cálculo de area de la figura

Se debe calcular el área sombreada de la siguiente figura, considerando que el lado del cuadrado “abcd” mide 8 cm:

8 cm

a

b c

d

1 Sergio Migliorisi - [email protected]

Para esto debemos averiguar el radio “r”.

A

C

B

a

b c

d

Sabemos que el circulo “A” tiene 3 tangentes, las llamaremos 1, 2 y 3.

2

-

- 3

- 1

r

Cálculo el área de la figura (A):

2

Sergio Migliorisi - [email protected]

Primero, calculamos el valor de la diagonal, que a su vez, es la hipotenusa del triángulo “bcd”:

C

B

a

b c

d

Aplicando Pitágoras: A

(bd)2 = (bc)2 + (cd)2

bd = (bc)2 + (cd)2

bd = (8cm)2 + (8cm)2

bd = 11,314 cm


3


Ahora que sabemos cuanto vale la diagonal “bd”, podemos saber la distancia entre “b-1” :

C

B

a

b c

d

- 1

A

bd = 2.b1

bd = b1 2

11,314 cm = b1 2

b1 = 5,657 cm


4


Podemos ver que la distancia del vértice “b” a la tg 1, es igual a la distancia entre el mismo punto y la tg 2.

C

B

a

b c

d

2

-

- 1

A

b1 = b2 = 5,657 cm

b1 = b2

b1

b2


5


c2 = 2,34 cm

Dado que:

b1 = b2

bc = 8 cm ; b2 = 5,66 cm

y c2 = bc – b2

C

B

a

b c

d

2

- 1

A

b2 c2

bc

b1 siendo:

c2 = 8 cm – 5,66 cm

resolvemos:


6


AA = 17,246 cm2

Podemos ver que:

c2 = r

AA = π. r2

C

B

a

b c

d

2

A Entonces calculamos el área del circulo A:

c2

r

AA = 3,14. (2,34 cm)2


7


C

B

A

A’

Ahora calcularemos el área de la figura B, o sea AB.

( Siendo: AA’ = AA )

Interpretemos que B es un cuadrado menos ¼ del circulo A’. Primero debemos hallar el área de ese cuadrado A y después restarle ¼ del área de A’:

AB = A – ¼ AA’

¼ A’

Cálculo el área de la figura (B):

AA = 17,25 cm2 8


Podemos ver que la figura B tiene una base b y una

altura h.

C

B

A r

r = b = h

A’

r

r


AA = 17,25 cm2

Y que cada una de ellas es igual al radio del circulo A’ y

de mismo valor que el radio del circulo A:

9

h

b


Calculando el área del cuadrado:

C

B

A

A’

¼ A’

AB = 5,47 cm2 – ¼ . 17,246 cm2

Entonces:

AB = 1,16 cm2

h

b

A = b . h

A = 2,34 cm . 2,34 cm

A = 5,47 cm2

AB = A – ¼ AA’


AA = 17,25 cm2 10


Cálculo el área de la figura (C):

Para calcular el área de la figura C, debemos conocer el área del triángulo “abd”

C

B

A

Entonces:

a

b c

d

A = ( b . h ) / 2

A = ( 8 cm . 8 cm ) / 2

A = 32 cm2

A = 32 cm2

AB = 1,16 cm2 AA = 17,25 cm2 11



C

B

A

a

b c

d

Ahora, utilizaremos los datos que ya tenemos de las áreas de cada figura.

Teniendo el área del triángulo “abd”, A :

AB = 1,16 cm2 AA = 17,25 cm2 A = 32 cm2 12



C

B

A

a

b c

d


Le restamos el área del circulo AA :


AB = 1,16 cm2 AA = 17,25 cm2 A = 32 cm2 13




C

B

A

a

b c

d

Le restamos el área del circulo AA :

Después le restamos el área de la figura AB :


AB = 1,16 cm2 AA = 17,25 cm2 A = 32 cm2 14



Podemos ver que nos quedan 2 figuras iguales, de las cuales solo necesitamos saber el área de una de ellas.

C

B

A

a

b c

d

Entonces dividiremos por 2 y así obtendremos el área de C.

AB = 1,16 cm2 AA = 17,25 cm2 A = 32 cm2 15



Algebraicamente:

C

B

A

a

b c

d

AC = A - AA - AB

2

Reemplazando:

AC = 32 cm2 - 17,25 cm2 – 1,16 cm2 2

AC = 6,795 cm2

AB = 1,16 cm2 AA = 17,25 cm2 A = 32 cm2 16



Finalmente sumamos las áreas que nos interesan:

C

B

A

a

b c

d

AB = 1,16 cm2

AA = 17,25 cm2

AC = 6,8 cm2

Atotal = 25,21 cm2

Obteniendo el resultado final:

17


cálculo de area de la figura

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