Prèmiere partie

Équations

Systèmes

Calcul littéral

CALCULE LITTÉRAL

José Pedrouzo DevesaProfesseur de Matématiques

IES As Mercedes LUGO

Notes faites avec la collaboration de :

Ana Vázquez Proffesseur de Français

IES As Mercedes LUGO

SECCIÓN BILINGÜE MATEMÁTICAS

FRANCÉS-GALEGO

3º ESO

Calcul algébrique, calcul littéralExpressions algébriques ou littérales

· Une expression algébrique ou littérale est une expression dans laquelle un ou plusieurs nombres sont désignés par des lettres.

Si une lettre apparaît plusieurs fois, elle désigne le même nombre.

Par exemple: - 5 x + 3 y2

45 x3 + 3,6 y2 – 1/5 z x

· Si les opérations que figurent dans l´expression littérale sont seulement produits ou puissances d´exposant positif on l´appelle monôme

Par exemple: - 3 y2

45 x3 y2 z

2/5 z3

· Un polynôme f à une indéterminé est défini comme une expression formelle de la forme

où les coefficients a0,.., an sont nombres et X est un symbole formel appelé indéterminée du polynôme.

Par exemple: 49 x 2 - 42 x + 9

5 x3 - x 2 + 2 x + 6

À rappeler1.- Règles des signes d'un produit

Le produit de deux nombres de même signe est positif

( + ..... ) x ( + ..... ) = ( + ..... ) ( - ..... ) x ( - ..... ) = ( + ..... )

Le produit de deux nombres de signe différent est négatif

( + ..... ) x ( - ..... ) = ( - ..... )( - ..... ) x ( + ..... ) = ( - ..... )

2.- Règle de suppression des parenthèses

· Si le parenthèses est précédé du signe +, on peut le supprimer en conservant les signes qui se trouvent à l'intérieur .

exemples: 5 + ( x 2 - 7x + 1 ) = 5 + x 2 -7x + 1

3 x 2 + (- 5x) + (- 12x) + 20 = 3 x 2 - 5x - 12x + 20

· Si le parenthèse est précédé par un signe -, on peut le supprimer en changeant les signes qui sont à l'intérieur.

exemple s : 7 - ( 2 + x – y ) = 7 – 2 – x + y

5 -( x 2 - 7x + 1 ) = 5 - x 2 +7x -1

(x + 4 ) - ( 7 - 4x ) = x + 4 - 7 + 4x

Comment le dire?Un peu de vocabulaire

a 2 est le carré de a b 2 est le carré de ba b est le produit de a par b

2 a b est le double produit de a par ba + b est la somme de a et b

( a + b ) 2 est le carré de la somme de a et b

a 2 + 2 a b + b 2est le carré de a plus le double de a par

b plus le carré de ba - b est la différence entre a et b

( a - b ) 2 est le carré de la différence entre a et b

a 2 - 2 a b + b 2est le carré de a moins le double de a

par b plus le carré de b

a 2 - b 2est la différence entre le carré de a et le

carré de b

( a + b ) ( a - b )

est le produit de la somme de a et b par

la différence entre a et b; c´est à dire:

somme par différence

Développer

Développer un produit, c'est le transformer en une somme ou une différence.

1. Simple distributivité

k ( a + b ) = k a + k b

k (a - b ) = k a - k b

Exemples: 3·(x + 5) = 3x + 15

2·(x2 – 7) = 2x2 - 14

2. Double distributivité

( a + b ) ( c + d) = a c + a d + b c + b d

Exemples:

(3x + 2)·(x + 5) = 3x2 + 15x + 2x + 10 = 3x2 + 17x + 10

(2x – 5)·(x2 – 7) = 2x2 – 14x – 5x2 + 35 = -3x2 –14x +35

3. Développer avec les trois identités remarquables

( a + b ) 2 = a 2 +2 a b + b 2

( a - b ) 2 = a 2 - 2 a b + b 2

(a + b) ( a - b) = a 2 - b 2

FactoriserFactoriser une somme ou une différence, c'est la remplacer par un produit.

1. En utilisant un facteur commun à l'aide des formules suivantes :

k a + k b = k ( a + b )

k a - k b = k (a - b )

Exemples:

3x + 6 = 3x + 3·2 = 3·(x + 2)

(x+3)·(x+5) - (x+3)·x = (x+3)·(x+5–x) = (x+3)·5 = 5x+15

2. En utilisant une identité remarquable à l'aide des formules :

a 2 + 2 a b + b 2 = ( a + b ) 2

a 2 - 2 a b + b 2 = ( a - b ) 2

a 2 - b 2 = (a + b) ( a - b)

Exemples:

X2 + 6x + 9 = ( x + 3)2

16x2 – 8x + 1 = (4x – 1)2

49 – x2 = (7 + x)·(7 – x)

Déveloper et factoriser

La factorisation est l'opération "inverse" du développement Exemple :

2 · ( a + b ) = 2a + 2b

Dévoirs à faire

http://matoumatheux.ac-rennes.fr/num/algebre/4/apprendrereduire.htm

Développement

Factorisation