Clculo de la aceleracin de gravedad a travs del movimiento armnico simpleUniversidad de los AndesEscuela de MedicinaLaboratorio Fsica

STEFANIA TUMANI C., JUAN PABLO ROJAS C.,BRBARA PODEST M., MARA JOS MEZA S., CAMILA RAMIREZ P.

Introduccin:

La aceleracin de gravedad terrestre, se simboliza mediante la letra g, y tiene un valor aproximado de 9,8 m/s2. Este laboratorio tiene como objetivo determinar dicho valor de manera emprica, a travs del movimiento armnico simple. A continuacin, definiremos ciertos conceptos, que son claves para una mayor comprensin. El movimiento armnico simple es un movimiento peridico que ocurre en ausencia de friccin y es producido por un fuerza de restitucin directamente proporcional al desplazamiento y tiene una direccin opuesta a este (Tippens, 2007); se produce movimiento armnico simple cuando la fuerza neta a lo largo de la direccin del movimiento se ajusta a la ley de Hooke. Es por esto que un sistema masa-resorte presenta este tipo de movimiento. Por su parte, tambin es importante sealar la recin mencionada Ley de Hooke, que se define por la siguiente ecuacin, donde S es el alargamiento del resorte, y k es la constante elstica:

Cabe sealar, tambin como un concepto importante, la llamada Segunda ley de Newton, y su relacin con la aceleracin que en este caso es de gravedad: F = m a F peso= m g (2)

Si nos detenemos a analizar (1) y (2), fusionndolas a partir de la variable fuerza, el resultado queda como: m g = k s . (3)

Entonces, es posible sealar que, relacionando la ecuacin de la ley de Hooke y la de la Segunda Ley de Newton, es posible conocer la variable aceleracin de gravedad, si se conoce el valor del resto de las variantes.

Ahora, con relacin al presente informe, es importante mencionar otros datos. Como ya se seal en la primera parte del trabajo, esta experiencia prctica const de dos experimentos, paralelamente realizados con el mismo objetivo. Para el experimento del pndulo simple, se utiliz la ecuacin que se mostrar a continuacin, la cual relaciona el periodo de oscilacin T, el largo de la cuerda () y el valor de la aceleracin de gravedad terrestre (g).

(4)A partir de los valores del largo de la cuerda y el periodo de oscilacin, es posible obtener directamente el valor de la Gravedad terrestre.

Por su parte, para el experimento del muelle armnico simple, fue utilizada la siguiente ecuacin, donde el perodo (T) relaciona la constante elstica (k), segn la llamada ley de Hooke, y la masa (m).

(5)

Para el caso de este experimento, son conocidos los valores de T y m, y por tanto la variable a despejar es k. Una vez despejado el valor de la constante k, es posible encontrar por medio de (3), el valor de la aceleracin de gravedad, dado que tambin conocemos los valores S y m.

Dado esto, el estudio se bas en obtener lo anteriormente sealado, utilizando movimiento armnico simple, para as comparar los resultados con la realidad.Es importante sealar que para cada medicin existe un error asociado. ste puede ser provocado por la sensibilidad del instrumento o por una falla en la apreciacin de quien est realizando el experimento. Para minimizar dicho error se harn varias mediciones. As, teniendo una cantidad considerable de resultados el error puede ser minimizado y calculado con la frmula del error cuadrtico medio, mostrada a continuacin: (6)Donde x es el dato obtenido y n la cantidad de datos del experimento.

Materiales y mtodos

1) Pndulo simple

MontajePara realizar el experimento, fue necesario realizar el montaje de un pndulo simple, compuesto por un soporte universal cuya altura es de 49 cm, un trozo de cuerda de peso despreciable amarrada al soporte por uno de sus extremos, y una masa que penda de la cuerda. Cabe mencionar que la masa a utilizar variaba segn lo requiriese el experimento, teniendo a nuestra disposicin un total de 4 masas de distintos valores, masados con una balanza antes de comenzar el experimento. Los resultados fueron: 82.2 gramos, 102.9 gramos, 120 gramos, 139.6 gramos y 159.5 gramos. Adems, para medir el periodo de las oscilaciones en cada situacin experimental, se utiliz un cronometro digital, cuyo margen de error es de 0,01 segundos. Y para la medida de la cuerda se utiliz una regla cuyo margen de error es de 0,5. El sistema oscila debido al peso de la masa, de la fuerza de gravedad, y de su propia geometra. Para realizar las mediciones, se trabaj en un rango de pequeas oscilaciones, donde el sistema oscila sin que la cuerda deje de estar estirada.Un bosquejo del sistema resultante, se aprecia en la siguiente imagen:

ProcedimientoI. En un extremo de la cuerda que pende del soporte universal, cuya longitud es de 40 cm, se posicion una masa de 82,2 gramos. Se midi el periodo de oscilacin de esta considerando cinco amplitudes distintas; para esto se traslad la cuerda, siempre tensa, desde su eje de equilibrio hasta crear con respecto a este, ngulos de 61.64, 53.13, 43.53, 31,.78, 12.83. Estos ngulos fueron medidos en funcin de la altura en que quedaba la masa al crear dicho ngulo, con respecto a la superficie. Como se conoce el largo de la cuerda utilizada y adems la altura del soporte universal, nos es posible conocer los ngulos de inclinacin de la cuerda tensa por medio de trigonometra, como nos muerta la siguiente ilustracin:

As, cos = (49-H) 40-1Una vez determinado el ngulo a utilizar, en funcin de la altura, se procedi a ubicar la masa en la posicin requerida para formarlo. En primera instancia se ubic la masa a 30 cm de altura con respecto a la superficie, y desde ah se dej caer, midiendo con el cronmetro digital el tiempo que demoraba en realizar cinco oscilaciones, y repitiendo este proceso 5 veces. Luego se realiz lo descrito anteriormente para 25, 20, 15 y 10 centmetros de altura de la masa con respecto a la superficie., y se registraron los datos en una tabla.

II. Para comprobar que en el movimiento armnico simple el perodo es independiente de la masa, con el mismo montaje anterior, se realizaron nuevas mediciones del periodo, con el mismo largo anterior de 40 cm, pero variando el valor de las masas. En un comienzo se utiliz la masa de 82,2 gramos, se midi, con ayuda de un cronmetro, el tiempo de 5 oscilaciones con un mismo ngulo. El ngulo utilizado fue de 53,13, que corresponde a una altura de 25 cm con respecto a la superficie. Se realiz 5 veces y se obtuvo un promedio de la masa, que ha de ser anotado en una tabla. A continuacin, se efectu el mismo procedimiento para cada una de las masas: 102.9 gramos, 120 gramos, 139.6 gramos y 159.5 gramos.

III. Por ltimo, para poder encontrar el valor aproximado de la aceleracin de gravedad, se realizan nuevamente mediciones del periodo, cambiando esta vez el largo de la cuerda y con un mismo valor de masa y de ngulo. Se utiliz una masa de 159,5 gramos y con un ngulo de 53,13. Se hicieron al igual que los experimentos anteriores 5 mediciones del tiempo que se demora en hacer 5 oscilaciones. Se comenz con un largo de 40 cm de la cuerda, para luego ir aumentndola cada 5 cm hasta llegar a los 60 cm de longitud. Luego, para cada largo se saca un promedio y se anota en una tabla. Por ltimo, para poder encontrar el valor que se est buscando obtener, el promedio de cada longitud se divide en cinco, para as tener el tiempo que se demora en una sola oscilacin, y se reemplaza tanto este valor como el del largo, en la ecuacin (4). Debido a que al despejar la variable g, se podr obtener su cifra aproximada.

2) Muelle armnico simple

Materiales:El montaje para realizar el experimento del Muelle armnico simple consta de una vara de soporte que se apoya en una base metlica. Desde esta vara se cuelga un muelle o resorte del cual a su vez se engancha una masa o pesa que ejercer una fuerza en direccin hacia abajo. Las dos masas a utilizar son las de 82.3 g y 159.8 g. Se utilizaron dos instrumentos que llevan asociados un error de medicin que deber ser considerado en los resultados finales. Estos son: un cronmetro, instrumento digital con un margen de error de 0.01 segundos y la regla, instrumento anlogo con un error de 0.5. Procedimiento:

I. El primer paso fue desplazar la masa de 82.3 g 1 cm desde su punto de equilibrio, soltarla y medir el tiempo que demoraba en oscilar 5 veces. Se repiti este paso 5 veces para llegar a valores ms cercanos a la realidad. Luego, se dividi cada tiempo en 5 para obtener el periodo que tarda en oscilar una sola vez y se sac un promedio del periodo para cada repeticin. Este experimento se realiz para amplitudes de 2,4, 6 y 8 cm. Se registraron todos los valores en tablas de datos ya que seran de utilidad para realizar el informe de laboratorio.II. Se calcul el valor de la constante de elasticidad K para cada uno de los periodos promedios obtenidos, aplicando la frmula (5) y se determin el valor promedio de la constante de elasticidad K del resorte. III. Se conect al resorte la masa de 159.8 g, ya que era la ms pesada, pudiendo divisar con mayor claridad cunto bajaba (amplitud) desde su punto de equilibrio. Por ltimo, se determin el valor de la aceleracin de gravedad terrestre, utilizando correctamente la Segunda Ley de Newton.

Resultados: 1) Pndulo simple

a) Diferentes amplitudes iniciales, misma longitud (40 cm) y masa (82,2 g)

ngulo ()Amplitud inicial (h)Perodos de 5 oscilacionesPeriodos de 1 oscilacinPeriodo promedio

61,6430 cmT1: 6,6 1 sT2: 6,76 sT3: 6,66 sT4: 6,85 sT5: 6,8 s T1: 1,322 sT2: 1,352 sT3: 1,332 sT4: 1,37 sT5: 1,36 s T1: 1,347s

53,1325 cmT1: 6,61 sT2: 6,95 sT3: 6,63 sT4: 6,61 sT5: 6,9 sT1: 1,322 sT2: 1,39 sT3: 1,326 sT4: 1, 322 sT5: 1,38 s T2 : 1,348 s

43,531

20 cmT1: 6,63 sT2: 6,78 sT3: 6,61 sT4: 6,86 sT5: 6,61 sT1: 1,326 sT2: 1,356 sT3: 1,322 sT4: 1,372T5: 1,322 T3: 1,3396 s

31, 78815 cmT1: 6,6 sT2: 6,53 sT3: 6,75 sT4: 6,76 sT5: 6,66 sT1: 1,32 sT2: 1,306 sT3: 1,35 sT4: 1,352 sT5: 1,332 s T4: 1,334 s

12,83810 cmT1: 6,61 sT2: 6,68 sT3: 6,6 sT4: 6,75 sT5: 6,75 sT1: 1,322 sT2: 1,336 sT3: 1,32 sT4: 1,35 sT5: 1,35 s T5: 1,3356 s

b) Diferentes masas, misma longitud.

MasaAmplitud inicial (h)Perodos de 5 oscilacionesPeriodos de 1 oscilacinPeriodo promedio

82,2 g25 cmT1: 6,7 sT2: 6,76 sT3: 6,8 sT4: 6,6 sT5: 6,62 s T1: 1,34 sT2: 1,352 sT3: 1,36 sT4: 1,32 sT5: 1,324 s T1: 1,3392 s

102, 9 g25 cmT1: 6,63 sT2: 6,90 sT3: 6,73 sT4: 6,8 sT5: 6,59 sT1: 1,326 sT2: 1,38 sT3: 1,346 sT4: 1, 36 sT5: 1,318 s T2 : 1,346 s

120 g25 cmT1: 6,8 sT2: 6,62 sT3: 6,61 sT4: 6,75 sT5: 6,61 sT1: 1,36 sT2: 1,324 sT3: 1,322 sT4: 1,35 sT5: 1,322 s T3: 1,3356 s

139,6 g25 cmT1: 6,7 sT2: 6,63 sT3: 6,65 sT4: 6,8 sT5: 6,66 sT1: 1,34 sT2: 1,326 sT3: 1,33 sT4: 1,36 sT5: 1,332 s T4: 1,3376 s

159,5 g25 cmT1: 6,61 sT2: 6,7 sT3: 6,9 sT4: 6,66 sT5: 6,63 sT1: 1,322 sT2: 1,34 sT3: 1,38 sT4: 1,332 sT5: 1,326 s T5: 1,34 s

c) Diferentes longitudes, mismo ngulo (53, 13), misma masa (82,2 g)LongitudPerodos de 5 oscilacionesPerodos de 1 oscilacinPromedio perodo

40 cmT1: 6,7 sT2: 6,75 sT3: 6,6 sT4: 6,65 sT5: 6,8 s T1: 1,34 sT2: 1,35 sT3: 1,32 sT4: 1,33 sT5: 1,36 s T1: 1,34 s

45 cmT1: 7,11 sT2: 6,91 sT3: 7,25 sT4: 7,1 sT5: 7,2 s T1: 1,422 sT2: 1,382 sT3: 1,45 sT4: 1,42 sT5: 1,44 s T2: 1,4228 s

50 cm T1: 7,35 sT2: 7,58 sT3: 7,38 sT4: 7,4 sT5: 7,5 sT1: 1,47 sT2: 1,516 sT3: 1,476 sT4: 1,48 sT5: 1,5 s T3: 1,4884 s

55 cmT1: 7,9 sT2: 7,91 sT3: 7,9 sT4: 7,92 sT5: 7,89 sT1: 1,58 sT2: 1,582 sT3: 1,58 sT4: 1,584 sT5: 1,578 s T4: 1,5808 s

60 cmT1: 8,28 sT2: 8 sT3: 8,35 sT4: 8,1 sT5: 8,2 s T1: 1,656 sT2: 1,6 sT3: 1,67 sT4: 1,62 sT5: 1,64 s T5: 1,6372 s

d) Obtencin de la aceleracin de gravedad: Longitud (Promedio perodoAceleracin de gravedad

40 cm (0,4 m)T1: 1,34 sg 1: 8,698 m/s2

45 cm (0,45 m)T2: 1,4228 sg 2: 8,776 m/s2

50 cm (0,5 m)T3: 1,4884 sg 3: 8,915 m/s2

55 cm (0,55 m)T4: 1,5808 sg 4: 8,689 m/s2

60 cm (0,6 m)T5: 1,6372 sg 5: 8,837 m/s2

g 1 + g 2 + g 3 + g 4 + g 5 = 8,7812 m/s2 0,085 (error cuadrtico medio) 5Obtencin del error cuadrtico medio: = 0,085

2) Muelle armnico simple

Amplitud (cm)Periodos de 5 oscilacionesPeriodos de 1 oscilacin (T/5)Periodo promedioConstante de elasticidad K

K =

Aceleracin de gravedad

Mg=

1 T1= 3T2= 3.3T3= 2.9T4=3.1T5= 3.3T=0.6T=0.66T=0.58T=0.62T=0.66

T= 0.624

K= 8.34

g 1 = 8,668

2T1= 3.3T2= 3.3T3= 3.2T4= 3.3T5= 3.4T=0.66T=0.66T=0.64T=0.66T=0.68

T= 0.66

K=7.46

g 2 = 7,7482

4T1= 3.4T2=3.8T3=3.4T4=3.4T5=3.6T=0.68T=0.76T=0.68T=0.68T=0.72

T=0.704

K=6.55

g 3 = 6,8099

6T1=3.5T2=3.2T3=3.2T4=3.2T5=3.4T=0.7T=0.64T=0.64T=0.64T=0.68

T=0.66

K=7.46

g 4 = 7,7482

8T1=3.4T2=3.1T3=3.1T4=3.2T5=3.2T=0.68T=0.62T=0.62T=0.64T=0.64

T=0.64

K=7.93

g 5 = 8,2400

T promedio= 0.6576K promedio=7.55Aceleracin promedio = 7,84 m/s2

F= ma -ks= ma g= -ks/m g=-7.55 x 0.166/0.1598 g= 7.84 m/s2 0,62 (error cuadrtico medio). Obtencin del error cuadrtico medio:= 0, 62

DiscusinAl tener en cuenta que cada instrumento utilizado en ambos experimentos tenan un margen de error, queda demostrado que es posible encontrar un valor aproximado a la aceleracin de gravedad. Adems esta variacin no se debe solamente al error asociado a los instrumentos, sino tambin al error humano, donde influye la visin y la rigurosidad con que se toma el tiempo, ya que afecta la exactitud entre que comience a oscilar el resorte y pndulo con el comienzo del conteo del cronmetro. Adems en el experimento de pndulo simple se concluye a partir de los perodos obtenidos que ni la masa ni la amplitud inicial influyen en este valor. Y para el caso del muelle armnico simple es independiente el perodo de la amplitud inicial. Una posible hiptesis para explicar nuestra variacin en el valor de la aceleracin de gravedad es por los factores externos como la zona geogrfica, altura del nivel del mar (nos encontramos a gran altura respecto al nivel de este), que podran generar pequeas variaciones en su valor. Por ejemplo en la lnea ecuatorial la aceleracin de gravedad es de 9,78 m/s2