calculo 1

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Clculo I

Unidad 1

Unidad 1 Funciones y sus grficas

1.1 Conceptos bsicos de funciones

1.2 Clasificacin y combinacin de funciones

1.3 Representacin grfica de funciones

1.1 Conceptos bsicos de funciones:

1.1.1 Definicin de funcin

1.1.2 Intervalos y desigualdades

1.1.3 Dominio y rango de una funcin

1.1.1 Definicin de funcin.Si X e Y son conjuntos, una relacin entre ellos es el conjunto depares ordenados (x,y) donde x es un elemento de X e y es elementode Y.

Una funcin de X a Y es una relacin de X e Y que tiene la propiedadde que para un valor de x corresponde siempre el mismo valor de y.Normalmente la x es la variable independiente e y la variabledependiente.


1.1.1 Definicin de funcin.Ejemplo:

Para el dimetro y el rea de un crculo:


r

A

X (radios) Y (reas)

1

2

3

4

5

4

9

16

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1.1.1 Definicin de funcin.Funcin real de variable real:

Siendo X e Y conjuntos de nmeros reales. Una funcin f real devariable real x de X a Y, es una correspondencia que asigna a cadanmero x en X un y solo un nmero y en Y.

El dominio de y es el conjunto X, el nmero y es la imagen de x bajof y se escribe como f(x), el cual se llama el valor de f en x.


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1.1.1 Definicin de funcin.Prueba de la lnea vertical.

Una curva en el plano x-y, ser la grfica de una funcin de x, si ysolo si ninguna lnea vertical intersecta la funcin mas de una vez.


1.1.1 Definicin de funcin.El rango de f es el subconjunto de Y, y consiste de todas lasimgenes de nmeros de X.


X Y

x y=f(x)

f

Subconjunto de Y

1.1.1 Definicin de funcin.Ecuacin en forma implcita:

Ecuacin en forma explcita:


+ 2 = 1 = 12 1

1.1.1 Definicin de funcin.Usando f como nombre de la funcin, se tiene la notacin de funcin:

La notacin de funcin tiene la ventaja de que identifica claramentela variable dependiente y la independiente.

Funcin definida por partes:


= 12 1

1.1.1 Definicin de funcin.Para una funcin f definida por:

Realiza su grfica en el plano x-yEvaluarla en:

a) f(6)

b) f(3a)

c) f(b-1)

d)


= + 7

, 0

1.1.1 Definicin de funcin.Realiza la grfica de:


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1.1.1 Definicin de funcin.Encuentra la funcin de:


1.1.1 Definicin de funcin.Ejercicios:

Realiza una grfica de las ecuaciones siguientes:


1.1.2 Intervalos y desigualdades.Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numricas oalgebraicas relacionadas por algunos de los smbolos:

Existen dos tipos de desigualdades que involucran una variable:

Desigualdad absoluta: Es aquella que se verifica para cualquier valorque se atribuya a la variable.

Desigualdad condicional: Es aquella que se atribuye para ciertosvalores de la variable, por ejemplo que se satisfacecuando


, 1.1.2 Intervalos y desigualdades.Resolver una desigualdad que involucran una variable es encontrar elconjunto de valores de la variable que satisfacen la desigualdad.

Las desigualdades se resuelven de una forma muy similar que unaecuacin, sin embargo se deben observar las siguientes reglas.


1.1.2 Intervalos y desigualdades.Para resolver desigualdades se deben tomar en cuenta las siguientesreglas:

Se puede hacer lo siguiente sin alterar la direccin de la desigualdad:

1. Sumar o restar un nmero en ambos lados de la desigualdad.2. Multiplicar o dividir por un nmero positivo en ambos lados de la

desigualdad.

Se puede hacer lo siguiente cambiando la direccin de ladesigualdad:

1. Multiplicar o dividir por un nmero negativo en ambos lados de ladesigualdad.

2. Cambiando de lado los trminos


1.1.2 Intervalos y desigualdades.Ejemplo:

La solucin define el Intervalo:


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1.1.2 Intervalos y desigualdades.Ejercicios de clase:


1.1.2 Intervalos y desigualdades.Ejercicios:


1.1.3 Dominio y rango de una funcin.La grfica de f(x) permite visualizar el dominio y el rango de f


1.1.3 Dominio y rango de una funcin.El dominio de una funcin son aquellos valores que puede tomar lavariable independiente, x, en las cuales quede definido el valor f(x).

Ejemplos, definir el dominio de las siguientes funciones:

Df: x R

Df: x R

Para todas las funciones el dominio es de todos los nmeros reales?


= 6 + 2 + 1 (,)() = (,)

1.1.3 Dominio y rango de una funcin.Tipos de funciones especiales para clculo del dominio:

- Ecuaciones racionales.

- Races con ndice par.

- Logaritmos.


1.1.3 Dominio y rango de una funcin.Ecuaciones racionales


= 6 1 2 : 2

, 2 2, =

6 : 2,3 ,2 2,3 3,

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1.1.3 Dominio y rango de una funcin.Ecuaciones racionales


= 6 + 1

1.1.3 Dominio y rango de una funcin.Ecuaciones con races de ndice par:


= 1 [1, +)

= 2 4 ,4 [2, +)

= 1

-4 2

+ + + + + + + + + + + +- - - - - - - - -

1.1.3 Dominio y rango de una funcin.Ecuaciones con logaritmos:


= 8 (8, +) ,1 (1, +)

-1 1

+ + + + + + + + + + + +- - - - - - - - -

= 1 + 1

1.1.3 Dominio y rango de una funcin.Ecuaciones con logaritmos:


= 2 + 3 R

1.1.3 Dominio y rango de una funcin.Ejercicios: Determina el dominio de las siguientes funciones.


= + 1 1

= + 1 + 4 + 3

1.1.3 Dominio y rango de una funcin.Rango de una funcin.

Para determinar el rango de una funcin realiza el siguienteprocedimiento:

1. Determinar la funcin inversa.2. Determinar el dominio de la funcin inversa, el cual ser el rango

de la funcin original.

En algunos casos se puede realizar grficamente


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Ejemplo:

1. Determinar la funcin inversa:


= + 4 = + 4 4 = 4 = 4 =

= 4


2. Determinar el dominio de la funcin inversa, el cual ser el rangode la funcin original.


= 4 4 0 4

: [4,)


Se muestra la grficade :


= + 4: [4,):

1.2 Clasificacin y combinacin de funciones:

1.2.1 Funciones compuestas

1.2.2 Funciones pares e impares

1.2.3 Funciones inversas

1.2.4 Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas

1.2.1 Funciones compuestas.Definicin:

La composicin de f con g, denotada como f g y que se lee fcomposicin g, es la funcin cuyo dominio consiste en lo elementosxDg tales que g(x)Df y cuya regla de correspondencia es:

No es necesario que f y g sean funciones reales de variable real.

1.2 Clasificacin y composicin de funciones

=

1.2.1 Funciones compuestas.

Se presenta un diagrama esquemtico de f composicin g.


A B C

f g

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Ejemplo de funciones reales de variable real:

1. Determinar f composicin g y su dominio

2. Determinar g composicin f y su dominio

http://www.youtube.com/watch?v=fLiwtU-8KN4


= 2 = 1

= =


1. Determinar f composicin g y su dominio

Puntos de cambio 0 y 0.5

- - - - - - - - - + + + + + - - - - - - - -

Dfog: x (0,0.5]


= = 21

2 0

0 0.5

1.2.1 Funciones compuestas.1. Determinar f composicin g (GRAFICAMENTE)



Ejemplo de funciones aplicadas a conjuntos:

1. Determinar f composicin g

2. Determinar g composicin f y su dominio


= 1,3 , 2,4 , 3,5 , 4,6 = 0,3 , 3,2 , 4,1

= 3,4 , (4,3) = 1,2 , (2,1)

1.2.1 Funciones compuestas.Ejercicios:

Para las siguientesfunciones, determinarfog, gof, fof y gog.Tambin determinar eldominio de f y de gpara cada caso.


Escoger un ejercicio y encontrar las curvas de fog y gofgrficamente

1.2.2 Funciones pares e impares.Para enteros pares n:

Para enteros impares n:


= =

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1.2.2 Funciones pares e impares.Por lo anterior se tienen las siguientes definiciones:

Una funcin f se dice que es par si:

Para todo x Df

Una funcin f se dice que es impar si:

Para todo x Df


= =

1.2.2 Funciones pares e impares.La grfica de una funcin par es simtrica con respecto al eje y.


= = =

1.2.2 Funciones pares e impares.La grfica de una funcin impar es simtrica con respecto al origen.


1.2.2 Funciones pares e impares.Ejercicios:

Determina si las funciones siguientes, son par, impar o ninguna de lasdos.

Muestra grficamente el resultado


1.2.3 Funcin inversa.Definiciones

Una funcin f es llamada funcin uno a uno si sta, para todo sudominio, nunca resulta en un mismo valor dos veces en el rango, esdecir, si f es una funcin 1 a 1:


1.2.3 Funcin inversa.Esquemticamente:

f es uno a uno, g no lo es.


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1.2.3 Funcin inversa.Grficamente:

Si se traza una lnea horizontal en la grfica de la funcin.

No es funcin uno a uno Si es funcin uno a uno


Intersecta la curva en mas de un punto

Siempre intersecta la curva en un solo punto

1.2.3 Funcin inversa.Definicin.

Si f es una funcin uno a uno con dominio A y rango B, entonces sufuncin inversa f -1 tiene dominio B y rango A y es definido por:

Para todo y en B.

Si f no fuera una funcin uno a uno, entonces la funcin f -1 noestara definida unvocamente, es decir para un valor en su dominiopodran corresponder mas de uno en el rango.


= =

1.2.3 Funcin inversa.Observacin

El dominio de f-1 ser el rango de f.

El dominio de f ser el rango de f-1.


1.2.3 Funcin inversa.Observacin

NO CONFUNDIR

SI QUIERES EXPRESAR EL RECPROCO DE UNA FUNCIN DEBES ESCRIBIR


= 1

= 1

1.2.3 Funcin inversa.Ejemplo:

Encuentra la inversa de la funcin siguiente y grafica f(x) y f-1(x):

1. Sustituye f(x) por y

2. Despeja x

3. Sustituye x por y y viceversa

4. Sustituye y por f-1(x)


= + 2 = + 2 = 2 = 2

() = 2

1.2.3 Funcin inversa.


Ilustracin grfica delejemplo anterior.

Observa la simetra conrespecto a y=x

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1.2.3 Funcin inversa.Ejercicios:


1.2.4 Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas.

Funcin inyectiva.

Una funcin f es inyectiva si cada elemento de B es la imagen de nomas que un elemento de A

implica


= =


Funcin suprayectiva.

Una funcin f es suprayectiva si cada elemento de B es la imagen depor lo menos un elemento de A

Es equivalente decir que B es el rango de f



Funcin biyectiva.

Una funcin f es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.

A estas funciones tambin se les llama correspondencia uno a uno.



Ejercicios. Afirmar y probar el tipo de funcin que es f en lossiguientes casos si f: R R


1.3 Representacin grfica de funciones:

1.3.1 Funciones de una variable.

1.3.2 Funciones vectoriales.

1.3.3 Funciones de varias variables.

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1.3.1 Funciones de una variable.Definicin de grfica de una funcin:

Si f es una funcin real de variable real, entonces la grfica de f es elconjunto de pares ordenados de f considerados como un conjunto depuntos en R2.

Ejemplo, trazar la grfica de la funcin:


= 1,3 , 2,4 , 3,5 , 4,60

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5

Cuando unimos los puntos por una lnea suave y continua estamos suponiendo que la funcin es continua y diferenciable.

1.3.1 Funciones de una variable.Suponer el siguiente rectngulo de visualizacin.


1.3.1 Funciones de una variable.Grafica la funcin.

a) [-2,2] por [-2,2]b) [-4,4] por [-4,4]c) [-10,10] por [-5,30]d) [-50,50] por [-100,100]


= + 31.3.2 Funciones vectoriales.Curvas paramtricas.

Trayectorias en Rn.

Sea I un intervalo en R.

Una trayectoria en Rn es una funcin continua x:I Rn.


1.3.2 Funciones vectoriales.Ejemplo 1 curvas paramtricas :

Graficar z: R R2.


En matlab

t=(0:pi/100:2*pi);x=3*cos(t);y=3*sin(t);plot(x,y)

= (3 cos , 3sin()) = 3 cos + 3 sin


Graficar z: R R3.

Esta es conocida como hlicecircular.


= (3 cos , 3 sin ,5) = 3 cos + 3 sin + 5

En matlabt=(0:pi/100:10*pi);x=3*cos(t);y=3*sin(t);z=5*t;plot3(x,y,z)

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Para la curva paramtrica

Encuentra la posicin cuando x(1)


1.3.2 Funciones vectoriales.Ejercicios:

Realiza los trazos de lassiguientes curvas paramtricas:



Funciones vectoriales de R2 en R2.

Sea r(x,y) un intervalo en R2.

Un campo vectorial en R2 es una funcin continua r(x,y):r R2.


1.3.2 Funciones vectoriales.Ejemplo funcin vectorial R2 en R2:

Graficar:


En matlab

[x,y] = meshgrid(0:0.2:2,0:0.2:2);u = cos(x).*y;v = sin(x).*y;figurequiver(x,y,u,v)

, = cos + sin()


Funciones vectoriales de R3 en R3.

Sea r(x,y,z) un intervalo en R3.

Un campo vectorial en R3 es una funcin continua r(x,y,z):r R3.


1.3.2 Funciones vectoriales.Ejemplo campo vectorial R3 en R3:

Graficar:


clc;clear;closex = 0:0.5:6;y = 0:0.5:6;[x,y] = meshgrid(x, y);zi=ones(size(x));for i=0:6

z=zi*i;u=z;v=z;w=x;quiver3(x,y,z,u,v,w)hold on

endxlabel('x');ylabel('y');zlabel('z')

, , = + +

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1.3.3 Funciones de varias variables.

Funciones escalares de R2 en R.

Sea r(x,y) un intervalo en R2.

Un campo escalar en R es una funcin continua (x,y):r R.


1.3.3 Funciones de varias variables.Ejemplo campo vectorial R2 en R:

Graficar:


clc;clear;closex = 0:0.5:6;y = 0:0.5:6;

phi=x'*y;contourf(x,y,phi)xlabel('x')ylabel('y')

, =

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