calcular derivadas

MatemáticasDerivada

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Con este curso trataremos de...

Presentación General

Supongamos que sabemos que Juan tardó 150 segundos para recorrer tres calles (es decir 300 metros). En ese caso, podríamos decir que la razón de cambio de la posición de Juan respecto del tiempo es 300 metros cada 150 segundos. Es decir 2 metros cada segundo.

= 2

Esto es la velocidad media. Es que la velocidad indica en cuánto cambia la posi-ción a medida que transcurre el tiempo. Eso es justamente la razón de cambio de la posición respecto del tiempo.

Es decir que, cuando ya recorrió 100 metros, el próximo segundo estará a 102 me-tros; al siguiente, a 104 metros, y así sucesivamente.

Eso solamente si se mueve a velocidad constante, pero no sabemos cómo fue el movimiento entre el comienzo del recorrido y el final. Por lo tanto, ésta no es la razón de cambio instantánea.

Entonces para saber cuál es la razón de cambio en cada instante, por ejemplo a los 30 segundos, tenemos que conocer la posición en cada instante y con ayuda de un nuevo concepto: el de derivada.

Supongamos que registramos la posición de Juan en cada instante de tiempo y la gráfica es la siguiente.

• Examinar el concepto de razón de cambio en diversas situaciones.

• Conocer qué significados tiene la derivada de una función.

300m150seg

mseg



Se puede ver que en no fue siempre a la misma velocidad, sino que a veces es más rápido, y otras más despacio.

Ahora bien, veamos cómo averiguar la razón de cambio o, en este caso, la velo-cidad instantánea a los treinta segundos. Para medir un cambio se necesita otro punto de comparación, por ejemplo, a los 40 segundos. Esto nos permite calcular una velocidad media, observando el gráfico en esos 10 segundos la posición cam-bió 40 metros.

‘v = = = 460 - 2040 - 30

4010



Pero esta velocidad es el promedio entre 30 y 40, no la instantánea en 30.Ésta es una primera aproximación. Podríamos acercarnos un poco más a 30, por ejemplo, 35. En este caso la velocidad es de 2. De esa manera, podemos acercar-nos indefinidamente al 30. O sea que, si llamamos h a la diferencia de los tiempos, la velocidad instantánea será el límite de la velocidad media cuando h tiende a cero.

v = = = 2

lím

La derivada de la posición respecto del tiempo es la velocidad instantánea en ese punto.

Generalizando lo que acabamos de hacer: llamamos derivada de una función f en un punto a al límite de f de a más h menos f de a, sobre h, con h tendiendo a cero, y se le denomina f prima en a

Derivada de la función en el punto a f’ ( a ) = lím

30 - 2035 - 30

105

d ( 30 + h ) - d ( 30 )h

f ( a + h ) - f ( a )h

f ( a + h ) - f ( a )h

h 0

h 0

Razón de cambio

Si conocemos la función, puedo calcular la razón de cambio instantánea, o deriva-da, utilizando un límite.

Se trata de hacer que el incremento de x (h), tienda a cero. A la razón de cambio media, en este caso, se la denomina cociente incremental.

Cociente incremental

h es el incremento o distancia en que la variable independiente se aleja de a.

La derivada representaría, entonces, la velocidad en la que cambia una función.



Concepto de derivada

También existe otra interpretación que es muy importante. La recta tangente a una curva en un punto es una recta que sólo toca a la función en ese punto.

La pendiente de la tangente va indicando, de alguna manera, el comportamiento de la curva en cada punto. Por eso es importante calcularla.El problema está en que para determinar una recta se necesitan dos puntos pero la tangente en x = a toca la curva sólo en el punto (a, f(a)).La que es fácil determinar es una recta secante, es decir que corte a la curva en dos puntos. Uno correspondiente a x = a y otro a una distancia h de éste, es decir, x = a + h. Esta recta se aproxima a la tangente en a.

Recta tangente a f(x) en x = 5

Recta tangente a f(x) en x = 14

Recta tangente a f(x) en x = 10Recta tangente a

f(x) en x = 4

Recta secante que aproxima a la tangente en a



Pero esa distancia h ¿cuánto vale?En realidad basta con pensar que es un valor chico, porque cuanto menor sea, más se parecerá la secante a la tangente.

Es decir, tienen un punto en común y las pendientes se van pareciendo cada vez más.

Observemos que la pendiente de la secante es delta y sobre delta x, es decir la variación de la función sobre la variación de la variable independiente.Pendiente de la secante que pasa por a

=

Es el cociente incremental. El límite de este cociente, cuando h tiende a cero, será entonces, la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

lím

Entonces, la derivada de una función se puede interpretar como la pendiente de la recta tangente en ese punto.

Derivada de f(x) en a f’ ( x ) = lím

Entonces, de alguna manera, la pendiente de la recta tangente en un punto y la razón instantánea de cambio, en ese punto, están vinculadas.

Las secantes van cambiandosu pendiente, acercándosecada vez más a la tangente en a

yx

f ( a + h ) - f ( a )h

f ( a + h ) - f ( a )h

f ( a + h ) - f ( a )h

h oo

h oo



Pendiente de una curvaLa importancia de encontrar la pendiente de la recta tangente es que, en cada pun-to, coincide con la pendiente de la curva.

Cuanto mayor es la pendiente de la curva, la razón de cambio de la función es mayor.

Por ejemplo, para una función constante, la razón de cambio es cero, ya que a me-dida que cambia el valor de x, el valor de f(x) no cambia.

Entonces, el cociente incremental es cero, por lo tanto su límite para h tendiendo a cero, también lo será.

La derivada de una función en un punto puede interpretarsecomo la razón de cambio instantánea en ese punto. O sea,

la velocidad con que está cambiando la función en ese punto.

También puede interpretarse como la pendiente de la recta tangente a la gráfica en ese punto.

La derivada es el límite, cuando h tiende a cero,del cociente incremental o razón de cambio promedio.

Para recordar…



Término Definición

Razón

Delta

Se denomina razón al cociente entre dos magnitudes, y establece una proporción entre ellas.

Delta es una letra griega, en estos ca-sos, frente a una variable, representa un incremento de ella.Por ejemplo, el incremento de x desde un punto a hasta otro b, sepa-rados por una distancia h es x = b – a ó x = a + h

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