cálculo de área con la integral definida elaborado por: rita dederlÉ

Cálculo de área con

LA INTEGRAL DEFINIDA

Elaborado por:

RITA DEDERLÉ

Cálculo de área con

LA INTEGRAL DEFINIDA

Área entre dos curvas• Caso 1 • Caso 2• Caso 3

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ÁREA ENTRE DOS CURVAS

Cuando en un plano se encuentran dos curvas cualesquiera, y entre éstas existe como mínimo dos puntos de intersección, se dice entonces que existe un área delimitada por las curvas.

Al momento de decir curvas, nos referimos también a segmentos de línea recta, que pueden ser representadas por una función.

Existen tres casos para hallar el área entre las curvas, dependiendo de cómo se cruzan dichas curvas.


Caso 1

El caso 1 es el más sencillo de todos, basta con solo restar el área de cada curva, entre los límites de intersección, ya que f(x) cubre en su totalidad a g(x) debajo de los puntos de intersección

( ) ( )b

a

A f x g x dx ( )f x

( )g x

a

b

Para poder aplicar esta fórmula, se debe cumplir que f(x) > g(x). Esto se puede deducir fácilmente ya que f(x) está encima de g(x) con respecto a y. Esto hace a f(x) más positiva que a g(x).

También es posible integrar en y, para ello, los límites de integración serían las intersecciones de las curvas en las ordenadas. Para este tipo de gráfica, no se puede aplicar el caso 1, ya que si integramos en y, g(x) no cubre completamente a f(x) por debajo de los puntos de intersección.

( ) ( )b

a

A f x g x dx

Caso 1 – Ejemplo

Consideremos las funciones f(x) = 2x-x2, y g(x) = x. Entonces, para encontrar el área limitada por ellas se hace necesario conocer los puntos de intersección. Para hacerlo, igualamos las funciones y despejamos a x para conocer las coordenadas en las abscisas. Luego, las x de cualquiera de las dos funciones son reemplazadas por los valores obtenidos de x, así conoceremos las coordenadas en las y.

2

2

1

2

( ) ( )

2

0

(1 ) 0

0

1

f x g x

x x x

x x

x x

x

x

Escogemos g(x) por ser más sencilla.

Cuando x = 0, entonces,

Cuando x = 1 entonces,

1

( )

0

g x x

y x

y

2

( )

1

g x x

y x

y

Los puntos de corte son:

[0,0]

[1,1]

a

b

1

0

12

0

12

0

12 3

0

2

( ) ( )

(2 )

( )

1 1

2 3

1 1

2 316

A f x g x dx

A x x x dx

A x x dx

A x x

A

A u

Caso 1 – Ejemplo (continuación)

Como se observa en el desarrollo, la integral está limitada entre 0 y 1, que son lo valores correspondientes a x1 y a x2. Luego, es simplemente aplicar la fórmula. Remplazamos f(x) y g(x), respetando los signos.

El área nunca puede ser negativa. Las unidades del área se representan por u2 y se lee unidades cuadradas.

( )f x

A

( )g x

10

1

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Caso 2

El caso 2 presenta áreas donde se hace necesario dividir la integral, o simplemente integrar una parte y multiplicada por dos. Lo segundo siempre y cuando sea simétrica.

( )f x

( )g x

a b

c

1A

2A

Simétrica Asimétrica

A1 = A2A1 ≠ A2

( )f x

( )g x

c

ba

1A

2A


Caso 2 (continuación)

Cuando se presentan áreas simétricas, la fórmula para hallarla es la siguiente:

12

2 ( ) ( )b

a

A A

A g x f x dx

En este caso, se toma a g(x) > que f(x), ya que en el intervalo que se está integrando [a,b] g(x) está por encima de f(x).

( )f x

( )g x

c

ba

1A

2A



Para las áreas asimétricas, se debe primero calcular el área A1 y luego la de A2. El área total será la suma de ambas.

1 2

( ) ( ) ( ) ( )b a

a c

A A A

A g x f x dx f x g x dx

Se debe tener presente que los límites de integración cambian de acuerdo al intervalo calculado, como también la posición de f(x) y g(x) dentro de la integral.

( )f x

( )g x

a b

c

1A

2A

Caso 2 - Ejemplo

En este ejemplo, tenemos a f(x) = x3 y a g(x) = 2x-x2. Al igual que en el caso anterior, debemos encontrar los puntos de corte.

3 2

3 2

2

1

2

3

( ) ( )

2

2 0

( 2) 0

( 2)( 1) 0

0

2

1

f x g x

x x x

x x x

x x x

x x x

x

x

x

Escogemos f(x) por ser más sencilla.

Cuando x = 0, entonces,

Cuando x = -2 entonces,

Cuando x = 1 entonces,

3

0

y x

y

Los puntos de corte son:

[0,0]

[1,1]

[ 2, 8]

a

b

c

3

8

y x

y

3

1

y x

y


0 1

2 0

0 13 2 2 3

2 0

0 13 2 2 3

2 0

0 14 3 2 2 3 4

2 0

2

( ) ( ) ( ) ( )

[ (2 )] (2 )

( 2 ) (2 )

1 1 1 1

4 3 3 4

8 1 14 4 13 3 4

3712

A f x g x dx g x f x dx

A x x x dx x x x dx

A x x x dx x x x dx

A x x x x x x

A

A u

Este ejemplo presenta un área asimétrica, por lo cual fue necesario realizar el cálculo de ambos segmentos de área, y sumarlos al final.

( )f x

1A

2A

( )g x

1

-2

0



Caso 3

Este último caso se presenta cuando la función que se encuentra en la parte superior no abarca a toda la otra función por debajo de los puntos de intersección. Esto se puede observar en la siguiente figura.

Como se observa, la función f(x) no cubre en su totalidad a g(x), por lo que se hace necesario partir la integral.

El área total de esta figura será la suma del doble del área en el intervalo [c,a] y el doble del área en el intervalo [a,b].

1 22 2

( ) ( ) ( )b a

a c

A A A

A f x g x dx f x dx

( )f x

( )g x

c a

b

1A

A



Para conocer los límites de integración para A1 se igualan las funciones como se ha venido haciendo y hallamos un punto. El otro, se halla usando las fórmulas de la parábola, que nos permitirán conocer el vértice de la función. Estas fórmulas también nos permitirán conocer los límites para A2.

Un repaso rápido de las ecuación de la parábola con eje en (h,k) nos permitirá agilizar el proceso de cálculo.

En las fórmulas, el vértice se conforma por los números que acompañan a cada incógnita. Por ejemplo, en (x-h) la coordenada en x será h, mientras que con (x+h) la coordenada en x será –h. Lo mismo ocurre con las coordenadas en y.

2

2

2

2

( ) 4 ( )

( ) 4 ( )

( ) 4 ( )

( ) 4 ( )

x h p y k

x h p y k

y k p x h

y k p x h

Abre hacia arriba

Abre hacia abajo

Abre hacia la derecha

Abra hacia la izquierda

Caso 3 – Ejemplo

Hallaremos el área encerrada entre y2 = 2x, y y2 = x+4. Primero que todo, buscaremos el punto de intersección de las dos curvas. Como ambas curvas tiene en común y2 no se hace necesario despejar y.

2 4

4

x x

x

2 2

2

2(4)

2 2

y x

y x

y

y

Escogemos y2 = 2x para hacer el reemplazo

Los puntos de intersección son

Esto es debido a que el resultado de una raíz cuadrada siempre es positiva o negativa.

[4,2 2]

[4, 2 2]

a

b


Ya conocemos la intersección entre las dos parábolas, ahora, solo debemos buscar el vértice de cada una de ellas. Para hacerlo, debemos llevar las ecuaciones a la fórmula de la parábola, guiándonos de su estructura anteriormente mostrada. Ya cuando la tengamos en la forma de la ecuación de la parábola, podemos deducir las coordenadas de los vértices.

2

2

2

( 0) 2( 0)

y x

y x

0

0

x

y

2

2

4

( 0) ( 4)

y x

y x

4

0

x

y

Las coordenadas del vértice de y2 = 2x son

Las coordenadas del vértice de y2 = x+4 son


4 0

0 4

4 01/ 2 1/ 2 1/ 2

0 4

4 03 3 3

0 4

2

2 ( ) ( ) 2 ( )

2 [( 4) (2 ) ] 2 ( 4)

2 1 22 ( 4) (2 ) 2 ( 4)3 3 3

2 1 22 8 8 8 8 8 2 (8)3 3 3

32 32 16 328 8

3 3 3 316

83

A f x g x dx f x dx

A x x dx x dx

A x x x

A

A

A u

Se hace necesario despejar y para poder integrar las funciones.

Observamos que ambas integrales están multiplicadas por 2. También se observa que el área A2 es únicamente la función f(x), puesto que en ese intervalo, [-4,0] solo interviene esta.

( )f x

( )g x

4- 0 4

1A

2A


( )f x

A

( )g x

10

1

2( ) 2

( )

f x x x

g x x

Gráfica ejemplo caso 1


( )f x

1A

2A

( )g x

1

-2

0

3

2

( )

( ) 2

f x x

g x x x


( )f x

( )g x

4- 0 4

1A

2A

2

2

4

2

y x

y x

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