Càlcul d'àrees i volums.

Exemple 1.Donada la figura següent:

Calcula'n:• superfície• volum

Resolució:

Fixem-nos que la superfície està formada per tres objectes.:1. la base del cilindre2. la paret del cilindre3. la semiesfera superior.

Calculem cadascuna de les superfícies:

1. base del cilindreLa base és un cercle. Recordem que l'àrea del cercle es calcula utilitzant la fórmula:π·r2. Prenem π=3,14 i amb el radi de 3 cm obtenim L'àrea: Sc= 28,26 cm2.

2. paret del cilindre.La paret del cilindre és un rectangle que té per base la longitud de la circumferència i per

1

altura 7 cm. Sp = 2πr·h = 2·3,14·3·7 = 131,88 cm2.3. Semiesfera.

L'àrea de la semiesfera és Sse=2πr2 = 2·3,14·32= 56,52 cm2.4. L'àrea de la figura és la suma de les tres àrees. ST = 28,26 + 131,88 + 56,52 = 216,66 cm2.

Anem, ara, a calcular el volum de la nostra figura. Fixem-nos que està composta per dos elements.1. Un cilindre de radi 3 cm i altura 7 cm.2. Una semiesfera de radi 3 cm.

Calculem el volum de cada element.1. Volum del cilindre.

El volum del cilindre és Vc = Sb·h = π·r2·h = 3,14·32·7 = 197,82 cm3.

2. Volum de la semiesfera. El volum de l'esfera és, V = 43

πr3.Com és una semiesfera, el

volum és la meitat del volum de l'esfera. Ve=43

π33= 113,04 cm3. El volum de la

semiesfera és Vs = 56,52 cm3.

2

Exemple 2.

Calcula la superfície i el volum de la següent figura:

La figura està formada per un paral·lelogram i una piràmide.

Comencem per calcular la superfície.

• El paral·lelepípede té 6 cares. Una d'elles coincideix amb la base de la piràmide i, per tant, no és exterior.1. Tenim dues cares de 12 cm x 4 cm. S1 = 48 cm2. Com en tenim dues: S1,2= 96 cm2.2. En tenim dues de 5 cm x 4 cm. S3 = 20 cm2. Com n'hi ha dues: S3,4 = 40 cm2.3. Tenim la base de 12 cm x 5 cm. S5 = 60 cm2.

• La piràmide té quatre cares de forma triangular. Les cares són iguals dues a dues. Dels triangles coneixem les bases. Hem de calcular les alçades. Per això, haurem d'aplicar el teorema de Pitàgores.1. Fixem-nos que per calcular l'altura del triangle de base 12 cm, podem utilitzar el triangle

de catets 6 cm i 2,5 cm. La hipotenusa la calcularem amb el teorema de Pitàgores. Sabem que 62 + 2,52 = h2; h2 = 42,25. Per obtenir la hipotenusa calcularem l'arrel quadrada: h = 6,5 cm.

2. Ara podem calcular la superfície del primer triangle. S6 = 12x6 ,5

2= 39 cm2. Com en

tenim dos; S6,7= 78 cm2.

3

3. Ara fem el mateix pels altres dos triangles de base 5 cm. Per calcular l'altura, utilitzarem el triangle de catets 6 cm i 6 cm. Amb el teorema de Pitàgores obtindrem l'altura de la cara de la piràmide: 62+62 = h2; h2= 72. Per tant, h = 8,49 cm.

4. Ara podem calcular la superfície del segon triangle. S8 = 5x8,49

2= 21,23 cm2. Com

en tenim dos: S8,9= 42,46 cm2.Ara ja podem calcular la superfície de la nostra figura. Aquesta és la suma de totes les superfícies que hem calculat.St = S1,2 + S3,4 + S5 + S6,7 + S8,9 = 96 cm2 + 40 cm2 + 60 cm2 + 78 cm2 + 42,46 cm2 = 316,46 cm2

Anem, ara, a calcular el volum de la figura.

• El volum del paral·lelepípede V1 = a·b·c = 12·5·4 = 240 cm3.

• El volum de la piràmide és V2 = S xh

3 = 60·6

3 = 120 cm3.

• El volum V = V1+V2= 240 + 120 = 360 cm3.

4

Exemple 3.

Tenim la construcció següent:

Sabem que la torre arriba als 25 m d'altura i la resta als 20 m. A més tenim la informació següent:

5

Amb aquestes dades volem calcular la superfície de la façana de l'edifici.

Fixem-nos en que tenim diferents elements. Tenim 4 rectangles, una zona cilíndrica i una zona de la torre que és 3/4 parts d'un cilindre.

Comencem per les parets rectangulars:

S1 = 65 x 20 = 1300 m2.S2 = 67,4 x 20 = 1348 m2.S3 = 51,2 x 20 = 1024 m2.S4 = 48,8 x 20 = 976 m2. Fixem-nos que en aquest cas la longitud és 65 m – 16,2 m (radi de la torre).

La torre la tenim dividida en dues parts. La zona inferior que és 3/4 de la superfície d'un cilindre. (90º és 1/4 de 360º).

S5 = 3·(2πrh)/4 = 3·(2π·16,2·20)/4 = 1526,04 m2.

Ens queda la part superior de la torre que és un cilindre de 16,2 m de radi i una altura de 5 m.

S6 = 2πrh = 2π·16,2·5 = 508,68 m2.

6

Ja hem calculat la superfície de cadascuna de les parts de la construcció. La superfície total de la façana és la suma de totes les parcials:

S = 1300 m2 + 1348 m2 + 1024 m2 + 976 m2 + 1526,04 m2 + 508,68 m2 = 6682,72 m2.

Podem dir que la superfície de la construcció és de 6682,72 m2.

7

Exercici 1.

Volem construir una piscina amb la forma següent:

amb una illa central de 4 m x 2 m. La piscina té una fondària de 1,5 m.1. Volem enrajolar la piscina (les parets i el terra) amb rajoles de 1,5 cm x 1,5 cm. Quantes

rajoles necessitarem?2. Si hi treballen 10 operaris i, cada operari, pot posar 500 rajoles cada dia, quants dies caldran

per enrajolar-la tota?3. Quin volum d'aigua hi cap?4. Quina capacitat té la piscina?5. Si podem omplir-la a un ritme de 600 litres cada minut, quantes hores trigarà en omplir-se?6. Volem posar una reixa que envolti tot el perímetre fora de temporada. Quina longitud tindrà?

Per poder fer els càlculs haurem de dibuixar unes línies auxiliars. Així és com queda la imatge:

8

Exercici 2.

Amb el Google Earth hem trobat l'Atomium de Brusel·les.

Hem calculat, aproximadament, el diàmetre d'una de les esferes.

Calcula:

1. La superfície total de les esferes. N'hi ha 9.2. Calcula el volum total de les esferes.

9

Exercici 3.

Continuant amb el Google Earth hem capturat unes imatges de l'edifici del Pentàgon.

Amb les dades d'aquesta imatge, pots calcular el perímetre exterior de la primera línia de construccions.

10

11

12

Amb les dades que tens en les quatre imatges i, sabent que l'altura de l'edifici és de 15 m, calcula:

1. La superfície que ocupa la construcció exterior del Pentàgon.2. El volum total d'aquesta construcció.

13

Exercici 4.

Hem fet unes captures, amb algunes mesures, de la Ciutat Prohibida de Pequín.

14

15

16

Amb aquestes imatges, si considerem que el fossar té forma rectangular i que la fondària és de 2 m, podem calcular:

1. La superfície que ocupa el fossar.2. Quin és el volum del fossar.3. Quina és la capacitat del fossar.

17

Exercici 5.

Tenim unes imatges del Castell de Montgrí:

Fixem-nos en la seva forma: planta quadrangular amb quatre torres cilíndriques, una a cada vèrtex.En aquesta imatge, hem calculat el diàmetre d'una de les torres: 5,97 m.

18

En aquesta, hem calculat la longitud de la part exterior de la muralla. I utilitzant el geogebra obtenim la imatge següent:

19

En aquesta darrera imatge, hem calculat l'angle que forma la torre amb les direccions dels murs. Aquest és de 259,75º.Amb aquestes dades, i sabent que el castell mesura 12 m d'altura, podem calcular:

La superfície de la façana del castell.

Nota: Recorda que per calcular la longitud d'un arc utilitzem la fórmula:

Lα = α·r

On α és l'angle expressat en radians i r és el radi de la circumferència.

20