ( f · g)(3) (iv)( f

g

)(0)

Ejercicio 1.33. (Deporte). El ingreso en una tienda de artículos deportivos puedeser modelado por la función I(t) = 245 + 40t, donde t es el número de añosdesde el 2003 y I(t) está en miles de soles. La función de costo es modelada porla función C(t) = 160 + 50t, donde t es el número de años desde el 2003 y C(t)está en miles de soles. Hallar la función de ganancia G(t).

Ejercicio 1.34. (Educación). Sea n(t) representando el número de estudiantes queasisten a un curso cada semana, comenzando en la primera semana de universi-dad. Sea p(t) el número de profesores durante cada clase semanal. Interprete la

cantidadn(t)p(t)

.

Ejercicio 1.35. (Comercio). El número de libros vendidos durante cada mes, lue-go de su publicación, es modelado por n(x) = −5x + 100. El precio del libro cadames luego de su publicación es dado por p(x) = −1.5x + 30. Hallar (np)(3) einterpretar el resultado.

Ejercicio 1.36. Dadas las funciones f (x) = x− 1 y ( f + g)(x) = 4 +x2

, calcular

la función g(x).


Ejercicio 1.37. (Bienes y raíces). Un vendedor genera 80,000 dólares por la ven-ta cada departamento que se realiza en un edificio de departamentos. Aquí lacomisión es del 6 % sobre la venta total en dólares.

(i) ¿Cuál es la cantidad total de las ven-tas, V(x), si x es el número de depar-tamentos vendidos?

(ii) ¿Cuál es la comisión, C(x), si x esel número de departamentos vendi-dos?

(iii) Interprete la cantidad S(x)− C(x).ehow

.com

Ejercicio 1.38. Dos funciones f y g pueden ser combinadas mediante las opera-ciones aritméticas de . . . . . . . . . . . ., . . . . . . . . . . . . . . ., . . . . . . . . . . . . y . . . . . . . . . . . . . . .para crear nuevas funciones.

Ejercicio 1.39. La . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de f con g resulta ( f ◦ g)(x) = f [g(x)].

Ejercicio 1.40. El dominio de g ◦ f es constituido por todos los x en el dominiode f tal que . . . . . . . . . . . . está en el dominio de g.

Ejercicio 1.41. Considere los siguientes pares de funciones

(i) f (x) =√

x + 4, g(x) = x2 (ii) f (x) = 3√

x− 5, g(x) = x3 + 1

En cada caso se pide

(i) Dominio de f y dominio de g.

(ii) ( f ◦ g)(x) y (g ◦ f )(x).

(iii) Dominio de f ◦ g y dominio de g ◦ f .

Ejercicio 1.42. (Recuento de bacterias). El número N de bacterias en una comidacongelada es dado por N(t) = 10T2 − 20T + 600, (1 ≤ T ≤ 20) donde T es latemperatura de la comida en grados Celcius. Cuando la comida es sacada delcongelador, la temperatura de la comida es dada por T(t) = 3t + 2, (0 ≤ t ≤ 6)donde t es el tiempo en horas.

(i) Hallar la composición N(T(t)) e interpretar el resultado.

(ii) ¿Después de cuánto tiempo la cantidad de bacterias es de 1500?


Ejercicio 1.43. (Física). Se deja caer una piedra en un tranquilo lago, causandoondas en forma de círculos concéntricos. El radio r (en metros) desde el centro deimpacto hasta la onda es r(t) = 0.6t, don-de t es el tiempo en segundos luego de serarrojada la piedra al lago. El área A delcírculo es dada por la función

A(r) = πr2.Hallar e interpretar (A ◦ r)(t) .

Ejercicio 1.44. (Cambio de moneda). Elcambio de moneda de dolar para euro enun día particular es modelado por la fun-ción f (x) = 0.82x, donde x está en dóla-res. Si el ingreso de un determinado bancoes modelado por la función I(t) = 40+ 2t,donde t es el número de años desde el2003 y I(t) está en millones de dó- re

zgo.c

om

lares, hallar ( f ◦ I)(t) y explicar lo que esta representa esta cantidad.

Ejercicio 1.45. (Costo). El costo semanal C de producir x unidades de un produc-to es dado por

C(x) = 60x + 750 soles

y el número de x unidades producidas en t horas es dada por x(t) = 50t.

(i) Hallar la composición (C ◦ x)(t) e interpretar el resultado.

(ii) ¿Cuál es el costo luego de 3 horas de producción?

(iii) Determinar el tiempo que debe pasar para que el costo sea 15,000 soles.

(iv) Hacer una gráfica de la composición (C ◦ x)(t).

Ejercicio 1.46. ¿Qué es una función inyectiva? Dar un ejemplo.

Ejercicio 1.47. Si las composiciones f (g(x)) y g( f (x)) son iguales a x, entoncesla función g es la . . . . . . . . . . . . . . . de f .

Ejercicio 1.48. La inversa de f es denotada por . . . . . . . . ..

Ejercicio 1.49. El dominio de f es el . . . . . . . . . . . . . . . . . . de f−1 y el . . . . . . . . . . . . . . .de f−1 es el rango de f .


Ejercicio 1.50. En cada caso, hallar los dominios de f , g y verificar que ambasfunciones son mutuamente inversas.

(i) f (x) = −72

x− 3, g(x) = −2x + 67

.

(ii) f (x) = x3 + 5, g(x) = 3√

x− 5.

Ejercicio 1.51. (Teoría especial de la relatividad). De acuerdo a la teoría especialde la relatividad, la masa relativista de una partícula en movimiento con veloci-dad v es

m = f (v) =m0√

1− v2

c2

donde m0 es la masa en reposo (la masa en velocidad cero) y c = 2.9979× 108 m/ses la velocidad de la luz en el vacío.

(i) Hallar f−1 e interpretar el resultado.

(ii) ¿Cuál es la velocidad de la partícula cuando la masa relativista es cuatroveces la masa en reposo?

Ejercicio 1.52. La venta V (en millones de dólares) de televisores LCD en el Perúdel año 2001 al año 2007 se muestra en la siguiente tabla. El tiempo (en años) esdado por t, con t = 1 correspondiendo al año 2001.

(i) ¿Existe V−1?

(ii) Si existe V−1 ¿Qué interpretacióntiene en el problema?

(iii) Si existe V−1, hallar V−1(140).

(iv) Si la tabla se extiende hasta el año2009 y si las ventas de televisoresLCD para tal año fuera 890 millonesde dólares, debería existir V−1. Ex-plique

Año t Ventas V(t)

1 26

2 58

3 110

4 140

5 260

6 400

7 500

Ejercicio 1.53. (Física). Despues de t segundos, la altura a la que se encuentra unobjeto que cae de un edificio de 100 metros es dada por h(t) = −16t2 + 100, t ≥ 0.

(i) Determinar si h admite inversa.

(ii) Expresar a t como función de h e indicar lo que representa.


Ejercicio 1.54. Considere las funciones dadas por f (x) = x + 1 y g(x) = x− 1.Evaluar f (g(x)) y g( f (x)) para los valores indicados de x. ¿Qué puede concluíracerca de ambas funciones?

x 4 -2 13 40 15 22 17 28

f (g(x))

g( f (x))

Ejercicio 1.55. (Mecánica Diesel). La fun-ción dada por

T = 0.03x2 + 245.5, 0 < x < 100

mide la temperatura T del gas de un tu-bo de escape en grados Farenheit, dondex es el porcentaje de combustible para unmotor Diesel.

thec

utt

inged

gen

ews.

com

(i) Hallar la función inversa. ¿Qué representa cada variable en la función in-versa?

(ii) Si la temperatura del gas en el tubo de escape no excede los 500 gradosFarenheit ¿en qué rango varía el porcentaje de combustible?

Ejercicio 1.56. (Moda). Las medidas deun vestido en los Estados Unidos pue-de variar con respecto a las medidasen Francia, usando la función f (s) =

s + 30, donde s varía entre 2 y 24 in-clusive.

(i) ¿Cuál es el rango de f ?

(ii) Hallar la inversa de f e interpre-tar. a

mando.i

t

Ejercicio 1.57. En cada caso use la definición para verificar si la función es cre-ciente o decreciente.

(i) f (x) = x + 2, (ii) f (x) =√

x− 2, (iii) f (x) = x2 + 1

(iv) f (x) =x + 3

5(v) f (x) = x3 (vi) f (x) = 2x +

√x


Ejercicio 1.58. Determinar en cada caso si la función es creciente o decreciente

(i) la altura de un líquido contenido en una botella de litro, dependiendo delvolumen del líquido.

(ii) El valor v = v(t) de un auto recien comprado, dependiendo del tiempo t(aquí t = 0 corresponde al año en que fue comprado el auto).

(iii) El valor de una casa (en época de demanda de casas), dependiendo del tiem-po t.

(iv) La altura de un niño como función del tiempo (en años).

Ejercicio 1.59. En cada caso, cada cuadrado tiene longitud 1. Determine los inter-valos donde la función es creciente o decreciente.

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y


SECCIÓN 1.2

Ejercicio 1.60. Determinar en cada caso si la correspondencia representa una fun-ción constante

(i) La regla que asigna a cada familia de un distrito, el dinero que paga por elconsumo de luz mensualmente.

(ii) La regla que asigna a cada obrero de una fábrica, el sueldo mínimo de 650soles.

(iii) La regla que asigna a cada equipo de futbol que gana en las eliminatoriasBrasil 2014, el número de puntos por victoria.

(iv) La regla que asigna a cada pasajero de un bus, el precio que pagan por unmismo servicio para viajar de Lima a la ciudad de Trujillo.

Ejercicio 1.61. Cada rectángulo pequeño tiene una unidad de longitud. En cadacaso determine el intervalo donde la función es constante.

x

y

x

y

x

y

x

y

y

y y

x x

x x

y(i) (ii)

(iii) (iv)

Ejercicio 1.62. Graficar cada una de las funciones constantes

(i) f (x) = 5, 0 ≤ x ≤ 10.

(ii) f (x) = −2, −3 ≤ x ≤ 3.

(iii) f (x) = 3, x ∈ [−3, 2] ∪ [3, 5].


Ejercicio 1.63. En cada caso, indicar si la función es lineal. Explicar su respuesta

(i) f (t) = 1 + 5t (ii) g(t) =12

t− 5 (iii) h(x) =1x+ 4 (iv) l(s) =

√s + 2s .

Ejercicio 1.64. (Salario de un vendedor).Un vendedor de una tienda de compu-tadoras cobra 250 soles semanales, más 50soles por cada artículo vendido.(i) Expresar el ingreso semanal del vende-dor como una función lineal dependiendodel número de computadoras que vende. re

ales

tate

gab

.com

(ii) Hallar los puntos de intersección de la gráfica de esta función con los ejescoordenados, e interpretarlos.

Ejercicio 1.65. (Aficionados al cine). El número total de aficionados al cine (enmiles) en el Perú, crece de acuerdo a la función lineal

m(t) = 1.4t + 160

donde t = 0 corresponde al año 2002.

(i) De acuerdo a esta función, ¿cuántos aficionados hubieron en el 2006?

(ii) ¿Qué representa en el problema el punto de intersección de la gráfica con eleje m?

Ejercicio 1.66. (Viajando en auto). El director ejecutivo de una empresa se dirigeen su auto a su casa de verano. La función d(t) = 60t+ 100 representa la distanciatotal recorrida en kilómetros, y t ≥ 0 el número de horas desde las 8:AM.

(i) Cuántos kilómetros habrá recorrido el director a las 12 A.M.

(ii) ¿Qué representa en el problema el punto de intersección de la gráfica con eleje d?

Ejercicio 1.67. (Computadoras vendidas). El número total de computadoras ven-didas anualmente desde el 2001 por T.C COMPUTER, se expresa como la funciónlineal n(t) = 25t + 350; aquí t ≥ 0 es el número de años desde el 2001.

(i) ¿Cuántas computadoras se vendieron el año 2005?

(ii) ¿Qué representa en el problema el punto de intersección de la gráfica con eleje n?

(iii) De acuerdo a la función, ¿en qué año se vendieron 600 computadoras?


Ejercicio 1.68. Graficar cada una de las funciones cuadráticas

(i) f (x) = x2 − 3 (ii) f (x) = x2 − 10x + 3 (iii) f (x) = x2 − 8x + 5

(iv) f (x) = x2 + 2 (v) f (x) = x2 + 6x− 1 (vi) f (x) = −2x2 + 2

Ejercicio 1.69. (Altura de un arco). La altura de arco es dada por h(x) = − 364

x2 +

27, (−24 ≤ x ≤ 24), donde |x| es la distancia horizontal (en metros) desde elcentro del arco hasta una de las bases.

(i) ¿Cuál es la máxima altura del arco?

(ii) ¿Cuál es la altura del arco 10 metrosa la derecha del centro?

(iii) ¿A qué distancia del centro la alturadel arco tiene 8 metros de altura?

Ejercicio 1.70. (Viaje de astronauta). La NASA prepara astronautas para su ex-periencia de gravedad cero (técnicamente, microgravedad) en el espacio, y usaun diseño especial de jet. Un piloto acelera el jet hasta alcanzar una altura de 9000metros, entonces reduce su potencia que permite experimentar al astronauta lamicrogravedad. La altitud A(t) en metros, t segundos luego que su potencia fuereducida puede ser aproximada por A(t) = −4.9t2 + 90t + 9000. La gráfica se

muestra a continuación. Si el piloto in-crementa la potencia cuando el jet des-ciende a 9000 metros, finalizando lamicrogravedad, hallar el tiempo que elastronauta experimenta la micrograve-dad durante una de estas maniobras.Expresar su resultado redondeando aldecimal. 0 10 20

8000

8500

9000

9500

Ejercicio 1.71. (Geometría). La suma del largo l y ancho a de un terreno de formarectangular es de 160 metros.

(i) Escribir a como función de l.

(ii) Escribir el área A como función de l.

(iii) Hallar las dimensiones que proporcionan la máxima área.


Ejercicio 1.72. (Geología). En Junio del 2001, el volcán Etna (en Sicilia - Italia),

eruptó lanzando bombas explosivas (ma-sas de lava que salen del volcán) al espa-cio. Un modelo de la altura h, en metros,de una bomba volcánica por encima delvolcan, t segundos después de la erupciónes dada por h(t) = −9.8t2 + 100t. Hallar lamáxima altura de la bomba volcánica en-cima del crater luego de su erupción.

geo

logy.

sdsu

.edu

Ejercicio 1.73. Graficar cada una de las funciones polinómicas

(i) f (x) = x3 − 3x + 4 (ii) f (x) = x4 − 10x2 (iii) f (x) = x7 − 8x5 + 5x

(iv) f (x) = x4 + 2x3 (v) f (x) = −2x4 + 2 (vi) x5 + 6x2 − 2

Ejercicio 1.74. (Consumo de arroz). El siguiente modelo expresa la cantidad con-sumida de arroz (por persona) en el Perú durante los años 1994-2001:

w(x) = 0.0437x4 − 0.661x3 + 3.00x2 − 4.83x + 62.6

donde w(x) está en kilogramos y x ≥ 0 es el número de años desde el 2004.

(i) De acuerdo a este modelo, ¿cuál es la cantidad total consumida de arrozel año 1994? ¿Qué tan cerca se encuentra esta cantidad de la cantidad percapita real que corresponde a 62.5 kilogramos?

(ii) Use este modelo para calcular la cantidad consumida de arroz en el Perúlos años 1996 y 2000.

(iii) La cantidad percapita consumida de arroz para los años 1996 y 2000 sonde 60.1 y 54.6, respectivamente. ¿Cómo relaciona sus valores calculados conlos valores per capita consumidos?

(iv) Use la gráfica de este modelo para determinar si el comportamiento es apro-piado para las predicciones a largo plazo.

Ejercicio 1.75. (Protección del medio ambiente). El número de especies con pe-ligro de extinción en la selva peruana entre los años 1998 y 2005 puede ser mode-lado por la función

f (t) = 0.308t3 − 5.20t2 + 32.2t + 921

donde t ≥ 0 es el número de años desde 1998.


(i) Hallar e interpretar f (0).

(ii) Aproximadamente, ¿cuántas especies se estimaron extinguidas el año 2004?

(iii) Graficar esta función para 0 ≤ t ≤ 7. Determine si la gráfica de este modeloes apropiada para los pronósticos a largo plazo.

Ejercicio 1.76. (Criminología). El númerode asaltos en el Perú (en miles) puede sermodelado por la siguiente función cúbica

b(t) = 0.6733t3 − 22.18t2 + 113.9t + 3073

con t ≥ 0 el número de años desde 1985.

(i) ¿Cuál es el punto de intersección dela gráfica con el eje b? so

mer

setw

estc

pf.

org

.za

(ii) Calcular b(6) e interpretar.

(iii) Use este modelo para estimar el número de asaltos ocurridos el año 2004.

(iv) ¿Este modelo será apropiado para predecir el número de asaltos que ocu-rrirán el año 2040?

Ejercicio 1.77. (Lanzamiento de un cohete). Suponga que un cohete es lanzadohacia el espacio desde la superficie de la Tierra con velocidad inicial v (medido

en metros por segundo). Entonces la má-xima altura h (en metros) alcanzada por elcohete es dada por la fórmula

h(v) =Rv2

2gR− v2

donde R = 6.4 × 106 m es el radio de laTierra y la aceleración g = 9.8 m/s2.

gps.g

ov

(i) Si la velocidad inicial del cohete es 10, 400 m/s, ¿cuál es la máxima alturaalcanzada por el cohete?

(ii) Grafique la función y = h(v). (Note que y y v son positivos y deben ser ubi-cados en un rectángulo) ¿cuál es el significado físico de la asíntota vertical?


SECCIÓN 1.3

Ejercicio 1.78. Graficar cada una de las funciones exponenciales

(i) f (x) = 4x (ii) f (x) =(

15

)x

(iii) f (x) = 4(2)−x

(iv) f (x) = 32x (v) f (x) =(

23

)x

(vi) f (x) = 3−x

Ejercicio 1.79. (Interés compuesto). En cada uno de los casos se hace un depósitode 1500 soles. Hallar la cantidad total que se encuentra en el banco despues de 5años para las tasas de interés compuesta dadas por

(i) 61.6 % compuesto anualmente.

(ii) 62.3 % compuesto semianualmente.

(iii) 63.6 % compuesto mensualmente.

(iv) 64.3 % compuesto trimestralmente.

Ejercicio 1.80. (Farmacología). Cuando un medicamento se administra de formaoral, la cantidad de antibiótico que se presenta en el flujo sanguíneo del paciente,puede ser modelado por una función de la forma

C(t) = ate−bt

donde C(t) es la concentración del medicamento en miligramos por litro (mg/L),t es el número de horas desde que el antibiótico fue administrado, y a con b soncantidades positivas. Para una dosis de megacilina de 300 miligramos, su funciónes

C(t) = 4.5te−0.275t

(i) ¿Qué concentración de antibiótico se presenta en el flujo sanguíneo en eltiempo t = 0? ¿La respuesta de este problema tiene sentido en el contextodel problema?

(ii) ¿Qué concentración de antibiótico se presenta en el flujo sanguíneo despuésde 1 hora?

(iii) Hacer una gráfica de esta función con t variando entre 0 y 20.

(iv) ¿Qué sucede con el valor de esta función cuando t→ +∞? Decir si el resul-tado tiene sentido en el contexto del problema ¿porque?


Ejercicio 1.81. (Infección de un virus). La Escherichia Coli es una bacteria que sereproduce de forma exponencial. Una pequeña cantidad de E. Coli en el intestinolargo del ser humano puede provocar una seria infección en pocas horas. Con-sidere una infección particular de E. Coli que comienza con 100 bacterias. Cadabacteria se divide en dos partes cada media hora. Suponiendo que ninguna delas bacterias se muere, la cantidad total de bacterias luego de t horas es dada porP(t) = 100(2)2t, donde 0 ≤ t ≤ 16.

(i) Hallar P(3) y P(6).

(ii) ¿Cuánto tiempo debe pasar para que la cantidad total de bacterias sea deun millón?

Ejercicio 1.82. En la siguiente tabla completar los cuadros que faltan

x 103 102 10 100 10−1 10−2 10−3 101/2 103.4

log10 x

Ejercicio 1.83. (i) Sabiendo que 53 = 125, entonces log22 = 2.

(ii) Sabiendo que log5 25 = 2, entonces 22 = 2.

Ejercicio 1.84. La función f (x) = log9 x es la función logaritmo con base . . . . . .Así que

f (9) = . . . . . . . . ., f (1) = . . . . . . . . ., f (1/9) = . . . . . . . . ., f (81) = . . . . . . . . .

Ejercicio 1.85. Identificar la función con su respectivo gráfico

(i) f (x) = 6x (ii) g(x) = log6 x

5 10 15

1

-1

x

y

x

y

1

5

10

15

0


Ejercicio 1.86. (Astronomía). La luminosidad de una estrella es designada poruna escala numérica llamada magnitud, la cual se define por la fórmula

M(I) = − log2.5II0

donde I es la intensidad de la energía de la estrella e I0 es la intensidad del puntode partida. Un decrecimiento de una unidad en la magnitud representa un incre-mento en la intensidad de la energía de un factor de 2.5

(i) Si la estrella Spica tiene magnitud 1, hallar su intensidad en términos de I0.

(ii) La estrella Sirius es una estrella más brillante que el Sol, teniendo magnitudde −1.46. Hallar su intensidad en términos de I0. ¿Cuál es la razón de laintensidad de Sirius con respecto a Spica?

Ejercicio 1.87. (Magnitud de un sismo). Sabemos que la magnitud de un sismose calcula mediante la fórmula

M = logIS

Calcular la magnitud de un sismo sabiendo que la intensidad del sismo es 1000 S.Expresar I en términos de M y S.

Ejercicio 1.88. (Peso de un niño). La relación de Ehrenberg

ln W = ln 2.4 + (1.84)h

es una fórmula empírica que relaciona la altura h (en metros) con el peso prome-dio W (en kilogramos) para un niño entre 5 y 13 años de edad.

(i) Expresar W como función de h donde no involucre ln.

(ii) Expresar el peso promedio de un niño de 8 años cuya talla es de 1.5 metros.

Ejercicio 1.89. (Conteo de la bacteria E. Coli). Los inspectores del departamentode agricultura hacen pruebas de la bacteria E. Coli en una muestra de carne mo-lida. En dicha muestra se halla una colonia formada de 100 CFU/mL (unidadesformando la colonia por milímetro). La muestra es guardada a una temperaturade 100◦F y dos horas después la carne muestra que hay 13, 300 CFU/mL.

(i) Hallar el modelo exponencial P(t) = P0ekt para el conteo de bacterias en lamuestra, donde t se mide en horas.

(ii) ¿Cuál es la población que predice el modelo luego de 3 horas?

(iii) ¿En cuánto tiempo el recuento de bacterias es 1′000, 000 CFU/mL?


Ejercicio 1.90. (Concentración deCO2). El presente ejercicio se rela-ciona con la tabla abajo: el cual dalas concentraciones atmosféricas dedióxido de carbono (CO2) para losaños seleccionados en la última mitaddel siglo veinte.

ehow

.com

Año 1965 1988 1992 1996 1999

Concentración atmos-ferica de dióxidode carbono (ppm) 316.75 345.73 354.04 360.91 368.37

(i) Sea t = 0 correspondiendo al año 1965 y suponga que el modelo de cre-cimiento exponencial es P(t) = 316.75ekt. Use la información de 1999 parahallar la constante de crecimiento k.

(ii) Use la ley de crecimiento de la parte (i) para hacer una proyección de la con-centración de (CO2) en 1988. Haciendo referencia a la tabla, diga cuándo elmodelo exponencial predice una concentración alta o baja, haga una figuray calcule el porcentaje de error.

(iii) Hacer lo mismo que en la parte (ii) para los años 1992 y 1996.

(iv) ¿Porqué cree usted que el año 1999 no está incluído en la parte (iii)?

Ejercicio 1.91. (Decaimiento de concentración del estronium-90). El estrontium-90 con una vida media de 28 años es un residuo radiactivo de los reactores defusión nuclear. Las razones para tener bastante cuidado con esta sustancia es elalmacenamiento y el traslado; además se debe tener en cuenta que su composi-ción química se parece contiene al calcio ordinario. Así que el estrontium-90 en labiósfera forma parte de la cadena alimenticia de plantas o animales y eventual-mente nosotros absorvemos hasta afectar nuestros huesos.

(i) Calcule el decaimiento constante k del estronium-90.

(ii) Calcule el tiempo requerido si una cantidad dada de estronium-90 es guar-dada hasta que la radiactividad se reducir hasta un factor de 1000.

(iii) Usando la vida media, estimar el tiempo requerido para una muestra quellega a reducirse a un factor de 1000. Compare su respuesta con lo que ob-tuvo en la parte (ii).


SECCIÓN 1.4

Ejercicio 1.92. Hallar los valores exactos de las funciones trigonométricas en elángulo indicado:

(i) sen θ, cos θ y tg θ para θ = π/3.

(ii) sen θ, cos θ y csc θ para θ = −π/3.

(iii) cos θ, tg θ y sec θ para θ = 2π/3.

Ejercicio 1.93. Sabiendo que sen θ = 3/5 y π/2 ≤ θ ≤ π, hallar los valores delas otras cinco funciones trigonométricas dependiendo de θ.

Ejercicio 1.94. Si f (x) = sen x, calcular

(i) f (0) (ii) f (π/4) (iii) f (−π/3) (iv) f (π/3) (v) f (a + π).

Ejercicio 1.95. Un hombre localizado en el punto A en la orilla de un río de 100metros de ancho, observa a una mujer del lado opuesto del río. Cuando la mujeres vista, el ángulo que forma la orilla del río y la línea visual es de 30◦. Un minutodespués el ángulo es de 40◦. ¿Qué tan rápido se desplaza la mujer si se sabe quemantiene una velocidad constante?

100 metros

Ejercicio 1.96. En cada caso, verificar las identidades:

(i) sec θ − cos θ = tg θ sen θ.

(ii) 2 csc 2u = sec u csc u.

(iii)sen y

2 + csc y+

cos y2 + sec y

= 1.


Ejercicio 1.97. Hallar el dominio de las siguientes funciones

f (t) =√

sen t− 1 yx

2 + sen x

Ejercicio 1.98. En cada caso, resolver la ecuación trigonométrica para 0 ≤ θ < 2π:

(i) sen θ =12

(ii) cos θ =

√2

2(iii) sen θ = −1

2

Ejercicio 1.99. En cada caso, resolver la ecuación trigonométrica para 0 ≤ θ < 2π:

(i) 2 sen2 θ = 1 (ii) sen θ = cos θ (iii) tg2 θ − tg θ = 0

Ejercicio 1.100. Un automovilista viaja a lo largo de un valle plano y distingueuna montaña a lo lejos. En cierto instante el ángulo de elevación es 3.5◦ y luego deviajar 13 km aproximándose a la montaña, su ángulo de elevación es 9◦. Calcularla altura de la montaña.

13 km

Ejercicio 1.101. (Movimiento armónico).Un objeto con un peso de W kilos es sus-pendido por un resorte de acero (ver figu-ra). El peso es jalado hacia abajo (direcciónpositiva) desde su posición de equilibrio.El movimiento que describe el peso W se

Equilibrio

y

expresa mediante la fórmula

y =4t

cos 4t, t > 0

donde y es la distancia (en metros) y t es el tiempo (en segundos).

(i) Haga una gráfica de la función.

(ii) Describa el comportamiento de la función desplazamiento para valores cre-cientes de t.


SECCIÓN 1.5Ejercicio 1.102. En cada caso, identificar la función base y transforme la funciónbase para hacer la gráfica de la función dada

(i) f (x) = x2 + 2 (ii) f (x) = x3 − 2 (iii) f (x) =√

x− 1 (iv) f (x) = |x|+ 2

(v) f (x) = 3x2 (vi) f (x) = −√

x (vii) f (x) = (x− 2)2 + 5 (viii) f (x) = −|x|

Ejercicio 1.103. En cada caso, explicar la manera en que la gráfica es una trans-formación de la gráfica de f (x) = |x|, y hallar una expresión adecuada para lafunción representada por la gráfica

x

y

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

1

2

3

4

5

-1

-2

x

y

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

1

2

3

4

5

-1

-2

(i) (ii)

Ejercicio 1.104. En cada caso, explicar la manera en que la gráfica es una trans-formación de la gráfica de f (x) = x2, y hallar una expresión adecuada para lafunción representada por la gráfica

x

y

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

1

2

3

4

5

-1

-2

x

y

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

1

2

3

4

5

-1

-2

(i) (ii)

Ejercicio 1.105. En cada caso, use la descripción verbal para hallar una expresiónalgebraica de la función g(x).

(i) La gráfica de g(x) se forma por la traslación de la función f (x) = |x| de 2unidades a la izquierda y 6 unidades hacia arriba.

(ii) La gráfica de g(x) se forma mediante la compresión horizontal de la funciónf (x) = x2 por un factor de −3, y la traslación de 1 unidad a la derecha.


RESPUESTAS DE ACTIVIDADES PROPUESTAS

RESPUESTAS DE SECCIÓN 1.1Ejercicio 1.1: (i) x es independiente e y es dependiente, (ii) dominio, (iii) rango.

Ejercicio 1.2: (i) Sí, (ii) Sí, (iii) Sí, (iv) No. Ejercicio 1.3: (i) Sí, (ii) No. Ejercicio 1.6:(i) dom( f ) = R, (ii) dom(g) = R, (iii) dom(h) = R \ {−3}, (iv) dom(j) = R \{−2}, (v) dom(k) = R \ {1}, (vi) dom(r) = R \ {±1}, (vii) dom(m) = R \ {1},(viii) dom(n) = R, (ix) dom(p) = R \ {0,−1}, (x) dom(q) = R, (xi) dom(r) =

R \ {0}, (xii) dom(s) = R \ {0, 1}. Ejercicio 1.9: (i) a = 9/8, (ii) a = 2. Ejercicio1.12: (i) H(1) = 7, H(1.1) = 4.27, H(1.2) = 1.28, (ii) Cuando transcurren

√5/13

segundos, (iii) Cuando t =√

20/13, (iv) Imposible. Ejercicio 1.14: (i) a = 10,b = 40, (ii) 140 cm. Ejercicio 1.21: (i) Entre las 8 A.M y las 10 A.M, (ii) Entre las 10:00 A. M y las 11:00 A.M, (iii) Entre las 10: 00 A. M y las 11:00 A.M; y después de las13 horas. (iv) Entre las 11 A.M y las 13 P.M. Ejercicio 1.24: (i) Aproximadamente19 ventiladores, (ii) Aproximadamente 65 soles.

RESPUESTAS DE SECCIÓN 1.2Ejercicio 1.60: (i) No, (ii) No, (iii) No, (iv) Si. Ejercicio 1.61: (i) (−2, 3], (ii)

(−2, 4], (iii) (−4, 2] ∪ (3, 6], (iv) (0, 6]. Ejercicio 1.63: (i) Si, (ii) Si, (iii) No, (iv) No.Ejercicio 1.64: (i) f (x) = 50x + 250, (ii) Los puntos de intersección son (−5, 0)y (0, 250), donde el segundo punto significa que mientras el vendedor no con-sigue vender, obtiene siempre un ingreso semanal de 250 soles. Ejercicio 1.65:m(4) = 165, 600 aficionados, (ii) En el año 2002 hubieron 160,000 aficionados.Ejercicio 1.66: (i) 340 km, (ii) Que a las 8:A.M se encuentra en el kilómetro 100.Ejercicio 1.67: (i) 450, (ii) Que en el año 2001 se vendieron 350 computadoras,(iii) En el año 2011. Ejercicio 1.69: (i) 27 metros, (ii) 24 metros, (iii) 20.1 metros.Ejercicio 1.71: (i) 160− l, (ii) Área = l(160− l), (iii) 6400 metros. Ejercicio 1.72:Aproximadamente 255.1 metros. Ejercicio 1.74: (i) 62.6 kg, que está cerca de lacantidad percapita a 0.1 kg, (ii) En 1996 cada persona consume 60.4 kg, mientrasque el año 2000 cada persona consume 55.5 kg, (iii) En el año 1996 cada personaconsume 0.3 kg más de arroz sobre el nivel percapita y el año 2000 consume 0.8 kgmás sobre el consumo percapita. Ejercicio 1.75: (i) f (0) = 921 y significa que elaño 1998 hubieron 921 especies en peligro de extinción, (ii) 993 especies aproxi-madamente. Ejercicio 1.76: (i) Es el punto 3073, (ii) b(6) = 3103.3 y significa queen el año 1991 hubieron aproximadamente 3103 asaltos, (iii) En el año 2004 hubie-ron aproximadamente 1848 asaltos (iv) Para el año 2040 t = 55 y b(55) = 54263,o sea que habrán aproximadamente 54, 263 asaltos lo cual es aún una hipótesisrazonable.

168 Lord Barrera - Capítulo 2. Límite de Funciones

Capítulo 2

Límite de Funciones2.1. Comprendiendo el Concepto de Límite

La noción de límite es fundamental en matemática superior. Podemos atre-vernos a decir que sin el concepto de límite no podríamos hablar de matemáticasuperior.

fondosya.com

En este capítulo desarrollaremos el concepto de límite procediendo informal-mente para llegar a la definición matemática rigurosa. También desarrollaremosteoremas y propiedades para calcular límites y concluiremos este capítulo enfati-zando el desarrollo rigusoso en base a deltas y epsilon.

169


Consideremos la siguiente situación: un tren de pasajeros se desplaza a lo lar-go de una vía en forma de línea recta, digamos que el desplazamiento (en metros)es modelado por la función

d = f (t) = 6t2, 0 ≤ t ≤ 20

donde t se mide en segundos. Por ejemplo, las posiciones en los segundos t =

0, 1, 2, 3, . . . , 20 son

f (0) = 0, f (1) = 6, f (2) = 24, f (3) = 54, . . . , f (20) = 2400

0 6 24 54 2400

Lo que haremos a continuación es analizar la velocidad cuando el tren aceleraa medida que transcurre el tiempo. Por ejemplo, averiguemos ¿cuál es la velo-cidad promedio cuando han transcurrido t = 2 segundos? Para aproximarnosa la velocidad promedio veamos que sucede entre los segundos 2 y 4, o sea, elintervalo [2, 4]

desplazamientotiempo transcurrido

=f (4)− f (2)

4− 2=

6(4)2 − 6(2)2

4− 2=

96− 242

= 36

o sea, 36 m/s. Aunque esta no es la velocidad del tren en el instante t = 2, lo quehace es proveer una aproximación para la velocidad en ese instante.

Veamos a continuación cómo mejorar esto. Si t > 2, entonces la velocidadpromedio del tren sobre el intervalo [2, t] es dada por

Vpr =f (t)− f (2)

t− 2=

6(t)2 − 6(2)2

t− 2=

6(t2 − 4)t− 2

(2.1.1)

Usando la ecuación (2.1.1) y utilizando la sucesión t = 2.5, 2.1, 2.01, 2.001 y2.0001, la cual se aproxima a 2, entonces

la velocidad promedio sobre [2, 2.5] es6(2.52 − 4)

2.5− 2= 27 m/s

la velocidad promedio sobre [2, 2.1] es6(2.12 − 4)

2.1− 2= 24.6 m/s

Las otras aproximaciones se muestran en la siguiente tabla

t 2.5 2.1 2.01 2.001 2.0001

Vpr sobre [2, t] 27 24.6 24.06 24.006 24.0006

Lord Barrera - Sección 2.1. Comprendiendo el Concepto de Límite 171

También podemos hacer el mismo procedimiento para t < 2. Entonces la ve-locidad promedio del tren sobre el intervalo [t, 2] es dada por

Vpr =f (t)− f (2)

t− 2=

6(t)2 − 6(2)2

t− 2=

6(t2 − 4)t− 2

(2.1.2)

Usando la ecuación (2.1.2) y utilizando la sucesión t = 1.5, 1.9, 1.99, 1.999 y1.9999, la cual se aproxima a 2, entonces

la velocidad promedio sobre [1.5, 2] es6(1.52 − 4)

2− 1.5= 21 m/s

la velocidad promedio sobre [1.9, 2] es6(1.92 − 4)

2− 1.9= 23.4 m/s

Las otras aproximaciones se muestran en la siguiente tabla

t 1.5 1.9 1.99 1.999 1.9999

Vpr sobre [t, 2] 21 23.4 23.94 23.994 23.9994

A continuación definimos

g(t) =6(t2 − 4)

t− 2

Observamos de las tablas anteriores que cuando t se aproxima a 2, la funcióng(t) se aproxima a 24. A partir de esta situación podemos decir que el límite dela función g(t) cuando t se aproxima a 2 es 24. Escribimos esto mediante

lı́mt→ 2

g(t) = lı́mt→ 2

6(t2 − 4)t− 2

= 24

La gráfica de la función g se muestra enla figura derecha. Notemos que el pun-to 2 no está en el dominio de g, por estarazón el punto (2, 24) no pertenece a lagráfica de g y es indicado por un círculoabierto en la gráfica. 3

12

18

t

2

(2,24)

g( )t

g

Notemos que la existencia o no existencia de g(t) en t = 2 juega un papelimportante en el cálculo del límite.


Nos acercaremos de manera informal al concepto de límite: damos un númeroreal a y una función definida en todos los números x próximos de a (puede pasarque f no esté definida en a).

Definición 2.1.1. Sea un número real L. Decimos que el límite de f (x) cuando xtiende al número a es L y escribimos

lı́mx→ a

f (x) = L

significando: cuando x está bien próximo de a, entonces f (x) está bien próximode L.

La curva en la figura derecha representala gráfica de una función f . El número aestá en el eje x y el límite L en el eje y.Cuando x se aproxima al número a en eleje x, entonces f (x) se aproxima a L enel eje y.

ax xx

y

L

x( (f

x( (ff

Ejemplo 2.1.1. Sea la función f (x) =

x + 1. Cuando x se aproxima a 1, x + 1se aproxima a 1+ 1 = 2. Haciendo L = 2concluímos que

lı́mx→ 1

(x + 1) = 2.x x

x

y

x( (f

1

2

-1

x( (f

1

Ejemplo 2.1.2. Sea

f (x) =

{ √x + 3 si x ̸= 1

3 si x = 1

Cuando x se aproxima a 1, entonces√

x + 3 se aproxima a√

1 + 3 = 2.

Concluímos quelı́mx→ 1

√x + 3 = 2.

Lord Barrera - Sección 2.1. Comprendiendo el Concepto de Límite 173

Ejemplo 2.1.3. Consideremos ahora

f (x) =x2 − 1x− 1

Notemos que la función no está definida en 1. Sin embargo, para x ̸= 1 y portanto para todo x próximo de 1,

x2 − 1x− 1

=(x + 1)(x− 1)

x− 1= x + 1

Luego, para x próximo de 1,x2 − 1x− 1

= x + 1

es próximo de 1 + 1 = 2. Concluímos que

lı́mx→ 1

x2 − 1x− 1

= lı́mx→ 1

(x + 1) = 2 .

Ejemplo 2.1.4. La figura abajo muestra tres funciones para el cual el límiteexiste cuando x se aproxima a 2.

x

yx( (fy=

2

3

x

yx( (gy=

2

2

x

yx( (hy=

2

4

Calcular los siguientes límites

(i) lı́mx→ 2

f (x) (ii) lı́mx→ 2

g(x) y (iii) lı́mx→ 2

h(x) .

Solución. En el primer caso vemos que cuando x se aproxima a 2, entoncesf (x) se aproxima a 3, por tanto lı́m

x→ 2f (x) = 3. En el segundo caso vemos que

g(x) no está definida en 2; sin embargo g(x) se aproxima a 2 siempre que x seaproxima a 2, luego lı́m

x→ 2g(x) = 4. Finalmente, es claro que lı́m

x→ 2h(x) = 4.


2.2. Propiedades de los Límites

En esta sección estableceremos algunas fórmulas que nos permitirán calcularde manera simple diversos límites. Nuestro objetivo es manipular estas fórmulasy familiarizarnos con sus aplicaciones.

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN CONSTANTE

A continuación enunciaremos nuestro primer resultado para el cálculo delímites. Este resultado consiste de calcular el límite de una función constantef (x) = c.

Teorema 2.2.1. Para cualquier c ∈ R

lı́mx→a

c = c .

Como vemos en la figura derecha, la grá-fica de la función constante f (x) = c esla recta horizontal pasando por el nively = 3. Cuando calculamos el límite lı́m

x→ac,

no importa a qué número se aproxime lavariable x, el límite que resulta es siemprela constante.

x

y

a

c

x( (f

x x

x( (f

Ejemplo 2.2.2. Algunos límites de funciones constantes son

lı́mx→ 1

5 = 5, lı́mx→ 2

3 = 3, lı́mx→ 5

(−1) = −1 y lı́mx→ 0

π = π .

Ejemplo 2.2.3. Calcular los siguientes límites

lı́mx→ 1

10 = , lı́mx→ 2

√2 = , lı́m

x→ 5π = , y lı́m

x→ 0(−5) = .


Lord Barrera - Sección 2.2. Propiedades de los Límites 175

LÍMITE DE LA FUNCIÓN IDENTIDAD

El siguiente límite básico consiste de calcular el límite de la función identidadf (x) = x.

Teorema 2.2.4.lı́mx→a

x = a .

Ejemplo 2.2.5. Algunos límites son

lı́mx→ 1

x = 1, lı́mx→ 2

x = 2, lı́mx→π

x = π y lı́mx→ 0

x = 0 .

Ejemplo 2.2.6. Calcular los siguientes límites

lı́mx→ 2

x = , lı́mx→ 3

x = , lı́mx→√

2x = y lı́m

x→ 1x = .


PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LÍMITES

A continuación estableceremos algunas propiedades algebraicas que nos ayu-darán a calcular de manera efectiva límites que involucran expresiones más ex-tensas. Estas expresiones pueden ser sumas de funciones, diferencias, o tambiénproductos y cocientes.

Teorema 2.2.7. Se cumplen

(a) lı́mx→a

[f (x) + g(x)

]= lı́m

x→af (x) + lı́m

x→ag(x).

(b) lı́mx→a

[f (x)− g(x)

]= lı́m

x→af (x)− lı́m

x→ag(x).

(c) lı́mx→a

[c f (x)

]= c lı́m

x→af (x), para cualquier c ∈ R.

(d) lı́mx→a

[f (x)g(x)

]= lı́m

x→af (x) lı́m

x→ag(x).

(e) lı́mx→a

f (x)g(x)

=lı́mx→a

f (x)

lı́mx→a

g(x), sabiendo que lı́m

x→ag(x) ̸= 0.


Ejemplo 2.2.8. Calcular el siguiente límite

lı́mx→ 1

(x + 5)

Solución. Aplicando la propiedad (a) tenemos

lı́mx→ 1

(x + 5) = lı́mx→ 1

x + lı́mx→ 1

5 = 1 + 5 = 6 .


lı́mx→ 2

(1− x)

Solución. Aplicando la propiedad (b) tenemos

lı́mx→ 2

(1− x) = lı́mx→ 2

1− lı́mx→ 2

x = 1− 2 = −1 .


lı́mx→ 0

5(x + 1)

Solución. Aplicando la propiedad (c) tenemos

lı́mx→ 0

5(x + 1) = 5 lı́mx→ 0

(x + 1)

= 5[

lı́mx→ 0

x + lı́mx→ 0

1]

= 5[0 + 1

]= 5.

Ejemplo 2.2.11. Calcular el límite

lı́mx→ 1

(x2 + 2x)

Solución. Desde quex2 + 2x = x(x + 2),

de acuerdo a la propíedad (d) tenemos

lı́mx→ 1

(x2 + 2x) = lı́mx→ 1

x(x + 2)

=[

lı́mx→ 1

x][

lı́mx→ 1

(x + 2)]

= 1(1 + 2)

= 3.



lı́mx→ 3

x + 7x− 2

Solución. Desde que lı́mx→ 3

(x − 2) = 1 ̸= 0, podemos aplicar la regla del co-

ciente

lı́mx→ 3

x + 7x− 2

=lı́mx→ 3

(x + 7)

lı́mx→ 3

(x− 2)

=lı́mx→ 3

x + lı́mx→ 3

7

lı́mx→ 3

x− lı́mx→ 3

2

=3 + 73− 2

=101

= 10.

Ejemplo 2.2.13. Suponga que lı́mx→ a

f (x) = 3 y lı́mx→ a

g(x) = 5. Calcular

(i) lı́mx→ a

[ f (x)− 2g(x)].

(ii) lı́mx→ a

[ f (x)g(x)].

(iii) lı́mx→ a

f (x)g(x)

.

Solución. (i) De acuerdo a las propiedades (b) y (c), tenemos

lı́mx→ a

[ f (x)− 2g(x)] = lı́mx→ a

f (x)− 2 lı́mx→ a

g(x) = 3− 2(5) = −7 .

(ii) De acuerdo a la propiedad (d) tenemos

lı́mx→ a

[ f (x)g(x)] = ( lı́mx→ a

f (x))( lı́mx→ a

g(x)) = (3)(5) = 15 .

(iii) De acuerdo a la propiedad (e) tenemos

lı́mx→ a

f (x)g(x)

=lı́mx→ a

f (x)

lı́mx→ a

g(x)=

35

.


LÍMITE DE UNA POTENCIA

Ya vimos en el ítem (d) de las propiedades algebraicas de límites que el límitede un producto es el producto de límites. Si aplicamos esto al límite

lı́mx→ a

x2

tenemoslı́mx→ a

x2 =(

lı́mx→ a

x) (

lı́mx→ a

x)= a · a = a2

Generalizando este resultado tenemos:

Teorema 2.2.14. Dado un entero positivo n, entonces

lı́mx→ a

xn = an .

Ejemplo 2.2.15. Tenemos por ejemplo los límites

(i) lı́mx→ 1

x2 = 12 = 1 (ii) lı́mx→ 2

x4 = 24 = 16 (iii) lı́mx→−2

x3 = (−2)3 = −8

Ejemplo 2.2.16. Completar los siguientes límites

(i) lı́mx→ 3

x5 = (ii) lı́mx→√

2x2 = (iii) lı́m

x→−2x4 =



lı́mx→ 1

(2x2 + 4x + 1)

Solución. Aplicando las propiedades de límites tenemos

lı́mx→ 1

(2x2 + 4x + 1) = lı́mx→ 1

(2x2) + lı́mx→ 1

(4x) + lı́mx→ 1

(1)

= 2 lı́mx→ 1

(x2) + 4 lı́mx→ 1

(x) + lı́mx→ 1

(1)

= 2(12) + 4(1) + 1

= 7.



lı́mx→ 2

x2 − 5xx− 3

Solución. Desde que lı́mx→ 2

(x − 3) = −1 ̸= 0, podemos aplicar la regla del

cociente

lı́mx→ 2

x2 − 5xx− 3

=lı́mx→ 2

(x2 − 5x)

lı́mx→ 2

(x− 3)

=lı́mx→ 2

(x2)− 5 lı́mx→ 2

(x)

lı́mx→ 2

(x)− lı́mx→ 2

(3)

=22 − 5(2)

2− 3

=−6−1

= 6.

Podemos generalizar el resultado anterior en la siguiente propiedad

Proposición 2.2.19. Si n es un entero positivo y lı́mx→ a

f (x) = L, entonces

lı́mx→ a

[ f (x)]n = Ln .

Ejemplo 2.2.20. Evaluemos el límite

lı́mx→ 1

(x2 + 4x + 4)

Solución. Sabemos que x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 y que

lı́mx→ 1

(x + 2) = 3

Luego

lı́mx→ 1

(x2 + 4x + 4) = lı́mx→ 1

(x + 2)2 = 32 = 9 .


Teorema 2.2.21. Si n es un entero positivo y lı́mx→ a

f (x) = L, entonces

lı́mx→ a

n√

f (x) = n√

L , donde L > 0 si n es par .


lı́mx→ 1

√x + 8

Solución. Sabemos quelı́mx→ 1

(x + 8) = 9

Luegolı́mx→ 1

√x + 8 =

√9 = 3 .

Ejemplo 2.2.23. Evaluar el siguiente límite

lı́mx→−1

√x + 5

Solución. Sabemos que

lı́mx→−1

(x + 5) = 4

Luegolı́m

x→−1

√x + 5 =

√4 = 2 .

Ejemplo 2.2.24. Suponga que se cumple

lı́mx→ 3

√ax2 + 2ax = 3

√10

Calcular el valor de a.Solución. Aplicando límite a la expresión dentro de la raiz

lı́mx→ 3

(ax2 + 2ax) = a(3)2 + 2a(3) = 15a

o sea quelı́mx→ 3

√ax2 + 2ax =

√15a = 3

√10

Esto significa que√

15a = 3√

10, que implica 15a = 90. Por tanto, a = 6.


LÍMITE DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA

De las propiedades algebraicas de límites sigue el resultado

Proposición 2.2.25. Si p(x) = anxn + an−1xn−1 + . . .+ a0 es una función polinómica,entonces

lı́mx→ a

p(x) = p(a) .


lı́mx→−1

(x5 − 3x3 + 2x)

Solución. Si consideramos el polinomio

p(x) = x5 − 3x3 + 2x,

entonces p(−1) = (−1)5 − 3(−1)3 + 2(−1) = 0 y

lı́mx→−1

(x5 − 3x3 + 2x) = p(−1) = 0 .

Ejemplo 2.2.27. Evaluar el límite

lı́mx→−1

(x7 − 2x3 + 3x− 1)

Solución. Evaluando directamente se tiene

lı́mx→−1

(x7 − 2x3 + 3x− 1) = (−1)7 − 2(−1)3 + 3(−1)− 1 = −3

Ejemplo 2.2.28. Silı́mx→ 2

(ax3 − 2ax2 + 3x) = 21

Calcular el valor de a.Solución. Evaluando conseguimos

21 = lı́mx→ 2

(ax3 + 2ax2 + 3x) = a(2)3 + 2a(2)2 + 3(2) = 8a + 8a + 6 = 16a + 16

o sea que a = 5/16.


LÍMITE DE UNA FUNCIÓN RACIONAL

Continuamos con la siguiente propiedad de límite para funciones racionales

Proposición 2.2.29. Si p(x) y q(x) son polinomios con q(a) ̸= 0, entonces

lı́mx→ a

p(x)q(x)

=p(a)q(a)

.


lı́mx→ 3

x3 − 3x2 + 1x2 − 1

Solución. Desde que (3)2 − 1 = 8 ̸= 0, entonces

lı́mx→ 3

x3 − 2x2 + 1x2 − 1

=(3)3 − 2(3)2 + 1

(3)2 − 1=

108

=54

.


lı́mx→ 2

x4 + x2 + 5x2 + 1

Solución. Evaluando directamente tenemos

lı́mx→ 2

x4 + x2 + 5x2 + 1

=(2)4 + (2)2 + 5

(2)2 + 1=

255

= 5 .

Ejemplo 2.2.32. Evaluar los siguientes límites

(i) lı́mx→ 2

x4 + x2 + 5x2 + 1

(ii) lı́mx→−1

5x4 − x3

2x2 + 3(iii) lı́m

x→ 0

x2 + x + 1x + 1

(iv) lı́mx→ 4

2x + 1x

(v) lı́mx→ 2

−(x + 1)2

x + 1(vi) lı́m

x→√

2

x4 + x2

x2(vii) lı́m

x→ 0

−x2 + x− 1x− 1

(viii) lı́mx→ 3

x + 1x− 1


Lord Barrera - Sección 2.3. Límite de Funciones Trigonométricas 183

2.3. Límite de Funciones Trigonométricas

Ya sabemos calcular límite de funciones algebraicas. El siguiente teorema diceque si a es un número que está en el dominio de una función trigonométrica,entonces el límite de la función cuando x se aproxima al punto a, se calcula porsustitución.

Teorema 2.3.1. (Límite de funciones trigonométricas). Sea a un número en el do-minio de una función trigonométrica. Entonces

(a) lı́mx→ a

sen x = sen a (b) lı́mx→ a

cos x = cos a

(c) lı́mx→ a

tg x = tg a (d) lı́mx→ a

cot x = cot a

(e) lı́mx→ a

sec x = sec a (f) lı́mx→ a

csc x = csc a

Ejemplo 2.3.2. Calcular los límites

(i) lı́mx→π/4

x cos x (ii) lı́mx→π/2

(x2 + sen x) (iii) lı́mx→π/3

sen x cos x

Solución.

(i) lı́mx→π/4

x cos x =

(lı́m

x→π/4x)(

lı́mx→π/4

cos x)

=π

4cos

π

4=

π

4

√2

2=

π√

28

(ii) lı́mx→π/2

(x2 + sen x) = lı́mx→π/2

x2 + lı́mx→π/2

sen x

=(π

2

)2+ sen

π

2

=π2

4+ 1 =

π2 + 44

(iii)

lı́mx→π/3

sen x cos x = sen(π/3) cos(π/3) =

(√3

2

)(12

)=

√3

4.


Teorema 2.3.3. (Límites trigonométricos importantes). Se cumplen:

lı́mx→ 0

sen xx

= 1 y lı́mx→ 0

1− cos xx

= 0


lı́mh→ 0

sen 4hh

Solución. Haciendo x = 4h, entonces tenemos

sen 4hh

=4 sen 4h

4h= 4

sen xx

La nueva variable x tiende a cero cuando h → 0, pues, x es múltiplo de h. Portanto, cambiamos el límite h→ 0 por x → 0 y obtenemos

lı́mh→ 0

sen 4hh

= lı́mx→ 0

4sen x

x= 4

(lı́mx→ 0

sen xx

)= 4(1) = 4 .


lı́mx→ 0

tg xx

Solución.

lı́mx→ 0

tg xx

= lı́mx→ 0

(sen x

x· 1

cos x

)=

(lı́mx→ 0

sen xx

)·(

lı́mx→ 0

1cos x

)= (1)(1)

= 1 .


lı́mh→ 0

sen 3h2h




lı́mx→ 0

cos(π

2cos x

)sen(sen x)

Solución.

lı́mx→ 0

cos(π

2cos x

)sen(sen x)

= lı́mx→ 0

sen(π

2(1 + cos x)

)sen(sen x)

= lı́mx→ 0

sen(

π cos2 x2

)sen(sen x)

= lı́mx→ 0

sen(

π sen2 x2

)sen(sen x)

= lı́mx→ 0

πsen

x2

2 cosx2

2 sen

x2

cosx2

sen(

2 senx2

cosx2

)sen

(π sen2 x

2

)π sen2 x

2

= 0.


lı́mx→ π

2

1− sen x(π

2− x)2

Solución. Haciendo h = x− π

2tenemos que x→ π

2⇔ h→ 0. Luego

lı́mx→ π

2

1− sen x(π

2− x

)2= lı́m

h→ 0

1− sen(π

2+ h)

(−h)2= lı́m

h→ 0

1− cos hh2

= lı́mh→ 0

1− 1 + 2 sen2(

h2

)h2

= lı́mh→ 0

2 sen2(

h2

)h2

= 2 lı́mh→ 0

(sen

h2

)2

4(

h2

)2=

24

lı́mh→ 0

[sen(h/2)(h/2)

]2

=12× (1)2 =

12

.


TÉCNICA DEL SANDWICH

Las técnicas anteriores son muy buenas pero no resuelven todas las situacio-nes, como vemos a continuación.

Por ejemplo, si queremos calcular

lı́mx→ 0

x2 sen1x

entonces una herramienta útil es el siguiente teorema

Teorema 2.3.9. (El sandwich). Supongamos que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x enun intervalo centrado en a (es posible que no lo contenga). Si

lı́mx→ a

f (x) = L = lı́mx→ a

h(x)

entonceslı́mx→ a

g(x) = L


lı́mx→ 0

x2 sen1x

Solución. Desde que −1 ≤ sen t ≤ 1 para todo número real t, entonces

−1 ≤ sen1x≤ 1 para todo x ̸= 0

Por tanto,

−x2 ≤ x2 sen1x≤ x2, x ̸= 0

Sean

f (x) = −x2, g(x) = x2 sen1x

y h(x) = x2

Entoncesf (x) ≤ g(x) ≤ h(x)

Desde que

lı́mx→ 0

f (x) = lı́mx→ 0

(−x2) = 0 y lı́mx→ 0

h(x) = lı́mx→ 0

(x2) = 0


El teorema del sandwich implica que

lı́mx→ 0

g(x) = lı́mx→ 0

x2 sen1x= 0 .

Ejemplo 2.3.11. ¿Qué información acerca de g se cumple en el teorema delsandwich, si sabemos que f , g y h se relacionan como en la figura abajo yademás se sabe que lı́mx→ 7 f (x) = lı́mx→ 7 h(x) = 6? Note que la desigualdadg(x) ≤ h(x) no se cumple para todo x. Esto afecta la validez de nuestra conclu-sión.

f (x (

g(x (

h(x (

x

y

7

6

Solución. En el teorema del sandwich no se requiere que la desigualdadf (x) ≤ g(x) ≤ h(x) se cumpla para todo x, sino que las desigualdades sólovalgan en un intervalo abierto conteniendo a x = 7. En la figura arriba es claroque f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) se tiene en algún intervalo abierto conteniendo a x = 7.Finalmente, debido a que lı́mx→ 7 f (x) = lı́mx→ 7 h(x) = 6, entonces concluímosque lı́mx→ 7 g(x) = 6.

Ejemplo 2.3.12. Establecer en cada caso si la desigualdad provee suficienteinformación para determinar lı́mx→ 1 f (x), y de esta manera hallar el límite.

(i) 4x− 5 ≤ f (x) ≤ x2.

(ii) 2x− 1 ≤ f (x) ≤ x2.

(iii) 4x− x2 ≤ f (x) ≤ x2 + 2.

Solución. (i) Debido a que lı́mx→ 1(4x − 5) = −1 ̸= 1 = lı́mx→ 1 x2, las de-sigualdades no proveen suficiente información para calcular lı́mx→ 1 f (x).

(ii) Desde que lı́mx→ 1(2x − 1) = 1 = lı́mx→ 1 x2, se sigue por el teorema delsandwich que lı́mx→ 1 f (x) = 1.

(iii) Desde que lı́mx→ 1(4x− x2) = 3 = lı́mx→ 1(x2 + 2), se sigue por el teoremadel sandwich que lı́mx→ 1 f (x) = 3.


2.4. Técnicas para Evaluar Límites

En la secciones anteriores estudiamos varios tipos de funciones cuyos límitespueden ser evaluados por sustitución directa. En esta sección revisaremos algu-nas técnicas para evaluar límites de funciones para el cual la sustitución directafalla.

Supongamos que queremos calcular el siguiente límite

lı́mx→ 2

x2 − 4x− 2

Una sustitución directa produce 0 en el numerador y denominador

(2)2 − 4 = 0 el numerador es 0 cuando x = 2

2− 2 = 0 el denominador es 0 cuando x = 2

El resultado de la fracción00

no es un número real. Esta expresión se llamaforma indeterminada. A continuación veremos algunas técnicas que permitanresolver estas cuestiones

TÉCNICA DE DIVISIÓN

Esta técnica consiste en factorizar numerador o denominador y luego cancelarlos factores comunes.


lı́mx→ 2

x2 − 4x− 2

Solución. Ya sabemos que al hacer sustitución, conseguimos una forma inde-terminada. Para evitar este inconveniente, factorizamos el numerador y elimina-mos factores comunes:

lı́mx→ 2

x2 − 4x− 2

= lı́mx→ 2

(x + 2)(x− 2)x− 2

factorizando el numerador

= lı́mx→ 2

(x + 2) resulta de eliminar el factor (x− 2)

= 2 + 2 = 4 sustitución directa y simplificación

Lord Barrera - Sección 2.4. Técnicas para Evaluar Límites 189


lı́mx→ 1

x2 + 2x− 3x− 1

Solución. Procedemos como en el ejemplo anterior:

lı́mx→ 1

x2 + 2x− 3x− 1

= lı́mx→ 1

(x− 1)(x + 3)x− 1

factorizando el numerador

= lı́mx→ 1

(x + 3) eliminando factores comunes

= 1 + 3 = 4 sustitución directa


lı́mx→ 1

x2 − 4x + 3x2 − 5x + 4

Solución. Procedemos como en el ejemplo anterior:

lı́mx→ 1

x2 − 4x + 3x2 − 5x + 4

= lı́mx→ 1

(x− 1)(x− 3)(x− 1)(x− 4)

= lı́mx→ 1

x− 3x− 4

=1− 31− 4

=23


lı́mx→ 1

x7 − 2x5 + 1x3 − 3x2 + 2

Solución. Notemos que

x7 − 2x5 + 1x3 − 3x2 + 2

=(x− 1)(x6 + x5 − x4 − x3 − x2 − x− 1)

(x− 1)(x2 − 2x− 2)

=x6 + x5 − x4 − x3 − x2 − x− 1

x2 − 2x− 2

Luego

lı́mx→ 1

x7 − 2x5 + 1x3 − 3x2 + 2

= lı́mx→ 1

x6 + x5 − x4 − x3 − x2 − x− 1x2 − 2x− 2

=1 + 1− 1− 1− 1− 1− 1

1− 2− 2= 1 .


TÉCNICA DE RACIONALIZACIÓN

Otra manera de calcular límite de funciones consiste de racionalizar el nu-merador o denominador de una función. Esta técnica es llamada técnica de ra-cionalización. Recordemos que racionalizar significa multiplicar el numerador ydenominador por el conjugado. Por ejemplo, el conjugado de

√x− 2 es

√x + 2.


lı́mx→ 0

√x + 1− 1

x

Solución. Por sustitución directa obtenemos la forma indeterminada00

, esdecir

lı́mx→ 0

√x + 1− 1

x=

√0 + 1− 1

0=

00

forma indeterminada

En este caso, podemos reescribir la fracción mediante racionalización del deno-minador

√x + 1− 1

x=

(√x + 1− 1

x

)(√x + 1 + 1√

x + 1 + 1

)

=(x + 1)− 1

x(√

x + 1 + 1)multiplicando

=x

x(√

x + 1 + 1)simplificando

=1

√x + 1 + 1

cancelando el término x

Ahora bien, evaluando el límite por sustitución directa obtenemos

lı́mx→ 0

√x + 1− 1

x= lı́m

x→ 0

1√

x + 1 + 1=

1√

0 + 1 + 1=

11 + 1

=12

.


lı́mx→ 1

x2 − 3x + 2√

x− 1

Solución.

lı́mx→ 1

x2 − 3x + 2√

x− 1= lı́m

x→ 1

(x− 1)(x− 2)√

x− 1= lı́m

x→ 1

(x− 1)(x− 2)√

x− 1

(√x + 1√

x + 1

)= lı́m

x→ 1

(x− 1)(x− 2)(√

x + 1)x− 1

= lı́mx→ 1

(x− 2)(√

x + 1)

= −2 .

Lord Barrera - Sección 2.4. Técnicas para Evaluar Límites 191


lı́mx→ 5

2−√

x− 1x2 − 25

Solución.

lı́mx→ 5

2−√

x− 1x2 − 25

= lı́mx→ 5

2−√

x− 1(x + 5)(x− 5)

= lı́mx→ 5

2−√

x− 1(x + 5)(x− 5)

(2 +√

x− 1

2 +√

x− 1

)

= lı́mx→ 5

4− (x− 1)

(x + 5)(x− 5)(2 +√

x− 1)

= lı́mx→ 5

5− x

(x + 5)(x− 5)(2 +√

x− 1)

= lı́mx→ 5

−1

(x + 5)(2 +√

x− 1)

=−1

(5 + 5)(2 +√

5− 1)

= − 140

.

Ejemplo 2.4.8. Evaluar

lı́mx→ 2

x−√

x + 2√

4x + 1− 3Solución.

lı́mx→ 2

x−√

x + 2√

4x + 1− 3= lı́m

x→ 2

(x−√

x + 2)(x +√

x + 2)(√

4x + 1 + 3)

(√

4x + 1− 3)(x +√

x + 2)(√

4x + 1 + 3)

= lı́mx→ 2

[x2 − (x + 2)](√

4x + 1 + 3)

[(4x + 1)− 9](x +√

x + 2)

= lı́mx→ 2

(x2 − x− 2)(√

4x + 1 + 3)

(4x− 8)(x +√

x + 2)

= lı́mx→ 2

(x− 2)(x + 1)(√

4x + 1 + 3)

4(x− 2)(x +√

x + 2)

= lı́mx→ 2

(x + 1)(√

4x + 1 + 3)

4(x +√

x + 2)

=98

.


Ejemplo 2.4.9. (Un desafío para completar). Evaluar el límite

lı́mx→ 3

√x2 − 5− 3

√x + 5

x− 3

Solución. Para evaluar este límite, hagamos√x2 − 5− 3

√x + 5

x− 3=

[(x2 − 5)3/2]1/3 − (x + 5)1/3

x− 3(2.4.3)

y para simplificar más nuestro cálculo, hacemos las sustituciones

a = (x2 − 5)3/2, b = x + 5 y c = x− 3

Entonces la expresión (2.4.3) se convierte en

a1/3 − b1/3

c=

(3√

a− 3√

b) [(

3√

a)2

+ 3√

a 3√

b +( 3√

b)2]

c[(

3√

a)2

+ 3√

a 3√

b +( 3√

b)2]

=a− b

c[(

3√

a)2

+ 3√

a 3√

b +( 3√

b)2]

=a2 − b2

c(a + b)[(

3√

a)2

+ 3√

a 3√

b +( 3√

b)2]

y esta última expresión se convierte en

(x2 − 5)3 − (x + 5)2

(x− 3)[(x2 − 5)3/2 + (x + 5)

][(x2 − 5) +

√x2 − 5 3

√x + 5 + 3

√(x + 5)2

]=

(x− 3)(x5 + 3x4 − 6x3 − 18x2 + 20x + 50)

(x− 3)[(x2 − 5)3/2 + (x + 5)

][(x2 − 5) +

√x2 − 5 3

√x + 5 + 3

√(x + 5)2

]=

x5 + 3x4 − 6x3 − 18x2 + 20x + 50[(x2 − 5)3/2 + (x + 5)

][(x2 − 5) +

√x2 − 5 3

√x + 5 + 3

√(x + 5)2

]y tomar límite a la expresión (2.4.3) equivale tomar límite a esta última expre-

sión, que vale 17/12.

Ejemplo 2.4.10. Evaluar los siguientes límites

(i) lı́mx→ 1

√2− x− 11− x

(ii) lı́mx→ 4

2−√

xx− 4

(iii) lı́mx→ 1

x2 −√

x√

x− 1(iv) lı́m

x→ 1

√x + 4−

√5

x− 1


Lord Barrera - Sección 2.5. Límites Laterales 193

2.5. Límites Laterales

Cuando el número x se aproxima al número a podemos pensarlo de dos ma-neras: aproximándose por la izquierda de a y aproximándose por la derecha dea. Escribimos

lı́mx→ a−

f (x) = L

para significar:

cuando x está próximo de a por la izquierda, f (x) está próximo de L

También escribimoslı́m

x→ a+f (x) = L

para significar:

cuando x está próximo de a por la derecha, f (x) está próximo de L

Por ejemplo, consideremos la función que se muestra en la figura

4

5

f( (x

f( (x

x x6x

y

Observamos que cuando x se aproxima a 6 por la izquierda, entonces f (x) seaproxima a 4. Por tanto,

lı́mx→ 6−

f (x) = 4

También observamos que cuando x se aproxima a 6 por la derecha, entonces f (x)se aproxima a 5. Por tanto,

lı́mx→ 6+

f (x) = 5


Observación 2.5.1. Otras formas equivalentes para límites laterales son

lı́mx→ a−

f (x) = L ⇔ lı́mx→ ax<a

f (x) = L

y

lı́mx→ a+

f (x) = L ⇔ lı́mx→ ax>a

f (x) = L

Ejemplo 2.5.1. Para la función definida por

f (x) =

{2x + 1 si x ≤ 0x2 − x si x > 0

tenemos

lı́mx→ 0−

f (x) = lı́mx→ 0

(2x + 1) = 1

y

lı́mx→ 0+

f (x) = lı́mx→ 0

(x2 − x) = 0.

Su gráfica se muestra en la figura dere-cha.

x

y

1

-½ 1-1/4

½

Ejemplo 2.5.2. Dada la función f (x) =√

4− x2, ¿cuál de los límites lateralesexiste en x = −2 y en x = 2?

Solución. El dominio de f es [−2, 2]; asíque f está definida sólo a la derecha dex = −2 y a la izquierda de x = 2. Ade-más es claro que

lı́mx→−2+

f (x) = 0 y lı́mx→ 2−

f (x) = 0 .-2 2

x

y

Debe notar que f (x) no tiene límite a izquierda (o límite) en x = −2 y tam-poco admite límite a derecha (o límite) en x = 2.


Ejemplo 2.5.3. De acuerdo a la teoríaespecial de la relatividad de Einstein, lamasa m de una partícula moviéndose convelocidad v es

m(v) =m0√

1− v2

c2

donde la constante c es la velocidad de la amil

de.

word

pre

ss.c

om

luz (aprox. 3× 108 m/s) y m0 es la masa de la partícula en reposo.

(i) Evaluar lı́mv→ c−

m(v) y grafique la función.

(ii) Interprete el resultado de la parte (i).

Solución. (i) Desde que v < c, se tiene

1− v2

c2=

c2 − v2

c2=

(c− v)(c + v)c2

> 0

y el dominio de la función m resulta (−∞, c).

Esto nos dice que mientras v se aproxima

a c por la izquierda, entonces 1− v2

c2se

aproxima a 0 por la derecha. Por tanto,la expresión m(v) crece ilimitadamente.Luego

lı́mv→ c−

m(v) = lı́mv→ c−

m0√1− v2

c2

= +∞v

m v( )

m0

c

(ii) De la parte (i) vemos que v = c es una asíntota vertical a la gráfica de m.Este modelo matemático dice que la masa de una partícula crece sin límite cuandosu velocidad se aproxima a la velocidad de la luz. Por esta razón la velocidad dela luz se llama velocidad total (debemos destacar que este modelo es hipotético yque no hay posibilidad de que una masa logre desarrollar velocidad próxima dela luz).


Ejemplo 2.5.4. (Conexión de internet).El porcentaje de familias peruanas que tie-nen conexión de banda ancha a internet,puede ser modelado por

P(t) =90

1 + 10.7(1.6)−t, t ≥ 0

donde t es el tiempo en años desde el 2000.Halle lı́m

t→ 0+P(t) e interprete su respuesta. te

chta

lkasia

.com

Solución. El límite aquí es

lı́mt→ 0+

P(t) = lı́mt→ 0+

901 + 10.7(1.6)−t

≈ 7.692

Notemos que al evaluar este límite hicimos t = 0. Así que, cuando t → 0+

(representando el año 2000), P(t) es aproximadamente 7.692 %, indicando que enel año 2000, las familias que estaban conectadas a internet eran aproximadamenteel 7.7 % del total.

Teorema 2.5.5. Sea f una función definida en un intervalo centrado en el punto a(posiblemente no lo contenga). Entonces

lı́mx→ a

f (x) = L si y sólo si lı́mx→ a−

f (x) = lı́mx→ a+

f (x) = L

Ejemplo 2.5.6. Dada la función f (x) =|x− 1|

x2 + x− 2, calcular los siguientes

límites lı́mx→ 1−

f (x), lı́mx→ 1+

f (x) y lı́mx→ 1

f (x).

Solución. Observe que |x− 1| ={

x− 1 si x ≥ 1

−(x− 1) si x < 1Por tanto,

lı́mx→ 1−

f (x) = lı́mx→ 1

−(x− 1)x2 + x− 2

= lı́mx→ 1

−(x− 1)(x− 1)(x + 2)

= lı́mx→ 1

−1x + 2

= −13

y

lı́mx→ 1+

f (x) = lı́mx→ 1

x− 1x2 + x− 2

= lı́mx→ 1

x− 1(x− 1)(x + 2)

= lı́mx→ 1

1x + 2

=13

.

Desde que lı́mx→ 1−

f (x) ̸= lı́mx→ 1+

f (x), el límite lı́mx→ 1

f (x) no existe.


Ejemplo 2.5.7. De acuerdo al ejemplo 2.5.1 tenemos que

lı́mx→ 0−

f (x) = 1 ̸= 0 = lı́mx→ 0+

f (x)

Esto muestra quelı́mx→ 0

f (x) no existe .

Ejemplo 2.5.8. (Salto en los costos debebidas gaseosas). Una empresa de bebi-das lanza al mercado un nuevo tipo de be-bida. Cuando el cliente compra una canti-dad máxima de 500 bebidas, el precio uni-tario le resulta de 2.50 soles; mientras quesi el cliente obtiene una cantidad mayor a500 bebidas, el precio resulta de 2 soles porunidad. g

uia

fitn

ess.

com

La función costo puede ser establecida por

C(x) =

{2.50x si 0 < x ≤ 500

2x si x > 500

O sea, C(x) es el costo en soles que resulta de comprar x bebidas. Calcular loslímites lı́m

x→ 500−C(x) y lı́m

x→ 500+C(x) e interpretar el resultado.

Solución. Cuando x se aproxima a 500 por la izquierda, vemos que

lı́mx→ 500−

C(x) = lı́mx→ 500

(2.50x) = 1250

Mientras que si x se aproxima a 500 por la derecha,

lı́mx→ 500+

C(x) = lı́mx→ 500+

(2x) = 1000

Estos límites nos dicen que para una cantidad cercana a ≤ 500 bebidas, el costototal de la compra no excede a 1250 soles; mientras que comprando una cantidad> 500 bebidas (puede ser mas una bebida), entonces el costo resulta de 1000 soles.

Finalmente, de acuerdo al teorema anterior, concluímos que el límite lı́mx→ 500

C(x)

no existe.


Ejemplo 2.5.9. A. W. Phillips observó con gran rigor informaciones en elReyno Unido donde se establecen claramente la relación entre la tasa de des-empleo y la tasa de inflación: la mínima tasa de desempleo y la máxima tasa deinflación. El mismo publicó estas informaciones para los años entre 1861 y 1913.Si x es la tasa de desempleo en porcentaje e y = f (x) es el cambio porcentual enla inflación, entonces Phillips halló que f (x) se aproxima por

y = f (x) = −1 +10x1.4

De acuerdo a este modelo, ¿qué sucede con la tasa de inflación cuando la tasa dedesempleo consigue ser casi nula?

Solución. En la tabla abajo vemos los resultados de evaluar f (x) para valoresde x próximos a la derecha del cero.

x 0 ← 0.0001 0.001 0.01 0.1 1

f (x) ? 1← 3′981, 071 158, 488 6309 250 9

Los valores de f (x) se incrementan ilimitadamente y no se aproximan a unnúmero L en particular. Esto nos dice que no existe el límite lı́m

x→ 0+f (x).

Ejemplo 2.5.10. (Mantenimiento de la atmósfera). Se estima que el costoC(x) de mantener la atmósfera, en millones de soles en el Perú a un promedio

del x por ciento libre de tóxicos químicos es dado por C(x) =10

100− x. Hallar el

costo de mantenimiento de la atmósfera a niveles del 90 %, 99 %, 99.9 %, 99.99 %libre de tóxicos. ¿Qué sucede cuando x → 100−, su resultado tiene sentido?

Solución. Cuando evaluamos C(x) en x = 90 %, 99 %, 99.9 %, 99.99 %,obtenemos

C(90) = 1, C(99) = 10, C(99.9) = 100 y C(99.99) = 1000

Finalmente, cuando x → 100− conseguimos

lı́mx→ 0+

10100− x

= +∞ .

Esto nos dice que cuando reducimos la contaminación casi en su totalidad, elcosto se incrementa ilimitadamente.

Lord Barrera - Sección 2.6. Definición Rigurosa de Límite 199

2.6. Definición Rigurosa de Límite

En las secciones anteriores nos familiarizamos con la noción de límite de ma-nera intuitiva e informal. Cuando hablamos de límite declaramos

lı́mx→ a

f (x) = L

significando que

f (x) se aproxima a L siempre que x está bien próximo de a

pero ¿qué significa? “ f (x) se aproxima a L” o que “x está bien próximo de a”.A continuación describiremos de manera precisa esta declaración. En princi-

pio vamos a requerir que el dominio de la función f contenga un intervalo de laforma (a− r, a + r) (es posible que f no este definida en a)

a r- a r+aa r-

Entonces decimos quelı́mx→ a

f (x) = L

para significar lo siguiente:

para cada número real ϵ > 0, podemos encontrar δ > 0 de modo que se ten-ga | f (x)− L| < ϵ siempre que x ∈ dom( f ) y 0 < |x − a| < ϵ.

Por tanto tenemos

Definición 2.6.1. (Límite en un punto). Dada una función f cuyo dominio con-tiene el intervalo (a− r, a + r) (con la posibilidad que el dominio no contenga elpunto a). Decimos que

lı́mx→ a

f (x) = L

si se cumple

∀ ϵ > 0 ∃ δ > 0; x ∈ dom( f ), 0 < |x− a| < δ ⇒ | f (x)− L| < ϵ.

La siguiente figura ilustra la definición


a

Le

e

x

y

a

L

x

y

a

L

x

y

a

L

x

y

d d

( (

x((

(

(

(

(

x( (f

para cada e > 0 existe d > 0 tal que, si 0 x a-> >d, entonces - >x( (f L e

Ejemplo 2.6.1. Muestre que

lı́mx→ 2

(x + 3) = 5

Solución. Sea ϵ > 0. Debemos conseguir un número δ > 0 tal que

si 0 < |x− 2| < δ, entonces |(x + 3)− 5| < ϵ

Para esto primero establecemos una conexión entre

|(x + 3)− 5| y |x− 2|

Esta conexión es evidente debido a

|(x + 3)− 5| = |x− 2|

Finalmente, es suficiente elegir δ = ϵ ya que

0 < |x− 2| < δ = ϵ implica |(x + 3)− 5| = |x− 2| < ϵ.

Ejemplo 2.6.2. Muestre que

lı́mx→ 2

x2 = 4

Solución. Hallemos δ: Sea ϵ > 0. Vamos a conseguir δ > 0 tal que

si 0 < |x− 2| < δ, entonces |x2 − 4| < ϵ

La conexión entre |x− 2| y |x2 − 4| puede calcularse por factorizar:

x2 − 4 = (x + 2)(x− 2),


así que|x2 − 4| = |x + 2| |x− 2|

En este punto necesitamos estimar el tamaño de |x + 2| para x próximo de 2. Porconveniencia tomaremos x dentro de un intervalo centrado en 2 y de radio 1. Sihacemos |x− 2| < 1, entonces 1 < x < 3 y

|x + 2| ≤ |x|+ |2| = x + 2 < 5

Por tanto,si |x− 2| < 1, entonces |x2 − 4| < 5|x− 2|

Si hacemos |x− 2| < ϵ/5, se sigue que

|x2 − 4| < 5(ϵ

5

)= 5

El argumento anterior sugiere elegir a δ como el mínimo entre 1 y ϵ/5.Mostremos como trabaja δ: Sea ϵ > 0 y elegimos δ = mı́n{1, ϵ/5}. Suponga-

mos que0 < |x− 2| < δ

entonces|x− 2| < 1 y |x− 2| < ϵ

5La primera desigualdad implica

|x2 − 4| < 5|x + 2|

y desde que |x− 2| < ϵ/5, conseguimos

|x2 − 4| < 5(ϵ

5

)= ϵ .

Ejemplo 2.6.3. Una nave espacial esenviada a un planeta lejano. El personal enel centro de comando calcula un error ded grados en la trayectoria inicial del vuelo,el cual podría desviar la nave de su objeti-vo una distancia de E(d) = 30(10d − 1)millas. La nave debe aterrizar dentro deun radio de 0.1 millas de su blanco paraque la operación se considere exitosa. w

iiugo.c

om


¿Cuál es el error permitido en la medición del ángulo de trayectoria ?Solución. Para responder a este problema requerimos que 30(10d − 1) < 0.1.

Esta desigualdad es equivalente a

10d − 1 <1

300o también 10d < 1 +

1300

0.0004 0.0008 0.0012 d

0.02

0.04

0.06

0.08

E

0.10

E d( ) = 30 ))10d

-1

pre

cisi

ón p

erm

itid

a

x = 0.00144

El conjunto solución es

d < log10

(1 +

1300

)≈ 0.00144524073 .

Basta tomar d = 0.00144. El ángulo de trayectoria de este vuelo debe ser medidocon una precisión de 0.00144 grados sin que afecte el éxito de la misión.

Ejemplo 2.6.4. En un experimento monitoreado que consiste de una reaccióncontrolada de hidrógeno y bromine, la razón R en la cual se produce el hidrógenocon bromine (en moles por litro por segundo), es dado por R(c) = 0.08

√c donde

c es la concentración de bromine (en moles por litro). ¿Qué tan próximo de 0.16debe ser la concentración de bromine para mantener asegurada la producciónde hidrógeno con bromine entre 0.001 y 0.032? Responda en forma de intervalo(0.16− δ, 0.16 + δ)

Solución. Necesitamos que |0.08√

c− 0.032| < 0.001. De esto se deduce que

−0.001 < 0.08√

c− 0.032 < 0.001 o también 0.15015625 < c < 0.17015625

Sea δ1 = 0.16− 0.15015625 = 0.00984375 y δ2 = 0.17015625− 0.16 = 0.01015625.Tenemos que hallar R(c) entre 0.001 y 0.032 para c en el intervalo I = (0.16−δ1, 0.16+ δ2). El intervalo (0.16− δ, 0.16+ δ) debe estar contenido en I y centradoen 0.16. Por tanto tomamos δ como el más pequeño entre δ1 y δ2: δ = 0.00984375.En conclusión, para que la tasa de producción de hidrógeno con bromine se en-cuentre entre 0.001 y 0.032 debe ser 0.00984375 de 0.16.



SECCIÓN 2.1Ejercicio 2.1. La notación

lı́mx→ 1

f (x) = L

significa: cuando x está . . . . . . . . . . . . de 1, entonces f (x) está . . . . . . . . . . . . . . . de L.

Ejercicio 2.2. En cada caso, completar los espacios

(i) Cuando x se aproxima a −4, el valor 3x + 7 se aproxima a . . . . . . . . . . . . . . .

(ii) Cuando x se aproxima a . . . . . ., el valor −3x se aproxima a 6.

(iii) Cuando x se aproxima a . . . . . ., el valor x− 2 se aproxima a 5.

Ejercicio 2.3. Explique en sus palabras el significado de la ecuación lı́mx→ 2

f (x) = 4.

Para esta ecuación ¿es posible asegurar que f (2) = 3? Explicar.

Ejercicio 2.4. Completar los datos de la siguiente tabla y úsela para estimar ellímite

lı́mx→ 2

f (x) donde f (x) = 5x + 4

x 1.9 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.1

f (x)

Ejercicio 2.5. En cada caso, graficar la función y = f (x) para calcular (intuitiva-mente) los siguientes límites

(i) lı́mx→ 1

(x− 3) (ii) lı́mx→ 5

(2x + 3) (iii) lı́mx→−1

(x− 2)

Ejercicio 2.6. (Interés compuesto). Si usted deposita 2000 soles en un banco quele paga un interés r (en su forma decimal), compuesto trimestralmente, el balanceA de su cuenta luego de 10 años, es

A = 2000(

1 +r4

)40

(i) Completar la tabla.

r 0.059 0.0599 0.06 0.0601 0.061

A ?

(ii) ¿Cuál es el límite de A (si existe) cuando la tasa de interés es bien próximadel 6 %?


Ejercicio 2.7. A partir de las gráficas, calcular los siguientes límites

1 x

y

3

1 x

y

x( (f x( (gy = y =

-3

4

2

-3 2

4

77

2

(i) lı́mx→−3

f (x) (ii) lı́mx→ 0

f (x) (iii) lı́mx→ 3

f (x)

(iv) lı́mx→−3

g(x) (v) lı́mx→ 0

g(x) (vi) lı́mx→ 2

g(x)

Ejercicio 2.8. En cada caso, use la gráfica de la función para estimar el límitelı́mx→ 2

f (x)

(i) f (x) =√

6− x− xx− 2

(ii) f (x) =x2 − 4x + 4

x−√

6− x(iii) f (x) =

2x−√

18− x4− x2

Puede usar software para calcular estos límites.

Ejercicio 2.9. Las ondas de luz de frecuencia λ pasando a través de un agujerode ancho a produce un Patrón de difracción de Fraunhofer de franjas oscuras deluz (ver figura). La intensidad como función del ángulo θ es dada por

I(θ) = Im

(sen(R sen θ)

R sen θ

)2

donde R = πa/λ e Im es una constante.Muestre que la función intensidad no esdefinida en θ = 0. A continuación verifi-que numéricamente que I(θ) se aproximaa Im cuando θ → 0 para cualquier par devalores de R (es decir, elija dos valores en-teros). Padrón de

intensidadVista de lapantalla

Agujero

a

Incidenciade las ondasde luz

q


SECCIÓN 2.2

Ejercicio 2.10. Calcular los siguientes límites

(i) lı́mx→ 2

(x + 1) (ii) lı́mx→ 9

(−2x) (iii) lı́mx→ 5

(x2 + 3)

(iv) lı́mx→ 1

x + 1x− 3

(v) lı́mx→ 9

√2x + 7 (vi) lı́m

x→ 5(x + 2)(x− 2)

Ejercicio 2.11. Suponiendo que

lı́mx→ a

f (x) = 3 lı́mx→ a

g(x) = −4 y lı́mx→ a

h(x) = 5,

calcular cada límite

(i) lı́mx→ a

[ f (x) + 2g(x)].

(ii) lı́mx→ a

[h(x)− 2g(x) + 1].

(iii) lı́mx→ a

[ f (x)g(x)].

(iv) lı́mx→ a

[h(x)]2.

(v) lı́mx→ a

√2 f (x) + 3.

Ejercicio 2.12. Sabiendo que f (x) = x3, evaluar los siguientes límites

(i) lı́mx→ 3

f (x)− f (3)x− 3

(ii) lı́mx→ 1

f (x)− f (1)x− 1

(iii) lı́mx→ 2

f (x)− f (2)x− 2

Ejercicio 2.13. (Medicina). Considere la función

F(t) = 98 +3

t + 1

para la temperatura de un paciente luego de suministrarle un antibiótico para lafiebre, donde F(t) está en grados Fahrenheit y t es el tiempo en horas después desuministrarle la medicina. Verificar que el límite de F(t) cuando t tiende a 4 es98.6. Explique el significado de este límite.

Ejercicio 2.14. (Crecimiento poblacional). La población de una especie de mos-quito en un lago contaminado, es 5000. Después de 10 días, la población se estimapor P = 5000(1+ r)10, donde r es el crecimiento porcentual diario de la población(expresado como un decimal). Calcular el límite de P (si existe) cuando la tasa decrecimiento se aproxima al 6 %, ¿cuál es el valor de este límite?


Ejercicio 2.15. (Superconductividad). La conductividad del aluminio a una tem-peratura próxima al cero absoluto, es aproximada por la función

f (x) =100

1 + 0.001x2

el cual expresa el porcentaje de conductividad. Hallar el límite de este porcentajede conductividad cuando la temperatura x se aproxima a cero.

Ejercicio 2.16. (Ingreso). El organizador de un evento deportivo estima que si elevento se publicita durante x días, el ingreso obtenido es I(x) miles de dólares,donde I(x) = 400 + 120x− x2. El costo por anunciar el evento durante x días esC(x) miles de dólares, donde C(x) = 2x2 + 300.

(i) Hallar la función ganancia G(x) = I(x)− C(x), y dibujar la gráfica.

(ii) ¿Cuántos días debe publicitarse el evento para obtener la máxima ganancia?¿cuál es la máxima ganancia?

(iii) ¿Cuál es la razón entre el ingreso y el costo Q(x) =I(x)C(x)

en el tiempo

óptimo hallado en la parte (ii). ¿Qué sucede con la razón cuando x → 0?Interpretar este resultado.

Ejercicio 2.17. Hallar un ejemplo donde exista lı́mx→ 0

[ f (x) + g(x)] pero que los lí-

mites lı́mx→ 0

f (x) y lı́mx→ 0

g(x) no existan.

Ejercicio 2.18. Acepte que existe el límite La = lı́mx→ 0

ax − 1x

y que conoce el límite

lı́mx→ 0

ax = 1 para todo a > 0. Muestre que Lab = La + Lb para todo a, b > 0. (Sug:

(ab)x − 1 = ax(bx − 1) + (ax − 1)). Verifique numéricamente que L12 = L3 + L4.

Ejercicio 2.19. Existe una propiedad de límite para una composición y no lo men-cionamos en el libro. ¿Cuál de las siguientes declaraciones es correcta? Dar unaexplicación intuitiva.

(i) lı́mx→ a

f [g(x)] = lı́mx→ a

f (x).

(ii) lı́mx→ a

f [g(x)] = lı́mx→ L

f (x), donde L = lı́mx→ a

g(x).

(iii) lı́mx→ a

f [g(x)] = lı́mx→ L

g(x), donde L = lı́mx→ a

f (x).

Use la versión correcta para evaluar lı́mx→ 2

sen(g(x)), donde lı́mx→ 2

g(x) =π

6.


SECCIÓN 2.3


(i) lı́mx→ 0

sen x3x

(ii) lı́mx→ 0

sen 2xx

(iii) lı́mx→ 0

tg2 xx

(iv) lı́mx→ 0

tg 2x3x

Ejercicio 2.21. Determinar si las funciones f , g y h satisfacen el teorema del sand-wich en x = 3. ¿Satisfarán en x = 2?

1 2 3 4 5

x

y

( )xf

( )xg

( )xh

1.8

Ejercicio 2.22. Determinar en cada caso si las desigualdades proveen suficienteinformación para calcular lı́m

x→ 1f (x). Si es posible, calcule dicho límite.

(i) 4x− 5 ≤ f (x) ≤ x2.

(ii) 2x− 1 ≤ f (x) ≤ x2.

(iii) 2x + 1 ≤ f (x) ≤ x2 + 2.

Ejercicio 2.23. En cada caso, use el teorema del sandwich para evaluar el límite

(i) lı́mx→ 0

x cos1x

(ii) lı́mx→ 0

x2 sen2x

(iii) lı́mx→ 1

(x− 1) senπ

x− 1

Ejercicio 2.24. Use el teorema del sandwich para evaluar

(i) lı́mx→ 0

tg x cos(

sen1x

).

(ii) lı́mx→ 0

√x3 + x2 sen

π

x.

Ejercicio 2.25. Explique lo que está incorrecto en la ecuación

lı́mϕ→ 0

ϕ sen ϕ

ϕ2=

lı́mϕ→ 0

ϕ sen ϕ

lı́mϕ→ 0

ϕ2=

00= 1 .


Ejercicio 2.26. ¿Qué información acerca de f (x) se cumple en el teorema del sand-wich si suponemos que f (x), g(x) y h(x) se relacionan como en la figura abajoy que lı́m

x→ 7g(x) = lı́m

x→ 7h(x) = 4? Note que la desigualdad f (x) ≤ g(x) no se

satisface para todo x. ¿Se afecta la validez de la conclusión?

( )xf

( )xg

( )xh

x

y

4

7

Ejercicio 2.27. Sobre el estudio de la caída de objetos en la superficie de la Tie-rra, la aceleración g de la gravedad se considera comúnmente como 9.8 m/s2.Sin embargo, la forma elíptica de la tierra y otros factores, causan variaciones eneste valor, que dependen de la latitud. La siguiente fórmula, conocida del Siste-ma Geodésico Mundial 1984 (SGM84) es la fórmula de la gravedad, usado parapredecir el valor de g a una latitud de ϕ grados (al norte o sur del Ecuador)

g = 9.78032533591 + 0.0019318526461 sen2 ϕ√

1− 0.0066943799901 sen2 ϕm/s2

(i) Grafique la curva y(ϕ) = g(ϕ) para 0◦ ≤ ϕ ≤ 90◦. ¿Cuál es el valor de gcuando ϕ = 0◦ y cuando ϕ = 90◦ cuando se usa el modelo elipsoidal de latierra SGM84?

(ii) Muestre que g = 9.8 m/s2 para latitudes entre 38◦ y 39◦.

Ejercicio 2.28. Cuando el eje de la parábola y = x2− 4 rota ϕ radianes en sentidohorario, las intersecciones con el eje x son

x1(ϕ) =sen ϕ−

√sen2 ϕ + 16 cos2 ϕ

2 cos2 ϕx1(ϕ) =

sen ϕ +√

sen2 ϕ + 16 cos2 ϕ

2 cos2 ϕ

(i) Note que x1(ϕ) tiene la formaa− b

2 cos2 ϕ. Multiplicar por (a + b)/(a + b) y

simplificar la expresión conseguida.

(ii) Use la expresión de la parte (i) para calcular lı́mϕ→π/2

x1(ϕ).

(iii) Use la misma técnica para calcular lı́mϕ→π/2

x2(ϕ).


SECCIÓN 2.4


(i) lı́mx→−2

x2 − 4x + 2

(ii) lı́mx→ 0

xx2 − 4x

(iii) lı́mx→ 3

x2 + x− 12x− 3

(iv) lı́mt→−2

t3 + 8t + 2

(v) lı́my→ 6

y− 6y2 − 36

(vi) lı́mt→ 1

t3 + t2 − 5t + 3t2 − 3t + 2


(i) lı́mx→ 0

√x + 4− 2

x(ii) lı́m

x→ 2

√x + 2− 2x− 2

(iii) lı́mx→ 3

x− 3√

x + 1− 2

(iv) lı́mt→ 0

t√

2t + 1− 1(v) lı́m

x→ 1

√5− x− 2√

2− x− 1(vi) lı́m

t→ 1

√t− 1

t− 1

Ejercicio 2.31. En cada caso, evaluar el siguiente límite (si existe)

(i) lı́mx→ 2

(1x− 1

2

).

(ii) lı́mx→ 2

[(1x− 1

2

)(1

x− 2

)].

(iii) lı́mx→ 2

[(1x− 1

2

)(x− 2)

].

(iv) lı́mx→ 2

[(1x− 1

2

)(1

x− 2

)2]

.

Ejercicio 2.32. Determinar todos los valores de a tal que

lı́mx→ 1

(1

x− 1− a

x2 − 1

)existe (es finito).

Ejercicio 2.33. Evaluar los siguientes límites

(i) lı́mx→ 1

√x2 − 1 +

√x− 1√

x2 − 1(ii) lı́m

x→ 1

√x3 − 1− (x− 1)√

x− 1


(i) lı́mx→ 2

√x3 + 1− 3

√x2 + 23

x− 2(ii) lı́m

x→ 2

3√

x2 + 4−√

x3 − 4x− 2


SECCIÓN 2.5

Ejercicio 2.35. Sea la función

f (x) =

{x− 1 si x ≤ 3

3x− 7 si x > 3

Calcular los límites

(i) lı́mx→ 3−

f (x) (ii) lı́mx→ 3+

f (x) (iii) lı́mx→ 3

f (x)

Ejercicio 2.36. Calcular los límites

(i) lı́mx→ 2−

|2− x|2− x

(ii) lı́my→ 6−

y− 6y2 − 36

(iii) lı́mx→ 3

3|x− 1|

Ejercicio 2.37. En la siguiente afirmación indicar con (V) si es verdad o con (F) sies falso: si lı́m

x→ 3−f (x) = 5, entonces lı́m

x→ 3f (x) = 5.

Ejercicio 2.38. (Teoría especial de la relatividad). De acuerdo a la teoría especialde la relatividad, cuando la fuerza y la ve-locidad actúan de forma rectilínea, la mag-nitud de la aceleración de una partículasobre la cual actúa la fuerza es

a = f (v) =Fm

(1− v2

c2

)3/2

donde v es su velocidad, F es la magnitud new

s.nat

ional

geo

gra

phic

.com

de la fuerza, m es la masa de la partícula en reposo y c es la velocidad de la luz.

(i) Hallar el dominio de f , luego use el resultado para explicar porqué pode-mos considerar solamente lı́m

v→ c−f (v).

(ii) Calcular el límite lı́mv→ c−

f (v) y luego interprete el resultado.

Ejercicio 2.39. (Teoría especial de la relatividad). De acuerdo a la teoría especialde la relatividad, la velocidad de una partícula es

v = c

√1−

(E0

E

)2

donde E0 = m0c2 es la energía en reposo y E es la energía total.


(i) Hallar el dominio de v y usar el resultado para explicar porqué podemosconsiderar solamente lı́m

E→ E+0

v.

(ii) Calcular el límite lı́mE→ E+

0

v y luego interprete el resultado.

Ejercicio 2.40. (Publicidad de películas). Los gastos de publicidad para las ven-tas de películas, en millones de dólares, entre los años 1995 y 2004 puede seraproximado por

f (t) =

{0.04t + 0.33 si t ≤ 4

−0.01t + 1.2 si t > 4

donde t es el tiempo en años desde 1995.

(i) Calcular lı́mt→ 4−

f (t) y lı́mt→ 4+

f (t) e interpretar cada respuesta.

(ii) ¿Qué puede decir acerca de los gastos realizados alrededor del año 1999?

Ejercicio 2.41. (Medicina). Dos leyes han sido sugeridas por Cowling y tambiénpor Young para precisar las dosis de antibióticos en adultos con respecto a losniños. Denotemos por a la dósis de adultos y por t la edad (en años) de un niño.Las dos leyes son dadas por

C =t + 1

24a y Y =

tt + 12

a

respectivamente. Hallar el límite de ambas funciones cuando t→ 0+. ¿Qué ley leparece más realista para un bebé recién nacido? ¿porqué?

Ejercicio 2.42. (Interés compuesto). Suponga que usted deposita 1000 dólares enun banco donde le pagan una tasa del 10 % de interés anual. El balance de sucuenta después de 10 años es

F(x) = 1000(1 + 0.1x)10/x

donde x es el tamaño del periodo en que su dinero es depositado (en años).

(i) Grafique la función A(x) donde 0 ≤ x ≤ 1.

(ii) ¿Qué puede decir acerca del límite lı́mx→ 0+

F(x)?

Ejercicio 2.43. (Análisis costo-beneficio). En ciertas situaciones es necesario estu-diar el beneficio conseguido contra el costo realizado en un determinado negocio.Por ejemplo, suponga que usted remueve el x % de contaminación de petróleo sa-

biendo que su costo es de C miles de dólares, donde C(x) =12x

100− x. ¿Qué sucede

cuando x → 100−? ¿Es posible remover toda la contaminación?


SECCIÓN 2.6Ejercicio 2.44. Considere lı́m

x→ 4f (x), donde f (x) = 8x + 3.

(i) Muestre que | f (x)− 35| = 8|x− 4|.

(ii) Muestre que, dado ϵ > 0, | f (x)− 35| < ϵ si |x − 4| < δ, donde δ = ϵ/8.Explicar cómo este procedimiento prueba rigurosamente que lı́m

x→ 4f (x) =

35.

Ejercicio 2.45. Sea f una función del cual usted sólo conoce que

si 0 < |x− 3| < 1, entonces | f (x)− 5| < 0.1

¿Cuál de las declaraciones es verdadera?

(i) Si |x− 3| < 1, entonces | f (x)− 5| < 0.1.

(ii) Si |x− 2.5| < 0.3, entonces | f (x)− 5| < 0.1.

(iii) lı́mx→ 3

f (x) = 5.

(iv) Si 0 < |x− 3| < 2, entonces | f (x)− 5| < 0.1.

(v) Si |x− 3| < 0.5, entonces | f (x)− 5| < 0.1.

Ejercicio 2.46. En cada caso se da lı́mx→ a

f (x) y la tolerancia ϵ. Hallar un número δ

tal que | f (x)− L| < ϵ siempre que 0 < |x− a| < δ.

(i) lı́mx→ 2

3x = 6, ε = 0.01

(ii) lı́mx→−1

2x = −2, ε = 0.001

(iii) lı́mx→ 1

(2x + 3) = 5, ε = 0.01

(iv) lı́mx→−2

(3x− 2) = −8, ε = 0.05

(v) lı́mx→ 3

x2 − 9x− 3

= 6, ε = 0.02

Ejercicio 2.47. Considere el límite lı́mx→ 1

√x + 3.

(i) Muestre que |√

x + 3− 2| < 12 |x − 1| si |x − 1| < 4. (Sug: multiplique la

desigualdad por |√

x + 3 + 2| y observe que |√

x + 3 + 2| > 2).

(ii) Hallar δ > 0 tal que |√

x + 3− 2| < 10−4 siempre que |x− 1| < δ.

(iii) Pruebe rigurosamente que el límite es 2.



RESPUESTAS DE SECCIÓN 2.1Ejercicio 2.1: Cuando x está próximo de 1, entonces f (x) está próximo de L.

Ejercicio 2.2: (i) −5, (ii) −2, (iii) 7. Ejercicio 2.3: Significa que cuando x se aproxi-ma a 2, entonces f (x) se aproxima a 4. Según lo dicho antes, es posible definir ftal que f (2) = 3. Ejercicio 2.5: (i) −2, (ii) 13, (iii) −3. Ejercicio 2.6: (ii) 3628 soles.Ejercicio 2.7: (i) 4, (ii) 7, (iii) 2, (iv) 7, (v) 2, (vi) 4. Ejercicio 2.8: (i) −5/4, (ii) 0, (iii)−17/32.

RESPUESTAS DE SECCIÓN 2.2Ejercicio 2.10: (i) 3, (ii) −18, (iii) 28, (iv) −1, (v) 5, (vi) 15. Ejercicio 2.11: (i) −5,

(ii) -2, (iii) -12, (iv) 25, (v) 3. Ejercicio 2.12: 27, (ii) 3, (iii) 12. Ejercicio 2.13: Cuandohan pasado aproximadamente 4 horas luego de suministrale la medicina al pa-ciente, su temperatura aumenta a 98.6◦ F. Ejercicio 2.14: 8954.24. Ejercicio 2.15:100. Ejercicio 2.16: (i) G(x) = 100+ 120x− 3x2, (ii) Debe publicitarse 20 días paraobtener una ganancia máxima de 1300 dólares, (iii) Q(20) = 1.18 significando quea los 20 días el ingreso supera al costo; además lı́m

x→ 0Q(x) = 0.3, significando que

al inicio de la venta el costo superaba al ingreso. Ejercicio 2.17: Tomar f (x) = 1/xy g(x) = −1/x.

RESPUESTAS DE SECCIÓN 2.3Ejercicio 2.20: (i) 1/3, (ii) 2, (iii) 0, (iv) 2/3. Ejercicio 2.23: (i) 0, (ii) 0, (iii) 0.

Ejercicio 2.24: (i) 0, (ii) 0.

RESPUESTAS DE SECCIÓN 2.4Ejercicio 2.29: (i) -4, (ii) −1/4, (iii) 7, (iv) 12, (v) 1/12, (vi) 0. Ejercicio 2.30: (i)

1/4, (ii) 1/4, (iii) 4, (iv) 1, (v) 1/2, (vi) 1/2. Ejercicio 2.31: (i) 0, (ii)−1/4, (iii) 0, (iv)No existe. Ejercicio 2.33: (i) 1 + 1/

√2, (ii)

√3. Ejercicio 2.34: (i) 50/27, (ii) −8/3.

RESPUESTAS DE SECCIÓN 2.5Ejercicio 2.35: (i) 2, (ii) 2, (iii) 2. Ejercicio 2.36: (i) 1, (ii) 12, (iii) 6. Ejercicio

2.37: Falso. Ejercicio 2.38: (i) dom( f ) = {v ∈ R≥0 : v < c}; de aquí tiene sentidotomar el límite cuando v se aproxima a c por la izquierda. (ii) 0. Ejercicio 2.40:(i) 0.49 y 1.16 respectivamente. El primer resultado nos dice que antes de 1999los gastos de publicidad no exedían los 490,000 dólares; mientras que el segun-do resultado nos dice que luego de 1999, los gastos de publicidad fueron de almenos 1′160, 000 dólares. (ii) Podemos decir que el gasto salta en 670,000 dólares.Ejercicio 2.41: El primer límite resulta a/24 mientras que el segundo límite es 0.Ejercicio 2.43: Cuando x se aproxima a 100, el costo se incrementa grandemente.

214 Lord Barrera - Capítulo 3. Continuidad

Capítulo 3

Continuidad

3.1. Continuidad

En este capítulo estudiaremos funciones continuas y sus aplicaciones. Nosapoyaremos en el concepto de límite y en la última sección describiremos el com-portamiento de asíntotas a gráficas de funciones continuas.

calgaryspeedskating.com

En matemática, el término “continuo” tiene mucho que ver con nuestra vidacotidiana. Por ejemplo el desplazamiento de un patinador sobre hielo en cadainstante de tiempo es continuo, es decir, no hay saltos ni vacíos.

215


Decir que una función f es continua significa que la gráfica de f no tieneagujeros ni saltos.

Las siguientes figuras ilustran estas ideas

función continua función no continua

x

y y

x

A continuación se describen algunos modelos concretos

(i) La temperatura en un lugar específico como una función del tiempo escontinua: la temperatura cambia suavemente a medida que transcurre eltiempo, sin que haya interrupciones bruscas de la temperatura en cada ins-tante de tiempo.

(ii) La temperatura en un momento específico como un función de la distan-cia a la ciudad de La Oroya: la temperatura en un instante específico cambiasuavemente a medida que nos acercamos a La Oroya, sin que haya interrup-ciones bruscas de la temperatura a medida que nos acercamos.

(iii) El precio del pasaje hasta Ancon como una función de la distancia recorri-da: esta no es una función continua ya que los precios cambian bruscamentea medida que nos acercamos hasta Ancon.

Definición 3.1.1. (Función continua). Una función f es continua en el puntox = a si las siguientes tres condiciones son satisfechas

(i) f (a) está definida.

(ii) Existe lı́mx→ a

f (x).

(iii) lı́mx→ a

f (x) = f (a)

Una función es continua en su dominio si es continua en cada punto de su do-minio.

Lord Barrera - Sección 3.1. Continuidad 217

Recordemos que si p(x) y q(x) son polinomios, entonces

lı́mx→ a

p(x) = p(a) y lı́mx→ a

p(x)q(x)

=p(a)q(a)

( siempre que q(a) ̸= 0) .

O sea que las funciones polinómicas son continuas, y también lo son las fun-ciones racionales desde que su denominador no se anule. También es fácil ver queel valor absoluto y la raíz cuadrada son funciones continuas ya que se tiene

lı́mx→ a|x| = |a| y lı́m

x→ a

√x =√

a .

Nota importante:

(i) Las funciones polinómicas son continuas en toda la recta.

(ii) Las funciones sen x, cos x, tg x, cotg x, sec x, csc x son continuas en sus res-pectivos dominios.

(iii) La exponencial ex es continua en toda la recta.

(iv) La función logaritmo natural ln x es continua sobre R>0.

(v) Si f , g son continuas y c ∈ R, entonces son continuas

f + g, f − g, c f , f g yfg

donde g ̸= 0 .

(vi) Composición de funciones continuas es continua.

Ejemplo 3.1.1. Mostremos que la función polinómica

p(x) = x3 + 2x2 − 1

es continua en x = 1.Solución. Veamos que los tres criterios se satisfacen: claramente p(1) existe y

se tiene p(1) = 2. Por otra parte,

lı́mx→ 1

p(x) = lı́mx→ 1

(x3 + 2x2 − 1) = (1)3 + 2(1)2 − 1 = 2

Por tanto,lı́mx→ 1

p(x) = 2 = p(1)

Esto nos dice que p(x) es continua en x = 1.


Ejemplo 3.1.2. Veamos que la función racional f (x) =x + 2x− 3

es continua en

x = 4.Solución. Notemos que f (4) =

4 + 24− 3

= 6. Por otra parte,

lı́mx→ 4

f (x) = lı́mx→ 4

x + 2x− 3

=lı́mx→ 4

(x + 2)

lı́mx→ 4

(x− 3)=

4 + 24− 3

=61= 6 = f (4)

Por tanto,lı́mx→ 4

f (x) = 6 = f (4)

Esto nos dice que f (x) es continua en x = 4.

Ejemplo 3.1.3. Hallar si es posible a ∈ R de manera que la siguiente funciónresulte continua en x = 0.

f (x) =

x− sen(ax)

xsi x ̸= 0

3 si x = 0

Solución. Si a = 0, la función resulta continua para todo x ̸= 0. Supongamosque a ̸= 0, entonces

lı́mx→ 0

sen(ax)x

= lı́mx→ 0

a sen(ax)ax

= a lı́mx→ 0

sen axax

= (a)(1) = a .

Luego

lı́mx→ 0

f (x) = lı́mx→ 0

x− sen(ax)x

= lı́mx→ 0

(1−

sen(ax)x

)= 1− a .

Para que f sea continua en x = 0 debemos tener

1− a = lı́mx→ 0

f (x) = f (0) = 3 ,

o sea, a = −2.

Ejemplo 3.1.4. Discutir la continuidad de las siguientes funciones

(i) f (x) =1x

(ii) f (x) =x2 − 4x− 4

(iii) f (x) =

{x + 1 si x < 1

2− x si x ≥ 1



Definición 3.1.2. (Continuidad a derecha y a izquierda).Una función es continua a la derecha de a si

lı́mx→ a+

f (x) = f (a) .

Una función es continua a la izquierda de a si

lı́mx→ a−

f (x) = f (a) .

x

y

x

y

es continua a derecha def a

a a

es continua a izquierda def a

Ejemplo 3.1.5. Discutir la continuidad de la función f (x) =√

x− 2.

Solución. Notemos que el dominio de la función es [2,+∞). Además, f escontinua a la derecha de x = 2 porque

lı́mx→ 2+

f (x) = lı́mx→ 2+

√x− 2 = lı́m

x→ 2

√x− 2 = 0 = f (2) .

Para todo x ≥ 2, la función f satisface lastres condiciones de continuidad. De estamanera concluímos que f es continua enel intervalo [2,+∞).

1 2 3 4 5

1

2

x

y

Proposición 3.1.6. La función f es continua en a si y sólo si

lı́mx→ a−

f (x) = f (a) = lı́mx→ a+

f (x).

De otro modo diremos que f es discontinua en a.


Ejemplo 3.1.7. (Fuerza gravitatoria).La fuerza gravitacional ejercida por unplaneta a una unidad de masa hasta elcentro del planeta, es dada por la función

F(r) =

GMr

R3si r < R

GMr2

si r ≥ R

donde M es la masa del planeta, R es el fanpop.c

om

radio, y G es la constante gravitacional. Analicemos la continuidad de F.Solución. Necesitamos analizar la continuidad en r = R. Tenemos

lı́mr→ R−

F(r) = lı́mr→ R−

GMrR3

=GMR2

y

lı́mr→ R+

F(r) = lı́mr→ R+

GMr2

=GMR2

Por tanto,

lı́mr→ R

F(r) =GMR2

= F(R)

y resulta que F es continua en R.

Ejemplo 3.1.8. Analizar la continuidad de

f (x) =

|x|(ex − 1)

xsi x ̸= 0

1 si x = 0

Solución. Es claro que f es continua para todo x ̸= 0. Ahora bien

lı́mx→ 0+

f (x) = lı́mx→ 0+

|x|(ex − 1)x

= lı́mx→ 0

x(ex − 1)x

= lı́mx→ 0

(ex − 1) = 0.

También

lı́mx→ 0−

f (x) = lı́mx→ 0−

|x|(ex − 1)x

= lı́mx→ 0

−x(ex − 1)x

= lı́mx→ 0

(1− ex) = 0.

Luego lı́mx→ 0

f (x) = 0 ̸= 1 = f (0). Se sigue que f no es continua en x = 0.


Ejemplo 3.1.9. (Ventas versus salario)Suponga que un vendedor recibe un sala-rio de acuerdo a un contrato que estableceuna relación entre su sueldo y el nivel deventas hecho por el vendedor. En particu-lar, suponga que el contrato estipula que elsalario mensual del vendedor consiste detres acuerdos: (i) ingreso básico, (ii) comi-sión del 10 % por venta (iii) bonos de 500 sg

alag

an.c

om

soles si la venta del mes alcanza o excede los 20,000 soles. De esta descripciónpodemos ver que su salario debe saltar en 500 si se consigue vender 20,000. Estoimplica que hay una discontinuidad en su programa salarial. Si representamospor S a las ventas mensuales y por P al sueldo mensual del vendedor, entonces lafunción que describe la relación salario-venta, es dada por

P =

{800 + 0.1S si S < 20, 000

1, 300 + 0.1S si S ≥ 20, 000

el cual se ilustra en la siguiente figura:

800

1600

2400

3200

20,000

S

P

P = 800 + 0.1S

S < 20,000

P = 1,300 + 0.1S

S <20,000

Mientras el vendedor logre una venta inferior a 20,000 soles, su sueldo nopasa de ser 2,800 soles, que es precisamente el límite a izquierda de 20,000. Sinembargo, apenas se logre recaudar 20,000 soles su sueldo pasa a ser 3,800, que esprecisamente el límite a derecha de 20,000.

La existencia de la discontinuidad tiene una aplicación económica interesante.Considere el siguiente escenario: suponga que hay tres vendedores A, B y C, yque sus ventas acumulativas mensuales sin incluír el último día son 26,000 solespara A, de 18,500 para B y de 6,000 soles para C. El 10 % de la comisión en ventases un incentivo para hacer ventas extras en el último día del mes. Además delos 500 soles de bonos, aún es posible que los salarios de los vendedores B y Csuperen el salario del vendedor A.


Definición 3.1.3. (Continuidad en un intervalo cerrado). Sea f una función defi-nida en un intervalo cerrado [a, b]. Si f es continua en el intervalo abierto (a, b) yse cumplen

lı́mx→ a+

f (x) = f (a) y lı́mx→ b−

f (x) = f (b)

entonces decimos que f es continua en el intervalo cerrado [a, b]; además f escontinua a la derecha de a y a la izquierda de b.

Observación 3.1.1. La continuidad también puede extenderse a intervalos de laforma [a,+∞) y (−∞, b]. Para estos casos se tiene

(i) f es continua en [a,+∞) si es continua en (a,+∞) y lı́mx→ a+

f (x) = f (a).

(ii) f es continua en (−∞, b] si es continua en (−∞, b) y lı́mx→ b−

f (x) = f (b).

Ejemplo 3.1.10. Verifique la continuidad de la función en el intervalo dado.

f (x) =

1− (x− 1)2 si 0 ≤ x < 1

1 +12(x− 1) si 1 ≤ x ≤ 3

Solución. Como vemos, el dominio de la función es [0, 3] y es el intervalodonde debemos analizar la continuidad.

Tomando límite a derecha y a izquierda tenemos

lı́mx→ 0+

f (x) = lı́mx→ 0

[1− (x− 1)2

]= 0 = f (0)

lı́mx→ 3−

f (x) = lı́mx→ 3

[1 +

12(x− 1)

]= 2 = f (3)

Por otra parte, hay un punto crítico donde hay que analizar continuidad, esdecir, el punto x = 1. En este caso tenemos

lı́mx→ 1−

f (x) = lı́mx→ 1−

[1− (x− 1)2

]= 1

lı́mx→ 1+

f (x) = lı́mx→ 1+

[1 +

12(x− 1)

]= 1

Esto nos dice que lı́mx→ 1

f (x) = 1 = f (1). En conclusión, f es continua en el

intervalo [0, 3].


Ejemplo 3.1.11. (Biga elástica). La siguiente figura muestra una viga elásticade longitud L, teniendo una carga con peso W0 kg en su centro.

x

y

Una ecuación de la curva es

f (x) =

W0

48EI(3L2x− 4x3) si 0 ≤ x <

L2

W0

48EI(4x3 − 12Lx2 + 9L2x− L3) si

L2≤ x ≤ L

donde el producto EI es constante, llamado rigidez flexible de la viga. Mostrarque la función y = f (x) describiendo la curva elástica es continua en [0, L].

Solución. La función es partida y en cada caso está expresada por una fun-ción polinómica. De aquí, f es continua en (0, L/2) y (L/2, L). Analicemos lacontinuidad en x = L/2. En efecto,

lı́mx→ L

2−

f (x) = lı́mx→ L

2

W0

48EI(3L2x− 4x3) =

W0

48EI

[3L2 L

2− 4

(L2

)3]=

W0L3

48EI

lı́mx→ L

2+


2

W0

48EI(4x3 − 12Lx2 + 9L2x− L3)

=W0

48EI

[4(

L2

)3

− 12L(

L2

)2

+ 9L2(

L2

)− L3

]=

W0L3

48EI

Vemos entonces que los límites laterales coinciden; además

f(

L2

)=

W0

48EI

[4(

L2

)3

− 12L(

L2

)2

+ 9L2(

L2

)− L3

]=

W0L3

48EI

Se sigue que

lı́mx→ L

2−

f (x) = f(

L2

)= lı́m

x→ L2+

f (x)


Por tanto, f es continua en x = L/2.Veamos finalmente los límites en los extremos

lı́mx→ 0+

f (x) = lı́mx→ 0

W0

48EI(3L2x− 4x3) =

W0

48EI[3L2(0)− 4(0)3] = 0

lı́mx→ L−


W0

48EI(4x3 − 12Lx2 + 9L2x− L3) = f (0)

=W0

48EI[4(L)3 − 12L(L)2 + 9L2(L)− L3] = 0 = f (L) .

Ejemplo 3.1.12. (Rendimiento de un estudiante). La nota de un estudiante enun examen depende del tiempo t (en horas) que haya dedicado a su preparación

en los siguientes términos explícitos:

N(t) =

5t8

si 0 ≤ t ≤ 16

360.1t + 2

si 16 < t

Si un estudiante se dedicó menos de 16 ho-ras para rendir el examen, justificar que noaprobará.

Solución. Notemos que estamos trabajando con una función partida. En elintervalo [0, 16] la función es continua y se trata de una recta de pendiente 5/8.En el intervalo (18,+∞) la función es continua, puesto que el valor que anula eldenominador se encuentra fuera del intervalo:

0.1t + 2 = 0 que resulta t = −20

Veamos ahora que sucede en el punto t = 16. Tenemos

lı́mt→ 16−

N(t) = lı́mt→ 16−

5t8

=808

= 10

lı́mt→ 16+

N(t) = lı́mt→ 16−

360.1t + 2

=363.6

= 10

Como los límites laterales son iguales y coinciden con el valor de la función en elpunto, es decir N(16) = 10, la función resulta continua en todo su dominio.

Como la función es continua se comprueba que a valores t < 16 corresponde-rán a notas menores a 10 puntos, es decir, el estudiante no aprobará.

Lord Barrera - Sección 3.2. Discontinuidades 225

3.2. Discontinuidades

Cuando una función falla en satisfacer la definición de continuidad en a, en-tonces diremos que es discontinua en el punto a. Esto puede suceder por tresrazones:

(1) El límite lı́mx→ a

f (x) existe. En este caso puede suceder que

(i) Existe f (a) y lı́mx→ a

f (x) ̸= f (a) o

(ii) No existe f (a).

(2) El límite lı́mx→ a

f (x) no existe. En este caso puede suceder que

(i) Los límites laterales existan o

(ii) Al menos uno de los límites laterales no exista.

El tipo (1) es llamado evitable y podemos redefinir la función para hacerlacontinua en a.

Por otro lado, el tipo (2) se llama inevitable. En el caso (i) decimos entoncesque la discontinuidad es de primera especie y en el caso (ii) que la discontinuidades de segunda especie.

Definición 3.2.1. (Discontinuidad evitable). Decimos que la función f tiene unadiscontinuidad evitable en a si el límite lı́m

x→ af (x) existe; sin embargo

(i) Existe f (a) y lı́mx→ a

f (x) ̸= f (a) o

(ii) No existe f (a).

En este caso la función puede hacerce continua redefiniéndola como sigue

f (x) =

{f (x) si x ̸= a

lı́mx→ a

f (x) si x = a

Observación 3.2.1. Notemos que la función f (x) difiere de la función f (x) en elpunto x = a. Sin embargo para los puntos x ̸= a, ambas funciones coinciden.


Ejemplo 3.2.1. (Discontinuidad evitable del tipo (i)). Determinar si la fun-ción f es continua en x = 2.

f (x) =

{x2 si x ̸= 2

0 si x = 2

Solución. Desde que f (x) = x2 si x ̸= 2, y x2 es un polinomio, sabemos que

lı́mx→ 2

f (x) = lı́mx→ 2

x2 = 4 y f (2) = 0 .

Esto nos dice que tenemos una discontinuidad evitable del caso (i) en x = 2.Entonces podemos remover la discontinuidad redefiniendo el valor de la funciónen x = 2, o sea, f (2) = 4. Más precisamente, hacemos

f (x) =

{x2 si x ̸= 2

4 si x = 2

y en este caso f resulta continua en x = 2.

1 2 1 2

4

xx

yy

y = f ( (x y = f ( (x

4

Ejemplo 3.2.2. (Discontinuidad evitable del tipo (ii)). Determinar si la fun-

ción f (x) = lı́mx→ 0

sen xx

es continua en x = 0.

Solución. La función f (x) no es continua en x = 0 debido a que la funciónno está definida allí. Sin embargo sabemos que

lı́mx→ 0

sen xx

= 1

Entonces podemos remover la discontinuidad redefiniendo

f (x) =

sen x

xsi x ̸= 0

1 si x = 0

lo que convierte a f en una función continua en x = 0.


Definición 3.2.2. (Discontinuidad inevitable). Decimos que la función f tieneuna discontinuidad inevitable en a si el límite lı́m

x→ af (x) no existe. En este caso

puede suceder que

(i) Los límites laterales existan (en este caso son diferentes) o

(ii) Al menos uno de los límites laterales no exista.

De acuerdo a la definición anterior, no hay manera de redefinir la función parahacerla continua. Esto puede verse en los siguientes ejemplos:

Ejemplo 3.2.3. (Discontinuidad inevitable del tipo (i)). Considere la función

f (x) =

{1− x2 si x ≤ 0

2 + x si x > 0

Vemos aquí que

lı́mx→ 0−

f (x) = lı́mx→ 0

(1− x2) = 1 y lı́mx→ 0+

f (x) = lı́mx→ 0

(2 + x) = 2

o sea que no existe el límite lı́mx→ 0

f (x) y no podemos redefinir la función para

hacerla continua. Por lo tanto este tipo de discontinuidad es inevitable.

Ejemplo 3.2.4. (Discontinuidad inevitable del tipo (ii)). Considere la función

f (x) = sen1x

En este caso, cuando x → 0, la función f no admite límite ni a izquierda ni a

derecha. Más precisamente, no existe el límite lı́mx→ 0

sen1x

.

x

y1

-1


Discontinuidades se pueden usar en situaciones de nuestro mundo real.

Ejemplo 3.2.5. (Gastos de esparcimiento). Para algunas familias peruanas, elgasto mensual en esparcimiento, G(x) encientos de soles, está relacionado con susingresos mensuales, x en decenas de soles,a través de la siguiente función:

G(x) =

0.025x− 1.4 si 0 ≤ x ≤ 100

7xx + 460

si x > 100

thew

hee

lwri

ghtl

ife.

blo

gsp

ot.

com

Estudiar la discontinuidad del gasto. ¿Será que el gasto en esparcimiento de unafamilia es levemente distinto si sus ingresos son “ligeramente” inferiores o supe-riores a los 1,000 soles?

Solución. En el interior del primer intervalo [0, 100] la función es continua.En el interior del segundo intervalo (100,+∞) también lo es, ya que el valor xque anula el denominador

x + 460 = 0 es decir x = −460, queda fuera del intervalo

Ahora bastará analizar lo que sucede en el punto de unión x = 100. TenemosG(100) = 0.025(100)− 1.4 = 1.1, además

lı́mx→ 100−

G(x) = lı́mx→ 100−

(0.025x− 1.4) = 0.025(100)− 1.4 = 1.1

y

lı́mx→ 100+

G(x) = lı́mx→ 100+

7xx + 460

=7(100)

100 + 460= 1.25

Desde que los límites laterales son distin-tos, la función presenta un punto de dis-continuidad inevitable en x = 100. Poresta razón, el gasto de esparcimiento deuna familia, cambia sensiblemente si susingresos son ligeramente inferiores o su-periores a 1,000 soles. La figura derechamuestra el comportamiento de esta fun-ción. -1.4

7

1.1

56 100

1.25

x

y

Debido a que la unidad del gasto es de 100 soles, esta diferencia pasa a ser de100 soles a 125 soles.


Ejemplo 3.2.6. (Precio en una subasta). El precio en una subasta, P(x), encientos de dólares, de una reliquia adqui-ridad del Titanic, está relacionado con elnúmero x de asistentes que estén intere-sados en su adquisición, a través de la si-guiente expresión

P(x) =

6x + 50 si 0 ≤ x ≤ 1039x + 780

9si x > 10

flic

kri

ver.

com

Estudiar la continuidad de P(x) en el punto x = 10. ¿Qué ocurre con el preciosi el número de interesados es ligeramente superior a 10?

Solución. En el interior del primer intervalo [0, 10] la función es continua. Enel interior del segundo intervalo (10,+∞) también lo es, ya que la función

39x + 7809

es lineal

Ahora bastará analizar lo que sucede en el punto de unión x = 10. TenemosP(10) = 110, además

lı́mx→ 10−

P(x) = lı́mx→ 10−

(6x + 50) = 6(10) + 50 = 110

y

lı́mx→ 10+

P(x) = lı́mx→ 10+

39x + 7809

=39(10) + 780

9= 130

Desde que los límites laterales son distin-tos, la función presenta un punto de dis-continuidad inevitable en x = 10 de sal-to 20. Por esta razón, existe una diferenciaimportante entre el precio que alcanza unaobra de arte en la subasta, según que elnúmero de asistentes sea ligeramente in-ferior o superior a 10 personas.

110

10

130

x

P

50

( (x


Ejemplo 3.2.7. (Pixelado en imágenes). Supongamos que en un modelo defotografía aplicamos la siguiente función

I(x) =

{x si x ≤ 0.2

0.8x + 0.2 si x > 0.2

a la intensidad de pixeles de una imagen.

(i) Calcular los límites laterales de I(x)en x = 0.2.

(ii) Explicar que sucede con la imagen.

Solución. Desde que I(x) es un polinomio cuando x ̸= 0.2, los límites sonfáciles de calcular

lı́mx→ 0.2−

I(x) = lı́mx→ 0.2−

x = 0.2

y

lı́mx→ 0.2+

I(x) = lı́mx→ 0.2+

(0.8x + 0.2) = 0.36

Desde que estos límites son diferentes, la función I tiene una discontinuidadinevitable en x = 0.2.

(ii) Los pixeles que están próximos uno del otro tienen intensidades semejan-tes. Suponga que una imagen tiene una tira larga de pixeles cuyas medidas estánpróximas de x = 0.2.

Entonces la función no hace nada a los pi-xeles más oscuros (x ≤ 0.2) pero ilumina alos más claros. Hablando visualmente, losdos conjuntos de pixeles se unen de ma-nera uniforme en la imagen original queahora se aclaran separadamente. La figuraderecha muestra la gráfica de I a lo largode este efecto.

0.5 1

0.5

1

0.2

x

I( (x


Ejemplo 3.2.8. Una encuesta sobre elgasto mensual en comprar películas de vi-deo (G(t) en decenas de soles) dependedel tiempo dedicado mensualmente a verTv. (t en horas) en los siguientes términos

G(t) =

0 si 0 ≤ t ≤ 20

0.1t si 20 ≤ t ≤ 100

20t− 500t + 50

si 100 < t

(i) Verificar que la función G(t) es discontinua en t = 20. ¿Existe una diferenciaimportante entre el gasto de cada familia, según que el tiempo dedicado aver televisión sea ligeramente inferior o superior a 20 horas? Justifique surespuesta.

(ii) Verificar que en cualquier familia donde se vean más de 100 horas men-suales de televisión, el gasto mensual en comprar películas supera los 100soles.

Solución. (i) Analicemos la continuidad en t = 20. Tenemos

lı́mt→ 20−

G(t) = lı́mt→ 20−

0 = 0

lı́mt→ 20+

G(t) = lı́mt→ 20+

0.1t = 2

Como los límites laterales son distintos, la función es discontinua en t = 20. Setrata de una discontinuidad inevitable de salto 2. Esto nos dice que existe unadiferencia importante entre el gasto de las familias que ven “ligeramente” máso menos de 20 horas mensuales de televisión. Esa diferencia es precisamente elsalto de la discontinuidad; es decir 20 soles.

(ii) Analicemos la continuidad en t = 100. Tenemos

lı́mt→ 100−

G(t) = lı́mt→ 100−

0.1t = 10

lı́mt→ 100+

G(t) = lı́mt→ 100+

20t− 500t + 50

= 10

También G(100) = 0.1(100) = 10. Esto significa que la función es continua enel punto t = 100. Por otra parte, para t > 100 la función G(t) es creciente (versubsección 1.1.6). Esto nos dice que el gasto mensual en la compra de películas escada vez mayor (o sea que supera los 100 soles) ya que el tiempo dedicado en verTv sobrepasa las 100 horas.


3.3. Teorema del Valor Intermedio (TVI)

El teorema del valor intermedio es un resultado básico sobre funciones conti-nuas el cual indica que entre dos valores de la función siempre hay un tercero.

language101.com

Considere por ejemplo un avión que vuela de 0 a 20,000 metros en 20 minutos.Entonces el avión debe alcanzar cada altitud entre 0 y 20,000 metros durante los20 minutos de intervalo; así que en algún momento el avión alcanza por ejemplola altura de 13,567 metros.

En este sentido, el movimiento de un avión es un movimiento continuo y nopuede tener saltos bruscos como por ejemplo de 12,000 a 12,500 metros.

Para establecer esta conclusión formal-mente, sea A(t) la altura del avión enel tiempo t. El TVI asegura que paratoda altitud M entre 0 y 20,000 exis-te un tiempo t0 entre 0 y 20 tal queA(t0) = M. En otras palabras, la gráfi-ca de A debe ser intersecada por la rec-ta A = M.

10,000

20,000

20t0

M

t

A t( )

Lord Barrera - Sección 3.3. Teorema del Valor Intermedio (TVI) 233

Teorema 3.3.1. (Teorema del valor intermedio). Si f es continua en un intervalocerrado [a, b] y f (a) ̸= f (b), entonces para todo valor M entre f (a) y f (b), existe almenos un c ∈ (a, b) tal que f (c) = M.

x

y

( )xfy =

a b

( )af

( )bf

M

c

x

y

( )xfy =

a b

( )af

( )bf

M

cc c1 2 3

Notemos en las gráficas que el punto c no es necesariamente único. En la pri-mera gráfica vemos que existe un único c, mientras que en la segunda gráficaexisten c1, c2 y c3.

Ejemplo 3.3.2. Ilustremos el teorema del valor intermedio con la siguientefunción f (x) = 2x3 − 4x2 + 5x− 4 = 0 en el intervalo [1, 2].

Solución. Claramente sabemos que la función f (x) = 2x3 − 4x2 + 5x − 4 escontinua en el intervalo [1, 2]. Además f (1) = −1 y f (2) = 6. Por el TVI, para elvalor 0 ∈ [−1, 6] existe un punto c ∈ [1, 2] tal que f (c) = 0.

Ejemplo 3.3.3. Sea C denotando el conjunto de todos los círculos con radiomenor o igual a 10 centímetros. Mostremos que existe al menos un miembro de Ccuya área tiene exactamente 250 cm2.

Solución. Consideremos la función A(r) denotando el área de un circulo deradio r, donde r ∈ [0, 10]. Entonces A(r) = πr2 es continua en [0, 10]; ademásA(0) = 0 y A(10) = 100π ≈ 314. Desde que 0 < 250 < 314, sigue del teoremadel TVI que existe un número c ∈ [0, 10] tal que A(c) = 250.

Ejemplo 3.3.4. ¿Existe algún punto en el intervalo (0, 2) de tal manera que lafunción f (x) = (x3 + 1)2 toma valor 10?

Solución. Debido a que la función f (x) = (x3 + 1)2 es polinómica, podemoshallar fácilmente valores a y b tales que M = 10 está entre f (a) y f (b). Porejemplo, si a = 0 y b = 2, entonces f (a) = 1 < 10 < 81 = f (b). De acuerdo alTVI podemos asegurar que existe un número c ∈ (0, 2) tal que f (c) = 10.


Teorema 3.3.5. (Existencia de ceros de una función continua). Si f es continuaen un intervalo cerrado [a, b] donde f (a) y f (b) tienen signos opuestos, entonces laecuación f (x) = 0 tiene al menos una solución en el intervalo (a, b).

Ejemplo 3.3.6. Sea f (x) = x3 + x− 1. Claramente f es una función continuaen R ya que es un polinomio. Observemos que f (0) = −1 y f (1) = 1. El teoremaanterior garantiza la existencia de una raíz de la ecuación f (x) = 0 en el intervalo(0, 1).

Ejemplo 3.3.7. Muestre que la ecuación√

x +√

x + 2 = 3

admite solución en el intervalo [1/4, 2].

Solución. Sea f (x) =√

x +√

x + 2− 3. Note que f (x) es continua en [1/4, 2]con

f(

14

)=

√14+

√94− 3 = −1 y f (2) =

√2− 1 ≈ 0.41

De acuerdo al teorema anterior (sobre existencia de ceros), existe c ∈ [1/4, 2] talque f (c) =

√c +√

c + 2− 3 = 0, es decir,√

c +√

c + 2 = 3. Por tanto la ecuación√x +√

x + 2 = 3 admite solución en [1/4, 2].

Ejemplo 3.3.8. (Temperatura sobre laTierra). Suponga que en cualquier instantedado, la temperatura en la superficie de laTierra varía continuamente con la posición.Mostremos que existe al menos un par depuntos diametralmente opuestos uno delotro uno del otro del ecuador y tal que tie-nen la misma temperatura.

La temperatura eneste punto es T( (x

Interseccióndel ecuadory el primermeridiano

Solución. Pensemos del ecuador como una circunferencia y elegimos un pun-to de referencia P con dirección positiva. Usando la medida en radianes, sea x, con0 ≤ x ≤ 2π denotando la coordenada de un punto x radianes de P. Entonces x yπ + x son puntos diametralmente opuestos del ecuador. Sea T(x) la temperaturaen el tiempo x, y sea f (x) = T(x)− T(x + π). Si f (0) = 0, entonces las tempera-turas en los puntos 0 y π son iguales. Si f (x) ̸= 0, entonces f (0) = T(0)− T(π)

y f (π) = T(π)− T(2π) = T(π)− T(0) tienen signos opuestos. Así que existeun punto c ∈ (0, π) tal que f (c) = 0 y T(c) = T(c + ππ).


Ejemplo 3.3.9. (Sandwich de jamón). La figura abajo muestra una tajada dejamón. A continuación vamos a mostrar que para cualquier ángulo θ (0 ≤ θ ≤ π),es posible hacer un corte al medio con un ángulo de inclinación θ.

x

y y

x

L( (p

Lp

L( (0 =

(2

( L( (q

q

Solución. Sea θ tal que θ ̸= π/2. Para cualquier b, consideremos la recta L(θ)que subtiende un ángulo θ con el eje x y pasando por el punto (0, b). La ecuaciónde esta recta es

y = (tg θ)x + b .

Sea A(b) la porción de jamón que está por encima de esta recta. Si A > 0 es elárea del jamón, aceptaremos las siguientes consideraciones:

(i) Para un b = b0 suficientemente bajo, la recta L(θ) está por la parte inferiordel jamón; así que A(b0) = A− 0 = A.

(ii) Para un b = b1 suficientemente alto, la recta L(θ) está por la parte superiordel jamón; así que A(b1) = 0− A = −A.

(iii) A(b) es continua como función de b.

Bajo estas hipótesis vemos que A(b) es una función continua satisfaciendo

A(b0) > 0 y A(b1) < 0 para algún b0 < b1

De acuerdo al teorema tenemos que A(b) = 0 para algún b ∈ [b0, b1].Ahora modificamos el argumento cuando θ = π/2. Supongamos que θ =

π/2. Sea la recta L(c) la cual es vertical a la recta atravezando (c, 0) (x = c) y seaA(c) el área de la porción de jamón a la izquierda de L(c). Desde que L(0) estáen el extremo izquierdo del jamón, entonces A(0) = 0− A = −A. Para algúnc = c1 suficientemente grande, L(c) está en el extremo derecho del jamón, así queA(c1) = A− 0 = A. Por tanto A(c) es una función que depende continuamentede c tal que A(0) < 0 y A(c1) > 0. De acuerdo al teorema, existe c ∈ [0, c1] talque A(c) = 0.


TÉCNICA DE LA TRAZA

Para aproximarnos al cero de una función real, usar los siguientes pasos:

(i) Utilizando tecnología, gráficar la función con el propósito de que el ceroreal aparezca como intersección de la curva con el eje x.

(ii) Estimar el cero de la ecuación en cada intervalo próximo de la interseccióncon el eje x.

(iii) Si es necesario, aproximarnos por intervalos cada vez más pequeños de talmanera que el cero real sea cada vez más cercano.

Ejemplo 3.3.10. Hallar la raíz aproximada de la función f (x) = x3 − x2 + 5.Solución. En principio, podemos usar derive para estimar la gráfica de la

función (ver figura (a))

(a) (b) ( (c

-1.5

-1-2 -1

-1.5

-1 -0.5

y

x

Luego ampliamos la gráfica disminuyendo el tamaño de la escala para llegaral cero aproximado x = −1.4 (ver figura (b)). Finalmente hacemos una nuevaampliación para llegar a la raíz aproximada x = −1.44.

Ejemplo 3.3.11. (Costos de publici-dad). Una empresa que produce ropa de-portiva estima que la ganancia de un nue-vo modelo es dado por

G(x) = −0.014x3 + 0.752x2 − 40,

donde 0 ≤ x ≤ 50 representa el gasto

fr.1

23rf

.com

de publicidad, y tanto x como G están en unidades de diez mil soles. De acuer-do a este modelo, ¿qué cantidad mínima de dinero debe gastar la empresa paraobtener una ganancia de 2’750,000 soles?


Solución. En la figura de la dere-cha observamos que hay dos valo-res diferentes de x entre 0 y 50 quedeben proporcionar una ganancia de2’750,000 soles. Ahora bien, debidoal contexto del problema es claro quela mejor respuesta al problema es elmenor valor positivo de los dos nú-meros.

0

40

80

120

160

200

240

280

10 20 30 40 50-40

(32.8, 275)

x

P

Gan

anci

a (e

n u

nid

ades

de

die

z m

il s

ole

s)

Ahora resolvemos la ecuación

−0.014x3 + 0.752x2 − 40 = 275

que equivale a−0.014x3 + 0.752x2 − 315 = 0 .

Para hallar los ceros de la función

g(x) = −0.014x3 + 0.752x2 − 315

Usandos la técnica de la traza encontramos que existe al menos una raíz

500

100

200

-200

50

-200

-100

100

20 40

y esta raíz es aproximadamente x ≈ 32.8. Reemplazando en la función origi-nal obtenemos

G(32.8) = −0.014(32.8)3 + 0.752(32.8)2 − 40 ≈ 275

Esto significa que la compañía deberá gastar aproximadamente 328,000 soles ensu nueva línea deportiva para tener una ganancia de 2’750,000 soles.


ERROR DE APROXIMACIÓN

En esta parte hallaremos la raíz de una ecuación vía aproximación por errorde aproximación. Si x es una aproximación al número x0, entonces |x − x0| sellama error absoluto o también error de aproximación. La tabla abajo describe eltamaño de estos errores.

Error Descripción

|x− x0| ≤ 0.1 x se aproxima a x0 con un error de a lo más 0.1








Ejemplo 3.3.12. La ecuación

x3 − x− 1 = 0

no se puede resolver algebraicamentefácilmente porque no podemos factori-zar en producto de términos lineales.Sin embargo, la gráfica de

p(x) = x3 − x− 1

puede dibujarse con tecnología.

x

y

2

2

Como vemos, existe una raíz real y esta se encuentra en el intervalo [1, 2]. Laexistencia de esta raíz se confirma por el hecho que p(1) = −1 y p(2) = 5 tienensignos opuestos. Nos aproximaremos a esta raíz con un error máximo de 0.005.

Solución. Nuestro objetivo es aproximarnos a una raíz desconocida x0 conun error máximo de 0.005. Esto es fácil si podemos hallar un intervalo de tamaño0.01 que contiene la raíz, entonces el punto medio de este intervalo debe ser laraíz aproximada con un error máximo de 1

2 (0.01) = 0.005, el cual se consigue conel siguiente procedimiento.


sabemos que la raíz x0 está en el intervalo [1, 2]; sin embargo este intervalotiene longitud 1, el cual es grande. A continuación vamos a tomar un punto pró-ximo a la raíz dividiendo el intervalo [1, 2] en 10 partes iguales y evaluando p enlos puntos de subdivisión usando algunos cálculos.

x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

p(x) −1 −0.77 −0.47 −0.10 0.34 0.88 1.50 2.21 3.03 3.96 5

x 1.3 1.31 1.32 1.33 1.34 1.35 1.36 1.37 1.38 1.39 1.4

p(x) −0.103 −0.062 −0.020 0.023 0.066 0.110 0.155 0.201 0.248 0.296 0.344

En la tabla arriba, p(1.3) y p(1.4) tienen signos opuestos, así que sabemos queuna raíz está en el intervalo [1.3, 1.4]. Este intervalo tiene longitud 0.1, el cual esgrande, así que repetimos el procedimiento dividiendo el intervalo [1.3, 1.4] en 10partes iguales y evaluando p en los puntos de subdivisión (ver la segunda tabla).Como vemos, la raíz está en el intervalo [1.32, 1.33]. Desde que este intervalo tienelongitud 0.01, su punto medio 1.325 se aproxima a la raíz con un error de a lo más0.005. Así que x0 ≈ 1.325.

TÉCNICA DE LA BISECCIÓN

Veamos a continuación una técnica para detectar raíces sin necesidad de tec-nología. Supongamos que f (a) y f (b) tienen signos diferentes, así que existe unaraíz dentro de [a, b]. El algoritmo de bisección dice que para aproximarnos a estaraíz, debemos tener presente los siguientes casos:

(i) Evaluar la función f en el punto medio del intervalo, es decir,

t1 =a + b

2.

(ii) Si f (t1) = 0, esto acaba! De otro modo:

(a) Si f (a) y f (t1) tienen signos opuestos, la raíz está entre a y t1. Enton-ces reiniciar el algoritmo ahora con el intervalo [a, t1].

(b) Si f (t1) y f (b) tienen signos opuestos, la raíz está entre t1 y b. Enton-ces reiniciar el algoritmo ahora con el intervalo [t1, b].


Ejemplo 3.3.13. Determinar si la función

f (x) = x3 + 2

tiene raíz en [−2, 0], y use el método de bisección para estimar este valor.

Solución. Es fácil verificar que f (−2) = −6 < 0 y f (0) = 2 > 0. Ademásf es continua por ser polinómica, así que existe una raíz en [−2, 0]. Para estimaresta raíz, evaluamos la función en el punto medio del intervalo, es decir t1 = −1:f (−1) = 1 > 0. Ahora bien

(1) Debido a que f (−2) y f (−1) tienen signos diferentes, la raíz está en [−2,−1].Así que verificamos la función en el punto medio del intervalo, t2 = −1.5:

f (−1.5) = −11/8 < 0 .

(2) Debido a que f (−1.5) y f (−1) tienen signos diferentes, la raíz está en[−1.5,−1]. Así que verificamos la función en el punto medio del interva-lo, t3 = −1.25:

f (−1.25) = 3/64 > 0 .

(3) Debido a que f (−1.5) y f (−1.25) tienen signos diferentes, la raíz está en[−1.5,−1.25].

Podemos parar este proceso y estimamos la ubicación de la raíz próximo at4 = −1.375 (el punto medio de [−1.5,−1.25]). Desde que −1.375 está a 0.0125unidades de cada extremo, entonces el valor −1.375 es próximo del cero real porun error de 0.0125 unidades.

2 0-

2- 1-

1-1.5-

1.5- 1.25-

1.375-

Lord Barrera - Sección 3.4. Límites que Involucran Infinitos 241

3.4. Límites que Involucran Infinitos

Algunas veces queremos saber ¿qué pasa con el comportamiento de f (x)cuando x se incrementa ilimitadamente? Consideremos por ejemplo la funciónN que determina la cantidad de moscas (Drosophila melanogaster) en un espaciocontrolado en un laboratorio, como una función del tiempo t.En la gráfica de N se muestra en la figu-ra abajo podemos ver que t crece ilimita-damente (tiende al infinito), mientras queN(t) se aproxima a 800. Este número sellama capacidad del ambiente y es determi-nado por la cantidad de espacio vital y lacomida disponible, como también puedenintervenir otros factores ambientales.

200

400

600

800

10 20 30 40 50 60

800N N =

t ( (en días

0

A continuación definimos el límite al infinito, resulta de aproximarnos a unacantidad finita cuando la entrada crece o decrece ilimitadamente.

Definición 3.4.1. Si f es una función cuyo dominio es ilimitado superiormente,entonces el límite de f (x) cuando x se aproxima al más infinito, es el númeroL, escrito

lı́mx→+∞

f (x) = L

significando: los valores f (x) están bien próximos de L siempre que x toma valo-res arbitrariamente grandes.

Esto se ilustra gráficamente:

x

y

y= L

x

y

y= L

y= f ( )x

y= f ( )x


De manera similar definimos:

Definición 3.4.2. Si f es una función cuyo dominio es ilimitado inferiormente,entonces el límite de f (x) cuando x se aproxima al menos infinito, es el númeroL, escrito

lı́mx→−∞

f (x) = L

significando: los valores f (x) están bien próximos de L siempre que x toma valo-res arbitrariamente grandes y negativos.

Gráficamente:

x

y

y= L

x

y

y= L

y= f ( )x

y= f ( )x

La recta y = L como se muestra en las figuras anteriores es llamada asíntotahorizontal y formalizamos en la siguiente definición

Definición 3.4.3. La recta y = L es una asíntota horizontal a la gráfica de la fun-ción f si

lı́mx→+∞

f (x) = L o lı́mx→−∞

f (x) = L

Ejemplo 3.4.1. A partir de la gráfica calcular las asíntotas horizontales de lasfunciones f y g.

x

y

y =

y= f ( )x

x

y

y =

y =g( )x10

66

10


Solución. Como vemos en la primera figura, cuando x → +∞

lı́mx→+∞

f (x) = 10 .

Por otro lado, de la segunda figura vemos que cuando x→ −∞

lı́mx→−∞

f (x) = 6 .

Una de las primeras propiedades a tener en cuenta es la siguiente

Teorema 3.4.2.lı́m

x→+∞

1x= 0 y lı́m

x→−∞

1x= 0

En los límites anteriores también podemos colocar

lı́mx→+∞

1x− a

= 0 y lı́mx→−∞

1x− a

= 0

donde a es cualquier número real.

Ejemplo 3.4.3. Calcular lı́mx→+∞

1x− 1

y lı́mx→−∞

1x− 1

. Calcular también la asín-

tota horizontal a la gráfica de la función f (x) =1

x− 1.

Solución. A partir de la gráfica

x

y

2

2

-2

-2

x - 1

1y =

x =1

Tenemos que

lı́mx→+∞

1x− 1

= 0 y lı́mx→−∞

1x− 1

= 0

Concluímos que y = 0 es una asíntota horizontal a la gráfica de f .


A continuación generalizamos el teorema anterior

Teorema 3.4.4. Si r > 0 es un número racional, entonces

lı́mx→+∞

1xr = 0

También, si r > 0 es racional y xr está definido para todo x, entonces

lı́mx→−∞

1xr = 0


lı́mx→+∞

x2 + 13x2 + 10

Solución. Dividiendo el numerador y denominador por x2 y tomando límite si-gue

lı́mx→+∞

x2 + 13x2 + 10

= lı́mx→+∞

1 + 1/x2

3 + 10/x2=

13

.


lı́mx→−∞

3x3 + 4x− 72x3 + 5x− 2

Solución. Dividiendo numerador y denominador por x3 y tomando límite tene-mos

lı́mx→−∞

3x3 + 4x− 72x3 + 5x− 2

= lı́mx→−∞

3 + 4/x2 − 7/x3

2 + 5/x2 − 2/x3=

32

.

Ejemplo 3.4.7. Calcular las asíntotas horizontales a la gráfica de la función

f (x) =√

5x2 + 22x− 5

Solución. Tenemos

lı́mx→+∞

√5x2 + 22x− 5

= lı́mx→+∞

|x|√

5 +2x2

x(

2− 5x

) =

lı́mx→+∞

√5 +

2x2

2− lı́mx→+∞

5x

=

√5 + 0

2− 0=

√5

2


Po otro lado,

lı́mx→−∞

√5x2 + 22x− 5

= lı́mx→−∞

|x|√

5 +2x2

x(

2− 5x

) = −lı́m

x→−∞

√5 +

2x2

2− lı́mx→−∞

5x

= −√

5 + 02− 0

= −√

52

Por tanto, las asíntotas horizontales son

y =

√5

2e y = −

√5

2.

Existe una manera fácil para determinar cuando la gráfica de una funciónracional tiene una asíntota horizontal. Este procedimiento consiste en compararlos grados del numerador y denominador de la función racional.

Asíntotas horizontales de funciones racionales. Sea f (x)/g(x) una función ra-cional.

(i) Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, enton-ces y = 0 es una asíntota horizontal (a izquierda y a derecha) a la gráfica def .

(ii) Si el grado del numerador es igual que el grado del denominador, entoncesy = a/b es una asíntota horizontal (a izquierda y a derecha) a la gráfica def , donde a y b son los coeficientes principales de p(x) y q(x), respectiva-mente.

(iii) Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, entoncesla gráfica de f no tiene asíntota horizontal.

Ejemplo 3.4.8. En cada caso, hallar la asíntota horizontal a la gráfica de lafunción

(i) f (x) =−3x + 55x2 + 7

(ii) g(x) =−3x2 + 55x2 + 7

(iii) f (x) =−3x3 + 55x2 + 7

Solución. (i) Debido a que el grado del numerador es menor que el grado deldenominador, entonces y = 0 es una asíntota horizontal (ver figura (a)).

(ii) Debido a que el grado del numerador es igual que el grado del denomina-dor, entonces y = −3/5 es una asíntota horizontal (ver figura (b)).


(iii) Debido a que el grado del numerador es mayor que el grado del denomi-nador, entonces la gráfica no tiene asíntota horizontal (ver figura (c)).

x

y

x

y

y = f ( )x y=g( )x

x

y

y=h( )x

y =35

-

(a) (b) ( (c

Ejemplo 3.4.9. (Modelando el costo promedio). Un pequeño negociante aña-de 5,000 soles a su inversión que consiste de fabricar un producto cuyo costo uni-tario es de S/ 0.50 por unidad. Hallar el costo promedio por unidad cuando seproducen 1,000 unidades, 10,000 unidades y 100,000 unidades. ¿Cuál es el límitedel costo promedio cuando el número de unidades producidas aumenta grande-mente?

Solución. De la hipótesis, podemos mo-delar el costo total C (en soles) mediante

C(x) = 0.5x + 5, 000

donde x es el número de unidades pro-ducidas. Esto implica que la función cos-to promedio es

C(x) =C(x)

x= 0.5 +

5, 000x número de unidades

costo promedio

cost

o p

rom

edio

por

unid

ad

Si se producen sólo 1,000 unidades, el costo promedio por unidad es

C(x) = 0.5 +5, 0001, 000

= 5.50 costo promedio por 1,000 unidades

Si se producen 10,000 unidades, el costo promedio por unidad es

C(x) = 0.5 +5, 000

10, 000= 1.00 costo promedio por 10,000 unidades


Si se producen 100,000 unidades, el costo promedio por unidad es

C(x) = 0.5 +5, 000

100, 000= 0.55 costo promedio por 100,000 unidades

Cuando x se aproxima al infinito, el costo promedio por unidad es

lı́mx→+∞

(0.5 +

5, 000x

)= 0.50

Ejemplo 3.4.10. (Nivel de nitrógeno). Si se realiza una siembra de plantas enun terreno donde el nivel de nitrógeno es N, entonces la producción puede sermodelada por la función de Michaeles - Menten

Y(N) =AN

B + N, N ≥ 0

donde A y B son constantes positivas. ¿Qué pasa con la cosecha cuando el nivelde nitrógeno se incrementa indefinidamente?

Solución. Es suficiente tomar límite cuando N → +∞.

lı́mN→+∞

Y(N) = lı́mN→+∞

ANB + N

= lı́mN→+∞

ANN

BN

+NN

= lı́mN→+∞

ABN

+ 1= A.

O sea, la producción en la cosecha tiende hacia el valor constante A cuando elnivel de nitrógeno aumenta indefinidamente. Por esta razón, el valor A se llamala cosecha máxima alcanzada.

Ejemplo 3.4.11. (Lista de espera en el hospital). El servicio de traumatologíade un hospital va a implantar un nuevo sistema que pretende reducir a cortoplazo las listas de espera. Se pronostica que a partir de ahora la siguiente funciónindicará en cada momento (t, en meses) elporcentaje de pacientes que podrá ser ope-rado sin necesidad de entrar en lista de es-pera:

P(t) =

t2 − 6t + 40 si 0 ≤ t ≤ 10

9.4t− 140.1t

si 10 < t

wel

l.blo

gs.

nyti

mes

.com

¿A partir de qué momento crecerá este porcentaje? Por mucho tiempo quepase ¿a qué porcentaje no se llegará nunca?


Solución. Antes de analizar el crecimiento de la función, estudiemos su con-tinuidad: se trata de una función definida a tramos. En el interior del primer in-tervalo la función es continua, puesto que se trata de una parábola; en el interiordel segundo también lo es, puesto que el valor que anula el denominador (t = 0)se encuentra fuera del intervalo de definición. Bastará, por tanto, con analizar elpunto de unión t = 10. Se tiene

lı́mt→ 10−

P(t) = lı́mt→ 10

(t2 − 6t + 40) = 100− 60 + 40 = 80

y

lı́mt→ 10+

P(t) = lı́mt→ 10

9.4t− 140.1t

=120− 40

1= 80

La función existe en t = 10, su valor es P(10) = 100− 60 + 40 = 80, y coincidecon el valor de los límites laterales que son iguales. Por ello, la función es continuaen todo su dominio.

Ahora estudiemos el crecimiento de la función: para ello notemos que en elintervalo 0 ≤ t ≤ 10 podemos expresar a la función

P(t) = t2 − 6t + 40 = (t− 3)2 + 31

o sea, es una parábola con vértice V(3, 31). Esta función decrece en el interva-lo [0, 3] y crece en el intervalo [3, 10]. Para verificar la monotonía en el intervalo[10,+∞) es es suficiente notar que 12(0)− (−40)(0.1) = 4 > 0. De aquí, la fun-ción resulta creciente en (10,+∞).

Finalmente, analicemos si la función presenta asíntota horizontal: vemos que

lı́mt→+∞

P(t) = lı́mt→+∞

9.4t− 140.1t

= 94

Visto todo lo anterior, podemos asegurarque el porcentaje de operados sin entraren lista de espera crecerá indefinidamen-te a partir del mes t = 3, pero que nuncallegará a superar el 94 %.

3140

80

10

t

y =94tP( (

3


De la misma forma que trabajamos con potencias f (x) = xa, también po-demos trabajar con funciones exponenciales con base a, es decir, f (x) = ax. Elsiguiente resultado explica esto.

Teorema 3.4.12. Sea a > 0 y a ̸= 1 un número real. Entonces

(i) Si a > 1, entonces lı́mx→+∞

ax = +∞.

(ii) Si a < 1, entonces lı́mx→+∞

ax = 0.

Ejemplo 3.4.13. Calcular los límites

(i) lı́mx→+∞

20.3x y (ii) lı́mx→+∞

2x

3x

Solución. 20.3 > 1 y2x

3x =

(23

)x

. Luego

lı́mx→+∞

20.3x = +∞ y lı́mx→+∞

2x

3x = lı́mx→+∞

(23

)x

= 0 .

Ejemplo 3.4.14. (Desarrollo de epidemia). En una localidad de Sudáfrica seestimó que la cantidad de personas queadquieren una epidemia, es modelada porla siguiente función

E(t) =260

1 + e−2t

donde t es el tiempo medido en semanas.¿Cuántas personas fueron contagiadas al k

erk

inacti

e.n

l

comienzo de la epidemia? ¿Qué nos indica el valor lı́mt→+∞

f (t)?

Solución. Para el comienzo de la epidemia consideramos t = 0, que reempla-zando en la función obtenemos E(0) = 130. Este valor nos dice que al comienzode la epidemia habían 130 personas enfermas.

Por otro lado, si t→ +∞ entonces la expresión e−2t =1

e2ttiende a 0. Luego

lı́mt→+∞

2601 + e−2t

= 260 .

Esta cantidad nos indica que cuando pase una cantidad indefinida de tiempo,habrán 260 personas contagiadas con la enfermedad.


LÍMITES INFINITOS

A continuación estudiaremos otra clase de límites que involucra infinitos.

Definición 3.4.4. (Límites infinitos). Decimos que lı́mx→ a

f (x) es un límite infinito

si f (x) crece o decrece ilimitadamente cuando x → a. Escribimos

lı́mx→ a

f (x) = +∞

para significar: f (x) crece ilimitadamente cuando x → a. También

lı́mx→ a

f (x) = −∞

para significar: f (x) decrece ilimitadamente cuando x → a.

Esta definición se ilustra gráficamente

x

y x a=

x

y

x a=

lím f ( )xx a

= 8+

lím f ( )xx a

= 8-

Ejemplo 3.4.15. Tenemos

lı́mx→ 0

1|x|

= +∞

y más generalmente,

lı́mx→ a

1|x− a|

= +∞


Ejemplo 3.4.16. (Contaminación am-biental). Una planta metálica determinaque el costo total (en soles) de eliminar elp % de la contaminación que emite, es mo-delado por

C(p) =70, 000p100− p

, 0 ≤ p < 100

Interpretar los valores para p próximos de100. 2

020net.

eu

Solución. Notemos que cuando nos acercamos a p = 100 los valores de C(p)aumentan cada vez más. Esto significa que cuando la planta reduce los porcenta-jes más elevados de contaminación, los costos se elevan enormemente. Por ejem-plo, el costo de retirar el 89 % de contaminación es

C(89) =70, 000(89)

100− 89=

6′230, 00011

≈ 566, 363 soles

También, el costo de reducir el 95 % es

C(95) =70, 000(95)

100− 95=

6′650, 0005

≈ 1′330, 000 soles

y el costo de reducir el 99 % es

C(99) =70, 000(99)

100− 99=

6′650, 0005

≈ 6′930, 000 soles

Podemos aproximarnos cada vez más altotal de eliminación de la contaminaciónaplicando el límite

lı́mp→ 100

70, 000p100− p

lo que nos da un costo muy elevado en elproceso de descontaminación.

C =

100

-7000

( )p7000p

100 -p

C( )p

p

Este último ejemplo nos muestra que los valores de p < 100 se aproximancada vez más a 100. A continuación extendemos el concepto de límite infinito alos casos laterales, es decir, cuando la entrada se aproxima a izquierda o a derechade un valor finito.


Definición 3.4.5. (Límites infinitos).

(i) Decimos quelı́m

x→ a−f (x) = +∞

si f (x) crece ilimitadamente cuando x se aproxima a la izquierda de a.

(ii) Decimos quelı́m

x→ a+f (x) = +∞

si f (x) crece ilimitadamente cuando x se aproxima a la derecha de a.

(iii) Decimos quelı́m

x→ a−f (x) = −∞

si f (x) decrece ilimitadamente cuando x se aproxima a la izquierda de a.

(iv) Decimos quelı́m

x→ a+f (x) = −∞

si f (x) decrece ilimitadamente cuando x se aproxima a la derecha de a.

Las gráficas se muestran a continuación

x

y

x a=

x

y

x a=

x

y

x a=

x

y

x a=

lim f ( )xx a-

= oo+ lim f ( )xx a+

= oo+

lim f ( )xx a-

= oo- lim f ( )xx a+

= oo-


Ejemplo 3.4.17. Se cumple que

lı́mx→ a+

1x− a

= +∞ y lı́mx→ a−

1x− a

= −∞

Definición 3.4.6. La recta x = a es una asíntota vertical a la gráfica de la funciónf si se cumple alguno de los límites

(i) lı́mx→ a

f (x) = +∞ (o −∞).

(ii) lı́mx→ a+

f (x) = +∞ (o −∞).

(iii) lı́mx→ a−

f (x) = +∞ (o −∞).

Ejemplo 3.4.18. Calculemos lı́mx→ 2−

1x− 2

y lı́mx→ 2+

1x− 2

. También calculemos

la asíntota vertical a la gráfica de f (x) =1

x− 2.

Solución. La gráfica de la función se muestra a continuación

x

y

2

2

-2

-2

x - 2

1y =

x = 2

Vemos que

lı́mx→ 2−

1x− 2

= −∞ y lı́mx→ 2+

1x− 2

= +∞

La recta x = 2 es una asíntota vertical a la gráfica de f .



SECCIÓN 3.1

Ejercicio 3.1. ¿Cuál de las siguientes cantidades representa una función continuacomo función del tiempo?

(i) La velocidad de un avión durante su vuelo.

(ii) La temperatura en una habitación bajo condiciones normales.

(iii) El monto de una cuenta bancaria con interés pagado anualmente.

(iv) La población mundial.

Ejercicio 3.2. En cada caso, indicar con (V) si es verdadera o con (F) si es falso.

(i) f (x) es continua en x = a si y sólo si los límites a izquierda y a derecha def (x) cuando x → a existen y son iguales.

(ii) f (x) es continua en x = a si y sólo si los límites a izquierda y a derecha def (x) cuando x → a existen y son iguales a f (a).

Ejercicio 3.3. Suponga que f (x) > 0 si x es positiva y que f (x) < −1 si x esnegativa. ¿Puede afirmar que f es continua en x = 0?

Ejercicio 3.4. ¿Qué puede decir acerca de f (3) sabiendo que f es continua y que

lı́mx→ 3

f (x) =12

?

Ejercicio 3.5. ¿Es posible determinar f (7) sabiendo que f (x) = 3 para todo x < 7y que f es continua a derecha en x = 7?

Ejercicio 3.6. En cada caso, determinar si la función es continua en el intervalocerrado

(i) f (x) =√

9− x2, [−3, 3].

(ii) g(x) = ln(x + 3) +√

4− x2, [−2, 1].

(iii) h(x) =

{x + 1 si x < 0

2− x si x ≥ 0, [−2, 4].

(iv) f (t) =1

t2 − 9, [−2, 2].


Ejercicio 3.7. Sea

f (x) =

ax + b si x < 1

4 si x = 1

2ax− b si x > 1

Hallar los valores a y b de tal manera que f resulte continua en R.

Ejercicio 3.8. (Venta de golosinas). Una tienda de golosinas vende caramelospor paquete, cobrando a 1.5 soles por paquete si el comprador lleva una cantidadmáxima de 20 paquetes. Si el comprador lleva más de 20 paquetes, el precio porpaquete le resulta 1.25 soles, más un recargo de k soles. Si x representa el númerode paquetes, la función costo es

C(x) =

{1.50x si x ≤ 20

1.25x + k si x > 20

(i) Hallar k de tal manera que la función costo resulte continua en x = 20.

(ii) Explique ¿porqué es preferible tener continuidad en x = 20?

Ejercicio 3.9. (Clima). Suponga que la temperatura del aire en un determinadodía es de 30◦ F. Entonces la sensación térmica (en ◦ F) producida por un vientocon velocidad de v km/h es dada por

W(v) =

30 si 0 ≤ v ≤ 4

1.25v− 18.67√

v + 62.3 si 4 < v < 45

−7 si v ≥ 45

(i) ¿Cuál es la sensación térmica cuando v = 20 km/h y v = 50 km/h?

(ii) ¿Cuál es la velocidad del viento que produce una sensación térmica de 0◦ F?

(iii) La función de sensación térmica W(v) ¿es continua en v = 4? ¿qué pasa env = 45?

Ejercicio 3.10. (Intensidad del campo eléctrico). Si una esfera agujereada de ra-dio R es cargada con una unidad de electricidad estática, entonces la intensidaddel campo E(x) en un punto localizado a x unidades del centro de la esfera satis-face:

f (x) =

0 si 0 < x < R

12x2

si x = R

1x2

si x > R

Gráficar E(x). ¿Es E(x) continua para x > 0?


Ejercicio 3.11. (Empleo en Perú). El número N de trabajadores empleados comooperarios de fábrica en el Perú entre los años 1995 y 2004 puede ser modelado por

N(t) =

{0.22t + 3 si 0 ≤ t ≤ 5

−0.15t + 4.85 si 5 < t ≤ 9millones de empleos



N(t) y lı́mt→ 5+

N(t) e interpretar cada respuesta.

(ii) Sobre el número de trabajadores empleados en el Perú entre los años 1995y 2004, ¿hubieron cambios bruscos con la cantidad de empleos durante eseperiodo de tiempo?

Ejercicio 3.12. (Venta de películas). Los gastos de publicidad de películas entrelos años 1995 y el 2004, en millones de soles, según los anuncios en diarios, esmodelada por la función

f (t) =

{0.04t + 0.33 si t ≤ 4

−0.01t + 1.2 si 4 < t



f (t) y lı́mt→ 4+

f (t) e interpretar cada respuesta.

(ii) ¿La función f es continua en t = 4? ¿Qué dice su respuesta acerca de losgastos de publicidad de películas?

Ejercicio 3.13. (Gasto en el ministerio del interior). Los gastos para combatir ladelincuencia en el Perú se incrementó regularmente entre los años 1982 y 1999.Los gastos totales en la policía y en tribunales se aproximan, respectivamente por

P(t) = 1.745t + 29.84 millones de soles 2 ≤ t ≤ 19

C(t) = 1.097t + 10.65 millones de soles 2 ≤ t ≤ 19

donde t es el tiempo en años desde 1980. Calcular lı́mt→+∞

P(t)C(t)

con dos decimales

e interpretar el resultado.


SECCIÓN 3.2Ejercicio 3.14. (i) Dibujar la gráfica de una función con una discontinuidad

evitable en x = c, para la cual f (c) no está definida.

(ii) Dibujar la gráfica de una función con una discontinuidad evitable en el pun-to x = c, para la cual f (c) está definida.

Ejercicio 3.15. Verificar que las siguientes funciones tienen discontinuidades evi-tables en x = 1; además dibuje sus gráficas.

f (x) =x2 − 1x− 1

g(x) =

1 si x > 10 si x = 11 si x < 1

¿Qué valores debemos asignar a f (1) y g(1) para remover las discontinuidades?

Ejercicio 3.16. La proyección estereográfica fue introducida en el ejemplo 1.2.18.Suponga que en lugar de usar una circunferencia usa un cuadrado de longitud 1,que rota un ángulo de π/4 como en lafigura derecha. Ahora tomemos un seg-mento que une el punto (t, 0) de la rectanumérica con el polo norte ubicado en elpunto (0,

√2). El punto de intersección de

este segmento con el cuadrado es el punto(x(t), y(t)). ( (t, 0

( (0, 2

xt yt, ((

1

p 4

(i) Graficar x(t) e y(t) y clasificar sus discontinuidades, ¿serán discontinuida-des removibles?. Explicar porqué admiten discontinuidades.

(ii) Desde que x(t) e y(t) admiten discontinuidades, ¿podemos decir que elcuadrado rota mediante ángulos distintos a π/4? ¿cuáles son, o no existen?

Ejercicio 3.17. (Ampliación de sucursales). Una entidad bancaria importante

abrió dos sucursales el año 2009. Una fueinstalada en el mes t = T1 y la otra en elmes t = T2. (t = 0 significa inicios del2009). La gráfica muestra la cantidad totalde dinero depositado en esta entidad ban-caria. Explicar el significado de las discon-tinuidades de la función en T1 y T2.

200

400

600

800

2 4 6 8 10 12T1 T2

y(millones de dólares)

t

(meses)


SECCIÓN 3.3

Ejercicio 3.18. En cada caso, use el Teorema del Valor Intermedio para hallar uncero de f (x) en el intervalo [a, b].

(i) f (x) = 2x3 − 4x2 + 5x− 4, [1, 2].

(ii) f (x) = x4 − x− 1, [−1, 1].

(iii) f (x) =√

x2 − 3x− 2, [3, 5].

(ii) f (x) = x4 − 10x2 − 11, [3, 4].

Ejercicio 3.19. (Paseo a la casa de campo).Una pareja deja su casa un viernes a las 6P.M para ir a su cabaña en el campo du-rante el fin de semana, llegando el mismodía a las 8 P.M. Al retornar el día domingo,ellos dejan sus cabaña a las 6 P.M y llegan-do a casa a las 8 P.M. tr

ipad

vis

or.

com

Use el Teorema del Valor Intermedio para mostrar que existe un lugar en la rutapor donde la pareja pasa el mismo instante de tiempo en ambos días.

Ejercicio 3.20. (Altura de una pelota). Una pelota es lanzada hacia arriba con unavelocidad inicial de 48 pies/seg, siendo su altura (en pies) descrita por la función

h(t) = −16t2 + 48t, 0 ≤ t ≤ 3

donde t es el tiempo en segundos. ¿Usted puede asegurar si la pelota llega a unaaltura de 64 pies? ¿Es esto posible?

Ejercicio 3.21. (Costo de publicidad). Una empresa produce video juegos, y seestima que el ingreso P (en soles) de la venta de un nuevo modelo de video juegoses dado por

P(x) = −82x3 + 7250x2 − 450, 000, 0 ≤ x ≤ 80

donde x es el costo de la publicidad (en unidades de diez mil soles). Usando estemodelo, indique ¿cuánto debe gastar la empresa en publicidad para obtener uningreso de 5’900,000 soles?


Ejercicio 3.22. Usando la información de la tabla respecto a una función polinó-mica f

Intervalo Valor de f (x)

(−∞,−1) Positiva

(−1, 1) Negativa

(1, 4) Negativa

(4, ∞) Positiva

(i) ¿Cuáles son los tres ceros reales de la función f ?

(ii) ¿Qué puede decir acerca de la gráfica en x = 1?

(iii) ¿Cuál es el menor grado posible de f ? Explicar. ¿Es posible que el grado def sea impar? Explicar.

(iv) ¿El coeficiente principal de f es positivo o negativo? Explicar.

Ejercicio 3.23. Graficar la función para diferentes valores de k

f (x) = x4 − 2x2 + k

Halle los valores k tal que los ceros de f satisfacen:

(i) Cuatro ceros reales.

(ii) Dos ceros reales.

Ejercicio 3.24. Pruebe que si f es continua en [0, 1] y f (0) = f (1), entoncesexiste un valor c ∈ (0, 1) tal que f (c) = f (c + 1/2). Este es llamado Teoremade la horizontal de Chord. (Sug: Aplique el Teorema del valor intermedio a lafunción g(x) = f (x + 1/2)− f (x) definida en [0, 1/2]).

Ejercicio 3.25. (Subiendo una montaña). Un excursionista sube por el senderode una montaña. El comienza en la parte inferior del camino a las 8:00 AM y llegaa la parte superior a las 6:00 P.M. Al día siguiente, él comienza su descendo desdeel mismo punto a las 8:00 A.M y llega a la parte inferior a las 6:00 P.M. Muestreque existe al menos un tiempo durante el día tal que el excursionista pasa porel mismo punto. Ilustrar gráficamente esta función de ascenso y descenso en elrectángulo [0 h, 10 h]× [0, L] donde L es la elevación de la montaña.


SECCIÓN 3.4


(i) lı́mx→+∞

x + 3x− 2

(ii) lı́mx→+∞

x2 + 3x− 2x2 + 1

(iii) lı́mx→+∞

2x3 + x2 + 3x3 + 4

(iv) lı́mx→−∞

1− x2

x2 + 2(v) lı́m

x→−∞

x2 − x + 2x2 + x + 1

(vi) lı́mx→−∞

x4 + x + 3x4 + 5

Ejercicio 3.27. Utilice la gráfica de la función f para calcular los siguientes límites

(i) lı́mx→−∞

f (x) (ii) lı́mx→+∞

f (x) (iii) lı́mx→ 0−

f (x) (iv) lı́mx→ 0+

f (x)

x

y

2

2

-2

-2

y = f ( )x

Ejercicio 3.28. (Costo promedio). El costo C en soles de producir x unidades deun producto es C(x) = 1.45x + 3570.

(i) Hallar la función costo promedio C.

(ii) Hallar C cuando x = 100 y cuando x = 1000.

(iii) Hallar el límite de C cuando x tiende al infinito.

Ejercicio 3.29. (Droga decomisada). El costo C (en millones de dólares) empleadopor el gobierno peruano para combatir la producción de droga en un p %, semodela por la siguiente función

C(p) =520p

100− p, 0 ≤ p < 100

(i) Hallar el costo que resulta de decomizar el 25 %, 50 % y 75 %.

(ii) Hallar el límite de C cuando p → 100−. Interprete el límite en el contextodel problema. Use la gráfica para verificar el resultado.


Ejercicio 3.30. (Crecimiento económico). El valor de la recaudación por venta depasaportes en migraciones, puede ser aproximada por

v(t) = 210− 62e−0.05t millones de soles por mes, t ≥ 0

donde t es el tiempo en meses desde enero del 2005. Estimar numéricamente ellímite lı́m

t→+∞v(t) e interpretar su respuesta.

Ejercicio 3.31. (Investigación científica). El número de artículos de investigación(en miles) por año, en el Jornal of Physic escrito por investigadores europeos, pue-de modelarse por

A(t) =7.0

1 + 5.4(1.2)−t

donde t es el tiempo en años y t = 0 corresponde al año 1983. Calcular el límitelı́m

t→+∞A(t) e interpretar su respuesta.

Ejercicio 3.32. (Receta de medicinas). Basados en una data desde 1995 hasta el2004, el número de recetas médicas emitidas anualmente en el Perú, puede sermodelado por

P(t) =1194

1 + 17.04e−0.6872t+ 2100 millones de recetas

donde t es el número de años desde 1995. De acuerdo a este modelo, ¿cuál es elmáximo número de recetas que se deben prescribir? Use límite para llegar a laconclusión.

Ejercicio 3.33. (Enfermos del hígado). Basados en una data desde 1970 hasta el2003, El índice de muertos de enfermos del hígado, puede ser modelado por

r(t) =9.900

1 + 0.1181e−0.1771t+ 2100 muertes por 100,000 personas

donde t es el número de años desde 1970. ¿Cuál es la cantidad de muertos en el2010, 2020 y 2030?. ¿Qué pronóstico hace usted acerca de la cantidad de muertesen un tiempo bastante largo?

Ejercicio 3.34. (Venta de computadoras). Basados en una data del 2001 al 2005,el ingreso total en la vernta de computadoras Apple, puede ser modelada por

I(d) =3217

1 + 9446e−0.001704d+ 2400 millones de dólares,

donde d es la cantidad de venta por tienda (en millones). ¿Cuál es el valor dellímite lı́m

d→+∞I(d) y qué representa?



RESPUESTAS DE SECCIÓN 3.1Ejercicio 3.1: (i) si, (ii) si, (iii) no, (iv) no, (v) no. Ejercicio 3.2: (i) F, (ii) V. Ejerci-

cio 3.3: ¡No! debido a que hay un salto de longitud al menos 1 en x = 0. Ejercicio3.4: f (3) = 1/2. Ejercicio 3.5: Sí por la continuidad a derecha, sin embargo f (7)no es necesariamente igual a 3. Ejercicio 3.11: (i) lı́m

t→ 5−N(t) = lı́m

t→ 5+N(t) = 4.1.

Significa que poco antes y después del 2000 (t = 5) el número de operarios enla fábrica se aproximó a 1.4 millones. (ii) N(t) es continua en t = 5 y no hubocambio brusco. Ejercicio 3.12: (i) 0.49, 1.16. Poco antes de 1999, el gasto anualde publicidad se aproximó a 0.49 millones de soles, y poco después de 1999, elgasto anual en publicidad se aproximó a 1.6 millones de soles. (ii) No es continuay el año 1999, los gastos en publicidad de las películas saltaron repentinamente.Ejercicio 3.13: 1.59; Si la tendencia continúa indefinidamente, el gasto anual en lapolicía debe ser 1.59 veces el gasto anual en tribunales en cualquier tiempo lejano.

RESPUESTAS DE SECCIÓN 3.4Ejercicio 3.30: 210 millones de soles. En términos de magnitud, el modelo pre-

dice que el valor de las ventas por pasaporte en un tiempo muy grande, se apro-xima a 210 millones de soles. Ejercicio 3.31: 7.0. En términos de tiempos indefini-dos, el número de artículos de investigación escrito por investigadores europeosen el Jornal of Physic es de aproximadamente 7,000 artículos.

Capítulo 4

La Derivada

Los negocios sobreviven cuando son rentables. Un empresario debe ser ca-paz de observar los factores que contribuyen al éxito o al fracaso de su empresa.Usando modelos matemáticos podemos pronosticar los precios, los niveles deproducción y otros elementos que dan un mejor ingreso. Aunque ningún modelomatemático es perfecto para predecir los futuros precios, un modelo puede ayu-dar a tomar mejores decisiones.

263

264 Lord Barrera - Capítulo 4. La Derivada

4.1. Introducción y Motivación

En este capítulo introduciremos la noción de derivada, que es la principal he-rramienta en la solución de problemas de cálculo diferencial. Desarrollaremos lasreglas de derivación que serán suficientes para calcular con facilidad la deriva-da de funciones complicadas. Finalmente hacemos uso de la regla de la cadena yderivación implícita para aplicar en diversos modelos matemáticos.

Históricamente, la noción de derivada es más antigua que el concepto de lími-te. Cada vez que nos referimos a razones de cambio estamos tratando con deriva-das, que junto con la integral constituyen las principales herramientas del cálculodiferencial e integral.

Isaac Newton G.W Leibniz

El cálculo fue desarrollado en el siglo XVII por Isaac Newton (1642-1727) ypor G.W Leibniz (1646-1716), cuya motivación se debe en parte a dos problemasgeométricos:

(i) El problema de la tangente: Hallar una recta tangente a una curva dada enun punto particular.

(ii) El problema del área: Hallar el área de una región bajo la gráfica de unafunción.

Aunque tradicionalmente se estudia a la derivada partiendo del contexto geo-métrico como el problema de la tangente, en esta sección como en todo el libroenfocaremos el estudio de la derivada desde el punto de vista aplicado. Por estarazón comenzaremos introduciendo dicho concepto a partir de algunos modelosrelacionados a negocios y economía, describiendo el comportamiento de razonesde cambio entre las variaciones de la variable de salida con respecto a las varia-ciones de la variable de entrada.

Lord Barrera - Sección 4.1. Introducción y Motivación 265

RAZÓN DE CAMBIO SOBRE UN INTERVALO

Uno de nuestros principales objetivos es hallar la razón de cambio que ocurreen un punto, y para llegar a comprender la manera en que el cálculo se usa paradescribir la razón de cambio en un punto, comencemos observando tres formasde medir cambios sobre un intervalo.

Ejemplo 4.1.1. (Ingresos económicosen un centro comercial). Supongamos quelos ingresos económicos anuales de uncentro comercial aumentan de 8.95 millo-nes de dólares a 26.32 millones de dólaressobre un periodo de 8 años. A continua-ción estudiaremos este cambio de ingresosde tres maneras: cambio aritmético, por-centual y razón de cambio promedio. tv

rtm

.cz

EL CAMBIO PUEDE SER EXPRESADO COMO UNA DIFERENCIA

Cambio aritmético = ingreso final− ingreso inicial

= 26.32− 8.95

= 17.37

Significa que durante el tiempo de 8 años, los ingresos económicos anuales delcentro comercial se incrementan en aproximadamente 17.37 millones de dólares.

EL CAMBIO PUEDE EXPRESARSE PORCENTUALMENTE

Cambio porcentual =ingreso final− ingreso inicial

ingreso inicial(100 %)

=26.32− 8.95

8.95(100 %)

≈ 194 %

O sea, los ingresos anuales del centro comercial se incrementan en aproxima-damente 194 % durante el periodo de ocho años.

TAMBIÉN PODEMOS EXPRESAR LA RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO

Razón de cambio promedio =cambio

longitud del intervalo

=26.32− 8.95

8≈ 2.17


O sea, durante los 8 años, el ingreso anual del centro comercial se incrementaen un promedio de 2.17 millones de dólares.

La razón de cambio promedio es la pen-diente de la recta atravezando dos puntoscomo se ve en la figura derecha. Aunquela razón de cambio promedio es útil, pue-de resultar limitado. Notemos que duran-te los dos primeros años, el ingreso de laempresa tiende a disminuir, y a partir deltercer año mantiene un crecimiento econó-mico importante.

5

10

15

20

0 1 2 3 4 5 6 7 8

pendien

te(8, 21.11 (

((7, 16.92

((6, 12.45

((5, 9.01

((4, 7.21((3, 6.24

((2, 7.18

millonesde dolares

años

2.17

9

25

((1, 8.95

Ejemplo 4.1.2. (Temperatura versustiempo). La figura a la derecha muestrael clima (en grados Farenheit) de un típi-co día en la ciudad de Lima. A continua-ción, en la tabla abajo se describen algunosvalores de la temperatura a medida quetranscurre el tiempo en un intervalo de 12horas.

(i) Estimar gráficamente la razón de cambio promedio de la temperatura entrelas 8 A.M y las 5 P.M. Interprete este resultado.

(ii) ¿De qué manera puede usar la razón de cambio promedio como una medidadel cambio en la temperatura entre las 8 A.M y las 5 P.M ?

Tiempo 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Temperatura 49 58 66 72 76 79 80 80 78 74 69 62

Solución. (i) Para calcular la razón decambio promedio sobre el intervalo, nece-sitamos conocer la longitud del intervalo.En este caso, si consideramos las 7 A.M co-mo t = 0 horas, entonces las 8 A.M corres-ponde a t = 1 horas y las 5 P.M correspon-de a t = 10 horas.

50

60

70

80

1 10

(1,58)

(10,69)

F

Lord Barrera - Sección 4.1. Introducción y Motivación 267

La longitud del intervalo desde las 8 A.M hasta las 5 P.M es de 9 horas. Deacuerdo a la figura ilustrada anteriormente, la razón de cambio promedio desdelas 8 A.M hasta las 5 P.M se calcula como

cambiolongitud del intervalo

=69− 5810− 1

≈ 1.2

O sea que, entre las 8 A.M y las 5 P.M latemperatura alcanza un promedio de1.2◦F por hora.

50

60

70

80

1 10

(1,58)

(10,69)

F

pendiente 1.2

(ii) De acuerdo a la respuesta en la parte (i), la pendiente de la recta nos diceque la temperatura aumenta ligeramente durante el día. Sin embargo, la razón decambio promedio no describe el incremento de 22◦F de temperatura y la dismi-nución de los 11◦F de temperatura que ocurre entre las 8 A.M y las 5 P.M.

CALCULANDO LA RAZÓN DE CAMBIO EN UN PUNTO

La razón de cambio promedio de una cantidad se mide como el cambio queexperimenta la cantidad sobre un determinado intervalo. El cambio que sucedeen un punto específico también puede ser calculado. Una medida del cambio quese experimenta en un punto específico es la razón de cambio instantáneo.

Ejemplo 4.1.3. Regresemos al ejemplo inicial de la sección 2.1. Allí considera-mos el desplazamiento de un tren como función del tiempo

d = 6t2, 0 ≤ t ≤ 20

donde t se mide en segundos. Las distintas posiciones del tren en los segundost = 0, 1, 2, 3, . . . , 20 son

f (0) = 0, f (1) = 6, f (2) = 24, f (3) = 54, . . . , f (20) = 2400

0 6 24 54 2400


Cuando el tren comienza a desplazarse desde el instante t = 0, las distanciasmarcadas en metros son las que se muestran en la siguiente tabla:

Tiempo en segundos 0 1 2 3 4 5 6

Distancia en metros 0 6 24 54 96 150 216

Estos datos pueden ser utilizados para de-terminar la velocidad promedio. Por ejem-plo, entre los 2 segundos y los 6 segundos,el conductor avanzo desde los 24 metroshasta los 216 metros, y alcanza la veloci-dad promedio de 48 m/s. Este promediose ilustra como la pendiente de la recta se-cante en la figura derecha. 2 51 3 4 6

2454

150

96

216

velo

cida

dpr

omed

io48

=

d

t

La velocidad promedio no puede ser utilizada para responder a la siguientecuestión: ¿qué pasa con la velocidad del tren justo cuando el reloj del conductormarca 2 segundos? Esta velocidad es precisamente la razón de cambio instantá-neo de la distancia recorrrida con respecto al tiempo.

Sabemos que la distancia recorrida con respecto al tiempo es modelada por lafunción

d = f (t) = 6t2

y vimos también en (2.1.2) que para t pró-ximo de 2, la velocidad promedio es

g(t) =f (t)− f (2)

t− 2=

6(t2 − 4)t− 2

Para cada t, el número g(t) es la pendientede la recta secante a la gráfica de f (t) =

6t2, pasando por (2, f (2)) y (t, f (t)) . 2

t

d

t

tf ( (

2f ( (

tf ( ( 2f ( (-

t - 2

En la sección 2.1 notamos lo siguiente: a medida que t se aproxima a 2 por laderecha, el valor de g(t) se aproxima a 24; del mismo modo, cuando t se aproximaa 2 por la izquierda, g(t) también está cerca a 24. Es decir

lı́mt→ 2

f (t)− f (2)t− 2

= lı́mt→ 2

6(t2 − 4)t− 2

= lı́mt→ 2

6(t + 2) = 24 .

Lord Barrera - Sección 4.2. El Concepto de Derivada 269

Las siguientes figuras muestran estas secantes para valores de t < 2 y paravalores de t > 2.

22

t t

d d

24 24

Pendientesmayores a 24

Pendientesmenores a 24

4.2. El Concepto de Derivada

Dada una función y = f (x), queremos saber ¿cómo calcular la pendiente deuna recta tangente a la gráfica en un punto dado? Recordemos que la fórmula dela pendiente de la recta secante entre dos puntos P = (a, f (a)) y Q = (x, f (x))con x ̸= a (como en la figura (a)) es

∆y∆x

=f (x)− f (a)

x− a

La expresiónf (x)− f (a)

x− aes llamada cociente diferencial.

a

x

y

x

xf ( ( af ( (-

x

y

y =

x =x - a

af ( (a,( (

xf ( (x,( (

af ( (a,( (

(a) (b)

Tangente

a

Ahora observemos qué sucede cuando Q se aproxima a P, o equivalentemen-te, cuando x se aproxima al punto a. La figura abajo muestra cómo las rectas


secantes se van aproximando a la recta tangente de manera progresiva.

x

y

a

Q

P

y

a

Q

P

y

a

Q

P

y

a

Q

P

x x x x

Si imaginamos de Q moviéndose hacia P, entonces las rectas secantes quevan apareciendo son simplemente rotaciones de una de ellas. Por tanto, podemosesperar que las pendientes de las rectas secantes se aproximan a la pendiente dela recta tangente. Basados en nuestra intuición definimos

Definición 4.2.1. La derivada de una función f en el punto a es

f ′(a) = lı́mx→ a

f (x)− f (a)x− a

siempre que este límite exista. Entonces se dice que f es derivable en a.

Ejemplo 4.2.1. Calculemos la derivada f ′(a), donde f (x) = x2.

Solución. Aplicando la definición

f ′(a) = lı́mx→ a

f (x)− f (a)x− a

= lı́mx→ a

x2 − a2

x− a

= lı́mx→ a

(x + a)(x− a)x− a

= lı́mx→ a

(x + a)

= 2a .

Si escribimos x − a = h, entonces x = a + h y h se aproxima a 0 si y sólosi x se aproxima al valor a. Por tanto, una manera equivalente de establecer ladefinición de la derivada es diciendo que


Definición 4.2.2. La función f es derivable en el punto a si existe el límite

f ′(a) = lı́mh→ 0

f (a + h)− f (a)h

siempre que este límite exista.

La pendiente de la recta secante PQ es

∆y∆x

=f (a + h)− f (a)

h

y la derivada de f (x) en el punto x = a sehalla tomando el límite de las pendientesde las rectas secantes cuando h→ 0, comose muestra en la figura derecha. a

x

y

f ( ( af ( (-y =

x =

af ( (a,(

f ( (a ,( (+h a +h

a+h

a+h

h

(

P

Q

Ejemplo 4.2.2. Calculemos nuevamente f ′(a), donde f (x) = x2.Solución. Tenemos

f ′(a) = lı́mh→ 0

f (a + h)− f (a)h

= lı́mh→ 0

(a + h)2 − a2

h

= lı́mh→ 0

a2 + 2ah + h2 − a2

h

= lı́mh→ 0

2ah + h2

h

= lı́mh→ 0

h(2a + h)h

= lı́mh→ 0

(2a + h)

= 2a .Notación: Existen varias notaciones para la derivada de la función y = f (x) :

y′ se lee “y prima”.dydx

se lee “la derivada de y con respecto a x′′.

dydx

∣∣∣∣x=a

se lee “la derivada de y con respecto a x, evaluada en x = a′′.

d fdx

∣∣∣∣x=a

se lee “la derivada de f con respecto a x, evaluada en x = a′′.


Ejemplo 4.2.3. La presión sobre unsubmarino debajo del agua es modeladapor la función

p(d) =1

33d + 1 atmósferas

donde d (en metros) es la distancia bajo lasuperficie del agua. tw

iste

dsif

ter.

com

(i) Hallar la derivada p′(d).

(ii) Escribir el modelo de la derivada.

Solución. (i) De acuerdo a la definición tenemos

p′(d) = lı́mh→ 0

p(d + h)− p(d)h

= lı́mh→ 0

(1

33(d + h) + 1

)−(

133

d + 1)

h

= lı́mh→ 0

(1

33d +

133

h + 1)−(

133

d + 1)

h= lı́m

h→ 0

133

h

h=

133

.

(ii) El modelo se expresa como sigue: la presión sobre el submarino a unaprofundidad de d metros bajo la superficie del agua, cambia a razón de

p′(d) =133

atmósferas por metro

Ejemplo 4.2.4. (Producción de petró-leo). La cantidad de petróleo (en millonesde barriles) producido en el Perú entre losaños 2001 y 2004 es modelada por la si-guiente función

f (x) = −1.6x2 + 15.6x− 6.4 ,

donde x es el número de años desde ini-cios del año 2000. s

hahri

ars

hahabi.

com

(i) Hallar la fórmula parad fdx

.

(ii) Evaluar la derivada en el punto x = 3.5.

(iii) Interpretar la derivada del ítem (ii).


Solución. (i) De acuerdo a la definición tenemos

d fdx

= lı́mh→ 0

f (x + h)− f (x)h

= lı́mh→ 0

[− 1.6(x + h)2 + 15.6(x + h)− 6.4

]−[− 1.6x2 + 15.6x− 6.4

]h

= lı́mh→ 0

h(−3.2x− 1.6h + 15.6)h

= lı́mh→ 0

(−3.2x− 1.6h + 15.6) = −3.2x + 15.6

O sea, la fórmula para la derivada es f ′(x) = −3.2x + 15.6

(ii) Evaluandod fdx

en x = 3.5 tenemos

d fdx

∣∣∣∣x=3.5

= −3.2(3.5) + 15.6 = 4.4

(iii) Significa que a mitad del año 2003, la cantidad de barriles producido porlos peruanos, tuvo una razón de cambio de 4.4 millones de barriles por año.

RELACIONANDO LAS GRÁFICAS DE f Y f ′

Debido a las definiciones (4.2.1) y (4.2.2), conociendo una fórmula explícitapara f (x), podemos hallar la fórmula para f ′(x). Sin embargo, la derivada f ′(x)también se puede describir de otras maneras: gráficamente y mediante una data.

Por ahora pensaremos de la derivada en un punto de la gráfica en términosde pendiente. A continuación describiremos gráficamente a f ′ conociendo el com-portamiento de las pendientes en varios puntos de la gráfica de f .

Ejemplo 4.2.5. Grafiquemos a la función f ′ (ver figura (b)) conociendo la grá-fica de la función f (ver figura (a)).

x

y

x

y

A

2

3

4

5

2

3

4

5

1pendiente 0

pendiente -1

pendiente -1

pendiente 0

pendiente1

pendiente 4

-11 2 3 4 5 6 7

A´

B´C´D´ E´

F´

´ pendiente( (

-1

y´= f ´ ((xy = f ((x

BC

D

EF

(a) (b)


Solución. Dibujamos un sistema de coordenadas teniendo como eje horizon-tal al eje x y como eje vertical a las pendientes (ver figura (b)). A continuacióncalculamos la pendiente a la gráfica de f en varios puntos, ubicando los corres-pondientes valores de las pendientes en el nuevo sistema. En el punto A(0, f (0))la gráfica de f tiene pendiente 4, o sea, f ′(0) = 4. En el punto B, la gráfica de ftiene pendiente 1, es decir, f ′ = 1 en B′ y podemos continuar con este razona-miento.

Podemos completar nuestra estimación de la gráfica de f ′ uniendo los puntosdibujados mediante curvas continuas.

Aunque no tenemos fórmulas para f y f ′, cada gráfica revela informaciónimportante acerca de la otra. En particular, notemos que f decrece cuando f ′ esnegativa y crece cuando f ′ es positiva. Cuando f ′ = 0, la gráfica de f tiene unatangente horizontal, comportandose de creciente para decreciente (en el punto C)o de decreciente para creciente (en el punto F).

Ejemplo 4.2.6. (Graficando f a partir de f ′). Graficar la función f con lassiguientes propiedades:

(i) f (0) = 0.

(ii) La gráfica de f ′ es como se muestra en la figura (a).

(iii) f es continua para todo x.

x x

y

-2

-2 -2

-2

y´= f ´ ((xy´

2

2

2

2y = f ((x

(a) (b)

Solución. Para que se cumpla la condición (i) comenzamos con un punto enel origen.

Usemos la condición (ii) notando que la gráfica de la derivada f ′ muestra lasrespectivas pendientes.

A la izquierda de x = 1 la gráfica de f tiene pendiente constante igual a −1;por tanto, a la izquierda de x = 1 podemos dibujar un segmento de recta conpendiente −1. Este segmento pasa necesariamente por el origen.

A la derecha de x = 1 la gráfica de f tiene pendiente constante igual a 2; portanto, a la derecha de x = 1 podemos dibujar un segmento de recta con pendiente


2. Este segmento corta necesariamente al eje x. Existen muchas formas de elegiresta última recta, pero sólo una de ellas contiene el punto (1,−1). La gráfica de fse muestra en la figura (b).

Observación 4.2.1. No olvidemos que la derivada f ′(a) es la razón de cambioinstantáneo de y = f (x) con respecto a x cuando x = a. Este valor se lee

f ′(a)unidades de y

por cada unidad de x

Si dibujamos la curva y = f (x), entonces la razón de cambio instantáneo es lapendiente de la tangente a esta curva en el punto x = a. Esto significa que cuan-do la derivada es positiva, los valores y crecen, mientras que si la derivada esnegativa, los valores y decrecen (el análisis de crecimiento y decrecimiento entérminos de la derivada estudiaremos detalladamente en el próximo capítulo 5).

Ejemplo 4.2.7. (Producción de oro). El costo de producir x gramos de oro deuna nueva minera es C = f (x) dólares.

(i) ¿Qué significa la derivada f ′(x)?¿Cuáles son sus unidades?

(ii) ¿Qué significa la afirmaciónf ′(800) = 17?

(iii) ¿Se puede asegurar que la produc-ción aumenta?, ¿o resulta que la pro-ducción disminuye?

Solución. (i) La derivada f ′(x) es la razón de cambio instantáneo de C conrespecto a x, o sea f ′(x) es la razón de cambio del costo de la producción de oropor cada gramo producido. (Los economistas llaman a esta razón de cambio costomarginal. Esta idea será discutida con más detalle en el capítulo 5). El valor f ′(x)se lee

f ′(x)dólaresgramo

.

(ii) La ecuación f ′(800) = 17 significa que luego de producir 800 gramos deoro, la razón en la cual la producción se incrementa es de 17 dólares/gramo.

(iii) Debido a que la derivada f ′(800) es positiva, la razón de cambio en elcosto de producción se incrementa (por gramo) para cantidades próximas de 800gramos. Es probable que para grandes cantidades el costo de producción dismi-nuya.


DESCRIBIENDO LA DERIVADA A PARTIR DE UNA DATA

Puntos discretos de una data pueden ser ubicados en el plano, pero estos nodescriben necesariamente una curva continua. Sin embargo, estos puntos en suconjunto arrojan buena información que permiten hallar (mediante técnicas deregresión) una función pasando por estos puntos. Una vez conseguida la funciónpodemos usar la curva para describir la derivada gráficamente como vimos en elejemplo 4.2.6. No obstante, también podemos derivar numéricamente a partir deuna data, calculando las pendientes entre puntos sucesivos.

Ejemplo 4.2.8. (Espectativa de vida).La expectativa de vida ha mejorado dra-máticamente en el siglo 20. La tabla a laderecha proporciona algunos datos parala expectativa de vida E(t) de varones re-cién nacidos (por año) en el Perú el año t.Estimar e interpretar los valores E′(1910)y E′(1950).

t E(t) t E(t)

1900 48.3 1950 65.6

1910 51.1 1960 66.6

1920 55.2 1970 67.1

1930 57.4 1980 70.0

1940 62.5 1990 71.8

Solución. Usando los cocientes incrementales podemos estimar la espectati-va de vida entre los años 1900 y 1920. Sea

A =E(1900)− E(1910)

1900− 1910=

48.3− 51.1−10

= 0.28

y

B =E(1920)− E(1910)

1920− 1910=

55.2− 51.110

= 0.41

Entonces

E′(1910) = lı́mt→ 1910

E(t)− E(1910)t− 1910

≈ A + B2

= 0.345

Esto significa que la espectativa de vida de los nacidos en 1910 se va incremen-tando a razón de 0.345 años/año.

Para 1950 podemos hacer lo mismo ubicandonos entre los años 1940 y 1960,de esta manera obtenemos

E′(1950) ≈ 0.31 + 0.102

= 0.205

Esto significa que la espectativa de vida de los nacidos en 1950 se incrementa arazón de 0.205 años/año.


Ejemplo 4.2.9. Use la figura abajo para estimar dT/dh en h = 30 y h = 70,donde T es la temperatura atmosférica (en grados Celcius) y h es la altitud enkilómetros. ¿Cuándo dT/dh es igual a cero?

-100

-50

0

50

100

150

200

250

5010 100 150

Tro

pósf

era

Est

rató

sfer

a

Mes

ósf

era

Ter

mósf

era

Temperatura

C( (

Altitud km( (

T en

h en

Solución. En h = 30 km la gráfica de la temperatura de la atmósfera aparececomo una recta pasando a través de los puntos (23,−50) y (40, 0). La pendientede este segmento de la gráfica es

0− (−50)40− 23

=4017

= 2.94

Así quedTdh

∣∣∣∣h=30≈ 2.94 ◦C/km

En h = 70 km la gráfica de la temperatura de la atmósfera aparece como unarecta pasando a través de los puntos (58, 0) y (88,−100). La pendiente de estesegmento de la gráfica es

−100− 088− 58

=−100

30= −3.3

Así quedTdh

∣∣∣∣h=70≈ −3.33 ◦C/km

Por otro lado, dT/dh = 0 en los puntos donde la gráfica es constante, lo cual su-cede en el intervalo [13, 23]. Este comportamiento también se tiene en los puntospróximos de h = 50 y h = 90.


DERIVADAS LATERALES

Una función y = f (x) es diferenciable en un intervalo cerrado [a, b] si esderivable en todo punto interior del intervalo, y si existen los límites

f ′(a+) = lı́mh→ 0+

f (a + h)− f (a)h

la derivada a derecha de a

f ′(b−) = lı́mh→ 0−

f (b + h)− f (b)h

la derivada a izquierda de b

En la derivada a derecha, h es positivo y a + h se aproxima por la derecha de a.En la derivada a izquierda, h es negativo y b + h se aproxima a b por la izquierda.

La figura abajo muestra el comportamiento de estos límites.

a a h+ bb h+

h >0 h >0

lima h+f ( (- af ( (

hh 0+

lim b h+f ( (- bf ( (

hh 0-

x

Derivadas a izquierda y a derecha se pueden definir en un punto del dominiode la función. La relación usual entre la derivada en un punto y las derivadaslaterales nos da el siguiente resultado

Proposición 4.2.10. La función f es derivable en a si y sólo si f ′(a−) = f ′(a+). En estecaso

f ′(a) = f ′(a−) = f ′(a+) .

Ejemplo 4.2.11. Mostremos que la función

f (x) =

{x2 si x ≤ 0

x si x > 0

admite derivadas a izquierda y a derecha en x = 0, pero no es derivable en x = 0.


Solución. Hallemos la derivada a izquierda:

f ′(0−) = lı́mh→ 0−

f (0 + h)− f (0)h

=(0 + h)2 − 02

h= lı́m

h→ 0−

h2

h= 0

Hallemos la derivada a derecha:

f ′(0+) = lı́mh→ 0+

f (0 + h)− f (0)h

=(0 + h)− 02

h= lı́m

h→ 0−

hh= 1 .

Desde que la derivada a izquierda es igual a 0 y la derivada a derecha es igual a1, podemos afirmar que la función no es derivable en x = 0.

Ejemplo 4.2.12. Analizar la derivabilidad de f en todo su dominio.

f (x) =

{3x2 + 2x + 1 si x > 0

5− 4√−x + 1 si x ≤ 0

Solución. Para x > 0 la función f (x) = 3x2 + 2x + 1 es claramente deriva-ble por ser polinómica. También, para x < 0 la función f (x) = 5 − 4

√−x + 1

es derivable por ser composición de funciones derivables. Veamos finalmente laderivabilidad en x = 0.

lı́mx→ 0+

f (x)− f (0)x− 0

= lı́mx→ 0

(3x2 + 2x + 1)− 1x− 0

= lı́mx→ 0

x(3x + 2)x

= lı́mx→ 0

(3x + 2)

= 2 .

lı́mx→ 0−

f (x)− f (0)x− 0

= lı́mx→ 0

(5− 4√−x + 1)− 1

x− 0

= lı́mx→ 0

4(1−√−x + 1 )x

= lı́mx→ 0

4(1−√−x + 1 )(1 +

√−x + 1 )

x(1 +√−x + 1 )

= lı́mx→ 0

4[1− (−x + 1)

]x(1 +√−x + 1

)= lı́m

x→ 0

4

1 +√−x + 1

= 2

y la función resulta derivable en x = 0 .


4.3. Propiedades de la Derivada

En las secciones anteriores hemos discutido algunos ejemplos de motivaciónsobre derivadas. La definición de derivada en término de límites permitió conse-guir algunas derivadas de funciones polinómicas. A continuación presentaremosalgunas fórmulas para derivar de manera fácil diversas funciones tales como: po-tencias, adición, sustracción, productos y cocientes.

DERIVADA DE FUNCIONES CONSTANTES

Recordemos que una función constante tiene la forma f (x) = b y se repre-senta gráficamente como una línea horizontal. En este caso no se tiene cambio enningún punto, o sea, la razón de cambio de la función constante es cero.

Teorema 4.3.1. (Derivada de la función constante).

Si f (x) = b, entonces f ′(x) = 0 .

Ejemplo 4.3.2. Las derivadas de f (x) = 2 y g(x) =√

2 son

f ′(x) = 0 y g′(x) = 0 .

Ejemplo 4.3.3. Calcular f ′(x) en cada caso:

(i) f (x) =√

3 (ii) f (x) = sen 1 (iii) f (x) = π (iv) f (x) = e2 .


Ejemplo 4.3.4. La velocidad de un au-tomovil cuando el velocímetro marca 45kph, puede ser modelada por la función

v(t) = 45 kph

donde t es el tiempo en minutos. Ver figu-ra a la derecha. 25 50 75 100

40

45

50

t minutos

v(t) kph

Lord Barrera - Sección 4.3. Propiedades de la Derivada 281

La razón de cambio de la velocidad (la ace-leración) en cualquier tiempo es

v′(t) = 0 kph

donde t es el tiempo en minutos. Ver figu-ra a la derecha.

25 50 75 1000

0.5

1

t minutos

v´(t) kph

-0.5

-1

DERIVADA DE POTENCIAS

En el ejemplo 4.2.9, al utilizar la definición para derivar f (x) = x2 llegamosa f ′(x) = 2x. También podemos usar la regla general para hallar la derivada def (x) = xn, esta es precisamente f ′(x) = nxn−1 como vemos a continuación

Teorema 4.3.5. (Derivada de una potencia). Si f (x) = xa

f ′(x) = axa−1 donde a es un número real no nulo .

Ejemplo 4.3.6. La derivada de f (x) = x2 es

f ′(x) = 2x2−1 = 2x.

Ejemplo 4.3.7. La derivada de f (x) = x7 es

f ′(x) = 7x7−1 = 7x6 .

Ejemplo 4.3.8. La derivada de f (x) = x1/3 es

f ′(x) =13

x1/3−1 =13

x−2/3.


Ejemplo 4.3.9. Calculemos la derivada de f (x) =√

x .

Solución. Otra manera de expresar esta función es

f (x) =√

x = x1/2

entoncesf ′(x) =

12

x1/2−1 =12

x−1/2 =1

2√

x.

Ejemplo 4.3.10. Calculemos la derivada de f (x) =1x

.

Solución. Otra manera de expresar esta función es

f (x) =1x= x−1

entoncesf ′(x) = (−1)x−1−1 = −x−2 = − 1

x2.

DERIVADA DE CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN

Todas las funciones usadas en este texto están multiplicadas por constantes. Siusamos la definición de derivada podemos ver que al derivar la función h(x) =c f (x), entonces h′(x) = c f ′(x).

Teorema 4.3.11. (Derivando una constante por función). Si h(x) = c f (x), enton-ces

h′(x) = c f ′(x) donde c es un número real .

Ejemplo 4.3.12. Calculemos la derivada de f (x) = 4x5 .

Solución. Aplicando la regla anterior resulta

f ′(x) = 4 (x5)′ = 4 (5x4) = 20x4 .

Ejemplo 4.3.13. Calculemos la derivada de f (x) = 10x3 .

Solución. Aplicando la regla anterior resulta

f ′(x) = 10 (x3)′ = 10 (3x2) = 30x2 .


Ejemplo 4.3.14. Calculemos la derivada de f (x) =x2

3.

Solución. Para poder derivar expresamos

f (x) =x2

3=

13

x2

luego

f ′(x) =13(x2)′ =

13(2x) =

2x3

.

Ejemplo 4.3.15. Calcular la razón de cambio de la velocidad de escape

vesc = (2.82× 107)r−1/2 m/s

con respecto a la distancia r del centro de la Tierra.

Solución. La razón de cambio de la velocidad de escape es

v′esc = −1.41× 107r−3/2 m/s2 .

Ejemplo 4.3.16. Para determinar la dósis de una droga, un médico estima queel área de la superficie corporal de una persona (ASC) (en metros cuadrados) escalculada por la fórmula ASC =

√hm/60 donde h es la altura en centímetros y m

es la masa en kilogramos. Calcular la razón de cambio del ASC con respecto a lamasa de una persona de altura constante h = 180. ¿Cuál es la razón de cambio enm = 70 y m = 80? Expresar el resultado en las correspondientes unidades.

Solución. Asumiendo la altura constante h = 180 cm, entonces el área de lasuperficie corporal en términos del peso es

f (m) =

√hm

60=

√5

10√

m .

La razón de cambio del ASC con respecto a la masa es

f ′(m) =

√5

10

(12

m−1/2)=

√5

20√

m.

Cuando m = 70 kg, se tiene

f ′(70) =

√5

20√

70=

√14

20√

280≈ 0.0133631

m2

kg.

Si m = 80 kg, se tiene

f ′(80) =

√5

20√

80=

1

20√

16=

180

m2

kg.


DERIVADA DE SUMAS Y DIFERENCIAS

A continuación describimos otras reglas algebraicas que nos permitirán deri-var funciones más generales como polinomios y otras funciones no algebraicas.

Teorema 4.3.17. (Derivando la suma y la diferencia).

(i) Si h(x) = f (x) + g(x), entonces h′(x) = f ′(x) + g′(x).

(ii) Si h(x) = f (x)− g(x), entonces h′(x) = f ′(x)− g′(x).

Ejemplo 4.3.18. La derivada de f (x) = x3 + 2x es

f ′(x) = (x3)′ + (2x)′ = 3x2 + 2(x)′ = 3x2 + 2 .

Ejemplo 4.3.19. La derivada de f (x) = x2 − 2x5 es

f ′(x) = (x2)′ − (2x5)′ = 2x− 10x4 .

Ejemplo 4.3.20. La derivada de f (x) = 1− 2x2 + x5 es

f ′(x) = (1)′ − 2(x2)′ + (x5)′ = 0− 2(2x) + 5x4 = −4x + 5x4 .

Ejemplo 4.3.21. La derivada de f (x) =√

x− x2

2+ x4 es

f ′(x) = (√

x)′ − 12(x2)′ + (x4)′ =

12√

x− x + 4x3 .

Ejemplo 4.3.22. Una bala es disparada verticalmente hacia arriba desde elpiso con velocidad inicial de 200 m/s. Hallar la máxima velocidad de la bala y sualtura máxima.

Solución. Utilizamos la fórmula de Galileo

s(t) = s0 + v0t− 12

gt2 = 200t− 4.9t2

donde el tiempo t está en segundos (s) y la altura h en metros (m). La velocidades

v(t) = 200− 9.8t


La máxima velocidad de 200 m/s ocurre cuando t = 0, que es precisamente lavelocidad inicial. La bala alcanza su máxima altura cuando

v(t) = 200− 9.8t = 0 o sea t ≈ 20.41 s

En este punto la altura es 2040.82 m/s.

Ejemplo 4.3.23. Las costos de man-tenimiento de páginas web en el Perúdesde el 2000 hasta el 2007 están mo-delados por la función

C(t) = 4.554t2 − 0.625t + 366.875

donde t es el número de años desde el2000, o sea, 0 ≤ t ≤ 7. u

n.o

rg

Estos costos de mantenimiento (en dólares) son dados como promedios anua-les.

Año 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

Costo 360 375 390 420 420 465 540 585

(i) Hallar la razón de cambio para la función costo con respecto al tiempo.

(ii) Use la razón de cambio de la parte (i) para hallar la razón de cambio delcosto de mantenimiento de páginas web que hubo el año 2005.

Solución. (i) Calculando la derivada de C tenemos

C′(t) = 2(4.554t)− 0.625 = 9.108t− 0.625

Por lo tantoC′(t) = 9.108t− 0.625 dólares por año

(ii) Evaluando la derivada en t = 5 resulta

C′(5) = 9.108(5)− 0.625 = 44.915 dólares por año

O sea, en el año 2005, la tasa de cambio para el costo de mantenimiento fue de44.915 dólares por año.


Ejemplo 4.3.24. En macroeconomía, para una economía cerrada se tiene que

Y = C + I,

donde Y es el ingreso nacional, C es el consumo e I es la inversión. Si el consumodepende linealmente del ingreso nacional, es decir, se cumple

C = a + bY

donde a y b son constantes. Aquí C′(Y) = b se llama propensión marginal de con-sumo y por lo general esta constante varía entre 0 y 1. Si queremos determinar elingreso nacional como una función que depende de la inversión, obtenemos

Y = a + bY + I que equivale a Y(I) =a + I1− b

Al derivar Y(I) conseguimos

Y′(I) =ddI

(a

1− b+

I1− b

)=

11− b

Este último resultado se interpreta diciendo que el incremento de una unidad deI permite el incremento de Y en 1/(1− b) > 0 unidades.

Ejemplo 4.3.25. Hallar los puntos de la curva

y = x4 − 2x2 + 2

donde existen tangentes horizontales.

Solución. Las tangentes horizontales (si existen) ocurren en los puntos dondedy/dx = 0. Para hallar estos puntos tenemos que calcular dy/dx = 0.

dydx

=d

dx(x4 − 2x2 + 2) = 4x3 − 4x

Ahora bien, resolviendo

4x3 − 4x = 0 ⇔ 4x(x2 − 1) = 0 ⇔ x = 0, 1, −1

La curva tiene tangentes horizontales en x = 0, 1, −1. Los correspondientespuntos en la curva y = x4 − 2x2 + 2 son (0, 2), (1, 1) y (−1, 1).


DERIVADA DE LA EXPONENCIAL

La derivada de la función exponencial f (x) = ex es precisamente la mismafunción como se indica en el siguiente teorema:

Teorema 4.3.26. (Derivada de la exponencial).

Si f (x) = ex, entonces f ′(x) = ex

Ejemplo 4.3.27. La derivada de f (x) = 2ex es

f ′(x) = (2ex)′ = 2(ex)′ = 2ex .

Ejemplo 4.3.28. Calcular en cada caso f ′(x), donde

(i) f (x) = 3ex (ii) f (x) =ex

3(iii) f (x) =

2ex

5


En realidad, la regla para la exponencial no se aplica a todas las exponenciales.Más precisamente, la regla anterior es un caso especial del siguiente resultado

Teorema 4.3.29. (Generalizando el teorema anterior). Sea a > 0

Si f (x) = ax, entonces f ′(x) = ax ln a

Ejemplo 4.3.30. La derivada de f (x) = 2x es

h′(x) = 2x ln 2 .

Ejemplo 4.3.31. Calcular en cada caso f ′(x), donde

(i) f (x) = 5x (ii) f (x) =4x

3(iii) f (x) =

15x



Ejemplo 4.3.32. (Balance de una tarje-ta). Si las compras realizadas con una tar-jerta de crédito no se pagan en la fecha devencimiento, entonces los intereses a pa-gar se aplican sin tolerancia. En julio del2009 una persona tenía que pagar intere-ses del 0.062 % debido a una deuda acu-mulada. ra

dio

-canada.c

a

Supongamos que la deuda en los intereses es de 2000 soles.

(i) Hallar una función exponencial para el interés acumulado (valor futuro) ddías despues de iniciada la deuda.

(ii) ¿Cuál es la deuda luego de 30 días?

(iii) Escribir la fórmula de la derivada para la función de la parte (i).

(iv) ¿Cuál es la razón de cambio de la deuda luego de 30 días?

Solución. (i) Un modelo exponencial para el valor futuro de la tarjeta de cré-dito es

f (d) = 2000(1.00062d) soles

d días despues de iniciada la deuda.(ii) 30 días despues de la fecha de vencimiento, la deuda es

f (30) = 2037.54 soles

(iii) La fórmula derivada para la función f es

f ′(d) = 2000 ln(1.00062)(1.00062d) soles por día

o simplementef ′(d) ≈ 1240(1.00062d) soles por día

despues de d días.(iii) Despues de 30 días, el interés aumenta a razón de

f ′(30) = 1.26 soles por día .


DERIVADA DEL LOGARITMO NATURAL

Otra de las propiedades importantes se trata de la derivada del logaritmonatural. La derivada del logaritmo natural es 1 sobre la entrada.

Teorema 4.3.33. (Derivada del logaritmo). Si f (x) = ln x, donde x > 0, entonces

f ′(x) =1x

Ejemplo 4.3.34. La derivada de f (x) = 7 + 2 ln x es

f ′(x) = (7)′ + 2(ln x)′

= 0 + 2(

1x

)=

2x

Ejemplo 4.3.35. Calcular la derivada de f (x) = x− ln x.

Solución. Aplicando la regla para la diferencia:

f ′(x) = (x)′ − (ln x)′ = 1− 1x

.

Ejemplo 4.3.36. Calcular la derivada de f (x) = ex − ln x2

.

Solución. Aplicando la regla para la diferencia:

f ′(x) = (ex)′ −(

ln x2

)′= ex − 1

2x.

Ejemplo 4.3.37. En cada caso, calcular f ′(x)

(i) f (x) = x2 − ln x2

(ii) f (x) =√

x− ln x (iii) f (x) = 2x3 − 5 ln x



Ejemplo 4.3.38. (Programa de adelga-zamiento). Un sitio web sobre plan deadelgazamiento anuncia el siguiente avi-so: “después de seguir nuestro plan dedietas, usted puede sentirse a gusto con sucuerpo, porque? Usted disminuye su pe-so porque nuestro plan de alimentación lepermite eliminar suficientes calorías. to

pnew

s.in

Como una guía general, aquí mencionamos las razones promedias óptimasde una rápida pérdida de peso”.

Peso del cuerpo (en kg) Pérdida de peso (en kg)

140 1.1

150 2

180 3

220 4

Podemos pensar de las entradas como los valores 10, 20, 50 y 90 kg, que vienende restar en la primera columna 130 kg en cada peso corporal. La óptima pérdidade peso semanal se modela como sigue:

p(w) = −1.875 + 1.284 ln w kg

donde w + 130 es el peso del cuerpo y 10 ≤ w ≤ 90.

(i) Hallar un modelo para la razón de cambio en la óptima pérdida de pesosemanal.

(ii) ¿Cuál es la óptima pérdida de peso semanal de una persona que tiene unpeso corporal de 200 kg?

(iii) ¿Cuál es la razón de cambio en la óptima pérdida de peso semanal para unapersona con un peso corporal de 200 kg?

Solución. (i) Derivando obtenemos

p′(w) =d

dw[−1.875 + 1.284 ln w] =

1.284w


La razón de cambio de la óptima pérdida de peso semanal es dada por

p′(w) =1.284

wpor cada kilo

donde w + 130 es el peso del cuerpo sometido a dieta y 10 ≤ w ≤ 90.(ii) La óptima pérdida de peso semanal para un cuerpo de 200 kg sometido a

dieta esp(200− 130) = −1.875 + 1.284 ln(70) = 3.58 kg

(iii) p′(70) = 0.018 kg por cada kilo del cuerpo.En un cuerpo con un peso de 200 kilos, la óptima pérdida de peso semanal

aumenta a 0.018 kg por cada kilo del cuerpo. Esto significa que una persona de201 kilos pierde un poco más de peso que una persona de 200 kilos.

DERIVADA DEL PRODUCTO

Derivar el producto ( f .g)(x) = f (x)g(x) ¡es para tener más cuidado!

Teorema 4.3.39. (Regla del producto). Si f y g son derivables en x, entonces

( f .g)′(x) = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x) .

Ejemplo 4.3.40. Derivemos la función h(x) = x2ex.

Solución. Esta función puede verse como un producto

h(x) = f (x)g(x)

donde f (x) = x2 y g(x) = ex. De acuerdo a la regla del producto tenemos

h′(x) = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x)

Desde quef ′(x) = 2x y g′(x) = ex

entoncesh′(x) = (2x)ex + x2(ex) = xex(2 + x) .

Ejemplo 4.3.41. Derivemos la función f (x) = x ln x.

Solución. Tenemos

f ′(x) = (x)′ ln x + x(ln x)′ = ln x + x1x= ln x + 1 .


Ejemplo 4.3.42. (Produciendo huevosen una granja). En marzo del 2010 ungranjero tenía 20,000 gallinas y aumentósu camada a razón de 400 gallinas pormes. En esa misma fecha, cada gallinadel campesino podía producir 22 huevosmensualmente y la razón de cambio deproducción de cada gallina fue de 0.2 hue-vos por gallina. c

es.n

csu.e

du

(i) Use la notación funcional para escribir la producción mensual de huevosy la razón de cambio de esta producción mensual con respecto al tiempo.Aquí, m = 0 corresponde a diciembre del 2009.

(ii) ¿Cuántos huevos ha producido el granjero en marzo del 2010?

(iii) ¿Qué tan rápido se desarrollaba la producción de huevo en marzo del 2010?Interpretar este resultado

Solución. (i) La cantidad producida de huevos mensualmente es el productode la cantidad de gallinas mensual f (m) con la cantidad g(m) de huevos queproduce cada gallina mensualmente:

Producción de huevos = f (m) · g(m) = ( f · g)(m)

Aplicando la regla del producto llegamos a la fórmula para la razón de cambioen la producción de huevos:

d( f · g)dm

=d fdm· g(m) + f (m) ·

dgdm

(ii) En marzo del 2010, m = 3. Así que

Producción de huevos = f (3) · g(3)= (20, 000 gallinas)(22 huevos por gallina)

= 440, 000 huevos

(iii) La razón de cambio para la cantidad de gallinas producidas en marzo del2010 es

d fdm

∣∣∣∣m=3

= 400 gallinas por mes


y la razón de cambio para la cantidad de huevos producidos por gallina en marzodel 2010 es

dgdm

∣∣∣∣m=3

= 0.2 huevos por gallina

Así que la razón de cambio para la producción de huevos se calcula como

d( f · g)dm

=d fdm

∣∣∣∣m=3·g(3) + f (3) ·

dgdm

∣∣∣∣m=3

=

(400

gallpor mes

)(22

huevospor gall

)+ (20, 000 gall)

(0.2

huevos/gallen el mes

)= 12, 800

huevospor mes

.

O sea que en marzo del 2010 la producción de huevos se incrementó a 12,800huevos por mes.

Ejemplo 4.3.43. (Ingresos en una em-presa de alta costura). El ingreso mensualen una empresa de modas de alta costuraen el tiempo t es

I(t) = N(t)S(t)

donde N(t) es el número de tiendas y S(t)es el ingreso promedio mensual por tien-da. La empresa ejecuta dos campañas: b

eauty

008.e

n.m

ade-

in-c

hin

a.co

m

(1) La apertura de nuevas tiendas a razón de 5 tiendas mensuales.

(2) Publicitar más con la finalidad de incrementar el ingreso promedio mensuala razón de 10,000 soles mensuales.

Suponga que N(0) = 50 y S(0) = 150, 000 soles.

(i) Muestre que el ingreso total se incrementa a razón de

dIdt

= 5S(t) + 10, 000N(t)

Note que los dos términos en la regla del producto corresponden a los efec-tos separados de aumento del número de tiendas por un lado, y por el otrodel ingreso promedio mensual por tienda.


(ii) CalculardIdt

∣∣∣∣t=0

.

(iii) Si la empresa puede ejecutar sólo una de las campañas en t = 0, ¿qué elec-ción produce aumento de ingresos de forma más rápida?

Solución. (i) Como I(t) = N(t)S(t) se sigue que

dIdt

= N(t)S′(t) + S(t)N′(t)

Desde que N′(t) = 5 tiendas mensuales y S′(t) = 10, 000 soles mensuales, setiene

dIdt

= 5S(t) + 10, 000N(t) .

(ii) Usando la parte (i) y teniendo los valores N(0) y S(0), obtenemos

dIdt

∣∣∣∣t=0

= 5(150, 000) + 10, 000(50) = 1′250, 000 .

(iii) De la parte (ii) vemos que los dos términos contribuyen al incremento enel ingreso total. El término 5S(0) es mayor que el término 10, 000N(0); así quela empresa podía ejecutar sólo la primera campaña para obtener aumento másrápido en su ingreso total.

Ejemplo 4.3.44. (Química). La Ley de Boyle para los gases perfectos estableceque a temperatura constante se tiene la ecuación pV = K, donde p es la presión,V el volumen y K una constante. Si la presión está dada por la expresión p(t) =40+ 2t con p en cm de Hg, el tiempo t en segundos, y el volumen inicial es 65 cm3.Determinar la razón de cambio del volumen V con respecto al tiempo t a los 10segundos.

Solución. Como la presión y el volumen son funciones de t, la Ley de Boyleestablece:

p(t)V(t) = K ∀ t ≥ 0 (4.3.1)

Derivando ambos miembros de la igualdad (4.3.1) se obtiene

d(pV)

dt=

dKdt

∀ t ≥ 0 (4.3.2)

En el primer miembro tenemos la derivada de un producto y en el segundomiembro de una constante, por tanto:

pdVdt

+ Vdpdt

= 0 ⇒ dVdt

= −Vp

dpdt


Como nos interesa calcular en el tiempo t = 10, se sigue que

dVdt

∣∣∣∣t=10

= −V(10)p(10)

dpdt

∣∣∣∣t=10

(4.3.3)

Por otro lado,

60V(10) = p(10)V(10) = K = p(0)V(0) = (40)(65)

que implica

V(10) =(40)(65)

60=

1303

Reemplazando esto último en la relación (4.3.3) se obtiene

dVdt

∣∣∣∣t=10

= −V(10)p(10)

dpdt

∣∣∣∣t=10

= − 1303(60)

(2) = −1.44cm3

seg

DERIVADA DEL COCIENTE

Para completar las reglas básicas de derivación veamos otra de las importan-tes fórmulas que nos permite derivar funciones que se expresan como cociente deotras dos.

Teorema 4.3.45. (Regla del cociente). Si f y g son derivables en x con g′(x) ̸= 0,entonces (

fg

)′(x) =

f ′(x)g(x)− f (x)g′(x)[g(x)]2

.

Ejemplo 4.3.46. Derivemos la función f (x) =ex

x2.

Solución. Esta función puede verse como el cociente

f (x) =g(x)h(x)

donde g(x) = ex y h(x) = x2. De acuerdo a la regla del cociente tenemos

f ′(x) =g′(x)h(x)− g(x)h′(x)

[h(x)]2

Desde que g′(x) = ex y h′(x) = x2, se tiene

f ′(x) =ex(x2)− ex(2x)

x4=

xex(x− 2)x4

=ex(x− 2)

x3


Ejemplo 4.3.47. En cada caso, hallar f ′(x)

(i) f (x) =1x

(ii) f (x) =xex (iii) f (x) =

x3

ln x(iv) f (x) =

1ex


DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Muchos problemas reales son modelados por funciones trigonométricas. Porejemplo, el movimiento de un péndulo es periodico y puede ser descrito usan-do una combinación de senos y cosenos. Nuestro primer resultado consiste decalcular la derivada del seno.

Teorema 4.3.48. (Derivada del seno).

ddx

(sen x) = cos x

Ejemplo 4.3.49. Derivemos la función f (x) = x2 sen x.

Solución. Utilizando el resultado anterior y la regla del producto tenemos

f ′(x) =d

dx(x2 sen x)

=d

dx(x2)(sen x) + (x2)

ddx

(sen x) = 2x sen x + x2 cos x

Ejemplo 4.3.50. Derivemos la función f (x) = ex sen x.

Solución. Utilizando la regla del producto tenemos

f ′(x) =d

dx(ex sen x)

=d

dx(ex)(sen x) + (ex)

ddx

(sen x) = ex sen x + ex cos x


(i) f (x) =sen x

2(ii) f (x) = x sen x (iii) f (x) =

sen xx



Teorema 4.3.52. (Derivada del coseno).

ddx

(cos x) = − sen x

Ejemplo 4.3.53. Derivemos la función f (x) = x cos x.


f ′(x) =d

dx(x cos x)

=d

dx(x)(cos x) + (x)

ddx

(cos x)

= cos x− x sen x.

Ejemplo 4.3.54. Derivemos la función f (x) = ex cos x.


f ′(x) =d

dx(ex cos x)

=d

dx(ex)(cos x) + (ex)

ddx

(cos x)

= ex cos x− ex sen x .


(i) f (x) =cos x

5(ii) f (x) = x2 cos x (iii) f (x) =

cos xx


A continuación damos la lista completa de las reglas de derivación para fun-ciones trigonométricas

Teorema 4.3.56. (Reglas para derivar funciones trigonométricas).

(i)d

dx(sen x) = cos x (ii)

ddx

(cos x) = − sen x

(iii)d

dx(tg x) = sec2 x (iv)

ddx

(cotg x) = − csc2 x

(v)d

dx(sec x) = sec x tg x (vi)

ddx

(csc x) = − csc x cotg x


Ejemplo 4.3.57. (Luz de un faro). Secoloca un faro cerca de un edificio. Esteilumina la pared del edificio una longitudD, que es una función del ángulo θ forma-do por la horizontal y este haz de luz. Si elfaro se localiza a 50 m de la base del edi-ficio, hallar la razón en la cual cambia Dcon respecto a θ cuando θ = 45◦. Expresarla respuesta en unidades metros/grado.

50mq

Solución. Tenemos que D = 50 tg θ, que implica

dDdθ

= 50 sec2 θ

Si θ = 45◦, entonces

dDdθ

∣∣∣∣θ=45◦

= 50(√

2)2 = 100m

rad=

5π

9m◦S≈ 1.75

m◦S

Ejemplo 4.3.58. Desde un satélite seobserva una porción de la superficie de laTierra. El satélite tiene un sensor de hori-zonte que puede detectar el ángulo θ comose muestra en la figura derecha. Sea r el ra-dio de la Tierra (que se supone de formaesférica) y h la distancia desde el satélite ala superficie de la Tierra.

Satélite

Tierra

h

q

h

(i) Mostrar que h = r(csc θ − 1).

(ii) Usando r = 6378 km, hallar la razón con la que h cambia con respecto a θ

cuando θ = 30◦.

Solución. (i) En la figura del triángulo tenemos

sen θ =r

r + hque implica r + h = r csc θ y h = r(csc θ − 1) .

(ii) De la parte (i) tenemosdhdθ

= −r csc θ cotg θ. Si θ = 30◦, entonces

dhdθ

∣∣∣∣θ=30◦

= −6, 378(2)(√

3) = −22, 094kmrad≈ −386

km◦S

.


Ejemplo 4.3.59. Un avión vuela a lolargo de un camino horizontal a una al-tura de 3800 m como se muestra en lafigura derecha. ¿En qué razón, la dis-tancia s entre el avión y el punto fi-jo P cambia con respecto a θ cuandoθ = 30◦?

P q

s3800 m

Solución. De acuerdo a trigonometría elemental tenemos s = 3, 800 csc θ, asíque

dsdθ

= −3800 cotg θ · csc θ

Si θ = 30◦, entonces

dsdθ

∣∣∣∣θ=30◦

= −3800(2)(√

3) = −7600√

3m

rad=−380

√3π

9m◦S≈ −230

m◦S

.

DERIVADA DE SEGUNDO ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR

La derivada y′ = dy/dx se llama la primera derivada de y con respecto a x.la primera derivada puede ser a su vez diferenciable en x; así que su derivada

y′′ =dy′

dx=

ddx

(dydx

)=

d2ydx2

es llamada segunda derivada de y con respecto a x. Si y′′ (y-doble prima) es dife-renciable, su derivada

y′′′ =dy′′

dx=

d3ydx3

es llamada la tercera derivada de y con respecto a x. Podemos continuar esteprocedimiento y denotamos

y(n) =d

dxy(n−1)

a la n-ésima derivada de y con respecto a x.

Ejemplo 4.3.60. Hallar las derivadas de orden superior de la función

y = x3 + 7x2 + 5

Solución.

y′ = 3x2 + 14x y′′ = 6x + 14 y′′′ = 6 .


4.4. Velocidad y Análisis Marginal

En esta sección examinaremos algunas aplicaciones donde la función deriva-da representa la razón de cambio en modelos de nuestro mundo real. Es naturalpensar de la derivada como la razón de cambio con respecto al tiempo, pero otrasvariables pueden ser tratadas de la misma forma. Por ejemplo: cuando un médicoquiere saber cómo reacciona el cuerpo debido a la dósis de una droga; o tambiéncuando un economista pretende saber cómo cambia el costo de producción deacero dependiendo de la cantidad de toneladas producidas.

MOVIMIENTO A LO LARGO DE UNA RECTA

Ya vimos en la sección 4.1 a la derivada como la razón de cambio instantá-neo del desplazamiento con respecto al tiempo. A continuación extenderemos unpoco más estas ideas.

Supongamos que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta (digamos eleje s) así que expresamos a la posición s del objeto en la recta como función deltiempo t:

s = f (t)

El desplazamiento del objeto sobre el intervalo de tiempo de t a t + ∆t es

∆s = f (t + ∆t)− f (t)

que es la diferencia entre la posición que ocupa en el instante t+∆t, y la posiciónque ocupa en el instante t.

La velocidad promedio del objeto sobre este intervalo de tiempo es

vpr =desplazamientotiempo recorrido

=∆s∆t

=f (t + ∆t)− f (t)

∆t

y para hallar la velocidad del objeto en el instante t, tomamos el límite de la velo-cidad promedio sobre el intervalo [t, t + ∆t] cuando ∆t → 0. El límite es precisa-mente la derivada de s con respecto a t. Así tenemos

Definición 4.4.1. La velocidad instantánea es la derivada de la función posicións = f (t) con respecto al tiempo. En el tiempo t la velocidad es

v(t) =dsdt

= lı́m∆t→ 0

f (t + ∆t)− f (t)∆t

Lord Barrera - Sección 4.4. Velocidad y Análisis Marginal 301

Ejemplo 4.4.1. (Velocidad de un auto-movil). La figura de abajo muestra la grá-fica del tiempo versus distancia de un au-to de carrera modelo Riley and Scott 1996.La pendiente de la secante PQ es la velo-cidad promedio para un intervalo de 3 se-gundos, desde el instante de 2 segundoshasta los 5 segundos. En este caso lavelocidad es de 100 m/s. La pendiente de la tangente en P es leído por el velo-címetro en el instante de t = 2 s. Este marca una velocidad aproximada (en elpunto P) de 57 m/s. La aceleración durante cada segundo para el periodo mos-trado es de aproximadamente de 0.89 g, donde g es la aceleración de la gravedad.La máxima velocidad del auto (alcanzada en el punto Q) es de aproximadamente190 m/s.

100

200

300

400

500

600

700

800

1 2 3 4 5 6 7 8

La pendiente dela secante es lav e l o c i d a dpromedio parael intervalo de

t = 2 t = 5a

s

t

dis

tanci

a( e

n m

etro

s

(

P

QLa pendiente de latangente es leídapor el velocímetroen el instante 2 st =

Además de saber qué tan rápido se mueve un objeto, la velocidad mide ladirección del movimiento. Cuando el objeto se mueve hacia adelante (o sea, s escreciente), la velocidad es positiva; pero cuando el objeto se mueve hacia atrás (osea, s es decreciente), la velocidad es negativa.

En un auto, el velocímetro siempre muestra la rapidez, que es precisamente elvalor absoluto de la velocidad. La rapidez mide la magnitud del movimiento sinconsiderar la dirección.

Definición 4.4.2. La rapidez es el valor absoluto de la velocidad

Rapidez = |v(t)| =∣∣∣∣dsdt

∣∣∣∣


La razón con la que un objeto cambia su velocidad es llamada aceleración delobjeto. La aceleración mide el aumento o disminución de velocidad.

Definición 4.4.3. La aceleración es la derivada de la velocidad con respecto altiempo. Si la velocidad de un objeto en el instante t es v(t) = ds/dt, entonces laaceleración del objeto en el tiempo t es

a(t) =dvdt

=d2sdt2

Las cuatro nociones que hemos introducido: posición, velocidad, rapidez yaceleración, provee información para todo movimiento rectilíneo. Las siguientesobservaciones explican las conexiones que existen entre estas nociones funda-mentales:

(1) La velocidad positiva indica el movimiento en la dirección positiva (x escreciente). La velocidad negativa indica que el movimiento se desarrolla enla dirección negativa (s es decreciente).

(2) La aceleración positiva significa que la velocidad es creciente (rapidez cre-ciente en la dirección positiva, y rapidez decreciente en la dirección negati-va).

(3) Si la velocidad y la aceleración tienen el mismo signo, el objeto se muevemás rápido; pero si la velocidad y aceleración tienen signos opuestos, elobjeto se mueve cada vez más lento.

Ejemplo 4.4.2. Un objeto se mueve a lo largo de una línea recta. Su posiciónen el tiempo t (en segundos) es dada por

s(t) = t3 − 12t2 + 45t metros t ≥ 0 .

Estudiemos el movimiento entre t = 0 y t = 9.Solución. Debido a que

s(0) = (0)3 − 12(0)2 + 45(0) = 0,

el objeto comienza a moverse en el origen. Ahora bien, su posición en el instantet = 9 es

s(9) = (9)3 − 12(9)2 + 45(9) = 162,

es decir, se encuentra a 162 metros hacia adelante.


Para hallar la velocidad derivamos la función posición s(t).

v(t) = s′(t) = 3t2 − 24t + 45 = 3(t− 3)(t− 5)

Notemos que

v(t) es

positiva si 0 ≤ t < 30 si t = 3

negativa si 3 < t < 50 si t = 5

positiva si 5 < t

Interpretamos este resultado como sigue: el objeto inicia su movimiento haciaadelante (v(t) es positiva para 0 ≤ t < 3); luego se detiene en el tiempo t = 3(v(3) = 0); a continuación retrocede (v(t) es negativa para 3 < t < 5); este sedetiene en el tiempo t = 5 (v(5) = 0); finalmente avanza hacia adelante (v(t) > 0para 5 < t ≤ 9).

Para hallar la aceleración debemos derivar la velocidad:

a(t) = v′(t) = 6t− 24 = 6(t− 4)

Notemos que

a(t) es

negativa si 0 ≤ t < 4

0 si t = 4positiva si 4 < t ≤ 9

Esto significa que hasta los 4 segundos la velocidad decrece, alcanzando un mí-nimo en el tiempo t = 4; a continuación la velocidad crece y continúa creciendo.

Veamos a continuación la gráfica de lafunción s dependiendo de t. La velocidadv(t) = s′(t) aparece como pendiente de lacurva. De la figura vemos que tenemos ve-locidad positiva desde t = 0 hasta t = 3, lavelocidad es cero en t = 3; la velocidad esnegativa entre los instantes t = 3 y t = 5,anulandose en t = 5; finalmente la veloci-dad es positiva hasta el segundo t = 9.

t

s

54

50

3 5 9

162


ANÁLISIS MARGINAL

En economía es frecuente utilizar el concepto de “marginal” para referirnos ala variación o cambio que experimenta una función en el margen, es decir, paracambios muy pequeños de la variable a partir de cierto valor dado. Por ejemplo, elcosto marginal mide el cambio que experimenta la función de costo total cuandoa partir de cierto nivel de producción se aumenta o disminuye este nivel en unacantidad muy pequeña.

Si en una empresa se fabrica una unidad más del bien, se producirá un cambioen la función costo total, el incremento del costo total es

∆C∆x

=C(x + 1)− C(x)

1=

{variación absoluta de la función costopor producir una unidad más del bien

Supongamos que C(x) representa la cantidad de soles necesaria para producirx toneladas de acero en una semana. Es evidente que el costo aumenta cuando seproducen x + h toneladas por semana, en este caso la diferencia de los costosdividido por h es el costo promedio de producir cada tonelada adicional

C(x + h)− C(x)h

=

{es el costo promedio de cada

tonelada adicional h producida

El límite de esta razón cuando h → 0 es el costo marginal de producir másacero semanalmente cuando la producción actual es de x toneladas. Entonces

dCdx

= lı́mh→ 0

C(x + h)− C(x)h

= costo marginal de producción

Como x suele tomar sólo valores enteros, quizá no tenga sentido hacer queh tienda a cero, pero siempre podremos reemplazar a C(x) con una función sua-ve de aproximación. Por este motivo convenimos en considerar a las funcioneseconómicas como funciones de variable continua. Para aclarar un poco lo dichoanteriormente se razona así: si se toma h = 1 y x grande (de modo que h seapequeño en comparación con x), interpretamos el costo marginal como el costoaproximado de una unidad adicional producida y escribimos,

Costo marginal en x = C ′(x) ≈ C(x + 1)− C(x)

Entonces, el costo marginal de producir x unidades es aproximadamente igualal costo de elaborar una unidad más (la x + 1-ésima unidad).

El concepto económico de marginal se comúnmente con el concepto mate-mático de derivada en un punto. Más adelante relacionaremos el mismo con lasfunciones derivadas.


Ejemplo 4.4.3. (Fábricación de telas). Un fabricante produce rollos de telacon un ancho fijo. El costo (en soles) de producir x metros de tela es C(x) soles.

(i) ¿Cuál es el significado de la deriva-da C′(x)? ¿Cuáles son sus unidades?

(ii) En términos prácticos, ¿qué significadecir que C′(600) = 10?

(iii) ¿Cuál piensa que sea mayor C′(40) oC′(400)? ¿Qué se puede decir acercade C′(4000)? n

arro

w-f

abri

cs-s

tap.c

om

Solución. (i) Sabemos que la derivada C′(x) es la razón de cambio instantá-neo de C con respecto a x. Aquí C′(x) denota la razón de cambio del costo deproducción con respecto al número de metro producidos. Hemos mencionadoque los economistas llaman a esta razón de cambio, costo marginal.

Debido a que

C′(x) = lı́mh→ 0

C(x + h)− C(x)h

las unidades para C′(x) son las mismas que las del cociente incremental

C(x + h)− C(x)h

.

Puesto que C(x + h) − C(x) se mide en soles y h en metros, se deduce que lasunidades para C′(x) son las de soles por metros.

(ii) La ecuación C′(600) = 10 significa que, después de fabricar 600 metros detela, la razón a la cual aumenta el costo de producción es de 10 soles por metro.(Cuando x = 600, C(x) se incrementa diez veces más rápido que x). Como h = 1es pequeño en comparación con x = 600, podríamos usar la aproximación

C′(600) ≈C(x + 1)− C(x)

1=

C(x + 1)− C(x)1

= C(x + 1)− C(x)

y decir que el costo de fabricar el metro número 601 es de unos 10 soles. (Supo-nemos que la función de costo se porta bien; en otras palabras, C(x) no oscila conrapidez cerca de x = 600).

(iii) La razón con la que aumenta el costo de producción (por metro) quizáses menor cuando x = 400 que cuando x = 40 (el costo de fabricar el metro nú-mero 400 es menor que para el número 40) debido a las economías de escala (elfabricante usa con más eficiencia los costos fijos de producción). De este modof ′(40) > f ′(400). Pero a medida que se expande la producción, la operación a


gran escala resultante podría volverse ineficiente y haber costos por tiempo ex-tra. Por lo tanto, es posible que llegue un momento en que la razón de incrementode los costos empiece a elevarse. De modo que en algún momento puede sucederf ′(4000) > f ′(400).

Ejemplo 4.4.4. Suponga que el costoen soles de fabricar reproductores de dis-cos compactos portátiles es dado por

C(x) = 150, 000 + 20x− 0.0001x2

donde x es el número de reproductores dediscos fabricados. Hallar la función costomarginal C′(x) y estime el costo de fabri-car 50,001 reproductores de CD.

Solución. Desde que C(x) = 150, 000 + 20x− 0.0001x2, la función costo mar-ginal es

C′(x) = 20− 0.0002x

Las unidades de C′(x) son unidades de C (soles) por x unidades (de reproducto-res de discos). Así que C′(x) se mide en dólares por reproductor fabricado.

El costo adicional para los 50,0001 reproductores de discos resulta del costo ex-tra de incrementar la cantidad de 50,000 a 50,0001 unidades. Así que necesitamosconocer la tasa en la cual el costo total se incrementa debido a la producción. Estatasa se mide por la derivada, o costo marginal, el cual se calcula en x = 50, 000.Por tanto conseguimos

C′(50, 000) = 20− 0.0002(50, 000) = 10 soles por reproductor fabricado.

En otras palabras, se estima que 50,001 unidades de reproductores costará apro-ximadamente 10 soles.

Ingreso marginal y ganancia marginal. El ingreso I(x) y la ganancia G(x) sonfunciones del número de unidades vendidas. Las derivadas I′(x) y G′(x) de estasfunciones se llaman Ingreso marginal y ganancia marginal. Ellos miden la razónde cambio del ingreso y la ganancia con respecto a x.

Lord Barrera - Sección 4.5. Regla de la Cadena 307

4.5. Regla de la Cadena

En esta sección conoceremos una de las importantes reglas para derivar, setrata de la regla de la cadena y se emplea para derivar funciones compuestas.

En muchas situaciones prácticas, la razón por la que una cantidad cambia,puede ser expresada como el producto de otra dos razones. Por ejemplo, supon-gamos que un auto viaja a 60 km/h, donde a su vez, la gasolina se consume arazón de 0.1 gal/km. Entonces para saber la cantidad de gasolina que consumepor hora, tenemos que multiplicar dichas razones:(

0.1galkm

)(60

kmhr

)= 6

galhr

Esta es la idea básica de la regla de la cadena.


4.5.1. Motivación y Definición

Consideremos la siguiente situación: el costo de fabricación en una empresadepende del número de unidades producidas, esta cantidad depende a su vez dela cantidad de horas que se emplea en la empresa. Si C, q y t denotan el costo, lacantidad producida y el tiempo, respectivamente, entonces

dCdq

=

[razón de cambio del costocon respecto a la cantidad

](soles por unidad)

y

dqdt

=

[razón de cambio de la cantidad

con respecto al tiempo

](unidades por hora)

El producto de estas dos razones es la razón de cambio del costo con respecto altiempo, es decir,

dCdt

=dCdq

dqdt

(soles por unidad)

Esta fórmula es un caso especial del siguiente resultado importante:

Teorema 4.5.1. (Regla de la cadena). La derivada de la composición h = g ◦ f , defi-nida por h(x) = g[ f (x)], es

h′(x) = g′[ f (x)] f ′(x)

También, si escribimos u = f (x) e y = g(u) = g[ f (x)], entonces

dydx

=dydu

dudx

IMPORTANTE: una manera de recordar la regla de la cadena es notando que

las derivadasdydu

ydudx

son cocientes, de esta forma se debe cancelar du; esto es

dy

dx

dy

du

du

dx=


Para ilustrar la regla de la cadena, supongamos que queremos derivar la fun-ción

y = (2x + 1)2 .

Nuestra intuición nos puede apresurar a decir que

dydx

=d

dx[(2x + 1)2] = 2(2x + 1) = 4x + 2 (4.5.4)

Pero este cálculo ¡no es correcto! ya que del desarrollo

y = (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1,

tenemosdydx

=d

dx

[(2x + 1)2

]=

ddx[4x2 + 4x + 1

]= 8x + 4 (4.5.5)

y vemos en las relaciones (4.5.4) y (4.5.5) que los resultados son distintos. Sin em-bargo, podemos escribir y = (2x + 1)2 como y = u2, donde u = 2x + 1, entonces

dydu

=d

du(u2) = 2u y

dudx

=d

dx(2x + 1) = 2

y la regla de la cadena dice que

dydx

=dydu

dudx

= (2u)2 = (4x + 2)(2) = 8x + 4 (4.5.6)

Por tanto, el resultado en (4.5.6) coincide con el resultado en (4.5.5).

Ejemplo 4.5.2. Hallardydx

, donde y = (5x + 2)2 + 5x + 2.

Solución. Notemos que y = u2 + u, donde u = 5x + 2. Así que

dydu

= 2u + 1 ydudx

= 5

Luegodydx

=dydu

dudx

= (2u + 1)5 = 5[2(5x + 2) + 1] = 50x + 25 .

Ejemplo 4.5.3. El costo de producir x unidades de un producto es

C(x) =13

x2 + 4x + 53 soles

y la cantidad producida luego de t horas de trabajo de elaborar dicho productoes x(t) = 0.2t2 + 0.03t unidades. De que manera varía el costo con respecto altiempo luego de 4 horas?


Solución. Tenemos que

dCdx

=23

x + 4 ydxdt

= 0.4t + 0.03,

de acuerdo a la regla de la cadena tenemos

dCdt

=dCdx

dxdt

=

(23

x + 4)(0.4t + 0.03).

Cuando t = 4, el nivel de producción es

x(4) = 0.2(4)2 + 0.03(4) = 3.32 unidades

y sustituyendo t = 4 y x = 3.32 en la fórmuladCdt

, tenemos

dCdt

∣∣∣∣t=4

=

[23(3.32) + 4

] [0.4(4) + 0.03

]= 10.1277

Por tanto, luego de 4 horas, el costo se incrementa en 10.13 soles/hora aproxima-damente.

Observación 4.5.1. Algunas veces cuando tratamos con funciones compuestasy = g[ f (x)], podemos pensar de g como la “función externa” y de f como la“función interna” como se indica

y = g[f ( ) [x

función externa

función interna

Entonces la regla de la cadena

h′(x) = g′[ f (x)] f ′(x)

se lee: la derivada de h(x) = g( f (x)) con respecto a x, es la derivada de la funciónexterna evaluada en la función interna, multiplicada con la derivada de la función interna.

Ejemplo 4.5.4. Derivar la siguiente función f (x) =√

x2 + 5x.

Solución. La forma de la función es

f (x) = (�)1/2

donde � = x2 + 5x. Ahora bien,

(�)′ = (x2 + 5x)′ = 2x + 5


y de acuerdo a la regla de la cadena, la derivada de la función f (x) es

f ′(x) =12(�)−1/2(�)′

=12(�)−1/2(2x + 5)

=12(x2 + 5x)−1/2(2x + 5)

=2x + 5

2√

x2 + 5x.

Ejemplo 4.5.5. Sea y =

(2t− 1t2 + 1

)5

. Calculardydt

cuando t = 1.

Solución. Hacemos x =2t− 1t2 + 1

. Entonces

y = x5

Ademásdydx

= 5x4

y usando la regla de la cadena tenemos

dydt

=dydx

dxdt

= 5x4 ddt

(2t− 1t2 + 1

)= 5

(2t− 1t2 + 1

)4 ddt

(2t− 1t2 + 1

)

= 5(

2t− 1t2 + 1

)4

(t2 + 1)

ddt

(2t− 1)− (2t− 1)ddt

(t2 + 1)

(t2 + 1)2

= 5

(2t− 1t2 + 1

)4[(t2 + 1)(2)− (2t− 1)(2t)

(t2 + 1)2

]

= −10(t2 − t− 1)(2t− 1)4

(t2 + 1)6

En particular, cuando t = 1, se tiene

dydt

∣∣∣∣t=1

= −10(−1)(1)

26=

532

.


4.5.2. Regla General de Potencias

Aunque usamos la regla de la cadena en su forma general, en algunas situa-ciones necesitamos utilizar versiones especiales.

Por ejemplo, funciones tales como

y =√

x2 + 5x

tienen la formay = [ f (x)]a .

Estas funciones son llamadas potencias generalizadas.

Para determinar una fórmula que nos permita calcular la derivada de unapotencia generalizada y = [ f (x)]a donde a es un número real, hacemos u = f (x),entonces y = ua.

Usando la regla de la cadena

dydx

=dydu

dudx

= aua−1. f ′(x) = a[ f (x)]a−1 f ′(x)

Teorema 4.5.6. Sea y = ua, donde u = f (x) y a es un número real. Entonces

dydx

= aua−1 dudx

Equivalentemente,dydx

= a[ f (x)]a−1. f ′(x)

A continuación veamos algunos ejemplos

Ejemplo 4.5.7. Derivar la función f (x) =√

x2 + 5x.

Solución. Escribiendo y = (x2 + 5x)1/2, tenemos

dydx

=12(x2 + 5x)−1/2 d

dx(x2 + 5x) =

12(x2 + 5x)−1/2(2x + 5) =

2x + 5

2√

x2 + 5x.


Ejemplo 4.5.8. Derivar la función

f (x) = (x2 + x + 1)7 .

Solución. Utilizando la regla general de potencia se tiene

f ′(x) = 7(x2 + x + 1)6(x2 + x + 1)′ = 7(x2 + x + 1)6(2x + 1) .


f (x) = (2x5 − x)2 .

Solución. Una manera de resolver este problema es expresando la funcióncomo

f (x) = 4x10 − 4x6 + x2

y derivando tenemosf ′(x) = 40x9 − 24x5 + 2x

Pero esto resulta fácil utilizando la regla general de potencia. Esto es

f ′(x) = 2(2x5 − x)d

dx(2x5 − x)

= 2(2x5 − x)(10x4 − 1) .


f (x) =1

(3x3 + 2)6.

Solución. Escribimos la función f (x) como sigue

f (x) = (3x3 + 2)−6

y utilizando la regla general de potencia tenemos

f ′(x) =[− 6(3x3 + 2)−7

] ddx

(3x3 + 2)

=[− 6(3x3 + 2)−7

](9x2)

=−54x2

(3x3 + 2)7.


Ejemplo 4.5.11. (Medio ambiente). En un estudio ambiental de una ciertacomunidad suburbana se establece que el promedio diario de nivel de monóxido

de carbono en el aire es de c(p) =√

0.5p2 + 17 partes por millón cuando lapoblación p se mide en miles. Se estimaque en t años contados a partir de ahora,la población de la comunidad será

p(t) = 3.1 + 0.1t2 (en miles)

¿Cuál será la razón de cambio del nivel demonóxido de carbono despues de 3 años? am

eblo

.jp

Solución. El objetivo es hallardcdt

cuando t = 3. Desde que

dcdp

=12(0.5p2 + 17)−1/2[0.5(2p)] =

p2(0.5p2 + 17)−1/2

y

dpdt

= 0.2t

Se sigue de la regla de la cadena que

dcdt

=dcdp

dpdt

=p2(0.5p2 + 17)−1/2(0.2t)

=0.1pt√

0.5p2 + 17

Ahora bien, cuando t = 3,

p(3) = 3.1 + 0.1(3)2 = 4

y sustituyendo t = 3 y p = 4 en la fórmuladcdt

, conseguimos

dcdt

=0.1(4)(3)√0.5(4)2 + 17

= 0.24 partes por millon por año.


Ejemplo 4.5.12. (Tienda de calzados). El gerente de una tienda determinaque un modelo especial de calzado se venderá a un precio de p soles por unidad(en pares). La cantidad vendida mensual-mente puede ser modelada por

D(p) =8, 000

p

y estima que t meses después, el preciounitario de los calzados será

p(t) = 0.06t3/2 + 22.5 soles.

¿Cuál será la demanda de calzado D(p) después de 25 meses? ¿La demanda au-mentará o disminuirá en ese tiempo?

Solución. Queremos hallardDdt

cuando t = 25. Tenemos

dDdp

=d

dp

[8, 000

p

]= −8, 000

p2

ydpdt

=ddt

[0.06t3/2 + 22.5

]= 0.06

32

t1/2 = 0.09t1/2

Se sigue de la regla de la cadena que

dDdt

=dDdp

dpdt

=

[−8, 000

p2

] (0.09t1/2)

Cuando t = 25, el precio unitario es

p(25) = 0.06(25)3/2 + 22.5 = 30 dólares

lo que implicadDdt

∣∣∣∣∣ t=25p=30

=

[−8, 000(30)2

] (0.09(25)1/2) = −4

Esto indica que, 25 meses después, contados a partir de ahora, la demanda por parde calzado deberá cambiar en razón de 4 unidades por mes y deberá disminuir

ya quedDdt

es negativa.


Ejemplo 4.5.13. (Reforestación). Para estimar la cantidad de madera que pro-duce el tronco de un árbol, se supone que dicho arbol tiene la forma de un cono

truncado como indica la figura, siendo rel radio de la base superior, R el radio dela base inferior y h la altura. Recordandoque el volumen V de un tronco de conoestá dado por

V =πh3(R2 + Rr + r2)

h

Radio r

Radio R

¿Cuál es la rapidez de variación del volumen V en el momento que r = 65 cm,R = 95 cm y h = 18 m, sabiendo que el incremento de r es de 10 cm/año, elincremento de R es de 15 cm/año y el de h es de 25 cm/año?

Solución. Necesitamos calculardVdt

, siendo h, R y r funciones del tiempo t.Derivemos entonces la función volumen V con respecto al tiempo:

dVdt

=π

3

[dhdt(

R2 + rR + r2)+ h(

2RdRdt

+ rdRdt

+ Rdrdt

+ 2rdrdt

)]Sustituyendo: r = 65 cm, R = 95 cm y h = 18 m = 1800 cm, se tiene

drdt

= 10cmaño

dRdt

= 15cmaño

ydhdt

= 25cmaño

resultadVdt≈ 11.9

m3

año.

Ejemplo 4.5.14. (Velocidad molecular). La velocidad molecular promedio vde un gas en un contenedor, es dada por v(t) = 29

√T m/s, donde T es la tempe-

ratura en grados Kelvin. La temperatura se relaciona con la presión (en atmósfe-ras) por T = 200P. Hallar

dvdP

∣∣∣∣P=1.5

Solución. Primero notemos que cuando P = 1.5 atmósferas, T = 200(1.5) =300K. Así que

dvdP

∣∣∣∣P=1.5

=dvdT

∣∣∣∣T=300

·dTdP

∣∣∣∣P=1.5

=29

2√

300· 200 =

290√

33

ms.atmósferas


Ejemplo 4.5.15. (Temperatura en la at-mósfera). De acuerdo a un modelo atmos-férico desarrollado por la National Geo-grafic, la temperatura atmosférica T (engrados Celcius), la presión P (en pascaleskPa=1000 pascales), y la altitud h (en me-tros) se relacionan por las fórmulas (válidoen la tropósfera h ≤ 11, 000) mediante: fa

npop.c

om

T = 15.04− 0.000649h, P = 101.29 +(

T + 273.1288.08

)5.256

Usemos la regla de la cadena para calcular dP/dh. A continuación calcular elcambio P (en pascales, Pa) por metro adicional de altitud cuando h = 3, 000.

Solución. Tenemos

dPdT

= 5.256(

T + 273.1288.08

)4.256 ( 1288.08

)= 6.21519× 10−13(273.1 + T)4.256

AdemásdTdh

= −0.000649◦C/m .

Luego

dPdh

=dPdT

dTdh

=[6.21519× 10−13(273.1 + T)4.256

](−0.000649)

= −4.03366× 10−16(288.14− 0.000649h)4.256

Cuando h = 3000

dPdh

= −4.03366× 10−16(286.193)4.256

= −1.15× 10−15 kPa/m .

Por tanto, para cada metro adicional en la altitud

∆P ≈ −1.15× 10−5 kPa = −1.15× 10−2 Pa .


Ejemplo 4.5.16. (Pasando café a travésde un embudo). Una determinada canti-dad de café depositado en un recipientecónico se escurre en una cafetera de formacilíndrica a razón de 10 cm3/min.

(i) ¿Qué tan rápido aumenta el nivelen la cafetera cuando el café está enel embudo cónico a una altura de5 cm?

(ii) ¿Qué tan rápido cae el nivel del cafédel embudo cónico en ese instante?

6 cm

6 cm

6 cm

¿Qué tan rápido esten ive l d i sminuye?

¿Qué tan rápido esten i v e l a u m e n t a ?

Solución. (i) El volumen del café contenido en la cafetera es V = πr2h. Paradeterminar la rapidez con la que el café aumenta en la cafetera, debemos derivarla función volumen con respecto al tiempo, donde a su vez h depende de t, esdecir

dVdt

= πr2 dhdt

que reemplazando obtenemos

10cm3

min= π(3)2cm2 dh

dtque implica

dhdt

=109π

cmmin

(ii) Veamos qué tan rápido disminuye el cafe contenido en el embudo. Sabe-

mos que el volumen del cono es V =π

3r2h, donde r y h dependen del tiempo. El

volumen del café contenido en el recipiente cónico es

V =π

3(3)2(6)− π

3r2(6− h) = 18π − π

3r2(6− h) (4.5.7)

Desde que6

6− h=

3r

, se sigue que r =6− h

2. Reemplazando en (4.5.7)

V = 18π − π

3r2 (6− h)3

4

Si derivamos en función del tiempo llegamos adVdt

=π

4(6 − h(t))2 dh

dt. Ahora

bien, cuando h = 5 cm, la cafetera se llena a razón de 10 cm3/min. Finalmente,

10cm3

min=

π

4(6− 1)2cm2 dh

dt

lo que nos dadhdt

=8

5π

cmmin

.


4.5.3. Combinando con Funciones Trigonométricas

Ya sabemos derivar funciones trigonométricas tales como f (x) = cos x. Pero¿cómo derivamos funciones de la forma h(x) = cos(x2 + 1)? Observemos queh(x) = g[ f (x)] donde f (x) = x2 + 1 y g(x) = cos x. Por tanto, aplicando la reglade la cadena tenemos

h′(x) =d

dx[

cos(x2 + 1)]

= − sen(x2 + 1)d

dx(x2 + 1)

= − sen(x2 + 1)(2x)

= −2x sen(x2 + 1)

Otra forma de derivar funciones trigonométricas generalizadas es deducien-do las reglas apropiadas a partir de la regla de la cadena. Por ejemplo, podemoshallar la fórmula para derivar la función coseno generalizada y = cos[ f (x)] ha-ciendo u = f (x), de esta forma tenemos y = cos u y aplicando la regla de lacadena tenemos

dydx

=dydu

dudx

=d

du(cos u)

dudx

= (− sen u) f ′(x) = − sen[ f (x)] f ′(x)

De manera similar obtenemos las siguientes reglas

Teorema 4.5.17. (Derivadas de funciones trigonométricas generalizadas).

(i)d

dx(sen u) = cos u · du

dx(ii)

ddx

(cos u) = − sen u · dudx

(iii)d

dx(tg u) = sec2 u · du

dx(iv)

ddx

(cotg u) = − csc2 u · dudx

(v)d

dx(sec u) = sec u tg u · du

dx(vi)

ddx

(csc u) = − csc u cotg u · dudx

Ejemplo 4.5.18. Hallar la pendiente de la recta tangente al gráfico de la fun-ción y = 2 sen(x2) en el punto donde x =

√π/2.

Solución. La pendiente de la recta tangente en cualquier punto de la gráficaes dada por dy/dx. Para hallar dy/dx utilizamos el teorema anterior y obtenemos

dydx

=d

dx(2 sen(x2)) = 2

ddx

(sen(x2)) = 2(cos(x2))(2x) = 4x cos(x2)


En particular, la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en el puntodonde x =

√π/2, es

dydx

∣∣∣∣x=√

π/2= 4

(√π

2

)cos

π

2= 0

O sea, la recta tangente en el punto(√

π

2, 2)

es horizontal.

Ejemplo 4.5.19. Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de la funciónf (x) = x2 cos 2x, donde x = π/2.

Solución. La pendiente de la recta tangente en cualquier punto de la gráficade la función es dy/dx. Usando la regla del producto tenemos

dydx

=d

dx(x2 cos 2x)

= x2 ddx

(cos 2x) + (cos 2x)d

dx(x2)

= x2[(− sen 2x)2] + (cos 2x)(2x)

= −2x2 sen 2x + 2x cos 2x

En particular, para x = π/2 tenemos

dydx

∣∣∣∣x=π/2

= −2(π

2

)2sen

2π

2+

(2π

2

)cos

2π

2= −π

El punto de tangencia es precisamente (π/2, f (π/2)) = (π/2,−π2/4). Por tanto,la ecuación de la recta tangente es

y−(−π2

4

)= −π

(x− π

2

)o y = −πx +

π2

4.

Ejemplo 4.5.20. Cuando la ecuación del movimiento de una partícula es dadapor s = A cos(wt + δ), entonces se dice que la partícula tiene un movimientoarmónico simple.

(i) Hallar la velocidad de la partícula en el tiempo t.

(ii) ¿Cuando la velocidad es cero?

Solución. (i) Para hallar la velocidad en el tiempo t, derivamos

dsdt

= −wA sen(wt + δ) .

(ii) Si A ̸= 0 y w ̸= 0, entonces la velocidad es nula si y sólo si

sen(wt + δ) = 0 ⇔ wt + δ = nπ ⇔ t =nπ − δ

w.


4.5.4. Combinando Funciones Exponenciales

Para aplicar la regla de la cadena a la función y = e f (x), hacemos u = f (x).Así tenemos

dydx

=dydu

dudx

=d

du(eu)

dudx

= eu dudx

= e f (x) f ′(x) .

Teorema 4.5.21. (Derivada de la función exponencial generalizada). Si u = f (x)es una función diferenciable de x, entonces

ddx

(eu) = eu dudx

o también y′ = e f (x) · f ′(x) .

Ejemplo 4.5.22. Derivar la función y = e2x sen x.

Solución. Hacemos u = 2x sen x. De acuerdo al teorema anterior tenemos

dydx

=d

dx(eu)

= eu dudx

= e2x sen x ddx

(2x sen x)

= 2e2x sen x ddx

(x sen x)

= 2e2x sen x(sen x + x cos x)

este cálculo también resulta como sigue

y′ = e2x sen x(2x sen x)′

= e2x sen x(sen x + x cos x) .


Gracias a la regla de la cadena también podemos deducir la fórmula paraderivar funciones exponenciales más generales, por ejemplo f (x) = ax dondea > 0. Recordemos que si a > 0, entonces a = eln a, por tanto

f (x) = ax = (eln a)x = e(ln a)x

y de acuerdo a la regla de la cadena tenemos

f ′(x) =d

dx(ax) =

ddx

(e(ln a)x

)= e(ln a)x d

dx[(ln a)x

]= e(ln a)x · ln a = ax ln a.

y para hallar la fórmula que calcule la derivada de la función exponencial gene-ralizada y = a f (x), donde f es una función diferenciable, hacemos u = f (x) ey = au. Ahora bien, de acuerdo a la regla de la cadena tenemos

dydx

=dydu

dudx

= au ln adudx

Teorema 4.5.23. (Derivadas de ax y au). Si u es una función diferenciable en x ya > 0, a ̸= 1, entonces

(i)d

dx(ax) = ax ln a (ii)

ddx

(au) = au ln adudx

.

Ejemplo 4.5.24. Derivar las siguientes funciones

(i) f (x) = 3x (ii) g(x) = 5x2−1 (iii) h(x) = 10√

x (iv) l(x) = 2cos 2x .

Solución.

(i) f ′(x) =d

dx(3x) = 3x ln 3

(ii) g′(x) =d

dx(5x2−1) = 5x2−1 ln 5

ddx

(x2 − 1) = 2x(ln 5)5x2−1

(iii) h′(x) =d

dx(10√

x) = 10√

x ln 10d

dx(√

x) =10√

x ln 102√

x

(iv) l′(x) =d

dx(2cos 2x) = 2cos 2x d

dx(cos 2x) = 2cos 2x(−2 sen 2x) .


Ejemplo 4.5.25. (Desplazamiento de un yate). Un yate deja el punto O (elorigen) localizado en la orilla de un río y viajando con velocidad constante

de 20 kph con la finalidad de llegar alotro extremo del río localizado en el pun-to (1000, 0) que está al este del origen (verfigura). El río fluye hacia el norte con ve-locidad constante de 5mph.

(1000,0) x

y

Se puede verificar que el recorrido del yate es

y = 500

[(1000− x

1000

)3/4

−(

1000− x1000

)5/4]

0 ≤ x ≤ 1000

Hallar dy/dx cuando x = 100 y cuando x = 900. Interpretar el resultado.

Solución. Derivando tenemos

dydx

= 500

[34

(1000− x

1000

)−1/4 ( −11000

)− 5

4

(1000− x

1000

)1/4 ( −11000

)]

=12

[54

(1000− x

1000

)1/4

− 34

(1000− x

1000

)−1/4]

Así que

dydx

∣∣∣∣x=100

=12

[54

(9

10

)1/4

− 34

(109

)−1/4]

≈ 0.22

Esto significa que en el punto donde x = 100, el yate es empujado por lacorriente hacia el norte una razón de 0.22 pies en la dirección del eje x.

Finalmente,

dydx

∣∣∣∣x=900

=12

[54

(1

10

)1/4

− 34

(109

)−1/4]

≈ −0.32

Esto significa que en el punto donde x = 900, el yate es empujado por lacorriente hacia el sur una razón de 0.22 pies en la dirección del eje x.


Ejemplo 4.5.26. (Sistema de resortes). La ecuación del movimiento de una

pieza metálica sujeta a un resorte es da-da por la ecuación

x(t) = e−t (2 cos 2t + sen 2t)

donde x(t) medido en centímetros, es eldesplazamiento de la posición de equi-librio del sistema y t se mide en segun-dos.

x=0 (posición deequilibrio)

Sistema en equilibrio(la dirección positivaes hacia abajo)

Hallar la posición inicial y la velocidad inicial de la pieza.

Solución. La posición inicial del sistema es dado por

x(0) = e0 (2 cos 0 + sen 0) = 2

O sea que la pieza está a dos centímetros por debajo de la posición de equilibrio.La velocidad de la pieza en el sistema en cualquier punto es dado por

v(t) =ddt[e−t (2 cos 2t + sen 2t)

]= −e−t (2 cos 2t + sen 2t) + e−t (−4 sen 2t + 2 cos 2t)

= −5e−t sen 2t

En particular, la velocidad inicial es

v(0) = −5e0 sen 0 = 0 .

Ejemplo 4.5.27. (Electricidad). La car-ga eléctrica Q que atraviesa la sección deun conductor está dada por la expresión

Q(t) = −Aω

cos(ωt)

siendo A y ω constantes.

(i) Graficar Q en función de t en un periodo.

(ii) Recordando que la intensidad I de la corriente indica la rapídez con quevaría la carga Q que atraviesa la sección del conductor, deducir la gráfica dela parte (i) los instantes en que I es máxima y mínima.


Solución. (i) Se trata de una función sinusoidal que bosquejaremos en unperiodo T. Recordemos que el periodo de la función cos(ωt) en el tiempo es p =

2π/ω. Estudiaremos la función en un periodo T. Elegimos [0, 2π/ω]. La funciónse anula para

ω · t = π

2,

3π

2que implica t =

π

2 ·ω ,3π

2 ·ω

Los valores máximos y mínimos se producen para ωt = 0. Entonces

t = 0,π

ω,

2π

ω

de donde resulta

Q(0) = −Aω

, Q(π

ω

)=

Aω

, Q(

2π

ω

)= −A

ω

Q( (t

t

Aw

Aw

pw

p2w

3p2w

2pw

(ii) La intensidad I de la corriente se define como

I(t) =dQdt

y es el índice matemático que indica la rapidez de variación de la carga Q queatraviesa la sección del conductor.

Estudiando las pendientes de las rectas tangentes al gráfico anterior deduci-mos:

En t = 0, t =π

2, t =

2π

2pendiente nula.

En[

0,2π

2

]pendiente positiva creciente.

En[ π

2ω,

π

ω

]pendiente positiva decreciente.

En[

π

2ω,

3π

2ω

]pendiente negativa decreciente.

En[

3π

2ω,

2π

ω

]pendiente negativa creciente.

Concluímos que la pendiente máxima ocurre para t =π

2ωy la pendiente

mínima para t =3π

2ω.


4.6. Derivación Implícita

Las funciones con las que trabajamos en las secciones anteriores son definidaspor ecuaciones de la forma y = f (x), donde la variable dependiente y, se expresade manera explícita en términos de la variable independiente x. Una función deesta forma se llama forma explícita. Algunos ejemplos son

y = x2 − 2x + 3, y =√

1− 4x− x3 y y =1− x1 + x

todas las ecuaciones anteriores están en su forma explícita.Muchos problemas prácticos involucran ecuaciones en la cual la función y, no

se expresa en su forma explícita en términos de la variable independiente; porejemplo, ecuaciones como

x2y3 − 1 = 3y2 + x y√

xy + 2− 1 = 3y2 + x

Desde que no tenemos despejado a y, en este caso decimos que y está definidaimplícitamente como función de x y la función y es denominada en su formaimplícita.

4.6.1. Diferenciación de Ecuaciones Implícitas

Supongamos que tenemos una ecuación donde la variable y está definida co-

mo función de x en su forma implícita. Nuestro objetivo es hallardydt

. Una formade resolver este problema es expresar a y en su forma explícita para que podamosaplicar las reglas conocidas de derivación. Desafortunadamente, no siempre esposible despejar a y explícitamente en términos de x como vemos en la siguienteecuación

xy + 3xy5 = x− y .

Otra situación puede acontecer incluso si podemos despejar a y en función de

x, hallar la derivadadydt

puede resultar complicada como vemos en el siguienteejemplo

x2y5 + 3 = 2y5 + x .

Lord Barrera - Sección 4.6. Derivación Implícita 327

Resolviendo tenemos

x2y5 − 2y5 = x− 3

y5(x2 − 2) = x− 3

y =

(x− 3x2 − 2

)1/5

El cálculo dedydx

para esta función en su forma explícita es prácticamente tediosautilizando la regla de la cadena y la regla del cociente. Afortunadamente existe

una técnica simple basada en la regla de la cadena para hallardydx

sin necesidadde despejar a y en función de x. Esta técnica es conocida como diferenciaciónimplícita, que consiste en diferenciar en ambos lados de la ecuación con respecto

a x, y entonces usar operaciones algebraicas para hallardydx

.

Ejemplo 4.6.1. Hallardydx

sabiendo que

xy3 + xy = x3

Solución. Lo que haremos es diferenciar en ambos lados de la ecuación conrespecto a x; así que por el momento nos olvidaremos de y como función de x yescribiremos f (x) en lugar de y. Reescribiendo la ecuación tenemos

x( f (x))3 + x( f (x)) = x3

Ahora diferenciamos en ambos lados de la ecuación término a término con res-pecto a x:

ddx

[x( f (x))3 + x( f (x))

]=

ddx(

x3)[

xd

dx(

f (x)3)+ ( f (x)3) ddx

(x)]

︸︷︷︸d

dx

[x( f (x))3

]+

[x

ddx(

f (x))+ f (x)

ddx

(x)]

︸︷︷︸d

dx

[x( f (x))

]= 3x2

Así que tenemos

x[3 f (x)2]d f

dx+ f (x)3 + x

d fdx

+ f (x) = 3x2

[3x f (x)2 + x

]d fdx

= 3x2 − f (x)− f (x)3


d fdx

=3x2 − f (x)− f (x)3

3x f (x)2 + x

Finalmente, reemplazando f (x) por y, conseguimos

dydx

=3x2 − y− y3

3xy2 + x

NOTA. Reemplazar f (x) por y es una técnica útil para ilustrar el proceso dediferenciación implícita; pero como veremos a continuación, este procedimientoes innecesario, por lo que hallaremos la diferencial pedida de manera directa.La clave es tener presente que y es función de x y usar la regla de la cadenaapropiadamente.

(Regla para diferenciar implícitamente). Supongamos que una ecuación define

a y implícitamente como función diferenciable de x. Para hallardydx

debemosseguir los siguientes pasos:

(i) Diferenciar en ambos lados de la ecuación conrespecto a x. Recordar que yes una función de x y usar la regla de la cadena cuando diferenciamos lostérminos conteniendo y.

(ii) Resolver la ecuación diferenciada algebraicamente paradydx

en términos dex e y.

Ejemplo 4.6.2. Tomemos otra vez la ecuación xy3 + xy = x3 y hallemosdydx

.

Solución. Diferenciando en ambos lados tenemos

ddx[xy3 + xy

]=

ddx[x3]

que implica

xd

dx(y3) + y3 d

dx(x) + x

ddx

(y) + yd

dx(x) = 3x2 d

dx(x)

x(3y2)dydx

+ y3 + xdydx

+ y = 3x2

(3xy2 + x)dydx

= 3x2 − y− y3

Por tanto,dydx

=3x2 − y− y3

3xy2 + x.


4.6.2. Calculando Recta Tangente

A continuación utilizaremos diferenciación implícita pera calcular pendientesy rectas tangentes.

Ejemplo 4.6.3. Hallar la pendiente de la recta tangente a la circunferenciade ecuación x2 + y2 = 13, en el punto (2, 3). ¿Cuál es la pendiente en el punto(2,−3)?

Solución. Diferenciando en ambos lados de la ecuación x2 + y2 = 13 conrespecto a x, conseguimos

2x + 2ydydx

= 0

dydx

= − xy

La pendiente en (2, 3) es el valor de la derivada cuando x = 2 e y = 3

dydx

∣∣∣∣∣(2,3)

= − xy

∣∣∣∣∣x=2y=3

= −23

Similarmente, la pendiente en (2,−3) es el valor dedydx

cuando x = 2 e y = −3.

dydx

∣∣∣∣∣(2,−3)

= − xy

∣∣∣∣∣ x=2y=−3

= − 2−3

=23

.

Ejemplo 4.6.4. Determinar todos los puntos de la curva determinada por laecuación x2 + y3 = 2xy + 1, donde la recta tangente es horizontal. ¿La gráficatiene tangentes verticales?

Solución. Diferenciando en ambos lados de la ecuación con respecto a x, te-nemos

2x + 3y2 dydx

= 2xdydx

+ 2y

dydx

=2y− 2x3y2 − 2x


Existen tangentes horizontales a la gráfica precisamente cuando la pendiente es

cero; es decir, el numerador 2y− 2x dedydx

debe ser cero:

2y− 2x = 0 ⇔ y = x

Desde que el denominador debe ser diferente de cero, entonces los puntos dondela gráfica tiene tangentes horizontales son todos aquellos (x, y) tales que x = y.

Por otra parte, para tener tangente vertical, la expresión 3y2− 2x debe ser 0, osea x = y = 0. Pero el punto (0, 0) no pertenece a la gráfica de la función. Luego,la gráfica no admite tangentes verticales.

Ejemplo 4.6.5. Hallar todos los puntos de la curva x2y2 + xy = 2 donde lapendiente de la recta tangente es −1.

Solución. Debemos resolver la ecuacióndydx

= −1.

Desde que x2y2 + xy = 2, entonces

2xy2 + 2x2yy′ + y + xy′ = 0⇔ y′(2x2y + x) = −2xy2 − y

⇔ y′ = −2xy2 + y2x2y + x

Así que

−2xy2 + y2x2y + x

= −1⇔ 2xy2 + y = 2x2y + x

⇔ y(2xy + 1) = x(2xy + 1)

⇔ (2xy + 1)(y− x) = 0

⇔ x = y o xy = −12

Si xy = −12

, entonces x2y2 + xy =14− 1

2̸= 2. Luego debemos tener x = y. Por

tanto,

x2y2 + xy = 2⇒ x4 + x2 = 2

⇔ x4 + x2 − 2 = 0

⇔ (x2 + 2)(x2 − 1) = 0 .

Desde que x2 + 2 ̸= 0, se sigue que x2 = 1 que equivale a x = ±1. O sea que,los puntos de la curva donde la recta tangente tiene pendiente −1 son (−1,−1)y (1, 1).


Ejemplo 4.6.6. La figura muestra una poste de luz localizado a 3 unidades

a la derecha del eje y y proyecta unasombra mediante la región elíptica x2 +

4y2 ≤ 5. Si el punto (−5, 0) está en elborde de la sombra,

x

y

¿A qué distancia por encima del eje x está localizada la lampara?

Solución. Sea h la altura del poste y (a, b) el punto de tangencia de la rectapasando por el punto (3, h) y (−5, 0). Esta recta tiene pendiente

h− 03− (−5)

=18

h

Ahora bien, calculando la pendiente de la recta tangente en cualquier punto de laelipse x2 + 4y2 = 5, derivamos implícitamente:

ddx

(x2 + 4y2) =d

dx(5) ⇔ 2x + 4(2yy′) = 0

⇔ y′ =x

4y.

En particular, la pendiente de la recta tangente a la elipse en el punto (a, b) es

y′ = − a4b

o tambiénb− 0

a− (−5)=

ba + 5

Luego

− a4b

=b

a + 5⇔ 4b2 = −a2 − 5a

⇔ a2 + 4b2 = −5a

Desde que −5a = a2 + 4b2 = 5, se sigue que a = −1. De aquí,

4b2 = −a2 − 5a = −1− 5(−1) = 4,

y llegamos a b = 1, ya que el punto está en la parte superior de la elipse. Luego

h8=

ba + 5

=1

−1 + 5=

14

que implica h = 2

Así que la lámpara está ubicada a dos unidades por encima del eje x.


Ejemplo 4.6.7. (Economía). Suponga que la producción de prendas de untaller es de

Q = 2x3 + x2y + y3 unidades,

donde x es el número de trabajo en máquinas, e y es el número de horas de trabajofuera de máquinas. La fuerza laboral consiste de 30 horas en las máquinas y de 20horas fuera de ellas. Utilizar diferenciación implícita para estimar de que maneravaría la labor uera de las máquinas cuando incrementamos 1 hora más de trabajoen las máquinas, manteniendo el mismo nivel de producción.

Solución. El rendimiento actual de la salida es el valor de Q cuando x = 30e y = 20. Esto es,

Q = 2(30)3 + (30)2(20) + (20)3 = 80, 000 unidades

Si la producción se mantiene en este nivel, la relación entre el número de horas xde trabajo en máquina y el número de horas y de trabajo fuera de las máquinases dada por la ecuación

80, 000 = 2x3 + x2y + y3

la cual define a y implícitamente como función de x.Nuestro objetivo es estimar la razón de cambio en y cuando incrementamos

x en una unidad, donde sabemos que x e y se relacionan por la ecuacion ante-

rior. Pero esta razón de cambio resulta de calculardydx

. Para hallar esta derivadautilizamos diferenciación implícita:

0 = 6x2 + x2 dydx

+ yd

dx(x2) + 3y2 dy

dx

0 = 6x2 + x2 dydx

+ 2xy + 3y2 dydx

−(x2 + 3y2)dydx

= 6x2 + 2xy

dydx

= −6x2 + 2xyx2 + 3y2

Ahora evaluando esta derivada en x = 30 e y = 20 concluímos que

Cambio en y ≈dydx

∣∣∣∣∣x=30y=20

= −6(30)2 + 2(30)(20)(30)2 + 3(20)2

≈ −3.14 horas

Esto significa que: manteniendo el nivel de producción, la labor fuera de las má-quinas decrece en aproximadamente 3.14 horas luego de incrementar 1 hora altrabajo en las máquinas.


NOTA. En general, si Q(x, y) denota la producción correspondiente a x uni-dades de la primera entrada e y unidades de la segunda entrada, entonces laecuación de la forma Q(x, y) = C para una constante C es llamada isoquant.Tales ecuaciones son usadas por economistas para explorar las diferentes combi-naciones de las entradas x e y que resulta en el mismo nivel de producción. En

este contexto, la razóndydx

se halla mediante diferenciación implícita, y es llamadarazón marginal de sustitución técnica.

4.6.3. Relacionando Razones de Cambio

En ciertos problemas prácticos, x e y se relacionan por una ecuación dondepueden ser consideradas como funciones de una tercera variable t, la cual repre-senta el tiempo. Entonces la diferenciación implicita puede ser usada para rela-

cionardxdt

condydt

. Este tipo de problema se denomina relación de razones decambio. Aquí damos un criterio general para problemas que relacionan razonesde cambio.

(CRITERIO PARA RESOLVER PROBLEMAS QUE RELACIONAN RAZONES DE CAM-BIO)

(i) Hacer un dibujo (si es apropiado) y asignar variables.

(ii) Hallar una fórmula relacionando las variables.

(iii) Use diferenciación implícita para determinar como las razones se relacio-nan.

(iv) Sustituir cualquier información numérica dada en la ecuación del paso (iii)para hallar la razón de cambio deseada.

Ejemplo 4.6.8. El dueño de una compañía observa que si se producen q cientasunidades de un producto particular, el costo total de la producción es C mil do-lares, donde C2 − 3q3 = 4, 275. Cuando 1,500 unidades son producidas, el nivelde producción se incrementa a razón de 20 unidades semanales.¿Cuál es el costototal en este tiempo y cuál es la razón de cambio?

Solución. Queremos hallardCdt

cuando q = 15 (1500 unidades) ydqdt

= 0.2(20 unidades por semana con q medido en cientos de unidades). Diferenciando la


ecuación C2 − 3q2 = 4, 275 implícitamente con respecto al tiempo conseguimos

2CdCdt− 3

[3q2 dq

dt

]= 0

Así que

2CdCdt

= 9q2 dqdt

y

dCdt

=9q2

2Cdqdt

Cuando q = 15 el costo satisface

C2 − 3(15)3 = 4, 275

C2 = 4, 275 + 3(15)3 = 14, 400

C = 120

y sustituyendo q = 15, C = 120 ydqdt

= 0.2 en la fórmuladCdt

, obtenemos

dCdt

=

[9(15)2

2(120)

](0.2) = 1.6875 mil dolares por semana

En resumen, el costo de producir 1,500 unidades es 120,000 dolares (C = 120), yen este nivel de producción el costo total se incrementa a razón de 1,687.5 dolaressemanales.

Ejemplo 4.6.9. Un lago donde se cría peces es contaminado por una planta in-dustrial que se encuentra junto a la orilla, los ecologistas determinan que cuandoel nivel de contaminación es x partes pormillón el nivel F de peces en el mar es

F =32, 0003 +√

x

Cuando hay 4,000 peces, la contamina-ción en el lago se incrementa a razón de1.4 ppm. v

peg.v

n

¿Cuál es la razón de cambio de la cantidad de peces con respecto al tiempo?


Solución. Queremos hallardFdt

cuando F = 4, 000 ydxdt

= 1.4. Cuando lacantidad de peces en el lago es 4,000, el nivel de contaminación x satisface

4, 000 =32, 0003 +√

x

4, 000(3 +√

x) = 32, 000

3 +√

x = 8√

x = 5

x = 25

También hallamos que

dFdx

=32, 000(−1)

(3 +√

x)2

(12− 1√

x

)= − 16, 000√

x(3 +√

x)2

y de acuerdo a la regla de la cadena

dFdt

=dFdx

dxdt

=

[− 16, 000√

x(3 +√

x)2

]dxdt

Sustituyendo F = 4, 000, x = 25 ydFdt

= 1.4, conseguimos que

dFdt

=

[− 16, 000√

25(3 +√

25)2

](1.4) = −70

lo que nos dice que la cantidad de peces decrece a razón de 70 peces por año.

Ejemplo 4.6.10. Dos veleros parten de un puerto. El primero de ellos se dirigehacia el este, mientras que el segundo hacia el norte. A las 10:00 am, el primerbote está a 4 millas del puerto y viajando a 35 millas por hora. En ese instante,el segundo bote está 3 millas al norte del puerto y viajando a 15 millas por hora.¿Con que razón la distancia entre los botes aumenta a las 10:00 am?

Solución. Sean

x(t) : la distancia entre el puerto y el primer bote en el tiempo t

y(t) : la distancia entre el puerto y el segundo bote en el tiempo t

Entonces la distancia entre los dos botes en el tiempo t, en horas, es dada por

D(t) =√[x(t)]2 + [y(t)]2


Queremos hallardDdt

a las 10:00 am. Aplicando la regla de la cadena tenemos

D′(t) =12

[[x(t)]2 + [y(t)]2

]−1/2[2x(t)x′(t) + 2y(t)y′(t)

]A las 10:00 am, x(t) = 4, y(t) = 3, x′(t) = 35 y y′(t) = 15. Luego

dDdt

=12(42 + 32)−1/2.[2× 4× 35 + 2× 3× 15]

=12

1√

25[2(140 + 45)]

= 37 .

Esto significa que a las 10:00 am, la distancia entre los botes aumenta a razón de37 millas por hora.



SECCIÓN 4.1Ejercicio 4.1. En cada caso, indicar la declaración que expresa una diferencia, uncambio porcentual, o una razón de cambio promedio.

(i) (Precio de las acciones de Apple). Durante un evento, Steve Jobs mencionaque las acciones de Apple abrieron a $ 156.86 y luego de cincuenta minutoscayeron a $ 151.80.

(ii) (Usuarios de internet en el Perú). El número de usuarios de internet en elPerú fue de 3 millones en el 2000 y crece en un 250 % los siguientes dos años.

(iii) (Cuota de pensión en la UCV). La cuota promedio de pensión en la UCVdurante los años 2005 - 2006 fue de S/ 350.80.

Ejercicio 4.2. En cada caso, calcular los siguientes cambios

(a) diferencia, (b) cambio porcentual, (c) razón de cambio promedio

(i) (Ganancia en una aerolínea). LANPERU tuvo un ingreso de $ 17.6 millonesa fines del 2007, mientras que a fines del 2010 sus ingresos alcanzaron $ 23.2millones.

(ii) (Población nativa en el Perú). La población nativa en el Perú fue de 362 elaño 1930 y de 900,000 el año 2005.

(iii) (Producto bruto interno). El producto bruto interno en el Perú se incremen-tó de 5.2 millones de dólares a 7.4 millones de dólares durante los últimoscuatro años.

Ejercicio 4.3. Para la función exponencial f (x) = 3(0.4x),

(1) Calcular el cambio porcentual y la razón de cambio promedio de f paracada uno de los intervalos

(i) De x = 1 hasta x = 7.

(ii) De x = 3 hasta x = 5.

(iii) De x = 5 hasta x = 7.

(2) Sobre la información obtenida en la parte (1) y las características de la fun-ción exponencial, ¿Qué generalizaciones se pueden hacer acerca del cambioporcentual y la razón promedio de cambio para una función exponencial?


Ejercicio 4.4. La siguiente gráfica muestra el número de acciones que se negocia-ron cada día durante octubre de 1987.

mil

es d

e ac

ciones

días de negocio

100

200

300

400

500

600

13

oct 22

oct 1

oct 30

1 3 5 7 9 11 15 17 19 21

(i) Calcule el cambio porcentual y la razón de cambio promedio sobre el núme-ro de acciones registradas por día de negocio entre el 1 de octubre (cuandose registraron 193.2 mil acciones) y el 30 de octubre (cuando se registraron303.4 mil acciones).

(ii) Dibujar la recta secante cuya pendiente es la razón promedio de cambioentre el 1 de octubre y el 30 de octubre de 1987.

(iii) Escribir una declaración describiendo la manera en que el número de accio-nes registradas cambian durante el mes. ¿De qué manera la razón de cambiopromedio calculado en la parte (i) se refleja en lo que ocurre durante el mes?

Ejercicio 4.5. La tabla indica el precio de un vuelo ida y vuelta Lima - Iquitos enuna determinada aerolínea y el correspondiente ingreso mensual de la aerolínea.

precio del boleto en dólares ingreso (en miles de dólares)

200 3080

250 3520

300 3760

350 3820

400 3700

450 3380

(i) Hallar un modelo para la data.

(ii) Calcular la razón de cambio promedio para el ingreso cuando el precio delboleto varía de $ 250 a $ 350.


(ii) Calcular la razón de cambio promedio para el ingreso cuando el precio delboleto varía de $ 350 a $ 450.

Ejercicio 4.6. (Usuarios de internet enMexico). El número de usuarios de inter-net en Mexico entre los años 2004 y 2008puede ser modelado por

u(t) = 8.02(1.17t)

millones de usuarios, donde t es el núme-ro de años desde el 2004. h

elpin

gyouca

re.c

om

(i) En promedio, ¿Cuál es la razón de cambio para el número de usuarios deinternet entre los años 2004 y 2008?

(ii) ¿Cuál es el cambio porcentual en el número de usuarios de internet en Me-xico entre los años 2004 y 2008?

(iii) La población de Mexico el 2008 fue de 109’955,400. ¿Qué porcentaje de lapoblación mexicana usó internet el 2008?

Ejercicio 4.7. (Casos de SIDA). El número de casos de SIDA diagnosticados des-de el 2000 hasta el 2007 puede ser modelado por

f (x) = 3.23(1.06x) cientos de miles de casos

donde x es el número de años desde el 2000.

(i) Calcule y escriba una fórmula para interpretar la razón de cambio promedioen el número de personas diagnorticafas con SIDA entre el 2000 y el 2007.

(ii) Calcule el cambio porcentual en el número de personas diagnosticadas conSIDA entre el 2000 y el 2007.

Ejercicio 4.8. (Temperatura). Un modelo para la temperatura de un típico día enla ciudad de Lima es dado por la función

f (t) = −0.8t2 + 10t + 49◦ F

donde t es el número de horas desde las 7 A.M. Este modelo corresponde a ladata del ejemplo 4.1.2. Calcule la razón de cambio promedio entre las 11:00 A.My las 4:30 P.M


SECCIÓN 4.2

Ejercicio 4.9. En cada caso, use la definición de derivada para verificar las afir-maciones.

(i) La derivada de f (x) = 3x− 2 esd fdx

= 3.

(ii) La derivada de f (x) = 15x + 32 esd fdx

= 15.

(iii) La derivada de f (x) = 3x2 es f ′(x) = 6x.

(iv) La derivada de f (x) = −3x2 − 5x es f ′(x) = −6x− 5.

(v) La derivada de f (x) = x3 + 6x2 es f ′(x) = 3x2 + 12x.

Ejercicio 4.10. En cada caso, calcular la derivada en el punto indicado.

(i) f (x) = 4x2, f ′(2) .

(ii) s(t) = −2.3t2, s′(1.5) .

(iii) g(t) = 4t2 − 3,dgdt

∣∣∣∣t=4

.

(iv) m(p) = 4p + p2,dmdp

∣∣∣∣p=−2

.

(v) s(t) = t− 6t3 + t4,dsdt

∣∣∣∣t=−3

.

Ejercicio 4.11. (Consumo de combustible en una aerolínea). La cantidad decombustible consumida por una aerolínea entre los años 2004 y 2008 puede sermodelada por

p(t) = −0.009t2 + 0.12t + 1.19 miles de galones

donde t ≥ 0 es el número de años desde el 2004.

(i) Calcular la cantidad consumida de combustible el 2007.

(ii) Hallar la fórmula para la derivada de p.

(iii) ¿Cuál es la razón de cambio de la cantidad consumida de combustible elaño 2007?


Ejercicio 4.12. (Caída de un objeto). Se deja caer un objeto de un edificio. Igno-rando la resistencia del aire, la altura del objeto t segundos después de dejarsecaer, está modelada por

h(t) = −16t2 + 100 metros

(i) Use la definición de derivada para hallar la ecuación de la razón de cambio.

(ii) Use la respuesta de la parte (i) para calcular la rapidez de un objeto 1 se-gundo después de dejarse caer.

Ejercicio 4.13. (Precio de una camisa enGamarra). El precio promedio de una ca-misa en Gamarra entre los años 2000 y2005 puede ser modelado por

p(t) = 1.2t2 − 6.1t + 39.5 soles

donde t es el número de años desde iniciosdel 2000. m

odnip

eklo

.cz

(i) Use la definición de derivada para hallar una fórmula de la razón de cambiodel precio de una camisa.

(ii) ¿Cuál fue la razón de cambio del precio de una camisa a inicios del 2003?

Ejercicio 4.14. Un centro comercial tieneuna concurrencia de 120,000 visitantes enun determinado mes, luego su crecimien-to de público se expresa como

p(t) = 120, 000 + 2000t2 personas

donde t está en meses. von-b

ergh.d

e

(i) Hallar la razón de cambiodpdt

.

(ii) Hallar la cantidad de visitantes después de 10 meses.

(iii) Hallar la razón de cambio en t = 9.

(iv) Explique el significado de su respuesta del ítem (iii).


Ejercicio 4.15. (Precio de un boleto). El precio promedio, en soles, de un boletopara un evento deportivo, x años después de 1990 está modelado por

p(x) = 9.41− 0.19x + 0.09x2

(i) Hallar la razón de cambio del precio promedio,dpdx

.

(ii) ¿Cuál fue el precio promedio del boleto en el 2010?

(iii) ¿Cuál fue la razón de cambio del precio promedio de cada boleto el 2010?

Ejercicio 4.16. La gráfica de la función y =

f (x) que se muestra a la derecha es unaunión de segmentos.

(i) Graficar la función derivada.

(ii) ¿En qué valores de x entre x = −4 yx = 6 la función no es derivable?

(1,-2)

(0,2)

(-4,0)

(6, 2)

(4,-2)

x

y

10

y = xf ( (

Ejercicio 4.17. (Oscilación). A continuación analizaremos el caso de una funciónque no es diferenciable. Esto se hace mediante oscilaciones. Sea

f (x) =

x sen1x

si x ̸= 0

0 si x = 0

(i) Muestre que f es continua en x = 0.

(ii) Muestre quef (0 + h)− f (0)

h= sen

1h

.

(iii) Explicar ¿porqué el límite lı́mh→ 0

f (0 + h)− f (0)h

no existe?

(iv) Decidir si f admite derivada lateral en x = 0.

(v) A continuación considere la función

g(x) =

x2 sen1x

si x ̸= 0

0 si x = 0

Use la definición de la derivada para mostrar que g es derivable en x = 0 yque g′(0) = 0.


SECCIÓN 4.3

Ejercicio 4.18. En cada caso, utilice la definición para hallar f ′(x).

(i) f (x) = x− 4 (ii) f (x) = x2 + 5 (iii) f (x) = x3 + 6x + 3

Ejercicio 4.19. Utilice las propiedades de derivación para hallar f ′(x).

(i) f (x) = x− 4 (ii) f (x) = x2 + 5 (iii) f (x) = x3 + 6x + 3

Ejercicio 4.20. (Velocidad del brazo de unrobot). La velocidad del brazo de un robotindustrial es

v = 0.02(t2 + 2)2 metros/seg

donde t es el tiempo en segundos. Tome laderivada de esta velocidad para calcularla aceleración en el instante t = 2 seg.

Ejercicio 4.21. (Costo total). Suponga queuna empresa determina que el costo endólares de producir x teléfonos celulareses dado por

C(x) = −0.05x2 + 50x .

HallarC(301)− C(300)

301− 300e interpretar este

resultado.

Ejercicio 4.22. En cada caso, utilice la definición para hallar f ′(x).

(i) f (x) = 7(1.3x) + ex (ii) f (x) = 4 ln x + eπ (iii) f (x) = −2 sen x

Ejercicio 4.23. (Valor futuro). El valor futuro de 1000 soles t años después deinvertidos al 7 % de interés continuo es

f (t) = 1000e0.07t soles

(i) Escribir la razón de cambio para la función valor futuro.

(ii) Calcular la razón de cambio del valor futuro después de 10 años.


Ejercicio 4.24. (Peso de un ratón). En un laboratorio se estima que el peso de unratón entre 3 y 11 semanas de edad puede ser modelado por

w(t) = 91.3 + 7.37 ln t gramos

donde la edad del ratón es de t + 2 semanas.

(i) ¿Cuál es el peso de un ratón de 9 semanas de edad? y ¿qué tan rápido cam-bia su peso?

(ii) ¿Cuál es la razón de cambio promedio en el peso de un ratón durante lassemanas 7 y 11?

Ejercicio 4.25. (Aumento de la masa). Se amasa harina con levadura por un tiem-po de dos horas. Luego de aproximadamente 42 minutos (de haber terminado deamasar), ésta duplica su volumen. El aumento de volumen puede ser modeladopor la función

v(h) = eh gramos

donde h es el número de horas luego que la masa comenzó a aumentar.

(i) ¿Cuántos minutos hay que dejar la masa para que consiga un volumen de2.5 gramos?

(ii) Escriba una fórmula para la razón de cambio del aumento de masa.

Ejercicio 4.26. Considere una ola que sedesplaza en el océano abierto, teniendouna longitud de ola de λ pies y viajandoa sobre una profundidad de d pies. Enton-ces su velocidad es

v =

√gλ

2πtgh

(2πd

λ

)pie/seg

dih

argen

tina.

blo

gsp

ot.

com

donde g es la fuerza de la gravedad (32 pie/seg2) y tgh es la tangente hiperbólica.

(i) Una ola de tsunami puede tener λ = 328, 083 pies. El oceano tiene una pro-fundidad promedio de 12,200 pies. ¿Qué tan rápido viaja una ola a travésdel oceano?

(ii) Teniendo en cuenta que λ es un número fijo particular, hallar una fórmulavara v′(d).

(iii) ¿Cuáles son las unidades para v′(d) y qué significa físicamente?


Ejercicio 4.27. (Ley de Pousille). Deacuerdo a la Ley de Pousille, la velocidad(en centímetros por segundo) de la sangrea r cm del eje central de una arteria es da-da por

v(r) = k(R2 − r2), 0 ≤ r ≤ R

donde k es una cantidad constante y R esel radio de la arteria. apotheken-umschau.de

Muestre que el flujo de la sangre es más rápido en el eje central. ¿Donde elflujo sanguíneo es más lento?

Ejercicio 4.28. (Reacción del cuerpo a la medicina). la reacción del cuerpo a unadósis de medicina puede ser expresada mediante la fórmula

R = M2[

C2− M

3

]donde C es una cantidad positiva y M es la cantidad de medicina absorvida enla sangre. Si la reacción es cambiada en la presión sanguínea, R se mide en mi-límetros de mercurio. Si la reacción es cambiada en temperatura, R se mide engrados. Hallar dR/dM, que es la derivada como función de M. Esta es llamadala sensibilidad de la sangre a la medicina.

Ejercicio 4.29. (Presión en un cilindro). Si un gas en un cilindro se mantiene auna temperatura constante T, la presión P se relaciona con el volumen V median-te la fórmula

P =nRT

V − nb− an2

V2

en donde a, n, b y R son constantes. Hallar dP/dV.

Ejercicio 4.30. (Ingreso marginal). Suponga que el ingreso semanal en dólares dela venta de x escritorios de oficinas, hechas a medida es

I(x) = 2000(

1− 1x + 1

)(i) Hacer la grágfica de I. ¿Para qué valores de x tiene sentido el problema?

(ii) Halle el ingreso marginal cuando se venden x escritorios.

(iii) Use la función I ′(x) para estimar el incremento en el ingreso cuando lasventas aumentan de 5 escritorios semanales a 6 escritorios semanales.


SECCIÓN 4.5

Ejercicio 4.31. En cada caso, identificar la función de entrada u = f (x) y la fun-ción de salida y = g(u). Entonces utilizar la regla de la cadena para hallar dy/dx.

(i) y = (x2 + 4)3 (ii) y =√

x2 + 4 (iii) y =

(x2 − 1x2 + 1

)3

Ejercicio 4.32. (Atención al cliente). Elmodelo de atención al cliente para redu-cir los reclamos en una empresa, es dadopor

p(t) = 59.5 ln8t + 15t + 2

donde t es el tiempo (en meses) y p (en %)es la cantidad de solicitudes que se aten-derán de forma rápida.

¿A qué razón se incrementa esta cantidad alrededor del 6to. mes?

Ejercicio 4.33. La tabla de valores para f , g, f ′ y g′ es

x f (x) g(x) f ′(x) g′(x)

1 1 1 3 2

2 2 3 2 1

3 5 7 1 4

(i) Si h(x) = f (g(x)), hallar h′(1).

(ii) Si H(x) = g( f (x)), hallar H′(1).

Ejercicio 4.34. (Almácigo). Se ha encon-trado que la cantidad de agua (en milesde litros) que necesita un almácigo, desdeel momento en que germina (t = 0) has-ta el momento en que se vende el almá-cigo (t = 4), viene dada por la expresiónf (t) =

√−2t2 + 8t (t en años). Halle e in-

terprete la derivada en t = 2. serc

.carl

eto

n.e

du


Ejercicio 4.35. Los gráficos de f y g se muestran en la figura abajo. Hallar

(i) h′(1) si h = g ◦ f .

(ii) h′(1) si h = f ◦ f .

(iii) l′(−1) si l = f ◦ g.

(iv) s′(1) si s = g ◦ g.

(v) t′(1) si t = f ◦ f .

(vi) u′(1) si u(x) = f (x2 − 1).x

y

f

g

1 2 3 4-1-2-3-4

1

2

3

4

5

6 (3,6)

(-4,1)

Ejercicio 4.36. (Campaña de publicidad).La gerencia de una gran compañía de te-lecomunicaciones, ha estimado que nece-sita invertir x miles de dólares en publici-dad para vender 100, 000(−1 +

√0.001x)

equipos de una nueva línea de produc-ción. Calcule e interprete la razón de cam-bio cuando x = 8. su

bnet

consu

ltin

g.c

om

Ejercicio 4.37. En cada caso, halle la derivada de la función

(i) f (x) = (5x3 − 12)3 (ii) g(x) =1

3x2 − 1(iii) h(x) =

(x

3x− 2

)2

Ejercicio 4.38. En cada caso, hallar f ′(1)

(i) f (x) = (x2 + 12)3 (ii) f (x) =1

x2 + 1(iii) f (x) =

(x + 2x + 3

)2

(iv) f (x) = (2x3 + 9)2 (v) f (x) =x + 1x + 2

(vi) f (x) =(

1ex

)2

Ejercicio 4.39. Sea F(x) = x2 f (2x). Hallar F′′(2) sabiendo que que f (4) = −2,f ′(4) = 1 y f ′′(4) = −1.


Ejercicio 4.40. (Demanda de consumo).Un importador de cafe estima que la po-blación limeña consume aproximadamen-te

D(p) =4, 334

p2

kilos de café semanales cuando el precioes p soles por kilo. Se estima también que

t semanas a partir de ahora el precio del café será p(t) = 0.02t2 + 0.1t + 6 solespor kilo.

(i) ¿Cuál es la tasa de cambio de la demanda del café con respecto al preciocuando el precio es de 9 soles?

(ii) ¿Cuál es la tasa de cambio de la demanda cuando el precio del café cambiacon respecto al tiempo 10 semanas después a partir de ahora? ¿la demandaaumentará o disminuirá en ese tiempo?

Ejercicio 4.41. (Costo de producción). Enuna fábrica, el costo total de producir qprendas es

C(q) = 0.2q2 + q + 900 soles.Se hace un buen cálculo para saber queq(t) = t2 + 100t unidades son producidasdurante las primeras t horas de produc-ción continua. Calcular la razón con la que p

laid

out.

word

pre

ss.c

om

el costo de producción total cambia con respecto al tiempo una hora después deiniciada la producción

Ejercicio 4.42. (Envejecimiento poblacio-nal). La población de peruanos de 55 añosde edad, es modelada por la función

f (t) = 10.72(0.9t + 10)0.3 miles

0 ≤ t ≤ 20, donde t se mide en años, cont = 0 correspondiendo a inicios 2000.

(i) ¿Con qué rapidez cambia la población de peruanos de 55 años de edad acomienzos del 2000?

(ii) ¿Cuál es la razón de cambio para la población de peruanos de 55 años deedad a comienzos del 2010?


Ejercicio 4.43. Calcular la derivada de las siguientes funciones

(i) f (x) = sen 3x (ii) g(x) = sen3 x (iii) h(x) =(

1 + cos x1− cos x

)2

Ejercicio 4.44. En cada caso, hallar F′(x).

(i) F(x) = a sen[ f (x)] + b cos[g(x)].

(ii) F(x) = a[ f (sen x)] + b[g(cos x)].

(iii) F(x) = f (x2 − 1) + g(x2 + 1).

(iv) F(x) = sen[ f (x)g(x)].

(v) F(x) = sen[ f (x)] cos[ f (x)].

Ejercicio 4.45. (Movimiento armónico simple). La ecuación de movimiento deun cuerpo realizando un movimiento armónico simple es dado por

x(t) = A sen(wt + ϕ)

donde x (en metros) es el desplazamiento del cuerpo, A es la amplitud, w =√k/m, k es una constante, y m (en kilogramos) es la masa del cuerpo. Hallar las

expresiones para la velocidad y la aceleración del cuerpo en el tiempo t.

Ejercicio 4.46. (Precios en stock). El cierre de precios de un USB (en dólares) quedetermina Electrónica Universal en el t-ésimo día de ventas es dado por

P(t) = 20 + 12 sen(

πt30

)− 6 sen

(πt15

)+ 4 sen

(πt10

)− 3 sen

(2πt15

)donde 0 ≤ t ≤ 20. El valor t = 0 corresponde al tiempo en que el lanzamiento deproductos tiene un mayor valor. ¿Cuál es la tasa de cambio del precio en stock alcierre del décimo quinto día de ventas? ¿En qué precio se cierra aquel día?

Ejercicio 4.47. Calcular la derivada de las siguientes funciones

(i) f (x) = xe + ex (ii) g(x) = 2cotg x (iii) h(u) = 2u2(iv) l(x) =

23x

x

Ejercicio 4.48. (Nivel de alcohol en la sangre). El porcentaje de alcohol en el flujosanguíneo de una persona, t horas después de tomar 8 vasos de cerveza, es dadopor

A(t) = 0.23 te−0.4t, 0 ≤ t ≤ 12

¿Con qué rapidez cambia el porcentaje de alcohol en el flujo sanguíneo despuésde 1/2 hora? ¿y después de 8 horas?


Ejercicio 4.49. (Movimiento péndulo cónico). Una bola de metal es atada a unacuerda de longitud L (en pies) y es girado en un círculo horizontal como se mues-

tra en la figura. La velocidad de la bola es v =√

Lg sec θ sen2 θ pie/seg, donde θ

es el ángulo que la cuerda hace con la vertical.

(i) Muestre que

dvdθ

=

√Lg(tg2 θ + 2)

2√

sec θ

e interpretar el resultado.

(ii) Hallar v y dv/dθ si L = 4 y θ =

π/6 rad. (Tomar g = 32 pie/seg2)

qL

Ejercicio 4.50. (Propagación de una noti-cia). Bajo ciertas circustancias, una noticiase propaga de acuerdo a la ecuación

p(t) =1

1 + ae−kt

donde p(t) es la proporción de la pobla-ción que se entera de dicha noticia en eltiempo t y a, k son constantes positivas.

(i) Hallar lı́mt→+∞

p(t).

(ii) Hallar la razón de cambio de la propagación del rumor.

(iii) Graficar p para el caso a = 10 y k = 0.5 con t medido en horas. Utilice elgráfico para estimar el tiempo que demora propagarse la noticia cuando seentera el 80 % de la población.

Ejercicio 4.51. (Deslizamiento de una cadena). Una cadena de 6 metros de lon-gitud es colocada sobre una mesa, con 1 metro de la cadena colgando de la mesa.La cadena se jala y se produce deslizamiento. Suponiendo que no hay fricción, elmovimiento que describe el extremo final de la cadena que inicialmente tenía 1metro colgando del borde de la mesa, es dada por la función

s(t) =12

(e√

g/6 t + e−√

g/6 t)


donde g = 9.8 m/s2 y t se mide en segundos.

(i) Hallar el tiempo que demora la cadena para deslizarse de la mesa.

(ii) ¿Cuál es la velocidad de la cadena en el instante de tiempo cuando la cadenaqueda fuera de la mesa?

Ejercicio 4.52. Basados en los datos de uncenso en Lima, el siguiente modelo

P(t) =36

1 + 2e−0.166t+0.04536t2−0.0066t3

determina el porcentaje poblacional demujeres como fuerza laboral, iniciándoseen la década t, 0 ≤ t ≤ 11 (correspondien-do a t = 0 el principio de 1900).

(i) ¿Cuál fue el porcentaje poblacional de la fuerza laboral de mujeres a iniciosdel 2000?

(ii) ¿Cuál fue la razón de cambio del porcentaje de la fuerza laboral de mujeresa inicios del 2000?

Ejercicio 4.53. Una bebida se casa del refrigerador a una temperatura de 10◦Cy se deja en una habitación donde la temperatura es de 25◦C. Según la ley deenfriamiento de Newton (para este caso el término apropiado sería calentamien-to), la temperatura T de la bebida variará en el tiempo de acuerdo a la expresiónT(t) = 25− Ae−kt, donde A y k son constantes.

(i) Sabiendo que al cabo de 20 minutos la temperatura de la bebida es de 15◦C,calcular las constantes A y k.

(ii) ¿Cuál será la temperatura de la bebida al cabo de una hora?


SECCIÓN 4.6

Ejercicio 4.54. En los siguientes, calcular dy/dx por diferenciación implícita.

(i) 2x2 + y2 = 4 (ii)1x+

1y= 1 (iii)

x− yx + y

= y2 + 1 (iv)√

x +√

y = 1

Ejercicio 4.55. En cada caso, hallar la razón de cambio de y con respecto a x enlos valores indicados para x e y.

(i) x2 + 4y2 = 4; x = 1, y = −√

32

.

(ii) x2y + y3 = 2; x = −1, y = 1.

(iii) y = sen xy; x =π

2, y = 1.

(iv) x2 + y2 = 1; x =1√

2, y =

1√

2.

Ejercicio 4.56. (i) Si f (x) + x2[ f (x)]3 = 10 y f (1) = 2, hallar f ′(1).

(ii) Si g(x) + x sen x = x2, hallar g′(0).

Ejercicio 4.57. Considere a y como la variable independiente y a x como la varia-ble dependiente, luego use diferenciación implícita para calcular dx/dy

(i) x2y3 − x3y2 = 4 (ii) y cos x = x sen y (iii)1

x− y= x2 + y2

Ejercicio 4.58. Considere la ecuación yq = xp. Use diferenciación implícirta paramostrar que

dydx

=pq

x(p/q)−1.

Ejercicio 4.59. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado.

(i) ey + xy = e en (0, 1).

(ii) x2 + xy + y2 = 3 en (1, 1).

(iii) x2 + 2xy− y2 + x = 2 en (1, 2).

Ejercicio 4.60. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la elipse x2 + 4y2 =

36, que pasan por el punto (12, 3).

Ejercicio 4.61. Si tomamos la recta normal a la elipse x2− xy + y2 = 3 en el punto(−1, 1), ¿En qué otro punto de la elipse interseca nuevamente?


Ejercicio 4.62. (Lanzamiento de un cohete). A una distancia de 2000 pies dellugar de lanzamiento, una persona observa que un cohete de

120 pies de altura es lanzado vertical-mente de una plataforma. Sea θ el ángu-lo que subtiende el cohete con la posi-ción del observador, y sea y denotandola altitud (medido en pies) de la plata-forma de lanzamiento.

120

2000

q

(i) Muestre que

tg θ =240, 000

y2 + 120y + 4′000, 000

(ii) ¿Cuál es el ángulo cuando el cohete es lanzado de la plataforma? ¿Cuál esel ángulo cuando el cohete está a una altura de 10,000 pies?

(iii) Hallar la tasa de cambio del ángulo cuando el coherte está a una altura de10,000 pies.

Ejercicio 4.63. Una escalera de 20 pies de largo se desliza junto a una

pared como se ve en la figura. ¿Con quérapidez, el ángulo formado por la esca-lera y la pared cambia en el instante detiempo cuando la parte inferior de la es-calera está a 12 pies de la pared, sabien-do que el deslizamiento de la pared es arazón de 5 pies/seg?

xx

y

Ejercicio 4.64. En los siguientes ítems se da una ecuación relacionando las varia-bles x e y, los valores de x e y y el valor de dx/dt o dy/dt. Determinar el valorde la tasa de cambio no especificada.

(i) x2 + y2 = 25; x = 3, y = −4,dxdt

= 2,dydt

=?.

(ii) x2 + y3 = 16; x = 2, y = 3,dxdt

= 2,dydt

=?.

(iii) y3 − 2x3 = −10; x = 1, y = −2,dydt

= −1,dxdt

=?.

(iv) 4x cos y− π tg x = 0; x =π

6, y =

π

6,

dxdt

= 1,dydt

=?.


Ejercicio 4.65. La ecuación de demandapara CD’s es dada por

100q2 + 9p2 = 3600

donde q representa el número (en miles)de paquetes demandados semanalmentecuando el precio unitario es p soles. ¿Conqué rapidez la cantidad demandada se in-crementa cuando el precio por paquete es de 14 soles y sabiendo que semanal-mente el precio de venta cae a razón de 10 céntimos por paquete?

Ejercicio 4.66. (Pagando un préstamohipotecario). Los Hidalgo están pla-neando comprar sus casa dentro delos próximos meses y calculan que ne-cesitarán un prestamo hipotecario de250,000 dolares pagaderos a 30 años. Elbanco les cobrará una tasa de interés der dolares anuales y dicha tasa de inte-rés (en dolares) puede calcularse

usando la siguiente fórmula

P =250, 000r

12[

1−(

1 +r

12

)−360]

(i) Si la tasa de interés actual es de 7 % anual y ellos confirman el prestamo aho-ra mismo, ¿Cómo deberan pagar los Hidalgo mensualmente el préstamo dela hipoteca?

(ii) Si la tasa actual de interés se incrementa en un 0.25 % por mes ¿Con quérapidez pagarán mensualmente el préstamo hipotecario de 250,000 dolares?Interprete el resultado.

Ejercicio 4.67. (Producción industrial). Los economistas emplean usualmente laexpresión “tasa de crecimiento” de manera informal. Por ejemplo, sea u = f (t) elnúmero de personas en la fuerza laboral de una fábrica en el tiempo t. (Trataremosa esta función siendo diferenciable en lugar de pensarlo como una función quetoma valores enteros).

(i) Sea v = g(t) la producción promedio por persona en la fuerza laboral enel tiempo t. La producción total es entonces y = uv. Si la fuerza laboral


es creciente a razón de 4 % por año (du/dt = 0.04u) y la producción portrabajador es creciente a razón de 5 % por año (dv/dt = 0.05v), hallar latasa de crecimiento de la producción total y.

(ii) Suponga que la fuerza laboral en la parte (i) es decreciente a razón de 4 %por año, mientras que la producción por persona es creciente a razón de3 % por año. ¿La producción total es creciente, o es decreciente, cuál es estarazón?



RESPUESTAS DE SECCIÓN 4.2Ejercicio 4.10: (i) 16, (ii) −6.9, (iii) 32, (iv) 0, (v) −269. Ejercicio 4.11: (i) 1469

galones, (ii) p′(t) = −0.018t + 0.12, (iii) 66 galones. Ejercicio 4.12: (i) h′(t) =

−32t metros por segundo, (ii) h′(t) = −32 metros por segundo. Ejercicio 4.13: (i)p′(t) = 2.4t− 6.1, (ii) 1.1. Ejercicio 4.14: (i) p′(t) = 4000t, (ii) 40, 000, (iii) 36, 000,(iv) Significa que en el mes 9, la razón de cambio en el número de visitas es de36, 000 visitantes por mes. Ejercicio 4.15: (i) p′(x) = −0.19+ 0.18x, (ii) 41.61 soles(iii) 3.41.

RESPUESTAS DE SECCIÓN 4.3Ejercicio 4.18: (i) f ′(x) = 1, (ii) f ′(x) = 2x, (iii) f ′(x) = 3x2 + 6. Ejercicio 4.20:

0.96 m/seg2. Ejercicio 4.21: 19.95, y significa que al producir el teléfono 301, elcosto se incrementa en 19.95 dólares. Ejercicio 4.22: (i) f ′(x) = 7 ln(1.3)1.3x + ex,(ii) f ′(x) = 4/x, (iii) f ′(x) = −2 cos x. Ejercicio 4.23: (i) f ′(t) = 70e0.07t, (ii) 140.7.Ejercicio 4.24: (i) 105.6 gramos, y su peso cambia a razón de 1.05 gramos por semana(ii) En la semana 7 cambia a razón de 1.474 gramos por semana y en la semana9 a razón de 0.81 gramos por semana. Ejercicio 4.25: (i) Aproximadamente 55minutos, (ii) v′(h) = eh.

RESPUESTAS DE SECCIÓN 4.5Ejercicio 4.41: 4222.8 soles por hora. Ejercicio 4.42: (i) Aumenta a razón de

577 ancianos por año, (ii) Aumenta a razón de 366 ancianos por año. Ejercicio4.43: (i) f ′(x) = 3 cos 3x, (ii) g′(x) = 3 sen2 x cos x, (iii) h′(x) = 4 sen x(cos x +

1)/(cos x − 1)3. Ejercicio 4.45: v(t) = x′(t) = Aω cos(ωt + ϕ), a(t) = v′(t) =

−Aω2 sen(ωt + ϕ). Ejercicio 4.46: 0 dólares de un USB por día, 28 dólares por ca-da USB. Ejercicio 4.47: (i) f ′(x) = exe−1 + ex, (ii) g′(x) = (ln 2)(−2cotg x)(csc2 x),(iii) h′(u) = 2u2+1u ln 2, (iv) l′(x) = 8x(x ln 8 − 1)/x2. Ejercicio 4.48: A(0.5) =

0.15 y A(8) = −0.02. Ejercicio 4.50: (i) 1, (ii) p′(t) = kae−kt/(1 + ae−kt)2. Ejer-cicio 4.51: (i) 1.94 seg, (ii) 7.57 m/seg. Ejercicio 4.52: (i) 34.3 %, (ii) Decrece en2.14 por ciento en dicha década. Ejercicio 4.53: (i) A = 15 y k = 0.02, (ii) 20◦C.

RESPUESTAS DE SECCIÓN 4.6Ejercicio 4.65: 29 paquetes por semana. Ejercicio 4.67: (i) 4 % por año. (ii) es

creciente en 1 % por año.

Capítulo 5

Aplicaciones de la DerivadaEn este capítulo estudiaremos a la derivada y sus aplicaciones. Más precisa-

mente, revisaremos extremos relativos y absolutos, que nos permitirán estudiaroptimización de funciones. Luego analizaremos gráficas de funciones y finaliza-remos revisando el método de Newton para aproximar ceros de funciones.

Un modelo matemático puede ser usado para predecir el ingreso de una com-pañía en un momento dado. Los ejecutivos de negocios no solo se interesan enel dinero que ingresa a la compañía, sinó también están interesados en el rumboque tendrán estos ingresos. La derivada de la función de ingresos muestra de quémanera el ingreso crece o decrece.

357

358 Lord Barrera - Capítulo 5. Aplicaciones de la Derivada

5.1. Aproximación Lineal y Aplicaciones

Para resolver algunos problemas concretos, algunas veces estamos interesa-dos en el efecto de “un pequeño cambio”. Por ejemplo,

(i) Si el precio de una entrada al cine es de 9 soles, ¿de qué manera se incre-menta el ingreso total si cada entrada se incrementa en 0.5 centavos?

(ii) Sabiendo que la raíz cúbica de 27 es 3, ¿podemos aproximarnos a la raízcúbica de 28.7?

(iii) ¿Qué pasa con el volumen de una esfera cuando variamos ligeramente elradio?

En cada caso tenemos una función f (x) y nos interesa estudiar el cambio

∆ f = f (a + ∆x)− f (a), donde ∆x es pequeño

La aproximación lineal usa la derivada para estimar ∆ f , sin necesidad de calcu-lar este valor exactamente. Por definición de derivada tenemos

f ′(a) = lı́m∆x→ 0

f (a + ∆x)− f (a)∆x

= lı́m∆x→ 0

∆ f∆x

Así que cuando ∆x es pequeño, tenemos ∆ f /∆x ≈ f ′(a) y se tiene

∆ f ≈ f ′(a)∆x

Definición 5.1.1. Dada una función f , derivable en x = a, la aproximación linealde ∆ f en el punto a es

∆ f ≈ f ′(a)∆x

La cantidad ∆ f es el cambio vertical dex = a hasta x = a + ∆x en la gráfica def . Recordemos que para una recta no ver-tical, el cambio vertical es igual a la pen-diente veces el cambio horizontal. Des-de que la recta tangente tiene pendientef ′(a), el cambio vertical en la recta tangen-te es f ′(a)∆x. ra a + x

f ( ra + x)

f (a)

y

f

rf =

cambioactual

rx(́a)rx

x

Lord Barrera - Sección 5.1. Aproximación Lineal y Aplicaciones 359

Ejemplo 5.1.1. (Posición y velocidad).La posición de un objeto dependiendo deltiempo (en segundos) es modelada por lafunción

s(t) = t3 − 18t + 10 metros .

Estimar la distancia recorrida sobre el in-tervalo de tiempo [3, 3.025].

Solución. Tenemos ques′(t) = 3t2 − 18

y de aquí s′(3) = 9 m/s. El intervalo de tiempo [3, 3.025] tiene longitud ∆t =

0.025. Así que la aproximación lineal es

∆s ≈ s′(3)∆t = 9(0.025) = 0.225 m

Ejemplo 5.1.2. (Expansión de un ca-ble metálico). Un cable metálico tiene 10pulgadas cuando la temperatura ambien-te es de 80◦ F. Estimar el cambio de la lon-gitud cuando la temperatura es de 85◦ F,asumiendo que

dLdT

= kL (5.1.1)

donde k = 9.6× 10−6 ◦ F−1

Solución. ¿Cómo aplicar la aproximación lineal en este caso? Queremos es-timar el cambio en la longitud ∆L cuando T se incrementa de 80◦ a 85◦, estosignifica que ∆T = 5◦. Usaremos la ecuación (5.1.1) para hallar dL/dT cuandoL = 10 pulgadas.

dLdT

= kL = 9.6× 10−6(10) ≈ 9.6× 10−5 pulg/◦F

De acuerdo a la aproximación lineal, ∆L se estima como

∆L ≈ dLdT

∆T ≈ (9.6× 10−5)(5) = 4.8× 10−4 pulgadas


Ejemplo 5.1.3. (Tamaño de una pizza). Un negocio de pizzas afirma que sus

pizzas tienen forma de disco y con 32 cmde diámetro.

(i) ¿Cuál es el área de la pizza?

(ii) Calcular la cantidad de pizza gana-da o perdida si los cocineros de lapizería se equivocan en el diámetroun máximo de 2 cm.

Solución. Primero expresemos el área de la pizza en función del diámetro: sir es el radio, sabemos que r = D/2, luego

A(D) = πr2 = π

(D2

)2

=π

4D2

(i) El área de la pizza con 32 cm de diámetro es

A(32) =(π

4

)(32)2 ≈ 804.2 cm2 .

(ii) Si los cocineros se equivocan en el diámetro, entonces el nuevo diámetroserá 32 + ∆D y la pérdida o ganancia de la pizza es

∆A = A(32 + ∆D)− A(32)

Notemos que

A′(D) =πD

2y A′(32) ≈ 50.2656 cm .

Así que la aproximación lineal es

∆A = A(32 + ∆D)− A(32) ≈ A′(32)∆D = 50.2656(∆D)

Debido a que el error es ±2 cm la pizza gana o pierde una cantidad de

∆A ≈ ±(50.2656)(2) = ±100.5312 cm2 .

O sea que, la pérdida o ganancia es aproximadamente 12.5 %.


LINEALIZACIÓN

Podemos aproximar la función f (x) por la variación ∆ f . Para esto reescribi-mos la aproximación lineal en términos de la variable x = a + ∆x. De aquí

f (a + ∆x)− f (a) ≈ f ′(a)∆x

f (x)− f (a) ≈ f ′(a)(x− a) desde que ∆x = x− a

f (x) ≈ f (a) + f ′(a)(x− a)

La función de la derecha, denotada por La(x) se llama linealización de f (x)en x = a :

La(x) = f (a) + f ′(a)(x− a)

Nos referimos a x = a como el centro de la linealización. Notemos que y = La(x)es la ecuación de la recta tangente a la gráfca de f (x) en x = a.

Definición 5.1.2. Dada una función f , derivable en x = a, la linealización de fen el punto a es

La(x) = f (a) + f ′(a)(x− a)

Entoncesf (x) ≈ La(x) .

Ejemplo 5.1.4. Dada la función f (x) = x2, la linealización de f en x = 1 es

L1(x) = f (1) + f ′(1)(x− 1) = 1 + 2(x− 1) = 2x− 1 .

Ejemplo 5.1.5. Dada la función f (x) = ex, la linealización de f en x = 0 es

L0(x) = f (0) + f ′(0)(x− 0) = 1 + 1(x− 0) = x + 1 .

Ejemplo 5.1.6. Hallar la linealización de f (x) =√

x en x = 4. Use el resulta-do anterior para estimar

√3.9 .

Solución. Aquí a = 4. Desde que

f ′(x) =12

x−1/2 =1

2√

x


Entonces f ′(4) =14

. También f (4) = 2. Entonces de acuerdo a la definición, lalinealización de f es

L4(x) = f (4) + f ′(4)(x− 4)

o

L4(x) = 2 +14(x− 4) =

14

x + 1

Finalmente, de la ecuación anterior vemos que√

3.9 = f (3.9) ≈ L4(3.9) =14(3.9) + 1 = 1.975 .

En el siguiente ejemplo, calcularemos el porcentaje de error, el cual es másimportante que el error mismo.

Porcentaje de error =∣∣∣ errorvalor actual

∣∣∣× 100 %

Ejemplo 5.1.7. Use la linealización para estimar tg(π

3+ 0.04

)y calcule el

porcentaje de error.Solución. Hallemos la linealización de f (x) = tg x en a = π/3.

f(π

3

)= tg

(π

3

)=√

3

y

f ′(π

3

)= sec2

(π

3

)= (2)2 = 4

Por otro lado,

Lπ/3(x) = f(π

3

)+ f ′

(π

3

) (x− π

3

)=√

3 + 4(

x− π

3

)Entonces la linealización estimada es

tg(π

3+ 0.04

)≈ Lπ/3

(π

3+ 0.04

)=√

3 + 4 (0.04) = 1.8921

y el porcentaje de error es

Porcentaje de error ≈∣∣∣∣1.9041− 1.8921

1.9041

∣∣∣∣× 100 = 0.63 %


TAMAÑO DEL ERROR

En los ejemplos de esta sección usted debe estar convencido de que la aproxi-mación lineal es una buena aproximación de ∆ f = f (a + h)− f (a) cuando h espequeño. Pero si queremos confiar en la aproximación lineal, necesitamos cono-cer más acerca del tamaño del error:

E = error = |∆ f − f ′(a)h|

Gráficamente, el error en la aproximaciónlineal es la distancia vertical entre la grá-fica de f y la recta tangente. Ahora com-paremos las dos gráficas de la figura aba-jo. Cuando la gráfica es relativamente pla-na (figura (a)) la aproximación lineal esbastante precisa. Por otra parte, cuando lagráfica se dobla bruscamente (figura (b)) ra a + x

f ( ra + x)

f (a)

y

f

error

h(́a)

x

h

la aproximación lineal resulta menos precisa.

a af ( (, (( a af ( (, ((

Error pequeño en laaproximación lineal

Error grande en laaproximación lineal

(a) (b)

La forma de cómo se curva la gráfica, es determinado por la rapidez con la quecambian de dirección las rectas tangentes, el cual se relaciona con f ′′(x). Cuandof ′′(x) es bien pequeño, la gráfica es plana y la aproximación lineal es más pre-cisa sobre un intervalo que contiene al punto a. Realmente, si f ′′(x) es continua,entonces el error satisface la siguiente cota de error.

E ≤ 12

Kh2

donde K es el valor máximo de f ′′(x) sobre el intervalo [a, a + h]. Esta es unarelación cuantitativa entre el error E y el tamaño de la segunda derivada. Estotambién muestra que el error E es de orden dos en h, significando que E no esmás grande que una constante veces h2. Así que, si h es bien pequeño, digamosh = 10−4, entonces E es bien pequeño ya que tiene orden de magnitud h2 = 10−8.


5.2. Extremos Relativos

En economía, los extremos relativos pueden verse como momentos de un pe-riodo donde las ventas en una empresa alcanzan valores óptimos en el mercado;así como valores desconcertantes para el ingreso económico de una empresa. Siconocemos el comportamiento del modelo económico, podemos asegurarnos dehallar los momentos donde alcanzamos cantidades óptimas en las cifras de ventay estimar las pérdidas que resultan de nuestra venta.

solutekcolombia.com

Supongamos que en una empresa, el ingreso en las ventas de software desdeel 2000 hasta el 2010 se modela por la función I(x) = 0.395x3 − 6.67x2 + 30.3x +

3661, donde I(x) está en miles de dólares y x es el número de años desde el año2000. El gráfico abajo muestra el nivel de ventas en su nivel más alto alrededordel año 2004.

Este máximo relativo indica la manera enque las ventas cambian de un compor-tamiento creciente a un comportamientodecreciente. De manera similar, alrededordel 2009 el nivel de ventas experimentaun mínimo relativo, o sea que las ven-tas cambian de un comportamiento decre-ciente a un comportamiento creciente.

3670

3680

3690

3700

0 2002 2004 2006 2008 2010

Lord Barrera - Sección 5.2. Extremos Relativos 365

Podemos utilizar tecnología para estimar máximos y mínimos relativos comose ve en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 5.2.1. (Instalación de cable).Una compañía de televisión por cable (TV-futuro) promocionó sus ventas en un pue-blo que no disponía de tal servicio. Luegoque TV-futuro saturó el mercado, introdu-jo un nuevo paquete con 50 canales adicio-nales y comenzó una nueva campaña ensus ventas. Cuando la compañía empezóa brindar su sistema ampliado, una nueva compañía empezó a a ofrecer el servi-cio satelital con más canales que TV-futuro y a un precio menor. Algunos ingresossemanales de la compañía TV-futuro se muestran en la siguiente tabla.

Semana 2 6 10 14 18 22 26

Ingreso 37,232 66,672 70,000 71,792 78,192 76,912 37,232

Un modelo del ingreso en las ventas para la compañía TV-futuro durante las26 semanas luego de comenzado la campaña es

I(x) = −3x4 + 160x3 − 3000x2 + 24, 000x dólares

donde x es el número de semanas desde que la compañía TV-futuro empezó sunueva campaña de ventas.

(i) Use tecnología para ubicar las fechas cuando el ingreso de la compañía TV-futuro alcanza sus máximos valores en el intervalo de 26 semanas.

(ii) Explique lo que sucede con las ventas de cable en estas fechas.

Solución. (i) Podemos usar wolframalphao derive para graficar la función

I(x) = −3x4 + 160x3 − 3000x2 + 24, 000x

como vemos en la figura derecha. Sus so-luciones son

x = 10 y x = 2010000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

00 5 10 15 20 25


En la semana 20 el ingreso alcanzó su máximo de 80,000 dólares. Esto podríacorresponder al momento en que aparece la otra compañía de cable afectando lasventas de la compañía de TV-futuro.

(ii) El otro punto de máximo local es x = 10 y la recta tangente a la gráfica deI es horizontal. Esto corresponde al momento en que el ingreso de la compañíaTV-futuro se estabilizó antes de aumentar nuevamente sus ventas.

Formalicemos a continuación el concepto de máximo y mínimo relativo.

Definición 5.2.1. Sea f una función y c un punto en el interior del dominio de f .

(i) f tiene un máximo relativo en x = c si

f (c) ≥ f (x) para todo x próximo de c.

(ii) f tiene un mínimo relativo en x = c si

f (c) ≤ f (x) para todo x próximo de c.

Un máximo relativo o mínimo relativo es llamado extremo relativo.

Si no hay peligro de confusión, diremos que x = c es el extremo relativo, oque (c, f (c)) es el extremo relativo. Como vemos en la figura abajo, cada extremorelativo es el punto en donde la recta tangente a la gráfica es horizontal, o dondela gráfica tiene puntas.

máximo relativo

f ´( (b no existe

máximo relativo

f ´( (d = 0

mínimo relativo

f ´( (a = 0

mínimo relativo

f ( (c no existea

b c d

x

y

´


Ejemplo 5.2.2. Podemos ver en la figura abajo que

(1) f (x) = x2 tiene mínimo relativo en x = 0 pero no máximo relativo.

(2) f (x) = x3 no tiene extremo relativo.

(3) f (x) = x3 − 3x + 3 tiene máximo relativo en x = −1 y mínimo relativo enx = 1.

y = x2 y = x3 y = x3- x3 +3

y y y

x

x

x

-1 1

Los puntos donde hay mínimo relativo o máximo relativo, pertenecen a unacolección más grande de puntos llamados puntos críticos.

Definición 5.2.2. Los puntos interiores c del dominio de f para el cual

f ′(c) = 0 o f ′(c) no existe

son llamado puntos críticos para f .

Ejemplo 5.2.3. La función f (x) = 0.4x2 − 2x + 10 tiene derivada

f ′(x) = 0.8x− 2.

Entoncesf ′(x) = 0 ⇔ 0.8x− 2 = 0 ⇔ x = 2.5

O sea, x = 2.5 es un punto crítico para f .

Observación 5.2.1. Resolver f ′(x) = 0 puede arrojar uno, varios o ningún puntocrítico y esto depende de que f (x) sea derivable. Por otra parte, la existencia deun punto crítico no garantiza la existencia de un extremo relativo. Una manerade ver que un punto crítico (c, f (c)) es un extremo relativo es observando que larecta tangente a la gráfica de f (x) sea paralela al eje x.


Teorema 5.2.4. (Fermat). Sea c un punto interior en el dominio de f . Si c es un extremorelativo para f , entonces c es un punto crítico para f .

Observación 5.2.2. El teorema de Fermat no afirma que los puntos críticos seanextremos relativos; pero sí afirma que los extremos relativos son puntos críticos.Por ejemplo, la función f (x) = x3 no tiene extremo relativo en x = 0. En efecto,la derivada

f ′(x) = 0 ⇔ 3x2 = 0

nos da como único punto crítico x = 0. Sinembargo, este punto no es un extremo re-lativo para f (x): notemos que para x bienpróximo a la izquierda del cero f (x) tomavalores negativos y para x bien próximo ala derecha del cero f (x) toma valores po-sitivos.

y = x3

y

x

En las siguientes figuras, f ′(c) = 0 y los extremos relativos pueden ocurrir enla entrada x = c.

x

xf ( ( xf ( (

c cx

En las siguientes figuras, f´ 0,( )c = pero en la entrada la función no tienec, fextremos relativos.

x

xf ( (

cx

xf ( (

c


Ejemplo 5.2.5. (Resolviendo el mode-lo de ingreso en las ventas). El ingreso enlas ventas de software desde inicios delaño 2000 hasta fines del 2010 puede sermodelado por la siguiente función

I(x) = 0.395x3 − 6.67x2 + 30.3x + 3661

donde I(x) se mide en miles de dólares yx es el número de años desde el 2000. sc

ience

splu

s.ca

(i) Calcular la derivada de I.

(ii) Localizar los puntos críticos de I.

(iii) Calcular el ingreso en los puntos críticos conseguidos de la parte (ii). Inter-pretar estas salidas.

Solución. (i) La derivada de la función ingreso en la venta de software es

I ′(x) = 1.185x2 − 13.34x + 30.3 miles de dólares por año

donde x es el número de años desde el 2000; aquí 0 ≤ x ≤ 10.

(ii) Haciendo I′(x) = 0 tenemos

1.185x2 − 13.34x + 30.3 = 0

y hallando las soluciones x, resultan dos puntos críticos

x ≈ 3.16 y x ≈ 8.10

(iii) Las ventas alcanzan un máximo ingre-so a comienzos del año 2003, que es

I(3.16) = 3′703, 000 dólares

También arrojan un ingreso mínimo de

I(8.10) = 3′670, 000 dólares

a comienzos del 2008.

3670

3680

3690

3700

0 2002 2004 2006 2008 2010


CRITERIOS PARA DETERMINAR EXTREMOS RELATIVOS

Las derivadas pueden ser usadas para calcular mínimos y máximos relativos.A continuación enunciamos algunos resultados que nos pérmitirán calcular ex-tremos relativos:

Teorema 5.2.6. (Criterio de la primera derivada para calcular extremos). Sea c unpunto crítico para f . Entonces c es un

(i) Máximo relativo si f ′(x) > 0 a la izquierda de c y f ′(x) < 0 a la derecha de c.

(ii) Mínimo relativo si f ′(x) < 0 a la izquierda de c y f ′(x) > 0 a la derecha de c.

(iii) No es extremo relativo si f ′(x) > 0 tiene el mismo signo en ambos lados de c.

Debemos aclarar que los valores f ′(x) ocurren para las entradas x “bien próxi-mas” del punto c. Por ejemplo, para que x = c sea un máximo relativo, la derivadaf ′(x) debe ser positiva para valores x menores que c y bien cerca de c; mientrasque la derivada f ′(x) debe ser negativa para valores x mayores que c y bien cercade c.

c cf ´ > 0 f ´ >0 f ´ >0 f ´ > 0cf ´ > 0 f ´ > 0

cf ´ >0 f ´ >0

máximo relativo mínimo relativo casos donde no existe extremo relativo

Vamos a ser más precisos con la expresión “bien próximo”, para esto damosun criterio más general llamado criterio de crecimiento y de decrecimiento.

Teorema 5.2.7. (Criterio de crecimiento y de decrecimiento). Sea I un intervaloabierto y f una función definida en I.

(i) Si f ′(x) > 0 para todo x ∈ I, entonces f es creciente.

(ii) Si f ′(x) < 0 para todo x ∈ I, entonces f es decreciente.


(UN CRITERIO SIMPLE). Suponga que f es una función derivable. Para hallarlos extremos relativos debemos tener en cuenta los siguientes pasos

(i) Hallar todos los puntos críticos, es decir, todos los c para el cual


(ii) Ubicar todos los puntos hallados en (i) en la recta real.

c1 c2 ci-1 ci ci+1 cn-1 cn. . . . . .

(iii) Evaluar f ′(x) en un punto interior de cada subintervalo hallado: digamosque elige a ∈ (ci−1, ci).

(1) Si f ′(a) > 0, entonces f (x) crece en este intervalo.

(2) Si f ′(a) < 0, entonces f (x) decrece en este intervalo.

EN CONCLUSIÓN

c c c c

máximo relativo mínimo relativo casos donde no existe extremo relativo

crece decrece decrece crece crece crece decrece decrece

y xf ( (=

y xf ( (=y xf ( (= y xf ( (=

Ejemplo 5.2.8. (Caso donde existe la derivada). Determinar los extremos re-lativos de la función

f (x) = 2x3 + 3x2 − 12x− 7

Solución. (i) Hallemos la derivada de f (x):

f ′(x) = 6x2 + 6x− 12 = 6(x + 2)(x− 1)

De aquí, los puntos críticos se consiguen haciendo

f ′(x) = 0 ⇔ 6(x + 2)(x− 1) = 0 ⇔ x = −2 o x = 1

(ii) Al ubicar estos puntos en la recta real obtenemos los intervalos

(−∞,−2), (−2, 1) y (1,+∞)

(iii) Para determinar qué tipo de punto crítico es x = −2, evaluamos la deri-vada f ′(x) en el punto −2.5 ∈ (−∞,−2) y en el punto −1.5 ∈ (−2, 1)


(1) Si x = −2.5, entonces f ′(−2.5) = 6(−2.5 + 2)(−2.5− 1) = 10.5 > 0

(2) Si x = −1.5, entonces f ′(−1.5) = 6(−1.5 + 2)(−1.5− 1) = −7.5 < 0

Esto significa que x = −2 es un máximo relativo para f (x).

Veamos ahora el tipo de punto crítico queresulta x = 1. Para esto evaluamos la de-rivada en puntos próximos de x = 1: ele-gimos los puntos 0.5 y 1.5

(1) Si x = 0.5, entonces f ′(0.5) =

6(0.5 + 2)(0.5− 1) = −7.5 < 0

(2) Si x = 1.5, entonces f ′(1.5) =

6(1.5 + 2)(1.5− 1) = 10.5 > 0

y

x

-2

1

Esto significa que x = 1 es un mínimo relativo para f (x).

Ejemplo 5.2.9. (Caso donde no existe la derivada). Consideremos la funciónvalor absoluto f (x) = |x|. Sabemos que

f ′(0−) = lı́mh→ 0−

f (0 + h)− f (0)h

= lı́mh→ 0−

|0 + h| − |0|h

= lı́mh→ 0

−hh

= −1

y

f ′(0+) = lı́mh→ 0+

f (0 + h)− f (0)h

= lı́mh→ 0+

|0 + h| − |0|h

= lı́mh→ 0

hh= 1

Esto nos dice que no existe la derivada f ′(0). Sin embargo, x = 0 es un mínimorelativo para f (x) como vemos a continuación:

(1) Para x < 0, f (x) = |x| = −x yf ′(x) = −1 < 0.

(2) Para x > 0, f (x) = |x| = x yf ′(x) = 1 > 0.

Por lo tanto, x = 0 es un mínimo relativopara f (x) = |x|.

y

x

-2 1-1 2

Veamos a continuación otro criterio importante, que usa la segunda derivaday nos permite caracterizar extremos relativos:


Teorema 5.2.10. Suponga que f ′(a) = 0 y que f ′′(a) existe.

(i) Si f ′′(a) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en a.

(ii) Si f ′′(a) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en a.

(ii) Si f ′′(a) = 0, entonces el criterio no es concluyente, es decir, f puede tener unmáximo relativo o mínimo relativo, como también ninguno de ellos.

Ejemplo 5.2.11. Sigamos con la función f (x) = 2x3 + 3x2 − 12x− 7 del ejem-plo 5.2.8. Ya sabemos que la derivada es

f ′(x) = 6x2 + 6x− 12 = 6(x + 2)(x− 1)

y que haciendo f ′(x) = 0 se consigue sus puntos críticos x = −2 y x = 1. Si nosfijamos en la segunda derivada tenemos

f ′′(x) = 12x + 6

Ahora bien, evaluando la segunda derivada en estos puntos críticos llegamos a

f ′′(−2) = 12(−2) + 6 = −18 < 0 y f ′′(1) = 12(1) + 6 = 18 > 0

De esto se deduce que x = −2 es un máximo relativo para f (x) y x = 1 es unmínimo relativo para f (x).

Ejemplo 5.2.12. (El criterio de la segunda derivada no es concluyente). Ana-licemos los puntos críticos de f (x) = x5 − 5x4.

Solución. Hallando la primera y la segunda derivada de f (x) tenemos

f ′(x) = 5x4 − 20x3 = 5x3(x− 4)

f ′′(x) = 20x3 − 60x2

Los puntos críticos son c = 0, 4 y el criterio de la segunda derivada nos da

f ′′(0) = 0 Entonces falla el criterio de la segunda derivada

f ′′(4) = 320 > 0 Entonces hay mínimo relativo en x = 4 .

Ya que falla el criterio de la segunda derivada en c = 0, regresamos al criteriode la primera derivada. Elegimos puntos a la izquierda y a la derecha de c = 0.

f ′(−1) = 5 + 20 = 25 > 0 Entonces f ′(x) es positiva en (−∞, 0)

f ′(1) = 5− 20 = −15 < 0 Entonces f ′(x) es negativa en (0, 4) .

En conclusión, en el punto c = 0 hay máximo relativo.


5.3. Extremos Absolutos

Un extremo puede ser el punto más alto o el punto más bajo en la gráfica deuna función, en este caso llamamos extremo absoluto. Por ejemplo, la paráboladada por f (x) = x2 tiene un mínimo relativo en (0, 0). Este punto es tambiénel más bajo en la gráfica de f y es llamado mínimo absoluto. Extremos relativosson útiles para comprender el comportamiento de una función; sin embargo, enmuchas aplicaciones nos concentraremos en extremos absolutos.

Consideremos nuevamente la función de ingreso de ventas de software deuna compañía desde el año 2000 hasta el 2010.

I(x) = 0.395x3 − 6.67x2 + 30.3x + 3661 miles de dólares

donde x es el número de años desde el2000. En la sección anterior estudiamos elmodelo restricto a los años 2000 hasta el2010, o sea, 0 ≤ x ≤ 10. Sin embargo estemodelo puede aplicarse a más años. La si-guiente figura muestra el comportamientode los ingresos del año 2000 hasta el 2013 3661

3700

3750

3800

2000 2013

También vimos en la sección anterior que el ingreso máximo relativo a comienzosdel 2003 fue de 3’703,000 dólares y el ingreso mínimo relativo fue de 3’670,000dólares. Sin embargo, a partir del gráfico es evidente que después del 2010, lasventas aumentan considerablemente y resulta mayor que 3’703,000 dólares.

Formalicemos a continuación la definición de extremo absoluto.

Lord Barrera - Sección 5.3. Extremos Absolutos 375

Definición 5.3.1. (Máximo y mínimo absoluto). Sea a un punto en el dominio dela función f . Entonces

(i) f tiene máximo absoluto en a si f (a) ≥ f (x) para todo x ∈ dom( f ).

(ii) f tiene mínimo absoluto en a si f (a) ≤ f (x) para todo x ∈ dom( f ).

Un punto donde hay máximo absoluto o mínimo absoluto es llamado punto deextremos absoluto.

Observación 5.3.1. Si f tiene un máximo absoluto en el punto a sobre un interva-lo, entonces f (a) es el mayor valor de f en dicho intervalo, y si f tiene un mínimoabsoluto en el punto a sobre un intervalo, entonces f (a) es el menor valor de f endicho intervalo. En general, no tenemos garantía que una función tenga máximoabsoluto o mínimo absoluto en un intervalo dado.

f tiene un mínimo absolutopero no un máximo absolutoen el intervalo ( (8 8- +,

f tiene un máximo absolutoy un mínimo absoluto en elintervalo

x

y

x

y

f tiene un máximo absolutopero no un mínimo absolutoen el intervalo

x

y

f no tiene extremo absolutoen el intervalo

( (8 8- +,

( (8 8- +,

x

y

( (8 8- +,

f tiene un máximo absolutoy un mínimo absoluto en elintervalo

x

y

[ [

[a, b [

f no tiene máximo absolutoni mínimo absoluto en elintervalo

x

y

( )a b

(a, b)

a b


Ejemplo 5.3.1. (Maximizando el ingreso). El ingreso de una empresa (en mi-les de dólares) puede ser aproximado por

I(p) = −0.05p2 + 0.98p + 18,

donde p es el precio del producto. ¿Qué precio maximiza el ingreso? sabiendoque no hay pérdidas.

Solución. Comenzamos estudiando la derivada

I ′(p) = −0.1p + 0.98.

Ahora hacemos I ′(p) = 0 para hallar el punto crítico:

−0.1p + 0.98 = 0 ⇔ −0.1p = −0.98 ⇔ p =−0.98−0.1

= 9.80

No hay dificultad ver que en p = 9.80 hayun punto de máximo relativo. ¿Será que elingreso se maximiza para p = 9.80? Pa-ra ver esto usamos la gráfica de la funcióny notamos que la función alcanza su má-ximo valor en este punto. Al resolver laecuación I(p) = 0 conseguimos las raícesp = −11.6 y p = 31.2. Desde que el pre-cio es positivo y no hay pérdidas, entonces

x

y

20

20

-20 9.8

el precio varía entre p = 0 y p = 31.2. Esto nos permite trabajar sólamente en elintervalo [0, 31.2] y garantizar que el máximo absoluto siempre se alcanza en unintervalo de este tipo.

A continuación daremos algunos criterios para calcular extremos absolutos. Elejemplo anterior es un buen punto de partida para trabajar en intervalos cerrados.

EXTREMOS ABSOLUTOS EN INTERVALOS CERRADOS

El siguiente teorema muestra que una función continua siempre admite extre-mo absoluto en un intervalo cerrado.

Teorema 5.3.2. (Teorema del Valor Extremo). Una función continua f definida enun intervalo cerrado [a, b] tiene un punto de máximo absoluto y mínimo absoluto en [a, b].

Vamos a establecer un criterio que nos permita calcular máximos y mínimosabsolutos. Este criterio no es más que una simple aplicación de la derivada:


(Criterio para determinar el máximo y mínimo absoluto). Suponga que f es unafunción continua definida en el intervalo cerrado [a, b]. Para hallar los valoresmáximo y mínimo absoluto sobre [a, b]

(i) Hallar todos los puntos críticos, es decir, todos los c ∈ (a, b) para el cual


(ii) Enumerar los puntos hallados en (i) junto con los extremos del intervalo:

a, c1, c2, · · · , cn, b

(iii) Evaluar f (x) en cada punto del paso (ii)

f (a), f (c1), f (c2), · · · , f (cn), f (b)

El mayor de estos valores es el máximo absoluto de f sobre [a, b]. El menorde estos valores es el mínimo absoluto de f sobre [a, b].

Ejemplo 5.3.3. Hallar los valores máximo y mínimo absoluto de

f (x) = x3 − 3x + 2

sobre el intervalo [−2, 3/2].

Solución. Todo el trabajo se desarrolla sobre el intervalo [−2, 3/2].

(i) Hallando los puntos críticos: Vemos que la derivada

f ′(x) = 3x2 − 3

existe para todo número real, de esta manera resolvemos f ′(x) = 0.

f ′(x) = 0 ⇔ 3x2 − 3 = 0 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = ±1

(ii) Enumerando los puntos críticos y puntos extremos: −2, −1, 1 y 3/2.

(iii) Evaluando f en cada punto del paso (iii):

f (−2) = (−2)3 − 3(−2) + 2 = 0

f (−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4

f (1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0

f(

32

)=

(32

)3

− 3(

32

)+ 2 =

78


Vemos que el mayor de estos valores es 4 que ocurre en x = −1. El menor deestos valores es 0 que ocurre en x = −2 y x = 1. Por tanto, sobre el intervalo[−2, 3

2

]Máximo absoluto = 4 en x = −1

y

Mínimo absoluto = 0 en x = −2 y x = 1

Note que un valor máximo absoluto o mínimo absoluto puede ocurrir en másde un punto.

Ejemplo 5.3.4. (Problema de Kepler sobre el barril de vino). En su traba-jo Nova stereometria doliorum vinariorum (Nueva geometría sólida de un barril devino), publicado en 1615, el astrónomo Johannes Kepler planteó y resolvió el si-guiente problema: hallar las dimensiones de un cilindro de volumen máximo quepuede ser inscrito en una esfera de radio R.

Solución. Sean r y h las dimensiones co-mo se muestra en la figura. El volumen delcilindro inscrito es V = πr2h. El teoremade Pitágoras establece que

r2 +

(h2

)2

= R2, así r2 = R2 −(

h2

)2

h

Rh

2

r

Entonces

V = πr2h = π

[R2 −

(h2

)2]

h = π

(R2h− h3

4

)Notemos que 0 ≤ h ≤ 2R. Entonces resolviendo

V ′(h) = π

(R2 − 3

4h2)= 0 para h ≥ 0 obtenemos h =

2R√

3

Desde que V(0) = V(2R) = 0, el mayor volumen es

V(

2R√

3

)=

49

π√

3R3

que sucede cuando h = 2R/√

3 y r =√

2/3R.


Ejemplo 5.3.5. (Modelo económico deE. Heady y J.Pesek). De acuerdo al si-guiente modelo desarrollado por los eco-nomistas E. Heady y J.Pesek, si un fertili-zante compuesto de N kilos de nitrógenoy P kilos de fosfato es usado en una tierrade cultivo, entonces la cosecha de maíz (entoneladas por hectárea) es m

oth

ere

art

hnew

s.c

om

Y = 7.5 + 0.6N + 0.7P− 0.001N2 − 0.002P2 + 0.001NP (5.3.2)

Un agricultor intenta gastar 30 soles de fertilizante por hectárea. Si el nitrógenocuesta 25 céntimos (por kilo) y el fosfato 20 céntimos (por kilo), ¿qué combinaciónentre N y P produce la mayor producción de maíz?

Solución. El presupuesto del agricultor es de 30 soles por hectárea, así quetenemos la ecuación

0.25N + 0.2P = 30 que equivale a P = 150− 1.25N

Sustituyendo P en la ecuación (5.3.2) hallamos que

Y(N) = 7.5 + 0.6N + 0.7(150− 1.25N)− 0.001N2 − 0.002(150− 1.25N)2

+ 0.001N(150− 1.25N)

= 67.5 + 0.625N − 0.005375N2

Ambos N y P deben ser no negativos. Desde que P = 150− 1.25N ≥ 0, requeri-mos que 0 ≤ N ≤ 120. Derivando y resolviendo:

dYdN

= 0.625− 0.01075N = 0 ⇒ N =0.625

0.01075≈ 58.14 kg

Ahora bien, Y(0) = 67.5, Y(120) = 65.1 y Y(58.14) = 85.67. Esto significa quela mayor producción de maíz ocurre cuando N ≈ 58.14 kilos y P ≈ 77.33 kilos.

Observación 5.3.2. Si una función es continua en un intervalo cerrado, sabemosque admite extremo absoluto en dicho intervalo. Ahora nos preguntamos ¿quésucede si la función es creciente o decreciente? Esperaríamos que la función al-cance sus extremos absolutos en los extremos del intervalo. Más precisamente:

(i) Si f es creciente en [a, b], entonces hay mínimo absoluto en x = a y máximoabsoluto en el punto x = b.

(i) Si f es decreciente en [a, b], entonces hay máximo absoluto en x = a y míni-mo absoluto en x = b.


Ejemplo 5.3.6. Una tienda de produc-tos químicos vende ácido sulfúrico al pormayor al precio de 100 soles por bidón. Siel costo total de producción diaria de x bi-dones es

C(x) = 100, 000 + 50x + 0.0025x2

y la capacidad de producción diaria es de7,000 bidones como máximo, s

eil

nacht.

com

(i) ¿Cuántos bidones de ácido sulfurico deben ser producidos y vendidos dia-riamente para maximizar la ganancia?

(ii) ¿Beneficia al fabricante ampliar la capacidad de producción diaria?

(iii) Use análisis marginal para que el efecto en el ingreso de producción diariase incremente de 7,000 a 7,001 bidones.

Solución. (i) La ganacia diaria es

G = ingreso− costo de producción

= 100x− (100, 000 + 50x + 0.0025x2)

= −100, 000 + 50x− 0.0025x2

donde 0 ≤ x ≤ 7, 000. Por otro lado,

dGdx

= 50− 0.005x = 0 sólo cuando x = 10, 000

Debido a que 10,000 no está en el intervalo [0, 7000], la ganancia máxima debeocurrir en algunos de los extremos. Tenemos

G(0) = −100, 000 y G(7, 000) = 127, 500

Esto quiere decir que diariamente se deben producir y vender 7,000 bidones.(ii) La respuesta es afirmativa porque G′(7, 000) > 0. Esto indica que la ga-

nancia se incrementa en este nivel de producción.(iii) Desde que G′(7, 000) = 15, entonces

G(7, 001)− G(7, 000) ≈ 15

y la ganancia marginal es de 15 soles.


EXTREMOS ABSOLUTOS EN INTERVALOS INFINITOS

Funciones continuas pueden tener o no extremos absolutos en intervalos infi-nitos. Sin embargo, ciertas conclusiones acerca de la existencia de extremos abso-lutos de una función continua f en (−∞,+∞) pueden deducirce del comporta-miento de f (x) cuando x→ −∞ y cuando x → +∞.

Teorema 5.3.7. (Extremos absolutos en intervalos infinitos). Sea f una funcióncontinua definida en un intervalo en (−∞,+∞). Se cumplen

(i) Si lı́mx→−∞

f (x) = +∞ y lı́mx→+∞

f (x) = +∞, entonces f admite un mínimo abso-

luto pero no un máximo absoluto en (−∞,+∞).

(ii) Si lı́mx→−∞

f (x) = −∞ y lı́mx→+∞

f (x) = −∞, entonces f admite un máximo

absoluto pero no un mínimo absoluto en (−∞,+∞).

(iii) Si lı́mx→−∞

f (x) = −∞ y lı́mx→+∞

f (x) = +∞, entonces f no admite máximo abso-

luto y tampoco mínimo absoluto en (−∞,+∞).

(iv) Si lı́mx→−∞

f (x) = +∞ y lı́mx→+∞

f (x) = −∞, entonces f no admite máximo abso-

luto y tampoco mínimo absoluto en (−∞,+∞).

Ejemplo 5.3.8. (Extremos absolutos de funciones polinómicas). ¿Qué pode-mos decir acerca de la existencia de extremos absolutos de polinomios? Conside-remos el polinomio

f (x) = anxn + . . . + a1x + a0

Sabemos que

(i) Si n es par y an > 0, entonces

lı́mx→−∞

f (x) = +∞ y lı́mx→+∞

f (x) = +∞

por tanto, f (x) admite mínimo absoluto.

(ii) Si n es par y an < 0, entonces

lı́mx→−∞

f (x) = −∞ y lı́mx→+∞

f (x) = −∞

por tanto, f (x) admite máximo absoluto.


(iii) Si n es impar y an > 0, entonces

lı́mx→−∞

f (x) = −∞ y lı́mx→+∞

f (x) = +∞

por tanto, f (x) no admite máximo ni mínimo absoluto.

(iv) Si n es impar y an < 0, entonces

lı́mx→−∞

f (x) = +∞ y lı́mx→+∞

f (x) = −∞

por tanto, f (x) no admite máximo ni mínimo absoluto.

Ejemplo 5.3.9. En cada caso, determinar si el polinomio admite extremo ab-soluto.

(i) f (x) = −x3 + 4x (ii) f (x) = x4 − 5x2 + 4 (iii) f (x) = x5 − 5x

Solución. (i) Debido a que la función

f (x) = −x3 + 4x

tiene grado impar y el coeficiente princi-pal es negativo, por el ítem (iv) del ejem-plo anterior conseguimos que f (x) no ad-mite extremo absoluto.

(ii) Debido a que la función

f (x) = x4 − 5x2 + 4

tiene grado par y el coeficiente principales positivo, por el ítem (i) del ejemplo an-terior conseguimos que f (x) admite míni-mo absoluto.

(iii) Debido a que la función

f (x) = x5 − 5x

tiene grado impar y el coeficiente princi-pal es positivo, por el ítem (iii) del ejemploanterior, f (x) no admite extremo absoluto.

1

2

3

1 3-1-3

x

y

6

4

x

y

4

4

1

2

1-1-2

x

y

2


EXTREMO ABSOLUTO VERSUS ÚNICO EXTREMO RELATIVO

Si una función continua tiene un único extremo relativo en un intervalo finitoo infinito, entonces los extremos relativos son necesariamente extremos absolutos.Para comprender mejor esto, suponga que f tiene un máximo relativo en x = ay que allí no hay otro extremo relativo en el intervalo. Si f (a) no es el máximoabsoluto de f , entonces la gráfica de f se eleva por encima de x = c. Sin embargoesto no puede suceder ya que en el proceso de crecer y decrecer produce otroextremo relativo.

Teorema 5.3.10. Suponga que f es continua en un intervalo y tiene exactamente unextremo relativo, digamos c.

(i) Si f tiene mínimo relativo en x = c, entonces f tiene mínimo absoluto en el inter-valo, en el punto x = c.

(ii) Si f tiene máximo relativo en x = c, entonces f tiene máximo absoluto en elintervalo, en el punto x = c.

Ejemplo 5.3.11. (Biología). La fotosín-tesis permite el desarrollo de una plantapara la producción de oxígeno. La produc-ción de oxígeno de una planta es dada por

p(t) = 100(

e−0.02t − e−0.1t)

donde t ≥ 0 está en días. ¿Cuándo es másrápida la fotosíntesis? ¿Cuál es esta pro-ducción de oxígeno? s

cie

nce.h

ow

stu

ffw

ork

s.c

om

Solución. Debemos hallar el máximo absoluto de p(t) y para ello determina-mos los puntos críticos:

p′(t) = 100(−0.02e−0.02t + 0.1e−0.1t

)= 0 ⇔ −0.02e−0.02t = −0.1e−0.1t

⇔ e−0.02t+0.1t = 5

⇔ e0.08t = 5

⇔ 0.08t = ln 5

⇔ t =ln 50.08

= 20.12 días


Derivando nuevamente tenemos

p′′(t) = 100(

0.0004e−0.02t − 0.01e−0.1t)

y sustituyendo en t = 20.12 conseguimosp′′(20.12) = −0.107. Así que t = 20.12 esun máximo local. Desde que existe un úni-co punto crítico, el máximo relativo es unmáximo absoluto. 20.2 50 100

50

53.5

t

producción de fotosíntesis

Cuando t = 20.12 días, la cantidad de oxigeno producido por unidad detiempo es

p(20.12) = 100(

e−0.02(20.12) − e−0.1(20.12))= 53.50

Ejemplo 5.3.12. (Operando costos devehículo). En Lima, Martín y Pablo estu-dian los costos de operación de automóvi-les basados en la velocidad promedio delvehículo. Ellos consiguen que el costo deoperación, medido en soles por kilómetropor hora es aproximado por la ecuación

C(v) = 6 +118

v+ 0.0002v2

auto

s.t

erra.c

om

Hallar la velocidad en el cual los costos de operación se minimizan y hallar elcosto mínimo.

Solución. Debemos observar el intervalo (0,+∞). Note que v = 0 es unaasíntota vertical. A continuación derivamos

C′(v) =d

dv

(6 +

118v

+ 0.0002v2)

= −118v2

+ 0.0004v

=0.0004

v2

(v3 − 118

0.0004

)=

0.0004v2

(v3 − 295, 000

)


Haciendo C′(v) = 0, conseguimos

v = 3√

295, 000 ≈ 66.6 .

Además, es fácil verificar que C′(v) < 0 en(0, 66.6) y C′(v) > 0 en (66.6,+∞). Estosignifica que C decrece en (0, 66.6) y creceen (66.6,+∞). Así que el mínimo absolutoocurre en v = 66.6. 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

2

4

6

8

10

12

14

Finalmente, el costo mínimo es C(66.6) = 8,7.

Ejemplo 5.3.13. (Programa de repartoóptimo). Una estación de servicio vendeQ galones de gasolina por año, el cual esdistribuido N veces por año en iguales re-mesas de Q/N galones. El costo de cadaenvío es d soles y el costo de almacena-miento anual es sQT donde T es el tiempo(en fracción de 1 año) entre cada remesa y s es una constante. Muestre que elcosto es minimizado por N =

√sQ/D y halle la cantidad de repartos si Q = 2

millones de galones, d = 8000 soles y s = 30 cen/gal-año. La respuesta debeser un número entero, de esta manera comparar los costos para los dos valoresenteros de N próximos al valor óptimo.

Solución. Existen N repartos por año, así que el intervalo entre repartos esT = 1/N años. De aquí, el costo total de almacenamiento por año es sQ/N,entonces el costo anual de envío es dN y el costo total resulta

C(N) = dN +sQN

Resolviendo

C′(N) = d− sQN2

= 0 resulta N =

√sQd

Para los valores específicos Q = 2′000, 000, d = 8, 000 y s = 0.30, obtenemos

N =

√0.30(2′000, 000)

8, 000= 8.66 .

Con C(8) = 139, 000 soles y C(9) = 138, 667 soles, la cantidad óptima de repartoanual es N = 9.


Ejemplo 5.3.14. (Produciendo artícu-los de iluminación). La producción men-suales de una fábrica de iluminación esP = 2LK2 (en millones), donde L es el cos-to de producción y K es el costo de equi-pos en (millones de soles). La fábrica ne-cesita producir 1.7 millones de unidadesmensuales. ¿Qué valores de L y K minimi-za el costo total L + K? v

erst

eegh-d

esig

n.c

om

Solución. Desde que P = 1.7 y P = 2LK2, tenemos L =0.85K2

. Entonces el

costo de producción es

C(K) = L + K = K +0.85K2

.

Derivando tenemos

C′(K) = 1− 1.7K3

se tiene K =3√

1.7 ya que K ≥ 0

Por otro lado,

lı́mK→ 0+

(K +

0.85K2

)= +∞ y lı́m

K→+∞

(K +

0.85K2

)= +∞

Desde que existe un único punto crítico, el costo mínimo de producción se alcanzapara K = 3

√1.7 ≈ 1.2 y L = 0.6. Por tanto, la fábrica debe invertir 1.2 millones

de soles en equipos y 600, 000 soles en costos de producción.

Ejemplo 5.3.15. (Monopolista). Unmonopolista (o sea, una industria con unasola firma) produce un cierto productoque tiene una función de demanda

q = 5, 000− 25p ⇔ p = −0.04q + 200

el cual describe la relación entre la canti-dad producida q y el precio de venta p.Consideremos la restricción 0 ≤ q ≤ 5000 que puede interpretarse como sigue: siel precio tiende a 200 unidades, el número de clientes que comprará el productose aproxima a cero; sin embargo, cuando el precio tiende a cero, la cantidad de


productos vendidos tiende a 5,000 unidades. El ingreso I de la empresa depen-diendo de la cantidad x es dada por

I(q) = pq = (0.04q + 200)q = −0.04q2 + 200q

Por otro lado, la función de costo de producción C de la empresa, dependiendode la cantidad producida q, es dada por

C(q) = 80q + 22, 400

Esto nos da la función de ganancia

G(q) = I(q)−C(q) = −0.04q2 + 200q− (80q+ 22, 400) = −0.04q2 + 120q− 22, 400

Determinar la cantidad producida que maximiza la ganancia.Solución. Derivando la función ganancia obtenemos

G′(q) = −0.08q + 120 = 0 que da el punto crítico q = 1500

Debido a que G′′(q) = −0.08 < 0, la cantidad de q = 1500 maximiza la gananciacon G(1, 500) = 67, 600. Los puntos donde G(x) = 0 (es decir, el ingreso I(x) seiguala con el costo C(x)) son los puntos de equilibrio. Para nuestro ejemplo

G(x) = 0 ⇔ q2 − 3, 000q + 560, 000 = 0

que nos da los puntos de equilibrio

q1 = 1, 500−√

1′690, 000 = 200 y q2 = 1, 500 +√

1′690, 000 = 2, 800

Esto significa que una cantidad de q ∈ (200; 2, 800) permite que la empresa tengaganancias.

Finalmente, si queremos maximizar el ingreso en las ventas hacemos

I′(q) = 0 ⇔ −0.08q + 200 = 0 que da el punto crítico q = 2, 500

y debido a que I ′′(2, 500) = −0.09 < 0, es-ta cantidad de q = 2, 500 maximiza el in-greso en las ventas. Sin embargo, para es-te caso, la ganancia es sólo de G(2, 500) =27, 600 (ver figura derecha). x

y

1000 2000 3000

50000


5.4. Optimización

En esta sección ampliaremos nuestro tratamiento visto en las secciones 5.2 y5.3. El mayor y menor valor de una cantidad tienen importancia práctica. Porejemplo, cuando un ingeniero automotriz diseña un auto que use la menor canti-dad de combustible, o cuando un científico calcula la longitud de onda que llevala máxima radiación a una temperatura particular, o cuando un ingeniero civildiseña un puente para que circule la mayor cantidad de personas en el menortiempo. Estos problemas pertenecen al tema de optimización. A continuación ve-remos la manera de deducir de manera eficiente la solución de tales problemas.

CLASIFICACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Los problemas de optimización que serán considerados en esta sección se en-cuentran entre las dos siguientes categorías:

(1) Problemas que se reducen a maximizar o minimizar funciones continuassobre un intervalo finito y cerrado.

(2) Problemas que se reducen a maximizar o minimizar funciones continuassobre un intervalo infinito o sobre un intervalo que no es cerrado.

Para problemas del primer tipo utilizaremos el teorema 5.3.2, el cual garanti-za que el problema tiene solución; luego hallaremos la solución examinando losvalores que toma la función en los puntos críticos y en los puntos extremos. Porotro lado, para problemas del segundo tipo puede existir o no una solución. Si lafunción es continua y tiene exactamente un extremo relativo del tipo apropiadoen el intervalo, entonces el teorema 5.3.10 garantiza la existencia de una solucióny provee un método para hallarlo. En casos donde este teorema no puede seraplicado, se debe requerir algo de ingenio para la solución de dicho problema.

PROBLEMAS SOBRE INTERVALOS FINITOS Y CERRADOS

Este es un método para la evaluación de máximos y mínimos. En el siglo XVII,el matemático frances Pierre de Fermat resolvió un problema de optimizaciónsimilar al que desarrollaremos en nuestro primer ejemplo. Fermat trabajó en talproblema de optimización proclamando al matemático frances Laplace, ser el “in-ventor del cálculo diferencial”. Aunque este honor se debe a Newton y Leibniz,debemos reconocer que Fermat desarrolló técnicas y procedimientos que antici-paron al calculo diferencial.

Lord Barrera - Sección 5.4. Optimización 389

Ejemplo 5.4.1. (Rectángulo inscrito). Un rectángulo tiene su base en el eje xy sus dos vértices superiores en la parábola y = 12− x2. ¿Cuál es la máxima áreaque puede tener el rectángulo y cuáles son sus dimensiones?

Solución. El rectángulo inscrito se muestra en la figura abajo. Supongamos

que la base tiene longitud 2a y la altura seade longitud b. El área del rectángulo es

A = 2ab (5.4.3)

y desde que el punto (a, b) pertenece a laparábola, se tiene

b = 12− a2 (5.4.4)x

y

y =12-x2

( , )a b

a 2

12

32 3-

Por tanto, de (5.4.3) y (5.4.4), la función área que debemos maximizar es

A(a) = 2a(12− a2) = 24a− 2a3 donde − 2√

3 ≤ a ≤ 2√

3 (5.4.5)

Derivando tenemosA′(a) = 24− 6a2

y resolviendo

24− 6a2 = 0 ⇔ a2 = 4 ⇔ a = 2,−2

Desde que la longitud es positiva, debemos elegir a = 2. Este es el único puntocrítico en el intervalo [−2

√3, 2√

3]. Notemos también que la segunda derivadade la función área es

A′′(a) = −12a y evaluando A′′(2) = −24

Esto significa que a = 2 es el único máximo relativo en el intervalo [−2√

3, 2√

3]y por tanto el único máximo absoluto. Por lo tanto, el ancho del rectángulo es2a = 4 y el largo de dicho rectángulo es b = 12− (2)2 = 8. Finalmente, la mayorárea del rectángulo es A = (4)(8) = 32.

Ejemplo 5.4.2. (Rectángulo inscrito). Un rectángulo es inscrito bajo el arco dela curva y = 4 cos(0.5x) desde x = −π hasta x = π. ¿Cuáles son las dimensionesdel rectángulo con área máxima y cuál es el área máxima?

Solución. Vamos a comenzar graficando la curva e inscribiendo el rectángulocuyas longitudes son: base 2a y altura b. Entonces la función área es A = 2ab.


y desde que el punto (a, b) pertenece al ar-co de curva y = 4 cos(0.5x), se tiene

b = 4 cos(

12

a)

(5.4.6)

Entonces la función área se reduce a

A(a) = 8a cos(

12

a)

(5.4.7)x

yy =4

( , )a b

a

4

-

cos(0.5 )x

p p

Al derivar la función área tenemos

A′(a) = (8a)′ cos(

12

a)+ (8a)

[cos

(12

a)]′

= 8 cos(

12

a)− 4a sen

(12

a)

Entonces

A′(a) = 0 ⇔ 2 cos(

12

a)= a sen

(12

a)⇔ cotg

( a2

)=

a2

De esto se sigue quea2≈ 0.860335 y a ≈ 1.72067 es el único punto crítico en el

intervalo [−π, π]. Hallando la segunda derivada

A′′(a) = −4 sena2− 4

[sen

a2+

a2

cosa2

]= −8 sen

a2− 2a cos

a2

y evaluando en a ≈ 1.72067 conseguimos A′′(a ≈ 1.72067) ≈ −8.31. Esto nosdice que a ≈ 1.72067 es el único máximo relativo de la función área en el intervalo[−π, π]. Por lo tanto el único máximo absoluto. Finalmente,

b = 2.6088 y A = 8.98 .

Ejemplo 5.4.3. (Paquetes de envío). Elcorreo central de Lima aceptará paquetespara el envío nacional sólo si la suma delgrosor de la caja con el largo es exactamen-te 108 cm. ¿Qué dimensiones tendrá la cajay cuál será la máxima capacidad?

Grosor = distancia decontorno

largox

y =

Cuadrado


Solución. Si x es el ancho del cuadrado, el grosor de la caja resulta 4x; ademásdesde que el largo es y, entonces por hipótesis tenemos

4x + y = 108 (5.4.8)

Entonces la ecuación para el volumen es

V(x) = x2y = x2(108− 4x) = 108x2 − 4x3 .

Derivando y hallando los puntos críticos de la función volumen, tenemos

V ′(x) = 216x− 12x2 = −12x(x− 18) = 0 ⇔ x = 0, 18

Entonces x = 18 es el único punto crítico de la función volumen y no hay dificul-tad en mostrar que en este punto hay máximo absoluto. Utilizando la ecuación(5.4.8) conseguimos

y = 108− 4(18) = 36

Por tanto, el volumen de la caja resulta V = 11664 cm3.

Ejemplo 5.4.4. Un poster de área 6000 cm2 tiene un margen blanco con unancho de 10 cm en la parte superior e inferior, y de 6 cm en los costados. Hallarlas dimensiones que maximizan el área impresa.

Solución. Sea x el ancho de la región impresa e y su altura. El área impresa es

A = xy

Debido a que el área total del poster es 6000 cm2 llegamos a la ecuación

(x + 12)(y + 20) = 6000 ⇔ xy + 12y + 20x + 240 = 6000 ⇔ y =5760− 20x

x + 12

Por tanto,

A(x) = 20288x− x2

x + 12donde 0 ≤ x ≤ 288 .

Por otro lado, A(0) = A(288) = 0 y para hallar el punto crítico en el intervalo[0, 288] hacemos A′(x) = 0, lo que nos da

A′(x) = 0 ⇔ 20(x + 12)(288− 2x)− (288x− x2)

(x + 12)2= 0

⇔ −x2 − 24x + 3456(x + 12)2

= 0

⇔ x2 + 24x− 3456 = 0

⇔ (x− 48)(x + 72) = 0


Por tanto x = 48 o x = −72. Entonces x = 48 es el único punto crítico de A(x)en el intervalo [0, 288]. Así que A(48) = 3840 es el máximo valor de A(x) en el

intervalo [0, 288]. También, y = 20288− 4848 + 12

= 80 cm.

Concluímos que el poster con máxima área impresa tiene ancho 48 + 12 =

60 cm y alto 80 + 20 = 100 cm.

INTERVALOS QUE NO SON FINITOS NI CERRADOS

Ejemplo 5.4.5. Suponga que el ingreso y el costo total de producir un artículoen una fábrica, son modelados por

I(x) = 2000− 3630x + 1

y C(x) = 400 + 10x + x2

donde x está en unidades de miles y tanto el ingreso como el costo están en milesde soles. Determinar el número de unidades que produce la mayor ganancia, y¿cuál es esta ganancia máxima?

Solución. La ganancia es dada por

G(x) = I(x)− C(x)

Entonces

G(x) = 2000− 3630x + 1

− (400 + 10x + x2)

= 1600− 3630x + 1

− 10x− x2

Derivando conseguimos

G′(x) =3630

(x + 1)2− 10− 2x

Para hallar los puntos críticos resolvemos G′(x) = 0. Con un pequeño esfuerzoconseguimos que x = 10 satisface G′(x) = 0 y esta es realmente la única raíz real.Para asegurarnos que x = 10 nos da un máximo, evaluamos

G′(9) = 8.30 y G′(11) ≈ −6.79

O sea, en x = 10 hay un máximo. Esto significa que para una cantidad de 10,000unidades obtenemos una ganancia máxima aproximada de

G(10) = 1′070, 000 soles.


Ejemplo 5.4.6. En 1919, el físico Alfred Betz argumentó que la máxima efi-ciencia de una turbina de viento es aproximadamente del 59 %. Si el viento entraa la turbina con una velocidad v1 y sale con velocidad v2, entonces la potenciaespecífica es la variación de la energía cinética por unidad de tiempo:

P =12

mv21 −

12

mv22 watts

donde m es la masa del viento fluyendo a través del rotor por unidad de tiempo(ver figura abajo). Betz asumió que

m =ρA(v1 + v2)

2,

donde ρ es la densidad del aire y A es el área barrida por el rotor. El viento fluyesin interrupción a través de la misma área A teniendo la masa por unidad detiempo ρAv1 y potencia

P0 =12

ρAv31 .

La fracción de potencia extraída por la turbina es

F =PP0

.

v1 v2

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

F

r

0.5 1

(i) Verificar que F depende sólo del radio r = v2/v1 y es igual a

F(r) =12(1− r2)(1 + r), donde 0 ≤ r ≤ 1 .

(ii) Mostrar que el máximo de F(r) (llamado límite de Betz) es 16/27 ≈ 0.59

(iii) Explicar que la fórmula de Betz F(r) no tiene sentido cuando r se aproximaa cero.


Solución. (i) Notemos que

F =PP0

=12

ρA(v1+v2)2 (v2

1 − v22)

12 ρAv3

1

=12

(v2

1 − v22

v21

)(v1 + v2

v1

)

=12

(1−

v22

v21

)(1 +

v2

v1

)=

12(1− r2)(1 + r)

(ii) De acuerdo a la parte (i)

F′(r) =12(1− r2)− r(1 + r) = −3

2r2 − r +

12

y se tiene

F′(r) = 0 ⇔ r = −1 o r =13

y es fácil observar que• En el intervalo (−∞,−1) la función F decrece.• En el intervalo (−1, 1/3) la función F crece.• En el intervalo (1/3,+∞) la función F decrece.Por lo tanto, en r = 1/3 existe máximo y vale

F(

13

)=

12

89

43=

1627≈ 0.59

También podríamos tomar el intervalo finito [0, 1] para analizar el máximoabsoluto, tomando

F(0) =12

y F(1) = 0

Pero vemos que

F(

13

)≈ 0.59

o sea que en el punto x =13

tenemos un máximo absoluto.(iii) Si v2 = 0, entonces no hay aire pasando por la turbina, el cual no es

realista.


Ejemplo 5.4.7. Dado un punto P = (a, b) situado en el primer cuadrante delplano, determinar el segmento con extremos en los ejes coordenados que pasapor P y que tiene longitud mínima.

Solución. En este ejercicio lo primero quedebemos hacer es elegir la variable en fun-ción de la cual calcularemos la longituddel segmento AB. Tomando como varia-ble φ, es decir, la medida en radianes delángulo indicado en la figura, la longituddel segmento viene dada por

f (φ) =b

sen φ+

acos φ

, 0 < φ <π

2 A(a +x,0 (

B( b +y,0 (

j

j

a

b

P(a, (b

Derivando tenemos que

f ′(φ) =−b cos φ

sen2 φ+

a sen φ

cos2 φ

Se ontiene entonces que f ′(φ) se anula en un único punto φ0 ∈ (0, π/2) queviene dado por la condición tg(φ0) =

3√

b/a. Verifiquemos que f tiene un mínimoabsoluto en φ0.

En efecto, como f ′ es continua y no sde anula en los intervalos (0, φ0) y(φ0, π/2), debe tener signo constantre en ellos. Ahora bien, desde que

lı́mφ→ 0+

f ′(φ) = −∞ y lı́mφ→π/2−

f ′(φ) = +∞

se sigue que:

φ ∈ (0, φ0) ⇒ f ′(φ) < 0, φ ∈ (φ0, π/2) ⇒ f ′(φ) > 0

Por tanto, f es decreciente en (0, φ0) y creciente en (φ0, π/2), lo que implicaf (φ0) ≤ f (φ) para todo φ ∈ (0, π/2). Para calcular la longitud mínima f (φ0),basta tener en cuenta que

1 + tg2(φ0) =1

cos2 φ0= 1 + 3

√(ba

)2

⇒ acos φ0

= a2/3(a2/3 + b2/3)1/2

con lo que la longitud mínima buscada es

f (φ0) = (a2/3 + b2/3)3/2 .


Ejemplo 5.4.8. (Colocando un techo).A continuación resolveremos el problemade colocar un techo de longitud s sobreuna habitación de sótano de altura h y an-cho b. Hallar la menor longitud posibleopara s sabiendo que b = 27 y h = 8. b

h

s

Solución. Consideremos el triángulo rec-to formado por la mitad de la seccióntransversal del techo como se muestra enla figura. Este triángulo tiene hipotenusas. Sea y la altura del techo y x la distanciade la base recta del rectángulo a la base deltecho. b

h

s

2 x

y

Aplicando semejanza en los triángulos pequeños conseguimos

y− 827/2

=8x

o y =108

x+ 8

Además, por la fórmula de Pitágoras:

s2 =

(272

+ x)2

+ y2 =

(272

+ x)2

+

(108

x+ 8)2

Desde que s > 0, entonces s2 es mínimo siempre que s también lo sea; así quepodemos minimizar s2 en lugar de s. Tomando la derivada e igualando a ceroconseguimos:

2(

272

+ x)+ 2

(108

x+ 8)(−108

x2

)= 0

2(

272

+ x)+ 2

8x

(272

+ x)(−108

x2

)= 0

2(

272

+ x)(

1− 864x3

)= 0

Los ceros son x = −272

y x = 6 3√

4. Desde que este es el único punto crpiticode s con x > 0, y desde que s→ +∞ cuando x → 0 y s→ +∞ cuando x→ +∞,este es el punto donde s alcanza su mínimo. Para este valor de x

s2 =

(272

+ 6 3√

4)2

+ (9 3√

2 + 8)2 ≈ 904.13

Luego la mínima longitud del techo es s ≈ 30.07.


Ejemplo 5.4.9. (Ubicando un poste).Hallar la mayor longitud de un poste quepuede ser ubicado en un pasillo en formade escuadra, donde los anchos de los pasi-llos son a = 24 m y b = 3 m (ver figura).

b

a

Solución. Para hallar la máxima longitud del poste que puede ubicarse através de los pasillos, tenemos que hallar la longitud más corta entre la paredexterna con la esquina y la longitud más corta entre esta esquina y la otra paredexterna.

Sea θ el ángulo entre el poste con la horizontal y sea c1 la longitud del poste enel pasillo de ancho 24. Sea también c2 la longitud del poste en el pasillo de ancho3. Por definición de seno y coseno tenemos

3c2

= sen θ y24c1

= cos θ que implica c1 =24

cos θy c2 =

3sen θ

Debemos minimizar la longitud total dada por

f (θ) =24

cos θ+

3sen θ

Derivando y hallando los puntos críticos:

f ′(θ) =24 sen θ

cos2 θ− 3 cos θ

sen2 θ= 0 ⇔ 24 sen3 θ = 3 cos3 θ

Desde que θ <π

2(pues el poste está apoyado en la esquina), podemos dividir

ambos lados por cos3 θ consiguiendo tg3 θ =18

. Esto implica que tg θ =12

(tg θ >

0 ya que el ángulo es agudo).Desde que lı́m

θ→ 0+f (θ) = +∞ y lı́m

θ→ π2−

f (θ) = +∞, podemos hallar el mínimo

alcanzado en θ0, donde tg θ0 =12

.Si consideramos el triángulo rectángulo de lado opuesto 1 y lado adyacente 2,

entonces la hipotenusa es c =√

5. Por lo tanto,

sen θ0 =1√

5y cos θ0 =

2√

5

De esto conseguimos:

f (θ0) =24

cos θ0+

3sen θ0

=242

√5 + 3

√5 = 15

√5 .


Ejemplo 5.4.10. El ingreso por la venta de x miles (unidades) de un productopuede ser aproximado por

I(x) = x3 − 21x2 + 120x + 500

para x entre 1 y 10. ¿Cuántas unidades se deben vender para maximizar el ingre-so?

Solución. Derivando la función de ingreso tenemos

I ′(x) = 3x2 − 42x + 120

y hallando los puntos críticos hacemos

0 = 3x2 − 42x + 120 = 3(x− 4)(x− 10)

de donde resulta x = 4 o x = 10. Ahora debemos utilizar el criterio de la segundaderivada para ver si x = 4 o x = 10 maximiza el ingreso. Desde que

I ′′(x) = 6x− 42

entonces

I′′(4) = 6(4)− 42 = −18 y I ′′(10) = 6(10)− 42 = 18

Esto significa que el ingreso se maximiza para x = 4. La compañía tiene quervender 4000 unidades para maximizar su ingreso.

Ejemplo 5.4.11. Un estudio sobre el trabajo realizado en una fábrica indicaque el trabajador promedio que comienza a las 8:00 AM debe producir

Q(t) = −t3 + 9t2 + 12t

unidades luego de t horas. ¿Durante qué momento de la mañana la labor realiza-da por el trabajador es más eficiente?

Solución. La tasa de producción del trabajador (o eficiencia) es la derivadade Q(t), esto es

I(t) = Q′(t) = −3t2 + 18t + 12

Asumiendo que durante la mañana el horario de trabajo de desde las 8:00 AMhasta el medio día,. nuestro objetivo es hallar la mayor eficiencia para 0 ≤ t ≤ 4.Las dferivada de la función de eficiencia es

I′(t) = Q′′(t) = −6t + 18

el cual es cero cuando t = 3, positiva para 0 < t < 3 y negativa para 3 < t < 4.Esto indica que la eficiencia I(t) se incrementa para 0 < t < 3, y disminuye para3 < t < 4 y tiene su máximo valor para t = 3 (11:00 AM).

Lord Barrera - Sección 5.5. Elasticidad de Demanda 399

5.5. Elasticidad de Demanda

En esta sección estudiaremos otra aplicación de la derivada en economía, setrata de la elasticidad de demanda, que consiste del estudio de la variación de lademanda cuando los precios sufren un pequeño cambio.

granitifiandre.de

Los empresarios, a menudo necesitan conocer los pequeños cambios que elprecio de un producto puede afectar a la demanda. Si un pequeño incremento enel precio de un producto no produce cambios en la demanda, entonces un peque-ño aumento del precio tiene sentido. Si un pequeño aumento del precio produceun cambio desfavorable en la demanda, entonces el aumento en el precio se des-carta. La medida de la sensibilidad en la demanda con respecto a un pequeñoaumento del precio es lo que llaman los economistas elasticidad de demanda ydenotada por E.

En esta sección conseguiremos una fórmula para la elasticidad cuando lasvariaciones en los precios son grandes. Finalmente hacemos uso de la derivadapara presentar la fórmula de la elasticidad cuando las variaciones en los preciosson pequeñas.


Suponga que tiene la ecuación de demanda

q = D(p)

donde q indica el número de unidades vendidas al precio unitario p. Ahora bien,si el precio sufre un pequeño incremento, digamos ∆p, entonces nuestro incre-mento porcentual en el precio es(

∆pp

)× 100 % (5.5.9)

Por ejemplo, si el precio varía de 10 a 11 soles, entonces el incremento porcentualen el precio es (

∆pp

)× 100 % =

(11− 10

10

)× 100 % = 10 % (5.5.10)

El incremento en p debe dar como resultado una disminución de la cantidaddemandada q. Así que nuestra disminución porcentual en la demanda es(

∆qq

)× 100 % (5.5.11)

Por ejemplo, si la demanda varía de 400 unidades a 340 unidades, entonces ladisminución porcentual es(

∆qq

)× 100 % =

(340− 400

400

)× 100 % = −15 % (5.5.12)

De las relaciones (5.5.10) y (5.5.12) tenemos la razón

E =Cambio porcentual en la demanda

Cambio porcentual en el precio=−15 %10 %

= −1.5

llamada elasticidad de demanda.Note lo siguiente: debido a que la curva de demanda es decreciente, un cam-

bio positivo en el precio da como resultado un cambio negativo en la cantidaddemandada y viceversa. Consecuentemente, el valor de E es negativo. Es conve-niente el cambio deliberado del signo y definir

Definición 5.5.1. La elasticidad de demanda es la razón

E = −Cambio porcentual en la demanda

Cambio porcentual en el precio


Ejemplo 5.5.1. (Artículos de decora-ción). La demanda en la venta de artículosde decoración, es modelada por la función

D(p) = 100− 6p,

donde D representa la cantidad demanda-da cuando el precio es p. Si se sabe que elprecio es S/10, hallar E para un incremen-to del 10 % en el precio. li

chte

nver

lich

ting.n

lSolución. Para el precio p = 10, calcularemos la demanda antes y después

del aumento del precio con el propósito de hallar la disminución porcentual en lademanda.

Cuando el precio es de 10 soles hay D(10) = 100 − 6(10) = 40 unidadesdemandadas. En este caso tenemos un ingreso de (10)(40) = 400 soles. Cuan-do el precio se incrementa en un 10 %, o sea 1 sol, la demanda disminuye aD(11) = 100− 6(11) = 34 y el ingreso resulta (34)(11) = 374 soles. Entoncesla disminución porcentual en la demanda es(

34− 4040

)× 100 % = −15 %.

Por tanto, un aumento del 10 % en el precio del artículo produce una disminucióndel 15 % en la demanda, y en consecuencia una disminución del ingreso. Luego

E = −−15 %10 %

= 1.5

De acuerdo a la definición 5.5.1 tenemos

E = −

(∆qq

)× 100 %(

∆pp

)× 100 %

de donde resulta

E = −∆q∆p·

pq

(5.5.13)

Si en la expresión (5.5.13) hacemos ∆p → 0, la razón ∆q/∆p se aproxima a laderivada dq/dp. Esto da como resultado nuestra definición final de elasticidadpara pequeños incrementos en el precio.


Definición 5.5.2. La elasticidad de demanda E para pequeños incrementos en elprecio se define como

E = −pD′(p)D(p)

(i) Cuando la elasticidad es mayor que 1 para un determinado precio de mer-cado, un pequeño cambio en el precio va a alterar bastante la demanda. Lademanda es elástica sobre el precio p.

(ii) Cuando la elasticidad es menor que 1 para un determinado precio de mer-cado, un pequeño cambio en el precio no va a alterar casi nada la demanda.La demanda es inelástica sobre el precio p.

(iii) Cuando la elasticidad es igual a 1 para un determinado precio de mercado,la demanda tiene elasticidad unitaria sobre el precio p.

Ejemplo 5.5.2. Ya vimos en el ejemplo 5.5.1 que la elasticidad de demandaresulta 1.5, o sea, elasticidad es elástica.

Ejemplo 5.5.3. Suponga que la demanda D y el precio p de un producto serelacionan por

D(p) = 240− 2p , 0 ≤ p ≤ 120

(i) Expresar la elasticidad de la demanda como función de p.

(ii) Calcule la elasticidad cuando el precio es p = 100. Interpretar el resultado.

(iii) Calcule la elasticidad cuando el precio es p = 50. Interpretar el resultado.

(iv) A qué precio la elasticidad de la demanda es igual a 1 ¿Cuál es el significadoeconómico de este precio?

Solución. (i) La elasticidad de la demanda es

E(p) = −pD′(p)D(p)

= −p(−2)

240− 2p=

p120− p

(ii) Cuando p = 100, la elasticidad de la demanda es

E(100) =100

120− 100= 5

Significando que la demanda se alterada bastante.


(iii) Cuando p = 50 la elasticidad de la demanda es

E(50) =50

120− 50≈ 0.71

Significando que no hay gran alteración en la demanda.

(iv) La elasticidad de la demanda debe ser igual a 1 cuando 1 =p

120− p, o

sea, p = 60. Significando que, cuando este precio se incrementa en 1 %, resultauna disminución en la demanda de aproximadamente el mismo porcentaje.

Ejemplo 5.5.4. Considere la función de demanda para un modelo de minivanel el Perú

D(p) = 14.12(0.933p)− 0.25 mil minivans

cuando el precio de mercado es de p(miles de dólares) por minivan.

(i) Localizar el punto de elasticidadunitaria.

(ii) ¿Para qué precio la demanda eselástica? ¿Para qué precio la de-manda es inelástica?

Solución. (i) La expresión para la elasticidad es

E = −pD′(p)D(p)

= −p[14.12(ln 0.933)(0.933p)]

14.12(0.933p)− 0.25Debido a que la elasticidad del precio en la demanda es negativa, la elastici-

dad unitaria ocurre cuando E = 1. Resolviendo E = 1 resulta p ≈ 13.76.La elasticidad unitaria ocurre cuando los minivans tiene el precio aproximado

de 13, 760 dólares por unidad. A este precio, la demanda es de aproximadamentede 5,190 minivans.

(ii) Verificando E para valores de p distintos a 13.76 debemos ver sobre queintervalo la demanda es elástica.

Cuando p = 10, E = −(10)[14.12(ln 0.933)(0.933p)]

14.12(0.933p)− 0.25≈ 0.72

O sea, para el precio menor a 13, 760 dólares por minivan, la demanda es inelás-tica (no hay alteraciones en la demanda para pequeños incrementos en el precio).

Cuando p = 20, E = −(20)[14.12(ln 0.933)(0.933p)]

14.12(0.933p)− 0.25≈ 1.49

O sea, para el precio mayor a 13, 760 dólares por minivan, la demanda es elástica(hay alteraciones en la demanda para pequeños incrementos en el precio).


5.6. Regla de L’Hopital y Formas Indeterminadas

En esta sección discutiremos un método general para hallar límites usandoderivadas. Más precisamente, algunos límites que calcularemos son de la forma

lı́mx→ 2

x2 − 4x− 2

, lı́mx→ 0

sen xx

o lı́mx→+∞

x2

x ln x

¿Qué de particular hay en estos límites? Si notamos bien, estos límites tienen laforma

00

,00

o∞∞

y se resuelven de manera simple usando la Regla de L’Hopital.

Teorema 5.6.1. (Regla de L’Hopital para la forma 0/0). Suponga que f y g sonderivables en un intervalo abierto conteniendo x = a (excepto posiblemente en x = a) yque

lı́mx→ a

f (x) = 0 y lı́mx→ a

g(x) = 0

Si lı́mx→ a[ f ′(x)/g′(x)] existe o si este límite es +∞ o −∞, entonces

lı́mx→ a

f (x)g(x)

= lı́mx→ a

f ′(x)g′(x)

Este teorema también es válido cuando x → a−, x → a+, x → −∞, o x → +∞.

Por ejemplo, el límite lı́mx→ 2

x2 − 4x− 2

tiene la forma00

ya que

lı́mx→ 2

(x2 − 4) = 0 y lı́mx→ 2

(x− 2) = 0

De acuerdo a la regla de L’Hopital

lı́mx→ 2

x2 − 4x− 2

= lı́mx→ 2

(x2 − 4)′

(x− 2)′= lı́m

x→ 2

2x1

= 4

Similarmente, lı́mx→ 0sen x

xtiene la forma

00

, ya que

lı́mx→ 0

sen x = 0 y lı́mx→ 0

x = 0

Lord Barrera - Sección 5.6. Regla de L’Hopital y Formas Indeterminadas 405

Entonces por L’Hopital obtenemos

lı́mx→ 0

sen xx

= lı́mx→ 0

(sen x)′

x′= lı́m

x→ 0

cos x1

= 1

En los ejemplos que vienen a continuación aplicaremos la regla de L’Hopitalusando los siguientes pasos:

Aplicando la regla de L’Hopital

(1) Verificar que el límite de f (x)/g(x) sea de la forma 0/0.

(2) Derivar f (x) y g(x) separadamente.

(3) Hallar el límite de f ′(x)/g′(x). Si este límite es finito, +∞ o −∞, entonceses igual al límite de f (x)/g(x).


lı́mx→π/2

cos x2x− π

Solución. Cuando x → π/2, tanto el numerador como el denominador tien-de a 0. Derivando separadamente hallamos que

ddx

(cos x) = − sen x yd

dx(2x− π) = 2

Entonces

lı́mx→π/2

(cos x)′

(2x− π)′= lı́m

x→π/2

− sen x2

=−12

Por la regla de L’Hopital se sigue

lı́mx→π/2

cos x2x− π

= −12

.


lı́mx→ 1

x5 − 6x3 + 8x− 3x4 − 1

Solución. Es claro que

lı́mx→ 1

x5 − 6x3 + 8x− 3x4 − 1

tiene la forma00


Además

lı́mx→ 1

(x5 − 6x3 + 8x− 3)′

(x4 − 1)′= lı́m

x→ 1

5x4 − 18x2 + 84x3

=−54

Por la regla de L’Hopital conseguimos

lı́mx→ 1

x5 − 6x3 + 8x− 3x4 − 1

= −54


lı́mx→ 0+

xsen√

x

Solución. Cuando x→ 0+, ambos numerador y denominador tienden a ceroy

f ′(x)g′(x)

=x′

(sen√

x)′=

1(cos√

x)(1/2√

x)=

2√

xcos√

x→ 0

1= 0

Se sigue por L’Hopital que

lı́mx→ 0+

xsen√

x= 0 .


lı́mx→+∞

e2/x − 11/x

Solución. El cociente es una forma indeterminada de la forma 0/0. Aplicandola regla de L’Hopital tenemos

lı́mx→+∞

e2/x − 11/x

= lı́mx→+∞

(e2/x − 1)′

(1/x)′= lı́m

x→+∞

e2/x(−2/x2)

(−1/x2)= 2 lı́m

x→+∞e2/x = 2 .

Ejemplo 5.6.6. Evaluar

lı́mx→ 0

e2x − e−2x

sen 5x

Solución. Este límite es una forma indeterminada del tipo00

. Luego

lı́mx→ 0

e2x − e−2x

sen 5x= lı́m

x→ 0

2e2x + 2e−2x

5 cos 5x=

45

.


Cuando queremos indicar que el límite (o límite lateral) de una función es +∞o −∞ sin especificar el signo, entonces diremos que el límite es ∞. Por ejemplo,

lı́mx→ a+

f (x) = ∞ significa lı́mx→ a+

f (x) = +∞ o lı́mx→ a+

f (x) = −∞

lı́mx→+∞

f (x) = ∞ significa lı́mx→+∞

f (x) = +∞ o lı́mx→+∞

f (x) = −∞

lı́mx→ a

f (x) = ∞ significa lı́mx→ a+

f (x) = ±∞ y lı́mx→ a−

f (x) = ±∞

El límite de la razón f (x)/g(x) donde el numerador tiene límite ∞ y el de-nominador tiene límite ∞ es llamada forma indeterminada del tipo ∞/∞. La si-guiente versión de la regla de L’Hopital es usado para evaluar límites de estetipo:

Teorema 5.6.7. (Regla de L’Hopital para la forma ∞/∞). Suponga que f y g sonderivables en un intervalo abierto conteniendo x = a (excepto posiblemente en x = a) yque

lı́mx→ a

f (x) = ∞ y lı́mx→ a

g(x) = ∞

Si lı́mx→ a[ f ′(x)/g′(x)] existe o si este límite es +∞ o −∞, entonces

lı́mx→ a

f (x)g(x)

= lı́mx→ a

f ′(x)g′(x)

Este teorema también es válido cuando x → a−, x → a+, x → −∞, o x → +∞.

Ejemplo 5.6.8. Calcular

lı́mx→ 0

ln xcot x

Solución.

lı́mx→ 0

ln xcot x

= lı́mx→ 0

1x

− csc2 x

= lı́mx→ 0

− sen2 xx

= lı́mx→ 0

−2 sen x cos x1

= lı́mx→ 0

01

= 0 .



lı́mx→ a

ln(x− a)ln(ex − ea)

Solución. Al reemplazar x = a en la fracciónln(x− a)

ln(ex − ea)llegamos a una for-

ma indeterminada de la forma∞∞

. Entonces

lı́mx→ a

ln(x− a)ln(ex − ea)

= lı́mx→ a

(1

x− a

)(

1ex − ea

)ex

= lı́mx→ 0

ex − ea

ex(x− a)

= lı́mx→ 0

ex

ex.1 + (x− a)ex

=ea

ea + 0= 1 .


lı́mx→ 0

sen x. ln x

Solución. El límite lı́mx→ 0 sen x. ln x es una forma indeterminada de la forma∞∞

. Luego

lı́mx→ 0

sen x. ln x = lı́mx→ 0

ln xcsc x

= lı́mx→ 0

1x

− csc x. cotg x

= lı́mx→ 0

[− sen2 xx. cos x

]= lı́m

x→ 0(−1)

(sen xx

)(tg x)

= (−1)(1)(0)

= 0 .


Ejemplo 5.6.11. Hallar el dominio y las asíntotas de la siguiente función

f (x) =ex

x2 − 1.

Solución. Claramente se tiene que dom( f ) = R \ {±1}. Por otro lado,

lı́mx→−1−

f (x) = lı́mx→−1−

ex

(x + 1)(x− 1)= +∞

lı́mx→−1+

f (x) = lı́mx→−1+

ex

(x + 1)(x− 1)= −∞

lı́mx→ 1−

f (x) = lı́mx→ 1−

ex

(x + 1)(x− 1)= −∞

lı́mx→ 1+

f (x) = lı́mx→ 1+

ex

(x + 1)(x− 1)= +∞.

Luego tiene asíntotas verticales en las rectas x = −1 y x = 1.También

lı́mx→+∞

f (x) = lı́mx→+∞

ex

x2 − 1= lı́m

x→+∞

ex

2x= lı́m

x→+∞

ex

2= +∞

lı́mx→−∞

f (x) = lı́mx→−∞

ex

x2 − 1= lı́m

x→+∞

e−x

(−x)2 − 1= lı́m

x→+∞

1ex(x2 − 1)

= 0

Por tanto existe asíntota horizontal cuando x → −∞, que es la recta de ecuacióny = 0. Finalmente

lı́mx→+∞

f (x)x

= lı́mx→+∞

ex

x3 − x=︸︷︷︸

L’ H

lı́mx→+∞

ex

3x2 − 1

=︸︷︷︸L’ H

lı́mx→+∞

ex

6x=︸︷︷︸

L’ H

lı́mx→+∞

ex

6= +∞

y

lı́mx→−∞

f (x)x

= lı́mx→−∞

ex

x3 − x= lı́m

x→+∞

e−x

(−x)3 − (−x)

= − lı́mx→+∞

1exx(x + 1)(x− 1)

= 0 .

Se sigue de esto último que no hay asíntotas oblicuas al gráfico de f .


5.7. Análisis de Funciones

En las secciones 5.3 y 5.4 hemos estudiado extremos relativos y absolutos.Aunque nuestro interés fue mas que nada interpretar el significado de un extre-mo para una función. En lo que sigue utilizaremos las definiciones vistas ante-riormente y complementaremos con otras nuevas que nos permitirán trazar conmás precisión a la gráfica de una función.

Sabemos bien que extremos relativos están íntimamente ligados al compor-tamiento creciente o decreciente de la función. Podemos decir que un máximorelativo es un punto en el cual una función pasa de ser creciente a ser decrecien-te alrededor de dicho punto; similarmente un mínimo relativo es un punto en elcual una función pasa de ser decreciente a ser creciente en dicho punto.

Recordemos el siguiente criterio simple:

(Criterio para determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento).

(1) Hallar todos los números críticos de la función. Luego ubicar estos puntosen la recta real. Estos puntos dividen a la recta en intervalos.

(2) Elegir un número c en el interior de cada intervalo determinado en el paso(1), luego evaluar f ′(c).

(i) Si f ′(c) > 0, entonces la función f (x) crece en dicho intervalo.

(ii) Si f ′(c) < 0, entonces la función f (x) decrece en dicho intervalo.

A continuación ilustramos los criterios anteriores.

x1 x2 x3

x1 x2 x3f (c (´ > 0 f (c (´ >0 f (c (´ > 0 f (c (´ >0

puntos donde la derivada es cero o no existe

eligiendo un punto en cada intervaloc

Lord Barrera - Sección 5.7. Análisis de Funciones 411

Ejemplo 5.7.1. Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento para lafunción

f (x) = 2x3 + 3x2 − 12x− 7

Solución. La derivada de f (x) es

f ′(x) = 6x2 + 6x− 12 = 6(x + 2)(x− 1)

la cual es continua en toda la recta. Además

f ′(x) = 0 ⇔ 6(x + 2)(x− 1) = 0 ⇔ x = 1 o x = −2

Los números x = −2 y x = 1 dividen a la recta en tres intervalos como semuestra en la figura

-2 1(( ((

O sea, los intervalos (−∞,−2), (−2, 1) y (1,+∞). Ahora elegimos un númeroen cada uno de estos intervalos: digamos -3, 0 y 2.

(i) De f ′(−3) = 24 > 0, entonces f (x) es creciente en (−∞,−2).

(ii) De f ′(0) = −12 < 0, entonces f (x) es decreciente en (−2, 1).

(iii) De f ′(2) = 24 > 0, entonces f (x) es creciente en (1,+∞).

Estos resultados se muestran en la siguiente tabla

Intervalo n◦ de prueba c f ′(c) comportamiento

(−∞,−2) −3 f ′(−3) = 24 > 0 ↗

(−2, 1) 0 f ′(0) = −12 < 0 ↘

(1,+∞) 2 f ′(2) = 24 > 0 ↗

Ya sabemos que la función es creciente en los intervalos (−∞,−2) y (1,+∞);además es decreciente en el intervalo (−2, 1). Ahora nos aproximaremos a la grá-fica de la función. Para esto consideremos los valores que toma la función en losnúmeros críticos. Los datos se muestran en la siguiente tabla

(−∞,−2) −2 (−2, 1) 1 (1,+∞)

f (x) 13 -14

f ′(x) ↗ 0 ↘ 0 ↗


La función alcanza los valores

f (−2) = 13 f (0) = −7 y f (1) = −14

Según lo dicho anteriormente y de acuerdo a las tablas, una gráfica aproxima-da de la función se muestra en el siguiente dibujo:

-2

1

13

-14

-7

y

x

Sin embargo, tal descripción de la gráfica no nos debe satisfacer aún ya que lascaracterísticas mencionadas antes también se cumplen para la siguiente gráfica

-2

1

13

-14

-7

y

x

Observemos bien en las gráficas que en el intervalo (1,+∞) la función puededoblarse hacia arriba o hacia abajo, pero ¿cómo asegurarnos la manera precisadel comportamiento geométrico de la función? Esto se resuelve usando la segun-da derivada y el hecho que la curva se doble tanto arriba como abajo se llamaconcavidad. En lo que sigue nos encargaremos de establecer de manera precisatal concepto:

El término concavidad se refiere a la curvatura de una gráfica. Una gráfica sellama cónvava hacia arriba si la curva se dobla hacia arriba, y es llamada cóncavahacia abajo si la curva se dobla hacia abajo.


cóncava hacia arriba

cóncava hacia abajo

x

y

Una manera fácil de recordar este concepto se ilustra en el dibujo

Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo

Antes de establecer nuestro concepto de concavidad, recordemos la notaciónpara la segunda derivada:

Escribimos la segunda derivada de f (x) como f ′′(x). También podemos usarla notación

f ′′(x) =d2 fdx2

Esta notación resulta de derivar a la derivada de una función, o sea

f ′′(x) =d

dx

[d fdx

]=

d2 fdx2

Similarmente, si y = f (x) escribimos

y′′ =d

dx

[dydx

]=

d2ydx2

Por ejemplo, si y = x3, entonces

d2ydx2

=d

dx

[dydx

]=

ddx[3x2] = 6x


Definición 5.7.1. (Concavidad en un intervalo). En un intervalo:

(i) Si f ′′(x) > 0, entonces f es cóncava hacia arriba.

(ii) Si f ′′(x) < 0, entonces f es cóncava hacia abajo.

Un punto de inflexión es un punto donde cambia la concavidad (aquí f ′′(c) = 0o f ′′(c) no existe).

Ejemplo 5.7.2. Retomemos nuevamente el ejemplo 5.7.1 y garanticemos quela curva se dobla debidamente. Según la tabla

Intervalo n◦ de prueba c f ′(c) comportamiento

(−∞,−2) −3 f ′(−3) = 24 > 0 ↗

(−2, 1) 0 f ′(0) = −12 < 0 ↘

(1,+∞) 2 f ′(2) = 24 > 0 ↗

afirmamos que la función crece en (−∞,−2), decrece en (−2,−1) y vuelve acrecer en el intervalo (1,+∞). La función f es precisamente

f (x) = 2x3 + 3x2 − 12x− 7

donde la primera y la segunda derivada son

f ′(x) = 6x2 + 6x− 12 y f ′′(x) = 12x + 6

Entonces

f ′′(x) = 0 ⇔ 12x + 6 = 0 ⇔ x = −12

Si x < −12

, entonces f ′′(x) = 12x + 6 < 0. Esto nos dice que la función f escóncava hacia abajo.

Si x > −12

, entonces f ′′(x) = 12x + 6 > 0. Esto nos dice que la función f escóncava hacia arriba.

A continuación vamos a establecer un criterio simple para determinar la con-cavidad de una función.


(Criterio para determinar la concavidad de una función). Para determinar losintervalos de concavidad de una función, debe tener presente los siguientes pa-sos:

(i) Hallar todos los puntos críticos, es decir, todos los c ∈ (a, b) para el cual


(ii) Enumerar los puntos hallados en (i), partiendo al dominio de f en intervalosabiertos

(iii) Seleccionar un número c en cada intervalo hallado en la parte (ii) y deter-minar el signo de f ′′(c) en cada intervalo

(1) Si f ′′(c) > 0, la gráfica de f es cóncava hacia arriba en el intervalo.

(2) Si f ′′(c) < 0, la gráfica de f es cóncava hacia abajo en el intervalo.

Ejemplo 5.7.3. Considere la función

f (x) =x

x2 + 1

(i) Hallar dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, y ex-tremos locales de f .

(ii) Hallar intervalos de concavidad y convexidad, y puntos de inflexión de f .Hacer un gráfico aproximado.

Solución. Es claro que dom( f ) = R, de esto se sigue que no existen asíntotasverticales.

Veamos a continuación las asíntotas horizontales. Tenemos

lı́mx→+∞

f (x) = lı́mx→+∞

xx2 + 1

= lı́mx→+∞

1

x + 1x

= 0

Por otro lado, siendo f impar tenemos

lı́mx→−∞

f (x) = lı́mx→+∞

f (−x) = lı́mx→+∞

[− f (x)] = − lı́mx→+∞

f (x) = 0

Por tanto, la recta y = 0 es una asíntota horizontal para y = f (x).También,

lı́mx→+∞

f (x)x

= lı́mx→+∞

1x2 + 1

= 0 = lı́mx→−∞

1x2 + 1

= lı́mx→−∞

f (x)x


de donde no existe asíntota oblicua de f .Analicemos los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

f ′(x) =1− x2

(1 + x2)2=

(1− x)(1 + x)(1 + x2)2

O sea quef ′(x) = 0 ⇔ x = −1, 1

También

f ′′(x) =2x(x2 − 3)(1 + x2)3

=2x(x +

√3)(x−

√3)

(1 + x2)3

de dondef ′′(x) = 0 ⇔ x = −

√3, 0,

√3

(0, 1) 1 (1,√

3)√

3 (√

3,+∞)

f (x) + 1/2 +√

3/4 +

f ′(x) + 0 − −1/8 −f ′′(x) − −1/2 − 0 +

conclusión - positiva - positiva - positiva

acerca de f - creciente - decreciente - decreciente

- cóncava - cóncava - cóncava

hacia abajo hacia abajo hacia arriba

La gráfica se ve a continuación

1 3-13x

y


Ejemplo 5.7.4. Sea

f (x) =1

xe2x+ 2

(i) Hallar el dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremoslocales de f .

(ii) Hallar (si las hay) las asíntotas horizontales y verticales de f . Decidir si losextremos hallados en el ítem anterior son globales.

Solución. (i) dom( f ) = R \ {0}. Además

f ′(x) = −e2x(1 + 2x)

x2e2x

y f ′(x) = 0 si y sólo si x = −1/2.

(−∞,−1/2) −1/2 (−1/2, 0) (0,+∞)

f (x) − 2(1− e) − +

f ′(x) + 0 − −

Así, f no decrece en (−∞,−1/2] y no crece en [−1/2, 0) ∪ (0,+∞). El puntox = −1/2 es máximo local de f .

(ii) Calculemos asíntotas verticales:

lı́mx→ 0−

f (x) = lı́mx→ 0−

(1

xe2x+ 2)= −∞ (5.7.14)

y

lı́mx→ 0+

f (x) = lı́mx→ 0+

(1

xe2x+ 2)= +∞

Por tanto, la recta x = a es una asíntota vertical a y = f (x).Calculemos las asíntotas horizontales:

lı́mx→+∞

f (x) = lı́mx→+∞

(1

xe2x+ 2)= 2

y

lı́mx→−∞

f (x) = lı́mx→+∞

(1

(−x)e2(−x)+ 2

)= lı́m

x→+∞

(− e2x

x+ 2)= −∞ (5.7.15)

Luego, la recta y = 2 es asíntota horizontal a y = f (x).De (5.7.14) y (5.7.15) concluímos que no existen extremos absolutos para f .


Ejemplo 5.7.5. Una empresa inmobi-liaria, despues de x años tiene un ingresode

f (x) = x3 − 9x2 + 24x

millones de dólares (donde x ≥ 0). Grafi-car esta función mostrando los puntos ex-tremos relativos y puntos de inflexión. In-terpretar los puntos de inflexión.

Solución. Para hallar los puntos críticos derivamos

f ′(x) = 3x2 − 18x + 24

= 3(x2 − 6x + 8)

= 3(x− 2)(x− 4)

Ahora bien f ′(x) = 0 si y sólo si x = 2 o x = 4. Luego los puntos críticos sonx = 2 y x = 4. Usando la regla de los signos para f ′ conseguimos

f ´ > 0 f ´ = 0 f ´ >0 f ´ = 0 f > 0

x = 2 x = 4

max rel min rel

comportamiento de f ´́donde f ´́ es cero o no existe

f´ = 0

x́ = 3

Tomando los valores c = 2 en el primer intervalo y c = 4 en el segundo

intervalo, obtenemos

cóncava hacia arribacóncava hacia abajo

x = 3

f´ < 0´ f´ = 0´ f´ <0´

f´(2)´ = 6(2 - 3)< 0 f´(4)´ = 6(4 - 3) <0

Para hallar los puntos de inflexión calculamos la segunda derivada

f´( )x´ = x6 - 18 = x - 3( (6

que resulta cero en x = 3. Ahora vamos a estudiar el signo de la derivada a la

izquierda y a la derecha de x = 3


Notamos de los pasos anteriores quea la izquierda de x = 3 tenemos quef ′′ < 0 y la curva resulta cóncava ha-cia abajo; también a la derecha de x =

3 se tiene f ′′ > 0 y la curva es cóncavahacia arriba. El punto de inflexión esprecisamente (3, f (3)) = (3, 18). x

y

(2, 20)(3, 18)

(4, 16)10

20

30

1 2 3 4 5 6

PI

Interpretación del punto de inflexión: observamos a partir de la gráfica quela compañía incrementa sus ingresos hasta el final del segundo año y luego hayuna disminución en sus ingresos desde comienzos del segundo año hasta el finaldel cuarto año; a partir del cuarto año vuelve a aumentar sus ingresos. El puntode inflexión en x = 3 significa que al final del tercer año la compañía comenzó amostrar signos de mejora en sus ingresos.

Ejemplo 5.7.6. Se tiene una ciudad con P habitantes y se desea estudiar lavelocidad de propagación de una noticia. Para ello se adopta el siguiente modelomatemático que indica el número N de personas que en un instante t han oído elrumor

N(t) = P(1− e−kt) k > 0, k constante (5.7.16)

donde t está en horas y k en fracción de hora.

(i) Si k = 0.2, calcular el tiempo transcurrido para que el 80 % de la poblaciónconozca el rumor, y la velocidad de propagación del mismo en ese instante.

(ii) Graficar N(t) para t ≥ 0 e indicar ¿en qué momento la velocidad de propa-gación del rumor es máxima?

(iii) Demuestre que el modelo matemático adoptado consistió en suponer quela velocidad de propagación del rumor fue proporcional al número de per-sonas que en un instante t todavía no lo habían oído.

Solución. (i) Como k = 0.2, se tiene

N(t) = P(1− e−0.2t)

Queremos saber ¿cuánto tiempo transcurrirá para que el 80 % de la poblaciónconozca el rumor?, es decir, ¿cuál es el valor de t para que N = 0.8P? De la


ecuación anterior conseguimos

0.8P = P(1− e−0.2t) ⇔ e−0.2t = 0.2

⇔ −0.2t = ln(0.2)

⇔ t = −5 ln(0.2) ≈ 8.05

Por tanto, la velocidad de propagación en el instante t = 8.05 s es

dNdt

∣∣∣∣t=8.05

= 0.2Pe−0.2(8.05) = 0.2Pe−1.61 = 0.04Phabaño

.

(ii) Para graficar N(t) en el intervalo [0,+∞], calculamos

N(0) = 0, lı́mt→+∞

N(t) = P ,dNdt

= 0.2Pe−0.2t yd2Ndt2

= −0.04Pe−0.2t

Desde que la segunda derivada es negati-va para todo valor de t, la función es cón-cava hacia abajo como se ve en la figuraderecha

N( (t

P

t0

De la gráfica podemos concluir que la máxima pendiente de las tangentes a lacurva corresponde a la tangente en t = 0. Esto se puede justificar como sigue: la

funcióndNdt

es decreciente en el intervalo [0,+∞]. En consecuencia

dNdt

∣∣∣∣max

=dNdt

∣∣∣∣t=0

= 0.2Phabaño

.

(iii) Sabemos quedNdt

= Pke−kt (5.7.17)

El número de habitantes que al cabo de un tiempo t ha oido el rumor es N(t), porlo que el número de los que no lo han oído es P− N.

Sustituyendo N or la expresión (5.7.16), tenemos:

P− N = P− P(

1− e−kt)= Pe−kt

Sustituyendo en la expresión (5.7.17):

dNdt

= k(P− N)

lo que significa que la velocidad de propagación del rumor es proporcional alnúmero de personas que en el instante considerado no han oído el rumor, siendok la constante de proporcionalidad.

Lord Barrera - Sección 5.8. Teorema del Valor Medio 421

5.8. Teorema del Valor Medio

Sabemos intuitivamente que la derivada dice cuando una función es crecienteo decreciente. Desde que f ′(x) es una razón de cambio, f (x) crece si esta razón espositiva y decrece si esta razón es negativa. En esta sección comprobaremos estaafirmación usando un importante resultado llamado el Teorema del Valor Medio(TVM). A partir de este resultado desarrollaremos un método para saber cuandoun punto crítico corresponde a un mínimo relativo o máximo relativo.

EL TEOREMA DE ROLLE

La gráfica de la función f que se muestra en la figura abajo nos describe elrecorrido que hace un buceador cuando está en la superficie, se sumerge y luegovuelve a la supercicie. El nadador está en la superficie en x = a [ f (a) = 0 ] yvuelve a estar en la superficie en x = b [ f (b) = 0 ]. Usted puede notar en lagráfica de f que allí hay al menos un punto de la gráfica en el cual la tangente ala curva es horizontal.

a b0

y

x

(metros)

(minutos)

y = f ( (x

Podemos convencernos de tal punto existente en la gráfica de f a partir delsiguiente argumento intuitivo: sabemos que el buceador se sumerge y que luegoregresa a la superficie, entonces existe al menos un punto de la gráfica que co-rresponde al tiempo cuando el buceador se detiene y luego vuelve a emerger. Larecta tangente a la gráfica de f en este punto debe ser horizontal.

Una descripción matemática de este fenómeno es contenido en el Teorema deRolle, en honor al matemático frances Michelle Rolle (1652-1719).

Teorema 5.8.1. Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en(a, b). Si f (a) = f (b), entonces existe al menos un número c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.


Ejemplo 5.8.2. Sea f (x) = x2 − 8x + 15 para todo x ∈ [3, 5].

(i) Mostrar que f satisface las hipótesis del teorema de Rolle en [3, 5].

(ii) Hallar según el Teorema de Rolle, números c ∈ (3, 5) tal que f ′(c) = 0

Solución. (i) La función racional f es con-tinua y diferenciable en (−∞,+∞). Enparticular, es continua en [3, 5] y diferen-ciable en (3, 5). Además

f (3) = (3)2 − 8(3) + 15 = 0

y

f (5) = (5)2 − 8(5) + 15 = 02 4 6 8

15

-1

x

y

y se satisfacen las hipótesis del Teorema de Rolle.(ii) El Teorema de Rolle garantiza la existencia de al menos un número c ∈

(3, 5) tal que f ′(c) = 0. Pero f ′(x) = 2x− 8; así que para hallar c debemos resolver

2c− 8 = f ′(c) = 0

obteniendo c = 4. Es decir, existe c = 4 ∈ (3, 5) para el cual f ′(c) = 0.

Ejemplo 5.8.3. (Ciclismo). Durante unrecorrido de montaña, un ciclista hace elrecorrido de un camino cáncavo. La pro-fundidad (en metros) que el ciclista alcan-za en el tiempo t (en minutos) es dada por

f (t) = t3(t− 5)4, donde 0 ≤ t ≤ 5 .

(i) Use el Teorema de Rolle para mostrarque existe algún instante de tiempo t = centre 0 y 5 tal que f ′(c) = 0.

(ii) Hallar el número c e interpretar su respuesta.

Solución. (i) La función polinómica f es continua en [0, 5] y diferenciableen (0, 5). Además, f (0) = 0 y f (5) = 0; así que se satisfacen las hipótesis delTeorema de Rolle. Luego existe al menos un número c ∈ (0, 5) tal que f ′(c) = 0.


(ii) Para hallar c primero calculamos

f ′(t) = 3t2(t− 5)4 + t3(4)(t− 5)3

= t2(t− 5)3[3(t− 5) + 4t]

= t2(t− 5)3(7t− 15)

Haciendo f ′(t) = 0, obtenemos t =

0, 15/7 o 5. Desde que 15/7 es el úni-co número en el intervalo (0, 5) tal quef ′(15/7) = 0, hallamos que c = 15/7. In-terpretando nuestro resultado vemos queel ciclista está inicialmente en la superficie(ya que f (0) = 0) y retorna a la superficiedespués de 5 minutos (ya que h(5) = 0). 0 515/7

t

f

656.6

( (t (en cm)

(en min)

La componente vertical de la velocidad del ciclista es cero en t = 15/7, tiempo enel cual el ciclista alcanza la mayor profundidad de

f(

157

)=

(157

)3 (157− 5)4

≈ 656.6 centímetros = 6.566 metros .

El teorema de Rolle es un caso especial de un teorema más general conocidocomo Teorema del Valor Medio.

Teorema 5.8.4. (Teorema del valor medio). Sea f una función continua en [a, b] ydiferenciable en (a, b). Entonces existe al menos un número c ∈ (a, b) tal que

f ′(c) =f (b)− f (a)

b− a(5.8.18)

Interpretemos este resultado geométrica-mente: notemos que el cociente en la ecua-ción (5.8.18) es precisamente la pendientede la recta secante pasando a través de lospuntos P(a, f (a)) y Q(b, f (b)) que perte-necen a la gráfica de f (ver figura a la de-recha). El número f ′(c) es la pendiente dela recta secante a la gráfica de f en x = c.

P(a, a( (f (

Q(b, b( (f (

(c, c( (f (

x

y

a bc


El Teorema del Valor Medio nos dice entonces que bajo condiciones adecuadassobre f , existe al menos un punto (c, f (c)) en la gráfica de f sobre el intervalo(a, b) tal que la recta tangente a la gráfica de f en este punto es paralela a larecta secante pasando a través de P y Q. Observe que si f (a) = f (b), entonces elTeorema del Valor Medio se reduce al Teorema de Rolle.

Ejemplo 5.8.5. Sea f (x) =1x

.

(i) Mostrar que f satisface la hipótesis del Teorema del Valor Medio en [1, 2].

(ii) Hallar números c ∈ (1, 2) satisfaciendo la ecuación (5.8.18) garantizado porel Teorema del Valor Medio.

Solución. (i) La función f es racional, así que continua y diferenciable en(0,+∞). En particular, f es continua en [1, 2] y diferenciable en (1, 2). Por tantose satisface la hipótersis del Teorema del Valor Medio.

(ii) f ′(x) = −1/x2; así que f ′(c) = −1/c2. Haciendo a = 1 y b = 2, laecuación (5.8.18) nos da

f (2)− f (1)2− 1

= f ′(c) ⇔

12− 1

12− 1

= − 1c2

⇔ c = ±√

2

y desde que c ∈ (1, 2), debemos elegir c =√

2.

Ejemplo 5.8.6. Un auto viaja 180 kilómetros en 3 horas. Suponiendo que lafunción posición s es continua en el intervalo cerrado [0, 3] y diferenciable en elintervalo abierto (0, 3). ¿Se puede concluir que en algún instante el auto viaja a60 kilómetros por hora?

Solución. Nuestra intuición nos dice que la respuesta inmediata es sí. Si elauto viaja siempre a una velocidad menor que 60 km/h, entonces la distanciarecorrida será menor a 180 km. De manera similar, si el auto viaja siempre a unavelocidad mayor a los 60 km/h, entonces la distancia recorrida será mayor que180 km. Por lo tanto, si el auto se desplaza a velocidad constante de 60 km/h, larespuesta debe ser obvia. Finalmente, podemos suponer que el auto viaja duranteun momento a una velocidad menor que 60 km/h y durante otro momento auna velocidad mayor a 60 km/h. Ahora bien, como la velocidad es una funcióncontinua, esperaríamos la velocidad intermedia de 60 km/h.

A continuación usaremos el Teorema del valor medio para llegar a nuestraconclusión: sabemos que s(3) = s(0) + 180. De acuerdo al Teorema del valorMedio existe un punto c ∈ (0, 3) tal que

s′(c) =s(3)− s(0)

3− 0=

(180 + s(0))− s(0)3− 0

=1803

= 60


CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL VALOR MEDIO

Una importante aplicación del teorema del valor medio consiste en estableceralgunos resultados ya estudiados en el capítulo anterior. Por ejemplo, sabemosque si la derivada de una función es positiva, la función es creciente; si la derivadade una función es negativa, la función es decreciente; o si la derivada es cero, lafunción es constante. A continuación veremos en base al teorema del valor mediolas justificaciones de estos resultados.

Teorema 5.8.7. Si f ′(x) = 0 para todo x en el intervalo (a, b), entonces f es constanteen (a, b).

Demostración. Suponga que f ′(x) = 0 para todo x ∈ (a, b). Para probar quef es constante en (a, b) es suficiente mostrar que f tenga el mismo valor para todopar de números en (a, b). Sean x1 y x2 números arbitrarios en (a, b) con x1 < x2.Desde que f es derivable en (a, b), también resulta derivable en (x1, x2) y continuaen [x1, x2]. Aplicando el teorema del valor medio, existe un número c ∈ (x1, x2)

tal que

f ′(c) =f (x2)− f (x1)

x2 − x1(5.8.19)

Pero por hipótesis, f ′(x) = 0 para todo x ∈ (a, b), así que f ′(c) = 0. Deacuerdo a la ecuación (5.8.19) llegamos a f (x2) − f (x1) = 0 o también f (x2) =

f (x1), es decir, f tiene el mismo valor en cualquier par de números en (a, b). Estocompleta la demostración.

Ejemplo 5.8.8. Probar la identidad sen−1 x + cos−1 x =π

2.

Demostración. Sea f (x) = sen−1 x + cos−1 x para todo x ∈ [−1, 1]. Entoncesf (−1) = f (1) = π/2. Ahora bien, para −1 < x < 1 tenemos

f ′(x) =1√

1− x2− 1√

1− x2= 0

Por tanto, de acuerdo al teorema anterior, f (x) es constante en (−1, 1); es decir,existe una constante C tal que

sen−1 x + cos−1 x = C

Para determinar el valor de C hacemos x = 0, obteniendo

sen−1 0 + cos−1 0 = C o C = 0 +π

2

Por lo tanto, sen−1 x + cos−1 x =π

2.


Corolario 5.8.9. Si f ′(x) = g′(x) para todo x en el intervalo (a, b), entonces f y gdifieren por una constante en (a, b); es decir, existe una constante C tal que f (x) =

g(x) + C para todo x ∈ (a, b).

Demostración. Sea h(x) = f (x)− g(x). Entonces

h′(x) = f ′(x)− g′(x) = 0

para todo x ∈ (a, b). De acuerdo al teorema anterior, h es constante; es decir,f − g es constante en (a, b). Por tanto, f (x)− g(x) = C para alguna constante C yresulta f (x) = g(x) + C para todo x ∈ (a, b).

Terminamos esta sección con el resultado anunciado en el inicio de este párrafo:

Teorema 5.8.10. Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y diferenciableen el abierto (a, b).

(i) Si f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), entonces f es creciente en [a, b].

(ii) Si f ′(x) < 0 para todo x ∈ (a, b), entonces f es decreciente en [a, b].

Demostración. (i) Supongamos que x1 y x2 son puntos en [a, b] tal que x1 <

x2. Debemos mostrar que f (x1) < f (x2). Debido a que se satisface la hipótesis delteorema del valor medio en el intervalo [a, b], entonces se satisface en el subinter-valo [x1, x2]. Así que existe algún punto c en el intervalo abierto (x1, x2) tal que

f ′(c) =f (x2)− f (x1)

x2 − x1

o equivalentementef (x2)− f (x1) = f ′(c)(x2 − x1) (5.8.20)

Desde que c pertenece al intervalo abierto (x1, x2), se sigue que a < c < b; asíque f ′(c) > 0. Sin embargo, desde que x2 > x1, entonces x2 − x1 > 0. Se sigueentonces de (5.8.20) que f (x2)− f (x1) > 0, o equivalentemente, f (x1) < f (x2) loque completa la demostración.

(ii) La prueba de esta afirmación es completamente similar.

Lord Barrera - Sección 5.9. El Método de Newton-Raphson 427

5.9. El Método de Newton-Raphson

Desde los cursos de álgebra elemental sabemos que las ecuaciones cuadráticas

ax2 + bx + c = 0

se pueden resolver explícitamente mediante la fórmula

x =−b±

√b2 − 4ac

2a.

También existen fórmulas para resolver ecuaciones cúbicas y ecuaciones de cuar-to grado. Sin embargo, no existen fórmulas elementales para que nos permitanresolver de manera general ecuaciones polinómicas (por ejemplo las de gradocinco o las de mayor grado). Si elevamos nuestro grado de complejidad y preten-demos resolver ecuaciones trascendentes como

π

5=

x2− cos x

entonces llegamos a un terreno oscuro. A continuación trataremos de resolvereste tipo de ecuaciones que son importantes porque se aplican en diversas áreas.

Si encontramos una solución aproximada de una ecuación (digamos un nú-mero con cierto número de decimales), entonces nuestras herramientas de cálculopermitirán seguir hallando soluciones cada vez más próximas al valor exacto. Latécnica que estudiaremos en esta sección se llama método de Newton-Raphsono algunas veces método de Newton. Usando este método podemos elaboarar al-goritmos para resolver ecuaciones complicadas en diversos softwares.

GEOMETRÍA DEL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

La figura abajo describe la idea fundamental del método de Newton-Raphson:

c x2 x1

(x1, x1f ( ((

f l

Para aproximarnos a la raíz c de la ecuación f (x) = 0, tomamos un puntopróximo de la raíz, digamos x1. Sea l la recta tangente a la gráfica de f en el punto


(x1, f (x1)). La figura anterior sugiere que si x1 está próxima de c, donde la gráficade f corta al eje x transversalmente, entonces el punto x2 que resulta de intersecarl con el eje x, deberá ser un punto bien próximo a c. Esta observación simple es laidea básica del método de Newton-Raphson.

Ejemplo 5.9.1. Sea P el punto del plano donde se intersecan las gráficas delas curvas y = cos x e y = x. Vamos a aproximarnos a la raíz comenzando por elpunto x = π/3. Aplicaremos la idea básica del método de Newton-raphson parauna mejor aproximación.

Solución. la idea del método de Newton-raphson usa una aproximación tan-gente para estimar una raíz de la ecuación f (x) = 0. Cuando intersecamos lasdos curvas, la solución x es aquella que astisface

x = cos x = 0 que equivale a x− cos x = 0 .

Si definimos f (x) = x− cos x, entonces el valor c de x es la solución de f (x) = 0.Ahora iniciamos con el valor aproximado x1 = π/3 de c. La recta tangente en(x1, f (x1)), o sea el punto (π/3, π/3− 1), tiene pendiente

f ′(π

3

)=

ddx

(x− cos x)∣∣∣∣

x=π/3= (1 + sen x)

∣∣∣∣x=π/3

= 1 +

√3

2.

Por tanto la ecuación de la recta tangente en su forma punto-pendiente es

y =

(1 +

√3

2

)(x− π

3

)+

(π

3− 1

2

).

La recta interseca al eje x cuando y = 0, o sea

x2 =π

3+

1/2− π/3

1 +√

3/2≈ 0.75395527 .

x cos x

x1 1.0471976 0.5

x2 0.75395527 0.72898709

cx2 x1

l

=0.75 =p 3

xf ( (=x - cosx

De la tabla anterior vemos en la primera fila que x1 y cos x1 difieren bastan-te. Sin embargo, en nuestra próxima aproximación (la segunda fila) x2 y cos x2

difieren muy poco.


CALCULANDO CON EL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

Para usar el método de Newton-Raphson necesitamos desarrollar un algorit-mo. Si damos una función diferenciable f y una raíz estimada x1 que se aproximaa la raíz c de f (x) = 0, entonces la recta tangente en (x1, f (x1)) tiene como ecua-ción punto pendiente a

y = f ′(x1)(x− x1) + f (x1)

Sea x2 el punto de intersección de esta recta tangente con el eje x. Sustituyendoy = 0 y x = x2 en la ecuación de la recta tangente, conseguimos

x2 = x1 −f (x1)

f ′(x1)(5.9.21)

siempre que f ′(x1) ̸= 0. Si en el lado derecho de la ecuación (5.9.21) reem-plazamos x1 por x2, entonces la expresión resultante es usada para definir la si-guiente aproximación x3, y así sucesivamente. En resumen tenemos la siguientedefinición

Definición 5.9.1. (El método de Newton-Raphson). Si f es una función diferen-ciable, entonces la (n + 1)-ésima raíz aproximada xn+1 al cero de f , obtenida dela n-ésima raíz estimada xn, es dada por la fórmula

xn+1 = xn −f (xn)

f ′(xn)siempre que f ′(xn) ̸= 0 .

Ahora podemos formular el método de Newton-Raphson de una manera ite-rativa. Sea

Φ(x) = x−f (x)f ′(x)

(5.9.22)

Entonces comenzamos con la primera aproximación x1 a la raíz c de f (x) = 0y generamos una sucesión de aproximaciones por la fórmula

xj+1 = Φ(xj) (5.9.23)

Ejemplo 5.9.2. Use el método de Newton-Raphson para calcular√

3 con unerror de 10−7.

Solución. El problema equivale a hallar la raíz positiva de la ecuación f (x) =x2 − 3. Primero calculamos f ′(x) = 2x y de acuerdo a la ecuación (5.9.22) defini-mos

Φ(x) = x−(

x2 − 32x

)= x− x

2+

32x

=12

(x +

3x

).


Para la primera aproximación tomamos x1 = 1.7. Entonces de acuerdo a la ecua-ción (5.9.23) conseguimos

x2 = Φ(x1) =12

(1.7 +

31.7

)= 1.7320508.

Este valor coincide con√

3 con un error de siete decimales que puede ser corro-borado en una calculadora.

Si nosotros no tuviéramos la respuesta con anticiipación o si no haríamos usode calculadora, ¿podemos determinar la aproximación exacta? Si el método deNewton-Raphson es usado en la práctica, entonces la respuesta debe ser respon-dida de manera precisa.

Supongamos quue nuestra sucesión de aproximaciones {xn} del método deNewton-Raphson está en un intervalo en la cual los valores | f ′(x)| son acotadospor una constante C1. Supongamos también que xn y xn+1 coinciden con un errorde k decimales. Entonces

xn+1 = xn + ε, donde |ε| < 5× 10−(k+1)

Así que

xn −f (xn)

f ′(xn)= xn + ε

o tambiénf (xn) = − f ′(xn) · ε

Se sigue que

| f (xn)| = | f ′(xn) · ε|= | f ′(xn)| · |ε|

≤ C1

(5× 10−(k+1)

)= 5 · C1 · 10−(k+1).

Esta desigualdad implica que la sucesión { f (xn)} se aproxima a cero. En lapráctica podemos continuar con iteraciones hasta obtener dos o tres aproximacio-nes con un error de 5× 10−(k+1). Es importante considerar el signo para estimaruna mejor posición del k-ésimo decimal.

Si f tiene segunda derivada continua, entonces podemos decir más acercade la sucesión {xn} la cual se aproxima a c por el método de Newton-Raphson.Denotamos el error absoluto

εn = |c− xn|.


Si f ′(c) y f ′′(c) son no nulos, y si la sucesión {xn} converge a c, entonces secumple

lı́mj→+∞

εn+1

ε2n

=

∣∣∣∣ f ′′(c)2 f ′(c)

∣∣∣∣ (5.9.24)

Notemos en el lado derecho de la ecuación (5.9.24) que tenemos un númeropositivo al que denotamos por C. Entonces la ecuación (5.9.24) nos dice que

εn+1 ≈ C · ε2n para n suficientemente grande

Así que al aplicar recursivamente el método de Newton-Raphson, el (n + 1)-ésimo error εn+1 es aproximadamente proporcional al cuadrado ε2

n del n–ésimoerror. Por ejemplo, si εn es un error de 10−3, entonces εn+1 es un error de 10−6 yεn+2 es un error de 10−12. Con esta descripción técnica vemos que el método deNewton-raphson es un proceso iterativo de segundo orden.

Ejemplo 5.9.3. La ecuación de Kepler

M = x− e · sen x

relaciona la anormalía media M y la anormalía excéntrica x de un planeta queviaja en una curva elíptica de excentricidad e (ver figura). Es importante en pre-dicción astronómica saber resolver x para un valor conocido de M. Kepler afirmóde que una solución exacta para x es imposible “si alguien me indicara mi errory me mostrara el camino, sería tan grande como Apollonius”. En lugar de hallaruna solución exacta, hallaremos x para cuatro decimales cuando M = 1.0472 ye = 0.2056 (la exentricidad de la órbita de Mercurio).

Solución. Sea f (x) = 1.0472− x+ 0.2056 · sen x. Debido a que f (0) = 1.0472 >

0 y f (π/2) = −0.3180 < 0, el TVI asegura que f tiene una raíz c en el intervalo(0, π/2). Por otro lado,

f ′(x) = −1 + 0.2056 · cos x

y debido a que f ′(x) < −1 + (0.2056)(1) < 0, concluímos que f decrece y que laecuación f (x) = 0 tiene solución única. La gráfica de f (mostrada a la derecha)confirma nuestro análisis. De la gráfica vemos que x1 = 1.2 es nuestra primeraaproximación. Sea

Φ(x) = x−f (x)f ′(x)

= x− 1.0472− x + 0.2056 · sen x−1 + 0.2056 · cos x


y conseguimos

x2 = Φ(x1) = 1.2419527

x3 = Φ(x2) = 1.2417712

x4 = Φ(x3) = 1.2417712

Puesto que |x4 − x3| < 5 × 10−5 podemos asegurar que c = 1.2417712 escorrecto para cuatro decimales.

ESCOLLOS DEL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

Obviamente el método de Newton-Raphson es trágico si f ′(xj) = 0 para al-gún índice j (figura (a)).

xj xj-1

xjf´( ( =0

c

xj xj-1c

xj+1

xj xj-1cxj+1 xj-1xj+1 c

(a) (b)

( (c (d)

Vemos aquí que la recta tangente en xj es horizontal, así que nunca interse-ca al eje x y el método usado falla. En realidad podemos cambiar ligeramente elproblema si f ′(xj) es muy pequeño y el este caso f (xj)/ f ′(xj) es muy grande. Sieste es el caso, entonces xj+1 está muy lejos de xj aunque la raíz puede estar muycerca a xj (figura (b)). En estas circunstancias podemos decir que el método deNewton-raphson diverge. Lo que causa esta divergencia puede resultar en unaconvergencia a una raíz distinta a la esperada (figura (c)). Si un punto de infle-


xión es localizado bien próximo de la raíz, entonces puede ocurrir el fenómenocíclico (ver figura (d)). La mejor manera de evitar esta dificultad es considerarotra aproximación inicial.

APLICACIÓN EN ECONOMÍA: VALUACIÓN DE BONOS

Cuando un gobierno ofrece bonos a un inversionista, éste acuerda con el pagoP del valor nominal que se le hace en un determinado número n de años (tiempoen el que la negociación madura). Si la tasa de interés de dicho pago es del 100r %entonces, mientras la negociación se desarrolle, el inversor recibe pagos de intere-ses semestrales que en cada caso es rP/2. Por ejemplo, un bono con valor nominalde 5000 dólares cuyo pago de interés semestral es de 125 dólares a una tasa del5 % se traduce en la fórmula r · 5000/2 = 125, esto nos dice que r = 0,05. Despuésque la transacción fue hecha, la amortización P y la tasa de interés r no cambian.

El gobierno debe saber cuando negociar los bonos ya que es sumamente im-portante venderlas antes de su negociación decaiga. El precio de mercado V deun bono a veces difiere de su valor nominal P. Cuando la tasa de interés varia, elprecio del mercado V de un bono debe adaptarse en el curso de la negociación.Por ejemplo, si la tasa de interés aumenta es porque el bono B fue emitido y lasnuevas transacciones tendrán una tasa más elevadas que B. La única forma paravenderla a B es ofreciéndola a un precio V que está por debajo de su valor no-minal P. Un inversionista sufre una pérdida si el precio de mercado V del bonoes menor que su precio nominal P. Este beneficio o pérdida debe ser considera-do en la determinación del rendimiento efectivo x de la transacción. El rendimientoefectivo x se expresa por la fórmula

V = P.(1 + x)−n +r2

(1− (1 + x)−n

√1 + x− 1

)

En la práctica, el inversionista debe saber el precio V a cual la transacción seofrece así como la tasa de interés r y su valor nominal P, además debe considerarel tiempo donde la negociación es rentable. Para tomar una decisión coherente, elinversionista debe determinar el rendimiento efectivo x. Un importante métodode aproximación es tan necesario como el método de Newton-Raphson porqueno es factible resolver exactamente al valor x.

Ejemplo 5.9.4. Un bono con valor nominal de 10,000 dólares tiene una tasadel 27/4 % para un periodo de 20 años y se vende al precio de mercado de 9125dólares. ¿Cuál es el rendimiento efectivo? (el nono se determina con una aproxi-mación de dos decimales).


Solución. Para este ejemplo P = 10, 000, r = 0.675, n = 20, y V = 9125. Sea

f (x) = 10000.(1 + x)−20 +0.0675

2

(1− (1 + x)−20

√1 + x− 1

)− 9125

y

Φ(x) = x−f (x)f ′(x)

Debedo a que hay una ganancia en el capital, el rendimiento efectivo es mayorque r. Entonces tiene sentido comenzar con nuestro proceso de aproximación conun número x1 mayor a r. Si elegimos x1 = 0.07, entonces conseguimos

x2 = Φ(0.07) = 0.07711

x3 = Φ(0.07711) = 0.07753

x4 = Φ(0.07753) = 0.07753

(claramente, si f es complicado, la función Φ también lo será). Para obtenerlos valores Φ(xn) podemos usar un sistema de álgebra computacional. La coin-cidencia entre x3 y x4 en la parte decimal significa que el algoritmo debe parar.Por lo tanto, el rendimiento efectivo es del 7.75 %.



SECCIÓN 5.1

Ejercicio 5.1. (Precio de un pasaje). Enuna empresa de transporte interprovin-cial, el precio del pasaje de Lima a Are-quipa es x soles. Suponga que el ingresomensual de dicha empresa es de

I(x) = 1.6x− 0.01x2 miles de soles

(i) Estimar la variación en el ingreso si el precio aumenta de 50 a 52 soles.

(ii) Suponga que x = 80. ¿De qué manera queda afectado el ingreso por unpequeño aumento en el precio? Explicar usando aproximación lineal.

Ejercicio 5.2. (Efecto de la publicidad enlos ingresos). La relación entre los ingre-sos trimestrales, P(x), de una compañía yla cantidad de dinero x, gastada trimes-tralmente es descrita por

P(x) = −18

x2 + 7x + 32

donde 0 ≤ x ≤ 50 y tanto P(x) como x se expresan en miles de soles. Usediferenciales para calcular el incremento en el ingreso cuando la cantidad gastadaen publicidad aumenta trimestralmente de 24,000 a 26,000 soles.

Ejercicio 5.3. La presión atmosférica P (en kilopascales) a una altura h (en kilo-metros) para 11 ≤ h ≤ 25, es aproximadamente P(h) = 128e−0.157h. Use aproxi-mación lineal para estimar el cambio en la presión para h = 20, cuando ∆h = 0.5.

Ejercicio 5.4. Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidadinicial de v cm/seg y alcanza una altura máxima de h = v2/1960 cm.

(i) Estimar ∆h si v = 700 cm/seg y ∆v = 1 cm/seg.

(ii) Estimar ∆h si v = 1000 cm/seg y ∆v = 1 cm/seg.


Ejercicio 5.5. (Construyendo un depósitode combustible). Un tanque de combusti-ble para gas propano tiene la forma de uncilindro circular recto con extremos semi-esféricos. La llongitud del tanque es de 6metros, y el radio de cada semiesfera es der metros.

6 m

r

(i) Muestre que el volumen del tanque es23

πr2(2r + 9)metros3.

(ii) Si el tanque fuera construido con un radio de 4.1 metros en lugar de 4 me-tros. ¿Cuál es el porcentaje de error en este volumen?

Ejercicio 5.6. (Altura de un niño). Para ni-ños con edades entre 5 y 13 años, la ecua-ción de Ehrenberg

ln W = ln 2.4 + 1.84h

expresa la relación entre el peso W (enkilogramos) y la altura h (en metros) deun niño. Use diferenciales para estimar elcambio en el peso de un niño que crece de1 metro a 1.1 metros.

Ejercicio 5.7. El radio de una esfera es r = 25 cm. Calcular el máximo error en elvolumen y el área de la superficie si el error en r es de 0.5 cm

Ejercicio 5.8. Estimar√

16.2 usando la linealización L(x) de f (x) =√

x en a =

16. Graficar f (x) y La(x) en el mismo plano cartesiano y determinar cuando laestimación es grande o pequeña.

Ejercicio 5.9. La presión atmosférica P a una altura de h = 20 km es P =

5.5 kilopascales. Estimar P a una altura de h = 20.5 km sabiendo quedPdh

=

−0.87.

Ejercicio 5.10. El ingreso a una boletería de multicines en Lima es de I(p) =

3600p − 10p3 soles, donde p es el precio del boleto en soles. Calcule I(p) parap = 9 y use aproximación lineal para estimar ∆I sabiendo que p tiene un margende variación de 0.5 soles.


SECCIÓN 5.2Ejercicio 5.11. En cada caso, hallar los extremos relativos de la función:

(i) f (x) = x2 − 6x (ii) f (x) = −2x2 + 4x + 3 (iii) f (x) = −4x2 + 4x + 1

(iv) f (x) = x5 − 4x (v) f (x) = −2x3 + 3 (vi) f (x) = x3 − 2x2 + 1

Ejercicio 5.12. (Cantidad de empleos). De acuerdo a un estudio estadístico, elnúmero de profesionales empleados durante el periodo 2000 - 2009, es modeladopor

E(t) = −28.31t3 + 381.86t2 − 1162.07t + 16, 905.87

donde t es el número de años desde el año2000 (t = 0 corresponde al año 2000) y launidad para E se expresa en miles de em-pleos. Halle los máximos relativos y mí-nimos relativos de esta función y haga ungráfico aproximado de la misma. Interpre-tar la descripción geométrica de los extre-mos relativos.

Ejercicio 5.13. (Eclipse solar). El 11 de ju-lio del 2010 se produjo el último eclipsesolar, ocurrido al sur del oceano pacífico,incluidas las islas Tuamotu en PolinesiaFrancesa y la isla de Pascua que se ubicanpor el sur de Chile y de Argentina. El ca-mino que describe la eclipse sobre la tierrapuede ser modelado por la función

f (x) = 0.0125x2 − 1.157x + 22.864, 15 < x < 90

donde x es el número de grados de longitud este desde el meridiano principal,y f (x) es el número de grados de latitud norte (positiva) o sur (negativa) desdeel Ecuador. Hallar la longitud y la latidud al punto más meridional en el cual laeclipse puede ser vista totalmente.

Ejercicio 5.14. En cada caso, determinar los intervalos de crecimiento y decreci-miento.

(i) f (x) = 3x4 − 8x3 + 6x2 (ii) (x2 − 2x− 8)2 (iii) f (x) =12x− 243x + 6

(iv) f (x) = x2 − x + 2 (v) (x− 8)2 (vi) f (x) =x− 2x + 3


Ejercicio 5.15. En cada caso, haga un gráfico siguiendo la descripción indicada:

(i) f (x) es creciente sobre (−∞, 2) y decreciente sobre (2,+∞).

(ii) g(x) es decreciente sobre (−∞,−3) y creciente sobre (−3,+∞).

(iii) f (x) tiene derivada negativa sobre (−∞, 1) y derivada positiva en (1,+∞).

(iv) g(x) tiene derivada positiva sobre (−∞, 0) y derivada negativa en (0,+∞).

(v) h(x) es creciente sobre (−∞,+∞) pero la derivada no existe en x = 1.

Ejercicio 5.16. La primera columna muestra las gráficas de tres funciones, y la se-gunda columna muestra las gráficas de sus derivadas, pero no necesariamente enel mismo orden. Completar los espacios en blanco las funciones correspondientes.

x

y

función f

x

y

derivada de la función _____

x

y

función g

x

y


x

y

función h

x

y



Ejercicio 5.17. Para cada una de las gráficas

(i) Hallar los intervalos donde la derivada es positiva.

(ii) Hallar los intervalos donde la derivada es negativa.

-2

x

y

x

y

3

Ejercicio 5.18. (Decaimiento radioactivo). Un reactor convierte uranio estable-238 en isótopo de plutonio- 239. El decaimiento de este isótopo es dado por

A(t) = A0e−0.00002876t

donde A(t) es la cantidad de isótopo en el tiempo t, en años, y A0 es la cantidadoriginal. Este isótopo tiene una vida media de 24.101 años (o sea, la vida mediade este decaimiento dura 24.101 años).

(i) ¿Con qué razón de cambio decae A(t) en el tiempo?

(ii) ¿Cuál es la razón de cambio del decaimiento luego de un año?

(iii) ¿La razón de cambio de este decaimiento de vida media es mayor o menorluego de un año?

Ejercicio 5.19. (Estadística). Funciones similares a

f (x) =1√

2πe−x2/2

se usan comúnmente en problemas de estadística.

(i) Use el criterio de la primera derivada para mostrar que f tiene un máximorelativo en x = 0 y confirme esto usando la gráfica de f .

(ii) Grafique la función f (x) =1√

2πe−(x−µ)2/2 donde µ es una constante, y

describa las coordenadas de los extremos relativos.


SECCIÓN 5.3

Ejercicio 5.20. En cada caso, hallar el máximo y mínimo absoluto de f (x) en elintervalo [a, b].

(i) f (x) = x3 − 2x2 − 4x + 5, [−2, 3].

(ii) f (x) = x3 − 3x + 2, [−3, 2].

(iii) f (x) = x3 − x2 − x, [−1, 2].

Ejercicio 5.21. La función

V(x) = x(10− 2x)(16− 2x), 0 < x < 5

modela el volumen de una caja.

(i) Hallar los valores extremos de V

(ii) Interpretar los valores hallados en la parte (i) en érminos del volumen de lacaja.

Ejercicio 5.22. La función

P(x) = 2x +200

x, 0 < x < ∞

modela el perímetro de un rectángulo de dimensiones x y 200/x.

(i) Hallar los valores extremos de P

(ii) Dar una interpretación en términos del perímetro del rectángulo para losvalores hallados en la parte (i).

Ejercicio 5.23. (Maximizando el ingre-so). La cantidad demandada por mes debalones de fulbol Nike se relaciona conel precio unitario mediante la ecuación dedemanda

p =50

0.01x2 + 1

0 ≤ x ≤ 20, donde p se mide en dólares yx se mide en unidades de miles.

¿Cuántos balones de futbol deben ser vendidos por la tienda para maximizar elingreso?


Ejercicio 5.24. (Ritmo cardiaco). A finesde 1960, Adolf Fick, un profesor de fisiolo-gía de la Facultad de Medicina en Wurtz-berg, en Alemania, desarrolló unos de losmétodos que actualmente utilizamos paramedir la cantidad de sangre que el cora-zón bombea en un minuto. Como se expli-ca a continuación en el texto, su ritmo car-diaco es probablemente cerca de 7 litrospor minuto; cuando estamos en reposo este ritmo desciende a poco menos de 6litros por minuto. Si usted es un atleta regular, su ritmo cardiaco puede alcanzarel nivel de 30 L/min. Su ritmo cardiaco puede calcularse mediante la fórmula

y =QD

donde Q es el número de mililitros de CO2 que usted exhala en un minuto y D esla diferencia entre la concentración (en mL/L) de CO2 de la cantidad de sangrebombeada hacia los pulmones, y la concentración de CO2 de la cantidad de sangreque retorna de los pulmones. Si hacemos Q = 233 mL/min y D = 97− 56 =

41 mL/L, obtenemos

y =233 mL/min

41 mL/L≈ 5.68 L/min

que está próxima de 6 L/min, que es la condición que la mayoría de las personasadquieren cuando están en reposo. Suponga que cuando Q = 233 y D = 41sabemos que D es decreciente a razón de 2 unidades en un minuto, pero que Qpermanece invariable. ¿Diga usted, que sucede en este caso con el ritmo cardiaco?

Ejercicio 5.25. (Diseñando un depósitode granos). Un gran depósito tiene la for-ma de un cilindro circular recto coronadopor una semiesfera. Si el depósito tiene unvolumen de 504π pies3, determine el ra-dio y la altura del depósito para requerirla menor cantidad de material en su cons-trucción.

Ejercicio 5.26. El ingreso total de una compañía es modelado por

I(x) = 2800x− 8x2 − x3 soles

donde x es el número de unidades del producto. Hallar el máximo ingreso queresulta de las ventas de dicho producto.


Ejercicio 5.27. (Máxima potencia de salida). Suponga que una fuente de corrien-te en un circuito eléctrico es una batería. Entonces la potencia de salida P (enwatts) que swe obtiene cuando el circuito tiene una resistencia de R ohms, esdado por

P =E2R

(R + r)2

donde E es la fuerza electromotriz en voltios y r es la resistencia interna de labatería en ohms. Si E y r son constantes, hallar el valor de R que debe resultar enla máxima potencia de salida. ¿Cuál es la máxima potencia de salida?

Ejercicio 5.28. (Control de contaminación). El costo para controlar las emisionesde gas aumenta cuando las emisiones de gases se reducen. Aquí hay un posiblemodelo:

C(q) = 5, 000 + 200q2

donde q es la cantidad de gas reducida (enkilos de contaminantes por día) y C es elcosto diario (en dólares) de esta reducción.¿Cuál es el nivel de reducción correspon-diente al menor costo promedio por kilode contaminante? y ¿Cuál debe ser el re-sultado aproximado del costo promedio?

Ejercicio 5.29. (Menor recorrido). Unamujer está en un lago dentro de un yate,localizado a un kilometro (en línea recta)del punto P de la orilla como se ve en lafigura. Ella desea aproximarse al punto Qque queda a 10 kilometros (sobre la orilla)del punto P, remando primero hasta un

10 km

P QR

1 km

punto R entre P y Q y luego caminando el camino restante. Si ella puede remar auna velocidad de 3 kph y caminar a una velocidad de 4 kph. ¿A qué distancia delpunto Q está ubicado el punto R para llegar lo más rápido? ¿Qué tiempo requiereella para realizar este trabajo?

Ejercicio 5.30. (Conservando truchas). La comisión de conservación de peces es-tima que la reproducción de la trucha arco iris puede ser modelada por f (p) =

50√

p, donde p y f (p) están en miles y p ≤ 1000. Halle la cantidad de truchasque da la máxima reproducción y ¿Cuál es esta reproducción máxima?


Ejercicio 5.31. (Conservando sardinas). La función de reproducción para las sar-dinas en el Oceano Pacifico puede ser modelada por f (p) = −0.0005p2 + 2p,donde p y f (p) están en cientos de toneladas métricas. Hallar la cantidad desardinas que da la máxima reproducción y ¿Cuál es esta reproducción máxima?

Ejercicio 5.32. (Portaviones navegando).Un portaviones navega hacia el este a unavelocidad constante de 30 pie/seg. Cuan-do el portaviones está en su punto de par-tida (t = 0), un avión despega y su tra-yectoria de vuelo se describe por la ecua-ción y = 0.001x2, donde y es la altitud delavión (en pies).

x ( (pies

y ( (pies y = 0.001x2

P(x,y (

A(30 0t, (

( (posición del portaviones

( (posición del avión

Diez segundos después el avión está en el punto (1000, 1000) y se tiene dx/dt =500 pie/seg. ¿Qué tan rápido cambia la distancia entre el avión y el portaviones?

Ejercicio 5.33. (Flujo sanguíneo bajo laacción de la maniobra de vuelo). El traba-jo realizado por el corazón, principalmen-te por el ventrículo izquierdo, es dado porla ecuación

W = PV +Vδv2

2g

donde W es el trabajo por unidad de tiempo, P es el promedio de la presiónsanguínea, V es el volumen de la sangre bombeada durante la unidad de tiempo,δ es la densidad de la sangre, v es la velocidad promedio de la sangre que sale, yg es la aceleración de la gravedad.

Cuando P, V, δ y v se mantienen constantes, W resulta una función de g, y laecuación toma la forma simplificada

W = a +bg

(a, b constantes)

Usted como miembro del equipo médico de la NASA, debe saber qué tan sensiblees W a los aparentes cambios en g causados por las maniobras del vuelo, y sudependencia del valor inicial de g. Como parte de su investigación usted debecomparar el efecto en W debido al cambio dg en la Luna, donde g = 5.2 pie/seg2,con el efecto del mismo cambio dg en la Tierra, donde g = 32 pie/seg2. Use laecuación anterior para hallar la razón de dWLuna a dWTierra.


SECCIÓN 5.4Ejercicio 5.34. (Desenrollando un cabletelefónico). Un cable telefónico en un ca-rrete será desenrrollado a lo largo de unacalle de tal manera que durante el proceso,el radio del enrollado se mantiene cons-tante. Si el cable se desenrrolla a veloci-dad constante de 6 pie/seg, use la ecua-ción s = rθ para determinar ¿qué tan rá-pido (en rad/seg)? es desenrrollado el ca-rrete hasta llegar a un radio de 1.2 pies?

1.2'

Ejercicio 5.35. (Calculando la aceleración de la gravedad). Cuando el péndulo deun reloj de longitud L se mantiene constante, el periodo T del péndulo dependede la aceleración g de la gravedad.¨Por tanto, el periodo varía ligeramente cuandoel reloj se mueve de un lugar a otro en la superficie de la Tierra, dependiendo delcambio en g. Para establecer la variación ∆T, podemos estimar la variación en ga partir de la ecuación T = 2π(L/g)1/2, que relaciona T, g y L.

(i) Manteniendo L constante y g como la variable independiente, calcular dT yusar sus respuestas para los ítems (ii) y (iii).

(ii) Si g se incrementa, entonces ¿T crecerá o decrecerá? ¿Será que la velocidaddel péndulo aumentará o disminuirá?

(iii) Un reloj con un péndulo de 100 cm se mueve de un lugar donde la gravedades de g = 980 cm/seg2 a un nuevo lugar. ¿Esto incrementa el periodo adT = 0.001 seg? Hallar dg y estimar el valor de g en su nueva ubicación.

Ejercicio 5.36. (Venta de autos). Un comerciante de automóviles vende autos alprecio de 12,000 dólares. La función de demanda es D(p) = 2(15 − 0.001p)2,donde p es el precio del auto. ¿De qué manera el vendedor debe aumentar odisminuir el precio para mejorar sus ventas?

Ejercicio 5.37. (Distribuidor de licores). Un distribuidor de licores quiere mejo-rar sus ventas exitosas de licores haciendo descuento en el precio. Si la función dedemanda para este licor es D(p) = 60− 3p, donde p es el precio por botella, y elprecio actual es 15 soles, ¿tiene éxito el descuento realizado por el distribuidor?


SECCIÓN 5.5Ejercicio 5.38. La demanda para la venta de un producto por kilo es D(p) =

100 − 5p, donde D representa el número de kilos demandados cuando el pre-cio por kilo es p. Hallar la elasticidad para un incremento del 10 % en el precio,sabiendo que los precios son 6, 8 y 12 soles.

Ejercicio 5.39. Hallar la elasticidad de demanda para D(p) =100

p− 10en p = 20

y p = 25. Determine si la demanda es elástica o inelástica.

Ejercicio 5.40. (Demanda de polos). La demanda en la venta de polos en unafábrica se expresa mediante la fórmula

D(p) = 967− 25p

donde p es el precio (en soles) de cada polo.

(i) Hallar la elasticidad.

(ii) ¿A qué precio la elasticidad de la demanda es igual a 1?

(iii) ¿A qué precio la elasticidad de la demanda es elástica?

(iv) ¿A qué precio la elasticidad de la demanda es inelástica?

(v) ¿A qué precio el ingreso es máximo?

(vi) Si el precio de cada polo es de 20 soles, ¿qué incremento pequeño en elprecio provoca que el ingreso total aumente o disminuya?

Ejercicio 5.41. (Demanda de petróleo). Suponga que usted realizó un estudiosobre la demanda de petróleo y le resulta la fórmula

D(p) = 63, 000 + 50p− 25p2 donde0 ≤ p ≤ 50

donde p es el precio (en céntimos) de cada chocolate.

(i) Hallar la elasticidad.

(ii) Hallar la elasticidad al precio de 10 soles por barril y decir si la demanda eselástica o inelástica a ese precio.

(iii) ¿Qué precio maximiza el ingreso?

(iv) Con respecto al ítem (iii), ¿qué cantidad de petróleo se vende cuando semaximiza el ingreso?

(v) Si el precio de cada barril es de 30 dólares, ¿qué incremento pequeño en elprecio provoca que el ingreso total aumente o disminuya?


SECCIÓN 5.6


(i) lı́mx→ 2

ln(2x− 3)x2 − 4

(ii) lı́mx→ 0

1− cos ax1− cos bx

(iii) lı́mx→ 1

x1/3 − 1x2/3 − 1

(iv) lı́mx→ 0

1− cos xln(1 + x2)

(v) lı́mx→ 0

10x − ex

x(vi) lı́m

x→ 1

ln(ex)− 1sen πx


(i) lı́mx→+∞

9x + 43− 2x

(ii) lı́mx→+∞

ln xx1/2

(iii) lı́mx→−∞

ln(x4 + 1)x

(iv) lı́mx→+∞

ln x√

x(v) lı́m

x→+∞

x2

ex (vi) lı́mx→−∞

x sen1x


(i) lı́mx→ 1

√8 + x− 3x1/3

x2 − 3x + 2(ii) lı́m

x→ 1

(1 + 3x)1/2 − 2(1 + 7x)1/3 − 2

(iii) lı́mx→ 0

tg xx

(iv) lı́mx→ 0

cos(x + π

2

)sen x

(v) lı́mx→ π

2

(sec x− tg x) (vi) lı́mx→ 1

tg(πx

2

)ln x

Ejercicio 5.45. Evaluar el límite lı́mx→π/2

cos mxcos nx

, donde m y n son números enteros

no nulos.

Ejercicio 5.46. Sea f (x) = x1/x en el dominio {x : x > 0}.

(i) Calcule lı́mx→ 0+

f (x) y lı́mx→+∞

f (x).

(ii) Hallar el máximo valor de f (x) y determinar los intervalos en el cual f (x)crece o decrece.

(iii) Use (i) y (ii) para mostrar que x1/x = c admite única solución si 0 < c ≤ 1o c = e1/e; dos soluciones si 1 < c < e1/e; y ninguna solución si c > e1/e.

Ejercicio 5.47. Sea f (x) = x(2 + sen x) y g(x) = x2 + 1.

(i) Muestre directamente que lı́mx→+∞

f (x)/g(x) = 0.

(ii) Muestre que lı́mx→+∞

f (x) = lı́mx→+∞

g(x) = +∞, pero que lı́mx→+∞

f ′(x)/g′(x)

no existe.

(iii) ¿(i) y (ii) contradicen la regla de L’Hopital? Explicar.


SECCIÓN 5.7

Ejercicio 5.48. Sea f (x) = ex2−4x − x2 + 4x

(i) Hallar y clasificar los puntos críticos de f .

(ii) ¿Tiene f extremos absolutos en el intervalo (−1, 5)? Justificar.

(iii) Graficar la función.

Ejercicio 5.49. Sea

f (x) =1

xe2x+ 2

(a) Hallar el dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremoslocales de f .

(b) Hallar (si las hay) las asíntotas horizontales y verticales de f . Decidir si losextremos hallados en el ítem anterior son absolutos.

Ejercicio 5.50. Seaf (x) =

xx2 + 1

(a) Hallar dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, y ex-tremos locales de f .

(b) Hallar intervalos de concavidad y convexidad, y puntos de inflexión de f .Hacer un gráfico aproximado.

Ejercicio 5.51. (Contaminación del aire). En la atmósfera está diseminado un gasque irrita y afecta la respiración. El índice de contaminación estandar (ICE) en uncierto día de junio en la ciudad de Lima es aproximado por

S(t) = 1.0974t3 − 0.0915t4, 0 ≤ t ≤ 11

donde t se mide en horas con t = 0 correspondiendo a las 7 A.M. Graficar lafunción S e interpretar el resultado.

Ejercicio 5.52. (Análisis del flujo de tráfico). La velocidad del flujo de tráfico enkilómetros por hora en la panamericana norte entre las 6 A.M y las 10 A.M de untípico día laboral es aproximado por la función

f (t) = 20t− 40√

t + 52, 0 ≤ t ≤ 4

donde t se mide en horas con t = 0 correspondiendo a las 6 A.M. Graficar lafunción f e interpretar el resultado.


SECCIÓN 5.8Ejercicio 5.53. ¿Para qué valor de m la siguiente declaración es correcta? Si f (2) =3 y f (4) = 9 con f (x) diferenciable, entonces f tiene una recta ttangente dependiente m.

Ejercicio 5.54. En cada caso, halle un punto c satisfaciendo la conclusión del TVMpara la función definida en el intervalo.

(i) f (x) = x−1 [2, 8].

(ii) f (x) = cos x− sen x [0, 2π].

(iii) f (x) = x3 [−4, 5].

Ejercicio 5.55. Hallar el mínimo valor de f (x) = xx para x > 0.

Ejercicio 5.56. Determine el intervalo donde f (x) = (100 − x)2 + x2 es decre-ciente. Use este resultado para decidir cuál es el mayor valor: 8002 + 2002 o6002 + 4002.

Ejercicio 5.57. Suponga que f (0) = 2 y f ′(x) ≤ 3 para x > 0. Aplique el TVMen el intervalo [0, 4] para mostrar que f (4) ≤ 14. Pruebe más generalmente quef (x) ≤ 2 + 3x para todo x > 0.

Ejercicio 5.58. Muestre que la ecuación x2 = x sen x + cos x tiene exactamentedos soluciones reales.

Ejercicio 5.59. Muestre las siguientes desigualdades:

(i) −ae log x ≤ x−a para todo x > 0 y todo a ∈ R.

(ii) Dado α ∈ (0, 1) demuestre que xα < αx + 1− α para todo x ∈ R>0, x ̸= 1.

(iii) Muestre que para todo x ∈ (0, π/2) se verifica que

(i) 1− x2

2< cos x (ii)

2xπ

< sen x < x < tg x

Ejercicio 5.60. Sea f (x) = x4 + x3 + x2 + x. Hallar un número b (si es posible)tal que el teorema de Rolle se satisface en [0, b]. Si tal número b existe, hallar unnúmero c que confirma el teorema de Rolle en [0, b].

Ejercicio 5.61. Pruebe que para todo par de números reales x e y, se cumple

(i) | cos x− cos y| ≤ |x− y|.

(ii) | sen x− sen y| ≤ |x− y|.



RESPUESTAS DE SECCIÓN 5.1Ejercicio 5.4: (i) ∆h ≈ 0.71 cm, (ii) ∆h ≈ 1.02 cm. Ejercicio 5.7: ∆V ≈

3927 cm3, ∆S ≈ 314.2 cm2. Ejercicio 5.8:√

16.2 ≈ 4.025. Ejercicio 5.9: P(20.5) ≈5.065 kilopascales. Ejercicio 5.10: ∆I ≈ −585 soles.

RESPUESTAS DE SECCIÓN 5.2Ejercicio 5.18: (i) −0.00001438 A0 unid/año, (ii) −0.00002876 A0 unid/año,

(iii) menor.

RESPUESTAS DE SECCIÓN 5.3Ejercicio 5.23: 10, 000. Ejercicio 5.24: dy/dt = 466/1681 ≈ 0.277 L/min2.

Ejercicio 5.29: PR =3√

77

km,30 +

√7

12hr. Ejercicio 5.33: De 37.87 a 1.

RESPUESTAS DE SECCIÓN 5.4Ejercicio 5.34: 5 rad/seg. Ejercicio 5.35: dT = −πL1/2g−3/2 dg. (ii) Si g au-

menta, entonces T decrece y el reloj se hace más lento; esto puede explicarse por elhecho que dT y dg tienen signos opuestos. (iii) dg ≈ −0.9765 y así g ≈ 979.0235.

RESPUESTAS DE SECCIÓN 5.5Ejercicio 5.38: Cuando p = 6, E = 0.43; cuando p = 8, E = 0.67; cuando

p = 12, E = 1.5. Ejercicio 5.39: E(20) = 2, E(25) = 1.67. Debido a que 2 y1.67 son mayores que 1, la demanda resulta elástica para 20 y 25. Ejercicio 5.40:(ii) Aproximadamente 19 soles, (iii) Cuando el precio es mayor a 19 soles, (iv)Cuando el precio es menor a 19 soles.

RESPUESTAS DE SECCIÓN 5.6Ejercicio 5.42: (i) 1/2, (ii) a2/b2, (iii) 1/2, (iv) 1/2, (v) ln 10 − 1, (vi) −1/π.

Ejercicio 5.43: (i) −9/2, (ii) 0, (iii) 0. Ejercicio 5.44: (i) 5/6, (ii) 9/7, (iii) 1, (iv)-1, (v) 0, (vi) −2/π. Ejercicio 5.45: Se reduce a cuatro casos: (−1)(m−n)/2 si my n son pares. No existe si m es par y n impar. Es 0 si m es impar y n par. Es(−1)(m−n)/2 m

n si m y n son impares. Ejercicio 5.46: (i) 0 y 1, (ii) El máximo valores f (e) = e1/e ≈ 1.444668.

RESPUESTAS DE SECCIÓN 5.8Ejercicio 5.53: m = 3. Ejercicio 5.54: (i) c = 4, (ii) c = 3π

4 o c = 7π4 , (iii)

c = ±√

7. Ejercicio 5.55: f (1/e) ≈ 0.692201. Ejercicio 5.56: Decrece en el intervalo(−∞, 500) y el mayor valor es 8002 + 2002.

450 Lord Barrera - Capítulo 6. Integración

Capítulo 6

Integración

usce-belgrad.de

¿Es posible determinar la distancia de un vehículo conociendo la función velo-cidad? ¿Podemos calcular el ingreso neto de una empresa conociendo la funciónde ingreso marginal? Estas y otras cuestiones pueden ser resueltas mediante unproceso llamado integración, el cual es una de las principales herramientas delcálculo. En este capítulo nos dedicaremos a comprender las propiedades bási-cas de la integral y nos familiarizaremos con las diversas técnicas de integración.También introducimos el concepto de integral definida y su uso mediante la reglade Barrow; finalmente se hace una breve disgresión del teorema fundamental delcálculo, útil para el estudio de ecuaciones diferenciales.

451


6.1. La Antiderivada y la Integral Indefinida

Dada la función f (x) = 3x2 ¿podemos hallar una función F(x) cuya derivadasea 3x2? Por ejemplo

ddx

(x3) = 3x2

Entonces la función F(x) = x3 es la que estábamos esperando. ¿Pero será quehay otra función que cumpla con esta ecuación? Recordemos que la derivada deuna constante es cero; así que

ddx(

x3 + C)= 3x2

para cualquier constante C. Esto da la familia de respuestas

F(x) = x3 + C

A continuación vamos a enfocarnos en el siguiente problema general: dadauna función f (x), tenemos que hallar una función F(x) tal que F′(x) = f (x).Llamamos a F(x) una antiderivada de f (x). El término antiderivada se refiere alhecho de que hallar F(x) es el proceso opuesto a derivar.

Definición 6.1.1. (Antiderivada). Sea f una función que depende de x. Una fun-ción F es llamada antiderivada de f si

F′(x) = f (x)

Ejemplo 6.1.1. La funciónF(x) = x3

es una antiderivada def (x) = 3x2

ya qued

dx(x3) = 3x2

En realidad, cualquier función de la forma F(x) = x3 + C donde C es una cons-tante, es una antiderivada de f (x) = 3x2.

Lord Barrera - Sección 6.1. La Antiderivada y la Integral Indefinida 453

La figura (a) muestra la gráfica de f (x) = 3x2, mientras que la figura (b)muestra las gráficas de las antiderivadas F(x) = x3 + C.

1 2 3-1-2-3

5

10

15

20

25

1 2 3-1-2-3

5

y = f (x (

y = F(x ((a) (b)

15

10

-5

Ejemplo 6.1.2. Las funciones

F(x) = x3 − 7, G(x) = x3 + 5 y H(x) = x3 + 10

son todas antiderivadas de f (x) = 3x2 puesto que

ddx

(x3 − 7) = 3x2,d

dx(x3 + 5) = 3x2 y

ddx

(x3 + 10) = 3x2

En realidad, cualquier antiderivada particular de una función f , es un miem-bro de una colección infinita de antiderivadas de la forma F(x) + C, donde C esuna constante. La expresión F(x) + C es llamada integral indefinida de f , y laconstante C es llamada constante de integración. Escribimos∫

f (x)dx = F(x) + C

y se lee “la integral indefinida de f (x) con respecto a x es igual a F(x) mas C”.

Definición 6.1.2. (Integral indefinida). Dada una función f (x) y una constantearbitraria C, la expresión ∫

f (x)dx = F(x) + C

es llamada integral indefinida de f (x). La función f es llamada integrando y laconstante C es llamada constante de integración.


Ejemplo 6.1.3. La expresión F(x) = x3 + C es la integral indefinida de lafunción f (x) = 3x2. Más precisamente,∫

3x2 dx = x3 + C .

Por otro lado, las funciones

F(x) = x3, F(x) = x3 + 2 y F(x) = x3 − 7

son todas antiderivadas de f (x) = 3x2.

INTEGRAL INDEFINIDA DE POTENCIAS

Recordemos que al derivar potencias, escribimosd

dx(xa) = axa−1, el cual se

resume como

• Multiplicación por a.

• Restar 1 del exponente para conseguir el nuevo exponente a− 1.

El procedimiento inverso de hallar la antiderivada se resume como

• Sumar 1 al exponente para conseguir el nuevo exponente a + 1.

• Dividir por el nuevo exponente a + 1.

• Sumar la constante de integración C

Teorema 6.1.4. (Integral indefinida de potencias).∫xa dx =

xa+1

a + 1+ C para cualquier a ̸= −1

Ejemplo 6.1.5. La integral indefinida de f (x) = x2 es∫x2 dx =

x2+1

2 + 1+ C =

x3

3+ C

Ejemplo 6.1.6. La integral indefinida de f (x) = x es∫x dx =

x1+1

1 + 1+ C =

x2

2+ C


Ejemplo 6.1.7. Calcular la integral indefinida de f (x) =√

x.

Solución. Tenemos∫ √x dx =

∫x1/2 dx =

x12+1

12 + 1

+ C =23

x3/2 + C .

Ejemplo 6.1.8. Calcular la integral indefinida de f (x) = x2√x.

Solución. Tenemos∫x2√x dx =

∫x2x1/2 dx =

∫x5/2 dx =

x52+1

52 + 1

+ C =27

x7/2 + C .

INTEGRAL INDEFINIDA DE CONSTANTE POR FUNCIÓN

Debido a que la derivada y la antiderivada están relacionadas, algunas reglasque se aplican para calcular derivadas, también se aplican para calcular antideri-vadas.

La regla de derivada para un producto de constante por función es

Si g(x) = k f (x), entonces g′(x) = k f ′(x)

Una regla similar se aplica para la integral indefinida.

Teorema 6.1.9. (Integral indefinida de constante por función).∫k f (x)dx = k

∫f (x)dx

Ejemplo 6.1.10. La integral indefinida de f (x) = 4x3 es∫5x3 dx = 5

∫x3 dx = 5

x3+1

3 + 1+ C =

5x4

4+ C

Ejemplo 6.1.11. La integral indefinida de la función f (x) = 4 puede ser cal-culada tratando a f como la potencia f (x) = 4x0, pues, x0 = 1∫

4x0 dx = 4∫

x0 dx = 4x0+1

0 + 1+ C = 4x + C .


Ejemplo 6.1.12. En general, dada la función constante f (x) = k, su integralindefinida es ∫

k dx = k∫

dx = kx + C .

INTEGRAL INDEFINIDA PARA SUMAS Y DIFERENCIAS

La siguiente propiedad de antiderivadas puede ser deducida fácilmente de laregla de la suma y la regla de la diferencia para derivadas.

Teorema 6.1.13. (Integral indefinida de la suma y la diferencia).∫ [f (x) + g(x)

]dx =

∫f (x)dx +

∫g(x)dx∫ [

f (x)− g(x)]dx =

∫f (x)dx−

∫g(x)dx

Ejemplo 6.1.14. La integral indefinida de la función

f (x) = 5x3 + x + 3

es ∫(5x3 + x + 3)dx =

∫5x3 dx +

∫x dx +

∫3 dx

=

(5x4

4+ C1

)+

(x2

2+ C2

)+ (3x + C3)

=5x4

4+

x2

2+ 3x + C .

Ejemplo 6.1.15. La integral indefinida de f (x) = x4 − 2x es∫(x4 − 2x)dx =

∫x4 dx− 2

∫x dx

=

(x5

5+ C1

)− 2

(x2

2+ C2

)=

x5

5− x2 + C .


Ejemplo 6.1.16. La integral indefinida de f (x) = x7 − 2x2 + 2 es∫(x7 − 2x2 + 2)dx =

∫x7 dx− 2

∫x2 dx +

∫2 dx

=

(x8

8+ C1

)− 2

(x3

3+ C2

)+ (2x + C3)

=x8

8− 2

x3

3+ 2x + C .

Ejemplo 6.1.17. (Crecimiento de unárbol). Un ambientalista descubre quecierto tipo de árbol crece de tal forma quedespués de t años su altura h(t) cambia arazón de

h′(t) = 0.1t4/5 +√

t cm/año.

Si el árbol tenía 30 cm de altura cuando seplantó ¿cuánto medirá dentro de 27 años?

Solución. Notemos a partir de la hipótesis que nos dan la derivada de lafunción altura y se nos pide encontrar dicha función. En términos de integralindefinida obtenemos

h(t) =∫ [

0.1t4/5 +√

t]dt

= 0.1∫

t4/5dt +∫

t1/2dt

= 0.159

t9/5 +23

t3/2 + C

La función alturah(t) = 0.1

59

t9/5 +23

t3/2 + C

depende de la constante C. Sin embargo sabemos que h(0) = 30; de aquí C = 30.Finalmente

h(t) = 0.159

t9/5 +23

t3/2 + 30 .

Después de 27 años la altura del árbol

h(27) = 0.159(27)9/5 +

23(27)3/2 + 30 ≈ 150.9 cm


INTEGRAL INDEFINIDA DE FUNCIONES POLINÓMICAS

Aplicando repetidas veces las antiderivadas de constantes, antiderivadas depotencias y antiderivadas de la suma, podemos hallar la fórmula de antiderivadapara funciones polinómicas.

Ejemplo 6.1.18. (Tasa de natalidad).En una determinada ciudad, el númerobebés nacidos cada año se incrementa len-tamente. El último año nacieron 1’185,800niños en dicha ciudad. Para la siguientedécada, la razón de cambio del número denacidos por año se pronostica mediante

b(t) = −1.6t+ 87 miles de nacidos por año

donde t se mide en años y t = 0 corresponde al final del último año.

(i) Hallar una antiderivada general para la función b(t) = −1.6t + 87. ¿Cuálesson las unidades de medida para la antiderivada general?

(ii) Escribir un modelo para el número anual de recién nacidos.

(iii) Use la función en la parte (ii) para estimar el número de bebés que deberánnacer durante el último año del modelo para la década.

Solución. (i) La antiderivada general para b(t) = −1.6t + 87 es

B(t) =∫

(b(t) = −1.6t + 87)dt = −0.8t2 + 87t + C

Multiplicando la unidad de medida de las salidas para b (miles de nacimientospor año), por la unidad de medida de las entradas para b (años), obtenemos launidad de medida de la salida para B (miles de nacimientos).

(ii) Una antiderivada específica para bpuede ser calculada usando la informa-ción dada para los partos del último año:1,185.8 miles de nacimientos para el añot = 0. Resolviendo B(0) = 1, 185.8 para Cnos da C = 1, 185.8. La gráfica de la anti-derivada específica con C = 1, 185.8 se veen la figura derecha.

t años desde el finaldel último año

miles de nacimientosB( (t

0 1 2 3 4 50

800

1000

1200

1400

1600

1800

B( (t = - 0.8t2

+87t+800B( (t = - 0.8t2

+87t+1,185.8B( (t = - 0.8t

2+87t+1,500


Para la siguiente década, el número de nacimientos anuales, t años despuésdel final del último año puede ser modelado como

B(t) = −0.8t2 + 87t + 1, 185.8 miles de nacimientos

(iii) El número de bebés nacidos durante el décimo año del modelo se estimacomo

B(10) = 1, 975.8 miles de nacimientos.

Ejemplo 6.1.19. (Caída de un piano).Un caricaturista quiere asegurarse de quesus dibujos animados retraten las leyes defísica con exactitud. En una particular ca-ricatura que él crea, un piano cae desde laparte superior de un décimo piso (supon-ga que un piso equivale a 13 pies)

(i) Hallar un modelo para la aceleración,en función del tiempo t.

(ii) Hallar un modelo para la velocidad, en función del tiempo t.

(iii) Hallar un modelo para la altura del piano, t segundos despues de su caída.

(iv) ¿Cuántos segundos debe pasar para que en la caricatura, el piano llegue atocar el suelo?

Solución. (i) La aceleración de un objeto quer cae se describe de acuerdo alsiguiente modelo

a(t) = −32 pies/seg2

donde t es el tiempo en segundos.(ii) La velocidad es la acumulación de la aceleración con respecto al tiempo,

la cual es dada por la antiderivada de la función aceleración a:

v(t) =∫

a(t)dt = −32t + C pie/seg

En este caso, debido a que el piano comienza a caer en el tiempo t = 0, la veloci-dad en el tiempo t = 0 es cero. Resolviendo v(0) = 0 obtenemos C = 0.

El modelo para la velocidad del piano que cae es

v(t) = −32t pie/seg


donde t es el número de segundos desde que el piano comienza su caída.(iii) La posición (es la acumulación de la velocidad) es dada por la antideriva-

da de la función velocidad v:

p(t) =∫

v(t)dt = −16t2 + C pies

El piano comienza su caída desde los 130 pies de altura. Utilizando p(0) = 130,obtenemos C = 130.

El modelo para la posición del piano, t segundos despues de iniciar su caídaes

p(t) = −16t2 + 130 pies

(iv) Para determinar ¿Cuántos segundos luego de que el piano comienza acaer, deberá tocar el suelo? debemos resolver p(t) = 0 para t (allí existen 2 solu-ciones y lo que nos interesa es la parte positiva).

t ≈ 2.9 segundos

O sea, en la caricatura, el piano deberá tocar el suelo 2.9 segundos luego de queel piano comienza a caer.

Ejemplo 6.1.20. (Síndrome de Down).La razón con la que cambia el riesgo deque un bebé en gestación adquiera síndro-me de Down, es modelada por P(x) =

0.004641x2 − 0.3012x + 4.9, 20 ≤ x ≤ 45

donde P(x) mide el porcentaje, por laedad promedio x de una mujer gestante.

(i) Hallar la función f que determina el porcentaje de riesgo, cuando la edadpromedio de la mujer es x años, sabiendo que a la edad promedio de 30años hay un 0.14 % de riesgo.

(ii) ¿Cuál es el riesgo de que un bebé adquiera síndrome de Down, si la edadpromedio de la madre es de 40 años, y cuando es de 45 años?


Solución. (i) La función f (x) resulta de integrar P(x). Más precisamente

f (x) =∫ (

0.004641x2 − 0.3012x + 4.9)

dx

=0.004641

3x3 − 0.3012

2x2 + 4.9x + C

= 0.001547x3 − 0.1506x2 − 4.9x + C

Ahora bien, f (30) = 0.14. Luego

0.14 = f (30) = 0.001547(30)3 − 0.1506(30)2 − 4.9(30) + C

que implica C = −53.089. Por tanto

f (x) = 0.001547x3 − 0.1506x2 − 4.9x− 53.089 .

(ii) Para calcular el porcentaje de riesgo a los 40 años y 45 años, sólo debemosevaluar

f (40) = 0.001547(40)3 − 0.1506(40)2 − 4.9(40)− 53.089 = 0.959

y

f (45) = 0.001547(45)3 − 0.1506(45)2 − 4.9(45)− 53.089 = 3.416375

Esto significa que el riesgo de síndrome de Down a la edad de 40 años es deaproximadamente 0.96 %, y el porcentaje de riesgo a la edad de 45 años es deaproximadamente 3.42 %.

INTEGRAL INDEFINIDA DE x−1

Ya conocemos la integral indefinida de potencias xa con la excepción de x−1.

Sin embargo, desde que la derivada de ln x es1x

, tenemos

Teorema 6.1.21. (Integral indefinida para 1/x).∫1x

dx = ln |x|+ C para x ̸= 0

Ejemplo 6.1.22. La integral indefinida de f (x) = 3x−1 para x > 0 es∫3x−1 dx = 3

∫1x

dx = 3 ln x + C


Ejemplo 6.1.23. La integral indefinida de

f (x) =x2 + 1

x

es ∫x2 + 1

xdx =

∫ (x +

1x

)dx =

∫x dx +

∫1x

dx =x2

2+ ln |x|+ C

Ejemplo 6.1.24. (Maratón). La razónde cambio para la velocidad promediode una persona que camina de una ciu-dad a otra, puede ser modelada como

v′(p) =0.083

ppor persona

donde p varía entre 1,300 y 2’200,000 personas. La gráfica para esta función sepresenta en la figura de abajo.

(i) Hallar una antiderivada generalpara v′ con respecto a p.

(ii) Hallar un modelo para la veloci-dad promedio de caminata. Use elhecho que la ciudad de donde par-te la persona tiene una poblaciónde 268,309 personas, y que la velo-cidad de caminata es de 1.46 m/s.

v´ t( (m s por persona

p personas

0.00002

0.00004

0.00006

1000

0

2000

0

3000

0

4000

0

5000

0

Solución. Una antiderivada general para v′ es

v(p) =∫

v′(p)dp = 0.083 ln p + C m/s

(ii) Usando v(268, 309) = 1.46 hallamos que C ≈ 0.42.La velocidad promedio en la caminata en una ciudad de población p puede

ser modelada comov(p) = 0.083 ln p + 0.42 m/s

donde p varía entre 1,300 y 2’200,000 personas.


INTEGRAL INDEFINIDA DE FUNCIONES EXPONENCIALES

Recordemos que la derivada de f (x) = ex es ex. Similarmente, la antiderivadade f (x) = ex es también ex más una constante.

Teorema 6.1.25. (Integral indefinida de ex).∫ex dx = ex + C

La regla para ex es un caso especial de la antiderivada para funciones expo-nenciales de la forma ax para cualquier número real a.

La derivada de la función ax es ax ln a. El proceso inverso de hallar la anti-derivada general para esta función consiste en dividir ax por ln a y sumar unaconstante.

Teorema 6.1.26. (Integral indefinida de ax).∫ax dx =

ax

ln a+ C


f (x) = 3(2.7x)

es ∫3(2.7x)dx = 3

∫2.7x dx = 3

(2.7x

ln 2.7

)+ C

La derivada de f (x) = ekx se halla multiplicando ekx por k. El proceso inversopara hallar la integral indefinida consiste en dividir ekx por k y luego sumar unaconstante.

Teorema 6.1.28. (Integral indefinida para ekx).∫ekx dx =

ekx

k+ C



f (x) = 5(e0.3x)

es ∫5(e0.3x)dx = 5

∫e0.3x dx = 5

(e0.3x

0.3

)+ C

INTEGRAL INDEFINIDA PARA LOGARITMOS

La fórmula de la integral indefinida para la función f (x) = ln x, no es intuiti-va. Aquí damos el enunciado sin demostración.

Teorema 6.1.30. (Integral indefinida del logaritmo).∫ln x dx = x ln x− x + C para x > 0

Ejemplo 6.1.31. (Producción marginal). La producción marginal de

una planta de ensamblaje de autospuede ser modelado como

Q′(L) = 125− 54.2 ln L

donde L es el número (en miles) de em-pleados de la planta, 0.5 < L < 12. Con3000 empleados, es suficiente para queen la planta se produzca 309 autos.

(i) Hallar la antiderivada general para la función de producción marginal.

(ii) Hallar el modelo para dicha función de producción.

(iii) ¿Para qué nivel de trabajo, la producción se maximiza?

Solución. (i) La antiderivada general para la función de producción marginales

Q(L) =∫

(125− 54.2 ln L)dL = 125L− 54.2(L ln L− L) + C autos


(ii) Usando el hecho que 3000 empleados producen 309 autos y resolviendoQ(3) = 309 para hallar C, conseguimos

C ≈ −49.966

Entonces la función de producción para autos comerciales puede ser modeladocomo

Q(L) ≈ 125L− 54.2(L ln L− L)− 49.966 autos

donde L miles es el número de empleados de la planta, 0.5 < L < 12.(iii) Para determinar el número de trabajadores que maximiza la producción,

debemos hacer que la función de producción marginal se anule, o sea, Q′(L) = 0.Esto nos da

L ≈ 10

Esto indica que cuando el número de empleados es 10,000 la producción se ma-ximiza alcanzando a producir

Q(10) = 544 autos

INTEGRAL INDEFINIDA PARA EL SENO Y COSENO

Así como en las reglas de derivación para el seno y el coseno, las integralesindefinidas para el seno y el coseno también están relacionadas.

Teorema 6.1.32. (Integral indefida para el seno y el coseno).∫sen x dx = − cos x + C∫cos x dx = sen x + C

El modelo sinusoidal de la forma f (x) = a sen(bx + h) + k es una funcióncompuesta, y para determinar la derivada de esta función se emplea la regla de lacadena. La regla de la cadena en el caso simple g(x) = sen(bx + h) es el productode la derivada de sen u por la derivada de u = bx + h, o sea, b. El proceso inversosignifica que debemos dividir la antiderivada de cos u por b;∫

cos(bx + h)dx =sen(bx + h)

b


Usando esta antiderivada para cos(bx + h), podemos hallar la antiderivada dej(x) = a cos(bx + h) + k∫

[a cos(bx + h) + k]dx = asen(bx + h)

b+ kx + C

Similarmente, la antiderivada general de f (x) = a sen(bx + h) + k es∫[a sen(bx + h) + k]dx = a

− cos(bx + h)b

+ kx + C

Teorema 6.1.33. (Antiderivada para el seno y el coseno).∫[a sen(bx + h) + k]dx = a

− cos(bx + h)b

+ kx + C∫[a cos(bx + h) + k]dx = a

sen(bx + h)b

+ kx + C

Ejemplo 6.1.34. Evaluar cada una de las integrales indefinidas

(i)∫

sen(2x)dx (ii)∫

sen2(x)dx (iii)∫

cos 5x dx (iv)∫

sen x cos x dx

Solución. (i) Se tiene∫sen(2x)dx = −

cos(2x)2

+ C .

(ii) Podemos escribir

sen2 x =1− cos 2x

2Entonces ∫

sen2 x dx =

∫1− cos 2x

2dx =

x2− sen 2x

4+ C .

(iii) Se tiene ∫cos 5x dx =

sen 5x5

+ C .

(iv) ∫sen x cos x dx =

∫sen 2x

2dx = −cos 2x

4+ C .

Lord Barrera - Sección 6.2. Técnicas de Integración 467

6.2. Técnicas de Integración

A continuación estableceremos algunas técnicas que nos permitirán evaluarintegrales de manera más simple.

6.2.1. Técnica General de Potencia

En la sección anterior usamos la regla

∫xa dx =

xa+1

a + 1+ C a ̸= −1

para hallar antiderivadas de funciones que son potencias de x. En esta parte estu-diaremos una técnica para calcular antiderivadas de funciones más complicadas.

Comencemos por hallar la antiderivada de 2x(x2 + 1)3. Sabemos que

ddx

[(x2 + 1)4

]= 4(x2 + 1)3(2x) Por la regla de la cadena

14

ddx

[(x2 + 1)4

]= (x2 + 1)3(2x) Dividiendo en ambos lados por 4

ddx

[(x2 + 1)4

4

]= (x2 + 1)3(2x) Pasando la constante dentro del corchete

(x2 + 1)4

4+ C =

∫2x(x2 + 1)3 dx Escribiendo en forma de integral

La clave de esta solución es la presencia del factor 2x en el integrando. Enotras palabras, el término 2x resulta precisamente de derivar x2 + 1. Si hacemosu = x2 + 1, entonces podemos escribir

2x(x2 + 1)3 dx = (x2 + 1)32x dx = u3 du

Luego ∫ u3︷︸︸︷(x2 + 1)3 2x dx︸︷︷︸

du

=∫

u3 du =u4

4+ C =

(x2 + 1)4

4+ C

Este es un ejemplo de la regla general de potencia para integración.


Proposición 6.2.1. (Regla general de potencia). Se cumple∫ua du

dxdx =

∫ua du =

ua+1

a + 1+ C, a ̸= −1

Ejemplo 6.2.2. Evaluar las siguientes integrales

(i)∫

3(3x− 1)4 dx (ii)∫

(2x + 1)(x2 + x)dx (iii)∫

3x2√

x3 − 2 dx

Solución.

(i)∫

3(3x− 1)4 dx =

∫ ua︷︸︸︷(3x− 1)4

dudx︷︸︸︷(3) dx Haciendo u = 3x− 1

=(3x− 1)5

5+ C Regla general de potencia

(ii)∫

(2x + 1)(x2 + x)dx =

∫ ua︷︸︸︷(x2 + x)

dudx︷︸︸︷

(2x + 1) dx Hacer u = x2 + x

=(x2 + x)2

2+ C Regla general de potencia

(iii)∫

3x2√

x3 − 2 dx =

∫3x2(x3 − 2)1/2 dx

∫ ua︷︸︸︷(x3 − 2)1/2

dudx︷︸︸︷

(3x2) dx Haciendo u = x3 − 2

=(x3 − 2)3/2

3/2+ C Regla general de potencia

=23(x3 − 2)3/2 + C Simplificando


Ejemplo 6.2.3. (Puerto contaminado). El agua de un puerto pesquero conta-minado es tratatado con un bactericida. La razón de cambio de la cantidad debacterias, t días después de que el lago es tratado, puede ser modelado por

dBdt

= − 4000(1 + 0.4t)2

, t ≥ 0

donde B es la cantidad de bacterias pormililitro de agua y t es el número dedías luego de haber comenzado la ope-ración. El número inicial de bacterias esde 12, 000 u/ml. Use este modelo para es-timar el número de bacterias luego de 3días. ¿Será que esta cantidad es mayor a6000 u/ml?

Solución. Desde que dB/dt es negativo, la cantidad de bacterias va disminu-yendo. Ahora bien, integraremos dB/dt para determinar el modelo del númerode bacterias. También usaremos la condición inicial B(0) = 12, 000.

dBdt

= − 4000(1 + 0.4t)2

B =

∫− 4000

(1 + 0.4t)2dt

=

∫(−4000)(1 + 0.4t)−2 dt

= 10, 000(1 + 0.4t)−1 + C

=10, 0001 + 0.4t

+ C

Haciendo B = 12, 000 cuando t = 0 llegamos a

12, 000 =10, 000

1 + 0.4(0)+ C = 10, 000 + C de donde C = 2, 000

Esto nos da B(t) =10, 0001 + 0.4t

+ 2, 000. De acuerdo a este modelo podemos estimar

el número de bacterias luego de 3 días, el cual nos da

B(3) =10, 000

1 + 0.4(3)+ 2, 000 ≈ 6545.5 por mililitro de agua

Además, el número de bacterias es más de 6000 por mililítro de agua.


6.2.2. Técnica de Sustitución

A continuación emplearemos la técnica de sustitución o cambio de variables.Este procedimiento permite reescribir la integral en términos de u y du. Esto es,si u = f (x), entonces du = f ′(x)dx y la regla general de potencia toma la forma∫

un dudx

dx =

∫un du

Ejemplo 6.2.4. Calcular∫ √

1− 2x dx.

Solución. Comenzamos haciendo u = 1− 2x. Entonces

dudx

= −2 y du = −2dx

Esto implica que dx = −du/2. Hallando la integral indefinida∫ √1− 2x dx =

∫(1− 2x)1/2 dx Escribiendo con exponente racional

=

∫u1/2

(−1

2du)

Sustituyendo x y dx

= −12

∫u1/2du Sacando − 1

2fuera de la integral

= −12

u3/2

3/2+ C Aplicando la regla de la potencia

= −13

u3/2 + C Simplificando

= −13(1− 2x)3/2 + C Sustituyendo 1− 2x por u

(Criterio para integrar por sustitución).

(1) Considerar una función u dependiendo de x.

(2) Resolver x y dx en términos de u y du.

(3) Convertir la integral a una integral dependiendo de u.

(4) Luego de integrar, reescribir la antiderivada como función de x.

(5) Verifique su respuesta derivando.


Ejemplo 6.2.5. Calcular∫

x√

x2 − 1 dx.

Solución. Haga la sustitución u = x2 − 1, el cual produce du = 2xdx. Luego∫x√

x2 − 1 dx =12

∫(x2 − 1)1/22xdx

=12

∫u1/2 du

=12

u3/2

3/2+ C

=13

u3/2 + C

=13(x2 − 1)3/2 + C

Podemos verificar este resultado derivando

ddx

[13(x2 − 1)3/2 + C

]=

13

(32

)(x2 − 1)1/2(2x) = x

√x2 − 1

Ejemplo 6.2.6. Calcular la integral∫2x + 1x2 + x

dx para x > 0 .

Solución. Haciendo la sustitución

u = x2 + x, el cual produce du = (2x + 1)dx .

Luego ∫2x + 1x2 + x

dx =

∫duu

= ln |u|+ C

= ln |x2 + x|+ C

= ln(x2 + x) + C ya que x > 0 .

Podemos verificar este resultado derivando

ddx

[ln(x2 + x) + C

]=

2x + 1x2 + x

.


Ejemplo 6.2.7. El año 2005, el nivel de ingreso promedio para una familiaperuana de cuatro personas fue de 20,000 soles. Las familias que ganan por debajo

de esta cantidad consumen el 100 % de susganancias. O sea, ellos gastan todas susganancias en ropa, comida y vivienda. De-bido a que el ingreso económico aumenta,el nivel de pobreza tiende a disminuir del100 %. Por ejemplo, una familia que gana22,000 soles, puede llegar a ahorrar 440 so-les y consumir sólo 21,560 soles, o sea, el98 % de sus ingresos. Cuando los ingresosaumentan, el gasto en el ahorro tiende aser cada vez menos. La razón de cambiodel consumo con respecto a las ganancias

ingre

so c

onsu

mid

o (

en s

ole

s)

ingreso en soles

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

45000

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

tendencia para consumirQ

ingresoahorrado

Q = ( - )x 199990.98

+ 19999

( )33000, 30756

x

es llamada tendencia marginal para consumir. Para una familia de cuatro perso-nas, la tendencia marginal para consumir un ingreso x puede ser modelada porla función

dQdx

=0.98

(x− 19, 999)0.02, x ≥ 20, 000

donde Q representa el ingreso gastado. Use este modelo para calcular la cantidadconsumida para una familia de cuatro personas en el 2005 cuyos ingresos anualesson de 33,000 soles. ¿Es posible que la familia consuma más de 30, 000 soles?

Solución. Comenzamos integrando dQ/dx para hallar el modelo de consu-mo Q.

dQdx

=0.98

(x− 19, 999)0.02

Q =

∫0.98

(x− 19, 999)0.02dx

=

∫0.98(x− 19, 999)−0.02 dx

= (x− 19, 999)0.98 + C

= (x− 19, 999)0.98 + 19, 999

Usando este modelo, se puede calcular que una familia con un promedio decuatro personas y un ingreso de 33,000 soles consume aproximadamente 30,756soles. Esto significa que una familia de cuatro personas consume más de 30,000soles.


Ejemplo 6.2.8. Cuando una persona comienza a estudiar por primera vez untema, quizás no sea muy hábil, pero con el tiempo se aproximará a los límites desu habilidad. Sea T el tiempo necesario (en días) para que una persona aprendauna cantidad L de temas. Se sabe que la razón de cambio del tiempo respecto a la

cantidad de temas es

dTdL

= a√

L + b +aL

2√

L + b

donde a y b son constantes positivas. Sipara aprender tres temas se necesita untiempo de 3a

√3 + b + 1 días, ¿cuántos

días se necesitan para apreender 4 temas?

Solución. Usamos propiedades de la integral indefinida y con la sustituciónu = L + b, obtenemos du = dL y

T(L) =∫ (

a√

L + b +aL

2√

L + b

)dL

= a∫ √

L + b dL +a2

∫L

√L + b

dL

= a∫ √

udu +a2

∫u− b√

udu

= a∫

u1/2 du +a2

∫ (u1/2 − bu−1/2

)du

Integrando y volviendo a la variable L, tenemos

T(L) =23

a(L + b)3/2 +13

a(L + b)3/2 − b(L + b)1/2 + C .

Reduciendo términos y factorizando se sigue que

T(L) = aL√

L + b + C.

ComoT(3) = 3a

√3 + b + 1 = 3a

√3 + b + C,

de esto se tiene que C = 1 y la función T es

T(L) = aL√

L + b + 1

Para aprender 4 temas se necesitan T(4) = 2a√

4 + b + 1 días.


6.2.3. Técnica de Integración por Partes

En esta sección estudiaremos otra técnica importante llamada integración porpartes. Esta técnica es útil para integrandos que involucran productos de expre-siones algebraicas, exponenciales y logarítmicas, tales como∫

xex dx y∫

x2 ln x dx

Integración por partes se basa en la regla del producto para derivadas.

ddx[uv]= u

dvdx

+ vdudx

Regla del producto∫d

dx[uv]dx =

∫u

dvdx

dx +

∫v

dudx

dx Integrando en cada lado

uv =

∫udv +

∫vdu Escrito en forma diferencial∫

udv = uv−∫

vdu Reescribiendo

Teorema 6.2.9. (Fórmula de integración por partes).∫u dv = uv−

∫v du

Ejemplo 6.2.10. Evaluar la integral∫xex dx

Solución. Para aplicar integración por partes debemos escribir la expresión

original en la forma∫

u dv. Esto significa que xex dx debe ser expresado como

dos factores: una parte representando u y otra parte representando dv. Aquí hayvarias maneras de hacer esto∫

(x)︸︷︷︸u

(ex dx)︸︷︷︸dv

∫(ex)︸︷︷︸

u

(x dx)︸︷︷︸dv

∫(1)︸︷︷︸u

(xex dx)︸︷︷︸dv

∫(xex)︸︷︷︸

u

(dx)︸︷︷︸dv


Siguiendo nuestra intuición, debemos elegir la primera opción ya que dv = exdxes la parte es la parte más facil para integrar, y la expresión u = x es la parte másfácil para derivar. Por tanto

dv = exdx ⇒ v =

∫dv =

∫xex dx = ex

u = x ⇒ du = dx

Con estas sustitucuiones podemos aplicar integración por partes para obtener

∫xex dx = xex −

∫ex dx

= xex − ex + C

Ejemplo 6.2.11. (Integración por partes con un solo factor). Evaluar

∫ln x dx

Solución. Esta integral no es común ya que admite sólo un factor. En talescasos debemos elegir dv = dx y elegimos u como el único factor. Si

u = ln x y dv = dx

entonces

du =dxx

y v =

∫dv =

∫dx = x

Usando estas sustituciones y aplicando la fórmula de integración por partes, te-nemos ∫

ln x dx = x ln x−∫

(x)(

1x

)dx

= x ln x−∫

ln x

= x ln x− x + C


Algunas observaciones para tener en cuenta.

(i) Si no tienes éxito con el método de sustitución, piense en integración porpartes.

(ii) Se sugiere usar integración por partes cuando la integral es de la forma∫f (x)g(x)dx y mirarla como una integral de la forma

∫u dv, eligiendo

una función de la forma u = f (x), donde f (x) puede derivarse, y el otrofactor dv = g(x)dx puede integrarse.

(iii) Hallar du derivando y v integrando.

(iv) Si el resultado de la integral es más complicada que la original, hacer otraelección para u y dv.

(v) Verificar el resultado derivando.

Ejemplo 6.2.12. Evaluar la integral∫ln x dx, x > 0

Solución. Notemos que ∫dxx

= ln x + C

pero no sabemos como hallar∫

ln x dx ya que no sabemos a simple vista qué

función debe derivarse para hallar ln x. Haciendo

u = ln x y dv = dx

Entonces du =1x

dx y v = x .

Usando la fórmula de integración por partes, obtenemos∫(ln x)(dx) = (ln x)x−

∫x(

1x

dx)

= x ln x−∫

dx

= x ln x− x + C


Ejemplo 6.2.13. Evaluar la integral∫

x√

5x + 1 dx.

Solución. Hacemos

u = x y dv = (5x + 1)1/2dx

Entonces du = dx y v =2

15(5x + 1)3/2 .

Notemos que podemos hacer la sustitución w = 5x + 1 para integrar dv:∫(5x + 1)1/2 dx =

15

∫(5x + 1)1/25 dx =

15

∫w1/2 dw

=15

w1/2+1

12 + 1

=2

15w3/2 =

215

(5x + 1)3/2

Usando integración por partes obtenemos∫x(√

5x + 1 dx) = x2

15(5x + 1)3/2 −

∫2

15(5x + 1)3/2 dx

=2

15x(5x + 1)3/2 − 2

152

25(5x + 1)5/2 + C

=2

15x(5x + 1)3/2 − 4

375(5x + 1)5/2 + C

Ejemplo 6.2.14. (Tamaño de población). Suponga que el tamaño de una po-blación, denominado N(t), cumple la ecuación

dNdt

= e0.1t(

2 +t

35

), t ≥ 0

Determine N(t) si N(0) = 10.Solución. Tenemos que

N(t) =∫

e0.1t(

2 +t

35

)dt

Para integrar por partes, elegimos u = 2 +t

35y dv = e0.1tdt. Derivando e inte-

grando tenemos du =135

dt y v =e0.1t

0.1. Se obtiene

N(t) =(

2 +t

35

)e0.1t

0.1− 1

35

∫e0.1tdt =

(2 +

t35

)e0.1t

0.1− 1

35e0.1t + C .

Como N(0) = 10 se sigue que

20.1− 1

0.35+ C = 10


De esto C ≈ −7.14. Luego la función pedida es

N(t) =(

2 +t

35

)e0.1t

0.1− 1

35e0.1t − 7.14 .

Ejemplo 6.2.15. Evaluar la integral∫eax cos bx dx .

Solución. Como primer paso hacemos

u = eax y dv = cos bx dx ⇒ du = aeax dx y v =sen bx

bLuego ∫

eax cos bx dx = (eax)

(sen bx

b

)−∫ (

sen bxb

)(aeax)dx

=eax sen bx

b− a

b

∫eax sen bx dx

(6.2.1)

Trabajando en la integral del lado derecho

s = eax y dt = sen bx dx ⇒ ds = aeax dx y t = −cos bxb

Luego∫eax sen bx dx = (eax)

(−cos bx

b

)−∫ (−cos bx

b

)(aeax)dx

= − eax cos bxb

+ab

∫eax cos bx dx

(6.2.2)

Si reemplazamos (6.2.2) en (6.2.1), conseguimos∫eax cos bx dx =

eax sen bxb

− ab

∫eax sen bx dx

=eax sen bx

b− a

b

[− eax cos bx

b+

ab

∫eax cos bx dx

]=

eax sen bxb2

(b sen bx + a cos bx)− a2

b2

∫eax cos bx dx

De esto se sigue que∫eax cos bx dx =

eax

a2 + b2(b sen bx + a cos bx) .


6.2.4. Técnica de Fracciones Parciales

En las secciones anteriores estudiamos las técnicas de potencia, de sustitucióny de integración por partes. En esta subsección estudiaremos una cuarta técnicallamada técnica de fracciones parciales. Esta técnica involucra la descomposiciónde una función racional en suma de dos o más funciones racionales simples. Porejemplo, suponga que usted ya sabe de antemano que

2x− 11x2 + x− 2

=5

x + 2− 3

x− 1

y como sabe que las fracciones parciales del lado derecho se pueden integrar fá-cilmente, consigue∫

2x− 11x2 + x− 2

dx =

∫ (5

x + 2− 3

x− 1

)dx

= 5∫

1x + 2

dx− 3∫

1x− 1

dx

= 2 ln |x + 2| − 3 ln |x− 1|+ C .

Este método depende de nuestra habilidad de factorizar el denominador y dehallar la descomposición de la función racional en funciones racionales simples.

Supongamos que f es una función racional definida por

f (x) =p(x)q(x)

donde p(x) y q(x) son polinomios. Si el grado de p(x) es mayor o igual que elgrado de q(x), podemos dividir para llegar a la forma

f (x) = s(x) +r(x)q(x)

(6.2.3)

donde s(x) es un polinomio y el grado de r(x) es menor que el grado de q(x).Por ejemplo, si

f (x) =x3 − 2x2 + x− 1

x2 − 1

entonces dividiendo obtenemos

f (x) = x− 2 +2x− 3x2 − 1


Si ahora integramos en la ecuación (6.2.3) se tiene∫f (x)dx =

∫s(x)dx +

∫r(x)q(x)

dx

La primera integral del lado derecho es fácil de evaluar debido a que es un poli-nomio. Para evaluar la segunda integral, descomponemos r(x)/q(x) en una sumade fracciones parciales y el resultado integramos término a término.

Nuestro siguiente resultado garantiza que tal descomposición es posible:

Teorema 6.2.16. (i) Todo polinomio q(x) se puede factorizar en un producto de fac-tores lineales (de la forma ax + b) y factores cuadráticos irreducibles (de la formaax2 + bx + c donde b2 − 4ac < 0).

(ii) Toda función racional r(x)/q(x) donde el grado de r(x) es menor que el grado deq(x) se puede descomponer en una suma de fracciones parciales de la forma

A(ax + b)k

oAx + B

(ax2 + bx + c)k

La forma de la decomposición en fracciones parciales de la función racionalr(x)/q(x) depende de la forma de q(x) y podemos examinarlos en los siguientescasos:

PRIMER CASO: FACTORES LINEALES DISTINTOS

En este caso el denominador se descompone como un producto de factoreslineales distintos:

Sir(x)q(x)

=r(x)

(a1x + b1)(a2x + b2) . . . (anx + bn)

donde todos los factores akx + bk, k = 1, . . . , n, son distintos, entonces existen constan-tes A1, A2, . . . , An tal que

r(x)q(x)

=A1

a1x + b1+

A2

a2x + b2+ . . . +

An

anx + bn


Ejemplo 6.2.17. Calcular ∫x2 + 2x− 3x3 − x2 − 2x

dx .

Solución. El grado del numerador en el integrando es menor que en el de-nominador y ninguna división es necesaria. El denominador se puede expresaren la forma x(x + 1)(x− 2); por tanto la descomposición en fracciones parcialestiene la forma

x2 + 2x− 3x(x + 1)(x− 2)

=Ax+

Bx + 1

+C

x− 2

Para determinar A, B y C multiplicamos en ambos lados de la ecuación porx(x + 1)(x− 2) y obtenemos

x2 + 2x− 3 = A(x + 1)(x− 2) + Bx(x− 2) + Cx(x + 1)

Haciendo x = 0 conseguimos

(0)2 + 2(0)− 3 = A(0 + 1)(0− 2) + B(0)(0− 2) + C(0)(0 + 1)

que resulta A = 3/2.De manera similar, si hacemos x = −1 obtenemos

(−1)2 + 2(−1)− 3 = A(−1 + 1)(−1− 2) + B(−1)(−1− 2) + C(−1)(−1 + 1)

que resulta B = −4/3.Ahora si x = 2 tenemos

(2)2 + 2(2)− 3 = A(2 + 1)(2− 2) + B(2)(2− 2) + C(2)(2 + 1)

y se tiene C = 5/6. Por tanto la descomposición es

x2 + 2x− 3x(x + 1)(x− 2)

=3

2x+

−43(x + 1)

+5

6(x− 2)

Integrando∫x2 + 2x− 3

x(x + 1)(x− 2)dx =

∫3

2xdx +

∫−4

3(x + 1)dx +

∫5

6(x− 2)dx

=32

∫1x

dx− 43

∫1

x + 1dx +

56

∫1

x− 2dx

=32

ln |x| − 43

ln |x + 1|+ 56

ln |x− 2|+ C .


Ejemplo 6.2.18. Calcular∫x3 − 2x2 + x− 1

x2 − 1dx .

Solución. Ya sabemos que

x3 − 2x2 + x− 1x2 − 1

= x− 2 +2x− 3x2 − 1

(6.2.4)

Ahora descomponemos a

2x− 3x2 − 1

=2x− 3

(x + 1)(x− 1)

en suma de fracciones parciales

2x− 3(x + 1)(x− 1)

=A

x + 1+

Bx− 1

Multiplicando en ambos lados de esta última ecuación por (x + 1)(x− 1)

2x− 3 = A(x− 1) + B(x + 1)

Haciendo x = −1 se tiene A = 5/2, y haciendo x = 1 se tiene B = −1/2. Luego

2x− 3(x + 1)(x− 1)

=5

2(x + 1)+

−12(x− 1)

Reemplazando en la ecuación (6.2.4), tenemos

x3 − 2x2 + x− 1x2 − 1

= x− 2 +5

2(x + 1)+

−12(x− 1)

Integrando∫x3 − 2x2 + x− 1

x2 − 1dx =

∫ (x− 2 +

52(x + 1)

+−1

2(x− 1)

)dx

=

∫(x− 2)dx +

∫5

2(x + 1)dx +

∫−1

2(x− 1)dx

=

∫(x− 2)dx +

52

∫1

x + 1dx− 1

2

∫1

x− 1dx

=x2

2− 2x +

52

ln |x + 1| − 12

ln |x− 1|+ C .


SEGUNDO CASO: FACTORES LINEALES REPETIDOS

En este caso, el denominador admite potencias de una misma base:

Si q(x) contiene un factor (ax + b)r con r > 1, la descomposición en fracciones parcialesde r(x)/q(x) contiene una suma de r fracciones parciales de la forma

A1

ax + b+

A2

(ax + b)2+ . . . +

Ar

(ax + b)r

donde cada Ak es un número real.

Por ejemplo

x4 − 3x2 + 2x− 1x(x− 1)(x + 2)3

=Ax+

Bx− 1

+C

x + 2+

D(x + 2)2

+E

(x + 2)3

Ejemplo 6.2.19. Calcular ∫7x2 + 13x

x3 + x2 − x− 1dx .

Solución. Notemos que el denominador se puede escribir en la forma

x3 + x2 − x− 1 = x2(x + 1)− (x + 1) = (x2 − 1)(x + 1) = (x− 1)(x + 1)2

Entonces escribimos

7x2 + 13xx3 + x2 − x− 1

=7x2 + 13x

(x− 1)(x + 1)2=

Ax− 1

+B

x + 1+

C(x + 1)2

Multiplicando en ambos lados de esta última ecuación por (x− 1)(x + 1)2 llega-mos a

7x2 + 13x = A(x + 1)2 + B(x + 1)(x− 1) + C(x− 1)

Si hacemos x = 1 obtenemos 4A = 20 que nos da A = 5. Si por otra partehacemos x = −1 obtenemos −2C = −4 que nos da C = 2. Finalmente, haciendox = 0 y teniendo en cuenta que A = 5 y C = 2 llegamos a B = 3. En consecuencia

7x2 + 13xx3 + x2 − x− 1

=7x2 + 13x

(x− 1)(x + 1)2=

5x− 1

+3

x + 1+

2(x + 1)2


Integrando∫7x2 + 13x

x3 + x2 − x− 1dx =

∫ (5

x− 1+

3x + 1

+2

(x + 1)2

)dx

= 5 ln |x− 1|+ 3 ln |x + 1| − 2x + 1

+ C

= ln∣∣(x− 1)5(x + 1)3∣∣− 2

x + 1+ C .

TERCER CASO: FACTORES IRREDUCIBLES Y DISTINTOS

En este caso el denominador se descompone como producto de factores cua-dráticos irreducibles distintos:

Sir(x)q(x)

=r(x)

(a1x2 + b1x + c1)(a2x2 + b2x + c2) . . . (anx2 + bnx + cn)

donde todos los factores akx2 + bkx + ck, k = 1, 2, . . . , n son distintos e irreducibles,entonces existen constantes A1, A2, . . . , An, B1, B2, . . . , Bn tal que

r(x)q(x)

=A1x + B1

a1x2 + b1x + c1+

A2x + B2

a2x2 + b2x + c2+ . . . +

Anx + Bn

anx2 + bnx + cn

Por ejemplo

x3 − 5x2 + x + 7(x2 + 1)(x2 + x + 1)

=Ax + Bx2 + 1

+Cx + D

x2 + x + 1

Ejemplo 6.2.20. Calcular∫3x3 − 6x2 + 6x− 4(x2 + 1)(x2 − x + 1)

dx .

Solución. Desde que el denominador del integrando es un producto de fac-tores irreducibles distintos, escribimos

3x3 − 6x2 + 6x− 4(x2 + 1)(x2 − x + 1)

=Ax + Bx2 + 1

+Cx + D

x2 − x + 1(6.2.5)


Multiplicando en ambos lados de esta última igualdad, obtenemos

3x3 − 6x2 + 6x− 4 = (Ax + B)(x2 − x + 1) + (Cx + D)(x2 + 1)

= (A + C)x3 + (B + D− A)x2 + (A− B + C)x + (B + D)

Comparando los coeficientes llegamos al siguiente sistema de ecuaciones

A + C = 3

−A + B + D = −6

A− B + C = 6

B + D = −4

Las soluciones de este sistema son A = 2, B = −3, C = 1 y D = −1. Reempla-zando en la ecuación (6.2.5) obtenemos

3x3 − 6x2 + 6x− 4(x2 + 1)(x2 − x + 1)

=2x +−3x2 + 1

+x− 1

x2 − x + 1

Integrando∫3x3 − 6x2 + 6x− 4(x2 + 1)(x2 − x + 1)

dx =

∫2x− 3x2 + 1

dx +

∫x + 1

x2 − x + 1dx (6.2.6)

La primera integral resulta de la ecuación (6.2.6)∫2x− 3x2 + 1

dx =

∫2x

x2 + 1dx− 3

∫1

x2 + 1dx = 2 ln(x2 + 1)− 3 arctan x (6.2.7)

mientras que la segunda integral de la ecuación (6.2.6)∫x + 1

x2 − x + 1dx =

∫(2x− 1) + 32(x2 − x + 1)

dx

=12

∫2x− 1

x2 − x + 1dx +

32

∫dx

x2 − x + 1

=12

∫2x− 1

x2 − x + 1dx + 2

∫dx[√

32

(x− 1

2

)]2+ 1

=12

ln |x2 − x + 1|+ 4√

3arctan

[√3

2

(x− 1

2

)](6.2.8)

Finalmente, reemplazando ((6.2.7)) y (6.2.8) en (6.2.6)∫3x3 − 6x2 + 6x− 4(x2 + 1)(x2 − x + 1)

dx = 2 ln(x2 + 1)− 3 arctan x+

+12

ln |x2 − x + 1|+ 4√

3arctan

[√3

2

(x− 1

2

)]+ C .


CUARTO CASO: FACTORES IRREDUCIBLES Y REPETIDOS

En este caso el denominador se descompone como producto de factores cua-dráticos irreducibles repetidos:

Si q(x) contiene un factor (ax2 + bx + c)r con r > 1, donde ax2 + bx + c es irreducible,entonces la descomposición en fracciones parciales de r(x)/q(x) contiene una suma de rfracciones parciales de la forma:

A1x + B1

ax2 + bx + c+

A2x + B2

(ax2 + bx + c)2+ . . . +

Arx + Br

(ax2 + bx + c)r

donde Ak y Bk son números reales.

Por ejemplo,

x4 − 3x3 + x + 1(x− 1)(x2 + 1)(x2 + x + 1)2

=A

x− 1+

Bx2 + 1

+C

x2 + x + 1+

D(x2 + x + 1)2

Ejemplo 6.2.21. Calcular ∫x2 + 2

4x5 + 4x3 + xdx .

Solución. El denominador se factoriza como x(2x2 + 1)2; así que la descom-posición en fracciones parciales tiene la forma

x2 + 2x(2x2 + 1)2

=Ax+

Bx + C2x2 + 1

+Dx + E

(2x2 + 1)2

=A(4x4 + 4x2 + 1) + B(2x4 + x2) + C(2x3 + x) + Dx2 + Ex

x(2x2 + 1)2

Un cálculo simple muestra que A = 2, B = −4, C = 0, D = −3 y E = 0.Entonces ∫

x2 + 24x5 + 4x3 + x

dx = 2∫

dxx− 4∫

xdx2x2 + 1

− 3∫

xdx(2x2 + 1)2

= 2 ln |x| −∫

duu− 3

4

∫duu2

= 2 ln |x| − ln |u|+ 34u

+ C

= ln(

x2

2x2 + 1

)+

34

12x2 + 1

+ C .

Lord Barrera - Sección 6.3. La Integral Definida 487

6.3. La Integral Definida

La producción del petróleo y su refinamiento es llevado a cabo por importan-tes industrias del mundo. La razón de cambio en la producción del petróleo estábien estudiada, y algunos estudios geológicos pronostican la reserva del petróleoen el mundo. Este pronóstico se apoya en el uso de integrales definidas.

lamapetrochemie.webklik.nl

Algunos modelos se usan para responder a las siguientes cuestiones:

(i) ¿Cuál es el pronóstico para la producción del petróleo desde 1900 hasta el2100?

(ii) ¿Para qué niveles de producción debemos tener que el costo de producciónmarginal es igual al costo promedio de producción?

(iii) ¿Cuál es el rendimiento promedio anual de un pozo petrolero durante los10 primeros años de producción?


6.3.1. Tasas Acumuladas

En el capítulo anterior estudiamos razón de cambio instantáneo y razón decambio sobre un intervalo. A continuación veremos el proceso inverso que con-siste de estudiar tasas acumuladas. Vamos a introducir el concepto a partir de lasiguiente motivación.

DISTANCIA ACUMULADA

Recordemos algunos conceptos de áreas que utilizaremos en el resto del capí-tulo

Área del rectángulo: A= bhÁrea del triángulo: A=bh

2

b

h

b

h

b

c

h

Área del trapecio: b c+

2( (h

Ejemplo 6.3.1. (Distancia acumulada). Consideremos el siguiente problema.Un auto se dirige a lo largo de un camino con una velocidad de 70 km/hr desdelas 6 : 00 A.M hasta las 8 : 00 A.M. Queremos saber ¿cuál es la distancia totalacumulada?

Solución. Aplicando la fórmula conocida

distancia = velocidad × tiempo

conseguimos que la respuesta es 140 km, que resulta simple. Supongamos ahoraque usted es Isaac Newton y que quiere hallar una conexión entre esta fórmula yla gráfica de la función velocidad. Debe notar pues que la distancia acumulada(150 kilometros) es exactamente el área delrectángulo cuya base es el intervalo [6, 8] ycuya altura en cada punto es el valor de lafunción velocidad constante v = 70 (verfigura derecha). Esto no es un accidenteya que la distancia acumulada y el área sehallan ambas multiplicando la velocidad(70) por el tiempo (2)

t

tv( (

70

Distancia recorridapor el auto A

6:00 8:00


Ejemplo 6.3.2. (Bus Lima - Barranca). Otro ejemplo de distancia acumuladaes la que describimos a continuación. Supongamos que un bus de servicio inter-provincial se dirige desde Lima hacia Barranca. Consideremos que durante los

primeros 15 minutos, el chofer aplica unavelocidad de 65 km/h y se mantiene a ve-locidad constante. Luego acelera gradual-mente durante los siguientes 15 minutoshasta llegar a la velocidad de 75 km/h yque esta velocidad se mantiene durante 1hora y 24 minutos hasta llegar a Barran-ca. La figura abajo muestra su velocidad vcomo una función del tiempo t.

Cuando la velocidad es constante, la distancia se puede representar como elárea de la región rectangular entre el eje horizontal y el eje vertical, calculadopor multiplicar la velocidad versus el tiempo (ancho × altura). Por otro lado, ladistancia acumulada entre los minutos 15 y 30 es el área del trapecio formada enla región abajo. Ahora bien, las distancias en cada intervalo se describen como

(i) La distancia recorrida durante losprimeros 15 minutos es 16.25 km.

(ii) El área de la región trapezoidal entrelas 0.25 horas y las 0.5 horas repre-senta la distancia recorrida durantelos siguientes 15 minutos, es decir,17.5 km.

(iii) La distancia recorrida durante losúltimos 84 minutos es 105 km.

15 m

in

30 m

in

1.5

4 m

in

v( (t km por hora

00

10

20

30

40

50

60

70

1.4

hr

75 k

ph =

105 k

mx

0.2

5hr

65 k

ph =

16.2

5 k

mx

0.2

5hr

(65+

75)

kph =

17.5

km

x

21

La distancia total recorrida es dada por el área de la región entre el gráficode la velocidad y el eje horizontal. Esta área se calcula sumando las tres áreascomponentes:{

distancia recorrida en

1 hora y 54 minutos

}= 16.25 + 17.5 + 105 = 138.75 km

Esto significa que en el tiempo de 1.9 hr, la distancia recorrida es 138.75 km.


6.3.2. Definición de Integral Definida

Nuestro objetivo en esta sección es definir integral definida desde el contextogeométrico. Más precisamente, mostraremos que el área bajo una curva puedeexpresarse como el límite de una suma de áreas de rectángulos, llamado integraldefinida.

Consideremos la región plana limitadapor la curva y = f (x) sobre el intervaloa ≤ x ≤ b, donde f es continua y f ≥ 0como se ve en la figura derecha

a b

y = f ( )x

y

x

A continuación dividimos la región en un número finito de regiones rectan-gulares

f (x (i-1xi-1,( (

a = x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 b

f (x (i-1

y = f (x (i-rectángulo

x

y

x

xn =

Para ser mas específicos, comenzamos la aproximación dividiento el intervaloa ≤ x ≤ b en n subintervalos iguales, cada uno de longitud

∆x =b− a

n

y para cada i = 0, . . . , n sea xi−1 el extremo izquierdo del subintervalo [xi−1, xi].Dibujando los n rectángulos, el i-ésimo rectángulo tiene como

Base = ∆x = xi − xi−1, Altura = f (xi−1) y Área = f (xi−1)∆x .


La suma de las áreas de los n rectángulos es

Sn = f (x0)∆x + f (x1)∆x + . . . + f (xn−1)∆x

= [ f (x0) + f (x1) + . . . + f (xn−1)]∆x

el cual aproxima el área total bajo la curva

subintervalos

x

yy = (f x (

a b6 subintervalos

x

yy = (f x (

a b24

Ejemplo 6.3.3. Sea R la región bajo la gráfica de f (x) = 2x + 1 sobre el inter-valo 1 ≤ x ≤ 3. Hallar el valor aproximado al área de R.

Solución. Aproximaremos el área eligiendo 6 intervalos, cada uno teniendolongitud

∆x =3− 1

6=

13

Los 6 extremos izquierdos en la partición 1 ≤ x ≤ 3 son

x0 = 1, x1 = 1 +13=

43

, x2 =53

, x3 = 2, x4 =73

, x5 =83

La gráfica se muestra abajo

la región bajo la recta y = x2 +1la región se subdivide en

rectángulos6

y = x2 +1

x

y

= 7

=3

(a)(b)

y = x2 +1y

= 7

31 1 3

f( ( =3f( (

f ( ( f ( (

1

3

1

3


Los correspondientes valores de f (x) = 2x + 1 se muestran en la siguientetabla:

xi 1 4/3 5/3 2 7/3 8/3

f (xi) = 2xi + 1 3 11/3 13/3 5 17/3 19/3

Así que el área aproximada es

S6 =

(3 +

113

+133

+ 5 +173

+193

)(13

)Si continuamos subdividiendo el intervalo [1, 3] usamos cada vez más rectan-

gulos, entonces las correspondientes aproximaciones Sn se aproximan cada vezmás al área de la región R. Ya calculamos la suma para n = 6, y si hacemosn = 10, 20, 50, 100 y 500 tenemos

N◦ de rectángulos n 6 10 20 50 100 500

Suma aproximada Sn 9.333 9.600 9.800 9.920 9.960 9.992

Vemos en la tabla que los números de la segunda fila se aproximan a 10 cuan-do n es cada vez más grande. Entonces es razonable conjeturar que el área bajo lacurva es

lı́mn→+∞

Sn = 10

Notemos además que en la figura anterior, la región R es el trapezoide cuya basemide b = 3− 1 = 2 con lados paralelos de longitudes

f (1) = 2(3) + 1 = 7 y f (3) = 2(1) + 1 = 3

Tal trapezoide tiene área

A =12(7 + 3)(2) = 10

el mismo resultado se obtiene precisamente cuando usamos el límite de la sumaanterior.

Observación 6.3.1. De la misma forma que elegimos extremos izquierdos, tam-bién podemos elegir cualquier punto en cada subintervalo. Además, el númerode subintervalos puede ser tan grande como querramos. Esto se ve en la siguientedefinición.


Definición 6.3.1. (Integral definida). Sea f una función continua en el intervaloa ≤ x ≤ b. Subdividimos el intervalo [a, b] en n partes iguales, cada una con

longitud ∆x =b− a

ny elegimos un número x∗i en cada i-ésimo subintervalo,

para i = 1, 2, . . . , n. La suma

Sn = [ f (x∗1) + f (x∗2) + . . . + f (x∗n)]∆x

se llama suma de Riemann. Entonces la integral definida de f en el intervalo[a, b] es el número∫ b

af (x)dx := lı́m

n→+∞[ f (x∗1) + f (x∗2) + . . . + f (x∗n)]∆x .

Cuando f ≥ 0, entonces el número∫ b

af (x)dx es precisamente el área de la

región limitada bajo la curva y = f (x),las rectas x = a, x = b y el eje x como seve en la figura.

y = (f x (

x

Ejemplo 6.3.4. Mediante esta definición, podemos tomar nuevamente el ejem-plo anterior para pretender calcular el área bajo la gráfica de f (x) = 2x + 1 en elintervalo [1, 3].

Para ello dividimos el intervalo [1, 3] en n subintervalos de igual longitud,cada uno tendrá longitud

∆x =3− 1

n=

2n

Ahora bien, si el i-ésimo intervalo es [xi−1, xi], entonces el extremo izquierdo es elpunto

x∗i = xi−1 = 1 + (i− 1)2n

Entonces

f (x∗i ) = 2x∗i + 1 = 2[

1 + (i− 1)2n

]+ 1 = 3 + (i− 1)

4n

y la integral resulta∫ b

a(2x + 1)dx := lı́m

n→+∞

n

∑i=1

[3 + (i− 1)

4n

]2n


6.4. Evaluando Integrales

Resover el último ejemplo resulta engorroso y no tenemos herramientas paraatacar este problema; por lo que nos apoyaremos en un resultado fundamentaldel cálculo conocido como teorema fundamental del cálculo.

6.4.1. Teorema Fundamental del Cálculo - Parte I

En la sección anterior vimos que el área de una región puede ser aproximadamediante sumas de Riemann y el área es precisamente el límite de estas sumasde Riemann. A continuación daremos un resultado importante que hace fácil elcálculo de integrales definidas.

Teorema 6.4.1. (Teorema fundamental del cálculo). Sea f una función continua enel intervalo a ≤ x ≤ b. Entonces∫ b

af (x) dx = F(b)− F(a) .

donde F(x) es cualquier antiderivada de f (x) en a ≤ x ≤ b.

Cuando apliquemos el teorema fundamental del cálculo convenimos en utili-zar la siguiente notación∫ b

af (x)dx = F(x)

∣∣∣∣ba= F(b)− F(a)

Ejemplo 6.4.2. Utilicemos el teorema fundamental del cálculo para hallar elárea de la región R bajo la curva y = 2x + 1 sobre el intervalo 1 ≤ x ≤ 3.

Solución. Desde que f (x) = 2x + 1 satisface f (x) ≥ 0 en el intervalo, el áreaes dado por la integral definida

A =

∫ 3

1(2x + 1)dx

Desde que una antiderivada de f (x) = 2x + 1 es F(x) = x2 + x, el teorema fun-damental del cálculo nos dice que

A =

∫ 3

1(2x + 1)dx = (x2 + x)

∣∣∣∣31= (32 + 3)− (12 + 1) = 10 .

Lord Barrera - Sección 6.4. Evaluando Integrales 495

Ejemplo 6.4.3. Evaluar cada integral definida

(i)∫ 2

0e3x dx (ii)

∫ 2

1

1x2

dx (iii)∫ 4

12√

x dx .

Solución.

(i)∫ 2

0e3x dx =

13

e3x∣∣∣∣20=

13(e6 − e0) ≈ 131.7 .

(ii)∫ 2

1

1x2

dx = −1x

∣∣∣∣21= −1

2−(−1

1

)=

12

.

(iii)∫ 4

12√

x dx =43

x3/2∣∣∣∣41=

43

(43/2 − 13/2

)≈ 9.3 .

Ejemplo 6.4.4. Evaluar la integral∫ 2

0(2t + 1)2 dt

Solución. ∫ 1

0(2t + 1)2 dt =

12

[(2t + 1)3

3

]1

0

=12

[(3)3

3−

(1)3

3

]≈ 4.3 .

Ejemplo 6.4.5. Evaluar la integral∫ e

1

(1 + x− 1

x

)dx, donde x > 0

Solución.∫ e

1

(1 + 2x− 1

x

)dx = [x + x2 − ln x]e1

= (e + e2 − ln e)− (1 + 12 − ln 1)

= (e + e2 − 1)− (1 + 1− 0)

= e + e2 − 1− 1− 1

= e + e2 − 3



1

(1 + x + x2)dx .

Solución.∫ 3

1

(1 + x + x2)dx =

[x +

x2

2+

x3

3

]3

1

=

(3 +

32

2+

33

3

)−(

1 +12

2+

13

3

)=

(12 +

92

)−(

1 +56

)=

443

.

Ejemplo 6.4.7. (Ley de enfriamiento de Newton). Una botella de vino blan-co con una temperatura de 68◦ F es colocada en un refrigerador a las 4 P.M. Sutemperatura luego de t horas cambia a razón de −18e−0.6t ◦ F/hr.

(i) ¿En cuántos grados ha caído la temperatura del vino a las 7 P.M?

(ii) ¿Cuál es la temperatura del vino a las 7 P.M?

Solución. Hagamos t = 0 para indicar las 4 P.M, por tanto t = 3 correspondea las 7 P.M.

(i) Desde que nos dan la razón de cambio de la temperatura, debemos integrarpara obtener la temperatura en el tiempo t:

T(t) =∫

(−18e−0.6t)dt = 30e−0.6t + C

Ahora bien, la variación de la temperatura es

∆T = T(3)− T(0) = 30e−0.6(3) − 30e−0.6(0) ≈ −25.041

que también podemos escribir como

∆T =

∫ 3

0(−18e−0.6t)dt = −25.041

Esto significa que la temperatura del vino ha disminuido en −25.041◦ F.(ii) Finalmente, para hallar la temperatura a las 7 P.M hacemos

Temperatura final = Temperatura inicial + ∆T = 68− 25.041 = 42.958◦ F .


6.4.2. Reglas de Integración

De manera similar al cálculo de derivadas, aquí también presentamos algunasreglas que nos permitirán calcular de manera simple integrales definidas.

Teorema 6.4.8. Sean f y g dos funciones continuas en a ≤ x ≤ b. Entonces

(i)∫ b

a

[f (x) + g(x)

]dx =

∫ b

af (x)dx +

∫ b

ag(x)dx.

(ii)∫ b

a

[f (x)− g(x)

]dx =

∫ b

af (x)dx−

∫ b

ag(x)dx.

(iii)∫ b

ak f (x)dx = k

∫ b

af (x)dx.

(iv)∫ a

af (x)dx = 0.

(v)∫ b

af (x)dx = −

∫ a

bf (x)dx.

(vi)∫ b

af (x)dx =

∫ c

af (x)dx +

∫ b

cf (x)dx, donde c ∈ [a, b].


1

(2x− x2

)dx

Solución. De acuerdo a la propiedad (ii), tenemos∫ 2

1

(2x− x2

)dx =

∫ 2

12x dx−

∫ 2

1x2 dx

= x2∣∣∣∣21− x3

3

∣∣∣∣21

= (22 − 12)−(

23

3− 13

3

)=

23



−3(7t2 + t + 1)dt

Solución. En primer lugar escribimos∫ 1

−3(7t2 + t + 1)dt =

∫ 0

−3(7t2 + t + 1)dt +

∫ 1

0(7t2 + t + 1)dt

= −∫ −3

0(7t2 + t + 1)dt +

∫ 1

0(7t2 + t + 1)dt

Entonces∫ 1

−3(7t2 + t + 1)dt = −

[7 · 1

3(−3)3 +

12(−3)2 − 3

]+

[7 · 1

3(1)3 +

12(1)2 + 1

]= −

(−63 +

92− 3)+

(73+

12+ 1)

=196

3.

Ejemplo 6.4.11. Evaluemos la integral∫ 2

0|2x− 1|dx .

Solución. La función f (x) = |2x − 1| se puede expresar como una funciónpartida como se describe a continuación:

|2x− 1| =

−(2x− 1) si x <

12

2x− 1 si x ≥ 12

Usando las propiedades de integrales, reescribimos la integral como dos inte-grales definidas:∫ 2

0|2x− 1|dx =

∫ 1/2

0− (2x− 1)dx +

∫ 2

1/2(2x− 1)dx

=[− x2 + x

]1/2

0+[

x2 − x]2

1/2

=

(−1

4+

12

)− (0 + 0) + (4− 2)−

(14− 1

2

)=

52

.


Ejemplo 6.4.12. (Popularidad del ac-tual presidente). Es usual saber acerca dela popularidad del presidente. La razón decambio en la popularidad del actual presi-dente de la república después de su jura-mentación puede ser modelada por la fun-ción p′ que se describe abajo, donde p′ semide en puntos porcentuales por mes y mes el número de meses desde el 28 de julio.

p′(m) =

−2.6m + 3.8 si −1.9 < m < 0.7

5.6m− 13.4 si 0.7 < m < 3.6−13.4

msi 3.6 < m < 12.0

(i) Use la integral definida para hallar la fórmula que permita calcular la acu-mulación neta de la popularidad del presidente entre su elección m = −1.9y un año despues de su elección, m = 10.1. Ilustre el cambio neto como unaregión limitada por el gráfico de p′.

(ii) Escribir una expresión para p, es decir, una antiderivada general para p′.Haga un bosquejo de la popularidad del presidente, indicando que su po-pularidad comienza con aproximadamente 53 % en el día de su elección.

(iii) Determine la acumulación neta en la popularidad del presidente durantelos primeros 12 meses a partir de su elección. Interpretar cada término en lasuma de las integrales definidas en término de las tasas de la pupolaridadresidencial.

Solución. (i) La acumulación neta en la popularidad presidencial puede ex-presarse como la suma de tres integrales definidas.∫ 10.1

−1.9p′(m)dm =

∫ 0.7

−1.9(−2.6m + 3.8)dm

+

∫ 3.6

0.7(5.6m− 13.4)dm +

∫ 10.1

3.6

(−13.4

m

)dm

(ii) Una antiderivada general para p′ es

p(m) =

−1.3m2 + 3.8m + C1 si −1.9 < m < 0.7

2.8m2 − 13.4m + C2 si 0.7 < m < 3.6

−13.4 ln m + C3 si 3.6 < m < 12.0


donde p se mide en puntos porcentuales y m es el número de meses desde que elpresidente juramentó. La figura a la derecha muestra la gráfica de p asumiendoun punto de comienzo de p(−1.9) = 53 %.

(iii) Calculando la suma de las integrales definidas en la parte (i) da∫ 10.1

−1.9p′(m)dm ≈ 13.936 + (−3.944) + (−13.823) = −3.831 p.p

La popularidad del presidente decrece en aproximadamente 3.8 % durante losprimeros doce meses luego de su elección. Como en la juramentación presidencialsu popularidad bordea aproximadamente los 13.9 %. Durante los primeros tresmeses de mandato tiene un decrecimiento neto de 3.9 %. Despues de los primerostres meses de mandato su mandato continúa decreciendo en aproximadamente13.8 %.

Ejemplo 6.4.13. (Fabricando neumá-ticos). Después de hacer un estudio lo-gístico en una empresa de neumáticos sepronostica que las ventas se incrementa-rán exponencialmente durante la siguien-te década. Su modelo para la razón decambio de ventas acumuladas (en dólares)es s(t) = 3.7(1.194)t, donde s está en mi-llones de dólares y t es el tiempo en años.

Aquí, t es el año comenzando con t = 0como el final del último año. El pronós-tico para el fabricante norteamericano dede neumático, para la tasa de ventas acu-muladas en la siguiente década, puede sermodelada por la función

y millones dedólares por año

t años4

8

12

16

20

0 2 4 6 8 10

u

s

u(t) = 0.04t3 − 0.54t2 + 2.5t + 4.47 millones de dólares por año

donde t es el año, comenzando con t = 0 como el inicio del siguiente año.

(i) De acuerdo a la figura anterior, ¿qué fabricante pronostica las mayores ven-tas entre los 5 y 10 años futuros?

(ii) De acuerdo a los modelos pronosticados ¿en cuánto difieren las ventas acu-muladas de estas dos compañías durante la última mitad de la década?


Solución. (i) El fabricante europeo predice las mayores ventas entre t = 5 yt = 10 más que el fabricante norteamericano.

(ii) la diferencia entre las ventas acumuladas entre los 5 y 10 años a partir deahora se calcula como∫ 10

5[s(t)− u(t)]dt ≈ 19.9 millones de dólares

con la compañía europea a favor.

Ejemplo 6.4.14. Recordemos que el va-lor presente PV de una inversión que co-bra ganancias a una razón R(t) para Taños es ∫ T

0R(t)e−rtdt

donde r es la tasa de interés. Hallar el PVsi R(t) = 5000 + 100t soles/año, r = 0.05y T = 10 años.

Solución. El valor presente es dado por

PV =

∫ T

0R(t)e−rtdt =

∫ 10

0(5000+ 100t)e−rtdt = 5000

∫ 10

0e−rtdt+ 100

∫ 10

0te−rtdt .

Usando integración por partes para la última integral del lado drecho, hacemosu = t y dv = e−rtdt. Luego

PV = 5000(−1

re−rt

) ∣∣∣∣10

0+100

[(− t

re−rt

) ∣∣∣∣10

0−∫ 10

0− 1

re−rtdt

]

= −5000r

e−rt∣∣∣∣10

0−100

r

(te−rt +

1r

e−rt) ∣∣∣∣10

0

= −5000r

(e−10r − 1

)− 100

r

[(10e−10r +

1r

e−10r)−(

0 +1r

)]= e−10r

[−5000

r− 1000

r− 100

r2

]+

5000r

+100r2

=5000r + 100− e−10r(6000r + 100)

r2.


Ejemplo 6.4.15. (Calculando el ingre-so líquido acumulado en MEGATRO-NIX). Basados en la información del librode cuentas de la tienda de artículos elec-trónicos MEGATRONIX, desde 1998 hastael 2002, se sabe que la razón de cambio enel ingreso neto anual, puede ser modeladapor la función 7

sur7

.be

r(t) = 150.820t3 − 625.299t2 + 840.788t + 64.322 miles de soles por año

y la razón de cambio en el costo anual de artículos vendidos es modelado por

c(t) = 44.280t3 − 149.262t2 + 165.274t + 31.435 miles de soles por año

donde t es el número de años desde fines de 1998. ¿Cuál es el ingreso líquidoanual que produjo la compañía, sabiendo que el costo de los artículos vendidos yel ingreso neto cambia entre fines de 1998 y fines del año 2002?

Solución. El ingreso neto anual de MEGATRONIX entre fines de 1998 y finesdel 2002 es dado por∫ 4

0r(t)dt =

∫ 4

0(150.820t3 − 625.299t2 + 840.788t + 64.322)dt

= (37.705t4 − 208.433t3 + 420.394t2 + 64.322t)∣∣∣∣40

= [37.705(4)4 − 208.433(4)3 + 420.394(4)2 + 64.322(4)]− (0)

= 9, 652.48− 13, 339.12 + 6, 726.304 + 257.288

= 3, 296.952 miles de soles

Significa que entre fines de 1998 y fines del 2002, el ingreso neto anual esaproximadamente 3’296,952 soles.

El cambio total en el costo anual de MEGATRONIX entre fines de 1998 y finesdel 2002 es dado por∫ 4

0c(t)dt =

∫ 4

0(44.280t3 − 149.262t2 + 165.274t + 31.435)dt

= (11.07t4 − 49.754t3 + 82.637t2 + 31.435t)∣∣∣∣40

= [11.07(4)4 − 49.754(4)3 + 82.637(4)2 + 31.435(4)]− (0)

= 2, 833.92− 3, 184.256 + 1, 322.192 + 125.74

= 1, 097.596 miles de soles


Significa que entre fines de 1998 y fines del 2002, el costo anual es aproxima-damente 1’097,596 soles.

Finalmente, el beneficio anual entre fines de 1998 y fines del 2002 es dado por

∫ 4

0[r(t)− c(t)]dt =

∫ 4

0r(t)dt−

∫ 4

0c(t)dt

= 3, 296.952− 1, 097.596

= 2, 199.356

que equivale a 2’199,356 soles.

Ejemplo 6.4.16. (Calculando las ven-tas con publicidad). Una tienda de perfu-mes vende colonias con una razón de cam-bio de 2 e0.05t (miles) por mes, donde t esel número de meses desde que se inició laventa. Al realizarse una nueva publicidad,la tienda vende con una razón de cambiode 3 e0.1t. ¿Cuál es la venta adicional queresulta luego del primer año?

Solución. Vamos a integrar la diferenciade las razones de cambio desde el mest = 0 (comienzo del año) hasta el mest = 12 (final del año): meses

ven

tas

(en m

iles

) 3e0.1t

2e0.05t

ventaextra

23

10

6 12

t

Venta adicional =∫ 12

0

(3e0.1t − 2e0.05t

)dt

=

(3

10.1

e0.1t − 21

0.05e0.05t

) ∣∣∣∣12

0

= (30 e1.2 − 40 e0.6)− (30 e0 − 40 e0)

≈ 26.7− (−10)

= 36.7

El resultado de 36.7 miles significa que con la publicidad realizada, la tiendade perfumes vende un adicional de 36,700 colonias.


Teorema 6.4.17. (Comparando integrales). Sean f y g dos funciones continuas ena ≤ x ≤ b. Se cumplen:

(i) Si f (x) ≥ 0 en [a, b], entonces∫ b

af (x)dx ≥ 0.

(ii) Si f (x) ≤ g(x) en [a, b], entonces∫ b

af (x)dx ≤

∫ b

ag(x)dx.

(iii) Si m ≤ f (x) ≤ M para a ≤ x ≤ b, entonces

m(b− a) ≤∫ b

af (x)dx ≤ M(b− a) .

Ejemplo 6.4.18. Verifiquemos la desigualdad

263≤∫ 3

1

√x4 + 1 dx

Solución. Desde que√

x4 + 1 ≥√

x4 = x2, se tiene∫ 3

1

√x4 + 1 dx ≥

∫ 3

1x2 dx =

x3

3

∣∣∣∣31=

33

3− 13

3=

263

.

o sea263≤∫ 3

1

√x4 + 1 dx .

Ejemplo 6.4.19. Verifiquemos la desigualdad

2 ≤∫ 1

−1

√x2 + 1 dx ≤ 2

√2

Solución. Para −1 ≤ x ≤ 1, se tiene

0 ≤ x2 ≤ 1 y 1 ≤√

x2 + 1 ≤√

2 .

Así que

1[1− (−1)] ≤∫ 1

−1

√x2 + 1 dx ≤

√2[1− (−1)]

o también

2 ≤∫ 1

−1

√x2 + 1 dx ≤ 2

√2 .


Ejemplo 6.4.20. (Distancia recorrida). Dos autos parten juntos del mismo

punto y viajan a lo largo de una autopista.La velocidad del vehículo A es v = f (t)y la velocidad del auto B es v = g(t).La gráfica a la derecha describe el com-portamiento de ambas velocidades. Si am-bos autos comienzan su viaje en el tiem-po t = 0, ¿qué auto estará más adelantadodespués de T segundos?

v f ( (t=

v g( (t=

v ( (m s

t ( (seg

T

Solución. El tiempo empleado por ambos vehículos es dado por el intervalo[0, T]. En este intervalo se tiene que

f (t) ≤ g(t)

e integrando resulta ∫ T

0f (t)dt ≤

∫ T

0g(t)dt .

Esto nos dice que la distancia recorrida por el auto A es menor a la distanciarecorrida por el auto B. Por tanto, luego de T segundos, el auto B se encuentrapor delante del auto A.

Ejemplo 6.4.21. Verifiquemos la siguiente desigualdad

π

4≤∫ 3π/4

π/4sen2 x dx ≤ π

2.

Solución. Se tiene

π

4≤ x ≤ 3π

4⇒

√2

2≤ sen x ≤ 1

⇒ 12≤ sen2 x ≤ 1

Luego12

(3π

4− π

4

)≤∫ 3π/4

π/4sen2 x dx ≤ 1

(3π

4− π

4

)o también

π

4≤∫ 3π/4

π/4sen2 x dx ≤ π

2.


6.4.3. Teorema Fundamental del Cálculo - Parte II

La primera parte del teorema fundamental muestra que podemos calcular in-tegrales definidas usando antiderivadas. La parte II utiliza esta relación: a conti-nuación usaremos la integral definida para construir antiderivadas.

Supongamos que f es una función continua no negativa, definida en el inter-valo [a, b]. Si x es cualquier número en [a, b], podemos considerar la integral

A(x) =∫ x

af (t)dt

Desde que f es no negativa, podemos in-terpretar a A(x) como el área de la regiónbajo la gráfica de f en [a, x] (ver figura).Desde que el número A(x) es único paracada x ∈ [a, b], vemos que A es una fun-ción de x con dominio [a, b]. x

y

a x b

A( (x

f ( (xy =

0

Miremos un ejemplo específico: Suponga-mos que f (x) = x2 en el intervalo [0, 1].Usando la integral definida tenemos

A(x) =∫ x

0t2 dt =

x3

30 ≤ x ≤ 1

Este resultado es evidente ya que la inte-

gral∫ x

0t2 dt es el área de la región som-

breada.

y

ty =2

x

t

0

Observemos que

A′(x) =d

dx

∫ x

0t2 dt =

ddx

(x3

3

)= x2 = f (x) .

Así que es una antiderivada de f (x) = x2. Ahora bien, si el resultado

ddx

∫ x

af (t)dt = f (x)


se cumple para toda función continua f , entonces resulta sorprendente ya queconectamos los procesos de derivación e integración.

Teorema 6.4.22. (Teorema fundamental del cálculo). Si f es continua en [a, b], en-tonces la función F definida por

F(x) =∫ x

af (t)dt a ≤ x ≤ b

es derivable en (a, b) y

F′(x) =d

dx

∫ x

af (t)dt = f (x) .

Ejemplo 6.4.23. Hallar la derivada de las siguientes funciones

(i)∫ x

0et2

dt (ii)∫ x

1t√

t2 + 1 dt (iii)∫ x

−2t ln t dt (iv)

∫ x

aarctan t dt

Solución. De acuerdo al TFC se tiene

(i)d

dx

∫ x

0et2

dt = ex2

(ii)d

dx

∫ x

1t√

t2 + 1 dt = x√

x2 + 1

(iii)d

dx

∫ x

−2t ln t dt = x ln x

(iii)d

dx

∫ x

aarctan t dt = arctan x .

Ejemplo 6.4.24. Si y =∫ x3

0sen t2 dt, hallar

dydx

.

Solución. Si hacemos u = x3, entoncesdudx

= 3x2. De acuerdo a la regla de lacadena y el TFC se tiene

dydx

=dydu· du

dx=

[d

du

∫ u

0sen t2 dt

]· du

dx= (sen u2)(3x2) = 3x2 sen x6 .


Ejemplo 6.4.25. Dada la función

G(x) =∫ x2

03tet dt

Hallar los extremos absolutos de G(x) en el intervalo [−1, 2].Solución. Calculemos ∫

3tet dt

En efecto, si u = t y dv = etdt, entonces du = dt y v = et. Luego

3∫

tet dt = 3(

tet −∫

et dt)= 3et(t− 1) + C

Por otra parte,G′(x) = 3x2ex2

2x = 6x3ex2

Además, G′(x) = 0 sólo cuando x = 0. También

G(0) = 0

G(−1) = 3et(t− 1)∣∣∣10= 3

G(2) = 3et(t− 1)∣∣∣40= 9e4 + 3 .

O sea, hay un mínimo absoluto en x = 0 y existe máximo absoluto en x = 2 .

Ejemplo 6.4.26. Sea f una función derivable tal que f (1) = 0 y∫ f (x)

−1(√

3t4 + t2 + 1)dt = (x ln x)4/3

Calcular f ′(1).Solución. Derivando en ambos lados obtenemos(√

3 f (x)4 + f (x)2 + 1)

f ′(x) =43(x ln x)1/3(ln x + 1)

evaluando em ambos lados con x = 1(√3(0)4 + (0)2 + 1

)f ′(1) =

43(1 ln 1)1/3(ln 1 + 1)

de donde sigue que f ′(1) = 0.



SECCIÓN 6.1

Ejercicio 6.1. Calcular las siguientes integrales indefinidas

(i)∫

x4 dx (ii)∫ √

x dx (iii)∫

(x2 − x + 2)dx (iv)∫

x−1/5 dx

(v)∫

2 dx (vi)∫

1x5

dx (vii)∫

x + 1x

dx (viii)∫

xπ dx

Ejercicio 6.2. En cada caso, hallar f tal que

(i) f ′(x) = x− 3 , f (2) = 9.

(ii) f ′(x) = x2 − 3x + 5 , f (1) = 3.

(iii) f ′(x) = 5x2 − 3x + 7 , f (0) = 2.

(iv) f ′(x) =4√

x, f (1) = −5.

(v) f ′(x) =2

3√

x, f (1) = 1.

Ejercicio 6.3. (Deuda nacional). Desde el año 2005 hasta la actualidad, la razónde cambio de la deuda nacional puede ser modelada por la función

D′(t) = −810.3t2 + 1730.3t + 3648 miles de dólares por año,

donde t = 0 corresponde al año 2005.

(i) ¿Cuál fue la deuda D(t) en el año t, sabiendo que D(0) = 41, 267 ?

(ii) Hallar el incremento de la deuda D(t) entre los años 2005 y 2009.

Ejercicio 6.4. (Costo total y costo marginal). Una compañía determina que elcosto marginal, C′(x), de producir x unidades de un producto es

C′(x) = x3 − 2x

Hallar la función de costo total, C(x), asumiendo que C(x) está en soles y que elcosto inicial (cuando x = 0) es de 6,500 dólares.


Ejercicio 6.5. (Ingreso total e ingreso marginal). Una compañía determina queel ingreso marginal, I′(x) en soles, de vender x unidades de un producto es dadopor

I′(x) = x2 − 3

(i) Hallar la función de ingreso total, I(x), sabiendo que I(0) = 0.

(ii) La hipótesis I(0) = 0 ¿es una hipótesis razonable?

Ejercicio 6.6. (Eficiencia de un operario). La razón de cambio de la eficiencia deun operario de máquina, es

dEdt

= 30− 10t

donde t es el número de horas que el operario se encuentra trabajando.

articles.baltimoresun.com

(i) Hallar E(t) sabiendo que la eficiencia del operario después de 2 horas detrabajo es del 72 %, o sea, E(2) = 72.

(ii) Use la respuesta de la parte (i) para hallar la eficiencia del trabajador des-pués de 3 horas y de 5 horas.

Ejercicio 6.7. (Memoria). En un experimento de memoria, la razón de cambiocon la que un estudiante memoriza el vocabulario español es dado por

M′(t) = 0.2t− 0.004t2

donde M(t) es el número de palabras memorizadas en t minutos.

(i) Hallar M(t) sabiendo que M(2) = 0.

(ii) ¿Cuántas palabras son memorizadas en 8 minutos?


SECCIÓN 6.2

Ejercicio 6.8. Use la regla general de potencia para evaluar

(i)∫

(8 + x3)53x2 dx (ii)∫

(x2 − 4)62x dx (iii)∫

(2t5 − 3)t4 dt

(iv)∫

(x + 1)(ln2 x)x

dx (v)∫

x4ex5dx (vi)

∫dx

x ln x

Ejercicio 6.9. (Crecimiento poblacional suburbano). La tasa de cambio del cre-cimiento poblacional P (en millones), en las zonas suburbanas del sur del Perú,entre los años 2000 y 2006, puede ser modelada por

dPdt

= (0.08t)(0.008t2 + 1)2

donde t = 0 corresponde al año 2000. En el 2005 la población fue de 3 millones

(i) Hallar la función poblacional P(t).

(ii) Esboce las gráficas de P y dP/dt.

(iii) Determine la población que hubo el año 2003.

Ejercicio 6.10. En cada caso, evalúe la integral usando el método de sustitución

(i)∫

(8 + x3)53x2 dx (ii)∫

(x2 − 4)62x dx (iii)∫

(2t5 − 3)t4 dt

(iv)∫

(x + 1) ln2 x1x

dx (v)∫

x4ex5dx (vi)

∫dx

x ln x

Ejercicio 6.11. (Mujeres como fuerza laboral). La razón de crecimiento del nú-mero de mujeres W (en millones) como fuerza laboral argentina del 2000 al 2005,puede ser modelada por

dWdt

=1640

(14.06− 0.236t)2

donde t está en años y t = 0 corresponde al año 2000. En el 2000 hubo cerca de6.3 millones de mujeres como parte de la fuerza laboral.

(i) Hallar la función que expresa el número de mujeres como fuerza laboral.

(ii) ¿Qué cantidad de mujeres hubo laborando el 2005?


Ejercicio 6.12. Evaluar usando integración por partes

(i)∫

2xe2x dx (ii)∫

ln(x + 5)dx (iii)∫

x√

x + 1 dx

(iv)∫

(x + 1) ln x dx (v)∫

x2e2x dx (vi)∫

x cos 5x dx

(vii)∫

xe2x

(1 + 2x)2dx (viii)

∫(x2 + 1)e−x dx (ix)

∫t2 sen 2t dt

(x)∫

ex − e−x

ex + e−x dx (xi)∫

(ln x)3

3dx (xii)

∫esen x cos x dx

Ejercicio 6.13. (Gas contaminante). Se escapa de un depósito, un gas contami-nante con una razón de cambio de t ln t miles de galones por mes, donde t es elnúmero de meses desde que se inicia la fuga del gas. Hallar la cantidad de gasque fuga entre el final del primer mes y el final del cuarto mes.

Ejercicio 6.14. (Demanda a partir dela demanda marginal). Una firma estimaque la función de demanda marginal esmodelada por

D′(p) =−2000p√

25− p2

Hallar la función de demanda dado queD = 13, 000 cuando p = 3 dólares por uni-dad.

-1000

-2000

-3000

-4000

-5000

-6000

-7000

1 2 3 4

D´( )p =

2000p-

25 2- p

Ejercicio 6.15. (Producción de carbón).Para satisfacer el incremento en la deman-da, una compañía minera intenta aumen-tar su producción de carbón. Entre sususos, el carbón es usado para generar elec-tricidad. En la actualidad una compañíaproduce 20 millones de toneladas métricaspor año; sin embargo debe incrementar suproducción según la ley 3te−0.04t millones de toneladas métricas por año, dondet se mide en años. Hallar una función que permita este crecimiento en la pro-ducción total de carbón en la compañía, al final de los t años. ¿Qué cantidad decarbón produce la compañía durante los siguientes 10 años?


Ejercicio 6.16. Al evaluar la integral∫

x−1 dx mediante integración por partes,usamos

u = x−1 y dv = dx que implica du = −x−2 y v = x ,

lo que nos da ∫x−1 dx = x−1x−

∫x(−x−2)dx

esto implica que implica ∫x−1 dx = 1 +

∫x−1 dx

Restando en la igualdad anterior la expresión∫

x−1 dx llegamos a 0 = 1. Explicar

esta aparente contradicción.

Ejercicio 6.17. (Campaña política). Un político puede recaudar fondos económi-cos para su campaña política con una razón de cambio de 50te−0.1t miles de dó-lares por semana durante las primeras t semanas de su campaña. Sabiendo quecomienza con 500,000 dólares, hallar la cantidad de dinero recaudada durante lasprimeras t semanas. En particular, halle el dinero recaudado luego de 5 semanas.

Ejercicio 6.18. (Venta de casas). La si-guiente gráfica muestra la cantidad anualde casas vendidas en el Perú durante losaños 2000-2008, mediante el siguiente mo-delo cuadrático

s(t) = −30t2 + 240t + 800, 0 ≤ t ≤ 8

donde s(t) se mide en miles de casas poraño y t es el tiempo en años desde el 2000.

200

400

600

800

1,000

1,200

1,400

1 2 3 4 5 6 7 8

s t( (

t

Años desde el 2000

Cas

as v

endid

as (

en m

iles

)

00

Al mismo tiempo las casas en construcción están siendo ampliadas: el área pro-medio por casa es de aproximadamente

a(t) = 40t + 2, 000 metros cuadrados.

Mediante este modelo, estimar el área de una casa en construcción sobre dichoperiodo. (use integración por partes para evaluar la integral y redondear su res-puesta aproximada al millón de metros cuadrados). Sugerencia: razón de cambiodel área en construcción = s(t)a(t).


SECCIÓN 6.3Ejercicio 6.19. (Cantidad de CO2 en la at-mósfera). La razón de cambio de la canti-dad de dióxido de carbono en la atmósfe-ra (medido en partes por millón, por año)se describe en la gráfica de la figura dere-cha. La data corresponde a un experimen-to realizado al este de la antártida entre losaños 1958 y el 2006. 1960 1970 1980 1990 2000 2010

0

0.5

0.82

1.5

2c´( )t ppm por año (2008, 2)

t

(i) ¿Cuáles son las unidades de la altura, el ancho, y del área de la región entrela gráfica de la razón de cambio y el eje horizontal desde 1958 hasta el 2008?

(ii) ¿En cuánto se incrementó el dióxido de carbono en la atmósfera entre 1958y el 2008?

Ejercicio 6.20. (Distancia de frenado). La distancia requerida para que un carrose detenga es una función de la velocidad del carro cuando se le aplica el freno.La razón de cambio de la distancia a detenerse puede ser expresado en metrospor kph, donde la variable de entrada es la velocidad del carro (en kph) cuandoel freno es aplicado.

(i) ¿Qué representa el área de la región entre la gráfica de la razón de cambio yel eje de entradas de 40 kph a 60 kph?

(ii) ¿Cuáles son las unidades de medida de

(a) La altura y el ancho de la región en la parte (i).

(b) El área de la región de la parte (i)?

Ejercicio 6.21. En cada uno de los casos se da una función f , un intervalo [a, b],el número n de subintervalos en el cual se divide [a, b] (cada uno de longitud(b− a)/n), y el punto ck en [xk−1, xk], donde 1 ≤ k ≤ n. Se pide

(a) Dibujar la gráfica de f , y el rectángulo con base [xk−1, xk] y altura f (ck).

(b) Hallar la aproximación ∑nk=1 f (ck)∆x del área de la región S bajo la gráfica

de f sobre [a, b].

(i) f (x) = x, [0, 2], n = 4, ck es el extremo izquierdo.

(ii) f (x) = x + 2, [0, 3], n = 6, ck es el extremo derecho.

(iii) f (x) = 2x− 1, [0, 1], n = 2, ck es el punto medio.

(iv) f (x) = x2, [0, 2], n = 4, ck es el punto medio.


SECCIÓN 6.4Ejercicio 6.22. (Área de un polígono).Un polígono regular de n lados es ins-crito en una circunferencia de radio rcomo se muestra en la figura derechacon n = 6.

(i) Muestre que el área del polígonoes

An =12

nr2 sen(

2π

n

).

p

n

r

(ii) Evaluar lı́mn→+∞

An para obtener el área del círculo A = πr2.

Sug: utilizar el resultado lı́mx→ 0

sen xx

= 1 .

Ejercicio 6.23. En cada caso, hallar el área de la región plana bajo la gráfica de lafunción y sobre el intervalo dado.

(i) f (x) = x2, [0, 2].

(ii) f (x) = sen x, [0, π/2].

(iii) f (x) = 2x− x2, [0, 1].

(iv) f (x) = cos x, [0, π/4].

(v) f (x) = ex, [−1, 1].

Ejercicio 6.24. En cada caso, evaluar la integral

(i)∫ 1

0x3 dx (ii)

∫ 2

1t−1/2 dt (iii)

∫ 27

1

t + 1√

tdt (iv)

∫ e

1

(x +

1x

)dx

Ejercicio 6.25. Muestre que el área delarco parabólico (el área bajo la parábo-la que está encima del eje x) es igual alos cuatro tercios de la región triangu-lar sombreada. a bba +

2

y

x

Ejercicio 6.26. Use el teorema fundamental del cálculo para mostar que∫ 1

−1xn dx =

0 siempre que n sea un número impar. Explique gráficamente.


Ejercicio 6.27. ¿Cuál es el área (un número positivo) entre el eje x y la gráfica def (x) en [1, 3] si f (x) es una función continua y negativa cuya antiderivada F(x)tiene valores F(1) = 7 y F(3) = 4?

Ejercicio 6.28. En cada caso, evaluar la integral usando las propiedades in inte-gración

(i)∫ 1

0x3 dx (ii)

∫ 2

1t−1/2 dt (iii)

∫ 27

1

t + 1√

tdt (iv)

∫ e

1

(x +

1x

)dx

Ejercicio 6.29. (Consumo de agua). Basado en un estudio realizado entre 1980y 1999, la razón de cambio en el consumo anual percapita de agua, puede sermodelada por

R(t) = 0.2628(1.105)t

galones anuales por persona, donde t es el número de años desde finales de 1980(con t = 0 correspondiendo a finales de 1980). Diga en cuánto se incrementa elconsumo de agua percapita entre fines de 1995 y fines de 1999.

Ejercicio 6.30. (Purificador de aire). Para evaluar un purificador de aire, los in-genieros usaron un purificador en un cuarto lleno de humo de 10 pies × 20 pies.Mientras se hacía la prueba de purificación del aire, se determino que la cantidadde humo en el cuarto decrecía a razón de R(t) por ciento de la cantidad originalde humo por minuto, t minutos después de comenzar la prueba, donde R es dadapor

R(t) = 0.00032t4 − 0.01872t3 + 0.3948t2 − 3.83t + 17.63 0 ≤ t ≤ 20

(i) ¿Qué cantidad de humo había en el cuarto después de 5 minutos de iniciadala prueba?

(ii) ¿Qué cantidad de humo había en el cuarto después de 10 minutos de inicia-da la prueba?

Ejercicio 6.31. (Depreciación: método de doble declinación). Suponga que secompra un tractor al precio de 60,000 dólares y se deprecia por el método de dobledeclinación sobre un periodo de 10 años. Se puede mostrar que la razón en la cuallos valores en el libro decrecen, es dada por

R(t) = 13, 388.61e−0.22314t 0 ≤ t ≤ 10.

dólares por año en el año t. Hallar la cantidad en la cual los valores del tractor enel libro se deprecian durante los primeros 5 años de vida útil.


Ejercicio 6.32. (Ventas en McDonald). Basado en informaciones desde 1990 hastael 2001, la razón de cambio en las ventas de la corporación McDonald, es mode-lada por

R(t) = −82.348t + 1762.4 millones de dólares por año

donde t es el número de años desde fines de 1990. Diga de qué manera se incre-menta las ventas en McDonald desde fines de 1990 hasta fines del 2001.

Ejercicio 6.33. (Movimiento de un sumergible). Un sumergible se mueve de for-ma rectilínea a través del agua y es sometido a una resistencia R que es propor-cional a su velocidad. Suponga que el sumergible viaja con el motor apagado.Entonces el tiempo que lleva para que el sumergible desacelere de una velocidadv1 hasta una velocidad v2 es

T = −∫ v2

v1

mkv

dv

donde m es la masa del sumergible y k es una constante. Hallar el tiempo que llevaal sumergible para desacelerar de una velocidad de 16 m/s hasta una velocidadde 8 m/s, si se sabe que su masa es de 1250 toneladas y k = 20 ton/seg.

Ejercicio 6.34. (Desarrollo bancario). El BCP abrió dos sucursales el 1 de setiem-bre

(t = 0). La sucursal A se ubica en plazanorte y la sucursal B en plaza sol ubicadoen Huacho. La razón de cambio del dineroacumulado en los bancos A y B durantelos primeros 180 días de funcionamientose ilustra en las gráficas f y g, respectiva-mente. ¿Cuál de las sucursales posee ma-yor cantidad de dinero al final de los 180días? Justifique su respuesta.

Raz

ón

de

cam

bio

de

los

dep

ósi

tos

acum

ula

dos

en m

iles

de

dóla

res/

día

y = f ( (t

y = g( (t

180

( (díast

y

Ejercicio 6.35. (Producción canadiense de petróleo). La producción de petróleo(en millones de barriles por día) extraída de una petrolífera canadiense es proyec-tada como

P(t) =4.76

1 + 4.11e−0.22t0 ≤ t ≤ 15

donde t se mide en años, con t = 0 correspondiendo a principios del 2005. ¿Cuálserá la producción total de petróleo de los pozos petrolíferos desde inicios del2005 hasta inicios del 2010?



RESPUESTAS DE SECCIÓN 6.1Ejercicio 6.1: (i)

x5

5+ C, (ii)

23

x3/2 + C, (iii)x3

3− x2

2+ 2x + C, (iv)

54

x4/5 + C,

(v) 2x + C, (vi)−14

x−4 + C, (vii) x + ln |x|+ C, (viii)1

π + 1xπ+1 + C. Ejercicio 6.2:

(i) f (x) =x2

2− 3x + 13, (ii) f (x) =

x3

3− 3x2

2+ 5x− 5

6, (iii)

5x3

3− 3x2

2+ 7x + 2,

(iv) f (x) = 8√

x − 13, (v) f (x) = 3x2/3 − 2. Ejercicio 6.3: (i) D(t) = −270.1t3 +

865.15t2 + 3648t + 41, 267 miles de dólares, (ii) 11′148, 000 dólares. Ejercicio 6.4:

C(x) =x4

4− x2 + 6, 500. Ejercicio 6.5: (i) I(x) =

x3

3− 3x, (ii) La hipótesis es

razonable ya que 0 unidades vendidas no genera ingreso. Ejercicio 6.6: (i) E(t) =30t− 5t2 + 32, (ii) E(3) = 77 % y E(5) = 57 %. Ejercicio 6.7: (i) M(t) = 0.1t2 −0.04t3

3− 0.39, (ii) aproximadamente 5 palabras.

RESPUESTAS DE SECCIÓN 6.2

Ejercicio 6.8: (i)(8 + x3)6

6+ C, (ii)

(x2 − 4)7

7+ C, (iii)

(2t5 − 3)2

20+ C,

(iv) 2x +ln3 x

3+ x ln2 x− 2x ln x + C, (v)

ex5

5+ C, (vi) ln(ln x) + C.

Ejercicio 6.9: (i) P(t) =5(0.008x2 + 1)3

3+ 0.12, (iii) P(3) = 2.1 millones. Ejer-

cicio 6.11: (i) W(t) =1640

0.236(14.06− 0.236t)− 509, W(5) = 30.5. Ejercicio 6.12: (i)

2e2x(−1

4+

x2

)+ C, (ii) (x + 5) ln |x + 5| − x + C, (iii)

215

(1 + x)3/2(3x− 2) + C,

(iv) −x− x2

4+ x ln x +

12

x2 ln x + C, (v)14

e2x(1− 2x + 2x2) + C, (vi)1

25cos(5x) +

15

x sen(5x) + C, (vii)e2x

4 + 8x+ C, (viii) e−x(−3 − 2x − x2) + C, (ix)

−14(−1 +

2x2) cos(2x) +12

x sen(2x) + C, (x) ln(1 + e2x) − x + C , (xi)13(−6x + 6x ln x −

3x(ln x)2 + x(ln x)3) + C, (xii) esen x + C. Ejercicio 6.13:−15

4+ 8 ln 4. Ejercicio

6.14: D(p) = 2000√

25− p2 + 5000. Ejercicio 6.15: La producción total es la canti-dad de 3e−0.04t(−625− 25t) + 1895 y la cantidad de carbón durante los siguientes10 años es 145 millones de toneladas métricas. Ejercicio 6.17: El dinero recauda-do en la semana t es 50e−t/10(−100− 10t) + 5500; mientras que el dinero luego dela semana 5 es 926, 829 dólares. Ejercicio 6.18: 19 millones de metros cuadrados.


RESPUESTAS DE SECCIÓN 6.3Ejercicio 6.19: (i) altura: ppm por año, ancho: años, área: ppm. (ii) 70.5 ppm.

Ejercicio 6.20: (i) la distancia extra requerida para frenar el auto cuando viaja a60 kph en lugar de 40 kph, (ii) (a) altura: metros por kph, ancho: kph. (b) área: pies.

RESPUESTAS DE SECCIÓN 6.4Ejercicio 6.23: (i) 2.66667, (ii) 1, (iii) 0.666667, (iv) 0.707107, (v) 2.3504. Ejercicio

6.24: (i) 0.25, (ii) 0.828427, (iii) −83+ 60√

3, (iv) 4.169. Ejercicio 6.27: 3. Ejercicio6.29: 5.77732. Ejercicio 6.30: (i) 46 %; (ii) 24 %. Ejercicio 6.33: 43.3 seg. Ejercicio6.34: El banco A. Ejercicio 6.35: 39.16 millones de barriles.

520 Lord Barrera - Capítulo 7. Aplicaciones de la Integral Definida

Capítulo 7

Aplicaciones de la IntegralDefinida

El ingreso per cápita para una determinada ciudad es la relación entre el PBI(producto bruto interno) y la cantidad de habitantes de un país. Comparando larazón de cambio del ingreso per cápita de una ciudad con la razón de cambio delingreso promedio nacional, adquirimos una señal de crecimiento o decrecimientodel nivel de ingreso de dicha ciudad. Usaremos el concepto de área entre dos cur-vas para determinar la variación en los ingresos per cápita de una determinadaciudad con respecto al estado.

521


7.1. Aplicaciones Geométricas

En esta sección enriqueceremos nuestro conocimiento geométrico adquiridoen los capítulos anteriores. Entre las principales aplicaciones geométricas de laintegral definida, están el cálculo de áreas de regiones planas, longitud de unacurva, áreas de superficies de revolución y volumenes de sólidos. Utilizaremosnuestra intuición geométrica y en muchos casos nos apoyaremos en dibujos paraentender de manera simple la forma de conseguir estas cantidades a partir delconcepto de integral.

7.1.1. Área entre Curvas

Sabemos que el área limitada por la gráfica de una función y = f (x) y el ejex, sobre el intervalo [a, b], es la integral de la función en este intervalo.

Más precisamente, si f (x) ≥ 0, la inte-

gral∫ b

af (x)dx nos da el área de la re-

gión limitada por la gráfica de la funcióny = f (x), el eje x, y las rectas x = a yx = b. x

yf ( )x

a b

y =

Para calcular el área entre dos curvas tomamos el área bajo la curva superiory luego restamos el área bajo la curva inferior.

menosigual

x

y

f ( )x

g( )x

a b x

y

a b x

y

a b

y =

y =

f ( )xy =

g( )xy =

f ( )xy =

g( )xy =

En términos de integrales∫ b

a

[f (x)− g(x)

]dx =

∫ b

af (x)dx −

∫ b

ag(x)dx

Lord Barrera - Sección 7.1. Aplicaciones Geométricas 523

Por tanto, es natural definir

Definición 7.1.1. El área entre dos curvas continuas f (x) ≥ g(x) sobre [a, b] es∫ b

a

[f (x)− g(x)

]dx =

∫ b

af (x)dx−

∫ b

ag(x)dx

Para hallar el área entre dos curvas se de-be tener en cuenta la curva superior y lacurva inferior sobre [a, b]. El área entre es-tas curvas es precisamente la integral de ladiferencia que se vio en la definición.

f ( )x - g( )x[ [dxa

b

x

y

a b

f ( )xy =

g( )xy =

Ejemplo 7.1.1. Calcular el área de la región limitada entre las curvas

y = 3x2 + 4 e y = 2x− 1, desde x = −1 hasta x = 2.

Solución. El área de la región se mues-tra en la figura derecha. Para calcular es-ta área integramos la función que resultade restar la curva superior menos la curvainferior sobre el intervalo. x

y y = x32+4

y = x2 - 1

-1 2

4

Área =

∫ 2

−1

[(3x2 + 4)− (2x− 1)

]dx

=

∫ 2

−1(3x2 + 4− 2x + 1)dx

=

∫ 2

−1(3x2 − 2x + 5)dx

= (x3 − x2 + 5x)∣∣∣∣2−1

= (8− 4 + 10)− (−1− 1− 5)

= 21 unidades cuadradas


Ejemplo 7.1.2. Hallar el área de la re-gión entre y = sec2 x e y = sen x, desdex = 0 hasta x = π/4.Solución. Graficando las curvas (ver figu-ra derecha) hallamos las posiciones relati-vas en el plano, y vemos que y = sec2 xestá por encima de y = sen x en [0, π/4].Por tanto, el área es

A =∫ π/4

0[sec2 x− sen x]dx

=[

tg x + cos x]∣∣∣∣π/4

0

=

√2

2.

x

y

y = senx

y = sec x2

p

4

0

1

2

Ejemplo 7.1.3. Hallar el área de la re-gión encerrada por la parábola y = 2− x2

y la recta y = −x.Solución. Las gráficas de las curvas seven en la figura derecha. Los límites deintegración se hallan resolviendo la ecua-ción

2− x2 = −x

de donde se consiguen x = −1 y x = 2.

x

y

y = x22

-

y = x-2

-1 2

Desde que la parábola está por encima de la recta en el intervalo [−1, 2], elárea es

A =

∫ 2

−1

[2− x2 − (−x)

]dx

=

[2x− x3

3+

x2

2

]2

−1

=92

.


Ejemplo 7.1.4. Hallar el área de la región R que es limitada superiormentepor y =

√x e inferiormente por el eje x y la recta y = x− 2.

Solución. La región se muestra en la figura abajo:

x

y [ [dxÁrea = x-x + 2

dxÁrea = x

2

4

2

0

xy =

y = x -2

( (4, 2

42

y = 0

2

1

A

B

De la figura anterior vemos que la región R es la unión de las regiones A y B.Entonces el área de R se calcula mediante la suma de las áreas de ambas regiones.

Área de R =

∫ 2

0

√x dx +

∫ 4

2[√

x− (x− 2)]dx

=23

x3/2∣∣∣∣20+

[23

x3/2 − x2

2+ 2x

]4

2=

103

.


0|3x− 1|dx.

Solución. La región representada por laintegral definida se muestra en la figuraderecha. De la definición de valor absolu-to tenemos

|3x− 1| =

3x− 1 si x ≥ 1

3

−(3x− 1) si x <13 1 2

2

5

1

1/3

x

y

y = 3x -1

y = 3x +1-

∫ 2

0|3x− 1|dx =

∫ 1/3

0− (3x− 1)dx +

∫ 2

1/3(3x− 1)dx

=

[−3x2

2+ x

]1/3

0+

[3x2

2− x]2

1/3=

133

.


INTEGRANDO CON RESPECTO A LA VARIABLE yAlgunas veces las curvas que limitan una región R se pueden tratar mejor co-

mo funciones de y en lugar de funciones de x. Las figuras abajo muestran algunassituaciones donde las curvas se expresan de esta forma:

x = f ( (y

x = g( (y

x = g( (y

x = f ( (y x = f ( (y

x = g( (yx

y

x

y

x

y

c

d

c

d

c

d

0 0

0

RRR

En cualquiera de los casos anteriores, el área de la región R se calcula mediantela fórmula

Área de R =

∫ d

c

[f (y)− g(y)

]dy .

Ejemplo 7.1.6. Hallar el área de la región en el ejemplo 7.1.4, integrando conrespecto a y.

Solución. Observemos en la solución del ejemplo 7.1.4 que utilizamos dosintegrales para calcular esta área, y para ello partimos el intervalo [0, 4] en dosintervalos.

Esta área puede ser calculada mediante una sola integral y para ello necesita-mos despejar a x como función de y.

Más precisamente

y = x− 2 se convierte en x = y + 2

y de

y =√

x obtenemos x = y2, y ≥ 0 x

y=x +2

y=x 2y

y = 0 2

2

1

4

( (4, 2

R

Debemos tener cuidado al realizar esta integral. Para ello restamos la curvasuperior menos la curva inferior sobre el intervalo [0, 2]. Por lo tanto

Área de R =

∫ 2

0

(y + 2− y2)dy =

[y2

2+ 2y−

y3

3

]2

0

=103

.


7.1.2. Longitud de Arco

Supongamos que un barco petrolero parte de un puerto y viaja a lo largo de uncamino descrito por la curva C (ver figura). Aquí el puerto se ubica en el origen decoordenadas del plano cartesiano. Queremos saber ¿cuál es la distancia recorridapor el barco cuando se encuentra 6 millas al este y 2 millas al norte del puerto?

x (millas)

y (millas)

1 2 3 4 5 6

1

2

C

( (6, 2

EO

N

S

P

O

Intuitivamente vemos que esta distancia es dada por la longitud de arco Centre los puntos O y P, así que para responder a esta cuestión debemos tener encuenta las siguientes consideraciones

(a) Definir longitud de arco.

(b) Hallar una manera de calcularla.

Supongamos que la curva C es la gráfica de una función con derivada conti-nua y = f (x) sobre un intervalo cerrado [a, b] (ver figura abajo).

x0 =a x1 x2 xk-1 xk xn =b x

y

P0

P1

P2

PnPk-1

Pk

Pn-1

y = xf ( (


Seaa = x0 < x1 < . . . < xn = b

una partición del intervalo [a, b]. Si yk = f (xk), entonces los puntos Pk(xk, yk)

dividen a C en n arcos, los cuales denotamos por

P P0 1 , P P1 2 , P Pn-1 n,. . .

Notemos que la longitud L de C desde P0 hasta Pn es precisamente la sumade las longitudes de estos arcos. Ahora bien, la longitud del arco que va desdePk−1 hasta Pk, puede aproximarse mediante la longitud Lk del segmento Pk−1Pk

que une Pk−1 con Pk. Esta longitud es precisamente

Lk =√(∆x)2 + (∆yk)2 =

√(∆x)2 +

[f (xk)− f (xk−1)

]2 (7.1.1)

Si ahora sumamos las longitudes de estos segmentos, obtenemos la siguienteaproximación de la longitud L de la curva

L ≈n

∑k=1

Lk =n

∑k=1

√(∆x)2 +

[f (xk)− f (xk−1)

]2 (7.1.2)

Si aplicamos el teorema del valor medio para integrales, para cada k existe unpunto x∗k en el intevalo [xk−1, xk] tal que

f (xk)− f (xk−1)

∆x= f ′(x∗k ) o también f (xk)− f (xk−1) = f ′(x∗k )∆x

De aquí, podemos reescribir la ecuación (7.1.2) como sigue:

L ≈n

∑k=1

√(∆x)2 +

[f ′(x∗k )

]2[∆x]2

=n

∑k=1

√1 +

[f ′(x∗k )

]2 ∆x

Si tomamos límite cuando n crece indefinidamente, la longitud de cada subin-tervalo se aproxima a cero y conseguimos la longitud del arco C, definida comouna integral

L = lı́mn→+∞

n

∑k=1

√1 +

[f ′(x∗k )

]2∆x =

∫ b

a

√1 +

[f ′(x)

]2 dx

En resumen, tenemos la siguiente definición:

Definición 7.1.2. Si y = f (x) es una función con derivada continua en el inter-valo [a, b], entonces la longitud L del arco C, gráfica de la función f , es el número

L =

∫ b

a

√1 +

[f ′(x)

]2 dx o también L =

∫ b

a

√1 +

[y′]2 dx .


Observación 7.1.1. La fórmula anterior también puede expresarse en la forma

L =

∫ b

a

√1 +

[f ′(x)

]2 dx =

∫ b

a

√1 +

(dydx

)2

dx .

Sin embargo, para una curva expresada en la forma x = g(y), donde g′(y) escontinua en [c, d], la longitud L del arco, desde y = c hasta y = d, se expresacomo

L =

∫ d

c

√1 +

[g′(y)

]2 dy =

∫ d

c

√1 +

(dxdy

)2

dy .

Ejemplo 7.1.7. Calcule la longitud de la curva y = 2x + 1 cuando 1 ≤ x ≤ 3.

Solución. Desde quedydx

= 2, se tiene

∫ 3

1

√1 +

(dydx

)2

dx =

∫ 3

1

√1 + 22 dx =

∫ 3

1

√5 dx =

√5x∣∣∣∣31= 2√

5 .

Ejemplo 7.1.8. Calcular la longitud de la curva

y =14

x2 − 12

ln x, donde x ∈ [1, 2e] .

Solución. Es claro que

y′ =x2− 1

2xy

1 + (y′)2 = 1 +(

x2− 1

2x

)2

=x2

4+

12+

14x2

=

(x2+

12x

)2

De aquí

L =

∫ 2e

1

√1 + (y′)2 dx =

∫ 2e

1

√(x2+

12x

)2

dx =

∫ 2e

1

∣∣∣∣ x2 +1

2x

∣∣∣∣ dx

=

∫ 2e

1

(x2+

12x

)dx

=

(x2

4+

12

ln x) ∣∣∣∣∣

2e

1

= e2 +ln 2

2+

14

.


Ejemplo 7.1.9. Calcular la longitud dearco del astroide

x2/3 + y2/3 = 1 .

Solución. Calcularemos la longitud de ar-co de la porción del astroide en el primercuadrante y luego multiplicaremos por 4.

x

y

yx2/3

+2/3

= 1

1

-1

1

-1

Por diferenciación implícita tenemos

23

x−1/3 +23

y−1/3y′ = 0

o también

y′ = − x−1/3

y−1/3= −

y1/3

x1/3

luego

1 + (y′)2 = 1 +y2/3

x2/3=

x2/3 + y2/3

x2/3=

1x2/3

y L resulta

L =

∫ 1

0

√1

x2/3dx =

32

.

Por tanto, la longitud total de la curva es 4(3/2) = 6.

Ejemplo 7.1.10. (Distancia recorridapor un barco). La gráfica C de la ecua-ción y = 1

3 x3/2 describe el camino reco-rrido por un barco que parte de un puerto(que ubicamos en el origen de coordena-das). Hallar la longitud del camino viaja-do por el barco luego que se ubica a 4 mi-llas al este y 8/3 millas al norte del puerto.

x

y

y x3/2

=1

4

8/3

3

Solución. La longitud del camino es dada por la longitud L de la curva Cdesde x = 0 hasta x = 4. Sabemos que

y′ =12

x1/2

y

1 + (y′)2 = 1 +(

12

x1/2)2

= 1 +14

x ,


entonces

L =

∫ 4

0

√1 + (y′)2 dx =

∫ 4

0

√1 +

14

x dx

=

(83

)(1 +

x4

)3/2∣∣∣∣∣4

0

=83

[(1 +

44

)3/2

− 1

]

=83(2√

2− 1) .

Ejemplo 7.1.11. (Fabricando calaminas). Una compañía produce calaminas

corrugadas tal como se muestra en la figu-ra. Si la sección transversal en una calami-na se comporta según la curva

y =2

25sen(10πx), 0 ≤ x ≤ 1

donde x e y están en metros, ¿qué anchofue usado antes de ser corrugado?

Solución. De acuerdo a la función, la amplitud del material corrugado es de2/25 metros, que equivale a 8 cm. Además los ceros ocurren cuando

225

sen(10πx) = 0 ⇔ 10πx = nπ ⇔ x =n10

Desde que x varía entre 0 y 1, entonces n toma valores 0, 1, 2, . . . , 10. El ancho delpanel resulta de calcular

L =

∫ 1

0

√1 + (y′)2 dx

=

∫ 1

0

√1 +

[4π

5cos(10πx)

]2

dx

=

∫ 1

0

√1 +

16π2

25cos2(10πx)dx

La integral puede ser evaluada numéricamente usando técnicas del capítuloanterior o usando la función integral definida en software científico. Este valor esL ≈ 1.95 metros.


Ejemplo 7.1.12. (Longitud de unaelipse). Hallar la longitud de arco de laelipse

x2

a2+

y2

b2= 1 , donde a ≥ b > 0 .

x

y yx2

+

2

= 12a 2b

a

b

Solución. La curva superior tiene ecuación y = b

√1− x2

a2=

ba

√a2 − x2. De

aquídydx

= −ba

x√a2 − x2

, que implica

1 +(

dydx

)2

= 1 +b2

a2

x2

a2 − x2=

a4 − (a2 − b2)x2

a2(a2 − x2).

La longitud de arco de la elipse es cuatro veces la longitud del arco en elprimer cuadrante

L = 4∫ a

0

√a4 − (a2 − b2)x2

a√

a2 − x2dx , x = a sen t, dx = a cos t dt

= 4∫ π/2

0

√a4 − (a2 − b2)a2 sen2 t

a(a cos t)a cos t dt

= 4∫ π/2

0

√a2 − (a2 − b2) sen2 t dt

= 4a∫ π/2

0

√1− a2 − b2

a2sen2 t dt

= 4a∫ π/2

0

√1− ε2 sen2 t dt

donde ε = (√

a2 − b2)/a es la excentricidad de la elipse. La función

E(ε) =∫ π/2

0

√1− ε2 sen2 t dt

es llamada integral elíptica completa de segunda clase. Mediante técnicas ele-mentales la integral no puede ser evaluada para un valor general de ε; sin em-bargo, las técnicas de análisis numérico resultan más convenientes para aproxi-marnos a esta integral. De acuerdo a lo expresado anteriormente, la longitud dearco de la elipse es L = 4aE(ε). Note que para a = b tenemos que ε = 0 y lalongitud de arco se reduce a la longitud de la circunferencia de radio a; por tantoL = 4a(π/2) = 2πa.


7.1.3. Área de Superficies de Revolución

Una superficie de revolución es una superficie que resulta de rotar una curvaplana alrededor de un eje que está en el mismo plano. Por ejemplo, la superficie deuna esfera se genera por rotar la semicircunferencia sobre su diámetro (figura (a)),la superficie lateral de un cilindro resulta de rotar un segmento de recta alrededorde su eje que es paralelo a este segmento (figura (b)), y la superficie lateral deltronco de cono resulta de rotar el segmento de recta oblicuo alrededor de su ejehorizontal (figura (c)). Las figuras abajo describen estas superficies

(a) (b) ( (c

Nuestro objetivo es deducir una fórmula para hallar el área de una superfi-cie de revolución. Para este propósito consideremos la superficie S generada porrotar una curva suave y no negativa C, alrededor del eje x y sobre el intervalo[a, b] (esto significa que la curva no presenta saltos ni esquinas y que se encuentraencima del eje x). Podemos suponer que C es la gráfica de y = f (x).

P0P1

P2

Pk-1

Pk

Pn-1 Pn

x

y y xf ( (=

x0 =a x1 x2 xk-1 xk xn-1

xn =b

P P0 1 P P1 2

P Pk-1 k

P Pn-1 n

y

x


Seaa = x0 < x1 < . . . < xn = b

una partición del intervalo [a, b]. Si yk = f (xk), entonces los puntos Pk(xk, yk)

dividen a C en n arcos, los cuales denotamos por

P P0 1 , P P1 2 , P Pn-1 n,. . .

La superficie S es la unión de las superficies S1, S2, . . . , Sn, que se obtienen alrotar los arcos mencionados, alrededor del eje x. Nos concentraremos en la partede la superficie generada por el arco de la gráfica de f en el intevalo [xk−1, xk].Este arco se muestra en la figura abajo

Pk

Pk-1

Sk

Pk

Pk-1

Sk

xf ( (kxf ( (k-1

xk-1 xk

Pk-1

Pk

x

x

Si ∆x es pequeño, entonces el arco entre Pk−1 y Pk se puede aproximar por elsegmento de recta Pk−1Pk. Esto sugiere que el área de la porción de la superficieque resulta de rotar este arco alrededor del eje x, puede ser aproximado por lasuperficie Sk que resulta de rotar el segmento Pk−1Pk cuya longitud es Lk.

La porción de superficie tiene radio promedio r = 12 [ f (xk−1) + f (xk)] y altura

aproximada Lk. Entonces el área de esta porción de superficie de revolución es

A(Sk) = 2π

[f (xk−1) + f (xk)

2

]Lk

Pero sabemos que

Lk =

√1 +

[f ′(x∗k )

]2 ∆x

donde x∗k es un número en el intervalo [xk−1, xk]. Ahora bien, si ∆x es muy pe-queño, la continuidad de f implica que f (xk−1) ≈ f (x∗k ) y f (xk) ≈ f (x∗k ). Portanto

A(Sk) ≈ 2π

[f (x∗k ) + f (x∗k )

2

]√1 +

[f ′(x∗k )

]2 ∆x = 2π f (x∗k )√

1 +[

f ′(x∗k )]2 ∆x


Si ahora sumamos las áreas de estas porciones de superficie, obtenemos lasiguiente aproximación del área de la superficie S

A(S) =n

∑k=1

A(Sk) ≈n

∑k=1

A(Sk) ≈n

∑k=1

2π f (x∗k )√

1 +[

f ′(x∗k )]2 ∆x (7.1.3)

Si ahora tomamos límite cuando n crece indefinidamente, la longitud de cadasubintervalo se aproxima a cero y conseguimos el área de la superficie S definidacomo una integral

A(S) = lı́mn→+∞

n

∑k=1

2π f (x∗k )√

1 +[

f ′(x∗k )]2 ∆x =

∫ b

a2π f (x)

√1 +

[f ′(x)

]2 dx .

En resumen tenemos la siguiente definición:

Definición 7.1.3. Sea y = f (x) una función no negativa y con derivada continuaen el intervalo [a, b]. El área de la superficie S, que se obtiene al rotar la gráfica def alrededor del eje x es

A(S) =∫ b

a2π f (x)

√1 +

[f ′(x)

]2 dx .

Ejemplo 7.1.13. Calcule el área de la superficie de revolución que resulta derotar la gráfica de la función f (x) = x alrededor del eje x, en el intervalo [0, 4].

Solución. Derivando tenemos f ′(x) = 1. Entonces

1 + [ f ′(x)]2 = 1 + (1)2 = 2

Luego

A(S) =∫ 4

02π f (x)

√1 +

[f ′(x)

]2 dx

=

∫ 4

02πx√

2 dx

= 2√

2π

∫ 4

0x dx

= 2√

2πx2

2

∣∣∣∣40

= 16√

2π .

x

y

y x=


Ejemplo 7.1.14. Calcule el área de la superficie de revolución que resulta derotar la gráfica de la función f (x) = x3 alrededor del eje x, en el intervalo [0, 2].

Solución. Derivando tenemos f ′(x) = 3x2. Entonces

1 + [ f ′(x)]2 = 1 + (3x2)2 = 1 + 9x4

Luego

A(S) =∫ 2

02π f (x)

√1 +

[f ′(x)

]2 dx

=

∫ 2

02πx3

√1 + 9x4 dx

= 2π

∫ 2

0x3√

1 + 9x4 dx

= π(1 + 9x4)3/2

27

∣∣∣∣20

=π

27(145√

145− 1) .

x

y

y x=3

Ejemplo 7.1.15. Calcule el área de la superficie de revolución que resulta derotar la semircunferencia superior y =

√1− x2 alrededor del eje x, en [0, 1].

Solución. La ecuación de la circunferencia de radio 1 es x2 + y2 = 1. Entonces

2x + 2ydydx

= 0 ⇒dydx

= − xy= − x√

1− x2⇒ 1 +

(dydx

)2

=1

1− x2

Luego

A(S) =∫ 1

02πy

√1 +

[y′]2 dx

=

∫ 1

02π√

1− x2 1√1− x2

dx

=

∫ 1

02π dx

= 2πx∣∣∣∣10

= 2π .

x

y

y x=2

1-


ROTANDO ALREDEDOR DEL EJE y

Si x = g(y) es una función no negativa con derivada continua en el intervalo[c, d], entonces el área de la superficie que es generada por rotar la porción de lacurva x = g(y) entre y = c e y = d alrededor del eje y, se expresa en la siguientedefinición.

Definición 7.1.4. Sea x = g(y) una función no negativa con derivada continua enel intervalo [c, d]. El área de la superficie que se obtiene por rotar la gráfica de galrededor del eje y es

A(S) =∫ d

c2πg(y)

√1 +

[g′(y)

]2 dy .

Ejemplo 7.1.16. Calcule el área de la superficie que es generada por rotar laporción de la curva y = x2 alrededor del eje y, entre x = 1 y x = 2.

Solución. La superficie que resulta de rotar alrededor del eje y se muestra enla figura abajo. En este caso escribimos a la función como x = g(y) =

√y. Cuando

x varía entre 1 y 2 entonces y varía entre 1 y 4.

dxdy

=1

2√

y⇒ 1 +

(dxdy

)2

= 1 +1

4y

Luego

A(S) =∫ 4

12πx

√1 +

[x′]2 dy

=

∫ 4

12π√

y

√1 +

14y

dy

= 2π

∫ 4

1

√y +

14

dy

=4π

3

(y +

14

)3/2∣∣∣∣∣4

1

=π

6(17√

17− 5√

5) .

x

y

y x=2

1 2


7.1.4. Volumen de Sólidos

A continuación utilizaremos la integral definida para calcular volumenes deregiones sólidas. Supongamos que queremos hallar el volumen de un sólido co-mo en la figura abajo.

a

bx

Px

Sección transversalcon área A(x (

x

0

S

0

xxk

xk-1

Plano xk-1

Plano xk

Cilindro de alturax = xk - xk-1

R( (xk

y y

La sección transversal del sólido en cada punto x del intervalo [a, b] es unaregión R(x) de área A(x). Si A es una función continua de x, podemos definir elvolumen del sólido como se sigue a continuación:

Particionamos el intervalo [a, b] en subintervalos de longitud ∆x y cortamosel sólido como si fuera un pan de molde, mediante planos perpendiculares al ejex en los puntos de la partición. El k-ésimo corte, el que se encuentra entre losplanos xk−1 y xk tiene aproximadamente el mismo volumen que el cilindro dealtura ∆x = xk − xk−1 y base R(xk) de área A(xk).

El volumen del cilindro es

Vk = área de la base × altura ≈ A(xk)× ∆x

Sumando estas aproximaciones llegamos a la siguiente suma de Riemann queaproxima el volumen

V =n

∑k=1

Vk ≈n

∑k=1

A(xk)× ∆x

Si tomamos límite cuando n crece indefinidamente, la longitud de cada subinter-valo se aproxima a cero; así llegamos a la integral definida

V = lı́mn→+∞

n

∑k=1

A(xk)× ∆x =

∫ b

aA(x)dx


Definición 7.1.5. (Volumen de un sólido). El volumen de un sólido es la integralde la función área de la sección transversal A(x), desde x = a hasta x = b

V =

∫ b

aA(x)dx .

Para aplicar la fórmula en la definición anterior, procedemos como sigue:

(i) Dibujar el sólido y una sección transversal.

(ii) Hallar una fórmula para A(x).

(iii) Hallar los límites de integración.

(iv) Integrar A(x) para hallar el volumen.

Ejemplo 7.1.17. (Pirámide con basecuadrada). Una pirámide de 3 metros dealtura tiene por caras laterales, triánguloscongruentes y de base un cuadrado de la-do 3 metros. Cada sección transversal dela pirámide es paralela a la base cuadrada.Hallar el volumen de la pirámide.Solución. Siguiendo los pasos por el mé-todo del corte transversal

x

y

3

3

x

x

3

x

(i) Dibujo: graficamos la pirámide con su vértice en el origen y su altura alo largo del intervalo 0 ≤ x ≤ 3. A continuación dibujamos una seccióntransversal en un punto x entre 0 y 3.

(ii) Hallando la fórmula para A(x): la sección transversal en x es un cuadradode lado x metros, es decir, A(x) = x2.

(iii) Hallando los límites de integración: los cuadrados van desde x = 0 hastax = 3.

(iv) Integrando para hallar el volumen:

V =

∫ 3

0A(x)dx =

∫ 3

0x2 dx =

x3

3

∣∣∣∣∣3

0

= 9 m3 .


Ejemplo 7.1.18. (Cono circular recto). Derivar la fórmula para el volumen deun cono circular recto cuya altitud es h y cuyo radio de la base es r.

Solución. Por semejanza de triángulos,

yx=

rh

que implica y =( r

h

)x .

Desde que la sección transversal es uncírculo de radio y, entonces

A(x) = π[( r

h

)x]2

=

(πr2

h2

)x2

ry

x

h

Se sigue que

V =

∫ h

0A(x)dx =

∫ h

0

(πr2

h2

)x2 dx =

πr2

h2

∫ h

0x2 dx =

πr2

h2

(13

h3)=

13

πr2h .

Ejemplo 7.1.19. (Tronco de pirámide).Un tronco de pirámide es un trozo de pira-mide cuya parte superior es cortada trans-versalmente y paralela a la base (ver figu-ra). Sea V el volumen de un tronco de pi-rámide de altura h, cuya base es un cua-drado de lado a y cuya parte superior esun cuadrado de lado b con a > b ≥ 0.

a

bh

(i) Muestre que si un tronco de pirámide es completada a una pirámide, en-tonces su altura resulta ha/(a− b).

(ii) Muestre que la sección transversal a la altura x, es un cuadrado de lado1h [a(h− x) + bx].

(iii) Muestre que V = 13 h(a2 + ab + b2). Un papiro que data del año 1850 A.C,

indica que un matemático egipcio descubrió esta fórmula hace 4000 años.

Solución. (i) Sea H la altura de la pirámide completa. Usando semejanza detriángulos tenemos la proporción

Ha

=H − h

b


lo cual nos daH =

haa− b

.

(ii) Sea w el lado del cuadrado transversal que se encuentra a la altura x. Porsemejanza de triángulos tenemos

aH

=w

H − x.

Sustituyendo el valor de H de la parte (i) nos da

w =a(h− x) + bx

h.

(iii) El volumen del tronco de pirámide es∫ h

0

[1h

(a(h− x) + bx

)]2

dx =1h2

∫ h

0

[a2(h− x)2 + 2ab(h− x)x + b2x2

]dx

=1h2

[− a2

3(h− x)3 + abhx2 − 2

3abx3 +

13

b2x3] ∣∣∣∣h

0

=h3(a2 + ab + b2) .

Ejemplo 7.1.20. (Volumen de un elip-soide). Hallar el volumen del sólido ence-rrado por el elipsoide

E :x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1

Solución. El plano z = k corta al elipsoide

en la elipsex2

a2+

y2

b2= 1−

(kc

)2

. x

y

z

o sea,

x2

a2

[1−

(kc

)2] +

y2

b2

[1−

(kc

)2] = 1 que tiene área A(k) = πab

[1−

(kc

)2]

.

El volumen del elipsoide se halla sumando los volumenes en k, es decir

V =

∫ c

−cπab

[1−

(kc

)2]

dk = πab[

k− k3

3c2

] ∣∣∣∣c−c=

43

πabc .


SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

Un sólido de revolución es un sólido que es generado por rotar una regiónplana alrededor de una recta que está en el mismo plano de la región, la recta esllamada eje de revolución. Los sólidos de abajo son de este tipo

Nos interesaremos en el siguiente problema general: dada una función con-tinua y no negativa en [a, b], consideremos la región R que es limitada superior-mente por y = f (x) e inferiormente por el eje x, y lateralmente por las rectasx = a e y = b. Entonces debemos hallar el volumen del sólido de revolución quees generado por rotar la región R alrededor del eje x.

y x= f ( (

R

a b

y

xxf ( (

y

xxa b

Podemos resolver este problema mediante un corte. Para este propósito ob-servemos que la sección transversal del sólido, tomado perpendicularmente aleje x, en el punto x, es un disco circular de radio f (x). El área de esta región es

A(x) = π[ f (x)]2

Así que el volumen de este sólido es

V =

∫ b

aπ[ f (x)]2dx .


En conclusión tenemos

Definición 7.1.6. (Volumen de un sólido de revolución). Sea f una función con-tinua y no negativa en [a, b], y R la región bajo la gráfica de f en el intervalo [a, b].El volumen del sólido de revolución que resulta de rotar R alrededor del eje x es

V =

∫ b

aπ[ f (x)]2dx .

Ejemplo 7.1.21. Hallar el volumen del sólido E, obtenido por rotar la regiónbajo la gráfica de y =

√x en [0, 3], alrededor del eje x.

Solución. La gráfica de y =√

x en [0, 3], se muestra en la figura (a), y vemosque el radio del disco representativo correspondiendo a un valor particular x en[0, 3] es y =

√x.

y

y

y = x

R

x

x

20

y

x

0

E

(a) (b)

El volumen de este sólido resulta

V =

∫ 3

0π[ f (x)]2dx =

∫ 3

0π[√

x]2dx =

∫ 3

0πx dx =

[π

x2

2

]3

0=

9π

2.

Ejemplo 7.1.22. Hallar el volumen del cono obtenido por rotar la región bajoel segmento que conecta (0, h) y (r, 0) alrededor del eje x.

Solución. El segmento que conecta (0, h) con (r, 0) tiene ecuación

y = −hr

x + h o también f (x) = −hr

x + h

Rotando la región bajo este segmento alrededor del eje y, obtenemos un cono convolumen

V =

∫ r

0π

[−h

rx + h

]2

dx =13

πrh2 .


Ahora veremos una fórmula para hallar el volumen V de un sólido de revo-lución obtenido por rotar una región plana R alrededor del eje y. Consideremosla región R limitada por las gráficas de x = g(y), x = 0, y = c e y = d, como semuestra en la figura abajo.

y

y

c

d

Rx y=g( (

x

yg( (

yg( (

y

x

y

x

=

Cuando R se rota alrededor del eje y, entonces un rectángulo representantehorizontal (perpendicular al eje de revolución) con longitud x = g(y) y ancho∆y, genera un disco de volumen

∆V = π[g(y)]2∆y = πx2∆y

Sumando los volumenes de los discos y tomando el límite, obtenemos:

Definición 7.1.7. (Volumen de un sólido de revolución). Sea x = g(y) una fun-ción continua en [c, d] y R la región bajo la gráfica de g en el intervalo [c, d]. Elvolumen del sólido de revolución que resulta de rotar R alrededor del eje y es

V =

∫ b

aπ[g(y)]2dy .

Ejemplo 7.1.23. Calcular el volumen del sólido de revolución que resulta derotar alrededor del eje y, la región R limitada por x =

√y, x = 0, 1 ≤ y ≤ 4.

Solución. Cuando la región R (que semuestra en la figura) se rota alrededor deleje y, cada sección transversal es un discode radio

√y. El volumen del sólido de re-

volución es

V = π

∫ 4

1(√

y)2dy =πy2

2

∣∣∣∣41=

15π

2.

1 2

2

4

1

x

y

x = y


EL MÉTODO DE LA ARANDELA

Sea R la región R entre las gráficas de las funciones f y g y entre las rectasverticales x = a y x = b, donde f (x) ≥ g(x) ≥ 0 en [a, b]. Si R se rota alrededordel eje x, obtenemos un sólido de revolución agujereado (ver figura).

x

yy = f ( (x

x

y

g( (xf ( (x

x

x xa b0

y = g( (x

Notemos que cuando un rectángulo representante entre las curvas se rota al-rededor del eje x, el sólido resultante tiene la forma de una arandela con radioexterno f (x) y radio interno g(x). Por tanto, el volumen de este sólido es

∆V = π[ f (x)]2∆x− π[g(x)]2∆x = π{[ f (x)]2 − [g(x)]2

}∆x

Sumando los volumenes de estas arandelas y tomando límite, obtenemos

Definición 7.1.8. (Técnica de la arandela). Sean f (x) ≥ g(x) ≥ 0 funciones con-tinuas en [a, b] y R la región entre las gráficas de f (x), g(x), x = a y x = b. Elvolumen del sólido de revolución que resulta de rotar R alrededor del eje x es

V =

∫ b

aπ{[ f (x)]2 − [g(x)]2

}dx .

Ejemplo 7.1.24. Calcular el volumen del sólido de revolución que resulta derotar alrededor del eje x, la región R limitada por y = 16− 2x, y = 6, x = 0.

Solución. Cuando la región se rota alre-dedor del eje x, se produce una arandelade radio externo R = 16− 2x y radio in-terno r = 6. El volumen del sólido de re-volución es

V = π

∫ 5

0

[(16− 2x)2 − 62]dx =

1400π

3.

1 5

8

16

4

x

y

x=y

2 3 4

6

16 -2

=y 6


7.2. Aplicaciones en Ciencias Físicas

En la sección 4.4 usamos la derivada para definir las nociones de velocidadinstantánea y aceleración de una partícula en movimiento rectilíneo. En esta sec-ción resumiremos tales movimientos mediante el uso de integración.

7.2.1. Movimiento Rectilíneo

Recordemos que si s(t) es la función posición de una partícula en movimientorectilíneo, en el tiempo t, entonces la velocidad y aceleración se expresan como

v =dsdt

y a =dvdt

Supongamos que una partícula se ubica en una línea recta en el punto s = s0

y comienza a moverse en el tiempo t = 0 con velocidad inicial de v0 m/s, mante-niendo una aceleración constante de a m/s2. A continuación determinaremos lavelocidad y la posición en el tiempo t.

Para ver esto notemos que

dv = a dt y ds = v dt .

De la primera ecuación se sigue que

v− v0 =

∫ v

v0

dv = a∫ t

0dt = at

que implicav = v0 + at (7.2.4)

Entoncesds = v dt = (v0 + at)dt

Integrando y reemplazando (7.2.4) conseguimos

s− s0 =

∫ s

s0

ds =∫ t

0(v0 + at)dt = v0t +

12

at2

de donde resultas = s0 + v0t +

12

at2 .

Lord Barrera - Sección 7.2. Aplicaciones en Ciencias Físicas 547

Definición 7.2.1. (Posición y velocidad con aceleración constante). Si una partí-cula se mueve con aceleración constante a, a lo largo del eje x, y si la posición y lavelocidad en el tiempo t = 0 son s0 y v0, respectivamente, entonces las funcionesposición y velocidad de la partícula en el instante t, son, respectivamente

s(t) = s0 + v0t +12

at2 y v(t) = v0 + at .

Ejemplo 7.2.1. (Colisión de dos partículas). Dos puntos A y B se encuentranseparados por una distancia de 100 metros sobre una línea recta. Una partículase mueve de A hacia B con una velocidad inicial de 10 m/s y una aceleraciónde 1

2 m/s2. Simultáneamente, otra partícula se mueve de B hacia A con una ve-locidad inicial de 5 m/s y una aceleración de 3

4 m/s2. ¿Cuándo chocan las dospartículas? ¿A qué distancia del punto A ocurre la colisión?

d d100 -A B

Solución. Sabemos que la posición de una partícula después de un tiempo tes dada por la función

s = s0 + v0t +12

at2 .

La posición de la partícula que se dirige desde el punto A es

d = v0t +12

at2 = 10t +12

(12

)t2 = 10t +

14

t2 (7.2.5)

y la posición de la partícula que se dirige desde el punto B es

100− d = v0t +12

at2 = 5t +12

(34

)t2 = 5t +

38

t2 (7.2.6)

De las relaciones (7.2.5) y (7.2.6) llegamos a

100 = 10t +14

t2 + 5t +38

t2 que equivale a t2 + 24t− 160 = 0

de donde se deduce t = 5.4 o t = −29.4. Debemos elegir t = 5.4, quereemplazando en (7.2.5) obtenemos

d = 10(5.4) +14(5.4)2 = 61.29 .

Esto quiere decir, que luego de 5.4 segundos, ambas partículas chocan y esto ocu-rre a 61.29 metros del punto A.


Ejemplo 7.2.2. (Cruzando la meta). Durante la última vuelta de una compe-tencia de ciclismo en un circuito circular, dos corredores se encuentran uno de-tráz del otro. El corredor A está a 200 metros de la recta final y su velocidad es de22 m/s, velocidad que mantiene constante hasta cruzar la meta. En ese instante(cuando el corredor A está aún a 200 me-tros de la meta), el corredor B que está a20 metros detráz del corredor A, tiene unavelocidad de 20 m/s y empieza a acelerar.Suponiendo que el corredor B emplea unaaceleración constante, ¿qué aceleración mí-nima deberá usar para cruzar la meta en elmismo instante que el corredor A?

Solución. Utilizaremos la fórmula del ejemplo anterior para calcular esta ace-leración. Cuando el ciclista A está a 200 metros de la meta y su velocidad se man-tiene a 22 m/s, el tiempo que emplea en llegar es

t =dv=

200 m22 m/s

= 9.09 seg

Ahora bien, para que el ciclista B llegue a la meta, debe recorrer una distancia de220 metros, durante un tiempo de 9.09 segundos e iniciando con una velocidadde 20 m/s. Entonces

220 = 20(9.09) +12

a(9.09)2 = 181.8 + 41.31405a

Por tanto, a = 0.924 m/s2.

7.2.2. Trabajo

El término trabajo es común en física e ingeniería. El trabajo es la transferenciade energía que se obtiene cuando se aplica una fuerza a un cuerpo para moverlo.Los científicos e ingenieros necesitan conocer con precisión la cantidad de energíaque se requiere para realizar una determinada actividad. Por ejemplo, un cientí-fico de la NASA necesita conocer la cantidad de energía requerida por un satéliteartificial en una órbita cercana a la superficie de la Tierra. De la misma forma, elingeniero de fluídos necesita conocer la cantidad de energía que pasa a través deuna represa de agua.

Iniciamos definiendo el trabajo realizado por una fuerza constante que mueveun objeto a lo largo de una línea recta.


Definición 7.2.2. (Trabajo realizado por una fuerza constante). El trabajo W rea-lizado por una fuerza constante moviendo un objeto una distancia d en la direc-ción de la fuerza es

W = Fd que se lee: trabajo = fuerza por distancia.

La unidad de trabajo en cualquier sistema es la unidad de fuerza por la uni-dad de distancia. En el Sistema Internacional de unidades (abreviado por SI), launidad de fuerza es el Newton (N) y la unidad de distancia es el metro (m); asíque la unidad de trabajo es Newton-metro. Un Newton-metro es también llama-do Joule.

Ejemplo 7.2.3. Hallar el trabajo realizado para mover un objeto una distanciade 10 metros cuando se le aplica una fuerza de 5 Newtons.

Solución. El trabajo realizado es

W = Fd = 5(10) = 50

o también 50 Newtons-metro.

A continuación usaremos integración para calcular el trabajo cuando la fuerzano es constante. Suponga que la fuerza F(x) es continua y varía cuando el objetose mueve de a hasta b en el eje x. En este caso, la fórmula W = Fd no se aplicadirectamente, pero podemos pretender sumar fuerzas constantes en pequeñossubintervalos de [a, b]. Para notar mejor esto, dividimos el intervalo [a, b] en Nsubintervalos de longitud

∆x =b− a

Ncuyos puntos extremos son

a = x0, x1, x2, . . . , xN = b

Nos concentraremos en el subintervalo [xi−1, xi]. Sea pues Wi el trabajo requeridopara mover el objeto de xi−1 hasta xi. Si ∆x es pequeño, entonces la continuidadde F(x) garantiza que los valores de F(x) en cualquier par de puntos de [xi−1, xi]

son casi iguales. Por tanto, si ci es cualquier punto en [xi−1, xi], podemos apro-ximar F(x) por F(ci) para todo x ∈ [xi−1, xi]. En términos físicos podemos decirque la fuerza F(x) es aproximada de manera constante cuando se mide sobre dis-tancias pequeñas. Si suponemos que F(x) = F(ci) en [xi−1, xi], entonces el trabajorealizado por F(x) para mover un cuerpo a lo largo del eje x desde x = xi−1 hasta


x = xi, esWi ≈ F(ci)∆x (fuerza constante) · (distancia).

Sumando estos trabajos obtenemos

W =N

∑i=1

Wi ≈N

∑i=1

F(ci)∆x

Si tomamos límite cuando N → +∞, entonces llegamos a

W =

∫ b

aF(x)dx .

Definición 7.2.3. (Trabajo). El trabajo W realizado por una fuerza F(x) para mo-ver un objeto a lo largo del eje x desde el punto a hasta b es

W =

∫ b

aF(x)dx .

Ejemplo 7.2.4. Hallar el trabajo realizado por la fuerza F(x) = 2x3 + 4x (me-dido en Newtons) para mover una partícula a lo largo del eje x desde x = 2 hastax = 4.

Solución. Aquí la fuerza es F(x) = 2x3 + 4x, y el trabajo realizado por F paramover un cuerpo desde que x = 2 hasta x = 4 es

W =

∫ 4

2F(x)dx =

∫ 4

2(2x3 + 4x)dx =

[x4

2+ 2x2

]4

2= 144 .

Ejemplo 7.2.5. Hallar el trabajo realizado por la fuerza F(x) = x2 + 6x (medi-do en Newtons) para mover una partícula a lo largo del eje x desde x = 1 hastax = 5.

Solución. Aquí la fuerza es F(x) = x2 + 6x, y el trabajo realizado por F paramover un cuerpo desde que x = 1 hasta x = 5 es

W =

∫ 5

1F(x)dx =

∫ 5

1(x2 + 6x)dx =

[x3

3+ 3x2

]5

1= 113.3 .


Ejemplo 7.2.6. (Estibador de sacos).Un hombre sube un saco de arroz de 50 kga la terraza de un almacen de 10 metros dealtura. Él sube dicho saco (que está aguje-rado) con una velocidad de 6 metros porminuto y mientras hace este ascenso, caearroz del saco a razón de 2 kg por minu-to. Ignorando el peso del hombre, ¿cuántotrabajo se ejecuta en este viaje?

Solución. Sabemos que la definición de trabajo es aplicable cuando la fuerzase ejecuta a lo largo de una línea recta. No importa si la recta es horizontal, verticalo se posicione de otro modo. La fuerza que el hombre aplica es el peso del saco,el cual no es constante por causa del vaciado. Sea F(y) denotando el peso delsaco de arroz cuando el hombre está a y metros por encima del piso. Debido aque el hombre está a y = 6t metros por encima del piso en el tiempo t (medidoen minutos), y debido a que el peso del saco es 50− 2t kg cuando t se mide enminutos, tenemos

F(y) = 50− 2(y

6

)= 50−

y3

kg-fuerza

Por tanto, el trabajo total es igual a

W =

∫ 10

0

(50−

y3

)dy

=

(50y−

y2

6

) ∣∣∣∣10

0

= 483.3 m-kg-fuerza .

Notemos: suponiendo que el peso del hombre no es ignorado, digamos quees de 80 kg. En este caso, el trabajo realizado es

W =

∫ 10

0

[(50−

y3

)+ 80

]dy

=

∫ 10

0

(50−

y3

)dy +

∫ 10

080 dy

= 483.3 + 80(10)

= 1283.3 m-kg-fuerza.


USANDO LA LEY DE HOOKE

La fórmula para el trabajo puede ser usado para hallar el trabajo realizado alestirar o comprimir un resorte. Para resolver problemas de este tipo necesitamosrevisar una de las leyes de la física llamada la Ley de Hooke el cual establece losiguiente:

la fuerza requerida para mantener estira-do a un resorte x, unidades de su posiciónoriginal, es proporcional a x

F(x) = kx

donde k es una constante positiva llamadaconstante del resorte. La ley de Hooke nosdice que x es limitado. x

y

Ejemplo 7.2.7. Una fuerza de 20 N se requiere para estirar un resorte 4 cm asu longitud original de 18 cm. Hallar el trabajo requerido para estirar el resortedesde una longitud de 20 cm hasta una longitud de 24 cm.

Solución. Supongamos que el resorte se desplaza en el eje x cuyo extremolibre está en el origen (ver figura abajo).

0 x x0

x

De acuerdo a la Ley de Hooke, la fuerza F(x) requerida para estirar el resortex metros de su longitud original es F(x) = kx. Desde que se requiere una fuerzade 20 N para estirar al resorte 4 cm = 0.04 m, vemos que

20 = k(0.04) o k = 500 .

es decir, k = 500 N/m. Por tanto, F(x) = 500x para este resorte. Para hallar eltrabajo que se requiere para estirarlo desde los 20 cm hasta los 24 cm es

W =

∫ 0.24

0.2500x dx = 500

[12

x2]0.24

0.2= 250

[(0.24)2 − (0.2)2

]= 4.4 J .


Ejemplo 7.2.8. Si 5 J de trabajo se requieren para estirar un resorte, una lon-gitud de 0.2 m desde su posición de equilibrio, ¿qué trabajo adicional se requierepara extirarlo 0.2 metros más?

Solución. Primero usaremos nuestra hipótesis para hallar la constante delresorte;

5 J =∫ 0.2 m

0 mkx dx =

12

kx2∣∣∣∣0.2 m

0 m= 0.02k m2

o también

k =5

0.02J ·m−2 = 250 N ·m ·m−2 = 250 N ·m−1

Finalmente, el trabajo requerido W se calcula como sigue

W =

∫ 0.4 m

0.2 m250x dx = 125x2

∣∣∣∣0.4 m

0.2 m= (125 N ·m−1)(0.42 m2 − 0.22 m2) = 15 J .

USANDO LA LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

En la superficie de la Tierra, la aceleración debido a la gravedad se denota porg y es igual a 9.80665 m/s2. Por tanto, la fuerza necesaria para levantar una masam en la superficie de la Tierra es F = mg. En conclusión, próximo a la superficiede la Tierra podemos usar la ecuación F = mg como una relación aceptable peso-masa. En el siguiente ejemplo, la distancia a la superficie de la Tierra es tan grandeque la constante gravitacional no es aceptable.

En los ejemplos que siguen utilizaremos la fórmula F = GMm/r2 de la fuerzagravitacional entre dos objetos de masas m y M, separados una distancia r, dondeG = 6.67× 10−11 m3kg−1s−1.

Ejemplo 7.2.9. Muestre que si dos objetos de masas M y m son separados poruna distancia r1, entonces el trabajo requerido para aumentar la separación a unadistancia r2 , es igual a

W = GMm(

1r1− 1

r2

)Solución. El trabajo requerido para aumentar la separación de la distancia r1

a la distancia r2 es

W =

∫ r2

r1

GMmr2

dr = −GMmr

∣∣∣∣r2

r1

= GMm(

1r1− 1

r2

).


Ejemplo 7.2.10. Utilicemos el ejemplo anterior para calcular el trabajo reque-rido para mover un satélite de 1500 kg de una órbita de 1000 km a una órbita de1500 km sobre la superficie de la Tierra.

Solución. El satélite debe moverse una distancia de r1 = RT + 1′000, 000 metroshasta una distancia r2 = RT + 1′500, 000 metros. Luego, del ejemplo anterior

W = (6.67× 10−11)(5.98× 1024)(1500)×

×(

16.37× 106 + 1′000, 000

− 16.37× 106 + 1′500, 000

)= 5.16× 109 J .

Ejemplo 7.2.11. De acuerdo a la Ley de gravitación universal de Newton, lamagnitud de la fuerza gravitacional F (medido en Newtons) ejercida por la Tierraa una masa m (medida en kilogramos) es

F = 3.98621× 1014 mr2

,

cuando la masa está a una distancia r (medido en metros) del centro de la Tierra.Determine la cantidad de trabajo que se realiza para levantar una roca de 6000 kga una altura de 300 km por encima de la superficie de la Tierra, suponiendo quela dirección de la fuerza en la que se realiza el movimiento es recto (suponga queel radio de la Tierra es de 6375.58 km).

Solución. Pasando nuestras cantidades a metros podemos determinar el tra-bajo en Joules. Debido a que r = 6375580 m en la superficie de la Tierra y comor = 6375580 + 300000 = 6675580 cuando la roca está a 300 km por encima de lasuperficie de la Tierra, tenemos

W =

∫ 6675580

6375580F(r)dr

=

∫ 6675580

63755803.98621× 1014 m

r2dr

= −3.98621× 1014 6000r

∣∣∣∣6675580

6375580

= −3.98621× 1014 × 6000(

16675580

− 16375580

)= 16.8587× 109 J .


7.2.3. Energía

Cuando usted ve un objeto en movimien-to, entonces debe estar seguro que algúntrabajo ha sido realizado para crear es-te movimiento. Por ejemplo, cuando unagimnasta realiza un salto alto, es seguroque el cuerpo de la atleta tiende a caer por-que la fuerza de la gravedad está llevandoa cabo el trabajo sobre ella.

Usando el método de sustitución para integrales definidas derivaremos unaecuación simple que relaciona el trabajo realizado por el objeto, su masa y suvelocidad. Esta ecuación debe motivar la definición propia de “energía de movi-miento” de un objeto. En este sentido asumiremos que el objeto se mueve en ladirección positiva a lo largo del eje x y sobre el intervalo [a, b] mientras ejecutamosuna fuerza F(x) en la dirección del movimiento.

Sea m la masa del objeto y sean

x = x(t), v = v(t) = x′(t) y a = a(t) = v′(t)

denotando la respectiva posición, velocidad, y aceleración del objeto en el tiempot. Utilizaremos el resultado importante de la física que relaciona la fuerza actuan-do en un objeto con la masa y aceleración del objeto.

(Segunda ley de Newton). Si a un objeto de masa m se le aplica una fuerza F,entonces el objeto adquiere una aceleración a que satisface la ecuación

F = m a

Se sigue de la segunda ley de Newton que

F(x(t)) = m a(t) = mv′(t)

Suponga quex(t0) = a y x(t1) = b

conv(t0) = vi y v(t1) = v f


siendo las velocidades inicial y final del objeto, respectivamente. Entonces

W =

∫ b

aF(x)dx =

∫ x(t1)

x(t0)F(x)dx

=

∫ t1

t0

F(x(t))x′(t)dt

=

∫ t1

t0

mv′(t)v(t)dt =∫ t1

t0

mv(t)v′(t)dt

=

∫ v(t1)

v(t0)mv dv

=

∫ v f

vi

mv dv =12

mv2∣∣∣∣v f

vi

=12

mv2f −

12

mv2i

Entonces decimos de la ecuación

W =12

mv2f −

12

mv2i (7.2.7)

que el trabajo realizado en el objeto es igual a la variación en la cantidad 12 mv2

desde su valor inicial hasta su valor final. Nos referimos a la ecuación (7.2.7) co-mo la relación trabajo-energía. Si ahora definimos la “energía en movimiento” oenergía cinética de nuestro objeto como

W =12

mv2 (7.2.8)

entonces la ecuación (7.2.8) dice que el trabajo realizado por un objeto es iguala la variación en la energía cinética. Otra manera de interpretar esto es diciendoque el trabajo realizado por un objeto es “transformado” en energía cinética delobjeto. Las unidades para la energía cinética son las mismas unidades que para eltrabajo, por ejemplo en el sistema internacional se mide en Joules.

Ejemplo 7.2.12. Con qué velocidad inicial v0 debe dispararse una piedra paraalcanzar la altura máxima r por encima de la Tierra?

Solución. En el ejemplo 7.2.9 vimos que el trabajo requerido para mover unapiedra una distancia r por encima de la superficie de la Tierra es

W(r) = GMTm(

1RT− 1

r + RT

)Como la roca alcanza una altura r, su energía cinética se reduce a la cantidadW(r). Entonces la roca alcanza su máxima altura cuando su energía cinética sereduce a cero, es decir, cuando

12

mv20 = GMTm

(1

RT− 1

r + RT

)


Por tanto, su velocidad inicial debe ser igual a

v0 =

√2GMT

(1

RT− 1

r + RT

).

Ejemplo 7.2.13. (Calculando la velocidad de escape). La velocidad de esca-pe es la velocidad mínima que adquiere un objeto para asegurarse que continúeviajando en el espacio y nunca caiga a la Tierra (suponiendo que ninguna fuerzaes aplicada luego). Calcular la velocidad de escape.

Solución. Del ejemplo anterior podemos deducir una interesante conclusión:la velocidad inicial v0 que se requiere para alcanzar una máxima altura es limitadamismo que r sea cada vez más grande. Esta aproximación del límite se llamavelocidad de escape.

vesc = lı́mr→+∞

√2GMT

(1

RT− 1

r + RT

)=

√2GMT

RT

En otras palabras, vesc es suficientemente grande para asegurar que la piedra al-cance su altura r para todo valor de r. Por tanto, una piedra que se lance convelocidad inicial vesc, nunca retorna a la Tierra. Esta continúa viajando indefini-damente en otro espacio.

Ahora veamos qué tan grande es esta velocidad de escape:

vesc =

(2× 6.67× 10−11 × 5.989× 1024

6.37× 106

)1/2

≈ 11, 190 m/s .

Ejemplo 7.2.14. (Otra forma de deducir la energía cinética). El trabajo reali-zado por un objeto que acelera desde una velocidad v0 hasta una velocidad v1 esdado por

W =

∫ v1

v0

vdpdv

dv

donde p es su momento, dado por p = mv (m = masa). Asumiendo que m esconstante, mostrar que

W =12

mv21 −

12

mv20

la cantidad 12 mv2 se refiere a la energía cinética del objeto; así que el trabajo re-

querido para acelerar un objeto es dado por su variación en la energía cinética.


Solución. Desde que p = mv, se tienedpdv

= m. Entonces

W =

∫ v1

v0

vdpdv

dv =

∫ v1

v0

vm dv = m∫ v1

v0

v dv = mv2

2

∣∣∣∣v1

v0

=12

mv21 −

12

mv20 .

Ejemplo 7.2.15. (Ecuación de la energía de Einstein). De acuerdo a la teo-ría especial de la relatividad, la masa de un objeto depende de su velocidad deacuerdo a la fórmula

m =m0(

1− v2

c2

)1/2

donde v es su velocidad, m0 es la “masa en reposo” del objeto (que es su masacuando v = 0), y c es a velocidad de la luz: aproximadamente 3× 108 metros porsegundo.

(i) Muestre que si p = mv es el momento,

dpdv

=m0(

1− v2

c2

)3/2

(ii) Use la fórmula de la integral para W (del ejemplo anterior) junto con elresultado del ítem (i) para mostrar que el trabajo requerido para acelerar unobjeto de la velocidad v0 hasta v1 es dada por

W =m0c2√1−

v21

c2

− m0c2√1−

v20

c2

.

La cantidadm0c2√1− v2

c2

es llamada energía relativista total de un objeto mo-

viéndose a velocidad v. Así que el trabajo para acelerar un objeto de unavelocidad a otra es dado por la variación de la energía relativa total.

(iii) Deducir (como mencionó Albert Einstein) que la energía relativa total E deun cuerpo en reposo con masa en reposo m, es dada por la famosa ecuación

E = mc2 .


Solución. (i) Desde que p = mv, entonces

dpdv

=dmdv

v + m (7.2.9)

Pero

m =m0(

1− v2

c2

)1/2= m0

(1− v2

c2

)−1/2

Entonces

dmdv

= m0

(−1

2

)(1− v2

c2

)−3/2 (−2v

c2

)=

m0v

c2

(1− v2

c2

)3/2

es decirdmdv

=m0v

c2

(1− v2

c2

)3/2(7.2.10)

Reemplazando (7.2.10) en (7.2.9), obtenemos

dpdv

=dmdv

v + m =m0v

c2

(1− v2

c2

)3/2v +

m0(1− v2

c2

)1/2=

m0(1− v2

c2

)3/2.

(ii) De acuerdo a la fórmula del ejemplo anterior,

W =

∫ v1

v0

vdpdv

dv

=

∫ v1

v0

vm0

(1− v2

c2

)−3/2

dv

= m0c2(

1− v2

c2

)−1/2 ∣∣∣∣v1

v0

=m0c2√1−

v21

c2

− m0c2√1−

v20

c2

(iii) De la parte (ii) conseguimos que E =m0c2√1− v2

c2

. Ahora bien, cuando la

masa está en reposo, m = m0, y la velocidad resulta v = 0. Por tanto, la ecuaciónresulta

E = mc2 .


7.2.4. Centro de Masa, Momento y el Teorema de Pappus

En algunas situaciones físicas existen objetos que se mantienen en equilibriocuando quedan suspendidos en un punto de apoyo. Por ejemplo, cuando un equi-librista soporta un objeto sobre su cabeza.

En ingeniería es importante conocer laubicación del centro de masa de un cuer-po. Por ejemplo, un mecánico automotrizsabe que la rueda de un auto debe ser ba-lanceada debido al proceso de fabricación,esto se debe a que el centro de masa de larueda no está ubicado en su posición deequilibrio. Una rueda desequilibrada cau-sa que el automóvil pierda estabilidad.

Antes de que saber cómo encontrar el centro de la masa de regiones planas,recordemos algunas nociones básicas de física.

CENTRO DE MASA DE UN SISTEMA EN UNA RECTA

Suponga que usted coloca dos partículas con masas m1 y m2 en los extre-mos de una varilla con masa despreciable. Podemos colocar este sistema en undeterminado apoyo como se muestra en la figura:

d1 d2

m1 m2

entonces se tiene equilibrio cuando

m1d1 = m2d2 (7.2.11)

donde d1 y d2 son las distancias (llamadas brazos de momento) entre las par-tículas y el punto de apoyo. La cantidad m1d1 es llamada momento de m1 cercadel punto de apoyo, el cual mide la tendencia de m1 para mover el sistema (eneste caso el movimiento es antihorario). Por otra parte, el momento m2d2 midela tendencia de m2 para mover el sistema (el movimiento en el sentido horario).Cuando estas tendencias se igualan (ecuación (7.2.11)), entonces se tiene equili-brio.


Podemos usar la ecuación (7.2.11) para derivar una fórmula que permita cal-cular el centro de masa del sistema. Ubiquemos el sistema en una línea recta (porejemplo el eje x) y supongamos que las coordenadas de m1, m2 y del punto deapoyo, son los puntos x1, x2 y x, respectivamente (ver figura abajo).

d1

m1

xx1

m2

x2

= x - x1 d2= x-x2

0x

Se puede ver que la distancia entre m1 y el punto de apoyo es d1 = x − x1,y que la distancia entre m2 y el punto de apoyo es d2 = x2 − x. Por tanto, de laecuación (7.2.11) resulta

m1(x− x1) = m2(x2 − x)

m1x + m2x = m1x1 + m2x2

y

x =m1x1 + m2x2

m1 + m2(7.2.12)

Los números m1x1 y m2x2 de la ecuación (7.2.12) son llamados momentosde las masas m1 y m2 respecto del origen.

En general, si m es una masa ubicada en el punto x de la recta, entonces mx esllamado momento de la masa m respecto del origen. Observemos que la ecua-ción (7.2.12) dice que para hallar la coordenada del centro de masa de un sistemacon dos masas m1 y m2, debemos sumar los momentos de las masas respecto delorigen, y dividir la suma por la masa total m1 + m2. Un análisis similar para unsistema que de n partículas localizados en la recta (ver figura abajo) nos permitedefinir el centro de masa de un sistema de n partículas.

m1

xx1

mn

xn0

m2

x2

m3

x3

Definición 7.2.4. (Centro de masa de un sistema de n partículas). Sea S un sis-tema de n masas m1, m2, . . . , mn, localizados en los puntos x1, x2, . . . , xn de unarecta, respectivamente, y sea m = ∑n

k=1 mk denotando la masa total del sistema.

(i) El momento de S respecto del origen es M = ∑nk=1 mkxk .

(ii) El centro de masa de S se ubica en el punto x =Mm

=1m

n

∑k=1

mkxk .


Ejemplo 7.2.16. Halle el centro de ma-sa de un sistema de 4 objetos localizadosen los puntos −4, −2, 1 y 3 del eje x (enmetros), cuyas masas son 3, 4, 5 y 7 kilo-gramos, respectivamente.

01

3

-2

-4

x

Solución. Usando el ítem (ii) de la definición anterior con m1 = 3, m2 = 4,m3 = 5, m4 = 7 y x1 = −4, x2 = −2, x3 = 1, x4 = 3, tenemos

x =3(−4) + 4(−2) + 5(1) + 7(3)

3 + 4 + 5 + 7=

619≈ 0.3

Esto significa que hay equilibrio cuando suspendemos el sistema mediante unacuerda en el punto x = 0.3.

CENTRO DE MASA DE UN SISTEMA EN EL PLANO

Considere una partícula de masa m localizada en el punto P(x, y) del planocartesiano (ver figura (a)). Si suponemos que esta masa se conecta al eje x porun segmento vertical de masa despreciable, entonces la cantidad my mide la ten-dencia que la masa m tiene para rotar el sistema respecto al eje x. Esta cantidadse llama momento de la masa m con respecto del eje x y se denota por Mx. Si-milarmente podemos definir el momento de la masa m alrededor del eje y porMy = mx. Para hallar los momentos respecto a los ejes x e y, de un sistema de npartículas del plano, lo que hacemos es sumar los momentos de cada masa (verfigura (b)).

x

y

x

y

mP( (x,y

x

y

m1

m2

m3

x1

y1

x2

y2

x3

y3

(a) (b)

Tenemos así la siguiente definición:


Definición 7.2.5. (Centro de masa de un sistema de n partículas en elplano). Sea S un sistema de n masas m1, m2, . . . , mn, localizados en los puntos(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn), respectivamente, y sea m = ∑n

i=1 mk denotando lamasa total de las n partículas.

(i) El momento de S respecto del eje x es Mx = ∑nk=1 mkyk .

(ii) El momento de S respecto del eje y es My = ∑nk=1 mkxk .

(iii) El centro de masa de S se ubica en el punto (x, y), donde

x =My

m=

1m

n

∑k=1

mkxk y y =Mx

m=

1m

n

∑k=1

mkyk .

Observación 7.2.1. El centro de masa (x, y) de un sistema de n partículas en elplano cartesiano, es un punto en el cual se concentra la masa total m del siste-ma. Más precisamente, si suspendemos el sistema mediante un cable en el punto(x, y), entonces dicho sistema se mantiene en equilibrio.

Ejemplo 7.2.17. Hallar el centro de ma-sa de un sistema de tres objetos con ma-sas de 4, 6 y 8 kilogramos, localizados enlos puntos (−1, 2), (3, 5) y (2,−3), respec-tivamente (suponga que todas las distan-cias se miden en metros).

( (-1,2

( (3,5

( (2,-3

x

y

Solución. Primero calculamos los momentos

My = 4(−1) + 6(3) + 8(2) = 30

yMx = 4(2) + 6(5) + 8(−3) = 14 .

Desde que m = 4 + 6 + 8 = 18, se sigue que

x =My

M=

3018

=53

y y =Mx

M=

1418

=79

.

Por tanto, el centro de masa del sistema se ubica en el punto(

53

,79

). Esto significa

que al suspender el sistema con los tres objetos, mediante un cable en el punto(53

,79

), obtenemos equilibrio y el plano se mantiene horizontal.


CENTRO DE MASA DE LAMINAS

A continuación nos dedicaremos a calcular el centro de masa de una lámina(por ejemplo una lámina de metal). Asumiremos que las láminas son homogéneasy que tienen una densidad de masa uniforme ρ (que es una constante positiva).

Comenzaremos suponiendo que la lámina L tiene la forma de la región R bajola gráfica de una función continua no negativa f en el intervalo [a, b], como semuestra en la figura abajo.

( (,

( , (

R

xk

xkxk-1

f ( (12

a b

x

y

0

*xk

*

xk* f ( (xk

*

xk* f ( (xk

*12

Sea P = {x0, x1, . . . , xn} una partición regular de [a, b]. Esta partición dividea la región R en n subregiones R1, R2, . . . , Rn, siendo cada una de ellas una lá-mina. La k-ésima subregión se aproxima por el k-ésimo subrectángulo de base∆x = (b− a)/n y altura f (x∗k ), donde x∗k es el punto medio del k-ésimo subinter-valo [xk−1, xk], es decir, x∗k = (xk−1 + xk)/2. El área del k-ésimo subrectángulo esf (x∗k )∆x; así que la masa de la k-ésima lámina se aproxima por

ρ f (x∗k )∆x densidad por área .

Desde que el centro de masa de una lámina rectangular se ubica en su centro,concluímos que el centro de masa de la k-ésima lámina se ubica en el punto(x∗k , 1

2 f (x∗k )).Esto nos dice que el brazo de momento de la k-ésima lámina con respecto al

eje y, es x∗k . Por tanto, el momento de la k-ésima lámina con respecto del eje y es

[ρ f (x∗k )∆x]x∗k = ρx∗k f (x∗k )∆x masa por brazo de momento

Sumando los momentos de las n láminas y tomando el límite de la suma deRiemann asociada cuando n → +∞ llegamos a la definición del momento de Lrespecto del eje y:

My = lı́mn→+∞

n

∑k=1

ρx∗k f (x∗k )∆x = ρ

∫ b

ax f (x)dx


Similarmente, observando que el brazo de momento del k-ésimo rectángulo res-pecto del eje x, es 1

2 f (x∗k ), conseguimos que el momento de L respecto del eje x sedefine como

Mx = lı́mn→+∞

n

∑k=1

ρ · 12[ f (x∗k )]

2∆x = ρ

∫ b

a

12[ f (x)]2 dx

Finalmente, la masa de L se define como

m = lı́mn→+∞

n

∑k=1

ρ f (x∗k )∆x = ρ

∫ b

af (x)dx .

Definición 7.2.6. (Momento y centro de masa de una lámina). Sea L una láminade densidad de masa constante ρ y supongamos que L tiene la forma de la regiónR bajo la gráfica de una función continua no negativa f en [a, b].

(i) La masa de L es m = ρ∫ b

af (x)dx = ρA, donde A =

∫ b

af (x)dx .

(ii) Los momentos de L respecto de los ejes x e y son, respectivamente

Mx = ρ

∫ b

a

12[ f (x)]2 dx y My = ρ

∫ b

ax f (x)dx

(iii) El centro de masa de L se ubica en el punto (x, y), donde

x =My

m=

1A

∫ b

ax f (x)dx y y =

Mx

m=

1A

∫ b

a

12[ f (x)]2 dx .

Ejemplo 7.2.18. (Momentos y centrode masa de una lámina). Una lamina Lde densidad de área uniforme ρ tiene laforma de la región R bajo la gráfica def (x) = x3 en [0, 3] (ver figura derecha).Hallar la masa de L, los momentos de Lrespecto de cada eje coordenado, y el cen-tro de masa de L.

y x3=

y

x

3

27

1

y2

R

x

x

Solución. Usando el ítem (i) de la definición, hallamos que la masa de la


lámina es

m = ρ

∫ 3

0x3 dx = ρ

[14

x4]3

0=

814

ρ .

Para hallar el momento Mx de L respecto del eje x, podemos usar el ítem (ii) dela definición como sigue: dibujamos un rectángulo representante con ancho ∆x yaltura y (ver figura arriba). El brazo de momento de este rectángulo, con respectoal eje x es

y2=

f (x)2

=x3

2y la masa del rectángulo representante es

ρy∆x = ρ f (x)∆x = ρx3∆x densidad por área .

Así que el momento de este elemento respecto del eje y es(x3

2

)ρx3∆x brazo de momento por masa .

Sumando y tomando el límite de la suma de Riemann, tenemos

Mx =

∫ 3

0

(x3

2

)ρx3dx =

ρ

2

∫ 3

0x6 dx =

[ ρ

14x7]3

0=

218714

ρ .

Para hallar My, también usamos el ítem (ii) de nuestra definición. Observandoque el brazo de momento del rectángulo representante es x, tenemos

My =

∫ 3

0xρx3 dx = ρ

∫ 3

0x4 dx =

[ρ

5x5]3

0=

2435

ρ .

Finalmente, usando el ítem (iii) de la definición, vemos que las coordenadas delcentro de masa de L son

x =My

m=

2435

ρ

814

ρ

=125

y y =Mx

m=

218714

ρ

814

ρ

=547

.

INTERPRETACIÓN: Si una lámina de acero se suspende por un resorte en el

punto(

125

,547

), entonces existe equilibrio horizontal. Observemos que en el re-

sultado del centro de masa no involucramos a ρ que es la densidad de la lámina.Esto siempre sucede cuando la lámina tiene densidad uniforme. En otras pala-bras, el centro de masa de dicha lámina depende únicamente de la forma de laregión R y no de su densidad. El punto (x, y) en el cual el centro de masa de tallámina se localiza, es llamado centroide de la región R.


Ejemplo 7.2.19. Hallar el centro de ma-sa de la región R bajo la gráfica de y =

√x

en el intervalo [0, 2].Solución. El área de la región R es

A =

∫ 2

0

√x dx =

[23

x3/2]2

0=

4√

23

.

21

y

x

y = x

0.5 1.5

1

( 65

34 (,

R

2

2

Ahora bien,

x =1A

∫ 2

0x f (x)dx =

3

4√

2

∫ 2

0x√

x dx =3

4√

2

[25

x5/2]2

0=

(3

4√

2

)(8√

25

)=

65

y también

y =1A

∫ 2

0

12[ f (x)]2 dx =

3

4√

2

∫ 2

0

12

x dx =3

4√

2

[14

x2]2

0=

(3

4√

2

)(1) =

3

4√

2.

Por tanto, el centroide de R es(

65 , 3

4√

2

).

CENTRO DE UNA REGIÓN ENTRE DOS CURVAS

A continuación vamos a deducir la fórmula para el centroide de una región Rentre las gráficas de dos funciones. Suponga que R es acotada por las gráficas dedos funciones continuas f y g, donde f (x) ≥ g(x) en el intervalo [a, b], y por lasrectas x = a y x = b (ver figura).

y x= f ( (

y x=g( (

x

12 [ xf ( (+ xg( ([

R

(x, (

a b

x

x

y

12 [ xf ( (+ xg( ([

Sea L una lámina de densidad uniforme que tiene la forma de R. Dibujamosun rectángulo representante con ancho ∆x y altura f (x)− g(x), por tanto su área


es ∆A = [ f (x)− g(x)]∆x. Su masa es

ρ∆A = ρ[ f (x)− g(x)]∆x densidad por área .

Por tanto, la masa de R es

m = ρ

∫ b

a[ f (x)− g(x)]dx = ρA

donde A es el área de R.Por otro lado, el momento del rectángulo con respecto del eje x es

12[ f (x) + g(x)]ρ[ f (x)− g(x)]∆x

lo que nos da

Mx = ρ

∫ b

a

[f (x) + g(x)

2

][ f (x)− g(x)]dx =

ρ

2

∫ b

a

{[ f (x)]2 − [g(x)]2

}dx

El momento del rectángulo con respecto del eje y es

xρ[ f (x)− g(x)]∆x

lo que nos da

My = ρ

∫ b

ax[ f (x)− g(x)]dx

Desde que el centro de masa de L (también llamado centroide de R) es dado por(x, y), donde x = My/m e y = Mx/m, tenemos el siguiente resultado:

Definición 7.2.7. (Centroide de una región entre dos curvas). Sea R una regiónlimitada por las gráficas de dos funciones continuas f y g en [a, b], donde f (x) ≥g(x) para todo x ∈ [a, b]. Entonces el centroide (x, y) de R es dado por

x =1A

∫ b

ax[ f (x)− g(x)]dx y y =

1A

∫ b

a

12{[ f (x)]2 − [g(x)]2

}dx

donde

A =

∫ b

a[ f (x)− g(x)]dx .


Ejemplo 7.2.20. Sea R la región limitada superiormente por y = x + 1 e in-feriormente por y = (x − 1)2. Suponga que R tiene densidad de masa unitaria.¿Cuál es el centro de masa (x, y) de R?

Solución. Las dos gráficas se intersecan cuando

x + 1 = (x− 1)2 ⇔ x + 1 = x2 − 2x + 1 ⇔ 3x = x2 .

Las soluciones son x = 0 y x = 3. Acontinuación hacemos f (x) = x + 1 yg(x) = (x− 1)2. Luego calculamos

A =

∫ 3

0[ f (x)− g(x)]dx

=

∫ 3

0

[(x + 1)− (x− 1)2

]dx

=92

. 1 2 3

2

4

32

x

y

yx,( (

y = x -1( (2

y = x +1

85

Por otro lado,∫ 3

0x[ f (x)− g(x)]dx =

∫ 3

0x[(x + 1)− (x− 1)2

]dx =

∫ 3

0

[3x2 − x3]dx =

274

Por tanto,

x =27/49/2

=32

.

También

12

∫ 3

0

{[ f (x)]2 − [g(x)]2

}dx =

12

∫ 3

0

[(x + 1)2 − (x− 1)4

]dx

=12

∫ 3

0(−x4 + 4x3 − 5x2 + 6x)dx

=365

.

Por tanto,

y =36/59/2

=85

.

El centro de masa de R es (3/2, 8/5).


EL TEOREMA DE PAPPUS

Suponga que un sólido de revolución es obtenido por rotar una región planaalrededor de una recta. El teorema de Pappus nos permite hallar el volumen delsólido en términos del centroide de la región (ver figura abajo).

R

Centroide de R

L

x

r

0

L

Definición 7.2.8. Sea R una región plana que está a un lado de una recta L, en elmismo plano. Si r es la distancia entre el centroide de R y la recta L, entonces elvolumen V del sólido de revolución obtenido por rotar R alrededor de L es

V = 2πrA donde A es el área de R .

Note que 2πr es la distancia que se desplaza el centroide cuando se rota laregión R alrededor de la recta L.

Ejemplo 7.2.21. (Volumen de un toro). Un toro (es un sólido en forma dedonus) se forma mediante la rotación de una región circular de radio a, alrededorde una recta que está en el mismo plano del círculo y a una distancia b (b > a) delcentro del círculo (ver figura abajo). Hallar el volumen del toro.

R

Centroide de R

L

x

b

0

L

a


Solución. El centroide de la región circular es el centro del círculo. Así que ladistancia desplazada por el centroide durante una revolución de la región circu-lar, es 2πb. Desde que el área de la región es πa2, el teorema de Pappus nos diceque el volumen del toro es

V = (2πb)A = (2πb)(πa2) = 2π2a2b .

Ejemplo 7.2.22. Verifiquemos el teore-ma de Papus para la región bajo la gráficade y = sen x, donde 0 ≤ x ≤ π, cuando sehace girar alrededor del eje x.Solución. Notemos que esta región es si-métrica respecto al eje x = π/2, de dondeconcluímos que x = π/2. Por otro lado,calculando y tenemos

x

y

0 p

y = senx

y =

∫ π

0

12 sen x · sen x dx∫ π

0sen x dx

=

12

∫ π

0sen2 x dx∫ π

0sen x dx

Es fácil ver que el denominador vale 2. Para calcular el numerador utilizamos lafórmula sen2 x = (1− cos 2x)/2. Luego∫ π

0sen2 x dx =

12

(∫ π

01 dx−

∫ π

0cos 2x dx

)=

12

[x− 1

2sen 2x

]π

0=

π

2.

Por lo tanto,

y =12 ·

π2

2=

π

8≈ 0.39

El volumen V del sólido correspondiente es

V = π

∫ π

0sen2 x dx =

π

2

∫ π

0[1− cos 2x] dx =

π

2

[x− 1

2sen 2x

]π

0=

π2

2

Para verificar el teorema de Pappus debemos demostrar que

A · (2πy) = V

pero esto equivale a demostrar que

2(

2ππ

8

)=

π2

2.


7.3. Aplicaciones en Estadística

A continuación emplearemos la integral definida para el cálculo de valorespromedios de variables continuas. Lo que haremos es simplemente generalizarla fórmula de promedios de variables discretas usando la regla de Barrow y laaplicaremos al estudio de variables aleatorias en estadística.

7.3.1. Valor Promedio de una Función

Los valores promedios se usan siempre. Por ejemplo, el peso de un bebé reciénnacido se compara con el peso promedio de los bebés recién nacidos. También, lossueldos en una institución se comparan con los sueldos promedios.

El valor promedio de n números se halla sumando los números y diviviendopor n. Como sabemos

Valor promedio de a, b y c =a + b + c

3

El promedio de n números es la suma de los números dividido por n. Ahorabien, si tenemos una función que indica la temperatura sobre un periodo de 24horas, ¿podemos calcular la temperatura promedio? Podemos resolver esto con-siderando la temperatura en cada hora y promediando los 24 valores.

Más generalmente, ¿cómo podríamos definir el valor promedio de una fun-ción sobre el intervalo [a, b]? ¿cómo hallar el valor promedio de una función sobreun intervalo? Sabemos que existen infinitos valores que toma la función en esteintervalo, pero sumar todos ellos y dividir por infinito no es una buena opción.En esta sección veremos una manera adecuada de calcular este valor promediomediante el uso de la integral.

Una manera intuitiva de aproximarnos alvalor promedio de una función es pensan-do de una nivelación de la curva a una de-terminada altura, como se muestra en lafigura derecha. Podemos imaginarnos dela curva como una ola en el mar tal queal aquietarse el agua llegamos a un nivelpromedio, dada por la línea horizontal.

x

y

a b

b a-

Alturapromedio

f ( )x

Lord Barrera - Sección 7.3. Aplicaciones en Estadística 573

Por tanto, el área bajo la recta horizontal (un rectángulo con base (b − a) yaltura determinada por la recta horizontal) debe ser igual al área bajo la curva (laintegral definida de la función)

(b− a)(

Alturapromedio

)︸︷︷︸Área del rectángulo

=

∫ b

af (x)dx︸︷︷︸

Área bajo la curva

Por tanto, (Altura

promedio

)=

1b− a

∫ b

af (x)dx

Observación 7.3.1. Hallar el valor promedio de una función que resulta de inte-grar y dividir por b− a es similar a promediar n números que resulta de sumarlos n números y luego dividirlos por n.

Expliquemos esto: el valor promedio de n valores es

f (x1) + f (x2) + . . . + f (xn)

n=

1n·

n

∑k=1

f (xk)

=∆x

b− a

n

∑k=1

f (xk)1n=

∆xb− a

=1

b− a

n

∑k=1

f (xk)∆x .

Esta última expresión resulta familiar. Este es 1/(b− a) veces la suma de Riemannpara f sobre [a, b]. Esto significa que cuando consideramos el proceso de prome-diar tomando n → +∞, conseguimos que el límite existe y es igual a 1/(b− a)veces la integral de f sobre [a, b].

Más precisamente

lı́mn→+∞

1b− a

n

∑k=1

f (xk)∆x =1

b− a

∫ b

af (x)dx .

Es momento de establecer nuestra definición.

Definición 7.3.1. (Valor promedio). Sea f continua sobre [a, b]. Entonces(Valor

promedio

)=

1b− a

∫ b

af (x)dx

En otros casos denotamos por: VP, ingreso promedio, velocidad promedio, etc,según sea el caso.


Ejemplo 7.3.1. El valor promedio de f (x) = x2 sobre el intervalo [0, 2] es

VP =1

2− 0

∫ 2

0x2 dx =

12

∫ 2

0x2 dx =

16

x3∣∣∣∣20=

43

.

Ejemplo 7.3.2. El valor promedio de f (x) = x3 sobre el intervalo [0, 4] es

VP =1

4− 0

∫ 4

0x3 dx =

14

∫ 4

0x3 dx =

116

x4∣∣∣∣40= 16 .

Ejemplo 7.3.3. Hallar el valor promedio de la función f (x) =√

x sobre elintervalo [0, 6].

Solución.

(Valor

promedio

)=

16− 0

∫ 6

0

√x dx =

16− 0

∫ 6

0x1/2 dx

=16

23

x3/2∣∣∣∣60=

19

63/2 − 19

03/2

=19(√

6)3 =2√

63

.

Ejemplo 7.3.4. La temperatura T (en ◦C) en el tiempo t (en horas) en un museode arte, varía de acuerdo a

T(t) = 20 + 5 cos(

πt12

)Hallar el promedio sobre los periodos de tiempo [0, 24] y [2, 6].

Solución. La temperatura promedio sobre el periodo de tiempo [0, 24] es

124− 0

∫ 24

0

[20 + 5 cos

(πt12

)]dt =

124

[20t +

60π

sen(

πt12

)] ∣∣∣∣24

0= 20◦C .

La temperatura promedio sobre el periodo de tiempo [2, 6] es

16− 2

∫ 6

2

[20 + 5 cos

(πt12

)]dt =

14

[20t +

60π

sen(

πt12

)] ∣∣∣∣62= 22.4◦C .


Ejemplo 7.3.5. (Calculando la pobla-ción promedio). La población peruana sepronostica en

P(t) = 28.9e0.0087t millones de personas

donde t está en años y t = 0 correspondeal año 2010. Pronosticar la población pro-medio entre los años 2020 y 2030.

Solución. Integramos desde t = 10 (año 2020) hasta t = 20 (año 2030).

(Poblaciónpromedio

)=

120− 10

∫ 20

1028.9e0.0087t dt

=28.910

∫ 20

10e0.0087t dt

= 2.891

0.0087e0.0087t

∣∣∣∣20

10

≈ 332.2 e0.174 − 332.2 e0.087

≈ 395.1− 362.3

= 32.8

0 2010

34.4

31.5

28.9

t

P

Esto significa que durante la tercera década del presente siglo, que comprendedesde el 2020 hasta el 2030, la población peruana será de aproximadamente 32.8millones de personas.

Ejemplo 7.3.6. Hallar la velocidad promedio sobre el intervalo de tiempo[1, 5] de una partícula cuya posición en el tiempo t es

s(t) = t3 − 6t2 m/s

Solución. La velocidad promedio sobre el intervalo de tiempo [1, 5] es

15− 1

∫ 5

1|s′(t)|dt

Debido a que

s′(t) = 3t2 − 12t = 3t(t− 4),


se sigue que∫ 5

1|s′(t)|dt =

∫ 4

1|s′(t)|dt +

∫ 5

4|s′(t)|dt

=

∫ 4

1(12t− 3t2)dt +

∫ 5

4(3t2 − 12t)dt

= (6t2 − t3)

∣∣∣∣41+(t3 − 6t2)

∣∣∣∣54

= (96− 64)− (6− 1) + (125− 150)− (64− 96)

= 34 .

Así que la velocidad promedio es 34/4 = 17/2 m/s.

Ejemplo 7.3.7. (Velocidad y acelera-ción). La aceleración de un auto es

a(t) = 60t− 4t3 m/s2 .

Calcular la aceleración promedio y la ve-locidad promedio sobre el intervalo [2, 6],donde se asume que la partícula tiene ve-locidad inicial cero.

Solución. La aceleración promedio sobre el intervalo de tiempo [2, 6] es

16− 2

∫ 6

2(60t− 4t3)dt =

14(30t2 − t4)

∣∣∣∣62

=14

[(1080− 1296)− (120− 16)

]= −320

4= −80 m/s2

Teniendo en cuenta que

a(t) = 60t− 4t3 y v(0) = 0,

se sigue que v(t) = 30t2 − t4. Ahora bien, la velocidad promedio es dada por

16− 2

∫ 6

2|v(t)|dt


Basándonos en la fórmula para v(t)∫ 6

2|v(t)|dt =

∫ √30

2(30t2 − t4)dt +

∫ 6

√30(t4 − 30t2)dt

=

(10t3 − t5

5

) ∣∣∣∣√

30

2+

(t5

5− 10t3

) ∣∣∣∣6√30

= 120√

30− 3685− 3024

5+ 120

√30

= 240√

30− 33925

.

Finalmente, la velocidad promedio es

14

(240√

30− 33925

)= 60

√30− 848

5≈ 159.03 m/s .

Ejemplo 7.3.8. (Contaminación del ai-re). Según el instituto del medio ambientede Lima, el nivel de dióxido de nitrógenode un gas contaminante que perjudica larespiración, está presente en la atmósferalimeña en un determinado día de Junio.Esta cantidad se modela por

A(t) = 0.03t3(t− 7)4 + 62.7 0 ≤ t ≤ 7 .

donde A(t) se mide como el índice de contaminación estandar y t se mide enhoras con t = 0 correspondiendo a las 7 A.M. ¿Cuál es el nivel promedio dedióxido de nitrógeno presente en la atmósfera entre las 7 A.M y las 2 P.M deaquel día?

Solución. Sabemos que las 7 A.M corresponde a t = 0 y las 2 P.M corres-ponde a t = 7. Por lo tanto, el nivel promedio de dióxido de nitrógeno se calculamediante

NP =1

7− 0

∫ 7

0

[0.03t3(t− 7)4 + 62.7

]dt

=1

7− 0

[∫ 7

062.7dt + 0.03

∫ 7

0t3(t− 7)4dt

]


=1

7− 0

[∫ 7

062.7dt + 0.03

∫ 7

0(t7 − 28t6 + 294t5 − 1372t4 + 2401t3)dt

]

=1

7− 0

[62.7t + 0.00375t8 − 0.12t7 + 1.47t6 − 8.232t5 + 18.0075t4

]7

0

=17(1056.56)

≈ 150.9 índice de contaminación estandar.

Ejemplo 7.3.9. Hallar el valor promedio de f (x) = 4− x2 en [0, 3]. ¿Será queel valor promedio de f se da en algún punto de este intervalo?

Solución.

VP =1

3− 0

∫ 3

0(4− x2)dx

=13

[4x− x3

3

]3

0

= 1 .

El valor promedio de f (x) = 4− x2 sobre el intervalo [0, 3] es 1. La funciónasume este valor cuando 4− x2 = 1 o x = ±

√3. Desde que x =

√3 está en el

intervalo [0, 3], la función asume su valor promedio en el intervalo dado.

Ejemplo 7.3.10. ¿Cuál de las funciones f (x) = x sen2 x y g(x) = x2 sen2 xtiene mayor valor promedio sobre [0, 1] y sobre [1, 2]?

Solución. Las funciones f y g difieren sólo en la potencia de x que multiplicaa sen2 x. Notemos también que sen2 x ≥ 0 para todo x. Por otro lado, para cadax ∈ (0, 1) se tiene x > x2. Luego

f (x) = x sen2 x > x2 sen2 x = g(x)

y por el teorema 6.4.17, sobre [0, 1] la función f (x) tiene mayor valor promedioque g(x).

Por otra parte, para cada x ∈ (1, 2) se tiene x2 > x. Luego

g(x) = x2 sen2 x > x sen2 x = f (x)

y por el mismo teorema, sobre [1, 2] la función g(x) tiene mayor valor promedioque f (x).


TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES

No es pura coincidencia que la función en el ejemplo anterior toma su valorpromedio en algún punto del intervalo. Como sabemos, los valores máximo ymínimo de la función son tomados en puntos del intervalo. La declaración deque una función continua toma su valor promedio en algún punto del intervalose llama teorema del valor medio para integrales definidas.

Definición 7.3.2. (Teorema del valor medio para integrales). Sea f una funcióncontinua sobre [a, b]. Entonces en algún punto c ∈ [a, b]

f (c) =1

b− a

∫ b

af (x)dx

Ejemplo 7.3.11. Sea M el valor promedio de f (x) = x4 en [0, 3]. Hallar unvalor c ∈ [0, 3] tal que f (c) = M.

Solución. Se tiene

M =1

3− 0

∫ 3

0x4 dx =

13

∫ 3

0x4 dx =

115

x5∣∣∣∣30=

815

.

Entonces

M = f (c) = c4 =815

que implica c =3

51/4≈ 2.006221 .

Ejemplo 7.3.12. Sea M el valor promedio de f (x) = x3 en [0, A], donde A > 0.El teorema anterior garantiza que f (c) = M tiene una solución c ∈ [0, A]. Hallarel valor de c.

Solución. El teorema del valor medio para integrales garantiza que f (c) = Mtiene una solución c ∈ [0, A], donde f (x) = x3 está definida en [0, A].

M =1

A− 0

∫ A

0x3dx =

1A

14

x4∣∣∣∣A0=

A3

4.

Resolviendo

f (c) = c3 =A3

4,

conseguimos

c =A3√

4.


7.3.2. Variables Aleatorias

Terminamos esta sección haciendo algunas consideraciones de la integral de-finida en estadística. Aunque integrales son de gran utilidad en teoría de proba-bilidades, lo que se hace aquí no es mas que una ligera introducción de variablesaleatorias.

Hay variables importantes en estadísticaasumidas de una manera aleatoria. Porejemplo, una compañía de hardware pue-de predecir acerca de la duración del discoduro de una computadora. Sin embargo,la compañía no puede determinar de ma-nera precisa el tiempo de vida útil X deldisco duro de dicha computadora. Deci-mos que X es una variable aleatoria.

Similarmente, un palenteólogo puede estimar el rango de valores de las alturasde ciertos fósiles, pero no puede indicar con exactitud la altura del siguiente fósila ser hallado. Esta variable a ser hallada se denomina variable aleatoria.

La teoría de probabilidad es extensa e involucra el análisis de variables alea-torias. La estadística usa teoría de probabilidad para estimar e inferir acerca devariables aleatorias en base a datos observados. En esta subsección aprenderemosa calcular el valor promedio de una variable aleatoria.

Suponga que X es una variable aleatoria cuyos valores están en el intervaloI = [a, b]. Si [α, β] es un subintervalo de I, entonces escribimos P(α ≤ X ≤ β)

para denotar a la probabilidad que la variable aleatoria X toma en un valor delsubintervalo [α, β]. Se sabe que la probabilidad es un número que varía entre 0 y1. Por ejemplo, P(a ≤ X ≤ b) = 1 ya que X toma un valor en este rango.

Definición 7.3.3. (Función de densidad probabilística). Suponga que X es unavariable aleatoria que está en un intervalo I. Si existe una función no negativa ftal que

P(α ≤ X ≤ β) =

∫ β

α

f (x)dx

para todo subintervalo [α, β] de I, entonces decimos que f es una función dedensidad probabilística de X.


Ejemplo 7.3.13. En una aula numero-sa, las notas del examen de matemáticavarían entre 6 y 20. Sea X el puntaje de unestudiante seleccionado aleatoriamente, ysuponga que la función de densidad pro-babilística f para X es dada por

f (x) =−x2 + 26x− 120

200, 6 ≤ x ≤ 20

¿Cuál es la probabilidad de que la nota de un examen seleccionado aleatoriamen-te esté entre 14 y 18?

Solución. Usando la fórmula de la definición anterior obtenemos la probabi-lidad de una variable aleatoria X. Tomamos α = 14 y β = 18. Entonces

P(14 ≤ X ≤ 18) =∫ 18

14

−x2 + 26x− 120200

dx

=1

200

(−x3

3+ 13x2 − 120x

) ∣∣∣∣∣18

14

= 0.773 .

Sabemos que si f es una función de densidad probabilística de una variable

aleatoria X cuyos valores están en el intervalo I = [a, b], entonces∫ b

af (x)dx = 1.

La recíproca de este resultado también se cumple: si f es cualquier función conti-

nua no negativa, tal que∫ b

af (x)dx = 1, entonces existe una variable random X

que tiene por rango al intervalo I y por función de densidad probabilística a f .

Ejemplo 7.3.14. Suponga que g(x) = 3/2x3. Para qué número c se cumplef (x) = c · g(x) es una función de densidad probabilística cuyos valores están enel intervalo [1, 4].

Solución. Calculando∫ 4

1g(x)dx =

∫ 4

1

32x3

dx =

(−34x2

) ∣∣∣∣∣4

1

=4564

.

Por tanto, ∫ 4

1f (x)dx =

∫ 4

1c g(x)dx = c

∫ 4

1g(x)dx =

45c64

.


Concluímos que: para una función de densidad probabilística f de una varia-

ble aleatoria con rango [1, 4] es necesario y suficiente que∫ 4

1f (x)dx = 1; o sea,

45c/64 = 1 y c resulta 64/45. Luego

f (x) =(

6445

)(3

2x3

)=

3215x3

.

es una función de densidad probabilística en [1, 4].

Ejemplo 7.3.15. (Duración de hardwa-

re). Suponga que f (x) =1

10000e−x/10000

es la función de densidad probabilísti-ca del tiempo de duración X, medido enhoras, de un componente electrónico decomputadora. Verifiquemos que f es unafunción de densidad probabilística en elintevalo [0,+∞]; calculemos también laprobabilidad de que la componente falla

durante las primeras 5000 horas.Solución. Debido a que f es no negativa y satisface∫ +∞

0

110000

e−x/10000 dx =1

10000lı́m

N→+∞

∫ N

0e−x/10000 dx

=1

10000lı́m

N→+∞

(−10000 e−x/10000

∣∣∣∣N0

)= lı́m

N→+∞

(1− e−N/10000

)= 1 ,

concluímos que esta es una función de densidad probabilística. La probabili-dad de que la componente falle durante las primeras 4000 horas de uso es

P(0 ≤ X ≤ 4000) =∫ 4000

0

110000

e−x/10000 dx

= −e−x/10000∣∣∣∣4000

0

= 1− e−2/5 ≈ 0.329 .

Lord Barrera - Sección 7.4. Aplicaciones a la Economía 583

7.4. Aplicaciones a la Economía

En esta sección volveremos a estudiar las funciones de demanda, que son im-portantes en economía, administración y negocios. La cantidad de productos o deservicios que los consumidores adquieren, pueden ser considerados como fun-ción del precio que ellos tienen que pagar.

pasay.olx.com.ph

Recordemos que cuando las ecuaciones de la oferta q = O(p) y la demandaq = D(p) se grafican en el mismo plano cartesiano, su intersección (p∗, q∗) esllamado punto de equilibrio en el mercado. Este punto se caracteriza por el hechoque el precio de equilibrio de la oferta y la demanda son iguales. Si el precioestá por encima del valor del producto, la oferta debe crecer y la demanda debedecrecer, causando una oferta excesiva y obligando a que los productores bajensu precio. Similarmente, si el precio es inferior al valor del producto, entonceshabrá una escasez para vender el producto, seguido por un ajuste de precios en elmercado. Por tanto, el precio de equilibrio es el precio que el mercado determinapara que no haya escasez ni excesos de un producto en particular.


7.4.1. Capacidad de Consumo

El gasto de consumo es el producto entre el precio por unidad de un producto,por la cantidad adquirida. Si suponemos que la demanda se satisface, entonces lacantidad adquirida es la misma que la cantidad demandada. Este gasto se repre-senta gráficamente como el área del rectángulo bajo la curva de demanda.

Definición 7.4.1. Sea un produc-to en el mercado con función dedemanada D y precio unitario p.Si el precio en el mercado se fijaen p0, la cantidad demandada esq0 = D(p0). Entonces(

Gasto deconsumo

)= p0 · q0 G

asto

de

consu

mo

p q0,

0( (

p

q

D

Ejemplo 7.4.1. (Demanda de hams-ter). La demanda de una tienda para mas-cotas hamster puede ser modelada por

D(p) = 37(0.94)p

cientos de hamster, donde p es el precio enel mercado.

Cuando el precio de venta al por menores de 7.99 soles, la demanda es D(7.99) ≈22.6 cientos de hamster. Entonces el gastode consumo es (7.909)(22.6) ≈ 180.3 cien-tos de soles. G

asto

de

consu

mo

p q0,

0( (

10 20 30 40 50

p soles porhamster

q cientos de hamster

10

20

30

Cuando el consumidor demanda una cierta cantidad de productos: por ejem-plo, un producto que se vende a 200 soles


• Algunos consumidores podrían pagar 250 soles. Estos consumidores tienenla capacidad de pagar un extra de 50 soles por unidad en D(250) unidades.Esta disposición de gasto extra se representa en la región R2 de la figura.

q cantidad

p soles porunidad0 100 200 300 400

R1 R2 R3 R4 R5

(p0 , q0 (

D

• Además de que los consumidores pueden pagar 250 soles, ellos tambiénpueden pagar otro extra de 50 soles en D(300) unidades, representado porla región R3

• Además de que los consumidores pueden pagar 300 soles, ellos tambiénpueden pagar un extra máximo de 350 soles por unidad en D(350) unida-des, representado por la región R4.

• etc.

Sumando los gastos extras que los consumidores están dispuestos a pagarmás por el producto, obtenemos una aproximación a la disposición de gasto queel consumidor tiene para realizar por encima de los 200 soles.

Este proceso es el mismo que sumar las áreas de los rectángulos bajo la curva.Usando el límite de estas sumas, obtenemos el área bajo la curva de demanda quenos da la disposición para gastar en un producto por encima de los 200 soles.

Definición 7.4.2. Dada la función de demanda D, la cantidad de dinero que losconsumidores disponen gastar para una cantidad q0 de un producto, es dada por(

Disposición para consumiry capacidad para gastar

)= p0q0 +

∫ pmax

p0

D(p)dp

donde p0 es el precio en la cual q0 unidades son demandadas, y pmax es el preciosobre el cual el consumidor no compra ninguna unidad más del producto.


A medida que el precio aumenta, la curvade la demanda se aproxima al eje de absi-sas: si esta curva corta a dicho eje en pmax,éste es el precio sobre el cual el consumi-dor no consigue comprar más productos.Si la curva de demanda no corta a dichoeje, ésta se aproxima al eje horizontal y laintegral es impropia con límite +∞.

(p0 , q0 (

q cantidad

p soles porunidad

voluntadpara consumiry capacidad para gastar

D

Ejemplo 7.4.2. (Tickets de museo). Lademanda de tickets para un museo puedeser modelada por la función

D(p) = 0.05p2 − 2.4p + 20 cientos

donde p es el precio de cada ticket.

(i) ¿Cuál es el precio para el cual nin-gún ticket más es comprado? ro

mac

apodan

no.e

u

(ii) Cuando el precio de cada ticket es de 8 soles, ¿cuántos tickets se compran ycuánto gastarán los consumidores por estos tickets?

(iii) Cuando el precio de cada ticket es de 8 soles, ¿Cuál es la capacidad de com-pra que tiene el consumidor?

Solución. (i) La curva de demanda se interseca con el eje p precisamentecuando D(p) = 0, o sea que

0.05p2 − 2.4p + 20 = 0 ⇔ p = 10.7 o p = 37.3

Desde que el precio fijo es de p = 8, elegimos pmax = 10.7. Esto significa queningún ticket puede ser obtenido cuando el precio es mayor o igual a 10.7.

(ii) Cuando el precio del ticket es de 8 soles, el consumidor debe adquirirD(8) = 4 cientos tickets y entonces debe pagar

p0q0 = (8)(4) = 32 cientos de soles

(iii) Cuando el precio del ticket es de 8 soles, la voluntad y capacidad que elconsumidor tiene para gastar se calcula como

(8)(4) +∫ 10.7

8D(p)dp ≈ 32 + 5.5 = 37.5 cientos de soles


La curva de la demanda se muestraa la derecha. Interpretando el resul-tado podemos decir que al precio de8 soles, el consumidor tiene la volun-tad y capacidad de gastar 3, 750 solespara adquirir 400 tickets.

0 2 4 6 8 10.70

5

10

15

20

p soles porticket

q tickets

Ejemplo 7.4.3. Ya hemos visto que la demanda para mascotas hamster puedeser modelada por D(p) = 37(0.94p) cientos de hamster, donde p es el precio demercado. Para adquirir 22.6 cientos de hamster al precio de 7.99 soles, el consu-midor tiene una capacidad de gasto de

(7.99)(22.6) +∫ +∞

7.99D(p)dp ≈ 180.3 + 364.7 = 545 cientos de soles

7.4.2. Exceso de Consumo

La capacidad que un consumidor tiene para gastar se puede colocar en dospartes.

Gasto de consumo = p0q0

y

Exceso de consumo =

∫ q0

p0

D(p)dp

El exceso de consumo es la cantidad extra que el consumidor gasta voluntaria-mente desde que el precio en el mercado es fijo.

Definición 7.4.3. Sea un producto en elmercado con función de demanda D yprecio unitario p. Si el precio en el mer-cado se fija en p0 y el consumidor noadquiere más unidades sobre el preciopmax. Entonces(

Exceso deconsumo

)=∫ pmax

p0

D(p)dpp

q

p

q

0

0exceso de

consumo

D


Ejemplo 7.4.4. La demanda para las mascotas hamster es modelada por D(p) =37(0.94p) cientos de hamster, donde p es e precio de mercado. El exceso de con-sumo para adquirir 22.6 cientos de hamster al precio de 7.99 soles es∫ ∞

7.99D(p)dp = 364.7 cientos de soles

10

20

30

00 10 20 30 40 50 60 70 80

p soles por hamster

q cientos de hamster

exceso de consumo

(7.99, 22.6)

Ejemplo 7.4.5. (Demanda de autos).La demanda para un cierto modelo de au-to en el Perú se puede expresar como

D(p) = 14.12(0.933p)− 0.25 miles

donde el precio en el mercado es de p mi-les de dólares por auto. h

ark

.com

(i) Cuál es el precio por auto que el consumidor paga cuando se adquieren 2.5mil autos.

(ii) ¿Cuál es el gasto del consumidor cuando adquiere 2.5 mil autos?

(iii) De acuerdo al modelo, hallar el precio de cada auto sobre el cual el consu-midor ya no compra ningún auto.

(iv) ¿Cuál es el exceso de consumo al adquirirse 2.5 mil autos?

(v) ¿Cuál es la capacidad de compra que tiene el consumidor cuando se ad-quieren 2,500 autos?


(ii) El gasto de consumo es

p0q0 =

(23.59autos

)(2.5 mil autos)

≈ 59, 000

Esto significa que cuando se adquieren2,500 autos, el gasto de consumo es deaproximadamente 59 millones de dólares.

0 10 20 30 40 50 60 700

2

4

6

8

10

12

(23.59, 2.5)p miles

de dólares

q miles de autos

Solución. (i) Cuando el consumidor adquiere 2.5 (mil autos), D(p) = 2.5precisamente cuando p ≈ 23.59. O sea, el precio que el consumidor debe pagarcuando se adquieren 2,500 autos es de aproximadamente 23,600 dólares por auto.

(iii) La curva de demanda se corta con el eje p en el punto pmax = 58.17 (queresulta de resolver D(p) = 0). De acuerdo al modelo, por encima del precio apro-ximado de 58, 200 dólares, el consumidor no adquiere ningún auto.

(iv) El exceso de consumo se representagráficamente por la figura derecha y secalcula como∫ 58

23.59D(p)dp = 27.40

Las unidades para el exceso de consumoson las mismas que las unidades para elgasrto de consumo. 0 10 20 30 40 50 60 70

0

2

4

6

8

10

12

(23.59, 2.5)

(58.17, 0)

Entonces el exceso de consumo cuando se adquieren 2,500 autos es aproximada-mente de 27’400,000 dólares.

(v) La capacidad de compra que tiene el consumidor cuando se adquieren2,500 autos resulta de combinar las áreas vistas en los ítems (ii) y (iv). Sumandoestas dos cantidades resulta 86’400,000 dólares que es la capacidad que el consu-midor tiene para gastar en la adquisición de 2,500 autos.


7.4.3. Capacidad de Producción

El ingreso de producción es la cantidad total recaudada que resulta de venderun determinado producto a un precio dado.

Definición 7.4.4. Sea un producto confunción de oferta O y precio unitario p.Si el precio en el mercado se fija en p0,la cantidad ofertada es q0 = O(p0). En-tonces (

ingreso deproducción

)= p0 · q0 p

q

p0

q0

ingreso deproducción

O

Ejemplo 7.4.6. El modelo para la función de oferta mundial de la bebida

gasificada Coca Cola es

O(p) =

{0 si p < 0.05

8.6p si p ≥ 0.05

donde O se mide en miles de unidades yp es el precio unitario. La compañía Co-ca Cola oferta 1.548 miles de unidades pordía a un precio promedio de 18 centavospor unidad. El ingreso diario resulta apro-ximadamente 0.279 mil soles.

p soles

porbebida

q miles de bebidasO

0.1 0.20.05

0.05

1.548

1

0.1

8

2

A un precio dado pi, la diferencia entreq0 = O(p0) y O(pi), dada por la lineavertical de la figura derecha, representa lacantidad adicional que el productor es ca-paz de ofertar cuando el precio del merca-do es p0 en lugar de pi.

p

q

p0

q0

producción extra puedeofertarse en

O

pO

pi

pi


Por ejemplo, un productor debe ser capazde ofertar O(400)−O(350) unidades másal precio de 400 soles en lugar del preciode 350 soles. El dinero adicional que ingre-sa luego de ofertar estas cantidades extrasdebe ser entonces

(O(400)−O(350)).(400− 350)

p

q

p0

q0

O

pmín

p3

Rmín

R1

Rn-2

Rn-1

Rn

p1

p 3=

250

p 0=

400

Esta cantidad extra de dinero es representada por la región Rn.

Al precio de mercado de 400 soles por unidad

• Rn representa la cantidad adicional de dinero que el productor es capaz derecibir por ofertar O(p0) − O(350) unidades al precio unitario de p0 soles porunidad en lugar de 350 soles por unidad.• Rn−1 representa la cantidad adicional de dinero que el productor es capaz

de recibir por oferta O(p0)−O(300) unidades al precio de 350 soles por unidaden lugar de 300 soles por unidad.• Rn−2 representa la cantidad adicional de dinero que el productor es capaz

de recibir por oferta O(p0)−O(250) unidades al precio de 300 soles por unidaden lugar de 250 soles por unidad.• Rmín representa la cantidad mínima de dinero obtenido luego de ofertar

q0 = O(p0) unidades al precio de pmín soles por unidad.

En general, Ri ( con área = [O(p0)−O(pi)] · ∆p ) representa la cantidad adi-cional de dinero que el productor obtiene luego de ofertar en el mercado O(p0)−O(pi) unidades al precio de pi+1 en lugar de pi.

Podemos usar el límite de la suma de lasáreas de estos rectángulos. El área del rec-tángulo RO junto con el área de la regióndebajo de la recta q = q0 y encima de lacurva de oferta desde pmín hasta p0 es lacapacidad que se tiene para obtener ingre-sos económicos adicionales.

p

q

p0

q0

O

pmín p

3

R1

Rn-2

Rn-1

Rn

p1

i-ésimo rectángulo dealtura O(p0 ( O(pi (-=

RO


Definición 7.4.5. Dada la función de oferta O, la cantidad de dinero que los pro-ductores son capaces de obtener al ofertar la cantidad q0 de un producto es dadapor (

Capacidad de produccióny capacidad de ingresos

)= pmín q0 +

∫ p0

pmín

[q0 −O(p)

]dp

donde p0 es el precio de mercado en la cual q0 unidades son ofertadas, y pmín esel precio mínimo. Si no hay precio mínimo, pmín = 0.

Ejemplo 7.4.7. (Establecimientos devacas lecheras). La función de oferta paraleche de los grandes establecimientos devacas lecheras puede ser modelada por

O(p) =

{0 si 0 ≤ p < 0.74

448p1.83 si p ≥ 0.74

donde la salida se mide en miles de litros wn.com

y p es el precio del mercado en soles por galón. Entonces la capacidad de produc-ción cuando el precio del mercado es de S/2.50 por litro se calcula como

pmín q0 +

∫ q0

pmín

[q0 −O(p)

]dp = 0.74 ·O(2.50) +

∫ 2.50

0.74

[O(2.50)−O(p)

]dp

≈ 3941

Esto significa que un productor de le-che en su establecimiento de vacas le-cheras es capaz de generar un mínimode 3.94 miles de soles por ofertar unaproximado de 2.4 miles de litros de le-che al precio de 2.50 soles por litro.

1 2 2.5

0.7

400

1000

2000

2396q miles de litros

p soles por litro

disposición para produciry capacidad paraproducir


7.4.4. Exceso de Producción

El dinero que los productores reciben en exceso sobre la cantidad mínima querequieren al vender una determinada mercancía, es conocida como el exceso deproducción. El exceso de producción se calcula como el ingreso producido menosla capacidad de producción:(

Exceso deproducción

)=

(Ingreso

producido

)−(

Capacidad deproducción

)= p0q0 −

(pmín q0 +

∫ p0

pmín

[q0 −O(p)

]dp

)

=

∫ q0

pmín

O(p)dp

El exceso de producción se represen-ta gráficamente como la región entre lacurva de oferta y el eje de precios.

pmín p0

q0Oq cantidad

q es elprecioporunidad

Capacidad para produciry generar ingresos



Definición 7.4.6. Sea un producto en el mercado con función de oferta O y preciounitario p. Si el precio en el mercado se fija en p0 y el precio mínimo del productoes pmín. Entonces (


)=∫ p0

pmín

O(p)dp

Ejemplo 7.4.8. La oferta para una determinada marca de teléfono celular pue-de ser modelada como

O(p) =

{0 si p < 15

0.047p2 + 9.38p + 150 si p ≥ 15

donde la salida se mide en cantidad de teléfonos y p es el precio de mercado endólares, por teléfono.

(i) ¿Cuántos teléfonos celulares se deben ofertar al precio de mercado de 45.95dólares?

(ii) ¿Cuál es la cantidad mínima que los empresarios son capaces de producirpara que la cantidad de teléfonos celulares corresponda al precio de merca-do de 45.95?

(iii) ¿Cuál es el ingreso de producción cuando el precio de mercado es de 45.95?

(iv) ¿Cuál es el exceso de producción cuando el precio de mercado es de 45.95?

Solución. (i) Cuando el precio de mercado es de 45.95 se debe ofertar la can-tidad de O(45.95) ≈ 680 celulares.

(ii) La cantidad mínima que los empresarios son capaces de producir al preciode mercado de 45.95 dólares es

(15)(680.247) +∫ 45.95

15

[680.247−O(p)

]dp ≈ 16, 300.53 dólares

(iii) Cuando el precio de mercado es de 45.95, el ingreso de producción es

(Cantidad ofertada en 45.95) · (45.95 por teléfono) ≈ (680.247) · (45.95)

≈ 31, 257.35

(iv) Cuando el precio de mercado es de 45.95, el exceso de producción es∫ 45.95

15O(p)dp ≈ 14, 956.82


7.4.5. Equilibrio y Beneficio Social

El precio y la cantidad (p∗, q∗) en el cual la cantidad ofertada se iguala a lacantidad demandada se llama punto de equilibrio. Al precio de equilibrio p∗,la cantidad demandada por consumidor coincide con la cantidad ofertada porproductor. Esta cantidad es q∗.

La sociedad se beneficia cuando el consumidor y/o productor tienen excesode reservas. Cuando el precio de mercado de un productor es el precio de equi-librio para el producto, el beneficio total en la sociedad es el exceso de consumomás el exceso de producción. Esta cantidad se conoce como el beneficio socialtotal.

Cuando q∗ unidades son producidas yvendidas al precio de mercado p∗, elbeneficio social total se representa porla región sombreada. El valor pmín es elprecio mínimo con que se vende el pro-ducto y pmax es el precio sobre el cualno se produce más.

p

q0O

q cantidad

D

*

q*

pO

p precio porunidad

beneficiosocial

Definición 7.4.7. El beneficio social total se define como(Beneficio

social total

)=

(Exceso de

producción

)+

(Exceso deconsumo

)=∫ p∗

pmín

O(p)dp +∫ pmáx

p∗D(p)dp

Ejemplo 7.4.9. (Equilibrio en el mercado para la gasolina). Las funciones dedemanda y oferta diaria para la gasolina en el Perú, puede ser modelada por

D(p) =

−9.6p + 449.6 si 0 < p ≤ 1.5

−7.31p5 + 103.5p4 − 546p3

+1311p2 − 1463p + 1055 si 1.5 < p ≤ 3.91

808.93e−0.301p si 3.91 < p


y

O(p) =

{0 si p < 0.799

95p + 100 si p ≥ 0.799

donde la oferta y la demanda se miden en millones de galones y p es el precio demercado en soles por galón.

(i) Localizar el punto de equilibrio para la gasolina.

(ii) Calcular el beneficio social total cuando la gasolina se vende al precio deequilibrio.

Solución. Las gráficas de las curvas deoferta y demanda se muestran en la figuraderecha:

0 105

750

500

O

D

250

(i) La curva de la demanda D interseca a la curva de la oferta O cuando

−7.31p5 + 103.5p4 − 546p3 + 1311p2 − 1463p + 1055 = 95p + 100

De esto se deduce quep∗ ≈ 2.75 por galon

Así que, al precio de 2.75 soles por galón, se comprarán 361.34 millones de galonesde gasolina.

(ii) El beneficio social total en el equilibrio de mercado es el área de la regiónsombreada en la figura abajo

0 105

750

500

exceso deproducción

excesode consumo

equilibrio demercado

O

D

p*

q*

pO


El precio de cierre es de pO = 0.799. La curva de la demanda indica que nohay precio sobre el cual los consumidores dejan de adquierir más productos. Asíque pmax → +∞.

El beneficio social total es la suma del exceso producido junto con el excesoconsumido, en el precio de equilibrio p∗ ≈ 3.17.

El exceso producido es dado por∫ 2.75

0.799(95p + 100)dp ≈ 523.995.

Usando la curva de la demanda, el exceso de consumo es dado por∫ 3.91

2.75D(p)dp + lı́m

pmax→+∞

∫ pmax

3.91D(p)dp ≈ 344.1 + 828.4 = 1172.4

indicando que en el precio de equilibrio de 2.75 por galón, el beneficio social totales aproximadamente 1.172 millones de soles.

Ejemplo 7.4.10. (Aceite de oliva). Suponga que la función de demanda parael aceite de oliva es dada por

D(p) = 5p2 − 190p + 1, 805

y la función de oferta O es dada por

O(p) = 20p2 − 160p + 320

donde la oferta y la demanda se miden en litros y p es el precio en soles por litro.

(i) Localizar el punto de equilibrio para el aceite.

(ii) Calcular el beneficio social total cuando el aceite se vende al precio de equi-librio.

Solución. Primero debemos mencionar que conseguimos el precio pmin paraO(p) = 0 y el precio máximo pmax = 19 cuando D(p) = 0. Notemos también quela función de demanda es estrictamente decreciente ya que

D′(p) = 10p− 190 < 0 para p < 19

y la función de oferta es estrictamente creciente desde que

O′(p) = 40p− 160 > 0 para p > 4

El precio de equilibrio p∗ en el mercado se obtiene haciendo D(p∗) = O(p∗):

5(p∗)2 − 190p∗ + 1, 805 = 20(p∗)2 − 160p∗ + 320


el cual implica5(p∗)2 + 30p∗ + 1, 485 = 0

que equivale a(p∗)2 + 2p∗ − 99 = 0

De la ecuación anterior conseguimos las raíces

p∗1 = −1 +√

1 + 99 = 9 y p∗2 = −1−√

1 + 99 = −11

Desde que la segunda raíz es negativa, el precio de equilibrio es p∗ = p∗1 = 9. Deaquí, el exceso de consumo es

EC =

∫ 19

9D(p)dp =

∫ 19

9(5p2 − 190p + 1, 805)dp

=

(5 ·

p3

3− 190 ·

p2

2+ 1, 805p

) ∣∣∣∣19

9=

(53· p3 − 95p2 + 1, 805p

) ∣∣∣∣19

9

=

(34, 295

3− 34, 295 + 34, 295

)− (1, 215− 7, 695 + 16, 245)

= 1, 666.67

También, el exceso de producción se obtiene como

EP =

∫ 9

4O(p)dp =

∫ 9

4(20p2 − 160p + 320)dp

=

(20 ·

p3

3− 160 ·

p2

2+ 320p

) ∣∣∣∣94=

(203· p3 − 80p2 + 320p

) ∣∣∣∣94

= (4, 860− 6, 480 + 2, 880)−(

1, 2803− 1, 280 + 1, 280

)= 833.33

Finalmente, el beneficio social es

BS = EP + EC = 833.33 + 1, 666.67 = 2, 500 soles

Lord Barrera - Sección 7.5. Integración Numérica 599

7.5. Integración Numérica

La tabla abajo nos muestra el consumo diario de petróleo en el Perú en millo-nes de barriles, en intervalos de dos años, desde el año 2000 hasta el año 2012.

Año 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012

Consumo 15.4 15.8 16.2 16.7 17.2 17.1 18.6

Supongamos que queremos determinar el promedio diario de consumo depetróleo sobre el periodo mencionado. Sabemos que este promedio se calcula me-diante

112

∫ 12

0f (t)dt

donde f (t) es el consumo de petróleo en el año t, con t = 0 correspondiendo alaño 2000. El problema aquí es que no tenemos la función explícita f (t) definida enel intervalo [0, 12] como para integrarla, tan solo contamos con valores discretosen este intervalo. Es obvio que la regla de Barrow no puede ser usada para evaluaresta integral, pues, no conocemos la antiderivada de f (t).

Otras situaciones donde también nos resulta imposible aplicar la regla de Ba-rrow es cuando queremos evaluar las integrales∫ 1

0e−x2

dx o∫ 2

0

√x sen x dx

Aquí no conocemos las antiderivadas de e−x2o de

√x sen x.

Si bien no podemos conocer las integrales de las funciones mencionadas arri-ba, lo que sí podemos, es investigar algunos métodos que nos permitan aproxi-marnos a estas integrales.

En esta sección nos ocuparemos de establecer algunos métodos que nos per-mitan aproximar las integrales mencionadas. Entre estos métodos, los que másdestacan son la regla del punto medio, la regla del trapecio y la regla de Simpson.Ninguno de estos métodos reemplaza la rutina de calcular integrales utilizandosu calculadora o su computadora; sin embargo, a partir de la exploración de ellos,usted tendrá una mejor comprensión de las ideas algorítmicas para aproximarsea una integral definida.

Comencemos revisando las sumas de Riemman:


7.5.1. Una Revisión de Sumas de Riemann

Recordemos de la sección 6.3 que la integral definida de una función continuaf sobre el intervalo [a, b] puede ser calculada como∫ b

af (x)dx := lı́m

n→+∞

n

∑i=1

f (x∗i )∆x .

donde la suma que aparece en el límite del lado derecho se llama suma de Rie-mann. En esta fórmula, ∆x es el ancho de cada subintervalo en la partición regular

a = x0 < x1 < . . . < xi < . . . < xn−1 < xn = b

del intervalo [a, b] y x∗i es un punto arbitrario en el i-ésimo subintervalo [xi−1, xi].Desde que

∆x =b− a

nentonces cuando n se hace cada vez más grande, la suma de Riemann resulta unabuena aproximación para la integral definida. Denotamos esto escribiendo∫ b

af (x)dx ≈

n

∑i=1

f (x∗i )(

b− an

)=

(b− a

n

) n

∑i=1

f (x∗i )

que es precisamente la suma de las áreas de los rectángulos sombreados:

f (x (ixi ,( (

a = x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 b

f ( (


x

y

x

* *

xi*

xi*

xn =

Para cada 0 ≤ i ≤ n, el i-ésimo punto de la partición es

xi = a + i(

b− an

)


Esto nos permite elegir a x∗i de tres maneras particulares: el extremo izquier-do, el extremo derecho y el punto medio.

REGLA DEL EXTREMO IZQUIERDO

Vamos a aproximarnos a la integral mediante los extremos izquierdos

(Aproximaciones mediante el extremo izquierdo). Para aproximarnos por la re-gla del extremo izquierdo,

x∗i = xi−1 = a + (i− 1)(

b− an

)1 ≤ i ≤ n

Además ∫ b

af (x)dx ≈

(b− a

n

) n

∑i=1

f[

a + (i− 1)(

b− an

)]

Gráficamente, esta aproximación resulta de sumar las áreas de los rectánguloscomo se ve en la figura abajo:

a = x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1

f


x

y

x

xn =b

f (x (ixi,( (* *

xi*=

(x (i*

Ejemplo 7.5.1. Aproximar la integral∫ 2

0x2 dx mediante la regla del extremo

izquierdo.Solución. Para este caso tenemos a = 0, b = 2 y f (x) = x2. Luego

x∗i = 0 + (i− 1)(

2− 0n

)= (i− 1)

(2n

)Luego ∫ 2

0x2 dx ≈

(2n

) n

∑i=1

f[(i− 1)

(2n

)]=

(2n

) n

∑i=1

[(i− 1)

(2n

)]2


REGLA DEL EXTREMO DERECHO

Vamos a aproximarnos a la integral mediante los extremos derechos

(Aproximaciones mediante el extremo derecho). Para aproximarnos por la regladel extremo derecho,

x∗i = xi = a + i(

b− an

)1 ≤ i ≤ n

Además ∫ b

af (x)dx ≈

(b− a

n

) n

∑i=1

f[

a + i(

b− an

)]




x

y

x

f (x (ixi,( (* *

= xi* xn =b

f (x (i*



derecho.Solución. Para este caso tenemos a = 0, b = 2 y f (x) = x2. Luego

x∗i = 0 + i(

2− 0n

)= i

(2n

)Luego ∫ 2

0x2 dx ≈

(2n

) n

∑i=1

f[

i(

2n

)]=

(2n

) n

∑i=1

[i(

2n

)]2


REGLA DEL PUNTO MEDIO

Vamos a aproximarnos a la integral mediante los puntos medios

(Aproximaciones mediante el punto medio). Para aproximarnos por la regla delpunto medio,

x∗i =12[xi−1 + xi] = a + (2i− 1)

(b− a

2n

)1 ≤ i ≤ n

Además ∫ b

af (x)dx ≈

(b− a

n

) n

∑i=1

f[

a + (2i− 1)(

b− a2n

)]


f (x (ixi,( (

a = x0 x1 x2 xi-1 xi


x

y

x

* *

xi* xn-1 xn =b

f (x (i*



derecho.Solución. Para este caso tenemos a = 0, b = 2 y f (x) = x2. Luego

x∗i = 0 + (2i− 1)(

2− 02n

)= (2i− 1)

(1n

)Luego

∫ 2

0x2 dx ≈

(2n

) n

∑i=1

f[(2i− 1)

(1n

)]=

(2n

) n

∑i=1

[(2i− 1)

(1n

)]2


7.5.2. La Regla del Trapezoide

La regla del trapezoide usa la suma de las áreas de trapezoides para aproxi-

mar la integral definida∫ b

af (x)dx. Para deducir esta regla supondremos que f es

continua y no negativa sobre [a, b]. Comenzamos subdividiendo el intervalo [a, b]en n subintervalos, cada uno de longitud ∆x = (b− a)/n. Suponiendo que f es

no negativa, la integral definida∫ b

af (x)dx es precisamente el área de la región R

bajo la gráfica de f sobre el intervalo [a, b] (ver figura abajo).


y = f (x (

x

y

xn =b

R1 R2 Ri Rn

El área de la región R es dada por la suma de las áreas de las subregionesR1, R2, . . . , Rn, donde R1 es el área de la región bajo la gráfica de f en [x0, x1], R2

es el área de la región bajo la gráfica de f en [x1, x2], . . ., y Rn es el área de la regiónbajo la gráfica de f en [xn−1, xn].

El argumento en la regla del trapezoide está en la aproximación de cada unade las subregiones R1, R2, . . . , Rn, mediante un trapezoide.

Por ejemplo, consideremos la subregiónR1 de la figura derecha. Note que el áreade R1 puede ser aproximada por el áreadel trapezoide con ancho ∆x = x1 − x0 yde lados paralelos con longitudes f (x0) yf (x1). El área de este trapezoide es[

f (x0) + f (x1)

2

]∆x

x

x0

x1

( (f

(f (

y

x0 x1 x2 xi-1 xi


Similarmente, el área de la subregión R2 puede ser aproximada por el área deltrapezoide con ancho ∆x y lados de longitudes f (x1) y f (x2) :[

f (x1) + f (x2)

2

]∆x

Finalmente, el área de la subregión Rn es aproximada por[f (xn−1) + f (xn)

2

]∆x

Por tanto, el área de la región R es aproximada por la suma de las áreas de los ntrapezoides:∫ b

af (x)dx ≈ ∆x

[f (x0) + f (x1)

2+

f (x1) + f (x2)

2+ . . . +

f (xn−1) + f (xn)

2

]=

∆x2[ f (x0) + 2 f (x1) + 2 f (x2) + . . . + 2 f (xn−1) + f (xn)]

donde ∆x = (b− a)/n.

(Regla del trapezoide).∫ b

af (x)dx ≈ ∆x

2[ f (x0) + 2 f (x1) + 2 f (x2) + . . . + 2 f (xn−1) + f (xn)]

donde ∆x = (b− a)/n y xi = a + i∆x, para 0 ≤ i ≤ n.

Ejemplo 7.5.4. Use la regla del trapezoide con n = 6 para aproximar la inte-gral ∫ π/2

0

√sen x dx .

Solución. Sea f (x) =√

sen x. Dividimos [0, π/2] en 6 subintervalos con an-cho

∆x =

π

2− 0

6=

π

12

Los puntos extremos son: 0,π

12,

2π

12,

3π

12,

4π

12,

5π

12,

6π

12=

π

2. Por tanto,∫ π/2

0

√sen x dx =

12

( π

12

) [√sen(0) + 2

√sen(π/12) + . . . +

√sen(6π/12)

]≈ 1.17029 .


EL ERROR EN LA REGLA DEL TRAPEZOIDE

El error en la aproximación de I =∫ b

af (x)dx mediante la regla del trapezoi-

de es definido por En = |I − Tn|, donde

Tn =∆x2[ f (x0) + 2 f (x1) + 2 f (x2) + . . . + 2 f (xn−1) + f (xn)]

Ejemplo 7.5.5. Calcule el error Tn para∫ π

0sen x dx donde n = 4, 8, 16, 32, 64.

Solución. El valor exacto de la integral es∫ π

0sen x dx = − cos x

∣∣∣∣π0= −(−1)− (−1) = 2 .

Para calcular T4 hacemos ∆x = (π − 0)/4 = π/4, siendo los puntos extremos0, π/4, 2π/4, 3π/4, π. Con estos datos conseguimos

T4 =π

8

[sen(0) + 2 sen

(π

4

)+ 2 sen

(2π

4

)+ 2 sen

(3π

4

)+ sen(π)

]≈ 1.896119

Los valores para T8, T16, T32 y T64 se calculan similarmente:

T8 =π

16

[sen(0) + 2 sen

(π

8

)+ . . . + 2 sen

(7π

8

)+ sen(π)

]≈ 1.974232

T16 =π

32

[sen(0) + 2 sen

( π

16

)+ . . . + 2 sen

(15π

16

)+ sen(π)

]≈ 1.993570

T32 =π

64

[sen(0) + 2 sen

( π

32

)+ . . . + 2 sen

(31π

32

)+ sen(π)

]≈ 1.998393

T64 =π

128

[sen(0) + 2 sen

( π

64

)+ . . . + 2 sen

(63π

64

)+ sen(π)

]≈ 1.999598

y calculando los errores para cada n:

E4 = |2− 1.896119| = 0.103881

E8 = |2− 1.974232| = 0.025768

E16 = |2− 1.993570| = 0.006430

E32 = |2− 1.998393| = 0.001607

E64 = |2− 1.999598| = 0.000402

A continuación calculemos la cota para el error:


(Cota del error para la regla del trapezoide). Si f ′′ es continua en [a, b], entonces

el error En en aproximar∫ b

af (x)dx mediante la regla del trapezoide, satisface

|En| ≤M(b− a)3

12n2

donde M es un número positivo tal que | f ′′(x)| ≤ M para todo x ∈ [a, b].

Ejemplo 7.5.6. Calcular T6 para la integral∫ 2

0x3 dx.

(i) ¿Es T6 demasiado grande o demasiado pequeño?

(ii) Muestre que M = | f ′′(2)| puede ser usado en la cota del error. Halle la cotapara este error.

(iii) Evaluar I y verificar que el error es menor que la cota calculada en (ii).

Solución. Sea f (x) = x3. Dividimos [0, 2] en 6 subintervalos de longitud

∆x =2− 0

6=

13

y puntos extremos 0,13

,23

, . . . , 2. Con estos datos conse-guimos

T6 =16

[03 + 2

(13

)3

+ 2(

23

)3

+ 2(

33

)3

+ 2(

43

)3

+ 2(

53

)3

+ (1)23

]≈ 4.11111

(i) Desde que x3 es cóncava hacia arriba en [0, 2], entonces T6 es demasiadogrande.

(ii) Tenemos que f ′(x) = 3x2 y f ′′(x) = 6x. Desde que | f ′′(x)| = |6x| escreciente en [0, 2], su máximo valor ocurre en x = 2 y podemos tomar M =

| f ′′(2)| = 12. Entonces

|E6| ≤M(b− a)3

12n2=

12(2− 0)3

12(6)2=

29= 0.22222

(iii) El valor exacto es∫ 2

0x3 dx =

14

x4∣∣∣∣20=

14(16− 0) = 4 .

Podemos usar este valor para calcular este error:

E6 = |T6 − 4| ≈ |4.11111− 4| = 0.11111

Desde que 0.11111 < 0.22222, entonces el error es menor que el máximo errorposible.


7.5.3. La Regla de Simpson

La aproximación de∫ b

af (x)dx mediante la regla del trapezoide, resulta de

aproximarnos a la gráfica de f mediante segmentos rectas a través de pares con-secutivos de puntos en la gráfica. Intuitivamente, esperaríamos una mejor apro-ximación si nos aproximamos mediante curvas, es decir, nos aproximaremos a lagráfica de f por segmentos de parábolas. Esta es la idea de la regla de Simpson.

Sea f una función continua y no negativa sobre [a, b]. Suponga que el intervalo[a, b] se subdivide en n subintervalos de igual longitud cuyos puntos extremosson a = x0, x1, . . . , xn−1, xn = b, donde n es un entero positivo; por tanto, lalongitud de cada subintervalo resulta ∆x = (b− a)/n (ver figura abajo).


y = f (x (

x

y

xn =b

R1 R2 Ri Rn

El área de la región bajo la curva es la suma de las áreas de las subregionesR1, R2, . . . , Rn, donde R1 es el área de la región bajo la gráfica de f en [x0, x1], R2 esel área de la región bajo la gráfica de f en [x1, x2], . . ., y Rn es el área de la regiónbajo la gráfica de f en [xn−1, xn]. Mediante la regla de Simpson nos aproximare-mos a cada área de las subregiones R1, R2, . . . , Rn, a través de parábolas.

Mostremos que el área de la región bajo laparábola y = ax2 + bx + c en [−h, h] es

A =h3(y0 + 4y1 + y2) (7.5.13)

donde y0, y1 e y2 son las ordenadas de lospuntos que pertenecen a la parábola conabscisas −h, 0 y h, respectivamente. -h

x

y

h

-h,y0( (

h,y2( (

,y1( (0

y = ax2+bx+c

0


El área bajo la parábola y = ax2 + bx + c en [−h, h] es

A =

∫ h

−h(ax2 + bx + c)dx =

[a3

x3 +b2

x2 + cx]h

−h

=2ah3

3+ 2ch =

h3(2ah2 + 6c)

Desde que la parábola pasa a través de los tres puntos (−h, y0), (0, y1) y(h, y2), la ecuación y = ax2 + bx + c debe satisfacer cada uno de estos puntos.Esto nos conduce al siguiente sistema de ecuaciones

ah2 − bh + c = y0

c = y1

ah2 + bh + c = y2

de donde obtenemos

c = y1

ah2 − bh = y0 − y1

ah2 + bh = y2 − y1

Sumando las dos últimas ecuaciones conseguimos

2ah2 = y0 − 2y1 + y2

Estas expresiones para 2ah2 y c son suficientes para expresar a A en términos dey0, y1 e y2 como sigue:

A =h3(2ah2 + 6c) =

h3(y0 − 2y1 + y2 + 6y1) =

h3(y0 + 4y1 + y2)

A continuación deduciremos la regla de Simpson para aproximar∫ b

af (x)dx. Para

esto dividimos el intervalo [a, b] en unnúmero par de subintervalos con ancho∆x = (b− a)/n. Cuando aproximamos elárea bajo la región de la gráfica de f en[x0, x2] mediante el área de la región bajola parábola pasando a través de los pun-tos (x0, f (x0)), (x1, f (x1)) y (x2, f (x2)) en[x0, x2] (ver figura derecha) y usamos x

y

0

x2 x2f ( (,( (

x0 x0f ( (,( (

x1 x1f ( (,( (

x0 x1 x2

Parábola


la ecuación (7.5.13) con h = ∆x, y0 = f (x0), y1 = f (x1) e y2 = f (x2), obte-niendo ∫ x2

x0

f (x)dx ≈ ∆x3[ f (x0) + 4 f (x1) + f (x2)]

De manera similar podemos aproximar el área de la región bajo la gráfica de f en[x2, x4] mediante el área de la región bajo la parábola pasando a través de los trespuntos (x2, f (x2)), (x3, f (x3)) y (x4, f (x4)), obteniendo:∫ x4

x2

f (x)dx ≈ ∆x3[ f (x2) + 4 f (x3) + f (x4)]

Continuando, nos aproximamos al área de la región bajo la gráfica de f en [a, b]usando la suma de las áreas de las regiones bajo n/2 parábolas. Por tanto,∫ b

af (x)dx =

∫ x2

x0

f (x)dx +

∫ x4

x2

f (x)dx + . . . +∫ xn

xn−2

f (x)dx

≈ ∆x3[ f (x0) + 4 f (x1) + f (x2)] +

∆x3[ f (x2) + 4 f (x3) + f (x4)] + . . .

+∆x3[ f (xn−2) + 4 f (xn−1) + f (xn)]

=∆x3[ f (x0) + 4 f (x1) + 2 f (x2) + 4 f (x3) + . . .

+ 2 f (xn−2) + 4 f (xn−1) + f (xn)]

En conclusión tenemos el siguiente resultado:

(Regla de Simpson).∫ b

af (x)dx ≈ ∆x

3[ f (x0) + 4 f (x1) + 2 f (x2) + 4 f (x3) + . . .

+ 2 f (xn−2) + 4 f (xn−1) + f (xn)]

(7.5.14)

donde ∆x = (b− a)/n, y n es par.

La regla de Simpson se debe en honor al matemático ingles Thomas Simpson(1710 - 1761).

EL ERROR EN LA REGLA DE SIMPSON

El error en la aproximación de I =∫ b

af (x)dx mediante la regla de Simpson


es definido por En = |I − Sn|, donde

Sn =∆x3[ f (x0) + 4 f (x1) + 2 f (x2) + 4 f (x3) + . . .

+ 2 f (xn−2) + 4 f (xn−1) + f (xn)]

Ejemplo 7.5.7. Calcule S8 para la integral∫ 5

1ln x dx.

Solución. Sea f (x) = ln x. Ahora dividimos el intervalo [1, 5] en 8 subinter-valos de longitud ∆x = (5− 1)/8 = 0.5, con puntos extremos 1, 1.5, 2, . . . , 5. Apartir de estos datos conseguimos

S8 =13· 1

2[ln 1 + 4 ln 1.5 + 2 ln 2 + . . . + 4 ln 4.5 + ln 5] ≈ 4.046655

A continuación calculemos la cota para el error:

(Cota del error para la regla de Simpson). Si f (4 ) es continua en [a, b], entonces el

error En en aproximar∫ b

af (x)dx mediante la regla de Simpson, satisface

|En| ≤M(b− a)5

180n4

donde M es un número positivo tal que | f (4 )(x)| ≤ M para todo x ∈ [a, b].

Ejemplo 7.5.8. Con respecto a la integral∫ 5

1ln x dx, hallar el valor de n tal

que Sn tiene como error máximo 10−6.Solución. Para hallar el máximo error posible, primero usemos las derivadas

f ′(x) =1x

, f ′′(x) = − 1x2

, f (3)(x) =2x3

, f (4)(x) = − 6x4

.

Desde que | f (4)| = | − 6x−4| = 6x−4 es decreciente en el intervalo [1, 5], éstafunción toma su valor máximo en el punto x = 1. Entonces podemos considerarM = 6(1)−4 = 6. Luego conseguimos

|E8| ≤M(5− 1)5

180n4=

(6)(45)

(180)(84)≈ 0.0083333

Para garantizar que Sn tiene como máximo error a 10−6, debemos hallar n tal que

(6)(45)

(180)(n4)≤ 1

106.


De esto se sigue que

n4 ≥(6)(45)(106)

180⇒ n ≥

((6)(45)(106)

180

)1/4

≈ 76.435

Así que n = 78 (recuerde que n tiene que ser par).

Ejemplo 7.5.9. (Consumo de petróleoen el Perú). La tabla abajo indica el con-sumo diario de petróleo en el Perú, en mi-llones de barriles, medido en intervalos dedos años, desde el año 2000 hasta el 2012.Use la regla de Simpson para estimar elconsumo diario promedio de petróleo so-bre el periodo mencionado.

Año 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012

Consumo 15.4 15.8 16.2 16.7 17.2 17.1 18.6

Solución. El consumo diario promedio desde el 2000 hasta el 2012 es dadopor

112

∫ 12

0f (t)dt

donde t se mide en años, con t = 0 correspondiendo al año 2000. Ahora usemosla regla de Simpson con a = 0, b = 12 y n = 6; así que ∆t = (12− 0)/6 = 2 ylos puntos extremos son t0 = 0, t1 = 2, t2 = 4, . . ., t6 = 12. Por tanto,

112

∫ 12

0f (t)dt =

(1

12

)·(

23

) [f (0) + 4 f (2) + 2 f (4) + . . . + 4 f (10) + f (12)

]=

118

[15.4 + 4(15.8) + 2(16.2) + 4(16.7) + 2(17.2) + 4(17.1) + 18.6

]≈ 16.6

De esto concluímos que el consumo diario promedio de petróleo, en el Perú,desde el año 2000 hasta el 2012 es aproximadamente 16.6 barriles por día.



SECCIÓN 7.1Ejercicio 7.1. En cada caso, hallar el área entre el eje x y la gráfica de la funciónsobre el intervalo dado

(i) y = sen x, [0, π].

(ii) y = e2x, [0, 1].

(iii) y = 4x− x3, [0, 2].

(iv) y =√

9− x2, [−3, 3].

Ejercicio 7.2. En cada caso, halle el área de la región sombreada

x = y3

x = y2

x

y

( (1

1

1,1

1

1

-1

-2

y = x42-

y

y = x2

x

x

y

x = y212 - y312

x = y22 - y2

1

10

0

0

(i) (ii) (iii)

Ejercicio 7.3. En cada caso, halle el área de la región encerrada por las curvas.

(i) y = x2 − 2 e y = 2.

(ii) y = 7− 2x2 e y = x2 + 4.

(iii) y = |x2 − 4| e y = (x2/2) + 4.

(iv) y2 − 4x = 4 y 4x− y = 16.

Ejercicio 7.4. Halle el área de la región del primer cuadrante limitada por la rectay = x, la recta x = 2, la curva y = 1/x2, y el eje x.

Ejercicio 7.5. Halle el área de la región del primer cuadrante limitada a la izquier-da por el eje de ordenadas y a la derecha por las curvas y = sen x e y = cos x.

Ejercicio 7.6. Halle el área de la región del primer cuadrante limitada a la iz-quierda por el eje de ordenadas, inferiormente por la recta y = x/4, en la partesuperior izquierda por la curva y = 1 +

√x y en la parte superior derecha por la

curva y = 2/√

x.


Ejercicio 7.7. (Costo y beneficio). Basado en datos de 1999 a 2001, el ingreso netoanual de una compañía es modelado por

R(t) = 665t2 + 1150t + 27, 357 miles de soles

y el costo anual de producir la mercadería es modelado por

C(t) = 103t2 + 315t + 8539 miles de soles

donde t es el número de años desde fines de 1999. De acuerdo a los modelos,¿Cuál es el beneficio total entre 1999 y el 2001?

Ejercicio 7.8. (Negocios). Las empresas de agua mineral hallan que el beneficiomarginal, en soles, de perforar un pozo de x metros de profundidad es dado porp′(x) = 5

√x. Hallar el beneficio cuando el pozo tiene 89 metros de profundidad.

Ejercicio 7.9. (Ventas acumuladas). Unacompañía estima que sus ventas crecen demanera continua con una razón de cambiodada por la función

S′(t) = 40et,donde S′(t) es la razón en la cual las ven-tas crecen, en soles por día, en un día t.Hallar las ventas acumuladas para los pri-meros 5 días.

Ejercicio 7.10. (Contaminación). Una fá-brica está contaminando un lago, de ma-nera que la cantidad de contaminantesque ingresan al lago en el tiempo t, en me-ses, es dado por

N′(t) = 280t3/2

donde N es la cantidad total de

litros de líquido que contaminan el lago en el tiempo t.

(i) ¿Cuántos litros de contaminantes entran al lago luego de 16 meses?

(ii) Una junta ecologista dice que la fábrica debe comenzar los procedimientosde limpieza a fondo luego de haberse contaminado el lago con 50,000 litros.¿Después de cuánto tiempo ocurre esto?


Ejercicio 7.11. En cada caso, hallar la longitud de la curva.

(i) y = x2, −1 ≤ x ≤ 2.

(ii) x =√

1− y2, −1/2 ≤ y ≤ 1/2.

(iii) y = sen x− x cos x, 0 ≤ x ≤ π.

(iv) y = (ex + e−x)/2, −3 ≤ x ≤ 3.

Ejercicio 7.12. En cada caso, hallar la longitud de la curva.

(i) y = (1/3)(x2 + 2)3/2, 0 ≤ x ≤ 3.

(ii) x = (y3/3) + 1/(4y), 1 ≤ y ≤ 3.

(iii) y = (x3/3) + x2 + x + 1/(4x + 4), 0 ≤ x ≤ 2.

(iv) y =∫ x

−2

√3t4 − 1 dt, −2 ≤ x ≤ −1.

Ejercicio 7.13. En cada caso, halle el área de la superficie generada por rotar lacurva alrededor del eje indicado.

(i) x =√

y, 0 ≤ y ≤ 2, eje y.

(ii) x =√

2y− 1, 5/8 ≤ y ≤ 1, eje y.

(iii) y = 3x− x2, 0 ≤ x ≤ 3, eje x.

(iv) y =√

2x− x2, 0.5 ≤ x ≤ 1.5, eje x.

Ejercicio 7.14. En cada caso, halle el volumen del sólido generado por rotar laregión alrededor del eje y.

(i) La región encerrada por x =√

5y2, x = 0, y = −1, y = 1.

(ii) La región encerrada por x = y3/2, x = 0, y = 2.

(iii) La región encerrada por el triángulo con vértices (1, 0), (2, 1) y (1, 1).

(iv) La región en el primer cuadrante limitada superiormente por la parábolay = x2, inferiormente por el eje x, y a la derecha por la recta x = 2.

Ejercicio 7.15. (Columna torcida). Una región cuadrada de longitud s está en unplano perpendicular a una recta L. Un vértice del cuadrado está en L. Este cua-drado se mueve una distancia h (perpendicularmente y manteniendo en contactodicho vértice) a lo largo de la recta L rotando una vuelta completa y formando unacolumna en forma de sacacorcho cuya sección transversal es cuadrada. Hallar elvolumen de la columna.


SECCIÓN 7.2Ejercicio 7.16. Un ciclista acelera desde el reposo a 1 + 3

√t kph/seg durante 9

segundos.

(i) ¿Cuál es la velocidad después de 9 segundos?

(ii) ¿Qué tan lejos viajó durante los 9 segundos?

Ejercicio 7.17. Una partícula se mueve alo largo del eje x (unidades en cm). Su po-sición inicial en el tiempo t = 0 seg esx(0) = 15. La figura a la derecha mues-tra la velocidad v(t) de la partícula. Losnúmeros que se muestran son las áreas delas regiones encerradas.

4

5

24

a b c

(i) ¿Cuál es el desplazamiento de la partícula entre t = 0 y t = c?

(ii) ¿Cuál es la distancia total recorrida por la partícula en el mismo periodo detiempo?

(iii) Hallar las posiciones de la partícula en los instantes a, b y c.

(iv) ¿En qué instante la partícula alcanza su máxima aceleración positiva en elintervalo [0, c]?

Ejercicio 7.18. En cada caso se da la gráfica de la función velocidad de una par-tícula que se mueve a lo largo del eje x. La partícula comienza en x = 2 cuandot = 0.

1 2 3 4

2

v(m/seg)

t (seg)

1 2 3 4

1

v(m/seg)

t (seg)

-1

1 2 3 4

2

v(m/seg)

t (seg)

-2

5 6 7

0

0 0

(a) (b) ( (c

(i) ¿Dónde se encuentra la partícula al final del viaje?

(ii) ¿Cuál es la distancia total recorrida por la partícula?


Ejercicio 7.19. En cada caso, halle el trabajo realizado por una fuerza de F(x)newtons a lo largo del eje x, desde x = a metros hasta x = b metros.

(i) F(x) = xe−x/3, a = 0, b = 5.

(ii) F(x) = x sen(πx/4), a = 0, b = 3.

(iii) F(x) = x√

9− x2, a = 0, b = 3.

(iv) F(x) = esen x cos x + 2, a = 0, b = 10.

Ejercicio 7.20. Un cohete con un peso de 3 toneladas está lleno con 40 toneladasde combustible líquido. En la parte inicial del vuelo, el combustible es consumidocon una constante de 2 toneladas por cada 1000 pies de altura vertical. ¿Cuál esel trabajo realizado (en pies-ton) por el cohete durante el vuelo de 3000 pies?

Ejercicio 7.21. El 10 de agosto de 1972, un meteorito con una masa estimada de4 × 106 kg y una velocidad estimada de 15 kg/seg atravesó la atmósfera porencima del cielo norteamericano y canadiense, pero afortunadamente no chocócon la Tierra.

(i) Suponiendo que el meteorito hubiese golpeado la Tierra con una velocidadde 15 km/seg, ¿cuál habría sido el cambio en la energía cinética en Joules?

(ii) Expresar la energía cinética como un múltiplo de la explosión de energía de1 megatón de TNT, el cual es 4.2× 1015 J.

(iii) La energía asociada con la bomba atómica de Hiroshima fue de 13 kilotonesde TNT. ¿Cuántas de tales bombas son equivalentes a la explosión produci-da por el meteorito?

Ejercicio 7.22. Hallar la masa y el centro de masa de un cuarto de disco circularde radio a, ocupando la región x2 + y2 ≤ a2, x ≥ 0, y ≥ 0 teniendo una densidadde δ(x) = δ0x.

Ejercicio 7.23. Halle los centroides de las siguientes regiones:

(i) La región 0 ≤ y ≤ 9− x2.

(ii) El sector circular x2 + y2 ≤ r2, 0 ≤ y ≤ x.

(iii) El disco semielíptico 0 ≤ y ≤ b√

1− (x/a)2.

(iv) La región limitada por el semicírculo y =√

1− (x− 1)2, el eje y y la rectay = x− 2.


SECCIÓN 7.3Ejercicio 7.24. En cada caso, calcular el valor promedio de la función en el inter-valo dado.

(i) f (x) = cos x, I = [0, π/2].

(ii) f (x) = 1/x, I = [1, 4].

(iii) f (x) = sen x, I = [π/3, π].

(iv) f (x) = (x− 1)1/2, I = [2, 5].

(v) f (x) = 60/x2, I = [1, 3].

(vi) f (x) = ln x, I = [1, e].

Ejercicio 7.25. En cada caso, hallar un número c ∈ [a, b] para el cual f (c) es elvalor promedio de f en I.

(i) f (x) = 1/x, I = [1, 3] (ii) f (x) = x2 − 10x/3, I = [1, 3].

Ejercicio 7.26. (Temperatura promedio). Un paciente con fiebre tiene una tempe-ratura en el tiempo t (medido en horas) dada por

T(t) = 99.6− t + 0.8t2 grados

donde la temperatura se mide en grados Fahrenheit. Hallar la temperatura pro-medio del paciente cuando t varía entre 0 y 3 horas.

Ejercicio 7.27. (Flujo sanguíneo en la arteria). La velocidad (en cm/seg) de lasangre a r cm del eje central de una arteria es dada por v(r) = k(R2 − r2),

donde k es una constante y R es el radiode la arteria. Suponga que k = 1000 yR = 0.2. Hallar la velocidad promedio dela sangre que fluye a lo largo de la arteria.

R

Ejercicio 7.28. (Club de fans). El número de nuevos miembros que se unen cadaaño al club de fans de Shakira puede ser modelado por

n(t) = 10.5t2 + 14t + 6 miles de fans cada año, (0 ≤ t ≤ 3.5)

donde t es el número de años desde inicios del 2004. ¿Cuál es la cantidad prome-dio de miembros que se unen cada año al club de fans durante ese periodo?

Ejercicio 7.29. ¿Para qué valor de c, el valor −1/2 es el promedio de (x− c) sen xsobre el intervalo [0, π/3]?


Ejercicio 7.30. (Publicidad televisiva).El costo, en miles de soles, de un anun-cio de televisión durante el programadominical reporte semanal desde el 2000hasta el 2007 puede ser aproximadopor

C(t) = 0.14t + 1.2 miles de soles

(0 ≤ t ≤ 7), donde t es el número

de años desde el 2000. ¿Cuál es el costo promedio por anunciar dicho aviso du-rante aquel periodo?

Ejercicio 7.31. (Proyección de la gasolina usada en Lima). El ministerio de eco-nomía quiere recortar la gasolina usada de 140 millones de galones en el 2007 a128 millones de galones para el año 2017. Sin embargo, el Ministerio de Energía yMinas estima que ello no pasará. En realidad la proyección del uso de la gasolinadesde inicios del 2007 hasta inicios del 2017 es dada por

A(t) = 0.014t2 + 1.93t + 140 0 ≤ t ≤ 10

donde A(t) se mide en millones de galones por año y t está en años, con t = 0correspondiendo al año 2007.

(i) De acuerdo a la proyección del Ministerio de Energía, ¿cuál debe ser el con-sumo de gasolina a inicios del 2017?

(ii) ¿Cuál será el consumo promedio por año desde inicios del 2007 hasta iniciosdel 2017?

Ejercicio 7.32. (Aceleración promedio de un auto). Un auto se mueve a lo largode una autopista con función velocidad v(t) y función aceleración a(t). La acele-ración promedio del auto sobre el intervalo [t1, t2] es

a =v(t2)− v(t1)

t2 − t1

Muestre que a es igual al valor promedio de a(t) sobre [t1, t2].

Ejercicio 7.33. (Velocidad de caída de un martillo). Durante la construcción deun edificio de departamentos, un constructor dejó caer accidentalmente un mar-tillo que se vino abajo una distancia de h metros. La velocidad del martillo luegode caer una distancia de x metros es v =

√2gx m/s, donde 0 ≤ x ≤ h. Muestre

que la velocidad promedio del martillo sobre este trayecto es v = 23

√2gh.


Ejercicio 7.34. (Flujo de agua en un canal). El agua a una profundidad de x me-tros en un canal rectangular fluye a una velocidad de

v = v0 − 20√

hs( x

h

)2 mseg

donde v0 es la velocidad del agua en la superficie, h es la profundidad del canal, ys es su gradiente. Hallar la velocidad promedio del fluido en la sección transversaldel canal.

Ejercicio 7.35. (Calentamiento del plane-ta). El aumento de dióxido de carbono enla atmósfera es el mayor daño del calen-tamiento global. Usando la data obtenidapor Dr. Charles David Keeling, un pro-fesor de un instituto de oceanografía enNew York, la cantidad promedio de dióxi-do de carbono en la atmósfera desde 1958hasta el 2007, es aproximada por la fun-ción A(t) = 0.010716t2 + 0.8212t + 313.4, 1 ≤ t ≤ 50 donde A(t) se mide enpartes por millón de volumen (ppmv) y t está en años, con t = 1 correspondien-do a inicios de 1958. Hallar la cantidad promedio de dióxido de carbono en laatmósfera desde 1958 hasta el 2007.

Ejercicio 7.36. (Temperatura promedio de una bola). Una bola metálica homogé-nea y agujereada con radio interno r1 y radio externo r2, está en equilibrio térmico.

La temperatura T a una distancia r delcentro del hueco es dada por

T = T1 +r1r2(T2 − T1)

(r1 − r2)

(1r− 1

r1

)donde r1 ≤ r ≤ r2, siendo T1 es la tem-peratura en la superficie interna y T2 es latemperatura en lña superficie externa. Ha-llar la temperatura promedio de la bola en

la dirección radial entre r = r1 y r = r2.

Ejercicio 7.37. Una rana salta verticalmente desde el suelo con una velocidadinicial de 16 pie/seg. Use la fórmula h(t) = v0t − 16t2 para hallar la velocidadpromedio de la rana.


SECCIÓN 7.4

Ejercicio 7.38. La figura derecha represen-ta la curva de la demanda para la ventade un producto en el mercado. Se estable-ce un precio fijo y el punto de demandacorrespondiente. Hallar el gasto de consu-mo y la función de demanda. Interprete lafunción de demanda.

0 5 10 15 20

10

20

30

40

(10, 20)

(20, 0)

D

p

q

Ejercicio 7.39. La función de demanda para lámparas puede ser modelada por

D(p) = 25.92(0.887p) miles de lámparas

donde p es el precio en soles de una lámpara.

(i) Hallar la cantidad demandada cuando el precio de cada lámpara es de 45soles.

(ii) Hallar el gasto de consumo para el precio establecido en el ítem anterior.

Ejercicio 7.40. La función de demanda para libros de matemática puede ser mo-delada por D(p) = 0.03p2 − 1.6p + 20 miles de libros, donde p es el precio ensoles de un libro.

(i) Hallar la cantidad demandada cuando el precio de cada libro es de 15 soles.

(ii) Hallar el gasto de consumo para el precio establecido en el ítem anterior.

Ejercicio 7.41. La figura derecha represen-ta la curva de la demanda para la venta deun producto en el mercado. Se estableceun precio fijo y el punto de demanda co-rrespondiente. Hallar la capacidad de gas-to del consumidor y el precio de mercadosobre el cual no obtiene más productos.

0 5 10 15 20

10

20

30

40

(10, 20)

(20, 0)

D

p

q


Ejercicio 7.42. La función de demanda pa-ra lámparas puede ser modelada por

D(p) = 25.92(0.887p) miles

donde p es el precio en soles. Cuando elprecio por lámpara es de 25 soles, ¿cuál esla capacidad de gasto que tiene el consu-midor? k

aepple

r.de

Ejercicio 7.43. La función de demanda para libros de matemática puede ser mo-delada por D(p) = 0.03p2 − 1.6p + 20 miles de libros, donde p es el precio ensoles de un libro. Calcular la capacidad de gasto del consumidor cuando el preciode cada libro es de 28 soles.

Ejercicio 7.44. La demanda para sofáspuede ser modelada por

D(p) = −0.01p + 5.55 cientos

donde p es el precio en soles de cada so-fá. Hallar la capacidad de gasto cuando elprecio de cada muebles es de 2000 soles.

freshom

e.c

om

Ejercicio 7.45. La demanda para ventiladores de techo puede ser modelada porD(p) = 23.91(0.955p) cientos de ventiladores, donde p es el precio en soles decada ventilador. Calcular la cantidad de dinero que los consumidores son capacesgastar en la compra de 18 mil ventiladores de techo.

Ejercicio 7.46. La figura derecha represen-ta la curva de la demanda para la ventade un producto en el mercado. Se estable-ce un precio fijo y el punto de demandacorrespondiente. Hallar el exceso de gas-to que el consumidor tiene sobre el preciofijado.

0 5 10 15 20

10

20

30

40

(10, 20)

(20, 0)

D

p

q


Ejercicio 7.47. La función de demanda pa-ra lámparas puede ser modelada por

D(p) = 25.92(0.887p) miles

donde p es el precio en soles. Cuando elprecio por lámpara es de 25 soles, ¿cuál esel exceso de gasto que tiene el consumi-dor? k

aepple

r.de

Ejercicio 7.48. La función de demanda para libros de matemática puede ser mo-delada por D(p) = 0.03p2 − 1.6p + 20 miles de libros, donde p es el precio ensoles de un libro. Calcular el exceso de gasto que tiene el consumidor cuando elprecio de cada libro es de 28 soles.

Ejercicio 7.49. La demanda para ventiladores de techo puede ser modelada por

D(p) = 23.91(0.955p) cientos de ventiladores

donde p es el precio en soles de cada ventilador. Calcular la cantidad de dineroextra que los consumidores son capaces de gastar por la compra de 18 mil venti-ladores de techo.

Ejercicio 7.50. La demanda para sofáspuede ser modelada por

D(p) = −0.01p + 5.55 cientos

donde p es el precio en soles de cada sofá.Hallar el gasto extra del consumidor cuan-do el precio de cada muebles es 2000 soles.

freshom

e.c

om

Ejercicio 7.51. (Sombrillas de playa). La demanda para sombrillas de playa pue-de ser modelada por

D(p) = 14.71(0.844p) cientos de sombrillas

donde p es el precio en soles de cada sombrilla. Calcular la cantidad excedente dedinero que los consumidores son capaces gastar en la compra de 770 sombrillasde playa.


Ejercicio 7.52. La función de demanda pa-ra camicetas de hombres puede ser mode-lada por

D(p) = 0.06p2 − 1.4p + 32 cientos

donde p es el precio en soles de una cami-ceta. Calcular el gasto excedente cuando elprecio de cada camiceta es de 29 soles.

erco.com

Ejercicio 7.53. La figura derecha represen-ta la curva de la oferta para la venta deollas en el mercado. Se establece un pre-cio fijo y el punto de oferta correspondien-te. Hallar el ingreso de producción y lafunción de oferta. Interprete la función deoferta.

50 100 150 200

10

20

30

40

(20, 14)

(100, 30)

20

p soles

por olla

q cientos de ollas O

Ejercicio 7.54. La función de oferta para vender vestidos puede ser modelada por

O(p) =

{0.12 si p < 50

0.00000194(1.295p) si p ≥ 50cientos de vestidos

donde p es el precio en soles de un vestido.

(i) Hallar la cantidad ofertada cuando el precio de cada vestido es de 35 soles.

(ii) Hallar el ingreso de producción cuando el precio de cada vestido es de 75soles.

Ejercicio 7.55. La función de oferta para muñecas de niñas de puede ser modela-da por

D(p) = 0.03p2 − 1.6p cientos de muñecas

donde p es el precio en soles de cada muñeca.

(i) ¿Cuál es la cantidad ofertada cuando el precio es de 58 soles?

(ii) Hallar el ingreso de producción para el precio establecido en el ítem ante-rior.


Ejercicio 7.56. La figura derecha represen-ta la curva de la oferta para la venta deollas en el mercado. Se establece un preciofijo y el punto de oferta correspondiente.Hallar la disposición y capacidad de gene-rar ingresos para los valores establecidosen la gráfica.

50 100 150 200

10

20

30

40

(20, 14)

(100, 30)

20

p soles

por olla


Ejercicio 7.57. (Oferta de vestidos). Lafunción de oferta para vender vestidospuede ser modelada por

O(p) =

{0 si p < 35

0.194(1.113p) si p ≥ 35

donde O se mide en cientos y p es el precioen soles de un vestido.

Hallar la capacidad de producción cuando el precio de cada vestido es de 45 soles.

Ejercicio 7.58. La función de oferta de cal-zado para damas de puede ser modeladapor

D(p) = 0.03p2 − 1.6p docenas

donde p es el precio en soles. Hallar la ca-pacidad de ventas cuando la oferta es de85 soles.

Ejercicio 7.59. La oferta para producir insumos eléctricos es modelada por

O(p) =

{0 si p < 20

0.024p2 − 2p + 60 si p ≥ 20

donde O(p) se mide en miles de unidades y los insumos se venden a p soles porunidad. De acuerdo a este modelo

(i) ¿Cuántos articulos se ofertan cuando el precio es de 40 y 50 soles?

(ii) Calcular la capacidad de ventas cuando el precio de mercado es de 99.95soles.


Ejercicio 7.60. La figura derecha represen-ta la curva de la oferta para la venta deollas en el mercado. Se establece un preciofijo y el punto de oferta correspondiente.Determinar el exceso de producción paralos valores establecidos en la gráfica.

50 100 150 200

10

20

30

40

(20, 14)

(100, 30)

20

p soles

por olla


Ejercicio 7.61. (Oferta de vestidos). Lafunción de oferta para vender vestidospuede ser modelada por

O(p) =

{0 si p < 5

2.194(1.295p) si p ≥ 5

donde O se mide en cientos y p es el precioen soles de un vestido.

Hallar el exceso de producción cuando el precio de cada vestido es de 35 soles.

Ejercicio 7.62. La función de oferta de cal-zado para damas de puede ser modeladapor

D(p) = 0.03p2 − 1.6p docenas

donde p es el precio en soles. Hallar el ex-ceso de producción cuando el precio es de85 soles.

Ejercicio 7.63. Se dan funciones de demanda D y de oferta S, dependiendo delprecio p como sigue:

D(p) = 12− 2p y S(p) =87

p− 47

Hallar el precio de equilibrio p∗ y calcular el exceso de consumo y de producción.¿Cuál es el valor del benerficio social total?


Ejercicio 7.64. La oferta para producir insumos eléctricos es modelada por

O(p) =

{0 si p < 20

0.024p2 − 2p + 60 si p ≥ 20

donde O(p) se mide en miles de unidades y los insumos se venden a p soles porunidad. De acuerdo a este modelo

(i) ¿Cuántos articulos se ofertan cuando el precio es de 40 y 50 soles?

(ii) Calcular el exceso de producción cuando el precio de mercado es de 99.95soles.

Ejercicio 7.65. (Esculturas). La cantidad promedio de demanda de esculturaspuede ser modelada por

D(p) = −1.003p2 − 20.689 + 850.375

y la cantidad promedio de oferta de esculturas puede ser modelada como

O(p) =

{0 si p < 4.5

0.26p2 + 8.1p + 250 si p ≥ 4.5

donde O(p) se mide en unidades y p se mide en cientos de soles por escultura.

(i) ¿Cuál es la capacidad de gasto de los consumidores para obtener 20 escul-turas?

(ii) ¿Qué cantidad de esculturas se debe producir para ofertar en 500 soles porescultura? ¿Será que la oferta excede a la demanda en este caso?

(iii) Calcule el beneficio social total cuando las esculturas se venden al precio deequilibrio.

Ejercicio 7.66. (Carne de res). La demanda diaria de carne de res puede ser mo-delada por

D(p) =40.007

1 + 0.033e0.354pmiles de kilos

donde el precio de la carne es de p soles por kilo. Similarmente, la oferta puedeser modelada como

O(p) =

0 si p < 0.5

511 + 53.98e−0.395p

si p ≥ 0.5

donde O(p) se mide en miles de kilos y el precio de la carne es de p soles por kilo.


(i) ¿Cuánta carne es ofertada cuando el precio es de 14,50 por kilo? ¿Será quepara esta cantidad la oferta excede a la demanda?

(ii) Hallar el punto de equilibrio en el mercado.

(iii) Calcular el beneficio social total de las ventas de carne en el precio de equi-librio.



RESPUESTAS DE SECCIÓN 7.1Ejercicio 7.1: (i) 2, (ii) 1

2 (e2 − 1), (iii) 4, (iv) 9π/2. Ejercicio 7.2: (i) 22/15, (ii)

1/12, (iii) 4/3. Ejercicio 7.3: (i) 32/3, (ii) 4, (iii) 64/3, (iv) 243/8. Ejercicio 7.4: 1.Ejercicio 7.5:

√2− 1. Ejercicio 7.6: 11/3. Ejercicio 7.12: (i) 12, (ii) 53/6, (iii) 53/6,

(iv) 7√

3/3. Ejercicio 7.13: (i) 13.614, (ii) 2.999, (iii) 44.877, (iv) 6.283. Ejercicio 7.14:(i) 2π, (ii) 4π, (iii) 4π/3, (iv) 8π. Ejercicio 7.15: s2h.

RESPUESTAS DE SECCIÓN 7.2Ejercicio 7.16: (i) 63 kph, (ii) 108.1 m. Ejercicio 7.17: (i)−23 cm, (ii) 33 cm, (iii)

a = 11, b = 16, c = −8; (iv) t = c. Ejercicio 7.18: (a) (i) 6, (ii) 4 metros; (b) (i), 2(ii) 4 metros; (c) (i) 5, (ii) 7 metros. Ejercicio 7.19: (i) 4.4670 J, (ii) 3.8473 J, (iii) 9 J,(iv) 19.5804 J. Ejercicio 7.20: 120,000 pies-ton. Ejercicio 7.21: (i) 4.5× 1014 J, (ii)0.107, (iii) 8.24 bombas. Ejercicio 7.22: m = 1

3 δ0a3, (x, y) = ( 316 πa, 3

8 a). Ejercicio

7.23: (i) (x, y) = (0, 185 ), (ii) (x, y) =

(8r

3√

2π, 8r(√

2−1)3√

2π

), (iii) (x, y) =

(0, 4b

3π

), (iv)

(x, y) =(

3π+83(π+4) ,− 4

3(π+4)

).

RESPUESTAS DE SECCIÓN 7.3Ejercicio 7.24: (i) 2/π, (ii) (ln 4)/3, (iii) 9/4π, (iv) 14/9, (v) 20, (vi) 1/(e− 1).

Ejercicio 7.25: (i) 2/ ln 3, (ii) 7/3. Ejercicio 7.26: 100.5◦F. Ejercicio 7.27: 80/3 cm/seg.Ejercicio 7.29:

√3. Ejercicio 7.35: 343.45 ppmv/año. Ejercicio 7.37: 8 pie/seg.

630 Lord Barrera - Capítulo 8. Proyectos de Matemática

Capítulo 8

Proyectos de Matemática

Este capítulo está dedicado a desarrollar diversos proyectos de matemáticaque son sugeridos por algunas escuelas profesionales, con la finalidad de presen-tarlos en ferias científicas y tecnológicas. El bagage que se necesita para estudiar-los está contenido en el libro; por lo tanto, el estudiante no tendrá dificultad encompletar las cuestiones que se enumeran en cada sección.

8.1. Aplicaciones en Robótica

Robin es un chico estudiante de ingenie-ría que diseña y pinta divisiones de venta-nas metálicas para costear sus gastos en launiversidad. Él está con bastante trabajo yse siente presionado para cumplir con to-dos sus clientes. Para ello decide construirun robot y generar diversos movimientosen el brazo del robot con la finalidad deagilizar su trabajo de pintar ventanas. Co-mo en la mayoría de los proyectos de in-geniería, Robin comienza con un modelosimple que deberá ser refinado para sermás sofisticado; sin embargo, Robin des-cubre rápidamente que la robótica invo-lucra una considerable información mate-mática, y parte de esta matemática nos en-cargaremos de desarrollar a continuación. jo

han

nas

alguer

o.b

logsp

ot.

com

631


Diseño del plan

El plan de Robin consiste en desarrollaruna versión bidimensional del brazo deun robot como en la figura derecha. Tal co-mo se muestra en la figura, el brazo del ro-bot de Robin consiste de dos piezas articu-ladas y cada una rotando independiente-mente sobre un punto de conexión. Un so-plete con pintura será fijado al final del se-gundo enlace, y una computadora deberávariar los ángulos formados por los enla-ces y la horizontal; por tanto, admitiremosque el brazo hace un movimiento plano.

brazosuperior

antebrazo

Base

Análisis matemático

Para analizar el movimiento del brazo del robot, Robin denota a las coorde-nadas del soplete con pintura, por (x, y) como en la figura (b), y deduce las si-guientes ecuaciones que expresan x e y en términos de los ángulos α y β, y laslongitudes a y b de las piezas de enlace.

x = a cos α + b cos(α + β)

y = a sen α + b sen(α + β)(8.1.1)

x

y

a

b

enlace 1

enlace 2

punto del soplete

x

y

a

ba

( )x y,

a

b

a cos a b cos (a+b)

ase

na

bse

n(a

+b

)

(a) (b)

Lord Barrera - Sección 8.1. Aplicaciones en Robótica 633

Ejercicio 8.1. Use la figura (b) para verificar las ecuaciones en (8.1.1).En el lenguaje de la robótica, α y β son llamados ángulos de control, el punto

(x, y) es llamado extremo de efecto, y las ecuaciones en (8.1.1) se llaman ecuacio-nes cinemáticas de empuje.

Ejercicio 8.2. ¿Cuál es la región del plano que puede ser alcanzado por el extremode efecto? si

(i) a = b, (ii) a > b y (iii) a < b

Ejercicio 8.3. ¿Cuáles son las coordenadas del extremo de efecto si

a = 2, b = 3, α =π

4y β =

π

6?

Simulando el dibujo a ser pintado

Robin se da cuenta que si α y β se consideran como función del tiempo, en-tonces las ecuaciones cinemáticas de empuje se pueden expresar como

x = a cos α(t) + b cos(α(t) + β(t))

y = a sen α(t) + b sen(α(t) + β(t))

las cuales son ecuaciones paramétricas de la curva que resulta de mover elextremo de efecto. Por ejemplo, si los brazos se extienden horizontalmente a lolargo del semieje positivo x desde el tiempo t = 0, y los enlaces 1 y 2 rotan a razónconstante de ω1 y ω2 radianes por segundo (rad/s), respectivamente, entonces

α(t) = ω1t y β(t) = ω2t

además, las ecuaciones paramétricas del movimiento del extremo de efecto seconvierten en

x = a cos ω1t + b cos(ω1t + ω2t)

y = a sen ω1t + b sen(ω1t + ω2t)

Ejercicio 8.4. Muestre que si a = b = 1 y si ω1 = 2 rad/s y ω2 = 3 rad/s,entonces las ecuaciones paramétricas del movimiento son

x = cos 2t + cos 5t

y = sen 2t + sen 5t


Verificar que la curva trazada por el extre-mo de efecto sobre el intervalo 0 ≤ t ≤12π es como se muestra en la figura dere-cha. Este debe ser el dibujo realizado porel soplete del robot de Robin.

x

y2

2 2

2

1

1

1

Ejercicio 8.5. Investigue mediante un gráfico la manera en que los ángulos derotación afectan el dibujo del soplete cuando las piezas del brazo del robot midena = b = 1.

Ejercicio 8.6. Suponiendo que a = b = 1, un mal funcionamiento en el brazo delrobot causa que la segunda pieza del brazo se cierre en β = 0, mientras que elprimer enlace rota a razón constante de 1 rad/s. Realice alguna conjetura acercadel camino que realiza el extremo de efecto, luego confirme su conjetura hallandolas ecuaciones paramétricas para esta conjetura.

Controlando la posición del extremo de efecto

El plan de Robin consiste en hacer que el robot pinte sus ventanas de formavertical, siguiendo la dirección de abajo hacia arriba. Después de que una franjaes pintada, tendrá que volver pintando hacia abajo y luego se moverá horizontal-mente para el próximo pintado hacia arriba. Desde que las divisiones de la ven-tana tienen 3 pies de ancho por 5 pies de altura, Robin decide construir un Robotcon enlaces de 3 pies cada uno, cuya base es posicionada próxima a la esquina iz-quierda inferior de una sección de la ventana, como en la figura (a). Debido a quelos enlaces se extienden un radio de 6 pies, cree que esta disposición del brazotrabajará muy bien.

3

3

Base (3,0)

(3,5)

x

y

3

3

x

sección dela ventana

33

Base (3,0)

(3,5)y

x

3 3

Base (3,0)

(3,5)y

-1200

600

(a) (b) ( (c


Robin comienza a realizar el pintado desde cierta posición, avanzando desde(3, 0) hasta (3, 5). Con la ayuda de la geometría elemental (figura (b)), él calculaque el extremo de efecto puede ubicarse en el punto (3, 0), tomando los ángu-los de control α = π/3 y β = −2π/3 (verificar). Sin embargo, para hallar losángulos de control que corresponden a (3, 5) es más complicado, así que comen-zamos sustituyendo las longitudes de los enlaces a = b = 3 en las ecuacionescinemáticas de empuje (8.1.1) y obtenemos

x = 3 cos α + 3 cos(α + β)

y = 3 sen α + 3 sen(α + β)(8.1.2)

Así que para ubicar el extremo de efecto en el punto (3, 5), los ángulos decontrol deben satisfacer las ecuaciones

cos α + cos(α + β) = 1

3 sen α + 3 sen(α + β) = 5(8.1.3)

Robin tiene el desafío de resolver estas ecuaciones para α y β, aplicando sudestreza en álgebra y trigonometría, y se las arregla para comenzar a resolverusando el siguiente ejercicio

Ejercicio 8.7. (a) Utilice las ecuaciones en (8.1.3) y la identdad

sen2(α + β) + cos2(α + β) = 1

para mostrar que15 sen α + 9 cos α = 17

(b) Resolver la última ecuación para sen α en términos de cos α y sustituir en laidentidad

sen2 α + cos2 α = 1

para obtener153 cos2 α− 153 cos α + 32 = 0

(c) Trate esta ecuación como una cuadrática en cos α, también use la fórmulapara resolver esta cuadrática y obtener

cos α =12± 5√

17102


(d) Use la función arc cos (coseno inverso) para resolver la ecuación de la parte(c), de esta manera se obtiene

α ≈ 0.792436 rad ≈ 45.4032◦ y β ≈ 1.26832 rad ≈ 72.6694◦

(e) Sustituir cada uno de estos ángulos en la primera ecuación de (8.1.3) y hallarel valor de β.

Ahora bien, Robin queda sorprendido sabiendo que las soluciones para α yβ no son únicas, lo que conduce al dibujo de la figura (c). Esto deja claro quehay dos maneras de posicionar los enlaces para ubicar el extremo de efecto.

Controlando el movimiento del extremo de efecto

Ahora que Robin sabe como mover el extremo de efecto del punto (3, 0) a(3, 5), él procede a mover el brazo del robot de manera vertical entre esos puntos.Se da cuenta de que no sólo debe hacer que el extremo de efecto se mueva demanera vertical, sino, él también debe controlar la velocidad. Si el extremo deefecto se mueve demasiado rápido, la película de la pintura será muy fina, y si elextremo de efecto se mueve lento, la película de la pintura será gruesa.

Después de un rato de experimentar el trabajo, decide que el extremo de efectodebe tener una velocidad constante de 1 pies/seg. Así que el problema matemá-tico de Robin es determinar las razones de cambio de la rotación dα/dt y dβ/dt(en rad/seg) y debemos hacer

dxdt

= 0 ydydt

= 1

La primera ecuación hace que el extremo de efecto se mueva verticalmente (yno horizontalmente), mientras que la segunda igualdad hace que el extremo deefecto se mueva hacia arriba a velocidad constante de 1 pie/seg.

Para hallar las fórmulas dx/dt y dy/dt, Robin usa la regla de la cadena paradiferenciar las ecuaciones cinemáticas de empuje en (8.1.2) y obtiene

dxdt

= −3 sen αdα

dt− [3 sen(α + β)]

(dα

dt+

dβ

dt

)dydt

= 3 cos αdα

dt+ [3 cos(α + β)]

(dα

dt+

dβ

dt

)El también usa las ecuaciones cinemáticas de empuje para simplificar estas fór-mulas y entonces sustituye dx/dt = 0 y dy/dt = 1 para llegar a


−ydα

dt− 3 sen(α + β)

dβ

dt= 0

xdα

dt+ 3 cos(α + β)

dβ

dt= 1

(8.1.4)

Ejercicio 8.8. Robin confirma sus cálculosLas ecuaciones en (8.1.4) deben ser usadas de la siguiente manera: en un deter-

minado instante t, el robot debe reportar a la computadora los ángulos de controlα y β, en la computadora, para usar las ecuaciones cinemáticas de empuje da-das en (8.1.2) que permite calcular las coordenadas x e y del extremo de efecto.Entonces los valores de α, β, x e y deben sustituirse en (8.1.4) para producir dosecuaciones en las incógnitas dα/dt y dβ/dt. La computadora debe resolver estasecuaciones para hallar los ángulos requeridos en los que deben rotar los enlacesdel brazo del robot.

Ejercicio 8.9. Para cada caso, use la información dada para bosquejar las posi-ciones de los enlaces, luego calcule los ángulos de rotación para los enlaces (enrad/seg) que deberá tener el extremo final del robot de Robin moviéndose a unavelocidad de 1 pie/seg de cada posición.

(i) α =π

3, β = −2π

3(ii) α =

π

2, β = −π

2


8.2. Colisión de Cometas

Nuestro planeta vive en un escenario cós-mico de cometas y asteroides. Aunqueexiste poca probabilidad de que algún díala Tierra pueda ser impactada por un co-meta o un asteroide, las consecuencias detal colisión resultarían catastróficas, tal esasí que la comunidad científica internacio-nal ha iniciado su investigación sobre ob-jetos próximos a la tierra (OPT). Nues-tro objetivo como estudiantes y parte dela comunidad científica internacional con-siste en calcular las órbitas que describenlos asteroides; además determinar comoellos se aproximan a la Tierra y establecersi hay peligro de colisión. En esta secciónrespondemos algunas cuestiones y lo ha-remos usando integración en una variable.

En esta época, la tierra está en su afelio (su punto más distante del Sol) nustroequipo de investigación OPT recibe una notificación de la NASA, más precisa-mente del laboratorio de propulsión de naves espaciales, de que hay un cometano conocido (al que designaron Rogue 2000) que esta viajando con direccción a laTierra. Esta información lo solicita la NASA inmediatamente para determinar losparámetros de la órbita que sigue este cometa y las siguientes posiciones que vanposicionando la Tierra y el Rogue 2000. La NASA recibe el siguiente reporte

Parámetros de las órbitas

TIERRA ROGUE 2000

Excentricidad: e1 = 0.017 Excentricidad: e2 = 0.98

Semieje mayor: a1 = 1 Semieje mayor: a2 = 5

AU = 1.496× 108 km AU = 7.48× 108 km

Periodo: T1 = 1 año Periodo: T2 = 5√

5 años

Lord Barrera - Sección 8.2. Colisión de Cometas 639

Informaciones acerca de las posiciones iniciales

(i) Los ejes mayores de la Tierra y el Rogue 2000 coinciden.

(ii) Los afelios de la Tierra y el Rogue 2000 están del mismo lado del Sol.

(iii) El ángulo polar inicial de la Tierra es θ = 0 radianes.

(iv) El ángulo polar inicial del Rogue 2000 es θ = 0.45 radianes.

Configuración inicial de la Tierra y el Rogue 2000

0

p 2

Cometa

Tierra

A

La estrategia para calcular

Desde que nuestro objetivo principal se refiere a la posible colisión en el puntode intersección A como se ve el la figura anterior, el equipo de investigación sigueel siguiente plan:

Paso 1. Hallar las ecuaciones polares de la Tierra y el Rogue 2000.

Paso 2. Hallar las coordenadas polares del punto de intersección A.

Paso 3. Determinar la distancia que se desplaza la Tierra al llegar al punto de inter-sección A.

Paso 4. Determinar la ubicación del Rogue 2000 cuando la Tierra llega al punto deintersección A.

Paso 5. Determinar que tan lejos estará el Rogue 2000 de la Tierra cuando la Tierraalcance el punto de intersección A.


Ecuaciones polares de las órbitas

Ejercicio 8.10. Escribir las ecuaciones polares de la forma

r =a(1− e2)

1− e cos θ

para las órbitas de la Tierra y el Rogue 2000 usando unidades AU para r.

Ejercicio 8.11. Utilice un gráfico para generar las dos órbitas en la misma imagen.

Intersección de las órbitas

El segundo paso de nuestro equipo de investigación consiste en determinar unplan para halar las coordenadas polares del punto de intersección A (ver figurainicial).

Ejercicio 8.12. Por simplicidad, sea k1 = a1(1− e1)2 y k2 = a2(1− e2)2. Entonces

usando las ecuaciones polares obtenidas en el ejercicio 1.1 y muestre que el ánguloθ en el punto de intersección A satisface la ecuación

cos θ =k1 − k2

k1e2 − k2e1

Ejercicio 8.13. Use el resultado en el ejercicio 1.3 y el coseno inverso para mostrarque el ángulo θ en el punto de intersección de la figura inicial es θ = 0.607 radianes.

Ejercicio 8.14. Use el resultado en el ejercicio 1.4 y las ecuaciones polares obte-nidas en el ejercicio 1.1 para mostrar que si r está en unidades AU, entonces lascoordenadas polares del punto de intersección es

(r, θ) = (1.014, 0.607)

Tiempo requerido para que la Tierra llegue al punto deintersección A

De acuerdo a la segunda ley de Kepler, la recta radial del centro del Sol al cen-tro del objeto orbitando alrededor del Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.Así que, si t es el tiempo que que lleva a la recta radial barrer un sector elíptico dealgún ángulo inicial θI hasta algún ángulo final θF, y si T es el periodo del objeto(el tiempo de una vuelta completa), entonces

tT

=área del sector circular

área de la región elíptica(8.2.5)

Lord Barrera - Sección 8.2. Colisión de Cometas 641

Figura 2

qF

qI

Ejercicio 8.15. Use la fórmula (8.2.5) para mostrar que

t =T∫ θF

θI

r2d θ

2πa2√

1− e2(8.2.6)

Ejercicio 8.16. Utilice el cálculo de la integral vista en (8.2.6) y la ecuación polarde la órbita de la Tierra vista en el ejercicio 1.1 para hallar el tiempo requerido t(en años) para que la Tierra se desplace desde su posición inicial hasta el puntode intersección A.

Posición del Rogue 2000 cuando la tierra está en el punto A

Los siguientes 4 pasos de nuestro equipo de investigación consiste en deter-minar la posición del Rogue 2000 cuando la Tierra está en el punto de intersecciónA.

Ejercicio 8.17. Durante el tiempo que la Tierra lleva para moverse desde su posi-ción inicial hasta el punto de intersección A, el ángulo polar del Rogue 2000 debecambiar desde su valor inicial θ1 = 0.45 radianes hasta algún valor final θF quefalta determinar. Aplicando la fórmula (8.2.6) usando los datos de la órbita delRogue 2000 y el tiempo t obtenido en el ejercicio 1.7, muestre que θF sdatisface laecuación: ∫ θF

0.45

[a2(1− e2

2)

1− e2 cos θ

]2

dθ =2tπa2

2

√1− e2

2

5√

5(8.2.7)

A continuación nuestro equipo se encargará de resolver la ecuación (8.2.7)para hallar el límite superior desconocido θF. Algunos miembros del equipo OPTse encargan de la integración y usan en dicho propósito las tablas de integración.Otros miembros de nuestro equipo hacen la sustitución u = tg(θ/2) y aplicanotras reglas para resolver la ecuación anterior.


Ejercicio 8.18. (a) Utilice la integral en (3) usando casos o mediante un cálculoa mano.

(b) Utilice sus conocimientos de cálculo de raíces para hallar el ángulo polardel Rogue 2000 cuando la Tierra está en el punto de intersección A.

Calculando las distancias críticas

Es de gran importancia que el equipo de investigación OPT notifique a lasagencias gubernamentales de cuando un cometa o asteroide estará a 4 millones dekilómetros (esta distancia es aproximadamente 10 veces la distancia de la Tierraa la Luna). Posteriormente el siguiente paso para el equipo de investigación escalcular la distancia entre la Tierra y el Rogue 2000 cuando la Tierra se encuentraen el punto A. Entonces se debe determinar si la notificación es de emergencia.

Ejercicio 8.19. Utilice la ecuación polar del Rogue 2000 obtenido en el ejercicio 1.1y el resultado en el ejercicio 1.9(b) para hallar las coordenadas polares del Rogue2000 con r en unidades AU cuando la Tierra está en el punto de intersección A.

Ejercicio 8.20. Utilice la fórmula de distancia para calcular la distancia entre laTierra y el Rogue 2000 en unidades AU cuando la tierra está en el punto A, en-tonces use el factor de conversión 1 AU = 1.496× 108 km para determinar cuandoel gobierno gubernamental debe decretar una emergencia.

Nota: Una de las historias trata del 30 de octubre de 1937 cuando el asteroideHermes pasó cerca de la Tierra con aproximadamente 900,000 km. El más recienteaconteció el 14 de junio de 1968 con el asteroide Icarus que pasó a 23’000,000 dekilómetros de la Tierra.

Lord Barrera - Sección 8.3. Diseño de una Vía de Ferrocarril 643

8.3. Diseño de una Vía de Ferrocarril

Su empresa tiene un contrato para cons-truir una vía de ferrocarril entre las ciuda-des A y B que aparece en el mapa de con-tornos de la figura (a). La vía de ferroca-rril puede ser diseñada por el desmonte detierra a través de la superficie o medianteexcavación de un túnel. Usted como inge-niero y jefe tiene la tarea de analizar el cos-to total en la construcción. p

anora

mio

.com

Requisitos de ingenieríaEl ministerio de transporte presenta los siguientes requisitos de diseño:(1) Entre los puntos A y M La vía es recta y tiene 10 metros de ancho, in-

crementándose la elevación existente a un ritmo constante desde los 100 metrosde altura en la ciudad A hasta los 110 metros de altura en el punto M, y luegodisminuir la elevación a un ritmo constante hasta los 88 metros en la ciudad B.

(2) Las vías que unen las ciudades A con M, M con N y N con B son zan-jas cuyas secciones transversales verticales tienen forma de trapezoides con lasdimensiones indicadas en la figura (b).

(3) Entre los puntos M y N su empresa debe decidir si excavar una zanja deltipo en la figura (b) o excavar un tunel cuyas secciones transversales tienen laforma de la figura (c).

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32

100

105

108

110

104

106

120

122

124

128

130

133

120

106

108

106

98

100

102

96

88

91

A B

M N

EON

S


a

a

a

10

45

10 + 2

h

A(x (

10

8

5

1000Figura (b)

Figura (c)

Factores de costoLa excavación de la superficie de la vía de ferrocarril se realiza utilizando ex-

cavadoras hidráulicas y otros equipos especializados. Comúnmente, el desmonteexcavado se acumula a un lado de la vía para formar terraplenes inclinados y elcosto de excavación se estima a partir del volumen del desmonte a ser removido.

Los túneles en la roca excavada se realizan a menudo mediante perforaciónde pozos y la inserción de máquinas perforadoras (llamados moles) para aflojary remover las rocas y la tierra. Los túneles en suelos blandos son excavados, ini-ciando desde el frente del túnel y utilizando excavadoras giratorias alojadas en elinterior de los escudos. A medida que la excavadora avanza, los revestimientosde los túneles se van insertando progresivamente para apoyar la tierra y prevenirderrumbes.

El desmonte removido se realiza mediante cintas transportadoras o, a vecesutilizando vagones (carritos o vagones de carga) ejecutados especialmente en víasconstruídas. La ventilación y la compresión del aire son otros factores que se sumaal costo de la excavación de los túneles.

Haga los supuestos costos:

(1) La excavación y el costo del desmonte acumulado para una zanja es de 4dólares por metro cúbico.

(2) La perforación y el costo del desmonte acumulado de un túnel es de 8dólares por metro cúbico.

(3) El costo de traslado de una carga de desmonte (a una distancia x de la en-

trada) depende de la función distanciax(x + 1)

2, cuyo costo por metro trasladado

es de 0.06 dólares por metro cúbico.


2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

20000

22000

24000

26000

28000

30000

32000

100

110

120

130

140

150

Análisis del costo del desmonte

Asumir que las variaciones en la elevación o altitud son despreciables para dis-tancias cortas con respecto a la vía, de modo que las secciones transversales deldesmonte excavado siempre tiene forma trapezoidal como se muestra en la figu-ra anterior (manteniendo bordes rectos horizontales en la superficie).

Figura (d)


Ejercicio 8.21. La siguiente tabla nos permitirá, usando la regla de Simpson conn = 10, aproximar el costo de hacer la zanja desde el punto A hasta el punto M.

Distancia Elevación Elevación Profundidad Área A(x)desde el del o a de sección

punto A (m) terreno (m) altitud (m) del corte (m) transversal (m)0 100 100 0 0

2000 105 101 4 564000 108 102 6 966000 110 103 7 1198000 104 104 0 0

10000 106 105 1 1112000 120 106 14 33614000 122 107 15 37516000 124 108 16 41618000 128 109 19 55120000 130 110 20 600

A = (b1 + b2)h2

= [(10 + 2a) + 10]a2

= (20 + 2a)a2

= (10 + a)a

= a2 + 10a

a

a

a

10

45

10 + 2

h

A(x (

En este caso tenemos que n = 10 y h =20000− 0

10= 2000. Luego∫ 20000

0A(x)dx ≈ 20000

3

[0 + 4(56) + 2(96) + 4(119) + 2(0) + 4(11) + 2(336)

+ 4(375) + 2(416) + 4(551) + 600]

=20000

3[6744] = 4496000

La aproximación anterior nos mide la cantidad de tierra (en m3) que fue ex-traida a lo largo de los 20 kilómetros (desde el punto A hasta el punto M) parahacer la zanja. Ahora bien, desde que el trabajo de extraer cada metro cúbico detierra cuesta 4 dólares, entonces el costo total resulta 4496000(4) = 17′984, 000 $.


Ejercicio 8.22. Al igual que en el ejercicio 8.21, La siguiente tabla nos permitirá,usando la regla de Simpson con n = 10, aproximar el costo de hacer la zanjadesde el punto M hasta el punto N.


punto A (m) terreno (m) altitud (m) del corte (m) transversal (m)

0 130 100 20 600

100 135 109.8 25.2 887.04

200 139 109.6 29.4 1158.36

300 142 109.4 32.6 1388.76

400 145 109.2 35.8 1639.64

500 147 109 38 1824

600 148 108.8 39.2 1928.64

700 146 108.6 37.4 1772.76

800 143 108.4 34.6 1543.16

900 139 108.2 30.8 1256.64

1000 133 108 25 875

En este aso tenemos

h =1000− 0

10= 100 .

Luego∫ 1000

0A(x)dx ≈ 100

3

[600 + 4(887.04) + 2(1158.36) + 4(1388.76) + 2(1639.64)

+ 4(1824) + 2(1928.64) + 4(1772.76) + 2(1543.16)

+ 4(1256.64) + 875]

=1003

[42531.4]

= 1417713.333

Argumentando de manera similar al ejercicio anterior, la aproximación nosmide la cantidad de tierra (en m3) que fue extraida a lo largo de los 1000 metros(desde el punto M hasta el punto N) para hacer la zanja. Ahora bien, desde que eltrabajo de extraer cada metro cúbico de tierra cuesta 4 dólares, entonces el costototal resulta 1417713.333(4) = 5′670, 853.333 $.


Ejercicio 8.23. Similar al ejercicio anterior, La siguiente tabla nos permitirá, usan-do la regla de Simpson con n = 10, aproximar el costo de hacer la zanja desde elpunto N hasta el punto B.


punto A (m) terreno (m) altitud (m) del corte (m) transversal (m)

0 133 108 25 875

1000 120 106 14 336

2000 106 104 2 24

3000 108 102 6 96

4000 106 100 6 96

5000 98 98 0 0

6000 100 96 4 56

7000 102 94 8 144

8000 96 92 4 56

9000 91 90 1 11

10000 88 88 0 0

En este aso tenemos

h =1000− 0

10= 1000 .

Luego ∫ 10000

0A(x)dx ≈ 1000

3

[875 + 4(336) + 2(24) + 4(96) + 2(96)

+ 4(0) + 2(56) + 4(144) + 2(56)

+ 4(11) + 0]

=1000

3[3687]

= 1229000

Argumentando de manera similar al ejercicio anterior, la aproximación nosmide la cantidad de tierra (en m3) que fue extraida a lo largo de los 10000 metros(desde el punto N hasta el punto B) para hacer la zanja. Ahora bien, desde que eltrabajo de extraer cada metro cúbico de tierra cuesta 4 dólares, entonces el costototal resulta 1229000(4) = 4′916, 000 $.


Ejercicio 8.24. Hallar el costo total del proyecto que resulta de hacer la zanjadesde el punto A hasta el punto B deducidos en los ejercicios 8.21, 8.22 y 8.23.

Solución. El costo total del proyecto es la suma de los tres costos halladosanteriormente.

Desde el punto A hasta el punto M : 17′984, 000

Desde el punto M hasta el punto N : 5′670, 853.333

Desde el punto N hasta el punto B : 4′916, 000

Total : 28′570, 853.333

Ejercicio 8.25. (i) Hallar el volumen de la tierra removida del túnel y calcularel costo de la perforación y el desmonte acumulado.

(ii) Hallar mediante integración el costo de trasladar todo el desmonte del inte-rior del túnel hasta la entrada del túnel (utilice sumas de Riemann).

(iii) Hallar el costo total de la excavación del túnel.

Solución. (i) Sea V1 el volumen del sólidorectangular del tunel y V2 el volumen delsólido formado por el semidisco del tunel.Entonces

V1 = (10)(8)(1000) = 80, 000 m3

V2 =(52)(π)

2(1000) = 39, 269.9 m3

10

8

5

d

Por tanto, el volumen total del tunel es

V = V1 + V2 = 80, 000 + 39, 269.9 = 119, 269.9 m3 .

Finalmente, el costo del desmonte resulta 119, 269.9(8) = 954, 154.2 $.(ii) Utilizaremos la fórmula∫ b

af (x)dx = lı́m

n→+∞

n

∑i=1

f (x∗i )∆x, donde x∗i =1000i

n

Ahora bien,

f (x∗i ) =x∗i (x∗i + 1)

2=

1000in

(1000i

n+ 1)

2


Luego la distancia acumulada a lo largo de los 1000 metros es

∫ 1000

0

x(x + 1)2

dx = lı́mn→+∞

n

∑i=1

1000i

n

(1000i

n+ 1)

2

1000n

= lı́mn→+∞

10002n

n

∑i=1

1000in

(1000i

n+ 1)

= lı́mn→+∞

10002n

n

∑i=1

[1000000i2

n2+

1000in

]

= lı́mn→+∞

10002n

[1000000

n2

n

∑i=1

i2 +1000

n

n

∑i=1

i

]

= lı́mn→+∞

10002n

[1000000

n2

n(n + 1)(2n + 1)6

+1000

nn(n + 1)

2

]= 166′916, 666.7

Por lo tanto, el costo por trasladar el desmonte según la distancia acumuladaa los largo de los 1000 metros, es 166′916, 666.7(0.06) = 10′015, 000 $.

(iii) El costo total de la excavación del tunel es

Costo del desmonte acumulado : 954, 154.2

Costo por trasladar el desmonte : 10′015, 000

Total : 10′969, 154.2

Ejercicio 8.26. Hallar el costo total del proyecto, utilizando una zanja de la ciudadA hasta el punto M, un túnel desde el punto M hasta el punto N, y una zanjadesde el punto N hasta el punto B. Comparar los costos y establecer el métodomás económico.

Solución.

Desde el punto A hasta el punto M (zanja) : 17′984, 000

Desde el punto M hasta el punto N (túnel) : 10′969, 154.2

Desde el punto N hasta el punto B (zanja) : 4′916, 000

Total : 33′869, 154.2

Sabemos que el costo de la zanja desde el punto A hasta el punto B es de28′570, 853.333 $. Por tanto, el método más económico consiste en construir unazanja desde la ciudad A hasta la ciudad B.

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Índice alfabético

Ángulos de control, 633Área de superficie, 535Área entre curvas, 523

Antiderivada, 452Antiderivada de potencias, 454Aproximación lineal, 358Arco coseno, 120Arco seno, 119Asíntota horizontal, 79, 242Asíntota vertical, 79, 253

Base, 85, 97Beneficio social total, 595Brazo de momento, 560

Cóncava hacia abajo, 412Cóncava hacia arriba, 412Cambio de variables, 470Capacidad de producción, 592Centro, 361Centro de masa, 561, 563Centroide, 566, 568Ceros de una función continua, 234Coeficiente principal, 72Comparando integrales, 504Composición, 41Composición de funciones, 40Concavidad, 412Constante de integración, 453Constante del resorte, 552Continua a derecha, 219Continua a izquierda, 219

Continuidad en un intervalo, 222Coseno, 112Coseno principal, 120Cota de error, 363Criterio de crecimiento, 370Curva de demanda, 30Curva de oferta, 31

Derivada de constante por función,282

Derivada de la exponencial, 287Derivada de la suma y la diferencia,

284Derivada de una constante, 280Derivada de una función, 270Derivada de una potencia, 281Derivada del cociente, 295Derivada del coseno, 297Derivada del logaritmo, 289Derivada del producto, 291Derivada del seno, 296Diferenciación implícita, 327Disposición para gastar, 585Disposición y capacidad de gasto, 585Dominio, 20Dominio natural, 20

Ecuaciones cinemáticas de empuje, 633Eje de revolución, 542Elástica, 402Elasticidad de demanda, 399, 400, 402Elasticidad unitaria, 402

653

654 ÍNDICE ALFABÉTICO

Energía cinética, 557Energía relativista total, 558Entradas, 19Equilibrio de mercado, 33Excentricidad, 532Exceso de consumo, 587Exceso de producción, 594Extremo absoluto, 375Extremo de efecto, 633Extremo relativo, 366

Fórmula de integración por partes, 474Fórmula de Pitágoras, 117Forma explícita, 326Función, 19Función constante, 56Función continua, 216Función creciente, 53Función cuadrática, 67Función de demanda, 30Función de densidad probabilística,

580Función de oferta, 31Función decreciente, 53Función derivable, 271Función exponencial, 85Función lineal, 59Función logaritmo, 97Función polinómica, 72Función producto, 36Función racional, 77Función suma, 36

Gasto de consumo, 584Grado, 72

Inelástica, 402Ingreso de producción, 590Integración por partes, 474Integral definida, 490, 493

Integral elíptica, 532Integral indefida para el seno y el co-

seno, 465Integral indefinida, 453Integral indefinida de ax, 463Integral indefinida de ex, 463Integral indefinida de constante por

función, 455Integral indefinida del logaritmo, 464Integral indefinida para 1/x, 461Integrando, 453Interés simple, 64Inversa, 48Inyectiva, 45

Límite, 172Límite al infinito, 241Límite en un punto, 199Límites infinitos, 250Ley de Hooke, 552Linealización, 361Logaritmo, 95Logaritmo natural, 97Longitud de arco, 527, 528

Máximo absoluto, 375, 377Máximo relativo, 364, 366Método de Newton-Raphson, 427, 429Mínimo absoluto, 375, 377Mínimo relativo, 364, 366Momento, 560

Optimización, 388

Potencias generalizadas, 312Precio de equilibrio, 33Punto de equilibrio, 33, 583, 595Punto de inflexión, 414Puntos críticos, 367

Raíz cuadrada, 35

ÍNDICE ALFABÉTICO 655

Rango, 20Razón de cambio instantáneo, 267Razón marginal de sustitución técni-

ca, 333Regla de L’Hopital, 404Regla de la cadena, 308Regla de Simpson, 610Regla del extremo derecho, 602Regla del extremo izquierdo, 601Regla del punto medio, 603Regla del trapezoide, 605Regla general de potencia, 467, 468Relación trabajo-energía, 556

Salidas, 19Segunda Ley de Newton, 555Seno, 112Seno principal, 119Suma de Riemann, 493Superficie de revolución, 533Sustitución, 470

Técnica de fracciones parciales, 479Técnica de la arandela, 545Término principal, 72Tangente principal, 125Teorema de Pappus, 570Teorema de Rolle, 421Teorema del valor extremo, 376Teorema del valor intermedio, 233Teorema del Valor Medio, 421, 423Teorema del valor medio para inte-

grales, 579Teorema fundamental del cálculo, 494Test de la recta horizontal, 46Test del coeficiente principal, 73Trabajo, 549, 550

Valor absoluto, 34Valor principal, 121, 122, 127

Valor promedio, 572, 573Variable aleatoria, 580Variable dependiente, 19Variable independiente, 19Velocidad de escape, 557Volumen de un sólido, 539

ÍNDICE ALFABÉTICO 657

658 ÍNDICE ALFABÉTICO

Este libro se terminó de imprimiren los talleres gráficos de Editorial San Marcos situados enAv. Las Lomas 1600, Urb. Mangomarca, S.J.L., Lima, Perú

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calculo diferencial e integral de funciones de una variable

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